θ θ µ θ ρ θ ρ µ

MEC 2245 Mecánica de Fluidos I
Forma Diferencial de las ecuaciones de flujo
CAPITULO: C4 Sección: P-R-5
Problema 4.1
Página: 1
Rev. 0
Problema. Determinar las distribuciones de velocidad Vθ(r), y de tensión cortante τrθθ(r), para el flujo
laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros
verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular ω. Despreciar
los efectos de borde.
Solución
En la figura se muestra esquemá-
r
ticamente
Vθ(r)
la
configuración
del
sistema flujo.
R
Las siguientes hipótesis se extraen
r0
Cilindro
interior
estacionario
Cilindro exterior
giratorio
del enunciado del problema:
•
Flujo permanente e incompresible
ω
•
Flujo laminar tangencial.
En estas condiciones para la solución del problema se aplicará la ecuación
de
cantidad
de
movimiento
para
fluidos
newtonianos,
Navier-
Stokes, expresada en coordenadas cilíndricas. Cuya componente θ, esta
dada por:
0
0
0
0
0
0
0
0
 ∂ 2V
∂V
∂V
∂V V V 
1 ∂p
1 ∂Vθ
1 ∂ 2Vθ
 ∂V
ρ  θ + Vr θ + θ + Vz θ + r θ  = ρg θ −
+ 2
+ µ  2θ +
r 
r ∂θ
r ∂r r ∂θ 2
∂r
∂θ
∂z
 ∂t
 ∂r
0
0
∂ 2V
2 ∂Vr Vθ 
+ 2θ + 2
−
∂z
r ∂θ r 2 
Que para las condiciones planteadas en el problema, se reduce a:
(4.6.1)
 ∂ 2V
1 ∂Vθ Vθ 
−
0 = µ  2θ +
r ∂r r 2 
 ∂r
La ecuación (1), se puede escribir de la siguiente forma:
(1)
∂ 2Vθ
∂ V 
+  θ =0
(2)
2
∂r  r 
∂r
la velocidad solo es función de la variable r, entonces, la última ecuación
puede ser escrita como derivada total.
d  dVθ  d  Vθ 

+   =0
dr  dr  dr  r 
multiplicando ambos miembros de la ecuación por dr e integrando una
(3)
vez, se tiene:
dVθ Vθ
+
= C1
r
dr
Elaborado por: Emilio Rivera Chávez
Fecha de elaboración: 15/07/02
Revisado por:
Fecha de revisión:
(4)
MEC 2245 Mecánica de Fluidos I
Forma Diferencial de las ecuaciones de flujo
CAPITULO: C4 Sección: P-R-5
Problema 4.1
Página: 2
Rev. 0
multiplicando ambos miembros por r:
dVθ
+ Vθ = rC1
dr
esta última expresión se puede escribir, así:
r
d (rVθ )
= rC1
dr
finalmente, separando variables e integrando se obtiene:
rVθ = C1
r2
+ C2
2
(5)
Las constantes de integración C1 y C2, se pueden calcular a partir de las
condiciones de de frontera:
r = r0 

Vθ = 0
r=R


Vθ = ωR 
reemplazando estos valores en la ecuación (5), se obtiene el sistema:
y
2

r0
+ C2 

2
(6)

2
R
+ C 2 
ωR 2 = C1
2

y resolviendo este sistema, se obtienen los valores de las constantes C1 y C2,
0 = C1
2ωR 2


R − r0 

ωR 2 r02 
C2 = − 2
2
R − r0 
Reemplazando (7) en (5) y despejando la velocidad, se tiene:
C1 =
 2ωR 2
rVθ =  2
R −r 2
0

2
2
 r 2  ωR 2 r02
 + −
 2  R2 − r 2
0


(7)




r02 
ωR 2 


r
−
(8)
2
r 
R 2 − r0 
La distribución de tensiones de cortadura por efecto de la viscosidad, se
Vθ =
calcula a partir de la ecuación:
0
 ∂  V  1 ∂Vr 
τ rθ = τ θr = − µ r  θ  +

 ∂r  r  r ∂θ 
que para las condiciones de este problema se reduce a:
Elaborado por: Emilio Rivera Chávez
Fecha de elaboración: 15/07/02
Revisado por:
Fecha de revisión:
MEC 2245 Mecánica de Fluidos I
Forma Diferencial de las ecuaciones de flujo
CAPITULO: C4 Sección: P-R-5
Problema 4.1
Página: 3
Rev. 0
d  Vθ 
(9)
 
dr  r 
La derivada del segundo miembro de la ecuación (9), se puede obtener a
τ rθ = − µr
partir de la ecuación (8), reordena convenientemente
Vθ
ωR 2
= 2
2
r
R − r0
derivando respecto de r, se obtiene:
 r02 
1 − 2 
 r 


ωR 2
d  Vθ 
 = 2
dr  r  R − r0 2

− 2r 2 
0 − 3 0 

r 

d  Vθ  2ωR 2 r02  1 
(10)
 =
 
dr  r  R 2 − r0 2  r 3 
Sustituyendo (10) en (9), se obtiene la función de distribución de tensiones
de corte viscosas.
τ rθ = − µr
τ rθ = − µ
2ωR 2 r02  1 
2  3 
R 2 − r0  r 
2ωr02
 1 
 2
 r0   r 
1−  
R
(11)
2
En la siguiente figura se muestran las distribuciones de velocidad y esfuerzo
cortante. Se puede apreciar que:
• Cuando la velocidad toma su valor mínimo, el esfuerzo cortante toma su valor máximo y
• el esfuerzo cortante se hace mínimo cuando la velocidad toma su valor máximo:
r = r0 ;
r = R;
Vθ = 0; τ rθ = − µ
Cilindro exterior
giratorio
2ω
r 
1−  0 
R
2
r
Vθ(r)
R
Vθ = ωR; τ rθ = 0
Cilindro interior
estacionario
r0
τ θr (r)
ω
Elaborado por: Emilio Rivera Chávez
Fecha de elaboración: 15/07/02
Revisado por:
Fecha de revisión: