Revista de Didáctica de las Matemáticas Julio de 2015 Volumen 89

NÚMEROS
Revista de Didáctica de las Matemáticas
Julio de 2015
Volumen 89
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, página 2
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil
hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de
interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,
aplicaciones de la investigación…
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,
Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.
Director
Israel García Alonso
Comité editorial
Hugo Afonso, Alicia Bruno, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Fátima García, Mª
Aurelia Noda e Inés Plasencia.
Consejo asesor
José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel
Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,
Luis Rico y Xavier Vilella.
Portada. Autora: Mª Celia Hidalgo Alonso Título: “3’3 periódico”. (Segundo Premio Concurso Fotografía y Matemáticas 2007)
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329.
38200 La Laguna (Tenerife) España
Email: administracion@sinewton.org
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
Luis Balbuena Castellano (Presidente), Mª Nila Pérez Francisco (Vicepresidenta), Mª Isabel Borges Pérez
(Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), Francisco Aguiar Clavijo
(Vicesecretario), Pilar Acosta Sosa (Secretaria de actas), Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria). Coordinadores
insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Nieves Marcela Herrera Pérez (Gran Canaria),
Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), Carmen San Gil López (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán
(Tenerife).
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y
noviembre.
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Volumen 89, julio de 2015, páginas 3-4
Índice
Editorial
5
In Memoriam, Manolo Fernández Reyes
7
Artículos
El ajedrez como recurso didáctico en la enseñanza-aprendizaje de las
Matemáticas
9
R. Nortes Martínez-Artero y A. Nortes Checa
Matemagia y su influencia en la actitud hacia las matemáticas en la escuela
rural
33
R. Fernández Cézar. F. J. Lahiguera Serrano
Aspectos Históricos del Cálculo de Leibniz: Incidencia y Aplicación en la
Didáctica de las Matemáticas
55
C. Rondero, A. Reyes, J. A. Acosta
Una propuesta metodológica para el diseño, gestión y evaluación competencial de
estrategias de resolución de un problema multiplicativo combinatorio
M. Artés Juvanteny, E. Badillo Jiménez, I. García-Honrado, L. Morera Úbeda y M.
Prat Moratonas
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
69
87
Secciones
Experiencias de aula
Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el
segundo ciclo de Educación Infantil
110
E. Hernández Gutiérrez
Mundo Geogebra
III Encuentro GeoGebra Canarias
P. Espina Brito, N. M. Santana Almeida
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137
Índice (continuación)
Problemas
Los problemas anteriores y lo que nuestros lectores nos escriben. Problemas
comentados XL
149
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Juegos
Más soluciones del Cubo de Lola, más pentominós y el Quadryx
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
169
En la red
Matemáticas creativas en proyecto Gauss
N. Díaz García
177
Leer Matemáticas
Hipatia de Alejandría. Charles Kingsley
Reseña: C. García Somalo
Matemáticas: el alfabeto del Universo. Guadalupe Castellano
Reseña: J. M. Sánchez Velázquez
Informaciones
Normas para los autores
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Israel García, Director de Números
¡Vacaciones!
Ya están aquí las tan deseadas y, por otro lado necesarias, vacaciones de verano. Con ellas,
dejamos atrás un curso lleno de experiencias, mucho trabajo y éxitos. Los profesores llegamos a las
vacaciones con la satisfacción que da el trabajo bien hecho.
I
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“Las matemáticas constituyen una forma de mirar e interpretar el mundo que nos rodea”, según
cita el nuevo currículo, y en este sentido los docentes tenemos la responsabilidad de mostrar esta
forma de mirar el mundo. Tenemos los docentes de Matemáticas una tarea difícil, un problema
complejo: conjugar la abstracción del lenguaje matemático, el desarrollo del razonamiento y la
resolución de problemas con la utilidad, el uso y el aprendizaje a lo largo de la vida.
D
El conocimiento matemático que se pide desarrollar en nuestros estudiantes ha ido variando a lo
largo de los últimos años. Anteriormente teníamos enfoques centrados en la ordenación del
conocimiento. Y ahora, hemos pasado a enfoques en los que nuestro modelo de enseñanza se basa en
la “utilidad”, en el “saber hacer” con el conocimiento matemático y conocer cómo se desarrolla y se
modifica dicho conocimiento a lo largo de la vida adulta. En consonancia con lo anterior aparecen las
Competencias Clave, como herramientas trasversales a desarrollar desde todos los ámbitos.
E
A la vuelta de las vacaciones, iniciaremos un nuevo curso con el que estrenaremos normativa en
la Enseñanza Secundaria, y concluirá su implantación en la Educación Primaria: la Ley Orgánica para
la Mejora Educativa (LOMCE). Los cambios normativos son revulsivos que permiten a los docentes
iniciar una reflexión profunda sobre el modelo de Enseñanza que se pretende establecer, y el que se ha
estado desarrollando hasta el momento. Son por tanto, cursos académicos de transición y adaptación.
Aprovechemos esta oportunidad de cambio para conocer mejor nuestra materia, para
profundizar en nuestra enseñanza y en definitiva para ofrecer un mejor modelo de enseñanza que
permita un aprendizaje útil de las matemáticas en los estudiantes.
A
En este número de Números
L
Comenzamos con un trabajo de los autores Nortes y Nortes, en el que nos mostrarán diferentes
juegos y actividades a realizar con el tablero de ajedrez: contar y cortar, grandes números, poliminós,
cuadrados mágicos, descripción de los movimientos de las principales figuras sobre el tablero,…
Podremos comprobar que realizando pequeñas investigaciones utilizando elementos de geometría,
números y funciones y teniendo como recurso didáctico un tablero de ajedrez, seremos capaces de
construir en los estudiantes pensamiento matemático.
Fernández y Lahiguera nos ofrecen un trabajo en el que la magia y las matemáticas pueden ir de
la mano por diferentes centros de Primaria de Castilla – La Mancha y Madrid (España). Nos presentan
diferentes matetrucos con los que desarrollar contenidos matemáticos propios de los niveles de 3º y 4º
de Primaria en el área de matemáticas, enmarcados en el trabajo con los números. Estas actividades
provocan un cambio importante en el interés que los estudiantes.
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de Profesores de Matemáticas
Editorial
I. García
Los autores Rondero, Reyes y Acosta nos proponen analizar, desde el punto de vista histórico,
cómo un principio tan trivial como es el principio de identidad (A=A) da lugar a construcciones
matemáticas elaboradas, y en este trabajo nos muestran diversas situaciones en las que se emplea.
Las autoras Artés et al. nos proponen una actividad matemática competencial relacionada con el
pensamiento combinatorio que desarrollan con estudiantes de primaria y secundaria. Su lectura no sólo
nos permite conocer las dificultades que tienen los estudiantes sobre la combinatoria, sino que es un
documento que refleja todos los pasos a seguir para realizar una investigación de aula.
Barrios nos trae a la revista un nuevo trabajo sobre las series de números impares. Mientras que
en el anterior se fijaba el exponente y se iba variando la base, en este nuevo trabajo se fijará la base y
se variará el exponente. ¿Hasta qué valor de la base logrará construir?
Recientemente hemos perdido a un compañero y antiguo director de la Revista Números, D.
Manuel Fernández Reyes. Sirva como recordatorio estas palabras en homenaje a su figura por parte
del Comité Editorial. DEP.
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Obituario
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ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 7-8
In Memoriam
Me he atrevido a escribir unas líneas para recordar la figura de Manolo Fernández Reyes
recientemente fallecido. No quiero dejar pasar la ocasión de rendir homenaje a este compañero y
amigo.
Muchos sabemos que Manolo fue director de la Revista Números, Presidente de nuestra
Sociedad y también de la Federación. Los que tenemos ya algunos años le recordamos en nuestras
Jornadas charlando con alguien, haciendo algún chiste, levantando la mano en las asambleas,
presentando alguna comunicación…, preguntando dónde íbamos a comer.
De la revista Números, no sólo fue su director, sino durante mucho tiempo, en su casa de la
Punta, el encargado de mecanografiar la revista. Ustedes se imaginan lo que significaba entonces
equivocarse, dejar espacio para colocar las imágenes… Los que han sido directores de la Revista,
saben lo difícil que llega a ser confeccionar un número, imaginemos lo que esto suponía cuando no
había procesadores de texto, correo electrónico…, labor de titanes.
Hacer las portadas de la revista, recuerdo las “craneadas” de Manolo para confeccionarlas, lo
orgulloso que se sentía de ellas, en más de una ocasión recurrió a personas completamente ajenas a
nuestro mundo para que le plasmaran alguna idea que él les proporcionaba.
No quiero olvidarme de la imprenta. En aquella época el trabajo más duro no era lo que ya les
he contado, era conseguir que el señor de la imprenta le entregara la revista en el plazo estipulado y sin
que le cambiara el formato que él le había dado.
Hay otra faceta de Manolo imposible de olvidar. Se dedicaba a grabar las ponencias de los
“gallos” que nos visitaban, sobre todo en las Jornadas, y luego se sentaba a transcribirlas (menudo
trabajo de chinos) para publicarlas. Esto le daba mucho juego a la hora de confeccionar la revista.
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de Profesores de Matemáticas
In Memoriam
F. Padilla
Su preocupación por la enseñanza de las matemáticas le llevó durante mucho tiempo a estudiar
los planes de estudio de las Escuelas de Magisterio. Le recuerdo “asaltando” a los compañeros de la
Sociedad que dan clases en la Escuela de Magisterio de La Laguna hasta hacerse con los programas.
También le dedicó tiempo a proponer acciones de formación del profesorado como, por
ejemplo, una ponencia suya en unas JAEM, en las que elaboró un decálogo de actuaciones necesarias
en la formación permanente del profesorado.
Había una idea que siempre rondaba en la cabeza de Manolo y que cada vez que podía la
verbalizaba: “Es posible mejorar la enseñanza de las matemáticas y en esto siempre tiene que estar
implicada la Sociedad.”
Finalmente, nos dejó interesantes artículos recogidos, sobre todo, en NÚMEROS y que están al
alcance de todos en la página web de la Sociedad Isaac Newton pues en la sección de la revista están
escaneados todos los números publicados.
Francisco Padilla Díaz
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ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 9-31
El ajedrez como recurso didáctico en la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas
Rosa Nortes Martínez-Artero
Andrés Nortes Checa
(Universidad de Murcia. España)
Fecha de recepción: 10 de junio de 2014
Fecha de aceptación: 19 de diciembre de 2014
Resumen
El ajedrez es un juego que se puede enseñar a los alumnos en los primeros años de
escolarización. De ahí que los futuros profesores deban de conocer algunas técnicas para
llevarlo a cabo y debido al paralelismo que tiene con las matemáticas, se pueda utilizar
como recurso en su enseñanza-aprendizaje. El tablero en sí aporta un apoyo para plantear
actividades de contar, de colocar sobre él pentominós, de utilizar los movimientos del
caballo, rey, torre, alfil y dama. Se presentan algunas actividades para trabajar los futuros
profesores en el aula, aplicables, la mayoría, al currículo de Matemáticas de Educación
Primaria y Secundaria encaminadas a desarrollar las competencias e iniciarse en la
resolución de problemas.
Palabras clave
Ajedrez, Recurso, Enseñanza, Aprendizaje, Matemáticas.
Title
Chess as a resource in the teaching and learning Mathematics
Abstract
Chess is a game that can be taught to children right from the first year of compulsory
schooling. For this reason, future teachers should know some techniques to teach and,
because of the parallelism the game has with mathematics, they could use it as a valuable
resource for the teaching and learning of this subject. The chessboard in itself provides
support for counting, for having the pentominoes placed, for using the knight, king, rook,
bishop and queen movements. Some activities to be worked on in the classroom by future
teachers are presented, the great majority applicable to the Primary and Secondary
Education Mathematics syllabus, which are aimed at developing the competencies and at
initiating the students in problem solving.
Keywords
Chess, Resource, Teaching, Learning, Mathematics.
1. Matemáticas y ajedrez
El ajedrez se está introduciendo en el sistema educativo con gran rapidez debido a sus
beneficios sociales y educativos, tanto es así que el 13 de marzo de 2012 el Parlamento Europeo
adoptó el programa de la Unión Europea de Ajedrez “Ajedrez en la Escuela”, mediante la Declaración
escrita 50/2012 que fue firmado por 415 eurodiputados, el 55,3 % del total de los 751 parlamentarios,
para que incluyan el ajedrez dentro de sus sistemas educativos.
Fuentes (2013) indica que muchos países tienen en la actualidad el ajedrez como asignatura
obligatoria en todos los colegios (Cuba, Venezuela, Islandia, Georgia…) y otros muchos como
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El ajedrez como recurso didáctico en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
R. Nortes Martínez-Artero y A. Nortes Checa
optativa (Alemania, Suecia, Argentina, Colombia…) y en nuestro país la Comunidad de Cantabria
dispone del Proyecto Ajedrez Educativo y el Parlamento canario acordó por unanimidad incorporar el
Ajedrez a la escuela. Y en más de 40 países alrededor del mundo incluyen programas de ajedrez en las
escuelas dentro del currículo oficial (Kovacic, 2012).
La influencia del ajedrez tanto a nivel cognitivo (atención, memoria, concentración, percepción,
razonamiento lógico, orientación espacial, creatividad, imaginación…) como a nivel personal
(responsabilidad, control, tenacidad, análisis, planificación, autonomía, discusión, control,
tenacidad…) avala su importancia en los sistemas educativos de muchos países del mundo (Gairín y
Fernández, 2010). Mientras que Maz-Machado y Jiménez-Fanjul (2012) indican que algunos de los
componentes de la práctica del ajedrez son la concentración y el desarrollo de estrategias para la
resolución de problemas y del pensamiento lógico, todos ellos necesarios para las matemáticas.
Guik (2012) indica que el tablero de ajedrez, las piezas y el propio juego se utilizan
frecuentemente para ilustrar conceptos, ideas y problemas matemáticos. Pero el caballo es la pieza más
asombrosa del ajedrez ya que un movimiento inesperado del caballo puede cambiar el transcurrir de
una partida. Sin embargo, la dama es la más poderosa, siendo el problema de las ocho damas y el
problema del caballo los dos más conocidos del juego del ajedrez.
Kraitchik (1946) en su libro “Matemáticas recreativas” dedica un capítulo al problema de las
reinas y otro al problema del caballo. El primer caso consiste en colocar ocho reinas sobre un tablero
de ajedrez de tal modo que ninguna de ellas pueda capturar a ninguna de las otras, en un solo
movimiento; mientras que el segundo era conocido muy antiguamente en la India en donde los
sacerdotes hindúes poseían hace más de 2000 años un procedimiento para resolverlo, consistente en
recorrer con el caballo todas las casillas del tablero pasando por cada una de ellas una sola vez.
Guik (2012) para resolver el problema del caballo presenta el método Punk y Collini, basado en
la partición del tablero en una parte interior y otra exterior, el método Polignac y Roget basado en la
división del tablero en cuatro partes, el de Euler y Vandermonde basado en la posibilidad de sustituir
todos los movimientos por sus inversos comenzando por la casilla conectada con la final. Con el
algoritmo de Warnsdorff al recorrer el tablero el caballo deberá moverse cada vez a la casilla desde la
cual puede efectuar la menor cantidad de movimientos a casillas en las que aún no ha estado. Euler en
1749 dedicó su tratado “Solución de un problema curioso que no parece someterse a análisis alguno” a
este problema que aunque era conocido antes, fue él quien notó su carácter matemático. La belleza y
sencillez de este problema ha favorecido su transmisión a través de las generaciones y hoy aún supone
un reto difícilmente superable para cualquier persona que conozca los fundamento del ajedrez (Núñez
y Ruiz, 2010). Más complejo que este problema es hallar todos los recorridos del caballo sobre el
tablero y su número total. ¿Cuántos recorridos hay del caballo? Fernández (2007) recuerda que en
1995 Martin Löbbing e Ingo Wegener encontraron 33 439 123 484 294 caminos diferentes y en 1997
Brendan Mckay usando otro método distinto obtuvo 13 267 364 410 532 caminos diferentes.
El problema de las ocho reinas relativo al tablero de ajedrez 8  8 fue planteado por Max Bezzel
en 1848, que bajo el pseudónimo de Schachfreund lo publicó en la revista especializada Berliner
Schachzeitung. El problema fue propuesto por el Dr. Nauck, que era ciego, al matemático Gauss en
1850 y Gauss obtuvo 72 soluciones al principio y algo más tarde 76, siendo el Dr. Nauck quien
encontró las 92 soluciones posibles.
Corzo y Paredes (2000) tratan de resolver el problema de las ocho damas mediante la aplicación
de los algoritmos genéticos y para ello numeran las filas de 0 a 7. Así, la colocación en el tablero de
una disposición al azar de las ocho damas (2, 4, 0, 6, 1, 3, 5, 1) viene dada por el cromosoma: 010100-000-110-001-011-101-001, que es una cadena de 24 bits. La función de ajuste nos da la
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valoración de lo cerca o lejos que se encuentra de la solución del problema y debe de tratar de
penalizar aquellas disposiciones de las damas en las cuales una fila o una diagonal están ocupadas por
más de una dama. Una reina situada en fila x, columna y, ocupa las diagonales (x+y), (x-y). La
función de ajuste de la posición dada es 6, que corresponde a la coincidencia de damas de una fila, en
dos diagonales en un sentido y tres diagonales en el otro. Cuando se llegue mediante un programa
informático a la posición (3, 1, 7, 4, 6, 0, 2, 5) la función ajuste es cero y se ha obtenido una solución.
Si el programa se ejecuta nuevamente se puede llegar a obtener soluciones distintas aun partiendo de
los mismos datos.
El problema del tablero de ajedrez de contar el número de cuadrados que hay ha sido utilizado
por Cañadas et al. (2003) para ilustrar el método de resolución de problemas de Polya llegando a la
conclusión de que se trata de un caso particular de un tablero n  n, trabajando el razonamiento
inductivo mediante un proceso de generalización.
Villar (2011) encuentra características semejantes entre las Matemáticas y el Ajedrez ya que las
reglas válidas de manejo son dadas por sus definiciones y por todos los procedimientos de
razonamiento admitidos como válidos que pueden ser simples o complejos en función del nivel de
conocimiento que se posee.
No hay libro de matemática recreativa que no recoja los problemas anteriores y otros más, pues
como indica Frabetti (1995, p. 13) “mis estudios de matemáticas y mi especial interés por su vertiente
creativa me llevaron a conocer nuevos problemas directa o indirectamente relacionados con el
ajedrez”.
Las matemáticas se pueden beneficiar de la expansión del ajedrez y el ajedrez puede contar con
un buen aliado en las matemáticas. La dificultad que entraña la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas puede verse beneficiada con el juego del ajedrez para aplicar diversos contenidos que de
forma lúdica pueden ser introducidos, incluso el beneficio terapéutico que supone el juego del ajedrez
en alumnos con dificultades de atención o alteraciones de conducta.
El ajedrez tiene un paralelismo con las matemáticas porque ambos ejercitan la memoria,
aumentan la concentración, desarrollan el pensamiento lógico, la imaginación y la creatividad, así
como el sentido de la responsabilidad, fortalecen la toma de decisiones, incrementan la paciencia,
desarrollan la intuición y la resolución de problemas que es eje vertebrador de los contenidos de
matemáticas en la enseñanza obligatoria.
El ajedrez es un juego de razonamiento, porque es necesario pensar antes de realizar cada
jugada. Además, es un juego sencillo, que no es exclusivo para gente inteligente ya que con
dedicación, práctica y mucha afición se puede llegar a ser un buen jugador, siendo un juego de gran
aceptación popular (Fernández, 2007).
El RD 126/2014 por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria (MECD,
2014) define el currículo como “la regulación de los elementos que determinan los procesos de
enseñanza y aprendizaje para cada una de las enseñanzas” (p. 19349) y en el área de Matemáticas
“van encaminados a desarrollar las competencias matemáticas e iniciarse en la resolución de
problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos
geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida
cotidiana” (p. 19386). Y el ajedrez es un recurso para lograr la concentración y desarrollar el
pensamiento lógico en el campo numérico, la geometría y la medida.
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Kovacic (2012) analizó las calificaciones en Primaria de 82 niños a lo largo de dos años y
comparó las medias entre dos grupos, uno de edad media 10,4 años que realizaba prácticas
sistemáticas de ajedrez y otro de edad media 10,6 años que no las realizaba y los resultados
confirmaron que existen diferencias significativas en las calificaciones a favor de los primeros.
En la resolución de problemas utilizando el ajedrez se explica oralmente o por escrito el proceso
seguido, se revisan las operaciones utilizadas comprobándose la solución, se utilizan razonamientos y
estrategias de cálculo aprendidas, se elabora un informe sobre el proceso de investigación realizado, se
utilizan herramientas tecnológicas y se practica el método científico siendo ordenado, organizado y
sistemático, contribuyendo así a la adquisición de las competencias correspondientes al currículo de
Primaria.
Dentro de los contenidos de la materia Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas del Grado de
Maestro de Primaria, en el desarrollo de las matemáticas escolares, y en el currículo de la enseñanza
obligatoria se puede utilizar el ajedrez como recurso, siendo algunas de las actividades que se pueden
llevar a cabo sobre el tablero de ajedrez, las que se mencionan.
2. El tablero de ajedrez
2.1. Contar y cortar
Un problema clásico utilizado con mucha frecuencia es el contar el número de cuadrados que
tiene el tablero de ajedrez de 64 cuadrados (8  8) y el número de rectángulos. Para ello, lo mejor es
comenzar con un minitablero de 16 cuadraditos (4  4) y encontrar a partir de ahí una expresión que
determine el número de cuadrados y rectángulos que existen para después extenderlo y aplicarlo al
tablero de 8  8 y a un tablero de 12  12 o a un tablero de n  n. Esta fórmula encontrada nos puede
servir para que nos planteemos un caso directo y calculemos cuántos cuadrados y rectángulos hay en
una hoja DIN A4 cuadriculada en cuadrados de 0,4 cm de lado, para lo cual habrá que contar los
cuadrados de ancho y los de largo y después dar la respuesta.
Figura 1
El llegar a obtener que el número de cuadrados y rectángulos, si la hoja DIN A4 es de
dimensiones m  n cuadraditos, es
m  (m  1) n  (n  1)

, será un desafío intelectual que el alumno
2
2
quiere y es capaz de entender, pero que a primera vista no sabe cómo resolver.
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Para los alumnos, un contenido de matemáticas escolares se puede ir ampliando y llegar a
utilizar contenidos de combinatoria, como sería el aplicar que en el tablero de ajedrez hay 9 líneas
horizontales y 9 líneas verticales. Cada cuadrado o cada rectángulo se forma con dos líneas
horizontales y dos verticales. Las combinaciones de 9 líneas tomadas 2 a 2, nos dan todas las
posibilidades de largo de los rectángulos y las combinaciones de 9 líneas tomadas 2 a 2, nos dan todas
las posibilidades de ancho de los rectángulos (Ortega, 2003). El producto de estas dos combinaciones
nos da el total de cuadrados y de rectángulos que se pueden formar. Por tanto: C92 C92 
1 296. Y en el caso de un tablero de n  n:
C n21  C n21 
(n  1)  n (n  1)  n (n  1) 2  n 2


2
2
4
siendo el número de cuadrados: 12 + 22 +…+ n2 =
Y de rectángulos:
98 98
=

2
2
n  (n  1)  (2n  1)
.
6
n 2  (n  1) 2 n  (n  1)  (2n  1)
n  (n 2  1)  (3n  2)
=
.

12
4
6
¿Es posible dividir el tablero de ajedrez en varias piezas de manera que la primera pieza tenga
una sola casilla, la segunda dos casillas, la tercera tres y así sucesivamente? A lo que con una simple
ecuación, nos daría como respuesta que es imposible al no tener como soluciones números naturales.
1 + 2 + 3 +… + (n-1) + n = 64 
n  (n  1)
= 64  n2 + n – 128 = 0
2
Guik (2012) nos amplia el caso de cortes de un tablero con las siguientes cuestiones: ¿Cuál es el
número de cortes que se pueden realizar para obtener las 64 casillas del tablero? Si cortamos el tablero
por la mitad, colocamos las dos mitades una junto a la otra y efectuamos el segundo corte, obtenemos
cuatro partes iguales y repitiendo esta operación varias veces se llega a que 2 6 = 64, por lo que con 6
cortes lo tenemos. Pero si cada parte se debe cortar por separado, para obtener las 64 casillas del
tablero se necesitan 63 cortes (7 + 7  8).
¿Cuál es el mayor número de casillas que se pueden cortar mediante un corte? La respuesta es
15 que corresponde a la recta paralela a una diagonal del tablero que pasa por los puntos medios de los
lados de dos casillas extremas. Y para cortar todas las casillas del tablero, ¿cuál es menor número de
cortes? Evidentemente 8 rectas bien horizontal o verticalmente pasando por el centro de cada casilla
son suficientes, pero no es el mínimo. Con 7 rectas trazadas una por el centro del tablero en dirección
casi paralela a la diagonal y las seis restantes en direcciones casi perpendiculares a la primera, son
suficientes.
Otro problema a plantear para trabajar en el campo numérico, es: En las casillas de un tablero de
ajedrez se colocan monedas de 1 euro. La diferencia de valor de las monedas que se encuentran en las
casillas que tiene un lado en común es 1 euro. Si en la casilla a8 (primera de la primera fila) hay 1 euro
y en la casilla h1 (última de la última fila) hay 15 euros, ¿cuál es el valor total de las monedas que se
encuentran en el tablero? Siguiendo el enunciado, resulta:
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5 6
5 6 7
6 7 8
7 8 9
8 9 10
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
6 7 8 9 10
7 8 9 10 11
8 9 10 11 12
9 10 11 12 13
10 11 12 13 14
11 12 13 14 15
Figura 2
La primera fila suma: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36. La segunda sumará 8 euros más y así
sucesivamente, luego: 36 + (36 + 8  1) + (36 + 8  2) + (36 + 8  3) + (36 + 8  4) + (36 + 8  5) + (36
+ 8  6) + (36 + 8  7) = 36  8 + 8  (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 288 + 224 = 512 euros.
Pero también podemos, dentro de las matemáticas escolares, aplicar la proporcionalidad, así:
Un tablero de ajedrez está formado por 64 casillas cuadradas distribuidas en 8 filas y 8 columnas.
Añadimos una nueva fila de cuadraditos alrededor de todo el tablero. Calcula el porcentaje de
cuadraditos que hemos añadido y el porcentaje que disminuimos si se vuelve al tablero inicial. Las
respuestas del 56,25 % y del 36 % servirán para ver la importancia de la base sobre la que se aplica un
porcentaje.
2.2. Los grandes números
Es conocida la leyenda de los granos de trigo, y que documenta Tahan (1972): En la provincia
de Taligana reinaba el rey Iadava que tuvo que enfrentarse al ejército del aventurero Varangul, al que
logró vencer pero el hijo del rey, el príncipe Adjamir, falleció en la batalla. El rey Iadava, terminada la
guerra estaba muy triste y abatido, se encerró en sus aposentos y solo salía para tomar decisiones con
sus asesores. Los sacerdotes no sabían consolarlo y un cierto día el joven Lahur Sessa pidió audiencia
para enseñarle un juego que acababa de inventar, formado por un tablero cuadrado dividido en sesenta
y cuatro casillas iguales y una serie de piezas blancas y negras, a lo que siguió la explicación de las
reglas del juego, que se realizaba entre dos jugadores, uno con las piezas blancas y el otro con las
piezas negras. Pasadas unas horas el rey había aprendido las reglas del juego y para demostrarle su
agradecimiento le dijo que le pidiera lo que quisiera a lo que el inventor le contestó: “No deseo oro ni
joyas ni palacios, solo deseo una recompensa en granos de trigo”, lo que llevó a los presentes a una
risa generalizada. Me daréis, dijo Sessa, un grano por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por
la tercera, ocho por la cuarta y así doblando hasta la sexagesimocuarta y última casilla del tablero. Los
algebristas se retiraron a hacer los cálculos, los sabios tardaron unas horas en presentar sus resultados
al rey. ¿Con cuántos granos de trigo el rey corresponderá a la promesa que le hizo al joven Sessa? La
respuesta: 264 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615 granos de trigo, es de todos conocida, es decir
dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y
tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo.
Sabiendo que en cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 20 000 granos,
podríamos calcular las toneladas que pesarían los granos de trigo y el volumen que ocuparían,
llegando a un peso de 922 337 203 685 toneladas y a un volumen de 1,23  103 km3, ocupando un
depósito de forma cúbica de más de 10 km de arista.
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Pero también se pueden introducir unidades de tiempo. Si contásemos los granos de trigo del
montón obtenido por los calculistas a razón de 5 granos por segundo, trabajando día y noche sin parar,
se tardaría: Los 5 granos por segundo son 300 granos en 1 minuto, 18 000 en una hora, 432 000 granos
en 1 día y 157 680 000 en un año. Es decir, 1,5768  108.
En 1000 años es 1,5768  1011. En un millón de años 1,5768  1014. En un millón de siglos
1,5768  1016 y en 100 millones de siglos es 1,5768  1018. En 1 000 millones de siglos es
1,5768  1019, tendríamos “algo más” ya que el número de granos es 1,8  1019.
Esta actividad se puede proponer como una investigación ya que el bloque de procesos, métodos
y actitudes en matemáticas se ha formulado con la intención de conseguir que todo el alumnado “sea
capaz de describir y analizar situaciones de cambio, encontrar patrones, regularidades y leyes
matemáticas” (MECD, 2014, p. 19387).
Suponiendo que el inventor del juego del ajedrez fuera escritor y necesitara hojas de papel para
escribir sus numerosos cuentos y novelas y en la petición al rey en lugar de granos de trigo pidiera
hojas DIN A4 de 0,1 mm de grosor, por la primera casilla 1 hoja, por la segunda 2, por la tercera 4,
por la cuarta 8 y así sucesivamente doblando el número de hojas de una casilla a la siguiente, y
colocando una encima de otra, ¿cuál es el grosor de todas las hojas correspondiente a la casilla 20? ¿Y
a la casilla 40? ¿Cuántas cajas de hojas necesitas para guardar las hojas de la casilla 40 si cada caja
contiene 5 paquetes de 500 hojas cada uno?
Por la primera casilla, tiene una hoja de grosor 0,1 mm y al ir doblando; por la segunda casilla
dos hojas: 2  0,1 = 0,2 mm; por la tercera casilla: 4  0,1 = 0,4 mm; por la cuarta: 8  0,1 = 23  0,1 =
0,8 mm;…; por la vigésima: 2 19  0,1 = 524 288  0,1 = 52 428,8 mm = 52,4288 metros. Por la casilla
cuadragésima: 239  0,1 = 549 755 813 888 mm  0,1 = 54 975 581,3888 m = 54 975,5813888 km.
Como cada paquete contiene 500 hojas y cada 5 paquetes una caja, es decir 2 500 hojas, el número de
cajas completas es: 549 755 813 888: 2 500 = 219 902 325.
¿Cuántas furgonetas se necesitarían para transportar todo el papel? ¿Y cuántos paquetes de
hojas llevaría? ¿Qué dimensiones debería tener un almacén para guardar todo ese papel? Es una
actividad en la que se puede profundizar todo lo que se quiera.
Pero utilizando la expresión potencial del número total de granos de trigo, también podemos
aprovechar para hablar de números primos, porque algunos números primos son de la forma 2n – 1.
Así para n = 2, es 3; para n = 3, es 7. Los números de la forma 2 n – 1 se denomina números de
Mersenne en honor a su inventor. Se pueden encontrar, de forma sencilla, los primeros números
primos de Mersenne que hay para n inferior a 12. Son: 3, 7, 31 y 127.
3. Tablero de ajedrez, poliminós y cuadrados mágicos
3.1. Poliminós
El primer problema sobre pentominós conocido fue publicado en 1907, escrito por Henry E.
Dudeney y recogido en el libro titulado Canterbury Puzzles, en el que el problema presentado
consistía en encajar los 12 pentominós y un tetraminó 2  2 en un tablero de ajedrez de 8  8.
¿Se puede cubrir un tablero de ajedrez con 21 triminós y 1 monominó? Con triminós en forma
de barra es inmediato. ¿Y con tetraminós en forma de T? Una respuesta es:
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A A A H J
B A H H H
B B G I I
B C G G I
C C G F M
D C F F N
J J K
J K K
I L K
L L L
M M P
M P P
D D E F N N O P
D E E E N O O O
Figura 3
Cuando se utilizan pentominós y se pide cubrir el tablero de ajedrez con los 12 pentominós,
quedan cuatro casillas sin cubrir que se pueden ubicar en el sitio que se quiera: en el centro, en las
esquinas… ¿Cómo colocar los 12 pentominós sobre un tablero de ajedrez de manera que quede sin
cubrir el cuadrado central de 2  2? Los 12 pentominós señalados por las letras: A, B, C…, L, se
pueden colocar así.
A A B B B
A A A B E
K L L L E
K K L
J K L
J K I H H
J I
J J
I
I
B
C
E
E
F
C
C
C
E
C
D
D
D
F D
G F D
I H G F F
H H G G G
Figura 4
Si quedan las cuatro esquinas sin cubrir, una solución es:
A A B
A A B B
A J J J
K J L J
K L L L
K K L H
C C C
B D C C
B D D D
I D E E
I I F E
I I F E
K H H H F F F E
H G G G G G
Figura 5
Un problema muy interesante lo proponen Bernabeu y Fernández-Arévalo (2009) que con los
12 pentominós se formen las figuras de rey, reina, torre y alfil del juego del ajedrez. Se puede aportar
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el perfil de las piezas y que los alumnos vayan recolocando los doce pentominós. La respuesta
propuesta por estos autores es:
Figura 6
3.2. Cuadrados mágicos
Un cuadrado mágico es una disposición de n2 números enteros positivos distintos en forma de
cuadrado, que tiene la propiedad de que la suma de los n números de cualquier fila, cualquier columna
o diagonal, es siempre la misma (Nortes et al., 2014).
6 1 8
7 5 3
2 9 4
Figura 7
El número n de filas y de columnas del cuadrado, se llama orden. La suma de filas, columnas y
diagonales que se mantiene constante, se llama constante mágica. En un cuadrado mágico de orden n,
formado por n filas y n columnas en donde se escriben los n2 primeros números naturales, la constante
mágica viene dada por
n  (n 2  1)
(1  n 2 )  n
, que es el resultado de la suma: 1 + 2 + 3 +… + n2 =
. El
2
2
cuadrado mágico que aparece es de orden 3 y de constante mágica 15.
El cuadrado mágico de Alberto Durero, se consigue a través del método de los nueve bloques,
con el siguiente proceso:
1. Se numeran todos los cuadrados del 1 al 16 consecutivamente de izquierda a derecha y de
arriba abajo.
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2. Se divide el cuadrado en 9 bloques (fig.8):
A B
C
D E
F
G H
I
Figura 8
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Figura 9
Los bloques A, C, G e I son de tamaño 1  1, los bloques B y H son de tamaño 1  2, los bloques
D y F son de tamaño 2  1, y el bloque E es de tamaño 2  2.
3. Se dejan en los bloques alternos A, C, E, G, I los números escritos inicialmente:
4. Los números de los bloques B, D, F y H se sustituyen por los simétricos respecto al centro del
cuadrado y se obtiene un cuadrado mágico. Pero como todo cuadrado mágico da lugar a 8 posiciones,
según que se gire o que se tomen simétricos respecto al centro, el cuadrado mágico de Durero se
obtiene sustituyendo cada número por los simétricos respecto del centro y por último, para que los dos
números centrales de la última línea formaran el año 1514 que fue cuando terminó su grabado
Melancolía, cambió las dos columnas del centro, resultando el cuadrado mágico de la figura 9:
Durero (1471-1528) plasmó en Melancolía el año de su realización 1514, y también en recuerdo
de su amigo Luca Pacioli (1450-1514) teólogo franciscano que enseñó Matemáticas y mantuvo una
gran relación con Leonardo da Vinci y que falleció en dicha fecha.
Figura 10
Utilizando el método anterior se puede obtener un cuadrado mágico 8  8, numerando las
casillas del 1 al 64 de forma correlativa tomando los bloques de las esquinas de tamaño 2  2 (Alegría,
2009), llegando a obtener:
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1 2 62 61 60 59 7 8
9 10 54 53 52 51 15 16
48 47 19 20 21 22 42 41
40 39 27 28 29 30 34 33
32 31 35 36 37 38 26 25
24 23 43 44 45 46 18 17
49 50 14 13 12 11 55 56
57 58 6 5 4 3 63 64
Figura 11
También se puede completar un tablero 8  8, que es mágico (fig. 12):
152 207 30 27 68 75 78 203
47
42
44
45
32
30
27
25
33 31 40 26 38 28 35 29
21 46 20
48 18 41
12 51 13
49 15 56
64 2 57 7 59 5 62 4
1 63 8 58 6 60 3 61
16 50 9 55 11 53 14 52
105 162 57 92 13
58 153 200
29 26 225 136 189 90 69 76
100 51 174 91 184 171 54 15
243 120 23 38 87 52 175 102
138 133 108 45 50 17 232 117
34 25 104 261 114 161 60 81
39 116 119 150 135 216 19 46
Figura 12
Figura 13
O se pueden introducir los cuadrados mágicos multiplicativos, que son similares pero en lugar
de sumar lo mismo filas, columnas y diagonales es ahora el producto. Aquí hay un cuadrado mágico
de orden 8  8 (fig.13). ¿Es aditivo o multiplicativo? ¿Cuánto vale su constante mágica?
Este caso propuesto por Brandreth (1989) nos sorprende porque se puede comprobar que se
trata de un cuadrado mágico aditivo de constante mágica 840. Pero si se prueba multiplicando los
números de una fila o de una columna o de una diagonal se podrá comprobar que en todos los casos
resulta 2 058 068 231 856 000. ¿No es maravilloso?
4. Movimientos: caballo, torre, alfil, rey y reina
4.1. Movimiento del caballo
Un problema que ha apasionado a matemáticos y no matemáticos, es la construcción de los
cuadrados mágicos de orden n. Y un problema que ha intrigado a los ajedrecistas es el problema del
movimiento del caballo, consistente en recorrer con el caballo todas las casillas del tablero sin pasar
dos veces por ninguna de ellas. Euler (1707-1783) logró dar una solución simultánea a ambos
problemas, en donde cada fila y cada columna suma 260, cada fila y columna de cada uno de los
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cuatro subcuadrados de orden 4 suma 130 y tal que en este "tablero mágico" de orden 8 se describe la
ruta del movimiento del caballo por todo el tablero. Warnsdorff en el siglo XIX presentó un método
práctico de construir recorridos y su estrategia consistía en evitar crear fines de trayecto, es decir,
casillas en las que el caballo no pueda continuar, al tener que saltar a una casilla ya visitada. El método
consiste en contar el número de posibilidades nuevas de salto que cada una tiene, moviéndose a la que
tenga el número más bajo de nuevas opciones de salto. Empezando en la casilla a8 (primera de la
primera fila), la solución numérica y gráfica es:
1
30
47
52
48 31
51 46
2 49
29 4
50 33 16 63 18
3 62 19 14 35
32 15 34 17 64
45 20 61 36 13
5 44 25 56 9
28 53 8 41 24
43 6 55 26 39
54 27 42 7 58
40
57
10
23
33
1
18
3
2
4
20
36
64
45
5
21 60
12 37
40
8
59 22
38 11
7
11
Figura 14
A modo de entretenimiento se puede descubrir un mensaje o frase siguiendo los movimientos
del caballo. Empezar por la casilla que aparece LAS y descubrir una cita importante y el nombre de su
autor.
DIOS
BE
AL
QUE SON FA
ES
TO
EL
CAS LAS
CON BIO
CRI MUN
LEO
MA
GA EL
MA
DO
LI
TI
TE
Figura 15
La frase es: “Las matemáticas son el alfabeto con que Dios escribió el Mundo. Galileo”.
Si se sigue el salto del caballo como indica el cuadrado adjunto, se encontrará el cuadrado
hallado por Beberly en 1848 y recogido por Frabetti (1995). ¿Es un cuadrado mágico o semimágico?
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1 30 47 52 5 28 43 54
48 51 2 29 44 53 6 27
31 46 49 4 25 8 55 42
50 3 32 45 56 41 26 7
33 62 15 20 9 24 39 58
16 19 34 61 40 57 10 23
63 14 17 36 21 12 59 38
18 35 64 13 60 37 22 11
Figura 16
Es semimágico, porque las diagonales no suman 260 que es la constante mágica. El recorrido
es:
1
64
Figura 17
Tan popular se ha hecho el completar un tablero siguiendo el salto del caballo, que en febrero
de 2003 un niño de Bavaria de 9 años, llamado Xaver Neuhäusler, causó sensación en el programa de
la televisión alemana “¿Qué apostamos?” cuyo formato consiste en que un grupo de candidatos
propone una serie de pruebas que aseguran ser capaces de superar en directo, delante de la cámara. La
apuesta era que podía completar un recorrido del caballo por el tablero del ajedrez, completamente de
memoria, empezando por cualquier casilla (Población, 2009). Esta fue una de las soluciones que dio:
50 11 24
23 62 51
10 49 64
61 22 9
48 7 60
63 14 37 26 35
12 25 34 15 38
21 40 13 36 27
52 33 28 39 16
1 20 41
59 4 45 8 53 32
6 47 2 57 44 19
3 58 5 46 31 56
54 29
17 42
30 55
43 18
Figura 18
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Guik (2012) propone el Método de Polignac y Roget. ¿Es posible que se intercambien los 64
caballos que cubren un tablero de 8  8 y terminen en una casilla diferente en la que estaban?
Repitiendo cuatro veces el patrón para intercambiar los caballos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8) dos a dos, del
primer cuadrante, se tendrá resuelto:
1
5
2
6
17
2 3 4 9 10 11 12
6 7 8 13 14 15 16
1 4 3 10 9 12 11
5 8 7 14 13 16 15
18 19 20 25 26
21 22 23 24 29 30
18 17 20 19 26 25
22 21 24 23 30 29
27 28
31 32
28 27
32 31
Figura 19
El Método de Punk y Collini, se interpreta de esta forma: Se divide el tablero en una parte
interior formada por 16 casillas (números del 5 al 8) y una exterior formada por 48 casillas (números
del 1 al 4). El caballo comienza su recorrido en la parte exterior, por ejemplo en 1 y la recorre en 11
movimientos y pasa a la parte interior (a 7 u 8) y recorre todas las casillas marcadas con ese número y
pasa de nuevo a la parte exterior donde recorre todas las casillas de un mismo número y así
sucesivamente hasta completar el recorrido. El resultado final es:
1
3
2
4
1
2 3 4 1 2
4 1 2 3 4
1 5 6 7 8
3 7 8 5 6
3 4
1 2
4 3
2 6 5 8 7
3 4 8 7 6 5
2 1 4 3 2 1
4 3 2 1 4 3
3 4
1 2
4 3
2 1
2 1
Figura 20
4.2. Movimientos de la torre
En el juego del ajedrez las casillas se denominan por a1…, a8, b1…, b8…, h1…, h8 que se
corresponden con las coordenadas: (1, 1)…, (1, 8), (2, 1)…, (2, 8)…, (8, 1)…, (8, 8) ¿Es posible que
una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla empezando en la
casilla a1 y terminando en la casilla h1? ¿Y empezando en la casilla c5 y terminando en la casilla h1?
Se muestran dos recorridos:
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Figura 21
Aquí se presentan otros dos recorridos de la torre saliendo de a1, que pasa por todas las casillas
del tablero, en un caso recorrido abierto y en el otro recorrido cerrado:
Figura 22
En el primer caso tiene 14 virajes y en el segundo 15. El número de movimientos supera en uno
el número de virajes. ¿Se podría obtener un recorrido cerrado de la torre que tenga el mayor número
de virajes? ¿Y el menor? El primer recorrido, saliendo de a1, en donde el número de virajes es 56. Y el
segundo con 27 virajes. Ambos de forma cerrada y simétrica respecto al eje horizontal el primero y
respecto al eje horizontal y vertical el segundo. Véase dos soluciones:
Figura 23
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¿Es el segundo itinerario un cuadrado mágico? Se ponen los números en las casillas del
recorrido (1 en a1, 2 en b1, 3 en c1…) y se comprueba que no es un cuadrado mágico. Basta con mirar
la primera y la última fila, para concluir que la suma de filas no da el mismo resultado:
40 39 38 37 36
41 42 43 44 29
48 47 46 45 28
49 50 51 52 21
56 55 54 53 20
35 34 33
30 31 32
27 26 25
22 23 24
19 18 17
57 58 59 60 13 14 15 16
64 63 62 61 12 11 10 9
1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 24
Gardner (1978) propone contar el número de itinerarios que puede realizar una torre situada en
la casilla inferior izquierda hasta llegar a la casilla superior derecha:
1
1
1
1
1
8 36
7 28
6 21
5 15
4 10
1 3 6 10 15 21 28 36
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1
Figura 25
El número es de 3 432 fácilmente deducible ya que girando la tabla a la derecha 135º con centro
el de la tabla, los números coinciden con los del triángulo de Tartaglia.
4.3. Movimientos del alfil y del rey
¿De cuántos movimientos consta el camino del alfil que parte de a1 y recorre el máximo de
casillas de un solo color en el tablero 8  8, sin autointersecciones? Consta de 25 movimientos,
recorriendo 29 casillas, quedando sin visitar c1, d8 y h8 (Guik, 2012). Pero si se quiere que pase por
todas las casillas de un mismo color, se debe eliminar la “no autoinsercción”. Si se parte de a1, los
recorridos son los siguientes:
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Figura 26
Lo forman 17 movimientos y recorre 32 casillas.
Esta poligrafía obtenida por el recorrido del rey negro, (d8) ¿nos puede indicar sobre el tablero
el cuadrado originado? ¿Se trata de un cuadrado mágico?
Figura 27
Es un cuadrado mágico de constante 260.
4
5
53
52
45
3 2 1 64
54 7 8 57
6 55 56 9
51 50 49 16
46 47 48 17
63 62 61
58 11 60
10 59 12
15 14 13
18
44 27 42 41 24 23
28 43 26 25 40 39
29 30 31 32 33 34
19 20
38 21
22 37
35 36
Figura 28
También se puede utilizar el tablero del ajedrez y el movimiento de rey a rey. ¿De cuántas
maneras el rey blanco puede desplazarse hasta la casilla del rey negro? (El rey blanco ocupa la
posición d1 y el rey negro la posición d8).
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357 393 356
90 126 141 126
14 30 45 51 45 30 15
5
4
1
1
10 16 19 16 10
3
6
7
6
3
1
2
3
2
1
1
1
1
4
1
R
Figura 29
De d1 hay 1 camino para ir a c2, a d2 y a e2. Para ir a c3, se puede ir desde c2 y d2, son 2
caminos. Para ir a d3, se puede ir desde c2, d2 y e2, son 3 caminos. Para ir a d4, se puede ir desde c3,
d3 y e3, son 7 caminos. En general, el número de caminos más cortos para llegar a una casilla
determinada es igual a la suma de los números escritos en las tres casillas de la horizontal precedente
desde los cuales el rey puede alcanzar la casilla dada. De esta forma se calcula el número de caminos
más cortos del rey resultado 393 caminos diferentes para que el rey blanco llegue a la casilla del rey
negro.
4.4. Movimientos de la dama
Stewart (2009) presenta el caso de un tablero 8  8 en el que está situada una Dama (D) que
quiere visitar al Rey (R), pero además quiere pasar por el resto de las 62 casillas, deteniéndose solo de
vez en cuando. ¿Qué camino debe seguir hasta llegar al rey pasando por todas las casillas una sola
vez? El número mínimo de movimientos es 15. Este es el recorrido:
R
R
D
D
Figura 30
Partiendo de la posición que ocupa la dama blanca (d1) en el tablero de ajedrez, ¿puede recorrer
todo el tablero y regresar al punto de partida? Una solución es el primer circuito con 27 movimientos.
Y si la dama se encuentra en la esquina inferior izquierda, Frabetti (1995), ofrece esta solución con 14
movimientos:
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Figura 31
El segundo problema más conocido del ajedrez es el problema de las 8 damas o reinas. La
dama se mueve en línea recta por las filas, columnas y diagonales en el tablero. No puede saltar a sus
propias piezas o a las adversarias y captura tomando la casilla ocupada por el adversario. El problema
de las 8 damas consiste en colocar 8 reinas sobre un tablero de ajedrez, de tal modo que ninguna de
ellas pueda capturar a ninguna de las otras en un solo movimiento. Se trata de colocar n objetos en un
tablero de n2 casillas de modo que no haya dos objetos que estén en la misma fila, columna o diagonal.
Un caso más sencillo lo propone Rodríguez (1988), en un tablero 5  5:
Figura 32
En este tablero una casilla de cada columna está ocupada. La descripción de la posición de la
tabla es: 13524. De modo general la situación es la siguiente: a 1a2a3a4a5 donde las letras son los
órdenes de las filas ocupadas en las columnas de la primera a la quinta. Si queremos que no haya dos
casillas ocupadas en la misma fila, no se debe repetir ninguna a i, es: ai  aj si es i  j, lo que permite
120 distribuciones distintas: 5! = 5  4  3  2  1 = 120.
Ahora hay que añadir que no haya dos en la misma diagonal. La recta que une los puntos a i y aj
no debe ser paralela a ninguna de las diagonales del cuadrado. ¿De cuántos modos puede cumplirse
esta nueva condición? Se puede enunciar esta situación bajo dos aspectos:


