Sobre la medición

Sobre la medición
Caupolicán Muñoz Gamboa*
UAM–Iztapalapa
Recibido: 03 de mayo de 2010
Aceptado: 11 de mayo de 2010.
Introducción
Todos estamos de acuerdo, seguramente, en que
nuestras actuales condiciones de vida descansan en
el desarrollo de la ciencia y de la tecnologı́a. Sin
embargo, es muy posible que no tengamos plena
conciencia de que estas dos importantes actividades se han desarrollado, simplemente, a partir de
la habilidad que tiene el ser humano para medir
el universo que nos rodea. Porque sin una refinada y compleja capacidad para medir, la ciencia y la
tecnologı́a que conocemos actualmente, no podrı́an
existir.
Medición de un terreno para la recaudación de impuestos.
logı́a han tenido gran importancia sólo modernamente ya que las razones que cada una de estas actividades ha tenido para desarrollar la medición son diferentes, por supuesto, pero el objetivo es el mismo.
Siempre se ha tratado de establecer mecanismos útiles y prácticos para convertir en números las caracterı́sticas fı́sicas de todo lo que sea necesario o que
encontremos en la realidad, ya sea para que la ciencia nos permita conocer más ı́ntimamente el universo, para que la tecnologı́a haga posible su utilización en nuestro beneficio o, más prácticamente, para saber cuánto debemos pagar por una mercancı́a.
Haciendo algo de historia, recuérdese que los griegos llegaron a imaginar el átomo sin haber desarrollado la capacidad para investigar a fondo las caracterı́sticas básicas de la materia, por lo que esto sólo
puede ser admirado como una brillante muestra de
genialidad. Porque el modelo griego de una partı́cula indivisible deja de ser una magnı́fica propuesta filosófica y llega a adquirir su actual forma cientı́fica únicamente cuando es posible realizar los experimentos que han permitido medir las variables involucradas y determinar con precisión las caracterı́sticas de la materia.
En un comienzo las primeras sociedades tuvieron como una gran necesidad la medición de las cantidades o volúmenes de granos, el peso o la cantidad de
oro, la longitud de una tela o el tamaño de un terreno, puesto que éstas fueron las primeras inquietu-
Sus orı́genes
Curiosamente, por otra parte, la medición no ha sido impulsada en sus inicios por la ciencia y la tecnologı́a, sino que el comercio ha sido el primero y uno
de los principales agentes motivadores para que diversas magnitudes puedan determinarse con precisión desde tiempos antiguos.1 La ciencia y la tecno-
to o el palmo; el nilómetro, que era usado en el antiguo Egipto para cobrar los impuestos a los agricultores de acuerdo con
el nivel alcanzado por las inundaciones del rı́o Nilo; las representaciones de las unidades primitivas que se conservan en castillos e iglesias (como se mencionará más adelante); las antiguas balanzas, que se encuentran actualmente en los museos;
la medición tradicional del tiempo, de la que todavı́a conservamos la base sexagesimal para minutos y segundos; los meses lunares y la diferenciación de las estaciones, muy asociadas a la agricultura; el Calendario Azteca; el almud (del árabe
hispánico almúdd y éste del árabe clásico mudd), todavı́a utilizada en ciertos lugares como unidad de volumen; etc. La lista es interminable.
* cmg@xanum.uam.mx
1 Hay muchos ejemplos de esto. Las primeras tabletas cuneiformes eran registros contables y hacendarios; los quipus,
utilizados por los Incas en forma similar, aunque hay quienes
sostienen que también era una forma de escritura y los números rojos que usaban los chinos en lugar del signo negativo, ya
que representaban estos números en rojo (por eso las pérdidas de un balance todavı́a se escriben en esta forma). También
deben recordarse las unidades bı́blicas como el codo, el talen-
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des humanas. Sin embargo, la simple necesidad original de medir longitudes y tamaños de un pedazo de tierra ha dado lugar a la geometrı́a, a la trigonometrı́a e incluso a la geografı́a. En forma similar, la medición del peso de los objetos (en realidad
de la masa de ellos, ya que el peso depende de la aceleración de gravedad) ha provocado profundas meditaciones sobre las leyes que gobiernan la mecánica de los cuerpos, de los planetas y de las leyes de
la gravitación. Por su parte, la medición del tiempo ha conducido no sólo a obtener relojes muy precisos, sino que también a obtener muchas conclusiones sobre la naturaleza básica del universo.
