Protección de sistemas eléctricos de potencia

AULA POLITÈCNICA 74
Protección de sistemas
eléctricos de potencia
AULA POLITÈCNICA / ETSEIT
Ramón M. Mujal Rosas
Protección de sistemas
eléctricos de potencia
EDICIONS UPC
La presente obra fue galardonada en el _______________ concurso
"Ajut a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.
Primera edición: septiembre de 2002
Diseño de la cubierta: Manuel Andreu
©
Ramón M. Mujal, 2002
©
Edicions UPC, 2002
Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL
Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona
Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885
Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es
E-mail: edicions-upc@upc.es
Producción:
CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord)
La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona
Depósito legal: B-30770-2002
ISBN: 84-8301-607-9
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de
ella mediante alquiler o préstamo públicos.
Prólogo
7
Prólogo
La idea de crear un libro sobre protección de sistemas eléctricos de potencia surgió ante la necesidad de
disponer en una única obra tanto de los aspectos teóricos como prácticos que rigen en la actualidad las
disciplinas de Ingeniería de Segundo Ciclo que tratan temas afines, ya que si bien existen excelentes
libros teóricos sobre el tema, escasean o son prácticamente nulos los que lo hacen de forma práctica.
Debe recordarse que un análisis completo de los sistemas eléctricos exige no sólo contemplar el
régimen de funcionamiento anómalo, sino también el régimen funcionamiento normal. Por este motivo,
se remite al lector a la obra, Cálculo de líneas y redes eléctricas, de la misma editorial y autor, para un
mejor y más completo estudio global de los sistemas eléctricos de potencia.
Esta es una obra eminentemente práctica, sin más pretensiones que las de ofrecer, en un sólo libro, los
aspectos teóricos y prácticos más importantes que rigen tanto la técnica como la seguridad y la economía
en el transporte de la energía eléctrica.
La obra ha sido estructurada en dos módulos, con un total de cuatro capítulos bien diferenciados.
El primer módulo es teórico y está formado por los capítulos primero y segundo. Con éste módulo se
pretende acometer el estudio de los sistemas de potencia trabajando en régimen transitorio, es decir, con
situaciones anómalas como pueden ser las provocadas por los cortocircuitos u otros fallos eléctricos. Así,
el primer capítulo (Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas) realiza un exhaustivo estudio de los
fallos eléctricos más importantes, los cortocircuitos. De estos defectos se exponen los tipos existentes, las
variaciones temporales que sufren las magnitudes eléctricas, los efectos térmicos y dinámicos que se
producen y un amplio estudio de los diferentes sistemas para limitar las corrientes de falta. Finalmente, el
cálculo de las impedancias de cortocircuito y el cálculo de las corrientes de cortocircuito mediante las
directrices de la Norma VDE 0102 completarán este extenso capítulo. Por su parte el segundo capítulo
(Redes de secuencia y componentes simétricas en los sistemas de potencia), nos introduce en el análisis
de los fallos eléctricos tanto simétricos como asimétricos mediante el método de las redes de secuencia y
las componentes simétricas. El capítulo describe las redes de secuencia (redes directa, inversa y
homopolar) para posteriormente entrar en el análisis de las componentes simétricas, demostrándose
gracias a ellas las fórmulas básicas que permiten el cálculo de los diversos tipos de cortocircuitos.
El segundo módulo, eminentemente práctico, está formado por dos capítulos bien diferenciados, ya que
mientras que el capítulo III (Problemas resueltos de cálculo de fallos en sistemas de potencia) está
formado por problemas completamente resueltos y razonados, en el capítulo IV (Problemas propuestos de
fallos en sistemas eléctricos de potencia) se pretende ofrecer una serie de problemas propuestos con sus
correspondientes soluciones, para que el lector pueda ejercitarse en su resolución y comprobar así el nivel
de asimilación obtenido a lo largo del estudio de la materia del presente libro. Concretamente, en el
capítulo III, se resuelven de forma completa y razonada diez problemas correspondientes a
funcionamientos anómalos de los sistemas de potencia, es decir, con fallos eléctricos. Así, el cálculo de
sobrecargas, de las corrientes y tensiones de cortocircuito, dimensionado de sistemas de protección,
puestas a tierra, o la selectividad entre protecciones entran a formar parte de este capítulo. Por su parte, el
capítulo IV, nos ofrece veinte enunciados de problemas con sus respectivas soluciones de fallos eléctricos
8
Protección de sistemas eléctricos de potencia
en sistemas de potencia, lo que permite afianzar y consolidar los conocimientos teóricos y prácticos
adquiridos.
Finalmente unos anexos dedicados a las fórmulas, tablas y gráficos necesarios, tanto para un
conocimiento general de la materia como para la correcta resolución de los problemas, se adjuntan al
final del libro.
No quisiera terminar esta introducción, sin dar las gracias a todos los que de alguna forma han ayudado
en la confección de este libro mediante sus observaciones, rectificaciones o consejos, siempre de gran
utilidad. A todos ellos, y en especial a mi esposa y familia por su comprensión y paciencia, les pido que
acepten mi más sincera gratitud.
El autor
Terrassa. Enero de 2002
Índice
9
Índice
I
Fallos eléctricos y método de las componentes simétricas
11
1
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
13
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
Introducción a los fallos eléctricos
Tipos de cortocircuitos
Parámetros eléctricos a considerar en los cortocircuitos. Norma VDE 0102
Corrientes de cortocircuito. Magnitudes y variaciones temporales
Métodos para limitar las corrientes de cortocircuito
Efectos electrodinámicos y térmicos de las corrientes de cortocircuitos
Determinación práctica de las corrientes de cortocircuito
Impedancias directa, inversa y homopolar
Cálculo de la impedancia de dispositivos eléctricos y de cortocircuito de la red
Cálculo de las corrientes de cortocircuito según la norma VDE 0102
Cuestiones y problemas
13
13
14
15
24
29
31
31
32
40
42
2
Redes de secuencia y componentes simétricas
45
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Introducción a las redes de secuencia
Redes de secuencia
Componentes simétricas
Cálculo de las corrientes de cortocircuito
Cuestiones y problemas
45
46
56
60
72
II
Problemas resueltos y propuestos de cálculo de sistemas de potencia
75
3
Problemas resueltos de cálculo fallos en sistemas de potencia
77
3.1 Dimensionado de los dispositivos de protección de una red formada por una acometida,
una central eléctrica y unos consumidores
3.2 Dimensionado de los dispositivos de protección de una red formada por una acometida,
un grupo de motores asíncronos y unos consumidores
3.3 Cálculo de las magnitudes de cortocircuito en el punto de falta para una red con dos
niveles de tensión mediante el método de las redes de secuencia
3.4 Cálculo de las magnitudes de cortocircuito en el punto de falta para una red con tres
niveles de tensión mediante el método de las redes de secuencia
3.5 Cálculo de las magnitudes de cortocircuito en el punto de falta para una red con
conexión mixta y dos niveles de tensión mediante las redes de secuencia
3.6 Cálculo de las magnitudes de cortocircuito en el punto de falta para una red con
conexión triángulo y dos niveles de tensión mediante las redes de secuencia
77
87
97
105
112
120
Proteccións de sistemas eléctricos de potencia
10
3.7 Cálculo de un cortocircuito monofásico a tierra mediante las componentes
simétricas
3.8 Cálculo de un cortocircuito bifásico mediante las componentes simétricas
3.9 Cálculo de un cortocircuito bifásico a tierra mediante las componentes simétricas
3.10 Cálculo de un cortocircuito monofásico a tierra en bornes de un generador
127
135
142
151
4
Enunciados de problemas de cálculo de fallos en sistemas de potencia
155
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Problemas del 1 al 4. Cálculo de los interruptores de protección en redes eléctricas
Problemas del 5 al 7. Cálculo de cortocircuitos por el método de las redes de secuencia
Problemas 8 y 9. Cálculo de cortocircuitos en redes extensas
Problemas del 10 al 15. Circuitos con un generador. Método de las componentes simétricas
Problemas del 15 al 20. Circuitos con varios generadores. Método de las componentes
simétricas
155
161
165
167
171
Anexos
177
I
II
Constantes de magnitudes físicas, terrestres y cuánticas
Resistividad (U), coeficiente de temperatura (D), punto de fusión (ºC) y densidad (G)
de diversos materiales y aleaciones
III Coeficientes de resistividad de los aislantes
IV Magnitudes y unidades magnéticas
V Conductores eléctricos
VI Conductancia, autoinducción y susceptancia
VII Método de las constantes auxiliares
VIII Método del circuito equivalente en "T" y en "3"
IX Fórmulas para el cálculo de líneas eléctricas
X Resumen de fórmulas para líneas eléctricas
XI Fórmulas para el cálculo de cortocircuitos por componentes simétricas
XII Factores correctores según la VDE 0102 (Ȥ, µ, q y Ȗ)
177
Bibliografía
197
178
179
180
181
182
183
185
187
189
190
194
Fallos eléctricos y componentes simétricas
11
MÓDULO I. FALLOS ELÉCTRICOS Y MÉTODO DE LAS
COMPONENTES SIMÉTRICAS
PRESENTACIÓN
Con este primer módulo, formado por dos capítulos I y II, se pretende acometer el estudio de los
sistemas de potencia trabajando en régimen transitorio, es decir, ante situaciones anómalas como pueden
ser las provocadas por los cortocircuitos u otros fallos eléctricos. Así, el primer capítulo (Cortocircuitos
en las instalaciones eléctricas) realiza un exhaustivo estudio de las fallas eléctricas más importantes, los
cortocircuitos. De estos defectos, en primer lugar, se exponen los tipos existentes, enumerándose las
características que los definen y que en definitiva determinan su aparición. Seguidamente, se analizan las
variaciones temporales de las principales magnitudes eléctricas que intervienen en los diferentes tipos de
cortocircuitos en sus regímenes de carga y vacío. Las constantes de tiempo, las diferentes reactancias
iniciales de las máquinas eléctricas y los efectos térmicos y dinámicos que producen estas faltas serán
también analizados. Posteriormente, un amplio estudio de los diferentes sistemas para limitar las
corrientes de falta será tratado en profundidad. Así, desde las diversas formas de realizar una puesta a
tierra, hasta el empleo de sistemas de desconexión o el uso de bobinas de extinción o resonancia tendrán
cabida en este capítulo. Finalmente, el cálculo de las impedancias de diversos componentes y dispositivos
eléctricos delante una falta eléctrica y el cálculo de las corrientes de cortocircuito mediante las directrices
de la Norma VDE 0102 completarán este extenso capítulo.
Por su parte, el segundo capítulo (Redes de secuencia y componentes simétricas en los sistemas de
potencia) nos introduce en el análisis de fallos eléctricos tanto simétricos como asimétricos mediante el
método de las redes de secuencia y componentes simétricas. El estudio de estos defectos mediante el
método de las componentes simétricas permite disminuir en gran medida la dificultad que entraña su
cálculo. El capítulo comienza con una exposición de las redes de secuencia, definiéndose las mismas para
los diversos componentes de un sistema eléctrico y detallándose los tres tipos de redes fundamentales
(directa, inversa y homopolar). Especial atención ofrecen las redes de secuencia de los generadores sin
carga y de los transformadores, de las cuales existirá un profundo estudio. Seguidamente se entra en el
análisis de las componentes simétricas, comenzando por su razonamiento teórico y demostrando las
fórmulas básicas que permiten su cálculo. Con las expresiones generales así obtenidas, se pasa finalmente
a la obtención de las fórmulas que definirán a cada uno de los diversos tipos de cortocircuito que pueden
presentarse en un sistema de potencia.
. El análisis de situaciones anómalas permite proteger y alargar la vida de los componentes eléctricos
que forman una red, y asimismo resultan imprescindibles para dimensionar y seleccionar los sistemas de
protección más idóneos para cada fallo y situación en concreto.
Unas cuestiones y ejercicios al final de cada capítulo permiten al lector evaluar su nivel de asimilación
de la materia, aparte de resultar una forma rápida de repasar, a posteriori, cualquier duda o concepto sobre
un tema.
CONTENIDOS
x
x
Capítulo I: Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas.
Capítulo II: Redes de secuencia y componentes simétricas en los sistemas de potencia.
OBJETIVOS
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
x
x
x
x
Necesidad de protección de las instalaciones eléctricas.
Conocer las características que definen a los diversos tipos de cortocircuito.
Identificar las corrientes peligrosas de cortocircuito, asociándolas con los diversos efectos, clases de
averías y tipos de redes.
Conocer los parámetros eléctricos que intervienen en un cortocircuito según la norma VDE 0102.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
12
x
x
x
x
x
x
x
x
Razonar las variaciones temporales de las magnitudes eléctricas delante un cortocircuito en régimen
de carga y vacío.
Identificar las constantes de tiempo y las reactancias que intervienen en un cortocircuito.
Definir los efectos térmicos y electrodinámicos que se originan en un cortocircuito.
Explicar los diversos sistemas para la limitación de las corrientes de cortocircuito (puestas a tierra,
bobinas de resonancia, empleo de tensiones elevadas, desconexiones rápidas, etc.).
Analizar y calcular las impedancias directas, inversas y homopolares para los diversos componentes
eléctricos de una red (generadores, motores, transformadores, acometidas, líneas, etc.)
Conocer las impedancias de cortocircuito de la red para alimentaciones múltiples y redes malladas.
Comprender el cálculo de cortocircuitos mediante el empleo de impedancias absolutas y de
impedancias adimensionales.
Saber aplicar el cálculo de las corrientes de cortocircuito según las directrices de la Norma VDE
0102.
Redes de secuencia y componentes simétricas en los sistemas de potencia
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Comprender la necesidad de la utilización de las redes de secuencia para el cálculo de fallos en los
sistemas eléctricos.
Conocer las características que permiten la creación de las diversas redes de secuencia, así como los
pasos a seguir para su conversión a otras redes.
Saber explicar con detalle los diversos tipos de redes de secuencia existentes, indicando en cada caso
las características asociadas a cada uno de los componentes eléctricos que forman una red.
Identificar los circuitos eléctricos que permiten simular las tres redes de secuencia.
Conocer las redes de secuencia y los circuitos monofásicos equivalentes que definen a los
generadores y motores eléctricos.
Conocer las redes de secuencia y los circuitos monofásicos equivalentes que definen a los
transformadores.
Saber el principio que define el método de las componentes simétricas.
Ser capaces de representar gráficamente las componentes directa, inversa y homopolar de un sistema
eléctrico, así como construir a partir de estas componentes sus respectivos vectores principales.
Saber calcular las ecuaciones fundamentales que definen el método de las componentes simétricas.
Comprender el método alternativo dado por la norma VDE 0102 para el cálculo de las corrientes de
cortocircuito.
Saber obtener, a partir de las ecuaciones generales dadas para las componentes simétricas, las
ecuaciones que definen a los cortocircuitos: trifásico, bifásico, bifásico a tierra y monofásico a tierra.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
13
CAPÍTULO I
CORTOCIRCUITOS EN LAS INSTALACIONES ELÉCTRICAS
1.1 INTRODUCCIÓN A LOS FALLOS ELÉCTRICOS
Los cortocircuitos no son frecuentes y, cuando se producen, apenas duran unas décimas de segundo,
pero sus consecuencias son tan graves e imprevisibles que obligan a un constante estudio y mejora de los
dispositivos de protección a ellos destinados.
La mayor parte de las normas de protección de las instalaciones eléctricas nos indican que no sólo
deben considerarse las corrientes y tensiones debidas a las cargas de servicio, sino también las debidas a
sobrecargas producidas por los cortocircuitos. Las corrientes de cortocircuito presentan valores mayores a
los nominales, provocando sobrecargas térmicas y electrodinámicas elevadas aparte, las corrientes de
cortocircuito que circulan por tierra pueden ser causa de tensiones e interferencias inadmisibles. Pero no
sólo son importantes las corrientes máximas de cortocircuito, sino también las corrientes mínimas de
cortocircuito, ya que éstas, en definitiva, son las que permiten dimensionar los dispositivos de protección
de las redes.
Este comportamiento de los cortocircuitos se hace especialmente peligroso en contactos con las
personas, pudiendo ocasionar lesiones de gravedad y causar daños en los instrumentos o máquinas de las
instalaciones afectadas. Es por tanto de suma importancia conocer los valores que en un punto
determinado del circuito puedan adoptar las corrientes máximas y mínimas de cortocircuito, ya que sólo
de esta forma será posible proteger eficazmente a las instalaciones de tan graves consecuencias.
1.1.1 Corrientes peligrosas de cortocircuito
A efectos de selección y dimensionado de los dispositivos de protección adecuados a cada red. La
siguiente tabla clasifica las solicitaciones más importante, así como la forma de calcularlas.
Tabla 1.1 Solicitaciones más importantes en las redes eléctricas. Factores de diseño y cálculo (EE,
significa cortocircuito doble a tierra)
Solicitaciones
Calentamiento
Esfuerzos
Capacidad de conexión
Capacidad de desconexión
Tensión de puesta a tierra
Tensión de contacto.
Influencia inductiva.
Disparo de relés de protección.
Seguridad de actuación de los
dispositivos de protección
para sistema con línea de protección
Para puesta a neutro.
Clase de
defecto
Corriente de avería
''
k
Ik
3 polos
1 polos
EE
3 polos
3 polos
1 polos
3 polos
1 polos
X
X
X
X
X
1 polos
1 polos
EE
3 polos
X
X
X
I
Is
Red
Ia
X
X
X
X
X
Máximas
corrientes
de avería
AT
AT
AT
AT
AT
AT
BT
BT
BT
BT
BT
BT
BT
AT
2 polos
1 polos
AT
AT
AT
X
X
X
Mínimas
corriente
de avería
BT
BT
BT
1.2 TIPOS DE CORTOCIRCUITOS
Cinco son los tipos de cortocircuitos más frecuentes que pueden darse en una red eléctrica; por suerte,
el doble contacto a tierra es poco frecuente, revistiendo su cálculo una gran complejidad.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
14
En la siguiente tabla, se indican las características de estos cortocircuitos, así como su importancia y
repercusiones que ejercen en las instalaciones a las que afectan.
Tabla 1.2 Tipos de cortocircuitos. Características más importantes.
R
S
T
I’’U3
a)
Cortocircuito bifásicos sin contacto a tierra
Generalmente las corrientes iniciales simétricas de cortocircuito son
menores que las del fallo trifásico, aunque si el cortocircuito se produce en
las inmediaciones de máquinas síncronas o asíncronas de cierta potencia,
las corrientes de esta falta pueden llegar a presentar valores incluso
mayores que las del cortocircuito trifásico.
Al presentarse en dos de las tres fases del sistema, este cortocircuito ya no
es equilibrado, obligando su cálculo a la utilización tanto de la red de
secuencia directa como a la red de secuencia inversa.
R
S
T
I’’U2
b)
R
S
T
I’’U2ES
I’’U2ET
I’’U2EE
c)
R
S
T
I’’U1
d)
R
S
T
I’’UEE
e)
Cortocircuito trifásicos
Los cortocircuitos trifásicos, son los únicos cortocircuitos que se comportan
como sistemas equilibrados, ya que todas las fases están afectadas por
igual. Las tensiones en el punto de cortocircuito, tanto si el cortocircuito se
cierra a través de tierra como si está aislado de ella, son nulas, presentando
las intensidades igual módulo pero con argumentos desfasados 120º.
Es uno de los cortocircuitos más violentos y de obligado cálculo.
Al ser un sistema equilibrado, para su cálculo sólo será necesario utilizar la
red de secuencia directa.
I’’KEE
Cortocircuito bifásico con contacto a tierra
Dispone de las mismas características que el cortocircuito bifásico sin
contacto a tierra, pero en este caso, con pérdida de energía hacia tierra. Es
necesario considerar para este fallo, además de las redes de secuencia
directa e inversa, la red de secuencia homopolar debido a la pérdida de
energía.
Cortocircuito monofásico a tierra
Este es el cortocircuito más frecuente y violento, produciéndose con mayor
frecuencia en redes rígidamente puestas a tierra, o mediante impedancias de
bajo valor.
Su cálculo es importante, tanto por lo elevado de sus corrientes como por su
conexión a tierra, lo que permite calcular las fugas a tierra, las tensiones de
contacto o de paso, o valorar las interferencias que estas corrientes puedan
provocar.
Para su cálculo, al ser desequilibrado y con pérdida de energía, son
necesarias las tres redes de secuencia (directa, inversa y homopolar).
Cortocircuito con doble contacto a tierra
En redes con neutro aislado o puesta a tierra con impedancias de gran valor,
puede aparecer el doble contacto a tierra.
Este cortocircuito presenta valores de corriente inferiores al resto de los
cortocircuitos. Si consideramos que es poco frecuente y la complejidad que
representa su cálculo, se comprenderá que sea el más escasamente
analizado.
1.3 PARÁMETROS ELÉCTRICOS A CONSIDERAR EN LOS CORTOCIRCUITOS.
CONCEPTOS SEGÚN LA NORMA VDE 0102
Para el estudio de los cortocircuitos han de considerarse diferentes parámetros y magnitudes como son:
las intensidades, las impedancias, las potencias o los tiempos de retardo en el disparo de los dispositivos
de protección. Según la Norma VDE 0102, estos parámetros se definen y simbolizan de la siguiente
forma:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
15
Corriente instantánea total de cortocircuito (ik).
Corriente instantánea simétrica de cortocircuito (i ~). Es la componente de la corriente instantánea
total de cortocircuito que presenta la frecuencia de servicio.
Corriente aperiódica de cortocircuito (ig). Es la componente de la corriente instantánea total de
cortocircuito que representa al efecto inductivo de la bobina (a mayor inductancia, mayor
permanencia de esta corriente).
Corriente subtransitoria simétrica de cortocircuito (Ik''). Valor eficaz de la corriente de cortocircuito
en el instante de producirse la falta.
Corriente transitoria simétrica de cortocircuito (Ik’ ). Valor eficaz de la corriente de cortocircuito
cuando han transcurrido 0.1 segundos desde que se produjo el fallo.
Corriente permanente simétrica de cortocircuito (Ik). Valor eficaz de la corriente de cortocircuito que
perdura después de los fenómenos transitorios (normalmente el estado permanente aparece a partir de
los 5 seg posteriores al cortocircuito).
En los cortocircuitos trifásicos próximos a generadores con excitación constante, la corriente
permanente de cortocircuito es menor que la corriente transitoria, y ésta, a la vez, es menor que la
corriente subtransitoria (Ik'' >Ik’ > Ik).
En los cortocircuitos trifásicos alejados de los generadores, coinciden prácticamente las tres
corrientes de cortocircuito (Ik'' = Ik’ = Ik ). Esto es debido a que con las distancias se amortiguan los
efectos de la corriente aperiódica de cortocircuito producidos por las bobinas.
Corriente máxima asimétrica de cortocircuito (Is). Denominada también valor pico a pico, es el valor
máximo que alcanza la corriente instantánea de cortocircuito al producirse el fallo.
Corriente simétrica de corte (Ia). Valor eficaz de la corriente simétrica de cortocircuito que circula
por un interruptor en el momento que se inicia la separación de los contactos (corriente de corte).
Impedancia directa (Z1). Impedancia equivalente de la red de secuencia directa vista desde el punto
de cortocircuito.
Impedancia inversa (Z2). Impedancia equivalente de la red de secuencia inversa vista desde el punto
de cortocircuito.
Impedancia homopolar (Zo). Impedancia equivalente de la red homopolar vista desde el punto de
cortocircuito.
Fuerza electromotriz inicial (E’’) subtransitoria. Valor eficaz de la fuerza electromotriz de una
máquina síncrona en el instante de producirse el cortocircuito. Es un valor que debe expresarse como
tensión entre fase y neutro.
Tensión de servició de la red (Ub). Valor medio de las tensiones de línea con las que se explota la red
en condiciones normales.
Tensión nominal de la red (UN). Tensión de línea con el que se designa la red.
Potencia aparente subtransitoria de cortocircuito (Sk''). Es el valor de la potencia aparente de línea
considerando el régimen subtransitorio.
Retardo mínimo de desconexión (tv). Tiempo que transcurre desde que se produce el cortocircuito
hasta que se desconectan los polos del interruptor. Es la suma del tiempo mínimo de actuación del
relé y de la apertura del mismo (sin tener en cuenta los retardos ajustables de forma voluntaria).
1.4 CORRIENTES DE CORTOCIRCUITOS. MAGNITUDES Y VARIACIONES
TEMPORALES
Cuando se produce un cortocircuito se presentan variaciones de los parámetros de servicio, cambiando
las condiciones de la red. Este cambio va acompañado de fenómenos electromagnéticos y
electromecánicos transitorios, de los que dependen la magnitud y las variaciones temporales de la
corriente de cortocircuito.
Los fenómenos transitorios dependen además de otras muchas características como pueden ser: del tipo
de cortocircuito, del instante en que se produce, de las fuentes de energía implicadas, del estado previo de
carga, de la duración del cortocircuito y de la estructura de la red. También influyen las características y
comportamiento de los aparatos y componentes implicados.
La situación del punto de cortocircuito en la red indica la forma que influirán las maquinas síncronas y
asíncronas en el mismo. Según la Norma VDE se diferenciará entre ‘cortocircuitos cercanos al generador’
y ‘cortocircuitos alejados del generador’. Además, la posición del punto de cortocircuito nos determina el
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
16
valor del módulo y del ángulo de la impedancia de cortocircuito, valores que influyen de forma definitiva
en la corriente final de cortocircuito.
I/
P
P
ZWK
ZH[W
XG
+
VW
S
EJ
VI
+
Z/
VI
S
-
a) Circuito original
b) Circuito equivalente de Thevenin
en el fallo
Figura. 1.1 Cambio de los parámetros y circuito eléctrico equivalente para el cortocircuito
El instante en que se produce el cortocircuito depende del azar, pero es de suma importancia, ya que de
él depende el valor que tomará la corriente en el momento de producirse el fallo. Hay que indicar, que la
referencia respecto a la variación temporal de tensión influye de forma determinante en el máximo que
alcanzará la intensidad (valor importante para determinar el poder de corte y poder de cierre de los
dispositivos de protección).
Las fuentes de generación de energía son generalmente máquinas síncronas (como los
turbogeneradores o las máquinas con rotor de polos salientes). Pero también son frecuentes las máquinas
asíncronas (motores de inducción), así como los accionamientos alimentados por convertidores estáticos
con régimen ondulador. Finalmente, las redes externas, bien sea una red regional de suministro de energía
o redes industriales, pueden proporcionar asimismo energía al punto de cortocircuito.
La duración del cortocircuito depende fundamentalmente de los dispositivos de protección y de los
aparatos de corte empleados en la red. También introducen modificaciones en los fenómenos transitorios,
los reenganches rápidos, que cuentan el tiempo sin paso de corriente y las secuencias de maniobras.
El estado previo de carga de una red nos determina si nos encontramos ante cargas débiles o elevadas.
Es decir, nos informa tanto del número y la potencia de los generadores y cargas trabajando en paralelo
como del valor de la fuerza electromotriz de las fuentes de corriente que afectan al cortocircuito.
La forma de la red nos indica los caminos por donde discurrirá la corriente en caso de cortocircuito, y
por tanto nos informa de las impedancias implicadas en su cálculo. Su estructura depende del tipo de
transporte (líneas aéreas, subterráneas o cables) y del tipo de distribución (malla, antena o radial).
El punto de avería en la red repercute en las variaciones que las corrientes de cortocircuito
experimentan con el curso del tiempo. Si el punto de la avería está situado en las proximidades de un
generador síncrono (bobinas y por tanto inductancia), la corriente instantánea inicial de cortocircuito
presentará un valor elevado respecto al nominal y será asimismo más duradera. Por ello, las corrientes de
compensación, al disminuir la componente inductiva de las corrientes de falta, son una forma eficaz de
disminuir las amplitudes de las corrientes instantáneas iniciales de cortocircuito.
A continuación se describen las variaciones temporales de las corrientes de cortocircuito para diversos
regímenes de carga. El método se ha aplicado a las corrientes de cortocircuito de una línea, pero también
es aplicable a una red más extensa con varias ramas.
1.4.1 Red monofásica sin carga
Veamos primeramente cómo se comporta un sistema monofásico sin carga con un cortocircuito alejado
del generador. La siguiente figura 1.2 representa el esquema equivalente de un circuito monofásico que
incluye una fuente ideal generadora de tensión senoidal (valor de cresta 2 ·V , con una frecuencia y
pulsación w=2ʌf constantes). La resistencia efectiva (Rk) y la reactancia inductiva (Xk=wLk) se consideran
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
17
también constantes y lineales. El cortocircuito se produce actuando sobre el interruptor sin resistencia en
el instante (t=0) al pasar por cero la tensión.
Rk
Xk
u=—2 U sen Zt
Ib
Figura 1.2 Esquema monofásico equivalente de un circuito unipolar sin carga
Analicemos las variaciones que sufre la corriente de cortocircuito (ik) a lo largo de todo el proceso.
Pero, en primer lugar, veamos los pormenores que facilitarán la comprensión del proceso:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
En este caso, no existía corriente de carga en el instante (t=0), ya que el circuito está en vacío.
El instante en que se produce el cortocircuito (valor debido al azar) coincide con el paso por cero
de la tensión de línea.
El punto de cortocircuito nos determina el módulo y ángulo de la impedancia equivalente.
Normalmente estas impedancias suelen ser altamente inductivas por la presencia de las máquinas
eléctricas.
La tensión no varía su valor a lo largo de todo el tiempo que dura la falta.
ik
Envolvente superior
2 2 ·I’’k
ig
t
2
u
Mk
2 ·Ik=2 2 ·I’’k
Envolvente
inferior
Figura 1.3 Variación de la fuerza electromotriz (u) y de la corriente instantánea de cortocircuito (ik)
Donde:
Ik’’= Corriente inicial simétrica de cortocircuito
Ik = Corriente permanente de cortocircuito
Is = Corriente máxima asimétrica de cortocircuito
A = Valor inicial de la componente aperiódica de la corriente
iK = Corriente instantánea total de cortocircuito
ig = Componente aperiódica de la corriente instantánea total de cortocircuito
ia = Corriente instantánea simétrica de cortocircuito
Mk = Ángulo de la impedancia de cortocircuito de la red
Que la tensión en el instante del cortocircuito pase por cero nos indica que con impedancias muy
inductivas (caso supuesto en este ejemplo), la intensidad estará pasando por su máximo negativo (la
intensidad esta retrasada 90º con respecto a la tensión), lo que implica que con la disminución de la
impedancia por causa del cortocircuito, la intensidad alcanzará valores muy elevados. Pero además hay
una segunda repercusión con impedancias inductivas, la corriente no puede cambiar de valor de forma
repentina, lo que obliga a la creación de una segunda intensidad (componente aperiódica) para
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
18
contrarrestar este efecto inductivo. Esta intensidad aperiódica perdurará hasta que las bobinas se hayan
adaptado al nuevo régimen del circuito, desapareciendo de forma exponencial.
Resumiendo, la asimetría y el valor punta de la corriente de cortocircuito vienen determinados por el
instante en que se produce la falta, considerado este instante con respecto a la variación temporal de la
tensión. También influye en el valor de la corriente de cortocircuito la magnitud que adopte la impedancia
de cortocircuito de la red (Zk=Rk+jXk). Como en nuestro ejemplo se supone que (Zk) tiene una
componente inductiva relativamente grande, la corriente simétrica de cortocircuito estará retrasada un
ángulo próximo a los 90º respecto a la tensión. Por tanto, la corriente instantánea total de cortocircuito
debería adoptar bruscamente en el instante (t=0) el valor instantáneo correspondiente a la corriente
simétrica de cortocircuito. Pero como el sistema es inductivo, la corriente no podrá cambiar de forma
brusca, empezando realmente siendo nula. Por ello, debe de existir una intensidad transitoria (ig) con un
valor inicial (A) que contrarreste el valor instantáneo negativo de la corriente simétrica de cortocircuito
(ia). La intensidad transitoria se denomina componente aperiódica y se amortigua, siguiendo una función
exponencial con la constante de tiempo (Tg), que depende esencialmente del carácter inductivo del
circuito visto desde el punto de falta.
La corriente simétrica instantánea de cortocircuito (ia) depende de la fuerza electromotriz y de la
impedancia equivalente de la red en el punto del fallo. La intensidad inicial simétrica de cortocircuito
(Ik’’) representa el valor eficaz de la corriente en el instante de producirse el cortocircuito. En
cortocircuitos alejados de los generadores, la tensión (Un) y la impedancia (Zk) permanecen constantes,
coincidiendo la intensidad subtransitoría (Ik’’) con la intensidad permanente de cortocircuito, es decir,
(Ik’’=Ik). En cortocircuitos próximos a los generadores no se cumple está igualdad resultando que
(IK''>IK'>IK).
Las dos envolventes nos indican la variación de los valores de pico de la intensidad de cortocircuito. La
intersección de la envolvente superior con el eje de ordenadas nos determina el valor de
práctica
A 2I ' 'K
A 2 I k''
; en la
. La intersección de la envolvente inferior con el eje de ordenadas nos determina el
valor de A 2 I ' 'K . Por su parte, la corriente aperiódica se corresponde con la línea media entre las dos
envolventes. De forma general, las variaciones de la intensidad de cortocircuito pueden expresarse con
suficiente exactitud mediante la siguiente ecuación:
ik=ia+ig =
>
>
@
2U
t / T
SenWt < M k e g Sen< M k Zk
2 I k'' SenWt < M k e
t / Tg
@
Sen< M k [1.1]
Donde:
U = Valor eficaz de la fuerza electromotriz. Este valor no varía con el tiempo
Zk = Módulo de la impedancia de cortocircuito de la red ( Rk2 X k2 ). Valor que depende de la situación del
punto de cortocircuito
Mk = Ángulo de la impedancia de cortocircuito de la red ( arctg ( X K / R K ) ) Valor que depende de la situación del punto de cortocircuito
w = Pulsación (2·S·f)
T = Tiempo
f = Ángulo de fase inicial de la tensión al producirse el cortocircuito. Valor que depende del azar
Tg = Constante de tiempo de la componente aperiódica ( X K /( RK ·w)) ( LK / RK ) . Cuanto más inductiva sea la
impedancia equivalente vista desde el punto de cortocircuito, más elevada será la constante de tiempo
Ik’’= Intensidad inicial simétrica de cortocircuito (U/ZK)
En la figura 1.4, puede apreciarse la variación de la constante de tiempo (Tg) en función de la relación
(RX/XX). Nótese en la ampliación de la figura que el tiempo (Tg) decrece rápidamente al aumentar el efecto
óhmico con respecto al inductivo. Si se tratara de una bobina pura, la constante de tiempo sería infinita, es
decir, no existiría amortiguamiento de la componente de la corriente aperiódica, pero esto resulta
imposible, ya que todas las bobinas, en menor o mayor grado, disponen de resistencia, limitando el
tiempo de permanencia de la intensidad de cortocircuito.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
19
0.5
TJ
0.1
TJ
0.4
0.08
0.06
0.04
0.3
a
0.02
0.00
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2
RN
R
XN
b
0.1
0.0
0.0
0.02
0.06
0.04
0.08
0.10
RN
XN
Figura 1.4 Amortiguamiento de la constante de tiempo (Tg), en función de la relación (RX/XX)
La relación I S /( 2 ·I K ' ' ) nos determina el parámetro (Ȥ), este parámetro nos identifica la peligrosidad del
cortocircuito, ya que depende del ángulo de la impedancia de cortocircuito y del ángulo de la tensión en el
momento de producirse el mismo. Si observamos la figura 1.5, comprenderemos mejor esta relación. En
primer lugar existen varias curvas, representando cada una un ángulo distinto de la tensión en el momento
de producirse el fallo. El caso menos desfavorable se corresponde con una tensión con un ángulo de 90º
en el momento del fallo, es decir, cuando la tensión esta pasando por un máximo, lo que significa que la
intensidad esta pasando por un mínimo. Mientras que el caso más desfavorable lo constituye cuando el
ángulo de la tensión vale 0º en el momento del fallo. En este caso, la tensión estará pasando por cero, lo
que significa que la corriente estará pasando por un máximo. Pero aparte, la gráfica nos indica otro
parámetro importante: el carácter inductivo de la impedancia de cortocircuito, de forma que para
impedancias completamente inductivas el valor de (Ȥ=2) alcanza su máximo posible, mientras que para
valores muy óhmicos (Ȥ=1) se alcanza el valor mínimo.
Is/
2·I’’k 2.0
1.8
M=0º
1.6
M=30º
1.4
M=45º
M=60º
1.2
M=75º
M=90º
1.0
0.2
0
90º
0.4
80º
0.6
70º
0.8
1.0
Rk/Xk
60º
Mk
50º 45º
Figura 1.5 Relación corriente máxima asimétrica de cortocircuito respecto al valor de cresta de la
corriente inicial simétrica de cortocircuito en función de (Rk/Xk) y del ángulo de fase inicial (f)
Veamos otra forma de razonarlo. La intensidad (Is) obedece a la siguiente expresión:
Is
2 ··I K ' '
2 ·2·I K ' '
[1.2]
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
20
Donde (Ȥ) puede tomar los valores entre 1 a 2. Si observamos la figura 1.3, el valor de cresta máximo
que puede alcanzar una corriente de cortocircuito se corresponde con el valor dado en la expresión
anterior. Pero este valor es imposible de obtener ya que las bobinas reales siempre tienen resistencia. Si
existiera una bobina ideal, en la figura 1.3, tanto la envolvente superior como inferior, así como la
componente aperiódica, nunca cambiarían de forma, coincidiendo su representación con tres líneas
horizontales independientes del tiempo, lo que significaría la permanencia de la componente aperiódica
de forma indefinida.
1.4.2 Red monofásica en carga
Hasta el momento se ha considerado el sistema trabajando en vacío. Si ahora consideramos una carga
especifica, la expresión de las intensidades instantáneas se incrementará con la corriente de carga
denominada (iC).
RN
XN
Ik
Rb
u=—2 U sen wt
Xb
Ib
Figura 1.6 Esquema equivalente de un sistema eléctrico monofásico en carga
La carga de la figura anterior está representada por una impedancia constante de valor Zb=(Rb+jXb),
por la que circula una intensidad (iK), considerándose que se ha producido un cortocircuito cuando se
cumple la condición de (iK=ib).
En la figura 1.7, se representan dos casos para una línea en carga, con distintos parámetros del circuito
que cumplen la condición particular de (Rk/Xk)=(Rb/Xb).
La figura 1.7.a, se corresponde con un sistema altamente inductivo (ángulo de la impedancia de
cortocircuito superior a K>88º), con el agravante que el cortocircuito se produce cuando la tensión pasa
por cero (f=0). En estas condiciones, el cortocircuito será muy violento y duradero, ya que la
componente aperiódica se amortiguara muy lentamente.
La figura 1.7.b, se corresponde a un sistema en el que el ángulo de la impedancia de cortocircuito es de
45º, es decir, el valor óhmico coincide con el inductivo. La tensión en el momento del fallo, sigue
pasando por cero. En este caso, la corriente instantánea total de cortocircuito (iK ) será menor que en el
caso anterior, amortiguándose, además, de forma más rápida.
K=
a)
b)
ik
ik
u
u
ig
ib
s
ib
45º
ig
45º
88,3º
f=0
Rk / Xk= Rb/Xb=0,03; Tg=0.11s
f=0
Rk / Xk= Rb/Xb=1; Tg=0.0032s
Figura 1.7 Variaciones temporales de la fuerza electromotriz (u) y de la corriente instantánea total de
cortocircuito (iK ) para los distintos parámetros del circuito en carga
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
21
En ambos casos la corriente instantánea de cortocircuito (iK) debe empezar con el valor instantáneo de
la corriente de carga (ib). Para que se cumpla esta condición, el valor inicial de la componente aperiódica
debe coincidir con la diferencia, con signo negativo, de los valores instantáneos de las corrientes (i~=ib)
Las variaciones temporales de la corriente de cortocircuito, considerando la existencia de una carga,
pueden expresarse con la siguiente fórmula:
iK
º
2 ª
º
ªZ
U « Sen( wt \ Mk ) « k sen(\ M ) sen(\ M k )» e t / Tg »
Zk ¬
¼
¬Z
¼
iL ib i g
[1.3]
Donde:
Zb : Módulo de la impedancia de la carga
Z : Módulo de la impedancia de todo el circuito ( R 2 X 2 ) con R=(Rb+RK) y X=(Xb+XK)
M : Ángulo de la impedancia de todo el circuito (arctg X/R )
1.4.3 Redes trifásicas
Para representar las redes trifásicas simétricas suele emplearse un esquema equivalente como el
mostrado en la figura 1.8. El sistema representa una red formada por un generador y una carga unidos
mediante una línea trifásica equilibrada. Si en la red representada se suponen tres fuentes ideales de
tensión desfasadas 120º y con secuencia directa (RST), tendremos las siguientes tensiones de línea
generadas.
UR
2Usenwt
US
2Usen( wt 240º )
UT
2Usen( wt 120º )
[1.4]
Sólo el cortocircuito trifásico puede considerarse también equilibrado. En este caso, las impedancias
ZK=(RK+jXK) de las tres fases (R, S, T) son en lo que respecta al módulo y ángulo de fase, iguales,
constantes y lineales. Hasta que se produce el cortocircuito en el instante (t=0), las corrientes son nulas
(iRK=iSK=iTK=0), pero cuando éste ocurre, afecta simultáneamente a las tres fases actuando sobre los
interruptores de protección.
Como la red es simétrica, los dos puntos neutros (del generador y del motor) disponen en cada
momento de igual potencial, pudiéndose unir mediante un conductor eléctrico sin que por él circule
corriente, lo que permite descomponer la red trifásica en tres circuitos monofásicos más sencillos de
cálculo.
Rk
Xk
i5.
U5
UT
US
iTK
Rk
Xk
Rk
Xk
iSK
Figura 1.8 Esquema equivalente de una red eléctrica trifásica en carga y sus circuitos monofásicos
El resto de los cortocircuitos son desequilibrados, siendo necesario emplear cada una de las tres fases
para realizar los cálculos, lo que complica y alarga enormemente su resolución. En los próximos
apartados se expondrá un método que permite seguir calculando cualquier circuito desequilibrado, o
incluso con fugas a tierra, como si fuera equilibrado (usando sólo una de las tres fases). El método
propuesto se denomina, "método de las componentes simétricas".
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
22
1.4.4 Constantes de tiempo
Las constantes de tiempo subtransitoria, transitoria, y permanente (Td'',Td',Tg) son fácilmente
calculables si se disponen de las oportunas mediciones experimentales. El cálculo suele realizarse
mediante procedimientos gráficos.
ik
2 2I’’k
ig
Is
A
2I’’k
2 2Ik
2I’k
2(I’k-Ik)
2(I’’k-Ik)
2(I’’k-I’k)
Fenómeno subtransitorio
Fenómeno transitorio
Figura 1.9 Variaciones temporales de las corrientes instantáneas de cortocircuito (iK, ig, y i~)
En primer lugar, deberemos realizar un ensayo de cortocircuito desde el punto deseado, o bien, si este
ya se ha producido de forma accidental, intentar obtener mediante simulación, las variaciones temporales
de la corriente instantánea de cortocircuito (iK) así como las de sus componentes (ig, e, i~).
Los valores obtenidos mediante ensayo o simulación están representados en la figura 1.9, donde se
detallan cada una de las componentes de las corrientes, así como sus magnitudes. En esta figura también
se especifican los tres estados característicos que definen a un cortocircuito, el estado subtransitorio,
transitorio y permanente.
Los valores de las intensidades para los tres regímenes descritos pueden obtenerse directamente por
gráfica y mediante las siguientes expresiones, podemos, conocido el valor de la tensión entre fase y
neutro en el punto de cortocircuito (valor de la tensión entre fase y neutro en el punto del fallo un instante
antes de producirse el cortocircuito), determinar el valor de las reactancias síncronas de las máquinas
conectadas a esta red.
IK
V Fase
Xd
V Fase
X 'd
I 'K
I ''K
V Fase
X ' 'd
[1.5]
La figura 1.10, permite determinar los últimos parámetros que faltan para tener un cortocircuito
perfectamente definido, las constantes de tiempo. Para ello se realizará la construcción de la gráfica
representada, en la cual se indican los pasos a seguir para su confección.
p.u.
i
6
5
2(I’’k-Ik)
4
3 cTg=0.28s
2(I’k-Ik)
a
2
T’d=1.07s
2(I’’k-I’k)b
1
T’’d=0.031s
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
s
t
Figura 1.10 Gráfica para determinar las componentes transitorias de las corrientes de cortocircuito, así
como sus constantes de tiempo
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
23
La constante de tiempo (Td') del fenómeno transitorio de amortiguamiento se obtiene a partir de la línea
característica con el valor inicial 2 ( I 'K I K ) . Para ello se multiplica dicho valor por el factor (e-1) y se
lleva el producto sobre el eje de coordenadas.
Para la determinación de las constantes de tiempo (Td''), y (Tg) se sigue un procedimiento análogo al
descrito para la constante de tiempo transitoria (Td'). Notar que la componente aperiódica de cortocircuito
se amortigua de forma exponencial con la constante de tiempo (Tg) a partir de un valor inicial (A), y que
para la obtención de la constante de tiempo (Td'' ) se han representado en la figura las diferencias entre las
envolventes correspondientes a los regímenes subtransitorios y transitorios, a partir del valor inicial
2 ( I ' 'K I 'K ) .
1.4.5 Influencia de los tiempos de corte
En la práctica, se intenta interrumpir lo más rápidamente posible la corriente de cortocircuito mediante
interruptores automáticos u otros dispositivos. El instante del corte depende del retardo mínimo de
desconexión, que en redes de alta tensión oscila entre los 0,006 seg y los 0,2 seg, siendo en algunos casos
concretos menor de 0,06 seg. En las redes de baja tensión, el retardo mínimo de desconexión suele oscilar
entre los 0,01 seg y los 0,03 seg.
Los fusiles y los dispositivos limitadores de corriente cortan la corriente del cortocircuito de forma muy
rápida, ya que desconectan al circuito antes de que la corriente alcance su primer semiciclo, es decir,
antes de que alcance su punta máxima.
1.4.6 Reactancias a considerar en máquinas síncronas delante de un cortocircuito
Al producirse un cortocircuito, se supone que la fuerza electromotriz de las máquinas síncronas no
varía, considerándose que el aumento de la intensidad es debido a la disminución que presentan los
valores instantáneos de las diversas reactancias que intervienen en el mismo. A grandes rasgos, podemos
considerar dos tipos de reactancias:
¾
¾
Reactancias de eje directo: estas reactancias están referidas a la posición del rotor en el cual
coinciden los ejes de los bobiandos del rotor y del estator.
Reactancias en cuadratura: estas reactancias aparecen cuando el rotor ocupa una posición tal que
los ejes de los bobinados del rotor y del estator forman un ángulo de 90º (están en cuadratura).
Para la mayor parte de los cálculos es suficiente con considerar las reactancias referidas al eje directo,
usándose únicamente las reactancias en cuadratura o transversales, cuando se desea conocer con gran
exactitud el comportamiento de una máquina delante de una falta.
¾
Las reactancias directas son:
ƒ
Reactancia subtransitoria (X''d): Es la denominada reactancia inicial saturada. Incluye las
reactancias de dispersión de los bobinados del estator y del rotor del generador, incluyéndose
también en el flujo de dispersión del rotor, la influencia de las barras de amortiguación y de las
piezas macizas anexas.
ƒ
Reactancia transitoria (X’d): Es mayor que la reactancia subtransitoria (entre 1.2 y 1.5 veces),
siendo también una reactancia saturada. Incluye las reactancias de dispersión de los bobinados
del estator y de excitación del generador.
ƒ
Reactancia sincrona (Xd): Es la mayor de las tres reactancias directas. Es una reactancia
semisaturada, comprendiendo la reactancia de dispersión del estator y la reactancia de las
pérdidas por reacción de inducido.
¾
Las reactancias inversas son:
La reactancia inversa, (X2) es la reactancia que aparece en el generador cuando se le aplica una
secuencia inversa de tensiones (RTS). Lo que representa que, durante unos instantes, la velocidad relativa
entre el rotor (que aún gira) y el campo magnético giratorio (campo inverso) es el doble de la velocidad
de sincronismo.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
24
x
Máquinas con rotor de polos salientes: En los generadores hidroeléctricos con bobinado de
amortiguación, la posición del rotor influye notablemente en el entrehierro del mismo
cumpliéndose:
X ' 'd X ' 'q
X2
x
2
[1.6]
Máquinas con rotor liso: En los turbogeneradores con bobinado de amortiguamiento se cumple
(al no variar el entrehierro con la posición del rotor):
X2
¾
1.2· X ' ' d
X ' 'd X ' 'q
2
X ' 'd
[1.7]
Las reactancias homopolares son:
La reactancia homopolar (Xo) depende en los generadores únicamente de los flujos de dispersión, ya
que los sistemas homopolares no generan campos magnéticos giratorios. Las reactancias homopolares son
siempre menores que las subtransitorias (Xo=1/4 X’’d). La reactancia homopolar sólo influye en los
cortocircuitos entre los bornes y el punto neutro de un generador, o en los cortocircuitos a tierras cuando
los sistemas están conectados en estrella, no apareciendo esta componente en sistemas conectados en
triángulo.
1.4.7 Comportamiento de los motores delante de un cortocircuito
El comportamiento de los motores síncronos y asíncronos, así como el de los compensadores síncronos
delante de un cortocircuito, puede equipararse al de los generadores, ya que al quedar estas máquinas sin
tensión (al producirse el cortocircuito), durante unos instantes aún giran, convirtiéndose en productores de
energía que alimentará al punto de cortocircuito.
No obstante, y debido a las diferencias constructivas entre las máquinas síncronas y asíncronas, su
comportamiento no es exactamente igual, observándose unas diferencias que obligan a emplear fórmulas
distintas para su cálculo.
ƒ
Motores y compensadores síncronos: Si la duración del cortocircuito es menor a 0.2 seg, los
motores y compensadores síncronos actúan como generadores síncronos. Si la duración del
cortocircuito es mayor, la caída de velocidad debida al par de frenado repercute sobre los
fenómenos electromecánicos transitorio y las máquinas sincronas pasan a funcionar como
máquinas asíncronas.
ƒ
Motores asíncronos: La corriente de cortocircuito también depende de la presencia de los
motores asíncronos. Las corrientes de cortocircuito se amortiguan, al contrario que en máquinas
síncronas, muy rápidamente debido a la falta de bobinados de excitación. Las características del
motor asíncrono, y su par de frenado también influyen en la respuesta del motor delante de un
cortocircuito.
1.5 MÉTODOS PARA LIMITAR LAS CORRIENTES DE CORTOCIRCUITO
En un sistema eléctrico, las posibles corrientes elevadas producidas por un cortocircuito suponen un
encarecimiento de las instalaciones, ya que sus componentes y dispositivos han de proyectarse lo
suficientemente sólidos para resistir los efectos térmicos y dinámicos que puedan producirse. Por este
motivo, las empresas distribuidoras de energía eléctrica suelen proyectar sus sistemas de forma que, en
cada nivel o sector de tensión utilizado, las corrientes de cortocircuito (o sus potencias de cortocircuito)
no superen un valor que se establece en función de criterios económicos y en ocasiones por
disponibilidades en el mercado de los dispositivos adecuados.
Las corrientes de cortocircuito están normalmente alimentadas por elementos activos (fuentes de
tensión, generalmente generadores síncronos). Por el contrario, los elementos limitadores son pasivos
(resistencias e inductancias), estando situados entre los elementos activos y el punto de cortocircuito.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
25
Aunque existen numerosos métodos y técnicas para la reducción de las corrientes de cortocircuito, son
pocos los básicos. Entre los más importantes, podemos destacar los siguientes:
A. Limitación de la potencia total conectada a un sector. Limitación de las potencias de los
transformadores de alimentación
B. Puestas a tierra no rígidas
C. Desconexiones rápidas delante de cortocircuitos
D. Desexcitaciones de generadores
E. Bobinas de extinción o de resonancia (Petersen)
F. Empleo de tensiones elevadas
G. Interposición de bobinas limitadoras trifásicas en serie
1.5.1 Limitación de la potencia total conectada a un sector. Limitación de las potencias de
los transformadores de alimentación
En la planificación de sistemas eléctricos, una precaución muy extendida consiste en disponer de
potencias no excesivas conectadas a una red correspondiente a un mismo nivel de tensión. Si la zona
afectada requiere una demanda mayor de potencia, es necesario realizar una subdivisión del sector. Como
el suministro de la energía de los generadores se realiza a través de transformadores, éstos serán los
encargados de limitar la potencia total de un sector. Por supuesto, la potencia total permisible para los
transformadores estará relacionada con las caídas de tensión (Hcc) que para ellos se prevea. Así,
dependiendo del número de puntos de generación de energía, existirán más o menos caminos para las
corrientes de cortocircuito que contribuirán a la alimentación del fallo.
Si limitamos las potencias de los transformadores y optamos por caídas de tensión (Hcc) elevadas, el
transformador tendrá más pérdidas, pero disminuiremos los efectos de los posibles cortocircuitos que
puedan presentarse, ya que una caída de tensión elevada supone la interposición de reactancias en los
caminos de alimentación, debido a que las impedancias de los transformadores vienen definidas por:
Z cc
2
H ccU comp
100·S
[1.8]
Si dos sistemas trifásicos, aisladamente, poseen potencias de cortocircuito adecuadas y se unen
mediante una línea de interconexión, el conjunto ofrecerá mayores potencias de cortocircuito, tal vez
inadecuadas a sus dispositivos de protección asignados. Para paliar este inconveniente, las
interconexiones se realizarán mediante circuitos alimentados con corriente continua.
1.5.2 Puestas a tierra no rígidas
Ya se ha indicado al principio de este capítulo que los cortocircuitos más frecuentes son los
monofásicos y los bifásicos a tierra, y concretamente con el fin de limitar las corrientes de cortocircuito a
tierra (corrientes homopolares), un método eficaz consiste en disponer resistencias o reactancias en las
puestas a tierra.
Es evidente que tales impedancias no afectan al sistema en los regímenes normales de funcionamiento,
ya que al ser sistemas equilibrados no circularan corrientes por el circuito que une el neutro con tierra, por
representar para ellas un circuito abierto.
Tampoco afectarán estas impedancias limitadoras al cortocircuito trifásico, único cortocircuito
equilibrado, ya que las corrientes equilibradas nunca podrán fluir más halla del neutro. Esto provoca que
las impedancias limitadoras del neutro no surjan ningún efecto ante este tipo de cortocircuitos, siendo
necesario adoptar otros sistemas de protección para los mismos.
Es importante recordar que para el cálculo de una puesta a tierra no rígida con una impedancia (Zn) ésta
no afectará a las redes de secuencia directa e inversa, pero se incluirá, con un valor (3Zn), en la red de
secuencia homopolar para igualar las caídas de tensión (recordar que por el circuito de puesta a tierra
pasaría la corriente total homopolar, es decir, el triple de la corriente homopolar que fluiría por una fase).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
26
1.5.3 Desconexiones rápidas antes de que las corrientes de falta alcancen valores elevados
Existen dispositivos de protección muy rápidos y con un alto poder de corte que interrumpen la
corriente antes de que ésta alcance su valor de cresta. Constituyen un excelente medio de protección, ya
que no sólo limitan los efectos dinámicos sino que, por la brevedad de los tiempos de actuación, también
aminoran los efectos térmicos.
Este método, no obstante, sólo es aplicable a sistemas con corrientes de cortocircuitos relativamente
reducidas, ya que en redes donde puedan presentarse corrientes de cortocircuitos elevadas, los esfuerzos
electrodinámicos y térmicos son tan grandes que resulta difícil crear dispositivos capaces de
interrumpirlas de forma tan rápida.
1.5.4 Desexcitación de generadores
Este procedimiento consiste en disponer, en los generadores síncronos, de reguladores de tensión que
provoquen una desexcitación al presentarse corrientes de cortocircuito. Estas corrientes, básicamente
inductivas, por sí mismas tienden a desexcitar las máquinas generadoras de energía eléctrica.
Si para sistemas locales simples este método suele constituir un útil recurso, en general resulta
contraproducente en otros aspectos, tratándose de sistemas más complejos. Si bien en épocas pasadas
importaba ante todo evitar los efectos destructivos de los cortocircuitos, en la actualidad, como las
instalaciones ya están bien protegidas y se proyectan de forma que resistan los efectos térmicos y
dinámicos previstos, lo más importante es asegurar la continuidad del servicio. Es decir, un factor
importante en la actualidad es mantener la estabilidad con las menores perturbaciones posibles, mientras
se elimina el defecto o se desconecta el sector afectado por la falta, evitándose interrupciones en los
restantes.
1.5.5 Bobinas de extinción o de resonancia (Petersen) o puesta a tierra compensante
En la figura 1.11 se representa una línea trifásica con neutro aislado. Los bobinados indicados pueden
ser los de un generador o, más generalmente, los secundarios de un transformador. Supuestas idénticas las
admitancias transversales del sistema (aislamientos y capacidades de las tres fases), el neutro poseerá el
mismo potencial que tierra. Pero como sea que las líneas no son perfectamente simétricas, en la práctica
el neutro (N) ofrecerá cierto potencial respecto a tierra.
Un arco o contacto a tierra de cierta línea establece que, respecto a tierra, el neutro adquiera la tensión
simple y las fases “b” y “c” las compuestas. Con la condición de haberse previsto los debidos
aislamientos, en principio el sistema puede seguir prestando su servicio, a diferencia de lo que sucedería
si el punto neutro (N) estaba rígidamente puesto a tierra. En este último caso, se habría producido el
cortocircuito monofásico a tierra.
Aun con el neutro aislado, el defecto a tierra implica paso de corriente, motivado por los retornos que
permiten las admitancias transversales. Por el momento se despreciarán las conductancias, no
considerándose más que las corrientes por capacidades. Ya se ha destacado que en este caso no se trata de
un cortocircuito monofásico a tierra, pero la corriente de defecto puede llegar a ser considerable. Para un
mismo tipo de línea trifásica, la corriente de defecto depende de la longitud de la misma, de forma que en
una línea corta será poco importante, mientras que para un sistema extenso será más elevada.
Los principales inconvenientes de la corriente de defecto si se aplica este método, son los siguientes:
ƒ
ƒ
ƒ
Podrá subsistir sin graves consecuencias si es reducida y bueno el contacto; sin embargo, si la
corriente presenta valores elevados, tendrá efectos destructivos, por lo que la continuidad de
servicio no será posible.
El contacto a tierra de la línea (a) puede ser producto de un arco intermitente generador de
sobretensiones (sucesivas descargas de capacidades) que, unidas a las adquiridas por las
restantes líneas, pueden originar descargas a tierra, derivándose en un doble contacto a tierra.
Arcos suficientemente intensos pueden extenderse y motivar defectos graves o generalizados.
Las corrientes de contacto a tierra pueden disminuirse mediante las llamadas bobinas Petersen, de
extinción, de resonancia o de compensación. Se trata de inductancias (Xp) de puesta a tierra del neutro (N)
(ver figura 1.11).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
27
Para la determinación de la corriente de defecto (ID), puede emplearse al teorema de Thévenin,
resultando:
ID
§
1 ·
¸
E s ¨¨ w3C wL P ¸¹
©
[1.9]
Anulándose la (ID), cuando existe resonancia de corriente, es decir:
wLP
1
3wC
1
3w 2 C
LP
[1.10]
Con la corriente (ID) es anulada, se extingue el arco inicial y sin embargo puede persistir el contacto a
tierra, luego la continuidad de servicio, hasta haberse localizado y eliminado el defecto. Con estas
prestaciones, quedan justificadas las designaciones de bobina de resonancia, de compensación y de
extinción.
c
Xc
b
N
Xc
a
Xc
D
b
b
c
c
a
a
J
E
c
Xc
Xc
b
Xc
Xc
XS
a
XS
Xc
Xc
G
H
XS
M
K
3Xc
M
Figura 1.11 Sistemas de conexionado de las bobinas Petersen
En la práctica, los elementos no son ideales y, al existir reactancias, el diagrama vectorial se
corresponde con el (K) de la figura 1.11. Esto significa que incluso con la resonancia de compensación, en
el defecto hay una corriente residual (Ir) o compensada. Si esta corriente es pequeña, no puede mantener
el arco, que termina desapareciendo (se trata de una corriente óhmica, luego con arco de fácil extinción).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
28
Por el contrario, si el sistema es extenso, la inevitable corriente residual es de tal magnitud que el arco
persiste. Este es el motivo por el que las bobinas de extinción han tenido aplicación solamente en redes no
demasiado extensas y con tensiones inferiores a los 110 kV.
Es importante pues, reducir las corrientes que circulan por cada uno de los tres bobinados del
generador, o del secundario del transformador; para ello, vamos a considerar unos supuestos.
Consideremos nuevamente el caso de un sistema sin pérdidas. Al ser (ID = Ir = 0), resulta que por cada
bobinado circulará una intensidad de defecto (IP /3 = I3C /3), siendo estas corrientes las componentes
homopolares del sistema.
Si no se realiza la compensación, dejando al neutro aislado, por los tres bobinados del secundario del
transformador circularán corrientes asimétricas. En tal caso, la asimetría de corrientes en el secundario
repercute en el primario, afectando a los generadores de este sistema y a las caídas de tensión, en general.
1.5.5.1 Inconvenientes de las bobinas de extinción
Los inconvenientes más frecuentes que presenta la utilización de las bobinas de extinción son:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
La compensación resulta bastante costosa comparada con otros métodos afines.
En las redes subterráneas la solución se encarece aún más, en virtud de las mayores capacidades
que obligan a compensar las elevadas corrientes. La potencia aparente de la bobina
compensadora pasa a ser: ( S U s I 3C U s2 3wC ).
La existencia de armónicos de tensión es causa de corrientes que no quedan compensadas. Un
ejemplo lo representan las corrientes fundamentales, pudiendo alcanzar éstas valores
considerables.
Las bobinas de compensación pueden originar sobretensiones peligrosas a causa de cambios de
estructura en la red. Además, tratándose de bobinas con núcleo de hierro, pueden provocar
ferrorresonancias molestas.