En términos de ajedrez. Dados un tablero de ajedrez de 5  5 casillas, colocar en él 5 damas de
modo que no se den jaque dos cualesquiera de ellas.
En términos de Geometría. Dados en el plano 25 puntos cuyas abscisas y ordenadas son
enteros y positivos entre 1 y 5 (incluidos éstos) deducir todos los grupos posibles de 5 puntos
pertenecientes a los 25 dados que cumplen con la condición de que la recta que une cada dos
del grupo no sea paralela a los ejes, ni paralela a las bisectrices de los ejes.
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Este problema geométrico fue propuesto (tablero 8  8) para el ingreso en la Escuela Superior de
Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos en 1947 y recogido por Rodríguez (1988).
El problema desde el punto de vista matemático se enuncia así: “Calcular el número de
permutaciones posibles de las 8 primeras cifras naturales con las dos restricciones siguientes: Que dos
cifras consecutivas no se encuentren en el orden natural y que dos cifras no vecinas nunca se hallen en
el orden normal.
El problema de las ocho reinas tiene 92 soluciones, de las que 12 son esencialmente distintas y
el resto se obtienen mediante simetrías y rotaciones. Frabetti (1995, p. 60) establece como las 12
soluciones básicas, las siguientes: 35281746, 37285146, 27581463, 74286135, 35286471, 47382516,
17582463, 71386425, 63185247, 64285713, 47185263 y 37286415. Las cuatro primeras son:
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
35281746
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
37285146
27581463
D
74286135
Figura 33
En cada una de ellas, excepto en la primera, que es simétrica respecto al centro del tablero, se
obtienen 3 más efectuando un giro o rotación R en el sentido contrario de las agujas del reloj (R),
girando 180º (R2) y girando 270º (R3). Las otras cuatro restantes obteniendo sus simetrías S respecto el
centro: S, SR, SR2 y SR3, es decir ocho: I R, R2, R3, S, SR, SR2, SR3. Por tanto: 4 + 11  8 = 92
soluciones.
Maz-Machado y Jiménez-Fanjul (2012) para trabajar patrones proponen una actividad a realizar
con alumnos de Primaria utilizando Alfil, Dama y Caballo, consistente en contar el número de casillas
a las que se puede trasladar cada una de estas piezas siguiendo los movimientos propios y colorear
después con distinto color sobre un tablero dibujado en una hoja de papel que no lleva diferenciadas
las casillas blancas y negras. En el caso de Alfil y Dama utilizando en cada caso el mismo color para
pintar el número de desplazamientos de menor a mayor, los alumnos observarán que el patrón
geométrico es igual, pero el patrón numérico no lo es. Después, se propone la misma actividad con el
Caballo y los alumnos observarán que el patrón geométrico es diferente al de Alfil y Dama. La razón
de esta propuesta es “brindar a los maestros una forma de integrar los elementos del ajedrez en el
aula para apoyar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas” (p. 110).
5. Conclusión
El juego del ajedrez, sin entrar en jugadas ni estrategias para llegar al jaque mate, ofrece un
camino de amplios recursos en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, tanto en matemáticas
escolares como en didáctica de las matemáticas en el Grado de Maestro de Primaria.
En los cinco bloques de las matemáticas escolares se ha utilizado el ajedrez como recurso
didáctico. En el campo numérico con los casos de contar los granos de trigo o la ampliación de un
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tablero o los cuadrados mágicos. En geometría con la descripción de posiciones y movimientos, el
vocabulario geométrico para describir itinerarios, la búsqueda de elementos de regularidad de figuras,
la resolución de problemas geométricos, los giros, las simetrías, el recubrimiento de un tablero con
poliminós...
En la resolución de un problema de matemáticas se requieren y utilizan muchas capacidades
básicas como “leer, reflexionar, planificar el proceso de resolución, establecer estrategias y
procedimientos y revisarlos, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si se ha
encontrado, hasta la comunicación de los resultados” (MECD, 2014, p. 19386). En la resolución de
problemas geométricos utilizando el ajedrez como recurso didáctico puede explicarse a los alumnos lo
que significan los datos, la situación planteada, la estrategia utilizada, el proceso seguido y las
soluciones obtenidas, tanto de forma oral o de forma escrita. Y muchas de las actividades propuestas
en este artículo son actividades de aprendizaje integradas que darán lugar a un avance hacia los
resultados de aprendizaje de más de una competencia.
En las actividades expuestas, se hacen planteamientos de pequeñas investigaciones en contextos
numéricos, geométricos y funcionales, al tiempo que se planifica el proceso de resolución de
problemas, ambos contenidos del bloque 1, que como dice MECD (2014 “el bloque 1 se ha formulado
con la intención de que sea la columna vertebral del resto de los bloques y de esta manera forme
parte del quehacer diario en el aula para trabajar el resto de los contenidos y conseguir que todo el
alumnado al acabar la educación Primaria, sea capaz de describir y analizar situaciones de cambio,
encontrar patrones, regularidades y leyes matemáticas en contextos numéricos, geométricos y
funcionales, valorando su utilidad para hacer predicciones” (p. 19387).
¿Y cómo aplicar un taller de ajedrez? Los problemas planteados deben guardar alguna relación
con la unidad didáctica que se esté impartiendo y seguirán una evolución en cuanto a su nivel de
dificultad, comenzando en las primeras sesiones por casos de ingenio relativamente sencillos que
despierten la curiosidad del alumno para resolverlos sin que les resulten demasiado complejos y
conforme su capacidad reflexiva y analítica vaya progresando se irá profundizando en el nivel de
dificultad de los mismos (Villar, 2011).
¿Y por qué no se ha aplicado con carácter generalizado el ajedrez como recurso didáctico en
Primaria? Pues como indican Maz-Machado y Jiménez-Fanjul (2012) una de las posibles respuestas es
que “los docentes desconocen este potencial y en ocasiones hasta desconocen las reglas de este
juego” (p. 110). Kovacic (2012) tras su estudio comprobó como resultado del proceso de aplicación
del taller de ajedrez que los niños se vuelven pensadores más críticos, resuelven mejor los problemas y
toman decisiones de forma más independiente, llegando a la conclusión de que “deberían instalarse
políticas educativas que promuevan de manera sistemática la práctica y la enseñanza del ajedrez en
las escuelas primarias ya que los efectos positivos en las calificaciones se aprecian con tan solo un
año de participación de los niños en los talleres” (p. 40).
En el Real Decreto 126/2014 (MECD, 2014) se establece que los alumnos podrán cursar una o
varias áreas más en el bloque de libre configuración autonómica y en el caso de la Región de Murcia
(CARM, 2014) en el currículo de Educación Primaria se establece el Área de profundización en
Matemáticas, con asignaturas en 4.º, 5.º y 6.º, con un acercamiento a la parte más lúdica de esta
disciplina, incluyendo juegos de estrategia, juegos de azar, desafíos matemáticos… entre los que se
incluye el ajedrez, indicándose como estándares de aprendizaje evaluables al término de la Educación
Primaria que el alumno “conoce el nombre de las distintas piezas y realiza movimientos adecuados en
ajedrez”.
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Por tanto, los futuros docentes de la enseñanza obligatoria, y en especial los maestros, deberían
de incluir dentro de los recursos a utilizar en el aula el tablero de ajedrez por su adaptación a los
distintos bloques de Matemáticas, así como un taller complementario donde el ajedrez sea parte de una
serie de recursos variados del taller de resolución de problemas que desarrolle la enseñanza del juego
del ajedrez entre los alumnos, porque desarrolla hábitos de trabajo individual, de esfuerzo y de
responsabilidad, aumenta la concentración, desarrolla el pensamiento lógico, la imaginación y la
perseverancia, desarrolla actitudes de confianza en si mismo, sentido crítico, iniciativa personal,
curiosidad, interés y creatividad en el aprendizaje, estrategias y razonamientos de cálculo… objetivos
fundamentales en el currículo de Primaria, encaminados a desarrollar las competencias matemáticas e
iniciarse en la resolución de problemas, y el ajedrez es un recurso didáctico incuestionable.
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Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas (Matemáticas). Universidad de la
Rioja. Recuperado de http://biblioteca.unirioja.es.
Rosa Nortes Martínez-Artero es Profesora Asociada del Departamento de Didáctica de las Ciencias
Matemáticas y Sociales de la Universidad de Murcia. Sus últimos artículos publicados en 2013 han sido:
“Formación de maestros: un estudio en el dominio de las matemáticas” (Profesorado, 17(3)) y “Actitud
hacia las matemáticas en futuros docentes de Primaria y Secundaria” (Edetania, 44). Libros en 2014 con
editorial CCS: “El maravilloso mundo de los números” y “Actividades prácticas de matemáticas y su
didáctica 2” para alumnos del Grado de Maestro de Primaria.
Email: mrosa.nortes@um.es
Andrés Nortes Checa es Profesor del Departamento de Didáctica de las Ciencias Matemáticas y Sociales
de la Universidad de Murcia. Sus artículos y publicaciones están dedicados a la enseñanza-aprendizaje de
las matemáticas y a la formación de futuros maestros. Ha coordinado el Monográfico “Matemáticas y su
didáctica” de la revista Educatio siglo XXI y es coordinador del proyecto “Actividades prácticas de
Matemáticas y su didáctica” en Editorial CCS para alumnos del Grado de Maestro de Primaria.
Email: anortes@um.es
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Vol. 89
julio de 2015
31
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 33-53
Matemagia y su influencia en la actitud hacia las matemáticas en la escuela rural
Raquel Fernández Cézar (Universidad de Castilla La Mancha. España)
Francisco Javier Lahiguera Serrano (Colegio Rural Agrupado Los Sauces de Cañamares. España)
Fecha de recepción: 14 de octubre de 2014
Fecha de aceptación: 19 de diciembre de 2014
Resumen
Este trabajo muestra las conclusiones obtenidas tras varios años de empleo de la magia
como recurso didáctico en las clases de matemáticas en la escuela rural. El proyecto de
innovación ha consistido en recoger la visión de alumnos de segundo ciclo de Educación
Primaria y los maestros que imparten el área de matemáticas tras enviar a ocho colegios
unas actividades de matemática recreativa, trucos matemágicos, y unos principios
metodológicos básicos para su uso en el aula. Para medir el impacto, se remitieron
también unas encuestas dirigidas a los alumnos y otras dirigidas a los maestros que
desarrollaban las actividades. Los resultados nos indican que la matemagia resulta un
recurso didáctico muy interesante para el alumnado de la escuela rural ya que promueve la
curiosidad, la creatividad y el espíritu crítico. También se puede afirmar, que mejoran los
resultados de aprendizaje y el ambiente en las aulas de los maestros que se “atreven” a
usarla.
Palabras clave
Educación primaria, escuela rural, matemáticas, magia, actitudes hacia las matemáticas
Title
Matemagic and its influence on attitudes towards Mathematics in rural schools
Abstract
This report shows the conclusions achieved after several years of using magic for teaching
mathematics in rural schools. It has been collected the perception of second cycle Primary
Education pupils and teachers of mathematics in these schools. The innovative project
consist of sending to eight schools several activities involving magic and mathematics
(matetrucos) as well as indications for the in-class implementation. To measure the
influence it has also been sent a survey to collect the perception of pupils and teachers on
this issue. Our results show that in these rural contexts mathemagic is a good teaching tool
to promote pupils creativity, curiosity and motivation. It can also be stated that with these
activities class atmosphere is relaxed what favors the learning of mathematics.
Keywords
Primary Education, Rural School, Mathematics, Magic, Attitudes towards mathematics
1. Introducción
La Magia ha estado presente en todas las culturas, en ocasiones asociada a la religión y otras
veces a la propia ciencia. Si consultamos a los alumnos sobre el nombre de algún matemático, la gran
mayoría mencionará a Pitágoras. En el momento en que Pitágoras impartía sus enseñanzas, la ciencia
estaba dotada de un ambiente de misticismo, particularmente en su grupo, y la gran mayoría de la
población no conocía por qué ocurrían las cosas. Por tanto, la conclusión más admitida era atribuirlo,
de alguna manera, a la magia. La relación existente entre ciencia, magia y religión ha continuado
manifestándose a lo largo de los siglos de maneras muy diferentes (Meavilla Seguí, 2001).
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Matemagia y su influencia en la actitud hacia las matemáticas en la escuela rural
R. Fernández Cézar. F. J. Lahiguera Serrano
Grandes personajes históricos han experimentado atracción por la magia, pudiéndonos remontar
en las referencias hasta el siglo I d.C. Séneca, en su cuadragésimo quinta carta a Lucilo, describe que
ha visto un fascinante juego en el que unas bolas aparecían y desaparecían bajo unos cubiletes, pero
que, al conocer cómo se hacía el truco, este perdió todo su interés (Alegría y Ruiz, 2002). El filósofo,
nos indica la esencia de por qué los juegos de magia nunca deben explicarse (Blasco, 2007).
Aunque a simple vista las matemáticas y la magia parezcan disciplinas totalmente distintas,
tienen bastantes cosas en común y pueden llegar a ser complementarias. La descripción del primer
juego de magia del que se tiene constancia escrita lo tenemos en el manuscrito “Viribus Quantitatis”
(“Sobre el poder de los números”) del matemático italiano Luca Pacioli, amigo y colaborador de
Leonardo Da Vinci (Meavilla Seguí, 2001). En él aparecen ya juegos de magia numérica, puzles,
jeroglíficos, enigmas y problemas matemáticos. Además, este libro no solo muestra los trucos, sino
que también indica cómo se deben representar. Fue redescubierto hace tan solo unos años por el
matemático americano David Singmaster (2008).
El primer libro impreso que hace referencia a la magia matemática “De Subtilitate rerum”, data
del siglo XVI y su autor es el médico, astrólogo, filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano.
Obras posteriores mezclan con armonía Matemáticas, Física, Química y Magia, siendo destacado el
titulado “Recréations Mathématiques et Phisiques” escrito por Jaques Ozonam: en su primera edición,
además de juegos científicos, incluye juegos de magia (Meavilla Seguí, 2001).
En España se tienen las primeras referencias de “juegos matemáticos de adivinación” en tres
manuales sobre “Recreaciones Matemáticas” registrados en los siglos XVI y XVII, cuyos autores
fueron J.B. Corachán (matemático, físico y astrónomo valenciano), Pérez de Moya (profesor de
matemáticas en Salamanca y canónigo de la catedral de Granada) y Marco Aurel, quien a pesar de su
origen alemán, ejerció como maestro de matemáticas en Valencia y fue autor del primer libro de
álgebra escrito en castellano (Meavilla Seguí, 2001).
En el siglo XX Charles Dogson (Lewis Carroll) ya realizaba trucos y acertijos numéricos que,
en la actualidad, siguen siendo utilizados por algunos magos en sus espectáculos.
En lo referente a la recopilación de trucos de magia basados en principios matemáticos
(matemagia), son importantes los libros de Martin Gardner (divulgador científico y filósofo
estadounidense). Su libro “Mathematics, Magic and Mystery” editado en 1956, es el primer libro
dedicado totalmente a la magia matemática (Blasco, 2007)
Posteriormente han ido publicándose multitud de libros y artículos en revistas matemáticas y de
educación, en los que se describen trucos de magia apoyados en las matemáticas (Ball, 2006; Alsina,
2008; Capó Dolz, 2009; Molina Fuentes, 2009), muchos de los cuales están recogidos en la web de la
Real Sociedad Española de Matemáticas en el apartado Divulgamat (libros).
Actualmente en nuestro país destacan dos estudiosos y creadores de juegos de ilusionismo que
tienen como fundamento esta ciencia: el Doctor en Ciencias Matemáticas Fernando Blasco (2007), con
un perfil didáctico y divulgador, y el Maestro Juan Tamariz, que además de hacer una magia muy
divertida y ser considerado como uno de los mejores magos del mundo, es un estudioso y creador de
juegos basados en propiedades matemáticas, que en su particular jerga los denomina, juegos
automáticos (1995).
Si tomamos como referencia el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española (RAE),
define la magia como la ciencia o arte que enseña a hacer cosas extraordinarias y admirables; por
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Matemagia y su influencia en la actitud hacia las matemáticas en la escuela rural
R. Fernández Cézar. F. J. Lahiguera Serrano
derivación, podríamos considerar la matemagia, como la ciencia que utiliza las matemáticas, para
realizar cosas extraordinarias y asombrosas.
Los métodos tradicionales de enseñanza de las Matemáticas se caracterizan por una escasa
capacidad de ilusionar a los alumnos y asombrarlos con los números. Y el alumno solo aprende si
“quiere aprender”. Por ello, nuestro trabajo propone como elemento didáctico la matemagia que al
despertar el interés por los trucos (Brancho López, 2000; Capó, 2012), incide en la generación de
preguntas en el alumno acerca del porqué de los resultados y el para qué de las acciones, es decir, les
hace pensar.
2. Descripción del contexto e hipótesis de trabajo
Este trabajo es el resultado de un proyecto de innovación educativa desarrollado por docentes de
8 colegios públicos y 1 concertado de Castilla La Mancha y Madrid, de 2º ciclo de Educación Primaria
(EP), es decir, 3º y 4º curso. Los contextos socioculturales y geográficos de los colegios participantes
son muy distintos entre sí: nivel socio-cultural, económico, posibilidades de realizar actividades
extraescolares, pero tienen en común que pertenecen a un entorno rural. Por ello, se considera que la
muestra es suficientemente representativa y proporcionada para poder inferir algunas conclusiones
para el contexto que queremos estudiar: la escuela rural.
Esta situación inicial se evalúa mediante un cuestionario (Anexo1) que se pasa a los alumnos
tanto antes como después de realizar la innovación educativa. Las valoraciones de los alumnos antes
de realizar dicha innovación nos permiten determinar la situación inicial.
Como se puede ver en la figura 1, la situación de la que partíamos y que nos mueve a plantear
esta innovación educativa es una baja motivación del alumnado de estos colegios hacia las
matemáticas.
Figura 1. Percepción de los alumnos de 3º y 4º cursos de Educación Primaria sobre su clase de matemáticas
Al observar las respuestas de los alumnos a la pregunta 6 del cuestionario, que se muestran en la
figura 2, y tras reunirnos con los docentes de este ciclo que participan en este proyecto, deducimos,
porque ellos y ellas explícitamente lo reconocen, que las clases de Matemáticas se imparten con una
metodología que emplea métodos tradicionales basados en el libro de texto y en la ejecución rutinaria
y mecánica de operaciones, que pone en segundo plano la resolución de problemas, y que no emplea
materiales manipulables, y mucho menos combina el entretenimiento con la adquisición del
conocimiento.
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Matemagia y su influencia en la actitud hacia las matemáticas en la escuela rural
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Figura 2. Respuestas de los alumnos de 3º y 4º de Educación Primaria sobre su clase de matemáticas.
Con toda esta información formulamos la siguiente hipótesis de trabajo:
1. Combinando el juego y la ilusión con los contenidos matemáticos, se logrará captar la
atención de los alumnos y promoveremos un aprendizaje eficaz.
2. La introducción de juegos de matemagia, contribuirá a favorecer la curiosidad, la
creatividad y la motivación de los maestros frente a otras formas de enseñar esta área.
3. Innovación didáctica: Objetivos y metodología
Se trata de un proyecto de innovación educativa seguido por parte de los investigadores que son
a la vez docentes. Por ello enmarcamos esta acción en la metodología de investigación-acción. El
objetivo general de esta innovación educativa es mostrar al alumnado y profesorado las posibilidades
didácticas de la matemagia. Este objetivo fundamental queda concretado en otros 3 objetivos
específicos que son:
1. Diseñar un programa con actividades para incluir en diferentes unidades didácticas.
2. Proponer algunas estrategias metodológicas para desarrollar estas tareas.
3. Determinar los efectos sobre la actitud hacia las matemáticas de alumnado y profesorado
del desarrollo de actividades en las que se relacionan muy directamente las Matemáticas y
la magia.
Para conseguirlo se eligieron las actividades de magia matemática relacionadas principalmente
con números teniendo en cuenta que contribuyeran a desarrollar las competencias básicas incluidas en
el currículo de Educación Primaria vigente en ese momento en España. En la comunidad donde se
realiza el estudio, Castilla La Mancha, el currículo vigente se recoge en el decreto 68/2007, y se
incorpora otra competencia más, la competencia afectiva, relacionada con las actitudes en la
educación, y en concreto también con la actitud hacia las matemáticas. El diseño de nuestras
actividades va especialmente dirigido a actuar sobre esta competencia afectiva, y sobre la competencia
matemática, en los aspectos de esta última que se detallan a continuación:
- Desarrollar hábitos de reflexión, sentido crítico, iniciativa personal, curiosidad y creatividad
en el aprendizaje.
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Matemagia y su influencia en la actitud hacia las matemáticas en la escuela rural
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- Emplear técnicas y estrategias personales para el cálculo mental.
- Explorar diferentes posibilidades y alternativas en la resolución de problemas.
- Utilizar el lenguaje matemático y procedimientos adecuados de cálculo y comprobación de
resultados.
- Desarrollar una actitud de atención, perseverancia y esfuerzo en las tareas propuestas.
- Participar de forma activa en el aprendizaje individual y en grupo.
- Aprovechar la calculadora como instrumento para realizar cálculos complejos y para la
comprobación de resultados.
Estas actividades se enviaron a los 8 colegios participantes junto con una serie de pautas
metodológicas para llevarlas a buen término. La indicación general era que debían integrarse en las
tareas que habitualmente se realizaban en las aulas en las clases de matemáticas en el momento de la
sesión que el docente considerara adecuado y con los agrupamientos que habitualmente trabaje.
La muestra objeto del estudio comprendía 555 alumnos del 2º ciclo de EP, quedando
estructurada de la siguiente forma: 279 niños de 3º y 276 de 4º. También se recoge la opinión de los
30 maestros y maestras que imparten el área en el 2º ciclo mediante cuestionario y entrevistas.
La medida del impacto de esta innovación docente es principalmente cuantitativa puesto que se
han usado escalas de evaluación, y está completada con elementos de tipo cualitativo, pues emplea
también como herramientas la observación y las reuniones mantenidas con los docentes participantes.
El seguimiento de la implementación del proyecto de innovación nos permite ir adecuando el
proceso. Se realiza buscando información relevante que nos ayude a comprender cómo se está
produciendo la enseñanza- aprendizaje y a tomar las decisiones pertinentes en cada fase del mismo.
El patrón de evaluación empleado se lleva a cabo teniendo en cuenta su doble vertiente: la
actitud inicial de los alumnos y la evolución de la misma (proceso de aprendizaje), y el desarrollo de
las actividades (proceso de enseñanza). Se detalla a continuación cómo se ha realizado dicha
evaluación:
 Evaluación de la situación inicial: se realizaron unas encuestas a los alumnos participantes
con el fin de comprobar el interés que les suscitaba esta área, sus experiencias anteriores y
los procedimientos que solían usar sus maestros. Para ello se les pasó una encuesta
compuesta por 6 preguntas de respuesta tipo Likert que puede verse en el anexo 1.
 Evaluación del proceso de implementación (formativa): tiene por objeto localizar las
deficiencias observadas en la propuesta y ejecución de actividades, y valorar las conductas
intermedias de los alumnos para ver si se van alcanzando los objetivos propuestos. En esta
fase, nos centraremos en valorar la práctica docente, utilizando como herramienta fichas de
seguimiento de cada una de las actividades (Indicadores del proceso de enseñanza, Anexo
2.a; Evaluación de la implementación del docente, Anexo 2.b). La parte a. del anexo trata
sobre el alumnado y la b. es la autoevaluación del profesorado. Un aspecto a destacar es la
importancia de compartir las experiencias, para lo cual se determinó que cada compañero
intercambiase información sobre su experiencia con el resto de docentes tras llevar a cabo
cada una de las actividades.
 Evaluación tras la implementación, o sumativa: se realiza con la finalidad de comprobar las
opiniones sobre el proyecto de innovación y el grado de consecución de los objetivos
programados. Para conocer toda esta información, se entregó al final del proyecto a los
alumnos la misma encuesta del anexo 1 para poder comprobar la posible influencia de la
acción. A los maestros se les pasó otra encuesta para que valoraran la innovación y el efecto
en sus alumnos desde su punto de vista (Anexo 3).
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4. Resultados
4.1. Diseño y Actividades propuestas
En el diseño de cada actividad se tienen en cuenta los programas oficiales para Educación
Primaria vigentes en ese momento en España. Estos incluyen las competencias básicas a adquirir con
cada etapa obligatoria de la educación. En la Comunidad de Castilla-La Mancha, además de las 8 que
incluye el currículo estatal (1.Comunicación Lingüística, 2.Matemática, 3.Conocimiento e interacción
con el medio físico, 4.Tratamiento de la información y competencia digital, 5.Social y ciudadana,
6.Cultural y artística, 7.Aprender a aprender, 8.Autonomía e iniciativa personal), se añade una novena,
que se asocia a la inteligencia emocional y afectiva, y es la competencia Emocional. En el diseño de
las actividades se tienen en cuenta las competencias básicas a adquirir por el alumnado, y se
relacionan con los objetivos que les ayudarán a desarrollar dichas competencias básicas.
Objetivo
- Aumentar el interés y apreciar las posibilidades y el dinamismo
de las Matemáticas.
- Desarrollar hábitos de reflexión, sentido crítico, iniciativa
personal, curiosidad y creatividad en el aprendizaje.
- Emplear técnicas y estrategias personales para el cálculo
mental.
- Explorar diferentes posibilidades y alternativas en la resolución
de problemas.
- Utilizar el lenguaje matemático y procedimientos adecuados de
cálculo y comprobación de resultados.
- Utilizar el lenguaje matemático y procedimientos adecuados de
cálculo y comprobación de resultados.
- Desarrollar una actitud de atención, perseverancia y esfuerzo
en las tareas propuestas.
- Participar de forma activa en el aprendizaje individual y en
grupo.
- Aprovechar la calculadora como instrumento para cálculos
enrevesados y para la comprobación de resultados.
Competencias Básicas (C.B.)
2, 3, 5, 6, 7, 8
1, 2, 7, 8
2, 7, 8
2, 7, 8
2, 7, 8
1, 2, 7, 8
1, 2, 5, 7, 8, 9
2, 3, 5, 7, 8, 9
2, 4, 7, 8
Tabla 1. Objetivos perseguidos con el diseño de las actividades y relación con las competencias básicas
(DOCM 68/2007)
Los contenidos quedan presentados tomando en consideración su triple dimensión: conceptos,
procedimientos y actitudes.
Los conceptos que se tratan con las actividades son:
Cifra y número; valor de posición de las cifras; suma, resta y multiplicación; la prueba de la
resta; estrategias de cálculo mental; uso de la calculadora para el desarrollo del razonamiento
matemático.
Los procedimientos son los siguientes:
Comparación de números naturales; lectura y escritura de números; adición y sustracción de
números naturales; aplicación de la prueba de la sustracción; multiplicación de números naturales;
jerarquización de las operaciones combinadas; utilización de paréntesis en las operaciones
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combinadas; aplicación de estrategias personales de cálculo mental; aplicación de las reglas de uso de
la calculadora para la verificación de los resultados de operaciones efectuadas con lápiz y papel;
transmisión oral y escrita de informaciones relacionadas con el proceso de los trucos de matemagia.
Y las actitudes son:
Iniciativa y disposición para utilizar los números en la resolución de las tareas; perseverancia en
la búsqueda de la solución a los juegos propuestos, desarrollo de estrategias personales en el cálculo;
esfuerzo por lograr una presentación ordenada y limpia de los cálculos y resultados; valoración
positiva del trabajo en equipo a la hora de planificar y desarrollar actividades matemáticas; confianza
en las propias habilidades matemáticas; gusto por el rigor en la comunicación de resultados.
Los recursos materiales necesarios para llevar a cabo las actividades son los que se suelen utilizar
en los juegos de magia matemática, y no son específicos de Matemáticas. Los elementos que
empleamos en las actividades propuestas son variados, muy fáciles de conseguir y muy asequibles:
dados, cubiletes, baraja de cartas y dominó. Según las características del grupo al que van dirigidas las
actividades de matemagia, podría resultar interesante utilizar la Pizarra Digital Interactiva (PDI) para
la presentación y el desarrollo de los trucos.
Teniendo esto en cuenta, las actividades que se plantean son 6 (Carrera hasta 50, Dominó
encantado, Predicción misteriosa, La cifra extraviada, Dados encantados y La carta mágica) y se
pueden ver en las tablas 2 a 7, que incluyen el nombre de las mismas, la descripción, explicación,
material necesario y ejemplos de uso, además de los contenidos matemáticos involucrados.
“CARRERA HASTA 50”
Descripción:


Les plantearemos una competición: uno de ellos dirá un número del 1 al 5. A continuación,
nosotros también elegiremos otro número del 1 al 5 y lo sumaremos.
Continuaremos haciendo esto, hasta que uno gane, al llegar a 50.
Explicación:

Siempre ganaremos si, a la primera oportunidad que tengamos, hacemos que el total de la suma,
sea igual a uno de estos números: 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44.
Material necesario
Contenidos matemáticos
trabajados
Ejemplo
Alumno vs Maestro
1
-Ninguno
+
1
→ 2
2 + 4
+
2
→ 8
8 + 2
+
4
→ 14
14 +
+
3
→ 20
3
- Cálculo mental
- Lógica matemática
……………………….
44 +
2
+
4
→ 50
Tabla 2. Matetruco número 1
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“DOMINÓ ENCANTADO”
Descripción:



Les propondremos que elijan una ficha del dominó al azar, sin mostrarla.
A continuación les diremos que multipliquen uno de los números por 5, que sumen 7, que
multipliquen por 2 y que sumen el otro número de la ficha.
Preguntaremos el resultado final
Explicación:

Para adivinarlo no tenemos más que restar 14 de la respuesta, obteniendo un número de dos cifras,
que serán los dos números de la ficha del dominó
Material necesario

Dominó
Ejemplo

6 x 5 = 30 → + 7 = 37

37 x 2 = 74 → + 3 = 77

77 – 14 = 63 → 6 y 3
Contenidos matemáticos
trabajados




Cálculo mental
Propiedades
Doble de un número
Operaciones combinadas
Tabla 3. Matetruco número 2
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“PREDICCIÓN MISTERIOSA”
Descripción:

Escribe en una hoja un número comprendido entre 51 y 99 (ambos incluidos)

Después, suma 75 al número que pensaste.

En el resultado tacha la cifra que esté más hacia la izquierda.

A continuación, al número que nos queda, le sumaremos la cifra que hemos tachado.

Resta este número, al que pensaste al principio.
Explicación:

Siempre nos dará 24
Material necesario
Ejemplo
66

Calculadora
66 + 75 = 141 → 141
41 + 1 = 42
66 – 42 = 24
Contenidos matemáticos
trabajados




Cálculo mental
Valor de posición
Propiedades
Manejo calculadora
Tabla 4. Matetruco número 3
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“LA CIFRA EXTRAVIADA”
Descripción:

Pensarán un número con la cantidad de cifras que quieran, incluso podrán repetirlas.

Cambiarán el orden de las cifras y restarán, el mayor menos el menor.

Del resultado de la resta, tacharán un número cualquiera que no sea 0.

Sumarán las cifras del resultado, obteniendo un número.

Diciéndonos ese número, seremos capaces de adivinar la cifra que tacharon.
Explicación:

Para saber la cifra “extraviada” restaremos el siguiente múltiplo de 9 al resultado que nos dijeron.
Material necesario
Ejemplo
79309 → 99730

99730 – 79309 = 20421
Calculadora
2 + 0 + 4 +1 = 7
9–7=2
Contenidos matemáticos
trabajados





Cálculo mental
Lectura y escritura de
números.
Prueba de la resta
Valor de posición
Manejo de calculadora
Tabla 5. Matetruco número 4
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“DADOS ENCANTADOS”
Descripción:

Tirarán los dos dados, anotando los números que aparecen en las caras superiores.

Multiplicarán el número de la cara superior del primer dado por 5 y le sumarán 12 al resultado.

Calcularán el doble de esa cantidad y le sumarán el número del otro dado.

Para terminar, sumarán 15 al resultado obtenido.
Explicación:

Para averiguar los números iniciales bastará con restar 39 al resultado final.
Material necesario

Ejemplo
Dos dados
6 x 5 = 30 → + 12 = 42
42 x 2 = 84
Contenidos matemáticos
trabajados




Cálculo mental
Doble de una cantidad
Prueba de la resta
Operaciones combinadas
84 + 2 = 86 → + 15 = 91
91 – 39 = 62
Tabla 6. Matetruco número 5
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“LA CARTA MÁGICA”
Preparación:

Guardaremos en un bolsillo, el 5 del palo que escojamos.
Descripción:

Les mostraremos uno de los palos de la baraja y les pediremos que elijan una carta.

Al valor de la carta que seleccionaron, le sumarán el número consecutivo.

Continuaremos sumándole 9 al resultado anterior, para después dividirlo entre 2.