El Sistema Internacional de Unidades
Con estos antecedentes históricos, es interesante observar que en la actualidad estas tres variables (longitud, masa y tiempo) forman parte de la base del
Sistema Internacional de Unidades, conocido como
SI. Se trata de un acuerdo internacional del que
México es paı́s firmante y al que se adhieren prácticamente todos los paı́ses. Junto a estas tres unidades,
en este sistema existen otras cuatro más que son: corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia
e intensidad luminosa, todas las cuales forman parte de las unidades básicas del SI. Para estas siete variables se han definido con mucho cuidado y precisión, siete unidades básicas con sus correspondientes
sı́mbolos, las que son: metro (m), kilogramo (kg), segundo (s), ampere (A), kelvin (K), mol (mol) y candela (cd), respectivamente.
Una de las razones para definir estas siete variables
como básicas es que, sin importar la complejidad de
la cantidad fı́sica que se desee medir, todas las demás
unidades conocidas y definidas se deducen de estas
siete básicas. Por ejemplo, para el volumen existe el
metro cúbico (m3 ); para la fuerza, el newton (N),
que es kilogramo por metro dividido por segundo al
cuadrado (kg × m/s2 ); para el voltaje, el volt (V),
que es kilogramo por metro cuadrado dividido por
ampere y por segundo al cubo, o sea kg × m2 /(A ×
s3 ) y ası́ sucesivamente.
Esto significa que al pesar un kilo de fruta se utiliza fundamentalmente la misma unidad que para medir la masa de un electrón o para calcular el peso
que soporta la loza de un edificio. Asimismo, cuando se mide la velocidad de un corredor olı́mpico se
emplea también la misma unidad que para establecer la velocidad de la luz en el vacı́o o para determinar la rapidez de un vehı́culo. En otro ejemplo, el voltaje de una simple baterı́a de automóvil se mide en
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volts, unidad que tiene sentido y aplicación al nivel
de la fı́sica de las partı́culas elementales, en la producción y distribución de energı́a eléctrica, ası́ como en cualquier proceso de importación o exportación de aparatos electrónicos. La medición cumple,
entonces, con un propósito múltiple: por una parte, hace que el trabajo del cientı́fico tenga significado; en segundo lugar, permite que los impresionantes desarrollos tecnológicos actuales puedan tener lugar; y, finalmente, es un importante mecanismo que
puede lograr que las actividades comerciales internacionales se lleven a cabo sobre la base de la confianza, aunque con el gran respaldo que implica la existencia del SI.
Tomando medidas
El proceso de medición, en apariencia simple, reviste una gran variedad de facetas que lo convierten
por sı́ mismo en una rama importante de la ciencia y de la tecnologı́a. Para comprender más claramente la complejidad a que puede llegar una simple medición, supóngase que se requiere medir una
distancia desconocida, para lo cual debe procederse de la siguiente forma.
En primer lugar, se requiere disponer de una unidad de medición. En la biblia se utiliza el codo, en
otros tiempos antiguos se usaron la vara y la legua,
mientras que en algunos paı́ses de habla inglesa todavı́a se emplea la pulgada, el pie y la milla (entre otras), pero la distancia o desplazamiento, como ya se ha mencionado, debe medirse actualmente en metros, de tal forma que cualquier tamaño, extensión o longitud debe expresarse en esta unidad.
En segundo lugar, se requiere disponer de referencias apropiadas para expresar el resultado y que
permitan medir lo muy pequeño y lo muy grande.2 Para este efecto existen múltiplos y submúltiplos de la unidad básica, que hacen posible expresar cómodamente el resultado desde la cuatrillonésima parte de cualquiera de las unidades, hasta un cuatrillón de ellas. Estas dos referencias extremas son poco utilizadas, como puede comprenderse, pero todos podemos reconocer otros submúlti2 Para los más pequeños fragmentos de longitud se tiene el
yoctómetro –ym– que es igual a una fracción de metro dada por cero punto 24 ceros y un uno. Por ejemplo, el primer radio para el modelo atómico de Bohr es de unas 53 billonésimas de metro (cerca de 53 billones de ym). En el otro
extremo, para las grandes medidas de longitud puede usarse el yotámetro –Ym– que es un uno seguido de 24 ceros.