La sintonía sólo puede conseguirse en unas determinadas circunstancias, pero si el sistema
experimenta alteraciones, por ejemplo por maniobras (conexión o desconexión de sectores) o
ampliaciones, aquella sintonía se pierde. Esto obliga a disponer de una bobina de reactancia con
diversas tomas o con núcleos con entrehierros variables (o ambas soluciones a la vez). Incluso
sin maniobras, las variaciones de las flechas en las líneas es causa de cambios en las
capacidades, aunque la compensación puede automatizarse.
Compensar a través de un sólo transformador puede provocar en el mismo calentamientos
excesivos, si no han sido previstos. Si existen varios transformadores en paralelo, es necesario
establecer una barra común de neutro para conexionar la bobina de extinción. Si en el sistema
compensado existen varios transformadores, pueden disponerse de varias bobinas de extinción,
siendo útil hacerlo de forma que, al desconectarse los sectores, los que queden en servicio
tiendan a quedar compensados.
1.5.5.2 Ventajas de las bobinas de extinción
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Defectos que no serían pasajeros pasan a serlo debido a la autoextinción.
El sistema de compensación evita aperturas intempestivas de los interruptores.
Las bobinas de compensación se han generalizado en el centro y norte de Europa. Por el
contrario, no son de uso frecuente en los países anglosajones ni en Francia ni España.
Tienden a evitar que los defectos más numerosos (los monofásicos a tierra) se conviertan en
cortocircuitos.
1.5.6 Empleo de tensiones elevadas
Este sería un buen método si la normalización de los elementos y dispositivos eléctricos, unido a unas
restricciones económicas, no restringieran los aumentos de tensión aconsejables para su correcta
aplicación.
El fundamento es sencillo. Al proyectar una línea para una determinada potencia nominal debe tenerse
presente que, en términos generales, las impedancias longitudinales aumentan en proporción a los
cuadrados de las tensiones nominales elegidas y las corrientes nominales de servicio disminuyen en
proporción inversa. Esto se traduce en que las corrientes de cortocircuito son inversamente proporcionales
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
29
a las tensiones, por lo que los efectos térmicos y dinámicos tienden a disminuir en proporción inversa con
los cuadrados de las tensiones.
1.5.7 Interposición de bobinas limitadoras trifásicas en serie
Ya se ha indicado que los elementos pasivos constituyen factores limitadores de las corrientes de
cortocircuito, por lo que al proyectar máquinas eléctricas podríamos pensar en realizarlas con elevadas
reactancias, si bien esto implicaría un sensible encarecimiento de las mismas.
Otro sistema para aumentar la reactancia total de una máquina estriba en disponer de reactancias
adicionales en serie, pero en este caso los inconvenientes provienen de que, con valores elevados de las
reactancias serie, se disminuyen los límites de estabilidad de los sistemas.
Corriente de cortocircuito
Corriente nominal
Las corrientes no se han podido representar proporcionalmente, ya que Icc>>In
U1
In
U1
X·In
U2
U2
R·In
R·Icc
X·Icc
Icc
Figura 1.12 Corriente nominal y corriente de cortocircuito en el momento de una falta
También es preciso recordar que las reactancias serie originan caídas de tensión variables con las
cargas, lo que encarece las soluciones necesarias para regular las tensiones. No obstante, este problema no
reviste tanta gravedad como de entrada aparenta. Ciertamente las corrientes de cortocircuito son
considerablemente más elevadas que las nominales, pero los factores de potencia de las cargas de servicio
también son relativamente elevados, mientras que los factores de potencia debidos a las corrientes de
cortocircuito suelen presentar valores bajos.
En la figura 1.12 se aprecia que estas circunstancias permiten unas caídas de tensión, en las bobinas de
reactancia, relativamente reducidas cuando éstas son originadas por las corrientes nominales, mientras
que las caídas de tensión elevan su valor cuando son originadas por las corrientes de cortocircuito.
Algunas consideraciones útiles nos permiten ver la bondad del método:
ƒ
Por sí sola, una bobina de reactancia con tensión de cortocircuito (ucc%) en caso extremo
(alimentación con potencia infinita y cortocircuito en bornes de salida) limita la corriente alterna
de cortocircuito a un valor de: ( I a1 I p I n
ƒ
ƒ
100
ucc
).
Siendo (Un) la tensión nominal del sistema, se define la potencia nominal aparente de paso de la
bobina mediante la siguiente expresión: ( Sn 3 ·U n ·I n ).
En baja tensión no suelen emplearse bobinas limitadoras, ya que las elevadas corrientes motivan
rendimientos antieconómicos debidos a las importantes pérdidas por efecto Joule.
1.6 EFECTOS ELECTRODIMÁMICOS Y TÉRMICOS DE LAS CORRIENTES DE
CORTOCIRCUITO
Cuando se produce un cortocircuito, debido a las elevadas intensidades, aparecen unos esfuerzos
térmicos y electrodinámicos del todo inadmisibles. Estos esfuerzos deben ser estudiados y calculados en
todas las instalaciones eléctricas para el dimensionado de los elementos que las forman, así como para la
correcta planificación de sus dispositivos de protección.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
30
1.6.1 Efectos electrodinámicos
Los dispositivos eléctricos (interruptores, seccionadores, disyuntores, transformadores de corriente,
etc.) han de poseer robustez mecánica suficiente para soportar los efectos dinámicos correspondientes al
mayor valor instantáneo de la corriente de cortocircuito que pueda producirse en la red en la que están
instalados. Esta corriente es, en principio, la corriente de choque (IC). No obstante, si están previstas
protecciones limitadoras de corriente que interrumpan la misma antes de que se alcance la máxima
intensidad asimétrica de cortocircuito (icc=Is), la máxima corriente instantánea de paso previsible será la
adoptada para realizar los cálculos. Asimismo, los conductores y los elementos de sujeción (barras,
aisladores, bridas, etc.) han de resistir los efectos dinámicos de las corrientes indicadas.
Recordar que la fuerza de interacción (atracción, tratándose de corrientes opuestas, o repulsión,
tratándose de corrientes de igual sentido) entre dos conductores paralelos lineales (idealmente con
secciones nulas) puede obtenerse mediante las siguientes expresiones:
F
B
F
B ši šl
i
2 ˜S ˜ r
i2
˜l
P ˜ P0 ˜
2 ˜S ˜ r
P ˜ P0
[1.11]
Donde:
F = Fuerza total (repartida) correspondiente a un metro de línea (en N·m)
B = Inducción magnética (en Teslas)
P0 = Permeabilidad magnética (constante de inducción) en el vacío (4S10-7)
P = Permeabilidad magnética relativa
i = Valor instantáneo de la corriente (en A)
l = Longitud de la línea (en m)
r = Separación entre conductores lineales (en m)
Las unidades correspondientes son las del sistema internacional (S.I.), siendo, en la práctica, la
permeabilidad magnética relativa próxima a la unidad (P|1), mientras que para el valor instantáneo de la
corriente se adopta al valor de la corriente de choque (i=Ic).
Asimismo, en la práctica se presentan disposiciones (barras en centrales) en las que las secciones están
lejos de ser despreciables frente a las separaciones entre líneas. En tal caso, la separación entre
conductores lineales (r) se sustituye por otra separación (rf) ficticia.
Lógicamente, la determinación de los esfuerzos magnéticos nos proporciona los datos de partida para
los cálculos mecánicos de los conductores y elementos de sujeción, y asimismo permite determinar la
fuerza de abertura de los polos en los dispositivos de protección.
1.6.2 Efectos térmicos de las corrientes de cortocircuito
Generalmente, el proceso de calentamiento por corriente de cortocircuito se considera de corta
duración, en virtud de los breves tiempos de actuación de los elementos de protección. En estas
situaciones, suele aceptarse que en su transcurso no existe disipación de calor, es decir, que todo el calor
producido se traduce en calentamiento. En los supuestos de sucesivas reconexiones, con intervalos de
alguna consideración, hay que prever estas pérdidas de calor si se desean evitar previsiones pesimistas.
Aunque, normalmente, en la mayor parte de los supuestos puede suponerse que las disipaciones térmicas
son nulas.
La temperatura previa al cortocircuito puede determinarse considerando al sistema funcionando en
régimen nominal. Pero también cabe partir de las máximas temperaturas que las normas establecen para
los regímenes permanentes de trabajo. Con esta última disposición, se renuncia a un margen térmico
disponible, si el régimen nominal no agota la posibilidad térmica del conductor.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
31
Establecida la temperatura inicial, lógicamente procede determinar el calentamiento (elevación de la
temperatura) que puede provocar el cortocircuito. Este calentamiento depende además de la naturaleza y
dimensiones (sección) del conductor, del valor de la corriente (Ief) y de la duración del cortocircuito.
1.7 DETERMINACIÓN PRÁCTICA DE LAS CORRIENTES DE CORTOCIRCUITO
El cálculo de las corrientes de cortocircuito, así como las contribuciones de corriente que cada línea
aporta al mismo cuando las redes están formadas por varias mallas, es largo y complejo, siendo
necesarios numerosos cálculos que exigen mucho tiempo.
El procedimiento propuesto, que consiste en disponer de un "modelo de red", también llamado "red en
miniatura", permite evitar este inconveniente. Con este modelo, por medio de las oportunas medidas con
amperímetros sensibles y produciendo a voluntad cortocircuitos monofásicos, bifásicos, o puestas a tierra
en los puntos deseados, pueden determinarse de forma práctica y en cada caso, los valores de las distintas
corrientes de cortocircuito.
Como es lógico, es necesario hallar previamente y conforme a lo expuesto los valores de las
resistencias o de las reactancias de cada uno de los elementos que constituyen la red real, cuyos valores
vienen expresados en ohmios.
De esta forma, disponiendo de las impedancias necesarias, regulando convenientemente sus valores y
agrupándolas de modo que constituyan el modelo de red propuesto, se determinarán con arreglo a los
valores escogidos para dichas impedancias (que pueden ser proporcionales a los valores reales de la red)
los valores de las intensidades de las diversas corrientes de cortocircuito que han de considerarse.
Los voltajes que se aplican al “modelo de red” tienen escaso valor comparados con los voltajes
nominales de la misma, pero como en los circuitos de resistencias no inductivas la intensidad es siempre
proporcional al valor del voltaje, con una simple proporción podrán obtenerse los verdaderos valores de
las intensidades de las corrientes de cortocircuito.
El dispositivo para establecer un “modelo de red” consta de varias impedancias regulables a fin de
obtener los valores necesarios de las mismas, y mediante apropiados conectores, también permite realizar
las conexiones convenientes entre aquellas impedancias. Así quedará reproducida la red real en el modelo
constituido del modo y con los elementos y componentes necesarios.
Las operaciones que se llevan a cabo con el “modelo de red” simplifican notablemente la
determinación de las corrientes de cortocircuito en la mayoría de los supuestos que es necesario
considerar.
1.8 IMPEDANCIAS DIRECTA, INVERSA Y HOMOPOLAR
Las impedancias a tener presentes en los cálculos de cualquier cortocircuito se engloban tres grandes
denominaciones:
¾
Impedancia directa (Z1): Es el cociente entre la tensión entre fase y neutro y la corriente de fase
en el caso de de circuitos alimentados mediante un sistema simétrico trifásico de secuencia
directa (RST). Corresponde a la impedancia de servicio de líneas, a la impedancia de
cortocircuito de los transformadores, bobinas y condensadores, y a la impedancia que aparece en
los generadores y motores en el instante de producirse el cortocircuito.
¾
Impedancia inversa (Z2): Es el cociente entre la tensión entre fase y neutro y la intensidad de fase
en el caso de circuitos alimentados por un sistema simétrico trifásico de secuencia inversa (RTS).
Al no influir el sentido del flujo giratorio en los elementos estáticos (transformadores, bobinas,
condensadores, líneas, cables, etc) las impedancias inversas coinciden con las impedancias
directas. Por el contrario, las máquinas giratorias (motores y generadores) variarán su valor si
son máquinas con el rotor de polos salientes.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
32
¾
Impedancia homopolar (Z0): Es el cociente entre la tensión entre fase y neutro y la intensidad de
fase en el caso de que la alimentación provenga de una fuente de tensión monofásica. No hay
forma de hallar con exactitud el valor de la impedancia homopolar si no es de forma práctica. La
impedancia homopolar es similar a la impedancia directa en dispositivos como bobinas y
condensadores, prácticamente igual en los transformadores y mucho menor en las máquinas
giratorias. Donde realmente cambia de valor la impedancia homopolar es en las líneas de
transporte de energía eléctrica, ya que la corriente homopolar es monofásica y por tanto debe de
disponer de un camino de retorno, el cual se produce normalmente a través de tuberías, hilos de
protección, neutro, etc. lo que hace que las impedancias homopolares de las líneas aumenten, al
menos en el doble o en el triple, respecto a los valores que presentarían las mismas en secuencia
directa o inversa.
La siguiente tabla, muestra de forma aproximada los valores que debemos adoptar al realizar los
cálculos de las impedancias de los diversos dispositivos eléctricos. Recordar que las impedancias
homopolares deben hallarse de forma experimental si se desean calcular con exactitud.
Tabla 1.3 Valores de las impedancias directa, inversa y homopolar para diversas máquinas y dispositivos
eléctricos
Dispositivo
Componente inversa
Componente homopolar
Transformador
Componente
directa
X1
X2= X1
X0 = X1 · 0,9
Bobina (L)
X1
X2= X1
X 0 = X1
Condensador (C)
X1
X2= X1
X 0 = X1
Resistencia (R)
X1
X2= X1
X 0 = X1
Línea (L)
X1
X2= X1
X0 = 2,5 · X1
Máquina Síncrona
X1
Turbogenerador
X2=X1
Hidroturbinas
X2=1,2·X1
X1
X2= X1
Máquina Asíncrona
X0 = 0,4 · X1
X0 = ( 1/6 a 3/4)X1
(Sólo con máquinas
dinámicas)
1.9 CÁLCULO DE LA IMPEDANCIA DE APARATOS Y DISPOSITIVOS
ELÉCTRICOS Y DE LA IMPEDANCIA DE CORTOCIRCUITO DE LA RED
1.9.1 Impedancias de aparatos y componentes
Al contrario de lo que ocurre con las líneas aéreas y los cables, las impedancias o reactancias de los
generadores, transformadores y bobinas de compensación no se expresan en general como valores
absolutos en ohmios/fase, sino en forma de valores relativos. Los datos expresados en ohmios/fase
corresponden a los valores por fase de las impedancias en estrella o de las impedancias en triángulo
adecuadamente transformadas en impedancias en estrella, dándose como la relación entre la tensión
nominal y la corriente o la potencia nominales.
Zk
zN
UN
3I N
U2
zN GN
SN
[1.12]
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
33
Donde:
ZK = Impedancia absoluta de cortocircuito (en ohmios/fase)
ZN = Módulo de la impedancia de cortocircuito referida a la tensión nominal y a la corriente o potencia
nominales (en ohmios/fase)
UN = Tensión nominal (en kV)
IN = Corriente nominal (en A)
SN = Potencia aparente nominal (en MVA)
1.9.1.1 Transformadores
Los esquemas equivalentes correspondientes a los sistemas directo, inverso y homopolar de los
transformadores, dependen del número y conexión de los bobinados que los forman. El módulo de la
impedancia inversa suele coincidir con el módulo de la impedancia directa.
1.9.1.1.1 Impedancias directas
La impedancia directa de un transformador trifásico coincide con su impedancia de cortocircuito. Ésta
puede medirse o calcularse a partir de la tensión de cortocircuito y de la impedancia nominal, refiriéndose
tanto al lado de alta tensión, como al de baja.
1.9.1.1.2 Transformadores con dos bobinados
Se cumple, en este caso:
Z1 = Zps = ZT = (RT + jXT)
[1.13]
La impedancia directa viene determinada esencialmente por el flujo de dispersión entre los bobinados
primario y secundario.
La impedancia total (ZT) se calcula a partir de la tensión de cortocircuito (Uk) del transformador:
2
u kN U NT
100% S NT
ZT
RT2 X T2
[1.14]
Siendo la resistencia óhmica:
RT
2
u RN U NT
100% S NT
PCuN
2
3 I NT
[1.15]
Y la reactancia inductiva:
XT
2
u XN U NT
100% S NT
2
1 U NT
100% S NT
2
2
u kN
u RN
[1.16]
Donde:
UNT = Tensión nominal del transformador (tensión de línea en kV)
SNT = Potencia nominal aparente del transformador (en MVA)
ukN = Tensión de cortocircuito para la corriente nominal (en %)
uRN = Tensión resistiva de cortocircuito para la corriente nominal (pérdidas de cortocircuito en %)
uXN = Tensión reactiva de cortocircuito para la corriente nominal (en %)
PCuN = Pérdidas en el cobre para la potencia nominal (en MW)
INT = Intensidad nominal del transformador (en A)
En los cálculos en los que el transformador no se analiza internamente, sino que constituye un
componente más dentro de un sistema de potencia, podemos sustituir su circuito equivalente por una
resistencia y una reactancia colocadas en serie, como muestra la figura:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
34
RCC
XCC
Figura 1.13 Circuito equivalente aproximado de un transformador monofásico
Si realizamos aún otra aproximamos y despreciamos el valor de la resistencia frente al valor de la
reactancia del transformador (normalmente el valor de la resistencia es varias veces menor al valor de la
reactancia), el circuito equivalente queda simplificado y formado solamente por una reactancia:
Xcc
Como RCC << XCC entonces Æ
Recordando, asimismo, que el transformador variará los valores de la tensión y la intensidad, de la
forma:
Z1 V1
I1
Alta Tensión
V1>V2
Z2 V2
I2
Baja Tensión
m = V1/V2 > 1
Para encontrar V1 Æ V1= V2 · m
Para encontrar I1 Æ I1 = I2 / m
Para encontrar Z1 Æ Z1 = Z2 · m2
Para encontrar V2 Æ V2 = V1 / m
Para encontrar I2 Æ I2 = I1 · m
Para encontrar Z2 Æ Z2 = Z1 / m2
Figura 1.14 Relaciones entre las magnitudes primarias y secundarias de un transformador
Además, es importante recordar las siguientes expresiones:
HCC Æ ZCC = HCC · U2n / Sn
HXCC Æ XCC = HXCC · U2n / Sn
HRCC Æ RCC = HRCC · U2n / Sn
[1.17]
1.9.1.1.3 Transformadores con tres bobinados
Los transformadores con tres bobinados se representan, para los sistemas directo e inverso, mediante
un esquema equivalente en el que las tres impedancias existentes (una entre cada dos devanados) están
conectadas en estrella. Estas impedancias se calculan a partir de las tensiones de cortocircuito y de las
potencias aparente referidas a una de las tres tensiones nominales del transformador. Debido al miembro
con signo negativo, una de las tres impedancias puede ser nula o negativa. En general tendremos:
Zp
Zs
Zt
§ u ps u tp u st ·§ U N2 ·
¨
¸¨
¸
¨ S ps S tp S st ¸¨ 2 ·100% ¸
¹
©
©
¹
§ u st u ps u tp ·§ U N2 ·
¨
¸¨
¸
¨ S st S ps S tp ¸¨ 2 ·100% ¸
¹
©
¹©
2
§ u tp u st u ps ·§ U N ·
¨
¸¨
¸
¨ S tp S st S ps ¸¨ 2 ·100% ¸
¹
©
¹©
Donde:
ups, ust, utp = Tensiones de cortocircuito (en %)
UN = Tensiones de referencia (una de las tres tensiones nominales en kV)
Sps, Sst, Stp = Potencias nominales de paso (en MVA)
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
[1.18]
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
35
S
p
T
Figura 1.15 Circuito eléctrico monofásico de un transformador con tres bobinados
1.9.1.2 Bobinas limitadoras de la corriente de cortocircuito
Las impedancias de las redes directa, inversa y homopolar de una bobina limitadora de la corriente de
cortocircuito son iguales y su valor coincide con el de la impedancia longitudinal o directa
(Z1=Z2=Z0=ZD).
Como (RD = 0.03·XD), puede despreciarse (RD) frente a (XD). Por tanto se cumple:
ZD # X D
u ND U ND
100% 3 I ND
2
u ND U ND
100% Q ND
[1.19]
Donde:
uND = Caída de tensión para la corriente nominal (en %)
UND = Tensión nominal (en kV)
IND = Corriente nominal (en A)
QND = Potencia reactiva nominal (en MVAR)
LD
ZD
Figura 1.16 Símbolo eléctrico y circuito monofásico equivalente de una bobina limitadora
1.9.1.3 Condensadores en serie
Las impedancias de las redes directa, inversa y homopolar de un condensador en serie coinciden con el
valor de su impedancia longitudinal o directa (Z1=Z2=Z0=ZD).
Como las pérdidas óhmicas representan del 0.2% al 0.45% de la potencia del condensador, puede
despreciarse (RC) frente a (XC), cumpliéndose:
ZC # X C
Q NC
2
3 I NC
[1.20]
Donde:
QNC = Potencia reactiva nominal (potencia trifásica en MVAR)
INC = Corriente nominal (en A)
C
ZC
Figura 1.17 Símbolo eléctrico y circuito monofásico equivalente de un condensador
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
36
1.9.1.4 Acometidas
El valor de la corriente de cortocircuito para una acometida viene determinado por la potencia de
cortocircuito en el punto de conexión (Q) de la red que alimenta a dicha acometida.
La impedancia de cortocircuito resulta ser:
ZQ
( RQ jX Q )
ZQ
1 .1
2
U NQ
[1.21]
2
S kQ
"
Donde:
UNQ = Tensión nominal de la red en el punto de acometida Q (el coeficiente 1.1 corresponde al factor (c))
SkQ” = Potencia de cortocircuito para la corriente inicial simétrica en el punto de acometida Q (en MVA)
IkQ” = Intensidad inicial simétrica de cortocircuito en el punto de acometida Q (en A)
Si no se conocen otros valores, puede tomarse para la resistencia efectiva RQ=0.1XQ con XQ=0.995ZQ.
Q
ZQ
Q
1.1(Un/¥3)
Figura 1.18 Símbolo eléctrico y circuito monofásico equivalente de una acometida
1.9.1.5 Cables
No es posible dar para los cables fórmulas que permitan calcular con una precisión suficiente la
resistencia óhmica y la reactancia inductiva. Los valores de la impedancia deberán ser indicados por el
fabricante o determinados efectuando medidas. Esto rige sobre todo para las impedancias homopolares.
1.9.1.6 Líneas aéreas
Para los sistemas directo e inverso correspondientes a una línea aérea se cumple:
Z1 = Z2 = ZL = (RL+jXL)
[1.22]
El sistema homopolar es semejante difiriendo únicamente en la capacidad respecto a tierra. En líneas
dobles aparece junto a la inductancia propia, tanto para los sistemas directo e inverso como para el
homopolar, un acoplamiento entre los dos circuitos.
ZL
ZL
½C
½C
Un/¥3
Figura 1.19 Símbolo eléctrico y circuito monofásico equivalente de una línea aérea trifásica
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
37
El circuito monofásico equivalente para una línea aérea puede ser representado como indica la figura
anterior (figura 1.19 circuito equivalente en ʌ), o bien mediante el circuito equivalente en (T). En este
último caso, es la impedancia longitudinal la que se divide en dos mitades, quedando la impedancia
transversal agrupada formando una unidad.
1.9.1.7 Máquinas síncronas
La reactancia inicial subtransitoria saturada (Xd” ) de una máquina síncrona nos determina el valor de
la corriente inicial simétrica de cortocircuito. La impedancia de un generador vale:
ZG | ( RG + jXd”)
[1.23]
2
x d" U NG
100% S NG
[1.24]
Con una reactancia de valor:
X d"
X%” = xd” / 100%
[1.25]
Normalmente, el valor de la reactancia inicial porcentual (X%'') nos puede orientar sobre el tipo de
máquina eléctrica que estamos calculando. Esta información es especialmente importante a la hora de
calcular las impedancias de secuencia inversa, cumpliéndose en general:
X%” > 18% Æ Máquinas con rotor de polos salientes: X2 = 1.2 · X1
X%” d 18% Æ Máquinas con rotor liso: X2 = X1
Para la resistencia de los bobinados del generador (RG) pueden tomarse con suficiente precisión los
siguientes valores:
RG = 0.05 Xd” para generadores con UNG >1kV y SNG • 100MVA
RG = 0.07 Xd” para generadores con UNG >1kV y SNG<100MVA
RG = 0.15 Xd” para generadores con UNG<1000V
G
1.1(Un/¥3)
ZG
Figura 1.20 Símbolo eléctrico y circuito monofásico equivalente de una máquina síncrona
Los generadores acoplados en paralelo con distinta potencia pero igual reactancia inicial pueden
sustituirse por un generador equivalente, cuya potencia será la suma de las potencias de cada uno de los
generadores.
Los motores y los compensadores síncronos (motores síncronos trabajando en vacío) pueden tratarse
como generadores síncronos para el cálculo de las corrientes de cortocircuito.
1.9.1.8 Motores asíncronos
La impedancia a considerar, para el cálculo de la corriente inicial simétrica de cortocircuito de las
máquinas de inducción, se obtiene a partir de la corriente inicial de arranque del motor a la tensión
nominal, de forma:
ZM = (RM + jXM)
[1.26]
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
38
Y por tanto:
ZM
U NM
3I an
I an
2
U NM
1
/ I NM S NM
[1.27]
Donde:
UNM = Tensión nominal del motor (en kV)
Ian = Corriente inicial de arranque del motor (en A)
INM = Corriente nominal del motor (en A)
SNM = Potencia aparente nominal del motor (en MVA)
Para la resistencia de los bobinados del motor (RM) pueden tomarse con suficiente precisión:
RM/XM = 0.10 con XM=0.995 Para motores con alta tensión y con la relación potencia/par de polos•1MW
RM/XM = 0.15 con XM= 0.989 Para motores con alta tensión y con la relación potencia/par de polos<1MW
RM/XM = 0.30 con XM = 0.958 Para motores de baja tensión (U<1kV).
M
ZM
1.1(Un/¥3)
Figura 1.21 Símbolo eléctrico y circuito monofásico equivalente de una máquina asíncrona
Los accionamientos alimentados por convertidores estáticos pueden tratarse como motores asíncronos.
Para estos accionamientos se toma:
UNM = Tensión nominal en el lado de alimentación del convertidor o transformador del convertidor en kV
INM = Corriente nominal en el lado de la alimentación (en A)
Ian / INM = 3 y RM = 0.1· XM
con XM = 0.995· ZM
[1.28]
1.9.2 Impedancias de cortocircuito de la red
1.9.2.1 Redes con alimentación múltiple y redes malladas
A menudo, es necesario calcular las corrientes de cortocircuito para puntos alimentados por diversas
fuentes de corriente de cortocircuito; estas corrientes pueden circular a través de conductores
independientes o de conductores dispuestos en malla.
En el caso de un cortocircuito con alimentación simple, la impedancia de cortocircuito de la red (ZK)
equivale a la suma de las impedancias de los distintos aparatos o componentes.
Si se trata de un cortocircuito con alimentación múltiple a través de líneas independientes, es posible
calcular, a partir de las impedancias (ZA) y (ZB), las proporciones de la intensidad de cortocircuito que
circulan por las ramas (A) y (B) mediante divisores de intensidad. También puede determinarse la
impedancia equivalente de (ZA) y (ZB), calculándose, con este valor, directamente la corriente de
cortocircuito.
En el caso de un cortocircuito con alimentación múltiple a través de líneas con tramos comunes, deberá
determinarse la impedancia equivalente (ZAB) de las ramas independientes hasta el punto de cortocircuito
y al valor de esta impedancia equivalente, sumarle el valor de la impedancia (ZD) del tramo común para
obtener la impedancia total.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
39
Si se trata de un cortocircuito con múltiples alimentaciones a través de líneas dispuestas en malla, debe
deshacerse dicha malla, mediante las correspondientes transformaciones triángulo/estrella, hasta
conseguir en definitiva, un circuito donde podamos obtener la impedancia resultante equivalente vista
desde el punto de cortocircuito.
1.9.2.2 Cálculo por impedancias absolutas
Como las impedancias varían en función del cuadrado de la tensión, para las impedancias absolutas
(ZB) referidas a la tensión de referencia (UB) se aplicarán las siguientes relaciones:
x
Para las líneas aéreas y cables la impedancia dada en (ȍ) será:
ZB
x
ZN
U B2
U N2
[1.29]
Para transformadores, motores, generadores y bobinas la impedancia en (ȍ), será:
ZB
zN
U B2
SN
[1.30]
La corriente inicial simétrica de cortocircuito (en A) y la correspondiente potencia de cortocircuito (en
MVA), pueden calcularse mediante las siguientes ecuaciones:
S k"
c
U B2
ZB
S k"
I k" 3
y
3U N
[1.31]
En las que (UN) es la tensión de línea en el punto de cortocircuito (en kV), y el coeficiente (c)
representa el paso de la tensión de línea al valor de la fuerza electromotriz de una ficticia fuente
generadora de energía situada en el punto de cortocircuito, adoptándose normalmente para el coeficiente
el valor de (c=1.1).
1.9.2.3 Cálculo por impedancias adimensionales
Para el cálculo adimensional, como las potencias nominales de los distintos aparatos o componentes
son diferentes, o en el caso de las líneas aéreas, no están definidas, es preciso establecer una única
potencia de referencia (SB).
Para las impedancias adimensionales (zB) referidas a esta potencia de referencia, se tienen las siguientes
relaciones:
x
Para las líneas aéreas y cables:
zB
x
ZN
SB
U N2
[1.32]
Para generadores, transformadores, motores y bobinas:
zB
zN
SB
SN
[1.33]
Como potencia de referencia puede escogerse cualquier valor; sin embargo, resulta útil adoptar el valor
de la potencia de la mayor máquina eléctrica existente en el circuito, o bien tomar un valor de referencia
que simplifique los cálculos, como por ejemplo 100 MVA.
La corriente inicial simétrica de cortocircuito y la correspondiente potencia de cortocircuito se obtienen
a partir de las ecuaciones:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
40
S k"
c
UB
ZB
S k"
I k"
y
3U N
[1.34]
En las que (UN) es la tensión de línea en el punto de cortocircuito en (kV).
1.9.2.4 Consideración de las relaciones de transformación de los transformadores
Los distintos niveles de tensión de una red están interconectados mediante transformadores con
relaciones de transformación (mi). Las relaciones de transformación deben verse desde el punto de
cortocircuito hacia la impedancia en cuestión. Para reducir las distintas impedancias a un mismo nivel de
tensión de referencia pueden aplicarse las siguientes relaciones:
x
Impedancias absolutas para líneas aéreas y cables:
2
Z N m1 ·m2 ..
Z Bx
x
Y para transformadores, motores, generadores y bobinas:
Z Bx
x
zN
U N2
m1 ·m2 ..2
SN
[1.36]
Impedancias adimensionales para líneas aéreas y cables:
Z Bx
x
[1.35]
ZN
SB
m1 ·m2 ..2
U B2
[1.37]
Y para transformadores, motores, generadores y bobinas:
Z Bx
ZN
S B U N2
m1 ·m2 ..2
2
SN U B
[1.38]
1.10 CÁLCULO DE LAS CORRIENTES DE CORTOCIRCUITO SEGÚN LAS
DIRECTRICES DE LA NORMA VDE 0102, PARTES 1/11.71 Y 2/11.75
1.10.1 Cálculo de las corrientes iniciales simétricas de cortocircuito con una fuente
equivalente de tensión
La Norma Alemana nos indica un método para hallar las corrientes de cortocircuito diferente del
cálculo tradicional explicado a lo largo de este capítulo. Las diferencias esenciales que introduce la
Norma VDE 0102 con respecto al sistema tradicional son las siguientes:
Hasta ahora hemos considerado que todas las fuentes de energía que estaban conectadas y activas en el
momento de producirse el cortocircuito influían en éste, y esto es cierto, pero la Norma VDE nos propone
un sistema alternativo, en el cual es suficiente con considerar en el punto de cortocircuito una única
fuente ficticia de energía con un valor de la fuerza electromotriz entre fase y neutro de:
ECC
c·U n
3
[1.39]
La tensión (Un) es la tensión de línea del punto de cortocircuito un instante antes de producirse el
mismo, es decir, en régimen permanente, y por tanto fácilmente calculable. El coeficiente (c) representa el
paso de la tensión de línea al valor de la fuerza electromotriz de la fuente ficticia (normalmente su valor
es de c=1.1).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
41
Las fuerzas electromotrices de los generadores, motores y las correspondientes a las acometidas se
consideran nulas. Pero deben tenerse presentes sus impedancias, es decir, es muy importante detectar la
presencia y localización de estas fuentes en la red general, ya que sólo se tendrán en cuenta para el
cálculo de la impedancia equivalente de cortocircuito vista desde el punto de falta, los circuitos o ramas
en los que exista una fuente generadora de energía.
No se consideran las susceptancias (capacidades transversales) ni las pérdidas por conductancia de las
líneas en los sistemas directo e inverso, así como tampoco las impedancias transversales debidas a
motores; los motores se tratan como generadores. Por el contrario, todos estos parámetros transversales
(excepto los debidos a motores) deben tenerse presentes en el cálculo de la impedancia resultante en
secuencia homopolar.
Para las redes trifásicas con tensiones nominales superiores a 1 kV se cumple tanto para los
cortocircuitos próximos al generador como para los alejados de él:
c ·U h
3
c ·U N
3
[1.40]
Donde:
UN = Tensión nominal (tensión de línea) de la red en la que está situado el punto de cortocircuito (en kV)
c =1.1 = Diferencia entre la fuerza electromotriz y la tensión de la red
En las redes trifásicas con tensiones nominales inferiores a 1000 V y sin generadores de baja tensión se
cumple:
c ·U h
3
c ·U NT
3
[1.41]
Donde:
UNT = Tensión nominal (tensión entre líneas) del lado de baja tensión de los transformadores que
alimentan a la red (en kV)
c =1.0 Para el cálculo de las máximas corrientes iniciales simétricas de cortocircuito
c =0.95 Para el cálculo de las mínimas corrientes iniciales simétricas de cortocircuito
1.10.2. Cálculo de las corrientes de cortocircuito Is, Ia e Ik
Las corrientes de cortocircuito (Is, Ia e Ik) se calculan a partir de la corriente inicial simétrica de
cortocircuito (Ik’') y de los factores indicados en las directrices VDE 0102. En el caso de que el punto de
cortocircuito esté alimentado directamente por las distintas fuentes de corriente de cortocircuito, se
cumple para (Is, Ia, IaM e Ik) las siguientes relaciones:
ƒ
Corriente máxima asimétrica de cortocircuito
Esta es la máxima corriente que aparece en el punto de cortocircuito, es decir, es el valor pico a pico.
Su cálculo es fundamental para la determinación del poder de cierre de los dispositivos de protección.
Is
F · 2 ·I k"
[1.42]
El factor (Ȥ) depende de la relación (Rk/Xk) correspondiente a los distintos aparatos o componentes
implicados en el cortocircuito y tiene en cuenta el amortiguamiento temporal de la componente
aperiódica, así como el de la componente simétrica en el caso de cortocircuitos próximos al generador. Su
valor se determina a partir de la gráfica 12.1 de los anexos.
Remitimos al lector al capítulo III (Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia) de esta obra
para su correcta aplicación.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
42
ƒ
Corriente simétrica de corte
Es la corriente que existe en los bornes de los dispositivos de corte y protección en el momento de abrir
sus contactos. Su cálculo revista gran interés, ya que de la magnitud de esta intensidad saldrá el valor del
poder de corte que deberá disponer el dispositivo de protección.
Ia
P ·q ·I k"
[1.43]
No todas las máquinas eléctricas dispondrán de los dos factores (P y q). En máquinas asíncronas sí
deberemos considerar los dos factores, pero en las máquinas síncronas sólo se considerará el factor (µ) ya
que el factor (q), en todos los casos, tomara el valor de la unidad (q=1).
El factor (P) depende de la relación (Ik”/ INominal) de las distintas fuentes de corriente de cortocircuito y
del retardo mínimo de desconexión (tv). Su valor se obtiene a partir de la gráfica 12.2 de los anexos.
El factor (q) depende de la relación entre la potencia del motor (en MW) y su número de pares de
polos. Con este valor, y con el retardo mínimo de desconexión (tv), se entra en la gráfica 12.3 de los
anexos, obteniéndose el valor final del coeficiente (q).
El cálculo de la corriente de corte es simple pero laborioso, por lo que remitimos al lector al capítulo de
problemas resueltos de fallas en líneas aéreas, capítulo III de esta obra, para su mejor comprensión.
ƒ
Corriente permanente de cortocircuito
La corriente permanente de cortocircuito es la corriente que permanecerá el la red después de
producirse la falta. Normalmente, el circuito pasa a régimen permanente transcurridos unos 10 seg
después del cortocircuito.
Esta corriente es menor que las corrientes subtransitoria y transitoria en la mayor parte de los
cortocircuitos (si las fuentes generadoras de energía se hallan situadas lejos del punto de falta, las
intensidades subtransitoria, transitoria y permanente coinciden en su valor).
Ik
O ·I N
[1.44]
El factor (O) depende de la relación entre (Ik”/ IN), de las condiciones de excitación (con regímenes
saturados o poco saturados) y del tipo de máquina síncrona afectada por la falta (generadores con rotor de
polos salientes, o turbogeneradores).
Para el cálculo del factor (O) se utilizarán las gráficas 12.4 y 12.5 de los anexos, remitiendo al lector a
la sección de problemas (capítulo III, Problemas resueltos de fallas en líneas aéreas) de esta obra para su
correcta comprensión.
1.11 CUESTIONES Y PROBLEMAS
CUESTIONES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
¿Qué es un cortocircuito? ¿Qué efectos produce un cortocircuito? ¿Tipos de cortocircuitos?
Enumerar las solicitaciones que provoca un cortocircuito. ¿En que clase de defecto se dan cada una
de estas solicitaciones?
Definir el cortocircuito trifásico. ¿En qué circuitos es más frecuente este defecto? ¿Qué
consecuencias conlleva este cortocircuito? ¿Qué redes de secuencia deben emplearse para su cálculo?
Definir el cortocircuito bifásico. ¿En qué circuitos es más frecuente este defecto? ¿Qué
consecuencias conlleva este cortocircuito? ¿Qué redes de secuencia deben emplearse para su cálculo?
Definir el cortocircuito bifásico a tierra. ¿En qué circuitos es más frecuente este defecto? ¿Qué
consecuencias conlleva este cortocircuito? ¿Qué redes de secuencia deben emplearse para su cálculo?
Definir el cortocircuito monofásico a tierra. ¿En qué circuitos es más frecuente este defecto? ¿Qué
consecuencias conlleva este cortocircuito? ¿Qué redes de secuencia deben emplearse para su cálculo?
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Cortocircuitos en las instalaciones eléctricas
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
43
Definir el cortocircuito con doble contacto a tierra. ¿En qué circuitos es más frecuente este defecto?
¿Qué consecuencias conlleva este cortocircuito? ¿Qué redes de secuencia deben emplearse para su
cálculo?
Definir las siguientes intensidades eléctricas de cortocircuito: Corriente instantánea simétrica.
Corriente aperiódica. Corriente subtransitoria simétrica. Corriente máxima asimétrica. Corriente
simétrica de corte.
Definir las siguientes impedancias de cortocircuito: Impedancia directa. Impedancia inversa.
Impedancia homopolar.
Definir las siguientes magnitudes eléctricas: Fuerza electromotriz subtransitoria. Tensión de servicio
de la red. Tensión nominal de la red. Retardo mínimo de desconexión.
¿Cómo influirá en el cortocircuito las siguientes características?: La situación del punto de falta. El
instante en que se produce. Los generadores eléctricos. El estado previo de carga. La forma de la red.
Explicar la variación de las magnitudes eléctricas (tensión e intensidades instantáneas) delante de un
cortocircuito alejado del generador.
¿En qué condiciones aparece la componente aperiorica de la intensidad en un cortocircuito? ¿Qué es
la constante de tiempo de la corriente aperiodica?. ¿De qué depende ésta constante?
Explicar las diferencias entre las variaciones temporales de la tensión y de la intensidad instantánea
total de cortocircuito para dos tipos de carga (un circuito altamente inductivo y un circuito óhmico).
¿Por qué en redes trifásicas equilibradas es posible efectuar todos los cálculos para una sola fase? ¿Si
un cortocircuito trifásico es un fallo grave, cómo es posible que pueda calcularse como si se tratara
de un sistema trifásico equilibrado?
¿Cómo se calculan las tres reactancias síncronas de una máquina eléctrica conectada a una red?
¿Cómo pueden determinarse sus constantes de tiempo subtransitoria, transitoria y permanente?
¿Cómo se comportan los motores síncronos delante de un cortocircuito? ¿Y los motores asíncronos?
Indicar los métodos básicos para la reducción de las corrientes de cortocircuito.
Explicar el método de la limitación de la potencia total conectada a un sector. Indicar sus ventajas e
inconvenientes.
Explicar el método de las puestas a tierra no rígidas. Indicar sus ventajas e inconvenientes.
Explicar el método de las desconexiones rápidas antes de que las corrientes de falta alcancen valores
elevados. Indicar sus ventajas e inconvenientes.
Explicar el método de la desexcitación de los generadores. Indicar sus ventajas e inconvenientes.
Explicar el método de las bobinas de extinción o de resonancia (Petersen). Indicar sus ventajas e
inconvenientes.
Explicar el método del empleo de tensiones elevadas. Indicar sus ventajas e inconvenientes.
Explicar el método de la interposición de bobinas limitadoras trifásicas en serie. Indicar sus ventajas
e inconvenientes.
¿Qué efectos provoca un cortocircuito? Explicar los efectos electrodinámicos debidos a un
cortocircuito. El cálculo de los esfuerzos electrodinámicos nos permiten la determinación de una
serie de datos, ¿cuáles?
Explicar los efector térmicos que produce un cortocircuito. ¿Cómo se calculan? ¿De qué dependen?
Las corrientes de cortocircuito pueden determinarse de forma experimental. ¿En qué consiste el
método? ¿Qué es el modelo de red de un circuito eléctrico? ¿Qué elementos forman el modelo de
red?
¿Qué es la impedancia directa de un sistema eléctrico? Indicar para los distintos componentes de un
sistema eléctrico (motores, generadores, transformadores, líneas, bobinas, condensadores, etc.) ¿cuál
es su impedancia directa?
¿Qué es la impedancia inversa de un sistema eléctrico? Indicar para los distintos componentes de un
sistema eléctrico (motores, generadores, transformadores, líneas, bobinas, condensadores, etc.) ¿cuál
es su impedancia inversa?
¿Qué es la impedancia homopolar de un sistema eléctrico? Indicar para los distintos componentes de
un sistema eléctrico (motores, generadores, transformadores, líneas, bobinas, condensadores, etc.)
¿cuál es su impedancia homopolar?
Indicar las fórmulas que permiten el cálculo de la impedancia directa en un transformador con dos
bobinados. Expresar las fórmulas que nos permiten pasar las tensiones, intensidades y potencias del
primario al secundario en un transformador elevador. Dibujar su circuito eléctrico monofásico
equivalente.
Indicar las fórmulas que permiten el cálculo de las bobinas limitadoras de la corriente de
cortocircuito. Dibujar su circuito eléctrico monofásico equivalente.
Indicar las fórmulas que permiten el cálculo de los condensadores conectados en serie con una línea.
Dibujar su circuito eléctrico monofásico equivalente.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
44
35. Indicar las fórmulas que permiten el cálculo de las acometidas. Dibujar su circuito eléctrico
monofásico equivalente.
36. Indicar las fórmulas que permiten el cálculo de las líneas de distribución de energía eléctrica. Dibujar
su circuito eléctrico monofásico equivalente.
37. Indicar las fórmulas que permiten el cálculo de las máquinas eléctricas síncronas. Dibujar su circuito
eléctrico monofásico equivalente.
38. Indicar las fórmulas que permiten el cálculo de los motores asíncronos. Dibujar su circuito eléctrico
monofásico equivalente.
39. ¿Cómo se realiza el cálculo de un cortocircuito mediante el empleo de las impedancias absolutas?
¿Para las líneas aéreas y cables, cuáles son las expresiones matemáticas de la impedancia? ¿Para
transformadores, motores y generadores, cuáles son las expresiones de las impedancias?
40. ¿Cómo se realiza el cálculo de un cortocircuito mediante el empleo de las impedancias
adimensionales? ¿Qué valores de referencia suelen adoptarse para las tensiones y las potencias?
¿Para las líneas aéreas y cables, cuáles son las expresiones matemáticas de la impedancia? ¿Para
transformadores, motores y generadores, cuáles son las expresiones de las impedancias?
41. El cálculo de las corrientes de cortocircuito mediante la norma VDE 0102 introduce algunos cambios
respecto al método tradicional, indicar los más significativos.
42. ¿Cómo se calcula la corriente máxima asimétrica de cortocircuito mediante la VDE 0102? ¿En qué
tabla y de qué forma se obtiene el factor (Ȥ)?
43. ¿Cómo se calcula la corriente simétrica de corte según la VDE 0102? ¿Su cálculo es igual para
motores asíncronos que para máquinas síncronas? ¿Qué tablas se utilizan para la determinación de
los factores (µ) y (q)?
44. ¿Cómo se calcula la corriente permanente de cortocircuito mediante la VDE 0102? ¿En qué tabla y
de qué forma se obtiene el factor (Ȝ)?
PROBLEMAS
Para la consulta de problemas resueltos, remitimos al lector a los capítulos III y IV, de esta obra. Es
preferible empezar con problemas sencillos que permitan afianzar los conocimientos y ganar confianza en
su resolución, para posteriormente acometer el cálculo de problemas más complejos.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
45
CAPÍTULO II. REDES DE SECUENCIA Y COMPONENTES
SIMÉTRICAS EN LOS SISTEMAS DE POTENCIA
2.1 INTRODUCCIÓN A LAS REDES DE SECUENCIA
El cálculo de circuitos simétricos y equilibrados trifásicos, en régimen permanente, no ofrece más
dificultades que la aplicación de las fórmulas y teoremas deducidos para teoría de circuitos, es decir, es
suficiente con los razonamientos y métodos utilizados normalmente en la electricidad. Además, como son
circuitos equilibrados, bastará con buscar para una única fase (normalmente la fase R) todas las
magnitudes eléctricas, siendo válidos los resultados obtenidos para el resto de las fases, ya que estas
magnitudes presentarán idénticos valores en módulo, resultando sus ángulos desfasados 120º o 240º (fase
T y S, respectivamente).
Para sistemas desequilibrados, el cálculo se complica al no coincidir las cargas de las tres fases, siendo
necesario determinar todos los parámetros eléctricos para cada una de las fases del sistema (en sistemas
trifásicos, representaría multiplicar por tres los cálculos habituales realizados para una sola fase), lo que
conlleva resoluciones largas y laboriosas. Mediante el método de las componentes simétricas, es posible
obtener la respuesta de cada elemento del sistema en una única fase y aplicar los resultados obtenidos al
resto de las fases del circuito. En otras palabras, es posible resolver sistemas asimétricos y
desequilibrados, de la misma forma que resolveríamos los sistemas equilibrados.
En los circuitos equivalentes, los llamados circuitos de secuencia, bastará con considerar por separado
la respuesta que cada elemento ejerce sobre una determinada red, recordando que respecto a los restantes
circuitos de secuencia, este elemento no tendrá influencia alguna. Incluso los efectos de las inductancias
mutuas están incluidas en las ecuaciones que deduciremos y, por tanto, éstas pueden considerarse por
separado para cada uno de los circuitos de secuencia.
Existen tres circuitos equivalentes para cada elemento de un sistema trifásico. Al organizar los circuitos
equivalentes individuales en redes, de acuerdo con las interconexiones de los elementos, se llega al
concepto de las redes de secuencia. Al resolver las redes de secuencia para las condiciones de falla, se
obtienen la corriente inicial simétrica de cortocircuito y las componentes de voltaje, que pueden
combinarse para simular, en todo el sistema, los efectos que producirían las corrientes de falla
desequilibradas originales.
Las redes de secuencia son las redes correspondientes a los circuitos de secuencia individuales. Estos
circuitos se representan mediante circuitos monofásicos equivalentes, en forma de circuitos de secuencia
homopolar, de secuencia directa y de secuencia inversa. Cada uno de estos circuitos pueden contener las
impedancias de carga, los transformadores, las líneas de transmisión y las máquinas síncronas y
asíncronas, que en definitiva constituyen los componentes fundamentales de las redes trifásicas de
transmisión de potencia. Se supone que cada elemento individual es lineal y trifásico simétrico, cuando se
conecta en las configuraciones estrella o triángulo (Y o Ì). Según estas suposiciones, a continuación se
resumen las características más importantes de los circuitos de secuencia individuales:
x
Una red de secuencia se construye uniendo todos los circuitos de secuencia correspondientes a las
diferentes secciones separadas. También han de calcularse las impedancias de secuencia de las
diferentes secciones del sistema.
x
Una red de secuencia nos muestra las posibles trayectorias que podrá seguir la componente de la
corriente eléctrica de esa secuencia en particular, en una fase real del sistema.
x
En un sistema trifásico, tanto las corrientes como las tensiones son de secuencia directa. Los sistemas
de potencia se diseñan de forma que en conjunto los desfases que introducen los transformadores se
anulen mutuamente, no siendo necesario considerarlos cuando se analiza un sistema completo. No
obstante, para cálculos más detallados, debe aplicarse un adelanto o retraso de 30º al pasar las
magnitudes eléctricas a través de un transformador Y-Ì, o Ì-Y (ver apartado de transformadores).
x
La conversión de una red de secuencia directa a una red de secuencia inversa se lleva a cabo
cambiando el valor de las impedancias que representan las máquinas rotatorias y omitiendo las
f.e.m.s.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
46
x
Las redes de secuencia directa e inversa pueden contener circuitos equivalentes exactos, o bien,
pueden simplificarse omitiendo las resistencias serie y las admitancias en paralelo.
x
Un sistema trifásico opera como un sistema monofásico en lo que se refiere a corrientes de secuencia
homopolar, ya que éstas son iguales en magnitud y fase en cualquier punto del sistema.
x
En cualquier parte de la red, la caída de voltaje originada por la corriente de una cierta secuencia sólo
depende de la impedancia de esa parte de la red al flujo de corriente dado para esta secuencia.
x
La impedancia a las corrientes de secuencia directa e inversa (Z1 y Z2) son iguales en cualquier
circuito estático y pueden considerarse aproximadamente iguales en máquinas síncronas y asíncronas
bajo condiciones subtransitorias.
x
En cualquier parte de la red, la impedancia a la corriente de secuencia homopolar (Z0) es por lo
general diferente a la impedancia de las redes de secuencia directa e inversa (Z1 y Z2).
x
Solamente los circuitos de secuencia directa contienen fuentes de energía rotatorias, ya que los
fabricantes así las construyen (las máquinas actuales se construyen sólo para funcionar en secuencia
directa RTS).
x
El neutro es la referencia para los voltajes en los circuitos de secuencia directa e inversa. Estos
voltajes al neutro son iguales a los voltajes de tierra, si hay una conexión física de impedancia cero u
otra de valor finito entre el neutro y la tierra del circuito real.
x
No fluyen corrientes de secuencia directa o inversa entre los puntos neutros y tierra.
x
Tierra es la referencia para los voltajes en los circuitos de secuencia homopolar. El valor del
potencial a tierra se considera constante y las impedancias para los circuitos de las corrientes de
retorno están ya incluida en las impedancias de secuencia homopolar. Por tanto, no debe considerarse
para el cálculo las impedancias de tierra, de las canalizaciones o de los hilos de protección por los
que puedan retornar las corrientes de secuencia homopolar.
x
No se incluyen las impedancias limitadoras o de tierra (Zn) en las conexiones físicas entre el neutro y
tierra en los circuitos de secuencia directa o inversa, pero en cambio para la secuencia homopolar, se
considerará una impedancia de valor el triple (3Zn) para igualar el efecto que produciría la caída de
tensión de la corriente original (debe recordarse que en realidad la corriente de secuencia homopolar
que fluiría en el circuito entre neutro y la tierra sería el triple de la corriente que fluiría por una de las
fases).
Existen varios circuitos de secuencia individuales:
x
x
x
x
Circuitos de secuencia de una línea de transmisión simétrica
Circuitos de secuencia de la máquina síncrona
Circuitos de secuencia de los transformadores estrella-triángulo (Y-Ì)
Impedancias serie asimétricas
2.2 REDES DE SECUENCIA
2.2.1 Impedancias y redes de secuencia
La caída de tensión que se origina en una parte cualquiera de un circuito eléctrico por la corriente de
una secuencia determinada depende exclusivamente de la impedancia de esa parte del circuito y de la
corriente de dicha secuencia. La impedancia de una sección cualquiera de una red equilibrada frente a la
corriente de una secuencia puede ser distinta a la impedancia que representará la misma sección de red
frente a la corriente de otra secuencia.
La impedancia de un circuito cuando por él circulan solamente corrientes de secuencia directa se llama
impedancia a la corriente de secuencia directa. Similarmente, si sólo existen corrientes de secuencia
inversa, la impedancia se denomina impedancia a la corriente de secuencia inversa. Cuando existen
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
47
únicamente corrientes de secuencia homopolar, la impedancia se denomina impedancia a la corriente de
secuencia homopolar. Estas designaciones de las impedancias de un circuito a las corrientes de las
distintas secuencias pueden abreviarse denominándose simplemente: impedancia de secuencia directa,
impedancia de secuencia inversa e impedancia de secuencia homopolar.
El análisis de fallos asimétricos en sistemas simétricos consiste en la determinación de las componentes
simétricas de las corrientes desequilibradas que por ellos circulan. Como las componentes simétricas de
las corrientes de la secuencia de una fase dan lugar a caídas de tensión solamente de la misma secuencia y
son independientes de las corrientes de otras secuencias, en un sistema equilibrado, las corrientes de
cualquier secuencia pueden considerarse como circulando por una red independiente formada sólo por las
impedancias a la corriente de tal secuencia. El circuito equivalente monofásico formado exclusivamente
por las impedancias a la corriente de una secuencia determinada, se denomina red de secuencia para esa
secuencia en particular, incluyendo las fuentes generadoras de energía que afectan a esta secuencia. Las
redes de secuencia que transportan las corrientes (Ia1, Ia2 e Ia0) se interconexionan para representar
diversas condiciones de fallos desequilibrados. Por tanto, para calcular el efecto de un fallo por el método
de las componentes simétricas, es esencial en primer lugar determinar las impedancias de secuencia,
combinándolas posteriormente hasta formar las redes de secuencia.
2.2.2 Impedancias de secuencia para diversos elementos de un circuito eléctrico
Las impedancias de secuencia directa e inversa de los componentes o máquinas eléctricas de circuitos
lineales, simétricos y estáticos son idénticas, ya que no dependen del sentido de giro del flujo giratorio (es
independiente del orden de paso de las fases con respecto al flujo giratorio), a condición de que las
tensiones aplicadas estén equilibradas. Por otra parte, la impedancia que presentará una línea de
transporte de energía eléctrica a las corrientes de secuencia homopolar será distinta a la impedancia que
presentará delante de las corrientes de secuencia directa e inversa (en secuencia homopolar debe existir un
camino de retorno para las corrientes).
Las impedancias de las máquinas giratorias a las corrientes de las tres secuencias serán, en general,
diferentes para cada secuencia. Al introducir una secuencia inversa (paso de las fases en el sentido RTS),
el campo magnético giratorio pasará a girar en sentido contrario al giro del rotor de la máquina eléctrica,
lo que provoca durante unos instantes que la velocidad relativa entre el rotor y el campo magnético
giratorio sea el doble de la velocidad de sincronismo de la máquina, produciendo diferencias notables en
el valor de las impedancias de las máquinas giratorias. A diferencia del flujo producido por la corriente de
secuencia directa, que es estacionario respecto al rotor (no existe velocidad relativa), el flujo producido
por la corriente de secuencia inversa barre rápidamente la cara del rotor. Las corrientes en los bobinados
inductor y amortiguador, producidos por el flujo giratorio del inducido, impiden que el flujo entre en el
interior del rotor. Esta condición es similar al rápido cambio de flujo inmediatamente después de
producirse un cortocircuito en los terminales de la máquina, siendo el camino del flujo el mismo que
hallamos al evaluar la reactancia subtransitoria. Al barrer todo el perímetro del rotor, la f.e.m. debida a la
corriente de secuencia inversa cambiará constantemente de posición respecto a los ejes directo y en
cuadratura o transversal del rotor. La reactancia de secuencia inversa se define frecuentemente como la
media de las reactancias subtransitorias directa y en cuadratura.
Cuando sólo circulan corrientes de secuencia homopolar por los bobinados inducidos de una máquina
trifásica, la corriente y la f.e.m. de una fase alcanzan el máximo al mismo tiempo que las corrientes y las
f.e.m.s. de cada una de las restantes fases. Los bobinados de las máquinas eléctricas están distribuidos
alrededor de la circunferencia del inducido, de tal forma que el punto de f.e.m. máxima producida por una
fase está desplazado 120º eléctricos del punto de f.e.m. máxima de cada una de las restantes fases. Si la
f.e.m. producida por la corriente de cada fase tuviese una distribución perfectamente sinusoidal en el
espacio, una representación de la f.e.m. alrededor del inducido se traduciría en tres curvas sinusoidales,
cuya suma sería cero en todos los puntos. No se produciría flujo en el entrehierro y la única reactancia del
bobinado de cualquier fase, sería la debida a las pérdidas en las espiras extremas. En una máquina real,
los bobinados no están distribuidos para producir f.e.m.s perfectamente sinusoidales. El flujo resultante de
la suma de las f.e.m.s. es muy pequeño, pero hace que la reactancia de secuencia homopolar sea un tanto
mayor que en el caso ideal, en el cual, no hay flujo en el entrehierro debido a las corrientes de secuencia
homopolar.
Al obtener las ecuaciones para la inductancia y la capacidad de las líneas de transporte transpuestas, se
suponen corrientes trifásicas equilibradas sin especificar el orden de las fases. Por tanto, las ecuaciones
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
48
resultantes son válidas igualmente para las impedancias de secuencia directa e inversa. Cuando circula
solamente corriente de secuencia homopolar por una línea de transporte, la corriente es idéntica en todas
las fases, no siendo su suma igual a cero. La corriente resultante retorna por tierra, por los cables de
puesta a tierra o por ambos. Por ser la corriente de secuencia homopolar idéntica en todos los conductores
de las tres fases (en realidad solamente es igual en valor absoluto y desplazada 120º de las corrientes de
otras fases), el campo magnético debido a la corriente de secuencia homopolar es muy diferente del
originado por la corriente de secuencia directa o de secuencia inversa. La diferencia de campo magnético
da lugar a que la reactancia de secuencia homopolar de una línea de transporte sea entre 2 y 4 veces
mayor que la reactancia de secuencia directa. La relación se aproxima hacia la parte más alta del margen
especificado para líneas de circuito doble y para líneas sin cables de toma de tierra.
En cuanto a los transformadores en circuitos trifásicos, éstos pueden estar formados por tres unidades
monofásicas individuales o bien disponer de un núcleo común para las tres fases, o ser del tipo coraza.
Casi todas las unidades modernas son unidades trifásicas, por su menor costo inicial, menor necesidad de
espacio y mayor rendimiento. Aunque las impedancias en serie de secuencia homopolar de las unidades
trifásicas pueden diferir ligeramente de los valores de secuencia directa e inversa, se acostumbra a
suponer que las impedancia en serie de todas las secuencias son iguales, cualquiera que sea el tipo de
transformador. Aparte, la reactancia y la impedancia son casi iguales para transformadores con potencias
superiores a 1 MVA. Por simplicidad, en nuestros cálculos omitiremos la admitancia en paralelo, que
corresponde a la corriente de excitación, independientemente del tipo de transformador trifásico
analizado, aunque la corriente de excitación de secuencia homopolar sea mayor para los transformadores
de núcleo que para los transformadores tipo coraza o para los bancos de tres unidades monofásicas.
La impedancia de secuencia homopolar de las cargas equilibradas, conectadas en estrella o triángulo (Y
o Ì), iguala a la impedancia de secuencia directa e inversa.
2.2.3 Redes de secuencia directa e inversa
El objeto de obtener los valores de las impedancias de secuencia de un sistema de energía es permitir la
construcción de las redes de secuencia de todo el sistema. La red de una secuencia particular muestra
todos los caminos posibles para la circulación de la corriente de esa secuencia, en el sistema.
El paso de una red de secuencia directa a otra de secuencia inversa es muy sencillo. Los generadores
síncronos trifásicos tienen tensiones internas solamente de secuencia directa, ya que están proyectados
para generar tensiones equilibradas en esta secuencia. Como las impedancias de secuencia directa e
inversa son las mismas en un sistema simétrico estático, la conversión de una red de secuencia directa a
una red de secuencia inversa se lleva a cabo cambiando, si es necesario, solamente las impedancias que
representan maquinarias giratorias y omitiendo las f.e.m.s de las mismas.
Figura 2.1 Sistemas eléctricos para simular el comportamiento de las redes de secuencia directa e
inversa
Las fuerzas electromotrices se suprimen bajo la hipótesis de que las tensiones generadas son
equilibradas y en ausencia de tensiones de secuencia inversa inducidas por fuentes exteriores, éstas son
nulas. Dado que todos los puntos neutros de un sistema trifásico simétrico están al mismo potencial
cuando por el sistema circulan corrientes trifásicas equilibradas, todos los puntos neutros deben estar al
mismo potencial para las corrientes de secuencia directa e inversa. Por tanto, el neutro de un sistema
trifásico simétrico es el potencial de referencia lógico para especificar las caídas de tensión de las
secuencias directa e inversa, siendo pues, la barra de referencia de las redes de secuencia directa e
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
49
inversa. La impedancia conectada entre el neutro de una máquina y tierra no es una parte de la red de
secuencia directa ni de la red de secuencia inversa, porque ni la corriente de secuencia directa, ni la
corriente de secuencia inversa podrán circular por una impedancia así conectada.
