u iversidad politéc ica de madrid

UIVERSIDAD
POLITÉCICA DE MADRID
ESCUELA TÉCICA SUPERIOR DE
IGEIEROS DE
TELECOMUICACIÓ
PROYECTO FI DE CARRERA
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR
CO CDMA
Departamento:
Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones
Tutor:
José María Hernando Rábanos
Autor:
Luis Mendo Tomás
Octubre de 1997
PROYECTO FI DE CARRERA
TÍTULO: SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
AUTOR: Luis Mendo Tomás
TUTOR: José María Hernando Rábanos
DEPARTAMETO: Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones
TRIBUAL CALIFICADOR:
Presidente: José María Hernando Rábanos
Vocal: Manuel Montero del Pino
Secretario: José Manuel Riera Salís
Suplente: Miguel Calvo Ramón
FECHA DE LECTURA:
CALIFICACIÓ:
RESUME
En este proyecto se lleva a cabo un estudio de la técnica de acceso múltiple
CDMA en sistemas de comunicaciones móviles celulares. Basándonos en unos modelos
del canal radioeléctrico móvil y del receptor se estudian las prestaciones de un sistema
CDMA asíncrono, cubriendo los aspectos más relevantes del mismo. Se analiza también
la capacidad de sistemas CDMA, y se estudian las características propias de este tipo de
sistemas en entornos urbanos microcelulares.
PALABRAS CLAVE
Capacidad, CDMA, Control de Potencia, Espectro Ensanchado, Microcélulas,
Receptor RAKE.
Mi sincero agradecimiento al profesor José María Hernando
por su continuo y valioso asesoramiento.
ÍNDICE
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES
MÓVILES CELULARES .....................................................................................................
1
1.1. Sistemas de radiocomunicaciones móviles terrestres .........................................
1.2. Sistemas PMR......................................................................................................
1.3. Sistemas PMT ......................................................................................................
1.3.1 Características....................................................................................................
1.3.2. Desarrollo de los sistemas de PMT .......................................................
1
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3
CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE COMUNICACIONES BASADOS EN CDMA.................
7
2.1. Espectro ensanchado............................................................................................
2.1.1. Tipos de técnicas de espectro ensanchado .............................................
2.1.2. Sistema DS-SS........................................................................................
2.1.3. Ventajas de las técnicas de espectro ensanchado (DS) ..........................
2.2. El canal radioeléctrico móvil ...............................................................................
2.3. Interferencia entre símbolos y desvanecimiento multitrayecto ...........................
2.4. Diversidad............................................................................................................
2.4.1. Tipos de diversidad ................................................................................
2.4.2. Procesamiento de la señal recibida.........................................................
2.5. Sistemas DS-CDMA............................................................................................
2.5.1. Principio de funcionamiento de los sistemas CDMA ortogonales.........
2.5.2. Principio de funcionamiento de los sistemas CDMA no ortogonales....
2.5.3. La técnica de acceso CDMA en sistemas celulares ...............................
2.6. Estructura de un sistema móvil celular basado en CDMA ..................................
2.6.1. Aspectos comunes a todos los sistemas celulares ..................................
2.6.2. Aspectos de diseño de un sistema celular CDMA .................................
2.6.3. Particularidades de los sistemas celulares CDMA.................................
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32
CAPÍTULO 3. MODELOS DE CANAL Y DE RECEPTOR PARA SISTEMAS DE
COMUNICACIONES CON CDMA ....................................................................................
37
3.1. Modelos de canal radioeléctrico ..........................................................................
3.1.1. Descripción de algunos canales típicos ..................................................
3.2. Modelo de canal para CDMA..............................................................................
3.2.1. Modelo general del canal radioeléctrico móvil ......................................
3.2.2. Características de dispersión y selectividad del canal............................
3.2.3. Modelo para señales limitadas en banda ................................................
3.2.4. Canal CDMA..........................................................................................
3.3. El receptor RAKE................................................................................................
37
39
41
41
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54
62
ÍNDICE
ii
3.3.1. Receptor óptimo en comunicaciones digitales .......................................
3.3.2. Receptor óptimo para señales de espectro ensanchado en canales
selectivos en frecuencia: el receptor RAKE.....................................................
3.3.3. Prestaciones del receptor RAKE en el canal CDMA .............................
3.3.4. El receptor RAKE como sistema con diversidad ...................................
3.4. Otros tipos de receptores utilizados en CDMA ...................................................
62
63
67
85
86
CAPÍTULO 4. SECUENCIAS CÓDIGO PARA SISTEMAS DS-CDMA ..........................
87
4.1. Características que deben tener las secuencias código en un sistema
DS-CDMA BPSK asíncrono.......................................................................................
4.2. Funciones de correlación .....................................................................................
4.3. Análisis de algunas familias de secuencias .........................................................
4.3.1. Secuencias ortogonales...........................................................................
4.3.2. Secuencias aleatorias de periodo corto...................................................
4.3.3. Secuencias-m de periodo corto...............................................................
4.3.4. Secuencias de Gold de periodo corto .....................................................
4.3.5. Secuencias de periodo corto obtenidas a partir de secuencias-m largas
4.3.6. Secuencias de Gold de periodo largo modificadas.................................
4.3.7. Conclusión. Clasificación de las secuencias código. .............................
87
90
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113
117
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DEL RECEPTOR RAKE EN UN SISTEMA MÓVIL CDMA
ASÍNCRONO........................................................................................................................
119
5.1. Introducción .........................................................................................................
5.2. Funcionamiento del receptor RAKE ...................................................................
5.2.1. Método seguido en las simulaciones ......................................................
5.2.2. Interferencia por multitrayecto ...............................................................
5.2.3. Interferencia entre símbolos ...................................................................
5.2.4. Interferencia por acceso múltiple ...........................................................
5.2.5. Señales presentes en el receptor .............................................................
5.2.6. Estimación de la probabilidad de error...................................................
5.2.7. Caracterización estadística de la variable de decisión ...........................
5.2.8. Simulaciones simplificadas ....................................................................
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CAPÍTULO 6. ANÁLISIS DE UN SISTEMA MÓVIL CDMA ASÍNCRONO..................
155
6.1. Codificación de canal ..........................................................................................
6.1.1. Modalidades de control de errores .........................................................
6.1.2. El proceso de codificación y decodificación de canal............................
6.1.3. El problema de la decodificación ...........................................................
6.1.4. Tipos de códigos de canal ......................................................................
6.1.5. Ganancia de codificación .......................................................................
6.1.6. Codificación de canal en sistemas CDMA.............................................
6.1.7. Codificador convolucional .....................................................................
6.1.8. El codificador convolucional como máquina de estados finitos ............
155
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158
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161
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168
ÍNDICE
iii
6.1.9. Elección del código ................................................................................
6.1.10. Tipos de decodificadores convolucionales...........................................
6.1.11. Decodificador basado en el algoritmo de Viterbi.................................
6.1.12. Simulaciones para el canal AWGN......................................................
6.1.13. Simulaciones para el canal CDMA ......................................................
6.2. Factor de actividad vocal .....................................................................................
6.3. Estimación de canal .............................................................................................
6.3.1. Efecto del error en la estimación de canal..............................................
6.3.2. Método de generación de los coeficientes del canal ..............................
6.3.3. Ejemplo de generación de los coeficientes del canal .............................
6.3.4. Subsistema de estimación de canal.........................................................
6.3.5. Variaciones en el algoritmo de estimación.............................................
6.3.6. Observaciones finales.............................................................................
6.4. Control de potencia en bucle cerrado ..................................................................
6.4.1. Variable de decisión y potencia recibida................................................
6.4.2. Mecanismo de control de potencia en bucle cerrado .............................
6.4.3. Funcionamiento del control de potencia en bucle cerrado.....................
6.4.4. Influencia del control de potencia en el subsistema de estimación de
canal..................................................................................................................
6.4.5. Curva de probabilidad de error con control de potencia ........................
6.4.6. Observaciones finales.............................................................................
6.5. Subsistema de sincronismo..................................................................................
6.5.1. Sincronismo en sistemas de espectro ensanchado..................................
6.5.2. Etapa de adquisición...............................................................................
6.5.3. Adquisición en canales variantes, multitrayecto y con CDMA .............
6.5.4. Simulaciones...........................................................................................
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235
237
CAPÍTULO 7. CAPACIDAD DE SISTEMAS CDMA .......................................................
242
7.1. Introducción .........................................................................................................
7.2. Capacidad del sistema..........................................................................................
7.2.1. Capacidad en sistemas no celulares........................................................
7.2.3. Capacidad en sistemas celulares.............................................................
7.3. Capacidad de tráfico y de servicio.......................................................................
7.4. Características de los sistemas CDMA celulares ................................................
242
243
245
247
259
263
CAPÍTULO 8. SISTEMA CDMA MICROCELULAR EN UN ENTORNO URBANO.....
264
8.1. Sistemas microcelulares.......................................................................................
8.2. Modelo de propagación para microcélulas ..........................................................
8.3. Estructura geométrica microcelular .....................................................................
8.3.1. Atenuación en entornos urbanos microcelulares....................................
8.3.2. Definición de la frontera celular en CDMA...........................................
8.3.3. Geometría de la red CDMA microcelular ..............................................
8.4. Eficiencia de reutilización en estructuras microcelulares ...................................
264
264
267
268
274
275
280
ÍNDICE
iv
CAPÍTULO 9. DESCRIPCIÓN DE LOS PROGRAMAS DE SIMULACIÓN ...................
286
9.1 Tipos de programas utilizados ..............................................................................
9.2. Simulación del funcionamiento del receptor RAKE ...........................................
9.3. Decodificador convolucional de Viterbi con decisiones rígidas .........................
9.4. Decodificador de Viterbi en un entorno CDMA asíncrono con canal variante
multitrayecto ...............................................................................................................
9.5. Estimación del número de usuarios por célula ....................................................
286
287
292
294
296
10. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS DE TRABAJO ...........................................
299
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................................
302
CAPÍTULO 1:
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE
COMUNICACIONES MÓVILES
CELULARES
Pretendemos en este primer capítulo dar una visión general de los sistemas
móviles celulares, siguiendo su desarrollo histórico desde sus orígenes hasta las
tendencias actuales. Dentro de éstas últimas tienen cabida los sistemas CDMA, que
describiremos desde un punto de vista general.
1.1. SISTEMAS DE RADIOCOMUICACIOES MÓVILES TERRESTRES
Los servicios de comunicaciones móviles permiten la transmisión de
información entre terminales móviles o entre terminales móviles y fijos. Para permitir
esta movilidad los sistemas de comunicaciones móviles emplean transmisión por radio
al menos en una parte del trayecto que enlaza los terminales. Al hacer uso de las ondas
radioeléctricas, estos servicios se llaman servicios de radiocomunicaciones móviles, y a
los sistemas que los proporcionan se les denomina sistemas de radiocomunicaciones
móviles.
El Reglamento de Radiocomunicaciones distingue entre servicio móvil terrestre,
marítimo y aeronáutico. El primero es el que cuenta con mayor número de usuarios y es
al que nos vamos a referir.
Normalmente no tenemos sólo dos sino una multitud de terminales entre los que
debe ser posible establecer la comunicación, de manera que el sistema adopta la forma
de una red de radiocomunicaciones móviles, que permite la comunicación entre
cualquier pareja de terminales.
Hay dos grandes grupos de sistemas de radiocomunicaciones móviles: los
denominados de radio móvil privada (PMR, Private Mobile Radio) y los de telefonía
móvil pública (PMT, Public Mobile Telephony).
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
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1.2. SISTEMAS PMR
Los sistemas PMR se caracterizan por no estar conectados a la red telefónica
pública conmutada (RTPC o PSTN). Los sistemas PMR convencionales se basan en un
acceso múltiple por división de frecuencia (FDMA, Frequency Division Multiple
Access). Cada usuario tiene asignada una portadora de manera rígida, estática.
Para aumentar la capacidad del sistema, en el sentido de número máximo de
usuarios, o bien para reducir el espectro radioeléctrico ocupado, se recurre a técnicas de
concentración de enlaces o trunking. En los sistemas trunking se consigue aumentar el
número de usuarios por medio de una asignación dinámica de frecuencias. Se asigna un
canal al usuario sólo cuando éste solicita establecer una comunicación. Cuando ésta
finaliza el canal se libera, y podrá ser utilizado por otros usuarios. Así podemos tener un
número de usuarios mayor que el de frecuencias disponibles, a cambio de:
- asumir que existe una (pequeña) probabilidad de bloqueo, es decir, de que un
usuario que accede al sistema encuentre todos los canales ocupados.
- mayor complejidad de los equipos y de la gestión del sistema, derivada del
carácter dinámico de la asignación de frecuencias: los equipos móviles deben
tener capacidad para sintonizarse en cualquiera de las frecuencias, y para cada
llamada el control del sistema debe asignar al móvil una frecuencia de entre las
que en ese momento estén disponibles.
1.3. SISTEMAS PMT
1.3.1 Características
Los sistemas de PMT se diferencian de los anteriores en que tienen una cobertura
mucho más amplia, nacional o internacional, y están conectados a la red telefónica fija.
Ofrecen servicios no sólo de transmisión de voz sino también de datos, facsímil etc, con
una calidad comparable a la de la red telefónica fija.
Para tener una capacidad de tráfico elevada ocupando una porción del espectro
radioeléctrico razonable es imprescindible utilizar técnicas de trunking, que, como
hemos visto, también se emplean en algunos sistemas de PMR.
Pero además, y esto es lo novedoso de este tipo de sistemas, se recurre a la
reutilización de frecuencias, asociada a una estructura celular: en vez de utilizar las
frecuencias disponibles en toda la zona de cobertura, se divide ésta en zonas más
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
3
pequeñas llamadas células. En cada célula debe haber una estación base que da servicio
a las estaciones móviles que estén dentro de su zona de cobertura. Las estaciones base se
conectan a centrales de conmutación de la red móvil, las cuales están conectadas entre
sí. La distancia a la que pueden reutilizarse las frecuencias, o distancia de reutilización,
viene determinada por el radio celular y la relación portadora/interferencia mínima
requerida, o relación de protección. Normalmente esta distancia es tal que no es posible
reutilizar las frecuencias en células contiguas, con lo que no podemos asignar todas las
frecuencias en cada célula. Lo que se hace es repartir todas las frecuencias disponibles
dentro de un grupo de células lo suficientemente grande para que fuera de él ya podamos
reutilizar. Este grupo de células, llamado agrupación o cluster, se repite a lo largo y
ancho de la estructura celular hasta cubrir toda la zona de servicio.
1.3.2. Desarrollo de los sistemas de PMT
Los sistemas de PMT que se han ido desarrollando se pueden clasificar en varias
generaciones que agrupan sistemas de características parecidas. Vamos a incluir aquí
una “generación cero” formada por sistemas que no se entran en lo que hemos llamado
PMT, pues no son sistemas celulares, pero que son los precursores de los sistemas
móviles actuales.
Generación cero
La historia de los sistemas móviles terrestres comenzó en USA en los años 20,
con un rudimentario sistema de aviso para los coches de policía desarrollado en Detroit.
Era un sistema unidireccional que utilizaba AM. Sistemas algo más perfeccionados se
establecieron en otras ciudades. Estos sistemas entran en la categoría de sistemas PMR.
Más tarde se introdujo la FM , la posibilidad de conexión con la red fija y el trunking.
En los primeros sistemas trunking el usuario debía elegir de forma manual el canal de
transmisión de entre los que estuvieran libres. Posteriormente aparecieron sistemas más
avanzados en los que esta búsqueda se realizaba automáticamente.
El primer sistema de telefonía móvil pública, aunque todavía no era celular,
apareció en los años 60. Se trataba del IMTS (Improved Mobile Telephone Service),
precursor del primer sistema celular, el AMPS.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
4
Primera generación
Son sistemas analógicos, que utilizan la técnica de acceso FDMA. El primero fue
el sistema AMPS (Advanced Mobile Phone Service), que surgió en USA como una
evolución del IMTS. Empezó a funcionar en 1983 y continúa en la actualidad con varios
millones de usuarios y una tasa de crecimiento espectacular. Este sistema ha inspirado
en Europa el TACS (Total Access Communication System) y el sistema nórdico NMT900, que es una evolución del NMT-450 (Nordiska Mobil Telefongruppen). Estos
sistemas utilizan las bandas de 450 y de 900 MHz .
En España surgieron los servicios PMT-450 y PMT-900, que siguen las normas
de los sistemas mencionados en el párrafo anterior.
Segunda generación
La introducción de la tecnología digital permite aumentar la capacidad y
flexibilidad de los sistemas. Entre otras ventajas de los sistemas móviles digitales frente
a los analógicos podemos mencionar:
- mayor calidad de las comunicaciones
- privacidad de las mismas
- posibilidad de gran número de servicios suplementarios
- facilidad de integración de los distintos sistemas en la RDSI (Red Digital de
Servicios Integrados).
El acceso múltiple en estos sistemas digitales puede realizarse por división de
tiempo (TDMA, Time Division Multiple Access) o de código (CDMA, Code Division
Multiple Access). La mayoría utilizan la primera, que es una técnica bien conocida y
desarrollada. Es el caso del sistema paneuropeo GSM y otros similares desarrollados en
USA y Japón, denominados ADC y JDC, respectivamente. En Europa se ha previsto
también el DCS-1800, totalmente compatible con el GSM y concebido como un sistema
de comunicaciones personales (PCS), en el cual el usuario tiene un número personal
independiente de su localización y del terminal. En USA la compañía Qualcomm ha
desarrollado un sistema basado en CDMA, técnica que ofrece algunas ventajas
importantes sobre la TDMA, aunque a cambio de terminales más costosos.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
5
Futuros sistemas
La tendencia es hacia un sistema universal de comunicaciones personales,
basado en un estándar único. Actualmente se están realizando estudios en lo referente a
la técnica de acceso, TDMA o CDMA, que este sistema utilizará.
TDMA es el método de acceso utilizado actualmente en la mayoría de las
sistemas digitales, y se basa en asignar a cada usuario un periodo de tiempo dentro del
cual puede transmitir información.
CDMA es una técnica que utiliza espectro ensanchado (SS). Todos los
terminales móviles utilizan un mismo canal radioeléctrico de banda ancha. La señal de
información de cada enlace entre un móvil y la estación base es ensanchada en
frecuencia por una secuencia código, y las señales de espectro ensanchado resultantes
son fácilmente separables entre sí por las propiedades que presentan dichos códigos. A
continuación mencionamos las principales diferencias de un sistema basado en CDMA
respecto a los que utilizan TDMA:
- En el sistema CDMA, si el ancho de banda de las señales una vez ensanchadas es
suficientemente grande, la propagación multitrayecto no degrada las
prestaciones del sistema. Es más, puede utilizarse para obtener diversidad de
propagación, con lo el multitrayecto más que un inconveniente pasa a ser una
ventaja, si bien a cambio de una mayor complejidad de los receptores.
- El factor de actividad vocal puede aprovecharse, además de para reducir el
consumo de potencia, como en TDMA, para aumentar el número máximo de
usuarios, cosa que en TDMA es inviable.
- Todos los usuarios utilizan el mismo canal (de banda ancha), con lo que sólo se
requiere un equipo de radio por estación base.
- No se precisa coordinación de frecuencias, al utilizar todos los usuarios el mismo
canal.
- Tampoco hay temporizaciones tan rígidas como en TDMA, aunque a cambio es
necesario un estricto control de la potencia transmitida para el correcto
funcionamiento del sistema.
- Permite un traspaso suave (soft hand-off), en el que un móvil es atendido a la vez
por varias células distintas durante el proceso de traspaso (“make-beforebreak”), mientras que en TDMA el traspaso de una célula a otra es brusco
(“break-before-make”).
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
6
- En CDMA las características del sistema se degradan progresivamente al
aumentar el número de usuarios del sistema, mientras que en TDMA el límite es
rígido.
- Permite la existencia de sistemas analógicos en la misma banda de frecuencias,
con ciertas limitaciones, lo que puede facilitar la transición de un sistema
analógico a uno digital con CDMA.
- La técnica TDMA tiene la ventaja de ser un método de acceso actualmente bien
desarrollado, sobre el que se tiene una gran experiencia.
CAPÍTULO 2:
SISTEMAS DE COMUNICACIONES
BASADOS EN CDMA
El objetivo de este capítulo es dar una visión global de los sistemas CDMA y los
aspectos que deben tenerse en cuenta en su diseño. Algunas de las cuestiones que
veremos se tratarán con más profundidad en capítulos posteriores, pero es importante
que éstas queden perfectamente enmarcadas antes de entrar en un estudio detallado.
En primer lugar introduciremos las técnicas de espectro ensanchado, en las
cuales se basa el método de acceso CDMA. A continuación comentaremos brevemente
las características de los canales encontrados en comunicaciones móviles, las cuales
condicionan en buena medida el diseño de los sistemas. Las técnicas para evitar los
efectos del multitrayecto nos llevarán al concepto de diversidad por multitrayecto, que
puede emplearse en sistemas CDMA para mejorar las prestaciones. Después entraremos
ya en los principios de la técnica de acceso CDMA, centrándonos en su aplicación a
sistemas celulares, y describiremos la estructura general de un sistema de estas
características. Destacaremos los aspectos que más relevancia tienen para el
funcionamiento del sistema, los cuales serán objeto de análisis en capítulos posteriores.
2.1. ESPECTRO ESACHADO
Se denominan sistemas de espectro ensanchado (SS, Spread Spectrum) aquéllos
en los que el ancho de banda de la señal transmitida es mucho mayor que el mínimo
necesario para transmitir la información. Este ensanchamiento del espectro se lleva a
cabo mediante una señal denominada código, que es independiente de la señal de
información. Para recuperar la información en el receptor es necesario conocer la señal
de código utilizada.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
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2.1.1. Tipos de técnicas de espectro ensanchado
Hay tres variantes de espectro ensanchado:
- técnicas de saltos de frecuencia (FH, Frequency Hopping)
- técnicas de saltos de tiempo (TH, Time Hopping)
- técnicas de secuencia directa (DS, Direct Sequence)
En las técnicas de espectro ensanchado FH modulamos con la señal de
información una portadora cuya frecuencia hacemos variar según un patrón establecido.
Este patrón es lo que constituye en este caso la señal de código. El receptor podrá
recuperar la señal de información siempre que conozca este patrón de saltos de
frecuencia.
El fundamento de las técnicas TH es semejante al de las anteriores, pero los
saltos no se producen en frecuencia sino a lo largo de intervalos de tiempo dentro de una
trama temporal.
En las técnicas de espectro ensanchado DS se multiplica la señal de información
por una señal de código de ancho de banda mucho mayor. El ancho de banda de la señal
resultante es prácticamente el de la señal código, con lo que logramos el
ensanchamiento deseado. En el receptor se lleva a cabo la misma operación, es decir, se
multiplica la señal de ensanchada recibida por una réplica de la señal de código.
Haciendo esto recuperamos la señal de información, lista para su demodulación.
En los tres casos queda claro que es necesario que el receptor tenga
conocimiento de la señal código para poder recuperar la información. Para ello podemos
- transmitir esta señal de referencia al receptor (transmitted reference), o bien
- convenir qué señal vamos a usar, con lo que no hará falta transmitirla (stored
reference), aunque sí habrá que prever un mecanismo para que el receptor pueda
sincronizar su réplica de la señal código con la utilizada por el transmisor.
Puesto que en los sistemas de comunicaciones móviles actuales que emplean
CDMA se utiliza casi exclusivamente la modalidad de secuencia directa, nos
referiremos exclusivamente a ésta.
LUIS MENDO TOMÁS
9
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
2.1.2. Sistema DS-SS
En la figura 2.1 se puede ver un diagrama de bloques simplificado del transmisor
y receptor de un sistema DS-SS con modulación BPSK:
Modulador
BPSK
d(t)
x(t)
Demodulador
BPSK
x(t)
g(t)
d$ ( t )
g(t)
(a) Transmisor
(b) Receptor
FIGURA 2.1. Sistema DS-SS BPSK.
Sea {Dn} la secuencia de símbolos (bits) de información y {Gm} la secuencia de
código, con Dn y Gm ∈ {1,−1}. A partir de estas secuencias construimos las señales d(t)
y g(t):
∞
d (t ) =
∑D u
n
S
(t − nTS )
(2-1)
n=−∞
∞
g (t ) =
∑G
m
uC (t − mTC ) ,
(2-2)
m=−∞
siendo uS(t) y uC(t) pulsos rectangulares sin vuelta a cero (NRZ) de amplitud unidad y de
duración TS y TC respectivamente, como indica la figura 2.2. La duración de los pulsos
de d(t), TS, es el periodo de símbolo. Los pulsos de g(t) son mucho más cortos y se
denominan chips. Su periodo, TC, se elige de modo que TS/TC sea un número natural C,
que representa el número de chips por símbolo.
uS(t)
uC(t)
1
1
TC
TS
FIGURA 2.2. Pulsos de símbolo y de chip.
La señal ensanchada en banda base m(t) se obtiene multiplicando la señal de
información d(t) por la señal de código g(t):
m( t ) = d (t ) g (t )
Es fácil ver a partir de (2-3), (2-1) y (2-2) que m(t) puede expresarse de la forma
(2-3)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
10
∞
m( t ) =
∑M
m
uC (t − mTC ) ,
(2-4)
m=−∞
siendo { Mm } la secuencia definida como
M m = G m D m/C  ,
(2-5)
donde el operador   representa la parte entera de un número. Es decir, { Mm } se
obtiene como el producto de las secuencias {Dn} y {Gm} pero teniendo en cuenta que la
secuencia de código es C veces “más rápida” que la de información.
La señal transmitida x(t) se obtiene modulando m(t) en amplitud una portadora
de frecuencia fc:
x ( t ) = Am( t ) cos 2πf c t = Ad ( t ) g (t ) cos 2πf c t
(2-6)
La señal paso bajo equivalente de x(t), s(t), será:
s(t ) = Ad ( t ) = Ad (t ) g (t ) ;
(2-7)
x (t ) = Re[ s(t )e 2πf ct ]
(2-8)
Obsérvese que hemos podido considerar {Dn}, {Gm}, d(t) y g(t) reales porque utilizamos
modulación binaria antipodal; en general habría que trabajar con valores complejos.
Si la secuencia {Dn} es incorrelada y de media nula, el espectro de potencia de
d(t) puede ponerse como
Gd ( f ) =
σ D2
TS
|U S ( f )|2 ,
(2-9)
siendo σ D2 la varianza de la secuencia {Dn} y US(f) la transformada de Fourier del pulso
uS(t), definido en la figura 2.2. Puesto que Dn vale ±1 para todo n y {Dn} es de media
nula, σ D2 =1. Calculando además US(f), nos queda:
Gd ( f ) = TS sinc 2 ( fTS )
(2-10)
La secuencia código {Gm} es una secuencia determinista; sin embargo, a efectos de
conocer la forma del espectro de potencia de la señal ensanchada m(t) podemos
considerar {Gm} como una secuencia aleatoria con las mismas hipótesis que { Dn }. Así,
{ Mm } resulta ser también incorrelada y de media nula, y el espectro de potencia de m(t)
puede calcularse de forma análoga al de s(t), obteniéndose:
Gm ( f ) = TC sinc 2 ( fTC )
En la figura 2.3 se muestran las formas de estos dos espectros de potencia.
(2-11)
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TS
11
Gm(f)
Gd(f)
TC
-1/TC
-1/TS
0
1/TS
1/TC
FIGURA 2.3. Espectros de potencia en DS-SS.
Puede observarse cómo la secuencia código ha ensanchado el espectro de la señal d(t),
de ancho de banda B = 1/TS, a una banda mucho mayor W = 1/TC. Como la potencia de
la señal ensanchada m(t) es la misma que la de la señal original d(t), al ensancharse el
espectro la magnitud del mismo se ha reducido en un factor TS/TC.
En recepción debemos desensanchar el espectro para recuperar la señal original.
Para ello basta multiplicar s(t) por g(t) otra vez, pues así, teniendo en cuenta que
[g(t)]2 = 1, recuperamos una señal proporcional a d(t). A continuación, como indica la
figura 2.1, esta señal se demodula con las técnicas habituales, utilizando un correlador o
filtro adaptado a uS(t). Aunque estos dos procesos, desensanchamiento y filtrado, se han
representado como dos bloques diferenciados en la figura 2.1, pueden unificarse
utilizando un filtro adaptado directamente al pulso ensanchado.
En general, si en vez de BPSK tenemos una modulación M-PSK o QAM, g(t)
puede ser compleja. En este caso elegiremos |g(t)| = 1, y para estrechar el espectro
multiplicaremos no por g(t) sino por g*(t); así, teniendo en cuenta que
g(t)g*(t) = |g(t)|2 = 1, conseguimos recuperar la señal original.
En la práctica siempre se utilizan secuencias de código {Gm} periódicas, con un
cierto periodo $, el cual puede coincidir o no con C. g(t) será también periódica, con
periodo $TC.
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12
2.1.3. Ventajas de las técnicas de espectro ensanchado (DS)
¿Qué interés puede tener ocupar un ancho de banda mucho mayor que el
necesario, siendo éste un recurso tan escaso? Explicamos a continuación brevemente
algunas ventajas de los sistemas de espectro ensanchado respecto a los sistemas
convencionales. Nos referiremos sólo a las técnicas de secuencia directa, DS.
Reducción de la densidad espectral de potencia
Al ensanchar, la potencia de la señal se reparte en una banda mucho mayor, lo
que hace que la densidad espectral de potencia disminuya, como indica la figura 2.3. Un
receptor no autorizado tendrá dificultad para detectar la presencia de la señal, pues ésta
quedará confundida con el ruido. El destinatario en cambio puede recuperar fácilmente
la señal, pues dispone de la secuencia código. Esta propiedad de las señales SS se
denomina baja probabilidad de detección, LPI (Low Probability of Intercept). Por
extensión, se aplica este nombre también a los sistemas diseñados para hacer uso de esta
característica.
Protección frente a interferencias
Supongamos que s(t), o equivalentemente m(t), va acompañada de una señal
interferente de banda estrecha i(t). Al multiplicar por g(t) en recepción para recuperar
d(t), la señal i(t) será expandida en frecuencia, de la misma forma que d(t) fue expandida
en el transmisor. Esto reparte la potencia de la señal interferente en una banda muy
grande, reduciendo su densidad espectral de potencia. A continuación tenemos el
demodulador, que incluirá un filtro adaptado a la señal d(t), con el objeto de filtrar
cuanto sea posible el ruido o la interferencia que la acompaña. Como la interferencia se
ha repartido en una banda muy grande, es eliminada en gran medida por este filtro,
quedando sólo la parte que cae en la banda de frecuencias de d(t).
El grado en que la interferencia es rechazada en el receptor se mide con la
denominada ganancia de procesado, GP.. Sea Ient la potencia de la señal interferente,
cuyo ancho de banda suponemos igual al de la señal deseada, B. Tras multiplicar por
g(t) la señal interferente tiene la misma potencia pero repartida en un ancho de banda
mayor W. Suponiendo que la densidad espectral resultante es aproximadamente plana, y
teniendo en cuenta que el ancho de banda del filtro adaptado será igual al de la señal
d(t), es decir, B, la parte de potencia interferente a la salida del filtro, Isal, será:
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13
B
I ,
W ent
(2-12)
I ent W TS
= =
=C
I sal B TC
(2-13)
I sal =
de donde
GP =
Conviene recalcar que la ganancia de procesado, tal y como la hemos definido, expresa
el rechazo a la interferencia que se consigue cuando la densidad espectral de potencia de
ésta una vez expandida por el receptor es aproximadamente plana. Esto es así cuando la
interferencia captada, antes de ensanchar, es de banda estrecha; si la interferencia es otra
señal de banda ensanchada el grado de rechazo dependerá de la correlación entre las
secuencias código implicadas, y puede coincidir o no con la ganancia de procesado
(puede ocurrir por ejemplo que estas secuencias sean ortogonales y entonces el rechazo
es total).
Las interferencias que recibe el sistema pueden ser accidentales o intencionadas.
Debido a la protección frente a las interferencias inherente a los sistemas de espectro
ensanchado, dichos sistemas son muy difíciles de corromper, y por tanto muy seguros.
Por ello inicialmente sus aplicaciones se centraron en las comunicaciones militares.
Resolución temporal y protección frente a multitrayecto
El retardo de propagación que experimenta un pulso al atravesar un cierto canal
es proporcional a la distancia recorrida en el canal. Esto nos sugiere un método para
medir distancias, que es el que se utiliza en sistemas radar. La incertidumbre en el
retardo del pulso es inversamente proporcional al ancho de banda del mismo, pues un
ancho de banda pequeño equivale a una dispersión del pulso en el tiempo. Según esto, si
queremos tener una buena resolución temporal, y por tanto una buena resolución en
distancia, se requiere un ancho de banda elevado. Éste se puede conseguir:
- utilizando pulsos muy estrechos y suficientemente separados
- utilizando pulsos modulados con una señal de código que cumpla unas ciertas
propiedades de autocorrelación.
En el caso de canales multitrayecto la señal deseada va acompañada en recepción
de réplicas retardadas de la misma. En sistemas convencionales estos ecos se combinan
causando desvanecimientos muy profundos e interferencia entre símbolos. Pero si
utilizamos señales con una resolución temporal suficientemente fina podemos separar
las componentes debidas al multitrayecto, evitando estos problemas. Para tener la
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14
resolución temporal necesaria el ancho de banda de la señal debe ser mayor que el
denominado ancho de banda de coherencia del canal, según veremos en el capítulo 3.
Además, al separar las réplicas de la señal, no sólo evitamos que interfieran, sino que
podemos combinarlas y conseguir una forma de diversidad. Volveremos sobre este
punto al tratar las técnicas de diversidad.
Acceso múltiple por división de código (CDMA)
Como sabemos, la técnica de acceso múltiple CDMA se basa en la utilización de
señales de espectro ensanchado. Los usuarios transmiten en toda la banda de frecuencias
y de una forma continua, y la separación de las señales en recepción se consigue gracias
a las propiedades de rechazo de interferencias propia de las señales SS. Sin embargo,
ahora las interferencias no son señales de banda estrecha, sino señales ensanchadas
semejantes a la señal útil x(t), y el rechazo depende de las propiedades de correlación
cruzada de las secuencias código utilizadas. Los sistemas CDMA se clasifican en
función de estas propiedades.
2.2. EL CAAL RADIOELÉCTRICO MÓVIL
En general, el canal radioeléctrico con que nos encontramos en los sistemas
móviles se caracteriza por:
- variación temporal de las características del canal, que origina desvanecimientos
lentos
- multitrayecto, que puede producir desvanecimientos rápidos y selectividad en
frecuencia
Las variaciones en el comportamiento canal se producen en primer lugar porque
la distancia entre los terminales transmisor y receptor no es fija, lo cual hace que varíe la
atenuación experimentada por la señal de radio en su trayecto desde uno hasta otro.
Además, la atenuación del trayecto se ve influida por la presencia a lo largo del mismo
de diversos obstáculos, que pueden producir ensombrecimiento (shadowing) y
difracción de las ondas radioeléctricas. Esto da lugar a desvanecimientos lentos, planos
(es decir, no selectivos en frecuencia) y en general no muy profundos.
La presencia de obstáculos también produce reflexiones y dispersiones en las
ondas, de forma que la señal puede llegar al receptor por diferentes caminos, fenómeno
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15
conocido como multitrayecto. Las réplicas multitrayecto se reciben con diferentes
retardos y desfases relativos. Al combinarse, estas réplicas dan lugar a dos tipos de
efectos:
- los diferentes retardos con que se reciben las mismas dan lugar a un carácter
selectivo en frecuencia del canal, el cual, para sistemas digitales, se traduce en el
dominio del tiempo en interferencia entre símbolos
- por otro lado, los desfases entre las componentes, al variar en el tiempo,
ocasionan desvanecimientos en el nivel de señal. Estos desvanecimientos
pueden llegar a ser muy profundos, cuando se sumen en oposición de fase
componentes de amplitudes parecidas. Además, estos desvanecimientos
producidos por multitrayecto son mucho más rápidos que los descritos en el
párrafo anterior. La razón es que la interferencia constructiva o destructiva de las
diferentes componentes depende de las fases relativas de las mismas, y estas
fases son muy sensibles a las variaciones de la distancia asociada a cada
trayecto, de manera que un pequeño desplazamiento del terminal o una pequeña
modificación en los obstáculos responsables del multitrayecto pueden hacer que
el nivel de la señal resultante varíe mucho.
Estos dos efectos desaparecen si tenemos algún medio para separar en recepción
las diferentes réplicas multitrayecto; tal es el caso de las señales de espectro ensanchado
en canales selectivos en frecuencia, como veremos en el capítulo 3.
Las características del canal pueden describirse por medio de algunos
parámetros. El margen de valores del retardo para los cuales se produce multitrayecto es
aproximadamente la denominada dispersión del retardo o delay spread del canal, Tm. El
denominado ancho de banda de coherencia del canal, (∆f)c, da una idea del carácter
selectivo del mismo, y está relacionado con el parámetro anterior, puesto que ambos
efectos tienen la misma causa: el multitrayecto. Por otro lado, las variaciones temporales
del canal se caracterizan con otros dos parámetros, el tiempo de coherencia, (∆t)c, y el
ancho de banda Doppler, Bd, también relacionados entre sí. En el capítulo 3
estudiaremos la caracterización del canal por medio de estos parámetros.
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16
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2.3. ITERFERECIA ETRE SÍMBOLOS Y DESVAECIMIETO
MULTITRAYECTO
En el diseño de un sistema de comunicaciones en canales móviles nos
enfrentamos a dos problemas: variación temporal del canal y presencia de multitrayecto.
En cuanto al primero, si suponemos que
( ∆t ) c >> TS ,
(2-14)
las características del canal pueden considerarse aproximadamente constantes durante
un periodo de señalización, y podemos resolver el problema sin más que estimar la
respuesta del canal con una periodicidad suficiente.
En cuanto al multitrayecto, puede dar lugar a interferencia entre símbolos y,
unido a la variación temporal del canal, a desvanecimientos multitrayecto, como hemos
explicado en el punto anterior 2.2.
En general, la interferencia entre símbolos (ISI) consiste en que el pulso se
deforma, se alarga y deteriora el pulso del intervalo siguiente, y es consecuencia de la
selectividad en frecuencia del canal. La ISI degrada rápidamente la probabilidad de
error. En nuestro caso el alargamiento de los pulsos se debe a las réplicas que llegan al
receptor a través de los múltiples trayectos; éstas réplicas aumentan la duración del
pulso recibido en un valor que podemos considerar aproximadamente igual a la
dispersión temporal del canal, Tm.
La ISI puede tratar de compensarse o evitarse. Para compensarla es necesario
ecualizar la respuesta del canal, logrando una respuesta total plana. Esta ecualización
debe ser adaptativa, debido a las variaciones en el canal. Para evitar la ISI es necesario
lograr que el alargamiento de los pulsos no afecte al intervalo siguiente, mediante una
elección adecuada de la forma de los mismos, la cual determina el ancho de banda
ocupado por la señal.
Supongamos que se transmiten pulsos rectangulares de anchura TA ≤ TS, siendo
TS el periodo de símbolo. Entonces, para evitar la ISI deberá cumplirse:
TA + Tm ≤ TS
(2-15)
En la figura 2.4.a) se muestra gráficamente esta restricción. Hay dos casos extremos:
- si utilizamos pulsos muy anchos el alargamiento de los mismos, Tm, será
despreciable frente a su anchura TA, con lo que el periodo de símbolo mínimo
sin ISI será igual a la anchura del pulso:
TA ≤ TS
(TA >> Tm )
(2-16)
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17
En otras palabras: si usamos pulsos de anchura igual al periodo de símbolo, el
ancho de banda de la señal, y por tanto la velocidad de símbolo, debe ser mucho
menor que el ancho de banda de coherencia del canal. El periodo de símbolo
está limitado por TA. En la figura 2.4.b) se muestra la situación. En estas
condiciones, reduciendo TA podemos permitir periodos de símbolo TS menores,
siempre que la anchura del pulso se mantenga suficientemente por encima de Tm.
La eficiencia espectral es constante, ya que aumentan en la misma medida la
velocidad de símbolo y ancho de banda.
- para pulsos muy estrechos, es decir, TA muy pequeña, la restricción de no ISI se
transforma en:
Tm ≤ TS
(TA << Tm )
(2-17)
Con TA << Tm, si seguimos reduciendo TA no conseguimos disminuir el periodo
de símbolo libre de ISI, pues está limitado por Tm, mientras que la eficiencia
espectral disminuye. En la figura 2.4.c) se muestra la nueva situación.
Los desvanecimientos multitrayecto se deben a interferencias destructivas de las
réplicas originadas por el canal. Dichas interferencias se producen en función de los
desfases con que las réplicas lleguen al receptor.
Con los pulsos considerados, la única forma de reducir la incidencia de los
desvanecimientos multitrayecto sería utilizar TA muy pequeñas para intentar que las
diferentes componentes recibidas no coincidan en el tiempo, como sucede en la figura
2.4.c). Cuanto menor sea TA mayor resolución temporal lograremos y más protección
frente a los desvanecimientos.
Supongamos ahora que utilizamos pulsos modulados internamente por una
secuencia código constituida por chips de periodo TC << Tm. En este caso, eligiendo una
secuencia código con buenas propiedades de autocorrelación, las réplicas recibidas
pueden separarse temporalmente, con una resolución limitada a TC. Esta separabilidad
proporciona protección frente a los desvanecimientos por multitrayecto (se reduce la
posibilidad de interferencia de réplicas) y prácticamente elimina la ISI (el alargamiento
de un pulso no modifica sustancialmente las características del siguiente). Este caso es
semejante al de pulsos convencionales con TA << Tm, con la diferencia de que ahora no
se requiere Tm ≤ TS, si bien esta condición se suele dar en la práctica. La figura 2.4.d) da
una idea de la forma de los pulsos.
Resumiendo la discusión anterior, si estrechamos suficiente los pulsos
manteniendo el periodo de símbolo mayor que el tiempo de dispersión multitrayecto del
canal, los ecos de cada pulso no se extenderán más allá de un periodo de símbolo, con lo
que no tendremos ISI. Por otro lado, al ser los pulsos muy estrechos tendremos una gran
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18
resolución temporal, con lo cual podremos distinguir hasta cierto punto las componentes
multitrayecto, mitigando los desvanecimientos. Ahora bien, puede conseguirse el mismo
efecto utilizando pulsos modulados internamente por una secuencia código adecuada
con chips muy estrechos. Podemos generalizar de la siguiente manera: para aumentar la
resolución temporal hay que aumentar el ancho de banda de la señal; esto puede
conseguirse bien disminuyendo la anchura del pulso o bien por otros procedimientos.
Este principio es de sobra conocido por los diseñadores de equipos radar (compresión de
pulsos), que para aumentar la resolución normalmente utilizan pulsos modulados
internamente, en vez de pulsos muy estrechos (por limitaciones de potencia de pico de
los transmisores). En nuestro caso aumentamos el ancho de banda utilizando pulsos
codificados, es decir, modulados por una secuencia código formada por subpulsos o
chips. Para que este método sea efectivo la secuencia código debe cumplir unas
determinadas propiedades de autocorrelación, con el fin de que las componentes
desplazadas puedan efectivamente separarse.
TA
Tm
TS
(a) Pulsos sin codificar, caso general
TA
Tm
TS mín ≈ TA
(b) Pulsos sin codificar, Tm << TA
FIGURA 2.4. (continúa en la página siguiente)
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TA
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19
Tm
TS mín ≈ Tm
(c) Pulsos sin codificar, TA << Tm
TC
Tm
(d) Pulsos codificados con TC << Tm
FIGURA 2.4. Formas de evitar la ISI y el desvanecimiento
multitrayecto. (a) representa la condición de no ISI en el caso general
para pulsos no codificados; (b) y (c) son casos particulares de (a) con
y sin multitrayecto respectivamente. En (d) se utilizan pulsos
codificados para evitar ambos fenómenos.
2.4. DIVERSIDAD
En los sistemas de comunicación por radio, se llama probabilidad de corte a la
probabilidad de que las características del sistema se degraden por debajo de un umbral
de calidad prefijado. Normalmente esta degradación es consecuencia del fenómeno de
multitrayecto. Para disminuir la probabilidad de corte podemos recurrir a técnicas de
diversidad, que consisten en transmitir la información por varios canales independientes,
de forma que aunque en alguno de ellos se produzca un desvanecimiento podemos
obtener la señal a partir de los otros canales. La probabilidad de corte será ahora la
probabilidad de que se produzca un desvanecimiento suficientemente profundo en todos
los canales a la vez. Si los canales son independientes esta probabilidad será el producto
de las probabilidades individuales, y por tanto mucho más pequeña.
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20
2.4.1. Tipos de diversidad
Pueden idearse muchas formas de conseguir varios canales independientes para
la señal. Las más utilizadas son las siguientes.
Diversidad de frecuencia
La señal de información se transmite en varias portadoras con una separación
mayor que el ancho de banda de coherencia del canal radioeléctrico. Se impone esta
condición de separación mínima con el fin de asegurar que los canales obtenidos sean
independientes. Si utilizamos M canales, el ancho de banda total necesario será M veces
el que requeriría transmitir una sola portadora con la señal modulada, sin contar posibles
bandas de guarda para lograr la separación necesaria. Así, conseguimos mejorar la
calidad del sistema, gracias a la diversidad, a costa de disminuir la eficiencia espectral.
Diversidad de tiempo
La información se repite a lo largo de diferentes intervalos de tiempo con una
separación mayor que el tiempo de coherencia del canal. También aquí se requiere una
separación mínima, igual al tiempo de coherencia del canal, para independizar los
canales, y el precio a pagar por la mejora es una reducción de la eficiencia espectral.
Diversidad de espacio
Utilizamos varias antenas en recepción. Para que los canales se vean afectados
por el desvanecimiento de forma independiente se requiere una separación entre antenas
del orden de varias longitudes de onda. En este caso no ocupamos más espectro pero se
requiere equipo más complejo.
Diversidad angular
Es parecida a la anterior. Utilizamos una antena con varios haces.
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21
Diversidad por multitrayecto
Este tipo de diversidad, que sólo puede conseguirse en canales multitrayecto,
tiene la misma base que los dos primeros que hemos visto: reducir la eficiencia espectral
del sistema, o sea, aumentar el ancho de banda ocupado por la señal sin aumentar la
velocidad de símbolo de la misma.
En el apartado 2.3 hemos visto que las diversas componentes recibidas en un
canal multitrayecto pueden separarse, aunque con resolución limitada, utilizando pulsos
estrechos, de anchura TA << Tm, o, más usualmente, pulsos codificados con TC << Tm.
Ahora bien, estas componentes son réplicas de la señal que provienen de caminos
diferentes, y por tanto podemos considerarlas independientes, lo que nos permite
utilizarlas para obtener una forma de diversidad.
Este tipo de diversidad es muy parecido a la diversidad temporal, sólo que, en
vez de transmitir varias veces el pulso a lo largo de diferentes intervalos de tiempo, las
diferentes réplicas nos las facilita el propio canal multitrayecto. En la diversidad
temporal las diferentes copias debían transmitirse suficientemente separadas para lograr
que fueran independientes; aquí la independencia está asegurada, pero tenemos que
elegir adecuadamente la secuencia código para lograr la separabilidad entre las réplicas.
El receptor diseñado para utilizar este tipo de diversidad de manera óptima es el
denominado receptor RAKE, que estudiaremos en el próximo capítulo.
2.4.2. Procesamiento de la señal recibida
A partir de las diferentes señales recibidas debemos estimar la señal original.
Hay dos formas de hacerlo:
- por selección: elegimos la señal que se reciba con mayor relación señal/ruido.
- por combinación: combinamos coherentemente todas las señales. La manera
óptima de hacerlo es compensar el desfase introducido por el canal en cada señal,
ponderar proporcionalmente al nivel con que se recibe esa señal y sumar todos los
términos así obtenidos. Para hacer esto debemos ser capaces de estimar la respuesta del
canal, lo que no siempre es posible. Esta forma de combinación óptima se llama MRC
(Maximal Ratio Combining), y es la que se utiliza en el receptor RAKE, aunque con
algunas aproximaciones, como veremos en el capítulo 3.
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2.5. SISTEMAS DS-CDMA
Hemos visto que podemos separar componentes multitrayecto utilizando pulsos
codificados internamente en chips según una secuencia código con propiedades
adecuadas. Pues bien, si elegimos adecuadamente un conjunto de secuencias podemos
no sólo separar componentes multitrayecto de una señal dada, sino separar señales
correspondientes a usuarios diferentes. Para ello debemos exigir a la familia de
secuencias código unas ciertas propiedades de correlación cruzada, además de
autocorrelación. A la secuencia código correspondiente a cada usuario a veces se le
llama firma (signature). El número de chips por símbolo, C, corresponde al
ensanchamiento de banda llevado a cabo, esto es a la ganancia de procesado. Cada
usuario transmite ocupando toda la banda y de manera continua en el tiempo; la
separación se consigue gracias a las propiedades de los códigos empleados.
Ésta es la base de los sistemas CDMA de secuencia directa, DS-CDMA. Como
trataremos únicamente sistemas de secuencia directa, a partir de ahora escribiremos
simplemente CDMA, entendiendo que se trata de DS-CDMA. Las características del
sistema dependen primordialmente de las propiedades del conjunto de secuencias
elegido. En la figura 2.5 se muestra simplificadamente la estructura del transmisor y el
receptor correspondientes a una comunicación de referencia; las señales
correspondientes a las demás transmisiones serán señales interferentes:
TRANSMISOR
Fuente
Modulador
Secuencia
código
RECEPTOR
Canal
Ruido e
interferencias
Demodulador
Destino
Secuencia
código
FIGURA 2.5. Esquema simplificado de un sistema DS-CDMA
En el transmisor, el bloque etiquetado como “fuente” incluye la posible codificación de
fuente y de canal. El bloque “modulador” incluye los procesos de ensanchamiento,
utilizando una secuencia código generada por el bloque correspondiente, y modulación
sobre la portadora. El canal modifica la señal transmitida, a través de los fenómenos de
variación temporal y multitrayecto, y añade ruido e interferencias de los demás usuarios
del sistema. En el receptor, el bloque “demodulador” desensancha y demodula la señal
recibida. El desensanchamiento consiste, como sabemos en multiplicar de nuevo por la
secuencia código, o bien por su conjugada. El bloque “secuencia código” del receptor se
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23
encarga de recuperar ésta. La demodulación es llevada a cabo típicamente por un filtro
adaptado seguido de un circuito de decisión. Los efectos de las interferencias y del
multitrayecto son reducidos mediante la acción conjunta del desensanchamiento y el
filtro adaptado. En el caso de un receptor RAKE se aprovecha además éste último para
lograr diversidad de recepción.
2.5.1. Principio de funcionamiento de los sistemas CDMA ortogonales
Supongamos que elegimos las secuencias código de manera que las señales
correspondientes a usuarios distintos sean ortogonales, y por tanto perfectamente
separables. En este caso las señales no interfieren. Es necesario que las señales estén
sincronizadas, ya que no puede lograrse ortogonalidad para desplazamientos arbitrarios
entre las secuencias, y además, por la misma razón, el multitrayecto acaba con la
ortogonalidad. Pero la principal limitación de los sistemas ortogonales es el número de
secuencias código que podemos conseguir, que es igual a C.
Para mostrar el principio de funcionamiento del sistema supondremos
modulación BPSK y prescindiremos del multitrayecto. Trabajaremos con señales paso
bajo equivalentes. Sean d1(t),...,dC(t) las señales de información correspondientes a los C
usuarios, y sean g1(t),...,gC(t) las señales código ortogonales. En CDMA ortogonal las
secuencias código {Gkm } tienen periodo C, o, equivalentemente, las señales código gk(t)
tienen periodo CTC = TS, por lo que duran exactamente un periodo de símbolo (podría
elegirse cualquier periodo $ que fuera divisor de C, pero esto reduciría el número de
secuencias distintas a $). Las señales pertenecientes a estos dos conjuntos serán
bipolares, al ser modulación BPSK, y podemos por tanto considerarlas reales.
Representaremos por Ak la amplitud compleja de la señal paso bajo equivalente recibida
del usuario k. Es decir, el módulo de Ak representa la amplitud y el argumento representa
la fase de la señal. La fase se mide respecto a la portadora de la señal del usuario 1, de
modo que A1 será real (sólo componente en fase). La señal paso bajo equivalente a la
entrada del receptor correspondiente al usuario 1 de referencia se expresa como
r1 ( t ) = A1d1 ( t ) g1 ( t ) ,
(2-18)
y el conjunto de señales recibidas de los C-1 usuarios restantes será:
C
C
∑ r (t ) = ∑ A d
k
k =2
k
k
(t ) gk (t )
k =2
Nótese que todas las señales están sincronizadas.
(2-19)
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24
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En el receptor se multiplica la superposición de todas las señales recibidas por la
secuencia código del usuario de referencia, y a continuación el demodulador integra a lo
largo de un intervalo de símbolo y se queda con la parte real (componente en fase) para
obtener la variable de decisión, que tendrá la forma:
 TS

C
U 1 = Re ∫ g1 ( t ) ∑ Ak d k ( t ) g k ( t ) dt 
k =1
 0

(2-20)
Si las secuencias código son ortogonales, es decir, cumplen la condición
TS
∫ g (t ) g
i
j
(t )dt = 0 ∀i , j ∈ {1,2,... C} con i ≠ j ,
(2-21)
0
todos los términos resultantes de desarrollar el integrando se anulan excepto el
correspondiente a la señal útil, de modo que:
 TS

 TS

2
U 1 = Re ∫ A1d1 ( t ) g1 ( t )  = Re ∫ A1d1 ( t )  = ± A1TS
 0

 0

(2-22)
Las señales no deseadas han sido rechazadas gracias a las propiedades de ortogonalidad,
quedando en la variable de decisión únicamente el término útil.
Con gk(t) complejas el desarrollo sería análogo. En este caso en recepción no se
multiplicaría por g1 ( t ) sino por g1* ( t ), y los códigos deberían cumplir
TS
∫ g (t ) g
i
*
j
(t )dt = 0 ∀i , j ∈ {1,2,... C} con i ≠ j ,
(2-23)
0
que es la condición de ortogonalidad para señales en general complejas de periodo TS.
2.5.2. Principio de funcionamiento de los sistemas CDMA no ortogonales
Supongamos ahora que no buscamos la ortogonalidad (que de todas formas se
perdería por el multitrayecto), sino que admitimos un cierto grado de interferencia entre
las señales de usuarios distintos, las cuales ya no se mantienen sincronizadas entre sí. La
señal útil será:
r1 ( t ) = A1d1 ( t ) g1 ( t )
(2-24)
En cuanto a las interferentes, hay que tener en cuenta que el número de máximo de
secuencias ya no tiene por qué ser C como en el caso ortogonal. Además el periodo de
LUIS MENDO TOMÁS
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25
las secuencias ya no tiene por qué coincidir con C. Llamando K al número de usuarios
del sistema, la suma de señales interferentes se expresará como:
K
K
k =2
k =2
∑rk (t ) = ∑ Ak d k (t − τ k ) g k (t − τ k )
(2-25)
Puesto que ahora no exigimos sincronismo, las señales interferentes aparecen con
retardos aleatorios τk respecto a la de referencia.
La variable de decisión en el receptor se calcula igual que antes, integrando la
superposición de señales recibidas a lo largo de un periodo de símbolo de la señal de
referencia. Pero debemos tener en cuenta dos diferencias respecto al caso anterior:
- como las señales no están sincronizadas, un intervalo de símbolo de la señal de
referencia se corresponde en general con partes de dos símbolos consecutivos
del usuario k
- al no haber ya ortogonalidad, los términos correspondientes a los demás usuarios
no se anulan, apareciendo un residuo de interferencia en el receptor.
En la figura 2.6. se muestra la posición relativa de las señales. Denotamos por D1n el
valor (1 ó -1) del símbolo correspondiente a un cierto intervalo n de la señal útil, r1(t), y
por Dkn y Dkn−1 los correspondientes a la señal del usuario k, rk(t), que coinciden en el
tiempo con ese intervalo de referencia.
D1n
τk
Dkn−1
Dkn
FIGURA 2.6. Interferencia de señales no sincronizadas.
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26
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Según esto, la variable de decisión en el intervalo n se expresa como:
 ( n+1) TS
K

 
n
U 1 = Re ∫ g1 ( t ) A1d 1 ( t ) g1 ( t ) + ∑ Ak d k ( t − τ k ) g k ( t − τ k )  dt  =

 
k =2
 nTS
( n +1) TS
 ( n+1) TS

K
2

= Re ∫ A1d 1 ( t ) g1 ( t ) dt + ∑ ∫ Ak d k ( t − τ k ) g 0 ( t ) g k ( t − τ k ) dt  =
k =2
 nTS

nTS
(2-26)
K
= D A1TS + Re( Ak ) TS ∑ε kn
n
1
k =2
siendo ε kn el término de interferencia de la señal del usuario k sobre la del usuario 1:
n
k
n −1
k
ε =D
1
TS
nTS +τ k
1
∫ g1 (t ) g k (t − τ k )dt + D T
S
nTS
n
k
( n +1) TS
∫ g (t ) g
1
k
( t − τ k ) dt
(2-27)
nTS +τ k
Como vemos, aparece una interferencia total cuya importancia es proporcional al
número de usuarios. Observamos también que la interferencia producida por cada
usuario k depende de la amplitud Ak, concretamente de su parte real. Puesto que la fase
relativa de las señales recibidas, esto es, de las Ak, es aleatoria, en general cuanto mayor
sea |Ak| más interferencia producirá la señal rk(t) en nuestro receptor. Éste es un efecto,
que no teníamos en el caso ortogonal, suele llamarse problema cerca-lejos (near-far), y
obliga a utilizar mecanismos de control de potencia para mantener los niveles |Ak| de
todas las señales recibidas aproximadamente iguales.
En el capítulo 3 ampliaremos este sencillo modelo para tener en cuenta la
propagación multitrayecto.
2.5.3. La técnica de acceso CDMA en sistemas celulares
La exposición que sigue pretende dar una visión general de los tipos de sistemas
CDMA y las diferencias entre los mismos, para lo cual debemos hacer uso de algunos
resultados que justificaremos en los capítulos 4 y 7, dedicados a las secuencias código y
a la capacidad en sistemas CDMA.
Consideremos un sistema CDMA basado en secuencias código ortogonales.
Como sabemos, el número de secuencias, esto es, de canales, está limitado a C. Puesto
que se trata de un número muy reducido, debemos reutilizar los canales (las secuencias
código) cada cierto número de células, igual que en los sistemas clásicos FDMA y
TDMA, que también dividen el espectro en canales ortogonales. La reutilización
provoca interferencia por acceso múltiple. El grado de interferencia tolerable determina
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
27
la distancia mínima de reutilización, y ésta número de células por cluster, o factor de
reutilización. La capacidad por célula viene dada por el número de canales que se
asignan a cada célula, que es igual al total de canales disponibles dividido entre el factor
de reutilización. Por eso se dice que los sistemas ortogonales están limitados por
dimensiones.
Supongamos que eliminamos en el sistema CDMA la condición de
ortogonalidad y utilizamos secuencias código pseudoaleatorias. Aunque en el capítulo 4
precisaremos esta definición, podemos decir que las familias de secuencias
pseudoaleatorias son conjuntos con un número prácticamente ilimitado de secuencias
código no ortogonales. Por un lado, gracias al elevado número de secuencias, podemos
asignar a cada usuario una secuencia código única. Por otro lado, dado que los canales,
esto es, las secuencias código, no son ortogonales, aparece una interferencia por acceso
múltiple debida a la no separabilidad total de las señales correspondientes a usuarios
distintos. El límite de capacidad del sistema queda determinado por el máximo nivel de
interferencia admisible, por lo que se dice que éstos son sistemas limitados por
interferencia. Es importante hacer notar que en los sistemas ortogonales la capacidad
también está limitada en último término por la interferencia, pero de una forma
indirecta, como hemos visto.
Existen, por tanto, dos metodologías a la hora de diseñar un sistema de
comunicaciones en el que intervengan varios usuarios (acceso múltiple):
- sistemas ortogonales o limitados por dimensiones
- sistemas no ortogonales (pseudoaleatorios) o limitados por interferencia
La técnica de acceso múltiple CDMA puede adaptarse a ambas situaciones, en
función de la familia de secuencias código que se utilice. Ahora bien, según
razonaremos en el capítulo 7, en el caso de sistemas celulares la técnica CDMA
pseudoaleatoria resulta más eficiente que las técnicas ortogonales, en el sentido de que
proporciona más capacidad para un mismo grado de calidad, razón por la cual los
sistemas celulares CDMA suelen ser de tipo pseudoaleatorio.
Los sistemas CDMA pueden ser síncronos o asíncronos, según que las señales
correspondientes a los distintos usuarios se mantengan sincronizadas o no. A veces se
identifica CDMA síncrono y asíncrono respectivamente con lo que nosotros hemos
descrito como CDMA ortogonal y pseudoaleatorio. En realidad, un sistema ortogonal
será forzosamente síncrono, o, dicho de otra forma, un sistema asíncrono será
necesariamente no ortogonal; sin embargo, existen sistemas síncronos basados en
señales pseudoaleatorias, y por tanto no ortogonales; tal es el caso del enlace ascendente
en el estándar IS-95.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
28
Algunos autores diferencian las dos variantes de acceso múltiple reservando la
denominación CDMA para el caso ortogonal y utilizando el nombre SSMA para el
pseudoaleatorio. Nosotros hablaremos en los dos casos de CDMA, precisando cuando
sea necesario.
2.6. ESTRUCTURA DE U SISTEMA MÓVIL CELULAR BASADO E CDMA
Una vez visto el fundamento de las técnicas de acceso múltiple CDMA, en este
apartado a vamos a esbozar la arquitectura y el funcionamiento de un sistema móvil
celular con CDMA. Por supuesto, cada sistema real tendrá sus particularidades, pero hay
una serie de características que se derivan del propio concepto CDMA y que por tanto
vamos a encontrar en cualquier sistema de este tipo. Nuestro propósito es poner de
manifiesto cuáles son estas características, así como adquirir una visión general de la
estructura del sistema, necesaria para poder afrontar, en capítulos posteriores, el análisis
detallado de algunos de estos aspectos.
2.6.1. Aspectos comunes a todos los sistemas celulares
En cualquier red celular, la región objetivo se recubre con un entramado de
células, cada una de las cuales tiene asociada una estación base que da servicio a las
estaciones móviles que se encuentren dentro de su zona de cobertura. Las estaciones
base se conectan entre sí mediante las centrales de conmutación de la red móvil. Aunque
la forma óptima de las células es la hexagonal, en la práctica no es posible lograr esa
forma. La superficie de la célula es aproximadamente circular, aunque depende de las
condiciones de propagación e incluso, en sistemas celulares CDMA, de la carga del
sistema, como veremos. La red se constituye mediante dos tipos de enlaces:
- Enlaces móvil-base y base-móvil, que deben realizarse por radio. Son los que
dan al sistema la característica de movilidad.
- Enlaces desde las estaciones base a las centrales de conmutación de la red móvil,
de las centrales de conmutación entre sí y enlaces que permiten la conexión con
otras redes, como la red telefónica fija.
En la figura 2.7 se muestra esta estructura.
LUIS MENDO TOMÁS
29
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Estación
móvil
Estación
base
Central de
conmutación
de la red móvil
Estación
móvil
Estación
base
Conexión
con otras
redes
Enlaces fijos
Enlaces móviles
FIGURA 2.7. Estructura de un sistema móvil celular.
En sistemas clásicos (ortogonales) la interferencia cocanal obliga a organizar los
canales siguiendo una estructura de racimos o clusters. En sistemas CDMA
pseudoaleatorios no hay necesidad de agrupar las células en clusters, por lo que a veces
se dice que en estos sistemas se tienen clusters de una sola célula. El dimensionamiento
de un sistema celular se lleva a cabo en función del máximo tráfico por célula que se
quiera cursar, el cual se fija normalmente a partir de medidas o estimaciones del tráfico
ofrecido por el total de estaciones móviles dentro de la célula.
Para atender necesidades de tráfico crecientes se puede recurrir a disminuir el
tamaño de las células. Así aumenta el número de células para cubrir la misma zona y por
tanto el tráfico total que es posible atender, para una capacidad por célula fija. Además
un radio celular más pequeño implica menores pérdidas de propagación, con lo que
favorecemos la penetración en túneles o edificios, o bien podemos permitir terminales
de menor potencia. La contrapartida de la reducción del tamaño celular es que, al
aumentar el número de células, se incrementa el número de estaciones base y de enlaces
desde éstas hasta las centrales de conmutación de la red móvil; en definitiva, se
complica la estructura fija de la red. También aumenta el número de traspasos de
llamadas entre células, o hand off's (también llamados hand over's), al ser éstas más
pequeñas.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
30
Normalmente la densidad de tráfico no es homogénea, lo que se refleja en la
existencia de células de diferente tamaño dentro del sistema. Las zonas de baja densidad
de tráfico, como las zonas rurales, se cubren con células grandes, mientras que en zonas
de gran densidad de tráfico se disponen células más pequeñas, llamadas microcélulas.
La evolución puede ser gradual, en el sentido de que las células de una zona
inicialmente con poca carga pueden dividirse en células más pequeñas según las
necesidades de tráfico.
Los canales se dividen en canales de tráfico y canales que genéricamente
podemos llamar de señalización, incluyendo en este grupo canales piloto, de
sincronización, de acceso y de búsqueda (paging). Los canales de tráfico son aquéllos a
través de los cuales transcurre la comunicación entre los usuarios, ya sea ésta vocal, de
datos o de cualquier índole. La finalidad de los canales de señalización es servir de
soporte para transmitir informaciones complementarias a la comunicación entre los
usuarios, y sin las cuales aquélla no podría establecerse, como son: registro y
localización de los móviles, origen y liberación de llamadas, traspasos de las mismas.
El desarrollo de una comunicación en estos sistemas es, a grandes rasgos, como
sigue. Cuando un usuario de la red móvil inicia una llamada, la estación móvil envía un
mensaje a la estación base, la cual asigna un canal de tráfico al móvil e informa del
número del destinatario a la central de conmutación. Ésta se encarga de localizar la
estación destino, que puede pertenecer a ésta o a otra red, por ejemplo la red telefónica
fija, y encaminar la llamada. El proceso es semejante para llamadas originadas fuera de
la red con destinatario perteneciente a la misma. Cuando esta operación se ha efectuado
con éxito se envían las correspondientes señales a cada uno de los usuarios, se asignan
canales de tráfico, si no se han asignado antes, y la comunicación tiene lugar. En algún
momento uno de los dos usuarios dará por terminada la comunicación. Si éste pertenece
a la red, la estación móvil transmitirá una nueva señal de control para liberar la
conexión. En caso contrario la señal de control procederá del exterior de la red.
2.6.2. Aspectos de diseño de un sistema celular CDMA
En un sistema celular CDMA, las formas de onda deben elegirse adecuadamente
para hacer frente a las dos causas de degradación que se encuentran en todo sistema
móvil celular: multitrayecto y presencia de otros usuarios. Aunque las técnicas de
espectro ensanchado permiten mitigar estos dos impedimentos, hay un residuo de
interferencia que, como ya sabemos, determina las prestaciones del sistema.
Básicamente, tenemos:
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
31
- Interferencia de los demás usuarios del sistema, o interferencia de acceso
múltiple (multiple access interference). Es consecuencia de la no ortogonalidad
entre señales correspondientes a usuarios distintos. Para reducirla se requieren
códigos de correlación cruzada baja.
- Interferencia producida por las réplicas multitrayecto de la propia señal, o
interferencia por multitrayecto (interpath interference). Se debe a la no
ortogonalidad de las réplicas desplazadas de una misma señal y a la resolución
temporal limitada. La interferencia se minimiza utilizando secuencias código
con autocorrelación para desplazamiento no nulo lo más baja posible.
Debemos elegir las secuencias código de acuerdo con los dos requerimientos
anteriores. Aunque de una forma poco precisa, podemos decir que el número de
secuencias código diferentes que pretendemos encontrar influye en las características de
las mismas, de modo que cuanto mayor es el número de familias de la secuencia peores
características tienen éstas. El análisis que realizaremos en el capítulo 4 permitirá
expresar esto de una forma más rigurosa, y precisaremos en qué sentido “empeoran” las
características. Según la afirmación anterior, en el caso de un sistema limitado por
dimensiones buscaremos una familia ortogonal, que tendrá un número muy reducido de
secuencias; por el contrario, en un sistema del tipo limitado por interferencia
buscaremos un gran número de secuencias distintas y no seremos muy exigentes en
cuanto a sus propiedades de correlación. Como ya hemos comentado, esta segunda
opción es la que suele utilizarse en sistemas celulares CDMA.
Para lograr enlaces dúplex entre la estación móvil y la estación base se utilizan
dos canales símplex. Además de los procedimientos de separación habituales, es decir,
por frecuencia (frequency division duplex, FDD) o por tiempo (time division duplex,
TDD), en CDMA podríamos pensar en una separación por división de código; sin
embargo, se suele utilizar FDD, estableciendo una banda de frecuencia para cada sentido
de transmisión. Estas dos bandas se encuentran normalmente separadas varias decenas
de MHz, lo que tiene implicaciones en cuanto al funcionamiento del sistema; en
particular veremos que afecta al control de potencia.
El enlace base-móvil, que se suele denominar enlace descendente (en inglés
down link, o también forward link), tiene dos cualidades importantes:
- Como la estación base transmite todas las señales destinadas a los móviles, éstas
pueden sincronizarse, y por tanto pueden hacerse ortogonales, aunque la
ortogonalidad se pierde con el multitrayecto. Si utilizamos señales ortogonales
tenemos el problema de que van a interferir con las células vecinas, que usarán
las mismas señales. Habrá que idear un método para solventar este problema. En
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32
el caso del estándar IS-95 se utiliza una modulación pseudoaleatoria (realmente
varias) superpuesta a la modulación ortogonal.
- Es factible transmitir una señal piloto para facilitar la demodulación, pues podrá
ser utilizada por todos los móviles, lo que justifica dedicarle una parte
considerable de la potencia de la estación base.
Con estos factores a su favor, el enlace descendente no suele ser crítico.
En el enlace móvil-base o enlace ascendente (up link, reverse link) no podemos
demodular coherentemente, pues para ello cada móvil debería transmitir una señal
piloto, lo que requeriría un gasto excesivo de potencia. Este enlace es típicamente
asíncrono. Suele ser éste el enlace que limita el funcionamiento del sistema.
En sistemas celulares CDMA se utiliza, al igual que en otros sistemas celulares
digitales, codificación de canal, fundamentalmente de tipo convolucional, junto con un
proceso de entrelazado y desentrelazado para independizar los errores de canal.
2.6.3. Particularidades de los sistemas celulares CDMA
A continuación vamos a resumir una serie de características presentes en los
sistemas celulares CDMA pseudoaleatorios.
Control de potencia
Considérese una comunicación correspondiente a un cierto usuario de referencia,
en cualquiera de los dos sentidos, base-móvil o móvil-base. Interesará que la señal tenga
en el extremo receptor un nivel suficiente, pero también hay que tener en cuenta que una
potencia de transmisión excesiva, si bien mejorará la calidad de recepción de nuestra
señal, provocará, debido a la no ortogonalidad de los códigos, un aumento de la
interferencia sobre las demás estaciones. La situación óptima, en el sentido de
maximizar la calidad global, o bien maximizar la capacidad del sistema para una cierta
calidad objetivo, se alcanza cuando todas las señales llegan a los receptores con igual
potencia y además ésta es muy superior al ruido térmico de los receptores. Esta
condición se traduce en una cierta relación portadora/(interferencia+ruido) objetivo.
Para conseguir esto es necesario habilitar un mecanismo de control de potencia, que
contrarreste las fluctuaciones originadas por variaciones de distancia y
desvanecimientos.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
33
Debido a la separación de frecuencias entre las bandas destinadas a los enlaces
descendente y ascendente, un receptor situado en la estación base (enlace ascendente)
puede filtrar las señales transmitidas por las demás estaciones base hacia sus móviles
(enlace descendente), y análogamente las estaciones móviles no son afectadas por las
transmisiones de los demás móviles. Por tanto podemos considerar por separado ambos
enlaces: en el receptor de la estación base encargado de demodular la señal procedente
de una estación móvil dada las únicas interferencias a considerar son las señales
transmitidas por otros móviles, y en un receptor móvil sólo interfieren las transmisiones
de las estaciones base destinadas a los demás móviles del sistema.
Empecemos por el enlace descendente. Todas las transmisiones de la estación
base sufren los mismos desvanecimientos en su camino a la estación móvil considerada,
de modo que si no hubiera más células la relación portadora/interferencia permanecería
constante sin necesidad de tomar ninguna precaución especial. Pero:
- los niveles recibidos de otras estaciones base sí pueden variar en relación con el
de la señal útil, pues ya no sufren los mismos desvanecimientos, debido a que el
camino de propagación es distinto
- además hay que tener en cuenta el efecto del ruido térmico: si la potencia de
señal recibida desciende mucho, por ejemplo debido al efecto de shadowing
producido por obstáculos que se interponen en el camino, el ruido térmico puede
llegar a ser comparable al nivel de interferencia, degradando la comunicación.
Hay que establecer, por tanto, un mecanismo de control de potencia para el enlace
descendente que haga frente a estas variaciones.
En el enlace ascendente la situación es diferente, pues las señales de las
estaciones móviles experimentan atenuaciones independientes en su camino a la base. El
control de potencia en este enlace es más complicado, como se puede intuir. Se suele
estructurar en dos mecanismos diferenciados: control de potencia en bucle abierto y en
bucle cerrado.
El control de potencia en bucle abierto para el enlace ascendente contrarresta
las variaciones a largo plazo, debidas por ejemplo a que el móvil se está alejando de la
estación base, o al shadowing que mencionábamos antes, de manera que la potencia
media recibida se mantiene constante. Funciona de la siguiente manera: la estación base
transmite un canal piloto, y el móvil realiza cada cierto tiempo, típicamente varias
decenas de ms, una medida del nivel recibido de esa señal. Esta medida le sirve para
estimar la atenuación del camino entre las dos estaciones, de modo que si el nivel
recibido disminuye la estación móvil entiende que la atenuación ha aumentado e
incrementa la potencia de la señal que transmite hacia la base. Nótese que el móvil usa
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
34
un canal piloto como referencia, no el canal de tráfico, pues este último se recibirá
aproximadamente con el mismo nivel siempre, por efecto del control de potencia del
enlace descendente.
Resulta evidente que el control de potencia en bucle abierto que acabamos de
describir sólo funcionará si las atenuaciones para los enlaces descendente y ascendente
son iguales, pues el móvil utiliza una medida de la primera para estimar la segunda.
Como los dos enlaces se encuentran separados en frecuencia, este esquema sólo puede
utilizarse para combatir desvanecimientos planos, que suelen ser lentos. No sirve por
tanto para los desvanecimientos multitrayecto, que suelen ser rápidos y selectivos en
frecuencia. Tampoco puede contrarrestar los desvanecimientos de tipo plano para
móviles que se desplazan a velocidades altas, ya que las medidas no se actualizan con la
velocidad suficiente. Además, si hay un desequilibrio entre las cadenas receptora y
transmisora en la estación móvil , ésta puede medir por ejemplo una atenuación más
baja en el enlace descendente de lo que realmente es y transmitir con una potencia
demasiado alta en el ascendente. Para estos efectos no compensables por el control en
bucle abierto se establece otro mecanismo de control, denominado control de potencia
en bucle cerrado, que requiere la colaboración de la estación base.
El control de potencia en bucle cerrado en el enlace ascendente tiene como
misión disminuir las variaciones originadas por desvanecimientos rápidos en el trayecto
móvil-base. La estación base mide, con una constante de tiempo del orden de 1 ms, el
nivel de señal recibida de cada móvil, una vez demodulada ésta, y compara con un nivel
de referencia. A partir del resultado de la comparación se envía una orden a cada móvil
ordenándole aumentar o disminuir la potencia, según proceda. La frecuencia con que la
estación base transmite la orden de ajuste debe ser suficiente para permitir seguir los
desvanecimientos rápidos del canal. Esta orden de ajuste de potencia se combina con la
estimación en bucle abierto de la estación móvil para obtener el valor definitivo de la
potencia transmitida.
El más delicado de los dos mecanismos del enlace ascendente es el control en
bucle cerrado. En el capítulo 6 propondremos y analizaremos un mecanismo de control
de potencia en bucle cerrado para el enlace ascendente.
Detección de la actividad vocal
En el caso de comunicaciones vocales es posible detectar, mediante un
codificador de voz adecuado, los intervalos de tiempo en que el usuario no está
hablando, y reducir el nivel de potencia transmitida durante estos periodos. Esto
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
35
permite, además de ahorrar energía transmitida por los equipos, aumentar la capacidad
de acceso del sistema, ya que el nivel de interferencia producida se reduce en gran
medida, y esta reducción de interferencia se traduce directamente en un aumento de la
capacidad.
Mediante esta técnica, y suponiendo que las comunicaciones cursadas por el
sistema son fundamentalmente vocales, es posible lograr aumentos de la capacidad del
sistema del orden del 100%, como tendremos ocasión de comprobar en el capítulo 6.
Traspaso suave (soft hand-off)
Se denomina traspaso o hand-off al conjunto de acciones que debe llevar a cabo
el sistema, idealmente de manera transparente al usuario, para asegurar la continuidad
de la comunicación cuando un móvil sale de la zona de cobertura de una estación base y
penetra en la de otra.
Los sistemas celulares CDMA permiten un método de hand-off que resulta más
fiable y mas próximo a la deseable transparencia de cara al usuario que el utilizado en
los sistemas clásicos FDMA y TDMA.
En FDMA y TDMA, cuando un móvil penetra en una célula contigua ya no
puede seguir usando el intervalo de tiempo y/o la frecuencia que tenía asignada, pues la
célula vecina utilizará unos recursos distintos a los de la antigua. El sistema debe
asignar a la comunicación unos nuevos recursos para establecer el nuevo enlace. El
proceso de hand-off se inicia cuando la potencia cae por debajo de un cierto umbral,
hecho que se considera indicativo de que se está saliendo de la zona de cobertura de la
célula. Cuando se establece la nueva comunicación la antigua se libera. Este método se
denomina traspaso rígido o hard hand-off.
En CDMA este mecanismo no es realizable. Supongamos que la potencia
recibida empieza a disminuir debido a un obstáculo interpuesto en el camino de
propagación. Mientras se encuentra una nueva célula a la cual traspasar el control, la
potencia transmitida debería aumentar para mantener la calidad en la comunicación,
incrementando la interferencia sobre los otros usuarios, que no son afectados por el
obstáculo. La solución es utilizar un nuevo mecanismo, llamado traspaso suave o soft
hand-off, que se basa en mantener la comunicación con más de una estación base al
mismo tiempo. La estación móvil normalmente sólo tiene un enlace con una estación
base, pero puede tener varios si las condiciones son favorables. Supongamos que la
estación móvil está manteniendo simultáneamente enlaces con dos estaciones base. Esto
hace que reciba órdenes de control de potencia de las dos. En el caso presentado
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
36
anteriormente, la estación base que tiene el obstáculo indicaría al móvil que aumentase
la potencia, y llegaría un momento en que, pasado un cierto nivel de potencia, la otra
indicaría lo contrario. Si el algoritmo de control de potencia se diseña de modo que la
potencia se reduzca si lo indica al menos una de las estaciones base, se resuelve el
problema; en la situación que estamos considerando, la conexión con la estación base
obstaculizada se iría degradando y sería finalmente abandonada. La estación móvil
seguiría adscrita a la otra estación base hasta el siguiente hand-off.
Para que este método sea efectivo los requisitos para comenzar una segunda
comunicación simultánea, esto es, para entrar en soft hand-off, deben darse con mucha
más facilidad que en el caso de hard hand-off. El inconveniente es que aumenta la carga
del sistema, pues en definitiva se producen más enlaces, y también la complejidad, pues
debe haber una coordinación entre las estaciones base implicadas. Como ventajas,
además de mayor fiabilidad en el proceso de hand-off y la ausencia de interrupciones en
la comunicación, podemos mencionar la mejora derivada de una mayor diversidad. El
móvil puede combinar las señales recibidas de las diferentes estaciones base,
aumentando la calidad de la demodulación. Esta combinación puede realizarse
siguiendo el mismo procedimiento empleado para separar y combinar las réplicas
multitrayecto; basta con que las estaciones base transmitan con un desplazamiento
temporal adecuado.
CAPÍTULO 3:
MODELOS DE CANAL Y DE
RECEPTOR PARA SISTEMAS DE
COMUNICACIONES CON CDMA
En este capítulo vamos a establecer el modelo utilizado para la caracterización
del canal encontrado en sistemas CDMA. Básicamente es el canal habitual encontrado
en comunicaciones móviles, pero con algunas particularidades derivadas del tipo de
señales utilizadas. Seguidamente estudiaremos el receptor óptimo para este tipo de
sistemas y analizaremos sus prestaciones.
3.1. MODELOS DE CAAL RADIOELÉCTRICO
Podemos establecer un modelo muy simple de un sistema de comunicaciones
considerando tres unidades constitutivas: transmisor, canal y receptor, indicadas en la
figura 3.1.
Transmisor
Canal
Receptor
FIGURA 3.1. Modelo de un sistema de comunicaciones
Se trata de un modelo estructural muy simplificado. Cada subsistema se
representa mediante su correspondiente modelo funcional o de “caja negra”, que
consiste en una descripción de la respuesta, o salida, del mismo a cada uno de los
posibles estímulos, o entradas, sin entrar en su composición interna. Un aspecto
fundamental de cualquier modelo es que en él incluimos las características que
consideramos relevantes para nuestros propósitos y abstraemos las que no lo son.
Centrándonos ya en el canal, consideraremos éste como un sistema lineal
variante en el tiempo, de manera que la descripción de todos sus posibles
comportamientos, es decir, de la respuesta del sistema a todos los posibles estímulos, se
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
38
puede hacer fácilmente y de manera muy compacta a través de su respuesta impulsiva
variante en el tiempo. A partir de ésta pueden definirse, mediante la transformada de
Fourier, otras funciones que igualmente caracterizan el comportamiento del sistema.
En la elección de nuestro modelo (funcional) para el canal son determinantes el
tipo de receptor que vayamos a usar, o más bien su modelo, y las características de las
señales que vayamos a considerar. Si vamos a trabajar sólo con un cierto tipo de señales,
o sólo con un cierto tipo de receptor, buscaremos un modelo lo más simple posible que
describa correctamente el comportamiento del canal en esas condiciones.
Para ilustrar este principio, considérese un sistema que entrega un valor positivo
y a la salida a partir de otro valor positivo x de entrada. Supongamos que por algún
medio hemos obtenido la curva de la figura 3.2.a), que describe la salida en función de
la entrada. Esta curva constituye un modelo del sistema. Ahora bien, si sólo vamos a
trabajar con números naturales como entrada, podemos utilizar el modelo representado
por la curva continua de la figura 3.2.b). Para este tipo de entradas, el segundo modelo
describe correctamente el comportamiento del sistema y es más simple que el primero.
y
x
1
2
3
4
5
3
4
5
(a) Modelo del sistema
y
x
1
2
(b) Modelo simplificado para un conjunto reducido de entradas
FIGURA 3.2. Ejemplos de modelos de un sistema.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
39
En otras palabras, es conveniente simplificar el modelo lo más posible
manteniendo la validez dentro de las condiciones en que lo vamos a utilizar. Cuando
estudiemos el receptor RAKE, en este mismo capítulo, veremos que la resolución
temporal de este receptor está limitada por el ancho de banda de las señales que
utilicemos, y elegiremos un modelo del canal acorde con esta limitación.
Una característica común a todos los canales es que junto con un término útil
que representa más o menos fielmente a la señal transmitida aparece un conjunto de
señales no deseadas que se engloban bajo el nombre de ruido. El ruido no depende de la
señal transmitida, sólo contribuye a degradar las características del sistema. En la
práctica a veces tenemos términos que sí dependen de la señal, pero de una manera tan
complicada que no intentamos obtener información alguna de ellos y los consideramos
como ruido. Los canales en los que podemos hacer esta separación, de manera que
aparece un ruido que se superpone o suma al término útil, se llaman canales de ruido
aditivo.
3.1.1. Descripción de algunos canales típicos
Vamos a describir brevemente algunos tipos de canales habituales en sistemas de
comunicaciones. Estableceremos para cada canal un modelo válido en general y
mostraremos algunos casos en que éste puede simplificarse.
Canal de ruido aditivo gaussiano blanco (AWG)
Este canal se caracteriza por que al término útil se superpone un término de ruido
gaussiano blanco de origen térmico. Este ruido se describe estadísticamente como un
proceso estocástico gaussiano cuya función autocorrelación es una función delta de
Dirac situada en el origen, o, lo que es equivalente, cuya densidad espectral de potencia
es plana. Para caracterizar el ruido basta dar el valor de su densidad espectral de
potencia. El ruido así entendido tiene un ancho de banda infinito. No hay que olvidar
que se trata de una idealización; en la práctica se utiliza este modelo cuando el ancho de
banda del ruido presente en el sistema es muy grande comparado con el de las señales
utilizadas.
En cuanto al término útil, éste suele ser una versión distorsionada (linealmente),
atenuada y retrasada de la señal que se envió. La respuesta del sistema al término útil se
caracteriza por la respuesta al impulso o la función de transferencia del canal supuesto
sin ruido.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
40
Por tanto, para caracterizar el canal hay que tratar separadamente el término útil
y el de ruido, dando una función de transferencia y una densidad espectral de potencia
de ruido respectivamente.
Hasta aquí hemos descrito un modelo “realista”. Éste puede ser más exacto de lo
que necesitamos para nuestros propósitos. Por ejemplo, dada una función de
transferencia del canal, o respuesta en frecuencia, si usamos señales de banda
suficientemente estrecha podemos considerar la función de transferencia localmente
plana para las frecuencias ocupadas por la señal, despreciando la distorsión lineal.
Canales con propagación multitrayecto
En los sistemas de comunicaciones radioeléctricas la señal normalmente llega al
receptor a través de varios caminos de propagación, debido a la influencia de los
obstáculos del terreno. En estos casos se tienen varias réplicas de la señal, o ecos, a la
entrada del receptor. Dependiendo de las características del receptor y de la señal
transmitida podremos separar estas réplicas o las recibiremos como una sola. Esto es
fundamental en los sistemas CDMA. Si es posible distinguir las réplicas podemos
combinarlas y lograr así una forma de diversidad. Si no podemos distinguirlas lo que
detectamos es la superposición de todas, y se producirán desvanecimientos. Estos
desvanecimientos pueden llegar a ser muy profundos, y en función del ancho de banda
de la señal pueden ser selectivos en frecuencia. En el modelo que adoptemos para el
canal deberemos tener en cuenta estas particularidades: si podemos separar las
componentes o no; en caso negativo, si los desvanecimientos van a ser selectivos o no,
etc.
Por supuesto, en estos canales también debemos contar con la inevitable
presencia del ruido térmico.
Canales con multitrayecto para sistemas con CDMA
Los sistemas CDMA en canales multitrayecto suelen utilizar receptores RAKE,
que, junto con una elección adecuada de la forma de las señales empleadas, permiten
separar las réplicas recibidas con una cierta resolución. Esta resolución es limitada, de
manera que lo que distinguimos es más bien “grupos de réplicas”. Cuanto mayor
resolución tengamos más se parecerán los grupos a las componentes reales individuales,
mayor inmunidad frente al multitrayecto tendremos y mayor orden de diversidad
podremos lograr. Como se puede intuir, para el receptor RAKE resulta más adecuado un
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41
modelo del canal en términos de estos grupos de réplicas; no tenemos necesidad de
llegar a un nivel de detalle mas allá de la resolución de que disponemos en nuestro
sistema.
En cuanto a las señales no deseadas, en un sistema con CDMA tendremos,
además del ruido térmico, la interferencia producida por los demás usuarios del sistema
sobre el usuario de referencia que estemos considerando. Para un número elevado de
usuarios esta interferencia se puede modelar, en virtud del teorema del límite central,
como un ruido aditivo gaussiano. Este nuevo “ruido” es mucho más importante que el
térmico, por lo que aquél se puede despreciar.
3.2. MODELO DE CAAL PARA CDMA
El canal encontrado en sistemas móviles CDMA tiene tres características
básicas:
- variabilidad temporal
- presencia de multitrayecto
- interferencia originada por las señales de los demás usuarios
Estos tres aspectos se encuentran en cualquier tipo de sistema móvil celular; lo que
diferencia a los sistemas CDMA es la forma en que estas degradaciones, particularmente
las dos segundas, afectan a las características del sistema.
Este apartado, dedicado al canal móvil CDMA, se va a organizar de la siguiente
forma. Empezaremos dando una caracterización general del canal radioeléctrico móvil.
A continuación introduciremos un modelo válido solamente para señales limitadas en
frecuencia, y particularizaremos éste para el tipo de señales encontradas en un sistema
DS-CDMA.
3.2.1. Modelo general del canal radioeléctrico móvil
Sea x(t) la señal transmitida a través del canal. Utilizando la representación paso
bajo habitual con señales complejas (fasores), x(t) puede escribirse como
x(t ) = Re[ s(t ) e j 2πf ct ]
siendo s(t) la señal paso bajo equivalente de x(t).
(3-1)
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42
En general habrá varios caminos de propagación, de modo que la señal recibida
consistirá en diferentes réplicas de la señal transmitida con diferentes retardos y
atenuaciones, que además serán variantes en el tiempo. Según esto, la señal se expresa
como:
y(t ) = ∑α i (t ) x(t − τ i (t )) ,
(3-2)
i
siendo αi(t) y τi(t) la atenuación y el retardo, variantes con el tiempo, para cada camino
i. Sustituyendo x(t) en función de s(t) podemos identificar el equivalente paso bajo de
y(t), r(t):
y(t ) = ∑α i (t ) Re[ s(t − τ i (t ))e j 2πf c t e− j 2πf cτ i ( t ) ] =
i