Por ejemplo, considérese que un año–luz equivale aproximadamente a 9.5 billones de metros (alrededor de 9.5 billonésimas de Ym).
Sobre la medición. Caupolicán Muñoz G.
plos más comunes y prácticos, tales como para el metro se tiene el milı́metro (mm) y el centı́metro (cm),
ası́ como algunos múltiplos, como el kilómetro (km).
Por tanto, estos dos extremos permiten expresar
cómodamente las más grandes y las más pequeñas
dimensiones.3
Una vez que se tiene la unidad adecuada para expresar el resultado (como en este caso el metro),
hace falta encontrar la relación entre ésta y el resultado, para expresarlo numéricamente. Esto significa dos cosas: por una parte, subdividir el metro en centı́metros y milı́metros (o multiplicarlo para determinar los múltiplos) y, por la otra, determinar cuántas veces está contenida la unidad en la
distancia desconocida. Esto último se logra haciendo una comparación aritmética, geométrica, fı́sica
o electrónica entre la unidad y la distancia que se
desconoce. Debe destacarse, sin embargo, que muchas mediciones actuales, de las más diversas variables, se realizan con instrumentos electrónicos de alta calidad, los cuales se encargan de realizar todo este procedimiento en forma automática.
Un poco de historia
Aunque en la actualidad el SI es la referencia universal para toda clase de mediciones, como ya se
ha comentado, a lo largo de la historia de la humanidad se han utilizado muchas unidades de medición (por ejemplo) para expresar la longitud de
un objeto, ası́ como el desplazamiento o la distancia entre dos puntos. Algunas huellas de este pasado pueden encontrarse en iglesias, edificios antiguos, e incluso en lugares públicos, ya que servı́an
para dirimir diferencias entre particulares a la hora de realizar una transacción comercial.4 Sin embargo, en nuestros dı́as, la unidad que el SI establece para medir longitudes, es el metro. Esto significa que todas las distancias del espacio deben medirse en metros, o bien, en múltiplos o en submúltiplos de éste.
En este sistema, el metro se define actualmente como “la longitud de la trayectoria recorrida por la luz
3 Para más detalles véase el artı́culo De yotta a yocto, C.
Muñoz Gamboa, ContactoS 75, 5–13 (2010).
4 En el Zócalo de la ciudad de México, a un costado de la catedral, hay un monumento en cuya base se encuentran empotradas representaciones de la vara y del metro. En muchos otros lugares hay facsı́miles análogos como en la sala de
la Poridad o del Secreto del Arco de Santa Marı́a, en Burgos, donde se encuentra la vara de Burgos. (Poridad o puridad, cualidad de puro, oculto, reserva, sigilo o secreto. Sustantivo en desuso procedente del latı́npurı̆tas, -ātis).
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en el vacı́o durante un lapso de 1/299 792 458 de segundo’’, por lo que resulta extraño que la definición utilice la unidad de tiempo (el segundo) para fijar la de longitud (el metro). Esta circunstancia se debe a que se considera que la velocidad de
la luz es una constante universal que no es afectada por ningún fenómeno, influencia o circunstancia fı́sica y, también, a que el tiempo es la caracterı́stica fı́sica que en la actualidad puede determinarse con mayor precisión.
Originalmente, en el siglo XVIII, se trató de extraer el metro de la propia naturaleza, por lo que
en ese tiempo se definió en función de la circunferencia terrestre como la diez mil millonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por
Parı́s. Pero esta referencia no es realmente una circunferencia (a causa de la geografı́a y de las mareas), no es fácil de medir y no es propiamente una
constante.
Por estas razones, los primeros paı́ses firmantes del
acuerdo que dio lugar al SI decidieron, en un principio, fijar como referencia para el metro a la distancia comprendida entre un par de finas lı́neas grabadas sobre una barra hecha de una aleación de platino
e iridio con propiedades de baja dilatación térmica,
la que se mantenı́a a una temperatura constante en
Parı́s. Sin embargo, la obtención de copias de un metro patrón con estas caracterı́sticas implica un continuo desgaste, al mismo tiempo que las lı́neas grabadas deben tener un ancho no despreciable que incorpora una incertidumbre a la longitud. Por otra
parte, se trata de un bloque de metal que debe sufrir los efectos de los cambios de temperatura, experimentando dilataciones y contracciones, aunque
éstas sean mı́nimas.