2.2.4 Redes de secuencia homopolar
Un sistema trifásico funciona como un sistema monofásico por lo que se refiere a las corrientes de
secuencia homopolar, de forma que éstas tienen el mismo valor absoluto e igual fase en cualquier punto
del sistema. Por consiguiente, las corrientes de secuencia homopolar circularán solamente si existe un
camino de retorno por el cual pueda completarse el circuito. La referencia para las tensiones de secuencia
homopolar es el potencial de tierra en el punto del sistema en el cual se especifica. Como las corrientes de
secuencia homopolar pueden pasar por tierra, dicha tierra no estará necesariamente al mismo potencial en
todos sus puntos, de forma que la barra de referencia de la red de secuencia homopolar no representa una
tierra con potencial uniforme. La impedancia de tierra y la de los cables de toma de tierra ya están
incluidas en la impedancia de secuencia homopolar de la línea de transporte, siendo por tanto el circuito
de retorno de la red de secuencia homopolar un conductor de impedancia nula, que además es la barra de
referencia del sistema. Como la impedancia de tierra está incluida en la impedancia de secuencia
homopolar, el valor de las tensiones, medidas respecto a la barra de referencia de la red de secuencia
homopolar, darán los valores correctos respecto a tierra.
Figura 2.2 Sistema eléctrico para simular el comportamiento de la red de secuencia homopolar
Si un circuito está conectado en estrella (Y) sin conexión del neutro a tierra o a otro punto neutro del
circuito, la suma de las corrientes de las tres fases que van hacia el neutro de la estrella debe ser cero.
Dado que las corrientes cuya suma es nula no contienen componentes de secuencia homopolar, la
impedancia a la corriente de secuencia homopolar es infinita más allá del punto neutro, representándose
por un circuito abierto entre el neutro del circuito conectado en estrella (Y) y la barra de referencia.
Barra de referencia
Z
Z
N
Z
Z
N
Figura 2.3 Sistema eléctrico conectado en estrella sin conexión a tierra y su red monofásica homopolar
equivalente
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
50
Si el neutro de un circuito conectado en estrella se une directamente a tierra a través de una impedancia
de valor nulo, la barra de referencia de la secuencia homopolar será el neutro del circuito, al coincidir su
valor de impedancia con la del terreno. Es decir, la barra de referencia será el neutro al encontrarse al
mismo potencial que el terreno. Para la construcción de la red monofásica equivalente, se unirá el neutro a
tierra mediante una conexión directa entre el neutro y la barra de referencia.
Barra de referencia
Z
Z
N
Z
Z
N
Figura 2.4 Sistema eléctrico conectado en estrella con conexión directa a tierra y su red monofásica
homopolar equivalente
Si una impedancia limitadora de corriente (Zn) se intercala entre el neutro y tierra en un circuito
conectado en estrella, a efectos de cálculo (ver problemas resueltos) debe colocarse una impedancia tres
veces mayor (3Zn) entre el nutro y la barra de referencia de la red de secuencia cero. Esto es debido, a que
la caída de tensión de secuencia homopolar, originada en la red de secuencia homopolar por el paso de
(Ia0) por (3Zn) es la misma que la que se produce en el sistema real al pasar (3Ia0) por una impedancia (Zn).
La impedancia, formada por una resistencia o una reactancia, se conecta ordinariamente entre el neutro de
los generadores y tierra para limitar la corriente de secuencia homopolar durante un cortocircuito,
representándose de la forma descrita.
Barra de referencia
Z
3Zn
Z
Z
Z
Iao
N
N
Zn
3Iao
Figura 2.5 Sistema eléctrico conectado en estrella con conexión a tierra mediante una impedancia
limitadora de corriente y su red monofásica homopolar equivalente
Un circuito conectado en triángulo (D), por no disponer de camino de retorno (tierra o neutro), presenta
una impedancia infinita a las corrientes de línea de secuencia homopolar. La red de secuencia homopolar
está abierta en el circuito con conexión en triángulo. Las corrientes de secuencia homopolar, no obstante,
pueden circular dentro del circuito formado por los tres bobinados del triángulo, puesto que el triángulo
representa un circuito en serie cerrado para la circulación de las corrientes monofásicas. Tales corrientes,
sin embargo, no podrán salir del triángulo, ya que su suma no sería cero. Aparte, estas corrientes deberían
ser producidas en el interior del triángulo por inducción de una fuente exterior o por las tensiones
generadas de secuencia homopolar.
Aun cuando se generasen tensiones de secuencia homopolar en los bobinados del triángulo, no existirá
elevación de la tensión en los bornes de estos bobinados, ya que la tensión inducida generada por fase se
igualaría a la caída de tensión producida por la intensidad al pasar por la impedancia de secuencia
homopolar de la misma fase.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
51
Barra de referencia
Z
Z
Zn
Z
Figura 2.6 Sistema eléctrico conectado en triángulo y su red monofásica homopolar equivalente
2.2.5 Redes de secuencia de generadores sin carga
Un generador simétrico conectado en estrella y con el neutro puesto a tierra a través de una impedancia
limitadora nos servirá de ejemplo para la obtención de las redes de secuencia directa, inversa y homopolar
a él asociados.
Primeramente representemos al generador funcionando en régimen permanente. En este caso, las tres
corrientes de línea serán iguales y estarán desfasadas 120º. Con estas condiciones de funcionamiento, no
existirá resultante de las intensidades, siendo por tanto, la intensidad del neutro (In) nula.
Ia
Za
+
-
a
Zn
In
Ea
-
Eb
Ec
+
+
Zc
Ic
c
Ib
Zb
b
Figura 2.7 Sistema eléctrico de un generador síncrono trifásico conectado en estrella y con el neutro
puesto a tierra mediante una impedancia limitadora
Si una falta se produce en una de las tres fases del generador, el sistema pasará a funcionar en régimen
transitorio, rompiéndose el equilibrio que existía entre las magnitudes correspondientes a las tres fases y
apareciendo una resultante de la suma de las tres corrientes de línea.
a
Z1
Barra de referencia
Ia1
-
+
Ea
+
Eb
-
-
Z1
Z1
Ec
+
+
Ea-
Ia1
Z1
Ic1
a
c
b
Ib1
Sentido de las corrientes de secuencia directa
Red monofásica de secuencia directa
Figura 2.8 Sistema eléctrico de un generador síncrono trifásico puesto a tierra en secuencia directa y su
correspondiente circuito monofásico equivalente
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
52
Esta corriente resultante pasará a tierras, a través de la conexión del neutro hacia tierra. En la figura
anterior (figura 2.8) se detalla el circuito equivalente monofásico de secuencia directa correspondiente a
un generador síncrono trifásico conectado a tierra.
Nótese, que la barra de referencia para la secuencia directa es el neutro del generador, por lo que las
impedancias que se encuentren entre el neutro y tierras no formarán parte de la secuencia directa.
Además, en secuencia directa sí existen fuentes generadoras de energía eléctrica, constando el circuito de
la fuente generadora de energía seguida en serie por la impedancia de la misma.
Ia2
a
Barra de referencia
Z2
Z2
Z2
Z2
Ic2
N
Ia1
c
Ib2
a
b
Sentido de las corrientes de secuencia inversa
Red monofásica de secuencia inversa
Figura 2.9 Sistema eléctrico de un generador síncrono trifásico puesto a tierra en secuencia inversa y su
correspondiente circuito monofásico equivalente
Nótese, que la barra de referencia para la red de secuencia inversa también es el neutro del generador,
por lo que las impedancias que se encuentren entre el neutro y tierra tampoco formarán parte de la
secuencia inversa. Como en secuencia inversa no existen fuentes generadoras de energía eléctrica, el
circuito resultante es sencillo; las fuentes generadoras de energía se omiten quedando sus impedancias en
serie. Debe prestarse especial atención en cambiar el valor de las impedancias (respecto a los valores de
las mismas en secuencia directa) cuando esto sea necesario (generadores síncronos de polos salientes).
Ioa
Barra de referencia
a
Z0
3Zn
Z0
N
Z0
Zn
Z0
Ioc
c
3In
3Zgo
Iao
a
N
b
Iob
Sentido de las corrientes de secuencia cero
Red monofásica de secuencia cero
Figura 2.10 Sistema eléctrico de un generador síncrono trifásico puesto a tierra en secuencia homopolar
y su correspondiente circuito monofásico equivalente
Nótese, que la barra de referencia para la secuencia homopolar es tierra, por lo que las impedancias que
se encuentren entre el neutro y tierra, en este caso, sí formarán parte de la secuencia homopolar. Los
valores de las impedancias situadas entre el neutro y tierra deberán multiplicarse por tres para que el
circuito monofásico sea realmente equivalente al trifásico. En secuencia homopolar, no existen fuentes
generadoras de energía eléctrica. El circuito es sencillo, en serie se colocan las impedancias homopolares
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
53
de las fases del generador, unidas en serie con las impedancias (multiplicadas por tres) limitadoras de las
corrientes a tierra cuando éstas existan.
2.2.6 Redes de secuencia de los transformadores
Especial atención merecen los circuitos equivalentes de secuencia homopolar de los transformadores
trifásicos. Las diversas combinaciones posibles de los devanados primario y secundario en estrella o en
triángulo (Y o Ì) variarán la red de secuencia homopolar. La teoría de los transformadores hace posible
la construcción del circuito equivalente de la red de secuencia homopolar. Recordemos primeramente que
por el primario de un transformador no circulará corriente, a menos que exista corriente circulando por el
secundario, si despreciamos la relativamente pequeña corriente magnetizante o de vacío. Además, la
corriente primaria viene determinada por la corriente secundaria y la relación de transformación de los
bobinados (despreciando la pequeña corriente magnetizante o de vacío).
Estos principios nos servirán de guía para el análisis de las cinco conexiones más usuales de los
transformadores estudiados, representándose estas conexiones en las figuras siguientes. Las flechas
indican los cambios posibles para la circulación de la corriente de secuencia homopolar. La no existencia
de flecha nos indica que la conexión del transformador es tal que no permite la circulación de la corriente
de secuencia homopolar. En estas figuras, y para cada conexión, se representa el circuito equivalente
monofásico de secuencia homopolar, con la impedancia y el camino de retorno para las corrientes
magnetizantes omitidas. Las letras (A) y (B) identifican los puntos correspondientes en el diagrama de
conexiones y en el del circuito monofásico equivalente. Igualmente, para cada tipo de conexionado se
indica de forma resumida el razonamiento justificativo para la obtención del circuito equivalente.
1.
CASO: Conexión 8-8 con el neutro del secundario aislado de tierra. La corriente de secuencia
homopolar no puede circular en ninguno de los dos bobinados, ya que el secundario ofrece un
camino abierto al paso de las corrientes homopolares, no existiendo por tanto, tampoco corriente en
el primario.
A
B
ESQUEMA
Z
Z
N
Z
Z
Z
Z
N
CIRCUITO EQUIVALENTE
A
B
Zo
Barra de referencia
Figura 2.11 Esquema eléctrico y circuito monofásico homopolar equivalente para un transformador Y-Y,
con una estrella conectada a tierra
2.
CASO: Conexión 8-8 con los dos neutros puestos a tierra. Ahora sí existe un camino para la
corriente homopolar tanto en el primario como en el secundario. Además, con este tipo de conexión
el circuito monofásico equivalente en secuencia homopolar resulta idéntico al circuito monofásico
equivalente en secuencia directa o inversa. Es el único conexionado de los bobinados de los
transformadores que permite el paso de la componente homopolar hacia el secundario del mismo, es
decir, la corriente homopolar en este caso no va a parar a tierra.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
54
A
B
ESQUEMA
Z
Z
N
N
Z
Z
Z
Z
CIRCUITO EQUIVALENTE.
A
B
Zo
Barra de referencia
Figura 2.12 Esquema eléctrico y circuito monofásico homopolar equivalente para un transformador Y-Y,
con las dos estrellas conectadas a tierra
3.
CASO: Conexión 8-'. con el neutro de la estrella puesto a tierra. Las corrientes homopolares
disponen de un camino a través de la conexión en estrella, ya que las corrientes inducidas
correspondientes pueden circular en la conexión en triángulo. La corriente que circula en el triángulo,
para equilibrar la corriente en la estrella no puede circular por las líneas de salida del triángulo al ser
tres corrientes monofásicas cuya suma no es cero. Recordar que si la conexión del neutro a tierra
contiene una impedancia limitadora (Zn), el circuito monofásico equivalente debe incorporar una
impedancia (3Zn) en serie, con la impedancia homopolar del transformador para la conexión del
neutro de la estrella a tierra.
A
B
ESQUEMA
Z
N
Z
Z
CIRCUITO EQUIVALENTE.
A
B
Z0
Barra de referencia
Figura 2.13 Esquema eléctrico y circuito monofásico homopolar equivalente para un transformador Y-D,
con la estrella conectada a tierra
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
4.
55
CASO: Conexión '-8 con el neutro de la estrella aislado de tierra. Si la estrella no está puesta a
tierra, la impedancia entre el neutro y tierra es infinita; por tanto, la corriente no podrá circular ni por
el bobinado primario ni por el bobinado secundario del transformador.
ESQUEMA
A
B
Z
N
Z
Z
CIRCUITO EQUIVALENTE.
A
B
Z0
Barra de referencia
Figura 2.14 Esquema eléctrico y circuito monofásico homopolar equivalente para un transformador Y-D
con la estrella aislada de tierra
5.
CASO: Conexión '-'. Como ninguno de los triángulos puede estar conectado a tierra, no pueden
circular las componentes de las corrientes homopolares a través del transformador, ni hacia tierra.
Pero es posible que estas corrientes circulen por el interior de los bobinados del transformador, lo que
repercute en un calentamiento de los mismos. Es decir, con este tipo de conexión el circuito
monofásico equivalente para las componentes homopolares resulta ser un circuito cerrado.
ESQUEMA
A
B
CIRCUITO EQUIVALENTE.
A
Z0
B
Barra de referencia
Figura 2.15 Esquema eléctrico y circuito monofásico homopolar equivalente para un transformador D-D
Notar que las corrientes homopolares forman un circuito cerrado en los bobinados del transformador
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
56
2.3 COMPONENTES SIMÉTRICAS
Aunque un cortocircuito trifásico es una fallo muy grave, es el único cortocircuito equilibrado, ya que
son las tres fases de la línea las que entran en contacto a la vez; por tanto, un cortocircuito trifásico
equivale a una carga simétrica de una red trifásica; debido a esta razón, el cálculo de las corrientes de
cortocircuito de las diferentes fases puede limitarse al cálculo de una sola fase (se utilizará para su cálculo
sólo la red directa). Todos los demás tipos de cortocircuitos equivalen a cargas asimétricas, siendo
necesario el empleo de procedimientos de cálculo especiales. Un ejemplo de estos procedimientos
especiales lo constituye el método de las componentes simétricas.
2.3.1 Método de cálculo
Un vector (R) cualquiera puede descomponerse como la resultante de tres componentes (R1, R2 y R0)
dispuestos uno a continuación del otro de forma totalmente arbitraria, tal y como muestra la figura.
R
R1
R2
R0
Figura 2.16 Descomposición de un vector en tres componentes
Si complementamos cada una de estas componentes, es posible formar un sistema trifásico simétrico
equilibrado. De esta forma, la componente (R1) puede formar un sistema trifásico de secuencia directa
(R,S,T), la componente (R2) puede formar un sistema trifásico de secuencia inversa (R,T,S) y, finalmente,
la componente (R0) puede complementarse hasta formar un sistema homopolar. En consecuencia,
empleando los tres sistemas de componentes, es posible representar cualquier sistema trifásico asimétrico
en el plano de Gauss.
R0
T1
S0
T0
S2
R2
R1
S1
Secuencia Directa RST
Secuencia Inversa RTS
Secuencia Homopolar
T2
Figura 2.17 Componentes simétricas en el plano de Gauss. Componentes directa, inversa y homopolar
Cada uno de estos sistemas de vectores representa un circuito eléctrico. La secuencia directa y la
secuencia inversa son sistemas trifásicos simétricos y equilibrados, por tanto, con resultante nula.
Mientras que para representar la secuencia homopolar, es necesario incorporar un generador monofásico,
siendo la resultante el triple del valor de una de las componentes. La siguiente figura nos muestra los
circuitos eléctricos equivalentes que simulan a estos tres sistemas de vectores.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
Secuencia Directa RST:
57
I1
I1
I1
I2
I2
I2
I3
I3
I3
Ii = 0
Secuencia Inversa RTS:
Ii = 0
Secuencia Homopolar:
Ii = 3I
Figura 2.18 Sistemas eléctricos equivalentes de las tres redes de secuencia. Nótese que para la
componente homopolar se utiliza un generador alterno monofásico
Antes de iniciar los cálculos, es necesario definir el vector operador (a), el cual nos servirá para poder
realizar giros de 120º a los vectores situados en el plano de Gauss.
El operador:
a = a4 =( - 0.5 + j 0.87)=1(120º equivale a un giro del vector de +120º.
a2 = (- 0.5 - j 0.87)=1(240º equivale a un giro del vector de +240º.
a3 = (1+j0 )=1(0º equivale a un giro del vector de +360º.
Unas primeras relaciones se obtienen de forma directa de la figura 2.17. Así por ejemplo, si escogemos
la magnitud intensidad (podría haber sido la tensión), obtendremos las siguientes relaciones, a las cuales
denominaremos, Ecuaciones A:
IR
I R1 I R2 I R0
IS
I S1 I S2 I S0
IT
I T1 I T2 I T0
2
I R1 a I R2 a I R0
[2.1]
2
I R1 a I R2 a I R0
Las ecuaciones “A”, permiten hallar el valor de una magnitud, si son conocidas sus componentes
simétricas. Pero ésta no es la situación más normal, sino al contrario, es más frecuente conocer alguna de
las magnitudes reales y desconocer los valores de sus componentes simétricas; en tal caso, las fórmulas
que resultarán útiles serán las siguientes.
2
Ÿ §¨ I R I S a I T a ·¸
¹
©
3
3
2
4
2
I R1 §¨1 a a ·¸ I R2 §¨1 a a ·¸ I R0 §¨1 a a ·¸
©
¹
©
¹
©
¹
3I R1
2
Ÿ §¨ I R I S a I T a ·¸
©
¹
4
2
3
3
2
I R1 §¨1 a a ·¸ I R2 §¨1 a a ·¸ I R0 §¨1 a a ·¸
©
¹
©
¹
©
¹
3 I R2
Ÿ I R I S IT
[2.2]
2
2
I R1 §¨1 a a ·¸ I R2 §¨1 a a ·¸ I R0 1 1 1 3I R0
©
¹
©
¹
De estas expresiones podemos aislar las componentes simétricas, por ejemplo de la intensidad, con lo
que obtendremos las llamadas Ecuaciones B:
I R1
I R2
I R0
1
I R I S a IT a 2
3
1
I R I S a 2 IT a
3
1
I R I S I T 3
[2.3]
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
58
Protección de sistemas eléctricos de potencia
Si deseamos determinar gráficamente las componentes simétricas de un sistema a partir de los vectores
que las forman, y para ello denominamos de forma genérica (A1R, A2R y A0R) a cada una de las
componentes simétricas del sistema, el proceso a seguir será el siguiente: (AR) se sitúa sobre el eje de
referencia; (AS) y (AT) se disponen en el origen y en el final del vector (AR) respectivamente. Hacemos
rotar cada uno de estos vectores principales con el operador (a), de forma que obtenemos todos los
términos de las ecuaciones (B). Aplicando las citadas ecuaciones, la resultante del diagrama de vectores
equivale en magnitud y dirección a la componente (3A0). Si se giran seguidamente los dos vectores (AS) y
(AT) nos situamos sobre el eje de referencia en 120º (a) o 240º (a2) de acuerdo con las ecuaciones (B). Las
resultantes que se obtienen se corresponden en magnitud y dirección a las componentes (3A1R) y (3A2R).
Figura 2.19 Determinación gráfica de las componentes simétricas a partir de los vectores principales
Si se observan las ecuaciones (B) y la figura anterior, se aprecia que las componentes homopolares
aparecen únicamente cuando los tres vectores (AR, AS y AT) no completan un triángulo, es decir, cuando la
suma vectorial de las tres magnitudes reales no es nula. Por tanto, la existencia de una componente
homopolar significa que las tres fases del circuito no presentan una carga simétrica respecto a tierra. En
consecuencia, la componente homopolar aparecerá solamente cuando exista una pérdida de energía, como
puede ser una fuga a tierra (cortocircuito monofásico o bifásico a tierra).
La componente (3A2R) se presenta, en general, cuando los vectores (AR, AS y AT) no son iguales entre sí,
es decir, cuando el sistema no es simétrico, caso normal en la mayor parte de los cortocircuitos si
exceptuamos al cortocircuito trifásico.
Si los tres vectores forman un triángulo equilátero, no existe resultante para las componentes (A2) y
(A0), por tanto, estas componentes son nulas. En tal caso sólo existirá el sistema directo, representado por
la resultante (3A1R). De acuerdo con la figura 2.20, esta resultante equivale al triple de (AR), por lo que
(AR1=1/3AR) representa una carga simétrica.
Figura 2.20 Resolución gráfica para determinar una carga simétrica a partir de sus componentes
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
59
El método de las componentes simétricas, permite descomponer cualquier sistema trifásico asimétrico
en tres sistemas de componentes simétricas. Por tanto, bastará con efectuar los cálculos para una sola fase,
como si de un sistema simétrico se tratara (siempre referido a la fase R), para conocer los valores de las
magnitudes eléctricas en las restantes fases. Hemos hallado las componentes simétricas para las
intensidades, pero operando de igual forma se obtienen unas expresiones análogas para las componentes
simétricas de las tensiones.
IR
I1 I 2 I 0
I1
IS
a 2 I1 a I 2 I 0
I2
IT
a I1 a 2 I 2 I 0
I0
UR
U1 U 2 U 0
U1
US
a 2 U1 aU 2 U 0
U2
UT
aU 1 a 2 U 2 U 0
U0
1
( I R aI S a 2 I T )
3
1
( I R a 2 I S aI T )
3
1
(I R IS IT )
3
1
( U R aU S a 2 U T )
3
1
( U R a 2 U S aU T )
3
1
(U R US U T )
3
[2.4]
[2.5]
[2.6]
[2.7]
[2.8]
[2.9]
Las componentes (I1, I2 y I0) de la corriente o (U1, U2 y U0) de la tensión se refieren siempre a la fase
(R). Normalmente, esta fase de referencia no se indica como subíndice.
Finalmente, antes de iniciar el cálculo las corrientes de cortocircuito, debemos deducir un último grupo
de ecuaciones, llamadas "Ecuaciones C", que representan a las tres redes de secuencia equivalentes.
Z1
E
IR1
Z2
IR2
VR1
Secuencia Directa
Z0
VR2
IR0
VR0
Secuencia Homopolar
Secuencia Inversa
Figura 2.21 Circuitos equivalentes para la obtención de las ecuaciones (C) de los sistemas simétricos
Estos circuitos equivalentes se obtienen de la teoría de las componentes simétricas, la cual nos indica
que una red de secuencia está formada por una fuente de tensión (sólo en el caso de la secuencia directa,
careciendo de la misma las redes de secuencia inversa y homopolar) más una impedancia en serie con la
misma. Esta impedancia es el equivalente de Thevenin de la red buscada, vista desde el punto de
cortocircuito.
Así, y aplicando las leyes de Kirchoff, hallamos las Ecuaciones C:
VR1
E I R1 Z1
VR 2
I R 2 Z 2
VR 0
I R 0 Z0
[2.10]
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
60
2.3.1.1 Impedancias directa, inversa y homopolar
Una vez definidos los sistemas de componentes simétricas debemos, de forma análoga, definir las
impedancias que los forman. De esta forma, hablaremos de impedancias directas, inversas y homopolares
para designar las impedancias correspondientes a cada uno de estos sistemas. La representación de estos
conexionados se ha mostrado en la figura 2.21. Es necesario tener presente que para los sistemas directo e
inverso se emplean fuentes de tensión alternas trifásicas y simétricas, mientras que el sistema homopolar
utiliza una fuente de tensión alterna monofásica.
Se define como impedancia directa (Z1) de un dispositivo o componente eléctrico al cociente entre la
tensión entre fase y neutro y la intensidad, cuando el sistema está alimentado con un generador síncrono
trifásico de secuencia directa (la secuencia de fases será: RST).
Se define como impedancia indirecta (Z2) de un dispositivo o componente eléctrico al cociente entre la
tensión entre fase y neutro y la intensidad, cuando el sistema está alimentado con un generador síncrono
trifásico de secuencia indirecta (la secuencia de fases será: RTS).
La impedancia homopolar (Z0) de un dispositivo o componente eléctrico es el cociente de la tensión de
fase y la intensidad, cuando el sistema está alimentado mediante una fuente de tensión alterna
monofásica. Si las tres líneas (R,S,T) dispuestas en paralelo constituyen el camino de ida de la corriente,
debe de existir un cuarto conductor que actúe como retorno común. Por este retorno común circulará una
corriente tres veces mayor que la componente homopolar correspondiente a una fase.
2.4 CÁLCULO DE LAS CORRIENTES DE CORTOCIRCUITO
Para el cálculo de las corrientes de cortocircuito se han seguido las directrices de la Norma Alemana
VDE 0102, en la cual se indica un método diferente para el cálculo de los cortocircuitos. En las fórmulas
que hemos deducido hasta el momento para el cálculo de las corrientes iniciales simétricas de
cortocircuito, se han empleado como fuerzas electromotrices las correspondientes a los generadores o a
las acometidas existentes. Según la normativa VDE 0102, basta considerar que en el punto de
cortocircuito actúa una única fuente equivalente de tensión cuya fuerza electromotriz vale (E=c · Un / ¥3).
Además, la Norma VDE 0102 define también otras particularidades:
1.
Las fuerzas electromotrices de los generadores y las acometidas se considerarán nulas, utilizándose
solamente sus impedancias para realizar los cálculos.
2.
No se consideran las capacidades de las líneas ni las impedancias transversales no debidas a motores.
Los motores se tratan como generadores en los sistemas directo e inverso.
3.
Al calcular defectos asimétricos se considerarán en el sistema homopolar, las capacidades de las
líneas y las demás impedancias transversales no debidas a motores.
4.
El factor (c) permite considerar la diferencia que existe entre la fuerza electromotriz inicial (E”) y la
tensión de servicio de la red (Un) en el punto de cortocircuito, a efectos de cálculo de las corrientes
iniciales simétricas de cortocircuito.
Algunas de estas afirmaciones quedan expuestas a continuación:
Supongamos que el circuito mostrado en la figura 2.22 representa una fase de una red trifásica. La red
está formada por un generador (Eg), por un motor (Em), donde (Xg y Xm) son sus impedancias internas
respectivamente, y por una tercera impedancia debida a una línea (ZL). En bornes del motor, hallamos la
tensión (Vf), tensión entre fase y neutro, ya que éste será el punto donde posteriormente se realizará el
cortocircuito. Este circuito trabaja en régimen permanente, por lo que el generador proporcionará energía
que será consumida por el motor en un funcionamiento normal. Notar que las impedancias (reactancias)
adoptadas para después del cortocircuito son las subtransitorias (X''g y X''m), ya que serán éstas las que nos
dan los valores que se obtendrían en la realidad.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
61
ZL
Xg
IL
Xm
+
Vf
Eg
+
Em
Figura 2.22 Red eléctrica formada por un generador, una línea de interconexión y un motor antes de
producirse el cortocircuito
Antes de producirse el cortocircuito, como el motor consume energía, las relaciones eléctricas para el
régimen permanente, transitorio y subtransitorio son respectivamente:
Z
Z
˜ I
˜ I
Eg
V f Z L X g ˜ I L1
E g'
Vf
E g"
Vf
L
X g'
L
X "g
[2.11]
[2.12]
L2
[2.13]
L3
Donde (Vf) y (ZL) son iguales para los tres regímenes, ya que ni la tensión, ni la impedancia de línea
sufren cambios en un cortocircuito (lo que cambia es el valor de las impedancias de las máquinas con
movimiento, es decir, de los motores y los generadores). Además, ha de cumplirse que la intensidad no
cambia en el instante de producirse el cortocircuito (debido al efecto inductivo).
I L1
I L2
I L3
IL
[2.14]
Si nos centramos en el régimen subtransitorio, que es el que nos interesa para obtener la corriente
inicial simétrica de cortocircuito, es posible establecer las siguientes relaciones:
E g"
Vf Z L X "g ˜ I L (1)
[2.15]
E "m
Vf X "m ˜ I L
[2.16]
(2)
Despejando e igualando las tensiones entre fase y neutro ( V f ) de ambas expresiones, se obtiene:
E g" Z L X "g ˜ I L
E "m X "m ˜ I L
Vf
Vf
[2.17]
Y por tanto:
E g" E "m
Z
L
X "g X "m ˜ I L
E "m X "m ˜ I L
Vf
[2.18]
Siendo la intensidad:
IL
E "g E "m
Z L X "g X "m
[2.19]
Si observamos el mismo circuito, pero justo después de producirse el cortocircuito en el punto (f),
tendremos:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
62
ZL
I k" g
I k" m
X g"
X m"
I k" T
+
E g"
Em"
+
Figura 2.23 Red eléctrica formada por un generador, una línea de interconexión y un motor, después de
producirse un cortocircuito en el punto (f)
Al producirse el cortocircuito, el motor deja de absorber energía eléctrica de la red para pasar a dar
energía a la misma (los motores, durante unos instantes y debido a la propia inercia de giro, dan energía a
las redes a las cuales están conectados), actuando como un generador.
En este caso, se cumple:
E "g
I "k g
ZL X
sustituyendo (1) Ÿ I "k g
"
g
I "k m
E "m
sustituyendo (2) Ÿ I "k m
X "m
I "k T
I "k g I "k m
Vf
IL
Z L X "g
Vf
IL
X "m
[2.20]
[2.21]
§
1
1 ·¸
Vf ˜ ¨
I IL
¨ Z L X g" X "m ¸ L
©
¹
[2.22]
Obteniéndose finalmente que la intensidad de cortocircuito es:
I k" T
Vf
Z X X V
Z X X Z X X Z X X "
g
L
L
"
m
"
g
f
"
m
"
g
L
L
"
g
"
m
Vf
Z eq
[2.23]
"
m
Expresión que corrobora las condiciones indicadas anteriormente y que resumimos seguidamente:
-
"
No se utilizarán las fuerzas electromotrices de los generadores: ( E g , E m" ). Únicamente se utilizará
la tensión entre fase y neutro que había en el punto de cortocircuito en el instante anterior de
producirse el mismo:
Vf
-
UL
3
.
[2.24]
La intensidad de línea (IL), o de carga, no afectará a los cálculos generales del cortocircuito.
La impedancia que deberemos tener presente en los cálculos de la intensidad de cortocircuito, será el
equivalente de las impedancias vistas desde el punto de cortocircuito: (Z Ÿ Zeq).
Así, los cuatro tipos de cortocircuitos que analizaremos son:
x
Cortocircuito trifásico: Cortocircuito producido por la unión accidental de las tres fases (R, S y T) de
la red trifásica (para los cálculos, es indiferente si este cortocircuito está unido o no a tierra).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
63
x
Cortocircuito bifásico sin contacto a tierra: Cortocircuito producido por la unión accidental de dos
fases de una red trifásica. Para su cálculo consideraremos que el cortocircuito se produce entre las
fases (S y T).
x
Cortocircuito bifásico con contacto a tierra: Cortocircuito entre dos fases de un sistema trifásico
(normalmente se consideran las fases S y T), con la salvedad que estas dos fases están unidas a tierra.
x
Cortocircuito monofásico a tierra: Es el más común y violento de los cortocircuitos. Se produce
cuando una de las fases (normalmente se considera la fase R como referencia) queda unida con tierra.
2.4.1 Cortocircuito trifásico
El cortocircuito trífásico es el único cortocircuito que puede calcularse sin la utilización de las
componentes simétricas. Esto es posible debido a que las tres fases, y en el mismo instante, quedan
cortocircuitadas. Por tanto, si antes de producirse la falta el circuito era simétrico y equilibrado, una vez la
falta se ha producido (al afectar por igual a las tres fases), el sistema seguirá siendo simétrico y
equilibrado:
R
S
G
T
I" k3
I" k3
R
S
I" k3
T
Figura 2.24 Sistema eléctrico afectado por un cortocircuito trifásico
Las condiciones iniciales que definen a este cortocircuito son: U R
US
UT
0
Con estas condiciones iniciales y las ecuaciones (B), referidas a las tensiones de las componentes
simétricas, obtenemos los siguientes resultados:
o VR1
o VR 2
o VR 0
1
1
VR VS a VT a 2
0 a·0 a 2 ·0
3
3
1
1
VR VS a 2 VT a
0 a 2 ·0 a ·0
3
3
1
1
0 0 0 0
VR VS VT
3
3
0
0
VR1
0
VR 2
0
VR 0
0
[2.25]
Resultado lógico, ya que si las tensiones de línea son nulas, también lo serán las tensiones de fase, lo
que obligará, asimismo, a ser nulas a las componentes simétricas asociadas.
Si se introducen estos resultados en las ecuaciones (C), obtendremos:
o VR1
0
E I R1 Z1
I R1
o VR 2
0
IR 2 Z2
E
Z1
0
I R0 Z0
IR2
0
o VR 0
IR0
0
[2.26]
La interpretación de estos resultados nos permite comprobar lo que teóricamente ya se había expuesto.
Con este tipo de cortocircuitos, sólo es necesaria la utilización de la secuencia directa de las componentes
simétricas, ya que las intensidades que pasan por los sistemas inverso y homopolar son nulas (es una red
equilibrada).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
64
Finalmente, utilizando los resultados obtenidos con las ecuaciones (C) podemos calcular las
intensidades de cortocircuito que pasarán por las tres fases de la red trifásica. Para ello utilizaremos las
ecuaciones (A) y tendremos en cuenta que E = c · Un / ¥3, donde c = 1.1.
E
00
Z1
E
¬0º ¼
Z1
o IR
I R1 I R2 I R0
o IS
I R1 a 2 I R2 a I R0
E 2
a 00
Z1
o IT
I R1 a I R2 a 2 I R0
E
a00
Z1
IR
E
¬240º ¼
Z1
IS
E
¬120º ¼
Z1
IT
1.1·U n
3 ·Z 1
1.1·U n
3 ·Z 1
1.1·U n
3 ·Z 1
¬0º ¼
[2.27]
¬240º ¼
¬120º ¼
En resumen, en los cortocircuitos trifásicos, las tres tensiones correspondientes al punto de
cortocircuito son nulas y las tres fases presentan cargas equilibradas debido a que las corrientes simétricas
de cortocircuito están desfasadas en 120º, independientemente de si el punto de cortocircuito está unido o
no a tierra.
2.4.2 Cortocircuito bifásico sin contacto a tierra
Fuera de los cortocircuitos trifásicos simétricos, en todos los demás casos ya no existirá equilibrio entre
las fases y por tanto (aparte de la componente directa, ya necesaria para los circuitos equilibrados) será
necesario incorporar las componentes inversa y homopolar.
Concretamente, el cortocircuito bifásico sin contacto a tierras mantiene la energía (no hay fuga a
tierra), pero al ocurrir éste en dos de las tres fases del sistema, produce un desequilibrio de cargas entre
las tres fases, siendo necesario incorporar en los cálculos (aparte de la secuencia directa) la secuencia
inversa.
R
S
G
T
I" k
I" k
2S
2T
Figura 2.25 Circuito eléctrico correspondiente a un cortocircuito bifásico sin conexión a tierras
Las condiciones iniciales para este cortocircuito son:
IR
VS
0
VT
Introduciendo las condiciones iniciales de este cortocircuito en las ecuaciones (A) y refiriendo las
mismas a las tensiones entre fase y neutro, obtendremos:
o VS
VR1 a 2 VR 2 a VR 0
o VT
VR1 a VR 2 a 2 VR 0
VR1 a 2 VR 2 a ½°
¾ Ÿ VS
VR1 a VR 2 a 2 °¿
VT Ÿ VR1 a 2 VR 2 a VR1 a VR 2 a 2
VR1
VR 2
V R1 a 2 a V R2 a 2 a
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
[2.28]
Redes de secuencia y componentes simétricas
65
Es decir, si las tensiones de fase, entre las fases (S y T), son iguales, también los serán sus respectivas
componentes simétricas. De este resultado y de la segunda condición inicial (IR = 0), obtenemos:
IR
0
I R1 I R 2 o I R1
I R1 I R 2 I R 0
IR2
[2.29]
A este último resultado, obtenido de forma analítica, se habría podido llegar de forma intuitiva.
Bastaría para ello con aplicar a los circuitos equivalentes de las componentes simétricas (circuitos
representados en la figura 2.26) los resultados obtenidos en el cálculo de las tensiones. En estos
resultados, hemos comprobado que la componente homopolar es nula y que las componentes simétricas
directa e inversa de las tensiones son iguales, por lo puede anularse el sistema correspondiente a la
secuencia homopolar y unir las dos redes restantes (directa e inversa) para que cumplan las condiciones
anteriores (tensiones iguales). Los resultados pueden apreciarse en la siguiente figura donde queda de
manifiesto que las intensidades de las componentes directa e inversa serán iguales en magnitud, pero de
sentidos opuestos.
Z1
IR1
E
VR1
Z1
Z2
IR 1
E
VR1 = VR2
IR2
Z2
IR 2
VR2
Figura 2.26 Red de componentes simétricas correspondiente al cortocircuito bifásico sin contacto a
tierra
Aplicando Kirchoff, obtenemos fácilmente la expresión de las intensidades de las redes de secuencia
directa e inversa de las componentes simétricas.
I R1
I R 2
E
Z1 Z 2
[2.30]
A continuación, utilizando las ecuaciones (A) hallamos las expresiones de las intensidades de
cortocircuito de las tres fases de la red trifásica:
o IR
I R1 I R2 I R0
o IS
I R1 a 2 I R2 a I R0
o IT
0
I R1 a 2 I R2 a
2
I R1 a I R2 a I R0
I R1 a I R2 a
2
a a I R1 a 2 a
I R1
[2.31]
2
Llegados a este punto, hay que recordar que a = 1 [120º] y que a2 = 1 [-120º]. En consecuencia vemos
que ( a - a2 )= j ¥3 y que ( a2 - a )= - j ¥3. De esta forma podemos expresar finalmente las intensidades:
IR
IS
IT
½
°
0
°
°
1'1·U n
E
°
j 3
j 3 ¾
I R1 j 3
o
Z1 Z 2
3 Z1 Z 2
°
°
1'1·U n
E
°
I R1 j 3
j 3
j 3
°¿
Z1 Z 2
3 Z1 Z 2
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
IR
0
IS
1'1·U n
¬ 90º ¼
Z1 Z 2
IT
1'1·U n
¬90º ¼
Z1 Z 2
[2.32]
Protección de sistemas eléctricos de potencia
66
Para calcular las tensiones de línea, previamente será necesario determinar los valores de las tensiones
entre fase y neutro. Para ello, utilizaremos los valores de las intensidades obtenidos, así como las
ecuaciones (C).
o VR
V R1 V R2 V R0
o VS
VT
2·V R1
V R1 a 2 V R2 a V R0
§
·
E
Z 1 ¸¸
¨¨ E Z1 Z 2 ¹
©
E (1 2 E I R1 Z 1
V R1 a a 2
Z1
)
Z1 Z 2
E
§
·
Z2
E
Z 1 ¸¸ 2 E
2¨¨ E Z
Z
Z
1
2
1 Z2
©
¹
V R1 E I R1 Z 1
[2.33]
Z2
Z1 Z2
Finalmente, recordando la expresión de la fuerza electromotriz (E) obtendremos el valor definitivo de
las tensiones entre fase y neutro para estos cortocircuitos.
VR
1'1·U n
2Z2
(0 º )
3 Z1 Z 2
[2.34]
VS
VT
1'1·U n
Z2
¬180º ¼
Z
3
1 Z2
En resumen, en los cortocircuitos bifásicos sin contacto a tierra aparecen corrientes iniciales simétricas
de cortocircuito menores que las que se presentan en los cortocircuitos trifásicos. Sin embargo, si el punto
de cortocircuito está en las proximidades de máquinas síncronas o asíncronas de cierta potencia, la
corriente de cortocircuito puede llegar a ser mayor que la correspondiente a un cortocircuito trifásico.
2.4.3 Cortocircuito bifásico con contacto a tierra
Este cortocircuito se produce por la unión de dos fases con tierra. En consecuencia, necesitaremos de
las tres secuencias de las componentes simétricas. La secuencia directa será necesaria por existir un
circuito eléctrico; la secuencia inversa, por existir desequilibrios entre las fases, y finalmente, la secuencia
homopolar, por existir una pérdida de energía a través del terreno. Esquemáticamente, podemos
representar el fallo de la siguiente forma:
R
S
G
T
k2
I"
SE
k2
I"
TE
k2
I"
EE
Figura 2.27 Circuito eléctrico correspondiente a un cortocircuito bifásico a tierra
Las condiciones iniciales para este cortocircuito son:
IR = 0
V S = VT = 0
Las ecuaciones (B) y las condiciones iniciales del cortocircuito permiten hallar los valores de las
componentes simétricas de las tensiones entre fase y neutro, mediante la utilización de las siguientes
expresiones:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
67
1
1 ½
VR VS a VT a 2
VR
3
3 °
°
1
1 °
2
VR VS a VT a
VR ¾ 
oVR1
3
3 °
1
1
°
VR VS VT
VR
°
3
3
¿
o VR1
o VR2
o VR0
VR2
1
VR
3
VR0
[2.35]
Como las tres componentes simétricas de las tensiones (directa, inversa y homopolar), una vez
aplicadas las condiciones iniciales del cortocircuito, son iguales, podemos unir los tres circuitos
equivalentes de las redes de secuencia, de forma que la unión respete la igualdad entre las tensiones.
Z1
E
IR1
VR1
Z1
Z2
IR2
VR2
E
IR 1
Z2
IR2
Z0
IR0
Z0
IR0
VR0
Figura 2.28 Red de componentes simétricas correspondiente a un cortocircuito bifásico a tierras
Observando el circuito resultante y mediante las ecuaciones de mallas y divisores de intensidad,
obtenemos las expresiones de las intensidades que circularán por cada una de las ramas.
o I R1
E
Z1 Z 2 Z 0
o I R2
I R1
Z0
Z2 Z0
o I R0
I R1
Z2
Z2 Z0
[2.36]
Introduciendo estas expresiones en las ecuaciones (A), podemos encontrar las intensidades de
cortocircuito. Dado que la intensidad de la fase (R) es nula (IR = 0) por las condiciones iniciales dadas
para este tipo de cortocircuito, nuestro cálculo se centrará en las fases (S y T). Calculamos en primer lugar
la intensidad correspondiente a la fase (S):
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
68
E
I R1 a 2 I R2 a I R0
...
ª 2
E
Z0
Z2 º
«a a
»
Z 2 Z0 Z 2 Z0 ¼
Z1 Z 2 Z 0 ¬
...
E Z2 Z0
Z1Z 2 Z1Z 0 Z 2 Z 0
...
E
Z 0 j 3 Z 2 3 ¬210º ¼
Z1Z 2 Z1Z 0 Z 2 Z 0
a2
§
¨
IS
Z1 Z 2 Z 0
a ¨© I
Z2 ·
Z0 · §
¸ ¨ I R1
¸
Z 2 Z 0 ¸¹
Z 2 Z 0 ¸¹ ¨©
E
Z Z
Z1 2 0
Z 2 Z0
R1
...
E
Z2 a 2 1 Z0 a 2 a
Z1Z 2 Z1Z 0 Z 2 Z 0
> E
Z0 j 3 Z 2a j 3
Z1Z 2 Z1Z 0 Z 2 Z 0
@
ª 2 Z 2 Z0
Z0
Z2 º
a
«a
»
Z
Z
Z
Z
Z
2
0
2
0
2 Z0 ¼
¬
ª 2 Z 2 Z0
Z0
Z2 º
a
«a
»
Z
Z
Z
Z
Z
2
0
2
0
2 Z0 ¼
¬
> ...
> @
@
...

o
Y recordando el valor de la fuerza electromotriz (E), obtenemos:
IS
aZ 2 Z0
Z1 Z 2 Z 2 Z 0 Z1 Z 0
j1'1·U n
[2.37]
Operando de igual forma, hallamos la expresión de la corriente de cortocircuito de la fase (T):
aE
§
Z0
a 2 ¨¨ I R1
Z2 Z0
©
IT
I R1 a I R2 a 2 I R0
...
ª
Z0
Z2 º
E
2
«a a
»
Z2 Z0 Z2 Z0 ¼
Z1 Z 2 Z 0 ¬
...
E
Z 2 a 1 Z 0 a a 2
Z1 Z 2 Z 2 Z 0 Z1 Z 0
Z1 Z 2 Z 0
·
¸
¸
¹
...
E
a Z2 Z0 a 2Z0 Z2
Z1Z 2 Z 2 Z 0 Z1Z 0
>
>
· §
Z2
¸ ¨ I R1
¸ ¨
Z2 Z0
¹ ©
@
E
Z2
Z1 Z 2 Z 2 Z 0 Z1 Z 0
@
...
> 3 ¬150º¼ Z 3 ¬90º¼@
0

o
Lo que nos permite obtener la siguiente expresión:
IT
j1'1·U n
a 2 Z2 Z0
Z1 Z 2 Z 2 Z 0 Z1 Z 0
[2.38]
Por su parte, la intensidad de cortocircuito correspondiente a la fase (R), debe ser nula:
E
Z0
Z2
I R1
Z2 Z0
Z2 Z0
I R1
IR
I R1 I R2 I R0
...
ª Z2 Z0 Z0 Z2 º
E Z2 Z0
«
»Ÿ
Z1 Z 2 Z 2 Z 0 Z1 Z 0 ¬
Z2 Z0
¼
Z1 Z 2 Z 0
IR
E
Z1 Z 2 Z 0
0
ª
Z0
Z2 º
«1 »
¬ Z2 Z0 Z2 Z0 ¼
[2.39]
Finalmente, hallamos las expresiones para las diversas tensiones de fase. Si realizamos los cálculos
para la fase (R) y calculamos las tensiones correspondientes a las componentes simétricas mediante las
ecuaciones (C) e introducimos estas expresiones en las ecuaciones (A) de la tensión de la fase (R):
E Z1
E
E Z2 Z0

o VR1
Z1 Z 2 Z1 Z 0 Z 2 Z 0
o VR1
E I R1 Z1
o VR 2
I R 2 Z 2
I R1
Z2 Z0
Z2 Z0
E Z2 Z0
Z2 Z0

o VR 2
Z1 Z 2 Z1 Z 0 Z 2 Z 0 Z 2 Z 0
o VR 0
I R0 Z0
I R1
Z0 Z2
Z2 Z0
E Z2 Z0
Z0 Z2

o VR 0
Z1 Z 2 Z1 Z 0 Z 2 Z 0 Z 2 Z 0
Z1 Z 2 Z 0
E Z1
E
Z2 Z0
Z1 Z 2 Z1 Z 0 Z 2 Z 0
E
Z2 Z0
Z1 Z 2 Z1 Z 0 Z 2 Z 0
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
E
Z2 Z0
Z1 Z 2 Z1 Z 0 Z 2 Z 0
...
Redes de secuencia y componentes simétricas
69
Así, la tensión en la fase (R) será:
VR
VR1 VR2 VR0
3E
Z2Z0

o
Z1 Z 2 Z1Z 0 Z 2 Z 0
VR
1'1 3 ·U n
Z2Z0
Z 1 Z 2 Z 1 Z 0 Z 2 Z 0 [2.40]
Operando de igual forma para las restantes tensiones entre fase y neutro (VS y VT), tendremos:
o VS
o VT
VR1 a 2 VR 2 a VR 0
VR1 a VR 2 a 2 VR 0
E
Z2 Z0
a2 a 1
Z1 Z 2 Z1 Z 0 Z 2 Z 0
Z2 Z0
E
a a2 1
Z1 Z 2 Z1 Z 0 Z 2 Z 0
½
0°
°
VS
°
¾Ÿ
°
VT
0°
°¿
0
0
[2.41]
Valores lógicos, ya que si las dos fases (R y S) estaban conectadas a tierra, los valores de las mismas
deben se nulos, como ha quedado demostrado analíticamente.
Por tanto, en los cortocircuitos bifásicos con contacto a tierra se dan las mismas circunstancias que en
los cortocircuitos bifásicos sin contacto a tierra. Inicialmente aparecen unas corrientes simétricas de
cortocircuito menores que las halladas para los cortocircuitos trifásicos. Sin embargo, si el punto de falta
está próximo a máquinas síncronas o asíncronas de cierta potencia, la corriente inicial de cortocircuito
puede llegar a ser mayor que la correspondiente a un cortocircuito trifásico. Por este motivo, y por que
presentan unas pérdidas a tierra, es importante incluir su cálculo en los proyectos para dimensionar los
dispositivos de protección y evitar interferencias.
2.4.4 Cortocircuito monofásico a tierra
El cortocircuito monofásico a tierra es el cortocircuito más frecuente en las redes con neutro puesto
directamente a tierra o mediante una impedancia de bajo valor. Es también el más violento de los
cortocircuitos, resultando asimismo de gran utilidad para el cálculo de las tensiones de contacto, tensiones
de paso, puestas a tierra y para la determinación de las interferencias con otros sistemas de energía. La
figura 2.29, nos muestra un circuito eléctrico afectado por este cortocircuito.
R
S
G
T
I" k1
Figura 2.29 Circuito eléctrico correspondiente a un cortocircuito monofásico a tierra
Las condiciones iniciales para este cortocircuito son:
VR = 0
I S = IT = 0
Dado que hay fugas a tierra y que el comportamiento de una fase difiere de las restantes, en este tipo de
cortocircuito será necesario considerar las secuencias directa (siempre que exista un circuito eléctrico
existirá esta secuencia), inversa (será necesaria cuando existan desequilibrios) y homopolar (necesaria
cuando existan fugas de energía a tierra)
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
70
Para realizar los cálculos, en primer lugar, y mediante las ecuaciones (B) introduciremos las
condiciones iniciales para estos cortocircuitos, con lo que obtendremos las expresiones de las intensidades
que circulan por los circuitos de las diversas redes de secuencia.
o I R1
o IR2
o IR0
1
1 ½
I R IS a I T a 2
IR
3
3 °
°
1
1 °
2
o I R1
I R IS a I T a
IR ¾ 
3
3 °
1
1
°
I R IS I T
IR
°
3
3
¿
IR2
IR0
1
IR
3
[2.42]
Como las intensidades de las fases (S) y (T) son nulas, todas las componentes simétricas de las
intensidades serán iguales y de valor un tercio de la intensidad de línea de la fase (R).
A igual resultado, se podría haber llegado de forma directa, si hubiésemos realizado el esquema del
circuito equivalente de las componentes simétricas, teniendo presente que debe cumplirse que las tres
componentes de las intensidades son iguales, lo que obliga a la conexión de los circuitos equivalentes de
la forma que nos muestra la figura 2.30.
Z1
E
IR1
VR 1
Z2
IR 2
VR 2
Z0
IR 0
VR 0
Figura 2.30 Red de componentes simétricas correspondiente a un cortocircuito monofásico a tierra
A continuación podemos hallar el valor de la intensidad que circulará por la red de secuencia directa.
Para ello utilizaremos las ecuaciones (A) para la tensión simple de la fase (R) de la red trifásica (la cual
sabemos que es nula), juntamente con las ecuaciones (C). Además, utilizaremos los resultados anteriores
en los que se demuestra la igualdad de las tres intensidades de las componentes simétricas.
VR
0
V R1 V R2 V R0
E I
R1
Z 1 I R2 Z 2 I R0 Z 0 Ÿ E
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
I R1 Z 1 Z 2 Z 0
Redes de secuencia y componentes simétricas
71
E
Z1 Z 2 Z 0
I R1
[2.43]
Este resultado nos permite hallar las expresiones de las intensidades de línea que circularán por cada
una de las fases de nuestra red trifásica. Para ello utilizaremos las ecuaciones (A) referidas a las
intensidades de las fases (R, S y T).
IR
I R1 I R 2 I R 0
IS
K
IT
3I R1
3
E
Z1 Z 2 Z 0
3
1'1·U n
½
1
°
IR
Z
Z
Z
3
1
2
0 °
°
¾Ÿ
°
°
IS
°¿
0
1'1·U n 3
Z1 Z 2 Z 0
[2.44]
IT
0
Finalmente, buscamos las expresiones de las tensiones entre fase y neutro de las diferentes fases de la
red trifásica. Para ello, utilizaremos las ecuaciones (A):
VR1 a 2 VR 2 a VR 0
o VS
...
Ea 2 Z1 a 2
a 2 E I R1 Z1 a I R 2 Z 2 I R 0 Z 0
...
E
E
E
Z2a
Z0
Z1 Z 2 Z 0
Z1 Z 2 Z 0
Z1 Z 2 Z 0
Agrupando términos obtendremos:
VS
1'1·U n § 2 Z1a 2 Z 2 a Z 0
¨a Z1 Z 2 Z 0
3 ¨©
·
¸
¸
¹
[2.45]
Operando de igual forma para la tensión entre fase y neutro de la fase (T):
o VT
...
VR1 a VR 2 a 2 VR 0
E a Z1 a
a E I R1 Z1 a 2 I R 2 Z 2 I R 0 Z 0
...
E
E
E
Z2 a 2
Z0
Z1 Z 2 Z 0
Z1 Z 2 Z 0
Z1 Z 2 Z 0
Y agrupando términos obtendremos:
VT
Z a Z2 a 2 Z0
1'1·U n §
¨a 1
Z1 Z 2 Z 0
3 ¨©
·
¸
¸
¹
[2.46]
Finalmente, de las condiciones iniciales para este tipo de cortocircuitos, tendremos que la tensión entre
fase y neutro de la fase (R) será:
VR
0
[2.47]
En resumen, los cortocircuitos unipolares a tierra son los cortocircuitos más frecuentes. En redes con
puesta a tierra rígida o con puesta a tierra a través de una impedancia de bajo valor óhmico, la corriente de
cortocircuito a tierra puede superar a la mayor corriente de cortocircuito que aparece en caso de un fallo
trifásico. Estas corrientes también deben tenerse presentes a la hora de determinar las tensiones de
contacto, al resolver problemas de interferencias o al dimensionar las instalaciones de puesta a tierra.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
72
2.5 CUESTIONES Y PROBLEMAS
CUESTIONES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
¿Cómo se realiza el cálculo de los sistemas eléctricos trifásicos equilibrados? ¿Cómo se realiza el
cálculo de los sistemas eléctricos trifásicos desequilibrados?
¿En qué consiste el método de las componentes simétricas? ¿Qué es un circuito equivalente o de
secuencia? ¿Cuántos circuitos equivalentes o redes existen para cada elemento de un sistema
trifásico?
¿A qué se denomina red de secuencia de un circuito eléctrico? ¿Qué tipos de redes de secuencia
existen? ¿Qué elementos contienen estas redes de secuencia?
¿Cómo se construye una red de secuencia? ¿Qué nos indica una red de secuencia? ¿Cómo se realiza
la conversión de una red de secuencia directa a una red de secuencia inversa? ¿Y de una red de
secuencia directa a una red de secuencia homopolar?
¿Cuál es el voltaje de referencia en una red de secuencia directa? ¿Y en una red de secuencia inversa?
¿Y en una red de secuencia homopolar? ¿Cómo han de considerarse las impedancias que se
encuentren situadas entre el neutro y tierra en las tres redes de secuencia anteriores?
Indicar los circuitos de secuencia individuales más importantes.
¿A qué se denomina impedancia a la corriente de secuencia directa? ¿Y a la impedancia a la corriente
de secuencia inversa? ¿Y a la impedancia de la corriente de secuencia homopolar?
Explicar en que consiste el análisis de fallos asimétricos en sistemas simétricos.
Indicar cómo serán las impedancias de secuencia directa, inversa y homopolar de las máquinas
giratorias.
Indicar cómo serán las impedancias de secuencia directa, inversa y homopolar de los
transformadores.
Indicar cómo serán las impedancias de secuencia directa, inversa y homopolar de las líneas de
transporte de energía.
¿Qué nos muestra la red de una secuencia particular? ¿Cómo se efectúa el paso de una red de
secuencia directa a una red de secuencia inversa? ¿Son iguales las impedancias de los generadores en
las dos secuencias?
¿Cómo es el circuito eléctrico para simular el comportamiento de una red de secuencia directa? ¿Y
para simular una red de secuencia inversa? ¿Cómo se considerarán las impedancias situadas entre el
neutro y tierra en las redes de secuencia directa e inversa? ¿Cuál será el voltaje de referencia para
estas dos redes de secuencia?
¿Qué nos muestra la red de secuencia homopolar? ¿Cómo se efectúa el paso de una red de secuencia
directa a una red de secuencia homopolar? ¿Son iguales las impedancias de las líneas entre las redes
de secuencia directa y homopolar?
¿Cómo es el circuito eléctrico para simular el comportamiento de una red de secuencia homopolar?
¿Cómo se considerarán las impedancias situadas entre el neutro y tierra en la red de secuencia
homopolar? ¿Cuál será el voltaje de referencia para la red homopolar?
¿Pueden tener componentes homopolares los sistemas conectados en triángulo? Razonar la respuesta.
Comentar e indicar el esquema eléctrico y las redes monofásicas equivalentes (directa, inversa y
homopolar) de un generador sin carga conectado en estrella y asilado de tierra.
Comentar e indicar el esquema eléctrico y las redes monofásicas equivalentes (directa, inversa y
homopolar) de un generador sin carga conectado en estrella y puesto rígidamente a tierra.
Comentar e indicar el esquema eléctrico y las redes monofásicas equivalentes (directa, inversa y
homopolar) de un generador sin carga conectado en estrella y conectado a tierra mediante una
impedancia limitadora.
Comentar e indicar el esquema eléctrico y las redes monofásicas equivalentes (directa, inversa y
homopolar) de un generador sin carga conectado en triángulo.
¿Cómo se construyen las redes de secuencia directa e inversa de los transformadores? ¿Cómo se
construye la red de secuencia homopolar de un transformador? ¿Cuáles son los tipos de conexionados
más frecuentes entre transformadores?
Comentar e indicar el esquema eléctrico y la red monofásica homopolar equivalente de un
transformador con conexión estrella-estrella (Y-Y), con las dos estrellas aisladas de tierra.
Comentar e indicar el esquema eléctrico y la red monofásica homopolar equivalente de un
transformador con conexión estrella-estrella (Y-Y), con una estrella puesta a tierra.
Comentar e indicar el esquema eléctrico y la red monofásica homopolar equivalente de un
transformador con conexión estrella-estrella (Y-Y), con las dos estrellas puestas a tierra.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Redes de secuencia y componentes simétricas
73
25. Comentar e indicar el esquema eléctrico y la red monofásica homopolar equivalente de un
transformador con conexión estrella-triángulo (Y-¨), con la estrella aislada de tierra.
26. Comentar e indicar el esquema eléctrico y la red monofásica homopolar equivalente de un
transformador con conexión estrella-triángulo (Y-¨), con la estrella puesta a tierra.
27. Comentar e indicar el esquema eléctrico y la red monofásica homopolar equivalente de un
transformador con conexión triángulo-triángulo (¨-¨).
28. ¿En qué se basa el método de las componentes simétricas? ¿En qué tipo de cortocircuito no es
necesaria la aplicación del método de las componentes simétricas? ¿Por qué?
29. Dibujar los tres sistemas de componentes simétricas en el plano de Gauss de un supuesto circuito
eléctrico. Dibujar también los circuitos eléctricos que permiten simular a las tres redes de secuencia
anteriores.
30. Hallar las ecuaciones de las componentes simétricas tipo (A) aplicadas a las tensiones, mediante la
utilización del operador (a).
31. De las ecuaciones de las componentes simétricas tipo (A), halladas en la pregunta anterior aplicadas a
las tensiones, obtener las ecuaciones tipo (B) también aplicadas a las tensiones.
32. Expresar las ecuaciones de las componentes simétricas tipo (C) para un sistema eléctrico concreto.
Dibujar asimismo los circuitos eléctricos que acompañan a estas ecuaciones tipo (C).
33. Demostrar analíticamente por qué es posible despreciar la intensidad de carga y considerar solamente
la tensión en el punto de cortocircuito, al efectuar el cálculo de la intensidad inicial simétrica de
cortocircuito.
34. Hallar analíticamente las expresiones de las tensiones de fase (simples) de un cortocircuito trifásico,
a partir de sus condiciones iniciales.
35. Hallar analíticamente la expresión de la intensidad de la fase (S) suponiendo a la fase (R) como
referencia para un cortocircuito bifásico, a partir de sus condiciones iniciales.
36. Hallar analíticamente la expresión de la tensión en la fase (R) suponiéndola como fase de referencia
para un cortocircuito bifásico, a partir de sus condiciones iniciales.
37. Hallar analíticamente la expresión de la intensidad de la fase (T) suponiendo a la fase (R) como
referencia para un cortocircuito bifásico a tierra, a partir de sus condiciones iniciales.
38. Hallar analíticamente la expresión de la tensión de la fase (R) suponiéndola como fase de referencia
para un cortocircuito bifásico a tierra, a partir de sus condiciones iniciales.
39. Hallar analíticamente la expresión de la intensidad de la fase (R) suponiéndola como fase de
referencia para un cortocircuito monofásico a tierra, a partir de sus condiciones iniciales.
40. Hallar analíticamente la expresión de la tensión de la fase (T), suponiendo a la fase (R) como
referencia para un cortocircuito monofásico a tierra, a partir de sus condiciones iniciales.
PROBLEMAS
Para la consulta de problemas resueltos, remitimos al lector a los capítulos III y IV de esta obra. Es
preferible empezar con problemas sencillos que permitan afianzar los conocimientos y ganar confianza en
su resolución, para posteriormente acometer el cálculo de problemas más complejos.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
II Problemas resueltos y propuestos de sistemas de potencia
75
MÓDULO II. PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
FALLOS EN SISTEMAS DE POTENCIA
PRESENTACIÓN
Con este segundo módulo, formado por los capítulos III y IV, se pretende, una vez asimilados los
conceptos teóricos dados para sistemas de potencia trabajando en régimen transitorio (debido a una
sobrecarga, un cortocircuito o la rotura accidental de una fase), puedan llevarse a la práctica mediante la
resolución de problemas de diversa complejidad. Concretamente el módulo está dividido en dos capítulos
bien diferenciados, ya que mientras que el capítulo III (problemas resueltos de cálculo de fallos en
sistemas eléctricos de potencia) permite afianzar los conocimientos adquiridos y ganar confianza en la
resolución de problemas, el capítulo IV (problemas propuestos de cálculo de fallos en sistemas de
potencia) propone una serie de enunciados con sus respectivas soluciones para que el lector pueda
ejercitarse en su resolución y comprobar así el nivel de asimilación obtenido a lo largo del estudio de la
materia del libro.
El capítulo III está formado por problemas completamente resueltos y comentados del cálculo de los
sistemas eléctricos de potencia con funcionamientos anómalos, es decir, con fallos eléctricos. Así el
cálculo de sobrecargas, cortocircuitos, dimensionado de sistemas de protección, puestas a tierra, o la
selectividad entre protecciones entrarán a formar parte de este capítulo. Para la resolución de estos
problemas se han utilizado los métodos explicados en los capítulos II y II de teoría, recordándose que
aunque no son los únicos que permiten el cálculo de fallos en sistemas de potencia, sí son los más
utilizados. En concreto, el capítulo está formado por diez problemas, estructurados de forma que la
dificultad aumenta de forma progresiva, por ello, se aconseja seguir el orden establecido por el libro para
una mejor comprensión y más rápida asimilación de los mismos. El capítulo está formado por dos
problemas de cálculo de cortocircuitos trifásicos, lo que nos permitirá dimensionar los dispositivos de
protección (relés térmicos, magnéticos, diferenciales y fusibles), así como analizar sus sistemas de
coordinación o selectividad entre sus componentes. Los tres problemas siguientes versan sobre la
aplicación de las componentes simétricas y el empleo de las redes de secuencia, para hallar las
solicitaciones eléctricas con cualquiera de los tipos de cortocircuitos explicados, en el punto de la falta.
Finalmente, los últimos tres problemas hacen referencia al calculo de las corrientes y tensiones de
cortocircuito no sólo en el punto donde se produce la falta, sino en cualquier parte de la red. Sin duda es
en estos tres últimos problemas donde puede comprenderse con más claridad las ventajas que ofrece la
utilización de las redes de secuencia y el método de las componentes simétricas, ya que los cálculos se
llevan hasta sus últimas consecuencias.
En el capítulo IV, con una experiencia ya adquirida en la resolución de problemas de fallos o defectos
eléctricos que pueden afectar a un sistema de potencia, se proponen unos enunciados de problemas con
sus respectivas soluciones. En este capítulo se ha dado importancia a los defectos debidos a sobrecargas,
así como al cálculo de los más diversos tipos de cortocircuitos. Concretamente, los primeros enunciados
versan sobre el diseño de las protecciones eléctricas, el poder de cierre o de corte y la selectividad entre
los sistemas de protección; estos problemas nos introducirán en el estudio de uno de los cortocircuitos
más violentos, el cortocircuito trifásico. Posteriormente, un buen número de problemas versan sobre el
cálculo de las solicitaciones eléctricas en el punto de falta para los diversos tipos de cortocircuitos, siendo
ya necesario el empleo de las componentes simétricas. Finalmente, los últimos enunciados de problemas
se corresponden con el estudio más completo de los fallos eléctricos, ya que en ellos no sólo se calculan
las corrientes y tensiones para cualquier cortocircuito en el punto de la falta, sino que se extiende su
cálculo a cualquier punto de la red. Son los problemas más reales y en los que el método de las
componentes simétricas y redes de secuencia destacan por su eficacia. Este capítulo abarca un total de 20
enunciados de problemas con sus respectivas soluciones.
CONTENIDOS
x
x
Capítulo III: Problemas resueltos de cálculo de fallos en sistemas eléctricos de potencia.
Capítulo IV: Problemas propuestos de cálculo de fallos en sistemas eléctricos de potencia.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
76
OBJETIVOS
Problemas resueltos de cálculo de fallos en sistemas eléctricos de potencia
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Conocer las particularidades de los sistemas y dispositivos de protección actuales (relé térmico,
magnético, diferencial, fusibles, etc.).
Conocer las características que definen la coordinación de los sistemas de protección.
Saber que es la intensidad y el factor de arranque en un relé térmico.
Saber que es el poder de corte, el poder de cierre y la potencia aparente de desconexión.
Saber calcular los factores (q, µ, y Ȥ) en las tablas correspondientes.
Calcular las impedancias equivalentes directas de cortocircuito en un punto determinado de la red.
Calcular los cortocircuitos trifásicos en cualquier punto de un circuito.
Saber dibujar las redes de secuencia directa, inversa y homopolar para diversos componentes y
disposiciones de las redes eléctricas.
Saber calcular las impedancias equivalentes para las redes directa, inversa y homopolar para redes
con diferentes niveles de tensión.
Saber calcular las intensidades y tensiones de cortocircuito en el punto de falta, delante de los
cortocircuitos bifásicos, bifásicos a tierra y monofásicos a tierra.
Saber calcular la corriente máxima asimétrica de cortocircuito y la intensidad de corte en una falta.
Saber calcular las intensidades y tensiones de cortocircuito no sólo en el punto de falta, sino en
cualquier punto del circuito delante de los cortocircuitos bifásicos, bifásicos a tierra y monofásicos a
tierra.
Problemas propuestos de cálculo de fallos en sistemas eléctricos de potencia
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Conocer las particularidades de los sistemas y dispositivos de protección actuales (relé térmico,
magnético, diferencial, fusibles, etc.). Conocer las características que definen la coordinación de los
sistemas de protección.
Saber que es la intensidad y el factor de arranque en una sobrecarga. Saber que es el poder de corte,
el poder de cierre y la potencia aparente de desconexión. Saber calcular los factores (q, µ, y Ȥ) en las
tablas correspondientes.
Calcular las impedancias equivalentes directas de cortocircuito en un punto determinado de la red.
Calcular los cortocircuitos trifásicos en cualquier punto de un circuito.
Saber calcular la corriente máxima asimétrica de cortocircuito y la intensidad de corte en una falta.
Saber dibujar las redes de secuencia directa, inversa y homopolar para diversos componentes, niveles
de tensión y disposiciones de redes eléctricas.
Saber calcular las intensidades y tensiones de cortocircuito en el punto de falta, delante de los
cortocircuitos bifásicos, bifásicos a tierra y monofásicos a tierra.
Saber calcular las intensidades y tensiones de cortocircuito no sólo en el punto de falta, sino en
cualquier punto del circuito delante de los cortocircuitos bifásicos, bifásicos a tierra y monofásicos a
tierra.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
77
CAPÍTULO III.
PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE FALLOS EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
PROBLEMA 3.1
Dimensionar los interruptores de protección del circuito de la figura, una subestación de distribución
interconectada a una central generadora. La potencia prevista que se distribuirá a través del embarrado
“B”, coincide con la potencia nominal del transformador. Las líneas de salida del embarrado llevan cada
una su correspondiente protección. (Para realizar los cálculos suponer cortocircuitos trifásicos).
DATOS
Generador………14MVA……20kV……….X’’=0.16……..X2=0.18…….X0=0.05
H
Transformador….25MVA…120/20kV……. cc=0.07…….Dynll…….…..n=6
Líneas :
Línea L1 ……………………………XL1=8.5 : ……RL1=2.5 :
Línea L2………………..…………..XL2=0.11 : …..RL2=0.09 :
Línea L3 ……………………………XL3=0.57 : …..RL3=0.5 :
x
Intensidades nominales para interruptores de protección estándar
100A,
125A,
160A,
200A,
250A,
315A,
400A,
630A,
800A,
1250A,
1600A,
2000A,
2600A.
x
Poderes de corte y de cierre para interruptores de protección estándar
3.15kA,
10KA,
16KA,
20kA,
31.5kA,
40kA,
50kA,
63kA,
100kA
Red
Scc=infinito
120kV
Figura 3.1 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 3.1
HALLAR:
Delante de una falta trifásica en diversos puntos del circuito, se pide para cada interruptor:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
78
1
Intensidad nominal de los interruptores. Dar un valor normalizado.
2
Protección térmica contra sobrecargas, es decir, ajuste de las curvas a tiempo inverso. Intensidades de
arranque (Ir). Considérese un margen de seguridad de un 10%. Coeficientes de arranque.
3
3
Protección magnética contra cortocircuitos, es decir, ajuste de las curvas a tiempo independiente o
instantáneo. Para ello suponer cortocircuitos en los embarrados “A” y “B”.
4
Indicar el poder de cierre y el poder de corte para cada interruptor, así como las intensidades de cierre
y de corte. Para ello suponer cortocircuitos trifásicos en bornes de cada interruptor.
RESOLUCIÓN
1. y 2. Hallamos los relés térmicos (protección contra las sobrecargas)
x
Para dimensionar los relés térmicos es necesario seguir unas pautas de cálculo:
x
x
Primeramente se calculará la intensidad de carga (la intensidad de funcionamiento) del interruptor.
Seguidamente se calcula la intensidad de arranque de cada interruptor (normalmente será entre un
10% o un 15% más elevada que la intensidad de carga).
Una vez hallada esta intensidad de arranque, se buscará en catálogos de casas comerciales,
interruptores con intensidades mayores que las de arranque calculadas (normalmente, entre un 20% y
un 100% mayores que éstas). Al buscar los posibles relés, se tendrá también en cuenta el tipo de
curva más adecuada para la zona a proteger por los interruptores, así como los retardos adicionales.
Con los relés elegidos, ya se podrán buscar los coeficientes de arranque correspondientes,
simplemente para ello, se dividirá, el valor de la intensidad de arranque por la intensidad nominal del
relé (será el ajuste que deberemos efectuar, para adaptar las intensidades nominales que las casas
comerciales ofrecen, a los valores que nosotros necesitamos y que hemos obtenido por cálculo).
x
x
Procedemos a buscar estos parámetros:
x
Intensidad de carga para cada uno de los relés térmicos:
I c1
I c2
25 ˜10
6
3 ˜120 ˜10
3
25 ˜10 6
3 ˜ 20 ˜10 3
120.3 A
I c3
721.7 A
I c4
14 ˜10
Ic
Sn
3 ˜U n
6
3 ˜ 20 ˜10 3
25 ˜10 6
3 ˜ 20 ˜10 3
404.1A
721.7 A
Recordar que el transformador no modifica las potencias ni la frecuencia.
x
x
La intensidad de arranque de cada interruptor (aumentamos un 10% las intensidades de carga de
los interruptores para evitar disparos no deseados con el normal funcionamiento del sistema):
I 1arrq
120.3·1.1 132.3 A
I 2 arrq
794 A
I 3arrq
444.5 A
I 4 arrq
794 A
Las intensidades nominales de los interruptores: deben ser mayores que las intensidades de
arranque: ( I n ! I arrq ) hallándose éstas por catálogo (consultar la sección datos para obtener una
relación de las intensidades nominales de los interruptores más usuales):
x
I n1
400 A
I n2
I n4
I n3
800 A
1250 A
Los coeficientes de arranque son:
C arrq
I arrq
In
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
C1arrq
C 3arrq
132.3
400
444.5
800
79
0.33
C 2arrq
C 4arrq
794
1250
0.635
0.556
3. y 4. Hallamos los relés magnéticos (protección contra cortocircuitos)
Primeramente hallaremos todas las impedancias que afectan al circuito, teniendo presente el nivel de
tensión al que las calculamos, ya que cuando realizaremos cálculos generales será imprescindible pasar
todas las impedancias a un mismo nivel de tensión, el nivel que deseemos, pero siempre igual para todas
(los cambios de tensión, debe recordarse que se producen siempre en los transformadores).
x
Impedancias del circuito: con una tilde ( ' ) señalizaremos las impedancias al nivel bajo de tensión.
x
Acometida (a 120kV)
ZQ
x
Transformador (a 120kV)
U 2T
120000 2
Z T Hcc˜
0.07 ˜
ST
25 ˜10 6
RT
XT
x
U 2T
ST
Z T RT
X cc ˜
U 2g
Sg
0.005 ˜
Z ' L3
1 .1 ˜
120 2
f
0:
40.32:
120000 2
25 ˜10 6
2.88: (El valor de 0.005 se ha obtenido en tablas)
j 40.21:
ZT
( R jX )
(2.88 j 40.21)
0.16 ˜
20000 2
14 ˜10 6
j 4.57:
0.18 ˜
20000 2
14 ˜10 6
j 5.14:
0.09 j 0.11
0.5 j 0.57
40.31‘85.9º :
R1g
Z g ' ( R jX )
0.07 ˜ X 1g
0.32:
(0.32 j 4.57)
4.58‘86º :
0.14‘50.71º :
0.76‘48.74º :
Relación de transformación
m
x
U 2Q
SQ
Líneas (línea 1º a 120kV, líneas 2º y 3º a 20kV)
Z L 1 2.5 j8.5 8.86‘73.6º :
Z ' L2
x
H CCR ˜
Generador (a 20kV)
U 2g
X 1g X cc ˜
Sg
X 2g
x
1.1 ˜
U1
U2
120
20
6
Intensidad de cortocircuito que afectan a cada interruptor (cortocircuitos trifásicos)
Los interruptores automáticos sirven para proteger un circuito contra las sobrecargas y los
cortocircuitos. Pero primeramente resulta imprescindible protegerlos a ellos mismos, es por ello que se
determina que poder de corte y que poder de cierre les corresponde delante de los cortocircuitos más
desfavorables que pueden darse (cuando se produce un cortocircuito muy cercano a ellos, ya que en éstas
circunstancias la impedancia es muy pequeña, siendo la intensidad la mayor posible).
x
x
Según la norma VDE 0102, resulta muy improbable un cortocircuito en el interior del propio
interruptor, por lo que para calcular la situación más desfavorable se supone cortocircuitos justo en
los bornes del relé (en el exterior).
Si el cortocircuito se produce en el exterior del relé, como mínimo pueden darse dos casos: que el
cortocircuito se produzca en la parte superior del relé, o por el contrario, que el cortocircuito se
produzca en la parte inferior del relé.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
80
Protección de sistemas eléctricos de potencia
x
Tanto si se produce el cortocircuito por la parte superior, como por la parte inferior del relé, y
recordando que cuando se produce un cortocircuito todas las intensidades van a parar al punto de
cortocircuito (punto del circuito con la mínima impedancia), por el interior del relé nunca pasará el
valor total de la intensidad de cortocircuito (para que pasara el valor total de la intensidad de
cortocircuito, sería necesario que el cortocircuito se produjera en el interior del relé, caso altamente
improbable), sino una de las dos aportaciones, la superior o la inferior, dependiendo del lugar donde
se halla producido el cortocircuito.
Se desglosa, por tanto, el cálculo de la intensidad de cortocircuito, por las aportaciones de corriente
que llegan por su parte superior (Up) o por las aportaciones de corriente que lo hacen por su parte
inferior (Down). Existiendo, pues, dos posibles aportaciones de las corrientes de cortocircuito:
x
1.
2.
Que el cortocircuito se produzca “aguas abajo” del interruptor: en tal caso, sólo se tendrá en cuenta
la aportación de corriente de cortocircuito correspondiente al tramo superior, ya que ésta será la
única que pasará a través del interruptor (que es la que nos interesa, denominándose UP).
Que el cortocircuito se produzca “aguas arriba” del interruptor: en tal caso, sólo se tendrá en cuenta
la aportación de corriente de cortocircuito correspondiente al tramo inferior, ya que ésta será la única
que pasará a través del interruptor (que es la que nos interesa, denominándose DOWN).
Teniendo presente lo expuesto en los puntos precedentes, calcularemos para cada interruptor los
valores de las intensidades de cortocircuito correspondientes tanto a las aportaciones que se producen por
la parte superior como a las aportaciones de corriente que se producen por la parte inferior.
-
Interruptor 1º (a 120kV)
I kcc3U
Un
1 .1 ˜
3 ˜ ZK
Z KU
I kcc3D
1,1 ˜
-
3 ˜ 8.86‘73.6º
Z Q Z L1
Un
3 ˜ ZK
Z KD
120000‘0º
1.1 ˜
8601.6‘ 73.6º A
(2.5 j8.5) 8.86‘73.6º :
120000‘0º
1,1 ˜
3 ˜ 209.4‘85.2º
Z T (Z L 2 Z G ) ˜ m 2
365‘ 85.2º A
(17.64 j 208.7)
209.4‘85.2º :
Interruptor 2º (a 20kV)
I kcc3U
1,1 ˜
Un
3 ˜ ZK
Z KU
I kcc3D
1,1 ˜
20000‘0º
3 ˜ 1.361‘83.7º
Z Qc Z Lc 1 Z Tc
Un
3 ˜ ZK
Z KD
1,1 ˜
1,1 ˜
(0.149 j1.353) 1.361‘83.7º :
20000‘0º
(Z L2 Z G )
9332.6‘ 83.7 º A
3 ˜ 4.7‘85º
2702.5‘ 85º A
(0.41 j 4.68)
4.7‘85º :
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
-
Interruptor 3º (a 20kV)
I kcc3U
Un
1 .1 ˜
3 ˜ ZK
Z KU
I kcc3D
Un
1.1 ˜
20000‘0º
1 .1 ˜
3 ˜ 1.361‘83.7 º
Z Qc Z Lc 1 Z Tc
3 ˜ ZK
Z KD
-
81
1 .1 ˜
(0.149 j1.353) 1.361‘83.7º :
20000‘0º
2702.5‘ 85º A
3 ˜ 4.7‘85º
( Z L 2 Z G )' (0.41 j 4.68)
Interruptor 4º (A 20kV)
Un
20000‘0º
I kcc3U 1.1 ˜
1.1 ˜
3 ˜ 1.055‘84º
3 ˜ ZK
Z KU
Ikcc3D
9332.6‘ 83.7 º A
4.7‘85º :
12039.5‘ 84º A
( Z Qc Z Lc 1 Z Tc ) //( Z L 2 Z g )' (0.1104 j1.05) 1.056‘84º :
0 A Porque los sumideros son consumidores de intensidad (no existe aportación por la
parte inferior)
x
Poder de cierre de los interruptores
Nota: Para una correcta comprensión de la corriente máxima asimétrica de cortocircuito (Is) y de la
corriente de corte (Ia), nos remitimos al problema 3.3 de este mismo capítulo y a los anexos, donde de
forma detallada se exponen los conceptos, gráficas, cálculos, y otros aspectos concernientes a estas
intensidades.
Para hallar el poder de cierre es necesario obtener la máxima corriente asimétrica de cortocircuito. Ésta
se halla con los valores de las corrientes de cortocircuitos iniciales más desfavorables (los cortocircuitos
producidos en las inmediaciones de los interruptores), multiplicados por el factor ( F ), el cual se obtiene
gráficamente mediante la relación (R/X) para cada una de las impedancias de cortocircuito (gráfica 12.1
de los anexos).
-
Interruptor 1º
I sU
2 ˜ F 1U ˜ I kcc3
17030.3‘ 73.6º A o F 1U
I sD
2 ˜ F 1D ˜ I kcc3
929.1‘ 85.2º A o F 1D
Con:
Con:
-
R
XL
R
XL
2.5
8.5
17.64
208.7
1.4
1.8
0.294 entrando en la tabla 12.1, obtenemos: F 1U
0.084 entrando en la tabla 12.1, obtenemos: F 1D
1.4
1.8
Interruptor 2º
I sU
2 ˜ F 2U ˜ I kcc3
22701‘ 83.7º A o F 2U
1.72
I sD
2 ˜ F 2 D ˜ I kcc3
6803.0‘ 85º A
1.78
o F 2D
Con:
R
XL
0.149
1.353
0.1101 entrando en la tabla 12.1, obtenemos: F 2U
1.72
Con:
R
XL
0.410
4.68
0.087 entrando en la tabla 12.1, obtenemos: F 2 D
1.78
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
82
-
Interruptor 3º
Este interruptor coincide con el anterior, ya que si se desprecian las impedancias propias de los
interruptores, y las impedancias de las barras de conexión, el cortocircuito producido en bornes del
interruptor I3 es a todos los efectos el mismo que en bornes del interruptor I2.
-
I sU
2 ˜ F 3U ˜ I kcc3
22701‘ 83.7º A o F 3U
I sD
2 ˜ F 3 D ˜ I kcc3
6803‘ 85º A
o F 3D
1.72
1.78
Interruptor 4º
I sU
2 ˜ F 4U ˜ I kcc3
28944.9‘ 84º A o F 4U
I sD
2 ˜ F 4 D ˜ I kcc3
0A
1.7
(no existe aportación inferior ya que en barras "B" hay
consumidores).
R
XL
Con:
0.1105
1.050
0.1050 entrando en la tabla 12.1, obtenemos: F 4U
1.70
Vistos estos valores, el poder de cierre para todos los interruptores será aproximadamente el doble del
valor de la intensidad más alta, en éste caso, de 50kVA.
x
Poder de corte de los interruptores
Para determinar el poder de corte, debemos primeramente conocer la intensidad de cortocircuito inicial
que fluirá desde cada generador, motor síncrono, red o motor asíncrono hacia el punto de cortocircuito.
Una vez hallada esta intensidad inicial de cortocircuito, se aplicarán los coeficientes correctores "P" y "q"
dados en las gráficas 12.2 y 12.3 respectivamente de los anexos.
Como no hay motores asíncronos en el sistema de potencia, el valor del coeficiente "q" será siempre la
unidad (q=1) (gráfica 12.3), ya que este coeficiente, como se indica en la citada gráfica, sólo se ve
afectado cuando el circuito dispone de motores asíncronos.
El factor " P " lo encontramos gráficamente mediante la relación Ickc 3 / I n (gráfica 12.2). Para ello
previamente se hallan las intensidades nominales de cada fuente de energía y las aportaciones que las
mismas fuentes entregan a las líneas que parten de ellas, obteniéndose así el cociente anterior.
El valor de la intensidad nominal del único generador existente en el circuito es:
I ng
Sn
14·10 6
Un· 3
20·10 3 · 3
404.1At v
0.1seg Como no hay motores asíncronos en el sistema de potencia, el valor del coeficiente "q" será siempre la
unidad (q=1). (gráfica 12.3), ya que este coeficiente, como se indica en la citada gráfica, sólo se ve
afectado cuando en el circuito existen motores asíncronos.
El factor " P " lo encontramos gráficamente mediante la relación Ickc 3 / I n (gráfica 12.2). Para ello
previamente se hallan las intensidades nominales de cada fuente de energía y las aportaciones que las
mismas fuentes entregan a las líneas que parten de ellas cuando se produce un cortocircuito, obteniéndose
el cociente anterior:
x
Interruptor 1º
I aU
I kcc3U ˜ P U ˜ qU
8601.6‘ 73.6º A o P U
I aD
I kcc3 D ˜ P D ˜ q D
273.7‘ 85.2º A o P D
''
K 3D
I
I ng
365·6
404.1
1
0.75
5.46 y con la tabla 12.2, obtenemos: PD = 0.75
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
83
Para la corriente superior, PU =1, ya que no hay motores asíncronos ni máquinas síncronas. En cambio,
para la corriente inferior, debe tenerse presente la presencia del generador. Nótese que para realizar el
cociente es necesario multiplicar por la relación de transformación la corriente de cortocircuito hallada en
los bornes del interruptor I1, para adaptarla así al nivel de tensión del generador. También debe recordarse
que no existirá aportación de corriente de cortocircuito a través del embarrado "B", ya que según nos
indican, sólo son consumidores de energía, no productores; así toda la corriente de cortocircuito será
proporcionada por el generador.
Interruptor 2º
x
I aU
I kcc3U ˜ P U ˜ qU
9332.6‘ 83.7 º A o P U
I aD
I kcc3 D ˜ P D ˜ q D
1945.8‘ 85º A o P D
I K'' 3 D
I ng
2702.5
404.1
1
0.72
6.69 y con la tabla 12.2, obtenemos: PD = 0.72
Para la corriente superior, PU =1, ya que no hay motores asíncronos ni máquinas síncronas. En cambio,
para la corriente inferior, debe tenerse presente la presencia del generador. Nótese que en esta ocasión, no
es necesario aplicar ningún cambio de relación de transformación, ya que tanto la intensidad de
cortocircuito como la intensidad nominal del generador están al mismo nivel de tensión (20kV). También
debe recordarse que no existirá aportación de corriente de cortocircuito a través del embarrado "B", ya
que según nos indican, sólo son consumidores de energía, no productores; así toda la corriente de
cortocircuito será proporcionada por el generador.
Interruptor 3º
x
I aU
I kcc3U ˜ P U ˜ qU
9332.6‘ 83.7 º A o P U
I aD
I kcc3 D ˜ P D ˜ q D
1945.8‘ 85º A
o PD
1
0.72
Los valores hallados para este interruptor coinciden con los del interruptor I2 (ya que entre ellos sólo se
encuentran los propios interruptores y las barras de interconexión) y hemos supuesto que estos elementos
carecen de impedancia.
Interruptor 4º
x
I aU
I kcc3red ˜ P1 ˜ q I kcc3 generador ˜ P 2 ˜ q
9339.6‘ 83.7 º˜1 ˜ 1 2697‘ 85º˜1 ˜ 0.72 11281‘ 83.9º A
Primeramente, y ha efectos de hallar la aportación de corriente de cortocircuito que tanto la red como el
generador proporcionan al punto de cortocircuito, debemos hallar que parte de la intensidad de
cortocircuito que proviene del generador y la que parte que proviene de la red, mediante un divisor de
intensidad.
I kcc3red
( Z g1 Z L 2 )
I kcc3 ˜
I kcc3 generador
( Z Qc Z Lc 1 Z Tc Z L 2 Z g1 )
I kcc3 ˜
12039.5‘ 84º
( Z Qc Z Tc Z Lc 1 )
( Z Qc Z Lc 1 Z Tc Z L 2 Z g1 )
4.7‘85º
6.06‘84.7 º
12039.5‘ 84º
9342.5‘ 83.71º A
1.361‘83.7 º
6.06‘84.7 º
2697‘ 85º A
Entonces, para la corriente superior tenemos al no existir máquinas giratorias: P red =1
La aportación de corriente por la parte inferior vendrá determinada por el generador síncrono:
I K'' 3
I ng
2697
404.1
6.67 y con la tabla 12.2, obtenemos: P generador = 0.72
La corriente de cortocircuito inferior será nula, ya que sólo existen consumidores a través de las barras
"B".
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
84
I aD
I kcc3 ˜ P ˜ q
0 A (ya que no existe aportación de corriente por la parte inferior)
Al igual que el poder de cierre, el poder de corte debe ser aproximadamente el doble del valor
máximo encontrado, en este caso será suficiente con unos 20KA.
x
PROTECCIÓN MAGNÉTICA
Una vez protegidos los propios interruptores (poder de cierre y poder de corte), debemos proteger
mediante estos interruptores al resto del circuito. Para ello se sigue un procedimiento radicalmente
opuesto al anterior; si para la protección de los interruptores buscábamos las intensidades de
cortocircuitos máximas, y por tanto los cortocircuitos se debían dar lo más cerca posible de los
interruptores, ahora para la protección del circuito deben buscarse las intensidades mínimas que pueden
provocar un cortocircuito y que asimismo éstas sean detectadas por los interruptores. Para ello en esta
ocasión lo que se intenta provocar es cortocircuitos en las partes más alejadas de los interruptores (en las
barras de interconexión, normalmente); de esta forma se obtienen las corrientes más débiles
(cortocircuitos alejados y por tanto con impedancias más grandes) y estas corrientes deberán ser
detectadas por los interruptores. Sólo de esta forma todo el circuito estará protegido contra cortocircuitos,
ya que si se protege el circuito de las corrientes más débiles (cortocircuitos alejados) también el circuito
estará protegido contra cortocircuitos más violentos (más cercanos a los interruptores y por tanto con
mayores intensidades). Así, si se producen sendos cortocircuitos en las barras "A" y "B":
x
Cortocircuito en barras "B"
x
En barras "B" y en el interruptor 4º
I kcc3 B
I ' ' K 3 I 4 1,1 ˜
ZK
Un
3 ˜ ZK
1,1 ˜
20000‘
3 ˜ 1.73‘69º.35º
(( Z Qc Z Lc 1 Z Tc ) //( Z L 2 Z g )) Z L 3
7342‘ 69.35º A
1.73‘69.35º :
Esta intensidad de cortocircuito total, se repartirá por las dos ramas de la siguiente forma:
x
Interruptor 2º: (rama de la red)
I kcc3 I 2
x
( Z g1 Z L 2 )
( Z Qc Z Lc 1 Z Tc Z L 2 Z g1 )
5697.4‘ 69.1º A
Interruptor 3º: (rama del generador)
I kcc3 I 3
x
I kcc3 B ˜
I kcc3 B ˜
( Z Qc Z Tc Z Lc 1 )
( Z Qc Z Lc 1 Z Tc Z L 2 Z g1 )
1644.7‘ 70.4º A
Interruptor 1º
I kcc3 I 1
I kcc3 I 2 ˜
1
m
949.5‘ 69.1º A
Esta intensidad es la misma que circula por el interruptor I2, pero pasada al nivel alto de tensión, es
decir dividida por la relación de transformación.
x
Cortocircuito en barras "A"
La corriente total de cortocircuito en las barras "A" será:
Un
20000‘0º
I kcc3 A
1 .1 ˜
ZK
( Z Qc Z Lc 1 Z Tc ) //( Z L 2 Z g ) 1.056‘84:
3 ˜ ZK
1 .1 ˜
3 ˜ 1.055‘83.99º
12038‘ 84º A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
85
Esta corriente total de cortocircuito se repartirá entre las ramas del transformador y del generador de la
siguiente forma:
x
Interruptor 2º (rama transformador)
I kcc3 I 2
x
9341.5‘ 83.7 º A
( Z Qc Z Lc 1 Z Tc Z L 2 Z g1 )
I kcc3 A ˜
( Z Qc Z Tc Z Lc 1 )
2696.5‘ 85º A
( Z Qc Z Lc 1 Z Tc Z L 2 Z g1 )
Interruptor 1º
I kcc3 I 1
x
( Z g1 Z L 2 )
Interruptor 3º (rama generador)
I kcc3 I 3
x
I kcc3 A ˜
I kcc3 I 2 ˜
1
m
1557‘ 83.7 º A
Interruptor 4º
I kcc3
I kcc3 I 4
0‘0º A (no existe aportación de corriente por parte de los consumidores).
Con estas intensidades ya tenemos todos los datos para escoger el tipo de interruptor adecuado que
debemos disponer en el circuito para protegerlo contra sobretensiones y cortocircuitos.
Red
L1
I cc k 3 1557 A
I1
I Bcc k 3 949 A
I cc k 3 9341.5 A
I2
I Bcc k 3 5697 A
A
A
I cc k 3 12038 A
A
A
I cc k 3
A
2696 A
I3
I Bcc k 3 1644 A
I cc k 3 0A
L2
A
I4
L3
I Bcc k 3 7342 A
I Bcc k 3 7342 A
B
G
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
86
x
Adoptamos una selectividad en dos niveles
Para la protección contra sobrecargas y cortocircuitos, dispondremos de una selectividad en dos
niveles, es decir, que delante de cualquier falta actuarán como mínimo dos interruptores. Estos
interruptores serán los dos más cercanos aguas arriba del punto de cortocircuito o falta.
De forma resumida, seguidamente se exponen las protecciones selectivas, dependiendo del punto en el
cual se haya producido el cortocircuito.
-
Falta aguas abajo de "B" o Actuará su protección más el interruptor I4.
-
Falta en las barras "B" o Actuará I4 e I2 o I3.
-
Falta en las barras "A" o Actuará en I2, I3 e I1.
-
El interruptor I1, no queremos que actúe ante faltas en "B", pero sí ante faltas en "A". Por tanto:
I1 mag = 3·In = 1200 A< I cAc K 3 = 1557 A con un retardo de 0.5 sg
I1n = 400 A
-
El interruptor I2, tiene que actuar tanto para faltas en "A" como para faltas en "B":
I2 mag = 4·In = 5000 A< I cBc K 3 = 5697 A con un retardo de 0.3 sg
I2n = 1250 A
-
El interruptor I3, tiene que actuar tanto para faltas en "A" como para faltas en "B":
I3 mag = 1.5·In =1200 A< I cBc K 3 = 1645 A con un retardo de 0.3 sg
I3n = 800 A
-
El interruptor I4, tiene que actuar ante faltas en "B", y aguas abajo de "B", como no sabemos cuánto
“aguas abajo”, adoptamos:
I4 mag = 4·In = 5000 A< I Kcc 3 B = 7342 A con un retardo de 0.1 sg
I4n = 1250 A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
87
PROBLEMA 3.2
Disponemos de un sistema de potencia formado por una subestación transformadora de distribución
que abastece a unos consumidores a través del embarrado “B”, y a un grupo de motores a través del
embarrado “A”. Las protecciones del sistema de potencia se llevará a cabo mediante interruptores
magnetotérmicos y fusibles adecuados, colocados como se indica en la figura. La potencia prevista que se
distribuirá a través del embarrado “B” es de 20MVA coincidiendo la tensión con el valor que toma la
misma para el embarrado “A”.
DATOS
Motores:..............16MVA.........10KV....….cos M =0.94....Iarr/In = 5......K=70%...…….n=1500rpm.
Transformador.....20MVA.....110/10KV.....Hcc=Z1=Z2= 12%........….....Zo= 0.9·Z1…...Xn=j1:
HRcc=X1=X2= 0.6%
L1............................................................….Z1=Z2= (0.8+j2.8):.....….....Xo= 2.5·X1
L2 ...........................................................….Z1=Z2= (0.015+j0.2):..…....Xo= 2.5·X1
L3.................................................................Z1=Z2= (0.04+j0.4):.......….Xo= 2.5·X1
x
Intensidades nominales para interruptores de protección estándar
100A,
125A,
160A,
200A,
250A,
315A,
400A,
630A,
800A,
1250A,
1600A,
2000A,
2600A.
x
Poderes de corte y de cierre para interruptores de protección estándar
3.15kA,
10KA,
16KA,
20kA,
31.5kA,
40kA,
50kA,
63kA,
100kA
.
R E D S cc= 6 0 0 0 M V A
U=110kV
M
a
L -1 º
L -2 º
In terru p tor 1 º
TR1
'Y
In terru p tor 2 º
Xn
In terr u ptor 3 º
B arr a s "A "
10 k V
In terr up tor 4 º
L -3 º
B arra s “B ”
10 k V
C on sum id or es.
Figura 3.2 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 3.2
HALLAR
Delante de una falta trifásica en diversos puntos del circuito se pide para cada interruptor:
1
Intensidad nominal de los interruptores. Dar un valor normalizado.
2
Protección térmica contra sobrecargas, es decir, ajuste de las curvas a tiempo inverso. Intensidades de
arranque (Ir). Considérese un margen de seguridad de un 10%. Coeficientes de arranque.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
88
3
Protección magnética contra cortocircuitos, es decir, ajuste de las curvas a tiempo independiente o
instantáneo. Para ello suponer cortocircuitos en los embarrados “A” y “B”.
4
Indicar el poder de cierre y el poder de corte para cada interruptor, así como las intensidades de cierre
y de corte. Para ello, suponer cortocircuitos trifásicos en bornes de cada interruptor.
RESOLUCIÓN
1. y 2. Hallamos los relés térmicos (protección contra sobrecargas)
Para comprender su cálculo, consultar la misma sección del problema 3.1 de este capítulo, donde se
especifican: cálculos, gráficas a consultar y los conceptos teóricos más importantes para su
comprensión.
Cálculo de las intensidades de carga (Ic) y elección de las intensidades nominales mediante los
valores dados en el enunciado
x
- Valor nominal
Sn
3 ·I n ·U n o I n
Sn
3 ·U n
Ÿ
I c1
I c2
I c3
I c4
- Adoptamos
20·10 6
3 ·110·10 3
20·10 6
3 ·10·10 3
16·10 6
3 ·10 3
20·10 6
3 ·10 3
105A
In1 = 400A
1155A
In2 = 1600A
924A
In3 = 1250A
1155A
In4 = 1600A
Recordar que el transformador no modifica las potencias ni las frecuencias.
x
Las intensidades de arranque de cada interruptor son: (adoptamos para las intensidades de
arranque un 10% más que las intensidades de carga).
Iarrq1 = Ic1·1.1 = 115.5A
Iarrq2 = Ic2·1.1 = 1270.5A
x
Iarrq3 = Ic3·1.1 = 1016.4A
Iarrq4 = Ic4·1.1 = 1270.5A
Quedando los coeficientes de arranque
C arrq 1
I arr1
I n1
0.29
C arrq 3
I arr3
I n3
0.81
C araq 2
I arr2
I n2
0.79
C arrq 4
I arr4
I n4
0.79
Para el interruptor "I2" se le aplicará un retardo de 0.2 seg ya que los coeficientes de arranque coinciden
y no pueden disparar dos interruptores a la vez.
3. y 4. Hallamos los relés magnéticos (protección contra los cortocircuitos)
Para comprender su cálculo, consultar la misma sección del problema 3.1 de este capítulo, donde se
especifican: cálculos, gráficas a consultar y los conceptos teóricos más importantes para su
comprensión.
Primeramente hallaremos todas las impedancias que afectan al circuito, teniendo presente el nivel de
tensión al que las calculamos, ya que cuando realizaremos cálculos generales será imprescindible pasar
todas las impedancias a un mismo nivel de tensión, el nivel que deseemos, pero siempre igual para todas
(los cambios de tensión, debe recordarse, se producen siempre en los transformadores).
x
Impedancias del circuito: Cálculo de las impedancias que intervienen en el circuito.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
x
Acometida (a 110kV)
x ZQ
U 2
1.1 n
Sn
110·10 1.1
XQ
0.995·Z Q
0.995·2.22
RQ
0.1· X Q
3 2
6000·10 6
0.1·2.207
2.22:
j 2.207:
0.2207:
ZQ
x
(0.2207 j 2.207)
Transformador (a 110kV)
U 2
1102
x Z T H CCT n
0.12
Sn
20
2
RTR
X TR
Hcc
Un
Sn
0.006
2
Z T RT
2
1102
20
(0.8 j 2.8)
2.9‘74º :
72.6:
m
110
10
11
3.63:
72.6 2 3.63 2
ZT
x
2.22‘85º :
Línea 1º (a 110kV)
Z L1
x
89
72.5:
(3.63 j72.5)
72.6‘87º :
Motores (a 10kV) (se unen todos los motores como si fuese uno sólo, al presentar características
similares)
2
2
MW
1 Un
1 10 x ZM
como
1.25:
t 1 tendremos:
I arrq S n
npp
5 16
In
XM
RM
x
x
x
0.995·Z M 0.995·1.25 j1.24:
0.1· X M 0.1·1.24 0.124:
Z M (0.124 j1.24) 1.25‘84º :
Línea 2º (a 10kV)
Z L2
(0.015 j 0.2)
0.2‘85º :
Z L3
(0.04 j 0.4)
0.4‘84º :
Línea 3º (a 10kV)
Las impedancias calculadas por ramas serán: (la tilde ( ' ) nos indica que las impedancias están al
nivel bajo de tensión, 10kV).
( Z Q Z L1 Z TR )
(4.65 j 77.5)
77.64‘86.6º : (calculadas a 110kV)
ZA
( Z Q Z L1 Z TR )' (0.038 j 0.64)
ZB
( Z M Z L 2 )' (0.139 j1.44) 1.45‘84.5º : (calculadas a 10kV)
0.642‘86.6º : (calculadas a 10kV)
(Z M Z L 2 )
(16.82 j174.24) 175.5‘84.5º : (calculadas a 110kV)
0.9309‘171.1º 0.9309‘171.1º
( Z A // Z B )'
0.445‘85.9º 0.0317 j 0.443: (a 10kV)
0.177 j 2.08 2.09‘85.2º
( Z L1 Z Q )' (1.0207 j 5)
x
5.1‘78.7º : (calculadas a 110kV)
Intensidades de cortocircuito que afectan a cada interruptor (suponiendo cortocircuitos
trifásicos)
Como los interruptores sirven para proteger el circuito, es necesario primeramente protegerlos a ellos
mismos, es por ello que hemos determinado su poder de corte y poder de cierre, delante de los
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
90
cortocircuitos más desfavorables que pueden darse (cuando se produce un cortocircuito muy cercano a
ellos, lo que determina las más bajas impedancias y por tanto las más elevadas intensidades).
Para obtener las intensidades de cortocircuito trifásico que afectan a cada interruptor, se desglosa su
cálculo en las aportaciones de corriente que llegan por su parte superior (Up), o en las aportaciones de
corriente que lo hacen por su parte inferior (Down), ya que según la norma VDE resulta muy improbable
un cortocircuito en el interior del interruptor. Siendo por tanto la situación más desfavorable cuando el
cortocircuito se produce en las inmediaciones del interruptor, pero en su exterior. Existiendo, pues, dos
casos posibles de cortocircuito:
1
Que el cortocircuito se produzca “aguas abajo” del interruptor: en tal caso, sólo se tendrá en cuenta la
aportación de corriente de cortocircuito correspondiente al tramo superior, ya que ésta es la única que
pasará a través del interruptor (que es la que nos interesa, denominándose UP).
2
Que el cortocircuito se produzca “aguas arriba” del interruptor: en tal caso, sólo se tendrá en cuenta
la aportación de corriente de cortocircuito correspondiente al tramo inferior, ya que ésta es la única
que pasará a través del interruptor (que es la que nos interesa, denominándose DOWN).
Teniendo presente lo expuesto en los puntos precedentes, calcularemos para cada interruptor los
valores de las intensidades de cortocircuito correspondientes tanto a las aportaciones que se producen por
la parte superior, como a las aportaciones de corriente que se producen por la parte inferior.
x
Interruptor 1º
1.1·U n
I1cc
u K3
Z 1U
I1ccD K 3
Z 1D
x
3 ·Z 1u
( Z L1 Z Q )
1.1·U n
1.1·110000‘0º
3 · Z Q Z L1
(1.0207 j 5)
1.1·U n
5.1‘78.7º :
1.1·110000‘0º
3 · Z Q Z Lc 2 Z Mc
(Z M Z L2 Z M )
13698‘ 78.7 º A
3 ·5.1‘78.7 º
3 ·247.6‘85.3º
(20.45 j 246.8)
282‘ 85.3º A
247.6‘85.3º :
Interruptor 2º
I 2cc
u
1.1·U n
K3
Z 2U
I 2ccD K 3
Z 2D
1.1·10000‘0º
3 · Z Q Z L1 Z T
3 ·0.642‘86.6º
( Z Q Z L1 Z TR )' (0.038 j 0.64)
1.1·U n
3· Z L 2 Z M
1.1·10000‘0º
3 ·1.45‘84.5º
9892‘ 86.6º A
0.642‘86.6º :
4380‘ 85º A
( Z M Z L 2 )' (0.139 j1.44) 1.45‘84.5º :
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
x
Interruptor 3º
1.1·U n
I3cc
u K3
Z 3U
3· Z L 2 Z M
Z 3D
4380‘ 85º A
3 ·1.45‘84.5º
1.1·U n
1.1·10000‘0º
3 · Z Q Z L1 Z T
c
9892‘ 86.6º A
3 ·0.642‘86.6º
( Z Q Z L1 Z TR )' (0.038 j 0.64)
0.642‘86.6º :
Interruptor 4º
I 4cc
u
1.1·U n
K3
Z 4U
I 4ccD K 3
x
1.1·10000‘0º
( Z M Z L 2 )' (0.139 j1.44) 1.45‘84.5º :
I3ccD K 3
x
91
1.1·10000‘0º
14272‘ 85.9º A
c
3 ·0.445‘85.9º
3 ·ª« Z L 2 Z M // Z Q Z L1 Z T º»
¬
¼
0.9309‘171.1 0.9309‘171.1º
( Z A // Z B )'
0.445‘85.9º 0.0317 j 0.443:
0.177 j 2.08 2.09‘85.2º
1.1·0
0 A (Ya que no existe corriente por la parte inferior de este interruptor)
3 ·Z L 3
Poder de cierre de los interruptores
Nota: Para una correcta comprensión de la corriente máxima asimétrica de cortocircuito (Is) y de la
corriente de corte (Ia), nos remitimos al problema 3.3 de este mismo capítulo y a los anexos, donde de
forma detallada se exponen los conceptos, gráficas, cálculos y otros aspectos concernientes a estas
intensidades.
Para hallar el poder de cierre de los interruptores, es necesario obtener la máxima corriente asimétrica
de cortocircuito. Ésta se halla con los valores de las corrientes de cortocircuitos iniciales más
desfavorables (los cortocircuitos producidos en las inmediaciones de los interruptores) multiplicados por
el factor F , el cual se obtiene gráficamente mediante la relación R/X para cada una de las impedancias de
cortocircuito (gráfica 12.1, de los anexos).
x
Interruptor 1º
I S 1U
Z1U
( Z L1 Z Q )
I S 1 D
Z 1D
x
K3
·F 1 u
(1.0207 j 5)
2 ·I 1cc
D K3
·F 1 D
2 ·13698‘ 78.7 º·1.55
5.1‘78.7º :
R1U
X 1U
30026‘ 78.7 º A
1.021
5
0.204 o X 1u
1.55
2 ·282‘ 85.3º·1.81 722‘ 85.3º A
(20.45 j 246.8):
R1D
X 1D
20.45
246.8
0.083 o X 1D
1.81
Interruptor 2º
ZA
ZB
2 ·I 2cc
u
K3
·F 2 u
I S 3 D
2 ·9892‘ 86.6º·1.87
( Z Q Z L1 Z TR )' (0.038 j 0.64):
I S 2 D
Z 2D
u
(Z M Z L2 Z M )
I S 2U
Z 2U
2 ·I 1cc
2 ·I cc
2D K 3
·F 2 D
I S 3U
26160‘ 86.6º A
R2U
X 2U
0.038
0.64
0.059 o X 1u
1.87
2 ·4380‘ 85º·1.79 11088‘ 85º A
( Z M Z L 2 )' (0.139 j1.44) 1.45‘84.5º :
R2 D
X 2D
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
0.139
1.44
0.096 o X 2 D
1.79
Protección de sistemas eléctricos de potencia
92
x
Interruptor 3º
I S 3U
Z 3U
ZB
2 ·I cc
2D K 3
(Z M Z L 2 )
I S 3 D
Z 3D
x
ZA
2 ·I 2cc
u K3
·F 3U
I S 2 D
2 ·4380‘ 85º·1.79 11088‘ 85º A
(0.139 j1.44) 1.45‘84.5º :
·F 3 D
I S 2U
R3U
X 3U
2 ·9892‘ 86.6º·1.87
0.139
1.44
1.79
26160‘ 86.6º A
R3 D
X 3D
( Z Q Z L1 Z TR )' (0.038 j 0.64):
0.0965 o X 3U
0.038
0.64
0.059 o X 3 D
1.87
0.07 o X 4u
1.85
Interruptor 4º
I S 4U
Z 4U
2 ·I cc
4u K 3
( Z A // Z B )
I S 4 D
· X 4u
0.445‘85.9º
2 ·14272‘ 85.2º·1.85
37340‘ 85.20 A
0.0317 j 0.443:
R4U
X 4U
0.0318
0.443
0 (De las barras "B" no existe aportación de corriente ya que son consumidores).
Vistos estos valores, el poder de cierre para todos los interruptores será aproximadamente el doble
del valor de la intensidad más alta, como se indica en la tabla adjunta.
x
Poder de corte de los interruptores
Para determinar el poder de corte debemos primeramente conocer la intensidad de cortocircuito inicial
que fluirá desde cada generador, motor síncrono, red o motor asíncrono hacia el punto de cortocircuito.
Una vez hallada esta intensidad inicial de cortocircuito, se aplicarán los coeficientes correctores "P" y "q"
dados en las gráficas 12.2 y 12.3, respectivamente de los anexos.
Como hay motores asíncronos en el sistema de potencia, el valor del coeficiente "q" se deberá buscar
en la gráfica 12.3, ya que como se indica en la citada tabla, este coeficiente sólo se ve afectado cuando el
circuito dispone de motores asíncronos.
El factor " P " lo encontramos gráficamente mediante la relación Ickc 3 / I n (gráfica 12.2). Para ello
previamente se hallan las intensidades nominales de cada fuente de energía y las aportaciones que las
mismas fuentes entregan a las líneas que parten de ellas, obteniéndose así el cociente anterior:
Ia
x
Interruptor 1º
I a1U
qU
PU
I Kcc 3 D
c
I nM
I Kcc 3U ·PU ·qU · 13698‘ 78.7º·1·1 13698‘ 78.7 º A
1 Sin máquinas asíncronas, y con una acometida (generador alejado).
I a1 D
x
P·q·I cKc 3
282
924
11
I Kcc 3 D ·P · D ·q D · 282‘ 85.3º·0.86·0.73 177‘ 85.3º A
282
84
3.35 con tV = 0.1sg o PD = 0.78; qD = 0.73 (ver su cálculo más adelante).
Interruptor 2º
I a 2U I Kcc 3U ·PU ·qU · 9892‘ 86.6º·1·1 9892‘ 86.6º A
PU =1, qU=1 no está afectado por máquinas síncronas ni asíncronas.
I a 2U
I a 3u
4380‘ 85º·0.78·0.73
2494‘ 85º A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
I Kcc 3U
In
x
4380
924
93
4.74 con tV = 0.1sg o PU = 0.78. qU=0.73 (ver cálculo de coeficientes más adelante)
Interruptor 3º
I a 3U
I Kcc 3U
I nM
4380
924
I Kcc 3U ·P ·U qU · 4380‘ 85º·0.78·0.73
2494‘ 85º A
4.74 con tV = 0.1sg o PU = 0.78
Cálculo del coeficiente (qU):
InM=
S nM
16·10 6
VnM 3
10·10 3 3
924A
PMotor = S·cosM = 16·106·0.94=15.106MW
n
60· f
Ÿp
p
60· f
n
60·50
1500
3000
1500
2
K = 0.7 (rendimiento del grupo de motores)
MW
pp
Preal = 15·106·0.7 = 10.53MW
10.53
2
5.26
MW
pp
Entrando en la gráfica tendremos: qU = 0.73
Por su parte la corriente de corte inferior será:
I a 3 D
x
I a 2U
9892‘ 86.6º·1·1 9892‘ 86.6º A
Interruptor 4º
I a 4 U
I a 4 D
I a 2 U I a 3U
I Kcc 34 D ·P D ·q D
12386‘ 86º A
0·P ·q
0 (no hay contribución de corriente por la parte inferior).
Tabla 3.1. Poder de corte y poder de cierre ó choque de los interruptores:
x
Interruptor
IC
Iarranque
In
Carranque
I´´K3
IS
Ia
Pcorte
Pcierre
I1
I2
I3
I4
105
1155
924
1155
115.5
1270.5
1016.4
1270.5
400
1600
1250
1600
0.24
0.79
0.81
0.79
13698
9892
9892
14272
30026
26160
26160
37340
13698
9892
9892
12386
20kA
20kA
20kA
20kA
50kA
50kA
50kA
50kA
PROTECCIÓN MAGNÉTICA
Una vez protegidos los propios interruptores (poder de cierre y poder de corte), debemos proteger
mediante estos interruptores al resto del circuito. Para ello se sigue un procedimiento radicalmente
opuesto al anterior; si para la protección de los interruptores buscábamos las intensidades de
cortocircuitos máximas, y por tanto los cortocircuitos se debían dar lo más cerca posible de los
interruptores, ahora para la protección del circuito se deben buscar las intensidades mínimas que puede
provocar un cortocircuito y que asimismo éstas sean detectadas por los interruptores. Para ello, en esta
ocasión, se intenta provocar cortocircuitos en las partes más alejadas de los interruptores (en las barras de
interconexión, normalmente); de esta forma se obtienen las corrientes más débiles (cortocircuitos
alejados) y éstas corrientes deberán ser detectadas por los interruptores. Sólo de esta forma el sistema
estará protegido contra todos los cortocircuitos, ya que si se protege al circuito contra los cortocircuitos
más débiles (los más alejados y por tanto con mayores impedancias y menores intensidades), también el
circuito estará protegido contra cortocircuitos más violentos (más cercanos a los interruptores). Así, si se
producen sendos cortocircuitos en las barras "A" y "B":
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
94
x
Cortocircuito en barras "A"
La intensidad de cortocircuito total en barras "A" será:
1.1·U n
I cc K 3
A
Z cc K 3
A
ƒ
Z A ' //Z B ' 0.445‘85.4º :
(Z M Z L2 )'
Z
M
Z L2
Z
'
Q
Z L1 Z T
c
14272‘ 85.4º
1.45‘84.5º
2.09‘85.2
9901‘ 86.6º A
I cIc2 K 3
9901‘ 86.6º
11
m
900 A‘ 86.6º :
Interruptor I3
I Icc3 K 3
I Bcc K 3
Z
Z
M
Q
Z L1 Z T
Z
'
Z L2
Q
c
Z L1 Z T
c
14272‘ 85.4º
0.642‘86.6º
2.09‘85.2
4384‘ 84º A
Interruptor I4.
I Icc4 K 3
x
Interruptor I1.
I Icc1 K 3
ƒ
14272‘ 85.4º A
3 ·0.445‘85.4
ª Z Z Z c // Z Z ' º
L1
Q
M
L2 »
«¬ T
¼
I cAc K 3
I2 K3
ƒ
3 · Z cAc K 3
Interruptor I2.
I cc
ƒ
1.1·10000‘0º
0 A (no hay contribución de corriente por parte de los consumidores).
Cortocircuito en las barras "B"
La intensidad de cortocircuito total en barras "B" y será:
I cc K 3
B
Z cc K 3
B
ƒ
1.1·U n
3 · Z Bcc K 3
7507‘ 85.1º A
0.0718 j 0.843
0.846‘85.1º :
Interruptor I4. La intensidad en el interruptor I4, coincide con la intensidad total de cortocircuito en
barras "B".
I4 K3
1.1·U n
1.1·10000‘0º
3 · Z Bcc K 3
3 ·0.846‘85.1º
7507‘ 85.1º A
cc 3
I BK
Interruptor I2.
I cc
I2 K3
ƒ
3 ·0.846‘85.1º
( Z cAc K 3 Z L 3 )'
I cc
ƒ
1.1·10000‘0º
I Bcc K 3
(Z M Z L2 )'
Z
M
Z L2
Z
'
Q
Z L1 Z T
c
7507‘ 85.1º
Interruptor I1.
I Icc1 K 3
I cIc2 K 3
m
5208‘ 85.7 º
11
473.5‘ 85.7 º A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
1.45‘84.5º
2.09‘85.2
5208‘ 85.7 º A
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
ƒ
Interruptor I3.
I Icc3 K 3
x
95
I Bcc K 3
Z
Z
M
Q
Z L2
Z L1 Z T
Z
'
Q
c
Z L1 Z T
7507‘ 85.1º
c
0.642‘86.6º
2.09‘85.2
2306‘ 85.6º A
Disponemos de una selectividad en dos niveles
Para la protección contra sobrecargas y cortocircuitos, dispondremos de una selectividad en dos
niveles, es decir, que delante de cualquier falta actuarán como mínimo dos interruptores. Estos
interruptores serán los dos más cercanos aguas arriba del cortocircuito o falta.
De forma resumida, seguidamente se exponen las protecciones selectivas, dependiendo del punto en el
cual se haya producido el cortocircuito.
-
Falta aguas abajo de "B" o Actuará su protección más I4.
-
Falta en las barras "B" o Actuará I4 y I2 ó I3.
-
Falta en las barras "A" o Actuará en I2, I3 y I1.
x
IaM = SinM = S·924 = 4620 A. Durante 10 seg.
-
El interruptor I1, no queremos que actúe ante faltas en "B", pero sí ante faltas en "A". Por tanto:
I1n = 400 A
I1 mag = 2·In = 800 A< IccA k 3 = 900 A retardo de 0.5 sg
-
El interruptor I2, tiene que actuar tanto para faltas en "A" como para faltas en "B":
I2n = 1600 A I2 mag = 3·In = 4800 A< IcBc k3 = 5280 A retardo de 0.3 sg
-
El interruptor I4, tiene que actuar ante faltas en "B" y aguas abajo de "B", como no sabemos cuánto
“aguas abajo”, adoptamos:
I4n = 1600 A I4 mag = 3·In = 4800 A< IcBc k 4 = 7507 A retardo de 0.1 sg
Red
M
3n
L1
Icc k3 900A
A
I1
L2
IcBc k3 474A
Icc k3 4384A
I3
A
Icc k3 9901A
A
I2
IcBc k3 2306A
Icc k3 14272A
IcBc k3 5208A
A
A
Icc k3 0A
A
I4
L3
IcBc k3 7507A
IcBc k3 7507A
B
-
El interruptor I3 es el más problemático, ya que incorpora un motor.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
96
Teóricamente tendría que actuar tanto para faltas en "A" como con faltas en "B", pues la menor
intensidad es: IcBc k3 = 2306A y la I3 mag < 2306 A. Pero el motor arranca a 5In=5·924= 4620A. Por tanto
su intensidad deberá quedar por encima de este valor.
x
Protección de motores
En el caso de que existan motores asíncronos las protecciones, se tienen que dimensionar de otra
forma. Esto es debido a la gráfica intensidad-tiempo. En un motor, si lo protegemos de la misma forma
que en los casos anteriores, dejaríamos una zona sin proteger, como vemos en la figura siguiente:
Para evitar este inconveniente podemos optar por dos formas de protección diferentes:
1.
Mediante un relé térmico y un relé magnético de tipo motor
Los relés magnéticos tipo motor disponen de dos tiempos de disparo a modo de niveles. Así pueden
aproximarse más a la curva de arranque de los motores (protección más efectiva), sin perjudicar su
normal funcionamiento.
2.
Mediante un fusible (tipo “Motor”) y un relé térmico
Este sistema es también ampliamente utilizado, ya que permite un acercamiento a la curva de arranque
de los motores pero esta vez con la característica típica que define a los fusibles, con su forma inclinada.
Debe tenerse especial precaución en que el fusible en todo momento proteja al relé térmico contra los
cortocircuitos. Es decir, el fusible actuará contra los cortocircuitos, mientras que el relé térmico lo hará
contra las sobretensiones.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
97
PROBLEMA 3.3
El esquema de la figura representa una sección de una red eléctrica trifásica alimentada por dos
generadores situados en paralelo al principio del sistema de potencia. Para el diseño de los interruptores
de protección, y para conocer la respuesta del circuito en diversos puntos del mismo ante situaciones
anómalas, funcionando lo generadores sin carga y a la tensión nominal y con los siguientes datos:
DATOS
GA………. 20 MVA………. 10KV…………X´´1 = X2 = 12%….…….….X0 = 0.4X1…………Xn = 2%
GB……….. 30 MVA………. 10KV………....X´´1 = X2 = 14%……………X0 = 0.4X1………...Xn = 0%
TR1……… 50 MVA………100/10KV………Hx1cc = Hx2cc = 22.5%……..X0 = 0.9·X1…….Xn = 3.75%
TR2……… 50 MVA………100/10KV………Hx1cc = Hx2cc = 14.4%…..…X0 = 0.9·X1…….Xn = 0%
L1…………………………………………. Z1 = Z 2 = 0.06 j0.12 : … Z 0
2.5 Z1
L2…………………………………………. Z1 = Z 2 = 2 j6 : ……….. Z 0
2.5 Z1
GA
a
Línea 1 TR1
xng
Línea 2
10kV
x
a
GB
x
C
D
100kV
TR2
x
E
Línea 3
F
10kV
x
Consumidores
xnT
L3…………………………………………. Z1 = Z 2 = 0.1 j0.6 : ……. Z 0
2.5 Z1
Figura 3.3 Circuito unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 3.3
HALLAR
1.
Dibujar las redes de secuencia directa, inversa y homopolar de la red representada
2.
En el supuesto de producirse unos cortocircuitos (monofásicos, bifásicos, trifásicos) en las barras de
interconexión ”C”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes
asimétricas de cortocircuito que se producirán ( I cKc 1 , I cKc 2 , I cKc 3 , I S1 , I S2, I S3 )? Dar el valor, asimismo, de
la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un cortocircuito trifásico (Ia). (Suponer
un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores.)
3.
En el supuesto de producirse los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos, trifásicos)
pero ahora en las barras de interconexión “E”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y
las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán ( I cKc 1 , I cKc 2 , I cKc 3 , I S1 , I S2, I S3 )?
Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un
cortocircuito trifásico (Ia). (Suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores.)
4.
En el supuesto de producirse los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos, trifásicos)
pero ahora en las barras de interconexión “F”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y
las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán ( I cKc 1 , I cKc 2 , I cKc 3 , I S1 , I S2, I S3 )?
Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un
cortocircuito trifásico (Ia). (Suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores.)
RESOLUCIÓN
1. Redes de secuencia directa, inversa y homopolar
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
98
x
Red de secuencia homopolar
Z 0gA
3X ng
Z 0T 1
Z 0L1
x
C
Z 0T 2
Z 0L2
x
x
x
E
3X nTR
Z 0L3
x
x
F
Z 0gB
x
Red de secuencia directa e inversa (sin los generadores)
GA
a
Z gA
ZT1
Z L1
x
x
a
GB
x
x
C
x
E
x
Z L3
x
x
F
Z gB
Cálculo de impedancias (todas a 10kV)
x GA
X1gA = X 2gA = 0.12
x GB
X1gB = X 2gB = 0.14
x TR1
102
20
102
30
102
X1T1 = X 2T1 = 0.225
50
j0.6:
X 0gA =0.4 X1gA =j0.24: X ngA = 0.02
j0.47:
X 0gB =0.4 X1gB =j0.188: X ngB =0:
Z1L1
Z 2L1
Z oL1
0.15 j 0.3 0.335‘63.4º :
Z 2L2 0.02 j 0.06 0.0632‘71.6º :
2.5 Z1L2 0.05 j 0.15 0.158‘71.6º :
Z 2L3 0.1 j 0.6 0.608‘80.5º :
2.5 Z1L3 0.25 j1.5 1.52‘80.5º :
Z oL2
x L3
Z1L3
Z oL3
10 2
50
j0.1:
j 0.075:
j 0.288: X 0T 2 =0.9 X1T 2 =j0.2592: X nT 2 =0:
50
0.06 j 0.12 0.134‘63.43º :
x L1
Z1L2
20
102
X1T 2 = X 2T 2 = 0.144
x L2
102
j 0.45: X 0T1 =0.9 X1T1 =j0.405: X nT1 = 0.0375
x TR2
x
ZT 2
Z L2
2.5 Z1L1
Cálculo de impedancias (todas a 100kV)
x GA
X1gA = X 2gA = j 0.6·100
x GB
X1gB = X 2gB = j 0.47·100
j 60:
j 47:
X 0gA =0.4 X1gA =j24:
X ngA =j0.1·100=j10:
X 0gB =0.4 X1gB =j18.8:
X ngB =0:
X 0T1 =0.9 X1T1 =j40.5:
X nT1 = j 7.5:
2
x TR1
X1T1 = X 2T1 = 0.225
100
50
j 45:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
x TR2
X1T 2 = X 2T 2 = 0.1425
x L1
Z1L1
6 j12 13.4‘63.43º :
2.5Z1L1 15 j 30 33.5‘63.4º :
Z 2L2 2 j 6 6.32‘71.6º :
2.5 Z1L2 5 j15 15.8‘71.6º :
Z 2L2 10 j 60 60.8‘80.5º :
2.5 Z1L3 25 j150 152‘80.5º :
Z1L2
Z oL2
x L3
Z1L3
Z oL3
x
Relaciones de transformación
100
10
m1
x
j 28.8: X 0T 2 =0.9 X1T 2 =j25.92: X nT 2 =0:
50
Z 2L1
Z oL1
x L2
1002
99
10 o m12
100
m2
100
10
10 o m 22
100
Buscamos las impedancias directa, inversa y homopolar vistas desde "C", "E" y "F"
x Impedancias vistas desde las Barras "C" (todas las impedancias a 10kV)
Z1C
>Z
Z C1
gA
// Z gB Z L1
@ > j0.6 // j0.47 0.06 j0.12@
Z 1C
0.06 j 0.384)
Z 2C
j 0.2636 0.06 j 0.12:
0.388‘81.1º :
Z 0C
>(3 X
Z oC
(>3· j 0.1 j 0.24 // j 0.188@ 0.15 j 0.3) // >3· j 0.075 j 0.405@
Z 0C
(> j 0.54 // j 0.188@ 0.15 j 0.3) //( j 0.63)
Z oC
(> j 0.1394@ 0.15 j 0.3) //( j 0.63)
ngA
@
X ogA ) // X ogB Z oL1 //>3 X nTR1 Z oT 1 @
ZC
>0.15 j 0.4390@// j 0.63
Z 1C Z 2C Z 0C
0.170 j1.033
0.271‘79.2º
1.047‘80.7 º :
x Impedancias vistas desde las Barras "E" (todas las impedancias a 100kV)
Z 1E
Z 2E
Z1C ·m12 Z TR1 Z L 2
Z 2E
Z oE
Z oTR 2
16 (0.388‘81.1º )100 j 45 2 j 6
38.8‘81.1º 2 j 51
Z 1E
ZE
8 j89.3 89.7‘84.9º :
j 25.92:
j 204.5 205.14‘85.5º :
x Impedancias vistas desde las Barras "F" (todas las impedancias a 10kV)
Z 1F
Z 2F
Z E1
Z 1E ( Z TR 2 Z L3 )
m 22
Z 1F
Z 2F
Z OF
f
ZF
0.36 89.7‘84.9º
j 0.288 0.1 j 0.6 10 2
0.897‘84.9º 0.1 j8828
0.18 j1.776
jf f
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
1.785‘84.2º :
0.0507 j 0.27 :
Protección de sistemas eléctricos de potencia
100
2. Intensidades iniciales de cortocircuito, intensidades máximas asimétricas de
cortocircuito e intensidad simétrica de corte (con falta trifásica) en barras "C" (10kV)
x
Corrientes de cortocircuito: (aplicando las fórmulas correspondientes a cada tipo de cortocircuito)
I Kcc 3
I Kcc 2
I Kcc1
x
1.1·Un
1.1·10000‘0º
3 ·Z 1C
3 ·0.388‘81.1º
1.1·Un
Z 1C Z 2C Z
16368‘ 81.1º A
1.1·10000‘0º
2·0.388‘81.1º
1.1· 3 ·Un
1C Z 2 C Z 0 C
14175.3‘ 81.1º A
1.1· 3 ·10000‘0º
1.047‘80.7 º
18197‘ 80.7 º A
Corrientes máximas asimétricas de cortocircuitos “IS”: (aplicando el coeficiente F , gráfica 12.1)
Para hallar esta corriente es necesario recordar que:
x
La corriente máxima asimétrica de cortocircuito "Is" se obtiene a partir de la correspondiente
corriente de cortocircuito inicial (para cada tipo de cortocircuito), multiplicándola por 2 , y
aplicándole un factor corrector "F", hallado en el anexo (gráfica 12.1). En esta gráfica se entra con la
relación (R/X) teniendo presente que el valor de estos dos parámetros será diferente dependiendo del
tipo de cortocircuito producido.
Las fórmulas a aplicar para hallar la corriente de cierre máxima para los distintos tipos de
cortocircuitos son:
I Scc3
2 ·I kcc3 · X 3
con
I Scc2
2 ·I kcc2 · X 2
Con
I Scc1
R1
X1
2 ·16368‘ 81.1º·1.62
0.06
0.384
2 ·I kcc1 · X 1
0.156 o gráfica 12.1, F3 = 1.62
2 ·14175.3‘ 81.1º·1.62
R1 R 2
X1 X 2
2·0.06
2·0.384
32476‘ 81.1º A
0.156 o gráfica 12.1, F2 = 1.62
2 ·18197‘ 80.17 º·1.61 41432‘ 80.17 º A
R1 R 2 R 0
Con
X1 X 2 X 0
x
37500‘ 81.1º A
0.170
1.033
0.164 o gráfica 12.1, F1 = 1.61
La corriente simétrica de corte "Ia" trifásica será: (valores de "µ", y "q", hallados en las gráficas
12.2 y 12.3 respectivamente, de los anexos.)
Para hallar la corriente de corte total, vista desde las barras "C", es necesario aplicar la fórmula:
I a3
I kcc3 ·P ·q
I ag A I ag B
En esta fórmula aparecen dos coeficientes:
x
Coeficiente P : se obtiene en las gráficas 12.2 de los anexos para cada generador (existirán tantos P,
como generadores síncronos tenga el sistema de potencia). En dichas gráficas, se entra con la
relación (I"K3/In) por el eje de las abscisas, obteniéndose en el eje de las ordenadas el valor
correspondiente del coeficiente P. Hallar los valores de las intensidades nominales de los diversos
generadores no es problema (ver fórmula adjunta). El problema lo constituye el encontrar la corriente
de cortocircuito trifásica que sale de cada uno de los generadores síncronos del sistema. Decimos que
es difícil ya que partimos del valor de la corriente de cortocircuito trifásico en el punto de
cortocircuito, y con este valor, y mediante divisores de intensidad, debemos hallar las contribuciones
que cada fuente de energía aporta a esta corriente total. Recordaremos, finalmente, que es
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
x
x
x
101
imprescindible trabajar siempre con el mismo nivel de tensión, es decir, no podemos mezclar
diferentes niveles de tensión; para ello, se realizarán las conversiones oportunas, pero recordando que
si cambiamos un nivel de tensión (paso a través de un transformador), resulta imprescindible cambiar
todos los parámetros eléctricos asociados (intensidades, impedancias, etc).
Coeficiente "q": se obtiene en las gráficas 12.3 de los anexos para cada motor asíncrono (existirán
tantos "q" como motores asíncronos tenga el sistema de potencia). La obtención de este coeficiente es
mucho más sencilla que la obtención del coeficiente anterior (P), ya que bastará con conocer la
potencia activa real (en MW) del motor (o grupo de motores) dividida por el número de polos del
mismo, es decir, (MW/pp). Con este valor y entrando por las abscisas de la gráfica 12.3, se lee en las
ordenadas cada uno de los diferentes "q" del sistema. No hacen falta, por tanto, divisores de
intensidad, ni conocer donde se ha producido el cortocircuito, ni la intensidad de cortocircuito,
simplemente el coeficiente "q" depende de la potencia de los motores y de su número de polos,
siendo independiente de las otras magnitudes eléctricas.
Una vez se han obtenido los coeficientes "P" y "q" para cada una de las máquinas eléctricas del
circuito (generadores síncronos, y motores asíncronos respectivamente), ya podemos buscar las
correspondientes "Ia" (una para cada máquina eléctrica). La "Ia" que nos interesa es la total (la del
punto de cortocircuito), por tanto, debemos ir sumando cada una de las "Ia" parciales obtenidas en
cada máquina hasta llegar al punto de cortocircuito. La suma total de todas las contribuciones será la
"Ia" pedida (atención a los cambios de tensión que cada una de estas intensidades parciales puede
sufrir hasta llegar al punto de cortocircuito, con todo lo que esto conlleva).
Finalmente, si cambiamos de punto de cortocircuito la "q" no cambiará, es indiferente a estos
cambios, pero la "P" sí cambiará, ya que la intensidad de cortocircuito que salga de cada generador
síncrono depende exclusivamente del valor que tome la intensidad total de cortocircuito en el punto
de cortocircuito, y el valor de esta intensidad total de cortocircuito depende del punto donde se
produzca el cortocircuito. Es decir, para cada punto de cortocircuito, existirá una "Ia".
Operando en consecuencia con lo comentado anteriormente, y para las barras "C", tendremos:
I aC
I kcc3 ·P ·q
I ng1
I ng 2
I cc
20·10
3 ·Un
3 ·10000
Sn
30·10 6
3 ·Un
3 ·10000
1154.7 A
1732 A
16368‘ 81.1º A La aportación de cada generador será:
K3
I cc K 3
I cgc2 K 3
I cc K 3
g1
12315.8‘ 81.1º A
6
Sn
Sí I ' ' k 3C
5248.5 j 7067.3
I ag A I ag B
Z gB
Z gB Z gA
C
C
Z gA
Z gB Z gA
Icc
Entonces
gA K 3
c
IcngA
16368‘ 81.1º
16368‘ 81.1º
j 0.47
j 0.47 j 0.6
j 0 .6
j 0.47 Icc
7189.7
1154.7
6.22
P gA
gB K 3
c
IcngB
j 0.6 7189.7‘ 81.1º A
9178.3‘ 81.1º A
9178.3
1732
0.73
5.3 (con un tv=0.1sg)
P gB
I agA
c 3 ·P gA ·q gA
I cgAk
7189.7‘ 81.1º·0.73·1 5248.5‘ 81.1º A
I agB
c 3 ·P gB ·q gB
I cgBk
9178.3‘ 81.1º·0.77·1 7067.3‘ 81.1º A
0.77
3. Intensidades iniciales de cortocircuito, intensidades máximas asimétricas de
cortocircuito e intensidad simétrica de corte (con falta trifásica) en barras "E"
(100kV)
x
Corrientes de cortocircuito: (aplicando las fórmulas correspondientes a cada tipo de cortocircuito).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
102
1.1·100000‘0º
I Kcc 3
708‘ 84.9º A
3 ·89.7‘84.9º
1.1·100000‘0º
613.15‘ 84.9º A
2·89.7‘84.9º
1.1· 3 ·100000‘0º
928.8‘ 85.5º A
205.14‘85.5º
I Kcc 2
I Kcc1
x
Corrientes máximas asimétricas de cortocircuitos “IS”: (aplicando el coeficiente F , gráfica 12.1)
Recordando todo lo expuesto en la primera pregunta de este problema sobre la intensidad "Ia" y a la
cual nos remitimos para su correcta asimilación, las fórmulas a aplicar para hallar la corriente de cierre
máxima, para los distintos tipos de cortocircuitos, son:
I Scc3
2 ·708‘ 84.9º·1.74 1742.2‘ 84.9º A
con
I Scc2
8
89.3
0.09 o gráfica 12.1, F3 = 1.74
2 ·613.15‘ 84.9º·1.74 1508.12‘ 84.9º A
con
I Scc1
R1 R 2
X1 X 2
2·8
2·89.3
2 ·928.8‘ 85.5º·1.78
con
x
R1
X1
R1 R 2 R 0
X1 X 2 X 0
0.09 o gráfica 12.1, F2 = 1.74
2338‘ 85.5º A
16
204.5
0.078 o gráfica 12.1, F1 = 1.78
La corriente simétrica de corte "Ia" trifásica será: (valores de "µ" y "q", hallados en las gráficas
12.2 y 12.3 respectivamente, de los anexos):
Para hallar la corriente de corte total, vista desde las barras "E", es necesario aplicar la fórmula:
I a3
I kcc3 ·P ·q
I ag A I ag B
En esta fórmula aparecen dos coeficientes, cuyo cálculo se ha explicado en la primera pregunta de este
problema, y a la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
Operando en consecuencia para estas barras "E", tendremos:
Ia
Ickc ·P·q
No hay motores, por tanto q=1
Partimos de:
I kcc3
708‘ 84.9º A que pasada al otro extremo del transformador (barras "C"), nos da:
I kcc3
7080‘ 84.9º A
Por tanto, la contribución de cada generador será, aplicando los divisores de intensidad:
c K3
I cgA
I ngA
c K3
I cgB
I ngB
7080‘ 84.9º
j 0.47
j 0.47 j 0.6 3110‘ 84.9º A
1154.7 A
7080‘ 84.9º
j 0.6
j 0.47 j 0.6
3970‘ 84.9º A
1732A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
103
Entonces:
I Kcc 3 gA
3110
1154.7
I ngA
I Kcc 3 gB
2.69 o PgA = 0.92 con tv=0.1s (gráfica 12.2).
3970
1732
I ngB
2.292 o PgB = 0.98 con tv=0.1s (gráfica 12.2).
I agA
3110‘ 84.9º·1·0.92
I agB
3970‘ 84.9º·1·0.98 3890.6‘ 84.9º A
Ia
I ac
3
6751.8‘ 84.9º A
E
Ia
3
E
2861.2‘ 84.9º A
3E
m1
675.18‘ 84.9º A
4. Intensidades iniciales de cortocircuito, intensidades máximas asimétricas de
cortocircuito e intensidad simétrica de corte (con falta trifásica) en barras "F" (10kV)
x
Corrientes de cortocircuito: (aplicando las fórmulas correspondientes a cada tipo de cortocircuito).
I Kcc 3
I Kcc 2
I Kcc1
x
1.1·10000‘0º
3557.9‘ 84.2º A
3 ·1.785‘84.2º
1.1·10000‘0º
3081.2‘ 84.2º A
2·1.785‘84.2º
1.1· 3 ·10000‘0º
f
0A
Corrientes máximas asimétricas de cortocircuitos “IS”: (aplicando el coeficiente Ȥ, gráfica 12.1).
Recordando todo lo expuesto en la primera pregunta de este problema sobre la intensidad "Is", y a la
cual nos remitimos para su correcta asimilación:
Las fórmulas a aplicar para hallar la corriente de cierre máxima, para los distintos tipos de
cortocircuitos, son:
I S3
2 ·3557.9‘ 84.2º·1.72 8654.4‘ 84.2º A
con
I S2
I S1
0.18
1.776
0.1 o gráfica 12.1, F3 = 1.72
7495‘ 84.2º A
2 ·3081.2‘ 84.2º·1.72
con
R1 R 2
X1 X 2
2 ·0·X
0A
con
x
R1
X1
2·0.18
2·1.776
R1 R 2 R 0
X1 X 2 X 0
0.1 o gráfica 12.1, F2 = 1.72
f o gráfica 12.1, F1 = 0
La corriente simétrica de corte "Ia" trifásica será: (valores de "µ" y "q", hallados en las tablas
12.2 y 12.3 respectivamente, de los anexos).
Para hallar la corriente de corte total, vista desde las barras "F", es necesario aplicar la fórmula:
I a3
I kcc3 ·P ·q
I ag A I ag B
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
104
En esta fórmula aparecen dos coeficientes, cuyo cálculo se ha explicado en la primera pregunta de este
problema, y a la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
Operando en consecuencia para estas barras "F", tendremos:
I aF
I agA I agB
1562.8‘ 84.2º·1·1 1995‘ 84.2º·1·1 3557.9‘ 84.2º A
Con I ngA
1154.7A
I ngB
1732A
Sí la I Kcc 3
3557.9‘ 84.2º A Entonces la aportación de cada generador será:
c K3
I cgA
3557.9‘ 84.2º
j 0.47
j1.07
cc 3
I gBK
3557.9‘ 84.2º
j 0 .6
j1.07
1562.8‘ 84.2º A
1995‘ 84.2º A
Por lo tanto el coeficiente P de cada generador será:
I Kcc 3 gA
I ngA
I cKc 3gB
I ngB
1562.8
1154.7
1995
1732
1.353 o PgA = 1 con tv=0.1s (gráfica 12.2).
1.15 o PgB = 1 con tv=0.1s (gráfica 12.2).
Nótese que no es posible rebajar la corriente de apertura "Ia" coincidiendo ésta con la corriente de
cortocircuito trifásica "I''k3". Ese resultado es completamente lógico si tenemos presente que las barras
estudiadas ("F") están muy alejadas de los generadores síncronos trifásicos.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
105
PROBLEMA 3.4
El esquema de la figura representa una sección de una red eléctrica trifásica alimentada por tres
generadores situados en los extremos del sistema de potencia. A efectos de diseño de los interruptores de
protección y para conocer la respuesta del circuito en diversos puntos del mismo ante situaciones
anómalas, funcionando los generadores sin carga y a la tensión nominal y con los siguientes datos:
DATOS
G1:................40MVA..........10KV...............X”d=X1=X2= 20%.........Xo= 6%.............Xn=j4:.
G2:................100MVA........10KV...............X”d=X1=X2= 20%.........Xo= 10%...........Xn=0.
G3:................25MVA..........25KV...............X”d=X1=X2= 25%.........Xo= 10%...........Xn=0.
TR1 y TR2…...20MVA…....110/10KV..........Hcc=X1=X2= 9%......…...Xo= 0.9·X1....... Xn=0
TR3:...............60MVA..…..110/25KV...........Hcc=X1=X2= 10%.....….Xo= 0.9·X1....... Xn=0
TR4:..........….100MVA.….110/10KV...........Hcc=X1=X2= 8%....…....Xo= 0.9·X1....... Xn=0
.
L1.......................................………………...X1=X2= j30:....….........Xo= j50:
L2........................................………………..X1=X2= j30:..…...........Xo= j60:
L3.........................................……………….X1=X2= j40:….............Xo= j90:
A
G1
TR1
B
x
ZL1
x
a
TR2
Xn
D
x
C
ZL2
ZL3
TR3
F
E
G2
a
TR4
G
x
a
G3
Figura 3.4 Circuito unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 3.4
HALLAR
1
Dibujar las redes de secuencia directa, inversa y homopolar, de la red representada.
2
En el supuesto de producirse unos cortocircuitos (monofásicos, bifásicos, trifásicos) en las barras de
interconexión “D”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes
asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)? Dar el valor, asimismo,
de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un cortocircuito trifásico (Ia)
(suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
3
En el supuesto de que se produzcan los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos,
trifásicos) pero ahora en las barras de interconexión “F”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de
cortocircuito y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3,
Is1, Is2, Is3)? Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante
de un cortocircuito trifásico (Ia) (suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
4
Si se produce en barras “D” un cortocircuito fase-fase-tierra, indicar las corrientes de cortocircuito
que se producirán (I”k2ES , I”k2ET, I”k2EE).
RESOLUCIÓN
1. Redes de secuencia directa, indirecta y homopolar
Las redes de secuencia del circuito de potencia son las mostradas a continuación, recordando que la
secuencia inversa es idéntica a la red directa, pero sin las fuentes generadoras, aunque sí con sus
impedancias.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
106
x
Red de secuencia directa e inversa (la red inversa no incorpora los generadores)
G1
B
ZL1
ZTR2
C
ZL2
D
E
ZL3
ZTR4
F
Zg2
Zg1
a
x
ZTR1
ZTR3
G3
a
Zg3
G
G2
a
Red de secuencia homopolar
Z0T1
B
Z0L1
Z0T2
C
Z0L2
D
E
Z0L3
F
Z0T4
Z0g2
Z0g1
Z0T3
G
Z0g3
3Xn
x
Cálculo de impedancias (todas las impedancias están calculadas a 10kV)
x G1
x G2
x G3
X1 = X 2 = 0.20
102
40
102 j0.2:
0
.
20
=
=
X1 X 2
100
252 j6.25:
X1 = X 2 = 0.25
25
j 6.25
j1:
X1 = X 2 =
2
§ 25 ·
¨ ¸
© 10 ¹
x TR1=TR2 X1 = X 2 = 0.09
x TR3
j0.5:
102
j0.45:
20
252 j1.04:
X1 = X 2 = 0.10
60
j1.04
j 0.166:
X1 = X 2 =
2
§ 25 ·
¨ ¸
© 10 ¹
x TR4
X1 = X 2 = 0.08
x L1
X1 = X 2 =
x L2
X1 = X 2 =
102
100
j 30
§ 110 ·
¸
¨
© 10 ¹
j 30
11
2
2
j0.08:
j 0.25:
j 0.25:
102
j0.15:
40
102 j0.10:
0
.
1
=
X0
100
252 j2.5:
X 0 = 0 .1
25
j 2 .5
j 0.4:
X0 =
2
§ 25 ·
¨ ¸
© 10 ¹
Xn=j4:
X 0 =j0.405:
Xn=0:
X 0 =j0.936:
Xn=0:
X 0 =j0.15:
Xn=0:
X 0 =j0.072:
Xn=0:
X 0 =0.06
X0 =
X0 =
j 50
112
j 60
112
j 0.41:
j 0.496:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Xn=0:
Xn=0:
Xn=0:
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
X1 = X 2 =
x L3
j 40
11
j 0.33:
2
107
j 90
X0 =
j 0.74:
112
Cálculo de impedancias (todas las impedancias están calculadas a 110kV)
x
x G1
2
X1 = X 2 = j 0.5·11
x G2
2
X1 = X 2 = j 0.2·11
x TR1=TR2 X1 = X 2 = 0.09
2
j121:
1102
X 0 = j 0.1·11
j12.1:
§ 110 ·
¸
X 0 = j 2.5¨
© 25 ¹
2
j 54.45:
Xn = 0:
j 48.4:
Xn = 0:
Xn = 0:
j 20.14:
X 0 =0.9·j24.14=j18.11:
Xn = 0:
j 9.68:
X 0 =0.9·j9.68 = j8.71:
Xn = 0:
1102
x TR3
X1 = X 2 = 0.10
x TR4
X1 = X 2 = 0.08
x L1
x L2
X1 = X 2 = j30:
X1 = X 2 = j30:
X 0 = j50:
X 0 = j60:
x L3
X1 = X 2 = j40:
X 0 = j90:
60
100
Xn = j44:
X 0 =j54.45·0.9 = j49:
20
1102
j18.15:
2
j 24.2:
§ 110 ·
¸
X1 = X 2 = j 6.25¨
© 25 ¹
x G3
2
X 0 = j 0.15·11
j 60.5:
Notas:
Es importante recordar que los puntos de cortocircuitos pedidos se hallan a 10kV y 110kV. No nos piden
ningún resultado a 25kV (generador G3), por tanto, sólo buscaremos las impedancias a los dos niveles de
tensión de 10kV, y 110kV requeridos, no importando las impedancias a 25kV.
x
Relaciones de transformación
m1
m2
110
10
110
25
m3
11
4 .4
m4
110
10
11
x
Buscamos las impedancias directa, inversa y homopolar vistas desde "D" y desde "F".
x
Impedancias vistas desde las Barras "D" (110kV)
Z1D
Z 2D
>Z Z
Z1D
Z 2D
>j60.5 j84.45 // j84.45@//> j 73.88 // j141.14@
g1
Z1D
Z 2D
TR1
@ >
( j102.7 // j 48.49)
Z oD
>Z
Z oD
>j99 // j109@//> j98.71 // j18.11@
0T 1
Z oD
Z L1 // Z TR 2 Z L 2 // Z L3 Z TR 4 Z g 2 // Z TR3 Z
@
( j102.7) //( j 73.88 // j141.14)
32.95‘90º (0 j 32.95):
@ >
g3
Z 0 L1 // Z 0T 2 Z 0 L 2 // Z 0L3 Z 0T 4 // Z 0T 3
@
( j 51.88 // j15.30)
11.82‘90º (0 j11.82):
y por tanto:
Z TD
Z1D Z 2D Z oD
77.72‘90º (0 j 77.72):
x Impedancias vistas desde las Barras "F" (10kV)
Z1F
Z 2F
>>(Z
Z1F
Z 2F
>>> j 0.5 ( j 0.7 // j 0.7)@//( j1.166)@ ( j 0.41)@//> j 0.2@ >>( j 0.85 // j1.166) j 0.41@//( j 0.2@
Z1F
g1
Z 2F
@
@
@> @
( Z TR1 Z L1 ) //( Z TR 2 Z L 2 ) //( Z TR 3 Z g 3 ) ( Z L 3 Z TR 4 ) // Z g 2
(( j 0.49 j 0.41) // j 0.2)
( j 0.9 // j 0.2)
(0 j 0.164)
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
0.164‘90º :
Protección de sistemas eléctricos de potencia
108
Z oF
Z og 2
(0 j 0.1)
Z TF
Z oF Z1F Z 2F
0.1‘90º :
(0 j 0.428)
0.428‘90º :
2. Las corrientes de cortocircuito monofásico, bifásico y trifásico; corrientes máximas
asimétricas; corriente simétrica de corte y tensiones con un cortocircuito en "D"
(110kV) son:
x
Corrientes de cortocircuito: (aplicando las fórmulas correspondientes a cada tipo de cortocircuito)
I Kcc1
1.1· 3 ·U n
Z1 Z 2 Z 0
I Kcc 2
1.1·U n
Z1 Z 2
I Kcc 3
x
1.1· 3 ·110000‘0º
72.72‘90º
1.1·110000‘0º
2·(32.95‘90º )
1.1·U n
1.1·110000‘0º
3 ·Z 1
3 ·32.95‘90º
2696.6‘ 90º A
1836‘ 90º A
2120‘ 90º A
Corrientes máximas asimétricas de cortocircuitos “IS”: (aplicando el coeficiente F , gráfica 12.1)
Recordar que en este caso se han omitido todas las resistencias, y por tanto todo son reactancias
inductivas, resultando el coeficiente F=2, en todos los casos. Las fórmulas a aplicar para hallar la
corriente de cierre máxima, para los distintos tipos de cortocircuitos, son:
x
I S1
2 ·2·( 2696.6‘ 90º )
7627‘ 90º A
I S2
2 ·2·(1836‘ 90º )
5193‘ 90º A
I S3
2 ·2·( 2120‘ 90º )
5996.2‘ 90º A
La corriente simétrica de corte "Ia" trifásica será: (valores de "µ" y "q", hallados en las gráficas
12.2 y 12.3 respectivamente, de los anexos)
Para hallar la corriente de corte total, vista desde las barras "D", es necesario aplicar la fórmula:
I a3
I ' ' k 3 ·P ·q
I ag A I ag B
En esta fórmula aparecen dos coeficientes, cuyo cálculo se ha explicado en la primera pregunta del
problema 3.3, y a la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
Operando en consecuencia para estas barras "D", tendremos:
I Kcc 3
2120‘ 90º A
IKcc 3g 2.g 3
IKcc3g1
§ 102.7‘90º ·
2120‘ 90º ¨
¸ 1440‘ 90º A
© 151.2‘90º ¹
141.14‘90º
I Kcc 3 g 2 1440‘ 90º
945‘ 90º A
215‘90º
73.88‘90º
I Kcc 3 g 3 1440‘ 90º
495‘ 90º A
215‘90º
§ 48.5‘90º ·
2120‘ 90º ¨
¸
© 151.2‘90º ¹
680‘ 90º A
Las intensidades nominales de cada generador son:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
40·10 6
I ng1
2309.4A
10·10 3 · 3
100·10 6
I ng 2
5773.5A
10·10 3 · 3
25·10 6
I ng 3
109
577.35A
25·10 3 · 3
Por tanto (recordar que las intensidades de cortocircuito están halladas a 110kV, mientras que las
nominales de los generadores están halladas a 10kV (para los generadores g1 y g2) y a 25kV (g3)):
I cKc 3g1
680
2309.4
11
I ng1
m1
IcKc 3g 2
945
5773.5
11
I ng 2
m2
I Kcc 3 g 3
1.81 o tv = 0.1 sg o P2 = 1
495
577.35
§ 110 ·
¨
¸
© 25 ¹
I ng 3
m3
I aD
3.24 o tv = 0.1 sg o P1 = 0.87
3.8 o tv = 0.1 sg o P3 = 0.82
(680‘ 90º )·1·0.87 (945‘ 90º )·1·1 (495‘ 90º )·1·0.82 1942.45‘ 90º A
Estos valores ya están todos a 110kV.
x
Las tensiones en el punto “D” (110kV)
Su resolución consiste simplemente en la aplicación de las fórmulas dadas para cada tensión y cada
tipo de cortocircuito, pudiéndose hallarse éstas en los anexos correspondientes.
x V 3R
x V2
V 3S
V 3T
c·U n
2Z 2
0
3 Z1 Z 2
x V 2T
3 ·c·U n
1.1·11000‘0º 2·32.95‘90º
2·32.95‘90º
3
Z 2 ·Z 0
69859.4‘0º V
3 ·1.1·110000‘0º
Z1Z 2 Z1 Z 0 Z 0 Z 2
389.4‘180º
1864.6‘180º
43768‘0º V
3. Las corrientes de cortocircuito monofásico, bifásico y trifásico; corrientes máximas
asimétricas y corriente simétrica de corte, con un cortocircuito en barras "F" (10kV)
x
Corrientes de cortocircuito: (aplicando las fórmulas correspondientes a cada tipo de cortocircuito)
I Kcc1
1.1· 3 ·U n
Z1 Z 2 Z 0
I Kcc 2
1.1·U n
Z1 Z 2
I Kcc 3
1.1· 3 ·10000‘0º
0.428‘90º
1.1·10000‘0º
2·(0.164‘90º )
1.1·U n
1.1·10000‘0º
3 ·Z 1
3 ·0.164‘90º
44515.3‘ 90º A
33537‘ 90º A
38725‘ 90º A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
110
x
Corrientes máximas asimétricas de cortocircuitos “IS”: (aplicando el coeficiente Ȥ, gráfica 12.1)
Recordando que solo existen reactancias inductivas y que las resistencias han sido omitidas, el
coeficiente F=2, siempre. Las fórmulas a aplicar para hallar la corriente de cierre máxima, para los
distintos tipos de cortocircuitos, son:
x
I S1
2 ·2·( 44515‘ 90º ) 125907‘ 90º A
I S2
2 ·2·(33537‘ 90º )
I S3
2 ·2·(38725‘ 90º ) 109530‘ 90º A
94857‘ 90º A
La corriente simétrica de corte "Ia" trifásica será (todas a 10kV): (valores de "µ" y "q", hallados
en las gráficas 12.2 y 12.3 respectivamente, de los anexos)
Para hallar la corriente de corte total, vista desde las barras "F", es necesario aplicar la fórmula:
I a3
I ' ' k 3 ·P ·q
I ag A I ag B
En esta fórmula aparecen dos coeficientes, cuyo cálculo se ha explicado en la primera pregunta del
problema 3.3, y a la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
Operando en consecuencia para estas barras "F", tendremos:
I ' 'K3
38725‘ 90º A
0.9‘90º
31684‘ 90º A
1.1‘90º
0.2‘90º
I Kcc 3 g1, g 3 38725‘ 90º
7041‘ 90º A
1.1‘90º
1.166‘90º
I Kcc 3 g1 7041‘ 90º
4072.3‘ 90º A
2.016‘90º
0.85‘90º
I Kcc 3 g 3 7041‘ 90º
2968.7‘ 90º A
2.016‘90º
I Kcc 3 g 2
38725‘ 90º
Recordar que las intensidades nominales halladas a 10kV (g1 y g2) y 25kV (g3) son:
I ng1
I ng 2
I ng 3
40·10 6
2309.4 A
10·10 3 · 3
100·10 6
5773.5A
10·10 3 · 3
25·10 6
577.35A
25·10 3 · 3
Por tanto las relaciones intensidad de cortocircuito, intensidad nominal serán (a igual nivel de tensión):
I Kcc 3 g1
I ng1
IcKc 3g 2
I ng 2
I Kcc 3 g 3
I ng 3
I aF
4072.3
2309.4
1.76 o tv = 0.1 sg o P1 = 1
31684
5773
5.5 o tv = 0.1 sg o P2 = 0.75
2968.7
577.35
m4
m3
2968.7
11
577.35
4.4
2968.7
1443.4
2.05 o tv = 0.1 sg o P3 = 1
(4072.3‘ 90º )·1·1 (31684‘ 90º )·1·0.75 (2968.7‘ 90º )·1·1 30804‘ 90º A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
111
4. Delante una falta bifásica a tierras en el punto "D", las corrientes que se originarán
serán:
x
Calculamos la I"K2EE en las barras "D"
Su resolución consiste simplemente en la aplicación de las fórmulas dadas para este tipo de
cortocircuito, tanto referentes a tensiones como a intensidades. Estas fórmulas pueden ser consultadas en
los anexos correspondientes. (Los valores de las impedancias son los valores que las mismas toman en el
punto de cortocircuito, es decir, las totales.)
Nota: recordar que:
I Kcc 2 E
s
jcU n
a
a 1‘0º
2
1‘120º
a
3
1‘240º
aZ 2 Z o
Z1 Z 2 Z1 Z 3 Z 2 Z o
2
a Z2 Zo
I Kcc 2 ET
jcU n
I Kcc 2 E E
3cU n
Z1Z 2 Z1Z 3 Z 2 Z o
Z2
Z1Z 2 Z1Z 3 Z 2 Z o
Con:
Z1Z 2 Z1Z 0 Z 0 Z 2
aZ 2 Z 0
2
a Z2 Z0
1864.6‘180º
32.95‘210º 11.82‘90º
1864.6 j 0:
40.18‘ 135.3º :
32.95‘330º 11.82‘90º 40.18‘ 44.8º :
Por tanto:
I Kcc 2 E
s
I Kcc 2 ET
I Kcc 2 EE
§ 40.18‘ 135.3º 90º ·
1.1·110000¨
¸ 2607.4‘134.7º A 1836 j1853A
1864.6‘180º
¹
©
§ 40.18‘(44.8º 90º ) ·
1.1·110000‘0º ¨
¸ 2607.4‘45.2º 1836 j1850 A
1864.6‘180º
©
¹
(0+j3703.2)
§ 32.95‘90º ·
3 ·1.1·110000‘0º ¨
¸ 3703.5‘ 90º A
© 1864.6‘180º ¹
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
112
PROBLEMA 3.5
El esquema de la figura representa una sección de una red eléctrica trifásica alimentada por dos
generadores situados en los extremos del sistema de potencia. A efectos de diseño de los interruptores de
protección y para conocer la respuesta del circuito en diversos puntos del mismo ante situaciones
anómalas, funcionando los generadores sin carga y a la tensión nominal y con los siguientes datos:
DATOS
G1:..…....30MVA........30KV..............X”d=X1=X2= 16%.........Xo= 4%.....…....Xn=0.
G2:....…..60MVA........30KV..............X”d=X1=X2= 18%.........Xo= 4%.....…....Xn=0.
TR1:........30MVA.....120/30KV......….Hcc=X1=X2= 14%.........Xo= 0.9·X1..…...Xn=0
TR2:........70MVA.....120/30KV.....…..Hcc=X1=X2= 12%.........Xo= 0.9·X1…….Xn=0
L1........................................…………..X1=X2= j25:...............Xo= 2.5·X1.
L2 y L3.................................………….X1=X2= j20:...............Xo= 2.5·X1
L4........................................…………..X1=X2= j22:...............Xo= 2.5·X1
L5........................................…………..X1=X2= j10:...............Xo= 2.5·X1
L1
G1
a
“A”
x
T R1
B
D
x
L2
“C”
L3
x
L4
E
T R2
G2
a
L5
“F”
Figura 3.5 Circuito unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 3.5
HALLAR
1.
Dibujar las redes de secuencia directa, inversa y homopolar, de la red representada.
2.
En el supuesto de producirse unos cortocircuitos (monofásicos, bifásicos, trifásicos) en las barras de
interconexión “A", ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes
asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)? Dar el valor, asimismo,
de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un cortocircuito trifásico (Ia)
(suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
3.
En el supuesto de producirse los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos, trifásicos)
pero ahora en las barras de interconexión “C”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito
y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)?
Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un
cortocircuito trifásico (Ia) (suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores). Finalmente
indicar las corrientes de cortocircuito bifásico a tierras (I”kEE , I”kSE , I”kTE ) que se producirían en las
barras citadas.
4.
En el supuesto de producirse los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos, trifásicos)
pero ahora en las barras de interconexión “F”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y
las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)?
Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un
cortocircuito trifásico (Ia) (suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
RESOLUCIÓN
1. Redes de secuencia directa, inversa y homopolar
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
x
113
Red de secuencia directa e inversa (sin los generadores)
G1
Z g1
Z T1
“A”
x
a
B
D
Z L1
x
x
Z A ZB
Z L2
E
Z L4
Z T2
G2
Z g2
a
x
Z L3
ZC
“C”
Z L5
“F”
x
Red de secuencia homopolar
Z0g1 “A”
Z0T1
x
B
D
Z0L1
x
Z0A Z0B
Z0L2
Z0L4
x
E
Z0T2
x
Z0g2
x
Z0L3
Z0C
“C”
Z0L5
“F”
x
Relación de transformación
m
x
U1
U2
120
30
4
Cálculo de impedancias (todas las impedancias están calculadas a 30kV)
X1
X 2 = 0.16
x G2 X 1
X 2 = 0.18
x G1
302
30
302
60
j4.8:
X 0 = 0.04
j2.7:
X 0 = 0.04
302
j 4.2:
30
(30) 2
j1.542:
X 2 = 0.12
70
j 25
j1.562:
X2 =
2
§ 120 ·
¸
¨
© 30 ¹
x TR1
X1
x TR2
X1
x L1
X1
x L2
X1
X2 =
x L3
X1
X2 =
X 2 = 0.14
j 20
42
j 20
42
302
30
302
60
j1.2:
Xn = j0:
j0.6:
Xn = j0:
X 0 =0.9·X1=j 3.78:
Xn = j0:
X 0 =0.9·X1=j 1.39:
Xn = j0:
X 0 =2.5· X1 = j3.91:
j1.25:
X 0 =2.5· X1 = j 3.125:
j1.25:
X 0 =2.5· X1 = j 3.125:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
114
x L4
X1
X2 =
x L5
X1
X2 =
j 22
42
j10
42
j1.375:
X 0 =2.5· X1 = j 3.44:
j 0.625:
X 0 =2.5· X1 = j 1.562:
Nos falta transformar el triángulo formado por las líneas ZL1, ZL2 y ZL3, en una estrella, tal como queda
reflejado en las redes de secuencia (si no realizamos la transformación el problema se complicaría en
demasía). Para ello aplicaremos las fórmulas de transformación adecuadas, y aparte, teniendo presente los
niveles de tensión de trabajo en esta zona (30kV).
Z 8A
Z 8B
Z 8C
Z L1 ·Z L 2
Z L1 Z L 2 Z L 3
Z L1 ·Z L3
Z L1 Z L 2 Z L 3
Z L 2 ·Z L 3
Z L1 Z L 2 Z L 3
j1.562· j1.25
j1.562 j1.25 j1.25
j1.953
j 4.062
j 0.481:
j1.562· j1.25
j1.562 j1.25 j1.25
j1.953
j 4.062
j 0.481:
j1.25· j1.25
j1.562 j1.25 j1.25
j1.562
j 4.062
j 0.385:
Sus correspondientes componentes homopolares son:
x
Z 8Ao
2.5·Z 8A1
2.5· j 0.481
j1.202:
Z 8Bo
2.5·Z 8B1
2.5· j 0.481
j1.202:
Z 8Co
2.5·Z 8C1
2.5· j 0.385
j 0.961:
Cálculo de impedancias (todas las impedancias están calculadas a 120kV)
X1
§ 120 ·
X 2 = j 4.8¨
¸
© 30 ¹
x G2 X 1
§ 120 ·
X 2 = j 2.7¨
¸
© 30 ¹
x G1
2
j 76.8:
2
j 43.2:
1202
§ 120 ·
X 0 = j1.2¨
¸
© 30 ¹
2
§ 120 ·
X 0 = j 0.6¨
¸
© 30 ¹
j19.2:
Xn
j 0:
j 9.6:
Xn
j 0:
2
x TR1
X1
X 2 = 0.14
x TR2
X1
X 2 = 0.12
x L1
X1
X 2 = j 25:
X 0 =2.5· X1 =j62.5:
x L2
X1
X 2 = j 20:
X 0 =2.5· X1 =j50:
x L3
X1
X 2 = j 20:
X 0 =2.5· X1 =j50:
x L4
X1
X 2 = j 22:
X 0 =2.5· X1 =j55:
x L5
X1
X 2 = j10:
X 0 =2.5· X1 =j25:
30
1202
70
j67.2:
X 0 =0.9·X1=j60.48:
Xn
j 0:
j24.68:
X 0 =0.9·X1=j22.22:
Xn
j 0:
Transformaremos igualmente el triángulo formado por las líneas ZL1, ZL2 y ZL3, en una estrella, tal
como queda reflejado en las redes de secuencia, pero en este caso, considerando el nivel de tensión de
120kV.
Z 8A
Z 8B
Z 8C
Z L1 ·Z L 2
Z L1 Z L 2 Z L 3
Z L1 ·Z L3
Z L1 Z L 2 Z L 3
Z L 2 ·Z L 3
Z L1 Z L 2 Z L 3
j 25· j 20
j 25 j 20 j 20
j 500
j 65
j 7.692:
j 25· j 20
j 25 j 20 j 20
j 500
j 65
j 7.692:
j 20· j 20
j 25 j 20 j 20
j 400
j 65
j 6.15:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
115
Sus correspondientes componentes homopolares son:
Z 8Ao
2.5·Z 8A1
2.5· j 7.692
j19.23:
Z 8Bo
2.5·Z 8B1
2.5· j 7.692
j19.23:
Z 8Co
2.5·Z 8C1
2.5· j 6.15
j15.38:
Nota:
A partir de ahora se trabajará al nivel de tensión que corresponda (30kV para la barra "A" y 120kV
para las barras "C" y "F"), pero siempre con la transformación estrella realizada, nunca con el
triángulo primitivo.
x
Buscamos las impedancias directa, inversa y homopolar vistas desde "A", "C" y "F"
x
Impedancias vistas desde las Barras "A" (30kV)
Z 1A
Z 1A
>(Z
Z 2A
g2
@
Z TR 2 Z L 4 Z B Z A Z TR1 ) //( Z g1 )
>>( j 2.7 j1.542 j1.375 j 0.481 j 0.481 j 4.2)@//( j 4.8)@ >( j10.78) //( j 4.8)@
Z 2A
Z 1A
Z 2A
(0 j 3.32)
Z 0A
Z TA
x
Z1C
Z 1C
>Z
oTR1
>Z
Z 2C
Z1A Z 2 A Z 0 A
j 7.84:
g1
@
Z TR1 Z A // Z B Z L 4 Z TR 2 Z g 2 ( Z C )
>( j 76.8 j 67.2 j 7.692) //( j 7.692 j 22 j 24.68 j 43.2)@ ( j 6.15)
>( j151.69) //( j97.57)@ ( j 6.15) ( j59.38 j 6.15) (0 j 65.53) 65.53‘90º :
Z 2C
@
Z oA // Z oB Z oL 4 Z oTR 2 Z oC
( j 79.71) //( j 96.45) ( j15.38)
Z TC
Z 1C Z 2C Z 0C
( j 60.48 j19.23) //( j19.23 j55 j 22.22) j15.38
( j 43.64 j15.38)
(0 j 59.1)
59.1‘90º :
(0 j190.18) 190.16‘90º :
Impedancias vistas desde las Barras "F" (120kV)
Z 1F
Z 1F
Z 1F
Z 0F
j1.2:
Z 2C
Z 0C
x
Z og1
3.32‘90º :
Impedancias vistas desde las Barras "C" (120kV)
Z 1C
Z 0C
@
>Z
oTR1
Z 2F
Z 2F
Z 1F
>Z
g1
@
Z TR1 Z A // Z B Z L 4 Z TR 2 Z g 2 ( Z C Z L 5 )
>( j 76.8 j 67.2 j 7.692) //( j 7.692 j 22 j 24.68 j 43.2)@ ( j 6.15 j10)
>( j151.69) //( j97.57)@ ( j16.15) ( j59.38 j16.15) (0 j 75.53) 75.53‘90º :
@
Z oA // Z oB Z oL 4 Z oTR 2 ( Z oC Z oL 5 )
Z oF
ZTF
( j 43.64) ( j 40.38)
Z1F Z 2 F Z 0 F
( j 79.71) //( j96.45) ( j15.38 j 25)
(0 j84.02)
(0 j 235.1)
84.02‘90º :
235.1‘90º :
2. Las corrientes de cortocircuito monofásico, bifásico y trifásico; corrientes máximas
asimétricas y la corriente simétrica de corte con un cortocircuito en "A" (30kV) son:
x
Corrientes de cortocircuito y corrientes máximas asimétricas de corte "Is" serán:
Para el cálculo de las siguientes intensidades, obtención y significado de los coeficientes a ellas
asociados, así como las tablas o gráficas que deben ser consultados, nos remitimos al problema 3.3, donde
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
116
de forma extensa, se razonan estas fórmulas y parámetros (recordar que se han despreciado las
resistencias de todos los componentes, y por tanto el coeficiente siempre será F=2 (tabla 12.1)).
I Kcc 3 A
I Kcc 2 A
I Kcc1 A
x
1.1·30000‘0º
3 ·3.32‘90º
1.1·30000‘0º
2·3.32‘90
5738.7‘ 90º A
I S3
2 ·2·(5738.7‘ 90º ) 16231.5‘ 90º A
4969.8‘ 90º A
I S2
2 ·2·( 4969.8‘ 90º ) 14057‘ 90º A
I S1
2 ·2·(7290.5‘ 90º )
1.1·30000‘0º 3
7.84‘90
7290.5‘ 90º A
20620.6‘ 90º A
La corriente simétrica de corte "Ia" trifásica será: (valores de "P", y "q", hallados en las gráficas
12.2 y 12.3 respectivamente, de los anexos)
Para hallar la corriente de corte total, vista desde las barras "A", es necesario aplicar la fórmula:
I a3
I kcc3 ·P ·q
I ag A I ag B
En esta fórmula aparecen dos coeficientes, cuyo cálculo se ha explicado en la primera pregunta del
problema 3.3, y a la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
x
Partimos de las tensiones nominales de los dos generadores halladas a 30kV:
30·10 6
I ng1
x
30·10 3 3
577.4 A
1.1·30000‘0º
I ng1
5738.7‘ 90º A
5738.7‘ 90º
j 4.8
( j10.78 j 4.8)
4.8‘90º
15.58‘90º
1768‘ 90º A
3970.7
577.4
6.88 Pg1 = 0.72
cc 2
I kg
I ng 2
1768
1155
1.53 Pg2 = 1
Entonces las intensidades de corte que cada generador aportará (recordar que q=1 siempre, ya que no
existen motores asíncronos en el circuito).
I ag1
P 1 ·q·I Kcc 3 g1
I ag 2
x
3 ·3.32‘90º
Con estos valores, los coeficientes P que tendremos serán para cada generador (recordar que para
realizar el cociente es imprescindible que las intensidades nominales y las de cortocircuito se
encuentren al mismo nivel de tensión, que en este caso sí coincide a 30kV) con un tiempo tv=0.1s:
cc 1
I kg
x
1155 A
Mediante divisores de intensidad hallamos las aportaciones que cada generador proporciona a esta
corriente total de cortocircuito:
j10.78
10.78‘90º
I kcc3 g1 5738.7‘ 90º
3970.7‘ 90º A
( j10.78 j 4.8) 15.58‘90º
I kcc3 g 2
x
30·10 3 3
La corriente total de cortocircuito trifásico en barras "A" es:
I Kcc 3 A
x
60·10 6
I ng 2
0.72·1·(3970.7‘ 90º )
P 2 ·q·I Kcc 3 g 2
2858.9‘ 90º A
1·1·(1768‘ 90º ) 1768‘ 90º A
Finalmente, la intensidad total de corte en el punto de cortocircuito (barras "A") será:
I aA
I ag1 I ag 2
2858.9‘ 90º 1768‘ 90º 4626.9‘ 90º A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
117
3. Las corrientes de cortocircuito monofásico, bifásico y trifásico; corriente bifásica a
tierras; corrientes máximas asimétricas y la corriente simétrica de corte con un
cortocircuito en barras "C" (120kV) son:
Corrientes de cortocircuito y corrientes máximas asimétricas de corte "Is" serán:
x
Para el cálculo de las siguientes intensidades, obtención y significado de los coeficientes a ellas
asociados, así como las tablas o gráficas que deben ser consultados, nos remitimos al problema 3.3, donde
de forma extensa, se razonan estas fórmulas y parámetros (recordar que se han despreciado las
resistencias de todos los componentes, y por tanto, el coeficiente siempre será F=2 (tabla 12.1)).
I Kcc 3C
I Kcc 2
I Kcc1
1.1·120000‘0º
1163‘ 90º A
3 ·65.53‘90º
1.1·120000‘0º
1007.2‘ 90º A
2·(65.53‘90º )
1.1·120000‘0º 3
190.16‘90º
1202.3‘ 90º A
I S3
2 ·2·(1163‘ 90º )
I S2
2 ·2·(1007.2‘ 90º )
I S1
2 ·2·(1202.3‘ 90º 3400.6‘ 90º A
x
Las corrientes de cortocircuito bifásico a tierras serán:
x
Calculamos la I"K2EE en las barras "C"
3289‘ 90º A
2848.8‘ 90º A
Su resolución consiste simplemente en la aplicación de las fórmulas dadas para este tipo de
cortocircuito, tanto referentes a tensiones como a intensidades. Estas fórmulas pueden ser consultadas en
los anexos correspondientes. (Los valores de las impedancias son los valores que las mismas toman en el
punto de cortocircuito, es decir, las totales).
Nota: recordar que:
I Kcc 2 E
s
jcU nC
a
a 1‘0º
aZ 2 Z o
2
a Z2 Z0
jcU nC
I Kcc 2 E E
3cU nC
1‘120º
a
3
1‘240º
1.1·120000‘0º·108‘(122º 90º )
12042‘180º
Z1 Z 2 Z1Z 3 Z 2 Z o
I Kcc 2 ET
2
Z1Z 2 Z1Z 3 Z 2 Z 0
1184‘148º A
1.1·120000‘0º·108‘(58.3º 90º )
12042‘180º
Z2
Z1Z 2 Z1Z 3 Z 2 Z o
3 ·1.1·120000‘0º
1184‘31.7 º A
65.54‘90º
12042‘180º
1244.3‘90º A
Con:
aZ 2 Z o
65.54‘210º 59.1‘90º
2
56.76 j91.9 108‘ 122º :
56.76 j91.9 108‘ 58.3º :
a Z 2 Z 0 65.54‘330º 59.1‘90º
Z 1 Z 2 Z 1 Z 3 Z 2 Z 0 12042‘180º :
x
La corriente simétrica de corte "Ia" trifásica será: (valores de "P" y "q", hallados en las gráficas
12.2 y 12.3 respectivamente, de los anexos)
Para hallar la corriente de corte total, vista desde las barras "C", es necesario aplicar la fórmula:
I a3
I ' ' k 3 ·P ·q
I ag A I ag B
En esta fórmula aparecen dos coeficientes, cuyo cálculo se ha explicado en la primera pregunta del
problema 3.3, y a la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
x
Partimos de las tensiones nominales de los dos generadores halladas a 30kV:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
118
30·10 6
I ng1
x
577.4 A
30·10 3 3
1.1·120000‘0º
I kcc3 g 2
1163‘ 90º
I ng1
x
1163‘ 90º A
Z
Z L 4 ZTR 2 Z g 2
Z B Z L 4 ZTR 2 Z g 2 Z A ZTR1 Z g1
Z
B
Z
B
A
Z TR1 Z g1
1163‘ 90º
Z L 4 Z TR 2 Z g 2 Z A Z TR1 Z g1
97.57‘90º
249.3‘90º
1163‘ 90º
455‘ 90º A
151.7‘90º
249.3‘90º
708‘ 90º A
Con estos valores, los coeficientes P que tendremos serán para cada generador (recordar que para
realizar el cociente es imprescindible que las intensidades nominales y las de cortocircuito se
encuentren al mismo nivel de tensión, que en este caso no coincide) con un tiempo tv=0.1s:
cc 1
I kg
x
3 ·65.53‘90º
Mediante divisores de intensidad hallamos las aportaciones que cada generador proporciona a esta
corriente total de cortocircuito:
Ikcc3 g1 1163‘ 90º
x
1155 A
30·10 3 3
La corriente total de cortocircuito trifásico en barras "C" es:
I Kcc 3C
x
60·10 6
I ng 2
§ 120 ·
455¨
¸
© 30 ¹
577.4
cc 2
I kg
3.15 Pg1 = 0.87
I ng 2
§ 120 ·
708¨
¸
© 30 ¹
1155
2.45 Pg2 = 0.93
Entonces las intensidades de corte que cada generador aportará (recordar que q=1 siempre, ya que no
existen motores asíncronos en el circuito) a 120kV de tensión serán:
I ag1
P 1 ·q·I ' ' K 3 g1
I ag 2
P 2 ·q·I ' ' K 3 g 2
0.87·1·( 455‘ 90º )
0.93·1·(708‘ 90º )
395.87‘ 90º A
658.4‘ 90º A
Finalmente, la intensidad total de corte en el punto de cortocircuito (barras "C") será:
I aC
I ag1 I ag 2
395.87‘ 90º 658.4‘ 90º 1054.2‘ 90º A
4. Las corrientes de cortocircuito monofásico, bifásico y trifásico; corrientes máximas
asimétricas y la corriente simétrica de corte con un cortocircuito en "F" (120kV) son:
x
Corrientes de cortocircuito y corrientes máximas asimétricas de corte "Is", serán:
Para el cálculo de las siguientes intensidades, obtención y significado de los coeficientes a ellas
asociados, así como las tablas o gráficas que deben ser consultados, nos remitimos al problema 3.3, donde
de forma extensa, se razonan estas fórmulas y parámetros (recordar que se han despreciado las
resistencias de todos los componentes, y por tanto, el coeficiente siempre será F=2 (tabla 12.1)).
I Kcc 3 F
I Kcc 2 F
I Kcc1F
x
1.1·120000‘0º
3 ·7.53‘90º
1.1·120000‘0º
2·(75.53‘90º )
1009‘ 90º A
I S3
2 ·2·(1009‘ 90º )
873.82‘ 90º A
I S2
2 ·2·(873.82‘ 90º )
I S1
2 ·2·(972.5‘ 90º )
1.1·120000‘0º· 3
235.1‘90º
972.5‘ 90º A
2854‘ 90º A
2471.5‘ 90º A
2750.6‘ 90º A
La corriente simétrica de corte "Ia" trifásica será: (valores de "P", y "q", hallados en las gráficas
12.2 y 12.3 respectivamente, de los anexos)
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
119
Para hallar la corriente de corte total, vista desde las barras "F", es necesario aplicar la fórmula:
I a3
I ' ' k 3 ·P ·q
I ag A I ag B
En esta fórmula aparecen dos coeficientes, cuyo cálculo se ha explicado en la primera pregunta del
problema 3.3 y a la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
Partimos de las tensiones nominales de los dos generadores halladas a 30kV:
x
30·10 6
I ng1
x
577.4 A
30·10 3 3
I kcc3 g 2
1009‘ 90º
I ng1
Z
3 ·7.53‘90º
1009‘ 90º A
Z L 4 ZTR 2 Z g 2
Z B Z L 4 ZTR 2 Z g 2 Z A ZTR1 Z g1
Z
B
Z
B
A
Z TR1 Z g1
1009‘ 90º
Z L 4 Z TR 2 Z g 2 Z A Z TR1 Z g1
§ 120 ·
395¨
¸
© 30 ¹
577.4
97.57‘90º
249.3‘90º
1009‘ 90º
151.7‘90º
249.3‘90º
395‘ 90º A
614‘ 90º A
2.74 Pg1 = 0.91
cc 2
I kg
I ng 2
§ 120 ·
614¨
¸
© 30 ¹
1155
2.13 Pg2 = 0.98
Entonces las intensidades de corte que cada generador aportará (recordar que q=1 siempre, ya que no
existen motores asíncronos en el circuito) a 120kV de tensión serán:
I ag1
I ag 2
x
1.1·120000‘0º
Con estos valores, los coeficientes P que tendremos serán para cada generador (recordar que para
realizar el cociente es imprescindible que las intensidades nominales y las de cortocircuito se
encuentren al mismo nivel de tensión, que en este caso no coincide):
cc 1
I kg
x
1155 A
Mediante divisores de intensidad hallamos las aportaciones que cada generador proporciona a esta
corriente total de cortocircuito:
Ikcc3 g1 1009‘ 90º
x
30·10 3 3
La corriente total de cortocircuito trifásico en barras "F" es:
I Kcc 3 F
x
60·10 6
I ng 2
P 1 ·q·I ' ' K 3 g1
0.91·1·(395‘ 90º )
35.45‘ 90º A
P 2 ·q·I ' ' K 3 g 2
0.98·1·(614‘ 90º )
601.72‘ 90º A
Finalmente, la intensidad total de corte en el punto de cortocircuito (barras "C") será:
I aC
I ag1 I ag 2
359.45‘ 90º 601.72‘ 90º 961.17‘ 90º A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
120
PROBLEMA 3.6
Disponemos del siguiente sistema de potencia formado por varios generadores y transformadores
dispuestos como se indica en la figura. Suponiendo que se producen unos cortocircuitos en las barras "A"
y "F", y con los valores siguientes:
DATOS
G1:…….40MVA………… 25KV……….Xd’’=X1=X2= 12%………..X0=4%………….Xn=0
G2:…….50MVA………… 25KV……….Xd’’=X1=X2= 16%………..X0=4%………….Xn=0
TR1:……40MVA………..120/25KV……..…X1=X2=12%………..…..X0=0.9·X1………Xn=0
TR2:……70MVA………..120/25KV………..X1=X2=12%……………X0=0.9·X1………Xn=0
L1:……………………………………………X1=X2=j25 : ………….X0=2.5·X1=62.5j :
L2:……………………………………………X1=X2=j20 : ………….X0=2.5·X1=50j :
L3:……………………………………………X1=X2=j20 : ………….X0=2.5·X1=50j :
L4:……………………………………………X1=X2=j22 : ………….X0=2.5·X1=55j :
L5:……………………………………………X1=X2=j10 : ………….X0=2.5·X1=25j :
Y¨
Figura 3.6 Circuito unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 3.6
HALLAR
1
Las redes de secuencia directa, inversa y homopolar del sistema de potencia.
2
En el supuesto de producirse unos cortocircuitos (monofásicos, bifásicos, trifásicos) en las barras de
interconexión “A”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes
asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)? Dar el valor, asimismo,
de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un cortocircuito trifásico (Ia)
(suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
3
En el supuesto de producirse los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos, trifásicos)
pero ahora en las barras de interconexión “F”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y
las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)?
Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un
cortocircuito trifásico (Ia) (suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
RESOLUCIÓN
x
Cálculo de impedancias a 25kV
2
G1
X1
X2
G2
X1
X2
T R1
X1
X2
X dcc ˜
Un
Sn
0,12 ˜
25000 2
40 ˜10 6
25000 2
j 2:
50 ˜10 6
2
U
25000 2
H xcc ˜ n
0.12 ˜
Sn
40 ˜10 6
j1.875:
0.16 ˜
j1.875:
X0
0.04 ˜
25000 2
40 ˜10 6
j 0.625:
Xn=0
X0
0.04 ˜
25000 2
50 ˜10 6
j 0.5:
Xn=0
X0
0 .9 ˜ X 1
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
j1.687:
Xn=0
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
2
TR2
X1
L1:
X1
L2:
L3:
L4:
L5:
x
X 2 ˜ H xcc ˜
Un
Sn
0,12 ˜
j 25
X2
§ 120 ·
¨
¸
© 25 ¹
X1=X2=j0.868 :
X1=X2=j0.868 :
X1=X2=j0.955 :
X1=X2=j0.434 :
j 25
2
j1.07:
X0
j1.085:
4.82
0 .9 ˜ X 1
j 0.964:
Xn=0
X0=2.5·X1= j 2.71 :
X0=2.5·X1= j2.17 :
X0=2.5·X1= j2.17 :
X0=2.5·X1= j2.387 :
X0=2.5·X1= j1.085 :
Cálculo de impedancias a 120kV
G1
X1
X2
j1.8754.82
G2
X1
X2
j 24.82
T R1
X1
TR2
X1
X2
H xcc ˜
Un
Sn
X 2 ˜ H xcc ˜
Un
Sn
j 43.2:
j 46.08:
2
X0
j 0.6254.82
X0
0.54.82
j14.4:
j11.52:
Xn=0
Xn=0
2
0.12 ˜
2
L1:
L2:
L3:
L4:
L5:
250002
70 ˜106
121
0,12 ˜
120000
40 ˜10 6
1200002
70 ˜ 106
X1=X2=j25 :
X1=X2=j20 :
X1=X2=j20 :
X1=X2=j22 :
X1=X2=j10 :
j 43.2:
j 24.6:
X0
0 .9 ˜ X 1
j 38.88:
Xn=0
X0
0 .9 ˜ X 1
j 22.22:
Xn=0
X0=2.5·X1= j 62.5 :
X0=2.5·X1= j 50 :
X0=2.5·X1= j 50 :
X0=2.5·X1= j 55 :
X0=2.5·X1= j 25 :
1 Redes de secuencia directa, inversa y homopolar
x
Redes de secuencia directa e inversa (sin los generadores)
x
Con el cambio triangulo-estrella
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
122
x
Red de secuencia homopolar
x
Con el cambio triángulo-estrella
x
Pasamos las impedancias de triángulo a estrella
x
En la red directa y inversa (a 25kV)
XA
X L1 ˜ X L 2
X L1 X L 2 X L 3
j 0.334:
XC
X L 2 ˜ X L3
X L1 X L 2 X L3
j 0.267:
x
X oA
X oC
x
XA
XC
x
X oA
X oC
XB
X L1 ˜ X L3
X L1 X L 2 X L 3
j 0.334:
En la red homopolar (a 25kV)
X 0 L1 ˜ X 0 L 2
X 0 L1 X 0 L 2 X 0 L3
X 0 L 2 ˜ X 0 L3
X 0 L1 X 0 L 2 X 0 L 3
j 0.835:
X oB
X 0 L1 ˜ X 0 L 3
X 0 L1 X 0 L 2 X 0 L3
j 0.835:
j 0.667:
En la red directa y inversa (a 120kV)
X L1 ˜ X L 2
X L1 X L 2 X L3
X L 2 ˜ X L3
X L1 X L 2 X L3
j 7.692:
XB
X L1 ˜ X L3
X L1 X L 2 X L3
j 7.692:
j 6.15:
En la red homopolar (a 120kV)
X 0 L1 ˜ X 0 L 2
X 0 L1 X 0 L 2 X 0 L3
X 0 L 2 ˜ X 0 L3
X 0 L1 X 0 L 2 X 0 L 3
j19.23:
X oB
X 0 L1 ˜ X 0 L 3
X 0 L1 X 0 L 2 X 0 L 3
j15.38:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
j19.23:
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
123
x
Buscamos las impedancias directa, inversa y homopolar vistas desde "A" y "F"
x
Impedancias vistas desde las Barras "A" (a 25kV)
>
Z1A
Z2A
( Z g1 ) // Z g 2 Z TR 2 Z L 4 Z B Z A Z TR1
Z oA
Z og1
Z TA
Z 1 A Z 2 A Z oA
(0 j 0.625)
@
( j1.875) // > j 6.578@ (0 j1.46) 1.46‘90º :
0.625‘90º :
( j1.46 j1.46 j 0.625)
(0 j 3.545)
3.545‘90º :
Impedancias vistas desde las Barras "F" ( a 120 KV)
x
Z 1F
>Z
Z 2F
g1
@ Z TR1 Z A // Z B Z L 4 Z TR 2 Z g 2 Z C Z L5
> j 43.2 j 43.2 j 7.692 // j 7.692 j 22 j 24.6 j 46.08@ ( j16.15) j94.09 // j100.37 ( j 25.38)
( j 48.57) ( j16.15)
Z oF
>Z
oTR1
> j 38.88 (0 j 64.72)
64.72‘90º :
@ Z oA // Z oB Z oL 4 Z oTR 2 Z oC Z oL 5
j19.23 // j19.23 j 55 j 22.22 @ j15.38 j 25 ( j 58.11 // j 96.45) ( j 40.38)
( j 36.26 j 40.38)
(0 j 76.64)
Z TF
76.64‘90º :
Z 1F Z 2 F Z oF
(0 j 206.1)
206.1‘90º :
2
Las corrientes de cortocircuito monofásico, bifásico y trifásico; corrientes máximas
asimétricas y la corriente simétrica de corte con un cortocircuito en "A" (a 25kV) son:
x
Corrientes de cortocircuito: (aplicando las fórmulas correspondientes a cada tipo de cortocircuito).
1 .1 ˜ U n
1.1 ˜ 25000‘0º
3 ˜ Z1
3 ˜1.46‘90º
I Kcc 2
1 .1 ˜ U n
˜ Z1 Z 2
1.1˜ 25000‘0º
2 ˜1.46‘90º
I Kcc1
1.1 ˜ U n · 3
ZT
I Kcc 3
x
10874.75‘ 90º A
9417.8‘ 90º A
1.1· 3 ˜ 25000‘0º
3.545‘90º
13436.2‘ 90º A
Corrientes máximas asimétricas de cortocircuitos “IS”: (aplicando el coeficiente F , gráfica 12.1)
Recordando todo lo expuesto en la primera pregunta del problema 3.3 referente a la intensidad "Is", y a
la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
Las fórmulas a aplicar para hallar la corriente de cierre máxima, para los distintos tipos de
cortocircuitos, son:
IS
2 ˜ F ˜ I ' ' k Como R=0, siempre F
2 (gráfica 12.1, de los anexos)
I S3
2 ˜ F ˜ I ' 'k3
2 ˜ 2 ˜ (10874.75‘ 90º )
30758.44‘ 90º A
I S2
2 ˜ F ˜ I ' 'k2
2 ˜ 2 ˜ (9417.8‘ 90º )
26637.56‘ 90º A
I S1
2 ˜ F ˜ I ' ' k1
2 ˜ 2 ˜ (13436.2‘ 90º )
38002.2‘ 90º A
Con estos valores se adopta para todos los casos un Poder de Cierre de 50KA.
x
La corriente simétrica de corte "Ia" trifásica será: (valores de "P" y "q", hallados en las gráficas
12.2 y 12.3 respectivamente, de los anexos)
Para hallar la corriente de corte total, vista desde las barras "A", es necesario aplicar la fórmula:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
124
I a3
I ' ' k 3 ·P ·q
I ag A I ag B
En esta fórmula aparecen dos coeficientes, cuyo cálculo se ha explicado en la primera pregunta del
problema 3.3 y a la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
Operando en consecuencia para estas barras "A", tendremos:
x
La intensidad trifásica de cortocircuito en barras "A" es: I ' ' AK 3
10874.75‘ 90º A
Sí dividimos esta intensidad entre los dos generadores:
cc 3 g1
I AK
I ' ' AK 3
cc 3 g 2
I AK
I ' ' AK 3
( Z g 2 Z TR 2 Z L 4 Z B Z A Z TR1 )
( Z g1 ) ( Z g 2 Z TR 2 Z L 4 Z B Z A Z TR1 )
Z g1
( Z g 1 ) ( Z g 2 Z TR 2 Z L 4 Z B Z A Z TR1 )
10874.75‘ 90º
j 6.578
j8.453
8462.6‘ 90º A
10874.75‘ 90º
j1.875
j8.453
2412.2‘ 90º A
Las intensidades nominales, en módulo, de los generadores son:
40 ˜10 6
Sn
I ng1
I ng 2
3 ˜U n
3 ˜ 25 ˜10 3
Sn
50 ˜10 6
923.76 A
1154.7 A
3 ˜ 25 ˜10 3
3 ˜U n
Encontramos los coeficientes P g1 y P g 2 gráficamente (gráfica 12.2, de los anexos con un tv=0.1s):
I Kcc 3 g1
8462.6
923.76
I ng1
I Kcc 3 g 2
22412.2
1154.7
I ng 2
9.16
2.09
P g1
0.65
P g2
0.98
Por tanto, la corriente simétrica de corte será:
Ia
I ag1 I ag 2
I ' ' K 3 g1 ˜P g1 ˜ q1 I ' ' K 3 g 2 ˜P g 2 ˜ q 2
(8462.6‘ 90º ) ˜ 0.65 ˜ 1 (2412.2‘ 90º ) ˜ 0.98 ˜ 1
7864.6‘ 90º A
Recordar que q=1 cuando no hay motores asíncronos (gráfica 12.3, de los anexos).
Con estos valores será suficiente con adoptar un Poder de Corte de 15KA.
3
Las corrientes de cortocircuito monofásico, bifásico y trifásico; corrientes máximas
asimétricas y la corriente simétrica de corte con un cortocircuito en "F" (a 120kV)
son:
x
Corrientes de cortocircuito: (aplicando las fórmulas correspondientes a cada tipo de cortocircuito)
1 .1 ˜ U n
1.1 ˜120000‘0º
3 ˜ Z1
3 ˜ 64.72‘90º
I Kcc 2
1.1 ˜ U n
Z1 Z 2
1.1 ˜120000‘0º
2 ˜ (64.72‘90º )
I Kcc1
1.1 ˜ 3 ·U n
ZT
I Kcc 3
1177.54‘ 90º A
1019.78‘ 90º A
1.1 ˜ 3 ·120000‘0º
206.1‘90º
1109.3‘ 90º A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
x
125
Corrientes máximas asimétricas de cortocircuitos “IS”: (aplicando el coeficiente F , gráfica 12.1)
Recordando todo lo expuesto en la primera pregunta del problema 3.3 referente a la intensidad "Is" y a
la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
Las fórmulas a aplicar para hallar la corriente de cierre máxima, para los distintos tipos de
cortocircuitos, son:
IS
F ˜ 2 ˜ I''K
Como R=0, siempre F
2 (gráfica 12.1, de los anexos)
I S3
2 ˜ 2 ·I ' ' K 3
I S2
2 ˜ 2 ˜ I ' 'K2
2· 2 ·(1019.8‘ 90º )
2884.4‘ 90º A
I S1
2 ˜ 2 ˜ I ' ' K1
2· 2 ·(1109.3‘ 90º )
3137.6‘ 90º A
2· 2 ·(1177.5‘ 90º )
3330.6‘ 90º A
Con estos valores se adopta para todos los casos un Poder de Cierre de 5KA.
x
La corriente simétrica de corte "Ia" trifásica será: (valores de "P", y "q", hallados en las gráficas
12.2 y 12.3 respectivamente, de los anexos)
Para hallar la corriente de corte total, vista desde las barras "F", es necesario aplicar la fórmula:
I a3
I ' ' k 3 ·P ·q
I ag A I ag B
En esta fórmula aparecen dos coeficientes, cuyo cálculo se ha explicado en la primera pregunta del
problema 3.3 y a la cual nos remitimos para su correcta comprensión:
Operando en consecuencia para estas barras "F", tendremos:
x
cc 3120 KV
I Fk
Como:
1177.54‘ 90º A A
Mediante divisores de intensidad, buscamos las aportaciones que cada generador da a esta corriente de
cortocircuito:
cc 3 g1
I FK
I ' ' FK 3
cc 3 g 2
I FK
I ' ' FK 3 ˜
I ' ' Fk 3
( Z B Z L 4 Z TR 2 Z g 2 )
( Z g1 Z TR1 Z A ) ( Z B Z L 4 Z TR 2 Z g 2 )
( j 7.692 j 22 j 24.6 j 46.08)
(2( j 43.2) j 7.692) ( j 7.69 j 22 j 24.6 j 46.08)
I ' ' FK 3 ˜
1177.54‘ 90º
j100.4
j194.5
607.8‘ 90º A
1177.54‘ 90º
j 94.1
j194.5
569.7‘ 90º A
( Z g1 Z TR1 Z A )
( Z g1 Z TR1 Z A ) ( Z B Z L 4 Z TR 2 Z g 2 )
( j 43.2 j 43.2 j 7.692)
(2( j 43.2) j 7.692) ( j 7.692 22 j 24.6 j 46.08)
Que a bajo nivel de tensión (25kV) será:
I ' ' Fk 3 g125 KV
§ 120 ·
607.8‘ 90º·¨
¸
© 25 ¹
I ' ' Fk 3 g 2 25 KV
569.7‘ 90º·(4.8)
2917.4‘ 90º A
2734.6‘ 90º A
Con unas intensidades nominales, en módulo, de los generadores de:
I ng1
Sn
3 ˜U n
40 ˜10 6
3 ˜ 25 ˜10 3
923.76 A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
126
I ng 2
50 ˜10 6
Sn
3 ˜ 25 ˜10 3
3 ˜U n
1154.7 A
Encontramos P g1 y P g 2 gráficamente (gráfica 12.2, de los anexos y con un tiempo de tv=0.1s):
I Kcc 3 g1
I ng1
I Kcc 3 g 2
I ng 2
2917.4
923.76
3.16
P g1 =0.87
2734.6
1154.7
2.37
P g 2 =0.93
Quedando la corriente simétrica de corte con un valor de (recordar que vuelven a adoptarse los valores
de las intensidades a 120000kV, ya que el punto "F" se encuentra a esta tensión):
I aF120 KV
I ag1 I ag 2
I ' ' K 3 g 1 ˜P g 1 ˜ q 1 I ' ' K 3 g 2 ˜P g 2 ˜ q 2
(607.8‘ 90º )·0.87·1 (569.7‘ 90º )·0.93·1 1058.6‘ 90º A
Recordar que cuando no hay motores asíncronos q=1 (gráfica 12.3 de los anexos).
Con estos valores podemos adoptar un Poder de Corte de 2KA para todos los casos.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
127
PROBLEMA 3.7
El circuito mostrado en la figura corresponde a un suministro trifásico formado por dos generadores
síncronos trifásicos y dos transformadores. Los parámetros y valores que definen al sistema son:
DATOS
G1 …………60 MVA……….25 kV……….X1=X2= 22.5% ……….Xo= 7.5%……...Xn=
G2 …………50 MVA……….25 kV……….X1=X2= 21.875%……..Xo= 7.5%……...Xn=
TR1 ………..60 MVA……..25/150 kV…….X1=X2= 11.25% ………Xo= 7.5%……...Xn=
TR2 ………..80 MVA……..25/150 kV…….X1=X2= 18%…………..Xo= 18%………Xn=
Línea……………………………………….X1=X2= j 14.1:…...….Xo= j 56.3:
G1
11.25%
12.5%
0
0
G2
TR1
1
M1
a x
2
x
TR2
3
L
x
4
x
M2
a
x
xn2
xn1
Y y0
D y11
Figura 3.7 Circuito unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 3.7
HALLAR
Si en las barras "3", se produce un cortocircuito Fase-tierra:
1.
2.
3.
Todas las intensidades del circuito.
Las tensiones de línea en el punto de fallo (barras "3").
Las tensiones de línea en bornes de G1, (barras "1").
RESOLUCIÓN
x
Redes de secuencia directa, inversa y homopolar
x
Redes de secuencia directa e inversa (sin generadores)
G1
X g1
a
X T1
1
XL
2
x
X T2
3
x
x
G2
a
x
I´´k1
N
x
X g2
4
N
Red de secuencia homopolar
X 0g1
1
x
3 X g1
X 0T1
2
x
x
X oL
3
X 0T2
x
4
X 0 g2
x
I´ ´k1
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 X n2
Protección de sistemas eléctricos de potencia
128
Cálculo de impedancias a 25kV
x
252
x G1
X1
X 2 = 0.225
x G2
X1
X 2 = 0.21875
x TR1
X1
X 2 = 0.1125
x TR2
X1
X 2 = 0.18
xLínea
X1
X2
60
252
X 0 = 0.075
j 2.734:
50
(25) 2
60
X 0 = 0.075
j1.172:
252
X 0 = 0.075
j1.406:
80
j14.1
(6)
j 2.344:
X 0 = 0.18
j 0.392:
2
X1
x G1
X1
x G2
X n =j1.172:
j 0.9375:
X n =j1.563:
j 0.781:
X n =0
50
252
60
j1.406:
80
j 56.3
X0
j 0.7812:
252
252
X n =0
j1.564:
(6 ) 2
X2
( j 2.344)(6) 2
X2
2
( j 2.734)(6)
j84.384:
( j 0.7812)(6) 2
X0
j 98.42:
X 0 = ( j 0.9375)(6)
2
x TR1
X1
X 2 = 0.1125
x TR2
X1
X 2 = 0.18
xLínea
X1
X 2 =j14.1:
150
j 42.18:
60
1502
X 0 = 0.075
j 50.62:
80
2
j 28.12:
j 33.75:
X n =j42.19:
X n =j56.27:
2
X 0 = 0.18
150
j 28.125:
60
1502
j 50.625:
80
X n =0
X n =0
X 0 = j56.3:
Relación de transformación
m
x
60
Cálculo de impedancias a 150kV
x
x
252
150
25
6
Circuito equivalente al producirse una falta monofásica en las barras "3"
G1
1
TR1
2
x
x
1163.52‘ 90º
x
111.96‘90º
x
¦
0‘0º
111.96‘90º
0‘0º
I´´k1
0‘0º
TR2
x
x
0‘0 º
x
x
x
x
I
3
4
x
¦I
x
x
111.8‘ 90º
0‘0 º
x
x
111.8‘ 90º
653‘ 90º
x
Cálculo de las impedancias totales vistas desde las barras de cortocircuito
Zo
>X
>X
oT 2
g1
@ > j140.66 // j149@ (0 j72.35)
@ ( j50.625 j33.75 3( j56.268)) (0 j 253.18)
X T 1 X L // X T 2 X g 2
X og 2 3 X g 2
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
x
x
671.7‘ 90º
3917.17 ‘ 90 º
0‘0º
Barras "3" a alta tensión (150kV) en el punto de cortocircuito
Z2
0‘0 º
x
671.7‘ 90º
x
Z1
G2
2574.3‘ 90º
223.92‘ 90º 429.05‘ 90º
1163.52‘90º
0‘0º
L
72.35‘0º :
253.18‘0º :
I´´k
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
ZT
x
129
(Z 1 Z 2 Z o )
(0 j 397.9)
397.9‘0º :
La corriente de cortocircuito total, así como las componentes simétricas totales en las barras
del cortocircuito, con una falta monofásica a tierra, será:
I Kcc1
1.1·(150000‘0º ) 3
397.9‘90º
1.1·U n 3
Z1 Z 2 Z 0
(1.1)652.94‘ 90º A
El coeficiente de simultaneidad (1.1) no se utiliza para realizar el estudio de las componentes
simétricas.
Las componentes simétricas de la corriente de cortocircuito monofásico a tierra se repartirán de la
siguiente forma:
I R1
I R2
I R0
I Kcc1
3
217.65‘ 90º A
Con este tipo de cortocircuito monofásico a tierra, es necesario considerar las componentes
homopolares, ya que existe una fuga de corriente hacia tierra.
x
Intensidades de línea en el punto de cortocircuito: (intensidades totales en el punto de cortocircuito
halladas mediante sus correspondientes componentes simétricas).
Recordar que:
IR
IS
IT
a 1‘0º
I R1 I R 2 I R 0
a
2
1‘120º
a
3
1‘240º
217.65‘ 90º 217.65‘ 90º 217.65‘ 90º 652.94‘ 90º A
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
217.65‘(90º 240º ) 217.65‘(90º 120º ) 217.65‘ 90º 0‘0º A
217.65‘(90º 120º ) 217.65‘(90º 240º ) 217.65‘ 90º 0‘0º A
¦I
652.65‘ 90º A
En este caso, como existe fuga de energía a tierra, la suma de las intensidades de línea en el punto de
cortocircuito no será nula. Existe una componente, que es precisamente la corriente total de cortocircuito.
1. Hallamos todas las intensidades del circuito
Vamos a hallar las intensidades de línea correspondientes a diversos puntos del sistema de potencia.
Para ello, nos basaremos en las componentes simétricas halladas para el apartado anterior (punto de
cortocircuito).
Será necesario, mediante divisores de intensidad, dividir las componentes simétricas halladas (recordar
que son las totales para el punto de cortocircuito) para las dos secciones en las que queda dividido el
circuito a causa del cortocircuito producido en las barras "3" (ver redes de secuencia).
x
Reparto de las componentes simétricas de las corrientes
TR2 (primario)
Línea
I R1
I R2
I R0
149‘ 90º
111.96‘ 90º A
289.7‘ 90º
149‘ 90º
217.65‘ 90º
111.96‘ 90º A
289.7‘ 90º
253.18‘ 90º
217.65‘ 90º
0A
f
217.65‘ 90º
I R1
217.65‘ 90º
j140.7
j 289.7
105.7‘ 90º A
I R2
217.65‘ 90º
j140.7
j 289.7
105.7‘ 90º A
I R0
217.65‘ 90º A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
130
x
Las intensidades serán:
x
EN LA LÍNEA L1 Y EN EL SECUNDARIO DEL TRANSFORMADOR TR1: (150kV) (valores
especificados en el esquema del circuito equivalente del sistema de potencia)
x
Cálculo de intensidades de línea en la línea 1º
Teniendo presentes las componentes simétricas halladas para este tramo del circuito, tendremos:
IR
IS
IT
I R1 I R 2 I R 0
111.96‘ 90º 111.96‘ 90º 0‘0º
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
111.96‘(90º 240º ) 111.96‘(90º 120º ) 10‘0º 111.96‘90º A
111.96‘(90º 120º ) 111.96‘(90º 240º ) 0‘0º 111.96‘90º A
¦I
x
223.92‘ 90º A
0‘0º A
EN EL GENERADOR G1: (25kV) (valores especificados en el esquema del circuito equivalente
del sistema de potencia)
Para calcular las corrientes que fluyen a través de los bornes del generador G1, será necesario pasar las
componentes simétricas que transcurrían por la línea 1º, a través del transformador TR1.
Para pasar las componentes simétricas a través de un transformador es preciso recordar tres requisitos
básicos:
x Un transformador sólo permitirá el paso de las componentes homopolares cuando sus
primarios y secundarios estén conectados en estrella y además cada neutro de estas estrellas
esté puesto a tierra. Los demás tipos de conexión nunca permitirán el paso de las
componentes homopolares.
x Un transformador (aunque mantiene la frecuencia y las potencias en unos valores muy
similares) modifica las tensiones y las intensidades al paso de éstas a través del mismo. Por
ello, es necesario aplicar la relación de transformación (tanto para intensidades como para
tensiones) cuando se desee pasar estas magnitudes a través de un transformador.
x Los transformadores también introducen desfases en los argumentos de las magnitudes
eléctricas que pasan por sus bobinados. Para simplificar en la resolución de estos problemas,
se seguirá lo establecido por la norma Americana ANSI, mediante la cual pueden darse dos
situaciones características:
x En transformadores triángulo-estrella o estrella-triángulo. Si aumentamos de tensión
(transformador elevador) tendremos que sumarles 30º grados a los ángulos de las
intensidades en la secuencia directa, y restarles 30º grados a los ángulos de las mismas
intensidades en la secuencia inversa. Si lo que hacemos es disminuir la tensión
(transformador reductor), el proceso será el contrario del anterior (donde se sumaban
grados se restarán, y viceversa).
x En transformadores, estrella-estrella o triangulo-triangulo. No se producirá ningún
desfase (el desfase es de 0º grados), no debiéndose modificar por tanto los argumentos
de las tensiones o de las intensidades.
x
Componentes simétricas de las intensidades en los bornes del generador G1
En nuestro caso, perdemos tensión al pasar de la línea 1º (150kV) a los bornes del generador G1
(25kV). Teniendo presente las recomendaciones para transformadores, las componentes simétricas que
pasaban por la línea 1º, al pasar a través del transformador TR1, quedan convertidas de la siguiente forma:
I ' R1
I ' R2
I ' Ro
§ 150 ·
I R1 ·m·1‘ 30º 111.96‘ 90º ¨
¸·1‘ 30º 671.76‘ 120º A
© 25 ¹
§ 150 ·
I R 2 ·m·1‘30º 111.96‘ 90º˜¨
¸·1‘30º 671.76‘ 60º A
© 25 ¹
0A
El transformador TR1 no permite el paso de las corrientes homopolares a través de él, como queda
reflejado en la red de secuencia homopolar.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
131
Cálculo de las intensidades de línea en los bornes del generador G1
x
I 'R
I 'S
I 'T
I ' R1 I ' R 2 I ' R 0
671.76‘ 120º 671.76‘ 60º 0‘0º 1163.52‘ 90º A
2
I ' R1 ˜a I ' R 2 ˜a I ' R 0
2
I ' R1 ˜a I ' R 2 ˜a I ' R 0
671.76‘(90º 240º ) 671.76‘(90º 120º ) 0‘0º 1163.52‘90º A
671.76‘(90º 120º ) 671.76‘(90º 240º ) 0‘0º 0‘0º A
¦ I ' 0 ‘0 º A
x
EN EL PRIMARIO DEL TRANSFORMADOR TR2: (150kV) (valores especificados en el
esquema del circuito equivalente del sistema de potencia)
x
Cálculo de intensidades de línea en los bornes de TR2
Teniendo presente las componentes simétricas halladas para este tramo del circuito, tendremos:
IR
IS
IT
I R1 I R 2 I R 0
105.7‘ 90º 105.7‘ 90º 217.65‘ 90º
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
105.7‘(90º 240º ) 105.7‘(90º 120º ) 217.65‘ 90º 111.8‘ 90º A
105.7‘(90º 120º ) 105.7‘(90º 240º ) 217.65‘ 90º 111.8‘ 90º A
¦I
x
429.05‘ 90º A
652.65‘ 90º A
EN EL GENERADOR G2: (20kV): (valores especificados en el esquema del circuito
equivalente del sistema de potencia)
Para calcular las corrientes que fluyen a través de los bornes del generador G2, será necesario pasar las
componentes simétricas que transcurrían por el primario del transformador TR2.
Para pasar las componentes simétricas a través de un transformador es preciso recordar los tres
requisitos básicos dados en el apartado anterior de este mismo problema:
x
Componentes simétricas de las intensidades en los bornes del generador G2
En nuestro caso, perdemos tensión al pasar de los bornes del primario del transformador TR2 (150kV) a
los bornes del generador G2 (25kV). Teniendo presente las recomendaciones para transformadores, las
componentes simétricas, al pasar a través del transformador TR2, quedan convertidas de la siguiente
forma:
§ 150 ·
I ' R1 I R1 ·m·1‘0º 105.7‘ 90º ¨
¸·1‘0º 634.2‘ 90º A
© 25 ¹
x
I 'R
I 'S
I 'T
I ' R2
§ 150 ·
I R 2 ·m·1‘0º 105.7‘ 90º˜¨
¸·1‘0º 634.2‘ 90º A
© 25 ¹
I ' Ro
§ 150 ·
I Ro ·m·1‘0º 217.65‘ 90º·¨
¸·1‘0º 1305.9‘ 90º A
© 25 ¹
Cálculo de las intensidades de línea en los bornes del generador G2
I ' R1 I ' R 2 I ' R 0
634.2‘ 90º 634.2‘ 90º 1305.9‘ 90º
2
I ' R1 ˜a I ' R 2 ˜a I ' R 0
2
I ' R1 ˜a I ' R 2 ˜a I ' R 0
2574.3‘ 90º A
634.2‘(90º 240º ) 634.2‘(90º 120º ) 1305.9‘ 90º 671.7‘ 90º A
634.2‘(90º 120º ) 634.2‘(90º 240º ) 1305.9‘ 90º 671.7‘ 90º A
¦ I ' 3917.7‘ 90º A
El sumatorio de las intensidades no es cero, ya que existe una fuga a tierra de energía eléctrica.
Además, este valor de la suma de intensidades debe coincidir con el obtenido para la corriente de
cortocircuito total del sistema (es lógico, ya que esta suma de corrientes no es más que el retorno de tierra
de la corriente total de cortocircuito aplicándole la relación de transformación correspondiente).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
132
2. Tensiones de línea en el punto de cortocircuito (barras "3") (150kV)
Componentes simétricas
x
Primeramente, hallamos las tensiones con componentes simétricas en el punto de cortocircuito. Por
tanto, deberemos usar las intensidades e impedancias totales en el punto de cortocircuito.
150000‘0º
V R1
E I R1 Z 1
VR2
I R2 Z 2
217.65‘ 90º˜72.35‘ 0º 70855.56‘0º V
3
217.65‘ 90º˜72.35‘90º 15747‘180º V
VR0
I R0 Z 0
217.65‘ 90º˜253.18‘90º 55104.62‘180º V
Calculamos las tensiones de fase en este punto de cortocircuito
x
VRN
V SN
VTN
V R1 V R 2 V R 0
70855.56‘0º 15747‘180º 55104.62‘180º 0‘0º V
2
V R1 ˜ a V R 2 ˜ a V R 0
2
V R1 ˜ a V R 2 ˜ a V R 0
70855.6‘240º 15747‘300º 55104.6‘180º 111613.15‘ 137.8º V
70855.6‘120º 15747‘60º 55104.6‘180º 111613.15‘137.8º V
Cálculo de las tensiones de línea en el punto de cortocircuito
x
U RS
V RN V SN
0‘0º 111613.2‘ 137.8º 111613.15‘42.2º V
U ST
V SN VTN
111613.2‘ 137.8º 111613.15‘137.8º 149945.7‘ 90º V
U TR
VTN V RN
111613.15‘137.8º 0‘0º 111613.15‘137.8º V
¦U L
0‘0º V
La suma de las tensiones de línea, aún con cortocircuito con fugas a tierra, debe ser siempre cero.
Para el cálculo de estas tensiones de línea nos puede ayudar el siguiente gráfico, donde se relacionan
las tensiones de fase con las tensiones de línea:
R
V RN
U RS
VSN
U ST
S
U TR
VTN
T
3
Tensiones de línea en barras "1" del generador G1 (25kV)
Para el cálculo de las tensiones, en estas barras alejadas del punto de cortocircuito, serán de gran ayuda
los siguientes esquemas que representan al circuito de potencia visto desde el punto de falta (barras "3").
Se representan tanto las secuencias directa e inversa como la secuencia homopolar:
-
Redes directa e inversa vistas desde las barras "3"
Xg1
G1
a
1
x
XT1
2
x
x
E a
G2
a
Xg2
x
4
XT2
IR1
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
XL
x
x
x
VR1
x
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
x
133
Red homopolar vista desde las barras "3"
3Xn2
X0g2
4
x
x
VR0
IR0
x
X0T2
x
Cálculo de las tensiones por componentes simétricas en barras "1"
Para realizar este cálculo debe tenerse presente que estamos situados en la zona de 25kV, con todos los
cambios en cuanto a las magnitudes eléctricas (módulos y ángulos) que esto representa.
Primeramente pasamos a la tensión de 25kV las componentes simétricas de las tensiones, halladas en el
punto del cortocircuito (150kV):
V ' ' R1
V ' ' R2
V ' ' R0
V R1
·1‘ 30º
m
70855.56‘0º
·1‘ 30º 11809.26‘ 30º V
6
V R2
15747‘180º
·1‘30º
·1‘30º
m
6
0‘0º V
2624.5‘210º V
Nosotros ya conocemos el valor de las componentes simétricas en el punto de cortocircuito buscadas a
alto nivel de tensión (150kV). Pero es necesario proceder al cálculo de dichas componentes simétricas,
pero ahora en las barras deseadas (en este caso a nivel bajo de tensión 25kV). Existen dos formas para
realizar este cálculo:
x
Método A
Con este método, se resta de la tensión total en el punto de cortocircuito (al nivel de tensión adecuado)
la caída de tensión que se produce hasta alcanzar el punto o barras de conexión deseadas, (resultan de
gran utilidad para la comprensión de las siguientes expresiones los esquemas dados en este apartado de
las redes de secuencia vistas desde el punto o barras "3".)
V ' R1
E ' I ' R1 Z g1
V ' R2
I ' R2 Z g 2
V ´ R 0 I ' Ro Z o
x
25000‘(0º 30º )
3
671.76‘ 120º˜2.344‘90º 12859.2‘ 30º V
671.76‘ 60º˜2.344‘90º 1574.6‘210º V
0‘0º V
Método B
Con este método, se suma a la tensión total de las componentes simétricas en el punto de cortocircuito
(al nivel de tensión adecuado) la caída de tensión que se produce hasta alcanzar el punto o barras de
conexión deseadas. (Resultan de gran utilidad para la comprensión de las siguientes expresiones los
esquemas dados en este apartado de las redes de secuencia vistas desde el punto ó barras "3".)
V ' R1
V ' ' R1 I ' R1 ( Z L Z TR1 )
70855.56‘(0º 30º )
671.76‘ 120º˜( j 0.392 j1.172) 12860‘ 30º V
150 / 25
V ' R2
V ' ' R 2 I ' R 2 ( Z L Z TR1 )
15747‘(180º 30º )
671.76‘ 60º˜( j 0.392 j1.172) 1573.9‘210º V
(150 / 25)
V ´ R 0 V '' Ro I ' Ro Z o
x
0‘0º V
Cálculo de las tensiones de fase en las barras del generador G1
V ' RN
V ´ R1 V ´ R 2 V ´ R 0 12860‘ 30º 1573.9‘210º 0‘0º 12148.5‘ 36.44º V
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
134
V ' SN
V ' TN
x
2
V ´ R1 ˜a V ´ R 2 ˜a V ' R 0
2
V ´ R1 ˜a V ´ R 2 ˜a V ' R 0
12860‘(30º 240º ) 1573.9‘(210º 120º ) 0‘0º 12148‘ 143.6º V
12860‘(30º 120º ) 1573.9‘(210º 240º ) 0‘0º 14433.6‘90º V
Cálculo de las tensiones de línea en las barras del generador G1
U ' RS
V ' RN V ' SN
12148.5‘ 36.4º 12148.5‘ 143.6º 19551.5‘0º V
U ' ST
V ' SN V ' TN
12148.5‘ 143.6º 14433.6‘90º
23749‘ 114º V
U 'TR
V 'TN V ' RN
14433.6‘90º 12148.5‘ 36.44º
23753‘114º V
¦U L
240‘0.87 º V
La suma de tensiones de línea debería dar cero. El valor obtenido, aunque no nulo, es muy pequeño,
debiéndose esta desviación a posibles redondeos de cálculo.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
135
PROBLEMA 3.8
Dos máquinas síncronas se conectan a través de transformadores trifásicos a una línea de transmisión
de energía eléctrica, como se muestra en la figura. Los parámetros y valores que definen al sistema son:
DATOS
G1, G2……..100MVA…………...20kV……….X”d=X1=X2= 20%……..Xo= 4%………Xn= 5%
TRI, TR2 …...100MVA………20kV/345kV……X”d=X1=X2= 8%………Xo= 8%………Xn= 0%
Línea……………………………………………X1=X2= j178.5 :………Xo= j595.1:
G1
a
TR1
1
2
x
3
Línea
x
4
TR2
x
x
G2
a
F
xn1
Figura 3.8 Circuito unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 3.8
HALLAR
Si el sistema esta operando a voltaje nominal y sin corriente antes del fallo, delante de una falta
bifásica, en las barras "3":
1
2
3
Todas las intensidades del circuito.
Las tensiones de línea en barras "3" (punto de cortocircuito).
Tensiones de línea en barras "4".
RESOLUCIÓN
ƒ
Redes de secuencia directa, inversa y homopolar
x
Redes de secuencia directa e inversa (sin generadores)
G1
Xg1
a
1
XT1
x
2
XL
3
x
XT2
4
x
Xg2
a
x
N
x
G2
N
Red de secuencia homopolar
X0g1
x
3Xg1
X0T1
1
x
2
x
XoL
3
X0T2
x
F
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4
X0g2
xx x
3Xn2
Protección de sistemas eléctricos de potencia
136
x
Cálculo de impedancias
x
Cálculo de impedancias a 20kV
202
= 0 .2
x G1
X1
X2
x G2
X1
X 2 = 0 .2
x TR1
X1
X 2 = 0.08
x TR2
X1
X 2 = 0.08
xLínea
X1
X2
x
100
202
100
Xo
j 0.8:
X 0 = 0.04
202
j 0.32:
100
(17.25)
j 0.6:
2
202
X 0 = 0.08
X0
Xn
§ 20 ·
0.05¨
¸
© 100 ¹
2
j 0.16:
j 0.32:
X n =0
j 0.32:
X n =0
j 0.16:
100
j 0.32: X 0 = 0.08
2
Xn
§ 20 ·
0.05¨
¸
© 100 ¹
100
202
100
202
100
j 595.1
j 0.2:
j 0.2:
j 2:
(17.25) 2
Cálculo de impedancias a 345kV
X1
x G1
X2
( j 0.8)(17.25) 2
2
x G2
X1
X2
x TR1
X1
X 2 = 0.08
x TR2
X1
X 2 = 0.08
xLínea
X1
X2
x
j 0.8:
(20) 2
100
j178.5
202
0.04
( j 0.8)(17.25)
3452
100
3452
100
j 238:
X0
j 238:
( j 0.16)(17.25) 2
X 0 = ( j 0.16)(17.25)
j 95.22:
X 0 = 0.08
j 95.22:
X 0 = 0.08
j178.5:
3452
100
3452
100
X0
j 595.1:
345
20
17.25
j 47.6:
2
X n =j59.5:
j 47.6:
X n =j59.5:
j 95.22:
X n =0
j 95.22:
X n =0
Relación de transformación
m
x
Circuito equivalente al producirse una falta bifásica en las barras "3"
x
Barras "3" a alta tensión (345kV) en el punto de cortocircuito
x
Cálculo de las impedancias totales vistas desde las barras de cortocircuito
X
X1
X2
Xo
X
XT
X1 X 2 X o
oTR1
g1
X TR1 X L // X RT 2 X g 2
X oL
( j 95.22 j 595.1)
j511.72 // j333.22
(0 j 690.32)
( j 201.8 j 201.8 j 690.32
(0 j 201.8)
201.8‘90º :
690.32‘90º :
(0 j1093.92) 1093.92‘90º :
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
137
Cálculo de las componentes simétricas totales en las barras de cortocircuito (345kV) con una
falta bifásica
x
V R1
V R2
I R1
I R2
VR0
I R0
0
345000‘0º
I R1
E
Z1 Z 2
3
2·( 201.8‘90º )
493.5‘ 90º A
Además como sabemos que las corrientes IR1= -IR2
I R2
I R1
493.5‘90º A
No existe componente homopolar, ya que como se indica en el enunciado, el cortocircuito es bifásico,
sin conexión a tierras, no existiendo fuga de corriente y por consiguiente siendo nula la componente que
representa a estas fugas (la componente homopolar):
Intensidades de línea en el punto de cortocircuito (345kV) (Intensidades totales en el punto de
cortocircuito halladas mediante sus correspondientes componentes simétricas):
x
Recordar que:
IR
a 1‘0º
I R1 I R 2 I R 0
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
1‘120º
a
3
1‘240º
493.5‘(90º 240º ) 493.5‘(90º 120º ) 0‘0º 854.76‘180º A
2
IT
2
493.5‘ 90º 495.5‘90º 0‘0º 0‘0º A
2
IS
a
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
493.5‘(90º 120º ) 493.5‘(90º 240º ) 0‘0º 854.76‘0º A
¦I
O bien, directamente:
IS
1.1·U n
(Z 1 Z 2 )
0‘0º A
1.1·345000‘0º
2·201.8‘90º (1.1)854.8‘180º A
Nunca se tiene en cuenta el factor (1.1), cuando se trabaja con componentes simétricas.
1
Hallamos todas las intensidades del circuito
Vamos a hallar las intensidades de línea correspondientes a diversos puntos del sistema de potencia.
Para ello, nos basaremos en las componentes simétricas halladas para el apartado anterior (punto de
cortocircuito).
Será necesario, mediante divisores de intensidad, dividir las componentes simétricas halladas (recordar
que son las totales para el punto de cortocircuito), para las dos secciones en las que queda dividido el
circuito a causa del cortocircuito producido en las barras "3" (ver redes de secuencia).
x
Reparto de las componentes simétricas de las corrientes
Línea
I R1
493.5‘ 90º
I R2
493.5‘90º
I R0
0‘0º A
x
TR2 (primario)
j 333.22
j844.94
j 333.22
j844.94
194.62‘ 90º A
194.62‘90º A
I R1
493.5‘ 90º
I R2
493.5‘90º
I R0
0‘0º A
Las intensidades serán:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
j511.72
j844.94
j511.72
j844.94
298.9‘ 90º A
298.9‘90º A
Protección de sistemas eléctricos de potencia
138
x
EN LA LÍNEA L1 Y EN EL SECUNDARIO DEL TRANSFORMADOR TR1: (valores
denominados, IR2, IS2, IT2). (345kV)
x
Cálculo de intensidades de línea en la línea 1º
Teniendo presentes las componentes simétricas halladas para este tramo del circuito, tendremos:
IR
I R1 I R 2 I R 0
194.62‘ 90º 194.62‘90º 0‘0º 0‘0º A
2
IS
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
2
IT
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
194.62‘(90º 240º ) 194.62‘(90º 120º ) 0‘0º 337‘180º A
194.62‘(90º 120º ) 194.62‘(90º 240º ) 0‘0º 337‘0º A
¦I
0‘0º A
EN EL GENERADOR G1: (valores denominados, IR1, IS1, IT1). (20kV)
x
Para calcular las corrientes que fluyen a través de los bornes del generador G1, será necesario pasar las
componentes simétricas que transcurrían por la línea 1º, a través del transformador TR1.
Para pasar las componentes simétricas a través de un transformador es preciso recordar los tres
requisitos básicos dados en el problema 3.7 (a él nos remitimos para su comprensión):
Componentes simétricas de las intensidades en los bornes del generador G1
x
En nuestro caso, perdemos tensión al pasar de la línea 1º (345kV) a los bornes del generador G1
(20kV). Teniendo presente las recomendaciones para transformadores, las componentes simétricas que
pasaban por la línea 1º, al pasar a través del transformador TR1, quedan convertidas de la siguiente forma:
I ´R1 I R1 ·m·1‘ 30º 194.62‘ 90º˜17.25·1‘ 30º 3357.2‘ 120º A
I ´R 2 I R 2 ·m·1‘30º 194.62‘90º˜17.25·1‘30º 3357.2‘120º A
I ´R 0 0‘0º A
Cálculo de las intensidades de línea en los bornes del generador G1
x
I 'R
I 'S
I 'T
I ' R1 I ' R 2 I ' R 0
3357.2‘ 120º 3357.2‘120º 0‘0º 3357.2‘180º A
2
I ' R1 ˜a I ' R 2 ˜a I ' R 0
2
I ' R1 ˜a I ' R 2 ˜a I ' R 0
3357.2‘(120º 240º ) 3357.2‘(120º 120º ) 0‘0º 3357.2‘180º A
3357.2‘(120º 120º ) 3357.2‘(120º 240º ) 0‘0º 6714.4‘0º A
¦ I ' 0 ‘0 º A
x
EN EL PRIMARIO DEL TRANSFORMADOR TR2: (valores denominados IR3, IS3, IT3) (345kV)
x
Cálculo de intensidades de línea en los bornes de TR2
Teniendo presente las componentes simétricas halladas para este tramo del circuito, tendremos:
IR
IS
IT
I R1 I R 2 I R 0
298.9‘ 90º 298.9‘90º 0‘0º 0‘0º A
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
298.9‘(90º 240º ) 298.9‘(90º 120º ) 0‘0º 517.7‘180º A
298.7‘(90º 120º ) 298.7‘(90º 240º ) 0‘0º 517.7‘0º A
¦I
x
0‘0º A
EN EL GENERADOR G2: (valores denominados, IR4, IS4, IT4). (20kV)
Para calcular las corrientes que fluyen a través de los bornes del generador G2, será necesario pasar las
componentes simétricas que transcurrían por el primario del transformador TR2.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
139
Para pasar las componentes simétricas a través de un transformador es preciso recordar los tres
requisitos básicos dados en el problema 3.7 (a él nos remitimos para su comprensión):
x
Componentes simétricas de las intensidades en los bornes del generador G2
En nuestro caso, perdemos tensión al pasar de los bornes del primario del transformador TR2 (345kV) a
los bornes del generador G2 (20kV). Teniendo presente las recomendaciones para transformadores, las
componentes simétricas, al pasar a través del transformador TR2, quedan convertidas de la siguiente
forma:
I ´R1 I R1 ·m·1‘ 30º 298.9‘ 90º˜17.25·1‘ 30º 5156‘ 120º A
I ´R 2 I R 2 ·m·1‘30º 298.9‘90º˜17.25·1‘30º 5156‘120º A
I ´R 0 0‘0º A
x
I 'R
I 'S
I 'T
Cálculo de las intensidades de línea en los bornes del generador G2
I ' R1 I ' R 2 I ' R 0
5156‘ 120º 5156‘120º 0‘0º 5156‘180º A
2
I ' R1 ˜a I ' R 2 ˜a I ' R 0
5156‘(120º 240º ) 5156‘(120º 120º ) 0‘0º 5156‘180º A
2
I ' R1 ˜a I ' R 2 ˜a I ' R 0
5156‘(120º 120º ) 5156‘(120º 240º ) 0‘0º 10312‘0º A
¦ I ' 0 ‘0 º A
2 Tensiones de línea en el punto de cortocircuito (barras "3") (345kV)
x
Componentes simétricas
Primeramente, hallamos las tensiones con componentes simétricas en el punto de cortocircuito. Por
tanto, deberemos usar las intensidades e impedancias totales en el punto de cortocircuito.
x
V RN
V SN
VTN
x
V R1
E I R1 Z 1
VR2
I R2 Z 2
V Ro
I Ro ·Z o
345000‘0º
493.5‘ 90º˜201.8‘90º 99597.5‘0º V
3
493.5‘90º˜201.8‘90º 99588.3‘0º V
0‘0º V
Calculamos las tensiones de fase en este punto de cortocircuito
V R1 V R 2 V R 0
99597.5‘0º 99588.3‘0º 199186‘0º V
2
V R1 ˜ a V R 2 ˜ a V R 0
2
V R1 ˜ a V R 2 ˜ a V R 0
99597.5‘(0º 240º ) 99588.3‘(0º 120º )
99592.9‘180º V
99597.5‘(0º 120º ) 99588.3‘(0º 240º )
99592.9‘180º V
Cálculo de las tensiones de línea en el punto de cortocircuito
U RS
V RN V SN
199186‘0º 99592.9‘180º
U ST
V SN VTN
99592.9‘180º 99592.9‘180º 0‘0º V
U TR
VTN V RN
99592.9‘180º 199186‘0º
¦ U línea
298778.9‘0º V
298778.9‘180º V
0‘0º
Para el cálculo de estas tensiones de línea nos puede ayudar el siguiente gráfico, donde se relacionan
las tensiones de fase con las tensiones de línea:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
140
R
V RN
U RS
VSN
S
U ST
VTN
U TR
T
3 Tensiones de línea en barras "4" (20kV)
Para el cálculo de las tensiones en estas barras alejadas del punto de cortocircuito, serán de gran ayuda
los siguientes esquemas que representan al circuito de potencia visto desde el punto de falta (barras "3").
Se representan tanto las secuencias directa e inversa como la secuencia homopolar:
-
Redes directa e inversa vistas desde las barras "3"
1
x
Xg1
G1
a
2
x
XT1
XL
x
x
x
E a
x
G2
a
x
4
Xg2
XT2
VR1 , VR2
I R1
x
Red homopolar vistas desde las barras "3"
X0T1
2
x
XL0
3
x
I R0
x
x
x
VR0
x
Cálculo de las tensiones por componentes simétricas en barras "4"
Para realizar este cálculo, debe tenerse presente que estamos situados en la zona de 20kV, con todos los
cambios en cuanto a las magnitudes eléctricas (módulos y ángulos) que esto representa.
Primeramente pasamos a la tensión de 20kV las componentes simétricas de las tensiones, halladas en el
punto del cortocircuito (345kV):
V ' ' R1
V ' ' R2
V ' ' R0
V R1
·1‘ 30º
m
V R2
·1‘30º
m
0‘0º V
99597.5‘0º
·1‘ 30º 5773.77‘ 30º V
17.25
99597.5‘0º
·1‘30º 5773.77‘30º V
17.25
Una vez pasadas las componentes simétricas de las tensiones en el punto de cortocircuito a bajo nivel
de tensión, procedemos al cálculo de dichas componentes simétricas pero ahora en el punto (barras)
deseado. Existen dos formas para realizar este cálculo:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
141
Método A
x
Con este método, se resta de la tensión total en el punto de cortocircuito, la caída de tensión que se
produce hasta alcanzar el punto o barras de conexión deseadas. (Resulta de gran utilidad para la
comprensión de las siguientes expresiones los esquemas dados en este apartado de las redes de secuencia
vistas desde el punto ó barras "3".)
20000‘ 30º
V ' R1
E ' I ' R1 X 1g 2
V ' R2
I ' R2 X 2 g 2
5156‘ 120 ˜ 0.8‘90º 7422.2‘ 30º V
3
5156‘120º˜0.8‘90º 4124.8‘30º V
V ' R0
I ' Ro X og 2
0‘0º V
Método B
x
Con este método, se suma a la tensión total de las componentes simétricas en el punto de cortocircuito
la caída de tensión que se produce hasta alcanzar el punto o barras de conexión deseadas. (Resulta de gran
utilidad para la comprensión de las siguientes expresiones los esquemas dados en este apartado de las
redes de secuencia vistas desde el punto ó barras "3".)
V ' R1 V ' ' R1 I ' R1 ˜ X TR 2
V ' R2
VR0
x
5773.77‘ 30 5156‘ 120º˜0.32‘90º 7423.6‘ 30º V
V ' ' R 2 I ' R 2 ˜ X TR 2
5773.77‘30 5156‘120º·0.32‘90º
4123.8‘30º V
0‘0º V
Cálculo de las tensiones de fase en las barras "4"
Utilizando cualquiera de los dos métodos anteriores:
V ' RN
V ' SN
V ' TN
x
V ' R1 V ' R 2 V ' R 0
7423.6‘ 30º 4123.8‘30º 10136.3‘ 9.36º V
2
V ´ R1 ˜a V ´ R 2 ˜a V ' Ro
2
V ´ R1 ˜a V ´ R 2 ˜a V ' R 0
7423.6‘(30º 240º ) 4124.8‘(30º 120º ) 10136.3‘ 170.6º V
7423.6‘(30º 120º ) 4124.8‘(30º 240º )
Cálculo de las tensiones de línea en las barras "4"
U ' RS
V ' RN V ' SN
10136.3‘ 9.36º 10136.3‘ 170.6º 20001.4‘0º V
U ' ST
V ' SN V ' TN
10136.3‘ 170.6º 3298.8‘90º 11160.15‘ 153.6º V
U 'TR
V ' TN V ' RN
398.8‘90º 10136.3‘ 9.36º 11158.3‘153.7 º V
¦ U ' línea
0‘0º
La suma de las tensiones de línea debe ser nula.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3298.8‘90º V
Protección de sistemas eléctricos de potencia
142
PROBLEMA 3.9
Dos máquinas síncronas se conectan a través de transformadores trifásicos a una línea de
transmisión, como se muestra en la figura. Los valores que definen al sistema de potencia son:
DATOS
G1, G2: ……….100 MVA……….20KV………..X´´d = X1= X2 = 20%………. X0 = 4%……Xn = 5%
TR1, TR2: …… .100MVA……..345/20KV……...Hxcc=X1 = X2 = X0 =8%…….……………...Xn = 0%
Línea…………………………………………….X1 = X2 = j 178.5:…………..X0 =j 595.1:
G1
TR1
1
a
2
x
x
TR2
3
Línea
G2
4
x
a
x
F
xn1
xn2
Figura 3.9 Circuito unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 3.9
HALLAR
Se produce una falta bifásica a tierra en barras "4":
1.
2.
3.
4.
Todas las intensidades del circuito.
Tensiones de línea en el punto de cortocircuito (barras "4").
Tensiones de línea en los bornes del generador (barras "1").
Tensiones de línea en los bornes del secundario del transformador TR1 (barras "2").
RESOLUCIÓN
x
x
Redes de secuencia directa, inversa y homopolar
Redes de secuencia directa e inversa (sin generadores)
G1
X g1
1
a
XT1
x
XL
2
XT2
3
x
x
X g2
4
a
x
N
x
G2
I"K2EE
N
Red de secuencia homopolar
X0g1
X0T1
1
x
x
2
x
XoL
X0T2
3
x x
x
X0g2
4
x
F
3X g1
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3Xn2
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
x
Cálculo de impedancias
x
Cálculo de impedancias a 20kV
202
= 0 .2
x G1
X1
X2
x G2
X1
X 2 = 0 .2
x TR1
X1
X 2 = 0.08
x TR2
X1
X 2 = 0.08
xLínea
X1
X2
100
202
100
202
0.04
j 0.8:
Xo
j 0.8:
X 0 = 0.04
(20) 2
100
j 0.32:
202
100
j178.5
X 0 = 0.08
j 0.6:
2
100
202
100
202
100
j 595.1
X0
2
Xn
§ 20 ·
0.05¨
¸
© 100 ¹
Xn
§ 20 ·
0.05¨
¸
© 100 ¹
2
j 0.16:
j 0.32:
X n =0
j 0.32:
X n =0
j 0.16:
100
j 0.32: X 0 = 0.08
202
(17.25)
143
j 0.2:
j 0.2:
j 2:
(17.25) 2
Cálculo de impedancias a 345kV
x
X1
x G1
X2
( j 0.8)(17.25) 2
2
x G2
X1
X2
( j 0.8)(17.25)
x TR1
X1
X 2 = 0.08
x TR2
X1
X 2 = 0.08
xLínea
X1
X2
3452
100
3452
100
j 238:
( j 0.16)(17.25) 2
X0
j 238:
X 0 = ( j 0.16)(17.25)
j 95.22:
X 0 = 0.08
j 95.22:
X 0 = 0.08
j178.5:
3452
100
3452
100
X0
j 595.1:
345
20
17.25
2
j 47.6:
X n =j59.5:
j 47.6:
X n =j59.5:
j 95.22:
X n =0
j 95.22:
X n =0
Relación de transformación
x
m
Circuito equivalente al producirse una falta bifásica a tierra en las barras "4"
1
G1
x
TR1
2
x
1553‘ 90º
x
x
x
x
¦I
0‘ 0 º
x
x
x x
4968.6‘9º
Ic2c kS
181.82‘25.4º
4968.6‘9º
1553.3‘90º
4968.6‘14º 14586.7‘149º
x
x
x
1553.3‘ 90º
328.5‘180º
x
G2
4
x
x
x
4968.6‘171º
¦I
x
181.82‘ 25.4º
x
Xn1
TR2
3
L
0‘0º
¦I
0‘ 0 º
Ic2c k EE
14586.7‘31º
Ic2ck ET
¦I
16578 .7 ‘90 º
Ic2ck ES 19284‘154.5º
Ic2ck ET 19283.5‘25.46º
x
Barras "4" a nivel bajo de tensión (20kV) en el punto de cortocircuito
x
Cálculo de las impedancias totales vistas desde las barras de cortocircuito
Z 41
Z 42
>X
g1
@
X TR1 X L X TR 2 // X g 2
> j 2.04 // j 0.8@
(0 j 0.574)
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
0.574‘90º :
Protección de sistemas eléctricos de potencia
144
Z 4o
>X
ZT
Z1 Z 2 Z o
og 2
3 X n2
@
[ j 0.16 3( j 0.2)
(0 j 0.76)
( j 0.574 j 0.574 j 0.76)
0.76‘90º :
(0 j1.908) 1.908‘90º :
Cálculo de las componentes simétricas totales de las corrientes en el punto de cortocircuito
considerando un cortocircuito bifásico a tierras
x
Aplicando las ecuaciones correspondientes a este tipo de cortocircuitos:
I R1
E
Z 1 Z 2 // Z 0
I R2
I R1
I R0
I R1
Z0
Z2 Z0
Z2
Z2 Z0
20000‘0º 3
j 0.574 j 0.574 // j 0.76 20000‘0º 3
0.901‘90º
12815.5‘ 90º A
12815.5‘ 90º
j 0.76
j 0.76 j 0.574
7301.18‘90º A
12815.5‘ 90º
j 0.574
j 0.76 j 0.574
5514.3‘90º A
Con este tipo de cortocircuito bifásico a tierra, es necesario considerar las componentes homopolares,
ya que existe una fuga de corriente hacia tierra.
x
Intensidades de línea en el punto de cortocircuito (Intensidades totales en el punto de cortocircuito
halladas mediante sus correspondientes componentes simétricas):
IR
IS
IT
a
a 1‘0º
Recordar que:
I R1 I R 2 I R 0
2
1‘120º
a
3
1‘240º
12815.5‘ 90º 7301.18‘90º 5514.3‘90º 0‘0º A
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
12815.5‘(150º ) 7301.18‘(90º 120º ) 5514.3‘90º 19285.4‘154.6º A
12815.5‘(30º ) 7301.18‘(90º 240º ) 5514.3‘90º 19285.4‘25.4º A
I ´´2 KEE
I ´´2KES I ´´2KET
16544.37‘90º A
En este caso, como existe fuga de energía a tierra, la suma de las intensidades de línea en el punto de
cortocircuito no será nula. Existe una componente, que es precisamente la corriente total de cortocircuito.
1
Hallamos todas las intensidades del circuito
Vamos a hallar las intensidades de línea correspondientes a diversos puntos del sistema de potencia.
Para ello, nos basaremos en las componentes simétricas halladas en el apartado anterior (punto de
cortocircuito).
Será necesario, mediante divisores de intensidad, dividir las componentes simétricas halladas (recordar
que son las totales para el punto de cortocircuito), para las dos secciones en las que queda dividido el
circuito a causa del cortocircuito producido en las barras "4" (ver redes de secuencia).
x
Reparto de las componentes simétricas de las corrientes
Secundario del TR2
I R1
I R1
I R2
I R2
I R0
I R0
T
T
T
Generador G2
j 0 .8
j 2.84
3610‘ 90º A
I R1
12815.5‘ 90º
j 0.8
j 2.84
2056.7‘90º A
I R2
7301.18‘90º
I R0
I Ro
˜0
0‘0º A
T
j 2.04
j 2.84
j 2.04
j 2.84
9205.5‘ 90º A
5244.5‘90º A
5514.3‘90º A
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
145
Nótese que la componente homopolar que circulará por los terminales del transformador TR2 será nula,
ya que como indica la red de secuencia homopolar, este transformador no permite el paso de esta
componente. (Toda la componente homopolar deberá pasar por el generador G2).
x
EN EL GENERADOR G2: (20kV) (valores especificados en el esquema del circuito equivalente
del sistema de potencia)
Para calcular las corrientes que fluyen a través de los bornes del generador G2, no será necesario pasar
las componentes simétricas por ningún transformador, por tanto adoptando directamente los valores de las
mismas dados en el divisor de intensidad del apartado anterior, tendremos:
IR
IS
IT
I R1 I R 2 I R 0
9205.5‘ 90º 5244.5‘90º 5514.3‘90º 1553.3‘90º A
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
9205.5‘(150º ) 5244.5‘(90º 120º ) 5514.3‘90º 14586.7‘149º A
9205.5‘(30º ) 5244.5‘(90º 240º ) 5514.3‘90º 14586.7‘31º A
¦I
16578.70‘90º A
El valor de la suma de intensidades se corresponde con el valor total de la corriente de cortocircuito
bifásico a tierras, ya que precisamente este valor es el retorno de la corriente total de falta a través de
tierra.
x
EN EL SECUNDARIO DEL TRANSFORMADOR TR2: (20kV) (valores especificados en el
esquema del circuito equivalente del sistema de potencia)
Para calcular las corrientes que fluyen a través de los bornes del secundario del transformador TR2, no
es necesario pasar las componentes simétricas por ningún transformador, por tanto se podrán adoptar
directamente los valores de las mismas dados en el divisor de intensidad del apartado anterior.
IR
IS
IT
I R1 I R 2 I R 0
3610‘ 90º 2056.7‘90º 0‘0º 1553.3‘ 90º A
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
2
I R1 ˜ a I R 2 ˜ a I R 0
3610‘(90º 240º ) 2056.7‘(90º 120º ) 0‘0º
4968.6‘171º A
3610‘(90º 120º ) 2056.7‘(90º 240º ) 0‘0º
4968.6‘9º A
¦I
0‘0º A
En esta ocasión la suma de intensidades es nula, ya que el TR2, no tiene conexión a tierra (triángulo) y
por tanto no puede tener resultante la suma de las intensidades de línea que a él acometen.
x
EN LA LÍNEA L1, EN EL SECUNDARIO DEL TRANSFORMADOR TR1, Y EN EL
PRIMARIO DEL TRANSFORMADOR TR2: (345kV) (valores especificados en el esquema del
circuito equivalente del sistema de potencia)
x
Cálculo de intensidades de línea para estos elementos
Para calcular las corrientes que fluyen a través de los bornes del secundario del transformador TR1 y de
la línea, al estar al nivel alto de tensión (345kV), será necesario pasar las componentes simétricas que
transcurrían a través del secundario del transformador TR2.
Para pasar las componentes simétricas a través de un transformador es preciso recordar los tres
requisitos básicos dados en el problema 3.7 (a él nos remitimos para su comprensión).
x
Componentes simétricas de las intensidades en los bornes del transformador TR2 y de la línea
En nuestro caso, ganamos tensión al pasar del secundario del transformador TR2 (20kV) a la línea 1º
(345kV). Teniendo presente las recomendaciones para transformadores, las componentes simétricas que
pasaban por el secundario del transformador TR2, al pasar a través del mismo transformador se convierten
en la línea 1º en:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
146
I ´R1
I R1
·1‘30º
m
3610‘ 90º
·1‘30º 209.27‘ 60º A
17.25
I ´R 2
I R2
·1‘ 30º
m
2056.7‘90º
·1‘ 30º 119.23‘60º A
17.25
I ´R 0 0‘0º A
Cálculo de las corrientes de línea en los bornes del transformador TR2 y de la línea
x
I 'R
I 'S
I 'T
I ' R1 I ' R 2 I ' R 0
209.27‘ 60º 119.23‘60º 0‘0º 181.82‘ 25.4º A
2
I ' R1 ˜a I ' R 2 ˜a I ' R 0
2
I ' R1 ˜a I ' R 2 ˜a I ' R 0
209.27‘(60º 240º ) 119.23‘(60º 120º ) 0‘0º 328.5‘180º A
209.27‘(60º 120º ) 119.23‘(60º 240º ) 0‘0º 181.82‘25.4º A
¦ I ' 0 ‘0 º A
La suma de las corrientes de línea debe ser nula (consultar el circuito equivalente).
x
EN EL GENERADOR G1: (20kV) (valores especificados en el esquema del circuito equivalente
del sistema de potencia)
Para calcular las corrientes que fluyen a través de los bornes del generador G1, será necesario pasar las
componentes simétricas que transcurrían por la línea 1º, a través del transformador TR1.
Para pasar las componentes simétricas a través de un transformador es preciso recordar los tres
requisitos básicos dados en el problema 3.7 (a él nos remitimos para su comprensión).
x
Componentes simétricas de las intensidades en los bornes del generador G1
En nuestro caso, perdemos tensión al pasar de la línea 1º (345kV) a los bornes del generador G1
(20kV). Teniendo presente las recomendaciones para transformadores, las componentes simétricas que
pasaban por la línea 1º, al pasar a través del transformador TR1, quedan convertidas de la siguiente forma:
I ' 'R1
I 'R1·m·1‘ 30º 209.27‘ 60º˜17.25·1‘ 30º 3610‘ 90º A
I ´'R 2
I 'R 2 ·m·1‘30º 119.23‘60º˜17.25·1‘30º 2056.7‘90º A
I ´'R 0
0‘0º A
El transformador TR1, no permite el paso de las corrientes homopolares a través de él, como queda
reflejado en la red de secuencia homopolar. Aparte, se comprueba que las intensidades que pasan por los
bornes del generador G1, coinciden con las intensidades del secundario del transformador TR2, (es normal
ya que los dos se encuentran a igual potencial y han sufrido iguales transformaciones).
x
I ''R
I ' 'S
I ' 'T
Cálculo de las intensidades de línea en los bornes del generador G1
I ' ' R1 I ' ' R 2 I ' ' R 0
3610‘ 90º 2056.7‘90º 0‘0º 1553.3‘ 90º A
2
I ' ' R1 ˜a I ' ' R 2 ˜a I ' ' R 0
2
I ' ' R1 ˜a I ' ' R 2 ˜a I ' ' R 0
3610‘(90º 240º ) 2056.7‘(90º 120º ) 0‘0º
4968.6‘171º A
3610‘(90º 120º ) 2056.7‘(90º 240º ) 0‘0º
4968.6‘9º A
¦ I ' ' 0 ‘0 º A
La suma de las corrientes de línea a través del generador G1 debe ser nula (consultar el circuito
equivalente).