= Re[ ∑α i (t ) s(t − τ i (t ))e− j 2πf cτ i ( t ) e j 2πf c t ]

 i
r (t ) = ∑α i (t ) e
− j 2 πf cτ i ( t )
s(t − τ i (t ))
(3-3)
(3-4)
i
A partir de s(t) y r(t) podemos definir el modelo paso bajo equivalente del canal
variante. Para ello expresamos r(t) como
∞
r (t ) =
∫ ∑α (t )e
i
∞
− j 2 πf cτ i ( t )
δ (τ − τ i ( t )) s( t − τ ) dτ = ∫ s( t − τ ) h(τ , t ) dτ ,
−∞ i
(3-5)
−∞
donde, por definición, h(τ,t) es la respuesta impulsiva variante del canal definido entre
s(t) y r(t). La variable τ representa el retardo entre la entrada y la salida, mientras que la
t representa la variabilidad temporal del canal. Identificando el segundo y el tercer
miembro de (3-5), esta función resulta ser:
h(τ , t ) = ∑α i (t ) e − j 2πf cτ i ( t ) δ (τ − τ i (t )) ,
(3-6)
i
Llamando θ i (t ) = 2πf cτ i (t ) podemos escribir:
h(τ , t ) = ∑α i (t ) e − jθ i ( t ) δ (τ − τ i ( t ))
(3-7)
i
En la expresión (3-7) se pueden distinguir claramente los efectos de atenuación,
desfase, retardo y variación temporal del canal. Cada sumando i corresponde a un
camino diferente, con su atenuación, desfase y retardo variantes. Para nosotros esta
variación es impredecible, es decir, aleatoria, de modo que cada sumando es un proceso
estocástico en la variable t. Normalmente, por consideraciones físicas, se suponen estos
procesos independientes entre sí. Así, el segundo miembro de (3-7) es una suma de
procesos estocásticos en t independientes, por lo que podemos aproximar la respuesta
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43
total como un proceso estocástico gaussiano complejo en la variable t. Además
supondremos h(τ,t) estacionario en sentido amplio.
Cuando la respuesta del canal h(τ,t) se modela como un proceso gaussiano de
media nula la envolvente |h(τ,t)| tiene una distribución de Rayleigh para un valor de t
dado. Si la media no es nula la envolvente tiene una distribución de Rice. Nosotros
consideraremos la primera hipótesis, que corresponde a canales en los que no existe
visibilidad directa, de modo que ninguna componente predomina sobre las demás.
3.2.2. Características de dispersión y selectividad del canal
Un canal variante en el tiempo es aquél cuyo comportamiento varía con el
tiempo. Asimismo, un canal es selectivo en frecuencia cuando su comportamiento es
distinto para frecuencias distintas. Como vamos a ver, el carácter variante en el tiempo
se traduce en una dispersión o ensanchamiento del espectro de las señales al atravesar el
canal, y, análogamente, la característica de selectividad en frecuencia equivale a una
dispersión temporal en la respuesta del canal. A los canales que presentan ambos tipos
de dispersión se les llama doblemente dispersivos.
A continuación vamos a precisar estos definiciones, a través de algunas
funciones obtenidas a partir de la respuesta paso bajo equivalente del canal, h(τ,t), y a
establecer la relación anunciada entre los fenómenos de dispersión (ensanchamiento) y
de selectividad (variación) del canal.
Dispersión temporal y selectividad en frecuencia
Considérese la función de autocorrelación de la respuesta impulsiva paso bajo
del canal, h(τ,t), considerada, según el punto anterior, como un proceso estocástico en la
variable t estacionario en sentido amplio. Debido a la estacionariedad, esta función de
autocorrelación sólo depende de la diferencia de tiempos ∆t:
φ ' h (τ 1 ,τ 2 , ∆t ) = E [ h * (τ 1 , t ) h(τ 2 , t + ∆t )]
(3-8)
Supondremos la atenuación y desfase del canal para el retardo de propagación τ1
incorrelados con los correspondientes a τ2 para τ1 ≠ τ2 (hipótesis de dispersores
incorrelados). Con esto, la función anterior será nula excepto para τ1 = τ2:
φ ' h (τ 1 ,τ 2 , ∆t ) = φ h (τ , ∆t )δ ( ∆τ ) ,
(3-9)
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44
siendo τ = τ1 (o τ2) y ∆τ = τ1-τ2. Considérese la función φh(τ) definida como
φh(τ) ≡€φh(τ,0):
φ h (τ ) = E [h * (τ , t ) h(τ , t )] = E [| h(τ , t ) 2 ]
(3-10)
φh(τ) representa la potencia media (en sentido estadístico) a la salida del canal en
función del retardo τ cuando la entrada es un impulso. En efecto, la potencia media
E [| r (t )|2 ], siendo r(t) la señal recibida. Para
1
2
instantánea a la salida será en general
entrada igual a un impulso de potencia unidad, s(t ) = 2δ ( t ) (recuérdese que
trabajamos con equivalentes paso bajo) tenemos:
P( t ) =
1
1
E[| r (t )|2 ] = E [| 2δ (t )∗ h(τ , t )|2 ] = E [| h( t , t )|2 ] = φ h ( t ) ,
2
2
(3-11)
Por esta razón, a φh(τ) se le suele denominar perfil potencia-retardo (power-delay
profile). Normalmente es una función decreciente, lo que se corresponde con el hecho
de que la potencia instantánea recibida disminuye, por término medio, con el retardo.
Por comodidad, consideraremos el origen de τ de modo que la primera componente se
reciba con τ = 0. Esto equivale a suponer que el retardo de propagación del canal para la
primera componente recibida es nulo. Se define la dispersión del retardo del canal
(delay spread), Tm, también llamada dispersión multitrayecto del canal, como:
∞
∫ (τ − τ
Tm =
) 2 φ h (τ )dτ
m
0
,
∞
∫φ
(3-12)
(τ )dτ
h
0
siendo τm el retardo medio de propagación del canal:
∞
∫ τφ
τm =
h
(τ )dτ
0
∞
∫φ
(3-13)
h
(τ )dτ
0
El parámetro Tm da una idea del rango de valores de τ para los cuales el perfil de
potencia del canal toma valores significativos. Cuanto mayor sea Tm más ancho será el
perfil potencia-retardo y por tanto más importante será la actividad multitrayecto del
canal.
Puede obtenerse una caracterización análoga en el dominio de la frecuencia a
partir de la transformada de Fourier en la variable τ de la respuesta al impulso del canal:
∞
T ( f , t ) = ∫ h(τ , t )e − j 2πfτ dτ
-∞
(3-14)
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45
Bajo la hipótesis de estacionariedad en sentido amplio, podemos definir:
φ ' T ( f 1 , f 2 , ∆t ) = E[T * ( f 1 , t )T ( f 2 , t + ∆t )]
(3-15)
Sustituyendo (3-14) en (3-15) tenemos:
∞
∞
φ ' T ( f 1 , f 2 , ∆t ) = E[ ∫ h (τ 1 , t )e
*
j 2 πf 1τ 1
dτ 1 ∫ h(τ 2 , t + ∆t ) e − j 2πf 2τ 2 dτ 2 ] =
-∞
-∞
∞ ∞
=
∫ ∫ E[h (τ
*
1
, t )h(τ 2 , t + ∆t )e − j 2π ( f 2τ 2 − f1τ 1 ) ] dτ 1dτ 2 =
-∞ -∞
∞ ∞
=
∫ ∫φ '
h
(τ 1 ,τ 2 , ∆t ) e − j 2π ( f 2τ 2 − f1τ 1 ) dτ 1dτ 2
-∞ -∞
La hipótesis de dispersores incorrelados permite utilizar (3-9), obteniendo:
∞
φ ' T ( f 1 , f 2 , ∆t ) = ∫ φ h (τ , ∆t )e
∞
− j 2 π ( f 2 − f 1 )τ
dτ = ∫ φ h (τ , ∆t )e − j 2π∆fτ dτ ≡
-∞
-∞
(3-16)
≡ φ T ( ∆f , ∆t ) = E[T * ( f , t ) T ( f + ∆f , t + ∆t )]
con ∆f = f2-f1. Es decir, la función φ'T(f1,f2,∆t) depende sólo de la diferencia de
frecuencias ∆f y la diferencia de tiempos ∆t, lo que permite expresarla como φT(∆f,∆t), y
esta función es la transformada de Fourier respecto a τ de φh(τ,∆t). Esto implica que la
función φT(∆f) ≡€φT(∆f, 0) es la transformada de Fourier del perfil retardo-potencia φh(τ)
definido anteriormente. Podemos llamar a φT(∆f) función de coherencia en frecuencia
del canal. El rango de valores de ∆f en los que esta función es esencialmente no nula es
el ancho de banda de coherencia del canal, (∆f)c.
El parámetro (∆f)c da una idea de la separación en frecuencia que deben tener
dos sinusoides para ser tratadas de manera esencialmente distinta por el canal. Por tanto
nos indica el grado de selectividad en frecuencia del canal. Si el ancho de banda de la
señal transmitida es mayor que (∆f)c las distintas componentes espectrales sufren
atenuaciones y desfases diferentes, con lo que la señal es distorsionada: el canal es
selectivo en frecuencia. En caso contrario la señal no es distorsionada, pues todas las
componentes son igualmente afectadas: el canal es no selectivo. Queda claro que el
carácter selectivo en frecuencia del canal no es absoluto; depende del ancho de banda de
la señal considerada.
Debido a que el perfil potencia-retardo y la función de coherencia frecuencial
están relacionadas por la transformada de Fourier, se tiene:
( ∆f ) c ≈
1
Tm
(3-17)
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46
Esta expresión pone de manifiesto la relación existente entre selectividad en frecuencia
y dispersión temporal. Físicamente, el carácter selectivo del canal es consecuencia de la
aparición de componentes multitrayecto con retardos diferentes. Cuanto mayor sea Tm,
esto es, más importante sea la dispersión multitrayecto del canal, menor (∆f)c, o mayor
selectividad en frecuencia.
Variación temporal y dispersión Doppler
Vamos a analizar ahora la variabilidad temporal del canal. La función φT(∆t)
obtenida al hacer ∆f = 0 en φT(∆f, ∆t) expresa en qué medida varían las características
del canal en un intervalo de tiempo ∆t. Podemos llamarla función de coherencia
temporal del canal. Un valor alto para un cierto valor de ∆t indica correlación entre las
respuestas del canal correspondientes a instantes de tiempo separados ese intervalo ∆t, y
por tanto que el canal ha variado poco en ese tiempo. El máximo valor de ∆t para el que
φT(∆t) toma valores significativos nos da una idea de cuánto tardan en variar
significativamente las características del canal, es decir, de la variación o selectividad
temporal del mismo. A este parámetro se le llama tiempo de coherencia del canal, (∆t)c.
El tiempo de coherencia indica, pues, la rapidez con que varía el comportamiento
del canal. Cuanto más deprisa varíe el canal menor será su tiempo de coherencia. Si
(∆t)c es mucho mayor que el intervalo de señalización TS podemos considerar las
características del canal constantes durante un periodo de símbolo, y decimos que el
canal es de variación lenta (slowly fading channel). Como vemos, la “lentitud” o no del
canal es relativa; depende del tipo de señal utilizado.
Consideremos la transformada de Fourier de φT(∆f, ∆t) respecto a la variable ∆t:
∞
ST ( ∆f , ν ) = ∫ φ T ( ∆f , ∆t ) e − j 2πν∆t d ∆t
(3-18)
−∞
La función ST(ν) definida como ST(ν)€≡€ST(0,ν) se denomina espectro Doppler del
canal, y es igual a la transformada de Fourier de φT(∆t). El intervalo de valores de ν para
los cuales esta función toma valores esencialmente no nulos es el ancho de banda
Doppler del canal, Bd. El ancho de banda Doppler nos da una medida del
ensanchamiento (y posible desplazamiento) Doppler que sufre una señal a su paso por el
canal.
Según la relación entre ST(ν) y φT(∆t), se verifica
( ∆t ) c =
1
,
Bd
(3-19)
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47
Esta relación corresponde al hecho físico de que el ensanchamiento Doppler es
originado por las variaciones temporales del canal. Si el canal es invariante la función
φT(∆t) valdrá 1 para todo ∆t, indicando correlación total, y ST(ν) será un impulso situado
en el origen. Así, cuando no hay variaciones temporales en el canal no se produce
ensanchamiento Doppler en la señal. Cuanto más deprisa varíe el canal menor será su
tiempo de coherencia y más ensanchado se verá el espectro de la señal.
Función de dispersión del canal
A continuación vamos a definir una nueva función de correlación del canal, a
partir de la cual pueden obtenerse las demás funciones que hemos visto, y que
utilizaremos en el capítulo 6 en el análisis del estimador de canal.
Se define la función de dispersión del canal (scattering function), S(τ,ν), como
la transformada de Fourier de φh(τ,∆t) en la variable ∆t:
∞
S (τ , ν ) = ∫ φ h (τ , ∆t )e − j 2πν∆t d∆t
(3-20)
−∞
Sabemos que φT(∆f,∆t) es la transformada de Fourier respecto a τ de φh(τ, ∆t), por tanto
φh(τ, ∆t) es la transformada inversa de φT(∆f,∆t) respecto a ∆f. Esto permite expresar
S(τ,ν) como
∞ ∞
S (τ , ν ) =
∫ ∫φ
T
( ∆f , ∆t ) e j 2π∆fτ e − j 2πν∆t d∆f d∆t
(3-21)
−∞−∞
De (3-21) y (3-18) se deduce la relación entre S(τ,ν) y ST(∆f,ν):
∞
S (τ , ν ) = ∫ S T ( ∆f , ν ) e j 2π∆fτ d∆f
(3-22)
−∞
Por último, invirtiendo (3-20) y haciendo ∆t = 0 obtenemos
∞
φ h (τ ) = ∫ S (τ , ν )dν ,
(3-23)
−∞
e invirtiendo (3-22) y haciendo ∆f = 0 tenemos
∞
ST (ν ) = ∫ S (τ , ν )dτ
−∞
(3-24)
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48
3.2.3. Modelo para señales limitadas en banda
Las señales en un sistema CDMA deben elegirse de modo que permitan hacer
frente al multitrayecto y a la interferencia de los otros usuarios. Las señales utilizadas en
DS-CDMA consisten típicamente en una serie de pulsos de anchura TC, el periodo de
chip, con amplitudes determinadas por la secuencia de código y la señal moduladora. En
la práctica estos pulsos siempre son limitados en frecuencia, de modo que las señales
son de banda ensanchada pero limitada.
En el capítulo 2 vimos que para lograr diversidad multitrayecto es necesario
utilizar un periodo de chip TC << Tm. Además, para poder compensar las variaciones
temporales del canal se requiere TS << (∆t)c. Estas restricciones pueden expresarse de la
siguiente forma:
TS
<< Tm
C
TS << ( ∆t ) c
(3-25)
Así, si elegimos unos valores de TS y C que verifiquen estas dos condiciones es posible
tener diversidad por multitrayecto, utilizando las formas de onda adecuadas. La
capacidad para hacer frente a la interferencia de otros usuarios también depende de las
propiedades de las formas de onda elegidas.
En un sistema móvil CDMA debemos imponer, por tanto, tres condiciones al
conjunto de señales utilizadas:
- el periodo de símbolo debe elegirse adecuadamente para que TS << (∆t)c, de
modo que el canal sea de variación lenta para ese tipo de señal
- el factor de ensanchamiento C debe ser suficiente para que, con ese periodo de
símbolo, TC << Tm, es decir, W >> (∆f)c, de manera que el canal sea selectivo en
frecuencia
- las señales de espectro ensanchado utilizadas deben tener unas ciertas
propiedades de separabilidad, para diferenciar lo mejor posible componentes
retardadas de una señal dada así como rechazar las señales de los otros usuarios.
Supondremos que las dos primeras condiciones se cumplen. En cuanto a la
tercera, en el capítulo 4 estudiaremos cuáles son las características que deben tener las
secuencias código para lograr la deseada separabilidad, y en qué grado podemos
acercarnos a estas características en función del número de secuencias de la familia.
El modelo de canal descrito en el punto anterior es válido para cualquier señal
transmitida x(t). Ahora vamos a particularizar para señales de banda limitada, como son
las encontradas en sistemas CDMA. Aprovechando las características de estas señales,
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49
concretamente su resolución temporal finita, podremos simplificar el modelo del canal
para este tipo de señales.
Sea W el ancho de banda de la señal x(t) transmitida por el canal. Entonces el
ancho de banda de la señal equivalente paso bajo s(t) estará limitado a W/2, y podremos
representar ésta, aplicando el teorema de muestreo, de la siguiente forma:
∞
s( t ) =
l sen(πW (t − l / W ))
πW ( t − l / W )
∑ s( W )
l =−∞
(3-26)
La transformada de Fourier de s(t) puede expresarse entonces:
1 ∞
l
 ∑ s( ) e − j 2πfl /W
S ( f ) =  W l =−∞ W
0
para | f | ≤ W / 2
(3-27)
para | f | > W / 2
La señal recibida r(t) se obtiene así:
∞
r (t ) =
∞
∫ s(t − τ )h(τ , t )dτ = ∫ S ( f )T ( f , t )e
−∞
j 2 πft
df ,
(3-28)
−∞
siendo T(f,t) la respuesta en frecuencia variante en el tiempo del canal, es decir, la
transformada de Fourier respecto a τ de h(τ,t). Sustituyendo S(f) obtenemos:
∞
l
l
l
1 ∞
1 ∞
r (t ) = ∑ s( ) ∫ T ( f , t )e j 2πf ( t − l /W ) df = ∑ s( ) h(t − , t ) =
W l =−∞ W −∞
W l =−∞ W
W
l
l
1 ∞
= ∑ s( t − ) h ( , t )
W W
W l =−∞
(3-29)
En lo sucesivo consideraremos W = 1/TC, como corresponde, aproximadamente, a las
señales de un sistema CDMA. Con esto podemos expresar r(t) como:
∞
r (t ) = TC
∑ s(t − lT )h(lT , t )
C
C
(3-30)
l =−∞
Definiendo el siguiente conjunto de coeficientes de canal variantes en el tiempo:
hl (t ) =
1
l
h( , t ) = TC h(lTC , t )
W W
(3-31)
la señal recibida puede ponerse como
∞
r (t ) =
∑ h (t ) s(t − lT
l
C
),
(3-32)
l =−∞
y de aquí podemos escribir la respuesta impulsiva equivalente paso bajo del canal, para
las señales consideradas, de la forma:
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50
∞
h(τ , t ) =
∑ h (t )δ (τ − lT )
l
C
(3-33)
l =−∞
Esta expresión para h(τ ,t) sólo es válida para señales paso bajo de banda
limitada a W/2. Vamos a compararla con la expresión que describe el comportamiento
del canal en el caso general, que repetimos a continuación:
h(τ , t ) = ∑α n ( t ) e − jθ n ( t ) δ (τ − τ n ( t ))
(3-34)
n
Observando las dos expresiones, vemos que la simplificación obtenida consiste en que
hemos sustituido el conjunto de réplicas con retardos arbitrarios por otro conjunto con
retardos equiespaciados cada 1/W = TC. Este segundo conjunto es equivalente al
primero para señales paso bajo de banda limitada a W/2. Es decir, para señales de este
tipo es posible encontrar un conjunto de coeficientes { hl(t) } de modo que los segundos
miembros de las dos expresiones, general y simplificada, coincidan. La equivalencia es
posible por la resolución temporal limitada de las señales, derivada de la limitación de
ancho de banda.
Siguiendo el principio de simplificación de modelos enunciado al comienzo del
capítulo, hemos derivado una descripción simplificada del canal que proporciona los
mismos resultados que la descripción completa para el conjunto de señales de interés.
Debemos observar sin embargo que las componentes equiespaciadas del modelo
simplificado ya no se corresponden con réplicas reales de la señal, del mismo modo que
los coeficientes hl(t) no se corresponden con los coeficientes α n ( t ) e − jθ n ( t ) que aparecen
en la expresión general. No obstante, ambas descripciones son equivalentes para las
señales consideradas.
En realidad, en la descripción no necesitamos un número infinito de coeficientes
hl(t), pues la actividad multitrayecto del canal sólo es significativa para retardos
comprendidos en un cierto intervalo. Como estamos suponiendo retardo de propagación
nulo para la primera componente, dicho intervalo se extiende a partir de τ = 0. Para
precisar la extensión de este intervalo, definimos el parámetro Tζ del canal como el
mínimo retardo tal que para retardos mayores el perfil potencia-retardo del canal es
inferior a una cierta fracción ζ de su valor máximo. Para una ζ dada, el parámetro Tζ se
relaciona con Tm según la forma del perfil potencia-retardo; por ejemplo, para perfil
potencia-retardo exponencial decreciente y ζ = 1% se tiene que Tζ es aproximadamente
5 veces Tm. Si elegimos ζ suficientemente pequeña, por ejemplo 1%, podemos
considerar que la actividad multitrayecto del canal se limita a retardos comprendidos
entre 0 y Tζ. Por tanto, como tenemos una resolución temporal de 1/W, el número de
réplicas multitrayecto que debemos considerar es, como ilustra la figura 3.3,
L =  Tζ W  =  Tζ / TC  ,
(3-35)
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51
donde a representa el número entero inmediatamente superior a a.
Tζ
TC
1
ζ
τ
14444
4244444
3
L
FIGURA 3.3. Número de componentes consideradas
Esto permite truncar la suma infinita que aparece en la respuesta del canal, quedando
reducida a:
L −1
h(τ , t ) = ∑ hl (t )δ (τ − lTC )
(3-36)
l=0
Análogamente, la señal recibida será:
L−1
r (t ) = ∑ hl (t ) s(t − lTC )
(3-37)
l =0
Esto nos sugiere una representación del canal basada en líneas de retardo, de la forma
representada en la figura 3.4, en la que se considera también la presencia de ruido e
interferencias.
s(t)
h0(t)
TC
h1(t)
TC
h2(t)
TC
hL-1(t)
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52
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
r(t)
ruido e interferencias
FIGURA 3.4. Modelo del canal para señales de banda limitada
Podemos simplificar aún más el modelo, en virtud de la hipótesis de canal de
variación lenta, considerando los coeficientes constantes durante un intervalo de
símbolo. Esto permite sustituir cada proceso estocástico hl(t) por una secuencia de
variables aleatorias hln , una para cada intervalo:
hl (t ) ≈ hln para nTS ≤ t < (n + 1)TS
(3-38)
donde hln se define como:
hln = hl (nTS )
(3-39)
Con esto, la señal recibida, sin ruido ni interferencias, durante el intervalo n puede
escribirse:
L −1
r n (t ) = ∑ hln s(t − lTC ), nTS ≤ t < (n + 1)TS
(3-40)
l=0
Nótese que las variables hln para un l dado no son independientes, sino que estarán más
o menos relacionadas en función de la rapidez de variación del canal.
Como hemos dicho, las componentes multitrayecto del modelo de canal con
resolución limitada, descritas por los coeficientes hln , no corresponden con réplicas
multitrayecto reales. La componente ficticia l-ésima viene a representar un conjunto de
réplicas reales recibidas con retardos comprendidos entre lTC y (l+1)TC, que se
superponen y no son diferenciadas en el receptor. Esta superposición dará lugar a
desvanecimientos, más importantes cuanto mayor sea el número de réplicas reales que
agrupamos en cada componente ficticia, o sea, cuanto menor sea Tm/TC = W/(∆f)c. Es
decir, cuanto más selectivo en frecuencia sea el canal mejor distinguiremos las réplicas
individuales y menos sujetos estaremos a la aparición de desvanecimientos.
Caracterización estadística de los coeficientes de canal
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
53
Vamos a examinar ahora la relación existente entre los coeficientes de canal hln y
las funciones de correlación que caracterizan al mismo, introducidas en el punto
anterior. Fijándonos sólo en un cierto intervalo de símbolo, consideraremos cada
coeficiente como una variable aleatoria compleja cuyas partes real e imaginaria son
variables aleatorias gaussianas independientes de media nula e idéntica varianza. La
envolvente de cada coeficiente tendrá entonces una función de densidad de probabilidad
de Rayleigh. En el punto 3.2.2 definimos el perfil de potencia-retardo del canal a partir
de su respuesta al impulso h(τ,t), considerada como un proceso estocástico en la variable
t, como
φ h (τ ) = E [h * (τ , t )h(τ , t ) ] = E [| h(τ , t )|2 )],
(3-10)
y vimos que esta función nos da una idea de la potencia media (en sentido estadístico)
recibida en función del retardo τ para señal transmitida infinitamente estrecha. Esta
potencia es independiente del tiempo, t, por hipótesis (h(τ,t) estacionario en sentido
amplio). En el modelo para señales de banda limitada, los hl(t), o los hln , no son
interpretables físicamente de un modo directo, pues no corresponden a réplicas reales;
sin embargo, E[|hl(t)|2] (independiente de t), o E[|hln |2] (independiente de n), nos da una
idea del valor esperado de la potencia recibida entre lTC y (l+1)TC , también para una
señal de entrada suficientemente estrecha (dentro de la limitación de banda que
admitimos por hipótesis). Para señales de banda limitada, haciendo τ = lTC en (3-10), y
sustituyendo (3-31) y (3-39):
φ h (lTC ) = E [ | h(lTC , t )|2 ] =
1
1
2
E [ | hln |2 ]
2 E [ | hl ( t )| ] =
TC
TC2
(3-41)
Ésta es la expresión análoga a la (3-10) para señales de banda limitada, y nos dice que el
valor cuadrático medio de los coeficientes de canal, o bien su varianza, ya que la media
es cero, es proporcional al valor correspondiente del perfil retardo-potencia. Así,
suponiendo coeficientes con distribución gaussiana, una vez establecido un modelo para
el perfil retardo-potencia del canal tenemos determinada la distribución de los
coeficientes que describen al mismo en un cierto intervalo de símbolo. En algunas de las
simulaciones que veremos en los capítulos 5 y 6 utilizaremos este resultado a la hora de
generar los coeficientes de canal.
Ahora bien, si queremos analizar la evolución temporal de los coeficientes a lo
largo de diferentes intervalos de símbolo, debemos ser más cuidadosos y tener en cuenta
los espectros Doppler de los mismos. En el capítulo 6, al analizar el estimador de canal,
estableceremos un modelo para el espectro Doppler de los coeficientes canal y
generaremos éstos de acuerdo con el mismo.
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
54
3.2.4. Canal CDMA
En este punto vamos a establecer un modelo de canal para un sistema CDMA
asíncrono incluyendo los efectos de variación temporal y multitrayecto. El modelo es
aplicable a cualquiera de los enlaces, ascendente o descendente, con una matización que
haremos al final. Así, cuando hablemos de la señal transmitida correspondiente a un
cierto usuario, entendiendo que puede ser transmitida por la estación base con destino el
receptor del usuario (enlace descendente) o por la estación móvil con destino el receptor
de la estación base, y análogamente para las señales recibidas.
Consideraremos en primer lugar la señal correspondiente a un solo usuario, que
tomaremos como usuario de referencia, y posteriormente incluiremos en el modelo las
señales de los demás usuarios del sistema.
Señal recibida correspondiente a un usuario de referencia
Consideremos cualquiera de los dos enlaces de un sistema DS-CDMA BPSK, tal
y como es visto por un usuario de referencia, al que llamaremos usuario 1. La forma de
la señal transmitida correspondiente a este usuario durante un cierto intervalo de
señalización depende del valor del símbolo (1 ó -1) en ese intervalo y de la forma del
pulso utilizado. La forma del pulso está determinada a su vez por la secuencia código de
ese usuario, {G1m } , y la forma del pulso de chip, uC(t), común a todos los usuarios. En el
caso de que el periodo de la secuencia código, *, coincida o sea divisor del número de
chips por símbolo, C, la forma del pulso será la misma para todos los intervalos de
símbolo. En general esto no tiene por qué suceder, y la forma del pulso variará de un
intervalo a otro. Llamaremos u1n (t ) al pulso del usuario de referencia durante el
intervalo n-ésimo. Podemos obtener la expresión de u1n (t ) a partir de la señal de código
g1(t), definida a partir de la secuencia código {G1m } y el pulso de chip uC(t) de la
siguiente forma:
∞
g1 (t ) =
∑G
m
1 C
u (t − mTC )
(3-42)
m=−∞
La forma del pulso, referido a t = 0, utilizado por el usuario 1 en el intervalo n es:
 g1 (t + nTS ) para 0 ≤ t < TS
u1n ( t ) = 
0 para t diferente
(3-43)
Como g1(t) es periódica con periodo *TC, y teniendo en cuenta que TS = CTC,
según la expresión anterior el pulso correspondiente a un cierto intervalo n es idéntico al
utilizado en el intervalo n-H, con
LUIS MENDO TOMÁS
55
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
H=
mcm( * , C )
C
(3-44)
Existen por tanto un total de H pulsos distintos que se van repitiendo periódicamente. La
figura 3.5 muestra un ejemplo con * = 24 y C = 8. Con estos valores tenemos H = 3
pulsos distintos, representados en la figura; se verifica u14 (t ) = u11 (t ) , u15 (t ) = u12 (t ) , etc.
*TC
g1(t)
TS
TS
TS
u11 (t )
1
TS
-1
u12 (t )
1
TS
-1
u13 (t )
1
TS
-1
FIGURA 3.5. Forma de los pulsos para un usuario dado
En el caso particular de que * sea divisor de C se tendrá H = 1 y el pulso será
igual en todos los intervalos de símbolo. Cuando esto sucede decimos que la secuencia
código {G1m } es de periodo corto, y en caso contrario es de periodo largo. Nótese que
ésta no es una característica intrínseca de la secuencia código; una secuencia de periodo
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
56
* será considerada de periodo corto o largo en función del valor de C del sistema en el
que se utilice.
Una vez definida la forma del pulso para cada intervalo de señalización del
usuario de referencia, ya podemos expresar la señal recibida correspondiente a ese
usuario durante un cierto intervalo n. Sea D1n el símbolo (1 ó -1) transmitido en ese
intervalo. Vamos a tomar como origen de tiempos el instante en que se recibe la primera
(l = 0) componente (en el sentido del modelo de canal de resolución temporal finita) de
la señal transmitida durante el intervalo n = 0. Obsérvese que el origen de tiempos, y por
tanto la referencia para los intervalos de señalización, se ha tomado en recepción, no en
transmisión. El motivo de esta elección es simplificar la expresión de la señal recibida
para el usuario considerado. La señal equivalente paso bajo transmitida correspondiente
al intervalo n, s1n (t ), normalizada a potencia unidad, será, recordando que consideramos
retardo de propagación nulo:
s1n ( t ) = 2 D1n u1n ( t − nTS )
(3-45)
Llamando h1,nl al l-ésimo coeficiente del canal para el usuario 1 durante el intervalo n, e
incluyendo en el mismo el factor 2 por comodidad, podemos escribir la señal recibida
correspondiente a ese usuario durante el intervalo n así:
L −1
L −1
l=0
l=0
r1n (t ) = ∑ h1n,l D1n u1n (t − nTS − lTC ) + ∑ h1n,l−1 D1n−1u1n−1 (t − (n − 1)TS − lTC )
(3-46)
El primer término de la expresión (3-46) corresponde a las componentes
multitrayecto del pulso del intervalo n-ésimo, mientras que el segundo representa la
interferencia entre símbolos, originada por las colas de las réplicas del pulso anterior
n-1. La figura 3.6 muestra la situación. Los pulsos se dibujan rectangulares por
simplicidad. Representamos con línea continua la primera componente recibida y con
línea de trazos las demás réplicas producidas por el canal.
r1n (t )
LUIS MENDO TOMÁS
57
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
t
t=nTS
t=(n+1)TS
Intervalo n-ésimo
FIGURA 3.6. Señal recibida correspondiente al usuario de referencia
durante un cierto intervalo
Vamos a considerar el canal como un sistema cuya salida es la señal recibida
r (t ) (más adelante incluiremos las señales de los demás usuarios, rkn (t )) y cuya entrada
n
1
es la señal transmitida normalizada s1n (t ), aun cuando en la realidad la señal transmitida
no tiene por qué tener potencia unidad. Esto equivale a incluir en los coeficientes que
describen el canal la amplitud de la señal transmitida. Por tanto los coeficientes
engloban dos efectos: por un lado las variaciones de atenuación y fase para cada
componente recibida, y por otro las variaciones de amplitud de la señal transmitida
producidas por el control de potencia.
Señal recibida incluyendo usuarios interferentes
Una vez expresada la señal recibida correspondiente al usuario 1, vamos a incluir
en el modelo las señales del resto de usuarios del sistema. Consideraremos de momento
que dicho sistema está formado por una célula aislada, y llamaremos K al número de
usuarios simultáneos en la célula.
La señal total en el receptor de la estación base durante el intervalo considerado,
prescindiendo del ruido térmico, será una suma de términos rkn (t ) semejantes a r1n (t ),
cada uno correspondiente a un usuario. Sin embargo, en un sistema asíncrono las
señales de esos otros usuarios se recibirán con retrasos arbitrarios τk respecto a la del
usuario de referencia, debido por un lado a los diferentes retardos de propagación y por
otro a que las transmisiones no tienen por qué producirse a la vez. Podemos suponer sin
pérdida de generalidad que los retardos de propagación son iguales a 0 también para los
usuarios interferentes y atribuir todo el retraso τk a diferencias en los instantes de
transmisión.
En general, si transmitimos una señal s(t) la señal recibida r(t) puede expresarse,
según (3-37), como
L−1
r (t ) = ∑ hl (t ) s(t − lTC )
l =0
(3-37)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
58
Veamos cuál es la señal recibida si se transmite la señal s(t) retrasada un tiempo ∆t. Sea
s'(t) la nueva señal transmitida:
s'(t ) = s(t − ∆t )
(3-47)
Aplicando (3-37), la señal recibida r'(t) será:
L −1
L −1
l =0
l =0
r ' (t ) = ∑ hl (t ) s' (t − lTC ) = ∑ hl ( t ) s(t − ∆t − lTC )
(3-48)
Por otro lado, haciendo el cambio de variable t = t'-∆t seguido de t' = t en (3-37) (es
decir, sustituyendo t por t - ∆t) obtenemos:
L −1
r ( t − ∆t ) = ∑ hl (t − ∆t ) s( t − ∆t − lTC )
(3-49)
l =0
Comparando (3-48) y (3-49), vemos que la señal recibida r'(t) es igual a r(t-∆t) excepto
que r'(t) está afectada por los valores que tienen los coeficientes de canal ∆t después, en
el momento de la transmisión. Por tanto, podemos decir en general que si la señal
transmitida se retrasa un tiempo ∆t, ésta se recibe ∆t más tarde y afectada por el estado
que tenga el canal ∆t más tarde. Así, aunque la resolución temporal esté limitada a TC
para las réplicas multitrayecto de una misma señal, la separación entre señales recibidas
correspondientes a señales transmitidas diferentes no tiene por qué ser múltiplo de TC,
puesto que ∆t es un valor arbitrario.
Además, hay que tener en cuenta que la respuesta del canal que ve cada usuario
será en general diferente, por lo que debemos considerar coeficientes de canal (variantes
con el tiempo) distintos para cada uno de los usuarios.
Por otro lado, como estamos considerando el conjunto de señales recibidas
durante un cierto intervalo de la señal de referencia, debemos tener en cuenta hasta tres
(partes de) intervalos contiguos de la señal de un usuario k, como se puede ver en la
figura 3.7, en la que de nuevo se muestran los pulsos rectangulares por simplicidad. En
el capítulo anterior, al exponer el principio del método de acceso CDMA asíncrono, no
teníamos en cuenta las características multitrayecto del canal, por lo que bastaba
considerar dos intervalos. Ahora, con un modelo de canal más completo, que tiene en
cuenta el multitrayecto, debemos incluir otro, pues las réplicas más retardadas del
símbolo anterior a aquéllos dos pueden llegar a ocupar parte del intervalo considerado,
igual que en la señal de referencia ha habido que considerar el intervalo anterior al n,
debido también al multitrayecto (figura 3.6). Para la señal interferente (usuario k)
denotaremos por n, n-1 y n-2 los intervalos que coinciden en el tiempo con el intervalo n
de la señal de referencia (usuario 1), según el siguiente convenio: el intervalo n de la
señal k es el más adelantado en el tiempo de los tres que coinciden con el intervalo n de
la señal 1, y los n-1 y n-2 son los dos anteriores. Nótese que el intervalo n de la señal k
LUIS MENDO TOMÁS
59
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
no coincide en el tiempo con el intervalo n de la señal 1, sólo parcialmente; el
desplazamiento entre ambos es el retardo τk, que estará comprendido entre 0 y TS.
rkn (t )
(iii)
(iv)
(v)
n-2
n-1
n
τk
r1n (t )
(ii)
(i)
t=nTS
t=(n+1)TS
Intervalo n-ésimo
FIGURA 3.7. Intervalos a considerar en las señales recibidas
En el caso de que el conjunto de señales esté sincronizado son sólo dos los intervalos a
considerar de las señales de los demás usuarios (uno si no hubiera multitrayecto). Pero
esto es sólo un caso particular del modelo propuesto en el que los τk = 0.
La señal correspondiente al usuario k durante el intervalo n de la señal de
referencia podrá escribirse, entonces:
L −1
rkn ( t ) = ∑ hkn,−l 2 Dkn−2 ukn−2 ( t − (n − 2)TS − τ k − lTC ) +
l =0
L −1
+ ∑ hkn,−l 1 Dkn−1ukn−1 (t − (n − 1)TS − τ k − lTC ) +
l =0
L −1
+ ∑ hkn,l Dkn ukn (t − nTS − τ k − lTC )
l =0
y la señal total recibida, incluyendo la componente de ruido térmico, z(t), será:
(3-50)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
K
K
k =1
k =2
60
r n (t ) = ∑ rkn (t ) + z (t ) = r1n (t ) + ∑ rkn (t ) + z (t ) =
L −1
L −1
= ∑ h D u (t − nTS − lTC ) + ∑ h1n,l−1 D1n−1u1n−1 (t − (n − 1)TS − lTC ) +
l =0
l =0
1
4444244443 1
4444442444444
3
n
1,l
n n
1 1
(i )
(ii )
L −1

n−2 n−2 n− 2
+ ∑ ∑ hk ,l Dk uk (t − (n − 2)TS − τ k − lTC ) + ∑ hkn,−l 1 Dkn−1ukn−1 (t − (n − 1)TS − τ k − lTC )
k =2  1
l = 0 444444424444444
l = 0 444444
3 1
424444444
3
K
L −1
(iii )
(iv )

+ ∑ hkn,l Dkn ukn (t − nTS − τ k − lTC )  + z (t )
l=0
1
444442444443 
L −1
(v)
(3-51)
Los números romanos entre paréntesis situados debajo de los términos de esta expresión
indican la correspondencia con las distintas partes de la figura 3.7.
Para un sistema formado por varias células, llamando KT al número total de
usuarios del sistema, la señal total recibida puede expresarse de forma parecida a (3-51),
añadiendo un término, semejante al que representa la influencia de los usuarios
interferentes de la propia célula en la expresión anterior, que tenga en cuenta las señales
de los KT-K-1 usuarios pertenecientes a las otras células del sistema. La única diferencia
es que para estas nuevas señales los coeficientes de canal se definen entre la estación
móvil, situada en la célula pertinente, y la estación base de nuestra célula de referencia,
lo que modifica las propiedades estadísticas de los coeficientes de canal, como vamos a
ver enseguida.
El modelo expresado por la ecuación (3-51) es igualmente válido para los
enlaces ascendente y descendente. En este último, sin embargo, hay que tener en cuenta
que, al ser generadas por la estación base todas las señales destinadas a los usuarios de
la célula, normalmente éstas se transmitirán sincronizadas, con lo cual los
desplazamientos τk para 2 ≤ k ≤ K serán nulos.
Caracterización estadística de los coeficientes de canal
En el punto 3.2.3 se expone una caracterización de los coeficientes de canal para
una sola señal. En un sistema CDMA, sin embargo, la señal total recibida se compone
de señales correspondientes a cada uno de los usuarios del sistema, por lo que en (3-51)
aparecen los coeficientes de canal de todos esos usuarios. La caracterización estadística
de 3.2.3 sería aplicable en este caso a la señal del usuario de referencia; sin embargo, si
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61
se quiere describir completamente el canal es necesario ampliar la caracterización de los
coeficientes para incluir a todos los usuarios.
En lo sucesivo vamos a considerar que el perfil retardo-potencia tiene la misma
forma para todos los usuarios del sistema, es decir, que las características de dispersión
por multitrayecto del canal visto por todos los usuarios son las mismas; los perfiles para
los distintos usuarios únicamente podrán diferenciarse en un factor constante. La
ecuación (3-41), que nos daba la varianza de los coeficientes de canal en función del
perfil retardo-potencia para un sólo usuario, se generaliza fácilmente para K usuarios:
φ h ( lTC ) =
k
1
n 2
2 E | hk ,l | ,
TC
[
]
(3-52)
donde φ hk (τ ) es el perfil de potencia-retardo correspondiente al usuario k. Ahora bien,
en los coeficientes de canal hemos incluido, además de las variaciones de atenuación (y
fase) del mismo, el efecto del control de potencia, y el objetivo de éste es precisamente
contrarrestar las variaciones de atenuación, para que la potencia recibida sea igual para
todos los usuarios. De aquí se deduce que, suponiendo un control de potencia medio
perfecto, el módulo al cuadrado del l-ésimo coeficiente de canal, E [| hkn,l |2 ] , tendrá el
mismo valor medio para todos los usuarios pertenecientes a la célula considerada, sin
importar la distancia a la estación base. Equivalentemente, podemos decir que dentro de
la célula, es decir, para 1 ≤ k ≤ K, los perfiles φ hk (τ ) serán iguales. Sin embargo, no
sucede así para las señales procedentes de las otras células. La potencia de las
transmisiones correspondientes a los usuarios de otras células está controlada por sus
estaciones base respectivas, de modo que la potencia recibida en nuestra célula será
distinta (menor). Por tanto, a estas señales les corresponden unos coeficientes de canal,
o unos perfiles retardo-potencia, más pequeños que a las generadas en (y controladas
por) nuestra célula.
En cuanto a la forma del espectro Doppler de los coeficientes de canal,
supondremos, igual que hemos hecho para el perfil retardo-potencia, que es igual para
todos los usuarios del sistema. Esto equivale a admitir que las características de
variabilidad temporal del canal son iguales para todos los usuarios.
3.3. EL RECEPTOR RAKE
3.3.1. Receptor óptimo en comunicaciones digitales
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
62
Supongamos un sistema de comunicaciones digitales formado por transmisor,
canal y receptor. Partimos de un conjunto o constelación de J formas de onda, qj(t), en el
transmisor†, cada una correspondiente a un posible símbolo de periodo TS. Nos
planteamos el problema de encontrar el método óptimo de estimar el símbolo
transmitido a partir de la observación de la señal recibida, es decir, buscamos el método
óptimo de demodulación. Entendemos por óptimo aquél método o regla con el cual la
probabilidad de cometer un error en la demodulación es mínima.
Conociendo un modelo del canal es posible determinar las formas de onda en
recepción, vj(t), correspondientes a cada una de las J posibles señales transmitidas en
ausencia de ruido e interferencias. Las degradaciones en el canal, en forma de ruido o
interferencias, hacen que las formas de onda recibidas se desvíen de las esperadas. El
receptor debe estimar o demodular el símbolo transmitido a partir de la observación de
la señal recibida r(t). Pues bien, para minimizar la probabilidad de error en la
demodulación debemos estimar el símbolo transmitido como aquél que tiene mayor
probabilidad a posteriori (criterio MAP). El demodulador óptimo, por tanto, tiene que
calcular las probabilidades a posteriori de cada símbolo, y debe hacerlo a partir de la
señal recibida, que es lo único que se conoce. En el caso del canal AWGN, y
suponiendo que las J señales son equiprobables a priori y equienergéticas, el
demodulador óptimo debe calcular para cada intervalo de símbolo las J variables de
decisión
 TS

*

U j = Re ∫ r (t )v j (t )dt ,

 0
j = 1,2,..., J
(3-53)
y decidir en favor de la señal transmitida, o símbolo, correspondiente a la variable de
decisión que tenga el valor más alto. Nótese que esto exige conocer completamente la
señal recibida r(t); en otras palabras, la demodulación óptima debe ser coherente.
Las variables Uj pueden generarse con un banco de J filtros adaptados a las
señales vj(t), de respuesta al impulso v *j ( TS − t ) , cuyas salidas se muestrean en t = TS. Se
demuestra fácilmente que la salida del filtro adaptado a la señal vj(t) y la de un circuito
que obtiene la correlación de la señal recibida con vj(t) coinciden en el instante de
muestreo t = TS, de manera que los filtros adaptados pueden sustituirse por correladores.
Otra variante es utilizar * filtros adaptados o correladores, en vez de J, siendo * el
número de dimensiones de la constelación, utilizando como patrones no las señales vj(t)
sino los elementos de una base ortonormal del espacio vectorial de éstas. La ventaja de
†
Es habitual en los textos sobre comunicaciones digitales llamar M al número de elementos de la
constelación, pero nosotros reservaremos la letra M para representar otro parámetro relacionado con el
receptor RAKE.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
63
esta realización es que requiere un número * ≤ J de filtros o correladores. Pero ahora las
salidas de éstos ya no son las variables de decisión Uj, por lo cual ya no podemos decidir
por máximo directamente; debemos calcular antes las J variables de decisión a partir de
las salidas de las * filtros o correladores. Por último, hacemos notar que en el caso de
modulaciones binarias antipodales, como BPSK, hay J = 2 variables de decisión y éstas
son opuestas, por lo que basta calcular una y decidir en función de su signo.
3.3.2. Receptor óptimo para señales de espectro ensanchado en canales
selectivos en frecuencia: el receptor RAKE
Volvamos ahora al conjunto de señales del sistema DS-CDMA BPSK del
apartado anterior. Supongamos de momento que la señal recibida durante el intervalo n,
rn(t), se compone únicamente de la parte útil r1n (t ) y el ruido térmico z(t). En este caso
sabemos que el demodulador óptimo consiste en un filtro adaptado a una de las dos
posibles r1n (t ) (para un valor concreto, 1 o -1, de D1n ) y un circuito de decisión. La
variable de decisión, o salida del filtro adaptado, para el usuario de referencia en el
intervalo considerado será:
 ( n+1) TS

L−1
U = Re ∫ r n (t ) ∑ (h1n,l u1n (t − nTS − lTC )) *dt 
l =0
 nTS

n
1
(3-54)
A partir de esta variable, el circuito de decisión declarará que el símbolo transmitido es
“1” si el resultado es positivo y “-1” en caso contrario.
Para calcular esta variable es necesario conocer en cada intervalo los coeficientes
de canal para el usuario 1, h1,nl . Se requiere por tanto que las variaciones del canal sean
suficientemente lentas para permitir una estimación de los coeficientes. Suponiendo
éstos conocidos, es fácil diseñar un circuito que a partir de la señal recibida calcule la
variable de decisión de la forma indicada en (3-54). Dicho circuito estará formado por
un conjunto de L ramas, en cada una de las cuales se multiplica la señal recibida por una
versión retardada del patrón que se espera recibir y se pondera según el correspondiente
coeficiente de canal; a continuación los resultados de todas las ramas son sumados e
integrados.
El demodulador descrito en el párrafo anterior está basado en (3-54) y por tanto
es óptimo, comportándose como un filtro adaptado a la señal recibida. Sin embargo,
deben realizarse una serie de modificaciones para facilitar su realización práctica:
- Puede obtenerse una estructura equivalente retardando la señal recibida en vez de
la señal patrón antes de multiplicarlas. Esta segunda estructura es la que se suele
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
64
utilizar, pues para una modulación J-aria, en la que en general hay que calcular
varias variables de decisión para cada intervalo de señalización, requiere menos
células de retardo. En el caso de BPSK no aporta ninguna ventaja, pues sólo hay
una variable de decisión.
- Debido a la ponderación realizada, las últimas ramas contribuirán poco al
resultado global, pues los últimos coeficientes serán en general pequeños
respecto a los primeros. Esto permite reducir el número de ramas sin que el
comportamiento del receptor se degrade excesivamente. Así, supondremos que
el receptor tiene un número M de ramas distinto en general de L, normalmente
menor.
- Los valores de los coeficientes h1,nl que utiliza el receptor son realmente valores
estimados, que denotaremos por h$1n,l . Evidentemente, no es necesario estimar los
L coeficientes que describen el canal sino sólo los M primeros, que son los que
utilizamos.
Con estas modificaciones, la estructura del receptor (sin incluir el subsistema de
estimación) es la que se indica en la figura 3.8, y la variable de decisión que se obtiene
es:
 ( n+1) TS

M −1
*
n
n
n
n
$
U 1 = Re ∫ r (t ) ∑ (h1,m u1 (t − nTS − mTC )) dt 
m= 0
 nTS

rn(t)
TC
(h$1n,0 ) *
TC
(h$1n,1 ) *
TC
(h$1n,2 ) *
(h$1n, M −1 ) *
(3-55)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
65
(u1n (t − nTS )) *
Sumador e integrador
Re( )
U 1n
FIGURA 3.8. Receptor RAKE para modulación BPSK
A este tipo de receptor se le denomina receptor RAKE. Es una aproximación al
receptor óptimo para señales de espectro ensanchado en el canal AWGN, como queda
claro del proceso que hemos seguido para su obtención. Podemos acercarnos tanto como
queramos al comportamiento óptimo si incluimos suficientes ramas en el receptor y
estimamos los coeficientes de canal con suficiente precisión, por lo que suele decirse
que el receptor RAKE es el receptor óptimo para señales de espectro ensanchado.
La estructura que hemos descrito para el receptor RAKE es la más conveniente
desde el punto de vista del número de elementos funcionales necesarios, pues sólo
requiere M retardadores y un integrador. Sin embargo, hay otras estructuras equivalentes
a la de la figura 3.8, en el sentido de que también proporcionan a su salida la variable de
decisión (3-55). Una variante es retardar la referencia en vez de la señal recibida. Como
ya hemos mencionado, la variante con referencia retardada requiere en general más
elementos de retardo. Otra consiste en integrar la señal obtenida en cada rama y luego
sumar, en vez de sumar y luego integrar como en la figura 3.8. En este caso se requieren
M integradores.
Vamos a referirnos ahora a algunos aspectos que no hemos tratado en la
descripción realizada del receptor RAKE:
- En primer lugar, conviene resaltar que en la descripción estamos utilizando las
señales paso bajo equivalentes (complejas), pero en la realidad cada señal o cada
bloque paso bajo equivalente se traduce en dos, en fase y en cuadratura. Así,
necesitaremos estimar las componentes en fase y cuadratura de cada coeficiente
de canal, en nuestra descripción reunidas en un solo valor complejo;
análogamente, cada rama del receptor RAKE se dividirá en canal en fase y canal
en cuadratura.
- Un aspecto relacionado con el anterior es la recuperación de portadora. Aunque
trabajamos con señales paso bajo equivalentes (fasores), realmente las señales
LUIS MENDO TOMÁS
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66
recibidas están moduladas sobre una portadora, bien de radiofrecuencia en el
canal o bien en frecuencia intermedia a la entrada del RAKE. Puesto que el
receptor considerado es coherente, es imprescindible un subsistema de
recuperación de portadora. La razón de que en nuestro análisis no haya surgido
la necesidad de este subsistema es que al trabajar con señales paso bajo
equivalentes estamos suponiendo implícitamente que todas las señales se
encuentran moduladas sobre la misma portadora (fasores); en la práctica es
necesario dicho subsistema para asegurar la coherencia. En otras palabras, el
análisis paso bajo equivalente supone implícitamente recuperación perfecta de la
portadora en recepción.
- Para obtener la forma del pulso u1n (t − nTS ) es necesario generar la secuencia
código correspondiente al usuario. Esta secuencia generada localmente debe
estar sincronizada con la señal recibida, lo que exige un subsistema de
sincronismo del código.
- También sería necesario un subsistema de sincronismo de símbolo, para fijar el
instante óptimo de muestreo, que es el final del intervalo.
El receptor que hemos descrito es el óptimo cuando la señal recibida consta de la
parte útil (componentes multitrayecto de la señal transmitida) y de un ruido gaussiano
blanco. Surge ahora la siguiente cuestión: ¿sigue siendo óptimo si tenemos en cuenta las
señales interferentes de los demás usuarios del sistema CDMA? Podemos dar una
respuesta afirmativa basándonos en la llamada hipótesis gaussiana de las interferencias:
la variable aleatoria que representa la interferencia total a la salida del demodulador es
la suma de un gran número de variables independientes, y por tanto, según el teorema
del límite central, puede considerarse una variable gaussiana. En el caso de ruido blanco
gaussiano a la entrada del receptor la variable resultante también era gaussiana, de modo
que ambas situaciones son equivalentes.
3.3.3. Prestaciones del receptor RAKE en el canal CDMA
A continuación vamos a analizar la probabilidad de error para el receptor RAKE
en un entorno variante con multitrayecto y con interferencias procedentes de los demás
usuarios de un sistema CDMA asíncrono basado en secuencias pseudoaleatorias. En
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
67
primer lugar obtendremos una expresión para la variable de decisión, a partir de la cual,
tras algunas simplificaciones, calcularemos la probabilidad de error.
Expresión de la variable de decisión
Sustituyendo en (3-55) la expresión para rn(t) dada en (3-51), en la que sólo se
incluyen los usuarios dentro de la célula considerada, tenemos:
( n +1) TS
 M −1

*
n
n
n*
$

U = Re ∑ h1,m ∫ r (t )u1 (t − nTS − mTC )dt  =
 m=0

nTS
n
1
M −1
= D Re ∑ h$
( n +1) TS
∫u
n * n
1,m 1,m
n
1
n
1
h
m= 0
*
(t − nTS − mTC )u1n (t − nTS − mTC )dt +
(a)
nTS


( n +1) TS
M −1
*
*
n
n
n
n

+ D Re ∑ h$1,m ∑ h1,l ∫ u1 (t − nTS − lTC )u1 (t − nTS − mTC )dt  +

m= 0 
l =0
nTS


l ≠m
(b)
( n +1) TS


L −1
*
n
n
n
n*
$

+ D Re ∑ h1,m ∑ h1,l ∫ u1 (t − nTS − lTC )u1 (t − nTS − mTC )dt  +
m= 0 
l= M
nTS

(c)
M −1
n
1
M −1
n
1
( n +1) TS


L −1
*
n −1
n
n −1
n−1
n*
$
+ D1 Re ∑ h1,m ∑ h1,l ∫ u1 (t − (n − 1)TS − lTC )u1 (t − nTS − mTC )dt  +
m= 0 
l =0
nTS

( n+1) TS

K 
M −1
L −1
*
*
n
n
n
−
2
−
2
$
+ ∑ Dk Re ∑h1,m ∑ hk ,l ∫ ukn−2 ( t − (n − 2)TS − τ k − lTC )u1n (t − nTS − mTC )dt  +
k =2
m= 0 
l =0
nTS


( n+1) TS

K 
M −1
L −1
*
−
1
−
1
n
n
n
n−1
n*
$


+ ∑ Dk Re ∑ h1,m ∑ hk ,l ∫ uk ( t − ( n − 1) TS − τ k − lTC ) u1 ( t − nTS − mTC ) dt  +
k =2 
m= 0 
l =0
nTS

M −1
( n+1) TS


M −1
L−1
*
*
n
n
n
$
+ ∑  Dk Re ∑ h1,m ∑ hk ,l ∫ ukn (t − nTS − τ k − lTC )u1n (t − nTS − mTC )dt  +
k =2 
m= 0 
l=0
nTS

(d)
(e)
(f)
K
M −1
+ Re ∑ h$
m= 0
n *
1,m
(g)
( n +1) TS
∫ z( t ) u
n*
1
(t − nTS − mTC ))dt
(h)
nTS
(3-56)
Podemos interpretar cada sumando del último miembro de esta expresión del siguiente
modo:
- el primero, (a), es el término útil de la variable de decisión. Como veremos más
adelante, suponiendo estimaciones ideales ( h$ n = h n ) este término es igual al
1,m
n
1
1,m
símbolo transmitido D multiplicado por una constante positiva.
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68
- (b) representa la no separabilidad perfecta de las M réplicas utilizadas de la señal
útil. Idealmente la rama m del receptor rechazaría todas las réplicas excepto la
m-ésima, pero realmente aparecen interferencias de las M-1 réplicas
correspondientes a las otras ramas.
- (c) es análogo a (b) pero referido a las L-M réplicas que no se utilizan, es decir,
representa la interferencia producida en cada rama m por las L-M réplicas no
empleadas de la señal recibida del usuario de referencia. Los términos (b) y (c)
constituyen lo que podemos denominar interferencia por multitrayecto. Los tres
términos (a), (b) y (c) provienen de la parte que hemos llamado (i) (expresión
(3-51), o figura 3.7) de la señal recibida.
- (d) representa la interferencia entre símbolos, producida por las réplicas del
intervalo anterior que invaden el intervalo actual. Corresponde a (ii).
- (e), (f) y (g) representan la interferencia producida por las señales de los demás
usuarios de la célula, o interferencia por acceso múltiple, y corresponden a (iii),
(iv) y (v).
- (h) es originado por el ruido térmico en el receptor.
Cálculo de la probabilidad de error
La expresión (3-56) no resulta útil debido a su complejidad. Para obtener la
probabilidad de error para el receptor RAKE en el canal considerado debemos
simplificar esta expresión. Lo haremos despreciando todos los términos interferentes
excepto los (f) y (g). La justificación es la siguiente. El ruido térmico, (h), normalmente
es mucho menos importante que los demás términos, por lo que se puede eliminar. El
término (d) puede despreciarse frente a (b) y (c), porque la coincidencia se produce
durante una pequeña parte del intervalo (ver figura 3.7), y por la misma razón (e) es
despreciable frente a (f) y (g). Ahora, admitiendo que las integrales que aparecen en (b),
(c), (f) y (g) toman valores del mismo orden de magnitud, los términos (b), (c) serán
menos importantes que los (f) y (g), porque los primeros son producidos por una sola
señal, la propia señal del usuario de referencia, mientras que los últimos representan a
K-1 usuarios interferentes con el mismo nivel medio de potencia recibida que el de
referencia. En otras palabras, los (f) y (g) tienen más importancia porque son la suma de
K-1 términos semejantes a (b) y (c). En el capítulo 4 comprobaremos la validez de esta
aproximación. La expresión (3-56) ha quedado reducida a:
M −1
*
U = D Re ∑ h$1n,m h1n,m
n
1
n
1
m= 0
( n+1) TS
∫u
n
1
nTS
*
( t − nTS − mTC ) u1n ( t − nTS − mTC ) dt +
(a)
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( n+1) TS


M −1
L −1
*
*
n
n
n
−
1
−
1
$
+ ∑ Dk Re ∑ h1,m ∑ hk ,l ∫ ukn−1 ( t − ( n − 1) TS − τ k − lTC ) u1n ( t − nTS − mTC ) dt  +
k =2 
m= 0 
l =0
nTS

69
K
( n+1) TS


M −1
L−1
n
n *
n
n
n*
$

+ ∑  Dk Re ∑ h1,m ∑ hk ,l ∫ uk (t − nTS − τ k − lTC )u1 (t − nTS − mTC )dt  +
k =2 
m= 0 
l=0
nTS

(f)
K
(g)
(3-57)
Además de esta simplificación, en el desarrollo que sigue vamos a realizar las
siguientes suposiciones:
- Estimación de canal perfecta, es decir, h$1n,m = h1n,m .
- En el modelo de canal establecido en el apartado 3.2 consideramos los
coeficientes de canal constantes durante un intervalo de símbolo, en base a la
hipótesis de canal de variación lenta. Ahora vamos a dar un paso más
admitiendo que los valores de los coeficientes en un intervalo varían muy poco
respecto a los del intervalo anterior, con lo que podemos aproximar
considerando hkn,−l 1 = hkn,l .
Con estas aproximaciones, y haciendo el cambio de variable t' = t-nTS en las integrales
de (3-57), tenemos:
M
U = D Re ∑ | h |
n
1
n
1
n 2
1,m
m= 0
TS
∫ |u
n
1
(t − mTC )|2 dt +
0
TS


*
n
n
n
−
1
+ ∑ ∑ ∑ Re h1,m hk ,l  Dk ∫ ukn−1 (t + TS − τ k − lTC )u1n (t − mTC )dt +
k = 2 m= 0 l = 0

0

K M −1 L−1
(3-58)

+ D ∫ u (t − τ k − lTC )u (t − mTC )dt 
0

TS
n
k
n*
1
n
k
Como u1n (t ) vale ±1 para t entre 0 y TS y 0 fuera de ese intervalo (figura 3.5), la primera
integral resulta
TS
∫ |u
n
1
(t − mTC )|2 dt = (C − m)TC
(3-59)
0
Teniendo en cuenta que ukn−1 (t ) y ukn (t ) también se anulan para t fuera de (0,TS), si
definimos
TS
τ

1  n−1 n−1
*
n*
n
ε (τ , m) =  Dk ∫ uk (t + TS − τ )u1 (t − mTC )dt + Dk ∫ ukn (t − τ )u1n (t − mTC )dt  (3-60)
TS 
mTC
τ

n
1,k
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70
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podemos expresar U 1n como
M −1
K M −1 L−1
m= 0
k = 2 m= 0 l = 0
U 1n = D1n ∑ | h1n,m |2 (C − m)TC + TS ∑ ∑ ∑ Re h1n,m hkn,l ε 1n,k (τ k + lTC , m)
[
]
*
(3-61)
Para calcular la probabilidad de error seguiremos dos pasos. En primer lugar
calcularemos dicha probabilidad suponiendo los coeficientes de canal para el usuario de
referencia, h1,nm , fijos, y a continuación promediaremos respecto a esos coeficientes para
obtener la expresión definitiva.
Considerando los h1,nm fijos, el valor del primer sumando de la expresión anterior,
que llamaremos A1n , y que coincide con el término útil (a) de (3-56), es igual a una
constante positiva por el valor del símbolo transmitido:
M −1
n
1
n
1
A ≡ (a ) = D
M −1
∑| h
n
1 S
n 2
1,m
| ( C − m) TC = D T
m= 0
∑| h
n 2
1,m
|
m= 0
C−m
C
(3-62)
Teniendo en cuenta que M << C, podemos aproximar:
M −1
n
1
n
1 S
A ≈D T
∑| h
n 2
1,m
|
(3-63)
m= 0
El segundo sumando, que coincide con la suma de los términos (f) y (g) de la variable de
decisión, y que llamaremos I1n , es una variable aleatoria que se obtiene como la suma de
(K-1) variables individuales i1,n k correspondientes a cada uno de los usuarios
interferentes:
K M −1 L −1
I ≡ ( f ) + ( g ) = TS ∑ ∑ ∑ Re h
[
n
1
k = 2 m= 0 l = 0
M −1 L −1
i1n,k = TS ∑ ∑ Re h1n,m hkn,l ε 1n,k (τ k + lTC , m)
m= 0 l = 0
[
K
h ε (τ k + lTC , m) = ∑ i1n,k ,
]
n * n
n
1,m k ,l 1,k
*
]
(3-64)
k =2
(3-65)
Vamos a realizar las siguientes hipótesis respecto a las variables aleatorias que
intervienen en estas expresiones:
- Admitiremos que los coeficientes de canal correspondientes a distintos usuarios
(distinta k) o a distintas componentes (distinta l o m) son independientes. Dichos
coeficientes se modelan como variables aleatorias complejas con partes real e
imaginaria gaussianas independientes de media nula e idéntica varianza.
- Los retardos τ k se modelan como variables aleatorias independientes
uniformemente distribuidas en (0,TS).
LUIS MENDO TOMÁS
71
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
- Los términos de interferencia ε 1,nk (τ k + lTC , m) también se considerarán
independientes para distinta k, l, o m, e independientes de las variables que
representan a los coeficientes de canal
Según estas hipótesis, las i1,n k son variables aleatorias independientes entre sí, y
por tanto podemos considerar, para K suficientemente elevado, I1n como una variable
aleatoria gaussiana. Esto es lo que se conoce como hipótesis gaussiana de las
interferencias (obsérvese, sin embargo, que nosotros no la hemos introducido como una
hipótesis independiente, sino que es consecuencia de las anteriores). Para conocer la
media y la varianza de I 1n debemos hallar las de i1,n k (para h1,nm fijos). Haciendo el cambio
de variable t' = t-mTC en las dos integrales de (3-60) y teniendo en cuenta que M << C,
podemos hacer la siguiente aproximación:
TS
τ

1  n−1 n−1
n*
n
n
n*

ε (τ , m) =  Dk ∫ uk (t + TS − τ )u1 (t − mTC )dt + Dk ∫ uk (t − τ )u1 (t − mTC )dt  =
TS 
mTC
τ

n
1, k
TS − mTC
τ − mTC

1  n−1
*
n
n −1
n*
uk (t '+ mTC + TS − τ )u1 (t ')dt ' + Dk ∫ ukn (t '+ mTC − τ )u1n (t ')dt ' ≈
=  Dk
∫
TS 
0
τ − mTC

TS
τ

1  n−1 n−1
n*
n
n
n*

≈  Dk ∫ uk (t '+ mTC + TS − τ )u1 (t ')dt ' + Dk ∫ uk (t '+ mTC − τ )u1 (t ')dt ' =
TS 
0
τ

= ε 1n,k (τ − mTC ,0)
(3-66)
Con esto i1,n k queda:
M −1 L −1
n
1, k
i
≈ TS ∑ ∑ Re h1n,m hkn,l TS ε 1n,k (τ k + ( l − m) TC ,0) =
[
m= 0 l = 0
M −1 L−1
= TS ∑ ∑ Re h
[
m= 0 l = 0
]
*
,
n * n
n
1,m k ,l 1,k
h ε (τ 'k ,l ,m ,0)
(3-67)
]
donde hemos definido
τ ' k ,l ,m = τ k + (l − m)TC
(3-68)
La varianza de i1,n k será:
[ ]
n
1, k
Var i
 M −1 L−1

*
= VarTS ∑ ∑ Re h1n,m hkn,lε 1n,k (τ ' k ,l ,m ,0)  =
 m=0 l= 0

[
]

 M −1 L−1
*
*
= T Var ∑ ∑ Re h1n,m hkn,l Re ε 1n,k (τ 'k ,l ,m ,0) − Im h1n,m hkn,l Im ε 1n,k (τ 'k ,l ,m ,0) 

 m= 0 l =0
2
S
( [
] [
]
[
] [
])
(3-69)
Para la modulación considerada, es decir, BPSK tanto a nivel de símbolo (símbolos “1”
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
72
y “-1”) como de chip (secuencias código bipolares), los pulsos sólo toman valores
reales, y por tanto es real también ε 1,nk (τ , m) , con lo que la expresión anterior se
simplifica:
 M −1 L−1

*
Var i1n,k = TS2 Var ∑ ∑ Re h1n,m hkn,l ε 1n,k (τ 'k ,l ,m ,0)  =
 m= 0 l = 0

[ ]
[
]

 M −1 L−1
= T Var ∑ ∑ Re[ h1n,m ] Re[ hkn,l ] + Im[ h1n,m ] Im[ hkn,l ] ε 1n,k (τ 'k ,l ,m ,0) 

 m=0 l = 0
(
2
S
(3-70)
)
Puesto que el desplazamiento τk es una variable aleatoria uniformemente
distribuida en (0,TS), a la vista de (3-68) podemos considerar, con el mismo grado de
aproximación que en (3-63), que τ ' k ,l ,m también lo es, independientemente de k, l y m.
Las familias de secuencias suelen ser tales que las propiedades de correlación para toda
pareja de secuencias g1(t) y gk(t) son similares, por lo que las propiedades estadísticas de
ε 1n,k (τ 'k ,l ,m ,0) no dependerán de k, l, y m. Por otro lado, los pulsos suelen tener por
término medio el mismo número de chips con valor “1” que “-1”, lo cual implica que la
media de ε 1n,k (τ ' k ,l ,m ,0) será cero. Llamaremos Γε al valor cuadrático medio de
|ε 1n,k (τ ' k ,l ,m ,0)| , independiente de k, l y m. Éste será igual a la varianza de ε 1n,k (τ ' k ,l ,m ,0) ,
por ser su media nula:
[
]
E ε 1n,k (τ 'k ,l ,m ,0) = 0
[
]
[
(3-71)
]
E |ε 1n,k (τ ' k ,l ,m ,0)|2 = Γ ε = Var ε 1n,k (τ ' k ,l ,m ,0)
(3-72)
Prácticamente cualquier familia de secuencias código verifica, suponiendo pulsos de
chip rectangulares,
Γε =
2
,
3C
(3-73)
como tendremos ocasión de comprobar en el capítulo 4.
Las hipótesis realizadas implican que las variables Re[hkn,l ] son independientes y
de media nula, y lo mismo para las Im[hkn,l ], y que las Re[hkn,l ] son independientes de las
Im[hkn,l ]. Las variables ε 1n,k (τ ' k ,l ,m ,0) también son independientes y de media nula, e
independientes de Re[hkn,l ] e Im[hkn,l ]. Esto permite, haciendo uso de los siguientes
teoremas:
1) Para dos variables aleatorias X, Y independientes y dos constantes a y b
Var[ aX + bY ] =| a|2 Var[ X ] +|b|2 Var[ Y ]
2) Para dos variables aleatorias X, Y independientes de media nula
(3-74)
LUIS MENDO TOMÁS
73
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Var[ XY ] = Var[ X ] Var[ Y ] ,
[ ]
(3-75)
[ ]
y teniendo en cuenta que Re h1n,m e Im h1n,m son constantes (estamos considerando los
valores de los coeficientes h1,nm fijos), expresar (3-70) de la siguiente forma:
[ ]=T
n
1,k
2
S
Var i
M −1 L −1
Γε
∑ ∑( ( Re[h ])
n
1,m
2
] (
[
)
2
])
[
Var Re[hkn,l ] + Im[h1n,m ] Var Im[hkn,l ]
m= 0 l = 0
(3-76)
Como las partes real e imaginaria de los coeficientes de canal se modelan como
variables aleatorias independientes gaussianas de media nula e idéntica varianza,
tenemos que
[
]
[
]
Var Re[hkn,l ] = Var Im[hkn,l ] =
1
1
Var hkn,l = E | hkn,l |2
2
2
[ ]
[
]
(3-77)
y la expresión (3-76) se simplifica:
1
Var i1n,k = TS2 Γ ε
2
1
= TS2 Γ ε
2
[ ]
M −1
2 L−1
∑( ( Re[h ]) + ( Im[h ]) ) ∑ Var[ h ]
n
1,m
2
n
1,m
m= 0
n
k ,l
l =0
M −1
∑| h
L −1
n 2
1,m
|
m= 0
∑ Var[ h ]
n
k ,l
l=0
1
= TS2 Γ ε
2
M −1
L −1
∑| h
n 2
1,m
|
m= 0
∑ E[ | h | ]
(3-78)
n 2
k ,l
l=0
La varianza del término interferente total I 1n , teniendo en cuenta que es la suma de K-1
términos independientes i1,n k , será:
K
Var[ I 1n ] = ∑ Var i1n,k
k =2
[ ]
(3-79)
Las varianzas de estos K-1 sumandos serán todas iguales, pues, según explicamos en
[
]
3.2.4, suponiendo un control de potencia medio ideal, E | hkn,l |2 es igual para todo k entre
1 y K (es decir, dentro de la célula de referencia). En particular, podemos considerar
[
] [
]
E | hkn,l |2 = E | h1n,l |2 ,
(3-80)
y, así,
Var [ I1n ] =
M −1
1
( K - 1)TS2 Γ ε ∑ | h1n,m |2
2
m= 0
L−1
∑ E[| h | ]
n 2
1,l
(3-81)
l =0
Si queremos incluir el efecto de las interferencias de las demás células del
sistema CDMA pseudoaleatorio basta extender la suma de (3-79) hasta KT en vez de K,
siendo KT el número total de usuarios del sistema:
Var[ I
KT
n
1
] = ∑ Var[i ]
n
1, k
k =2
(3-82)
LUIS MENDO TOMÁS
74
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Las varianzas de los nuevos términos i1,n k con K+1 ≤ k ≤ KT estarán dadas por la misma
expresión (3-78) sin más que introducir los E[|hkn,l |2 ] correspondientes. Nótese que esto
no sería verdad si cada usuario no tuviera una secuencia única, como tiene en un sistema
pseudoaleatorio, pues la reutilización de secuencias daría lugar a términos i1,n k con
varianzas mayores que la dada por (3-78), para usuarios k que usaran la misma
secuencia que el 1. Por otro lado, aunque en nuestro sistema pseudoaleatorio la varianza
de i1,n k venga dada por (3-78) para todo k, los valores obtenidos para K+1 ≤ k ≤ KT ya no
serán en general los mismos que para k ≤ K, pues (3-80) no se cumple para K+1 ≤ k ≤ KT
(recuérdese que hemos incluido en los coeficientes de canal el efecto del control de
potencia). Si definimos la eficiencia de reutilización ρ de un sistema celular CDMA
pseudoaleatorio como
K T L −1
K T L −1
∑ ∑ E[|h | ] ∑ ∑ E[|h | ]
n 2
k ,l
ρ=
k =2 l=0
K L −1
∑ ∑ E |hkn,l |2
k =2 l=0
[
n 2
k ,l
]
k =2 l=0
K L −1
=
∑ ∑ E |h1n,l |2
[
k =2 l =0
]
,
(3-83)
sustituyendo (3-78) y (3-83) en (3-82) tenemos
M −1
K −1 L −1
1 2 M −1 n 2 K T −1 L −1
1
2
n 2
n 2
Var[ I ] = TS Γ ε ∑| h1, m | ∑ ∑ E | hk ,l | = ρTS Γ ε ∑| h1,m | ∑ ∑ E | hkn,l |2
2
2
m= 0
k =2 l=0
m= 0
k =2 l=0
[
n
1
]
[
]
(3-84)
Aplicando ahora (3-80) llegamos a
Var[ I ] =
n
1
1
ρ ( K − 1)TS2 Γ ε
2
M −1
∑|h
L −1
n 2
1,m
m= 0
|
∑ E[ | h | ] ,
n 2
1,l
(3-85)
l=0
es decir, la varianza de I 1n incluyendo las interferencias de otras células se obtiene como
en (3-81) pero multiplicando por la eficiencia de reutilización ρ. Valores típicos de ρ
para células aproximadamente circulares están en torno a 1.7, como comprobaremos en
el capítulo 7.
La variable de decisión, considerando los coeficientes h1,nm fijos, será, en virtud
de la hipótesis gaussiana de las interferencias, una variable aleatoria real gaussiana de
media A1n , dependiente del valor del símbolo D1n , y varianza igual a Var[I 1n ], que
acabamos de calcular. Supuesto que el símbolo transmitido es 1, se producirá error si la
variable de decisión es negativa. Para símbolo transmitido igual a -1 la probabilidad será
la misma, pues el canal es simétrico. Por tanto la probabilidad de error, condicionada a
unos ciertos valores de los h1,nm , puede calcularse como:
 n n

A
(
D
)
−
=
1
1
1
1
,
P'b = p(U ( D = 1) < 0) = p( I < − A ( D = 1)) = erfc
 2 Var I n 
2
[ 1] 

n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
(3-86)
LUIS MENDO TOMÁS
75
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
siendo
erfc( x ) =
2
π
∞
∫e
−t 2
dt
(3-87)
x
Sustituyendo A1n ( D1n = 1) y Var[I1n ], dadas por (3-63) y (3-85):
M −1


∑| h1n,m |2
1
m= 0
P'b = erfc
M −1
L −1
2

n 2
n 2
 ρ ( K − 1) Γ ε ∑ | h1,m | ∑ E | h1,l |

m= 0
l =0
[
]
M −1




∑| h1n,m |2
1
m= 0
 = erfc
L −1
 2
 ρ ( K − 1) Γ
E | h1n,l |2
∑

ε

l=0


[
]






(3-88)
Para obtener la expresión definitiva de la probabilidad de error sólo falta
promediar P'b respecto a los coeficientes h1,nm . Definiendo
| h1n,m |2
γm =
L−1
ρ ( K − 1) Γ ε ∑ E |h |
l =0
η m = E[γ m ] =
[
n 2
1,l
(3-89)
]
[
E |h1n,m |2
]
L −1
ρ ( K − 1) Γ ε ∑ E |h |
[
l=0
n 2
1,l
]
(3-90)
M −1
∑|h
n 2
1,m
M −1
γ =
∑γ
m
=
m= 0
|
m= 0
L −1
ρ ( K − 1) Γ ε ∑ E |h |
[
l=0
n 2
1,l
]
,
(3-91)
podemos expresar (3-88) de la forma
1
P'b = erfc( γ )
2
(3-92)
Como los coeficientes h1,nm son variables aleatorias complejas con partes real e
imaginaria gaussianas de media nula e igual varianza, los | h1n,m |2 , y por tanto los γm,
tendrán una distribución exponencial (chi cuadrado con dos grados de libertad):
pγ m (γ m ) =
1
ηm
e − γ m /η m
γm ≥ 0
(3-93)
De aquí puede calcularse la función característica de γm:
Ψγ (ω ) = E[ e jωγ
m
m
] = 2π F−1 [ pγ
m
]
(γ m ) =
1
,
1 − jωη m
(3-94)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
76
donde el operador F representa la transformada de Fourier y F-1 la transformada inversa.
Puesto que la función característica de una suma de variables independientes es igual al
producto de las funciones características de cada una, podemos obtener la función
característica de γ como
M − .1
Ψγ (ω ) =
1
∏ 1 − jωη
m= 0
,
(3-95)
m
y a partir de aquí su función de densidad de probabilidad:
pγ (γ ) =
1
F ψ γ (ω )
2π
[
]
(3-96)
Suponiendo que todos los parámetros ηm son distintos entre sí, haciendo la transformada
de Fourier obtenemos:
M −1
pγ (γ ) =
πm
∑η
m= 0
e − γ /η m
γ ≥ 0,
(3-97)
m
M
πm = ∏
i =1
i≠ m
ηm
η m − ηi
(3-98)
Promediando P'b, ecuación (3-88), respecto a la función de densidad de probabilidad
dada por (3-97), obtenemos la expresión para la probabilidad de error en un sistema
CDMA asíncrono pseudoaleatorio con control de potencia medio ideal:
1 M −1 
ηm 
Pb = ∫ P'b (γ ) pγ (γ )dγ = ∑π m 1 −
,
2 m= 0 
1 + ηm 
0
∞
(3-99)
con ηm y πm dados por (3-90) y (3-98).
Como aplicación, supongamos un perfil potencia-retardo exponencial, dado por:
φ h (τ ) = Be −τ /T , t ≥ 0,
m
(3-100)
donde B es una constante con dimensiones de s-2 . Recuérdese que suponemos que la
forma del perfil de potencia es la misma para todos los usuarios del sistema, y además la
constante B, en virtud del control de potencia medio, es la misma para todos los usuarios
dentro de la célula. Puede comprobarse mediante (3-12) que el parámetro Tm de esta
expresión es efectivamente la dispersión del retardo para perfil exponencial, que para
este tipo de perfil coincide además con el retardo medio τm, definido en (3-13), y
equivale al retardo para el cual el valor del perfil se ha reducido a 1/e del valor inicial.
Para perfil exponencial el parámetro Tζ se relaciona con Tm de la siguiente forma:
LUIS MENDO TOMÁS
77
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Be
− Tς / Tm
= ςB
Tς = −Tm ln ς
(3-101)
Tς = − Tm ln 0.01 ≈ 4.6Tm
(3-102)
Si tomamos ζ = 1%:
En la figura 3.9 se muestran la forma de φh(τ) y los parámetros característicos.
B
φh(τ)
Tm = τm
τ
Tζ
FIGURA 3.9. Perfil retardo-potencia exponencial
Tomaremos un periodo de símbolo TS = 1/9600 s y C = 127 chips por símbolo, con lo
que el periodo de chip será TC = 0.82 µs. Supongamos Tm = 0.01TS = 1.04 µs. Esto nos
da, según (3-102), Tζ = 4.8 µs. L puede calcularse a partir de Tζ utilizando (3-35),
[
]
obteniéndose L = 6. Los valores E | h1n,l |2 se obtienen en función del perfil potencia-
[
]
retardo según (3-52). Con el perfil dado por (3-100), E |h1n,l |2 = BTC2 e − l /1.27 = cte⋅ e − l /1.27 .
Puede comprobarse que para l = L = 6 el valor ya es inferior al 1% del correspondiente a
l = 0, que es el máximo. Supongamos un receptor de M = 4 ramas. Como factor de
reutilización utilizamos ρ = 1.7, y suponiendo pulsos de chip rectangulares podemos
tomar para Γε el valor habitual de 2 / 3C. Con esto, sustituyendo en (3-90) obtenemos:
ηm =
6132
.
6132
.
27.9
12.7
5.78
e − m/1.27 : η 0 =
, η1 =
, η2 =
, η3 =
K −1
K −1
K −1
K −1
K −1
Utilizando ahora (3-98):
π 0 = 2.55 , π 1 = −1.93, π 2 = 0.4 , π 3 = −0.023
LUIS MENDO TOMÁS
78
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Nótese que los πm son independientes del número de usuarios por célula K. Por último,
sustituyendo estos ηm y πm en (3-99) obtenemos la curva de la probabilidad de error en
función del número de usuarios por célula K, representada en la figura 3.10. En dicha
figura se representan también las curvas correspondientes a M = 1, 2 y 8 ramas, con los
mismos valores para los demás parámetros. La figura 3.11. muestra una familia de
curvas obtenidas fijando el número M de ramas del receptor en 4 y variando la
dispersión temporal del canal Tm entre 0.003TS (0.31 µs) y 0.3TS (31.25 µs).
Tm=0.01Ts
0
10
M=1
M=2
M=4
M=8
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
0
50
100
K
150
FIGURA 3.10. Probabilidad de error para perfil exponencial
200
LUIS MENDO TOMÁS
79
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
M=4
0
10
Tm=0.3TS
Tm=0.1TS
Tm=0.03TS
Tm=0.003TS
Tm=0.01TS
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
0
50
100
K
150
200
FIGURA 3.11. Probabilidad de error para perfil exponencial
A la vista de estas curvas pueden hacerse las siguientes observaciones:
- En todos los casos la probabilidad de error aumenta con el número de usuarios.
Como es lógico, al haber más usuarios aumenta el nivel de interferencia y el
comportamiento del receptor se degrada.
- Para una dispersión temporal fija, siempre podemos reducir la probabilidad de
error incluyendo más ramas en el receptor (estamos suponiendo estimación
perfecta de los coeficientes de canal). Sin embargo, según aumentamos M la
mejora es cada vez más pequeña, como se ve en la figura 3.10, ya que el nivel
(medio) de las componentes disminuye con el retardo.
- Para un número de ramas M fijo existe un valor óptimo de la dispersión del canal
Tm, que minimiza la probabilidad de error. Este valor óptimo es el resultado del
compromiso entre dos efectos contrapuestos: si L >> M un aumento de Tm
resulta perjudicial, pues sólo contribuye a aumentar el nivel total de
interferencia; por el contrario, si L << M el aumento de la actividad
multitrayecto será aprovechado por el receptor para incrementar el orden de
diversidad, contrarrestando y superando el aumento de la interferencia, y
logrando así una mejora en las prestaciones. Estos dos efectos quedan reflejados
en la figura 3.11. El valor óptimo para Tm puede apreciarse mejor en la figura
3.12, en la que se representa Pb en función de Tm/TS con K y M como
LUIS MENDO TOMÁS
80
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
parámetros. Vemos claramente la presencia del mínimo, cuya posición varía con
el número de usuarios por célula K.
M=4
0
M=8
0
10
10
K=90
-1
K=90
-1
10
10
K=50
K=50
-2
10
-2
10
K=10
Pb
K=10
-3
-3
10
10
-4
10
-4
0
0.05
Tm/TS
10
0.1
0
0.05
Tm/TS
0.1
FIGURA 3.12. Probabilidad de error en función de Tm/TS.
En la expresión (3-99) para Pb intervienen, a través de los parámetros ηm, los
valores cuadráticos medios de los módulos de los coeficientes de canal, que se calculan
a partir del perfil de potencia-retardo del canal mediante la ecuación (3-52).
Normalmente este perfil es decreciente, ya que generalmente según aumenta el retardo
la amplitud media de las componentes recibidas va disminuyendo. Sin embargo, a veces
se utiliza un modelo de perfil retardo-potencia rectangular. Según este modelo los
[
]
valores E | h1n,l |2 con l entre 0 y L-1 son todos iguales, y por tanto suponiendo M ≤ L
también son iguales entre sí los ηm:
ηm =
[
E |h1n,m |2
L −1
]
ρ ( K − 1) Γ ε ∑ |E |h |
l=0
[
n 2
1,l
]
=
1
= η0,
ρ ( K − 1) Γ ε L
(3-103)
con lo que (3-97) deja de ser válida (al intentar calcular πm obtendríamos una
indeterminación). Para obtener la expresión de la probabilidad de error debemos volver
a (3-95), que queda de la forma
Ψγ (ω ) =
1
(1 − jωη 0 ) M
,
(3-104)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
81
con η0 dada por (3-103). La función de densidad de probabilidad de γ se obtiene como
se indica en (3-96), y resulta ser:
pγ (γ ) =
1
γ
η ( M − 1)!
M −1 − γ /η 0
e
M
0
γ ≥ 0,
(3-105)
correspondiente a una distribución chi cuadrado con 2M grados de libertad. La
probabilidad de error, promediando respecto a pγ(γ), vale ahora:
∞
Pb =
1− µ 
∫ P'b (γ ) pγ (γ )dγ =  2 
−∞
 M − 1 + m 1 + µ m
∑ m  2  ,
m= 0 
M M −1
(3-106)
donde
µ=
η0
1+ η0
(3-107)
Si el número M de ramas fuera mayor que L, las ηm con m = 1,...,L seguirían estando
dadas por (3-103), pero para m = L+1,...,M valdrían 0: las últimas M-L ramas no aportan
nada a la variable de decisión. Las expresiones generales (3-95) y (3-96) para ψγ(γ) y
pγ(γ) quedarían como (3-104) y (3-105) pero sustituyendo M por L, y lo mismo, en
definitiva, para la expresión final de Pb.
Vamos a sustituir ahora el perfil de potencia exponencial del ejemplo anterior
por uno rectangular con el mismo valor de Tm. El perfil rectangular se define como
φ h (τ ) = B, 0 ≤ τ < Tς
(3-108)
Puede comprobarse que el Tζ que aparece en esta expresión se corresponde con la
definición que hemos dado para este parámetro, cuyo valor para este tipo de perfil es
independiente de ζ (0 < ζ < 100%). Calculando el retardo medio τm mediante la
expresión (3-13) y la dispersión del retardo Tm mediante (3-12) obtenemos la relación
entre Tζ y Tm para perfil potencia-retardo rectangular:
τm =
Tς
2
Tς = 12 Tm ≈ 35
. Tm
La figura 3.13 ilustra la relación entre estos parámetros.
Tm
(3-109)
(3-110)
LUIS MENDO TOMÁS
82
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
τm
Tζ
φh(τ)
B
τ
FIGURA 3.13. Perfil retardo-potencia rectangular
Al cambiar la forma de φh(τ) manteniendo el valor de Tm ha variado el parámetro Tζ.
Suponiendo los valores de todos los demás parámetros iguales a los del caso anterior
con perfil exponencial, mediante la expresión (3-106) podemos obtener las curvas
correspondientes. Por ejemplo, para M = 4 y Tm = 0.01TS = 1.04 µs, de (3-110) se
obtiene Tζ€=€3.6 µs, y aplicando (3-35) tenemos L = 5. Puede comprobarse que para
l = L = 5 tenemos φh(lTC) = φh(4.1 µs) = 0 < Bζ. Calculamos η0 y µ con (3-103) y
(3-107):
η0 =
µ=
22.4118
K -1
22.41
21.41 + K
Sustituyendo en (3-106) obtenemos la curva de probabilidad de error en función de K,
representada en la figura 3.14. Se muestran también las curvas correspondientes a otros
valores de M. En la figura 3.15. se representan las curvas para distintos valores de Tm
con M fijo.
LUIS MENDO TOMÁS
83
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Tm =0.01TS
100
M=1
M=2
M=3
M=4
M≥5
10-1
10-2
Pb
10-3
10-4
0
50
100
K
150
200
FIGURA 3.14. Probabilidad de error para perfil rectangular
M=4
0
10
Tm=0.3TS
Tm=0.1TS
Tm=0.03TS
Tm=0.01TS
Tm=0.003TS
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
0
50
100
K
150
FIGURA 3.15. Probabilidad de error para perfil rectangular
200
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
84
Éstas son las figuras análogas a las 3.10. y 3.11 con perfil de potencia
rectangular en vez de exponencial. Vemos que el comportamiento es similar, con
algunas diferencias en cuanto a los valores obtenidos:
- para Tm/TC >> M, o bien L > M (curvas correspondientes a M = 4 y Tm = 0.03TS),
se obtienen mejores resultados con perfil exponencial que con rectangular. Esto
se explica si tenemos en cuenta que con perfil exponencial las primeras
componentes tienen niveles mayores, mientras que con perfil rectangular todas
tienen el mismo nivel por término medio, por lo que, para un mismo valor de Tm,
con un número reducido de ramas captamos más señal con el perfil exponencial
que con el rectangular. Ver parte (a) de la figura 3.16.
- para Tm/TC << M, o bien L < M (curvas con M = 4 y Tm = 0.003TS) es mejor el
perfil rectangular. Esto es debido a que en los dos casos, al ser M mayor que L,
estamos captando todas las réplicas originadas por el canal, pero este número de
réplicas es muy pequeño con la resolución (TC) utilizada, por lo que el grado de
diversidad obtenido es superior en el caso rectangular, al ser las componentes de
niveles más parecidos. Ver parte (b) de la figura 3.16.
Tm
Tζ
Tζ
Tm
123
123
M
M
Tm
Tζ
Tm
123
123
M
M
Tζ
(a) Tm/TC >> M
(b) Tm/TC << M
FIGURA 3.16. Comparación entre perfiles exponencial y rectangular
con el mismo Tm
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
85
Los dos ejemplos numéricos vistos indican que las probabilidades de error
obtenidas son en general muy altas, pues incluso para un número de usuarios pequeños
están bien por encima de 10-3, valor que suele tomarse como referencia para una calidad
mínima aceptable en comunicaciones vocales. Será necesario el empleo de codificación
de canal con la suficiente capacidad correctora para disminuir la probabilidad de error a
valores aceptables.
3.3.4. El receptor RAKE como sistema de diversidad
Supongamos que podemos separar perfectamente las M primeras componentes
de la señal útil, introducimos cada una en un filtro adaptado y llevamos a cabo una
combinación de las salidas. La forma de combinación óptima es la llamada combinación
de relación máxima, MRC (Maximal Ratio Combining), y consiste en compensar para
cada componente el desfase introducido por el canal y asignar a cada una un peso
proporcional a la amplitud con que se recibe. Equivale, por tanto, a una suma ponderada
por los conjugados de los coeficientes de canal. Si en la situación descrita realizamos
este tipo de combinación el resultado será:
M −1
V = D Re ∑ h
n
1
n
1
m= 0
TS + mTC
n * n
1,m 1,m
h
∫u
n
1
*
( t − mTC ) u1n ( t − mTC ) dt
(3-111)
mTC
Teniendo en cuenta que
TS + mTC
∫u
n
1
*
( t − mTC ) u1n ( t − mTC ) dt = TS ,
(3-112)
mTC
podemos escribir V1n como
M −1
V1n = D1n TS ∑|h1n,m |2
(3-113)
m= 0
Comparando esta expresión con la (3-62), vemos que ambas son equivalentes excepto
por la presencia de los coeficientes (C-m)/C. Éstos aparecen en (3-62) debido a que la
integración acaba al final del intervalo de símbolo, con lo que sólo la primera réplica se
utiliza en su totalidad; la réplica m-ésima no se integra a lo largo de su duración total
TS = CTC sino durante (C-m)TC, debido a que se recibe mTC más tarde. Así, podemos
afirmar que el término útil de D1n equivale a una combinación MRC de las M réplicas
excepto unas pérdidas por integración incompleta, que van a ser más importantes
cuanto mayor sea el número de ramas M, pero siempre muy pequeñas, ya que
m ≤ M << C. Nótese que en el cálculo de la probabilidad de error hemos despreciado
estas pérdidas, pues la ecuación (3-63) aproxima precisamente A1n por V1n .
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
86
3.4. OTROS TIPOS DE RECEPTORES UTILIZADOS E CDMA
En sistemas móviles CDMA es habitual la utilización de receptores RAKE con
un número reducido de ramas para lograr diversidad por multitrayecto, suponiendo que
el ancho de banda de las señales expandidas es suficientemente grande.
A veces también se utiliza un receptor convencional, sin diversidad, que puede
considerarse como un receptor RAKE con una sola rama (en el caso de una sola rama la
estimación de canal es irrelevante, pues lo que importa son las amplitudes y fases
relativas de las componentes). Con este receptor tenemos una cierta inmunidad frente al
multitrayecto, derivada de las propiedades de autocorrelación de las señales utilizadas,
pero no aprovechamos el mismo para obtener diversidad.
Si el ancho de banda W de las señales expandidas es menor que el ancho de
banda de coherencia del canal, (∆f)c, es decir, si éste no es selectivo en frecuencia, no
pueden distinguirse las réplicas multitrayecto en recepción, pues no tenemos la
resolución suficiente, al ser TC mayor que Tm. Perdemos por tanto la protección frente al
multitrayecto, así como la posibilidad de lograr diversidad. En estas condiciones un
receptor RAKE carecería de sentido, por lo que se utilizaría un receptor convencional.
Por último, existe una variante de receptor RAKE que difiere del que hemos
descrito en este capítulo en que los retardos entre las ramas no son fijos e iguales a TC
(ver figura 3.8), sino que éstos son variables, en función de la salida de un subsistema
que trata de estimar los retardos con que se reciben las componentes de mayor amplitud.
La ponderación de cada rama sigue siendo proporcional a la amplitud de la componente
correspondiente (combinación MRC). Suponiendo un número arbitrariamente grande de
ramas y estimaciones perfectas tanto de las amplitudes y fases de las componentes (para
ambos tipos de receptores) como de los retardos (para el receptor con estimación de
retardo), el comportamiento de ambos receptores es idéntico. Para un número de ramas
limitado el receptor con estimación de retardo tiene la ventaja de que combina las
componentes más importantes independientemente del retardo asociado a las mismas.
Con el receptor RAKE convencional esto requiere un número mayor de ramas, en
función del retardo máximo del canal. Sin embargo, el comportamiento del receptor
RAKE con estimación de retardo depende fuertemente de la precisión con que dichas
estimaciones puedan realizarse, además de las de amplitud y fase, necesarias en ambos.
CAPÍTULO 4:
SECUENCIAS CÓDIGO PARA
SISTEMAS DS-CDMA
En este capítulo vamos a tratar las secuencias código utilizadas en sistemas
DS-CDMA BPSK asíncronos. Precisaremos en primer lugar las características óptimas
de las secuencias código en un sistema como el considerado, es decir, veremos cuáles
son las propiedades que debemos exigir a las secuencias para tener una probabilidad de
error mínima, basándonos en el estudio del receptor realizado en el capítulo 3. A
continuación analizaremos el comportamiento de algunas familias de secuencias, para
ver en qué grado se acercan a las características ideales.
4.1. CARACTERÍSTICAS QUE DEBE TEER LAS SECUECIAS CÓDIGO
E U SISTEMA DS-CDMA BPSK ASÍCROO
El comportamiento del receptor en cuanto a probabilidad de error está
determinado por la forma en que éste obtiene la variable de decisión, pues a partir de esa
variable se estima el símbolo transmitido. La ecuación (3-56) del capítulo anterior
expresa cómo se obtiene la variable de decisión en el receptor RAKE. El término (a), o
A1n , es la parte útil de la variable de decisión. Como sabemos, este término es igual a
una constante positiva por el valor del símbolo transmitido, 1 ó -1 (modulación BPSK).
Si éste fuera el único término de la variable de decisión nunca se producirían errores en
la demodulación; bastaría decidir en función del signo de la misma. El efecto de los
demás términos, (b)-(h), es enmascarar el término útil, llegando a provocar un error en
la demodulación cuando el signo del total sea distinto que el del término útil. Interesa
por tanto que estos términos sean lo más pequeños posible.
De todos los términos no deseados, el último, (h), es función del ruido térmico
presente en el receptor, mientras que los demás dependen de ciertas relaciones de
correlación entre las señales utilizadas, según se observa en (3-56). Eligiendo
adecuadamente la forma de las señales podemos reducir los valores que toman estos
términos y así mejorar las prestaciones del sistema.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
88
Centrándonos en los términos (b)-(g), vemos que aparece en ellos un conjunto de
integrales en las que intervienen las formas de onda de los pulsos del usuario de
referencia y de los usuarios interferentes. Como explicamos en 3.3.3, los términos (d) y
(e) son despreciables frente a los demás, por lo que nos quedan (b), (c), (f) y (g). Estos
cuatro términos pueden agruparse de la siguiente forma:
- La suma de (b) y (c), que denominaremos J 1n , puede expresarse, haciendo el
cambio de variable t' = t - nTS y teniendo en cuenta que u1n (t − mTC ) se anula
para t entre 0 y mTC, y suponiendo estimación de canal perfecta, como


TS
L −1
*
*

J1n ≡ (b) + (c) = D1n Re ∑ h$1n,m ∑ h1n,l ∫ u1n (t − lTC ) u1n ( t − mTC )dt  =

m= 0 
l =0
0


l ≠m
M −1


TS
L−1

n
n *
n
n
n*
= D1 Re ∑ h1,m ∑ h1,l ∫ u1 (t − lTC ) u1 ( t − mTC )dt 

m= 0 
l=0
mTC


l≠m
(4-1)
M −1
Definiendo
TS
1
*
δ (τ , m) = D1n ∫ u1n (t − τ )u1n (t − mTC )dt ,
TS
mTC
n
1
(4-2)
aproximando de manera análoga a (3-66):
δ 1n (τ , m) ≈ δ 1n (τ − mTC ,0) ,
(4-3)
τ l0,m = ( l − m) TC ,
(4-4)
y llamando
puede expresarse (4-1) como
M − 1 L −1
J1n ≡ (b) + ( c) = TS ∑ ∑ Re h1n,m h1n,lδ 1n (τ l0,m ,0)
m= 0 l = 0
l≠m
[
*
]
(4-5)
Este término representa la no separabilidad total de las réplicas de la señal útil.
- La suma de (f) y (g) es el término I1n definido en 3.3.3. Las expresiones (3-64) y
(3-67) permiten expresar I1n , suponiendo estimación ideal y sin incluir
interferencias de otras células, como
K M −1 L−1
I
n
1,k
≡ ( f ) + ( g ) = TS ∑ ∑ ∑ Re h1n,m hkn,l ε 1n,k (τ ' k ,l ,m ,0) ,
k = 2 m= 0 l = 0
[
*
]
(4-6)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
89
con ε 1,nk (τ , m) definido en (3-60) y aproximado según (3-66), y τ ' k ,l ,m definido en
(3-68). Este segundo término representa el rechazo no total de las réplicas de
las otras señales.
En el capítulo anterior, para el cálculo de la probabilidad de error, despreciamos
(b) y (c), esto es, J 1n , frente a (f) y (g), o sea, I1n , argumentando que los segundos están
constituidos por aproximadamente K veces más sumandos que los primeros y
admitiendo que dichos sumandos tienen en los dos casos el mismo orden de magnitud.
Vamos a analizar esto en términos de ε y la función δ que acabamos de definir.
Considérese la variable de decisión U 1n constituida por la parte útil A1n y los dos
términos I1n y J 1n . Para unos valores dados de los coeficientes h1,nm , A1n es igual, como
sabemos, a una constante por el valor del símbolo transmitido. La interferencia global
I1n + J1n puede considerarse gaussiana de media nula, al ser la suma de un gran número
de términos independientes de media nula. La probabilidad de error vendrá determinada
por la relación entre el valor de A1n para D1n = 1 y la desviación típica de I1n + J1n . Por
tanto, para minimizar la probabilidad de error habrá que buscar mínima varianza de
I1n + J1n . Ahora bien, puesto que los términos I1n y son J1n independientes, esto equivale
a minimizar sus varianzas por separado.
La varianza de I1n , para coeficientes h1,nm fijos, se calculó en el capítulo anterior
basándonos en el hecho de que τ ' k ,l ,m puede considerarse una variable aleatoria
uniformemente distribuida entre 0 y TS, y viene dada por (3-85) o (3-81), según se
incluya la interferencia de las demás células o no. Resulta evidente a partir de cualquiera
de estas expresiones que para minimizar la varianza de I1n debe buscarse una varianza
de ε, Γε, lo menor posible.
El caso de J1n es distinto, pues τ l0,m no es una variable aleatoria, sino que su valor
está perfectamente determinado en función de l y m. Sin embargo, podemos hacernos
una idea del orden de magnitud de la varianza de J1n considerando τ l0,m también como
una variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 y TS. A partir de esta variable se
calcula la varianza de δ, Γδ, y esto nos permite, siguiendo unos razonamientos análogos
a los utilizados para calcular la varianza de I1n , expresar la varianza de J1n como:
1
Var( J ) = TS2 Γ δ
2
n
1
M −1 L −1
∑ ∑( |h
n 2
1,m
m= 0 l = 0
l≠m
[
| E | h1n,l |2
])
(4-7)
Si en la suma de índice l incluimos el valor correspondiente a l = m tenemos una cota
superior para la varianza de J1n :
LUIS MENDO TOMÁS
1
Var( J1n ) < TS2 Γ δ
2
90
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
M −1 L −1
∑ ∑(
m= 0 l = 0
1
| h1n,m |2 E |h1n,l |2 = TS2 Γ δ
2
])
[
M −1
L −1
m= 0
l=0
∑|h1n,m |2 ∑ E |h1n,l |2
[
]
(4-8)
Comparando (4-8) y (3-81) (o (3-85) si incluimos interferencias de otras células)
vemos que si los valores de Γδ y Γε son iguales el cociente entre Var( I1n ) y Var( J1n ) será
mayor que K (ρK si tenemos en cuenta otras células), de modo que, para los valores
habituales de K, la varianza total podrá aproximarse por la de I1n . En definitiva, J 1n
podrá despreciarse frente a I1n si Γδ es aproximadamente igual a Γε (o mucho menor).
Deberemos comprobar que la familia de secuencias código cumple esta condición.
Otra característica que también admitimos por hipótesis en el capítulo anterior, y
que también debemos exigir a la familia de secuencias código, es que las propiedades
estadísticas sean las mismas para cualquier secuencia interferente k respecto a la del
usuario de interferencia, con el fin de que todos los usuarios contribuyan en la misma
medida al nivel de interferencia global, y esto debe cumplirse para cualquier usuario de
referencia j, no sólo el usuario 1 considerado. Así evitaremos que haya parejas de
usuarios que interfieran más que otras.
Podemos resumir lo anterior en las siguientes tres condiciones:
1) varianza de ε jn, k (τ ' k ,l ,m ,0) igual para todas las parejas (j,k); sea Γε el valor de
ésta
2) Γε lo más pequeña posible
3) varianza de δ jn (τ l0,m ,0) , Γδ, del mismo orden (o mucho menor) que Γε para toda
secuencia j
4.2. FUCIOES DE CORRELACIÓ
Vamos a definir algunas funciones que nos ayudarán en nuestro análisis.
Partimos de una pareja de secuencias (en general complejas) {Xm} e {Ym}, que
suponemos periódicas de periodo '. A partir de estas secuencias y para una cierta forma
de pulso uC(t) de chip de duración TC podemos construir las señales x(t) e y(t) de la
siguiente manera:
∞
x (t ) =
∑X
m
uC (t − mTC )
(4-9)
uC (t − mTC )
(4-10)
m=−∞
∞
y (t ) =
∑Y
m=−∞
m
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
91
Claramente, estas señales son periódicas con periodo
T = 'TC
(4-11)
Se define la función de correlación cruzada periódica entre las señales x(t) e
y(t), Rxy(τ), como:
T
Rxy (τ ) = ∫ x (t ) y (t + τ )dt
(4-12)
0
La función de autocorrelación periódica de x(t) ( o de y(t) ) se define como
Rx(τ) = Rxx(τ) ( o Ryy(τ) ). Para las secuencias {Xm} e {Ym} puede definirse la
correlación cruzada periódica como
' −1
R XY (l ) =
∑X
m
(Y m+l ) * ,
(4-13)
m= 0
y, análogamente, se define la autocorrelación periódica RX(l) como RXX(l). Es fácil ver
que para τ€= lTC
Rxy (τ ) = λR XY ( l) ,
(4-14)
con
TC
λ = ∫ | uC (t )|2 dt
(4-15)
0
Para valores de τ que no sean múltiplos de TC, Rxy(τ) también puede expresarse en
función de RXY(l). Por ejemplo, para uC(t) rectangular de amplitud unidad se tiene
Rxy (τ ) = TC R XY (l ') + (τ − l ' TC )( RXY ( l'+1) − R XY ( l')) ,
(4-16)
τ 
l '=   ,
 TC 
(4-17)
donde a representa, como siempre, el mayor entero menor o igual que a. Por tanto, las
propiedades de correlación periódica para las señales x(t) e y(t) están determinadas por
las de las secuencias {Xm} e {Ym}.
Para nuestros propósitos es más interesante la correlación cruzada aperiódica,
definida de la siguiente forma, para el caso de secuencias:
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 ' −1− l m m+l *
 ∑ X (Y )
 'm−=10+ l

C XY (l ) =  ∑ X m−l (Y m ) *
 m= 0
0

92
si 0 ≤ l ≤ ' − 1
si 1 - N ≤ l ≤ −1
(4-18)
si | l| ≥ '
La autocorrelación aperiódica de secuencias se define en función de la correlación
aperiódica como es habitual. La correlación aperiódica para señales se puede expresar
también en este caso en función de la de secuencias.
Si x(t) e y(t) son dos señales obtenidas a partir de dos secuencias {Xm} e {Ym} de
periodo ', y suponiendo pulsos de chip rectangulares de amplitud unidad, se tiene:
τ
∫ x (t )
*
y (t − τ )dt = TC C XY (l '− ' ) + (τ − l ' TC )[ C XY (l '− ' + 1) − C XY ( l '− ' )]
(4-19)
0
T
∫ x (t )
*
y (t − τ )dt = TC C XY (l ') + (τ − l ' TC )[ C XY (l '+1) − C XY ( l ')] ,
(4-20)
τ
para τ entre 0 y T, con T dado por (4-11) y l' por (4-17).
Por último, hacemos notar que en el caso de secuencias reales puede suprimirse
el símbolo de conjugado de las definiciones anteriores, y todas las funciones toman
valores reales.
4.3. AÁLISIS DE ALGUAS FAMILIAS DE SECUECIAS
Existen diversas familias de secuencias código cuyas propiedades de correlación
han sido ampliamente estudiadas. Ahora bien, la mayoría de estos estudios se centran en
las funciones de correlación cruzada y autocorrelación periódicas. Estas funciones sólo
son representativas en sistemas con secuencias de periodo corto, síncronos y sin
multitrayecto, en los cuales cada periodo de una de las secuencias coincide en el tiempo
con un periodo de otra de las secuencias (y además en este caso sólo importa el valor de
la correlación cruzada para desalineamiento nulo). También en sistemas que transmitan
las secuencias código sin modulación de información, o con un intervalo de símbolo
igual a un número elevado de periodos de la señal de código, de modo que la
coincidencia de un periodo de una secuencia de referencia con otra interferente se
produzca a lo largo de dos periodos de ésta con el mismo valor del símbolo (éste es el
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93
caso de las señales denominadas C/A del sistema GPS, en las cuales cada símbolo
modula 20 periodos de una secuencia código de periodo 1023).
No es así en nuestro caso, pues, aún suponiendo secuencias de periodo corto, un
cierto intervalo de símbolo de la señal de referencia, como vimos en el capítulo 3,
coincide en el tiempo (parcialmente) con varios intervalos (hasta tres) de las otras
señales, y en cada intervalo puede haber una transición en el valor del símbolo. Esta
posibilidad nos obliga a considerar correlaciones aperiódicas, una para cada uno de los
intervalos, con el valor del símbolo correspondiente. Además, puesto que las secuencias
no tienen por qué ser de periodo corto, en general las formas de los pulsos varían en
cada intervalo, lo que complica la descripción en términos de funciones de correlación.
Nosotros trabajaremos directamente con los términos de interferencia δ y ε definidos en
el apartado 4.1, y obtendremos numéricamente las propiedades estadísticas que nos
interesan de estas dos variables, fundamentalmente su varianza.
El sistema BPSK DS-CDMA considerado se basa en una familia de secuencias
código binarias {Gkm } , una para cada usuario, que toman los valores 1 y -1. A partir de
estas secuencias código se obtienen las señales código g k (t ) y las formas de onda de los
pulsos ukn (t ) para cada usuario k en cada intervalo n, de manera análoga a como se hace
para el usuario 1 en (3-42) y (3-43).
En general, el periodo de las secuencias de código, ', puede ser o no divisor del
número de chips por símbolo, C. Si lo es la forma del pulso es la misma para cualquier
intervalo de símbolo, como razonamos en el capítulo 3, y decimos que la secuencia es
de periodo corto. Dentro de este caso lo más habitual es que ' sea igual a C; en lo
sucesivo, por periodo corto entenderemos ' = C. Si ' no es divisor de C la forma del
pulso va variando, con una cierta periodicidad dada por la ecuación (3-44), y la
secuencia es de periodo largo. En el caso de periodo largo es usual elegir ' múltiplo de
C, con lo cual el número de pulsos distintos para cada usuario es '/C.
Las expresiones (4-2) y (3-60) para δ y ε, o las expresiones aproximadas (4-3) y
(3-66), son válidas en general. En el caso de secuencias de periodo corto, teniendo en
cuenta que
u1n (t ) = g1 (t − nTS ) = g1 (t )
(4-21)
ukn (t + TS ) = ukn−1 (t ) = g k (t ) ,
(4-22)
dichas expresiones se transforman en:
ε 1n,k (τ k + lTC , m) ≈ ε 1n,k (τ k + ( l − m) TC ,0) = ε 1n,k (τ ' k ,l ,m ,0) =
1
=
TS
T S
τ ' k , l ,m


n −1
*
n
 Dk
∫ g k (t − τ ' k ,l ,m ) g1 (t )dt + Dk ∫ g k (t − τ ' k ,l ,m ) g1* (t )dt 
τ 'k ,l ,m
0


(4-23)
LUIS MENDO TOMÁS
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94
TS
n
1
n
1
n
1
δ (lTC , m) ≈ δ (( l − m)TC ,0) = δ (τ
0
l ,m
1
,0) = D1n ∫ g1 (t − τ l0,m ) g1* (t )dt
TS
0
(4-24)
Para pulsos de chip rectangulares, utilizando (4-19) y (4-20) podemos expresar δ y ε en
función de correlaciones aperiódicas entre las secuencias código Gkm . Con esto, puede
demostrarse que, suponiendo ' = C, τ'k,l,m uniformemente distribuida en (0,TS) y
secuencias con autocorrelación aperiódica baja para desalineamiento no nulo, la
varianza de ε, Γε, vale aproximadamente
Γε =
2
3C
(4-25)
En las simulaciones numéricas que llevaremos a cabo a continuación comprobaremos la
validez de esta aproximación, veremos que se mantiene para secuencias de periodo largo
y determinaremos los valores que toma la varianza de δ, Γδ, para las diferentes familias
consideradas.
4.3.1. Secuencias ortogonales
Las secuencias de una familia ortogonal se caracterizan por tener correlación
periódica cruzada para desplazamiento nulo (producto escalar) igual a 0. Según esta
propiedad, si elegimos ' = C (realmente basta con que ' sea divisor de C, pero
consideraremos sólo este caso) y mantenemos las señales sincronizadas en el receptor
tendremos separabilidad total. Ahora bien, el número de secuencias ortogonales está
limitado a C.
Analizaremos las secuencias ortogonales de la familia de Hadamard, también
conocida como familia de Walsh. Para C par, se define la matriz de Hadamard (bipolar)
de forma recursiva como
1 1 
M2 = 

1 −1
M C/2
MC = 
M C/2
M C/2 
− M C / 2 
(4-26)
(4-27)
La familia de secuencias de Hadamard de periodo C se obtiene considerando que cada
fila de MC representa una secuencia. Es inmediato comprobar que las C secuencias así
generadas constituyen una familia ortogonal.
Vamos a analizar cómo se comportarían estas secuencias en nuestro sistema
CDMA asíncrono pseudoaleatorio (prescindiendo del hecho de que realmente el número
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
95
de secuencias sería muy bajo). Para las simulaciones usamos una familia de señales
código obtenida a partir de una familia de secuencias de Walsh con ' = 128 = C
utilizando pulsos de chip rectangulares. En primer lugar elegimos 5 parejas de
secuencias al azar. Para cada una, utilizando (4-23), que es la definición de ε (3-60)
aproximada según (3-66) y particularizada para secuencias de periodo corto, calculamos
ε para 10000 valores de τ'k,l,m elegidos uniformemente entre 0 y TS. En la tabla 4.1 se
muestra el valor medio obtenido, el máximo del valor absoluto y el valor cuadrático
medio, en función de la pareja elegida. Representamos también, en la figura 4.1, los
histogramas para cada una de las parejas. En la última fila de la tabla se muestra el
resultado de simular 50000 veces pero eligiendo 100 valores distintos de τ'k,l,m para cada
una de 500 parejas elegidas al azar.
TABLA 4.1. Propiedades estadísticas de ε para secuencias de Walsh
Pareja
<ε>
max(|ε|)
<|ε|2>
(118,105)
(44,121)
(83,54)
(106,126)
(70,37)
2.85*10-4
1.69*10-4
1.15*10-4
-2.93*10-4
1.03*10-4
0.048
0.139
0.047
0.561
0.234
0.0004
0.0011
0.0002
0.0124
0.0038
(promedio)
-3.75*10-4
0.996
0.0041
Walsh, (118,105)
2000
1500
1000
500
0
-0.05
0
0.05
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
96
Walsh, (44,121)
8000
6000
4000
2000
0
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Walsh, (83,54)
8000
6000
4000
2000
0
-0.05
0
0.05
Walsh, (106,126)
6000
4000
2000
0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.1
0.2
0.3
Walsh, (70,37)
8000
6000
4000
2000
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
FIGURA 4.1. Histogramas de ε para secuencias de Walsh
En cuanto a δ, consideramos τ l0,m también como una variable aleatoria uniforme
en (0,TS), según establecimos en el apartado 4.1. Utilizamos la expresión (4-24), que es
la definición de δ (4-2) aproximada según (4-3) y particularizada para secuencias de
periodo corto. La tabla 4.2 y la figura 4.2 muestran los resultados para 5 secuencias y el
promedio para 100 secuencias elegidas al azar.
TABLA 4.2. Propiedades estadísticas de δ para secuencias de Walsh
Secuencia
<δ>
max(|δ|)
<|δ|2>
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
2.78*10-4
3.78*10-4
-6.74*10-
8
112
76
0.967
0.686
0.811
0.0558
0.154
0.0217
0.822
0.0298
6.54*10-3
0.963
0.1121
-3
0.982
0.0543
4
-1.88*10-
93
3
49
(promedio)
1.6*10
Walsh, 8
2500
2000
1500
1000
500
0
-1
-0.5
0
0.5
1
Walsh, 112
3000
2000
1000
0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.6
0.8
Walsh, 76
3000
2000
1000
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
FIGURA 4.2. (continúa en la página siguiente)
0.4
97
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
98
Walsh, 93
2500
2000
1500
1000
500
0
-1
-0.5
0
0.5
1
0.5
1
Walsh, 49
1500
1000
500
0
-1
-0.5
0
FIGURA 4.2. Histogramas de δ para secuencias de Walsh
La tabla 4.1 permite ver que en promedio Γε es aproximadamente igual, o
incluso inferior, al valor 2 / 3C = 0.00521, pero existe una gran variación para las
diferentes parejas consideradas. Esta disparidad no es conveniente, pues puede provocar
interferencias muy grandes para ciertas parejas de usuarios. Vemos además que para
ciertas parejas ε puede tomar valores muy altos, próximos a 1, lo que resultaría también
muy perjudicial. Las secuencias de Walsh no cumplen por tanto la primera de las
condiciones que hemos impuesto a las señales código para sistemas CDMA asíncronos.
Pero el principal problema puede apreciarse en la tabla 4.2: la separabilidad entre
réplicas de la misma señal es mala. Como consecuencia de esto no se cumple tampoco
la tercera condición.
Como resumen, según los criterios que hemos establecido, las secuencias
ortogonales no resultan muy adecuadas para sistemas asíncronos y/o con multitrayecto.
4.3.2. Secuencias aleatorias de periodo corto
Vamos a analizar los valores medios (valores esperados) de Γε y Γδ que se
obtendrían utilizando como secuencias código un conjunto de secuencias de periodo
corto ' = C = 127 elegidas aleatoriamente, es decir, generadas como series de 127
números elegidos al azar del conjunto {1, -1}. Calculamos ε y δ considerando pulsos de
chip rectangulares, siguiendo el mismo método que para la familia de Walsh. Los
resultados se muestran en las tablas 4.3 y 4.4.
LUIS MENDO TOMÁS
99
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
TABLA 4.3. Propiedades estadísticas de ε para secuencias aleatorias
Pareja
<ε>
max(|ε|)
<|ε|2>
(promedio)
2.77*10-4
0.287
0.0055
TABLA 4.4. Propiedades estadísticas de δ para secuencias aleatorias
Secuencia
<δ>
max(|δ|)
<|δ|2>
(promedio)
-3.1*10-4
0.498
0.0047
El valor obtenido para Γε, 0.0055, es muy parecido a 2 / 3C = 0.00525, y Γδ tiene
un valor próximo al de Γε. El problema de las secuencias elegidas al azar es que los
valores obtenidos para cada pareja de secuencias variarán mucho en torno a este valor
medio, y pueden llegar a aparecer valores muy altos, pues no tenemos ningún control
sobre la forma de las secuencias, incumpléndose la característica 1) exigida a las
secuencias código.
4.3.3. Secuencias-m de periodo corto
Considérese un registro de desplazamiento de n etapas cada una de las cuales
puede contener un valor 1 ó 0, y en el que realimentamos la primera etapa con una
combinación lineal de las restantes n-1 etapas, tal y como indica la figura 4.3.
salida
Etapa
4
3
2
1
0
FIGURA 4.3. Registro de desplazamiento con realimentación lineal
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
100
Como consideramos dígitos binarios, la combinación lineal de las n-1 etapas no es más
que una suma módulo-2 de un cierto subconjunto de las mismas. Si numeramos las
etapas de 0 a n-1 empezando por la salida, como en la figura 4.3, la combinación lineal
puede describirse mediante el llamado polinomio característico, que es un polinomio de
grado n con coeficientes 1 ó 0 en el cual el coeficiente de grado k indica la existencia o
no de conexión de la etapa k-ésima con la entrada. El coeficiente de grado n es siempre
1. Por ejemplo, en el caso de la figura 4.3 n es 5 y el polinomio característico es
h(x) = x5 + x3 + x + 1. A veces se escriben los polinomios dando simplemente sus
coeficientes ordenados, 101011 en este caso. Más habitual es utilizar la notación octal,
que consiste en agrupar los dígitos binarios de tres en tres (rellenando por la izquierda
con ceros si es necesario). El polinomio anterior se escribiría en notación octal como 53.
A partir de un cierto estado inicial del registro, al ir desplazando obtendremos
una secuencia de salida que dependerá del estado inicial y de la función de
realimentación utilizada. El número máximo de estados posibles en un registro de n
etapas es 2n, de modo que la secuencia de salida debe ser periódica. El estado nulo
(todas las etapas a 0) es un estado degenerado, pues si se llega a él se repite
indefinidamente, obteniendo una secuencia formada únicamente por ceros. Por tanto
debemos excluir este estado, de forma que el máximo periodo posible es 2n - 1. El
periodo de la secuencia de salida será igual o menor que este valor, según la función de
realimentación utilizada, esto es, según el polinomio característico. La condición
necesaria y suficiente para que el periodo sea igual al máximo, 2n - 1, es que el
polinomio característico sea un polinomio primitivo. Un polinomio de grado n es
primitivo si no es divisible por ningún polinomio de grado no nulo menor que n y
además no divide a ningún polinomio de la forma xm + 1 para m < 2n - 1. A las
secuencias de periodo igual al máximo se les denomina secuencias de longitud máxima
o secuencias-m. Una vez fijado el estado inicial, no nulo, del registro de
desplazamiento, si la secuencia es de longitud máxima el registro va pasando por todos
los estados posibles, de modo que para cualquier estado inicial se obtiene la misma
secuencia-m pero desplazada.
Las secuencias-m presentan, entre otras, las siguientes propiedades:
- En un periodo de una secuencia-m hay 2n-1 unos y 2n-1-1 ceros.
- En un periodo de una secuencia-m la mitad de las series de dígitos consecutivos
iguales que aparecen son de longitud 1, la cuarta parte de longitud 2, la octava
parte de longitud 3 y así sucesivamente.
- Si consideramos la secuencia bipolar, es decir, aquélla que se obtiene
sustituyendo los 1 y 0 por 1 y -1 (o al revés) respectivamente, la autocorrelación
periódica de esta secuencia vale
LUIS MENDO TOMÁS
101
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
2 n − 1 para l = 0 mod 2 n − 1
Ri (l ) = 
n
−1 para l ≠ 0 mod 2 − 1
(4-28)
Esta función se representa en la figura 4.4.
Ri(l)
-2 -1 0 1 2 3 ···
···' '+1 ···
l
FIGURA 4.4. Autocorrelación periódica para secuencias-m
Las secuencias-m, una vez pasadas a forma bipolar, son excelentes en términos
de autocorrelación periódica, ya que la autocorrelación para desplazamiento no nulo es
muy pequeña frente al valor para desplazamiento nulo. Ahora bien, en nuestro caso lo
que buscamos es δ y ε, dadas por (4-2) y (3-60), lo más pequeñas posible. Para
secuencias de periodo corto (misma forma del pulso para todos los intervalos) estas dos
variables se expresan, según (4-23) y (4-24), en función de autocorrelaciones y
correlaciones cruzadas aperiódicas, respectivamente, y para secuencias de periodo largo
la representación es aún más complicada. De modo que las buenas propiedades de las
secuencias-m en cuanto a autocorrelación periódica no resultan de utilidad para
nosotros. Además existe el problema de que el número de secuencias-m de periodo
' = 2n - 1 distintas es bastante pequeño; muy inferior a '. En la tercera columna de la
tabla 4.5 se muestra el número de secuencias-m, que corresponde al número de
polinomios primitivos distintos de grado n, para valores de n entre 3 y 16. El número de
secuencias-m de periodo corto (es decir, con ' = C) distintas es claramente insuficiente
para una aplicación como la que nos ocupa, de modo que no consideraremos su
utilización en nuestro sistema.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
102
4.3.4. Secuencias de Gold de periodo corto
Las excelentes propiedades de las secuencias-m (bipolares) en cuanto a
autocorrelación periódica no se mantienen para la correlación cruzada periódica, que
puede llegar a tomar valores relativamente grandes. En la tercera columna de la tabla
4.6. se indica el valor máximo que puede tomar la correlación cruzada periódica en
valor absoluto (puesto que las secuencias son reales, las funciones de correlación sólo
toman valores reales), y en la cuarta columna el valor normalizado respecto a la
autocorrelación cruzada máxima, en función de n (' = 2n-1). Puede observarse la gran
magnitud de estos valores.
Existen parejas de secuencias-m, llamadas parejas preferidas, para las cuales la
correlación cruzada periódica sólo toma tres posibles valores: -1, -t(n) y t(n)-2, siendo
t(n):
2 ( n+1)/2 + 1 para n impar
t (n) =  ( n+2 )/ 2
+ 1 para n par
2
(4-29)
Una familia formada por el máximo número posible de secuencias-m que cumplen esta
condición se denomina familia maximalmente conexionada. Este número máximo de
secuencias es muy pequeño, como puede verse en la tabla 4.5; incluso para algunos
valores de n este número es 0, es decir, no existe ninguna pareja preferida de secuencias.
Para un n dado, una familia maximalmente conexionada, si existe, presenta un
comportamiento respecto a la correlación cruzada periódica considerablemente mejor
que la familia de todas las secuencias-m. Sin embargo, el número de secuencias es muy
reducido.
Para aumentar el número de secuencias con buen comportamiento en cuanto a
correlación cruzada periódica puede recurrirse a las secuencias de Gold. Supongamos
que a partir de una pareja preferida de secuencias-m de periodo ' generamos '
secuencias sumando módulo-2 una de las dos secuencias originales con los ' distintos
desplazamientos cíclicos de la otra. Si incluimos las dos secuencias originales tenemos
un conjunto de '+2 secuencias. Puede demostrarse que la correlación cruzada periódica
para cualquier pareja de secuencias de este conjunto es una función trivaluada con
posibles valores -1, -t(n) y t(n)-2, es decir, los mismos que para la pareja original. A las
secuencias obtenidas se les llama secuencias de Gold. Obsérvese que las secuencias de
Gold, con la excepción de las dos originales, no son secuencias-m. En cuanto a su
autocorrelación periódica, ésta tiene, excepto para las dos secuencias-m, características
muy similares a las de la correlación cruzada periódica, pues excluyendo el valor para
desplazamiento nulo, que será ', toma los valores -1, -t(n) y t(n)-2. En la figura 4.5 se
representan ambas funciones.
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
103
Ri(l)
'
t(n)-2
'
-1
l
-t(n)
(a) Autocorrelación periódica
Rij(l)
t(n)-2
'
-1
l
-t(n)
(b) Correlación cruzada periódica
FIGURA 4.5. Funciones de correlación periódicas para secuencias de
Gold
En la tabla 4.5 se indica el número de elementos de una familia de Gold, junto
con el de una familia maximalmente conexionada y el número total de secuencias-m, en
función de n. En el caso de las secuencias de Gold, los números entre paréntesis indican
que no existe realmente ninguna familia de Gold para ese valor de n, pues no hay
ninguna pareja preferida; corresponden a valores nulos en la columna anterior.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
104
TABLA 4.5. Número de secuencias-m, número máximo de
secuencias-m en una familia maximalmente conexionada y número de
secuencias de Gold
' = 2n-1
n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
15
31
63
127
255
511
1023
2047
4095
8191
16383
32767
65535
Nº total de
secuencias-m
2
2
6
6
18
16
48
60
176
144
1630
756
1800
2048
Nº máx. de
secuencias-m
maximalmente
conexionadas
2
0
3
2
6
0
2
3
4
0
4
3
2
0
Nº de secuencias en
una familia de Gold
9
(17)
33
65
129
(257)
513
1025
2049
(4097)
8193
16385
32769
(65537)
Hemos obtenido, en definitiva, una familia de '+2 secuencias con un
comportamiento en cuanto a las funciones de correlación periódica semejante al de la
correlación cruzada periódica de una pareja preferida de secuencias-m. Por tanto,
respecto a la familia de todas las secuencias-m de periodo ':
- ha aumentado notablemente el número de secuencias, como indica la tabla 4.5
- han mejorado las propiedades de correlación cruzada periódica: para cualquier
pareja de secuencias de una familia de Gold y cualquier desplazamiento relativo
la correlación periódica no supera en valor absoluto t(n).
- han empeorado las propiedades de autocorrelación periódica, aunque siguen
siendo buenas: para una secuencia-m la autocorrelación periódica para
desplazamiento no nulo vale -1; para una secuencia de Gold está acotada por
t(n).
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
105
En la tabla 4.6. se compara el máximo del valor absoluto de la correlación cruzada
periódica para familias de secuencias-m y de Gold. Nótese que a este valor se le puede
dar una interpretación más general: representa el máximo de las funciones correlación
cruzada y autocorrelación periódica para desplazamiento no nulo, pues para
secuencias-m esta última vale -1 < t(n) y para secuencias de Gold vale t(n). Se muestran
también los valores relativos a la autocorrelación para desplazamiento nulo, que vale '.
Estos valores relativos resultan más significativos.
TABLA 4.6. Correlación cruzada periódica máxima para secuenciasm y secuencias de Gold
Secuencias-m
Secuencias de Gold
n
{Rij (l )} max{Rij (l )} Ri (0) max{Rij (l )} max{Rij (l )} Ri (0)
'=2n-1 max
i , j ,l
i , j ,l
i , j ,l
i , j ,l
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
15
31
63
127
255
511
1023
2047
4095
8191
16383
32767
65535
5
9
11
23
41
95
113
383
287
1407
≥ 703
≥ 5631
≥ 2047
≥ 4095
0.71
0.60
0.35
0.36
0.32
0.37
0.22
0.37
0.14
0.34
≥ 0.09
≥ 0.34
≥ 0.06
≥ 0.06
5
(9)
9
17
17
(33)
33
65
65
(129)
129
257
257
(513)
0.71
(0.60)
0.29
0.27
0.13
(0.13)
0.06
0.06
0.03
(0.03)
0.016
0.016
0.008
(0.008)
Según hemos visto, las secuencias de Gold presentan una correlación cruzada
periódica y autocorrelación periódica para desplazamiento no nulo bajas y acotadas. En
nuestro caso, sin embargo, lo que buscamos es δ y ε pequeñas. Desde este punto de
vista, vamos a analizar a continuación la familia de secuencias de Gold de periodo
' = 127 = C generada por los polinomios (en notación octal) 211 y 277 (estos
polinomios son primitivos, de modo que cada uno de ellos origina una secuencia-m, y
estas dos secuencias-m son una pareja preferida, con lo cual generan una familia de
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
106
Gold). Como siempre, elegimos 5 parejas de secuencias para hacernos una idea de la
dispersión en los valores de Γε y a continuación calculamos el valor medio. Los
resultados se muestran en la tabla 4.7 y en la figura 4.6. En la primera columna de la
tabla y en la parte superior de las gráficas cada número identifica a una de las 129
secuencias de la familia.
TABLA 4.7. Propiedades estadísticas de ε para secuencias de Gold de
periodo corto
Pareja
<ε>
max(|ε|)
<|ε|2>
(4,75)
(87,48)
(23,43)
(50,126)
(94,89)
-2.51*10-4
-7.45*10-4
-8.33*10-4
8.98*10-4
1.43*10-3
0.258
0.274
0.274
0.246
0.274
0.0054
0.0046
0.0048
0.0046
0.0051
(promedio)
1.13*10-4
0.305
0.0053
Gold, (4,75)
4000
3000
2000
1000
0
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.1
0.2
0.3
Gold, (87,48)
4000
3000
2000
1000
0
-0.2
-0.1
0
FIGURA 4.6. (continúa en la página siguiente)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Gold, (23,43)
4000
3000
2000
1000
0
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.1
0.2
0.3
0.1
0.2
0.3
Gold, (50,126)
4000
3000
2000
1000
0
-0.2
-0.1
0
Gold, (94,89)
4000
3000
2000
1000
0
-0.2
-0.1
0
FIGURA 4.6. Histogramas de ε para secuencias de Gold de periodo
corto
En cuanto a δ, los resultados son los siguientes. Ver tabla 4.8 y figura 4.7.
TABLA 4.8. Propiedades estadísticas de δ para secuencias de Gold
de periodo corto
Secuencia
<δ>
max(|δ|)
<|δ|2>
61
121
13
110
1
-6.08*10-5
-7.53*10-4
6.78*10-4
1.49*10-4
1.48*10-3
0.553
0.553
0.427
0.490
0.561
0.0033
0.0034
0.0026
0.0034
0.0038
(promedio)
9.90*10-5
0.561
0.0032
107
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
108
Gold, 61
5000
4000
3000
2000
1000
0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.2
0.4
0.6
Gold, 121
6000
4000
2000
0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Gold, 13
5000
4000
3000
2000
1000
0
-0.5
0
0.5
Gold, 110
5000
4000
3000
2000
1000
0
-0.5
0
0.5
Gold, 1
4000
3000
2000
1000
0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
FIGURA 4.7. Histogramas de δ para secuencias de Gold de periodo
corto
Observamos que Γε varía poco en el conjunto estudiado, además de tener un
valor bajo, en torno a 2 / 3C, y que Γδ se mantiene en todos los casos del orden de Γε, lo
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
109
que indica que las secuencias de Gold de periodo corto cumplen las tres condiciones
exigidas. El único problema es el número de secuencias. Existen '+2 = C+2 secuencias
de Gold de periodo ' = C. En un sistema limitado por interferencia las secuencias deben
ser únicas para cada usuario del sistema, como sabemos; no se tiene la reutilización
propia de los sistemas limitados por dimensiones. Además, normalmente tendremos un
número de usuarios mucho mayor que C (como justificaremos en el capítulo 7, para un
número de usuarios menor que C es más eficiente un sistema limitado por dimensiones
que limitado por interferencia). De lo anterior se sigue que C+2 secuencias es un
número insuficiente. Debemos buscar una familia de secuencias con propiedades
parecidas a las de las secuencias Gold de periodo corto pero con un mayor número de
elementos.
4.3.5. Secuencias de periodo corto obtenidas a partir de secuencias-m largas
Para aumentar el número de secuencias distintas podemos pensar en utilizar
fragmentos de C chips obtenidos a partir de una secuencia muy larga. Por ejemplo, para
una secuencia-m de periodo ' >> C podríamos obtener '/C secuencias distintas
simplemente dividiendo la secuencia larga en grupos de C chips hasta llegar al final.
Eligiendo ' (es decir, n) suficientemente grande podemos tener tantas secuencias como
queramos. Vamos a ver qué características tienen las secuencias así obtenidas en lo que
se refiere al sistema CDMA bajo estudio. Consideraremos la secuencia-m generada por
el polinomio primitivo 440001 (x17 + x14 + 1), de periodo 217-1 = 131071. Si tomamos
C = 127, siguiendo el método descrito podemos obtener 131071/127 = 1031
secuencias de periodo corto (' = C) distintas.
Como en los casos anteriores, definimos las señales código a partir de las
secuencias código utilizando pulsos de chip rectangulares. Analizamos la distribución
de ε para cinco parejas distintas de señales, eligiendo el desplazamiento uniformemente,
y a continuación repetimos el proceso pero teniendo en cuenta todo el conjunto de
secuencias, es decir, eligiendo el desplazamiento y las secuencias al azar. Obtenemos los
resultados de la tabla 4.9 y figura 4.8.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
TABLA 4.9. Propiedades estadísticas de ε para secuencias de periodo
corto obtenidas a partir de secuencias-m largas
Pareja
<ε>
max(|ε|)
<|ε|2>
(22,56)
(40,706)
(439,919)
(209,64)
(430,148)
-4.95*10-4
-1.38*10-3
-4.48*10-4
1.14*10-3
-1.14*10-3
0.313
0.268
0.342
0.389
0.279
0.0054
0.0046
0.0058
0.0073
0.0043
(promedio)
-2.10*10-4
0.592
0.0053
Pareja (22,56)
3000
2000
1000
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.2
0.3
0.4
0.2
0.3
0.4
Pareja (40,706)
3000
2000
1000
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Pareja (439,919)
3000
2000
1000
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
FIGURA 4.8. (continúa en la página siguiente)
110
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
111
Pareja (209,64)
4000
3000
2000
1000
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.2
0.3
0.4
Pareja (430,148)
3000
2000
1000
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
FIGURA 4.8. Histogramas de ε para secuencias de periodo corto
obtenidas a partir de una secuencia-m larga
Para δ procedemos análogamente. Los resultados se indican en la tabla 4.10 y en
la figura 4.9.
TABLA 4.10. Propiedades estadísticas de δ para secuencias de
periodo corto obtenidas a partir de secuencias-m largas
Secuencia
<δ>
max(|δ|)
<|δ|2>
938
389
596
243
714
2.31*10-4
2.78*10-4
-7.58*10-4
-3.72*10-4
-2.15*10-6
0.455
0.486
0.463
0.502
0.494
0.0028
0.0021
0.0032
0.0031
0.0028
(promedio)
-8.40*10-6
0.619
0.0031
LUIS MENDO TOMÁS
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112
Secuencia 938
5000
4000
3000
2000
1000
0
-0.5
0
0.5
Secuencia 389
5000
4000
3000
2000
1000
0
-0.5
0
0.5
Secuencia 596
6000
4000
2000
0
-0.5
0
0.5
Secuencia 243
6000
4000
2000
0
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Secuencia 714
6000
4000
2000
0
-0.5
0
0.5
FIGURA 4.9. Histogramas de δ para secuencias de periodo corto
obtenidas a partir de una secuencia-m larga
Como vemos, si bien parece existir una mayor dispersión en Γε, las propiedades
siguen siendo buenas, y ahora tenemos un número mayor de secuencias. Podemos
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
113
aumentar tanto como queramos el número de secuencias distintas, '/C, utilizando una
secuencia generadora de periodo mayor, si bien habrá que comprobar que no se
degraden excesivamente las propiedades de correlación.
4.3.6. Secuencias de Gold de periodo largo modificadas
En el apartado anterior hemos analizado las características de una familia de
secuencias de periodo corto obtenidas como fragmentos de una secuencia de periodo
largo. En éste vamos a utilizar directamente las secuencias de periodo largo como
secuencias código.
El siguiente teorema, que enunciamos sin demostración, puede resultar útil a la
hora de generar familias de Gold:
Dada una secuencia-m {Am} de periodo ' = 2n - 1, si n no es múltiplo de 4 la
secuencia {Bm} definida como
B m = A[ m t ( n ) ] mod ' ,
(4-30)
con t(n) dado por (4-29), es una secuencia-m y forma con la primera una pareja
preferida.
Utilizando este resultado, partiendo de la secuencia-m de periodo ' = 1023
generada por el polinomio 3301 (x10 + x7 + 1) obtenemos una pareja preferida de
secuencias-m, y con esta pareja generamos una familia de Gold de 1025 secuencias de
periodo 1023. Para tener ' múltiplo de C, como es habitual en el caso de secuencias de
periodo largo, añadimos un -1 al final de cada secuencia (las secuencias de Gold
bipolares tienen, como las secuencias-m, 2n-1 bits “1” y 2n-1-1 bits “-1”), con lo cual
' = 1024 y eligiendo C = 128 tenemos ' múltiplo de C.
Vamos a analizar el comportamiento de esta familia de secuencias de manera
análoga a como hemos hecho en los casos anteriores. Sin embargo, al tratarse de
secuencias de periodo largo ya no valen las expresiones (4-23) y (4-24), por lo que
debemos calcular δ y ε utilizando las expresiones generales (4-2) y (3-60). Teniendo
esto en cuenta, los resultados que obtenemos para ε son los indicados en la tabla 4.11 y
en la figura 4.10.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
TABLA 4.11. Propiedades estadísticas de ε para secuencias de Gold
de periodo largo modificadas
Pareja
<ε>
max(|ε|)
<|ε|2>
(154,723)
(59,216)
(436,85)
(894,244)
(950,772)
-1.26*10-4
-5.14*10-4
-1.75*10-3
9.05*10-4
-5.14*10-4
0.234
0.283
0.234
0.234
0.996
0.0053
0.0051
0.0044
0.0049
0.0097
(promedio)
5.03*10-4
0.996
0.0057
Pareja (154,723)
3000
2000
1000
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.1
0.2
0.3
0.1
0.2
0.3
Pareja (59,216)
3000
2000
1000
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Pareja (436,85)
3000
2000
1000
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
FIGURA 4.10. (continúa en la página siguiente)
114
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Pareja (894,244)
3000
2000
1000
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Pareja (950,772)
4000
3000
2000
1000
0
-1
-0.5
0
0.5
1
FIGURA 4.10. Histogramas de ε para secuencias de Gold de periodo
largo modificadas
Para δ tenemos los valores de la tabla 4.12 y la figura 4.11.
TABLA 4.12. Propiedades estadísticas de δ para secuencias de Gold
de periodo largo modificadas
Secuencia
<δ>
max(|δ|)
<|δ|2>
314
101
232
412
132
4.06*10-4
-1.04*10-4
1.81*10-4
-5.29*10-4
4.24*10-4
0.486
0.533
0.502
0.486
0.486
0.0023
0.0039
0.0036
0.0039
0.0030
(promedio)
4.79*10-5
0.588
0.0034
Secuencia 314
4000
3000
2000
1000
0
-0.5
0
0.5
115
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
116
Secuencia 101
3000
2000
1000
0
-1
-0.5
0
0.5
1
Secuencia 232
3000
2000
1000
0
-0.8
4000
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Secuencia 412
3000
2000
1000
0
-0.5
0
0.5
Secuencia 132
4000
3000
2000
1000
0
-0.5
0
0.5
FIGURA 4.11. Histogramas de δ para secuencias de Gold de periodo
largo modificadas
Ahora tenemos un número mayor de secuencias que en el caso de periodo corto
y, como vemos, las propiedades estadísticas, siempre de acuerdo con nuestros criterios
aproximados, siguen siendo buenas, excepto un valor muy alto de ε para ciertas parejas
de secuencias y ciertos desplazamientos relativos, que se traduce en interferencias
elevadas para ciertas parejas de usuarios.
4.3.7. Conclusión. Clasificación de las secuencias código.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
117
Los resultados de los análisis realizados sugieren que cuanto mayor es el número
de secuencias de la familia considerada peores características podemos obtener en
cuanto a valores máximos (valores máximos de |ε| y |δ|), pero las propiedades referentes
a promedios (valores medios de |ε|2 y |δ|2 para todos los desplazamientos y todo el
conjunto de secuencias) se mantienen. Para un número reducido de secuencias podemos
seleccionar éstas cuidadosamente y así acotar sus correlaciones; para un número muy
grande sólo podemos aspirar a secuencias con un comportamiento semejante al que
encontramos en secuencias aleatorias: bueno en cuanto a promedios pero con picos muy
altos de correlación para ciertas parejas y ciertos desplazamientos relativos. Podemos
decir que existe un compromiso entre número de secuencias de la familia y buenas
propiedades en cuanto a valores máximos de las funciones de correlación.
El comportamiento observado permite clasificar las familias de secuencias
código en tres grandes grupos:
- Secuencias ortogonales: se caracterizan por tener correlación cruzada nula para
desplazamiento nulo. Como consecuencia, la interferencia de un secuencia con
cualquier otra de la familia es nula si están sincronizadas, pero para secuencias
desplazadas entre sí y/o multitrayecto se obtienen valores considerablemente
altos. El número de secuencias está limitado a C.
- Secuencias cuasiortogonales: los valores de la correlación cruzada para
cualquier desplazamiento y autocorrelación para desplazamiento nulo son
pequeños y están acotados. En este caso también tenemos una limitación en
cuanto al número máximo de secuencias de la familia, que es del orden de C.
- Secuencias pseudoaleatorias: correlación cruzada y autocorrelación para
desplazamiento no nulo no acotadas†, a cambio de un número mucho mayor de
secuencias que en los dos casos anteriores.
Remarcamos que las diferencias se tienen en cuanto a valores máximos; los valores
cuadráticos medios de las correlaciones son semejantes en los tres casos.
Así, en un sistema CDMA asíncrono, si no necesitamos más de C secuencias
podemos utilizar una familia de Gold de periodo corto, con un valor máximo de |ε|
relativamente bajo (tabla 4.7) y una varianza de ε prácticamente uniforme para todo el
conjunto de secuencias. Para disponer de más secuencias podemos utilizar secuencias de
Gold de periodo largo modificadas. En este caso, aunque sus valores cuadráticos medios
se mantienen, existe mayor dispersión en los valores de ε y δ. Ahora bien, conforme va
†
Con “no acotadas” queremos decir que toman valores arbitrarios entre C y -C; por supuesto, cualquier
correlación de secuencias binarias a lo largo de C bits siempre estará comprendida entre estos dos valores
extremos.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
118
aumentando el número de usuarios simultáneos en el sistema resultan más significativos
los valores medios y menos importantes los casos extremos, ya que la interferencia
global, al ser la suma de más términos individuales, tiende a ser más uniforme,
independientemente de las propiedades de cada término. En otras palabras, el
requerimiento 1) del apartado 4.1 tiende a ser menos importante según aumenta el
número de secuencias. En un sistema del tipo limitado por dimensiones
seleccionaríamos un conjunto reducido de secuencias con características de correlación
controladas, perteneciente a las categorías de secuencias ortogonales o cuasiortogonales,
mientras que en un sistema limitado por interferencia se requiere un elevado número de
secuencias, sin importar mucho la dispersión en las propiedades de las secuencias, de
modo que las familias pseudoaleatorias resultan adecuadas.
CAPÍTULO 5:
ANÁLISIS DEL RECEPTOR RAKE EN
UN SISTEMA MÓVIL CDMA
ASÍNCRONO
Comenzamos en este capítulo el análisis de un sistema móvil CDMA asíncrono,
a través de un conjunto de simulaciones basadas en los modelos de canal y de receptor
estudiados en el capítulo 3. En este capítulo nos centraremos en el receptor RAKE, y en
el siguiente analizaremos algunas de las características clave de los sistemas CDMA.
5.1. ITRODUCCIÓ
El análisis del sistema CDMA presentado en este capítulo y en el siguiente se va
a apoyar en gran medida en la realización de simulaciones. Recurrimos a la simulación
con dos objetivos:
- comprobar la validez de las aproximaciones que suponen las expresiones
teóricas
- extender nuestro estudio a aspectos de difícil tratamiento teórico
Vamos a fijar un sistema de referencia que iremos ampliando y modificando a
medida que avancemos en nuestro estudio. Consideraremos un sistema CDMA
asíncrono de tipo limitado por interferencia en un entorno móvil caracterizado por un
canal variante con multitrayecto. El sistema utilizará receptores RAKE, que aprovechan
la diversidad multitrayecto inherente a las señales de banda ensanchada en un canal
como el considerado. Nos centraremos en el enlace ascendente, aunque la mayoría de
los aspectos que vamos a desarrollar son igualmente aplicables al enlace descendente.
Como secuencias de código utilizaremos una familia de secuencias de Gold de periodo
corto, pertenecientes a la categoría de secuencias cuasi-ortogonales. En la práctica,
como sabemos, se utilizan más bien secuencias pseudoaleatorias de periodos muy
largos, asignándose una secuencia única a cada usuario (sistema limitado por
interferencia). La familia elegida tiene la ventaja de ser mucho más sencilla de generar,
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
120
simplificando además el algoritmo de simulación, al ser secuencias de periodo corto, y
resulta adecuada para modelar la familia pseudoaleatoria que se utilizaría en la realidad.
La justificación es la siguiente. Como vimos en el capítulo 4, el comportamiento de las
familias pseudoaleatorias y cuasi-ortogonales es distinto en cuanto a valores máximos
de correlación y número de secuencias de la familia. Sin embargo, las propiedades en
cuanto a valores promedio (Γε), que, como sabemos, son los valores representativos en
sistemas limitados por interferencia, son las mismas. Por otro lado, la limitación en el
número de secuencias no va a ser un problema en nuestras simulaciones, porque en éstas
nunca van a intervenir a la vez más secuencias que las que proporciona la familia
elegida,. Por tanto ninguna de las diferencias entre ambos tipos de familias va a tener
relevancia en los resultados que obtengamos.
La mayoría de las simulaciones van a tener como fin obtener curvas para la
probabilidad de error en el receptor bajo unas condiciones dadas y teniendo en cuenta
ciertos aspectos del sistema. Esto nos permitirá extraer conclusiones sobre la influencia
de diferentes parámetros y elementos del sistema.
Las simulaciones se van a llevar a cabo mediante programas desarrollados en
Matlab, y se van centrar en los siguientes aspectos del sistema:
1) Funcionamiento del receptor RAKE
2) Codificación de canal
3) Actividad vocal de los usuarios
4) Estimación de canal
5) Control de potencia
6) Sincronismo del receptor
Atendiendo al método seguido en las simulaciones, podemos clasificar éstas en
dos grandes grupos:
I. Por un lado tenemos un grupo de simulaciones más realistas, es decir, que
pretenden reflejar el funcionamiento del sistema de una forma más próxima a la
realidad. A partir de un conjunto de secuencias código generamos las señales
correspondientes al usuario de referencia y a los demás usuarios del sistema,
teniendo en cuenta el efecto del canal, e introducimos la superposición de todas
ellas en el receptor. Éste efectúa las operaciones pertinentes para obtener la
variable de decisión y a partir de ella estima (demodula) el símbolo transmitido.
II. Un segundo grupo está formado por simulaciones en las cuales generamos
directamente la variables de decisión en el receptor, basándonos en una
caracterización estadística de la misma y despreciando los efectos que las
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
121
simulaciones del grupo anterior hayan mostrado irrelevantes. Evidentemente,
son simulaciones menos realistas, pero, como veremos, los resultados
concuerdan con los de las simulaciones del primer tipo, y tenemos la ventaja de
que son mucho más rápidas.
Cuando sea necesario distinguir, llamaremos a las del primer grupo simulaciones
completas o tipo I y a las del segundo simulaciones simplificadas o tipo II.
5.2. FUCIOAMIETO DEL RECEPTOR RAKE
5.2.1. Método seguido en las simulaciones
La mayoría de las simulaciones que vamos a realizar en este capítulo se
enmarcan en el tipo I definido en la introducción, es decir, son simulaciones muy
exhaustivas de lo que ocurre en la realidad. Se basan en los modelos de canal y de
receptor descritos en 3.2.4 y 3.3.2 respectivamente. Al final del capítulo introduciremos
y comprobaremos la validez del método II de simulación, que utilizaremos en el
capítulo 6 para simular el receptor junto con otros aspectos del sistema.
El modelo de canal puede resumirse en la ecuación (3-51), en la que sólo se
consideran interferencias generadas en la propia célula de referencia, y que supone los
coeficientes de canal constantes durante un intervalo de símbolo (canal de variación
lenta). Además consideraremos los coeficientes durante el intervalo anterior h1n,l−1 iguales
que los del actual, h1,nl , como hicimos en 3.3.3, y los coeficientes de los usuarios
interferentes, hkn,l , hkn,−1l , hkn,−2
l también iguales entre sí.
La varianza del coeficiente de canal l-ésimo para el usuario k del sistema
(durante los dos o tres intervalos a tener en cuenta) está determinada por el valor del
perfil retardo-potencia para ese usuario particularizado para τ = lTC, según indica la
ecuación (3-52). Recordamos que el perfil de potencia es igual para todos los usuarios
pertenecientes a la célula considerada. Dado que trabajamos sólo con un periodo de
símbolo de la señal de referencia y suponemos los coeficientes constantes a lo largo de
los dos o tres intervalos de símbolo implicados, no es necesario tener en cuenta la
variación temporal del canal, caracterizada por su espectro Doppler. Por tanto basta
generar los coeficientes de canal para el usuario de referencia, h1,nl = h1n,l−1 , como variables
aleatorias complejas con parte real e imaginaria gaussianas e independientes de media
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
122
nula e idéntica varianza. Los coeficientes de los usuarios interferentes, hkn,l = hkn,−1l = hkn,−2
l ,
se generan de la misma manera.
En cuanto al receptor, éste queda perfectamente determinado por la ecuación
(3-55), que describe la variable de decisión obtenida a la salida del mismo en función de
la señal recibida.
La familia de secuencias código utilizada es la familia de Gold de periodo
= 127 generada por los polinomios (en notación octal) 211 y 277, con un factor de
ensanchamiento C = 127 = .
Una vez precisados los modelos de canal y receptor y las secuencias código que
vamos a utilizar, ya podemos describir, a grandes rasgos, el algoritmo que va a seguir el
programa que lleva a cabo la simulación. A partir de las secuencias código y la forma
del pulso de chip generamos las señales transmitidas, con retardos aleatorios respecto a
la señal de referencia (sistema asíncrono). Generamos también los coeficientes de canal
a partir del perfil potencia-retardo, según hemos explicado más arriba. Con las señales
transmitidas y los coeficientes de canal ya podemos obtener la señal recibida total de
acuerdo con (3-51). Una vez calculada la señal recibida, se efectúan las operaciones
descritas en (3-55) para obtener la variable de decisión a la salida del receptor RAKE. El
receptor requiere unas estimaciones de los coeficientes de canal para calcular esta
variable. En este primer grupo de simulaciones consideraremos estimaciones ideales o
bien introduciremos artificialmente un error gaussiano en las mismas, sin considerar
ningún algoritmo de estimación específico; en el apartado 6.3 se analiza el subsistema
de estimación de canal. Calculada la variable de decisión, ya podemos estimar el
símbolo transmitido, en función del signo de la misma, y comparando con el valor real
del símbolo transmitido determinamos si se ha producido o no error en la demodulación.
Repitiendo el proceso un número suficiente de veces obtenemos una estimación de la
probabilidad de error. Como vemos, se trata de una simulación completa o tipo I, en la
que se generan las señales y a partir de éstas se calcula la variable de decisión.
El programa que lleva a cabo la simulación tiene las siguientes restricciones:
- trabaja con señales paso bajo equivalentes, por lo que implícitamente se supone
una recuperación de portadora perfecta en recepción
- modulación binaria
- secuencias de periodo corto ( = C)
- se supone control de potencia medio (en bucle abierto), lo que se traduce en
varianzas de los coeficientes de canal iguales para todos los usuarios
- no se tiene en cuenta la interferencia de las otras células
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
123
- no se tiene en cuenta la mejora que es posible obtener aprovechando la actividad
vocal no continua de los usuarios,
y permite variar los principales parámetros del sistema:
- número de chips por símbolo, C, y familia de secuencias código (de periodo
corto), {Gkm }
- forma del pulso de chip, uC(t)
- periodo de símbolo, TS
- dispersión multitrayecto del canal, Tm
- forma del perfil de potencia-retardo φh(τ)
- número de ramas del receptor, M
- número de usuarios por célula, K
- densidad espectral de potencia de ruido térmico 0
- atenuación media del canal y energía del pulso transmitido
- coeficiente de correlación para la constelación (binaria)
- desviación típica del error en la estimación de los coeficientes,
además de parámetros internos como la resolución utilizada en la representación de las
señales o el valor de Tζ utilizado para la representación del perfil de potencia-retardo.
5.2.2. Interferencia por multitrayecto
Idealmente cada rama del receptor RAKE sólo debería responder a una de las
réplicas recibidas (separabilidad total). Así, en la salida de la rama m sólo debería haber
un término correspondiente a la componente m. Realmente las réplicas no son
perfectamente separables, de modo que a la salida de la rama m aparecen también
términos debidos a cada una de las L-1 componentes restantes. Esto da lugar a una
interferencia que hemos denominado interferencia por multitrayecto, representada por
los sumandos (b) y (c) de la variable de decisión (expresión (3-56)). Con unas
secuencias código adecuadas estos términos serán mucho menores que el útil. Vamos a
comprobar la importancia de la interferencia por multitrayecto mediante varias
simulaciones en las que sólo se consideran los términos (a)-(c) de la variable de
decisión. Los demás términos se irán introduciendo sucesivamente a lo largo del
capítulo.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
124
Como el canal es simétrico, es decir, las características no dependen de cuál sea
el símbolo transmitido, por comodidad consideraremos que siempre se transmite un “1”.
Tomamos un periodo de símbolo TS = 1/9600 s. Como C = 127, el periodo de chip será
TC = 0.82 µs. Consideraremos un perfil potencia-retardo exponencial. El perfil quedará
caracterizado, entonces, por la dispersión del retardo Tm. Elegimos Tm = 5 µs. En la
representación del canal hemos utilizado Tζ = 5Tm, lo que supone trabajar con ζ < 1%.
Para el valor de Tm considerado esto implica, según (3-35), que hacen falta L = 31
coeficientes para describir el canal. Vamos a realizar la simulación a lo largo 20
intervalos, ya que no pretendemos estimar probabilidades de error, sino simplemente
observar el efecto de la interferencia multitrayecto. En la figura 5.1 se representa el
valor medio a lo largo de los 20 intervalos de los módulos al cuadrado de los
coeficientes de canal para el usuario considerado, junto con la curva que representa
TC2 φ h (τ ) (recuérdese la ecuación (3-41)) Se observa cómo los valores medios se ajustan
a la forma del perfil de potencia.
-4
4
x 10
3
2
1
0
0
10
τ (µs)
20
30
FIGURA 5.1. Valores medios de los módulos de los coeficientes de
canal al cuadrado y forma del perfil de potencia.
Realizando la simulación para un receptor de M = 2 ramas con estimación
perfecta de canal obtenemos los resultados indicados en la figura 5.2.a), en la que se
muestran la variable de decisión incluyendo la interferencia por multitrayecto, el
término útil solo y el término útil sin pérdidas por integración incompleta. A
continuación realizamos otra simulación variando la dispersión multitrayecto del canal,
Tm, pero manteniendo el área encerrada bajo la curva del perfil retardo-potencia.
Suponiendo que puede separarse la potencia de cada componente multitrayecto, esto
equivale a considerar fija la potencia recibida por el total de caminos de propagación. Lo
que vamos a hacer es repartir esa potencia en un intervalo mayor o menor de retardo.
LUIS MENDO TOMÁS
125
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Tomando Tm = 15 µs tenemos los resultados de la figura 5.2.b). En las figuras 5.2.c) y d)
se muestran los resultados obtenidos para estos mismos valores de Tm con un receptor de
M = 4 ramas.
Variable de decisión, U1n
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
14
16
18
20
14
16
18
20
(a) M = 2, Tm = 5 µs
Variable de decisión, U1n
8
6
4
2
0
-2
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
(b) M = 2, Tm = 15 µs
FIGURA 5.2. (continúa en la página siguiente)
LUIS MENDO TOMÁS
126
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Variable de decisión, U1n
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
14
16
18
20
16
18
20
(c) M = 4, Tm = 5 µs
Variable de decisión, U1n
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
14
(d) M = 4, Tm = 15 µs
Con interferencia multitrayecto
Sin interferencia multitrayecto
MRC pura
FIGURA 5.2. Variable de decisión con y sin interferencia
multitrayecto.
Las gráficas permiten evaluar la degradación introducida por la interferencia
multitrayecto. Esta degradación es más importante cuanto mayor sea Tm, como es lógico.
Por otro lado, a mayor Tm la potencia de señal, que hemos considerado fija, está más
dispersa y, suponiendo M < L, captamos una fracción más pequeña de la misma. Esto
explica que la variable de decisión tome valores más pequeños para dispersiones
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
127
mayores. Además, la variable de decisión es más grande cuantas más ramas tenga el
receptor, como es lógico. La diferencia entre los casos con y sin interferencia debe
considerarse en términos relativos, es decir, en función de la magnitud de los valores
que toma la variable.
La figura permite comprobar también que el efecto de las pérdidas por
integración incompleta de las componentes recibidas es muy pequeño, y más cuanto
menor es M.
5.2.3. Interferencia entre símbolos
Otra de las estas causas de degradación en la variable de decisión es la
interferencia entre símbolos, representada por el término (d) de la misma. Al igual que
la interferencia analizada en el punto anterior, la interferencia entre símbolos se produce
como consecuencia de la presencia de multitrayecto en el canal: el pulso
correspondiente a un intervalo se ve contaminado por las colas de las réplicas del pulso
anterior, que invaden el intervalo actual, introduciendo este término no deseado en la
variable de decisión.
Una forma de evitar la interferencia entre símbolos sería utilizar pulsos de
símbolo muy estrechos, de modo que nunca llegaran a invadir el intervalo siguiente,
como vimos en el apartado 2.3. Esto eliminaría la interferencia entre símbolos (d), así
como la interferencia por multitrayecto (b)-(c), pero imposibilitaría el acceso múltiple,
pues incrementaría mucho la interferencia por acceso múltiple, representada por los
términos (e), (f) y (g) de la variable de decisión. Para mantener reducidos los tres tipos
de interferencia debemos utilizar pulsos codificados con unas propiedades adecuadas,
como vimos en 2.5. En nuestros criterios para la selección de las secuencias código,
dados en 4.1, no tuvimos en cuenta la interferencia entre símbolos, ya que, según
dijimos, es despreciable frente a los demás términos. Vamos a comprobar que, con las
secuencias de Gold utilizadas, este término es efectivamente muy pequeño.
Al igual que antes, vamos a suponer que el símbolo transmitido es un “1”. Así, si
observamos la variable de decisión en cada uno de los intervalos, sabemos que se ha
producido un error cuando ésta toma un valor negativo. Como queremos analizar el
efecto de la interferencia entre símbolos, supondremos de momento que no hay usuarios
interferentes en el receptor, ni ruido térmico. Por tanto, en la variable de decisión sólo
estarán presentes los términos (a)-(d). En las simulaciones vamos a obtener la variable
de decisión en dos situaciones distintas: considerando la interferencia entre símbolos, o
sea, el efecto de las componentes de un pulso sobre el símbolo siguiente, y sin
LUIS MENDO TOMÁS
128
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
considerarla, es decir, “recortando” la señal que se sale del periodo correspondiente.
Esto último se traduciría en la expresión teórica de la variable de decisión en que
desaparecería el término (d).
Mantenemos los valores de TS = 1/9600 s, C = 127, y perfil potencia-retardo
exponencial. Elegimos en primer lugar Tm = 5 µs, con lo que, para Tζ = 5Tm, tenemos
L = 31. Como antes, realizaremos simulaciones de 20 intervalos, suficientes para tener
una idea aproximada de la magnitud de la interferencia entre símbolos.
En la figura 5.3 se muestran con línea continua los valores de la variable de
decisión obtenidos con un receptor de M = 2 ramas y estimación de canal ideal, y con
línea de trazos los que se obtendrían en el receptor suprimiendo en cada intervalo las
colas del pulso anterior, es decir, eliminando la interferencia entre símbolos. Puede
observarse que la diferencia es muy pequeña.
Variable de decisión, U1n
20
15
10
5
0
0
5
10
Intervalo, n
15
20
Con interferencia entre símbolos
Sin interferencia entre símbolos
FIGURA 5.3. Variables de decisión con y sin interferencia entre
símbolos.
Repitiendo la simulación para Tm = 1 µs y 15 µs obtenemos los resultados de la
figura 5.4.
LUIS MENDO TOMÁS
129
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
-3
φh(τ)
x 10
1
0.8
Tm = 1 µs
0.6
0.4
0.2
Tm = 5 µs
Tm = 15 µs
0
0
10
20
30
t (µs)
40
50
60
(a) Perfil potencia-retardo
Variable de decisión, U1n
35
Tm=1 µs
30
Tm=5 µs
25
20
Tm=15 µs
15
10
5
0
0
5
10
Intervalo
15
20
Con interferencia entre símbolos
Sin interferencia entre símbolos
(b) Variable de decisión
FIGURA 5.4. Efecto de la interferencia entre símbolos para M = 2 y
diferentes valores de Tm.
La interferencia entre símbolos es más importante cuanto mayor sea la dispersión