En virtud de los problemas planteados para este prototipo del metro patrón y con el propósito de disponer de una referencia de mejor calidad y más práctica, se buscó un modelo menos expuesto a desgaste, más preciso, más constante y más fácil de duplicar sin deterioro. La solución se encontró en las oscilaciones atómicas del isótopo criptón 86, ya que este emite una radiación muy estable.5 Con esta referencia se obtuvo la ventaja adicional de que cualquier persona que tuviera el suficiente conocimiento técnico y apoyo tecnológico serı́a capaz de construir, con un error muy pequeño, una copia del metro patrón para su uso personal o comercial. Sin em5 Más precisamente 1.650.763,73 longitudes de onda de la
radiación emitida por este isótopo.
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bargo, el avance de la ciencia, del comercio y de la
técnica exigen mediciones cada vez más cuidadosas,
por lo que esta definición también resultó insuficiente, razón por la que se cambió por la actual, como ya se ha comentado.
Unidades de medición singulares
En la vida diaria, por otra parte, tales precisiones no
siempre son bienvenidas, por lo que con frecuencia se
usan expresiones tales como “cerca”, “a tres calles”,
“aquı́ a la vuelta” o “a cinco minutos”, por ejemplo. Estas imprecisiones abarcan casi todos los aspectos de nuestra vida, ya que para medir un periodo de tiempo tenemos “al rato”, “un momento”, “ahorita” o “espéreme tantito”. Asimismo, para establecer cantidades de peso utilizamos “pesado”, “como pluma”, “liviano” o “ligerito”. Del mismo modo, “fuerte”, “rudo”, “galleta” y “débil” son
unidades cotidianas descriptivas de fuerza y fortaleza, mientras que lo irritante del chile puede expresarse como “suave”, “fuerte”, o en grados de “picoso” y
“picante”. Igualmente, en un recetario común la cantidad de ingrediente se especifica diciendo “una pizca”, “un puñado”, “una ramita” o “al gusto”, en
tanto que en lenguaje coloquial decimos “un chorro”, “un resto”, “tantito”, o un “titipuchal”.6
En este contexto de imprecisiones cotidianas, es interesante preguntarse a qué distancia equivalen ’cinco minutos’, cuánto tiempo es ’ahorita’, qué diferencia hay entre ’una pizca’ y ’al gusto’, cuántos kilos es
’liviano’, cuántos minutos es ’un momento’, qué cantidad es ’un chorro y dos montones’, que tanto es
’tantito’, o si es posible medir con precisión la fuerza de un condimento.7
El sistema internacional de unidades acordó proscribir el uso de ciertas unidades, entre las que se encuentran el quilate métrico, el kilogramo fuerza y la
calorı́a, aunque algunas como esta última continúan
utilizándose a nivel popular. Pero, nadie podrá ordenar por decreto la proscripción del “montón” de
unidades tan singulares como las que se han mencionado y no habrá acuerdo, por más internacional que sea, que evite que durante un “chorro” de
tiempo se continúen utilizando expresiones tan conocidas y tan imprecisas para medir, como “tras
lomita”.
6 Un
montón, en náhuatl.
la actualidad el grado de picante de un chile se mide
subjetivamente por medio de la escala Scoville, o más objetivamente con cromatografı́a de lı́quidos de alta resolución. Para más detalles véase el artı́culo De viandas y brebajes. Chiles,
Escancio “Kansho” Almazara, ContactoS 67, 31–33 (2007).
7 En
Una medición de peso
Cuando los astronautas caminan sobre la luna se ven
muy curiosos dando enormes saltos, a pesar de la carga que implica todo su equipo, los cuales serı́an imposibles de realizar en la tierra. La razón de que sean
más fuertes en la luna se encuentra en la baja aceleración de gravedad que existe en ella, la cual convierte a un sujeto de 90 kilos en otro de apenas unos
16. Todos los objetos pesan menos cuando la gravedad es menor, a pesar de que la cantidad de materia o masa permanezca constante. Esta circunstancia ha hecho que la referencia para medir esta variable no sea el peso de los objetos, sino la masa de
los mismos. En nuestro planeta, peso y masa coinciden convenientemente, por lo que utilizamos la misma unidad para medirlos: el kilogramo (kg). Pero,
¿cuánto es un kilogramo?
Desde fines del siglo pasado y comienzos del actual, el Sistema Internacional de unidades lo ha definido como “la masa igual a la del prototipo internacional del kilogramo”. Esto significa que existe un bloque metálico (con propiedades mecánicas
adecuadas) que representa exactamente un kilogramo y que es la referencia internacional para cualquier operación que implique la medición de masa. Para el metro y el segundo (ası́ como para todas las demás unidades básicas) existen referencias
similares, pero éstas no son objetos fı́sicos ni prototipos, sino que las dos unidades mencionadas se
extraen de experimentos vinculados con la velocidad de propagación de la luz y con la frecuencia de
una radiación generada por un oscilador atómico,
respectivamente.
Por la forma en que están definidas, entonces, las referencias para el metro y el segundo pueden ser construidas por cualquier institución, empresa o persona que disponga de la tecnologı́a y de los conocimientos suficientes. Pero esto no ocurre para el kilogramo, por lo que ha sido necesario obtener copias del prototipo internacional para que sean utilizadas por todos los paı́ses firmantes del acuerdo que
formalizó al SI. Por ejemplo, Estados Unidos dispone de la copia número 20 del prototipo internacional, mientras que México recibió la copia número 21, en el año de 1891.
Las copias del prototipo internacional del kilogramo no tienen como principal propósito que sean utilizadas directamente para medir, ya que sólo son empleadas como referencias o como patrones. Puesto
que tampoco son instrumentos de trabajo, se re-
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quiere obtener copias de cada uno de estos ejemplares, a su vez, para que éstas puedan ser utilizadas por los particulares o por las empresas interesadas. Este proceso de copiado se repite varias veces, tanto dentro de la oficina encargada de custodiar
el prototipo, como dentro de las empresas que requieren de estas referencias para la fabricación de instrumentos de medición suficientemente precisos. El procedimiento da lugar a una jerarquı́a de patrones o referencias que se originan en el prototipo internacional y que concluyen en la báscula que utilizamos para pesarnos, pasando por todas las etapas de fabricación y calibración de dicha báscula.
Puesto que cada proceso de copia implica una pequeña degradación de la calidad, que se traduce en
un pequeño error o incertidumbre que se agrega en
cada paso, se tiene una estructura de referencias en
distintos niveles y calidades con relación al prototipo internacional. A menor nivel, mayor error y menor calidad. Por otra parte, como el uso continuo
de las referencias las somete a desgaste y las degrada, es necesario llevar a cabo comparaciones con las
otras de nivel superior en forma constante. Este proceso se denomina calibración y constituye una garantı́a de que la medición que se realiza tiene un
error que no supera un determinado lı́mite.
En esta forma, cada vez que verificamos nuestro peso, que se dosifica un cierto medicamento en miligramos, que leemos en un artı́culo la masa total de la tierra y de los demás planetas, que compramos un kilo de azúcar o que un paı́s exporta toneladas de materias primas, se está haciendo alusión implı́cita a
este bloque de metal porque constituye la referencia última de la cantidad de masa que denominamos kilogramo. Por ello, desde el punto de vista de
la medición de masa o peso, el Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) ubicado en Parı́s,
donde se encuentra el prototipo, se ha convertido en
una especie de Meca de la medición de masa o peso, al mismo tiempo que el mismo prototipo es como la Piedra Negra que se encuentra empotrada en
la Kaaba.
Exactitud y precisión
En el contexto de mediciones que siempre conllevan un error, se hace necesario caracterizar dicho
error y saber qué tanto se puede confiar en un valor
numérico que se ha obtenido experimentalmente. Para este efecto, se dispone de una serie de herramientas de análisis, de entre las que destacan dos conceptos técnicos muy importantes, que son la preci-
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sión y la exactitud. Aunque en el lenguaje común estos términos pueden ser sinónimos de la fidelidad,
la corrección o la calidad con que se mide o se determina una variable numérica, en el contexto de
la medición tienen significados diferentes, pero muy
definidos.