2 Tensiones de línea en el punto de cortocircuito (barras "4" a 20 kV)
x
Componentes simétricas
Primeramente, hallamos las tensiones con componentes simétricas en el punto de cortocircuito. Por
tanto, deberemos usar las intensidades e impedancias totales en el punto de cortocircuito.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
V R1
E I R1 Z 1
VR2
V R0
147
20000‘0º
4190‘0º V
12815.5‘ 90º˜0.574‘90º
3
Con este tipo de cortocircuito bifásico a tierra, coinciden los valores de las tres componentes simétricas
de las tensiones.
Calculamos las tensiones de fase en este punto de cortocircuito
x
V RN
V SN
VTN
V R1 V R 2 V R 0
3V R1
2
V R1 ˜ a V R 2 ˜ a V R 0
2
V R1 ˜ a V R 2 ˜ a V Ro
3(4190‘0º ) 12567.76‘0º V
2
V R1 (1 a a )
0 ‘0 º V
2
V R1 (1 a a )
0 ‘0 º V
Cálculo de las tensiones de línea en el punto de cortocircuito
x
U RS
V RN V SN
12567.76‘0º 0‘0º 12567.76‘0º V
U ST
V SN VTN
0‘0º V
U TR
VTN V RN
0‘0º 12567.76‘0º 12567.76‘180º V
¦ U línea
0‘0º
La suma de las tensiones de línea, aun con cortocircuito con fugas a tierra, debe ser siempre cero.
Para el cálculo de estas tensiones de línea, nos puede ayudar el siguiente gráfico, donde se relacionan
las tensiones de fase con las tensiones de línea:
R
V RN
U RS
VSN
S
U ST
U TR
VTN
T
3
Tensiones de línea en barras "1" del generador G1: (20kV)
Para el cálculo de las tensiones en estas barras alejadas del punto de cortocircuito, serán de gran ayuda
los siguientes esquemas que representan al circuito de potencia visto desde el punto de falta (barras "4").
Se representan tanto las secuencias directa e inversa como la secuencia homopolar:
ƒ
Redes directa e inversa vistas desde las barras "4"
Xg1
G1
a
x
1 XT1 2
x
XL
x
XT2
x
x
E a
3
x
G2
a
x
x
4
Xg2
I
R1
Red homopolar vista desde las barras "4"
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
VR1
x
Protección de sistemas eléctricos de potencia
148
3X ng2
X 0g2
x
4
x
x
I R0
x
V R0
x
Cálculo de las tensiones por componentes simétricas en barras "1"
Para realizar este cálculo, debe tenerse presente que estamos situados en la zona de 20kV, con todos los
cambios en cuanto a las magnitudes eléctricas (módulos y ángulos) que esto representa.
Al contrario que en los problemas precedentes, en este caso la tensión del punto de cortocircuito
(bornes del generador G2 a 20kV) coincide con la tensión pedida en los bornes del generador G1, que
también es de 20kV; por tanto, las componentes simétricas halladas en el punto de cortocircuito (barras
"4") ya no deberán ser modificadas para buscar las componentes simétricas de las tensiones en las barras
"1". Estas componentes eran:
V R1
4190‘0º V
VR2
4190‘0º V
VR0
0‘0º V
Para hallar las componentes simétricas de las tensiones en la nueva posición (barra "1"), podremos
realizar los cálculos de dos formas diferentes.
x
Método A
Con este método, se resta de la tensión total en el punto de cortocircuito (al nivel de tensión adecuado)
la caída de tensión que se produce hasta alcanzar el punto o barras de conexión deseadas. (Resultan de
gran utilidad para la comprensión de las siguientes expresiones los esquemas dados en este apartado de
las redes de secuencia vistas desde el punto o barras "4").
20000‘0º
V ' ' R1
E ' ' I ' ' R1 · X g1
V ' ' R2
I ' ' R 2 · X g1
3610‘ 90º·0.8‘90º 8660‘0º V
3
2056.7‘90º˜0.8‘90º 1645‘0º V
V ' ' R0
I ' ' Ro · X g1
0‘0º V
x
Método B
Con este método, se suma a la tensión total de las componentes simétricas en el punto de cortocircuito
(al nivel de tensión adecuado) la caída de tensión que se produce hasta alcanzar el punto o barras de
conexión deseadas. (Resultan de gran utilidad para la comprensión de las siguientes expresiones los
esquemas dados en este apartado de las redes de secuencia vistas desde el punto o barras "4").
X
I ' '
V ' ' R1 V R1 X TR 2 X L X TR1 I ' ' R1
V ' ' R2
VR2
V ' ' R0
V R 0 0·I ' ' R 0
x
X L X TR1
R2
4190‘0º 1.24‘90º·2056.7‘90º 1639.7‘0º V
0 ‘0 º V
Cálculo de las tensiones de fase en las barras "1" del generador G1
V ' ' RN
V ' ' SN
V ' 'TN
x
TR 2
4190‘0º 1.24‘90º·3610‘ 90º 8666‘0º V
V ' ' R1 V ' ' R 2 V ' ' R 0
8666‘0º 1639.7‘0º 0‘0º 10305‘0º V
2
V ' ' R1 ˜a V ' ' R 2 ˜a V R 0
2
V ' ' R1 ˜a V ' ' R 2 ˜a V ' ' Ro
8666‘(0º 240º ) 1639.7‘(0º 120º ) 0‘0º 7966‘ 130.3º V
8666‘(0º 120º ) 1639.7‘(0º 240º ) 0‘0º 7966‘130.3º V
Cálculo de las tensiones de línea en las barras "1" del generador G1
U ' ' RS
V ' ' RN V ' ' SN
10305‘0º 7966‘ 130.3º 16608.4‘21.45º V
U ' ' ST
V ' ' SN V ' ' TN
7966‘ 130.3º 7966‘130.3º 12150.6‘ 90º V
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
U ' ' TR
V ' ' TN V ' ' RN
149
7966‘130.3º 10305‘0º 16608.4‘158.54º V
6U '' Línea
0 ‘0 º V
La suma de tensiones de línea da un valor nulo, como era de esperar.
4
Tensiones de línea en barras "2" del secundario del transformador TR1: (345kV)
Para realizar este cálculo, debe tenerse presente que estamos situados en la zona de 345kV, con todos
los cambios en cuanto a las magnitudes eléctricas (módulos y ángulos) que esto representa.
Primeramente pasamos a la tensión de 345kV las componentes simétricas de las tensiones, halladas en
el punto del cortocircuito (20kV):
V ' R1 V R1 ·m·1‘ 30º 4190‘0º·17.25·1‘30º 72277.5‘30º V
V ' R2
V R 2 ·m·1‘30º 4190‘0º·17.25·1‘ 30º 72277.5‘ 30º V
V ' R0
0‘0º V
Una vez pasadas las componentes simétricas de las tensiones en el punto de cortocircuito al alto de
tensión, procedemos al cálculo de dichas componentes simétricas pero ahora en el punto (barras) deseado.
Existen dos formas para realizar este cálculo:
x
Método A
Con este método, se resta de la tensión total en el punto de cortocircuito la caída de tensión que se
produce hasta alcanzar el punto o barras de conexión deseadas. (Resultan de gran utilidad para la
comprensión de las siguientes expresiones los esquemas dados en este apartado de las redes de secuencia
vistas desde el punto o barras "4").
V ' R1
E ' I ' R1 ( X g1 X TR1 )
V ' R2
I ' R 2 ( X g1 X TR1 )
V ' R0
I ' Ro ·( X og1 X oTR1 )
x
345000‘(0º 30º )
3
209.27‘ 60º˜333.27‘90º 129442.43‘30º V
119.23‘60º˜333.27‘90º 39735.7‘ 30º V
0 ‘0 º V
Método B
Con este método, se suma a la tensión total de las componentes simétricas en el punto de cortocircuito
la caída de tensión que se produce hasta alcanzar el punto o barras de conexión deseadas. (Resultan de
gran utilidad para la comprensión de las siguientes expresiones los esquemas dados en este apartado de
las redes de secuencia vistas desde el punto o barras "4").
V ' R1 V R1 I ' R1 ˜( X L X TR 2 )
72277.5‘30º 209.27‘ 60º˜273.72‘90º 129559‘30º V
V ' R2
V R 2 I ' R 2 ˜( X L X TR 2 )
72277.5‘ 30º 119.23‘60º·273.72‘90º 39642‘ 30º V
V ' Ro
V Ro I ' Ro ( X L X TR 2 )
0‘0º V
x
Cálculo de las tensiones de fase en las barras "2"
Utilizando cualquiera de los dos métodos anteriores:
V ' RN
V ' SN
V ' R1 V ' R 2 V ' R 0
2
129559‘30º 39642‘ 30º 0‘0º 153224.5‘17 º V
V ´ R1 ˜a V ´ R 2 ˜a V ' Ro
129559‘270º 39642‘60º 0‘0º 89706.6‘ 90º V
2
V 'TN V ´R1˜a V ´R 2 ˜a V 'R 0 19559‘150º 39642‘210º 0‘0º 153224.5‘163º V
x
Cálculo de las tensiones de línea en las barras "2"
U ' RS
V ' RN V ' SN
153224.5‘17 º 89706.6‘ 90º 198927.8‘42.6º V
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
150
U ' ST
V ' SN V ' TN
89706.6‘ 90º 153224.5‘163º 198927.8‘ 42.56º V
U 'TR
V ' TN V ' RN
153224.5‘163º 153224.5‘17 º
¦ U ' línea
293025‘180º V
0‘0º
La suma de las tensiones de línea debe ser nula.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
151
PROBLEMA 3.10
Dos generadores síncronos de 40MVA y 10kV cada uno se disponen en paralelo, suministrando
energía a una línea de distribución. Las impedancias secuenciales de los generadores y la línea son:
DATOS
Generadores
Línea
Secuencia directa........................j 6:............................j 10:
Secuencia inversa........................j 4:............................j 10:
Secuencia homopolar..................j 1: ...........................j 20:
El primer generador tiene su punto neutro aislado de tierra, mientras que el segundo generador tiene su
punto neutro conectado a tierra a través de una resistencia de 0.8 :.
G1
L ín ea
G2
Rn
Figura 3.10 Circuito unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 3.10
HALLAR
Si se produce un cortocircuito entre la fase “R” y tierra (cortocircuito monofásico), en el extremo más
alejado de la línea, y se supone que los generadores antes de la falla trabajan sin carga:
1.
2.
3.
4.
La intensidad monofásica de cortocircuito (I”k1), en el punto de la falla.
La intensidad que circula por la fase “S”, del primer generador (I”Sg1), al producirse el cortocircuito.
La intensidad que circula por la fase “R”, del segundo generador (I”Rg2), al producirse el cortocircuito.
La tensión entre líneas UST en bornes del segundo generador al producirse el cortocircuito.
RESOLUCIÓN
x
Redes de secuencia directa, inversa y homopolar
x
Redes de secuencia directa e inversa (sin generadores)
X1g1
N
G1
Xlínea
X1g2
N
x
G2
Red de secuencia homopolar
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
152
X 0 g1
G1
X 0línea
X 0 g2
G2
3Rn
x
Cálculo de las impedancias totales vistas desde el punto de cortocircuito (10kV)
X2
X g // X g X
X g // X g X
X0
3 Xn X 0 g 2 X 0 línea
XT
X1 X 2 X 0
X1
x
1
2
1
1
1
2
2
línea
2
línea
j 6 // j 6 ( j10)
j 4 // j 4 ( j10)
((3·0.8) j1 j 20)
2.4 j 21 ( j13 j12)
(0 j13) 13‘90º :
(0 j12) 12‘90º :
2.4 j 21
2.4 j 46
21.13‘83.48º :
46‘87 º :
Cálculo de las componentes simétricas totales de las corrientes en el punto de cortocircuito
10000‘0º
I R1
I R2
I R3
Vf
X1 X 2 X 0
3
46‘87º
125.5‘ 87 º A
Al ser un cortocircuito monofásico a tierra, las tres componentes simétricas de las corrientes son
iguales y del valor hallado. Aparte, recordar que con este tipo de cortocircuito monofásico a tierra es
necesario considerar las componentes homopolares, ya que existe una fuga de corriente hacia tierra.
1
La intensidad monofásica de cortocircuito (I”k1) en el punto de la falla
x
Intensidades de línea en el punto de cortocircuito: (intensidades totales en el punto de cortocircuito
halladas mediante sus correspondientes componentes simétricas)
I Kcc1
I R1 I R 2 I R 0
3I R1
3·(125.5‘ 87 º )
376.5‘ 87 º A
Las intensidades de línea de las otras fases: I"KS = I"KT = 0 (serán nulas).
2
La intensidad que circula por la fase “S” del primer generador (I”sg1) al producirse el
cortocircuito
Para hallar esta intensidad de línea, es necesario conocer en primer lugar las componentes simétricas de
las intensidades en bornes de este generador G1. Para ello será necesario realizar un divisor de intensidad
con los valores totales de las componentes simétricas de las intensidades halladas en el punto de
cortocircuito.
Nótese que al ser idénticos los dos generadores en cuanto a secuencias directa e inversa, bastará con
dividir por dos las componentes simétricas totales para hallar las correspondientes componentes
simétricas en cualquiera de los dos generadores.
En cambio para la secuencia homopolar, los dos generadores se comportan de forma diferente.
Mientras que el primer generador no está puesto a tierra (no podrán circular corrientes homopolares por el
mismo), el segundo generador está puesto a tierra, circulando toda la componente homopolar del sistema
a través de él.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3 Problemas resueltos de fallos en sistemas de potencia
x
x
Contribuciones de los dos generadores
I R1g1
I R1
j6
j12
125.5‘ 87 º·
I R 2 g1
I R2
j4
j8
125.5‘90º
I R 0 g1
0A
I R0 g 2
I Ro
j6
j12
j6
j12
62.75‘ 87 º
I R1g 2 A
I R2 g 2 A
62.75‘ 87 º
125.5‘ 82.7 º A
La intensidad que circula por la fase “S” del primer generador (I”sg1) al producirse el
cortocircuito será:
Recordar que:
a
a 1‘0º
2
1‘120º
2
I Scc
I R1 a I R 2 a I R 0
g1
3
153
g1
g1
g1
a
3
1‘240º
3.28 j 62.66
62.75‘ 93º A
La intensidad que circula por la fase “R” del segundo generador (I”rg2) al producirse el
cortocircuito
Como en el apartado anterior ya hemos calculado las componentes simétricas de las intensidades
correspondientes tanto al generador G1, como al generador G2, resulta fácil hallar la intensidad de línea
correspondiente a la fase "R" pedida.
x
La intensidad que circula por la fase “R” del segundo generador (I”Rg2) al producirse el
cortocircuito será:
IR
g2
I R1 I R 2 I R 0
g2
g2
62.75‘ 87 º 62.75‘ 87º 125.5‘ 87º
251‘ 87 º A
g2
4
La tensión entre líneas (Ust) en bornes del segundo generador al producirse el
cortocircuito será:
x
Componentes simétricas
Primeramente buscamos las componentes simétricas de las tensiones en el punto de cortocircuito:
x
10000‘0º
V R1
E I R1 Z 1
VR2
I R2 Z 2
(125.5‘ 87 º )·(13‘90º )
3
(125.5‘ 87 º )·12‘90º 1506‘ 183º
VR0
I R0 Z 0
(125.5‘ 87 º )·21.13‘83.48º
4145.1‘ 1.18º
4144.2 j85.34V
1503.9 j 78.82V
2651.8‘176.5º 2646.8 j162.8V
Cálculo de las componentes simétricas de las tensiones en bornes del generador G1
Mediante las componentes simétricas halladas en el punto de cortocircuito, es posible hallar las
componentes simétricas de las tensiones en bornes del generador G1:
V R1
VR2
VR0
5397.5 j19.78 5397.5‘ 0.21º V
1506‘183º 125.5‘ 87 º·(10‘90º ) 250.65 j13.13 251‘ 177º V
2651.8‘ 176.5º 20‘ 90º·(125.5‘ 87 º ) 140.3 j 293.3 325‘115.6º V
4145.1‘ 1.18º 125.5‘ 87 º·(10‘90º )
Debe recordarse que en este problema no existen transformadores, siendo suficiente con añadir las
pérdidas por caída de tensión de la impedancia de la línea para obtener los valores pedidos.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
154
x
Cálculo de las tensiones de fase en bornes del generador G1
VR
VS
x
5006.4 j 260.1 5013.13‘2.93º V
V R 2 a V R 0 2719.6 j 4581.9 5328.2‘ 120.7 º V
V R1 V R 2 V R 0
V R1 a
2
Cálculo de las tensiones de línea en bornes del generador G1
U RS
VR VS
U ST
V S VT
U TR
VT V R
7726 j 484.2 9118‘32º V
11.6 j9782.9 9782.9‘ 90º V
7714.4 j 4940.9 9161‘147.4º V
¦ U LÍNEA
0V
El valor de la tensión de línea que se pide en el enunciado se corresponde con la fase "S". Siendo nula
la suma total de las tensiones de línea.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
155
CAPÍTULO IV. ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE
FALLOS EN SISTEMAS DE POTENCIA
PROBLEMA 4.1
Disponemos de un sistema de potencia formado por una central generadora y una subestación
transformadora de distribución que abastecen a unos consumidores a través del embarrado “B”. Las
protecciones del sistema de potencia se llevarán a cabo mediante interruptores magnetotérmicos
colocados como se indica en la figura. La potencia prevista que se distribuirá a través del embarrado “B”
coincide con la potencia nominal del transformador.
DATOS
Generador:..........12MVA........20KV..............X”d=X1=X2= 16%.....…...Xo= 5%...…......Xn=0.
Transformador....25MVA.....110/20KV.........Hcc=X1=X2= 7%.........…...Xo= 0.9·X1.…...Xn=j1:
L1............................................................….....Z1=Z2= (2.25+j6.5):.…...Xo= 2.5·X1.
L2 .............................................................…...Z1=Z2= (0.08+j0.11):…..Xo= 2.5·X1
L3................................................................….Z1=Z2= (0.42+j057):…...Xo= 2.5·X1
RED Scc=f
U=110kV
Ga
Línea-1º
Interruptor 1º
TR1
'Y
Línea-2º
Xn
Interruptor 2º
Interruptor 3º
Barras “A”
20kV
Interruptor 4º
Línea-3º
Barras “B”
20kV
Consumidores.
Figura 4.1 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.1
x
Intensidades nominales para interruptores de protección estándar
100A,
125A,
160A,
200A,
250A,
315A,
400A,
630A,
800A,
1250A,
1600A,
2000A,
2600A.
x
Poderes de corte y de cierre para interruptores de protección estándar
3.15kA,
10KA,
16KA, 20kA,
31.5kA,
40kA,
50kA,
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
63kA,
100kA
Protección de sistemas eléctricos de potencia
156
HALLAR
x para cada interruptor, delante de una falta trifásica en diversos puntos del circuito:
1.
2.
3.
4.
Intensidad nominal de los interruptores. Dar un valor normalizado.
Protección térmica contra sobrecargas, es decir, ajuste de las curvas a tiempo inverso. Intensidades de
arranque (Ir) (considérese un margen de seguridad de un 10%). Coeficientes de arranque.
Protección magnética contra cortocircuitos, es decir, ajuste de las curvas a tiempo independiente o
instantáneo (suponer cortocircuitos trifásicos en los embarrados “A” y “B”).
Indicar el poder de cierre y el poder de corte para cada interruptor, así como las intensidades de cierre
y corte (suponer cortocircuitos trifásicos en bornes de cada interruptor).
RESPUESTAS
1.
Las intensidades nominales de los interruptores son:
x Intensidades nominales: II1º = 131.2A.
II2º = 721.7A. II3º = 346.4A. II4º = 721.7A.
x Las intensidades nominales normalizadas son:
InI1º =400A.
InI2º =1250A. InI3º =630A.
InI4º =1250A.
2.
Los relés térmicos se dimensionarán con los siguientes valores:
x Las intensidades de arranque son: (aumento de un 10% como margen de seguridad).
IarrI1º =144.3A. IarrI2º =794A. IarrI3º =381A. IarrI4º =794A.
x Los coeficientes de arranque son:
CarrI1º =36%.
CarrI2º =63.5%. CarrI3º =60%. CarrI4º =63.5%.
3.
Los relés magnéticos se dimensionarán con los siguientes valores:
x Los interruptores delante de un cortocircuito trifásico en barras “A” y “B” respectivamente, se
verán afectados por unas intensidades de valor:
II1º =(1730A-1084A)
II2º =(9514A-5964A)
II3º =(2335A-1464A)
II4º =(0A-7428A)
x Las intensidades que se tomarán en el ajuste a tiempo independiente serán (recordar que como
mínimo deben de existir dos interruptores que protejan cada defecto en coordinación):
ImagI1º = 1600A (4·In) con un tiempo de disparo de t=0.5s.
ImagI2º = 5000A (4·In) con un tiempo de disparo de t=0.3s.
ImagI3º = 1260A (2·In) con un tiempo de disparo de t=0.3s.
ImagI4º = 6250A (5·In) con un tiempo de disparo de t=0.0s.
4.
Los poderes de cierre y corte para cada interruptor son:
x Las intensidades máximas delante de un cortocircuito trifásico en bornes de cada interruptor (las
más desfavorables debidas a la aportación de la parte superior o inferior del interruptor) son:
I”k3I4º =11849/-83.4ºA
I”k3I1º =10125/-71ºA I”k3I2º =9479/-83.4ºA I”k3I3º =9479/-83.4ºA
x Las intensidades máximas asimétricas son:
IsI1º = 19472/-71ºA
IsI2º = 23192/-83.4ºA IsI1º = 23192/-83.4ºA
IsI1º = 29325/-84.4ºA
x Las intensidades de corte serán:
IaI2º =9479/-83.4ºA
IaI3º =9479/-83.4ºA
IaI4º =11154/-84.4ºA
IaI1º =10125/-71ºA
x Los poderes de corte y cierre para cada interruptor son: se ha adoptado para todos los
interruptores un poder de corte de 20kA, y un poder de cierre de 50kA.
PROBLEMA 4.2
Disponemos de un sistema de potencia formado por una subestación transformadora de distribución que
abastece a unos consumidores a través del embarrado “B” y a un grupo de motores a través del embarrado
“A”. Las protecciones del sistema de potencia se llevarán a cabo mediante interruptores magnetotérmicos
y fusibles adecuados, colocados como se indica en la figura. La potencia prevista que se distribuirá a
través del embarrado “B” es de 20MVA coincidiendo la tensión con el valor que toma la misma en el
embarrado “A”.
DATOS
Motores:..............20MVA.........20KV....….cos G =0.96......Iarr/In = 5......K=80%..…….n=1500rpm.
Transformador....30MVA.....120/20KV…..Hcc=Z1=Z2= 12%........……....Zo= 0.9·Z1.....Xn=j1:
HRcc=X1=X2= 0.8%
L1................................................................Z1=Z2= (1+j3):.......................Xo= 2.5·X1
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
157
L2 ...............................................................Z1=Z2= (0.06+j0.6):...............Xo= 2.5·X1
L3................................................................Z1=Z2= (0.08+j0.8):...............Xo= 2.5·X1
RED Scc=6000MVA
U=120kV
M
a
Línea-1º
Línea-2º
Interruptor 1º
TR1
'Y
Xn
Interruptor 2º
Interruptor 3º
Barras “A”
20kV
Interruptor 4º
Línea-3º
Barras “B”
20kV
Consumidores.
Figura 4.2 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.2
x
Intensidades nominales para interruptores de protección estándar
100A,
125A,
160A,
200A,
250A,
315A,
400A,
630A,
800A,
1250A,
1600A,
2000A,
2600A.
x
Poderes de corte y de cierre para interruptores de protección estándar
3.15kA,
10KA,
16KA, 20kA,
31.5kA,
40kA,
50kA,
63kA,
100kA
HALLAR
x Para cada interruptor, delante de una falta trifásica en diversos puntos del circuito:
1
2
3
4
Intensidad nominal de los interruptores. Dar un valor normalizado.
Protección térmica contra sobrecargas, es decir, ajuste de las curvas a tiempo inverso. Intensidades de
arranque (Ir) (considérese un margen de seguridad de un 10%). Coeficientes de arranque.
Protección magnética contra cortocircuitos, es decir, ajuste de las curvas a tiempo independiente o
instantáneo (suponer cortocircuitos trifásicos en los embarrados “A” y “B”).
Indicar el poder de cierre y el poder de corte para cada interruptor, así como las intensidades de cierre
y de corte (suponer cortocircuitos trifásicos en bornes de cada interruptor).
RESPUESTAS
1
Las intensidades nominales de los interruptores son:
II2º = 866A.
II3º = 577.4A. II4º = 866A.
x Intensidades nominales: II1º = 144.3A.
x Las intensidades nominales normalizadas son:
InI1º =400A.
InI2º =1250A.
InI3º =1250A.
InI4º =1250A.
2
Los relés térmicos se dimensionarán con los siguientes valores:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
158
x
x
Las intensidades de arranque son: (aumento de un 10% como margen de seguridad).
IarrI1º =158.7A. IarrI2º =952.6A. IarrI3º =635.1A. IarrI4º =952.6A.
Los coeficientes de arranque son:
CarrI1º =40%.
CarrI2º =76%.
CarrI3º =51%.
CarrI4º =76%.
3
Los relés magnéticos se dimensionarán con los siguientes valores:
x Los interruptores delante de un cortocircuito trifásico en barras “A” y “B” respectivamente se
verán afectados por unas intensidades de valor:
II1º =(1215A-825.4A)
II2º =(7291A-4952.3A)
II3º =(2644A-1795.8A) II4º =(0A-6756.2A)
x Las intensidades que se tomarán en el ajuste a tiempo independiente serán (recordar que como
mínimo deben de existir dos interruptores que protejan cada defecto en coordinación):
ImagI1º = 800A (2·In) con un tiempo de disparo de t=0.5s.
ImagI2º = 4800A (3·In) con un tiempo de disparo de t=0.3s.
ImagI3º = 2250A (1.8·In) con un tiempo de disparo de t=0.3s. (Se tendría que tener una intensidad
de I=5·In=5·924=4620A. para poder arrancar el motor, por lo que seria recomendable el uso de
fusibles tipo motor unidos a un relé térmico. Ver la sección de problemas resueltos).
ImagI4º = 4800A (3·In) con un tiempo de disparo de t=0.0s.
4
Los poderes de cierre y corte para cada interruptor serán:
x Las intensidades máximas delante de un cortocircuito trifásico en bornes de cada interruptor (las
más desfavorables debidas a la aportación de la parte superior o inferior del interruptor) son:
I”k3I1º =14912.4/-76.4ºA I”k3I2º =7292.7/-86.3ºA I”k3I3º =7292.7/-86.3ºA I”k3I4º =9946.5/-85.7ºA
x Las intensidades máximas asimétricas son:
IsI1º = 31637/-76.4ºA IsI2º = 18770.4/-86.3ºA IsI1º = 18770.4/-86.3ºA IsI1º = 25314.6/-85.7ºA
x Las intensidades de corte serán:
IaI1º =14912.4/-76.4ºA IaI2º =7292.7/-86.3ºA IaI3º =7156/-86.3ºA
IaI4º =9355.7/-85.8ºA
x Los poderes de corte y cierre para cada interruptor son: se han adoptado para todos los
interruptores: un poder de corte de 20kA, y un poder de cierre de 50kA.
PROBLEMA 4.3
Disponemos de un sistema de potencia formado por una subestación transformadora de distribución
que abastece a unos consumidores, a través del embarrado “B”, y a un grupo de motores a través del
embarrado “A”. Las protecciones del sistema de potencia se llevarán a cabo mediante interruptores
magnetotérmicos y fusibles adecuados colocados como se indica en la figura. La potencia prevista que se
distribuirá a través del embarrado “B” es de 10MVA coincidiendo la tensión con el valor que toma la
misma para el embarrado “A”.
DATOS
Motores:..............14MVA.......8KV........cos G =0.94........Iarr/In = 6.......K=75%…........n=1500rpm.
Transformador.....18MVA.....80/8KV.....Hcc=Z1=Z2= 15%..........……....Zo= 0.9·Z1.....Xn=j1:
Hxcc=X1=X2= 14.9%
L1.............................................................Z1=Z2= (0+j0):...…...………..Xo= 2.5·X1 Despreciable
L2 ............................................................Z1=Z2= (0+j0):………...….....Xo= 2.5·X1 Despreciable
L3.............................................................Z1=Z2= (0.08+j0.8):.………...Xo= 2.5·X1
x
Intensidades nominales para interruptores de protección estándar
100A,
125A,
160A,
200A,
250A,
315A,
400A,
630A,
800A,
1250A,
1600A,
2000A,
2600A.
x
Poderes de corte y de cierre para interruptores de protección estándar
3.15kA,
10KA,
16KA, 20kA,
31.5kA,
40kA,
50kA,
63kA,
100kA
HALLAR
x Para cada interruptor, delante de una falta trifásica en diversos puntos del circuito:
1
2
Intensidad nominal de los interruptores. Dar un valor normalizado.
Protección térmica contra sobrecargas, es decir ajuste de las curvas a tiempo inverso. Intensidades de
arranque (Ir) (considérese un margen de seguridad de un 15%). Coeficientes de arranque.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
3
4
159
Protección magnética contra cortocircuitos, es decir ajuste de las curvas a tiempo independiente o
instantáneo (suponer cortocircuitos en los embarrados “A” y “B”).
Indicar el poder de cierre y el poder de corte para cada interruptor, así como las intensidades de cierre
y de corte (suponer cortocircuitos trifásicos en bornes de cada interruptor).
RED Scc=2000MVA
U=80kV
Línea-1º
Interruptor 1º
TR1
'Y
Xn
Interruptor 2º
Barras “A”
8kV
Interruptor 3º
Interruptor 4º
Línea-2º
Línea-3º
Barras “B”
8kV
a
M
Consumidores.
Figura 4.3 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.3
RESPUESTAS
1
Las intensidades nominales de los interruptores son:
II2º = 1300A.
II3º = 1010A. II4º = 722A.
x Intensidades nominales: II1º = 130A.
x Las intensidades nominales normalizadas son:
InI1º =400A.
InI2º =2000A. InI3º =1600A. InI4º =1250A.
2
Los relés térmicos se dimensionarán con los siguientes valores:
x Las intensidades de arranque son: (aumento de un 15% como margen de seguridad).
IarrI2º =1493A. IarrI3º =1162A. IarrI4º =830A.
IarrI1º =150A.
x Los coeficientes de arranque son:
CarrI1º =37.5%. CarrI2º =74.7%. CarrI3º =72.6%. CarrI4º =66.4%.
3
Los relees magnéticos se dimensionaran con los siguientes valores:
x Los interruptores delante de un cortocircuito trifásico en barras “A” y “B” respectivamente se
verán afectados por unas intensidades de valor:
II2º =(8990A-2581A)
II3º =(6685A-1922A)
II4º =(0A-4505A)
II1º =(898A-258A)
x Las intensidades que se tomarán en el ajuste a tiempo independiente serán (recordar que como
mínimo deben de existir dos interruptores que protejan cada defecto en coordinación):
ImagI1º = 800A (2·In) con un tiempo de disparo de t=0.5s.
ImagI2º = 2000A (1·In) con un tiempo de disparo de t=0.3s.
ImagI3º = 1600A (1·In) con un tiempo de disparo de t=0.3s. (Se tendría que tener una intensidad
de I=6·In=6·1010=6060A. para poder arrancar el motor, por lo que seria recomendable el uso de
fusibles tipo motor unidos a un relé térmico. Ver la sección de problemas resueltos).
ImagI4º = 3750A (3·In) con un tiempo de disparo de t=0.0s.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
160
4
Los poderes de cierre y corte, para cada interruptor, son:
x Las intensidades máximas delante de un cortocircuito trifásico en bornes de cada interruptor (las
más desfavorables debidas a la aportación de la parte superior o inferior del interruptor) son:
I”k3I1º =14434/-84.3ºA I”k3I2º =8990/-87.8ºA
I”k3I3º =8990/-87.8ºA
I”k3I4º =15668/-86.3ºA
x Las intensidades máximas asimétricas son:
IsI1º = 35721.7/-84.3ºA IsI2º = 24792.6/-87.8ºA IsI1º = 24792.6/-87.8ºA IsI1º = 39441.7/-86.3ºA
x Las intensidades de corte serán:
IaI1º =14434/-84.3ºA IaI2º =8990.3/-87.8ºA IaI3º =8990.3/-87.8ºA
IaI4º =15668.3/-86.3ºA
x Los poderes de corte y cierre para cada interruptor son: se han adoptado para los interruptores (I1
e I4), un poder de corte de 20kA, y un poder de cierre de 50kA. Para los interruptores (I2 e I3), el
poder de corte es 16kA, y el poder de cierre de 40kA.
PROBLEMA 4.4
Disponemos de un sistema de potencia formado por una subestación transformadora de distribución y
dos centrales eléctricas que conjuntamente abastecen a un grupo de motores a través del embarrado “B”.
Ante la posibilidad de un aumento de la demanda de potencia se cree conveniente la incorporación de una
tercera central (G3). Las protecciones del tercer grupo generador se realizarán mediante un interruptor
magnetotérmico y fusibles adecuados, colocados como se indica en la figura. Las solicitaciones máximas
a que estará sometido el interruptor se producirán bajo condiciones de cortocircuito y por lo tanto este
será el régimen a estudiar.
DATOS
Motor..................16MVA.........10KV.…....cos G =0.94......Iarr/In = 5......K=80%.......……n=1500rpm.
G1........................75MVA.........10.5KV......X”d=X1=X2=11.5%.…….....Xo= 0.4·X1.…....Xn= j1:.
G2........................35MVA.........10.5KV......X”d=X1=X2=19%....…….....Xo= 0.4·X1..…...Xn= j1:
G3........................15MVA.........10.5KV......X”d=X1=X2=12%.....………Xo= 0.4·X1.……Xn= J1:
Tr1........................75MVA......121/11KV.....Hxcc=X1=X2= 11.5%.……...Xo= 0.9·Z1….....Xn=0.
Tr2........................35MVA......121/11KV.....Hxcc=X1=X2= 12.5%.……...Xo= 0.9·Z1..…...Xn=0.
Tr3........................20MVA......121/11KV.....Hxcc=X1=X2= 12.5%……....Xo= 0.9·Z1.....…Xn=0.
Tr4........................20MVA......121/11KV.....Hxcc=X1=X2= 12.5%..……..Xo= 0.9·Z1...…..Xn=0.
L1...........................................................…...Z1=Z2= (0.19+j1.52):....…..Xo= 2.5·X1
L2............................................................…..Z1=Z2= (1.12+j3.95):..…....Xo= 2.5·X1
L3............................................................…..Z1=Z2= (0.37+j0.28):…......Xo= 2.5·X1
x
Intensidades nominales para interruptores de protección estándar
100A,
125A,
160A,
200A,
250A,
315A,
400A,
630A,
800A,
1250A,
1600A,
2000A,
2600A.
x
Poderes de corte y de cierre para interruptores de protección estándar
3.15kA,
10KA,
16KA, 20kA,
31.5kA,
40kA,
50kA,
63kA,
100kA
HALLAR
x Delante de una falta monofásica, bifásica o trifásica en bornes del interruptor y considerando
siempre la aportación total de energía (la de la parte superior más de la parte inferior del
interruptor):
1
2
3
4
Intensidades de cortocircuito que se producirán en bornes del interruptor (I”kI1, I”kI2, I”kI3)
(considérese la aportación de energía total, la superior más la inferior).
Las máximas intensidades asimétricas de cortocircuito en bornes del interruptor delante de los
diversos tipos de cortocircuito (Is1 , Is2 , Is3). Dar asimismo el poder de cierre (considérese la
aportación de energía total, es decir, la superior más la inferior).
Las potencias de cortocircuito (S”k1 , S”k2 , S”k3 ) en bornes del interruptor delante de las diversas
faltas que puedan producirse (considérese la aportación de energía total, la superior más la inferior).
Cuál será la intensidad de corte (Ia) y el poder de corte delante de una falta trifásica en bornes del
interruptor estudiado (considérese la aportación de energía total, la superior más la inferior).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
161
RED
G1a Y
TR1
Línea-1º
Xn
'
Y
Barras”A”
Línea-2º
Barras “B”
Línea-3ª
Y
'
Interruptor
TR3
TR2
TR4
'
'
Y G2a
Xn
Y
'
G3a Y
Ma
Xn
Figura 4.4 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.4
RESPUESTAS
1
Las intensidades de cortocircuito que se producirán en el interruptor (consideradas las aportaciones
de la parte superior e inferior del circuito, es decir las totales) serán:
I”kI1" = 6543/-83.8ºA.
I”kI2" = 7118/-83.8ºA.
I”kI3" = 8219/-83.4ºA.
2
Las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán en bornes del interruptor,
(consideradas las aportaciones por la parte superior e inferior del circuito, es decir las totales), serán:
Is2 = 17313/-83.8ºA
Is3 = 19992/-83.8ºA.
Is1 = 16840/-85.4ºA
x El poder de cierre al que se dotará al interruptor para hacer frente a todos los tipos de
cortocircuitos será: 40kA.
3
Las potencias de cortocircuito (consideradas las aportaciones de la parte superior e inferior del
circuito, es decir, las totales) serán:
S”k1 = 1246.6 MVA
S”k2 = 1356.4 MVA
S”k3 = 1566 MVA
4
La intensidad de corte en el interruptor delante de una falta trifásica, (consideradas las aportaciones
de la parte superior e inferior del circuito, es decir las totales) será:
Ia = 7893.25/-90ºA.
Poder de corte: 16kA.
PROBLEMA 4.5
El esquema de la figura representa una sección de una red eléctrica trifásica alimentada por dos
generadores situados en los extremos del sistema de potencia. A efectos de diseño de los interruptores de
protección, y para conocer la respuesta del circuito en diversos puntos del mismo ante situaciones
anómalas, se pide funcionando los generadores sin carga y a la tensión nominal:
DATOS
G1:.....….40MVA........40KV..............X”d=X1=X2= 10%....…….Xo= 6%.........…Xn=0.
G2:.....….50MVA........50KV..............X”d=X1=X2= 12%..….......Xo= 6%.........…Xn=j4ȍ.
TR1:........50MVA.....150/40KV..…....Ecc=X1=X2= 11%…....…..Xo= 0.9·X1...….Xn=j8ȍ
TR2:........60MVA.....150/50KV....…..Ecc=X1=X2= 9%........……Xo= 0.9·X1…....Xn=0
L1...........……….................................X1=X2= j35:.............……Xo= 2.5·X1
L2 y L3...............………......................X1=X2= j40:......…..….....Xo= 2.5·X1
L4....................................………........X1=X2= j30:.....……........Xo= 2.5·X1
L5..............................………..............X1=X2= j20:.….......….....Xo= 2.5·X1
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
162
B
A
G1
a
D
Línea 1º
E
TR1
F
TR2
G2
YY
a
Y
L-4º
C
Y
'Y
L-2º
L-3º
L-5º
.
G
Consumidores.
Figura 4.5 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.5
HALLAR
1
En el supuesto de producirse unos cortocircuitos (monofásicos, bifásicos, trifásicos) en las barras de
interconexión “A”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes
asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)? Dar el valor, asimismo,
de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un cortocircuito trifásico (Ia)
(suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
2
En el supuesto de producirse los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos, trifásicos)
pero ahora en las barras de interconexión “C”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y
las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)?
Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un
cortocircuito trifásico (Ia) (suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores). Finalmente
indicar las corrientes de cortocircuito bifásico a tierras (I”kEE , I”kSE , I”kTE ) que se producirían en las
barras citadas.
3
En el supuesto de producirse los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos, trifásicos)
pero ahora en las barras de interconexión “G”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito
y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)?
Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un
cortocircuito trifásico (Ia) (suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
4
Dibujar las redes de secuencia directa, inversa y homopolar de la red representada.
RESPUESTAS
1
Las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se
I”k3 = 8215.85/-90ºA.
producirá en “A” son: I”k1 =7778.16 /-90º A, I”k2 = 7115.13/-90ºA,
Is1 =25111.23/-90ºA, Is2 = 20124.62/-90º A, Is3 = 23237.93/-90ºA.
x La corriente de corte trifásica será: Ia = 5843.83/-90º A.
2
Las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se
I”k2 = 1089.49/-90ºA,
I”k3 = 1258.04/-90ºA.
producirá en “C” son: I”k1 = 817.22/-90º A,
Is1 = 2311.43/-90ºA,
Is2 = 3081.54/-90º A,
Is3 = 3558.27/-90ºA.
x La corriente de corte trifásica será: Ia = 1054.3/-90º A.
x Las corrientes de cortocircuito bifásico a tierras son:
I”kEE= 720.88/90.28ºA. I”kES= 1346.6/164.76ºA. I”kET= 1346.65/15.81ºA
3
Las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se
I”k3 = 995.12/-90ºA.
producirá en “G” son: I”k1 = 649.91 /-90º A, I”k2 = 861.79/-90ºA,
Is1 = 1838.24/-90ºA, Is2 = 2437.51/-90º A,
Is3 = 2814.62/-90ºA.
x La corriente de corte trifásica será: Ia = 889.42/-90º A.
4
Las redes de secuencia directa, inversa y homopolar no se indican. Pero con redes parecidas,
consultar la sección de problemas resueltos.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
163
PROBLEMA 4.6
El esquema de la figura representa una sección de una red eléctrica trifásica alimentada por dos
generadores situados en paralelo al principio del sistema de potencia. A efectos de diseño de los
interruptores de protección, y para conocer la respuesta del circuito en diversos puntos del mismo ante
situaciones anómalas, se pide funcionando los generadores sin carga y a la tensión nominal:
DATOS
G1:................20MVA..........10KV...............X”d=X1=X2= 12%..........Xo= 0.4·X1…...Xn=j4:..
G2:................30MVA..........10KV...............X”d=X1=X2= 14%…......Xo= 0.4·X1.......Xn=0.
TR1 ...............60MVA…....150/15KV..........Hcc=X1=X2= 12%….......Xo= 0.9·X1.......Xn=j7.5:
TR2:..............50MVA...….150/15KV....…...Hcc=X1=X2= 10%..….....Xo= 0.9·X1.......Xn=0
L1……………….........................................Z1=Z2= (0.06j0.12) :.....Zo= 2.5·Z1.
L2......................………………...................Z1=Z2= (2+j6) :.............Zo= 2.5·Z1
L3........................................……………….Z1=Z2= (0.1+j0.6):........Zo= 2.5·Z1
A
G1
Y a
C
Xn
Línea-1º
TR1
D
E
Línea-2º
TR2
F
Línea-3º
B
Y
G2
a
Y'
10 kV
100kV
Y'
Consumidores
Xn
Figura 4.6 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.6
HALLAR
1
En el supuesto de producirse unos cortocircuitos (monofásicos, bifásicos, trifásicos) en las barras de
interconexión “C”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes
asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)? Dar el valor, asimismo,
de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un cortocircuito trifásico (Ia)
(suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
2
En el supuesto de producirse los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos, trifásicos)
pero ahora en las barras de interconexión “E”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y
las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)?
Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un
cortocircuito trifásico (Ia) (suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
3
En el supuesto de producirse los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos, trifásicos)
pero ahora en las barras de interconexión “F”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y
las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)?
Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un
cortocircuito trifásico (Ia) (suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
4
Dibujar las redes de secuencia directa, inversa y homopolar, de la red representada.
RESPUESTAS
1
Las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se
producirá en “C” son: I”k1 = 18197/-80.7º A, I”k2 = 14175.3/-81.1ºA, I”k3 = 16368/-81.1A.
Is2 = 32476/-81.1º A,
Is3 = 37500/-81.1ºA.
Is1 = 41432/-80.2ºA,
x La corriente de corte trifásica será: Ia = 12315.8/-81.1º A.
2
Las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se
I”k3 = 708/-84.9ºA.
producirá en “E” son: I”k1 = 928.8/-85.5º A, I”k2 = 613.15/-84.9ºA,
Is1 = 2338/-85.5ºA,
Is2 = 1508/-84.9º A,
Is3 = 1742.2/-84.9ºA.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
164
x
La corriente de corte trifásica será: Ia = 675.18/-84.9º A.
3
Las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se
I”k2 = 3081.2/-84.2ºA,
I”k3 = 3557.9/-84.2ºA.
producirá en “F” son: I”k1 = 0/0º A,
Is2 = 7495/-84.2º A,
Is3 = 8654.4/-84.2ºA.
Is1 = 0/-0ºA,
x La corriente de corte trifásica será: Ia = 3557.9/-84.2º A.
4
Las redes de secuencia directa, inversa y homopolar no se indican. Pero con redes parecidas,
consultar la sección de problemas resueltos.
PROBLEMA 4.7
El esquema de la figura representa una sección de una red eléctrica trifásica alimentada por tres
generadores situados en los extremos del sistema de potencia. A efectos de diseño de los interruptores de
protección, y para conocer la respuesta del circuito en diversos puntos del mismo ante situaciones
anómalas, se pide funcionando los generadores sin carga y a la tensión nominal:
DATOS
G1:..............…60MVA..........20KV................X”d=X1=X2= 10%.........Xo= 8%...........…Xn=j8:..
G2:.............….80MVA..........30KV................X”d=X1=X2= 12%.........Xo= 10%.........…Xn=0.
G3:..............…25MVA..........40KV................X”d=X1=X2= 15%.........Xo= 12%.........…Xn=0.
TR1 y TR2……30MVA.…...140/20KV...........Hcc=X1=X2= 11%....…..Xo= 0.9·X1…..….Xn=0
TR3:............….30MVA.…..140/40KV............Hcc=X1=X2= 14%.....….Xo= 0.9·X1..……Xn=0
TR4:.............…90MVA…...140/30KV............Hcc=X1=X2= 12%..........Xo= 0.9·X1..……Xn=0
L1..………………….......................................X1=X2= j25:.........…....Xo= 2.5·X1
L2............................………………….............X1=X2= j25:.......……..Xo= 2.5·X1
L3........................................………………….X1=X2= j50:....…...…..Xo= 2.5·X1
A
B
TR1
D
Línea-1º
E
F
TR4
Línea-3º
a
G2
Y
' Y
Y'
a
G1
Y
TR3
C
TR2
Línea-2º
YY
G
a
G3
Y
YY
Figura 4.7 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.7
HALLAR
1
En el supuesto de producirse unos cortocircuitos (monofásicos, bifásicos, trifásicos) en las barras de
interconexión “D”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes
asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)? Dar el valor, asimismo,
de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un cortocircuito trifásico (Ia)
(suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
2
En el supuesto de producirse los mismos cortocircuitos anteriores (monofásicos, bifásicos, trifásicos)
pero ahora en las barras de interconexión “F”, ¿cuáles serán las corrientes iniciales de cortocircuito y
las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se producirán (I”k1 , I”k2, I”k3, Is1, Is2, Is3)?
Dar el valor, asimismo, de la corriente simétrica de corte en las mismas barras delante de un
cortocircuito trifásico (Ia) (suponer un tiempo de retardo de 0.1s para los interruptores).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
165
3
Si se produce en barras “D” un cortocircuito fase-fase-tierra. Indicar las intensidades iniciales de
cortocircuito (I”k2EE , I”k2ES, I”k2ET), así como la tensión de línea en la fase "R" con esta falta.
4
Dibujar las redes de secuencia directa, inversa y homopolar, de la red representada.
RESPUESTAS
1
Las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se
producirá en “D” son: I”k1 = 2141.76/-90º A, I”k2 = 2047.87/-90ºA,
I”k3 = 2364.68/-90ºA.
Is1 = 6057.81/-90ºA,
Is2 = 5792.25/-90º A,
Is3 = 6688.32/-90ºA.
x La corriente de corte trifásica será: Ia = 1988.63/-90º A.
2
Las corrientes iniciales de cortocircuito y las máximas corrientes asimétricas de cortocircuito que se
I”k3 = 17211/-90ºA.
producirá en “F” son: I”k1 = 17113.1/-90º A, I”k2 = 14905.15/-90ºA,
Is1 = 48403.1/-90ºA,
Is2 = 42158.13/-90º A,
Is3 = 48680/-90ºA.
x La corriente de corte trifásica será: Ia = 12125.8/-90º A.
3
Las corrientes iniciales de cortocircuito que se producirá en “D” con una falta bifásica a tierra son:
I”k2EE = 930.43/-90º A, I”k2ES = 2100.02/167.2ºA, I”kET = 2100.02/12.8ºA.
x La tensión en la fase “R” con esta falta es: UR = 115875.7/0º V
4
Las redes de secuencia directa, inversa y homopolar no se indican. Pero con redes parecidas,
consultar la sección de problemas resueltos.
PROBLEMA 4.8
El esquema de la figura representa una sección de una red eléctrica trifásica alimentada por múltiples
puntos. A efectos de diseño del interruptor, y para conocer la respuesta del circuito en diversos puntos del
mismo ante situaciones anómalas, se pide funcionando los generadores sin carga y a la tensión nominal:
DATOS
x
Tensión del punto "F1" y del punto "F2":.......100KV
G1.:.....…...45MVA......…20KV...………X”d=X1=X2= j0.8:......….Xo=j0.32:...…..Xn=j0.50:
G2:.…...…55MVA......…32KV.....…..…X”d=X1=X2= j1.8:......….Xo=j0.72:....…..Xn=0
G3:...…….65MVA....…..40KV...……....X”d=X1=X2= j2.7:......….Xo=j1.08:.….....Xn=0
TR1:..……50MVA.…100/20KV.....…….Hcc=X1=X2= j0.8:..…… .Xo=j0.72:..……Xn=0
TR2:.....….60MVA….100/32KV.....….…Hcc=X1=X2=j1.7:....…….Xo=j1.53:.…….Xn=0
TR3:.....….70MVA….100/40KV.….....…Hcc=X1=X2= j2.5:.……...Xo=j2.25:..……Xn=0
L1 Y L2.......................…..………………X1=X2= j20:..……….… .Xo=j50:.
L3.................................……………....… X1=X2= j25:……..……..Xo=j62.5:.
L4...................................…...………..…. X1=X2= j14:..…..……....Xo=j35:.
L5.....................................….…………... Z1=Z2=(5+J10):.……......Zo=2.5·Z1
x
Los valores de las impedancias calculadas siempre están dadas al nivel más bajo de tensión
HALLAR
1
2
3
4
En el supuesto de una falta monofásica fase-tierra en el punto "F1", ¿cuál será la corriente inicial de
cortocircuito (I”k1), que se producirá?
Si desconectamos G2, y se produce una falta monofásica fase-tierra en el punto "F2", ¿cuál será la
corriente máxima asimétrica de cortocircuito (Is), que soportará el interruptor que se encuentre
situado en la fase referida?
Si desconectamos G2, y se produce una falta trifásica en el punto "F2", ¿cuál será la corriente
simétrica de corte (Ia), que deberá de interrumpir el interruptor si su tiempo de retardo es de 0.1s?
Dibujar las redes de secuencia directa, inversa y homopolar de la red representada.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
166
B
A
C
Línea 1º
D
TR1
a
G1
Y
TR3
Línea 2º
Y
Y
L-3º
L-4º
a
G3
Y
Y Y
Xn
Línea-5º
E
F1
Interruptor
Y
'
TR2
F2
G
S2
Y
a
G2
Consumidores
Figura 4.8 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.8
RESPUESTAS
1
2
3
4
La corriente inicial de cortocircuito que se producirá en "F1" es: I”k1 = 4420.5/-90º A.
La corriente máxima asimétrica de cortocircuito en "F2" (G2 desconectado) será: Is =3623.6/-78.79ºA.
La corriente simétrica de corte en "F2", (G2 desconectado), será: Ia = 2131.16/-80.3º A.
Las redes de secuencia directa, inversa y homopolar no se indican. Pero con redes parecidas consultar
la sección de problemas resueltos.
PROBLEMA 4.9
El esquema de la figura representa una sección de una red eléctrica trifásica alimentada por múltiples
puntos. A efectos de diseño del interruptor, y para conocer la respuesta del circuito en diversos puntos del
mismo ante situaciones anómalas, se pide funcionando los generadores sin carga y a la tensión nominal:
DATOS
x
Tensión del punto "F1" y del punto "F2":....120KV. La tensión del punto F3 es de 40kV
G1:.....….40MVA........20KV...…….X”d=X1=X2= 14%..….....Xo= 4%.….….…..Xn= 0%
G2:....…..50MVA........30KV..….….X”d=X1=X2= 16%….......Xo= 4%....……….Xn= 2.962%.
G3:...…...60MVA........40KV....…....X”d=X1=X2= 12%.....…...Xo= 4.5%....…….Xn=0
TR1:........50MVA.....120/20KV........Hcc=X1=X2= 10%….........Xo= 0.9X1…....…Xn=0
TR2:........60MVA.....120/30KV........Hcc=X1=X2= 9%..….........Xo= 0.9X1………Xn=0
TR3:........64MVA.....120/40KV........Hcc=X1=X2= 12%.…........Xo= 0.9X1....……Xn=0
L1 y L2.......………...........................X1=X2= j20:..……..........Xo= 2.5·X1
L3...........................………..............X1=X2= j18:.........……....Xo= 2.5·X1
L4……….........................................X1=X2= j22:......…….......Xo= 2.5·X1
L5..........………...............................X1=X2= j24:......…….......Xo= 2.5·X1
L6....................……….....................Z1=Z2=(2+J6):..…….......Zo=2.5·Z1
L7 y L8.....................………............X1=X2= j2.6:..........……..Xo= 2.5·X1
x
Los valores de las impedancias calculadas siempre están dadas al nivel más bajo de tensión
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
167
B
C
A
Línea 1º
D
TR1
a
G1
Y
E
L-5º
TR3
F3
F
L-7º
Línea 2º
S1
Xn
' Y
L-3º
L-4º
Y Y
L-8º
a
G3
Y
120kV
Línea-6º
G
F1
Interruptor
Y
Y
TR2
120kV
H
F2
I
Y
Xn
a
G2
Consumidores
Figura 4.9 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.9
HALLAR
1
2
3
4
5
En el supuesto de una falta monofásica fase-tierra en el punto "F1", ¿cuál será la corriente inicial de
cortocircuito (I”k1), que se producirá?
Delante de una falta trifásica en el punto "F2", ¿cuál será la corriente simétrica de corte (Ia), que
deberá ser capaz de interrumpir el interruptor si su tiempo de retardo es de 0.1s?
Si se produce una falta monofásica fase-tierra en el punto "F2", ¿cuál será la corriente máxima
asimétrica de cortocircuito (Is), que soportará el interruptor que se encuentre situado en la fase
referida?
Si desconectamos el generador G1 de la red, mediante S1, y se produce una falta bifásica doble fasetierra en el punto "F3", ¿cuales serán las corrientes iniciales de cortocircuito (I”kEE, I”kES, I”kET) que se
producirán?
Dibujar las redes de secuencia directa, inversa y homopolar, de la red representada.
RESPUESTAS
1
La corriente inicial de cortocircuito que se producirá en "F1" es: I”k1 = 2632.5/-90º A.
2
La corriente simétrica de corte en "F2", será: Ia = 1883.5/-86.8º A.
3
La corriente máxima asimétrica de cortocircuito en F2" será: Is = 4811.2/-85.7º A.
4
Con el generador G1 desconectado, las corrientes de cortocircuito que se producirán delante de una
falta bifásica a tierras en "F3" serán: I”kEE= 6176/90ºA. I”kES =7100/-205.8ºA I”kET =7100/25.8ºA.
5
Las redes de secuencia directa, inversa y homopolar no se indican. Pero con redes parecidas consultar
la sección de problemas resueltos.
PROBLEMA 4.10
Disponemos de un generador síncrono trifásico, el cual trabaja en vacío (sin carga). Su neutro está
puesto a tierra a través de una reactancia. Con esta situación, se produce una falta monofásica a tierras en
los bornes del generador como se indica en la figura:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
168
DATOS
G..….20000 kVA ..….13.8 kV……..X"d1 = 35 % ……..X2 = 25% ……..Xo = 10% ……..Xn = 0%
R
Xn
G
a
Y
S
T
Figura 4.10 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.10
HALLAR
1
2
Las corrientes de cortocircuito en los bornes del generador.
Las tensiones de línea en las tres fases del generador.
RESPUESTAS
1
Las corrientes de cortocircuito en los bornes del generador son:
I”kS1G = I”kT1G = 0.
I”k1RG = 3590/-90º A.
2
Las tensiones de línea en las tres fases del generador son:
URSG = 8063/77.7º V. USTG = 15775/-90º V.
UTRG = 8063/102.2º V.
PROBLEMA 4.11
Disponemos de un generador síncrono trifásico, el cual trabaja en vacío (sin carga). Su neutro está
puesto a tierra a través de una reactancia. Con esta situación, se produce una falta bifásica entre fases en
los bornes del generador como se indica la figura:
DATOS
G…..20000 kVA ……13.8 kV……..X"d1 = 35 %……X2 = 25% …....Xo = 10% …….Xn = 0%
R
Xn
Y
G
a
S
T
Figura 4.11 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.11
HALLAR
1
2
Las corrientes de cortocircuito en los bornes del generador.
Tensiones de línea en las tres fases del generador.
RESPUESTAS
1
Las corrientes de cortocircuito en los bornes del generador son:
I”kS1G = 2420/180º A.
I”kT1G = 2420/0º A.
I”k1RG = 0/0º A.
2
Las tensiones de línea en las tres fases del generador son:
USTG = 10/0º V.
URSG = 13970/0º V.
UTRG = 13970/180º V.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
169
PROBLEMA 4.12
Disponemos de un generador síncrono trifásico que trabaja en vacío (sin carga). Su neutro está puesto a
tierra a través de una reactancia. Con esta situación, se produce una falta bifásica entre fases a tierra en los
bornes del generador como se indica en la figura.
DATOS
G……20000 kVA……13.8 kV……..X"d1 = 35 %………X2 = 25%………Xo = 10%……..Xn = 0%
R
Xn
Y
G
a
S
T
Figura 4.12 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.12
HALLAR
1
2
Las corrientes en los bornes del generador.
Tensiones de línea en las tres fases del generador.
RESPUESTAS
1
Las corrientes de cortocircuito en los bornes del generador son:
I”k1RG = 0/0º A. I”kS1G =3071/136º A. I”kT1G =3071/44º A.
2
Las tensiones de línea en las tres fases del generador son:
USTG = 0/0º V.
URSG = 4047/0º V.
UTRG =4047/180º V.
PROBLEMA 4.13
El circuito mostrado en la figura corresponde a un suministro trifásico formado por un generador
síncrono trifásico, una línea de transporte de energía eléctrica y un transformador. El extremo de la línea
está abierto y por lo tanto el generador trabaja sin carga. Las conexiones existentes, así como las
características de las máquinas, son las mostradas en la figura
DATOS
G1 ……….2500 MVA ….132 kV………X/R = 6 ……….Zo= 0.8·Z1 …….Xn= 0%
TR1 ……….90 MVA…....132/33kV…..X1=X2= 16% ……Xo= 16% ……..Xn= 0
Línea Z1=Z2 = (0.0895+j 0.2336) :/Km Zo = (0.1965 + j 0.5895) :/km Longitud línea = 32.16 km
A
B
Línea
C
TR
S = 0 MVA
Ga
Y
Y '
Figura 4.13 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.13
HALLAR
x Si el sistema esta operando a voltaje nominal y sin corriente antes del fallo, delante de una falta
monofásica (Fase-Tierra), en la fase “R” de las barras "B":
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
170
1
2
3
Con el conexionado existente: la intensidad que circula por las tres fases del generador, así como por
el primario del transformador.
Se desconecta el neutro del generador siguiendo sin cambios las conexiones restantes: la intensidad
que circula por las tres fases del generador y por las tres fases del primario del transformador.
Se desconecta el neutro del transformador, pero el neutro del generador está conectado: la intensidad
que circula por las tres fases del generador y por las tres fases del primario del transformador.
RESPUESTAS
1
Con el conexionado existente:
IRG = 3106/-74º A ISG = 730/96.7ºA
IRTR = 726/-83.3ºA ISTR = 726/-83.3ºA
ITG = 730/96.7º A
ITTR = 726/-83.3ºA
2
Se desconecta el neutro del generador siguiendo sin cambios las conexiones restantes:
ITG = 1055/99.8ºA
IRG = 2110/-80.2ºA ISG = 1055/99.8º A
IRTR = 1055/-80.2ºA ISTR = 1055/-80.2ºA
ITTR = 1055/-80.2ºA
3
Se desconecta el neutro del transformador, pero el neutro del generador está conectado:
ITG = 0/0ºA
IRG = 2781/-72.9ºA ISG = 0/0ºA
ISTR = 0/0ºA
ITTR = 0/0ºA
IRTR = 0/0ºA
PROBLEMA 4.14
Dos generadores síncronos de 40MVA y 10kV, cada uno, se disponen en paralelo, suministrando
energía a una línea de distribución. Las impedancias secuenciales de los generadores y la línea son las
siguientes:
DATOS
Generadores
Línea
Secuencia directa........................ j 8:............................j 15:
Secuencia inversa........................j 6:............................j 15:
Secuencia homopolar..................j 4: ...........................j 30:
El primer generador tiene su punto neutro conectado a tierra a través de una resistencia de 1:, mientras
que el segundo generador tiene su punto neutro aislado de tierra.
HALLAR
x Si se produce un cortocircuito entre la fase “R” y tierras en el extremo más alejado de la línea,
trabajando los generadores sin carga:
1
2
3
4
La intensidad monofásica de cortocircuito (I”k1), en el punto de la falla.
La intensidad que circula por la fase “S”, del primer generador (I”Sg1), al producirse el cortocircuito.
La intensidad que circula por la fase “R”, del segundo generador (I”Rg2), al producirse el cortocircuito.
La tensión entre líneas UST en bornes del segundo generador al producirse el cortocircuito.
RESPUESTAS:
1
2
3
4
La intensidad monofásica de cortocircuito en la fallas es: I”k1 = 243.75/-87.6º A.
La intensidad de la fase “S”, del primer generador es: I”SG1 = 40.625/-87.6º A.
La intensidad de la fase “R” del segundo generador es: I”RG2 = 81.25/-87.6º A.
La tensión entre líneas, en bornes del segundo generador es: USTG2 = 9860.17/-90º V.
PROBLEMA 4.15
Dos generadores síncronos trifásicos de 35MVA y 7.5kV, cada uno, se disponen en paralelo,
suministrando energía a una línea de distribución. Las impedancias secuenciales de los generadores y la
línea son las siguientes:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
171
DATOS
Generadores
Línea
Secuencia directa........................ j 6:............................j 12:
Secuencia inversa........................j 5:............................j 12:
Secuencia homopolar..................j 2: ...........................j 25:
El primer generador tiene su punto neutro aislado de tierra, mientras que el segundo generador tiene su
punto neutro conectado a tierra a través de una resistencia de 0.8:.
HALLAR
x Si se produce un cortocircuito entre la fase “R” y tierra (cortocircuito monofásico), en el extremo
más alejado de la línea, y se supone que los generadores antes de la falla trabajan sin carga:
1
2
3
4
La intensidad monofásica de cortocircuito (I”k1), en el punto de la falla.
La intensidad que circula por la fase “S”, del primer generador (I”Sg1), al producirse el cortocircuito.
La intensidad que circula por la fase “R”, del segundo generador (I”Rg2), al producirse el cortocircuito.
La tensión entre líneas UST en bornes del segundo generador al producirse el cortocircuito.
RESPUESTAS
1
2
3
4
La intensidad monofásica de cortocircuito es: I”k1 = 229.5/-87.6º A.
La intensidad de la fase “S”, del primer generador es: I”SG1 = 38.25/92.45º A.
La intensidad de la fase “R” del segundo generador es: I”RG2 = 153/-87.6º A.
La tensión entre líneas en bornes del segundo generador es: USTG2 = 7435/-90º V.
PROBLEMA 4.16
Se dispone de un sistema de energía formado por un generador, un transformador y un grupo de
motores asíncronos conectados en paralelo. Los valores característicos de las máquinas y del
transformador son las siguientes (los valores dados para el motor son los tomados en su conjunto):
DATOS
G ……..7500 MVA……. 4.16 kV……….X"d1 = X2 = 10% ……….Xo = 5% ……..Xn = 5%
TR …….7500 MVA…...4.16/0.6 kV……..Hxcc = X1 = X2 = 10% …Xo = 0.9·X1 …..Xn = 0%
M……..5000 MVA……. 0.6 kV …….….X"d1 = X2 = 20% ……….Xo = 4% ……...Xn = 2%
B
M1
A
G
a
Y
Xn
TR1
Y Y
M2
M3
M4
Xn
Xn
Xn
Xn
Figura 4.14 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.16
HALLAR
x Si se produce una falta monofásica a tierra en el embarrado "B", y el sistema está operando a
voltaje nominal y sin corriente antes del fallo, tomando como tensión de referencia E= 1/0º:
1
2
3
Las intensidades de cortocircuito de todas las fases del generador.
Las intensidades totales en el punto de defecto a tierra (I"k1R, I"k1S, I"k1T).
Las intensidades de las tres fases del conjunto de motores delante de la falta.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
172
4
Las intensidades de defecto de las tres fases, que van desde el secundario del trasformador hasta el
punto de defecto.
RESPUESTAS
1
2
3
4
Las intensidades de cortocircuito en todas las fases del generador son:
ISG = 2769/90º A.
ITG = 2769/-90º A
IRG = 0/0 A.
Las intensidades totales en el punto de defecto a tierra son:
I”k1R = 55425/-90º A
I”k1S = I”k1T = 0/0º A
Las intensidades de las tres fases del conjunto de motores delante de la falta son:
IR = 33255/-90º A.
IS = 11085/-90º A.
IT = 11085/-90º A
Las intensidades de defecto de las tres fases, en el secundario del transformador, son:
IR = 22170/-90º A.
IS = 11085/90º A.
IT = 11085/90º A
PROBLEMA 4.17
El circuito mostrado en la figura corresponde a una sección de una red de transporte de energía
interconectada por varios puntos. El suministro está formado por una acometida trifásica, un generador
trifásico, un transformador y un enlace para usuarios. El extremo de la línea de consumidores está abierto
y por lo tanto el generador trabaja sin carga. Las conexiones existentes así como las características de las
máquinas son las mostradas en la figura
DATOS
Q…………….2000MVA…….110kV
G1. ………….. 12 MVA……. 20 kV……….X”d1= X2 = 16% ……Xo= 5% ………..Xn= 0%
TR1 ………….. 25 MVA ……110/20kV……X1=X2= 7% …………Xo= 0.9·X1 ……..Xn= 0
Línea 1º ……………………………………..X1=X2= j 6.5: ………Xo= j 15 :……...Xn= 0
Línea 2º ……………………………………..X1=X2= j 0.11:…….. Xo= j 0.25 : …...Xn= 0
Línea 3º ……………………………….…….X1=X2= j 0.57: ……..Xo= j1.42: …… Xn= 0
..
..
1
2
TR
Barras "A"
Línea-1º
Qa
Barras "B"
'Y
3
Línea-3º
Ga
Línea-2º
Y
Figura 4.15 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.17
HALLAR
x Si el sistema esta operando a voltaje nominal y sin corriente antes del fallo, delante de una falta
monofásica (Fase-Tierra), en la fase “R” de las barras "2":
1
2
3
Las intensidades que circulan por las tres fases del generador.
Las intensidades que circulan por las tres fases del transformador hasta el punto de falta.
Las intensidades que circulan por las tres fases de la acometida hacia el punto de falta.
RESPUESTAS
1
2
Las intensidades que circulan por las fases del generador son:
ISG = 1415/-90ºA
ITG = 1415/-90º A
IRG = 4118/-90º A
Las intensidades que circulan por las tres fases del transformador hasta el punto de falta son:
IRTR = 8041/-90ºA ISTR = 1415/90ºA
ITTR = 1415/90ºA
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
3
173
Las intensidades que circulan por las tres fases de la acometida hacia el punto de falta son:
ISQ = 5460/90ºA
ITQ = 0/0ºA
IRQ = 5460/-90ºA
PROBLEMA 4.18
Dos generadores síncronos se conectan a una línea de transmisión de energía a través de dos
transformadores trifásicos, como se muestra en la figura. Los valores nominales y las reactancias de las
máquinas y transformadores son:
DATOS
G1 ……. 80MVA ………25kV ……. X”d=X1=X2= 20% ….…Xo= 6%……. Xn= j0.2:
G2 ……… 60MVA……….25kV…….. X”d=X1=X2= 18% …….Xo= 5% …….Xn= j0.1:
TRI …... 80MVA…….150/25kV…….X”d=X1=X2= 11%……..Xo= 8% …….Xn= 0%
TR2 …... 60MVA ……150/25kV……X”d=X1=X2= 15%…..…Xo= 10%…….Xn= 0%
Línea ………………………………...X1=X2= j12 :………….Xo= j30 :
A
B
G1
a
TR1
Y
' Y
Xn
C
D
TR2
G2
a
Y'
Y
Línea
Xn
Figura 4.16 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.18
HALLAR
Si el sistema esta operando a voltaje nominal y sin corriente antes del fallo, delante de una falta
bifásica (Fase-Fase), en las fases “S y T” de las barras "C":
1
2
3
4
5
6
Intensidad que circula por la fase “T”, (I”k2 T) del generador G1.
Intensidad que circula por la fase “S”, (I”k2 S) desde la línea de transmisión hasta el punto de falta.
Intensidad que circula por la fase “R”, (I”k2 R) del generador G2.
Voltaje línea-línea UST, en bornes del generador G2.
Voltaje línea-línea UTR, en el punto de falta (barras "C").
Voltaje línea-línea URS, en bornes del generador G2.
RESPUESTAS
Los valores pedidos son respectivamente:
2. I”k2 S = 756.7/180º A.
1. I”k2 T = 5242.4/0º A.
4. UST = 15898/-141.8ºV. 5. UTR = 131903/180º V.
3. I”k2 R = 2102.8/180º A.
6. URS = 25000/0ºV.
PROBLEMA 4.19
Dos generadores síncronos se conectan a una línea de transmisión de energía a través de dos
transformadores trifásicos, como se muestra en la figura. Los valores nominales y las reactancias de
máquinas y transformadores son:
DATOS
G1 …………70MVA……….25kV…….. X”d=X1=X2= 16% ……Xo= 6% …….Xn= j0.3:
G2 ……..50MVA……….25kV……...X”d=X1=X2= 14% ……Xo= 5%……..Xn= j0.2:
TRI …….70MVA …….150/25kV…...X”d=X1=X2= 10% ……Xo= 6% ……..Xn= 0%
TR2 …….50MVA……..150/25kV…...X”d=X1=X2= 12% ……Xo= 8% ……..Xn= 0%
Línea …………………………………X1=X2= j20 : ………...Xo= j50 :
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
174
A
B
G1
a
TR1
Y
' Y
C
D
TR2
G2
a
Y '
Y
Línea
Xn
Xn
Figura 4.17 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.19
HALLAR
x Si el sistema esta operando a voltaje nominal y sin corriente antes del fallo, delante de una falta
bifásica a tierras (Fase-Fase-Tierra), en las fases “S , T y Tierra” de las barras "D":
1
2
3
4
5
6
Intensidad que circula por la fase “R”, (I”k2 R) del generador G1.
Intensidad que circula por la fase “S”, (I”k2 S) en la línea de transmisión.
Intensidad que circula por la fase “T”, (I”k2 T) del generador G2.
Voltaje línea-línea UST, al principio de la línea (barras "B").
Voltaje línea-línea UTR, en el punto de falta.
Voltaje línea-línea URS, en bornes del generador G1.
RESPUESTAS
Respectivamente los valores que adoptan las diversas magnitudes eléctricas son:
1. I”k2 R = 1113.6/-90º A.
4. UST = 86727.9/-44.7ºV.
2. I”k2 S = 19778.4/180º A.
5. UTR = 14336.1/180º V.
3. I”k2 T = 8893/36.53º A.
6. URS = 86725.2/44.7ºV.
PROBLEMA 4.20
Dos generadores síncronos se conectan a una línea de transmisión de energía a través de dos
transformadores trifásicos, como se muestra en la figura. Los valores nominales y las reactancias de las
máquinas y transformadores son:
DATOS
G1 ……. 200MVA ………30kV …..…. X”d=X1=X2= 18% ….…Xo= 4%……. Xn= 5%
G2 ……… 200MVA……….30kV…….... X”d=X1=X2= 18% …….Xo= 4% …….Xn= 5%
TRI …... 200MVA…..….360/30kV…….X”d=X1=X2= 10%……..Xo= 10% ..….Xn= 0%
TR2 …... 200MVA ….…360/30kV….…X”d=X1=X2= 10%…..…Xo= 10%……Xn= 0%
Línea …………………………………...X1=X2= j178.5 :...…….Xo= j595.1:
A
Xn
B
G1
a
TR1
Y
' Y
C
D
TR2
G2
a
Y'
Y
Línea
Xn
Figura 4.18 Esquema unifilar del sistema de potencia correspondiente al problema 4.20
HALLAR
Si el sistema esta operando a voltaje nominal y sin corriente antes del fallo, delante de una falta
bifásica (Fase-Fase), en las fases “S y T” de las barras "C":
1
2
Intensidad que circula por la fase “T”, (I”k2 T) del generador G1.
Intensidad que circula por la fase “S”, (I”k2 S) desde la línea de transmisión hasta el punto de falta.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
4 Enunciados de problemas de fallos en sistemas de potencia
3
4
5
6
175
Intensidad que circula por la fase “R”, (I”k2 R) del generador G2.
Voltaje línea-línea UST, en bornes del generador G2.
Voltaje línea-línea UTR, en el punto de falta (barras "C").
Voltaje línea-línea URS, en bornes del generador G2.
RESPUESTAS
Los valores pedidos son respectivamente:
2. I”k2 S = 500.22/180º A.
1. I”k2 T = 6931.2/0º A.
4. UST = 17643.22/-148.2V 5. UTR = 311768.3/180º V.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
3. I”k2 R = 6872.4/180º A.
6. URS = 29997.6/0ºV.
Anexos
177
ANEXOS
ANEXO I. Constantes de magnitudes físicas, terrestres y cuánticas
Tabla I.I. Constantes Terrestres
Aceleración gravitacional a nivel de mar
Masa de la Tierra
Radio de la Tierra
Presión atmosférica a nivel del mar (760 mmHg)
9,80665 m/s2 (referencia estándar 9,807 m/s2)
9,7804 m/s2 (en el ecuador)
9,8322 m/s2 (en el polo)
5,98·1024 kg
6,37·106 m (valor medio)
6.378,2 km (en el ecuador)
6.356,8 km (en el polo)
1,013·105 N/m
Tabla I.II. Constantes Físicas
Constante de Boltzmann
Constante de Faraday
Constante de Rydberg
Constante de la gravitaciçon universal (de Cavendish)
Constante universal de los gases
Electrón: Carga eléctrica
Masa
Número de Avogadro
Neutrón: Carga eléctrica
Masa
Permitividad del vacío
K = R/N
F = N·e
Rf
G
R
qe
me
NA
qn
mn
H0
1,38·10-23 J/ºK
9,6485·104 C
1,097·107 m-1
6,67·10-11 Nm2/kg2
8..314 J/mol·K 1=1,9872 kcal/mol·k
1,602·10-19 C
9,1091·10-31 kg
6,023·1023 partículas/mol
Cero
1,6750·10-27kg
8,8542·10-12 C2/Nm2 =
=
Permeabilidad del vacío
Protón: Carga eléctrica
Masa
Velocidad de la luz
P0
qp
mp
C
1
C2/Nm2
4S ˜ 9 ˜ 109
4S·10-7 N/A2 = 4S·10-7 Ns2/C2
1,602·10-19C
1,6725·10-27 kg
2,997925·108 m/s
Tabla I.III. Constantes de Física Cuántica
Constante de Planck
Unidad atómica de momento angular
Masas en reposo de algunas partículas fundamentales
(uma):
Neutrón
Protón
Electrón
Partícula alfa
h=6,6238·10-34 J·s
h=1,054·10-34J·s
1
0
n = 1,008982 uma
1
1
0
1
p = 1,007593 uma
e = 5,4876·10-4 uma
4
2 He = 4,002603
Energía de un fotón
E = hf
1 uma=931,162 MeV ; 1 kg=5,60999·1029 MeV
Factores de conversión masa-energía
Factor de conversión de la energía (electronvolt)
1 eV = 1,6021892·10-19 J
Factor de conversión de la masa (unidad masa atómica)
1 uma = 1,6605655· 10-27 kg
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
178
ANEXO II. Resistividad (U), coeficiente de temperatura (D), punto de
fusión (ºC) y densidad (G) de diversos materiales y aleaciones
Metales
Material
Composición
Resistividad
U a 20 ºC
(: mm2/m)
0,0146
0,0159
0,01754
0,0195
0,0207
0,0233
0,0236
0,0261
0,028
0,0557
0,057
0,06
0,098
0,13
0,196
0,205
0,11
0,12
0,13
0,205
0,36
0,95
Plata recocida
Plata martillada
Cobre electrolítico
Cobre reducido patrón
Cobre recocido industrial
Oro recocido
Oro martillado
Aluminio puro
Aluminio recocido
Molibdeno
Cinc
Tungsteno
Hierro fundido
Hierro puro
Hierro galvanizado duro
Hierro galvanizado extraduro
Níquel
Platino
Estaño
Plomo
Antimonio
Mercurio
Coeficiente de
temp.
D(ºC-1)
0,0038
0,0038
0,00393
0,00393
0,00393
0,0034
0,0034
0,00446
0,00446
0,0033
0,0007
0,0045
0,0050
0,0050
0,0050
0,0050
0,0048
0,0037
0,0037
0,0039
0,0039
0,0007
Punto de
fusión
aprox. (ºC)
Densidad
(kg/dm3)
960
960
1.083
1.083
1.083
1.063
1.063
660
660
2.625
419,4
3.410r20
1.535
1.535
1.535
1.535
1.455
1.769
232
327,4
630,5
-38,87
10,5
10,5
8,97
8,97
8,97
19,3
19,3
2,7
2,7
10,2
7,15
19,3
7,86
7,86
7,86
7,86
8,9
21,45
7,29
11,342
6,618
13,6
1.520
7,1
1,505
1.400
1.410
1.520
1.390
1.350
1.350
1.350
1.400
1.400
1.400
1.380
1.380
1.425
1.399
1.425
1.210
1.210
_
1.450
1.020
1.425
1.425
1.435
1.100
_
1.425
1.425
1.150
1.100
_
_
1.450
1.100
_
1.100
_
1.200
7,2
8,105
8,1
7,43
8,33
8,247
8,247
8,25
8,412
8,412
8,41
7,95
7,95
8,06
7,93
8,12
8,9
8,9
8,9
8,36
8,192
8,17
8,247
8,75
8,9
8,9
8,72
8,46
8,75
8,9
8,9
8,9
8,9
8,9
_
8,9
8,9
8,9
Aleaciones
Aleación 875 (2)
Aleación 815 (2)
Kanthal DR (3)
Karma (1)
Nikrothal (3)
Aleación 750n (2)
Chromel AA (2)
Nichrome (1)
Chromel C (2)
Nikrothal 6 (3)
Nichrome V (1)
Chromel A (2)
Nikrothal 8 (3)
Chromax (1)
Chromel D (2)
Nilvar (1)
Inoxidable tipo 304
Aleación 142
Advance (1)
Copel (2)
Cuprothal 294 (3)
Therlo (1)
Manganina
Aleación 146
Aleación 152
Duranickel
Midohm (1)
Cuprothal 180 (3)
Aleación R63
Hytemco (1)
Permanickel
Aleación 90
Cuprothal 90 (3)
Cuprothal 60 (3)
Gr. A Níquel
Lohm (1)
Aleación 99
Aleación 30
Cuprothal 30 (3)
Cu Ni 44 (Kostantan)
Cr 22,5% + Al 5,5% + Fe
Cr 22,5% + Al 4,6% + Fe
Fe 75% + Cr 20% + Al 4,5% + Co 0,5%
Ni 73% + Cr 20n % + Al ´Fe
Ni 75 % + Cr 17 % + Si + Mn
Cr 15 % + Al 4% + Fe
Ni 68% + Cr 20% + Fe 8%
Ni 60 % + Cr 16 % + Fe
Ni 60% + Cr 16% + Fe
Ni 60% + Cr 16% + Fe
Ni 80% + Cr 20%
Ni 80% + Cr 20%
Ni 80% + Cr 20%
Ni 35% + Cr 20% + Fe
Ni 35% + Cr 20% + Fe
Ni 36% + Fe
Cr 18% + Ni 8% + Fe
Ni 42% + Fe
Ni 43% + Cu
Ni 43% + Cu
Ni 45% + Cu
Ni 29% + Co 17% + Fe
Mn 13% + Cu
Ni 46 % + Fe
Ni 51 % + Fe
Níquel + aditivos
Ni 23% + Cu
Ni 22% + Cu
Mn 4% + Si 1% + Ni
Ni 72% + Fe
Níquel + aditivos
Ni 11% + Cu
Ni 11% + Cu
Ni 6% + Cu
Ni 99%
Ni 6% + Cu
Ni 99,8%
Ni 2,25% + Cu
Ni 2% + Cu
Ni 44% + Mn 1,5% + Cu
1,42
1,32
1,32
1,23
1,23
1,22
1,14
1,1
1,1
1,1
1,06
1,06
1,06
0,974
0,974
0,786
0,711
0,65
0,477
0,477
0,477
0,477
0,471
0,447
0,422
0,422
0,2921
0,292
0,211
0,195
0,162
0,146
0,146
0,0974
0,097
0,097
0,078
0,049
0,0487
0,49
0,00002
0,00008
0,00007
_
0,000003
0,00015
0,00011
0,00015
0,00015
0,00014
0,00011
0,00011
0,00008
0,00036
0,00036
0,00135
0,00094
0,0012
r0,00002
r0,00002
0,00002
0,0038
r0,000015
0,0027
0,0029
0,001
0,00018
0,00018
0,003
0,0042
0,0033
0,00049
0,00045
0,0006
0,055
0,0008
0,006
0,0015
0,0014
0,00006
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Anexos
179
ANEXO III. Coeficientes de resistividad de los aislantes
Tabla III.1. Coeficientes de resistividad de semiconductores
S/cm
Cobre
Constantán
:·cm
106
104
102
Conductores
Silicio
Selenio
Porcelana
Vidrio
Papel
Polietileno
Poliestireno
Cuarzo
10
10-2
10-4
10-6
10-8
10-10
10-12
10-14
Semiconductores
aislantes
10-16
10-18
Conductividad
10-6
10-4
10-2
10
102
104
106
108
1010
1012
1014
1016
1018
plata
hierro
Germanio
Cu2O
Esteatita
PVC
Guatepercha
Parafina goma
Mica
Resistividad
Tabla III.II. Coeficientes de resistividad de líquidos y sólidos aislantes más usuales
Aislante
Resistividad
(M: cm)
Aceite de transformador
Aire seco
Amianto
Arcilla
Baquelita
Celulosa
Cera de abejas
Cuarzo fundido
Ebonita
Goma laca
Madera parafinada
Mármol
Mica
Micalex
Macanita
Papel barnizado
Parafina
Pirex
Pizarra
Porcelana
Vidrios comunes
1 a 10·1012
f
0,16
200
2·1012
1·103
5·1010
5·1012
1·1012
1·1010
10 a 100·108
1·105
2·1011
0,5
1·106
1 a 20·1012
1·1013
1·1011
1·102
3·108
2·107
(u106)
:·cm
1 a 10·1018
f
0,16·106
200·106
2·1018
1·109
5·1016
5·1018
1·1018
1·1016
10 a 100·1014
1·1011
2·1017
0,5·106
1·1012
1 a 20·1018
1·1019
1·1017
1·108
3·1014
2·1013
(u10-4)
:·mm2/m
1 a 10·1014
f
0,1·102
200·102
2·1014
1·105
5·1012
5·1014
1·1014
1·1012
10 a 100·1010
1·107
2·1013
0,5·102
1·108
1 a 20·1014
1·1015
1·1013
1·104
3·1020
2·109
Tabla III.III. Resistividades de líquidos aislantes
Aislante
Aceite de alquitrán
Aceite de cáñamo
Aceite de colza
Aceite de parafina
Aceite de resina
Aceite de ricino
Acido esteárico
Bencina
Benzol
Petróleo
Resistividad
(M: cm)
1,67·109
28,5·103
95·103
8·106
3·105
3,9·105
35·107
14·106
1,32·103
4·104
(u106)
:·cm
1,67·1015
28,5·109
95·109
8·1012
3·1011
3,9·1011
35·1013
14·1012
1,32·109
4·1010
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
(u10-4)
:·mm2/m
1,67·1011
28,5·105
95·105
8·108
3·107
3,9·107
35·109
14·108
1,32·105
4·106
Protección de sistemas eléctricos de potencia
180
ANEXO IV. Magnitudes y unidades magnéticas
Tabla IV.I. Magnitudes magnéticas fundamentales
Término
Símbolo Relación
Transflujo
T
Flujo magnético
I
Inducción
magnética
B
Reluctancia
magnética
Rm
Permeabilidad
P
Intensidad de
campo magnético
H
T=I
T = I·Rm
I = B·A
I = T/Rm
B = I/A
B = P·H
Unidad en el
sistema SI
A (amperio)
l
PA
T
Rm =
I
B
P=
H
H=
B
P
V
H=
l
Tensión
magnética
V
A
AW(amperio-vuelta)
Vs
Wb
A
AW
M (maxwell)
Vs/cm2
Wb/cm2
M/cm2
G (gauss)
1
H
A
Vs
A
Vs
1
H
A
G ˜ cm 2
H
m
Vs
Am
Vs
A ˜ cm
A
cm
G˜m
A
A
m
A
cm
AW
cm
Oe (oersted)
A
A
Gb(gilbert)
Wb (weber)
Vs (voltio-segundo)
T(tesla)
Wb/m2
Vs/m2
Rm =
V = H·l
Unidad en el
Unidad en el
sistema práctico
sistema de
de medidas
medidas electromagnéticas
Tabla IV.II. Conversiones magnéticas más usuales
Término
Conversiones
Flujo magnético
Inducción magnética
Reluctancia magnética
Permeabilidad
Intensidad de campo magnético
Tensión magnética
1 Wb = 1 Vs = 108 M
1 T = 1 Wb/m2 = 1 Vs/m2 = 104 M/cm2 = 104 G
1 Vs/cm2 = 1 Wb/cm2 = 108 M/cm2 = 108 G
A
1 A/Vs = 1 1/H = 10 8
G ˜ cm 2
Vs
G·cm 2
1H/m = 1
= 106
Am
A
Vs
H
g·
cm
1
= 108
=1
A·cm
cm
A
1 A/m = 10-2 A/cm = 1,256·10-2 Oe
1ª/cm = 1,256 Oe
1ª = 1,256 Gb
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Anexos
181
ANEXO V. Conductores eléctricos
V.I. Los conductores más utilizados para el transporte de energía eléctrica son
cuatro: (Denominaciones en Español e Inglés)
Halcón o Hawk
Cóndor o Condor
Gaviota o Gull
Cardenal o Cardinal
Tabla V.I. Conductores de Aluminio-Acero
Composición: Aluminio; mm.
Acero; mm.
Secciones: Aluminio; mm2.
Acero; mm2.
Total; mm2.
Sección equivalente de cu; mm2.
Diámetro del alma de acero; mm.
Diámetro de cable; mm.
Pesos: Aluminio; Kg/Km.
Acero; Kg/Km.
Total; Kg/Km.
Carga de rotura; Kg.
Modulo de elasticidad; Kg/mm2.
Coeficiente de dilatación por grado
de temperatura
Resistencia eléctrica a 20º C; :/Km
Halcón
26u3,442
7u2,677
241,68
39,42
281,10
152,01
8,031
21,793
666,6
308
974,6
8.817,8
7.730
18,99u10-h
Cóndor
54u3,084
7u3,084
402,84
52,26
455,10
253,36
9,246
27,762
1.115
407
1.522
12.950
6.860
19,35u10-h
Gaviota
54u2,822
7u2,822
337,74
43,81
381,55
212,31
8,466
25,4
934,6
342,2
1.276,8
11.135,7
6.860
19,35u10-h
Cardenal
54u3,376
7u3,376
483,42
62,64
546,06
304,03
10,135
30,378
1.338
488
1.826
15,536
6.860
19,35u10-h
0,119
0,0721
0,0851
0,0597
Tabla V.II. Densidad máxima admisible y su intensidad correspondiente
MAGNITUD
Densidad máxima admisible; A/mm2
Intensidad correspondiente; A
Halcón
2,043
574,28
CONDUCTORES
Cóndor
Gaviota
1,757
1,869
799,61
713,116
Cardenal
1,628
888,98
Tabla V.III. Intensidad máxima admisible para fases simplex, dúplex, tríplex y cuádruplex
LÍNEA CON
Un circuito de fases simples
Halcón
CONDUCTORES
Cóndor
Gaviota
574,28
799,61
713,116
888,98
1.148,56
1.599,22
1.426,23
1.777,96
1.722,84
2.398,83
2.139,34
2.666,94
2.297,12
3.198,44
2.852,46
3.555,92
Cardenal
Un circuito de fases dúplex
Un circuito de fases tríplex
Un circuito de fases cuádruplex
Dos circuitos de fases simples,
acoplados en paralelo
Dos circuitos de fases dúplex,
acoplados en paralelo
Iguales valores que para una línea con un circuito dúplex
Iguales valores que para una línea con un circuito cuádruplex
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
182
ANEXO VI. Conductancia. Autoinducción y Susceptancia
VI.I Pérditancia o Conductancia
GK
P(kW / km) 3
·10 ( S / km)
2
V FASE
(kV )
GTOTAL
G K ·Long ·n º fases
Donde:
Gk = Conductancia por km y fase. (S/km)
P = potencia activa por km y fase (kW/km)
VFASE = tensión de fase (kV)
Tabla VI.I. Valor del radio equivalente req, para n subconductores, por fase
Tabla VI.II. Fórmulas del coeficiente de autoinducción con fases simples y múltiples.
Reactancia inductiva (XLk = w · Lk) :/km
Tabla VI.III. Fórmulas de capacidad con fases simples y múltiples. Susceptancia (Bk =
w·Ck) (S/km)
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Anexos
183
ANEXO VII. Método de las constantes auxiliares
Tabla VII.I. Constantes auxiliares A, B, C , y, D de las líneas
Constante
Módulo
Argumento
D=A
Parte real
Parte
imaginaria
d’=a’
d”=a”
VII.I Fórmulas para la obtención de las constantes auxiliares
x
Método de las funciones hiperbólicas y circulares
A D (a ' ja ' ' ) cosh 4c (cosh 4 'c ·cos 4 c ' ' ) j (senh 4 'c ·sen 4 c ' ' )
B (b' jb' ' )
C
x
Z C ·senh 4c
1
(c' jc ' ' )
·senh 4c
Zc
Z C ·((senh 4 'c ·cos 4 c ' ' ) j (cosh 4 'c ·sen 4 c ' ' ))
1
·((senh 4 'c ·cos 4 c ' ' ) j (cosh 4 'c ·sen 4 c ' ' ))
Zc
Método del desarrollo en series de funciones hiperbólicas y circulares
A
D (a' ja ' ' )
B
(b' jb' ' )
º
ª Z L ·Y L ( Z L ·Y L ) 2 ( Z L ·Y L ) 3 ( Z L ·Y L ) 4
......»
«1 2
4
6
8
«¬
»¼
º
ª Z L ·Y L ( Z L ·Y L ) 2 ( Z L ·Y L ) 3 ( Z L ·Y L ) 4
Z L «1 ......»
3
5
7
9
«¬
»¼
ª Z L ·Y L ( Z L ·Y L ) 2 ( Z L ·Y L ) 3 ( Z L ·Y L ) 4
º
(c' jc ' ' ) Y L «1 ......»
3
5
7
9
¬«
¼»
Se tomará un término con 80km, dos términos con 160km, tres términos con 240km, etc.
C
x
Impedancia característica
Z LÍNEA
Zc
x
4c
x
Y LÍNEA
con:
Z LÏNEA
( R LÏNEA jX LÏNEA )
ZL
Y LÏNEA
(G LÏNEA jB LÏNEA ) Y L
Ángulo característico
Z LÏNEA ·Y LÏNEA En radianes.
4cGRADOS
360º '
(4 c j4 'c' )
2S
360º
Z LÏNEA ·Y LÏNEA
2S
Potencia característica
Pc
2
U LÏNEA
Zc
Siendo el valor de la tensión, sólo en módulo: U LÏNEA
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
V FASE · 3
en.. gra dos .
Protección de sistemas eléctricos de potencia
184
VII.II. Comprobación de las constantes auxiliares
1.
2.
3.
A B·C (1 j 0)
(a’2-a’’2) - (b’c’) + (b’’c’’) = 1
(2a’a’’) - (b’c’’) + (b’’c’) = 0
Siendo A (a' ja ' ' ) B
(b' jb' ' ) C
(c' jc' ' )
Para que las constantes sean correctas se tienen que cumplir las tres condiciones a la vez.
VII.III. Fórmulas a aplicar con el método de las constantes
x
Conocidos los valores al principio de línea. (Todos los parámetros son vectores.)
V 2 V 1 ·D I 1 ·B
V 2 V 1 ·D
Vacío:
Carga:
I 2 I 1 · A V 1 ·C
I 2 I 1·A
x
Conocidos los valores al final de línea. (Todos los parámetros son vectores.)
V 1 V 2 · A I 2 ·B
V 1 V 2 ·A
Vacío:
Carga:
I 1 V 2 ·C I 2 ·D
I 1 V 2 ·C
VII.IV. Fórmulas generales para sistemas eléctricos de potencia
Potencia activa, reactiva y aparente trifásicas
x
Pi
U i ·I i · 3 ·cos M i
P1
Qi
U i ·I i · 3 ·sen M i
S i ·cos M i
Q1
Si
*
U i ·I i · 3
S1
S i ·sen M i
( Pi jQi )
Pi
tagM i
Impedancia, reactancia inductiva, y ángulo total de un sistema de potencia
U ni2
M i M U i M Ii
X TRi
Z i ( Ri jX i ) Z i ‘M i
H XCCni
S ni
x
M Si
x
Intensidad al final de línea, tensión de fase, tensión al inicio de línea y rendimiento total de un
sistema de potencia
PSALIDA
Pi
Ui
V 1 V 2 Z 12 ·I 12
K
100
Vi
Ii
‘(M Ui M Ii )
PENTRADA
3
U i · 3 ·cos M i
x
Fórmula para obtener el módulo de la tensión al final de línea conocidos: la tensión al inicio de
línea, las potencias finales de línea y la impedancia de la línea
>
@
U 24 2·( R12 ·P2 X 12 ·Q2 ) U 12 ·U 22 ( Z 12 ·S 2 ) 2
Compensación de energía reactiva. Diversas fórmulas para su obtención, conocidas las
tensiones de la zona a compensar, así como la potencia total activa y las impedancias
x
Q2 NUEVA
K
x
0
U 1 ·U 2
Z 12
K
Kq r K 2 ( P2 Kp) 2
2
2
U
cos M Z 12
Z 12
2
2
U
sen M Z 12
Z 12
K
QCOMP
(Q2 NUEVA Q2 ANTIGUA )
X COMP
U i2
QCOMP
C COMP
1
X COMP ·2·S · f
Impedancias de los transformadores trifásicos con tres devanados
X PS
XP
2
U PS
H XCCPS
S PS
X PS X PT X ST
2
X ST
XS
2
U ST
H XCCST
S ST
X PS X ST X PT
2
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
X PT
XT
2
U PT
H XCCPT
S PT
X PT X ST X PS
2
Anexos
185
ANEXO VIII. Método del circuito equivalente en "T", y en "3"
VIII.I. Método del circuito equivalente en “T”
X/2
R/2
V1
X/2
Vc
R/
2
I1
U1
P1
M1
I1
I2
G=0
U2
P2
M2
Ic
B
Figura VIII.1 Circuito equivalente en “T” para una línea de longitud media
Régimen en carga
x
S2
Q2
P2
M2
P2
S 2 ·cos M 2 siendo P2
U 2 ·I 2 · 3 ·cos M 2
Q2
S 2 ·sen M 2 siendo Q2
U 2 ·I 2 · 3 ·sen M 2
S2
P2
cos M 2
U 2 ·I 2 · 3
siendo S 2
M2 = Mv2-MI2
Otras fórmulas importantes son:
I2
*
( P2 jQ 2 )
P2
U 2 · 3 ·cos M 2
M v 2 M 2
Las fórmulas específicas del circuito equivalente en "T" (ver figura) son:
VC
V2 Z Linea
·I 2
2
Y recordando que: I 1L
IC
I 1Fase
B·V c
I1
la tensión es: U 1L
V 1 Vc Ic I 2
V 1Fase · 3
Z Línea
I1
2
y el ángulo inicial es: M 1
MU 1 M I1
Conocidos la tensión, intensidad y ángulo inicial podremos hallar las potencias iniciales:
P1
U 1 ·I 1 · 3 ·cos M 1
Q1 U 1 ·I 1 · 3 ·sen M 1
*
S1
I 1 ·U 1 · 3
( P1 jQ1 )
Finalmente la caída de tensión, la pérdida de potencia y el rendimiento del sistema serán:
U1 U 2
P1 P2
P2
100
100
K
100
'U
'P
U1
P1
P1
La caída de tensión no excederá de un 10%. La pérdida de potencia no excederá de un 3% cada 100km
x
Régimen en vacío
En ese caso, los cálculos se simplifican, ya que no es necesario conectar la carga y por tanto las
potencias, la intensidad y el ángulo final de línea son nulas:
P2
M v 2 M 2 0
I2
P2 = Q2 = S2 = 0.
M2 = Mv2 - MI2 = 0
U 2 · 3 ·cos M 2
Las otras fórmulas quedan como sigue:
VC
V2 Z Linea
·I 2
2
V2
IC
B·V c
B·V 2
I1
IC I2
IC
V1
Vc Z Línea
Z
I1 V 2 I C
2
2
Una vez obtenidas la intensidad y la tensión al inicio de línea se prosigue con las fórmulas dadas para
el régimen de carga.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
186
VIII.II. Método del circuito equivalente en 3
I1
R
V1
X
V2
I2
I
U1
P1
M1
I1
B/2
G/2
U2
P2
M2
B/2
G/2
Ic2
Ic1
Figura VIII.2 Circuito equivalente en “S”, para una línea de longitud media
x
Régimen en carga
Q2
S2
M2
P2
S 2 ·cos M 2 siendo
P2
U 2 ·I 2 · 3 ·cos M 2
Q2
S 2 ·sen M 2 siendo
Q2
U 2 ·I 2 · 3 ·sen M 2
S2
P2
cos M 2
S2
U 2 ·I 2 · 3
P2
Otras fórmulas importantes son:
siendo
I2
M2 = Mv2-MI2
*
( P2 jQ 2 )
P2
U 2 · 3 ·cos M 2
M v 2 M 2
Las fórmulas específicas del circuito equivalente en "3" (ver figura) son:
I C2
V 2·
B
2
I
IC2 I 2
V1
I C1
V 2 ( R L jX L )·I
V 1·
B
2
Al principio de línea tendremos:
V1
I C1
V 2 ( R L jX L )·I
Y recordando que: I 1L
I 1Fase
la tensión es: U 1L
V 1·
B
2
I1
I C1 I
V 1Fase · 3 y el ángulo inicial es: M 1
MU 1 M I1
Conocidos la tensión, la intensidad y ángulo inicial podremos hallar las potencias iniciales:
P1
U 1 ·I 1 · 3 ·cos M 1
Q1 U 1 ·I 1 · 3 ·sen M 1
S1
*
I 1 ·U 1 · 3
( P1 jQ1 )
Finalmente la caída de tensión, la pérdida de potencia y el rendimiento del sistema serán:
U1 U 2
P1 P2
P2
100
100
K
100
'U
'P
U1
P1
P1
La caída de tensión no excederá de un 10%. La pérdida de potencia no excederá de un 3% cada 100km
x
Régimen de vacío
En ese caso, los cálculos se simplifican, ya que no es necesario conectar la carga y por tanto las potencias,
la intensidad y el ángulo final de línea son nulas:
P2
M v 2 M 2 0
I2
P2 = Q2 = S2 = 0.
M2 = Mv2 - MI2 = 0
U 2 · 3 ·cos M 2
Las otras fórmulas quedan como sigue:
I C2
V 2·
B
2
I
I C2 I 2
I C2
V 1 V 2 ( R L jX L )·I
I C1
V 1·
B
2
I1
I C1 I
Una vez obtenidas la intensidad y la tensión al inicio de línea se prosigue con las fórmulas dadas para
el régimen de carga.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Anexos
187
ANEXO IX. Fórmulas para el cálculo de líneas eléctricas
IX.I. Cálculo del Efecto Corona
x
Tensión crítica disruptiva (Uc)
Uc 84·mc·mt ·r.G ·log
D
re
Con:
mc = Coeficiente de rugosidad del conductor con:
mc = 1 para hilos con superficie lisa
mc = de 0,93 a 0,98 para hilos oxidados o rugosos
mc = de 0,83 a 0,87 para cables
mt = Coeficiente de la humedad relativa del aire, que provoca una disminución en la Uc (lluvia
niebla, escarcha, nieve) con:
mt = 1 para tiempo seco
mt = 0,8 para tiempo húmedo
re = Radio del conductor en centímetros
D = Distancia media geométrica entre fases, en centímetros
G = Factor de corrección de la densidad del aire, en función de la altura sobre el nivel del mar. Si la
temperatura se pone en grados centígrados y la altura de presión de la columna de mercurio en
cm de Hg, la densidad del aire no tendrá unidades
- = Temperatura ambiente en ºC
3.921h
G
273 V
Para hallar la altura de presión del aire en cm de Hg, utilizaremos la expresión dada por Halley:
x
Fórmula de Halley
y
18336
Donde: h = altura de presión del aire en cm de Hg (mercurio)
y = altura topográfica en (m)
log h log 76 x
Tensión más elevada (Ume)
La tensión más elevada se obtendrá en tablas, o bien aplicando un aumento del 10% al 15% por encima
de la tensión nominal:
Ume 1.15·Un
x
Comprobación del Efecto Corona
Si Uc < Ume si se produce el efecto corona
Si Uc > Ume no se produce el efecto corona
x
Pérdida de potencia por Efecto Corona (Fórmula de Peek)
2
Pkm FASE
241
re ªU MAX U CRITICA º
5
( f 25)2
» ·10 (kW / km Fase)
«
G
D¬ 3
3 ¼
Con:
Uc = Tensión eficaz compuesta crítica disruptiva, capaz de producir el efecto corona, en kV
Factor de corrección de la densidad del aire (sin unidades)
G=
r=
Radio del conductor en centímetros
f=
Frecuencia en períodos por segundo, en general 50 Hz
D=
distancia media geométrica entre fases, en centímetros
Umax = Tensión compuesta más elevada, definida en él articulo 2 del Reglamento de Líneas, en
kilovoltios. Si no se dispone del reglamento, adoptar Umax= Un·1.15
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
188
IX.II. Momento Eléctrico
Me
Pe·L
u %·
R K fase
U n2
X K fase ·tagM
Con:
L=
Longitud de la línea en km
u% = Caída de tensión en tanto por ciento, siempre menor al 10%
Pe =
Potencia que podrá transportar la línea calculada mediante el momento eléctrico, en MW
Un = Tensión nominal de la línea en kilovoltios (kV)
Me = Momento Eléctrico, en MW ·km
RK-fase = Resistencia eléctrica por kilómetro y fase, en :/km
XK-fase = Reactancia inductiva por kilómetro y fase, en :/km
tagM = tangente del ángulo total (MV - MI), calculado para el tramo buscado (final de línea por ejemplo)
Entonces:
Me
(km)
Pe
L
Pe
Me·L ( MW )
Que es la distancia máxima (en km) a la que el sistema (línea) podrá transportar una determinada
potencia, o bien, la potencia máxima que el sistema podrá transportar a una determinada distancia.
IX.III. Pérdida de potencia en el transporte de energía
PK %
100 R K fase
U
2
n
Ppérdida total %
·
Pe
cos 2 M
PK % ·L
P100 km
%
Ppérdida total
PK % ·100
PT % ·Pe
Con:
Pk% = Pérdida de potencia por cada km y fase, en %
Un = Tensión nominal de la línea, en KV
Pe = Potencia que podrá transportar la línea calculada mediante el momento eléctrico, en MW
cosM = coseno del ángulo total (MV - MI), de un tramo de línea considerado (final de línea por ejemplo)
P%-100km = Pérdida de potencia, en %, a los 100 km (este valor no debe superar el 3% según normas)
P%pérdida-total = Pérdida de potencia en %, para el total de la longitud de la línea
PPérdida-total = Potencia total pérdida (MW) para el total de la longitud de la línea
Como máximo se admite una pérdida de potencia inferior al 3% por cada 100km de línea.
IX.IV. Pérdida de potencia por efecto térmico
PMAX
( 3 ·U 2 ·cos M 2 ·I MAX )·N º CONDUCTORES · N º CIRCUITOS
Con:
PMAX = Potencia máxima a transportar sin rebasar los límites térmicos en MW
U2 = Tensión compuesta al final de línea en kV
Cos G2 = Ángulo total al final de línea (G2 = GU2 - GI2)
IMAX = G 'MAX · SCONDUCTOR (Intensidad máxima modificada por tablas)
G 'MAX = G MAX ˜ J
G MAX = Densidad de corriente máxima admisible del (Aluminio) en tablas
J = Factor de corrección de la densidad admisible que depende de la composición del cable
J = 0,902 para 30 Aluminio + 7 Acero
J = 0,926 para 6 Aluminio + 7 Acero y 26 Aluminio + 7 Acero
J = 0,941 para 54 Aluminio + 7 Acero
La Imax, puede hallarse directamente en la tabla V.VIII de estos anexos, siempre para un circuito
simple, ya que si existen más de un circuito, o bien, más de un conductor por circuito, ya se tiene en
cuenta en la fórmula dada en este apartado.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
R jX
ZY
Z
Y
Z
T
Ze
SenhT c jT c c SenhT
CoshT
CoshT c jT c c G jB
Y
Magnitud
Ze
p SenhT
Z
Y
G2 B2
R2 X 2
R2 X 2
G2 B2
2
CosT c SenhT cc
Z
Y
R2 X 2
G2 B2
2
SenhT c SenhT cc
2
2
2
2
CosT c CoshT cc
2
SenhT c CoshT cc
p cos T
T
Z
Y
Módulo
e
1
M M Y 2 Z
M cosh T
1
2
> R
2
R
B
G
MSenhT
tg T cc
arctg
TanghT c
Z cos M Z
Y cos M Y
SenhT c
CoshT c
SenhT c cos T cc
CoshT c cos T cc
Z ec Z e cos M Z
ª
1 R 2 X 2 RG XB º
«
»
2 ¬« G 2 B 2 G 2 B 2 ¼»
X 2 G 2 B 2 RG XB
T c TCoshM T c
G
Parte real
B
G
1
M M Y 2 Z
arc tg
arc tg
arctgTanghT c tg T c c MZ
MT
MZ
My
Argumento
ANEXO X. Resumen de fórmulas de líneas eléctricas
@
2
@
@
X 2 G 2 B 2 RG XB
CoshT s
CoshT c sen T cc
SenhT c sen T cc
Z ec c Z e sen M Z
1 ª R 2 X 2 RG XB º
2
«
»
2 ¬« G 2 B 2
G B 2 ¼»
> R
SenhT s
1
2
Z sen M Z
Y sen M Y
T cc TSenhM T c
X
B
Parte imaginaria
Protección de sistemas eléctricos de potencia
190
ANEXO XI. Fórmulas para el cálculo de cortocircuitos mediante el
método de las redes de secuencia y las componentes simétricas
XI.I. Cálculo por el Método de las Componentes Simétricas
x
Operador de giro (a)
El operador:
ƒ
ƒ
a = a4 =( - 0.5 + j 0.87)=1(120º equivale a un giro del vector de +120º.
a2 = (- 0.5 - j 0.87)=1(240º equivale a un giro del vector de +240º.
a3 = (1+j0 )=1(0º equivale a un giro del vector de +360º.
Ecuaciones (A): conocidas las componentes simétricas, permiten hallar los vectores principales.
IR
I R1 I R2 I R0
IS
I S1 I S 2 I S 0
I R1 a I R2 a I R0
IT
I T1 I T2 I T0
I R1 a I R2 a I R0
2
2
Ecuaciones (B): conocidos los vectores principales, permiten hallar sus componentes simétricas.
1
1
1
I R1
I R I S a IT a 2
I R2
I R I S a 2 IT a
I R0
I R I S IT
3
3
3
ƒ
Intensidades y tensiones referidas a la fase (R): las componentes (I1, I2 y I0) de la corriente o (U1,
U2 y U0) de la tensión se refieren siempre a la fase (R). Normalmente, esta fase de referencia no se
indica como subíndice.
1
I R I1 I 2 I 0
I1
( I R aI S a 2 I T )
3
1
I S a 2 I1 a I 2 I 0
I2
( I R a 2 I S aI T )
3
1
2
I T a I1 a I 2 I 0
I0
(I R IS IT )
3
1
U1
( U R aU S a 2 U T )
U R U1 U 2 U 0
3
1
2
U2
( U R a 2 U S aU T )
U S a U1 aU 2 U 0
3
1
U0
(U R US U T )
U T aU 1 a 2 U 2 U 0
3
ƒ
Ecuaciones (C): aplicando las leyes de Kirchoff y las redes de secuencia hallamos las Ecuaciones C.
Z R1
| ..E
V R1
Z R2
E I R1 ·Z R1
I R1
Red directa
VR 2
Z Ro
I R 2 ·Z R 2
VRo
I R2
I Ro
Red inversa
Red homopolar
XI.II. Cálculo del Cortocircuito Trifásico
Las condiciones iniciales: que definen a este cortocircuito son: U R
Las componentes simétricas: de las tensiones y de las corrientes son:
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
I Ro ·Z Ro
US
UT
0
Anexos
191
R
E|
S
VR1
0
I R1
VR 2
0
E
Z1
0
IR2
0
VR 0
IR0
0
T
I " RK 3
I "SK 3
I "TK 3
Las intensidades serán: recordando que E = c · Un / ¥3, donde c = 1.1
IR
1.1·U n
3 ·Z 1
1.1·U n
IS
¬0º ¼
3 ·Z 1
1.1·U n
IT
¬240º ¼
3 ·Z 1
¬120º ¼
Las tensiones serán: recordando que E = c · Un / ¥3, donde c = 1.1
UR
US
UT
0
XI.III. Cálculo del Cortocircuito Bifásico
Las condiciones iniciales: que definen a este cortocircuito son: I R
homopolares son nulas en este cortocircuito.
0 VS
VT . Las componentes
Las componentes simétricas: de las tensiones y de las corrientes son:
R
I R1
E|
VR1
S
IR2
VR 2
I R1
IR2
T
I "SK 2
E
Z1 Z 2
I "TK 2
Las intensidades serán: recordando que E = c · Un / ¥3, donde c = 1.1
IR
0
IS
1'1·U n
¬ 90º ¼
Z1 Z 2
IT
1'1·U n
¬90º ¼
Z1 Z 2
Las tensiones serán: recordando que E = c · Un / ¥3, donde c = 1.1
VR
1'1·U n
2Z 2
(0 º )
Z
3
1 Z2
VS
1'1·U n
Z2
¬180º ¼
Z
3
1 Z2
VT
XI.III. Cálculo del Cortocircuito Bifásico a Tierra
Las condiciones iniciales: que definen a este cortocircuito son:
IR = 0
V S = VT = 0
Las componentes simétricas: de las tensiones y de las corrientes son:
R
E|
V R1
V R2
S
I " K 2 ES
V R1
I " K 2 ET
E
V R0
1
VR
3
Z2Z0
Z1Z 2 Z1Z 0 Z 2 Z 0
T
I " K 2 EE
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
I R1
E
Z1 Z 2 Z 0
I R2
I R1
Z0
Z2 Z0
I R0
I R1
Z2
Z2 Z0
Protección de sistemas eléctricos de potencia
192
Las intensidades serán: recordando que E = c · Un / ¥3, donde c = 1.1
IR
0
IS
j1'1·U n
aZ2 Z0
Z1 Z 2 Z 2 Z 0 Z1 Z 0
I EE
1'1·U n · 3
IT
j1'1·U n
a 2 Z2 Z0
Z1 Z 2 Z 2 Z 0 Z1 Z 0
Z2
Z1 Z 2 Z 2 Z 0 Z1 Z 0
Las tensiones serán: recordando que E = c · Un / ¥3, donde c = 1.1
VR
1'1 3 ·U n
Z2Z0
Z1 Z 2 Z1Z 0 Z 2 Z 0
VS V T
0
XI.IV. Cálculo del Cortocircuito Monofásico a Tierra
VR = 0
Las condiciones iniciales: que definen a este cortocircuito son:
I S = IT = 0
Las componentes simétricas: de las tensiones y de las corrientes son:
R
E|
VR
V R1 V R2 V R0
0
S
VS
V R1 a 2 V R2 a V R0
T
VT
V R1 a V R2 a 2 V Ro
I R0
1
IR
3
I R1
I R2
I R1
E
Z1 Z 2 Z 0
I "K 1
Las intensidades serán: recordando que E = c · Un / ¥3, donde c = 1.1
IR
1'1·U n 3
Z1 Z 2 Z 0
IS
IT
0
Las tensiones serán: recordando que E = c · Un / ¥3, donde c = 1.1
VR
0
VS
1'1·U n § 2 Z 1 a 2 Z 2 a Z 0
¨a Z1 Z 2 Z 0
3 ¨©
·
¸
¸
¹
VT
Z a Z2 a 2 Z0
1'1·U n §
¨a 1
Z1 Z 2 Z 0
3 ¨©
·
¸
¸
¹
XI.V. Otras Fórmulas de Interés en Componentes Simétricas
1. Redes trifásicas con tensiones nominales mayores de 1kV, (tanto para cortocircuitos próximos al
generador como para los cortocircuitos alejados de él):
c ˜U h
3
c ˜U N
3
Con:
x UN
Tensión nominal (tensión entre líneas) de la red en el punto de cortocircuito.
x c
1,1 Diferencia entre la fuerza electromotriz y la tensión de la red en el punto de falta.
2. Redes trifásicas con tensiones nominales menores a 1kV (sin generadores de baja tensión):
c ˜U h
3
Con:
x U NT
c ˜ U NT
3
Tensión nominal del lado de baja tensión de los transformadores que alimentan a la red.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Anexos
193
x c
1
Diferencia entre la fuerza electromotriz y la tensión de la red para el cálculo de las máximas
corrientes iniciales simétricas de cortocircuito.
0,95 Diferencia entre la fuerza electromotriz y la tensión de la red para el cálculo de las mínimas
corrientes iniciales simétricas de cortocircuito.
x c
3. En caso de redes con tensiones nominales superiores a 1kV: donde existan generadores con
X " d ! 20% que alimentan directamente (sin transformadores intercalados) al punto de cortocircuito, o
bien, si se disponen de redes con tensiones nominales menores o iguales a 1kV en donde el punto de
cortocircuito está alimentado por generadores de baja tensión, se cumple para las fuerzas electromotrices
de los generadores la siguiente expresión:
c ˜U h
c ˜ U NG
3
3
Con:
x U NG
Tensión nominal del generador
x I NG
Corriente nominal del generador
x X
"
d
x M NG
I NG ˜ X " d ˜ sin M NG
Reactancia inicial del generador
Ángulo de desfase entre U NG
3 y I NG para servicio nominal
4. Observaciones generales relativas al cálculo
En redes que dispongan de una impedancia (Z) de cortocircuito formada principalmente por elementos
inductivos (impedancias de bobinas, transformadores, motores y generadores) y que sólo presenten
tramos cortos paralelos de líneas aéreas o cables, normalmente es posible prescindir de las resistencias
dado que su valor es mucho menor al de las inductancias (sobre todo con redes con tensiones nominales
superiores a 1kV). Con esta omisión, el valor de las impedancias no difiere apreciablemente del de las
reactancias. Tampoco es necesario tener presente las resistencias efectivas de las líneas que presenten
tensiones de servicio varias veces superiores a la tensión de la red en la que está situado el punto de
cortocircuito. Con todas estas simplificaciones, la impedancia de cortocircuito considerada resulta ser
algo menor que la impedancia real, y por tanto, los valores de las corrientes de cortocircuito calculados
con estas impedancias resultarán aumentados respecto a su valor real, o sea, que estos valores nos darán
un cierto margen de seguridad.
Por el contrario, para dimensionar las instalaciones e interruptores de protección es necesario conocer
el valor de la máxima corriente asimétrica de cortocircuito (IS) dependiendo su valor de la relación entre
la resistencia efectiva y la reactancia del sistema, es decir, del factor (Ȥ). Por ello, si los dispositivos y
componentes implicados en el cortocircuito presentan resistencias efectivas grandes (cables y líneas
aéreas largas o de poca sección, o incluso transformadores de poca potencia), al despreciar estas
resistencias efectivas se obtendría, además de un valor demasiado pequeño para la impedancia de
cortocircuito, un factor (Ȥ) demasiado grande, es decir, una corriente máxima asimétrica demasiado
elevada. Lo que conllevaría a elegir dispositivos de protección con una resistencia dinámica excesiva,
aumentándose en demasía y sin razón su precio final.
Cuando las tensiones superen los 1000V, se podrá despreciar las impedancias de las barras de las
instalaciones de maniobra. Por el contrario, cuando las tensiones sean inferiores a este valor (1kV), deben
tenerse presentes las impedancias de las barras y de las uniones entre aparatos, aunque sólo dispongan de
unos metros, al efectuar el cálculo de la impedancia de cortocircuito de la red. Las resistencias de paso
debidas a los contactos o ha uniones por tornillos (que alcanzan valores de hasta 0,08mW) reducen
también el valor de la corriente de cortocircuito en las instalaciones de baja tensión, aunque su cálculo
con precisión resulta prácticamente imposible, despreciándose para el análisis de las corrientes de
cortocircuito.
Resumiendo, puede decirse que si despreciamos las resistencias efectivas simplificaremos la
determinación de la impedancia de cortocircuito de la red, sobre todo si ésta presenta ramas en paralelo y
mallas, pero teniendo muy presente que a la hora de determinar las corrientes máximas asimétricas de
cortocircuito (Is) no se podrán realizar estas simplificaciones.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Protección de sistemas eléctricos de potencia
194
ANEXO XII. Fórmulas, Factores correctores y Tablas para el Cálculo de
las Corrientes de Cortocircuito Mediante la Norma VDE 0102
XII.I. Cálculo de las corrientes de cortocircuito Is, Ia e Ik
Las corrientes de cortocircuito (IS , Ia , e IK) se calculan a partir de la corriente inicial simétrica de
cortocircuito (I”K) y de los factores indicados en las directrices VDE 0102. Si el punto de cortocircuito
está alimentado directamente por las distintas fuentes de corriente de cortocircuito se cumplen las
siguientes relaciones para (IS , Ia , IaM e IK):
x
Corriente máxima asimétrica de cortocircuito (Is):
X
Is
F ˜ 2 ˜ I "k
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,2
1
R/X
Gráfica XII.I Factor (Ȥ) para calcular la corriente máxima asimétrica de cortocircuito (Is). Donde (R) y
(X) son la resistencia (RK) y la reactancia (XK) de la impedancia de cortocircuito de la red (ZK)
El factor (Ȥ) depende de la relación (RK/XK) correspondiente a los distintos elementos o dispositivos
implicados en el cortocircuito y tiene presente el amortiguamiento temporal de la componente aperiódica
y, en el caso de cortocircuitos próximos al generador, el de la componente simétrica.
x
Corriente simétrica de corte (Ia)
x Máquinas síncronas:
x Máquinas asíncronas:
I a P ˜ I "k
I aM P ˜ q ˜ I " k
P
0, 05 s
0,9
0,1s
0,8
0,7
t0 , 25 s
0,6
0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
I’’k3/In
3 4 5 6 7 8 9
I’’k2/In
Gráfica XII.II Factor (µ) para calcular la corriente simétrica de corte (Ia)
El factor (µ) depende de la relación (I”K /In) de los distintos generadores síncronos existentes en el
circuito y del retardo mínimo de desconexión (tV).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Anexos
195
El factor (q) depende de la relación entre la potencia del motor asíncrono, del número de pares de polos
y del retardo mínimo de desconexión (tV). Este factor vale la unidad si no existen motores asíncronos en
la red analizada.
q
1,0
Retardo mínimo de desconexión
0,9
0,8
0, 05 s
0,7
0,6
0,1s
0,5
0,4
0,3
0,2
t 0 , 25 s
0,1
0,01 0,02
0,04
0,1
0,2
0,4
1
10
4
2
P. del motor(MW)/par de polos
Gráfica XII.III Factor (q) para calcular la corriente simétrica de corte (IaM) de un motor asíncrono
x
Corriente permanente de cortocircuito (Ik):
IK
O ·I n
2,4
O 4.5
0,6
4.0
Omin
2,0
0,8
1,6
1.0
3.0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
Omax
1,2
1,7
2.0
1,2
2.0
0.8
Omin
Omax
1.0
0
2
4
0.4
6
8
0
2
4
6
8
I’’k3/In
I’’k3/In
Generadores de polos salientes
Turbogeneradores
Gráfica XII.IV Factores (Ȝmax y Ȝmin) para calcular las corrientes permanentes de cortocircuito máxima
(IKmax) y mínima (IKmin) correspondientes a una máquina síncrona
El factor (Ȝ) depende de la relación (I”K /In), de las condiciones de excitación y del tipo de máquina
síncrona que exista en la red analizada.
En las redes mixtas formadas por fuentes de corriente de cortocircuito de diverso valor, existirán
corrientes de cortocircuito parciales circulando por las diversas ramas que presentarán relaciones (R/X)
diferentes. Por ello, las diversas porciones de las corrientes de cortocircuito se amortiguan siguiendo
constantes de tiempo distintas (según la VDE 0102). Se remite al lector a la sección de problemas
resueltos para comprobar cómo se efectúa el cálculo de redes múltiples.
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002
Bibliografía
197
Bibliografía.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tecnología eléctrica. Mujal Rosas, Ramón Mª. 1º edición. Ediciones UPC. Aula Politécnica
(2000).
Electrotecnia. Mujal Rosas, Ramón Mª. 1º Edición. Ediciones UPC. Aula Politécnica (2001).
Líneas y redes eléctricas. Protección de sistemas de potencia. Colección de Problemas. Mujal
Rosas, Ramón Mª. 2ª edición. UPC. ETSEIT (1998).
Análisis de sistemas eléctricos de potencia. Stevenson, William D. 2ª Edición. Ed. Mc.Graw-Hill
(1992).
Corrientes de cortocircuito en redes trifásicas. Romper, Richard. 2ª Edición. Ed. Marcombo
(1985).
Protección de las instalaciones eléctricas. Muntanè, Paulino. 2ª edición. Ed. Marcombo (1993).
Reglamento Electrotécnico de Alta Tensión. Ministerio de Industria y Energía (1998).
Líneas y redes eléctricas. Martínez Velasco J. 3ª edición. CPDA. ETSEIB (1996).
Sistemas polifásicos. Gonzalez B. López E. Ed. Paraninfo (1995).
© Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002