Al número obtenido le restaremos el número de la carta que eligieron.
Explicación:

El resultado siempre será 5.
Material necesario

Ejemplo
Baraja de cartas
7 + 8 =15
Contenidos matemáticos
trabajados


Cálculo mental
Anterior y posterior
15 + 9 = 24 → 24 : 2 = 12
12 – 7 = 5
Tabla 7. Matetruco número 6
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4.2. Pautas para llevar a cabo las actividades propuestas
Las pautas metodológicas son enviadas a los docentes que participan en los colegios y se
muestran a continuación:
Para desarrollar con éxito el programa, conviene tener en cuenta las siguientes leyes mágicas:
 Sólo ejecutaremos un truco cuando está perfectamente preparado.
 Al tratarse de juegos automáticos, es decir, que no necesitan ningún engaño para que
resulten, debemos centrarnos en actuar con confianza y naturalidad, dedicando especial
atención a cuidar la puesta en escena.
 Podemos incorporar algún elemento de atrezzo (barita, pajarita, sombrero…).
 Nunca repetiremos un juego ante el mismo grupo de alumnos, aunque nos insistan, ya que no
quieren volver a verlo, sólo querrán pillarnos.
 Los alumnos sienten especial predilección por los juegos de cartas, por lo tanto, siempre que
sea posible utilizaremos una baraja. Si además, sabemos barajar con cierto estilo y hacer
alguna floritura con las cartas, por sencilla que sea, tenemos la atención y el interés de los
alumnos garantizado.
 Nunca debemos explicar un juego ya que acabaremos con toda el aura de fascinación que
hayamos podido crear. Si alguna vez accedemos a sus comprensibles peticiones,
comprobaremos que los alumnos cambian un “¡Oh, increíble!” por un “Bah… ¡si sólo era
eso!
Como ya se dijo en la metodología, se indica al profesorado participante que las actividades
deben acoplarse a la dinámica habitual de cada aula, con la única condición de llevarse a cabo en
diferentes sesiones para así mantener la magia presente en el tiempo, por ejemplo, un “matetruco” a la
semana. Para cada “matetruco” se emplea una única sesión de clase. La duración de dichas sesiones es
la que los y las docentes tengan determinada en su centro para la clase de matemáticas, que en algunos
casos es de 45 minutos y en otros son más largas puesto que al ser los tutores los que imparten varias
asignaturas dividen el tiempo por tareas en lugar de por materias. Puesto que debe incluirse en la
dinámica de habitual del aula, no se indica a los docentes en qué parte de esa sesión deben incorporar
la magia, y son ellos y ellas los que deciden el momento que mejor encaja con su grupo y con el día
concreto, pues puede variar de unos días a otros. No se indican tampoco agrupamientos concretos del
alumnado, si bien el profesorado participante indica que trabaja los matetrucos en gran grupo.
4.3. Resultados de las encuestas y discusión
4.3.1. Alumnado
Para medir el impacto de la innovación educativa desarrollada, hemos comparado las encuestas
de los alumnos antes y después de desarrollar el proyecto de innovación. Si bien se ha recogido el sexo
del alumnado como uno de los datos de las encuestas, no se ha observado en las comparaciones
ninguna diferencia reseñable, por lo que no se comenta en este trabajo a ese respecto.
Si nos centramos en las respuestas a la primera cuestión, que se ven en la figura 3, se pueden
apreciar diferencias significativas en cuanto a la percepción previa que tenían sobre el área de Matemáticas,
y la impresión que manifiestan tras participar en el proyecto, que es bastante más positiva.
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Figura 3: Comparación de valoraciones de los alumnos de su clase de matemáticas antes y después de la
innovación, donde los números 2, 3 y 4 significan “no tan divertida”, “ni divertida ni aburrida”, y “no muy
aburrida”, respectivamente.
En la gráfica relativa a la pregunta número 4 (ver figura 4) sobre la realización de tareas
relacionadas con las Matemáticas de carácter opcional, observamos que, si bien no es elocuente el
incremento de alumnos que realizan asiduamente actividades, independiente de su carácter voluntario,
si que se aprecia una importante movimiento de alumnos, teniendo como resultado la concentración de
la mayoría en puntuaciones con mayor frecuencia.
Figura 4: Comparación de las actividades de matemáticas que realizan los alumnos antes y después de la
innovación.
La mayoría de los alumnos muestra que les agradan estas actividades que hemos elaborado, que
sienten interés por las mismas y que les gustaría que sus maestros siguiesen utilizándolas para
estimularles a aprender Matemáticas, como muestra la figura 5.
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Figura 5: Respuesta a la pregunta “¿Te gustaría seguir haciendo trucos de magia en la clase de Matemáticas?,
después de la innovación.
4.3.2. Profesorado
Se realizaron varias reuniones con los docentes que participaban en este proyecto de
innovación, pues se consideró necesario compartir experiencias que hicieran el proceso más
enriquecedor tanto para docentes como para el alumnado. En esas reuniones surgieron temas como su
impresión sobre cómo son las clases de matemáticas al juzgar sus propias clases y las de sus
compañeros y compañeras, y concluían que dichas clases se enmarcan en la enseñanza tradicional
basada en rutinas de trabajo, y con la exposición del profesor o profesora como parte inicial.
Reconocían que estas rutinas eran escasamente motivadoras para los alumnos y alumnas. Como para
aprender la piedra angular es “querer aprender”, es importante motivar al alumnado de alguna manera,
y en este caso se opta por la matemagia.
Tras poner en práctica el uso de los trucos, y a pesar de que para el resto de la clase seguían el
mismo esquema, los mismos docentes indicaron un incremento de la atención por parte de los alumnos
y la mejoría de su interés por la clase de matemáticas. Esto se muestra en la figura 6.a.
a)
b)
Figura 6: Valoraciones de los docentes a las preguntas 1 y 2 (anexo 3).
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El aumento en la motivación del alumnado contribuye a aumentar también las ganas de hacer
cosas nuevas del profesorado, y eso es lo que también ponen de manifiesto en las reuniones
mantenidas.
El ítem 2, refleja la percepción de los profesores respecto a la conexión entre el empleo de las
actividades donde se relacionan la magia y las Matemáticas y el fomento de capacidades como la
creatividad, el interés y el trato entre los alumnos (figura 6.b).
Parece que la realización de las actividades propuestas en el programa no ha supuesto a los
maestros un esfuerzo extra, ya que se consultó su opinión, determinando, según evidencia la figura 7,
que la ejecución de estas tareas no requiere una especial laboriosidad. Nos indicaron en las reuniones
que si bien tenían que preparar atrezzos para la puesta en escena de los trucos, y pensar cómo iban a
implementar la actividad de magia, el resultado les animaba a considerar ese esfuerzo perfectamente
compensado por la mejora que experimentaba la actitud de sus alumnos y alumnas.
Figura 7: Valoraciones de los maestros sobre el esfuerzo en la ejecución de los matetrucos
Finalmente, si consideramos la opinión de los y las docentes consultados, queda patente la
utilidad de las actividades propuestas como recurso didáctico, pues prácticamente todos tienen la
intención de seguir valiéndose de la matemagia como elemento dinamizador y motivador en las clases
de Matemáticas (figura 8).
Aunque los docentes consideran el resultado de la innovación muy positivo para la actitud del
alumnado y consideran que redunda en el rendimiento de los alumnos, se plantean no quedarse ahí y
en el futuro seguir mejorando sus clases incorporando otros elementos novedosos que les eviten caer
de nuevo en la rutina.
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Figura 8: Valoraciones de los maestros sobre el uso futuro de la matemagia en sus clases
5. Conclusiones
Los resultados alcanzados son fiables y válidos, por cuanto que plasman lo sucedido en los
colegios que han colaborado y la opinión de los agentes participantes en el contexto que se estudia que
es el entorno rural. Sin embargo, las conclusiones deberían considerarse como lo que son, obtenidas
con una muestra representativa, pero no trascendente, ya que la población consultada es de 585
personas (555 alumnos y 30 maestros). Este es un número significativo, pero no nos permite obtener
conclusiones generalizables a todos los entornos, aunque creemos que sí extrapolables a otros
contextos similares.
No hemos apreciado diferencias reseñables en la respuesta de alumnado de distinto sexo.
En cuanto a los objetivos propuestos se han cumplido los tres puesto que se ha diseñado un
programa con actividades para incluir en diferentes unidades didácticas; se han propuesto a los
docentes algunas estrategias metodológicas para desarrollar estas tareas; y se han determinado los
efectos sobre la actitud en relación con las matemáticas de alumnado y profesorado.
Las hipótesis planteadas en este trabajo, que eran dos, las consideramos probadas pues se ha
constatado que en este contexto de escuelas rurales, combinando el juego y la ilusión con los
contenidos matemáticos, se logra captar la atención de los alumnos y se promueve un aprendizaje
eficaz, y que la introducción de juegos de matemagia también contribuye a favorecer la curiosidad, la
creatividad y la motivación de los maestros frente a otras formas de enseñar esta área, pues no ven
difícil su aplicación.
Querríamos destacar en relación a las actitudes hacia las matemáticas alumnado y a la manera
de enseñar matemáticas del profesorado, lo siguiente, pues por nuestra experiencia podríamos decir
que no se circunscribe al entorno rural sino que está relacionado con la enseñanza de las matemáticas:
 Las actividades de matemagia tienen varias y diversas posibilidades didácticas y llevándolas
a cabo con una metodología como la propuesta, contribuyen a promover la curiosidad,
fomentar la motivación y mejora la aptitud de los niños frente a las Matemáticas.
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 Aplicar estas actividades a la realidad de las aulas es una tarea bastante sencilla y no supone
un esfuerzo extra para el docente.
 Combinando el juego, la diversión y la ilusión, con los contenidos matemáticos, se logra
captar la atención de los alumnos y se consigue que “quieran aprender”
Se persigue poder seguir con el estudio en otras áreas de didáctica de matemáticas como puede
ser la geometría.
Bibliografía
Alegría, P. y Ruiz, J.C. (2002). La matemagia desvelada. Suma, 26, 145-174.
Alsina, C. (2008). Vitaminas matemáticas. Cien claves sorprendentes para introducirse en el
fascinante mundo de los números. Barcelona: Ariel.
Ball, J. (2006). Alucina con las mates. Madrid: SM.
Blasco Contreras, F. (2007). Matemagia. Madrid: Temas de Hoy.
Brancho López, R. (2000). El gancho matemático. Actividades recreativas para el aula. Granada: Port
Royal.
Capó Dolz, M. (2009). 100 problemas de ingenio para primaria. Madrid: CCS.
Capó, M.C. (2012). Magia Matemática. Barcelona: Ediciones B.
Divulgamat (libros) (sf). http://www.divulgamat.net/ . Recuperado el 12 de septiembre de 2014.
Gardner, M. (1956). Mathematics, Magic and Mistery. New York. Dover Publications Incorporation.
Meavilla Seguí, V. (2001). Historia de las Matemáticas: algunos ejemplos de magia numérica
extraídos de viejos libros. Zaragoza: Eureka.
Molina Fuentes, I. (2009). Magia Ines… plicable. Madrid: Aguilar
Singmaster, D. (2008). De Viribus Quantitatis by Luca Pacioli, the First Recreational Mathematics
Book. En Tom Rodgers & A K Peters (ed) A Lifetime of Puzzles, 77–122. CRC Press.
DOI: 10.1201/b10573-9
Tamariz, J. (1995). EL mundo mágico de Tamariz. Madrid: Ediciones del Prado.
Normativa:
Decreto 68/2007 de 29-05-2007 por el que se establece y ordena el currículo de la Educación primaria
en la Comunidad Autónoma de Castilla La Mancha.
Ley Orgánica de Educación 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE).
Raquel Fernández Cézar. Dpto de Matemáticas, Universidad de Castilla La Mancha, Facultad de
Educación de Toledo. Área de didáctica de matemáticas; investigación en materiales alternativos para
la enseñanza de las matemáticas de manera interdisciplinar.
Email: Raquel.fcezar@uclm.es
Francisco Javier Lahiguera Serrano, maestro de Educación Primaria. Graduado en Educación Primaria
y en Educación Física. CRA Los Sauces, Cañamares, Cuenca.
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Anexo 1: Encuesta para alumnos
Cuestionario en relación con las matemáticas
Soy chica
□
Soy chico
□
Tengo………… años y voy a…...…….. curso.
Estudio en el colegio ……………………………….............………… de …….………….....…..
Sobre mis clases de Matemáticas puedo decir lo siguiente:
1. ¿Cómo es la clase de Matemáticas?
1
2
Divertida
No tan divertida
□
3
Ni divertida ni
aburrida
4
5
No tan aburrida
Aburrida
2. Me gusta la clase de Matemáticas más que otras clases
SI
□
NO
□
3. Las cosas que aprendo en la clase de Matemáticas me sirven para la vida fuera de clase.
SI
□
NO
□
4. Realizo en casa actividades de Matemáticas, aunque no tenga la obligación de hacerlas
1
Siempre
2
Casi siempre
3
A veces
4
Casi nunca
5
Nunca
5. Me gustaría tener más actividades de Matemáticas en mi colegio
SI
□
NO
□
6. En mi colegio me enseñan Matemáticas con juegos y magia
SI
□
A veces
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
□
NO
□
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Anexo 2. Indicadores del proceso de enseñanza-aprendizaje
A. Indicadores del proceso de aprendizaje (A rellenar por el maestro/a)
Alumno
Curso
SÍ
1
Indicadores
2
3
4
NO
5
¿Mantiene una actitud positiva ante las actividades planteadas?
¿Participa activamente en el desarrollo de las tareas?
¿Comprende y sigue las indicaciones para realizar los trucos?
¿Aplica convenientemente las operaciones necesarias y comprueba
el resultado obtenido?
¿Utiliza ordenadamente el lenguaje numérico cuando participa en
las puestas en común?
¿Maneja estrategias personales de cálculo mental?
¿Explora distintas posibilidades y afronta con autonomía las
situaciones problemáticas y se esfuerza por superarlas?
OBSERVACIONES:
B. Indicadores del proceso de enseñanza: autoevaluación del maestro/a
MATETRUCO 1
Indicadores:
SÍ
NO
Mejora
¿He respetado los principios metodológicos sugeridos?
¿He desarrollado la actividad de una forma lúdica y
motivadora?
¿He cuidado la puesta en escena de los trucos con el fin de
hacer la actividad más divertida?
¿He conseguido crear un ambiente de ilusión para
desarrollar las tareas?
¿Siguen los alumnos las indicaciones con interés y
atención?
¿El agrupamiento elegido y la organización del aula son
los más adecuados para el desarrollo de la actividad?
OBSERVACIONES:
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Vol. 89
julio de 2015
NÚM E R OS
Matemagia y su influencia en la actitud hacia las matemáticas en la escuela rural
R. Fernández Cézar. F. J. Lahiguera Serrano
Anexo 3: Encuesta para maestros
Cuestionario sobre posibilidades didácticas de la matemagia
Soy maestro del colegio …………………………...............……………… en ….............….…………
1. Durante las clases en las que he utilizado matemagia, los alumnos están atentos y muestran más interés
1
Siempre
2
Casi siempre
3
A veces
4
Casi nunca
5
Nunca
2. Observo que estas actividades fomentan la creatividad, la curiosidad, la motivación y la relación
entre ellos
1
Siempre
2
Casi siempre
3
A veces
4
Casi nunca
5
Nunca
3. Realizar los trucos propuestos me ha supuesto un esfuerzo extra o una preparación especial
1
Casi nada
2
Poco
3
Algo
4
Bastante
5
Mucho
4. Tras la realización del programa ha mejorado el nivel de los alumnos en el área
SI
□
NO
□
Alguno/as
□
5. En el futuro seguiré empleando la matemagia como recurso didáctico
1
2
3
4
Seguro
Casi seguro
No sé
Casi nunca
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
5
Nunca
julio de 2015
53
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 55-68
Aspectos Históricos del Cálculo de Leibniz: Incidencia y Aplicación en la
Didáctica de las Matemáticas
Carlos Rondero Guerrero
Aarón Reyes Rodríguez
Juan Alberto Acosta Hernández
(Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo. México)
Fecha de recepción: 7 de octubre de 2014
Fecha de aceptación: 19 de diciembre de 2014
Resumen
El propósito de este trabajo consiste en identificar algunos aspectos didácticos que se
pueden obtener con base en el análisis de una red conceptual cuyo eje es la relación que
existe entre las variaciones locales y la variación global de los elementos de una sucesión
finita de números reales, a la cual denominamos Relación Fundamental del Cálculo
Leibniziano. Desde una perspectiva histórica-epistemológica, se identifican algunos
elementos conceptuales que aparecen al analizar una red de conceptos, que se derivan del
principio de identidad, considerado por Leibniz como el origen de las matemáticas.
Argumentamos que la Relación Fundamental constituye un referente epistemológico
importante, ya que es una idea que permite articular y extender algunas propiedades de
los números para comprender las ideas centrales del cálculo diferencial e integral.
Palabras clave
Principio de identidad, Referente epistemológico, Didáctica, Conocimiento matemático
para la enseñanza, Cálculo diferencial e integral
Title
Historical aspects of the Leibnizian Calculus: Incidence and Applications in
Mathematics Education
Abstract
The aim of this paper is to identify some didactical aspects that can be obtained based on
the analysis of a conceptual network around the relationship between local and global
variations of elements of a finite sequence of real numbers, which we call the
Fundamental Relation of Leibnizian Calculus. From a historical-epistemological
perspective, we identify some conceptual elements that are derived from the principle of
identity, which was considered by Leibniz as the origin of mathematics. We argue that
the Fundamental Relation is an important epistemological referent, since it is an idea that
can articulate and extend some properties of numbers to understand the main ideas of
differential and integral calculus.
Keywords
Principle of identity, Epistemological referent, Didactic, Mathematical knowledge for
teaching, Differential and integral calculus
1. Introducción
El conocimiento matemático para la enseñanza (CME) es una clase particular de conocimiento
pedagógico del contenido (Shulman, 1986) que va más allá del contenido disciplinar y está integrado
por los saberes que distinguen al profesor de otros profesionales que hacen uso de las matemáticas. Es
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Aspectos Históricos del Cálculo de Leibniz: Incidencia y Aplicación en la Didáctica de las
Matemáticas
C. Rondero, A. Reyes, J. A. Acosta
el conocimiento acerca de la disciplina que el profesor necesita para enseñar, pero que muchos adultos
u otros profesionales no necesitan regularmente; por ejemplo, el conocimiento de por qué funcionan
los algoritmos usuales para sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros o racionales; la
capacidad para analizar cómo los estudiantes entienden la relación entre el perímetro y área (Ball,
Thames y Phelps, 2008), o el conocimiento acerca de cómo diversos contenidos matemáticos se
articulan y conectan.
El CME incluye formas de representar a las ideas matemáticas de modo que éstas sean
comprensibles para otros, así como un entendimiento de aquello que hace que el aprendizaje de un
concepto o procedimiento matemático sea fácil o difícil para los estudiantes. Es decir, el CME está
integrado por los conocimientos y habilidades útiles para la enseñanza de las matemáticas,
entendiendo por enseñanza todo aquello que un profesor hace para favorecer el aprendizaje de los
estudiantes durante los procesos de planeación, interacción en el aula y evaluación (Ball, Thames y
Phelps, 2008).
En este contexto, argumentamos que el conocimiento de referentes epistemológicos (RE), así
como del análisis de la red de ideas en torno a los mismos, constituyen un elemento central del CME
que debieran incluir en su formación los profesores de matemáticas. En este trabajo, referente
epistemológico se entiende como una idea o concepto matemático que constituye la base para
establecer nuevos conocimientos, o bien, ideas o conceptos que pueden extenderse a otros ámbitos,
integrando de esta forma una red conceptual de significados. Un referente epistemológico se puede
pensar como el centro de un entramado en el cual se sustenta la estructura de conceptos construida en
torno a ese elemento central. O bien, en otro sentido, el referente epistemológico es de origen un saber
sabio a través del cual se va entretejiendo una red de saberes enseñables.
Un ejemplo claro de referente epistemológico es el Teorema de Pitágoras, dado que este
teorema es la base para el desarrollo de la geometría, la trigonometría y la geometría analítica. En esta
última área de las matemáticas las ideas centrales se construyen a partir del concepto de distancia entre
dos puntos, el cual a su vez se basa en este teorema. Decimos entonces que el teorema de Pitágoras es
un referente epistemológico para la geometría analítica, o que la geometría analítica tiene como
referente epistemológico al Teorema de Pitágoras. Otro ejemplo de referente epistemológico lo
constituye la relación entre lados de un triángulo y muchas ideas análogas a la desigualdad del
triángulo para números reales (Figura 1). Los ámbitos de desarrollo de la desigualdad del triángulo son
muy amplios, en la figura1 se muestran además, la desigualdad entre las normas de vectores y la que
corresponde a desigualdad de integrales definidas de funciones continuas.
f, g funciones reales continuas
x, y
V espacio vectorial
a, b
Figura 1. Red de conceptos en torno a una relación entre los lados de un triángulo.
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NÚMEROS
Aspectos Históricos del Cálculo de Leibniz: Incidencia y Aplicación en la Didáctica de las
Matemáticas
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El objetivo de este artículo consiste en mostrar que la Relación Fundamental del Cálculo
Leibniziano (abreviada en adelante como RFCL) es un referente epistemológico para el cálculo
diferencial e integral, mediante una reflexión de las implicaciones didácticas de este resultado apoyada
en una perspectiva histórica-epistemológica.
Adoptar una perspectiva histórica para llevar a cabo una reflexión didáctica resulta relevante, ya
que la historia de las matemáticas juega un papel de gran importancia dentro de la educación
matemática (Fauvel, 1991; Laubenbacher y Pengelley, 1996; Rickey, 1997), porque entre otros
aspectos, puede apoyar a una mejor comprensión de los conceptos o ideas, además de situar a los
nuevos conocimiento en el contexto amplio de la disciplina (Rickey, 1996) y en el de la cultura
humana. Por otra parte, la historia de las matemáticas puede enseñarnos cómo enseñar (Avital, 1997) y
por esta razón los profesores deberían ser capaces de analizar el desarrollo histórico de las
matemáticas, en busca de ideas de alto valor pedagógico.
En este contexto, consideramos que la RFCL es una idea de gran valor pedagógico, como
trataremos de mostrar en este trabajo. Baron (2003) y Serfati (2014) refieren que Leibniz derivó la
RFCL a partir de la idea de que “cada cosa que posee magnitud es igual a sí misma”, es decir, A=A, la
cual es denominada la propiedad de identidad, que para Leibniz es “el origen de los orígenes”. Este
principio de identidad, desde el punto de vista lógico podría parecer irrelevante o trivial, sin embargo,
la genialidad de Leibniz radica en que a partir de este hecho pudo extraer consecuencias matemáticas
no triviales, de la siguiente forma:
A=A
A-A=0
A-A+B-B+C-C+D-D+E-E=0
A+(B-A)+(C-B)+(D-C)+(E-D)-E=0
(B-A)+(C-B)+(D-C)+(E-D)=E-A
Con base en este desarrollo algebraico, Leibniz hace ver que dada una sucesión finita de
magnitudes, la suma de las primeras diferencias de términos consecutivos de la sucesión original es
igual a la diferencia entre el último y el primer término de la sucesión. No cabe duda de que una vez
extraída e identificada la relación fundamental, ésta se convierte en el eje central de la construcción
que Leibniz hace del cálculo, viéndose reflejada en muchos de sus desarrollos matemáticos, es decir
que el cálculo de Leibniz tiene su origen en la teoría de las sucesiones numéricas. Entonces, los
conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal desarrollado por Leibniz pueden entenderse como
una extrapolación al ámbito de lo infinito de los conceptos y resultados obtenidos a partir del análisis
de las sucesiones finitas (Bos, 1974; Mancosu, 1996; Bos, 1980; Serfati, 2010, 2014).
En otros términos, la RFCL expresa que dada una sucesión finita de números reales
a0, a1, a2,, an, la suma de todas las diferencias d k  ak  ak 1 , es igual a la diferencia entre los
términos extremos de la sucesión original, es decir:
n
d
k 1
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k
 an  a0 .
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De acuerdo con Bos (1980), esta es una de las dos ideas fundamentales en las que se basa el
cálculo de Leibniz, junto con el estudio geométrico de las curvas. Como el mismo Leibniz señala, la
consideración de diferencias y sumas en sucesiones numéricas le permitió darse cuenta que las
diferencias corresponden a las tangentes y las sumas a las cuadraturas.
Mihi consideratio Differentiarum et Summarum in seriebus Numerorum
qrimam lucem affuderat, cum animadverterem differentias tangentibus, et
summas puadratuuris respondere. (Leibniz, 1697; citado en Bos, 1974, p. 13).
2. La RFCL y la noción de variación
Dada una sucesión finita de números, se pueden calcular, a la manera como lo hizo Leibniz, las
primeras diferencias de la sucesión de números, es decir, la diferencia de un término con el que le
precede. Se obtiene entonces otra sucesión, en la cual cada uno sus cuyos términos representa una
variación local de la sucesión original.
Sea a0, a1, a2,, an, la sucesión finita de números, entonces la sucesión de primeras
diferencias de términos consecutivos está dada por d1, d2 , d3 , , dn , donde:
d1  a1  a0 ,
d 2  a2  a1 ,
d 3  a3  a 2 ,

d n  an  an1 .
Se puede observar que la suma de la sucesión de diferencias, está dada como la diferencia entre
el valor final y el valor inicial de la sucesión original, es decir:
n
d
k 0
k
 an  a0
.
En esta última igualdad aparecen dos tipos de variaciones, (i) la local, que compara dos estados
contiguos, representada por dk  ak  ak1, y (ii) la global, dada por an  a0 . En otras palabras, la
acumulación de las variaciones parciales es igual a la variación total. Este resultado que
matemáticamente es muy simple, conceptualmente tiene un gran valor en términos didácticos ya que
permite, a partir del análisis local, obtener información acerca del comportamiento global de la
sucesión numérica. Es importante hacer notar que de origen este resultado está en el ámbito de lo
discreto, aunque posteriormente se puede extender al ámbito de lo continuo al considerar a los
números a0 , a1 , a2 , , an como puntos en una recta, de forma que las diferencias dk  ak  ak1
representan las longitudes de los segmentos determinados por los puntos a k y ak 1 . Entonces la
RFCL expresa que la suma de los segmentos de longitud d k es igual a la longitud total del segmento
a0 an (Figura 2).
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Figura 2. Interpretación en el ámbito de lo continuo de un resultado discreto.
La enseñanza tradicional del cálculo se basa esencialmente en la algebrización de las ideas de
variación y cambio, esto significa que existe una conexión indirecta entre la aritmética y el cálculo a
través del álgebra (figura 3a), sin embargo, argumentamos que el establecimiento de una relación
directa entre las ideas aritméticas y del cálculo resulta relevante en términos didácticos (figura 3b),
porque las propiedades de los números y las operaciones aritméticas pueden extenderse de tal manera
que permitan la compresión de las ideas fundamentales del cálculo como lo hizo Leibniz. En otras
palabras el sustento aritmético de la sumas de diferencias, resulta relevante en términos didácticos para
entender mejor cómo está sustentado el cálculo diferencial, particularmente para entender la relación
que existe entre los operadores de derivación e integración, de forma análoga a como la versión
infinitesimal de la relación entre las sumas de diferencias de una sucesión ayudó a que Leibniz
identificara las características esenciales del cálculo.
Álgebra
Aritmética
Cálculo
Diferencial
e Integral
Figura 3a. Relaciones en la aproximación
didáctica clásica al cálculo.
Álgebra
Aritmética
Cálculo
Diferencial
e Integral
Figura 3b. Propiedades de los números como
apoyo didáctico en el entendimiento de las ideas
del cálculo.
Una variante de la RFCL, se puede expresar como:
n
an  a0   d k .
k 1
Aparentemente la relación anterior es una simpleza de despeje algebraico, sin embargo, este
cambio es relevante en términos epistemológicos y didácticos, ya que expresada de esta manera la

RFCL resalta una forma de predicción,
dado que el último valor de la sucesión se puede obtener a
partir del valor inicial y la suma o acumulación de las diferencias o variaciones locales.
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3. Red de conceptos e ideas en torno a la RFCL
Otro ámbito en que aparece la RFCL es el triángulo aritmético (también conocido como
triángulo de Tartaglia o de Pascal) cuando al sumar n términos de una diagonal, los cuales son
diferencias de términos consecutivos de la siguiente diagonal (vistas de izquierda a derecha), se
obtiene el término n-ésimo de la segunda de esas diagonales. Por ejemplo, el resultado de la suma
1+3+6+10+15 = 35 (Figura 4).
Figura 4. Triángulo aritmético.
En la construcción del triángulo aritmético aparece de manera reiterada la relación fundamental
(RFCL). En este triángulo aparecen los números triangulares, 1, 3, 6, 10, etcétera. Se puede observar,
por ejemplo, que el cuarto número triangular (10) es el resultado de sumar los cuatro primeros
números de la diagonal anterior, es decir, los primeros cuatro números naturales: 1+2+3+4=10.
También aparecen los números tetraédricos en la cuarta diagonal del triángulo aritmético, los cuales
son sumas de números triangulares (Figura 5). Por otra parte, los números tetraédricos están
relacionados con sumas de los cuadrados de los números pares y los números impares (Althoen y
Lacampagne, 1991).
Figura 5. Primeros cuatro números tetraédricos.
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Una de tantas aplicaciones de la RFCL es un método para calcular sumas de potencias de los
primeros n números naturales (Spivak, 2010). Para calcular la suma de los cuadrados de los primeros n
números naturales se parte de la expresión:
k  13  k 3  3k 2  3k  1
Particularizando la suma para k  1, 2, 3,...,n y sumando verticalmente se obtiene:
2 3  13  31  31  1
2
33  2 3  32  32  1
2
4 3  33  33  33  1
.
.
.
2
n  13  n 3  3n 2  3n   1
n  13  13  312  2 2    n 2   31  2    n   n
Con base en la igualdad anterior se obtiene que la suma de los cuadrados de los primeros n
números naturales se expresa de la siguiente forma:
12  2 2  3 2    n 2 
n  13  1  n  31  2  3    n 
3
n  3n  3n  1  1  n  3
3





2
nn  1
2
3
 3n 2  3n 

n 3  3n 2  2n  

2


3
2n 3  6n 2  4n  3n 2  3n
6
2n 3  3n 2  n
6
nn  12n  1
6
Un procedimiento análogo se puede aplicar para obtener la suma de potencia m-ésimas de los
primeros n números naturales, a partir de la expresión k  1  k , conociendo la expresión para
la suma de las potencias anteriores. Por ejemplo, la suma de los cubos de los primeros n números
naturales se puede obtener como:
m1
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2 4  14  41  61  41  1
3
2
3 4  2 4  42  62  42  1
3
2
4 4  3 4  43  63  43  1
3
2
.
.
.
n  1
4
 n  4n   6n   4n   1
4
3
2
n  14  14  4 13  2 3  33    n 3   6 12  2 2    n 2   4 1  2    n   n
 n n  12n  1   n n  1 
 4 13  2 3  33    n 3   6
4
n




6


2


Se tiene entonces que:
13  2 3  3 3    n 3 
n  14  1  nn  1(2n  1)  2nn  1  n
4
 4n 3  6n 2  4n  1  1  2n 3  3n 2  n  2n 2  2n  n
4
4
3
2
n  2n  n

4
2
2
n n  2n  1

4
2
2
n n  1

4
n


4


 


 n n  1 


2


2
Otra aplicación de la RFCL, consiste en obtener sumas de números de una sucesión que pueden
escribirse como las diferencias de los términos de una sucesión bien conocida, por ejemplo, dada la
sucesión de los cuadrados de enteros consecutivos an: 1, 4, 9, 16, 25, …, n2, la sucesión de diferencias
es, dn: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, n2-(n-1)2
Considerando la RFCL:
n
d
k 1
k
 a n  a0 ,
se tiene que:
n
d
k 1
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k
 1  3  5  7  9  ...  2n  1  n 2
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Con base en los resultados que se pueden derivar de la RFCL, se puede decir que ésta es un
referente epistemológico, en el sentido de que constituye la base para establecer un nuevo
conocimiento o bien para extender a otros ámbitos ese conocimiento previo. Particularmente la RFCL,
es un referente epistemológico para calcular sumas de potencias de números naturales, lo que
posteriormente se convierte en un método de cálculo. Un análisis detallado de este método da lugar a
establecer relaciones entre diversas ideas matemáticas, entre las que se encuentran las sumas
telescópicas, la consideración de casos particulares, identificación de patrones, y la recursividad, entre
otras.
Es importante resaltar que Leibniz utilizó la RFCL para resolver un problema propuesto por
Huygens en 1672 (Bos, 1980), el cual consiste en encontrar la suma infinita de los recíprocos de los
números triangulares: 1+1/3+1/6+ 1/10+ … .
Leibniz resolvió el problema notando que el recíproco de cualquier número triangular
se puede escribir como la diferencia
2
,
t t  1
2
2
. Entonces, aplicando la RFCL se obtiene el siguiente

t t 1
resultado:
n
2
2
 t t  1  2  n  1 .
t 1
A continuación Leibniz extrapola las propiedades de las sucesiones finitas a lo infinito, el
establecer que cuando el valor de n se incrementa, el término 2/n+1 se vuelve infinitamente pequeño o
nulo, por lo que la serie de los recíprocos de los números triangulares es igual a 2. De acuerdo con
Mancosu (1996), el considerar las ideas anteriores en un contexto geométrico, permitió a Leibniz
explicarse cómo es que los problemas de cálculo de tangentes y de áreas son problemas inversos.
La resolución del problema propuesto por Huygens motivó a Leibniz para estudiar un esquema
amplio de sucesiones de sumas y diferencias, que organizó en el llamado triángulo armónico (Figura
6). En este triángulo las diagonales son sucesiones decrecientes de diferencias sucesivas que
convergen a cero (Bos, 1980; Serfati, 2014).
Figura 6. Triángulo armónico.
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Sólo que en este caso Leibniz obtiene un resultado para las series infinitas de manera que, para
la sucesión infinita dada, b0, b1, b2, b3,. . . , bn, . . ., ahora se puede formar una sucesión de diferencias,
las que se estructuran con cada término menos el que le sigue, esto es:
d1=b0-b1, d2=b1-b2, d3=b2-b1, . . . , dn=bn-1-bn, . . .,
de manera que la suma de diferencias queda expresada como:
n
d
i
 b0  bn ,
i 1
es decir, la n-ésima suma parcial queda expresada como la diferencia entre el término inicial y el
término n-ésimo de la sucesión original, lo cual representa una variante de la RFCL. Si adicionalmente
se cumple la condición de que la sucesión es convergente a cero, esto es:
lim bn  0 ,
n
entonces la serie infinita de las diferencias converge a b0.
Es de hacerse notar que el desarrollo del triángulo armónico se puede extender tanto como se
quiera, de tal manera que los términos de cualquier diagonal forman una sucesión infinita. La
presencia de una sucesión infinita conlleva a preguntarse sobre la convergencia o divergencia de la
misma. Por otra parte, si se observan cada uno de los renglones o de las diagonales, se puede ver que
para cada uno de ellos se cumple la condición:
lim bn  0 .
n

Partiendo del resultado general que hemos obtenido con anterioridad,
d
i 1
i
 b0 , pero
ubicándolo dentro del triángulo armónico, se cumple entonces que la suma infinita de los términos de
cada diagonal, es igual al primer elemento de la diagonal precedente. De donde se desprenden algunos
resultados como los siguientes:
1

2
1

3
1

4
1
1
1


    1
6 12
20
1
1
1
1


  
12
30
60
2
1
1
1
1



20
60 140
3

 lím b0  bn   b0  lím bn ,
a
k 0
k
k 
k 
donde los términos de la sucesión infinita bn corresponden a los de la diagonal anterior en el triángulo
armónico, siendo b0, el primer término y bn el n-ésimo término.
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NÚMEROS
Aspectos Históricos del Cálculo de Leibniz: Incidencia y Aplicación en la Didáctica de las
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Es posible identificar varias relaciones entre los triángulos aritmético y armónico. Los
denominadores de cada elemento de la n-ésima diagonales del triángulo armónico se obtienen al
multiplicar por n, los respectivos elementos de la n+1-ésima diagonal del triángulo aritmético.
Ambos triángulos tienen ámbitos epistemológicos que son muy enriquecedores para la
didáctica. El análisis de los patrones que aparecen en el triángulo armónico, constituyen un
antecedente útil previo al estudio formal de la convergencia o divergencia de las series infinitas. Una
vez más es de resaltar que las propiedades de los números naturales y sus recíprocos son importantes
para entender algunas de ideas centrales del cálculo. Es por ello que es importante rescatar el vínculo
entre lo aritmético y las ideas del cálculo, lo que es sumamente enriquecedor para la didáctica ya que
permite evitar las dificultades de entendimiento que se han reportado acerca de las ideas algebraicas
para del cálculo.
Gran parte de lo aquí mencionado respecto a la RFCL, está enmarcado dentro de lo discreto, sin
embargo vale aclarar que este referente epistemológico es el sustento que le permite a Leibniz hacer el
tránsito a lo continuo. Es decir, pasar de la RFCL,
n
d
k 0
k
 an  a0
, a la relación
 dy  y , que está
expresada en el ámbito de lo continuo.
4. Reflexiones finales
El análisis de una de las ideas centrales del Cálculo de Leibniz han permitido identificar a la
RFCL como un referente epistemológico trascendente para el Cálculo, ya que es un saber que propicia
la articulación y la ampliación de algunas propiedades de la suma de diferencias numéricas que
pueden extenderse al ámbito de lo continuo como un medio para entender diversas ideas
fundamentales en esta área de las matemáticas. Es un hecho que estas ideas están plasmadas en los
desarrollos matemáticos que aparecen en los libros de historia de las matemáticas, sin embargo, la
riqueza conceptual del análisis emerge cuando se lleva a cabo una reflexión didáctica con el propósito
de identificar el valor pedagógico de tales ideas y su posible impacto en los procesos de aprendizaje.
En una sociedad de la información como la actual, el adquirir conocimiento factual, es decir la
memorización de hechos o resultados matemáticos, así como el desarrollo de habilidades algorítmicas
ya no son actividades tan relevante como en el pasado, dada la cantidad de información que se puede
obtener a través de medios como internet o el creciente desarrollo de herramientas (apps) que permiten
realizar operaciones aritméticas o resolver ecuaciones mediante un teléfono celular (La aplicación
Photomath, 2014). En este contexto, algunas de las competencias que más se valoran actualmente en el
mundo del trabajo son la creatividad y la capacidad de innovación.
El currículo más que la memorización de hechos y la mecanización de procedimientos, debería
ofrecer oportunidades a los estudiantes para desarrollar una actitud inquisitiva, es decir una
disposición para formular preguntas sistemáticamente y para resolverlas. En otros términos, el
currículo de matemáticas en una era de la información, debiera fomentar ambientes que permitan a los
estudiantes desarrollar capacidades para movilizar un pensamiento crítico y analítico durante la
resolución de problemas, en otras palabras promover la construcción de habilidades para innovar
(Berger, 2014).
El análisis y estructuración de las redes de ideas y conceptos alrededor de un referente
epistemológico, puede permitir a los profesores el diseñar rutas potenciales de instrucción (Simon y
Tzur, 1994) y determinar diversos niveles o ciclos de entendimiento (Hiebert et al., 1997), que
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Matemáticas
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permitan a los estudiantes abordar los contenidos con diferentes niveles de profundidad. Además,
conocer la estructura que subyace alrededor de diversos referentes epistemológicos puede constituirse
en una herramienta clave para reestructurar el currículo escolar, lo que propiciaría un cambio de
paradigma (Díaz-Barriga y Lugo, 2003) desde un currículo en los que los contenidos se encuentran
agrupados de forma lineal a un currículo con estructura de red, alrededor de uno o varios elementos
centrales, donde se identifiquen diversos ciclos de entendimiento o niveles de profundidad en cada uno
de los niveles escolares. Argumentamos que, en términos cognitivos, conocer estos esquemas de
articulación, de esta segunda perspectiva, tiene una gran incidencia ya que permite construir formas
estructuradas de pensamiento, en lugar de promover la adquisición de un conjunto de ideas sueltas, de
un conjunto de conocimientos factuales desarticulados.
Consideramos que un currículum organizado con base en referentes epistemológicos puede
apoyar para que los estudiantes vean en las matemáticas una disciplina en constante crecimiento y
cambio, producto del esfuerzo y perseverancia humanos, cuyos resultados emergen de un trabajo que
parte de la exploración de relaciones, continúa con la formulación de conjeturas, así como con la
justificación y comunicación de resultados, para pasar a la generalización o planteamiento de nuevos
problemas, actividad que abre nuevas rutas de indagación.
Teorema del binomio
Números figurados
Números
triangulares
Números
combinatorios
Números
tetraédricos
Triángulo armónico
Convergencia de
series
Triángulo aritmético
Sumas de potencias
de números
naturales
n
RFCL
d
k 0
k
 an  a0
Series telescópicas
Fracciones parciales
Variación
Predicción
Explorar
relaciones
Identificar
patrones
Actitud
inquisitiva
Cálculo
Diferencial e
Integral
Generalizar
resultados
Creatividad
e
innovación
Formular
conjeturas
Figura 7. Red de conceptos en torno a la RFCL.
En referencia a la formación de profesores, el acercamiento a una reflexión en torno a los
referentes epistemológicos puede promover en los profesores el desarrollo de una actitud inquisitiva,
es decir la habilidad para hacerse preguntas, tanto matemáticas como didácticas, y buscar información
pertinente para resolverlas.
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En futuros estudios es importante indagar en qué medida cursos de matemáticas o programas de
formación para profesores organizados con base en algún referente epistemológicos, inciden realmente
en las características del conocimiento que estudiantes y profesores construyen. Es decir, si la
organización en torno a referentes epistemológicos puede apoyar la construcción de un aprendizaje
con entendimiento y al desarrollo de la creatividad matemática.
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Carlos Rondero Guerrero. Profesor investigador del Área Académica de Matemáticas y Física de la
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (México). Sus líneas de investigación son la Epistemología
y cognición de las ideas germinales, y la articulación de los saberes matemáticos.
Email: ronderocar@gmail.com
Aarón Reyes Rodríguez. Profesor investigador del Área Académica de Matemáticas y Física de la
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (México). Sus líneas de investigación están centradas en la
resolución de problemas con el uso de las tecnologías digitales y la formación del profesorado de
matemáticas.
Email: aaronr@uaeh.edu.mx
Juan Alberto Acosta Hernández. Profesor investigador del Área Académica de Matemáticas y Física de
la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (México). Su línea de investigación es: La linealidad
como una idea germinal.
Email: acostah@uaeh.edu.mx
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NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 69-85
Una propuesta metodológica para el diseño, gestión y evaluación competencial
de estrategias de resolución de un problema multiplicativo combinatorio
Mireia Artés Juvanteny (Univesitat Autònoma de Barcelona. España)
Edelmira Badillo Jiménez (Universidad de Oviedo. España)
Itziar García-Honrado (Univesitat Autònoma de Barcelona. España)
Laura Morera Úbeda (Univesitat Autònoma de Barcelona. España)
Montserrat Prat Moratonas (Univesitat Autònoma de Barcelona. España)
Fecha de recepción: 4 de diciembre de 2014
Fecha de aceptación: 11 de abril de 2015
Resumen
En este artículo ejemplificamos con un problema de pensamiento multiplicativo
combinatorio la complejidad asociada a los procesos de anticipación, gestión y evaluación
de las estrategias de resolución usadas por alumnos de 8-9 y 11-12 años al resolver un
problema de combinatoria. La definición de los diferentes momentos, previo, durante y
posterior al proceso de resolución, ha sido clave para mostrar aspectos a tener en cuenta
para promover una actividad matemática competencial. Una aportación relevante de esta
propuesta es la atención al proceso de anticipación a la gestión de la actividad matemática
en el aula porque permite a los maestros tener un control de las máximas variables posibles
que facilitan, tanto la toma de decisiones durante la gestión, como la generación de
oportunidades de aprendizaje para sus alumnos.
Palabras clave
Pensamiento multiplicativo, estrategias de resolución, evaluación competencial, primaria.
Title
A methodological proposal for the design, orchestration and competential evaluation.
The study of solving strategies of multiplicative combination problems
Abstract
In this article, we exemplify with a problem of combinatorial multiplicative thinking the
complexity associated with the processes of anticipation, management and evaluation of
problem solving strategies used by 8-9 and 11-12 years old students to solve a
combinatorial problem. The definition of the different moments, before, during and after
the students’ resolution process, has been crucial to show aspects that have to be taken into
account to promote competential mathematic activities. A significant contribution of this
paper is the attention to the process of anticipation of the mathematical activity
management in the classroom, because allows teachers keeping the control about possible
variables that facilitate both taking decisions facing something unexpected that comes up
during the management, as generating learning opportunities for their students.
Keywords
Multiplicative thinking, problem solving strategies, competential evaluation, primary
school.
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Una propuesta metodológica para el diseño, gestión y evaluación competencial de estrategias de
resolución de un problema multiplicativo combinatorio
M. Artés Juvanteny, E. Badillo Jiménez, I. García-Honrado, L. Morera Úbeda y M. Prat Moratonas
1. Introducción
El currículo competencial actual exige a los maestros de primaria el desarrollo de una serie de
competencias profesionales que les permitan diseñar y gestionar en el aula una actividad matemática
basada en procesos para la construcción colectiva de significados (Badillo, Figueiras, Font y Martínez,
2013). Esta situación supone un reto en la enseñanza ya que una variación curricular comporta
cambios en las prácticas matemáticas de aula que buscan el desarrollo de competencias en sus
alumnos. Estos procesos de cambio son complejos porque los maestros no han sido formados según
los nuevos currículos. Esta situación pone de manifiesto dos aspectos clave: (1) la necesidad de la
formación continua del profesorado y, (2) la importancia de proporcionarles recursos que les permitan
asumir la complejidad de las nuevas propuestas curriculares.
En la actualidad, los maestros manifiestan dificultad a la hora de aplicar el currículo por
competencias. Encuentran complejo trasladar la actividad matemática del aula desde una perspectiva
basada en contenidos hacia una perspectiva basada en el desarrollo de procesos matemáticos
(resolución de problemas, comunicación, representación, conexión y argumentación matemática). Esta
dificultad se agudiza a la hora de operativizar en la actividad matemática términos como procesos,
competencias y contenidos matemáticos y, más aún, a la hora de evaluar a los alumnos por
competencias (Sanmartí, 2010).
La preocupación en Cataluña por los resultados negativos en las evaluaciones externas
realizadas a alumnos de cuarto y sexto de primaria sobre la competencia matemática (evaluaciones
diagnósticas, pruebas PISA, etc.) han llevado a promover la adopción de medidas que permitan la
mejora de la calidad del sistema educativo y de los centros, así como la mejora de la actividad docente
del profesorado. En este sentido, desde el Departamento de Enseñanza de la Generalitat de Cataluña se
ha hecho un esfuerzo para ayudar a que los maestros entiendan y apliquen el currículum oficial por
competencias atendiendo a toda su complejidad (MEC, 2006). En concreto, se ha llevado a cabo una
propuesta de despliegue curricular que incorpora las competencias matemáticas específicas de la
etapa, graduadas en tres niveles de consecución, poniendo relevancia en las relaciones entre las
competencias, procesos y contenidos del currículum actual (Burgués y Sarramona, 2013). En este
despliegue, se han definido cuatro dimensiones asociadas con los procesos del currículo: (1)
resolución de problemas; (2) razonamiento y prueba; (3) conexiones; y, (4) comunicación y
representación. Para cada dimensión se definen las competencias con sus gradaciones respectivas y los
contenidos clave relativos a cada competencia. Finalmente, se proporcionan orientaciones
metodológicas y orientaciones de evaluación de cada competencia con ejemplos concretos.
2. Una propuesta para trabajar la resolución de problemas desde una perspectiva competencial
En este artículo nos centraremos en el análisis previo a la gestión en el aula de un problema
matemático y la posterior evaluación del proceso de resolución, por parte de alumnos de tercero y
sexto grado de primaria, basado en el significado de la multiplicación como combinación. Por
cuestiones de espacio, no abordaremos la gestión de los maestros en el aula, pero sí daremos pistas
sobre los elementos e instrumento de anticipación a la gestión, importantes para la generación de
oportunidades de aprendizaje (Morera, 2013).
Para el aprendizaje de los alumnos por competencias, consideramos que el diseño y la gestión
de la clase en la que se va a llevar a cabo la resolución de problemas son claves para que se promueva
la construcción de significados colectivos y la participación matemática de los alumnos. Así, es
necesario un proceso de anticipación de la gestión en aula por parte de los maestros para promover la
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generación de oportunidades de aprendizaje durante las sesiones de clase (Morera, 2013). La Figura 1
muestra nuestra propuesta del proceso para trabajar la resolución de problemas en el aula estructurado
por momentos.
El proceso de anticipación a la gestión de la actividad matemática en el aula permite a los
maestros tener un control de las máximas variables posibles que faciliten, tanto la toma de decisiones
ante los imprevistos durante la gestión del aula, como la generación de oportunidades de aprendizaje
para sus alumnos. Este proceso de anticipación requiere de dos momentos: (1) análisis matemático
previo de la resolución del problema; (2) análisis curricular de los procesos y competencias a evaluar.
Ligados a esta anticipación, son claves los siguientes dos momentos: (3) la gestión en el aula que
promueva la construcción de significados y que genere oportunidades de aprendizaje y, (4) la
evaluación de las estrategias de los alumnos mediante los niveles de desarrollo competencial. Es decir,
el aprovechamiento de las oportunidades de aprendizaje que se han generado puede depender de la
anticipación y gestión que haya realizado el profesor (Morera, Fortuny y Planas, 2012).
Figura 1. Momentos del proceso anticipación, gestión y evaluación actividad matemática en el aula
El primer momento es el estudio previo y consiste en prever y recoger todas las posibles
estrategias de resolución del problema, desde las más simples y concretas hasta las más complejas y
abstractas. Además, también tiene lugar la elaboración del árbol del problema, el cual nos permite
planificar la gestión en el aula para tener más recursos a la hora de saber en qué punto se encuentra el
alumno y proporcionarle los inputs necesarios para asegurar que avanza satisfactoriamente en la
resolución del problema (Morera, Chico, Badillo y Planas, 2012).
El segundo momento consiste en la elaboración de las rúbricas a partir de los niveles de
desarrollo competencial. Según Sanmartí (2010), una rúbrica es una matriz que explicita tanto los
criterios de realización relacionados con la evaluación de una competencia, como los criterios de
resultados que corresponden a los diferentes niveles de adquisición de cada criterio de realización
definido. En este artículo, nos centraremos en el proceso de resolución de un problema de pensamiento
multiplicativo combinatorio (ver Cuadro 1) y en concreto, en el análisis de las estrategias de
resolución específicas para este tipo de problema.
El tercer momento tiene lugar en el aula. Se centra en la comunicación matemática entre los
alumnos y está orquestada por el profesor. Mediante esta participación y el intercambio entre el
alumnado de las diferentes estrategias de resolución, se promueve la construcción de significados
matemáticos colectivos. En este contexto se generan oportunidades de aprendizaje que pueden ser
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aprovechadas por los estudiantes. Este momento es clave, puesto que permite a los alumnos modificar
sus esquemas de conocimiento e incorporar otros nuevos.
Finalmente, el cuarto momento consiste en la evaluación del proceso de resolución del
problema por parte de los alumnos. Las rúbricas permiten evaluar de manera objetiva los niveles de
desarrollo competencial en la resolución de problemas según los diferentes criterios de realización
previamente establecidos. Además, este momento se caracteriza por la ampliación y mejora de las
rúbricas ajustadas a las respuestas y argumentaciones dadas por los alumnos durante el proceso de
resolución (Sanmartí, 2010).
2.1. Un problema de pensamiento multiplicativo
Maza (1991) propone una clasificación de diferentes situaciones multiplicativas que pone de
manifiesto la complejidad y la diversidad de significados del concepto de multiplicación. En el aula de
primaria, la actividad matemática ligada a la multiplicación, en la mayoría de los casos, se centra en el
significado de la multiplicación como suma reiterada y no se contemplan otros significados. El Cuadro
1 muestra el problema de pensamiento multiplicativo seleccionado del proyecto Nrich de la
Universidad de Cambridge (http://nrich.maths.org/frontpage). Se trata de un problema de combinación
entre cantidades para generar otra cantidad (cantidad x cantidad = cantidad) (Maza, 1991; Castro y
Ruiz, 2011). Este significado de la multiplicación está ligado a la combinatoria que, o bien no se
trabaja en el aula de primaria, o bien se desliga del significado asociado a la multiplicación.
“Coge tres bloques de colores diferentes: uno rojo, uno amarillo y uno azul. Haz una
torre utilizando un bloque de cada color. Aquí tienes un ejemplo de torre que tiene el
color rojo en la parte superior, el azul en el medio y el amarillo en la parte inferior.
a) ¿Cuántas torres de tres pisos se pueden hacer con tres colores diferentes?
b) ¿Cuántas torres de cuatro pisos se pueden hacer con cuatro colores diferentes?
c) ¿Encuentras alguna relación entre las construcciones de tres y cuatro colores?
d) ¿Cuántas torres de diez pisos se pueden hacer con diez colores diferentes? ¿Y
con más?”
Cuadro 1. Problema de las torres de colores
El problema se propuso a los alumnos de tercero (8-9 años) y sexto (11-12 años) de primaria de
dos centros de Cataluña durante el primer trimestre del curso 2013/14, con el propósito de observar
similitudes y diferencias entre las estrategias y soluciones dadas por los estudiantes. En ambos casos
se había introducido el concepto de multiplicación, aunque los estudiantes se encontraban en
diferentes niveles de profundización. El grupo de tercero de primaria estaba conformado por 24
estudiantes de la Escuela pública Antonio Machado de Mataró y el grupo de sexto de primaria por 26
estudiantes de la Escuela concertada Salesianos de Badalona. Inicialmente, los estudiantes resolvían de
manera individual el problema propuesto. Para resolver el problema disponían de diferentes tipos de
materiales (multilink, plantilla con la vista frontal de las torres, papel en blanco y colores), los cuales
se proporcionaban a partir de la demanda explícita de los estudiantes durante el proceso de resolución.
Posteriormente, los estudiantes en grupo discutían y elaboraban un protocolo conjunto de resolución
del problema, argumentando las estrategias utilizadas y los resultados encontrados. La sesión acabó
con una puesta en común, en gran grupo, en la que se comunicaban y argumentaban las diferentes
estrategias de resolución consensuadas en los grupos. Por cuestiones de espacio, para ilustrar el
proceso de evaluación competencial de las estrategias utilizadas por los estudiantes, nos centramos en
el protocolo de un caso concreto de cada grupo-clase.
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Figura 2. Estrategias de resolución del problema de las torres
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3. La importancia de la anticipación a la gestión de la actividad matemática en el aula
del problema de las torres de colores
A continuación, mostramos los dos momentos del proceso de anticipación necesario para una
buena gestión de la actividad matemática en el aula. En el primer momento, una vez elegido el
problema, realizamos el análisis matemático previo de las estrategias de resolución del mismo. La
Figura 2 recoge algunas de las posibles estrategias de resolución del problema, organizadas desde la
más simple y concreta, que es la representación gráfica manipulativa mediante el conteo gráfico de
colores ordenados aleatoriamente, hasta la más compleja y abstracta, que es la generalización razonada
aplicando el concepto de factorial. Las estrategias de la Figura 2, surgieron del análisis matemático
previo realizado por la maestra y se han refinado después de observar las estrategias de resolución
usadas por los alumnos.
Para realizar la anticipación de la gestión del aula elaboramos el árbol del problema (Figura 3),
a partir de hipótesis sobre las distintas trayectorias por las que prevemos que pasarán los alumnos.
Para las situaciones en las que los alumnos no resuelvan o no avancen en la resolución del problema,
ofrecemos comentarios (Tabla 1) del profesor, para reconducir al alumno en el proceso.
Comentarios de soporte a los alumnos sobre el problema
C1
C2
C3
C4
C5
Simplificar el problema proponiendo a los alumnos que lo
intenten hacer con dos colores.
Proporcionar a los alumnos material (multilink ilimitado o 3
multilink y una cuadrícula).
Intentar que dibujen y sigan un criterio de ordenación.
Sugerir a los alumnos que ordenen las respuestas a las que
llegan definiendo un criterio. Por ejemplo. Recomendar a los
alumnos que siempre empiecen con el mismo color hasta
agotar todas las combinaciones. Cada vez que encuentren
una combinación, que la pongan al lado de las demás para
favorecer la visualización.
Proponer a los alumnos que encuentren patrones. Por
ejemplo, que busquen la relación entre 2 y 3 colores.
C6
Ayudar a sistematizar la estrategia.
C7
Recomendar a los alumnos que expresen por escrito las
operaciones realizadas.
C8
C8.1: Proponer al alumno que intente argumentar su
solución.
C8.2: Proponer al alumno que revise la generalización de
cuando tenía 4 colores.
Tabla 1. Comentarios de soporte a los alumnos sobre el problema
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Figura 3. Árbol del problema de las torres
En el momento de análisis curricular elaboramos la rúbrica de evaluación, centrada en el
proceso de resolución del problema. En particular, en este artículo, nos centramos en la evaluación de
la competencia 1, propuesta por el Departamento de Enseñanza de la Generalitat de Cataluña:
“Traducción de un problema a una representación numérica y uso de conceptos, herramientas y
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estrategias matemáticas en su resolución” (Burgués y Sarramona, 2013, p. 10). Se diseña una rúbrica
que permite clasificar el nivel competencial de los alumnos referida al problema propuesto (ver Tabla
2). Así, para cada criterio de realización, se han elaborado cuatro niveles de adquisición. Podría
interpretarse que la evaluación competencial se centra en la clasificación de los alumnos en un único
nivel de desarrollo para cada competencia. En la rúbrica que proponemos, no tenemos en cuenta el
nivel 0 correspondiente a la no adquisición de la competencia y definimos los cuatro niveles
atendiendo a una combinación entre el grado de autonomía y la complejidad matemática.
Consideramos que la definición de los criterios de realización y los de resultados permiten: (1) la
disección de cada competencia en criterios evaluables; (2) la conexión entre los distintos niveles; y, (3)
la evaluación más detallada del aprendizaje de los alumnos.
En este artículo no abordaremos la descripción del momento de gestión del problema en el aula
porque nos interesa detenernos en el proceso de evaluación por competencias. Para dar cuenta de la
evaluación realizada mediante la rúbrica presentada en la Tabla 2, mostramos y analizamos algunas
resoluciones de los alumnos.
Criterios de resultados
Criterios de
realización
Identificar los datos
del problema
Representar el
problema
Nivel 1
Nivel 2
Identifica datos
con ayuda
Identifica los
datos, pero no los
interpreta bien.
Representa el
problema con
ayuda.
Representa el
problema
mediante
representación
gráfica/simbólica
desordenada.
Usa estrategias
manipulativas
Usar estrategias
/gráficas de
específicas del
contenido matemático resolución con
ayuda, y no
implícito del
necesariamente da
problema
la respuesta.
Usa el conteo
gráfico/simbólico
en desorden, da la
respuesta y no ve
el patrón.
Explica el proceso
Explicar el proceso de Explica el proceso con ejemplos
con ayuda.
gráficos o
resolución
simbólicos.
Nivel 3
Identifica e
interpreta los
datos, pero no
diferencia los
relevantes.
Representa el
problema
mediante
representación
gráfica/simbólica
ordenada.
Usa la
recursividad
gráfica/simbólica
para dar la
respuesta, pero no
ve el patrón.
Nivel 4
Identifica e
interpreta los
datos relevantes.
Representa el
problema
mediante
representación
numérica.
Usa la
recursividad
numérica para dar
la respuesta y
generaliza el
patrón.
Explica el proceso
Explica el proceso
sin necesidad de
usando lenguaje
ejemplos y con
matemático
lenguaje no
Tabla 2. Rúbrica para la evaluación de la competencia 1 en el problema de las torres
4. Análisis de producciones de una alumna de tercero de primaria: el caso de Ana
En el Cuadro 2 podemos ver cómo Ana resuelve el problema correctamente usando dos tipos de
representaciones acompañadas de una argumentación verbal. Inicialmente elabora una representación
gráfica totalmente ordenada de la situación. Se puede intuir que detrás de esta representación aplica la
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idea de combinación de colores. Sin embargo, la representación analítica asociada a la representación
gráfica, 4x6=24, la interpretamos como una recursividad numérica a través del uso de la
multiplicación como suma reiterada para llegar al número total de combinaciones. Esto puede estar
influenciado por el tipo de situaciones de pensamiento multiplicativo que se trabajan en el aula en este
nivel de escolaridad.
Traducción: “Porque si con las torres pones 1 color todo el rato arriba, debajo pones las mismas
todo el rato hasta que haya 6 columnas y como son 4 colores,
.”
Cuadro 2. Resolución del problema de las torres realizada por Ana
La Tabla 3 corresponde a la rúbrica de evaluación del proceso de resolución de Ana. En el
criterio de realización “Identificar los datos del problema”, la hemos ubicado en un nivel 4.
Consideramos que Ana identifica e interpreta los datos relevantes del enunciado al fijar el mismo color
en la parte superior hasta agotar todas las posibilidades, tal y como sugería el enunciado de manera
muy sutil. En el criterio de realización “Representación del problema”, la situamos en un nivel 3
porque combina dos tipos de representaciones: representa el problema mediante una representación
gráfica/simbólica ordenada, ya que dibuja las torres y las pinta siempre siguiendo su criterio de
ordenación; y, expresa analíticamente la operación multiplicativa (4x6=24) asociada a la
representación gráfica.
En el criterio de realización “Usar estrategias específicas del contenido matemático implícito del
problema”, la hemos ubicado en un nivel 3. Consideramos que Ana se encuentra en una transición
entre una estrategia gráfica-ordenada y una numérica-multiplicativa. Es decir, Ana ve que para obtener
el número de combinaciones totales de torres de cuatro colores debe multiplicar por cuatro el número
de combinaciones de torres de altura tres. Sin embargo, para calcular el número de combinaciones de
torres de altura tres, usa una estrategia gráfica totalmente ordenada para dibujar las seis posibilidades.
En ningún momento de su resolución da evidencias de haber encontrado un patrón.
En el criterio de realización “Explicar el proceso de resolución”, la hemos ubicado en un nivel
4. Aparte de que expresa matemáticamente el resultado usando la multiplicación, se evidencia una
explicación general sin necesidad de particularizar con ejemplos.
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resolución de un problema multiplicativo combinatorio
M. Artés Juvanteny, E. Badillo Jiménez, I. García-Honrado, L. Morera Úbeda y M. Prat Moratonas
Criterios de resultados
Criterios de realización
Identificar
problema
los
datos
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
del
X
Representar el problema
X
Usar estrategias específicas
del contenido matemático
implícito del problema
X
Explicar el
resolución
proceso
Nivel 4
de
X
Tabla 3. Resultados de la evaluación de Ana de la Competencia 1
Si consideramos el nivel de competencia de la alumna de forma general y no asignando un nivel
particular a cada criterio, Ana se encuentra en un nivel intermedio-alto, entre el 3 y el 4. Aunque la
idea de la rúbrica es clasificar por niveles a los alumnos, nos encontramos con que la resolución de
Ana verifica los descriptores de dos niveles distintos, así que no tenemos certezas suficientes para
inclinarnos por uno de los dos niveles. Este caso es muy común ya que el proceso de evaluación está
lleno de imprecisiones y subjetividades, y al pretender clasificar las producciones de los alumnos se
pierden los matices propios de cada individuo. Para un estudio riguroso en un proceso de evaluación
individualizada, forzar la clasificación podría implicar la pérdida de información. Consideramos que
para hacer una evaluación más objetiva y más aproximada al proceso de resolución de los alumnos ha
sido útil el uso de conjuntos borrosos (Zadeh, 1965). Estos conjuntos permiten ubicar al alumno en un
entorno del nivel sin ser necesario realizar de forma precisa esa clasificación, además permiten
diferenciar alumnos en un mismo nivel.
Siguiendo esta idea, proponemos la creación de un conjunto borroso discreto que asigne un
grado de pertenencia entre 0 y 1 a los distintos niveles de evaluación definidos: 0 si no cumple el
criterio, 1 si cumple el criterio y cualquier valor intermedio entre cumplirlo totalmente o no cumplirlo;
por ejemplo, 0.5 si cumple medianamente el criterio. En el caso de Ana, la asignación del nivel 4 en el
primer criterio de realización, corresponde a un grado total de pertenencia (1) porque identifica los
datos explícitos e implícitos del enunciado. Procediendo de la misma forma con los otros criterios, los
resultados para el caso de esta alumna quedan recogidos en la Tabla 4.
A partir de los valores de la Tabla 4, podemos asignar el grado de pertenencia de la alumna para
cada nivel haciendo la media aritmética entre los valores de pertenencia asignados (el 0 implica la no
pertenencia a ese nivel). Así para los niveles 1 y 2 el grado de pertenencia medio es 0 y para los
niveles 3 y 4 el grado de pertenencia medio es 0.5 ((1+1)/4). Matemáticamente este conjunto borroso
se representa por 0/ (nivel 1)+0/ (nivel 2)+0.5/(nivel 3)+0.5/(nivel 4) o abreviadamente, se eliminan
los niveles donde no se verifica. Por lo tanto, el conjunto borroso que representa este caso es el
0.5/3+0.5/4. Si queremos obtener un valor numérico final, podemos hacer uso del Centroide o Centro
de gravedad del conjunto obtenido, que se consigue como el cociente entre la suma de las medias
ponderadas de nivel de todos los criterios y la suma de todos los grados asignados,
(1*4+1*3+1*3+1*4)/(2+2)=3.5. La interpretación de este número sería que la alumna se considera que
está justo entre el nivel 3 y 4.
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Criterios de evaluación
Nivel 1 Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Medias ponderadas de
nivel por criterio
Criterio de realización 1
0
0
0
1
14
Criterio de realización 2
0
0
1
0
13
Criterio de realización 3
0
0
1
0
13
Criterio de realización 4
0
0
0
1
14
Suma por niveles de los
0
grados asignados
0
2
2
(14+13+13+14)/(2+2)
= 3.5
Competencia 1
Tabla 4. Resultados de la aplicación de la lógica borrosa a la evaluación del proceso de resolución de Ana
Los informes de evaluación de los alumnos exigen al profesorado asignar una nota numérica.
Tal y como sugiere Sanmartí (2010) hay el peligro de perder información cualitativa al traducir el
valor de la rúbrica a una nota numérica. Asignar una nota mediante un conjunto borroso nos permite
recoger mucha más información que la que se puede recoger con una nota numérica, ya que permite al
alumno tomar conciencia del nivel de adquisición real en cada criterio de realización.
5. Análisis de producciones de un alumno de sexto de primaria: el caso de Juan
El Cuadro 3 corresponde al proceso de resolución de Juan. Este alumno resuelve correctamente
el problema aunque muestra dificultades en la generalización del mismo. Así pues, la representación
analítica que propone es numérica a través de una descomposición aditiva, pero no llega a la
recursividad numérica a través de una descomposición multiplicativa que era lo esperado, si
atendemos a la riqueza en su proceso de resolución.
Describiendo su actuación podemos indicar que las dos primeras preguntas del problema no
supusieron ninguna dificultad para Juan. En su protocolo escrito comenzó con una representación
gráfica-simbólica (en el caso de 3 elementos, con marcas de colores y en el caso de 4 colores con
letras), que le llevaron a la representación analítica. Respecto al proceso de generalización, dejó
explícita la recursividad aditiva, pero en el cálculo utilizó la multiplicación como suma reiterada, con
lo cual inferimos que se aproxima al cálculo de permutaciones a través del factorial. Consideramos
que no llega explícitamente a usar el factorial por la posible influencia de la representación numérica
aditiva (
) en lugar del uso de una representación multiplicativa que facilite
el paso al factorial (
).
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Traducción: “Se puede combinar seis veces cada color arriba, y como hay cuatro colores hay 24
formas posibles.
Cuadro 3. Resolución del problema de las torres del alumno de 6º
La Tabla 5 corresponde a la rúbrica de evaluación del proceso de resolución de Juan. En los
criterios de realización “Identificar los datos del problema” y “Representar el problema”, lo hemos
ubicado en un nivel 4 de adquisición, puesto que identifica los datos relevantes del enunciado y
justifica el uso de diversas representaciones (numérica, gráfica y simbólica). Para los criterios de
realización “Usar estrategias específicas del contenido matemático implícito del problema” y
“Explicar el proceso de resolución”, también consideramos que está en un nivel 4. Juan identifica un
patrón volviendo hacia atrás cuando se le plantea la generalización del problema. Además, resuelve el
problema de acuerdo con su patrón justificándolo con lenguaje matemático.
Criterios de resultados
Criterios de realización
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Identificar los datos del
problema
X
Representar el problema
X
Usar estrategias específicas
del contenido matemático
implícito del problema
X
Explicar el
resolución
X
proceso
de
Tabla 5. Resultados de la evaluación de Juan de la Competencia 1
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Considerando el nivel de competencia de Juan de forma general, después de evaluarlo criterio
por criterio, podemos ver que se encuentra en un nivel alto. Aplicando la lógica borrosa a estos
criterios de evaluación, asignamos grado 1 a los criterios de realización 1, 2 y 4 del nivel 4, ya que
identifica los datos relevantes del problema, representa el problema mediante representación numérica
y explica el proceso usando un lenguaje matemático correcto. En el caso del criterio de realización 3,
usa la recursividad numérica pero no generaliza el patrón desligándose de la recursividad, por lo cual
le asignamos un grado medio de verificación (0.5). En la Tabla 6 se muestran los resultados del
conjunto borroso del proceso de resolución de Juan, así: 0/1+0/2+0/3+0.875/4. En el nivel 4, la media
aritmética asigna un grado de pertenencia de 0.875 ((1+1+0.5+1)/4). Para asignarle un valor numérico
final, calculamos el Centroide o Centro de gravedad, obteniendo el valor 4, que nos permite ubicarlo
en este nivel de evaluación.
Criterios de evaluación
Nivel 1 Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Medias ponderadas de
nivel por criterio
Criterio de realización 1
0
0
0
1
14
Criterio de realización 2
0
0
0
1
14
Criterio de realización 3
0
0
0
0.5
0.54
Criterio de realización 4
0
0
0
1
14
Suma por niveles de los
0
grados asignados
0
0
3.5
(14+14+0.53+14)/3.5 =
3.5
Competencia 1
Tabla 6. Aplicación de la lógica borrosa a la evaluación del proceso de resolución de Juan
6. Comparativa de estrategias de pensamiento multiplicativo de combinaciones usadas
por los alumnos de tercero y sexto de primaria
Tomando como referencia las posibles estrategias de resolución del problema de las torres
definidas en el proceso de anticipación (Figura 2), a continuación analizamos y comparamos las
estrategias usadas por los alumnos de tercero y sexto de primaria para los dos primeros apartados del
problema que fueron resueltos por la totalidad de los alumnos de ambos grupos. La Tabla 7 muestra el
porcentaje de las estrategias utilizadas por los alumnos para dar el número de torres posibles con tres y
cuatro colores. Es importante resaltar que todos los alumnos resolvieron correctamente estos apartados
del problema usando diferentes estrategias que analizaremos a continuación.
Las estrategias utilizadas por los alumnos para el caso de tres colores son mayoritariamente
manipulativas y sólo un alumno de sexto usa una estrategia analítica. Prácticamente la mitad de los
alumnos de tercero utilizan como estrategia la ordenación aleatoria de los colores, recurriendo a la
recursividad gráfica para encontrar todas las combinaciones posibles. La otra mitad de este grupo
utiliza como estrategia la ordenación cíclica de los colores como consecuencia del uso de material
manipulativo. Por otro lado, un pequeño porcentaje establece un criterio de ordenación mediante la
ordenación parcial de los colores. Es decir, estos alumnos fijan un color en la parte superior hasta
agotar todas las posibilidades. Este mismo criterio de ordenación fue clave para que los alumnos de
tercero, en el apartado de cuatro colores, pudieran llegar a la representación analítica. Para el caso de
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los alumnos de sexto el porcentaje de estrategias usadas es más variado y se reparte mayoritariamente
entre los conteos gráficos ordenados aleatorio, cíclico y parcialmente.
Representación
Gráfica
manipulativa
Analítica
Generalización
(razonada o no)
Estrategia
Conteo gráfico. Colores
ordenados aleatoriamente
Conteo gráfico. Colores
ordenados cíclicamente
Conteo gráfico. Colores
ordenados parcialmente
Conteo gráfico. Colores
ordenados totalmente
Conteo gráfico. Colores
ordenados en bloque
Transición entre gráfica y
numérica aditiva
Transición entre gráfica y
numérica multiplicativa
Recursividad numérica a
través
de
la
descomposición aditiva
Recursividad numérica a
través de descomposición
multiplicativa
Uso del concepto de
factorial
3 colores
4 colores
Tercero
Sexto
Tercero
Sexto
45%
36%
20%
32%
50%
32%
0%
0%
5%
28%
25%
16%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
4%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
55%
32%
0%
0%
0%
20%
Tabla 7. Estrategias de resolución del problema de las torres con 3 y 4 colores (alumnos de tercero y sexto de
primaria)
Atendiendo a la graduación de los contenidos del Currículo de primaria y al nivel madurativo de
los estudiantes, se podría esperar diferencias significativas en las estructuras multiplicativas, activadas
por los alumnos de tercero y sexto de primaria, al argumentar las estrategias usadas en el proceso de
resolución. No obstante, los datos de la Tabla 7 permiten observar que no exhiben diferencias
notables. Por un lado, la mayoría de los estudiantes de cada grupo usan representaciones manipulativas
de conteo gráfico con criterios de ordenación aleatorio, cíclico o parcial (100% tercero y 96% sexto) y
sólo un alumno de sexto de primaria usa una representación analítica que muestra la generalización del
patrón (4%). Esto posiblemente se podría atribuir, por un lado, a que el significado de multiplicación
como combinación de cantidades no había sido trabajado previamente en ninguna de las dos clases; o
bien, a la influencia del uso del material manipulativo proporcionado durante el proceso de resolución
(multilink). Sería interesante, contrastar estos resultados limitando el uso de dicho material para ver su
influencia en la identificación de la regularidad del patrón y/o en su generalización, tanto gráfica
(espacial) y numérica (Radford, 2011), como comparar grupos que hayan tenido una instrucción
previa sobre dicho contenido.
Al aumentar la complejidad del problema para el caso de torres de 4 colores, las estrategias de
resolución se hacen más sofisticadas y aumenta el número de alumnos que lo resuelve de forma
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gráfica ordenada y analítica. Durante la resolución individual del problema con cuatro colores, muchos
de los alumnos empezaron con la ordenación aleatoria de colores, pero al detectar que no les resultaba
una estrategia eficaz, dada la cantidad de combinaciones posibles, acabaron por abandonar la
estrategia.
En la gestión del proceso de resolución son clave los comentarios de soporte que se les dan a los
alumnos (Tabla 1). Para ayudar a los alumnos a la búsqueda de estrategias de conteo ordenado se les
recomendaba que agotaran todas las combinaciones después haber empezado con el mismo color y
que cada vez que encontraran una combinación la sistematizaran o la mantuvieran para favorecer la
visualización (Ver Figura 3, Comentario 4 del árbol del problema). En el caso de los alumnos de
tercero, esta ayuda y el uso del material manipulativo, les permitió encontrar las seis combinaciones
posibles fijando un color en la parte superior y expresar analíticamente la operación multiplicativa
(
), asociándola con la representación gráfica (las veces que puede estar un color en una
posición (6), por el número de colores (4)). De este modo se explica que para el caso de cuatro colores
el 55% de los alumnos de tercero llegan a utilizar la recursividad numérica a través de descomposición
multiplicativa, cuando para el caso de tres colores habían pasado por dos estrategias más, la estrategia
de ordenación aleatoria de colores (la cual acabaron por abandonar vista su poca eficacia) y la
estrategia de ordenación parcial de colores (hecho que les sirvió de transición entre la representación
gráfica y analítica).
Esta ayuda para el caso de los alumnos de sexto, también provoca una mejora en la complejidad
de las estrategias de resolución para torres de cuatro colores. Además, es importante resaltar que a
estos alumnos se les pide además resolver los apartados c) y d) del problema (Cuadro 1), donde se les
plantea buscar las combinaciones posibles para torres de 10 o más colores (Figura 3). Este hecho
puede explicar la aparición, solo en los alumnos de sexto, de estrategias de generalización basadas en
el uso del concepto de factorial (20%).
7. A modo de conclusión
Consideramos que la elección de un mismo problema de pensamiento multiplicativo, poco
trabajado en el aula de primaria, presentado a dos grupos de alumnos de diferente nivel de escolaridad,
nos ha permitido generar un entorno de resolución de problemas desligado de los conocimientos
matemáticos desarrollados previo al momento de la intervención didáctica. El problema seleccionado
y el proceso de anticipación han favorecido una gestión en el aula que promueva la generación de
oportunidades de aprendizaje. Es importante resaltar, que el estudio matemático previo de todas las
posibles estrategias de resolución del problema y la elaboración del árbol del problema nos han
ayudado en la gestión del aula. En particular, en la toma dediciones en relación a la pertinencia o no de
proporcionar recursos necesarios y suficientes para que todos los alumnos pudieran llegar a resolver el
problema y argumentarlo matemáticamente.
Lo anterior nos permite afirmar que para un buen diseño, gestión y evaluación de la resolución
de problemas en el aula hay que tener el control de las máximas variables posibles, saber reaccionar
ante los posibles imprevistos, proporcionar a los alumnos las herramientas necesarias, atender a la
diversidad de ritmos de aprendizaje, poder llegar al máximo de alumnos posibles, comprender el
proceso que han seguido los alumnos (y por consiguiente, saber qué han aprendido realmente). Así, la
anticipación deviene un factor clave para la posterior evaluación por competencias de los alumnos
durante la resolución de problemas.
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El planteamiento de un mismo problema de pensamiento multiplicativo a alumnos de tercero y
sexto de primaria ha puesto de manifiesto que las estrategias utilizadas por los alumnos no son muy
diferentes (niveles de realización) y que los niveles de evaluación son bastante semejantes.
Consideramos que esto posiblemente debe obedecer, por un lado, al hecho de que en el aula de
matemáticas de primaria se trabaja poco o nada la combinatoria ligada al pensamiento multiplicativo
y, por otro lado, la influencia de los materiales y ayudas proporcionadas para la búsqueda asertiva de
estrategias desligadas a un contenido matemático concreto. Solo hemos podido observar diferencias
significativas en la gestión de las ayudas a los alumnos durante el proceso de resolución. Por ejemplo,
los alumnos de tercero han necesitado más tiempo y más materiales manipulativos (multilink, dibujos,
etc.) para poder llegar a resolver el problema. Este hecho quizás ha favorecido que al final sus
producciones hayan evolucionado hasta llegar a ser más precisas y argumentadas que las de los
alumnos de sexto. Aunque por otro lado, los alumnos de sexto han llegado más allá en la
generalización de la solución del problema.
Finalmente, la evaluación de los alumnos por competencias supone un reto actual para los
maestros. Esta evaluación competencial requiere el diseño de instrumentos de evaluación transparentes
y compartidos, entre alumnos y maestros, que permitan dar cuenta de manera objetiva de los procesos
activados y desarrollados por los alumnos en la actividad matemática generada en el aula.
Consideramos que la rúbrica de evaluación no sólo ha sido útil en esta experimentación, sino que es un
instrumento que permite a los maestros dar cuenta de los diferentes niveles de realización de la
práctica matemática y de los niveles de adquisición de la misma.
Agradecimientos: Este trabajo se ha llevado a cabo en el contexto de los siguientes proyectos de
investigación financiados por el Ministerio de Economía y Competitividad de España: EDU201231464. "Análisis de entornos colaborativos de aula desde la perspectiva de su mediación en la
construcción discursiva de conocimiento matemático" y EDU2011-23240. “Momentos clave en el
aprendizaje de la geometría en un entorno colaborativo y tecnológico”.
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Departamento de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals, 08193. Bellaterra
(Barcelona)
Email: mireia.artes@e-campus.uab.cat
Edelmira Badillo Jiménez. Univesitat Autònoma de Barcelona, Campus Bellaterra. Edifici G-5.
Departamento de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals, 08193. Bellaterra
(Barcelona)
Email: edelmira.badillo@uab.cat
Itziar García-Honrado. Universidad de Oviedo. Departamento de Estadística e Investigación Operativa
y Didáctica de la Matemática. Facultad de ciencias, Calle Calvo Sotelo, s/n. 33007. Oviedo.
Email: garciaitziar@uniovi.es
Laura Morera Úbeda. Univesitat Autònoma de Barcelona, Campus Bellaterra. Edifici G-5.
Departamento de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals, 08193. Bellaterra
(Barcelona)
Email: laura.morera@uab.cat
Montserrat Prat Moratonas. Univesitat Autònoma de Barcelona, Campus Bellaterra. Edifici G-5.
Departamento de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals, 08193. Bellaterra
(Barcelona)
Email: montserrat.prat @uab.cat
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 87-110
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
Luis Barrios Calmaestra (Instituto de Enseñanza Secundaria José de Mora. España)
Fecha de recepción: 04 de enero de 2015
Fecha de aceptación: 13 de abril de 2015
Resumen
En el artículo anterior se han calculado las potencias de los números naturales sumando
números impares. En dicho trabajo, se fijaba el exponente y se modificaba la base. En
este nuevo artículo se hace un estudio similar, pero ahora se considera fija la base y se
modifica el exponente, calculando todas las potencias de cada uno de los números
naturales mediante suma de números impares. Además, de la misma forma que se hizo en
el primero, se estudia una distribución de los números impares, utilizados en cada suma,
y también de los no utilizados, en figuras y cuerpos geométricos.
Palabras clave
Divulgación, Aritmética, Números impares, Destrezas, Secundaria.
Title
Odd numbers and the powers of natural numbers II
Abstract
In the previous article, powers of natural numbers were calculated adding odd numbers.
In that article, the exponent was fixed and the base was modified. In this new article, a
similar study was done, but now the base was fixed and the exponent was modified,
calculating all the powers of each natural number adding odd numbers. Furthermore, in
the same way as it was done in the first article, a distribution of odd numbers that were
used in each amount was studied, and other distribution of those unused numbers in
geometric shapes was studied as well.
Keywords
Divulgation, Arithmetic, Odd numbers, Skills, Secondary.
1. Introducción
En (L. Barrios, 2015, pp. 55-74) se expone la forma de obtener las potencias de los números
naturales como suma de números impares consecutivos. En cada uno de los apartados del citado
artículo, se fija el exponente y se modifica la base, calculando todas las potencias de los números
naturales de cualquier base y de dicho exponente. Además se vio que los números impares utilizados
en cada suma se pueden distribuir en figuras y cuerpos geométricos.
En este nuevo artículo se utilizan las fórmulas obtenidas en el primero, pero agrupándolas de
forma diferente, ahora se fija la base y se modifica el exponente. Así que, en cada uno de los apartados
que siguen, figura la forma de obtener todas las potencias naturales de un mismo número natural y su
relación con ciertos objetos geométricos.
Pero, además, se pondrá de manifiesto que, considerando agrupadas por parejas consecutivas
disjuntas todas las sumas que permiten obtener las potencias de un determinado número natural,
pueden observarse regularidades curiosas. Así, para la base 2, las sumas consecutivas presentan
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Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
números repetidos cuya suma, a su vez, se calculará; si la base es 3, los números que integran la suma
de la segunda potencia son los consecutivos de los que aparecen en las sumas de la primera; y, a partir
de base 4, entre ese último sumando y el primero de la suma de la potencia consecutiva, queda una
cantidad cada vez mayor de números impares sin utilizar sobre los que también se efectuará alguna
observación y se calculará su suma.
Cada apartado finaliza con la generalización de las fórmulas obtenidas en los casos particulares.
Se ha considerado conveniente omitir algunas demostraciones rigurosas para aligerar en lo
posible el contenido del artículo.
Hay que indicar que se trata de un estudio original, continuación de (L. Barrios, 2015, pp. 5574), por lo que no ha sido posible encontrar bibliografía, ni referencias en internet, sobre el tema. Se
ha intentado buscar algún artículo relacionado para contrastar lo que aquí se expone, pero no se ha
conseguido encontrar ninguna referencia.
2. Potencias de base 2
Observamos las sumas obtenidas para 22 y 23.
1+3=4=2
2
3+5=8=2
3
2k 1 4 2
2k 1 8 2
En ambas sumas coincide uno de los sumandos, se repite el número 3. La suma de los números
repetidos es 3. Se verifica que:
3
2
2
4
Para obtener 24 y 25, los números impares se disponen formando cuadrados.
2k 1 16 2
2k 1 32 2
Coincide la mitad de los sumandos en las dos sumas. Ambas sumas tienen 2 números iguales, el
5 y el 7. La suma de estos números es 12 = 22·3. Se verifica que:
88
Vol. 89
julio de 2015
NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
2 2
12 4
Para obtener 26 y 27, hay que distribuir los números impares en cubos.
en cada capa se colocan
2k 1 64 2
en cada capa se colocan
2k 1 128 2
También coincide la mitad de los sumandos en las dos sumas. Ambas sumas tienen 4 números
repetidos, desde el 9 hasta el 15. La suma de estos números es 48 = 24·3. Se verifica que:
2 2
48 4
Para las siguientes ya no es posible una distribución de los números impares en objetos
geométricos. Las potencias 28 y 29 se obtienen como:
1 ⋯ 15 17 ⋯ 31 2k 1 2
17 ⋯ 31 33 ⋯ 47 2k 1 2
Coincide la mitad de los sumandos en las dos sumas. Ambas sumas tienen 8 números repetidos,
desde el 17 hasta el 31. La suma de estos números es 192 = 26·3.
192 2 2
4
Y de igual forma sucede con las siguientes parejas:
2k 1 2
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
2k 1 2
Vol. 89
julio de 2015
89
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
Una vez más coincide la mitad de los sumandos en las dos sumas. Ambas sumas tienen 16
números repetidos, desde el 33 hasta el 63. La suma de estos números es 768 = 28·3.
768 2 2
4
2.1. Cualquier potencia de base 2. Expresión general
Para las potencias de exponente par:
2k 1 2
Para demostrarlo, se puede aplicar la suma de los términos de una progresión aritmética:
2k 1 !2 " 1 1 2 " 2 1# " 2 2 " 2 " 2
2
2
2
Para las potencias de exponente impar:
% &
%'(
2k 1 2
$
% $
%'( &
Teniendo en cuenta que:
2) 2)$ 2 2)$ " 2 1 2 2)$ 2
2)$
1
2
2
2
2) 2)$ 2)$ " 2 1 2)$ " 3
3 " 2)$
2
2
2
la fórmula queda de la forma:
"
%'*
2k 1 2
$
%'* &
También la demostración se puede hacer con la suma de los términos de una progresión
aritmética.
El número de términos es:
3 " 2)$
2)$
1 1 2 " 2)$
2)$
90
Vol. 89
julio de 2015
NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
y la suma de los términos:
"
%'*
2k 1 %'* &
!2 " 2$
1 1 2 " 3 " 2$
1# " 2$
2
2$ 2 1 6 " 2$
1 " 2$ 2$ 6 " 2$
" 2$
2
2
2$
" 2 6 " 2$
4 " 2
$ 2
$
2
Aunque este apartado se centra en la obtención de las potencias de 2, se puede apreciar también
una regularidad con los números impares que se repiten en cada pareja de sumas.
2.2. Los números impares repetidos y su suma
En cada pareja de sumas que se ha utilizado, con la primera se obtiene una potencia de
exponente par:
2k 1 2
y con la segunda se obtiene la potencia de exponente impar siguiente, que se obtendría
cambiando m por m+1 en la suma correspondiente a potencias de exponente impar.
"
%,('*
2k 1 %,('* &
"
%'(
2k 1 2
&$ 2
&
+
%'( &
Como 2m-1 es la mitad de 2m, en ambas sumas coinciden 2m-1 términos, desde 2m-1+1 hasta 2m. Su
suma es:
%
2k 1 %'( &
!2 " 2$ 1 1 2 " 2 1# " 2$
2
2 2 1 2& 1 " 2$ 2 2& " 2$
2
2
2 " 1 2 " 2$ 3 " 2
$
3 " 2
$
2
2
También se podía haber obtenido esta fórmula con la otra relación utilizada:
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
91
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
2
2
& 2
1 2
3 " 2
$
4
4
3. Potencias de base 3
Observamos las sumas obtenidas para 32 y 33.
1 + 3 +5 = 9 = 3
2k 1 9 3
2
7 + 9 +11 = 27 = 3
3
2k 1 27 3
Los números impares de ambas sumas son consecutivos.
Para obtener 34 y 35, los números impares se disponen formando cuadrados.
2k 1 81 3
2k 1 243 3
Los números impares de ambas sumas también son consecutivos.
Para obtener 36 y 37, hay que distribuir los números impares en cubos.
en cada capa se colocan
92
Vol. 89
julio de 2015
NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
2k 1 729 3
en cada capa se colocan
2k 1 2187 3
Los números impares de ambas sumas son consecutivos.
Para las siguientes ya no es posible una distribución de los números impares en objetos
geométricos. Las potencias 38 y 39 se obtienen como:
2k 1 3
2k 1 3
Y de igual forma sucede con las siguientes parejas. Para 310 y 311:
2k 1 3
2k 1 3
También los números impares de cada pareja de suma son consecutivos.
3.1. Cualquier potencia de base 3. Expresión general
Para las potencias de exponente par:
2k 1 3
Para demostrarlo, se puede aplicar la suma de los términos de una progresión aritmética:
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
93
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
2k 1 !2 " 1 1 2 " 3 1# " 3 2 " 3 " 3
3
2
2
Para las potencias de exponente impar:
% &%'(
2k 1 3
$
% $%'( &
Teniendo en cuenta que:
3) 3)$ 2 3)$ " 3 1 2 3)$ " 2 2
3)$ 1
2
2
2
3) 3)$ 3)$ " 3 1 3)$ " 4
2 " 3)$
2
2
2
la fórmula queda de la forma:
"%'(
2k 1 3
$
%'( &
También la demostración se puede hacer con la suma de los términos de una progresión
aritmética.
El número de términos es:
2 " 3)$ 3)$ 1 1 3)$
y la suma de los términos:
"%'(
2k 1 %'( &
!2 " 3$ 1 1 2 " 2 " 3$ 1# " 3$
2
2 " 3$ 2 1 4 " 3$ 1 " 3$ 2 " 3$ 4 " 3$ " 3$
2
2
6 " 3$ " 3$
3 " 3
$
3
$
2
Cambiando en esta última fórmula m por m+1, obtenemos:
94
Vol. 89
julio de 2015
NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
"%,('(
2k 1 %,('( &
"%
2k 1 3
&
% &
En la suma para obtener la potencia 32m el límite superior es 3m. En la suma para obtener la
potencia 32m+1 el límite inferior es 3m+1. Por tanto, los números impares utilizados en las sumas para
obtener las potencias 32m y 32m+1 son consecutivos.
4. Potencias de base 4
Observamos las sumas obtenidas para 42 y 43.
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4
2k 1 16 4
2
13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4
2k 1 64 4
3
Entre ambas sumas quedan 2 números impares, el 9 y el 11. La suma de estos números
intermedios es 20 = 22·5.
20 4
4
4 4
4
Para obtener 44 y 45, los números impares se disponen formando cuadrados.
2k 1 256 4
2k 1 1024 4
Entre ambas sumas quedan 8 = 23 números impares, desde el 33 hasta el 47, que se podrían
colocar formando medio cuadrado anterior. La suma de estos números es 320 = 26·5.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
95
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
4 4
320 4 4
4
2k 1 320
Para obtener 46 y 47, hay que distribuir los números impares en cubos.
en cada capa se colocan
2k 1 4096 4
en cada capa se colocan
96
Vol. 89
julio de 2015
NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
2k 1 16384 4
Entre ambas sumas quedan 32 = 25 números impares, desde el 129 hasta el 191, que se podrían
colocar formando medio cubo. La suma de estos números es 5120 = 210·5.
5120 4 4
4 4
4
2k 1 5120
Para las siguientes ya no es posible una distribución de los números impares en objetos
geométricos. Las potencias 48 y 49 se obtienen como:
2k 1 4
2k 1 4
Entre ambas sumas quedan 128 = 27 números impares, desde el 513 hasta el 767. La suma de
estos números es 81920 = 214·5.
81920 4 4
4 4
4
Y de igual forma sucede con las siguientes parejas:
2k 1 4
2k 1 4
Entre ambas sumas quedan 512 = 29 números impares, desde el 2049 hasta el 3071. La suma de
estos números es 1310720 = 218·5.
1310720 4 4
4 4
4
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
97
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
4.1. Cualquier potencia de base 4. Expresión general
Para las potencias de exponente par:
2k 1 4
Para demostrarlo, se puede aplicar la suma de los términos de una progresión aritmética:
2k 1 !2 " 1 1 2 " 4 1# " 4 2 " 4 " 4
4
2
2
Para las potencias de exponente impar:
% &%'(
2k 1 4
$
% $ %'( &
Teniendo en cuenta que:
4) 4)$ 2 4)$ " 4 1 2 4)$ " 3 2
3 " 2
)$ 1
2
2
2
4) 4)$ 4)$ " 4 1 4)$ " 5
5 " 2
)$
2
2
2
la fórmula queda de la forma:
"
*%'/
2k 1 4
$
"
*%'/ &
También la demostración se puede hacer con la suma de los términos de una progresión
aritmética.
El número de términos es:
5 " 2
)$ 3 " 2
)$ 1 1 2 " 2
)$ 2
)$
4)$
y la suma de los términos:
"
*%'/
2k 1 "
*%'/ &
98
Vol. 89
!2 " 3 " 2
$ 1 1 2 " 5 " 2
$ 1# " 2
$
2
julio de 2015
NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
6 " 2
$ 2 1 10 " 2
$ 1 " 2
$
16 " 2
$ " 2
$
2
2
8 " 2$ 2$
4
$
Aunque este apartado se centra en la obtención de las potencias de 4, se puede apreciar también
una regularidad con los números impares no utilizados.
4.2. Los números impares intermedios y su suma
En cada pareja de sumas que se ha utilizado, con la primera se obtiene una potencia de
exponente par:
2k 1 4
y con la segunda se obtiene la potencia de exponente impar siguiente, que se obtendría
cambiando m por m+1 en la suma correspondiente a potencias de exponente impar.
"
*%,('/
2k 1 "
*%,('/ &
3·2
"
*%'(
2k 1 4
&$ 4
&
+"
*%'( &
Desde el límite superior de la primera suma, 4m , hasta el límite inferior de la segunda suma,
+1, hay:
2m-1
3 " 2
)$ 4) " 2
) 2
) " 2
) 2
)$ números impares.
La suma de estos números impares es:
"
*%'(
2k 1 % &
!2 " 4 1 1 2 " 3 " 2
$ 1# " 2
$
2
2 " 4 2 1 6 " 2
$ 1 " 2
$ 2 " 2
6 " 2
$ " 2
$
2
2
2 " 2
3 " 2
" 2
$ 5 " 2
" 2
$
5 " 2$
5 " 4
$
2
2
También se podía haber obtenido esta fórmula con la otra relación utilizada:
4
4
&
4
$ 4
4
$ " 1 4 5 " 4
$ 5 " 2)$
4
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
99
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
5. Potencias de base 5
Observamos las sumas obtenidas para 52 y 53.
2k 1 25 5
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5
2k 1 125 5
3
Entre ambas sumas quedan otros 5 números impares, desde el 11 hasta el 19. La suma de estos
números es 75 = 3·52.
75 5
5
2
Para obtener 54 y 55, los números impares se disponen formando cuadrados.
2k 1 625 5
2k 1 3125 5
Entre ambas sumas quedan 25 = 52 números impares, desde el 51 hasta el 99, que se podrían
colocar formando otro cuadrado. La suma de estos números es 1875 = 3·54.
1875 100
Vol. 89
julio de 2015
5 5
2
NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
2k 1 1875
Para obtener 56 y 57, hay que distribuir los números impares en cubos.
2k 1 15625 5
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
101
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
2k 1 78125 5
Entre ambas sumas quedan 125 = 53 números impares, desde el 251 hasta el 499, que se podrían
colocar formando otro cubo igual a los anteriores. La suma de estos números es 46875 = 3·56.
20 1 46875 5 5
2
Para las siguientes ya no es posible una distribución de los números impares en objetos
geométricos. Las potencias 58 y 59 se obtienen como:
2k 1 5
102
Vol. 89
julio de 2015
2k 1 5
NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
Entre ambas sumas quedan 625 = 54 números impares, desde el 1251 hasta el 2499. La suma de
estos números es 1171875 = 3·58.
1171875 5 5
2
Y de igual forma sucede con las siguientes parejas:
2k 1 5
2k 1 5
Entre ambas sumas quedan 3125 = 55 números impares, desde el 6251 hasta el 12499. La suma
de estos números es 29296875 = 3·510.
5 5
29296875 2
5.1. Cualquier potencia de base 5. Expresión general
Para las potencias de exponente par:
2k 1 5
Para demostrarlo, se puede aplicar la suma de los términos de una progresión aritmética:
2k 1 !2 " 1 1 2 " 5 1# " 5 2 " 5 " 5
5
2
2
Para las potencias de exponente impar:
% &%'(
2k 1 5
$
% $%'( &
Teniendo en cuenta que:
5) 5)$ 2 5)$ " 5 1 2 5)$ " 4 2
2 " 5)$ 1
2
2
2
5) 5)$ 5)$ " 5 1 5)$ " 6
3 " 5)$
2
2
2
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
103
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
la fórmula queda de la forma:
"%'(
2k 1 5
$
"%'( &
También la demostración se puede hacer con la suma de los términos de una progresión
aritmética.
El número de términos es:
3 " 5)$ 2 " 5)$ 1 1 5)$
y la suma de los términos:
"%'(
2k 1 "%'( &
!2 " 2 " 5$ 1 1 2 " 3 " 5$ 1# " 5$
2
4 " 5$ 2 1 6 " 5$ 1 " 5$ 10 " 5$ " 5$
2
2
5 " 5
$
5
$
Aunque este apartado se centra en la obtención de las potencias de 5, se puede apreciar también
una regularidad con los números impares no utilizados.
5.2. Los números impares intermedios y su suma
En cada pareja de sumas que se ha utilizado, con la primera se obtiene una potencia de
exponente par:
2k 1 5
y con la segunda se obtiene la potencia de exponente impar siguiente, que se obtendría
cambiando m por m+1 en la suma correspondiente a potencias de exponente impar.
"%,('(
2k 1 "%,('( &
"%
2k 1 5
&$ 5
&
+
"% &
Desde el límite superior de la primera suma, 5m , hasta el límite inferior de la segunda suma,
2·5 +1, hay:
m
2 " 5) 5) 5) números impares.
104
Vol. 89
julio de 2015
NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
La suma de estos números impares es:
"%
2k 1 % &
!2 " 5 1 1 2 " 2 " 5 1# " 5
2
2 " 5 2 1 4 " 5 1 " 5 2 " 5 4 " 5 " 5
2
2
6 " 5 " 5 3 " 5
2
También se podía haber obtenido esta fórmula con la otra relación utilizada:
5
5
& 5
1 5
3 " 5
2
2
6. Caso general. Potencias de base n
En (L. Barrios, 2015, pp. 55-74) se dedujo la forma de calcular cualquier potencia de exponente
par de los números naturales, con la fórmula:
2
2k 1 n
1
siendo n y m números naturales.
Y también la forma de calcular cualquier potencia de exponente impar de los números naturales,
con la fórmula:
3% &3%'(
2k 1 n
$ 2
3% $3%'( &
con n y m números naturales y m>1.
6.1. Los números impares intermedios
Las parejas disjuntas de potencias consideradas en el artículo habían de tener, en este orden,
exponente par y exponente impar, esto es n
, la primera, y n
& la segunda, con m>1.
La fórmula (1) del apartado anterior recoge una de las potencias que nos interesan. Para obtener
la fórmula de n2m+1, basta que sustituyamos en (2) m por m+1. Así obtenemos:
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
105
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
3%,( &3%,('(
2k 1 3%,( $3%,('( &
3%,( &3%
2k 1 n
& 3
3%,( $3% &
En el sumatorio (1), el límite inferior de la suma es 1 y el límite superior es 4) . Este sumatorio
tiene, por tanto, 4) sumandos.
En el sumatorio (3), el límite inferior de la suma es
El número de sumandos de este sumatorio es:
3%,( $3% &
y el límite superior es
3%,( &3%
.
4)& 4) 4)& 4) 2
24) 2
1
1 4) 1 1 4)
2
2
2
Ambos sumatorios tienen el mismo número de sumandos.
Para n=2 el límite superior del sumatorio (1) es 2) y el límite inferior del sumatorio (3) es
%,( $
% &
% "
$
% &
% &
2)$ 1.
Para 5 6 1 se verifica que 2)$ 1 7 2) , por lo que ambas sumas tienen términos comunes.
La cantidad de números impares repetidos es:
4) 2) 4)& 4) 2
34) 4)& n 3 n
1 2
2
2
2)& 2) 2
1 2) 2)$ 1 1 2) 2)$ 2)$
2
Para los distintos valores de m, se tiene la sucesión: 1, 2, 4, 8,... , 2m-1, ... La cantidad de
números impares repetidos en las dos sumas coincide con la mitad de los números utilizados en cada
una de ellas, pues 2)$ " 2) .
Para n=3 el límite superior del sumatorio (1) es 3) y el límite inferior del sumatorio (3) es
%,( $% &
% "$% &
"% &
3) 1. Los números impares utilizados en ambas sumas son
consecutivos, no hay sumandos repetidos ni sumandos intermedios.
Para valores de n mayores que 3, el límite superior del sumatorio (1) es 4) y el límite inferior
del sumatorio (3) es
3%,( $3% &
3% "3$3% &
3$
3% "3$&
4) "
3$
1.
Si 4 6 3, se verifica que 4) " 1 6 4) , (basta darle valores a n). Por tanto, quedan
números impares intermedios entre ambos sumatorios. La cantidad de números impares que hay entre
ambas sumas es:
4)& 4) 2
4)& 34) n n 3
4) 1 4
2
2
2
106
Vol. 89
julio de 2015
NÚMEROS
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
L. Barrios Calmaestra
Cuando n=4, la cantidad anterior es ∙ 4) y, como la cantidad de sumandos de (1) y (3) es
4) 4) , volvemos a encontrar que la cantidad de números impares intermedios es la mitad de
sumandos del sumatorio (1) o del (3) que nos dan, respectivamente, los valores de 4
) y 4
)& .
%
Al variar m se obtiene la sucesión 2, 8, 32 , 128, ... , , ... , que nos va dando la cantidad de
impares consecutivos no utilizados en la obtención de cada pareja sucesiva de potencias de 4.
Si n=5, la cantidad de números impares intermedios, dada por (4), es 5) , que coincide con la
cantidad de sumandos de (1) o de (3) que es 4) 5) . Al variar m se obtiene la sucesión 5, 25, 125,
625, ... , 5) , ... , que nos va dando la cantidad de impares consecutivos no utilizados en la obtención
de cada pareja sucesiva de potencias de 5.
Para n=6, la cantidad de números impares intermedios, dada por (4), es 6 , luego el número
de impares intermedios son los tres medios de la cantidad de sumandos de (1) o de (3) que es nm = 6m.
Al variar m se obtiene la sucesión 9, 54, 324, 1944, ..., ·6m, ... que nos va dando la cantidad de
impares consecutivos no utilizados en la obtención de cada pareja sucesiva de potencias de 6.
Cuando n=7, la cantidad de números impares intermedios, dada por (4), es 2 ∙ 7) , esto es, el
doble de la cantidad de sumandos de (1) o de (3) que es nm = 7) . Al variar m se obtiene la sucesión
14, 98, 686, 4802, ..., 2 ∙ 7) … , que nos va dando la cantidad de impares consecutivos no utilizados en
la obtención de cada pareja sucesiva de potencias de 7.
Y así concluimos que, para 4 6 3, la cantidad de números impares intermedios entre las sumas
dadas por las expresiones (1) y (3), viene dada por la sucesión:
" 4) ,
" 5) 5) ,
" 6) ,
" 7 ) 2 " 7) ,
3$
"
" 8) , . . . ,
4) , . . .
6.2. Suma de los números impares intermedios
La suma de todos los números impares intermedios es:
3%,( $3%
3% &
2k 1 :2 " 4) 1 1 ;2 "
4)& 4)
n n 3
1<=
"
2
2
2
2 " n 2 1 n& n 1 " n n 3 n n& " n " n 3
4
4
n " 1 n " n " n 3 n 1 " n 3 " n
4
4
Al sustituir n por 2, 3, 4 y 5 se obtiene el valor de la suma calculada en los anteriores apartados.
Para n=2, en el numerador el factor es "3-n" en lugar de "n-3" y se obtiene:
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de Profesores de Matemáticas
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Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
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n 1 " 3 n " n
2 1 " 3 2 " 2
3 " 2
$
4
4
Para n=3, no hay términos repetidos ni intermedios. Al sustituir en la fórmula se obtiene 0 en
todos los casos.
Para n=4, se obtiene:
n 1 " n 3 " n
4 1 " 4 3 " 4
5 " 4
$
4
4
Para n=5, se obtiene
n 1 " n 3 " n
5 1 " 5 3 " 5
3 " 5
4
4
Coincide el valor de cada una de las sumas con el valor obtenido en el apartado correspondiente.
A continuación de la bibliografía, figuran dos tablas con un resumen de las sumas de números
impares vistas en los dos artículos, para obtener las potencias de los números naturales.
Bibliografía
Barrios, L. (2015). Los números impares y las potencias de los números naturales. Números. 88.
Luis Barrios Calmaestra. I.E.S. José de Mora, Baza, Granada. Natural de Torredonjimeno, Jaén.
Profesor de Secundaria y Bachillerato. Colaborador con el Proyecto Descartes. Tiene varias publicaciones
de materiales didácticos para el Proyecto Descartes y algunas unidades didácticas con calculadoras
gráficas CASIO.
Email: luisbarrioscalmaestra@gmail.com
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Los números impares y las potencias de exponente impar de los números naturales
Los números impares y las potencias de los números naturales (II)
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NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
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ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 111-135
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Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el
segundo ciclo de Educación Infantil
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Por otro lado, las metodologías basadas en el maestro trasmisor, que expone un contenido y da
las instrucciones para que todos los alumnos (receptores) realicen a la vez una actividad, dificultan la
puesta en práctica de situaciones en las que los contenidos matemáticos se hacen necesarios para que
el alumno pueda resolver un problema. Además, dejan a un lado muchos momentos que surgen
espontáneamente en una escuela más activa y participativa para los alumnos y que nos brindan un
marco ideal para dar sentido y funcionalidad a las herramientas matemáticas.
D
En las aulas de Educación Infantil con frecuencia se dedica mucho tiempo y esfuerzo a
conseguir objetivos relacionados con el desarrollo de capacidades lectoescritoras y grafomotrices. El
aprendizaje de las matemáticas suele quedar en un segundo plano, relegado a los momentos en los que
llegamos a una página del libro de texto que aborda algún contenido, casi siempre numérico o
geométrico. En estos materiales, las actividades se limitan al trazado de los números, la asociación de
éstos con la cantidad correspondiente de dibujos, el coloreado de formas geométricas y las operaciones
de suma y resta. Los conceptos espaciales y la medida de magnitudes aparecen por oposición sobre el
plano y se evalúan marcando el objeto largo/corto, el que está arriba/abajo, etc.
S
1. Introducción
A
Mathematics, Infant Education, casual learning, programmed learning, Theory of
Didactic Situations, working corners.
I
Keywords
C
A day spent in an Infant Education class offers many opportunities for the teaching and
learning of Mathematics, both in a programmed and casual way. Starting with what
Mathematics means to students aged 3 to 6, and how they learn, we analyze the different
classroom spaces and the timetable of the class in order to design specific mathematical
situations that we can take advantage of, to teach the students.
N
Abstract
E
Matemáticas, Educación Infantil, aprendizaje incidental, aprendizaje programado, Teoría
de Situaciones Didácticas, trabajo por rincones.
I
Palabras clave
R
Una jornada en un aula de Educación Infantil ofrece muchas oportunidades para enseñar
y aprender matemáticas, tanto de una forma incidental como programada para ello.
Partiendo de lo que son las matemáticas en esta etapa y de cómo aprenden los alumnos
de edades entre 3 y 6 años, analizamos los espacios y el horario de un aula del segundo
ciclo de Educación Infantil desde las posibilidades que nos brindan para el diseño de
situaciones específicamente matemáticas o que pueden ser aprovechadas para generar
estos aprendizajes en los alumnos.
Coordinador: Sergio Darias Beautell
Resumen
E
Elisa Hernández Gutiérrez
(Centro de Educación Infantil y Primaria Chaves Nogales. España)
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de Profesores de Matemáticas
Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el segundo ciclo de
Educación Infantil
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E. Hernández Gutiérrez
La formación inicial en matemáticas de los maestros suele trasmitir la necesidad de llevar a
cabo propuestas en las aulas en las que el alumno construya su aprendizaje y las matemáticas
impregnen su relación con el entorno cotidiano, y dota a los futuros profesionales de herramientas
concretas para ello. Pero sólo una parte de los graduados en Educación Infantil trasladan esta forma de
enseñar matemáticas a las aulas en las que comienzan a ejercer su profesión. Quizá se deba a la inercia
que suponen metodologías utilizadas mayoritariamente en los centros en las que los alumnos adoptan
un papel más pasivo y de repetición mecánica; y en las que los materiales matemáticos se reducen a
láminas que exponen colores, formas o números, libros de texto, fichas y los bloques lógicos o regletas
de Cuissenaire.
Por todo ello, considero necesario hacer una revisión de lo que son las matemáticas en
Educación Infantil, lo que es un aula de esta etapa, tanto pedagógica como físicamente, y de todos los
momentos de una jornada desde lo que nos ofrecen para trabajar las matemáticas con los alumnos. De
esta forma podremos estar preparados para programar el trabajo de los contenidos desde su
funcionalidad en la vida del aula, para planificar situaciones viables en las que el alumno construya los
aprendizajes matemáticos, para situarlas en los periodos óptimos de la jornada, y para aprovechar
infinidad de momentos y materiales que, sin ser específicamente matemáticos, se convierten en un
vehículo excepcional para desarrollar este tipo de contenidos (aprendizaje incidental).
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2. Las matemáticas en Educación Infantil
Las matemáticas en Educación Infantil no son una asignatura, una especialidad o un área de
desarrollo del niño. De hecho, los objetivos y contenidos matemáticos aparecen en el currículo de la
etapa dentro del área Conocimiento del Entorno pero sin existir ningún bloque de contenidos
exclusivamente matemáticos. El Decreto 17/2008, de 6 de marzo, del Consejo de Gobierno, por el que
se desarrollan para la Comunidad de Madrid las enseñanzas de la Educación Infantil comienza la
descripción de dicho área como aquella que “hace referencia al conocimiento que el niño va
adquiriendo en su contacto con el entorno y con los grupos sociales básicos con los que se relaciona o
a los que pertenece” (p.11). Así, los aprendizajes matemáticos, igual que el resto de aquellos incluidos
en esta área de desarrollo se adquieren en el contacto con el entorno y por adaptación a éste y las
personas que conviven en él. Partimos de esta idea para constituir el aula como entorno de aprendizaje
para los niños.
Sin embargo, las matemáticas sí son una parcela de nuestro trabajo. Por ello es esencial la
formación inicial y permanente de los docentes en esta materia. “En matemáticas, como en el
desarrollo lingüístico y en otras áreas, los retos son formidables, pero existen soluciones basadas en la
investigación para abordarlos” (NAEYC y NCTM, 2013, p.12). Conociéndolas, formándonos y siendo
así profesionales de la Didáctica de las Matemáticas, podremos favorecer el aprendizaje de estos
contenidos a través de multitud de situaciones sin que el alumno los perciba como independientes del
resto de conocimientos que adquiere para desenvolverse en su entorno físico y social.
Para dotar de funcionalidad a las matemáticas en Educación Infantil tenemos que entenderlas
como herramientas que nos permiten solucionar problemas. En el entorno escolar necesitamos, por
ejemplo, saber cuántos niños faltan hoy (Figura 1), encontrar nuestra percha dentro del perchero o
elegir el motivo del mural con el que decoraremos un pasillo, para lo cual, votamos. Con el conteo, los
números cardinales y las relaciones de orden damos solución a estos problemas. A medida que la
madurez cognitiva de nuestros alumnos va aumentando y el conocimiento del entorno es más
profundo, se plantearán (espontánea y planificadamente) problemas cada vez más complejos. Las
matemáticas surgirán como necesidad para adaptarse a ellos. Brousseau, en la Teoría de Situaciones
Didácticas, sostiene que:
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Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el segundo ciclo de
Educación Infantil
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“El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de
contradicciones, dificultades y desequilibrios, un poco como lo hace la
sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta
por medio de nuevas respuestas, que son la marca del aprendizaje.
(Brousseau, 2007, p. 30)
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Como veremos es imposible limitar la enseñanza y el aprendizaje matemático a un tiempo en el
horario (NAEYC y NCTM, 2013, p.9). Las trabajaremos durante todo el día y en cualquier momento
ya que en el entorno del aula constantemente medimos tiempos (al sucederse los distintos momentos
de la jornada), distancias (cuando buscamos un hueco en el corro de la asamblea en el que quepamos),
clasificamos materiales (cuando recogemos alimentos de juguete, por un lado, y cacharros de cocina,
por otro) (Figura 2), nos ponemos en filas y jugamos. En casi todos los juegos más libres de un niño
aparecen contenidos matemáticos. Por ejemplo, en las construcciones necesitan tener en cuenta las
dimensiones de la base y la altura de la torre para que no se caiga, en la casita ponen la mesa
asignando un tenedor a cada plato, hay teléfono y papel y lápiz y podemos apuntar un número de
teléfono en la agenda, jugando a los coches se ponen en juego conceptos espaciales a la hora de
desplazarlos por un recorrido y con el agua o la arena, trabajan la medida de magnitudes continuas.
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Figura 1. Con las relaciones de orden, el conteo y los cardinales pasamos lista y vemos cuántos niños han
venido y faltado al cole.
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Figura 2. Clasificar materiales nos permite recogerlos cuando terminamos de jugar.
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En otros momentos diseñaremos nosotros situaciones para trabajar algún contenido matemático
y las situaremos en un momento de nuestro horario. Para los alumnos se plantearán en forma de juego
en el que para ganar necesariamente tendrán que utilizar sus conocimientos matemáticos y avanzar en
Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el segundo ciclo de
Educación Infantil
ellos (Brousseau, 2007, p.14). Por ejemplo, en la actividad “El cohete” (Figura 3) los alumnos tienen
que pedir las pegatinas necesarias para reproducir un cohete cuadriculado decorado con ellas en el
mismo cohete sin relleno. Después deben colocarlas en su cohete cuadriculado pero vacío. La escritura
de los números cardinales se irá haciendo imprescindible para tener éxito en la tarea a medida que los
modelos a reproducir sean más complejos (Hernández, 2012, p.24).
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Figura 3. Alumno pegando las pegatinas que ha conseguido con su mensaje escrito.
En estos momentos de actividad matemática programada intentaremos evitar las fichas como
material predominante. Podrán utilizarse como complemento en la consecución de un objetivo
matemático pero teniendo en cuenta que el aprendizaje no se producirá a través de ellas sino mediante
la construcción por parte del niño a través del juego y la manipulación de materiales en las situaciones
problemáticas planteadas.
Me parece interesante resaltar la importancia de comenzar trabajando las matemáticas partiendo
de lo oral. El niño desarrolla el lenguaje oral, expresivo y comprensivo, mucho antes que el escrito.
Por lo tanto, igual que no esperamos a que lea y escriba para contarle cuentos, colocar letreros
denominando lugares y materiales del aula, poner abecedarios en las paredes o animarle a que nos
cuente qué ha hecho el fin de semana; tampoco es necesario esperar a que escriba operaciones o las
grafías de los números para aprovechar multitud de situaciones cotidianas para plantear problemas
oralmente que pueda resolver mentalmente o apoyándose en materiales que pueda manipular.
Reproducir figuras con el tamgran para trabajar relaciones geométricas, echar una moneda en cada
hucha para desarrollar estrategias de enumeración de colecciones, medir las alturas de los alumnos
pegando una etiqueta con su nombre en el punto hasta el que llegamos en una cinta métrica vertical o
comparar la longitud de objetos del aula usando los palmos como unidad de medida; son otros
ejemplos de propuestas matemáticas que no requieren capacidades grafomotrices. De forma
generalizada suelen quedar en un segundo plano en nuestras aulas a pesar de poder abordarse desde el
lenguaje oral y la manipulación y de forma independiente a la escritura de los números y las
operaciones sobre fichas.
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3. El aula de Educación Infantil: pedagogía y espacios
Para poder aprovechar todos los momentos que la Educación Infantil nos ofrece para enseñar y
aprender matemáticas necesitamos tener unas nociones básicas de cómo aprenden los niños de esta
etapa y conocer el espacio-aula del que disponemos.
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Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el segundo ciclo de
Educación Infantil
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3.1. ¿Cómo aprende un niño de Educación Infantil?
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En esta etapa tenemos que hacer sentir a los niños que las matemáticas son útiles en tanto en
cuanto que les permiten dar sentido a su entorno físico y social (NAEYC y NCTM, 2013, p.5) En
etapas posteriores se podrá sistematizar y dar nombre a ese conjunto de procedimientos que en
Educación Infantil los niños descubren como los más eficaces para resolver los problemas que se
plantean a su alrededor. Por tanto, todas las actividades que hagamos tendrán un por qué. Esto es
obvio si trabajamos en el aula desde un planteamiento como el de la Teoría de Situaciones Didácticas
(Brousseau, 2007) u otros en los que el alumno es el constructor de su aprendizaje. Pero incluso si
empleamos materiales como fichas en las el niño tiene que repasar la grafía punteada del número 2,
debemos haber realizado antes alguna propuesta en la que la escritura del 2 se haga necesaria.
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“Los más pequeños son muy sensibles para captar el afecto, la proximidad, la
comprensión y el respeto. No les hace daño que les pidamos esfuerzos y les
exijamos, a condición de que lo hagamos de manera razonable y razonada. Si
así se hace, las exigencias tienen un indudable potencial educativo que resulta
estimulante y, por ello, beneficioso.” (Paniagua, 2005, p. 108)
R
El vínculo afectivo entre nosotros y los alumnos y entre éstos últimos es esencial para que los
niños acojan con gusto nuestras propuestas y las hagan suyas. Tenemos que tender de forma
generalizada con el grupo a un estilo educativo democrático, combinando altas dosis de afecto y
comunicación con un alto nivel de exigencias y de control de su cumplimiento.
E
Para que el aprendizaje de los alumnos de Educación infantil sea significativo tenemos que
partir de su entorno físico y social y de sus conocimientos previos y adaptarnos a su nivel de
desarrollo. Sólo así podrán establecer alguna relación entre el nuevo reto que les presentamos y lo que
ya conocen, permitiéndoles implicarse activamente en las propuestas del aula. Igualmente, el lenguaje
que utilicemos a la hora de plantearles las actividades e institucionalizar los saberes tiene que ser
próximo para ellos.
P
La Educación Infantil queda definida por la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación
como “la etapa educativa con identidad propia que atiende a niñas y niños desde el nacimiento a los 6
años de edad” (LOE, 2006, p. 17167). Dicha identidad implica mantener metodologías, materiales,
horarios y espacios que se adapten a la forma de aprender de los alumnos de 0 a 6 años. En este caso,
nos centramos en el segundo ciclo de la etapa, que comprende los niños con edades entre los 3 y los 6
años. Estos alumnos aprenden a través del movimiento, el juego y la experimentación por lo que
debemos plantear nuestra práctica docente de forma que estos tres elementos estén siempre presentes,
evitando “primarizar” la Educación infantil con materiales y metodologías propias de etapas
superiores, que con frecuencia marcan una dicotomía juego-trabajo y entienden que el aprendizaje
mayoritariamente se produce en los periodos de trabajo.
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Para que los niños acojan las exigencias de todo tipo que supone diseñar situaciones basadas en
el movimiento, el juego y la experimentación en un grupo de hasta 27 alumnos; es necesario que se
sientan a gusto en el entorno en el que se les plantean. Es imprescindible dedicar tiempo y esfuerzo a
llevar a cabo actividades que dejen de lado las matemáticas o la lectoescritura para dar protagonismo a
los niños y sus emociones y necesidades, que nos ayuden a conocernos, valorarnos y querernos como
miembros de un grupo. Nuestra propia metodología (agrupamientos, materiales, actividades,…) debe
favorecer también las relaciones constructivas entre iguales (Paniagua, 2005, p.23). Y por supuesto
nuestro lenguaje debe ser afectuoso y cercano.
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Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el segundo ciclo de
Educación Infantil
Fomentar la autonomía física es uno de los objetivos principales de la Educación Infantil y a la
vez es un requisito para lograr una mayor autonomía intelectual y poder conseguir un aprendizaje a
través de la implicación en situaciones problemáticas. Un alumno que no tiene cubiertas sus
necesidades básicas de aseo o vestido porque no es autónomo para ello, difícilmente podrá mostrar
interés por la actividad que le propongamos, hacerla suya y esforzarse por resolverla. La actividad “El
cohete” (Figura 3), que poníamos como ejemplo en el apartado anterior, requiere altas dosis de
autonomía previa para que el alumno vaya a la mesa del rincón de matemáticas, vea el modelo a
reproducir, entienda qué necesita apuntar y lo haga, sin olvidar esta nota acuda a la mesa de la maestra
a pedir las pegatinas, no pierda éstas por el camino, las pegue, compare su trabajo con el modelo, y
sepa si ha realizado correctamente la actividad sin nuestra intervención en la validación.
Por último, para que estén presentes todos estos principios que condicionan el aprendizaje de un
niño de 3 a 6 años debemos elegir cuidadosamente la metodología de trabajo en el aula. Si hacemos
todas las actividades con 20 o 25 niños a la vez limitaremos muchísimo el tipo de propuestas posibles.
Por ejemplo, la actividad “El cohete” se haría imposible si tuviésemos una fila de 20 niños que vienen
a pedirnos pegatinas (Figura 4). Además, sería insostenible atender a cada niño de acuerdo a su
producción y gestionar las variables didácticas individualmente para hacer avanzar a cada alumno
hacia el aprendizaje buscado. Muchas veces las limitaciones vienen dadas por el espacio y el material
(Figura 4). Aprender a través del juego, el movimiento y la experimentación supone trabajar con
materiales manipulables, que permitan una modelización de las situaciones matemáticas propuestas o
que permitan el juego espontáneo con los mismos y en un espacio cómodo que haga posible el
movimiento. Tenemos que plantearnos que tipos de agrupamientos permiten emplear el material y el
espacio de este modo.
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3.2. El aula de Educación Infantil
La disposición del aula también va a condicionar la forma de aprender y sobre todo el papel del
alumno en el aprendizaje. Un aula acogedora y bonita, decorada por los alumnos, con material al
alcance de los niños y carteles que indiquen dónde están, que permita la movilidad, en la que no tenga
yo mi sitio y sea siempre el mismo y los niños el suyo también inamovible, etc.; va a hacer sentir a
nuestros alumnos que están en un entorno en el que son importantes y que esperamos que sean parte
activa del aprendizaje (Figura 5).
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Figura 4. Alumnos viniendo a pedir pegatinas a la maestra. Material para una actividad de enumeración.
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Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el segundo ciclo de
Educación Infantil
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Figura 5. Perspectiva de un aula durante el trabajo por rincones. Organización del material.
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Metodologías como el trabajo por rincones requieren una organización que invite a la actividad
en distintas zonas y permita el tránsito entre los rincones cuando cambiamos de zona de trabajo
(Figura 6). Y esta misma disposición del aula es la que va a favorecer la autonomía física del niño en
las actividades y consecuentemente una mayor autonomía intelectual. Un espacio en el que poder
moverse libremente (aunque bajo unas normas), en el que sea posible localizar el material necesario
para una actividad y disponer de él, y en el que no hay una división entre zonas de juego y trabajo;
invita a los niños a participar, experimentar, relacionarse con el espacio y los objetos y disfrutar de las
actividades sin requerir nuestra constante presencia. Todo ello es esencial, como hemos ido viendo,
para aprender matemáticas en la etapa de Educación Infantil.
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Figura 6. Organización del espacio en un aula en la que se trabaja por rincones.
4. Las matemáticas dentro de una jornada de Educación Infantil
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Una vez que conocemos cómo aprende un niño de Educación Infantil y cómo es su aula,
abordaremos los distintos momentos de su jornada desde que llega al colegio hasta que se despide
desgranando las oportunidades que nos ofrecen para aprender matemáticas. En el aula, igual que en la
vida cotidiana del niño, se dan espontáneamente infinidad de situaciones de las que los pequeños
aprenden de una forma incidental puesto que dichas situaciones no están planificadas para ello.
Veremos cómo podemos aprovecharlas e intervenir en ellas para generar conocimientos matemáticos.
Además, analizaremos los momentos en los que podemos planificar actividades específicas para la
enseñanza de este tipo de contenidos.
Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el segundo ciclo de
Educación Infantil
Vamos a partir de una jornada-tipo (Tabla 1) en la que nos hemos basado en unos tiempos
aproximados.
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9:00
9:15
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Horario
10:00
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10:30
11:00
11:30
12:30
14:30
14:45
Entrada y acogida
Asamblea
Trabajo por rincones /Trabajo
individual/ Especialidad
Aseo y desayuno
Juego en el patio
Trabajo por rincones
Aseo y comida
Descanso
Juego por equipos
/Especialidad
Cuento
Despedida
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15:30
16:00
Actividad
Los niños conocen esta sucesión de momentos ya que sólo varía en función de las
especialidades (Informática, Religión, Psicomotricidad e Inglés). Cada día se les presenta en forma de
un horario “móvil” (Figura 7) para que conozcan la secuencia de actividades del día en el que están,
ayudándoles a anticipar lo que va a suceder y por tanto haciéndoles sentir más seguros dentro del aula.
Esto último nos ayudará a que participen activamente en las actividades, disfruten de ellas y
consecuentemente sean vehículo de aprendizaje. Aunque no es el objetivo principal de este material, a
través de la elaboración y explicación diaria del horario móvil trabajamos la medida del tiempo. Este
contenido matemático es muy difícil de abordar en Educación Infantil e imposible de hacerlo a través
de las fichas de métodos propuestos por editoriales. La forma en la que trabajamos el paso del tiempo
y su medida, casi siempre de una forma incidental, es a través de las rutinas diarias y semanales. Nos
ubicamos dentro de un día en función de las cosas que ya hemos hecho y de las que quedan por hacer
hasta que nos vayamos con mamá y papá. Y el paso de un día a otro lo marca la cena, el momento de
acostarse y de levantarse de nuevo y desayunar.
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Tabla 1. Ejemplo de jornada en Educación Infantil.
Figura 7. Horario que nos marca los distintos momentos de la jornada.
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Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el segundo ciclo de
Educación Infantil
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Detallaremos ahora cada uno de los momentos de la jornada analizándolos sólo desde el punto
de vista matemático aunque es obvio que todos ellos son también aprovechados para la enseñanza de
otro tipo de contenidos igualmente importantes. Eliminamos los momentos de aseo, comida y
descanso, en los que en el caso de mi aula no están con la tutora.
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4.1. Entrada y acogida
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En muchos centros se efectúa la entrada a las aulas en una fila para favorecer el orden. La línea
recta es un concepto geométrico que aparece de forma vivencial cada día en este momento.
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4.2. Asamblea
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“En la asamblea se organiza todo el trabajo diario, nos aseguramos de
quiénes estamos en clase y quienes han faltado, se distribuyen tareas, […] se
debaten problemas, se resuelven conflictos, se analizan sucesos, se comparten
emociones, […]. La organización y las matemáticas van de la mano: las
listas, las relaciones de orden, las tablas de doble entrada, los números, los
espacios y el tiempo nos sirven para organizar la vida del aula.” (Aguilar,
2010, p. 53)
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Por tanto, este momento de encuentro y conversación grupal es ideal para trabajar multitud de
contenidos matemáticos. Como veremos algunos de ellos se abordan a través de propuestas
específicamente diseñadas para lograr objetivos matemáticos, mientras que otros están contenidos en
actividades cuyo objetivo principal no tiene relación con esta materia. En mi aula dividimos la
asamblea en tres momentos: bienvenida, rutinas diarias y actividad en gran grupo.
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Bienvenida
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El momento de sentarse en la alfombra supone poner en juego conceptos geométricos como el
perímetro de una figura (pues nos sentamos en el borde), que además puede ser un círculo, cuadrado o
rectángulo; y conceptos espaciales al acomodarnos delante de un niño, detrás de él o entre dos
compañeros (Figura 8).
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Figura 8. Nos sentamos en la alfombra.
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Con frecuencia los niños de Educación Infantil traen elementos naturales de la calle (piedras,
hojas, flores,…) o cosas de casa. Es el momento de verlos y extraer alguno de sus atributos: color,
forma, peso, longitud, etc. Podemos ver varias formas de colocar esos materiales y hacer que surja la
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Educación Infantil
Rutinas diarias
En primer lugar asignamos al encargado siguiendo un sistema de orden. En nuestro caso es una
figura de una niña que se va desplazando por las columnas de izquierda a derecha y dentro de cada
columna de arriba hacia abajo. Según la figura 9 hoy sería Nadia la encargada.
Figura 9. Sistema de elección del encargado.
Después el encargado pasa lista diciendo “Buenos días” a todos sus compañeros leyendo los
nombres de los niños en una lista hecha con tarjetas. Si no ha venido algún niño coloca la tarjeta con
su nombre en otra lista situada en una casa. A continuación el encargado cuenta cuántos niños no han
venido al cole en esta lista y cuenta a los niños que sí están sentados en la alfombra, buscando después
el número correspondiente a cada colección (Figura 1). Trabajamos los cardinales asociados a
cantidades y la enumeración de colecciones, al contar una sola vez a cada alumno y sin saltarnos a
nadie. Esta tarea se complica cuando no están todos sentados alrededor de la alfombra o algún niño se
mueve. Luego trabajamos sobre el calendario con rutinas diseñadas para abordar el paso del tiempo y
su medida (Figura 10).
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clasificación o seriación de los mismos. Puede ser interesante también contar los objetos y plantear
problemas verbales con ellos (por ejemplo, “¿Hay más castañas o bellotas?” o ¿Cuántas hojas hay más
que flores?). Como vemos, no siempre son necesarios materiales muy elaborados para trabajar
contenidos matemáticos.
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Figura 10. Ejemplo de panel para las rutinas diarias de la asamblea.
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El encargado, con mayor o menor ayuda por nuestra parte, nos dice qué día de la semana es, lo
busca en la lista de días de la semana y lo coloca en el panel (Figura 10). Los números ordinales
surgen al analizar que el lunes es el primer día de la semana y el viernes el último, cuando recogemos
nuestra taza y nuestro cojín para lavarlo el fin de semana. A continuación el encargado rodea en el
calendario mensual el día que corresponde (Figura 11) y busca el mismo en los números con velcro
para colocarlo en el panel semanal (Figura 10). Trabajamos así de una forma funcional los números
cardinales de una y dos cifras hasta el 31 (independientemente de los números que proponga el método
de la editorial para ese curso) y el conteo. Casi todos los meses hay cumpleaños, salidas, fiestas
relevantes u otros eventos en el aula. Se marcan en el calendario y los niños los recuerdan y con
frecuencia preguntan cuántos días quedan para que llegue esa fecha señalada. Aprovechamos este
momento para contarlos y ayudarles a orientarse en el calendario, recorriendo las semanas de
izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Si las hojas mensuales las elaboran los propios alumnos o
si el encargado escribe la fecha en la pizarra para que todos sus compañeros la escriban después en sus
trabajos, estaremos también repasando las grafías en un contexto en el que son necesarias (Figura 11).
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Figura 11. Alumnos rodeando el día del mes y escribiendo la fecha.
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En 4-5 años y 5-6 años planteamos dentro de este periodo problemas aritméticos orales de
complejidad adecuada a cada nivel y ligados a la vida del aula y de los alumnos. Por ejemplo: “Si el
equipo azul son 5 niños y hoy han faltado 2, ¿cuántos niños van a desayunar juntos hoy en ese
equipo?” o “Si el equipo rojo son 6 niños y a cada niño María le da 2 galletas el día de su cumpleaños,
¿cuántas galletas da María en total al equipo rojo?”. Lo interesante de esta propuesta es que todos los
alumnos piensen sobre la situación problemática planteada para lo cual es interesante que no diga sólo
un niño en alto el resultado cortando el proceso mental de otros alumnos. Para conseguirlo podemos
dejar que el encargado nos diga la solución al oído cuando crea saberla y el resto de alumnos nos lo
comunique, por ejemplo, moviendo los labios. Si algún niño nos da una solución incorrecta le
animaremos a seguir pensando e intentándolo. Cuando creemos que el tiempo de resolución ha sido
suficiente y/o la mayoría de los niños ha obtenido un resultado correcto, el encargado nos dirá su
solución en alto. Veremos si es correcta o no y por qué y nos explicará cómo lo ha resuelto. A
continuación otros alumnos contarán también su modo de resolución y si es necesario se representará
de forma gráfica en la pizarra (Figura 12). De esta forma, que resulta muy motivadora para casi todos
los alumnos, dotamos a todos los niños de una variedad de procedimientos para resolver problemas
mentalmente y de forma independiente al conocimiento de la operación que interviene y su escritura.
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Después el encargado anota con un símbolo el tiempo que hace. Podemos realizar un gráfico de
barras con los días de sol, nubes o lluvia de un mes determinado. Además de familiarizarse con una
forma de representación de datos trabajamos el conteo y la comparación de cantidades al realizar al
final de mes un análisis de la cantidad de días de cada tiempo atmosférico o al comparar meses de
distintas estaciones.
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Figura 12. Representación de las soluciones de un problema planteado.
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En 5-6 años escribimos una operación de suma o resta en la pizarra. El encargado escribe el
resultado pero todos los niños participan diciéndonos la solución mediante el movimiento de sus labios
u otro modo similar.
Cuando estas actividades se diseñan con intención de trabajar algún contenido matemático, en
mi aula se subdividen en dos tipos: actividades preparatorias y actividades que son un fin en sí
mismas. En las primeras utilizamos materiales que después estarán en el rincón de matemáticas para
ser usados por ellos autónomamente. A veces simplemente describimos entre todos dicho material y
vemos posibles acciones con él y otras veces realizamos en gran grupo la actividad que después
deberán desarrollar en el rincón en pequeño grupo o individualmente (por ejemplo, metemos en las
mochilas la cantidad de objetos que nos marquen, buscamos bloques con tres atributos o completamos
por turnos un tablero de simetría hecho con tapones) (Figura 13 y 17). Este tipo de actividades nos
proporcionan además información sobre los conocimientos previos del grupo de cara a planificar
actividades futuras para el rincón y nos permiten conocer el nivel de cada alumno de cara a intervenir
de forma más individualizada cuando elijan este rincón.
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Actividad de gran grupo
Figura 13. Ejemplos de actividades preparatorias.
El segundo tipo de actividades que podemos realizar son aquellas que son un fin en sí mismas,
es decir, que se plantean como un juego con un objetivo matemático a conseguir en el momento en el
que se realizan en gran grupo. Un ejemplo de estas actividades para que los alumnos utilicen el
número como medida de una cantidad puede ser poner la mesa para un número determinado de
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comensales. Situamos en un lugar del aula una mesa para dos comensales, por ejemplo, y en otro lugar
distante del primero una mesa con menaje y comida. Dos alumnos serán comensales y el resto
camareros que, por turnos, irán saliendo a llevar algo de lo que necesitan los comensales para poder
comer teniendo que llevarlo en la cantidad justa en un solo viaje (Figura 14). Podemos aumentar la
cantidad de comensales, variar la distancia entre su mesa y la del menaje para que haya o no contacto
visual o requerir que los camareros anoten lo necesario y otro alumno se lo proporcione.
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Figura 14. Poniendo la mesa para dos comensales.
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4.3. Trabajo por rincones, individual o especialidad
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La metodología empleada en mi aula es el trabajo por rincones, realizándose las actividades de
mayor peso de la jornada en rincones de actividad. Los niños eligen libremente pero bajo unas normas
entre un abanico de siete actividades aproximadamente, programadas y preparadas para siete zonas o
rincones (lectoescritura, lógica-matemática, arte, construcciones, ciencia, juego simbólico y biblioteca).
Cuando terminan la actividad pueden cambiar a otro rincón siempre que en él haya plazas libres. La
elección se realiza mediante un sistema de carnets y plantillas con un número de espacios para los
carnets equivalente al número de niños que como máximo pueden acudir a ese rincón (Figura 15).
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La duración de este periodo de tiempo suele variar en función del nivel. En 3-4 años es muy
corto (entre 20 a 30 minutos) debido a que la asamblea suele alargarse y necesitan más tiempo para el
aseo y desayuno. En 4-5 y 5-6 años es un poco más largo, pudiendo llegar a los 40 o 45 minutos.
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Figura 15. Carnets y rincones.
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En gran grupo se explican las actividades propuestas para cada rincón o se recuerdan en caso de
que una misma actividad esté varios días en un rincón. A continuación se procede a la elección y se
empiezan a desarrollar las propuestas de forma autónoma por parte de los alumnos pero con mi
supervisión e intervención en caso necesario. Para poder realizar la explicación y que los niños puedan
elegir al menos dos rincones y desarrollar cómodamente las actividades que haya en ellos; se necesita
una sesión de aproximadamente 45-50 minutos. En 3 años por tanto no es posible realizar trabajo por
rincones en este periodo y se dedicará a especialidades o a trabajo individual. En 4-5 y 5-6 años sí
existe la opción de trabajar por rincones en este momento. A continuación veremos las dos opciones
desde lo que nos ofrecen para enseñar y aprender matemáticas.
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Trabajo por rincones
Las actividades planificadas para todos los rincones pueden favorecer la adquisición o
consolidación de contenidos matemáticos de forma incidental aunque es en el rincón de lógicamatemática, y a veces en el de ciencias, donde se diseñan actividades específicas para alcanzar este
tipo de objetivos.
Las propuestas para este rincón se planifican tomando como base teórica lo que conocemos
sobre cómo aprende un niño en esta etapa y concretamente las características del aprendizaje
matemático (apartados 2 y 3.1).
Un ejemplo para el nivel de 3-4 años con el objetivo de desarrollar en los alumnos
procedimientos para la enumeración de colecciones puede ser alimentar a seis camaleones (cajas de
cerillas con una ranura) introduciendo un grillo en cada uno, sin repetir ninguno y sin dejar sin comer
a ningún camaleón (Figura 16). Variamos el número de cajas-camaleón, su disposición en la mesa y la
posibilidad de moverlas o no para conseguir hacer avanzar a los alumnos desde procedimientos
básicos como el azar hasta estrategias eficaces como seguir un orden dado por la disposición o
establecer un orden mental de la colección de camaleones que facilite el control de los alimentados y
no alimentados (Hernández, 2013).
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1. Rincón de lógica-matemática
Figura 16. Ejemplo de actividad de enumeración en el rincón de lógica-matemática. Alumno introduciendo
grillos y validando su procedimiento.
A través de este ejemplo vemos los requisitos que debemos intentar que cumplan las actividades
programadas para este rincón:
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 Los niños deben poder realizarlas de forma autónoma, aunque en determinados momentos
estemos presentes para observar los procedimientos utilizados, preguntar a los alumnos sobre
sus razonamientos o incentivar el juego. Las instrucciones les son dadas en la asamblea
previa y en ocasiones se puede realizar la propuesta con todo el grupo (por ejemplo, en
juegos de reglas como un dominó o en actividades como rellenar un tablero de forma
simétrica) (Figuras 13 y 17). En el caso de la propuesta de los camaleones se dieron las
instrucciones en la asamblea y en el rincón nuestra labor es observar las estrategias utilizadas
por los niños y en función de ellas gestionar las variables didácticas.
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 Como hemos dicho, los alumnos de Educación Infantil aprenden matemáticas a través del
juego y la manipulación por lo que intentaremos que predominen este tipo de actividades,
dejando las fichas que pretendan la práctica de las grafías de los números para el rincón de
lectoescritura u otros momentos de la jornada. Además, aprovechamos así la ventaja que nos
ofrece el trabajo por rincones y por tanto en pequeños grupos al permitir utilizar materiales
que es complicado disponer para que los usen todos los alumnos a la vez (Figura17). En la
figura 4 observamos el material necesario para la actividad del camaleón, difícilmente
reproducible 25 veces.
 Para lograr un equilibrio en el desarrollo de los alumnos a través de las actividades de todos
los rincones, es conveniente alternar actividades más libres (como pueden ser completar un
árbol de Navidad con tantas bolas como indique la estrella o realizar seriaciones con
eslabones de cadena [Figura 18]) con otras que requieran más nuestra presencia (como el
ejemplo del camaleón o el cohete [Figuras 3 y 16]).
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Figura 17. Tablero de simetría. Ejemplo de actividad del rincón de lógica-matemática previamente realizada en
gran grupo.
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Figura 18. Ejemplos de actividades del rincón de lógica-matemática.
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 Tenemos que tener en cuenta que un material muy novedoso y abierto tiene que ser
explorado por los alumnos antes de realizar una actividad con unas instrucciones muy
concretas. Es esencial conocer las propiedades de los objetos del entorno para poder
establecer relaciones entre ellos. Por ejemplo los cubitos encajables por sus seis caras pueden
ser utilizados para la resolución de problemas pero para que se empleen con éxito en esta
tarea es muy recomendable que los niños hayan jugado con ellos de una forma más libre
(Figura 19).
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Figura 19. Cubos encajables. Material y su uso en la resolución del problema: “¿Si un cuadrado tiene 4
esquinas, ¿cuántas esquinas tienen 3 cuadrados?”
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 Para atender a la diversidad natural presente en el aula conviene que las propuestas y los
materiales permitan el juego a diferentes niveles. Por ejemplo, si proporcionamos cuentas
para formar collares y bandejas de colores al comienzo del curso de 3-4 años, habrá niños
que las clasificarán y otros alumnos simplemente buscarán las cúbicas y formarán filas o
torres. Éstos últimos más adelante sí repararán en el atributo del color y se ajustarán a este
criterio para clasificarlas. En una actividad de copiar plantillas con pegatinas,
proporcionaremos plantillas de distinto nivel de complejidad y a la hora de pedir las
pegatinas necesarias aparecerán listas con pegatinas dibujadas o peticiones con números
escritos (Figura 20).
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Figura 20. Clasificación de cuentas de collares y reproducción de plantillas con pegatinas.
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 Siempre que sea posible se intentará plantear las actividades como juegos en los que el
alumno necesite el conocimiento matemático buscado para ganar (Brousseau, 2007, p.15).
En el ejemplo de la alimentación de los camaleones (Figura 16) es imprescindible para que
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cada caja tenga un solo grillo y todas tengan uno, que el alumno haya enumerado
correctamente la colección. Para trabajar el número en su sentido ordinal podemos diseñar
una situación como “El tren” en 5-6 años. “En ella, un alumno debe comunicar por escrito la
posición de un objeto escondido en uno de los vagones de un tren a un compañero que no ha
visto dónde ha sido introducido dicho objeto” (Hernández, 2013, p.41). Si el compañero la
encuentra, y por tanto se ha usado el número cardinal con un sentido ordinal, ambos ganan
(Figura 21).
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Figura 21. El tren.
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 Es importante que, siempre que sea posible, la validación la realice el propio niño y sea la
propia actividad la que le diga si la estrategia que ha puesto en marcha para resolver el
problema funciona o no. “Una estrategia se adopta rechazando intuitiva o racionalmente una
estrategia anterior” (Brousseau, 2007, p. 21) por lo que el momento de la validación, cuando
no intervenimos los docentes, tiene un gran valor pedagógico pues convierte a los alumnos
en los “últimos responsables de su aprendizaje” (Aguilar, Ciudad, Láinez y Tobaruela, 2010,
p. 25) En el ejemplo de la alimentación de camaleones el alumno abre las cajas para
comprobar si hay un grillo dentro de cada una y sabe si ha ganado o no sin que nosotros le
digamos nada (Figura 16). Lo mismo sucede en “El tren” (Figura 21) o en la reproducción
del cohete al comparar su trabajo con el modelo (Figura 3).
 Por último, si queremos que los niños elijan el rincón de matemáticas de forma libre y
desarrollen las actividades implicándose en ellas, las propuestas deben ser tan divertidas,
atractivas y variadas como sea posible.
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2. Rincón de ciencia
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En el rincón de ciencia alternamos actividades cuyo objetivo principal está relacionado con
alguna fase del método científico con otras que buscan además la construcción de magnitudes
continuas por parte de los alumnos. Por ejemplo, para identificar el metro como la unidad de medida
de longitud podemos comenzar por medir con palmos distintos objetos del aula y anotar nuestras
mediciones en una ficha (Figura 22). Comparamos la cantidad de palmos que obtienen los alumnos
con los que anoto yo. Vemos que varía mucho y necesitamos una unidad común para todos. Aparece
así el metro y con él decidimos medir nuestras alturas. En esta propuesta los alumnos acuden por
parejas al rincón y uno de ellos se coloca sobre la cinta métrica y el otro coloca en ella el nombre de su
compañero en su altura (Figura 22). Después anota su altura en una ficha y cuando todos nos hemos
medido comparamos la altura de los compañeros.
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En otros momentos podemos medir con el metro objetos del aula (Figura 23). En esta propuesta
y las anteriores estamos trabajando también la escritura de los números naturales y su utilidad para
expresar la cantidad obtenida en la medida de magnitudes.
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Figura 22. Medida de longitud con palmos y sobre la cinta métrica.
Para medir la magnitud tiempo podemos construir un reloj de arena y después comparar nuestro
sistema de medida con el reglado (reloj). Y podemos medir el volumen de objetos introduciéndolos en
una cubeta de agua y viendo cómo sube el nivel de ésta.
Las matemáticas aparecen también de forma incidental en muchos momentos, por ejemplo
cuando en 3-4 años disponemos en el rincón agua y recipientes de distintas capacidades. Nuestro
objetivo es que los niños conozcan propiedades del agua y su comportamiento en los trasvases para
poder, en los niveles superiores de Educación Infantil, realizar experiencias de mayor complejidad y
establecer hipótesis sobre el comportamiento del agua y los objetos en distintas situaciones. Sin
embargo, estamos trabajando también la medida de volumen (Figura 24).
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Figura 23. Medida de longitud con la cinta métrica y registro de resultados.
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Figura 24. Trasvases de agua.
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3. Rincón de arte
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Figura 25. Estampación con construcciones.
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Las matemáticas aparecen en este rincón secundariamente en multitud de propuestas con
finalidades artísticas. Por ejemplo, en 3-4 años al estampar con construcciones o con objetos
reciclados de base circular se trabajan las relaciones geométricas (Figura 25). Y en 4-5 años al realizar
composiciones con rectángulos de distinto grosor y longitud o al trabajar sobre la obra de Kandinsky
realizando composiciones con círculos concéntricos (Figura 26).
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Figura 26. Composiciones con rectángulos y círculos.
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Las proporciones pueden aparecer en 5-6 años al completar el dibujo de un animal o de una
persona dada la cabeza, o cuando tienen que ajustar el tamaño del cuerpo de una princesa a una corona
(Figura 27).
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Figura 27. Proporciones en el dibujo.
El objetivo de las propuestas de este rincón es construir estructuras con distintos materiales. Sin
embargo, para que una torre se mantenga en pie se necesita poner en juego conceptos matemáticos
como el tamaño de la base, la simetría o la altura. En el proceso de construcción se potencia también la
discriminación perceptiva de las relaciones topológicas y la adquisición de forma vivencial de
nociones de situación, orientación y dirección en relación con el propio cuerpo y otros objetos (Figura
28).
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4. Rincón de construcciones
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Figura 28. Resultado de un trabajo de construcción.
5. Rincón de juego simbólico
Este rincón pretende que a través del juego simbólico los alumnos representen distintas
situaciones de su entorno más próximo. En el teléfono de su casa, en las tiendas, en el metro que usa
un carpintero o en la receta de un medicamento, hay números que ellos van a reproducir en este
espacio si les proporcionamos los utensilios para ello. Además, en la peluquería o el mercado se usan
monedas y el número como medida de cantidad se hace fundamental para pagar y recibir el cambio.
Trabajamos los distintos usos de número ligados a contextos cotidianos para el niño (Figura 29).
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Figura 29. El número aparece en los precios de la peluquería y en la cinta métrica que dibuja Christian.
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6. Rincón de biblioteca
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7. Rincón de lectoescritura
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En este rincón realizamos las actividades matemáticas en formato ficha que casi siempre tienen
como objetivo la escritura de las grafías de los números, la identificación y reproducción de figuras
geométricas, la asociación cardinal-cantidad y la evaluación de conceptos espaciales.
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Cuando este rincón se sitúa en la misma zona donde se realiza la asamblea los alumnos juegan a
imitar a la maestra cuando realizamos las rutinas propias de ese momento y que fueron descritas
anteriormente. Aparecen las matemáticas de forma incidental cuando los niños imitan al encargado
contando a sus compañeros, se dicen problemas aritméticos unos a otros o anotan la fecha y cuentan
en el calendario los días que quedan hasta un cumpleaños.
Actividad individual o especialidad
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Cuando en esta franja horaria no es posible trabajar por rincones aprovechamos para realizar
actividades individuales con todos los alumnos a la vez. Cuando son de tipo matemático suelen ser
parecidas a las asignadas para el rincón de lectoescritura pero seleccionando aquellas más largas y en
las que se marcan menos las diferencias individuales.
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También tienen lugar en este momento las especialidades de psicomotricidad e informática. En
el aula de psicomotricidad podemos llevar a cabo actividades específicamente diseñadas para aprender
matemáticas como por ejemplo la construcción entre varios alumnos de formas geométricas, la
colocación en un lugar del aula siguiendo consignas que implican establecer relaciones espaciales con
mi propio cuerpo y los objetos, la realización de planos del aula y la búsqueda de objetos en ella
apoyándonos en dichos planos, etc. Sin embargo, la mayoría de las actividades psicomotrices no
persiguen objetivos de tipo matemático pero indirectamente requieren orientarse en el espacio;
relacionarse con el propio cuerpo, el de los demás y los objetos; o percibir de paso del tiempo y
medirlo.
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En el aula de informática pueden emplearse programas que afiancen contenidos matemáticos
trabajados previamente en nuestra clase.
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4.4. Aseo y desayuno
En el momento del desayuno podemos realizar “El concurso de la fruta”, una actividad diseñada
específicamente para trabajar el conteo, los números cardinales, la diferencia entre clases y elementos
de una misma clase, la comparación de colecciones y las operaciones de adicción y sustracción. En
muchos centros se establece uno o varios días a la semana en los que se desayuna fruta antes de salir al
recreo. Cada niño nos dice qué fruta ha traído y lo anotamos, al comienzo de 3 años dibujando cada
unidad de cada fruta de forma icónica (Figura 30) para pasar después a una notación más simbólica.
Después se cuenta la cantidad de cada fruta y vemos qué tipo de fruta es la ganadora porque ese día la
han traído más niños. A partir de aquí se aumentan progresivamente las tareas asociadas al concurso:
se cuentan los tipos de frutas, se ordenan éstos de mayor a menos cantidad de alumnos que las han
traído, vemos cuántas peras y plátanos hay si los contamos juntos, cuantas naranjas menos que
manzanas, etc. En 5-6 años designamos a uno o varios secretarios que realizan las anotaciones para
trabajar de forma individual la recogida y representación de los datos. Una variante es la realización
del concurso sobre un eje de coordenadas de forma que al ir colocando los tipos de frutas en el eje de
abscisas y su cantidad en el eje de ordenadas se forme un gráfico de barras.
Figura 30. Concurso de la fruta en 3-4 años.
La celebración de los cumpleaños es otro momento en el que las matemáticas aparecen de forma
incidental. Lo situamos en esta franja horaria porque en muchos centros el cumpleañero trae el
desayuno y lo reparte a sus compañeros. En el momento del reparto los alumnos ponen en marcha
distintas estrategias en relación a la enumeración de colecciones (para dar alimentos a todos los
alumnos sin repetir ninguno y sin dejar a ningún niño sin desayunar), las correspondencias término a
término (cuando desde el lugar donde están los desayunos van cogiendo uno a uno tantos como niños
ven que necesitan), el conteo y el número para recordar y producir una cantidad (cuando cuentan los
niños que faltan y cogen tanta cantidad de alimentos). Estos procedimientos variarán en función de la
edad de los alumnos y la cantidad y variedad de alimentos a repartir (Figura 31).
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Figura 31. Repartiendo dos galletas a cada niño.
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4.5. Juego en el patio
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4.6. Trabajo por rincones
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4.7. Juego por equipos
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Cuando los alumnos regresan del recreo puede tener lugar un segundo periodo de trabajo por
rincones o en el caso de que no se haya podido desarrollar anteriormente sería ahora cuando tendría
lugar. Se explicarían o recordarían las actividades propuestas para cada rincón y se procedería a la
elección con el sistema de carnets.
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Cuando los alumnos juegan con la arena y diferentes envases están trabajando la medida del
peso y volumen de forma experimental y en un contexto no planificado para ello. Así mismo en los
juegos de carreras y persecución se ponen en marcha sus conocimientos sobre las relaciones espaciales
y el paso del tiempo.
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Cuando finaliza el tiempo dedicado a la comida y descanso comienza el juego por equipos. A
los miembros de cada uno de los cuatro equipos del aula les toca una actividad que deberán realizar
durante un periodo de aproximadamente 45 minutos. Las actividades se irán rotando en los cuatro
equipos durante cuatro tardes de una misma semana o de dos semanas distintas (dependiendo de la
presencia o no de especialidades en esta franja horaria). Para saber a qué les toca jugar los alumnos
deberán interpretar una tabla de doble entrada como la de la figura 32.
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Figura 32. Tabla que organiza el juego por equipos.
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Al menos una de las cuatro actividades siempre está específicamente diseñada para trabajar algún
contenido matemático. Son propuestas similares a las del rincón de lógica-matemática pero exigen
menos nivel de concentración por parte de los alumnos ya que en la franja de tarde suelen estar más
cansados. Según el ejemplo de la figura 32, esa semana los equipos realizarían puzles y sumas con
pinzas de colores (Figura 33). También puede aprovecharse este momento para reforzar el conteo en
juegos de tablero, trabajar las relaciones de orden en juegos con tapones, las seriaciones con pinchitos,
sumas y restas con distintos materiales, las relaciones espaciales con memories, etc. (Figura 33).
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Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el segundo ciclo de
Educación Infantil
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Figura 33. Ejemplos de actividades en el juego por equipos.
4.8. Cuento
La lectura de cuentos no se realiza a priori con un objetivo de tipo matemático pero por la alta
motivación que producen en los alumnos de Educación Infantil, algunos pueden servirnos de base para
desarrollar otras propuestas como por ejemplo un taller de problemas. En él partimos de un cuento
conocido por los alumnos para plantear un problema aritmético relacionado con la historia que los
alumnos deben resolver mediante la modelización con materiales variados (pinzas, cubos encajables,
ábacos…) (Figura 19) o mediante la representación gráfica. Finalmente podemos requerir que nos den
el resultado por escrito y realizar una puesta en común para conocer las estrategias de resolución
empleadas por el grupo. Podemos plantear este tipo de talleres en desdobles que puedan llevarse a
cabo en especialidades como informática.
4.9. Despedida
La salida de nuevo se realiza en una fila para favorecer el orden por lo que aparece aquí también
la línea recta, concepto geométrico.
Me gustaría cerrar esta revisión de las oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de la
jornada en Educación Infantil mencionando a las familias. Es en su seno en el que tienen lugar parte
de los aprendizajes con los que los alumnos se enfrentan a nuestras propuestas en el aula. Y además,
dando a conocer a las familias las características del aprendizaje de sus hijos entre los 3 y los 6 años y
cómo a partir de ellas enfocamos la enseñanza de las matemáticas en el aula, podemos hacer que el
entorno familiar se convierta en privilegiado para generar aprendizaje matemático de forma incidental.
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5. Conclusión: Las matemáticas en la familia
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“Desde el aula debemos brindarles nuestra perspectiva, pero sin imponérsela.
Y debemos brindársela no solo para dar respuesta al derecho de las familias a
estar informadas, sino también para intentar ampliar su campo de visión.”
(Paniagua, 2005, p. 274)
Podemos aprovechar las reuniones generales y entrevistas individuales para contarles nuestro
planteamiento y romper esquemas previos que suelen tener respecto a lo que son las matemáticas y
cómo se aprenden. Cuando sus hijos les ayudan a poner la mesa, a coger la comida de los estantes del
supermercado y meterla en el carro, cuando preparan juntos la maleta y valoran lo que meter en
función de su tamaño y de si nos cabrá o no, etc.; están aprendiendo matemáticas. De estas situaciones
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Oportunidades para aprender matemáticas a lo largo de una jornada en el segundo ciclo de
Educación Infantil
E. Hernández Gutiérrez
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Respecto a nuestro papel, debemos dejar de lado la trasmisión de conocimientos de lenguaje,
matemáticas o conocimiento del entorno, para adoptar un papel de potenciadores de situaciones
cotidianas y de juego y de transformadores de las mismas en ocasiones de aprendizaje. Infinidad de
momentos de la vida del aula nos ponen “en bandeja” la oportunidad de enseñar matemáticas.
Debemos aprovecharlas para dar un sentido a estos contenidos dentro de la cotidianeidad de la escuela
y porque además nos van a permitir medir la intensidad y necesidad de los aprendizajes de nuestros
alumnos. Esto último nos va a facilitar enormemente la planificación de todas esas propuestas que sí
son específicamente matemáticas.
E
podemos animarles a extraer problemas como “Si somos cuatro y has llevado dos platos a la mesa,
¿tenemos platos para todos? ¿Cuántos faltan?”, fomentando un aprendizaje funcional y en continuidad
con el tipo de enseñanza del aula.
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Bibliografía
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Elisa Hernández Gutiérrez. CEIP. Chaves Nogales, Alcorcón (Madrid). Autora del blog “Enseñando a
aprender. Aprendiendo a enseñar” disponible en http://www.aprendiendoeninfantil.com/.
Email: elisa.hernandez.gutierrez@gmail.com
E
Aguilar, B., Ciudad, A., Láinez, M. C. y Tobaruela, A. (2010). Construir, jugar y compartir: Un
enfoque constructivista de las matemáticas en Educación Infantil. Jaén: Enfoques Educativos.
Brousseau, G. (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Buenos Aires:
Libros del Zorzal.
Consejería de Educación (2008). DECRETO 17/2008, de 6 de marzo, del Consejo de Gobierno, por el
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http://www.madrid.org/dat_capital/loe/pdf/Desarrollo_Infantil_Madrid_08.pdf
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http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6/article/view/26
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2006.
NAEYC y NCTM (2013). Matemáticas en la Educación Infantil: Facilitando un buen inicio.
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Recuperado de: http://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6/issue/view/6
Paniagua, G., y Palacios, J. (2005). Educación Infantil: Respuesta educativa a la diversidad. Madrid:
Alianza.
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 137-148
III Encuentro GeoGebra Canarias
GeoGebra – Mathematics – Conferences – Kindergarten – Primary – Secondary –
Workshops – Communications
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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Desde el Instituto GeoGebra Canarias teníamos la intención en este encuentro de acercar la
herramienta GeoGebra, hoy en día principalmente utilizada en la etapa de secundaria, a los docentes
que desarrollan su labor en los niveles de infantil y primaria, y por ello decidimos introducir durante la
presente edición un taller específico dedicado a ellos. Eso sin olvidarnos de nuestros objetivos
habituales, que fundamentalmente consisten en dar a conocer el software GeoGebra como herramienta
TIC en el ámbito de la educación y potenciar su uso en el aula por parte de los docentes que ejercen su
labor en la Comunidad Autónoma de Canarias. Por esta razón consideramos interesante la posibilidad
de compartir experiencias de aula realizadas con GeoGebra, así como explorar y conocer las nuevas
características y funcionalidades de las últimas versiones del software.
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Durante los pasados días 10 y 11 de Abril se celebró en Gran Canaria el III Encuentro
GeoGebra Canarias: Infantil, Primaria y Secundaria. El encuentro, organizado por La Sociedad
Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas y el Instituto GeoGebra de Canarias, se realizó en
el CEP Las Palmas de Gran Canaria, con la colaboración de la Consejería de Educación del Gobierno
de Canarias, la Fundación CajaCanarias, el CEP de Las Palmas de Gran Canaria y la red de Institutos
GeoGebra de España.
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1. Introducción
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Keywords
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Meetings for mathematics teachers are an excellent opportunity to promote the
improvement in their teaching performance, through training workshops and exposition
of innovative educational experiences. In this paper we analyze the different workshops,
conferences and communications that took place during the celebration of the Third
Canarian GeoGebra Meeting.
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Abstract
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GeoGebra – Matemáticas – Jornadas – Infantil – Primaria – Secundaria – Talleres –
Comunicaciones
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Palabras clave
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Los encuentros de profesorado de matemáticas representan una excelente oportunidad
para, a través de talleres de formación y la exposición de experiencias innovadoras,
propiciar la mejora en su labor docente. En este artículo analizamos los talleres,
conferencias y comunicaciones que se desarrollaron durante la celebración del III
Encuentro GeoGebra Canarias.
Coordinador: Carlos Ueno Jacue
Resumen
M
Pablo Espina Brito (Instituto de Enseñanza Secundaria Bañaderos–Cipriano Acosta. España)
Nereida M. Santana Almeida (Centro Educativo de Personas Adultas. Santa Lucía de Tirajana. España)
III Encuentro GeoGebra Canarias
Figura 1. Cartel del III Encuentro Geogebra Canarias
Para la inauguración del encuentro presidió la mesa D. Luis Balbuena Castellano, presidente de
la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas, Dª. Elena Díaz Negrín, Directora del
CEP Las Palmas de Gran Canaria, y nuestro compañero y colaborador del Instituto GeoGebra
Canarias D. Juan Agustín Noda Gómez.
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P. Espina Brito, N. M. Santana Almeida
Figura 2. Inauguración del III Encuentro Geogebra Canarias
Entre los ponentes que participaron en el evento pudimos contar nuevamente con la presencia
de D. José Luis Álvarez García (IES N. 5 de Avilés), además de otros docentes destacados en el
panorama GeoGebra nacional como D. Ricardo Alonso Liarte (IES Salvador Victoria, Teruel), D. José
Ignacio Miguel Díaz (CP EL Lloréu, Gijón) y D. Sergio Darias Beautell (IES Teobaldo Power, Santa
Cruz de Tenerife).
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III Encuentro GeoGebra Canarias
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2. Conferencia Inaugural
La conferencia inaugural del encuentro, titulada “GeoGebra: una herramienta para la
investigación en Primaria”, fue impartida de forma online por D. José Ignacio Miguel Díaz desde
Gijón, Asturias.
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Figura 3. Presentación de Miguel Díaz
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José Ignacio ejerce como maestro de primaria en el CP El Lloréu de Gijón, Principado de
Asturias, y sus diversas inquietudes matemáticas le han llevado a crear una página web titulada
“Geometría Primaria” (Miguel Díaz, 2015), en la que se puede acceder a una colección de materiales y
applets GeoGebra, clasificados por elementos geométricos que incluyen líneas, ángulos, triángulos,
cuadriláteros y circunferencias.
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Figura 4. Web Geometría Primaria
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En su conferencia José Ignacio nos invita a plantear un cambio en la manera de impartir
nuestras clases que facilite una mayor implicación del alumnado a través de actividades más prácticas
e interactivas. En matemáticas esta faceta práctica en ocasiones es algo difícil de implementar, pero
herramientas como GeoGebra facilitan mucho la manipulación de los distintos elementos abstractos
que aparecen en el currículo de la asignatura.
El ponente desarrolló su exposición en su centro con un grupo de alumnos y alumnas de
primaria, a los que acompañaban sus padres y madres. En el aula nos explicaron y demostraron cómo
utilizaban GeoGebra en clase. Entre las tareas que nos presentaron durante su demostración podemos
mencionar las siguientes:
También se mostraron aplicaciones de la geometría a la vida real, ejemplificadas mediante el
estudio de los huesos nazaríes o de los mosaicos, entre otros.
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Reconocer distintos polígonos según sus lados (incluso cuando los polígonos no se mostraban
en su posición habitual sino girados).
 Cálculo de operaciones aritméticas (aplicando representaciones geométricas con GeoGebra).
 Cálculo de las áreas de distintos polígonos (regulares e irregulares) y otras figuras sencillas.
Los alumnos y alumnas, de forma intuitiva, se dedicaban a calcular áreas sin que previamente se
hubieran explicado en el aula las correspondientes fórmulas habituales. Para realizar estos cálculos
dividían las figuras en cuadrados de lado unidad y realizaban posteriormente el recuento de los
mismos.
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
Figura 5. Alumna del CP El Lloréu calculando el área de los huesos nazaríes
En la última parte de su exposición el ponente reflexionó sobre las razones por las que no se
suele utilizar GeoGebra en el aula, animando a los asistentes a usarlo y a llevar a cabo un cambio en la
práctica docente que podría irse desarrollando a través de cinco etapas sucesivas: inicialmente
introduciéndolo como herramienta de dibujo, utilizando a continuación applets ya creados por otros
miembros de la comunidad GeoGebra, proponiendo después construcciones básicas a los alumnos, y
pasando en las fases más avanzadas a crear materiales propios para nuestras clases y, finalmente, a
publicarlos y compartirlos con otros usuarios de GeoGebra.
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3. Comunicación
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La comunicación “Vídeo GeoGebra Dance y algo más” del III Encuentro GeoGebra Canarias
fue presentada por D. Sergio Darias Beautell, profesor del IES Teobaldo Power (Santa Cruz de
Tenerife). En el blog “Matemáticas: Teobaldo Power” (Darias Beautell et al., 2015) podemos
encontrar una interesante colección de propuestas didácticas en el área de matemáticas que tanto
Sergio como sus compañeros de departamento han puesto en marcha durante los últimos cursos,
incluyendo algunas basadas en el uso de Geogebra.
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Figura 6. Presentación de Sergio Darias
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Sergio nos propone unir la música y las nuevas tecnologías con las matemáticas mediante dos
actividades enfocadas hacia los cursos de 3º y 4º ESO respectivamente.
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Figura 7. Logos creados por el alumnado de 3º ESO en el IES Teobaldo Power
En la primera propuesta, el docente solicita al alumnado de un grupo de 3º ESO que,
ayudándose de GeoGebra, diseñen logos de naturaleza geométrica aplicando los movimientos del
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Por otro lado, a los alumnos de 4º ESO se les planteó como proyecto de trabajo elaborar un
vídeo musical en el que debían plasmar el proceso de construcción de un fractal con GeoGebra,
aprovechando la posibilidad de creación de nuevas herramientas que ofrece este software.
Posteriormente, los fractales seleccionados mediante una votación del alumnado fueron dibujados (en
tamaño DIN A3) formando un mural sobre una pared del centro habilitada para ello. El enlace del
vídeo, previamente subido a YouTube, debía ser entregado al docente por correo electrónico.
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plano (traslación, giro y simetría) a diversas figuras básicas. Como producto final de esta actividad los
alumnos deberán crear un videoclip con música dance donde se aprecie el proceso que han utilizado en
la elaboración del logo, subirlo a YouTube y enviar el enlace correspondiente al profesor por correo
electrónico para poder así proceder a su evaluación final.
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Figura 8. Actividad propuesta a alumnado de 4º ESO del IES Teobaldo Power
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El taller de primaria, “Actividades para los primeros años: Infantil y Primaria”, fue impartido
por Ricardo Alonso Liarte, miembro del grupo de trabajo “MatemaTIC infantil”.
M
En el encuentro se ofrecieron dos talleres paralelos, que el profesorado asistente tenía que elegir
previamente en la fase de inscripción. El primero iba dirigido a las etapas de infantil y primaria,
mientras que el segundo estaba más orientado hacia la enseñanza secundaria.
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4. Talleres
Y en el taller de secundaria repitió Jose Luis Álvarez, coautor, junto a Rafael Losada Liste, de
los materiales del Proyecto Gauss. En esta ocasión el taller se denominaba “¿Qué pasaría si…?
Investiga con GeoGebra”.
4.1. Taller de Infantil-Primaria: “Actividades para los primeros años: Infantil y Primaria”
Como ya hemos mencionado en la introducción, desde el equipo de organización del III
Encuentro GeoGebra Canarias nos fijamos como uno de los objetivos principales dar relevancia al uso
de GeoGebra en la Educación Primaria. Recabando información sobre docentes que estuviesen
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desarrollando un trabajo de interés en dicha etapa, nos encontramos con los magníficos materiales que
elabora el grupo “MatemaTICinfantil” (MatemaTICinfantil, 2015), al que pertenece el ponente del
taller, Ricardo Alonso Liarte.
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Los recursos elaborados por este grupo se centran fundamentalmente en la etapa de Educación
Infantil y en los primeros cursos de Primaria, lo cual consideramos un valor añadido, ya que muestra
un novedoso enfoque sobre las posibilidades educativas que nos ofrece esta herramienta. Además de
GeoGebra, la Pizarra Digital Interactiva y los dispositivos móviles (tablets) juegan un papel
fundamental a la hora de trabajar con estos materiales. En el blog de su grupo de trabajo
(MatemaTICinfantil, 2015) se ofrecen una serie de videos donde se puede observar cómo se desarrolla
una sesión de trabajo en el aula.
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Figura 9. MatemaTICInfantil
Además (MatemaTICinfantil, 2015) se ofrece una amplia colección de excelentes materiales
categorizados temáticamente o por edades.
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Figura 10. Uno de los muchos recursos que podremos encontrar en el blog
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Cada uno de los recursos elaborados contiene una guía didáctica que resulta muy útil al
profesorado, indicando los contenidos trabajados, objetivos, el modo de uso de las construcciones que
se presentan, la posibilidad que algunas ofrecen de dar respuestas automáticas y, en algunos casos,
vídeos donde se ejemplifica su implementación en el aula, además de incluir el acceso a la escena de
GeoGebra correspondiente.
E
En la primera sesión del taller el ponente hizo un recorrido por una selección de materiales
elaborados por el grupo “MatemaTICinfantil”, exponiendo los objetivos que se pretendían alcanzar en
cada uno de ellos, explicando el uso de las construcciones en el aula, indicando aspectos
metodológicos, etc.
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El taller se desarrolló en dos fases, la primera de carácter expositivo y la segunda con un
enfoque eminentemente práctico.
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Figura 11. Actividad del taller de Primaria
Figura 12. Desarrollo de la primera sesión del taller de Infantil - Primaria
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En la segunda parte del taller los asistentes pudieron realizar con GeoGebra algunas de las
construcciones propuestas por el ponente, utilizando para ello una serie de recursos aportados por el
mismo (colección de imágenes y documentos en los que se describen detalladamente los pasos a
realizar en las distintas actividades propuestas, además de una serie de enlaces que complementan la
información ofrecida).
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Figura 13. Desarrollo de la fase práctica del taller de Infantil - Primaria
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4.2. Taller de Secundaria: “¿Qué pasaría si…? Investiga con GeoGebra”
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José Luis Álvarez García, profesor del IES nº 5 de Avilés, nos propuso en este encuentro un
nuevo taller titulado “¿Qué pasaría si…? Investiga con GeoGebra”. José Luis es coautor, junto a
Rafael Losada Liste, de los materiales creados en el Proyecto Gauss (2012) del INTEF (Instituto
Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado), dependiente del Ministerio de
Educación, Cultura y Deportes. Estos materiales están preparados para ser utilizados directamente en
el aula, incluyendo comentarios y orientaciones para el profesorado, así como actividades para ser
completadas por los alumnos. En la web de José Luis, “El Horru de Pin” (Álvarez García, 2015)
también es posible encontrar, entre otros recursos, diversos materiales de GeoGebra, clasificados en
tres categorías: TIC para enseñar y aprender, TIC para la formación del profesorado y Otras cosas.
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En definitiva, con el taller “Actividades para los primeros años: Infantil y Primaria” el
profesorado asistente ha podido comprobar cómo GeoGebra, usado en este caso conjuntamente con
otros recursos como la PDI y las tablets, puede resultar una herramienta innovadora y motivadora,
facilitando el desarrollo de diversos procesos cognitivos desde las edades más tempranas.
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En TIC para enseñar y aprender Matemáticas se ofrecen la mayor parte de materiales y applets
didácticos, mientras que en TIC para la formación del profesorado existen enlaces a distintos
artículos, cursos y presentaciones que José Luis Álvarez ha llevado a cabo a lo largo de su dilatada
trayectoria como docente. De reciente creación es un apartado especial dentro de la página, “Canarias
2015” (Álvarez García, 2015), donde se tiene acceso al conjunto de presentaciones, construcciones y
documentos que José Luis preparó con ocasión de este evento.
El taller de secundaria se realizó en cuatro sesiones a lo largo de los dos días del Encuentro
GeoGebra Canarias. Durante estas sesiones completamos distintas actividades en las que nos
dedicamos a investigar el mundo de los cuadriláteros.
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Figura 14. Web de José Luis Álvarez García
Figura 15. Desarrollo de la fase práctica del taller de secundaria
Fue una forma fantástica de descubrir las propiedades que tienen el paralelogramo de Varignon,
el paralelogramo de Wittenbauer y los centros asociados a un cuadrilátero (Álvarez García, 2015).
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Para finalizar el taller realizamos una búsqueda del tesoro del rombo (Álvarez García, 2015), donde la
aplicación de las propiedades del rombo en una construcción de GeoGebra nos permitía precisar las
posibles localizaciones geográficas de un tesoro oculto.
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Figura 16. Escena de GeoGebra con el problema del tesoro del rombo
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En el taller de secundaria “¿Qué pasaría si…? Investiga con GeoGebra” el profesorado
asistente pudo descubrir de una manera muy amena la forma de elaborar y presentar actividades de
investigación con GeoGebra, como las mostradas por José Luis sobre los cuadriláteros. Este tipo de
recursos, además, permite al alumnado extraer sus propias conclusiones sobre distintos elementos
matemáticos, fomentando la imaginación y el disfrute en el desarrollo de procesos de investigación.
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5. Conclusión
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Hemos observado en la conferencia inaugural otra forma de plantear el trabajo al alumnado,
guiándolo en sus tareas para que ellos mismos saquen sus propias conclusiones. GeoGebra permite dar
otro punto de vista a la asignatura de matemáticas, como por ejemplo a la hora de trabajar con figuras
geométricas, distinto al que se suele dar habitualmente en los libros de texto.
A
En la comunicación que presentó Sergio Darias Beautell también hemos visto otra forma de
integrar las matemáticas y las nuevas tecnologías: Mezclar música, creación y edición de vídeos y
GeoGebra resulta una buena combinación para fomentar una mayor implicación de todos los alumnos
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El III Encuentro Geogebra Canarias ha sido una oportunidad para acercar a los docentes de
infantil, primaria y secundaria ideas y materiales para usar en el aula. Los docentes de secundaria que
ya han asistido a otros encuentros han podido profundizar en el uso de la herramienta y comprobar las
actualizaciones que se han realizado en el software y que incorporan interesantes novedades (ventana
gráfica 3D, cálculo simbólico, etc…).
III Encuentro GeoGebra Canarias
P. Espina Brito, N. M. Santana Almeida
Los encuentros GeoGebra Canarias siguen siendo un punto de reunión para obtener ideas y
actualizarse en el mundo de las TIC y, en particular, en los múltiples usos y posibilidades de
GeoGebra. La asistencia de docentes de distintas etapas nos permite tomar contacto con una amplia
variedad de recursos y aproximaciones a nuestra materia y a su currículo, dándonos una perspectiva
más amplia sobre la educación matemática y sobre cómo transmitirla de la manera más eficaz y
formativa posible a nuestros alumnos.
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en un proyecto atractivo e integrado. Como se pudo ver en dicha comunicación siempre nos podremos
llevar gratas sorpresas con los resultados de un proyecto de estas características.
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Bibliografía
Álvarez García, J.L. (2015). El Horru de Pin. Recuperado el 2 de junio de 2015, de
http:/www.pepe.jupenoma.es/
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de junio de 2015, de http://catedu.es/MatemaTICinfantil/?tag=con-video-en-el-aula
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http://recursostic.educacion.es/gauss/web/
Pablo Espina Brito. Profesor de Matemáticas de Enseñanza Secundaria en IES Bañaderos – Cipriano
Acosta. Colaborador del Instituto Geogebra Canarias. Las Palmas, Canarias, España.
Email: pebrito@gmail.com
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Nereida María Santana Almeida. Profesora de Matemáticas de Enseñanza Secundaria en CEPA Santa
Lucía de Tirajana. Colaboradora del Instituto Geogebra Canarias. Las Palmas, Canarias, España.
Email: nereida.m.santana@gmail.com
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 149-167
Los problemas anteriores y lo que nuestros lectores nos escriben
(Problemas Comentados XL)
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Resolvemos los problemas propuestos en anterior artículo usando las cuatro fases de:
Fase I - Comprender, Fase II - Pensar, Fase III - Ejecutar y Fase IV – Responder, usando
tablas para ordenar la información e ir elaborando las respuestas. Se soluciona el
problema planteado en la 41 OIM de Korea, con algunas variantes. También se
reproducen y comentan las soluciones enviadas por lectores de la revista y proponemos
dos desafíos para ser resueltos en el próximo artículo: el asno Marcovaldo y la ley de las
amazonas.
Palabras clave
Resolución de problemas en cuatro fases. Organización de datos en tablas de doble
entrada. Participación de lectores.
Abstract
We solve problems set in previous article using the four phases: Phase I – Understand,
Phase II - Think, Phase III - Implement and Phase IV – Reply, using tables to sort the
information and go preparing replies. The problem raised in the 41 IMO (Korea), with
some variations is solved. They also reproduce and discuss the solutions submitted by
readers of the magazine and propose two challenges to be resolved in the next article:
Marcovaldo Ass and The Law Of The Amazons.
Keywords
Solving problems in four phases. Organization of data on double-entry tables.
Participation of readers.
Se dejaron propuestos en el artículo Problemas comentados XXXIX (“¿Y si el problema no
tiene solución?”, volumen 88 de NÚMEROS) varios problemas que ahora pasamos a considerar y
solucionar.
El primero, extraído de la sección O PROBLEMA DESTE NÚMERO, a cargo de JOSÉ
PAULO VIANA, en la revista portuguesa “Educação e Matemática”, Nº 126, correspondiente a
Enero/Febrero de 2014.
Las edades de las vecinas
Padre: — «Acabo de encontrar a nuestras nuevas vecinas, una señora y sus dos hijas. Voy a
proponerte un problema para descubrir que edades tienen ellas.»
Hijo: — «¡Bravo! Ya sabes que me gustan los desafíos.»
Padre: — «El producto de sus edades es 2450.»
1
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. jaruperez@gmail.com / mgarciadeniz@gmail.com
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de Profesores de Matemáticas
P R O B L E M A S
Resumen
Los problemas anteriores y lo que nuestros lectores nos escriben. Problemas comentados XL
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Hijo: — «Eso por sí solo no es suficiente.»
Padre: — «La suma de las tres edades es el cuádruplo de la tuya.»
Hijo (después de pensar un momento): — «Todavía no puedo.»
Padre: — «Soy más joven que la madre de las niñas.»
Hijo (que sabe la edad del padre): — «¡Ah, entonces ya lo sé!»
¿Qué edades tienen los cinco personajes de esta historia?
Proceso de resolución
Fase I. Comprender
Datos: Una señora y sus dos hijas. Un señor y su hijo.
Objetivo: Las edades de los cinco personajes.
P R O B L E M A S
Relación: Las restricciones dadas para las edades de la señora y sus hijas,
El producto de sus edades es 2450. La suma de las tres edades es el cuádruple de la del hijo.
El hijo sabe su propia edad y la de su padre. El padre es más joven que la señora.
Diagrama: Una tabla de posibilidades.
Fase II. Pensar
Estrategias: Organizar la Información. Eliminar.
Fase III. Ejecutar
Haremos una lista en forma de tabla para las tres edades posibles para un producto de 2450.
Y una descomposición en factores: 2450 = 1 x 2 x 5 x 5 x 7 x 7
Madre
Hija 1ª
Hija 2ª
7x7
7x7
7x5x2
7x5x2
7x5
7x5
5x5x2
5x5
5x2
7x5
7
7x2
5x2
7
2
5
1
5
5
7
7
Se han eliminado aquellas combinaciones en que la madre tiene una edad muy alta (7 x7 x 5 o 7
x 7 x 2) o aquellas en que alguna de las hijas está muy cerca de la edad de la madre.
El tercer y cuarto casos de la tabla es conveniente eliminarlos también por razones de salud, que
no por imposibilidad ya que hoy existe la inseminación artificial.
Debemos estudiar, pues, los casos que han quedado a la luz de la segunda restricción.
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NÚMEROS
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Madre
Hija 1ª
Hija 2ª
Suma
¿Múltiplo de 4?
49
49
35
35
50
25
10
14
10
7
2
5
5
7
7
49 + 25 + 2 = 76
49 + 10 + 5 = 64
35 + 14 + 5 = 54
35 +10 + 7 = 52
50 + 7 + 7 = 64
Sí
Sí
No
Sí
Sí
La suma ha de ser el cuádruplo de la edad del hijo. Aunque no sabemos esa edad, sí sabemos
que la suma ha de ser múltiplo de 4. Esa restricción sólo la cumplen cuatro de los casos.
Hija 1ª
Hija 2ª
Suma
¿Múltiplo de 4?
49
49
35
50
25
10
10
7
2
5
7
7
49 + 25 + 2 = 76
49 + 10 + 5 = 64
35 +10 + 7 = 52
50 + 7 + 7 = 64
Sí
Sí
Sí
Sí
Para seguir eliminando debemos tener en cuenta ahora las restricciones para el padre y su hijo.
Nosotros no sabemos la edad del hijo pero él sí la sabe. Si ha dicho que todavía no puede saber cuál es
la combinación adecuada es porque hay varias con el mismo valor. Eso sólo ocurre para el valor 64.
Las otras dos las podemos eliminar. Y, además, ya podemos saber la edad del hijo 64 : 4 = 16 años.
Madre
Hija 1ª
Hija 2ª
Suma
¿Múltiplo de 4?
49
50
10
7
5
7
49 + 10 + 5 = 64
50 + 7 + 7 = 64
Sí
Sí
Para decidir cuál de las dos es la correcta nos quedan aún dos restricciones: el hijo sabe la edad
de su padre y éste le dice que es más joven que la madre. El hijo, ante la última afirmación de su
padre, dice que ya lo sabe. Eso no ocurriría si su padre tuviese menos de 49 años, sino que seguiría
dudando.
Si ahora está seguro es porque su padre tiene 49 años y la madre de las vecinas 50 años. Y, por
lo tanto, leyendo en la tabla: las hijas son gemelas con 7 años.
Solución: Entonces el padre tiene 49 años, la madre de las vecinas 50, las hijas son gemelas con
7 años y la edad del chico es 16.
Fase IV. Responder
Comprobación: Bastará con ver que a partir de las soluciones se cumplen todas las restricciones
del problema. Y así es, una por una.
Análisis: La solución es única. En el caso de que matemáticamente hubiese otra, sería imposible
física y/o humanamente.
Respuesta:
Entonces el padre tiene 49 años, la madre de las vecinas 50, las hijas son gemelas con 7
años y la edad del chico es 16.
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P R O B L E M A S
Madre
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Tenemos que hacer referencia a los problemas de este tipo porque se ha producido un fenómeno
a través de las redes sociales con un problema similar a éste, acerca de una fecha de nacimiento.
Nosotros ya hicimos en su día un análisis exhaustivo de variantes de este problema de las
edades; les recordamos que pueden consultarlos en la revista NÚMEROS, en los números 66 y 67
dentro de la sección de Problemas Comentados, con el título genérico de “Las edades de las hijas del
caníbal”.
El segundo fue propuesto por Hungría en la 41ª Olimpiada Matemática Internacional, celebrada
en Taejon (Corea del Sur) en Julio de 2000 y citado por el profesor Pedro Alegría en su “La
Matemagia desvelada”.
P R O B L E M A S
El truco de las tarjetas numeradas repartidas en tres cajas
Un mago tiene cien tarjetas numeradas, del 1 al 100. Las coloca en
tres cajas, una blanca, una roja y una azul, de tal manera que cada
caja contiene por lo menos una tarjeta. Un espectador selecciona
dos de las tres cajas, extrae una tarjeta de cada una y anuncia a la
audiencia la suma de los números de las dos tarjetas elegidas. Al
conocer esta suma, el mago identifica la caja de la cual no se ha
elegido ninguna tarjeta.
¿De cuántas maneras se pueden distribuir todas las tarjetas en
las cajas de modo que este truco siempre funcione?
Propón y estudia otras variantes del problema.
Resolvamos primero el problema tal y como está planteado originalmente, puesto que el último
párrafo es un añadido nuestro.
Las condiciones son:
a. Cien tarjetas numeradas del 1 al 100.
b. Tres cajas donde colocar las tarjetas de colores blanco, rojo y azul. (B, R, A)
c. En cada caja debe haber al menos una tarjeta.
d. Se seleccionan dos de las cajas. (B, R) (B, A) (R, A)
e. Se extrae una tarjeta de cada una. (b, r) (b, a) (r, a)
f.
Se suman los valores de las tarjetas y se dice esta suma. (b + r) (b + a) (r + a)
Ahora el mago debe decir de qué cajas se extrajeron las tarjetas.
El reparto de las tarjetas debe ser tal que las sumas sean únicas para cada pareja de cajas, no
pudiéndose dar el que de dos combinaciones distintas de cajas se obtenga una misma suma para las
tarjetas extraídas. No cabe un reparto simple en tres partes.
Tras pensar en las posibles combinaciones, repartimos de la siguiente manera:
B(1), R(100) y A({n/2<n<100}).
De esta manera, las sumas posibles para cada par de cajas son:
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NÚMEROS
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X = b + r = 1 + 100 = {101}
Y = b + a = {m/3<m<101} y
Z = r + a = {p/102<p<200}.
Tenemos tres conjuntos de valores para las sumas posibles:
X = b+r, Y = b+a y Z = r+a
cuyas intersecciones, dos a dos, son vacías.
X∩Y=X∩Z=Y∩Z=∅
No cabe confusión a la hora de identificar cuál es la pareja de cajas de la que se han extraído las
tarjetas numeradas, y por tanto, de qué caja no se ha extraído una tarjeta.
P R O B L E M A S
Tal y como está formulada la pregunta, la respuesta sería:
Se pueden distribuir de seis maneras:
B(1), R(100) y A(2<n<100)
B(1), R(2<n<100) y A(100)
B(100), R(1) y A(2<n<100)
B(100), R(2<n<100) y A(1)
B(2<n<100), R(100) y A(1)
B(2<n<100), R(1) y A(100)
¡Aunque el mago tiene solo tres respuestas posibles: la Blanca, la Roja o la Azul!
En este problema es muy importante el leer atentamente el enunciado pues las maneras en que
puede responder el mago no es la respuesta a la cuestión planteada en la pregunta formulada.
El planteamiento y estudio de las variantes ayuda a encontrar la solución, que parece ser única.
Variantes del problema.
Variantes
Conservando alguno de los aspectos enumerados anteriormente:
a.
f.
Cien tarjetas numeradas del 1 al 100.
Se suman los valores de las tarjetas y se dice esta suma: (b + r), (b + a) o (r + a)
Se nos ocurren las siguientes variantes:
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1. Cambiar el número de cajas (dos cajas, cuatro cajas…)
2. Cambiar la manera de repartir las tarjetas en las cajas.
3. Cambiar las condiciones de la extracción.
Ponemos los siguientes ejemplos de variantes como un trabajo de investigación que se pueden
llevar a cabo en el aula:
A. Dos cajas (la blanca y la roja). Ninguna caja vacía. Al menos dos fichas por caja.
1. Repartir y sacar dos; decir su suma y deducir si se han sacado las dos de una caja o
una de cada caja.
2. Repartir y sacar dos de una caja y sumar los números. Deducir si es de la caja blanca o
de la roja.
3. Sacar dos fichas –de una o de las dos cajas- y decir de que caja salieron.
P R O B L E M A S
B. Tres cajas, ninguna vacía.
1. Repartir en las tres cajas las fichas. Sacar dos fichas de dos de las cajas y decir la
suma. Deducir de qué cajas se han sacado.
2. Repartir en las tres, sacar dos y decir la suma. Deducir si se han sacado de una caja o
de dos.
A1)
Colocamos los valores pares en una y los impares en otra. De esta manera, si la suma es par se
han sacado de una caja (no sabemos de cual), y si la suma es impar se han sacado de las dos
cajas.
A2)
Si colocamos en B del 1 al 50 y en R del 51 al 100, tendremos que 3 ≤ B + B ≤ 99, mientras que
103 ≤ R + R ≤ 199, siendo imposible obtener las sumas 100, 101 o 102.
A3)
Colocamos en B el 1 y el 2, y el resto en R.
Si suman 3, las hemos sacado de B.
Si suman otro valor, no sabemos si son las dos de R o una de B y otra de R, pues hay
solapamiento en los resultados.
Esta variante no parece tener solución
B1)
Ya está resuelto. No vemos otra solución.
B2)
Al dividir las tarjetas entre las tres cajas, siempre hay solapamiento en las sumas, lo que impide
saber si salen de una caja o de dos.
Nos toca ahora dar la voz a nuestros lectores. Son muchos los que nos hablan de que siguen
nuestra sección, pero pocos los que nos envían sus reflexiones, soluciones o nuevos problemas.
Entre los que sí lo hacen está Luis Ángel Blanco Fernández, que esta vez hace un comentario y
nos remite una solución acerca de los problemas propuestos en el nº 87 de la revista, correspondiente
al artículo 38 de Problemas Comentados.
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NÚMEROS
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‹‹He estado trabajando en los problemas que han publicado en el último número
de la revista "Números". Adjunto el proceso de solución del problema 2, el de hallar
números de tres cifras.
Respecto al problema 1, que en principio parecía más sencillo, no he encontrado
solución, pero creo que se trata por una errata en el artículo. Era sobre números
triangulares, y había que conseguir que los números colocados en sus tres lados
debieran sumar 22. Y ahí creo que está la errata, pues no existe ninguna combinación de
números que permita ese resultado. ¿Puede ser que el resultado de la suma fuera 23? De
hecho las sumas de los lados pueden ser 17, 20 ó 23. Y aunque no te puedo enviar la
demostración por escrito, porque no he tenido tiempo de redactarlo he averiguado el
proceso para analizar todas las soluciones posibles.››
Es evidente que la duda fue aclarada en su día al dar la respuesta en esta misma sección.
‹‹Problema:
P R O B L E M A S
Hallar los números de tres cifras tales que la suma de sus cifras multiplicada por 11, es
igual a la diferencia entre dicho número y su “reverso”.
Desarrollé este problema por álgebra hasta que llegué a un punto en que no supe
seguir, luego lo intenté resolverlo con una hoja de cálculo, consiguiendo todas las
soluciones y a partir de ahí comprendí como continuar el problema por álgebra,
obteniendo las mismas soluciones.
Datos: Números de 3 cifras.
Relación: La suma de las cifras multiplicado por 11 es igual a la diferencia del
número con su reverso.
Objetivo: Hallar todos los números que cumplen esa condición.
Expresión matemática: 11 (A+B+C) = (100A + 10B + C)  (A + 10B + 100C)
11 (A+B+C) = 99A  99C
A+B+C = 9 (A  C)
Cuando llegué a este punto no supe cómo continuar, cuando realmente estaba ya
bastante clara la solución. En este momento opté por la vía de utilizar una hoja de
cálculo para analizar uno a uno todos los números de 3 cifras, obteniendo fácilmente los
17 números que cumplen la condición del problema:
162, 180, 243, 261, 324, 342, 405, 423, 486, 504, 567, 648, 684, 729, 765, 846 y 927
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P R O B L E M A S
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En este momento y tras estudiar los números fui capaz de continuar con el problema en
su resolución algebraica:
A+B+C = 9 (A  C)
De esta expresión se obtiene la siguiente información:
1) La suma de los tres dígitos ha de ser múltiplo de 9
2) El valor absoluto de A  C no puede ser 0 pues no hay números de tres cifras cuyas
cifras sumen 0
3) El valor absoluto de A  C no puede ser 3 o mayor de 3, porque entonces, 9 (A  C)
sería igual a 27, y por tanto A+B+C tendría que ser el número 999, que es el único
cuyas cifras suman 27, pero la diferencia con el inverso sería 0.
4) El valor absoluto de A - C tiene que ser igual a 1 o igual a 2
Si |A  C| = 1, entonces 9 (|A  C|) = A+B+C = 9
A
C
B
Número ABC
A+B+C Múltiplo de 9
Y sus inversos CBA
1
1
2
3
4
0
2
3
4
5
8
6
4
2
0
180
162
243
324
405
9
9
9
9
9
--261
342
423
504
Si |A  C| = 2, entonces 9 (|A  C|) = A+B+C = 18
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NÚMEROS
Los problemas anteriores y lo que nuestros lectores nos escriben. Problemas comentados XL
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A
C
B
Número ABC
A+B+C Múltiplo de 18
Y sus inversos CBA
4
5
6
7
6
7
8
9
8
6
4
9
486
567
648
799
18
18
18
18
684
765
846
997
Con lo que obtenemos las mismas soluciones que utilizando la hoja de cálculo.>>
Otro de nuestros lectores, José Ignacio Martínez, se presenta y nos hace un comentario sobre un
problema propuesto por nosotros hace algún tiempo y que, en su día, provocó algunos escritos con
soluciones varias. Llega a la misma solución que nuestra lectora la profesora Nora Ferreyra, de
Argentina, publicada en el NÚMEROS, pero con otro enfoque. Gracias por tu amable aportación.
‹‹Me llamo José Ignacio Martínez y doy clase de Matemáticas en 1º y 2º ESO en un
Centro Concertado de la ciudad de Burgos.
P R O B L E M A S
Estoy preparando a un reducido grupo de alumnos para su participación en la
Olimpiada Matemática y he trabajado un problema que ustedes publicaron en la Revista
nº 73, (Cinco amigos y una pesa). En la revista nº 75, el lector S. Alexander Hernández
Hernández argumentó que este problema no tiene solución. Yo creo que se equivoca y en
el archivo adjunto les envío mi solución.
Un cordial saludo
El enunciado del problema propuesto en la revista nº 73 (problemas comentados
XXIV) dice así:
Cinco amigos y una pesa
Cinco amigos se pesan de dos en dos de todas las formas posibles. Los pesos de las parejas son:
90, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 100 y 101 kilos. ¿Cuál es el peso del conjunto de los cinco?
Solución
Peso de cada persona:
persona a
peso
49
b
44
c
46
d
48
e
52
Pesos por parejas:
a+b a+c a+d a+e b+c b+d b+e c+d c+e d+e
93 95 97 101 90 92 96 94 98 100
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Método de trabajo:
Como el peso total de las cinco personas es 239 kg, que es número impar, caben seis
posibilidades:
P R O B L E M A S
a) Que el peso de cada uno sea par. No es posible, porque la suma de todos sería par.
b) Que el peso de uno sea impar y el de los otros sea par. La suma total sería impar y
habría cuatro parejas impares y seis pares.
c) Que el peso de dos sea impar y el de los otros tres sea par. No es posible, porque la
suma total sería par.
d) Que el peso de tres sea impar y el de los otros dos sea par. La suma total sería
impar, pero habría seis parejas impares y cuatro pares.
e) Que el peso de cuatro sea impar y el del otro sea par. No es posible, porque la
suma total sería par.
f) Que el peso de todos y cada uno sea impar. La suma total es impar, pero el valor
de cada pareja sería par.
Solamente el caso b) cumple todas las condiciones. Tiene que haber un peso impar y
cuatro pares.
Por ensayo-error, y con sistemas de ecuaciones, no es difícil llegar a la conclusión
que he ofrecido al principio.››
Un profesor del Colegio Nuryana de La Laguna no sabemos si tras una visita al famoso Loro
Parque del Puerto de la Cruz (Tenerife), nos ha hecho llegar la solución y el razonamiento empleado
por uno de sus alumnos, Noé Rizo, sobre un problema del Proyecto Newton, extraído del Rally
Matemático Transalpino.
El problema es éste:
Los loros coloreados
Los huevos puestos por el loro de Marcos han eclosionado.
Cada pajarillo recién nacido es de un solo color: amarillo,
rojo, verde o azul.
Marcos observa que los recién nacidos son:
 todos rojos excepto 15,
 todos amarillos excepto 12,
 todos verdes excepto 14,
 todos azules excepto 13.
¿Cuántos loritos recién nacidos tiene Marcos? ¿Cuántos de cada color?
Explicad vuestro razonamiento.
Y Noé lo resuelve así:
Rojos hay menos. Amarillos hay más: 15 > 14 > 13 > 12, van de unidad en unidad
Las soluciones también irán de unidad en unidad
Buscar tres números que vayan de unidad en unidad y que sumen 15
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NÚMEROS
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Sólo se puede hacer con 6 + 5 + 4 = 15
Ahora con el 12  3 + 4 + 5 = 12
Con el 13  3 + 4 + 6
Con el 14  3 + 5 + 6
Azules: 5
Verdes: 4 Rojos: 3 Amarillos: 6
En total hay 3 + 4 + 5 + 6 = 18.>>
Nosotros teníamos las siguientes formas de resolverlo, quizá por la fijación que en la docencia
en el campo de la resolución de problemas nos ha imbuido:
P R O B L E M A S
Proceso de resolución
Fase I. Comprender
Datos: Cada lorito recién nacido es de un solo color: amarillo, rojo, verde o azul.
Objetivo: Cuántos loritos recién nacidos tiene Marcos. Cuántos de cada color.
Relación: Marcos observa que los recién nacidos son:
-
todos rojos excepto 15,
todos amarillos excepto 12,
todos verdes excepto 14,
todos azules excepto 13.
Diagrama: Tabla simple para ensayos.
Ensayos: Total de loritos
Loros rojos
Loros amarillos
Loros verdes
Loros azules
Total
Partes/Todo
Loritos recién nacidos
Loros rojos
Loros amarillos
Loros verdes
Loros azules
Fase II. Pensar
Estrategias: Ensayo y Error. Organizar la Información.
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Fase III. Ejecutar
Por Ensayo y Error:
Darse cuenta de que el número n de loritos es superior a 15 y proceder por ensayos:
Ensayos: Total de loritos
Loros rojos
Loros amarillos
Loros verdes
Loros azules
Total
16
16 – 15 = 1
16 – 12 = 4
16 – 14 = 2
16 – 13 = 3
10
P R O B L E M A S
Si n = 16 entonces habría 1 Rojo (16 – 15), pero entonces, según las condiciones siguientes,
habría también 4 Amarillos, 2 Verdes y 3 Azules y su suma sería 10 y no 16, como habíamos
supuesto en el ensayo. Error.
Hacemos un nuevo ensayo.
Ensayos: Total de loritos
Loros rojos
Loros amarillos
Loros verdes
Loros azules
Total
16
17
16 – 15 = 1
2
16 – 12 = 4
5
16 – 14 = 2
3
16 – 13 = 3
4
10
14
Si n = 17 entonces habría 2 Rojos (17 – 15), pero entonces, según las condiciones siguientes,
habría 5 Amarillos, 3 Verdes y 4 Azules y su suma sería 14 y no 16. Error.
Hacemos otro ensayo.
Ensayos: Total de loritos
Loros rojos
Loros amarillos
Loros verdes
Loros azules
Total
16
17
18
16 – 15 = 1
2
3
16 – 12 = 4
5
6
16 – 14 = 2
3
4
16 – 13 = 3
4
5
10
14
18
Si n = 18 entonces habría 3 Rojos, 6 Amarillos, 4 Verdes y 5 Azules, donde la suma
representaría efectivamente 18 loritos. Acierto.
Es necesario darse cuenta que n = 18 es la única solución porque si n es superior a 18, la suma
Rojos + Amarillos + Verdes + Azules sería superior a n (y el resultado aumentaría con el crecimiento
de n).
Podemos Organizar la Información mediante el uso del Álgebra:
Loritos recién nacidos
Loros rojos
160
Vol. 89
Loros amarillos
julio de 2015
Loros verdes
Loros azules
NÚMEROS
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Sería necesario repetir el diagrama cuatro veces, tomando como partes (y sus etiquetas) grupos
formados por tres de las partes (tal y como se expresa en la relación).
Darse cuenta que “son todos rojos excepto 15” equivale a decir que hay 15 no-rojos (es decir,
los amarillos, los verdes y los azules) y llegar así (preálgebra) a la ecuación
Amarillos + Verdes + Azules = 15,
Proceder de manera análoga para los otros colores y llegar a otras tres ecuaciones
Rojos + Verdes + Azules = 12
Rojos + Amarillos + Azules = 14
Rojos + Amarillos + Verdes = 13;
3 (Rojos + Amarillos + Verdes + Azules) = 15 + 12 + 14 + 13 = 54
y deducir como consecuencia que el número total de loritos 54 : 3 = 18.
Concluir, a partir de este resultado, que hay 3 loritos rojos (18 – 15), 6 amarillos (18 – 12), 4
verdes (18 – 14) y 5 azules (18 – 13).
Solución: Hay 18 loritos: 3 loritos rojos, 6 amarillos, 4 verdes y 5 azules.
Fase IV. Responder
Comprobación: Realizar las operaciones necesarias para constatar que se cumplen las
condiciones de la relación:
3 + 6 + 4 + 5 = 18
18 – (6 + 4 + 5) = 18 – 15 = 3 loritos rojos
18 – (3 + 4 + 5) = 18 – 12 = 6 loritos amarillos
18 – (3 + 6 + 5) = 18 – 14 = 4 loritos verdes
18 – (3 + 6 + 4) = 18 – 13 = 5 loritos azules
Análisis: La solución es única. Se puede constatar con ensayos (como se hizo en la estrategia de
Ensayo y Error) utilizando un valor inferior y otro superior a 18.
Respuesta
Hay 18 loritos: 3 loritos rojos, 6 amarillos, 4 verdes y 5 azules.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
161
P R O B L E M A S
Resolver el sistema por sustituciones sucesivas, o darse cuenta de que sumándolas miembro a
miembro se obtiene:
Los problemas anteriores y lo que nuestros lectores nos escriben. Problemas comentados XL
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Hay un aspecto interesante del Proyecto Newton que ya hemos comentado algunas veces. Se
trata del Blog para las Familias, cuyo administrador es precisamente Luis Ángel Blanco Fernández.
Rincón matemático para las familias.
P R O B L E M A S
Su dirección es:
http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/edublogs/proyectonewton/category/principal/
Entre las últimas entradas del blog se encuentra el problema famoso de la fecha de nacimiento
que mencionamos al comienzo del artículo. Podrán ver también los numerosos comentarios que dicho
problema suscitó y, naturalmente, la solución del mismo.
Otro blog interesante, que está conectado personalmente con nosotros y también está enlazado
con el Blog del Proyecto Newton es Mates y Más, del profesor andaluz José María Vázquez. Aparte
de la dedicación que da a la resolución de problemas está su entusiasmo por el Geogebra, lo que hace
que utilice mucho dicho programa para presentar los enunciados y las soluciones. Muy recomendable.
Su dirección es: http://www.matesymas.es/.
Queremos llamar la atención sobre dos publicaciones relacionadas con la matemática recreativa.
La primera es de la Real Sociedad Matemática Española y publicada por la editorial SM. Se
trata de una obra colectiva dedicada a la memoria de Martin Gardner, con el título de “Gardner para
principiantes”, coordinado por Fernando Blasco y una estructura curiosa, trece capítulos, uno por cada
carta de un palo de la baraja.
La segunda es de la Federación
Española de Sociedades de Profesores de
Matemáticas, se titula “Cervantes, Don
Quijote y las matemáticas” y sus autores son
Luis Balbuena Castellano y Juan Emilio
García Jiménez.
Recomendamos
lecturas interesantes.
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Vol. 89
julio de 2015
ambas
como
dos
NÚMEROS
Los problemas anteriores y lo que nuestros lectores nos escriben. Problemas comentados XL
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Resolver un problema consiste en partir de una información conocida, gestionar adecuadamente
la información dada y obtener una respuesta a la pregunta formulada sobre una información
desconocida pero relacionada con la anterior.
Para realizar esa gestión debemos tener en cuenta tres cosas:
1º) Gestionar la información conocida, organizarla, clasificarla, secuenciarla, ordenarla,
sistematizarla, distribuirla espacialmente sobre un gráfico o diagrama.
2º) Gestionar el campo matemático a qué hace referencia la estructura del problema.
3º) Gestionar la estrategia o camino más adecuado para emprender la ejecución, eligiéndola de
acuerdo con las gestiones anteriores.
¡Cuántas manzanas!
Ángela tiene cierto número de manzanas en un cesto, se come dos y decide distribuir las
manzanas restantes, en partes iguales, entre Beatriz y Carla. Beatriz y Carla se comen una cada
una. Después cada una de ellas distribuye sus manzanas, en partes iguales, entre otras dos
amigas: Beatriz da una parte a Daniela y una a Ester, Carla da una parte a Francisca y una a
Gabriela.
Daniela, Ester, Francisca y Gabriela comen una manzana cada una. Francisca observa que le
quedan cuatro manzanas.
¿Cuántas manzanas tenía Ángela en su cesto antes de comer sus manzanas?
Explicad cómo habéis encontrado vuestra respuesta.
Proceso de resolución
Fase I. Comprender
Datos: A Francisca le quedan cuatro manzanas.
Información oculta: entender que a cada una de las cuatro últimas amigas le quedan 4
manzanas, como a Francisca.
Objetivo: Averiguar las manzanas que tenía Ángela en su cesto al comienzo
Relación: Ángela tiene cierto número de manzanas, se come dos y reparte el resto en partes
iguales entre Beatriz y Carla. Beatriz y Carla se comen una cada una. Después reparten las restantes en
partes iguales entre Daniela y Ester, Francisca y Gabriela. Daniela, Ester, Francisca y Gabriela comen
una manzana cada una.
Diagrama: Tabla simple para ensayo y error
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
163
P R O B L E M A S
Veamos un ejemplo de problema, el nº 10 de la Final del 21 º Rally Matemático Transalpino.
Recordamos que los problemas del RMT están protegidos por derechos de autor. Para utilizarlos en
clase, se ruega indicar la procedencia del problema con la fórmula "©ARMT" o de indicarlo en el
encabezamiento de la página.
Los problemas anteriores y lo que nuestros lectores nos escriben. Problemas comentados XL
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Diagrama de flechas
Diagrama de árbol
Fase II. Pensar
Estrategias: Ensayo y Error
Organizar la Información
Ir hacia atrás
Fase III. Ejecutar
P R O B L E M A S
Mediante Ensayo y Error
Elegir un número inicial para las manzanas del cesto e imaginar la situación. Ángela come 2,
después de lo cual el número de manzanas restantes debe ser igualmente par de manera que se pueda
repartir en dos partes, por tanto también el número inicial de manzanas debe ser par.
Adecuar la elección del número inicial para tener la posibilidad en cada subdivisión de poder
llegar a las 4 manzanas por cabeza al final.
Inicio
Come 2
Reparto 1º
Comen 1
Reparto 2º
Comen 1
4
Tiene que ser un número par, para poderlo dividir entre 2.
Inicio
Come 2
Reparto 1º
Comen 1
Reparto 2º
18
16
20
22
24
16
14
18
20
22
8
7
9
10
11
7
6
8
9
10
No puede
3
4
No puede
5
Comen 1
Resto
2
3
4
<4
<4
4
=4
Mediante Organizar la información es sencillo darse cuenta que la totalidad de manzanas es la
suma de las que quedan y las que se comen.
Las que sobran son 4 x 4 = 16. Las que se comen son: 2 + 2 + 4 = 8.
Ángela, 2. Beatriz y Carla, una cada una, 2. Daniela, Ester, Francisca y Gabriela, una cada una,
4. Es decir, las manzanas en el cesto eran 16 + 8 = 24.
Mediante Ir hacia atrás
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NÚMEROS
Los problemas anteriores y lo que nuestros lectores nos escriben. Problemas comentados XL
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Podemos realizar un diagrama de flechas que represente las acciones sucesivas realizadas a
partir del cesto de manzanas inicial y con sólo una línea de reparto.
La mitad
Come 2
La mitad
Come 1
4
Come 1
Ángela come 2 y luego da la mitad a Beatriz; ésta come 1 y da la mitad a Francisca, que a su
vez come 1 y le quedan 4.
Realizamos el diagrama inverso:
Añade 1
5
22
Doble
Doble
10
11
Añade 1
24
Añade 2
Después de haber comido una manzana, Francisca tiene todavía 4 manzanas, por lo tanto había
recibido 5. Cinco es la mitad de lo que Carla ha repartido. Puesto que ella ha comido una, Carla había
recibido 5 × 2 + 1 = 11 manzanas. Once es la mitad de las que Ángela repartió. Puesto que ella ha
comido dos, Ángela tenía inicialmente 11 × 2 + 2 = 24 manzanas en su cesto.
Si se trazan todas las líneas de reparto, entonces tendremos un diagrama de árbol:
Beatriz
Ana
Daniela
Come 1
4
Ester
Come 1
4
Francisca
Come 1
4
Gabriela
MITAD
Come 1
4
Come 1
Come 2
Carla
Come 1
MITAD
Se procedería de manera similar a las anteriores, por Ensayo y Error o mediante Ir Hacia Atrás.
Solución: 24 manzanas
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4
Los problemas anteriores y lo que nuestros lectores nos escriben. Problemas comentados XL
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Fase IV. Responder
Comprobación:
Realizando en forma directa lo sucedido a partir de las 24 manzanas iniciales obtenemos:
24  24 – 2 = 22  22 : 2 = 11  11 – 1 = 10  10 : 2 = 5  5 – 1 = 4
Análisis: La solución es única.
Respuesta:
Ángela tenía 24 manzanas en su cesta antes de empezar a comer y repartir.
P R O B L E M A S
Y, finalmente, un par de problemas para que vayan pensando en ellos e intenten resolverlos
durante el tiempo de espera hasta la siguiente entrega.
Este primero es también del RMT, concretamente el nº 13 de la Final de la 22ª edición.
El asno Marcovaldo
Berto utiliza su asno Marcovaldo para transportar las manzanas de su huerto a la tienda en la
ciudad, donde se venderán. La tienda dista 30 km del huerto y Berto ha producido 90 kg de
manzanas.
Marcovaldo es capaz de transportar 30 kg de manzanas a la vez, pero por cada kilómetro
recorrido llevando manzanas, come 1 kg. No come nada si no está cargado.
Berto se ha dado cuenta de que si Marcovaldo hiciese 30 km en un solo trayecto, partiendo con
30 kg, se comería todas las manzanas.
Decide entonces organizar depósitos entre el huerto y la tienda.
Por ejemplo, si en un primer viaje Berto depositase a medio camino 15 kg de manzanas, podría
hacer un segundo viaje con 30 kg al comienzo y llegar a medio camino, para después cargar los
15 kg del depósito y llegar con 15 kg a la tienda.
Quedarían entonces todavía 30 kg en el huerto.
Pero Berto puede ser capaz de llevar más manzanas a la tienda con una mejor organización de
sus depósitos.
¿Cuántos kg, como máximo, podrá Berto llevar a la tienda?
Explicad vuestro razonamiento.
Y ahora un problema que creemos recordar fue publicado en la añorada revista CACUMEN,
hace ya unos años, y que tiene su “aquello”.
La ley de las amazonas
Las amazonas tienen una ley para cuando capturan un macho reproductor, dictada con el
objetivo de evitar la muerte por agotamiento del mismo y el lograr el mayor número de
embarazos posibles. Cada semana, tres mujeres conviven con el agraciado, pero solo dos serán
objeto de sus caricias. La ley dice que nunca debe estar una misma pareja de amazonas dos
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NÚMEROS
Los problemas anteriores y lo que nuestros lectores nos escriben. Problemas comentados XL
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
semanas (*). Si hay siete amazonas en edad fértil, ¿Cuántas semanas podrá disfrutar el
desdichado reproductor?
(*) y cuando esto no sea posible, el donante será convertido en eunuco.
Bueno, no está mal. Habrá más artículos; en el próximo veremos la respuesta a estos últimos
problemas y plantearemos algunos nuevos y seguiremos prestando atención a las comunicaciones de
nuestros lectores.
Pero, claro, esperamos que nos escriban muchos más.
Insistimos: resuelvan los problemas, singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los
alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas
propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el
problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y
también al resto de lectores. Vamos, anímense…
P R O B L E M A S
Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista.
Un saludo afectuoso del Club Matemático.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
167
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 169-176
Más soluciones del Cubo de Lola, más pentominós y el Quadryx
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Nuevas soluciones al Cubo de Lola, con una nueva representación. Se hace la
presentación del juego de mesa Quadryx, que tiene amplias posibilidades estratégicas,
exponiendo una descripción del mismo y de sus reglas. Anunciamos el certamen
“Matemáticas y Vida” con el intento de record Guinnes con la composición del puzle de
24000 piezas “Vida” del diseñador neozelandés R. B. McClure
Palabras clave
Soluciones Cubo de Lola. Materiales y reglas del juego de mesa “Quadryx”. Intento
récord Ginnes con Puzle “VIDA” de 24 000 piezas.
Abstract
New solutions to Lola’s Cube, with a new representation. Introducing the Quadryx board
game that has broad strategic possibilities, giving a description of it and its rules.
Announcing the competition "Mathematics and Life" with the Guinness record attempt
with the composition of the puzle of 24,000 pieces "LIFE" of the New Zealand designer
RB McClure.
J
Keywords
Lola’s Cube Solutions. Materials and rules of the board game "Quadryx". Puzle record
attempt Ginnes with "LIFE" of 24 000 pieces.
E
U
Resumen
G
O
No hemos sabido ser convincentes. No nos ha llegado de momento ni una solución.
Solamente una compañera ha accedido a trabajar este tema con nosotros. Ha sido la propia Lola
de la Coba, la homenajeada por los creadores del Cubo, la que a instancias nuestras nos ha ofrecido
algunas soluciones.
1
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. jaruperez@gmail.com / mgarciadeniz@gmail.com
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
S
En nuestro anterior artículo hicimos un estudio de las posibles soluciones del Cubo de Lola,
dando una estrategia de cómo buscarlas. Y pedíamos a nuestros lectores que tratasen de completar el
catálogo de soluciones así como realizar una exploración a la búsqueda de otras figuras posibles y
hacer un catálogo con ellas y sus soluciones. Para ello era necesaria la fabricación de un Cubo de Lola
pegando cubitos unitarios para formar sus piezas y, después, una investigación creativa. Pedíamos, por
último, que nos enviasen a la dirección de la revista los hallazgos obtenidos.
Más soluciones del Cubo de Lola, más pentominós y el Quadryx
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Nuestra compañera Lola tiene la
costumbre, cuando va con el Komando
Matemático (casi siempre), de observar
las soluciones que obtienen los chicos y
chicas que asisten. Toma notas en su
agenda y luego, cuando puede, explora
lo recogido. Aquí tienen una doble
página de su agenda.
A partir de estas notas y otras
muchas ha decidido realizar un esquema
diferente al que presentamos en el
artículo anterior, volcar las soluciones
de los alumnos y presentarlas en nuestra
sección. Aquí están.
Este es el modelo que ha diseñado para presentar sus
soluciones:
Y las que siguen, dichas soluciones:
Y esto nos hace plantear un nuevo reto a nuestros lectores.
¿Coincide alguna de estas soluciones con las que ya aparecían en el
artículo anterior? ¿O son totalmente nuevas?
1
1
Habría que trasladar cada solución de un modelo a otro o,
simplemente, reconstruirlas con las piezas del Cubo de Lola y
verificar su coincidencia o no con las ya conocidas.
¿Se atreven?
J
U
E
G
O
S
Soluciones para el Cubo de Lola
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Vol. 89
julio de 2015
NÚMEROS
Más soluciones del Cubo de Lola, más pentominós y el Quadryx
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
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Vol. 89
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Más soluciones del Cubo de Lola, más pentominós y el Quadryx
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Quadryx
El verano pasado, en una de esas casualidades que a veces
pasan, encontramos una tienda de juguetes que estaba en
liquidación. Entre otras cosas tropezamos con un juego que nos
llamó la atención, no sólo por su precio sino por la curiosidad
que nos presentaba la caja que lo contenía.
El juego viene bajo el nombre de Quadryx y está compuesto por un tablero, una bolsa con las
piezas (37 piezas), unas instrucciones y un libreto que cuenta una supuesta historia del juego.
El tablero tiene
forma
octogonal.
Dispone de 37 casillas
cuadradas donde se
habrán de colocar las
piezas. El borde tiene 8
triángulos (medios cuadrados) ya coloreados previamente. En
estos triángulos no se juegan piezas pero obligan a colocar
determinados colores en contacto con ellos. La casilla central está
marcada de manera especial y sólo se puede situar en ella la pieza
U
E
G
O
S
Diseñado para 4 jugadores, del tipo que se construye
el tablero a medida que se avanza en el juego; como el
Carcassonne, por poner un ejemplo actual. No es libre esa
construcción sino que se ve sujeta a la forma del tablero.
Tampoco tiene piezas que se sitúen sobre el tablero. El
aspecto es como el de construir un mosaico disponiendo de
los azulejos individuales (las piezas del juego).
J
especial de cuatro colores en caso de empate final. Hay otras cuatro
casillas, marcadas con círculos de los cuatro colores de los grupos, en
las que sólo puede jugar el que ha elegido ese color al comienzo del
juego.
Cada pieza es un cuadrado dividido en cuatro triángulos
rectángulos isósceles por medio de sus dos diagonales. Cada triángulo
va coloreado de verde (tierra), amarillo (fuego), blanco (agua) o azul
(aire). Ese coloreado puede repetirse, de manera que habrá cuadrados
que tengan tres, dos uno o ninguno de los triángulos con un mismo
color. No hay ninguna ficha donde esté cuatro veces un mismo color.
Las combinaciones registradas son 36, y se clasifican según el color
predominante en la misma en cuatro grupos: Tierra, Fuego, Agua y
Aire. Hay una última pieza que tiene los cuatro colores y no se
corresponde con ningún grupo.
Normas de juego
Formar un cuadrado juntando dos triángulos del mismo color se llama Quadryx. El juego
consiste en formar Quadryx uniendo los triángulos que contiene cada pieza o utilizando alguno de los
triángulos impresos en el tablero. El objetivo es formar el mayor número posible de cuadrados de su
color.
172
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NÚMEROS
Más soluciones del Cubo de Lola, más pentominós y el Quadryx
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Un jugador de Quadryx se llama “okupa” y una partida se
disputa entre cuatro “okupax” con un grupo de color de nueve (9)
piezas por jugador.
El juego debe ser iniciado por cada jugador u “okupa”,
respetando su turno de ocupación y posicionando cualquiera de
sus piezas sobre el tablero formando Quadryx. Para posicionar
piezas es obligatorio hacer Quadryx.
En su turno de ocupación, cada jugador u “okupa” sólo
podrá situar una pieza de su grupo de color, formando uno o más
Quadryx. Un “okupa” nunca podrá colocar piezas para formar
Quadryx de otro color.
Los cuadros señalados con colores sobre el tablero son las
áreas de color donde sólo podrán colocar piezas los “okupas” del
mismo color.
J
La pieza que se ubique en su respectiva área de color es la
única autorizada para no formar Quadryx, siempre que no cuente
con otra posibilidad antes de pasar turno. En el supuesto de no
existir posibilidad de formar Quadryx y encontrarse ocupada el
área de color, el “okupa” aislado tendrá que pasar turno.
U
Un Quadryx vale un punto o “quadrum” y un “Fulldryx” vale cuatro más un “quadryx”. Al final
de la partida se suman los “quadryx” del mismo color y se les añaden los posibles puntos extras por
“Fulldryx”.
Resulta vencedor el “okupa” que obtenga mayor número de puntos.
Empates finales
En caso de empate entre dos o más jugadores se utilizará la pieza única cuatricolor conocida
como “quadrum”.
Esta pieza será colocada en la casilla central del tablero respetando el turno de ocupación hasta
que uno de los “okupax” empatados consiga formar Quadryx.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 89
julio de 2015
173
S
Puntuaciones y vencedor
O
La casilla central del tablero sólo será utilizada para posicionar la pieza cuatricolor “quadrum”
en el supuesto de empate final entre dos o varios jugadores. La pieza “quadrum” no pertenece a ningún
grupo de color y sólo se utilizará para desempatar colocándola en la casilla central del tablero para
formar Quadryx respetando el turno de ocupación entre los jugadores empatados al final de la partida.
G
Formar sobre el tablero un macrocuadrado formado por cuatro Quadryx del mismo color se
llama “Fulldryx” y supone un punto extra en el recuento final.
E
Ningún jugador puede colocar más de una pieza por turno de ocupación ni pasar turno teniendo
posibilidad de formar Quadryx de su color.
Más soluciones del Cubo de Lola, más pentominós y el Quadryx
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
En el folleto explicativo que
acompaña al juego aparece, a pie de
página, una leyenda bajo el título de
Quadryx: el ojo del destino.
Está comercializado por “Fábricas
Agrupadas de Muñecas Onil, S. A.”
(“Famosa”), de Alicante (España), con Nº
de registro industrial 3-16098, desde 2001.
Una partida puede durar unos 15
minutos. Vemos a continuación una
partida casi en el comienzo.
J
U
E
G
O
S
Como ya hemos dicho al comienzo, la caja trae también un curioso librito, en cuya
contraportada se lee:
Una sentencia de origen nazarí nos anuncia que: “Las mujeres señalan su destino y los hombres
sospechan su poder”. En la leyenda del Quadryx, el joven Abraham Cohen se reencuentra con los
enigmas de su infancia y se adentra en el aprendizaje en práctica de un juego de lógica para la
ocupación estratégica del entorno. Un tablero octogonal descifra la aventura del porvenir y los Entes
mitológicos de la vida: Fuego, Aire, Tierra y Agua, custodian “el ojo del Destino”.
El librito narra una especie de leyenda acerca del significado del Quadryx. Es curioso y está
muy bien ilustrado, pero no añade nada importante sobre el juego en sí. La historia que aparece en el
librito acerca del origen del Quadryx se inspira en una leyenda popular no verificada.
La prensa local y regional se hace eco de la presentación del juego en su día. Rastreando en la
red se pueden leer aún algunos de ellos y hacerse una composición sobre su creador y algunas
curiosidades del Quadryx.
Su autor (él se llama “rescatador”) es un investigador y maestro de Granada, Antonio José
López, que durante 25 años recopiló información a partir de noticias históricas que situaban un juego
de similar forma y desarrollo en la Escuela de Estudios Talmúdicos de Lucena, alrededor del 1100, en
el que participaban por igual las tres culturas que en aquella época poblaban el Mediterráneo: árabes,
judíos y cristianos.
Según su investigador, el juego Quadryx o Qryh aparece de nuevo en El Cairo, desde donde el
navegante griego Saulo de Quirón lo devolvería a España, entregándolo al rey Alhamar de Granada,
que lo habría destinado al esparcimiento de las concubinas de su harén en el palacio de la Alhambra,
en el cual permaneció durante más de 300 años hasta la caída del reino nazarí en manos cristianas,
momento en el que un mercader lucentino de ascendencia sefardí, Abraham Cohen, lo habría
encontrado y devuelto a Lucena.
Este maestro quedó fascinado cuando vio la bandera de Cabra en uno de los mástiles del
Hospital Infanta Margarita. Aquella bandera con triángulos de colores, formando cuadros, tenía
demasiada semejanza con el juego que durante veinticinco años había estado estudiando.
En mayo del 2001, con motivo de las Fiestas Aracelitanas, se celebró la primera partida y se
inauguró oficialmente el Open Quadryx Lucena 2001. En la versión presentada entonces se utilizaron
los colores blanco o albo, verde u oliva, rojo o bermejo y azul o cielo, que representan a los elementos
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Más soluciones del Cubo de Lola, más pentominós y el Quadryx
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
aire, tierra, fuero y agua respectivamente y a los colores de la bandera de dicha localidad. Salió al
mercado en el 2002. Hoy no aparece en el catálogo de Famosa, pero se encuentran de segunda mano
en internet y en algunas jugueterías.
Existen juegos “online” relacionados con el descrito, pero que se juegan con reglas diferentes.
Por ejemplo estos dos que se ilustran, nombrados como “Quadrix” y “Quadrisaw”.
J
U
E
G
Encuentro de puzles
O
S
Anunciamos aquí una actividad interesante que ocurrirá en Tenerife antes de finalizar el
presente curso escolar.
En la ciudad de San Cristóbal de La Laguna, con el nombre de “Matemáticas y Vida”, durante
los días 26, 27 y 28 de junio de 2015, en el exconvento de Santo Domingo se tratará de conseguir un
reto: componer en menos de 24 horas el puzle VIDA de 24 000 piezas, y que quedará expuesto
durante una semana.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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Más soluciones del Cubo de Lola, más pentominós y el Quadryx
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
La actividad está organizada por la Asociación
Española de Puzles y la Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesorado de Matemáticas con la colaboración del
Excmo. Ayuntamiento de San Cristóbal de La Laguna.
El puzle “VIDA” que se va a componer tiene 24 000
piezas (Educa) y sus dimensiones son 428 x 157 cm.
S
Vida - El Gran Reto fue creado
especialmente para este puzle por
Royce B. McClure. Nacido en 1956 en
Tokoroa, Nueva Zelanda, Royce ya ha Exconvento de Santo Domingo - La Laguna
visto publicados más de cien de sus
puzles. Aprovechando la experiencia que ha
adquirido después de años diseñando puzles, el
artista se ha asegurado de que el reto de componer este gran puzle se
correspondiera con el placer de hacerlo. En su composición ha usado
varias de sus obras realizadas durante los quince años anteriores.
O
El programa de la actividad incluye otros aspectos, como puedan ser:

G

J
U
E






Acto inaugural, con conferencia titulada “Los puzles: algo más que un juego”, por D.
Fernando Álvarez Osorio.
Puesta en marcha del cronómetro que marcará el tiempo de realización ininterrumpida del
puzle VIDA de 24000 piezas.
Actuación del Komando Matemático.
Charlas y talleres sobre puzles educativos a cargo del Club Matemático.
Talleres de papiroflexia a cargo del grupo Tinerflecta.
Composición de diverso puzles por los visitantes.
Exposición de puzles jigsaw terminados.
Exposición de puzles educativos en vitrinas.
Naturalmente, como siempre hacemos, volvemos a decirles que jueguen, que usen los juegos
con sus alumnos en clase o con su familia en casa. Es divertido y educativo. Las estrategias de
resolución de problemas y el uso del análisis de las figuras está al alcance de todos y su utilización
mejora enormemente la competencia matemática.
Hasta el próximo
pues. Un saludo.
El Club Matemático
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Vol. 89
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NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 177-184
Matemáticas creativas en proyecto Gauss
Noelia Díaz García
Web, recursos, interactivo, Geogebra, didáctica, contenidos, creativo.
Title
Creative mathematics in Project Gauss
Abstract
Proyecto Gauss is a website with interactive resources for Primary, Secondary School
and, to a lesser extent Baccalaureate, designed by the Ministry of Education
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web/). It fosters a creative learning which uses the
technology and Geogebra. Resources can be used for explanations, to support, to selfassessment or to learn in a dynamic way.
Then, it is exposed an analysis of the web, its contents, educational contributions, forms
of use or installation and its quality.
Keywords
Web, resources, interactive, Geogebra, didactics, contents, creative.
1. Características generales del Proyecto Gauss
El espacio web Proyecto Gauss fue diseñado por el Instituto Nacional de Tecnologías
Educativas y de Formación del Profesorado (INTEF) del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte
español. Este proyecto se enmarca en el Programa Escuela 2.0 iniciado por dicho Ministerio en 2009,
con el objetivo de modernizar el sistema educativo (infraestructuras avanzadas en las aulas; inclusión
digital; internet en cada aula; diseño, difusión y uso de recursos didácticos digitales; formación del
profesorado, etc.). El Proyecto Gauss fue interrumpido en 2012, lo que supuso la no compleción del
mismo.
La web es una aportación al profesorado y al alumnado de numerosos temas didácticos y applets
de Geogebra, que abarcan los contenidos de matemáticas de Primaria, ESO y en menor medida, de
Bachillerato. Estos recursos constituyen una forma diferente y creativa de enseñar y de aprender
matemáticas. Una obra en la que figuran los autores de cada uno de los materiales didácticos y con
licencia Creative Commons.
Las diferentes actividades de esta página web pueden utilizarse por profesores y alumnos en la
pizarra digital y así trabajar con todo el grupo de clase, o bien en los ordenadores de manera
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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Palabras clave
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El Proyecto Gauss es una web con recursos interactivos para Primaria, ESO y, en menor
medida
Bachillerato,
diseñada
por
el
Ministerio
de
Educación
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web/). Propicia un aprendizaje creativo, que usa la
tecnología y Geogebra. Los recursos pueden utilizarse con fines explicativos, de apoyo,
para autoevaluación, o para aprender de forma dinámica.
A continuación se expone un análisis de dicha web, sus contenidos, aportaciones
educativas, formas de uso o instalación y su calidad.
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Resumen
Matemáticas creativas en proyecto Gauss
N. Díaz García
individual. Son para uso online o para descarga gratuita, pudiendo ser compartidas y adaptadas bajo
las condiciones de reconocimiento y sin fines comerciales.
Es muy sencillo moverse por esta página web. Aparecen instrucciones o indicaciones claras en
las secciones, encontrándose todo bien diferenciado en partes. Es necesaria la instalación de Java para
su uso online. Para las dos primeras secciones se recomienda el uso de Google Chrome y de Mozilla
Firefox, respectivamente.
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Es posible descargarse los recursos, los cuales aparecen comprimidos al final de la sección
correspondiente. Éstos son muy completos, al incluir todas las actividades divididas en bloques, tanto
en su versión online, como en Geogebra, y las soluciones de las mismas.
En referencia al entorno audiovisual, la web consta de un diseño claro y ordenado, contando con
los iconos del Gobierno de España, el INTEF y el icono propio del Proyecto Gauss. Los títulos se
diferencian perfectamente, al igual que los contenidos de cada sección. Dos de las secciones contienen
tablas que recogen los recursos disponibles. A su vez, éstos son llamativos y creativos.
Aparecen enlaces externos en la página, como son la web del INTEF o un conjunto de webs de
interés para el profesorado. No constituye un canal de comunicación bidireccional y carece de
publicidad.
La web Proyecto Gauss consta de cinco secciones (figura 1): Materiales didácticos; Recursos
complementarios; Materiales formativos para el profesorado; EDA Experimentación didáctica
en el aula, y Enlaces de interés. Las dos primeras contienen los materiales didácticos y las siguientes,
enlaces externos.
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2. Contenidos presentados
Figura 1. Portada de la web Proyecto Gauss
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En la primera sección, materiales didácticos, cada recurso es una construcción realizada con
Geogebra que contiene instrucciones de uso y una serie de cuestiones a responder por el alumnado con
ayuda de dicha construcción. La sección se subdivide en los niveles Primaria, ESO y Bachillerato. A
su vez, en cada uno de ellos se hace una división en bloques de contenidos. Y para cada uno de esos
bloques se concretan los temas didácticos basándose en el currículo (ver Tabla 1 sobre los contenidos
de materiales didácticos).
Contenidos
Primaria
Estadística y probabilidad
- Recuento
- Medidas
- Estimación
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Funciones
- Representaciones
diversas
- Características
- Funciones
concretas
ESO
Estadística y probabilidad
- Recuento
- Medidas
- Estimación
Aritmética y álgebra Geometría
- Números y
- Trigonometría
ecuaciones
- Geometría plana
Bachillerato - Matrices y
- Geometría espacial
determinantes
- Transformaciones
- Programación lineal
Funciones
- Familias y
operaciones
- Límites y
continuidad
- Derivadas e
integrales
-
Estadística y
probabilidad
Alea (azar)
Regresión
Distribuciones
Muestras
Tabla 1. Contenidos de la sección materiales didácticos
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Geometría
- Acertijos
- La necesidad
de medir
- Procedimientos
- Ángulos
- Polígonos
- Tales y
Pitágoras
- Escalas y
planos
- Figuras curvas
- Simetrías
- Teselados
- Grupos de
isometrías
- Cuerpos
- Trigonometría
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Aritmética
Geometría
- Naturales y enteros - Acertijos
- Patrones
- La necesidad de
- Decimales y
medir
fracciones
- Procedimientos
- Cálculo mental
- Ángulos
- Polígonos
- Escalas y planos
- Figuras curvas
- Simetrías
- Cuerpos
Aritmética
Álgebra
- Naturales y
- Pautas y fórmulas
enteros
- Progresiones
- Patrones
- Identidades notables
- Decimales y
- Ecuaciones y
fracciones
sistemas
- Irracionales
- Cálculo mental
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Al hacer clic en cada tema, se observan tablas que contienen los recursos disponibles para el
mismo. En la figura 2 vemos un ejemplo de la estructura de esta sección.
Figura 2. Sección: Materiales didácticos. Nivel: ESO. Bloque de contenido: Naturales y enteros
A continuación, se muestra un ejemplo de uno de los recursos de la sección, perteneciente a
Trigonometría de ESO. Sólo aparece una parte del cuestionario correspondiente. Se puede apreciar la
animación y la originalidad de la actividad para trabajar ángulos, triángulos, razones, etc.
La escalera de los bomberos
Cuando los bomberos acuden a un edificio es muy habitual que utilicen sus escaleras
desplegables para ascender, desde el exterior, a las diferentes partes del edificio. Para ello han de fijar
un determinado ángulo de elevación y, a continuación, extender la escalera hasta conseguir alcanzar
el punto deseado.
En esta aplicación vamos a manejar uno de estos vehículos. Mediante el deslizador horizontal
que se encuentra en la parte superior izquierda de la ventana puedes fijar el ángulo de inclinación de
la escalera. Para extender y replegar la escalera es necesario mover el punto amarillo situado en su
extremo. A su vez, puedes cambiar la posición del vehículo moviendo el punto situado en su parte
inferior.
Una vez fijado un ángulo de inclinación, cuanto más extendamos la escalera mayor será la
altura que alcanzamos. Pero, ¿qué relación hay entre la longitud de la escalera y la altura que
ganamos? ¿Se mantiene constante esa relación para un determinado ángulo de inclinación? Vamos a
tratar de investigarlo (Figura 3. La escalera de los bomberos).
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Figura 3. La escalera de los bomberos
Preguntas
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1. Inclina la escalera un ángulo de 40º y activa la casilla Mostrar líneas auxiliares. Una vez
girada la escalera, ¿qué altura alcanza su extremo con respecto a la base de la misma?
Extiende ahora la escalera y anota, en varias posiciones más, la longitud de la escalera y la
altura que alcanza el extremo con respecto a la base. Registra en la siguiente tabla los
valores que vas obteniendo:
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2. Completa ahora la tabla anterior calculando en cada caso la razón entre la altura del
extremo de la escalera con respecto a su base y la longitud de la escalera (cuarta columna).
¿Qué observas?
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de Profesores de Matemáticas
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La segunda sección, recursos complementarios, la constituyen construcciones sueltas dirigidas
a Primaria y ESO. Como en la sección anterior, tanto en Primaria como en la ESO se hace una
división en bloques de contenidos y temas didácticos (ver tabla 2 de Contenidos de recursos
complementarios).
Contenidos
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Primaria
Aritmética
- Numeración
- Naturales
- Enteros
- Decimales
- Magnitudes
- Fracciones
- Tablas
- Iniciación a
ecuaciones
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Aritmética y
Lógica
- Ejercicios de
lógica
- Ejercicios de
aritmética
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ESO
Geometría
- Construcciones básicas
- Construcciones con
compás
- Cuadrícula
- Ángulos
- Figuras planas
- Longitudes y áreas
- Simetrías
- Cuerpos
- Desarrollos
Álgebra
- Pautas y
fórmulas
- Identidades
notables
- Ecuaciones y
sistemas
Miscelánea
- Sistemas de referencia
- Acertijos y problemas
Funciones
- Representaciones
diversas
- Características
- Funciones
concretas
Geometría
- Procedimientos
- Ángulos
- Polígonos
- Tales y Pitágoras
- Escalas y planos
- Figuras curvas
- Simetrías
- Cuerpos
- Trigonometría
Estadística y probabilidad
- Medidas y distribuciones
- Estimación
Tabla 2. Contenidos de la sección recursos complementarios
Las construcciones de este apartado no van acompañadas de una colección de preguntas como
anteriormente. O bien son explicativas en animaciones, como la ecuación de la función afín o el origen
de la fórmula del área del triángulo (Figura 4); o bien son una animación contextualizada, como la
latitud y longitud de un punto que podemos mover sobre la tierra (Figura 5); o por último, pueden ser
una actividad para autoevaluación, como la relativa a construcción geométrica y distancia (Figura 6).
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Figura 4. Animación del origen de la fórmula del área de un triángulo
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Figura 5. Longitud y latitud sobre la Tierra
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Figura 6. Construcción geométrica y distancia
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Las tres últimas secciones del índice general son enlaces a páginas web. En primer lugar,
materiales formativos para el profesorado es un enlace a la página del INTEF, donde se ofrece
formación para los profesores de niveles no universitarios y de centros, sostenidos con fondos
públicos. En segundo lugar, EDA experimentación didáctica en el aula es un enlace explicativo
sobre los orígenes y fines del uso de Geogebra y el Proyecto Gauss, y algunos materiales didácticos en
Geogebra. Y por último, enlaces de interés, constituye un conjunto de direcciones útiles sobre
Geogebra, construcciones, foros, guías y ayudas, geometría dinámica, wikis y páginas personales.
En general, en la web se hace una división adecuada de los contenidos; y las instrucciones y
cuestionarios planteados son claros. El material aportado es de muy buena calidad didáctica, ya que
son una serie de recursos que permiten hacer la enseñanza de las matemáticas más dinámica, aplicada
en contextos, con animaciones y utilizando Geogebra. Posibilitan una mejor comprensión de los
contenidos curriculares de Primaria, ESO y Bachillerato, con actividades que pueden utilizarse como
material explicativo, de apoyo, para autoevaluación, o para dinamizar y aprender en contextos.
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En mi opinión, la web Proyecto Gauss promueve un aprendizaje interactivo beneficioso, al
combinar cuatro herramientas que son importantes en la enseñanza: la dinamización, la
contextualización, la originalidad, y el uso de las tecnologías. Es una web que aporta una gran riqueza
educativa y que moderniza la didáctica de las matemáticas. En un mundo cada vez más tecnológico
estos recursos constituyen un atractivo para los alumnos y además facilitan el proceso de enseñanzaaprendizaje.
Bibliografía
http://dem.fespm.es/dia-escolar-de-las-matematicas/la-computacion-en-laeducacion/ejemplos/article/el-proyecto-gauss-y-el-programa
https://sede.educacion.gob.es/publiventa/detalle.action?cod=15417
http://educarymotivar.blogspot.com.es/2013/05/proyecto-gauss-una-forma-diferente-y.html
http://educalab.es/intef/introduccion
Noelia Díaz García. Licenciada en Matemáticas por la Universidad de La Laguna. Máster en Formación
del Profesorado de E.S.O, Bachillerato, F.P y Enseñanza de Idiomas.
E-mail: noe22_11@hotmail.com
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 185-186
Hipatia de Alejandría
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Charles Kingsley
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Editorial EDHASA, 2009
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¿Por qué algunos de los llamados descubrimientos del mundo moderno ya se sabían en la Grecia
y Roma clásicas? Es decir, ¿por qué fueron silenciados? ¿Por qué teorías de todas las ciencias, que nos
acercaban como raza al saber, a la verdad, han sido tildadas de herejía, de blasfemia, de locura? ¿Por
qué tantos premios Nobel han sido injustamente otorgados a hombres que presentaban los trabajos
robados a mujeres? ¿Por qué prima entre los humanos el poder a la verdad? ¿Por qué no es atractivo
saber o aprender y, en cambio, sí lo es exhibir un cuerpo bonito? ¿Por qué nadie habla de cuestiones
que atañen al funcionamiento del mundo, del espíritu, pero no podemos dejar de hablar del deporte de
masas?
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La persona valiente que se acerque a las páginas de esta obra, todo el que decida leer sobre la
vida de una mártir de la ciencia, cuyo final conocemos de antemano y que, sabemos, no será
agradable, debe estar al tanto de que no encontrará entre las setecientas páginas de esta novela ni una
sola fórmula matemática ni una interesante disertación sobre dilemas geométricos, algebraicos... No
habrá nada de lo que, quizás, los apasionados de los números, los que prefieren comprender el mundo
a través de ellos, querrían ver aquí. Bajo mi punto de vista, van a encontrar algo mejor: la respuesta
definitiva a algo que viene sucediendo desde el principio de la Humanidad.
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704 páginas
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ISBN: 9788435062039
Hipatia de Alejandría, Charles Kingsley
Reseña: C. García Somalo
“-¿No has caído en la cuenta de que, así como cada sección recta del cono desvela la existencia
del círculo, del mismo modo llegarás a descubrir la deidad en todo lo que hay de hermoso y simétrico,
si te paras a analizarlo con recta y simétrica intención?”
Hipatia de Alejandría fue una matemática, física, filósofa y astrónoma que vivió entre los siglos
IV y V d.C. Primera mujer matemática de la que se tiene constancia y ejemplo de liberación en un
entorno nada favorecedor para su sexo. Tuvo la mala fortuna de vivir en el ocaso del Imperio romano,
cuando estaba dejando de ser romano para convertirse en católico. En la ciudad que otrora viera
levantarse templos en honor a la sabiduría, ahora coexisten razas y religiones que no están dispuestas a
tolerar ni una sola de las demás creencias. Bárbaros godos del norte, paganos de Grecia y Roma,
cristianos y judíos, todos van preparando, consciente o inconscientemente, el final de Hipatia. Todos
yerran, todos son humanos y todos cometen la misma torpeza de creerse superiores a los demás,
incluso ella.
Es aquí donde considero necesario introducir el concepto de alteridad. No ha habido en el
mundo instrumento más efectivo para oprimir a un grupo de personas como generar miedo hacia él... y
de ahí, odio. Por ejemplo, en la Alemania Nazi contra los judíos, en Estados Unidos contra los negros,
en el mundo entero contra las mujeres. Es muy sencillo de hacer, solo hace falta creer que el grupo
contrario es el causante de las desgracias de nuestro grupo, eso lleva al miedo y a querer defendernos
atacando. Esto es, básicamente, el argumento de la novela, obviando una serie de intrigas y
confabulaciones para acabar con los demás grupos, con las demás religiones. Sin embargo, y aunque
en Ágora, la versión cinematográfica de la vida de Hipatia, parece que los auténticos villanos son los
cristianos, Charles Kingsley nos da otra visión, mucho más acertada a mi juicio, la de que todos los
personajes son humanos, y como tales, se equivocan.
Que a día de hoy, mil quinientos años después, se sigan utilizando medias verdades para dirigir
a grupos completos de personas contra otros (contra musulmanes, contra occidentales, contra
homosexuales, contra inmigrantes, contra...) es lo que clama al cielo. Y mientras tanto, personas que,
como Hipatia, solo iban en busca de la verdad, de un aprendizaje exhaustivo sobre los misterios del
mundo, de la física… Hipatia, cuya influencia se vería recogida luego en obras de suma importancia,
como Aritmética de Diofanto de Alejandría, Secciones cónicas de Apolonio de Perge o Canon
astronómico de Claudio Tolomeo. Esa Hipatia fue considerada causante de todos los males de
Alejandría y condenada por un grupo de exaltados, de chusma, que poco debe importar si eran de una
religión o de otra, a una muerte terrible. Persecución y fin que tantos otros mártires de la ciencia han
sufrido.
Este libro hace reflexionar, hace que ames a una Hipatia que verdaderamente existió y que odies
a unos personajes que han existido a lo largo de toda la historia de la Humanidad, no en vano, el autor
de esta obra la subtituló “Nuevos enemigos con rostro antiguo”. Sin embargo, se cuida mucho de
cometer el error de culpar a nadie sobre lo ocurrido, que es, justamente, la equivocación de todos ellos,
no en vano termina sus páginas diciendo “aquel de nosotros que esté libre de pecado que tire la
primera piedra contra Hipatia...” o contra cualquier otro personaje.
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Podríamos seguir planteando preguntas de este tipo hasta el final de esta reseña... y todas las
contestaría Hipatia, tanto el libro de Charles Kingsley como su protagonista, en un tono filosófico
accesible al público medio.
Cristina García Somalo (Asesora del CEP de La Gomera)
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Vol. 89
julio de 2015
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 187-188
Matemáticas: el alfabeto del Universo
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Guadalupe Castellano
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Editorial Guadalmazán SL, 2014
Colección Mathematica
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ISBN: 978-84-94155-22-2
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181 páginas
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de Profesores de Matemáticas
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El libro que nos ocupa se encuentra dividido en dos grandes secciones. En la primera, se
muestra la relación matemática entre realidades que en principio no parecen estar conectadas (como
hace en el capítulo “¿Qué matemáticas hacen que una fuente se parezca a los futbolistas y a los
militares?”). La segunda sección se centra más en curiosidades naturales a las que se aplican las
matemáticas (¿Cuándo podemos ver un arcoíris? ¿Por qué perdemos vista al hacernos mayores?),
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Uno de los problemas fundamentales a la hora de enseñar matemáticas es la motivación del
alumno. Éste último, en especial a niveles de educación primaria y secundaria, suele encontrar tediosa
la abstracción de la pizarra y en la mayoría de los casos acaba por preguntarse: «¿Y esto para qué me
sirve en el día a día? ¿Cuándo necesitaré yo usar los logaritmos? ¿Y las funciones trigonométricas?
Esto no tiene ninguna utilidad práctica». Con este libro, Guadalupe Castellano ejemplifica algunas
utilidades prácticas de nociones tan abstractas como la seudoesfera, las curvas cónicas o las
geometrías no euclídeas de una forma cercana a lectores no especializados en matemáticas.
Matemáticas: el alfabeto del Universo. Guadalupe Castellano
Reseña: J. M. Sánchez Velázquez
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acercando de esta forma lo que un alumno aprende durante su educación secundaria a fenómenos que
ocurren día a día a nuestro alrededor.
En las páginas de este libro nos acercamos de una forma sencilla a conceptos matemáticos como
las proporciones, la distribución gaussiana o normal, el tiro parabólico, las hélices, las figuras de
revolución o las funciones logarítmicas. Aunque a primera vista todas estas abstracciones matemáticas
puedan asustar al lector, Castellano consigue que le sean comprensibles mediante el uso de ejemplos y
explicaciones claras y concisas. Logra incluso que las aplicaciones biyectivas se entiendan de una
manera intuitiva. Asimismo, desmitifica la idea preconcebida que pueda tener el lector de que el
infinito es único con una sucesión de ejemplos sencillos que ponen de manifiesto la existencia de
infinidad de infinitos.
Si bien es un libro ameno de leer, ya que trata de forma accesible los conceptos matemáticos
que expone, a veces peca de simplificar en exceso algunos de los mismos, haciendo más complicada
su comprensión por parte de un lector poco familiarizado con ellos. Esto ocurre, por ejemplo, con el
desarrollo de la curva tractriz o con la definición formal de las simetrías. A pesar de simplificar lo
máximo posible los conceptos que trata, incluye la descripción abstracta de cada concepto para
aquellos lectores que busquen comprender de una manera más completa la matemática expuesta.
Por tanto, es una buena iniciación al mundo de las matemáticas para aquellos lectores no
familiarizados con las mismas, o un buen método para volver a tener presente que las matemáticas no
son sólo abstracciones mentales sino que representan la realidad cotidiana. Y es que, en palabras del
mismo Galileo Galilei, «La filosofía está escrita en ese vasto libro que está siempre abierto ante
nuestros ojos: me refiero al Universo […]. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son
triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una
sola palabra».
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J. M. Sánchez Velázquez (Licenciado en Física)
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ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, páginas 189-191
Congresos
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Fecha: 20 al 24 de Julio del 2015.
Lugar: Panamá.
Organiza: Universidad de Panamá.
Información: http://www.relme29.up.ac.pa/
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Fecha: 21 de Julio al 24 de Julio del 2015.
Lugar: Manizales. Colombia.
Convoca: Sociedad Colombina de Matemáticas.
Organiza: Universidad Nacional de Colombia.
Información: http://www.xxcongresocolombianodematematicas.co/
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Fecha: Del 19 al 26 de agosto de 2015.
Lugar: Brest. Francia.
Organiza: Associationpour la Recherche en Didactique des Mathématiques (ARDM) de Francia.
Información: http://www.ardm.eu/contenu/les-ecoles-d-ete
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Fecha: Del 2 al 5 de Septiembre del 2015.
Lugar: Aveiro. Portugal.
Convoca: Sociedad Portuguesa de Matemáticas.
Información: http://spm-ev2015.weebly.com/
Fecha: 18 al 23 de octubre de 2015.
Lugar: Ciudad de Hermosillo. Sonora. Mexico.
Convoca: Sociedad Matemática Mexica.
Información: http://sociedadmatematicamexicana.org.mx/congreso/
VIII Conferencia Internacional de
Matemática y Computación y XIV
Congreso Nacional de la Sociedad de
Matemática y Computación
COMPUMAT 2015
Fecha: Del 25 de Noviembre al 27 de Noviembre 2015.
Lugar: Universidad de las Ciencias Informáticas. La Habana. Cuba.
Convoca: Sociedad Cubana de Matemática y Computación (SCMC)
Información: http://www.uci.cu/Compumat2015
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Vol. 89
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Fecha: Del 7 al 10 de Diciembre de 2015.
Lugar: Fortaleza. Brasil.
Convoca: Sociedade Brasileira de Matemática y Real Sociedad Matemática Española.
Información: http://www.sbm.org.br/
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http://www.sinewton.org/numeros
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
P A R A
1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité
editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.
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 Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,
ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:
o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y
científicos en los niños. Madrid: Morata.
o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on
whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on
Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New
York.
o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a
conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.
o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008).
Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de
febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/
5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de
colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo
se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.
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Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor
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propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en
un periodo no mayor de 6 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado
que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.
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ISSN: 1887-1984
Volumen 89, julio de 2015, página 193