Para entender más claramente estas diferencias, considérese que se tiene un instrumento o un conjunto de mediciones (o de valores que se han obtenido en forma experimental) los cuales, como se ha
visto, no son iguales entre sı́ debido a que contienen errores. El conjunto de estos errores, sin embargo, presenta una caracterı́stica muy especial que consiste en que siempre se distribuye aproximadamente en la misma forma alrededor de un valor promedio, tomando valores próximos o alejados de éste. Esto significa que esta distribución puede ser amplia
o estrecha alrededor del promedio, según se aparte más o menos de él.
Sin embargo, el valor promedio no necesariamente
coincide con el valor que se espera obtener con la medición, ya que es simplemente la media aritmética de
los resultados. La diferencia que existe entre este promedio y el valor que se espera obtener es una medida
directa del error, la que se acepta generalmente como una medida inversa de exactitud, por lo que a mayor (o menor) diferencia corresponde menor (o mayor) exactitud. La amplitud de la distribución, por
otra parte, es una medida del grado de concentración o dispersión de los errores. Su valor numérico se conoce como desviación y es una medida inversa de la precisión de un conjunto de mediciones,
por lo que a mayor (o menor) desviación se tiene menor (o mayor) precisión.
A la luz de estas definiciones, tómese el caso extremo de un par de relojes, de los cuales uno está descompuesto y el otro marca la hora siempre con unos
segundos de retraso. El primero es obviamente un reloj impreciso, pero que curiosamente da la hora exacta dos veces al dı́a. El segundo, en cambio, aunque es
un reloj preciso resulta que nunca puede dar la hora exacta.
En la figura 1 se muestran cuatro casos prácticos de
conjuntos de 150 mediciones cada uno, que corresponden a cada una de las cuatro combinaciones distintas que son posibles para la proximidad que presentan los datos con respecto al valor esperado (que
en este caso es 10.00) y la amplitud de la dispersión de los datos.
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Figura 1. Ejemplo de las cuatro combinaciones posibles
de promedio y desviación estándar con respecto al valor
promedio conocido de 10.00.
El grupo A es impreciso e inexacto, porque su dispersión es amplia y su promedio se aleja del valor esperado. El grupo B es impreciso y exacto porque aunque su dispersión es amplia, su promedio está muy
próximo al valor esperado. El grupo C es preciso e
inexacto, porque su dispersión es baja, pero su promedio se aleja del valor esperado. Por último, el grupo D es preciso y exacto porque su dispersión es baja y su promedio se acerca al valor esperado.
En la figura se observa que los casos de la izquierda
son poco útiles, ya que, independientemente de su
desviación, no hay forma de obtener un resultado
cercano al valor correcto. De hecho, en el grupo A el
error es de 4.12 %, en tanto que en el grupo C es de
4.58 %.
Con respecto a los dos casos de la derecha, en cambio, resultan ser más adecuados (sin importar su desviación) ya que los promedios se acercan notablemente al valor esperado. Para estos dos casos los
errores son solamente de 0.3 %, para el grupo B,
en tanto que para el grupo D es del 0.4 %, los cuales son más de diez veces menores.
Desde otro punto de vista, las amplitudes de los datos de los grupos de la izquierda cubren, respectivamente, desde 9.10 a 11.70 y desde 8.70 a 11.50. Por su
parte, los grupos de la derecha cubren, a su vez, desde 8.70 a 10.50 y desde 9.10 a 10.90, lo que no solamente es una amplitud menor, sino que también
se encuentran más concentrados cerca del valor medio, lo que les da un aspecto más espigado.
ContactoS 76, 63–68 (2010)
Conclusión
Esta es la clase de herramientas con la que se enfrentan los problemas que se tienen cuando se quiere cuantificar el mundo real, independientemente de
que se haga para establecer o comprobar las leyes
fı́sicas, de fabricar productos o para comprar mercancı́as. Por ello, en el proceso de conocer el universo, desarrollar una actividad cientı́fica o técnica
e, incluso, simplemente para desenvolverse en la vida diaria, se requiere imperiosamente de mecanismos de medición que permitan efectuar comparaciones y realizar cálculos acertados. Aunque aparentemente estas cuestiones pueden parecer demasiado
elaboradas para el ciudadano común, no cabe duda que la ciencia y la tecnologı́a pueden seguir proporcionándole los servicios y productos de que disfruta solamente si estas herramientas funcionan adecuadamente.
Bibliografı́a
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cs