multitrayecto del canal Tm, lo que se traduce en una mayor diferencia relativa entre las
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
130
variables de decisión con y sin ISI, como refleja la parte (b) de la figura 5.4. De nuevo
observamos la disminución en la magnitud de los valores de la variable de decisión
conforme aumentamos la dispersión del canal.
La figura 5.4. permite comprobar que la interferencia entre símbolos es
efectivamente mucho más pequeña que la interferencia por multitrayecto, reflejada en la
figura 5.2. Ésta, a su vez, es despreciable frente a la interferencia por acceso múltiple,
como vamos a ver a continuación.
5.2.4. Interferencia por acceso múltiple
Vamos a incluir en nuestro análisis las interferencias causadas por las señales
correspondientes a los demás usuarios de la célula (no estamos considerando
interferencias procedentes de otras células del sistema). Esta interferencia, que
denominaremos interferencia por acceso múltiple, está representada por los términos
(e)-(g) de la variable de decisión. Con esto completaremos la suma de términos en que
hemos dividido dicha variable, a excepción del término de ruido térmico, que no vamos
a considerar.
En este capítulo encontraremos más conveniente hablar en términos del número
de usuarios interferentes por célula, KI, en vez de hablar del número de usuarios por
célula, K. Evidentemente, la relación entre ambos es KI = K-1.
Vamos a utilizar los mismos parámetros que en las simulaciones de los puntos
anteriores: secuencias de Gold de periodo corto = C = 127 y TS = 1/9600 s, pero
incluyendo varios usuarios interferentes en la célula de interés, cuyas señales se generan
de forma análoga a la del usuario de referencia, pero con retardos aleatorios respecto a
ésta. La potencia media recibida de cada usuario se supone igual a la del usuario de
referencia, en virtud del control de potencia medio ideal.
En primer lugar realizamos una simulación con KI = 10 usuarios interferentes,
dispersión multitrayecto del canal Tm = 1 µs y receptor de M = 2 ramas. Para 20
realizaciones se obtienen las variables de decisión indicadas con línea continua en la
figura 5.5. Hemos tomado una densidad espectral de potencia de ruido térmico 0 = 0 y
error en la estimación de los coeficientes del canal también nulo. Se representan también
las variables de decisión que se obtendrían para el caso de un sólo usuario (KI = 0), con
línea de trazos. En este caso sólo tenemos pérdidas por integración incompleta,
interferencia multitrayecto e interferencia entre símbolos, mientras que con varios
usuarios la degradación total aumenta debido a la aparición de interferencia por acceso
múltiple, lo que modifica el valor que toma la variable de decisión. La interferencia por
LUIS MENDO TOMÁS
131
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
acceso múltiple viene representada, entonces, por la diferencia entre los valores
continuos y a trazos.
Variable de decisión, U1n
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
14
16
18
Variable de decisión
Variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple
FIGURA 5.5. Variables de decisión con Tm = 1 µs y KI = 10
Aumentamos ahora KI a 50 y obtenemos: ver figura 5.6.
Variable de decisión, U1n
80
60
40
20
0
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
14
16
18
Variable de decisión
Variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple
FIGURA 5.6. Variables de decisión con Tm = 1 µs y KI = 50
20
20
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
132
Al incrementar el número de usuarios la diferencia entre las variables de decisión ha
aumentado. La explicación es obvia: las interferencias individuales de cada usuario se
acumulan en el receptor, dando lugar a una interferencia de acceso múltiple más
importante cuanto mayor sea el número de usuarios.
Si en vez de aumentar el número de usuarios volvemos a tomar K = 10 y
subimos la dispersión Tm hasta 10 µs obtenemos los valores representados en la figura
5.7.
Variable de decisión, U1n
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
14
16
18
20
Variable de decisión
Variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple
FIGURA 5.7. Variables de decisión con Tm = 10 µs y KI = 10
Vemos que incrementando Tm también aumenta la interferencia por acceso múltiple. En
este caso dicho aumento es debido al mayor número de componentes recibidas por
multitrayecto, que, al no ser aprovechadas como señal útil en el receptor, contribuyen a
aumentar la interferencia provocada por los demás usuarios (y también la interferencia
por multitrayecto y la interferencia entre símbolos del propio usuario de referencia).
En el estudio teórico efectuado en el capítulo 3 suponíamos que la interferencia
por acceso múltiple dominaba sobre los otros tipos de interferencia, en concreto sobre la
interferencia multitrayecto (la interferencia entre símbolos es despreciable frente a ésta),
y despreciábamos también las pérdidas por integración incompleta, con lo que nos
quedábamos con la interferencia por acceso múltiple como causa fundamental de
degradación (a su vez, el término (e) de la misma podía eliminarse, por ser mucho
menos importante que los (f) y (g)). En el capítulo 4 presentamos un método de análisis
que nos permite verificar si para una familia dada de secuencias código se cumple la
hipótesis mencionada, y vimos que para la mayoría de las familias analizadas se cumple.
LUIS MENDO TOMÁS
133
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
En el caso de las secuencias de Gold de periodo corto que estamos utilizando, vamos a
comprobar ahora mediante simulaciones que la interferencia por acceso múltiple es
efectivamente la interferencia dominante para un número de usuarios suficientemente
elevado. En la figura 5.8 se muestran las variables de decisión a lo largo de 20 intervalos
de símbolo para Tm = 1 µs, M = 4 ramas y diferentes números de usuarios interferentes
KI:
Variable de decisión, U1n
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
14
16
18
20
14
16
18
20
(a) KI = 1
Variable de decisión, U1n
80
60
40
20
0
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
(b) KI = 10
FIGURA 5.8. (continúa en la página siguiente)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
134
Variable de decisión, U1n
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
14
16
18
20
(c) KI = 50
Variable de decisión, U1n
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
Intervalo, n
14
16
18
20
(d) KI = 100
Variable de decisión
Variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple
Término útil de la variable de decisión
FIGURA 5.8. Efecto de la interferencia por acceso múltiple
Comparando los tres tipos de valores representados comprobamos que, a pesar
de que no estamos teniendo en cuenta la interferencia procedente de las otras células del
sistema, la interferencia por acceso múltiple domina sobre las demás para un número
suficientemente grande de usuarios.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
135
5.2.5. Señales presentes en el receptor
Vamos a observar las señales presentes en el receptor RAKE en un caso concreto
a lo largo de un periodo de símbolo para comprobar cómo del conjunto de señales
recibidas el receptor es capaz de extraer la señal útil, rechazando las señales
interferentes de los demás usuarios y separando las componentes retardadas de la señal
del usuario de referencia, que posteriormente son combinadas según la regla MRC,
como sabemos, para obtener la variable de decisión.
En nuestro ejemplo vamos a considerar perfil potencia-retardo exponencial con
Tm = 3 µs y receptor de M = 4 ramas. Empezamos por observar la señal recibida total a
lo largo de un intervalo de símbolo. El usuario de referencia transmite un “1”, y en el
sistema hay además KI = 20 usuarios interferentes, transmitiendo de forma
desincronizada respecto al de referencia. Como sabemos, las características del canal
visto por cada uno de los 21 usuarios en un momento dado serán en general distintas, lo
que equivale a considerar que cada usuario “ve” un canal independiente del de los otros
usuarios. Por tanto, cada una de las 21 señales transmitidas atraviesa un canal descrito
por L = 19 coeficientes que son independientes para cada usuario, y es recibida como L
réplicas retardadas TC entre sí, según nuestro modelo para señales de banda limitada.
Los coeficientes de canal para un mismo usuario también se consideran independientes,
como explicamos al describir el modelo de canal. La superposición de las 21 señales
recibidas constituye la entrada del receptor, y se ha dibujado con línea continua en la
figura 5.9. Se representan las partes real e imaginaria de la señal paso bajo equivalente,
que corresponden a las partes en fase y en cuadratura de la señal moduladora real. Con
línea de puntos se muestra la señal que se recibiría en ausencia de usuarios interferentes,
es decir, sin incluir las 20 señales de los otros usuarios.
LUIS MENDO TOMÁS
136
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
2
0
Re
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
2
0
Im
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (s)
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
Señal total recibida
Señal correspondiente al usuario de referencia
FIGURA 5.9. Señal recibida a lo largo de un periodo de símbolo
Obsérvese la gran diferencia entre la señal total recibida y la señal útil. Esta última
queda enmascarada por las señales interferentes; sin embargo, el receptor va a poder
extraerla del conjunto gracias a las propiedades de las secuencias código.
De las diversas estructuras funcionalmente equivalentes del receptor RAKE que
vimos en el capítulo 3, consideraremos la estructura con referencia retardada y con M
integradores. Siguiendo este esquema, cada una de las M ramas del receptor RAKE
multiplica la señal recibida por el patrón esperado, convenientemente retardado.
Posteriormente las M salidas de las ramas son integradas, muestreadas al final del
intervalo de símbolo y combinadas según el esquema MRC, utilizando los valores
estimados de los coeficientes de canal, estimación que supondremos perfecta. En la
figura 5.10 se representa con línea continua la salida de cada una de las M = 4 ramas en
función del tiempo, ya ponderada según el valor estimado del coeficiente de canal
(combinación MRC), y en la 5.11 las señales anteriores integradas. Con línea de trazos
se representan las mismas señales en ausencia de usuarios interferentes.
LUIS MENDO TOMÁS
137
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.2
0
Re
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
0.2
0
Im
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (s)
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
(a) Primera rama
0.2
0
Re
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
0.2
0
Im
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (s)
0.7
(b) Segunda rama
FIGURA 5.10. (continúa en la página siguiente)
0.8
0.9
1
-4
x 10
LUIS MENDO TOMÁS
138
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.2
0
Re
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
0.2
0
Im
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (s)
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
(c) Tercera rama
0.2
0
Re
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
0.2
0
Im
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (s)
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
(d) Cuarta rama
Con usuarios interferentes
Sin usuarios interferentes
FIGURA 5.10. Salidas de las M = 4 ramas del receptor, sin integrar
LUIS MENDO TOMÁS
12
12
10
10
8
8
6
6
Re 4
Im 4
2
2
0
0
-2
0
139
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.5
t (s)
1
-2
0
-4
x 10
0.5
t (s)
1
-4
x 10
(a) Primera rama
12
12
10
10
8
8
6
6
Re 4
Im 4
2
2
0
0
-2
0
0.5
t (s)
1
-2
0
-4
x 10
(b) Segunda rama
FIGURA 5.11. (continúa en la página siguiente)
0.5
t (s)
1
-4
x 10
LUIS MENDO TOMÁS
12
12
10
10
8
8
6
6
Re 4
Im 4
2
2
0
0
-2
0
140
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.5
t (s)
1
-2
0
-4
x 10
0.5
t (s)
1
-4
x 10
(c) Tercera rama
12
12
10
10
8
8
6
6
Re 4
Im 4
2
2
0
0
-2
0
0.5
t (s)
1
-2
0
-4
x 10
0.5
t (s)
1
-4
x 10
(d) Cuarta rama
FIGURA 5.11. Salidas integradas de las M = 4 ramas del receptor
La observación de las salidas de los integradores permite entender algunos de los
aspectos clave del funcionamiento del receptor:
- Idealmente, si no hubiera interferencias de ningún tipo y la estimación de canal
fuera perfecta, la parte imaginaria de las señales integradas en cada una de las
ramas sería nula, ya que ponderamos con la señal esperada (forma de pulso y
coeficiente de canal) conjugada. Esto se ve fácilmente observando la parte útil
(a) de la variable de decisión (3-56). Cada uno de los M términos de los que se
compone dicha parte útil representa la salida de una rama.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
141
- Vemos también el efecto de la ponderación en amplitud: en las figuras 5.10 y
5.11, que incluyen la ponderación MRC, se observa que el peso concedido a
cada rama disminuye con el orden de la misma.
- Las gráficas permiten apreciar el efecto de las interferencias. En ausencia de
interferencias la salida del integrador sería en la parte real una recta ascendente,
alcanzándose el punto máximo al final del intervalo, y en la parte imaginaria la
salida sería nula. Sin interferencia por acceso múltiple la situación es
prácticamente la ideal, como muestran las líneas de trazos; sin embargo, las
señales de los usuarios interferentes producen desviaciones más importantes,
como permiten ver las líneas continuas. Esto nos indica nuevamente que la causa
principal de degradación es la interferencia por acceso múltiple.
Como último paso, la variable de decisión estaría formada por la parte real de la
suma de las salidas de los integradores muestreadas al final del intervalo. Hemos visto
que la parte imaginaria no contiene parte útil, y que la parte real tiende a alcanzar su
valor máximo precisamente al final del intervalo. En el caso concreto reflejado en las
figuras anteriores la variable de decisión sería positiva, por lo que el símbolo
demodulado sería un “1” y no se habría producido error.
5.2.6. Estimación de la probabilidad de error
Hasta ahora hemos analizado la variable de decisión término por término, viendo
la importancia relativa de cada uno. En la realidad estos términos no pueden separarse, y
lo que tenemos es una degradación global en la variable de decisión, producida por
todos los factores que hemos ido analizando. Sin embargo, hemos visto que la
interferencia por acceso múltiple domina sobre las otras causas de degradación. Este
hecho nos permitió llegar a las expresiones teóricas del capítulo 3. Ahora, valiéndonos
de las simulaciones, vamos a estimar la probabilidad de error teniendo en cuenta todos
los factores (todos los sumandos de la variable de decisión). La coincidencia entre los
resultados teóricos y los que obtengamos aquí permitirá comprobar la validez de la
aproximación realizada en aquéllos.
Con objeto de tener una estimación fiable de la probabilidad de error para cada
conjunto de valores, debemos realizar un número suficiente de simulaciones. Ya que
tenemos un valor teórico para esta probabilidad, parece lógico elegir dicho número
inversamente proporcional a la probabilidad de error esperada. El criterio que hemos
seguido es realizar en todos los casos un número igual o superior a 10/Pb simulaciones,
siendo Pb el valor teórico. En otras palabras, utilizamos un producto número de
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
142
simulaciones-probabilidad esperada de 10. Así, para una probabilidad de error de bit
esperada de 10-3 el número mínimo de simulaciones sería 10000.
Se han previsto dos modos de simulación (ambos dentro del tipo I definido en la
introducción):
- simulación (completa) normal: se obtiene la señal total recibida superponiendo a
la del usuario de referencia las correspondientes a los demás usuarios. Con la
señal así obtenida se calcula la variable de decisión y se estima el símbolo según
la regla de decisión. Esta simulación es la más realista pero puede dar lugar a
tiempos de ejecución muy largos cuando el número de usuarios o el número de
caminos de propagación sea muy grande. Es el método que hemos utilizado
hasta ahora.
- simulación (completa) rápida: el conjunto de KI usuarios interferentes se
sustituye por un conjunto menor de KIs “representantes”. La potencia media de
éstos ya no es igual a la del usuario de referencia, sino que se incrementa
adecuadamente (suma no coherente) para que la interferencia total sea similar a
la que producirían los KI usuarios que hay en realidad. Indudablemente, esta
simulación es menos realista, pero los resultados obtenidos son muy parecidos,
como veremos a continuación, y reducimos considerablemente el tiempo de
ejecución. Resulta por tanto más adecuada para la estimación de probabilidades
de error, que requiere un gran número de simulaciones.
Con los valores habituales de TS = 1/9600 s y C = 127 y sin ruido térmico,
tomamos en primer lugar Tm = 1 µs y M = 1. En la figura 5.12 se muestran, junto con la
curva teórica, calculada según las expresiones del capítulo 3, los resultados obtenidos en
dos situaciones:
- simulación normal: KIs = KI
- simulación rápida: KIs < KI. Se ha elegido KIs aproximadamente proporcional a
KI y en todo caso mayor que 5.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
143
0
10
-1
10
Pb
-2
10
20
40
60
80
100
120
KI
Expresión teórica
Simulación normal
Simulación rápida (KIs < KI)
FIGURA 5.12. Probabilidad de error para Tm = 1 µs y M = 1
La figura nos permite hacer las siguientes observaciones:
- comparando las posiciones de los dos tipos de marcas vemos que la simulación
rápida da unos resultados muy parecidos a los de la simulación normal
- los resultados obtenidos se ajustan razonablemente a los que predice la curva.
Esto confirma la validez de la aproximación realizada en la expresión teórica: la
interferencia por acceso múltiple domina sobre las demás causas de degradación
(interferencia por multitrayecto y entre símbolos, así como ruido térmico y
pérdidas por integración incompleta) para KI suficientemente grande.
El segundo caso que analizamos es igual que el anterior pero utilizando un
receptor de M = 2 ramas. Realizamos únicamente simulación rápida según el criterio
anterior. Ver figura 5.13.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
144
0
10
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
20
40
60
80
100
120
KI
Expresión teórica
Simulación rápida (KIs < KI)
FIGURA 5.13. Probabilidad de error para Tm = 1 µs y M = 2
Aumentamos el valor de la dispersión multitrayecto del canal a 3 µs. Con M = 2
obtenemos los resultados de la figura 5.14.
0
10
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
20
40
60
80
100
KI
Expresión teórica
Simulación rápida (KIs < KI)
FIGURA 5.14. Probabilidad de error para Tm = 3 µs y M = 2
Para M = 4 ramas tenemos los valores de la figura 5.15.
120
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
145
0
10
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
20
40
60
80
100
120
KI
Expresión teórica
Simulación rápida (KIs < KI)
FIGURA 5.15. Probabilidad de error para Tm = 3 µs y M = 4
Como vemos, las probabilidades de error reveladas tanto por los desarrollos
teóricos como por las simulaciones son muy altas incluso para un número reducido de
usuarios, y más si tenemos en cuenta que no hemos considerado la interferencia
procedente de las demás células del sistema. Será necesario el uso de codificación de
canal para reducir la probabilidad de error a valores aceptables.
5.2.7. Caracterización estadística de la variable de decisión
Nos proponemos estudiar la distribución estadística de la variable de decisión a
la salida del receptor RAKE. Esta caracterización estadística nos permitirá desarrollar
un nuevo algoritmo de simulación (tipo II), como anunciamos en 5.1, más simple que el
que hemos utilizado hasta ahora.
En primer lugar vamos a verificar la hipótesis gaussiana de las interferencias,
que en el capítulo 3 nos permitió llegar a unas expresiones sencillas para la probabilidad
de error. La hipótesis gaussiana de las interferencias establece que, para unos valores
fijos de los coeficientes de canal del usuario de referencia, h1,nm , la interferencia
producida por los restantes usuarios del sistema es una variable aleatoria gaussiana. Para
comprobar que esto es efectivamente cierto vamos a realizar 1000 simulaciones
manteniendo los coeficientes h1,nm fijos (en vez de elegirlos aleatoriamente como hasta
ahora). Tomamos Tm = 1 µs, M = 1 y KI = 50 (KIs = 6). En este caso sólo existe un
1
coeficiente h1n,1 , que tomamos igual a ( E [|h1n,1 |2 ]) 2 . Suponemos estimación perfecta de
LUIS MENDO TOMÁS
146
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
canal. La figura 5.16 muestra los histogramas para la variable de decisión, la misma sin
interferencia por acceso múltiple y el término de interferencia por acceso múltiple. En la
figura 5.17 se representan los histogramas obtenidos utilizando los mismos parámetros
excepto M, que se toma igual a 3.
Variable de decisión
200
100
0
-200
-100
0
100
200
300
400
Variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple
200
100
0
-200
-100
0
100
200
300
400
300
400
Interferencia por acceso múltiple
200
100
0
-200
-100
0
100
200
FIGURA 5.16. Histogramas de la variable de decisión con
coeficientes de canal h1,nm fijos, para Tm = 1 µs, M = 1 y KI = 50.
LUIS MENDO TOMÁS
147
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Variable de decisión
200
100
0
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
Variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple
200
100
0
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
400
500
600
Interferencia por acceso múltiple
200
100
0
-300
-200
-100
0
100
200
300
FIGURA 5.17. Histogramas de la variable de decisión con
coeficientes de canal h1,nm fijos, para Tm = 1 µs, M = 3 y KI = 50.
Las figuras parecen confirmar la hipótesis gaussiana de las interferencias, pues la
parte inferior de las mismas tiene una forma aproximadamente gaussiana. Nótese que la
variable de decisión sin interferencias de otros usuarios tiene una distribución mucho
más estrecha que la variable total. Si la única interferencia presente en el receptor fuera
la de acceso múltiple, la variable de decisión sin incluir esta interferencia sería
simplemente el término útil, y por tanto la distribución sería un impulso (anchura nula).
La dispersión que se observa en la gráfica central de las figuras es debida a los otros
tipos de interferencia, es decir, interferencia por multitrayecto y entre símbolos. La poca
dispersión de la variable sin interferencia por acceso múltiple respecto de la total viene a
confirmar nuevamente el predominio de la interferencia por acceso múltiple sobre las
otras clases de interferencia.
Vamos a ver que no sólo la interferencia total por acceso múltiple es gaussiana,
sino que la interferencia correspondiente a cada uno de los usuarios también tiene una
distribución gaussiana, es decir, la hipótesis gaussiana también se cumple
individualmente. Para ello repetimos las simulaciones anteriores pero con KI = 1 usuario
interferente.
LUIS MENDO TOMÁS
148
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Variable de decisión
200
100
0
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple
200
100
0
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
120
140
160
Interferencia por acceso múltiple
200
100
0
-20
0
20
40
60
80
100
FIGURA 5.18. Histogramas de la variable de decisión con
coeficientes de canal h1,nm fijos, para Tm = 1 µs, M = 1 y KI = 1.
Variable de decisión
400
200
0
-50
0
50
100
150
200
250
Variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple
400
200
0
-50
0
50
100
150
200
250
200
250
Interferencia por acceso múltiple
400
200
0
-50
0
50
100
150
FIGURA 5.19. Histogramas de la variable de decisión con
coeficientes de canal h1,nm fijos, para Tm = 1 µs, M = 3 y KI = 1.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
149
Las figuras anteriores confirman la hipótesis gaussiana para un solo usuario
interferente. Por otro lado, observamos que para un solo usuario interferente la
interferencia por acceso múltiple es comparable a las demás causas de interferencia.
Finalmente, vamos a estudiar los histogramas globales de la variable de decisión,
eliminando la restricción de coeficientes de canal para el usuario de referencia h1,nm fijos,
o, lo que es lo mismo, promediando respecto a éstos. En las figuras 5.20 y 5.21 se
muestran los histogramas resultantes de 1000 simulaciones con los parámetros Tm = 1
µs, KI = 50 (KIs = 6) y M = 1 y 3 ramas.
Variable de decisión
400
200
0
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
Variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple
400
200
0
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1000
1200
Interferencia por acceso múltiple
400
200
0
-200
0
200
400
600
800
FIGURA 5.20. Histogramas globales de la variable de decisión para
Tm = 1 µs, M = 1, y KI = 50.
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150
Variable de decisión
200
100
0
-200
0
200
400
600
800
1000
Variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple
200
100
0
-200
0
200
400
600
800
1000
800
1000
Interferencia por acceso múltiple
200
100
0
-200
0
200
400
600
FIGURA 5. 21. Histogramas globales de la variable de decisión para
Tm = 1 µs, M = 3, y KI = 50.
Estas figuras nos permiten hacer las siguientes observaciones:
- Puesto que los coeficientes h1,nm son variables complejas gaussianas, sus módulos
al cuadrado tienen una distribución exponencial, y por tanto el término útil de la
variable de decisión con estimación perfecta de canal en el caso de M = 1 es, de
acuerdo con la expresión (3-62), una variable aleatoria exponencial. Ahora bien,
según la figura 5.20, la variable de decisión sin interferencias de otros usuarios
para M = 1 tiene aproximadamente una distribución exponencial. Esto nos indica
nuevamente que las interferencias por multitrayecto y entre símbolos son muy
poco importantes
- En el caso de M > 1 el término útil es una suma de variables exponenciales
independientes. Los valores medios de estas variables exponenciales son en
general distintos, según la forma del perfil retardo-potencia y las pérdidas por
integración incompleta, como se deduce de las ecuaciones (3-62) y (3-41). La
distribución de una suma de variables independientes tiende a ser gaussiana, si
bien en el caso de exponenciales esa tendencia es bastante lenta. La gráfica
central de la figura 5.21 permite comprobar que para M = 3 la distribución de la
variable de decisión sin interferencia por acceso múltiple, que debe ser
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151
prácticamente igual a la del término útil, está a medio camino entre una
exponencial y una gaussiana.
- la interferencia por acceso múltiple, que, según hemos comprobado, es gaussiana
para h1,nm fijos (hipótesis gaussiana de las interferencias), sigue siendo gaussiana
cuando promediamos respecto a estos coeficientes, como muestra la parte
inferior de las figuras 5.20 y 5.21.
La variable de decisión, por tanto, puede describirse como un término útil
formado por una suma de M variables exponenciales de medias conocidas y un término
interferente gaussiano de media nula y varianza proporcional al número de usuarios
interferentes. El resultado es una distribución asimétrica con la forma indicada en la
parte superior de las figuras 5.20 y 5.21.
5.2.8. Simulaciones simplificadas
Todas las simulaciones realizadas hasta ahora se han basado en la generación de
las señales presentes a la entrada del receptor y el cálculo de la variable de decisión a
partir de las mismas. Constituyen el grupo I de simulaciones definido en 5.1. Con objeto
de acelerar las simulaciones vamos a desarrollar un algoritmo simplificado. Las
simulaciones realizadas siguiendo este nuevo esquema se enmarcan en el grupo II de
5.1. La simplificación es análoga a la realizada en el punto 3.3.3 para obtener las
expresiones teóricas de la probabilidad de error. Allí nos basábamos en dos hipótesis:
- la interferencia por acceso múltiple domina sobre los demás términos
interferentes (además, dentro de ésta despreciábamos el término (e) frente a los
(f) y (g), por ser mucho menos importante)
- la interferencia representada por estos términos puede modelarse, para
coeficientes de canal del usuario de referencia fijos, por una variable gaussiana
de media nula y varianza dada por (3-85) (hipótesis gaussiana de las
interferencias).
Estas dos hipótesis han sido comprobadas en este capítulo, mediante
simulaciones completas (tipo I). Apoyándonos en esto, vamos a simplificar el algoritmo
de simulación del siguiente modo:
- vamos a despreciar en la simulación todos los términos de interferencia excepto
la interferencia por acceso múltiple
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152
- en vez de generar la señal total recibida y obtener a partir de ella la variable de
decisión del receptor RAKE, vamos a generar ésta última directamente, a partir
de su caracterización estadística, establecida en 5.2.7.
Según lo anterior, el nuevo algoritmo de simulación va a ser, en líneas generales,
el siguiente. En primer lugar generamos los coeficientes de canal para el usuario de
referencia. A partir de ellos calculamos el término útil de la variable de decisión. El
término interferente se genera como una suma de términos gaussianos correspondientes
cada uno a un usuario interferente (hemos comprobado que la interferencia de cada
usuario, para coeficientes de canal del usuario de referencia fijos, tiene una distribución
gaussiana), de media nula y varianza dada por (3-78) (la suma de estos términos nos da
una variable gaussiana de media nula y la varianza indicada en (3-85)) Aquí también
tenemos la posibilidad de acelerar la simulación eligiendo un número de representantes
KIs menor que el número de usuarios interferentes KI. El algoritmo permite además
incluir la influencia de las demás células del sistema a través del factor ρ definido en el
capítulo 3. A partir de aquí el proceso es igual que hasta ahora: se aplica la regla de
decisión y se compara el símbolo demodulado con el símbolo transmitido, conocido,
para determinar la presencia o ausencia de error en la demodulación. Nótese que ya no
estamos considerando una familia específica de secuencias código; la única
característica de las mismas que necesitamos conocer es el parámetro Γε.
Utilizando este nuevo algoritmo de simulación con los mismos valores que en el
punto 5.2.6 obtenemos los resultados de las figuras 5.22 a 5.25. Para poder comparar
con los valores obtenidos allí se ha tomado ρ = 1.
0
10
-1
10
Pb
-2
10
20
40
60
80
KI
Expresión teórica
Simulación rápida (KIs < KI)
100
120
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FIGURA 5.22. Probabilidad de error para Tm = 1 µs, M = 1 y ρ = 1
(simulaciones simplificadas)
0
10
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
20
40
60
80
100
120
KI
Expresión teórica
Simulación rápida (KIs < KI)
FIGURA 5.23. Probabilidad de error para Tm = 1 µs, M = 2 y ρ = 1
(simulaciones simplificadas)
0
10
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
20
40
60
80
100
120
KI
Expresión teórica
Simulación rápida (KIs < KI)
FIGURA 5.24. Probabilidad de error para Tm = 3 µs, M = 2 y ρ = 1
(simulaciones simplificadas)
153
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154
0
10
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
20
40
60
80
100
120
KI
Expresión teórica
Simulación rápida (KIs < KI)
FIGURA 5.25. Probabilidad de error para Tm = 3 µs, M = 4 y ρ = 1
(simulaciones simplificadas)
Como vemos, las nuevas simulaciones dan unos resultados en concordancia con
las expresiones teóricas. Realmente, podemos decir que el algoritmo de simulación
simplificado es una materialización de las expresiones teóricas, ya que se basa en las
mismas hipótesis que aquéllas. La ventaja de este tipo de simulaciones es que podemos
integrar el análisis del receptor RAKE con otros aspectos del sistema, integración que
resultaría difícil de llevar a cabo por vía teórica y que exigiría tiempos de ejecución muy
grandes en el caso de simulaciones completas (tipo I). Dejamos esta parte del estudio del
sistema CDMA asíncrono para el capítulo 6.
CAPÍTULO 6:
ANÁLISIS DE UN SISTEMA MÓVIL
CDMA ASÍNCRONO
Continuamos el estudio comenzado en el capítulo 5 analizando diversos aspectos
del sistema CDMA asíncrono con canal variante multitrayecto. Al igual que en el
capítulo anterior, la mayor parte del análisis se llevará a cabo a través de la realización
de simulaciones y la interpretación de sus resultados.
6.1. CODIFICACIÓ DE CAAL
En los ejemplos del punto 3.3.3 y en las simulaciones de 5.2.6 y 5.2.8 hemos
visto que las probabilidades de error son en general bastante elevadas, o,
equivalentemente, para mantener una probabilidad de error que asegure una calidad
aceptable el número de usuarios que pueden acceder simultáneamente al sistema es muy
reducido. Para mejorar esta situación podemos hacer uso de técnicas de codificación de
canal.
Las técnicas de codificación y decodificación pueden verse como una forma de
establecer intercambios o compromisos entre los tres recursos básicos de un sistema de
comunicaciones digitales: probabilidad de error, relación señal/ruido necesaria (que en
sistemas con acceso múltiple determina, directa o indirectamente, la capacidad) y ancho
de banda ocupado. Concretamente, mediante la codificación mejoramos alguno de los
dos primeros a costa del tercero, y de una forma eficiente (por ejemplo, también
podemos hacer este intercambio utilizando modulaciones ortogonales como FSK en vez
de PSK, pero la codificación permite obtener la misma mejora con un incremento menor
de ancho de banda)
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156
6.1.1. Modalidades de control de errores
Existen dos modalidades de control de errores:
- detección de errores: utilizamos la codificación de canal simplemente para
detectar que se ha cometido un error. Normalmente, una vez detectado un error
el receptor envía un mensaje al transmisor pidiendo una retransmisión
(automatic retransmission query, o automatic repeat request, ARQ), lo cual
exige un canal de retorno del receptor al transmisor.
- corrección de errores (forward error correction, FEC): la redundancia
introducida por la codificación se utiliza para corregir los errores en la señal
recibida.
En cualquiera de los dos casos, no todos los posibles errores pueden detectarse o
corregirse. Normalmente, con un mismo código es posible detectar más errores que los
que se pueden corregir. Es posible utilizar conjuntamente ambas técnicas, corrigiendo
algunos tipos de errores y detectando otros. La capacidad correctora/detectora de errores
depende del tipo de código utilizado, y es lo que distingue unos códigos de otros.
La modalidad de control de errores elegida dependerá del tipo de servicio
considerado. Por ejemplo, la transmisión de voz debe producirse en tiempo real, con un
retardo pequeño y constante, mientras que la probabilidad de error no es crítica; lo
contrario sucede en la transmisión de datos, que debe realizarse con una probabilidad de
error prácticamente nula, mientras que el retardo no es tan importante. Así, si en el
primer caso utilizáramos detección y retransmisión el retardo sería grande y, lo que es
peor, fluctuante, por lo que es más conveniente utilizar corrección de errores, lo cual
permite además proteger los bits en mayor o menor medida según su importancia. En el
segundo caso son más adecuadas las técnicas de detección de errores, ya que así
podemos lograr tasas de error muy bajas, a cambio de un retardo más elevado y variable.
Otra opción sería utilizar un código para corregir errores, dividir la señal en tramas o
bloques y utilizar otro código para detectar, dentro de una trama, los errores que no haya
corregido el primero. En el caso de detectar algún error en una trama podría pedirse su
retransmisión en el caso de datos o descartarse en el caso de voz.
6.1.2. El proceso de codificación y decodificación de canal
La finalidad de la codificación de canal es transformar la secuencia de bits
original en otra secuencia con mayor caudal binario, introduciendo redundancia de
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157
forma controlada, de forma que la secuencia fuente pueda estimarse en recepción con
menos errores que si transmitiéramos ésta directamente.
Partimos de una secuencia de bits†de información entregados por la fuente, o bits
de fuente, llamada secuencia fuente, {fi}, que queremos transmitir al otro extremo del
canal. Para ello podemos modular directamente la onda transmitida con esta secuencia
fuente, o bien podemos incluir entre la fuente y el modulador un bloque de codificación
de canal. Este bloque transforma la secuencia fuente en una secuencia codificada, {cj},
formada por bits codificados o de canal, que es la que se lleva al modulador. El
modulador trabaja en general con grupos de bits de la secuencia codificada, que
constituyen los símbolos de canal, produciendo una señal física que se transmite por el
canal, s(t). Si la modulación es binaria podemos hablar de bits de canal. En recepción
debemos, tras demodular la señal recibida, s'(t), efectuar el proceso inverso a la
codificación para recuperar la señal de fuente. Al demodular s'(t) obtenemos una
secuencia de bits codificados {c'j}, en general distinta de {cj}, debido a las
perturbaciones introducidas por el canal. Estos errores se traducen a su vez en errores en
la secuencia {f'i} respecto a la {fi}. La codificación de canal se introduce precisamente
para influir en esta “traducción”, de manera que se reduzca el efecto de las
perturbaciones introducidas por el canal sobre la secuencia final. La figura 6.1 ilustra el
proceso descrito.
Fuente
Codificador
{fi}
Modulador
{cj}
s(t)
Canal
Destino
Decodificador
{f'i}
Demodulador
{c'j}
s'(t)
FIGURA 6.1. Modelo de sistema de comunicaciones digital con
codificación de canal
Llamaremos errores de canal a los producidos en la secuencia {c'j} respecto de
{cj}, y errores de fuente o residuales a los de {f'i} respecto de {fi}. Los errores
importantes son obviamente los de fuente, y son los que se intentan reducir con la
†
Aquí “bit” debe entenderse como “dígito binario”, no como unidad de medida de información
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158
codificación de canal. Análogamente, hablaremos de probabilidad de error de bit de
canal, Pc, y de fuente, Pb; de caudal binario en el canal, Rc, y caudal binario de la fuente,
Rb; energía de bit de canal Ec y de fuente Eb. En caso de no haber codificación de canal
tenemos {cj} = {fi} y {c'j} = {f'i}, y por tanto las probabilidades y los caudales también
coinciden.
Un parámetro fundamental es la llamada tasa del código, que indica el número
de bits que contiene la secuencia codificada por cada bit de la secuencia original:
r=
k
n
(6-1)
El parámetro k expresa el número de bits que se introducen de cada vez al codificador, y
n el número de bits codificados que éste produce para cada grupo de k bits de entrada.
La tasa del código da una medida de la redundancia de la secuencia codificada, que
permitirá combatir mejor los efectos destructivos del canal, es decir, detectar o corregir
mejor los errores que éste introduzca.
El caudal binario de la secuencia codificada se relaciona con el de fuente según
Rc =
Rb n
= Rb ,
r
k
(6-2)
y existe una relación parecida para las energías de bit:
E c = rEb =
k
E
n b
(6-3)
La relación entre Pb y Pc depende del código utilizado y de las características del canal,
como veremos más adelante.
Suponiendo fija la tasa binaria de fuente Rb, al transmitir más bits de los que
inicialmente teníamos el ancho de banda de la señal aumenta. Por tanto, la codificación
de canal permite reducir la probabilidad de error, o reducir la relación señal/ruido
requerida para una probabilidad de error dada, a costa de aumentar el ancho de banda
necesario y la complejidad del transmisor y del receptor. Interesa que este intercambio
sea lo más eficiente posible.
6.1.3. El problema de la decodificación
La codificación es relativamente fácil de llevar a cabo, ya que hay una regla que
determina la secuencia codificada a partir de la secuencia fuente, como ilustra la figura
6.2.a).
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159
Para poder recuperar la secuencia original (o una lo más parecida posible) en el
receptor, la regla o función de codificación debe ser inyectiva: dos secuencias de entrada
distintas deben producir secuencias codificadas distintas. Así podemos efectuar el paso
inverso, o decodificación, desde el conjunto de secuencias codificadas al conjunto de
posibles secuencias fuente. La función de decodificación así entendida es igual de
directa en cuanto a su realización que la de codificación, como muestra la figura 6.2.b).
El problema surge cuando incluimos los efectos destructivos del canal. La señal
codificada se transforma en una forma de onda en el modulador y es transmitida. El
canal modifica la forma de esta señal que viaja por él, de manera que la señal recibida es
diferente de la transmitida. En el receptor, el bloque demodulador debe tratar de
recuperar la señal codificada original. Caben dos posibilidades:
a) Podemos intentar recuperar la secuencia codificada a partir de la señal recibida
del mismo modo que lo haríamos en un sistema sin codificación: para cada bit
de la secuencia, decidimos si es un 0 ó un 1 en función de la forma de la señal
recibida. Como es conocido, la manera óptima de hacerlo requiere un filtro
adaptado o correlador y un muestreador. La salida del muestreador constituye la
variable de decisión. A partir de ésta un circuito de decisión hace una estimación
del valor del bit de la secuencia codificada original. Así obtenemos una
secuencia de bits, todavía sin decodificar, que es una estimación de la secuencia
codificada original. La secuencia codificada estimada se introducirá en el
decodificador para tratar de recuperar la secuencia fuente. Este procedimiento
recibe el nombre de decodificación rígida (hard-decision decoding), porque el
decodificador funciona a partir de decisiones rígidas realizadas por el
demodulador: “0” ó “1”.
b) En el caso anterior podemos ver el proceso que lleva a cabo el circuito de
decisión para estimar (demodular) cada bit de canal como una cuantificación de
dos niveles. Otra posibilidad es introducir en el decodificador directamente los
valores de las variables de decisión sin cuantificar, o bien cuantificadas con un
número de niveles mayor que dos. Esto significa que estamos introduciendo más
información al decodificador que en el caso anterior: en vez de decirle
simplemente si el bit de canal estimado es un “0” ó un “1” le estamos dando
además una medida del margen de confianza de la estimación. Esta información
adicional permite al decodificador recuperar la secuencia fuente con menos
errores, a costa de complicar su diseño. Cuando tenemos más de dos niveles de
cuantificación en el demodulador hablamos de decodificación suave (softdecision decoding).
LUIS MENDO TOMÁS
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160
Es importante hacer notar que, al final, a la salida del decodificador todas las
decisiones tienen que ser rígidas. La idea de que el demodulador no realice decisiones
rígidas puede verse como un paso intermedio para proporcionar más información al
decodificador, de forma que éste puede recuperar la secuencia fuente con mayor
fiabilidad.
En cualquiera de los dos casos, ya sea que el decodificador deba enfrentarse a
secuencias de bits o a secuencias más ricas en información procedentes del
demodulador, vemos que regla de decodificación de la figura 6.2.b) para pasar del
conjunto de secuencias codificadas al conjunto de secuencias fuente ya no nos sirve,
pues ahora la secuencia a la entrada del decodificador no tiene por qué ser una de las
posibles secuencias producidas por el codificador, de manera que ya no existe una
secuencia fuente que le corresponda según la regla anterior. En este caso debemos
“ampliar” dicha regla: debemos asociar una secuencia fuente a cualquier secuencia
recibida, pertenezca ésta al conjunto de posibles secuencias codificadas o no, como
muestra la figura 6.2.c). Dentro de todas las posibles ampliaciones para la regla de
decodificación buscamos aquélla que minimiza la probabilidad de error de bit de fuente,
es decir, dada una secuencia de canal recibida, que en general no pertenecerá al conjunto
de secuencias codificadas, queremos estimar cuál es la secuencia fuente que fue
transmitida de manera que nos equivoquemos el menor número posible de veces. La
solución es decidir en favor de la secuencia fuente cuya probabilidad a posteriori de
haber sido transmitida es mayor (criterio máximo a posteriori, MAP).
secuencias fuente
secuencias de canal
(a)
secuencias fuente
secuencias de canal
(b)
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161
FIGURA 6.2. (continúa en la página siguiente)
secuencias fuente
secuencias de canal
(c)
FIGURA 6.2. Codificación y decodificación de canal.
(a) Función de codificación
(b) Función de decodificación
(c) Función de decodificación ampliada
Como conclusión podemos decir que la regla de decodificación que debemos
materializar en el receptor no es tan sencilla como la de codificación, debido a los
efectos del canal sobre la señal transmitida.
6.1.4. Tipos de códigos de canal
Hay dos grandes grupos de códigos de canal:
- códigos bloque: se basan en transformar grupos o bloques de bits de fuente en
otros bloques formados por un mayor número de bits codificados, a partir de los
cuales se podrá recuperar la secuencia original en el receptor.
- códigos convolucionales: no se trabaja con bloques; el codificador tiene una
cierta memoria, de manera que para cada bit de la secuencia fuente se produce
un cierto número de bits codificados cuyos valores dependen del bit actual de la
secuencia fuente y de un número establecido de bits anteriores.
Los códigos bloque pueden usarse para corrección o detección, mientras que los
convolucionales se utilizan más bien para corrección de errores.
6.1.5. Ganancia de codificación
Se define la ganancia de codificación para un código corrector dado y una
probabilidad de error de bit de fuente determinada como la disminución en la relación
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162
señal/ruido por bit de fuente (Eb/'0) que puede lograrse mediante la utilización de ese
código respecto al caso en que no se emplea codificación, para un mismo valor de
probabilidad de error de bit de fuente, y suponiendo también constantes los demás
parámetros del sistema, como caudal binario de la fuente, densidad espectral de potencia
de ruido a la entrada del receptor, etc.
Vamos a aplicar esta definición a dos tipos de canales:
- canal AWGN, en el que la señal recibida es una versión retrasada y atenuada de
la transmitida a la que se superpone un ruido gaussiano.
- canal variante con multitrayecto en un sistema CDMA asíncrono: las señales de
banda ensanchada utilizadas permiten distinguir las réplicas de la señal
transmitida, con una determinada resolución temporal y un cierto grado de
interferencia, y rechazar las señales interferentes, también con un nivel de
interferencia.
Para un tipo de modulación dado, la probabilidad de error en el canal Pc depende
de la relación señal/ruido en el canal Ec/'0. En el caso de canales del segundo tipo
mencionado la probabilidad de error depende también de la tasa binaria en el canal Rc,
ya que Rc influye en el número de réplicas multitrayecto que podemos distinguir en el
receptor. Por tanto, podemos caracterizar el canal, para la modulación utilizada, por una
función Pc = f(Ec/'0,Rc).
Por otro lado, la Pb para una Pc dada depende del código empleado y de otros
aspectos como el mecanismo de decodificación utilizado y la memoria del canal. Para
un cierto algoritmo de decodificación y suponiendo en todos los casos errores de canal
independientes (lo que en la práctica puede requerir técnicas de entrelazado para romper
la memoria del canal, como comentaremos más adelante), podemos considerar que la Pb
obtenida para una Pc dada depende exclusivamente del código utilizado. Así, en lo
sucesivo consideraremos la función Pb = f(Pc) como una característica de cada código.
En el caso del canal AWGN, supongamos que la fuente entrega bits a una
velocidad Rb fija. Si no utilizamos codificación tenemos Rc = Rb, Ec = Eb y Pb = Pc,
situación representada por la curva (a) de la figura 6.3. Al introducir codificación
obtenemos más bits de los entregados por la fuente, aumentando el caudal binario
transmitido a través del canal, Rc. Este aumento produce, para una potencia de
transmisión fija, o, lo que es equivalente, una energía de bit de fuente Eb fija, una
disminución de la energía de bit de canal Ec. Esto hace que la probabilidad de error de
bit de canal Pc aumente, como muestra la curva (b) de la figura 6.3. Por otro lado,
suponiendo los errores de canal independientes, para un cierto valor de Pc cada código
utilizado nos dará una Pb, que será menor que Pc, en virtud de la capacidad correctora
LUIS MENDO TOMÁS
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163
del código. La nueva Pb viene representada por la curva (c) de la figura 6.3 (las curvas
de la figura corresponden a expresiones teóricas para un código bloque BCH(127,36) en
el canal AWGN BPSK con decodificación basada en decisiones rígidas). Para relaciones
señal/ruido Eb/'0 dentro de un cierto margen este segundo efecto compensa y supera al
primero, de modo que la probabilidad de error de fuente se reduce al utilizar
codificación. Esta disminución de Pb para una relación Eb/'0 dada puede verse también
como una reducción de la relación Eb/'0 necesaria para alcanzar un valor de Pb fijado.
Dicha reducción es la ganancia de codificación.
100
10-1
(b)
10-2
10-3
(a)
10-4
10-5
(c)
10-6
10-7
4
5
6
Eb/'0 (dB)
7
8
FIGURA 6.3. Ejemplo de código de canal
En el canal CDMA multitrayecto la situación es distinta. Como la disminución
de Ec se produce para todos los usuarios del sistema, la interferencia sobre el usuario de
referencia decrece en la misma medida que su señal útil, por lo que la relación
señal/ruido se mantiene. Sin embargo aparece un efecto nuevo: el comportamiento del
canal tal como es visto por el receptor RAKE, concretamente el número de caminos de
propagación que se distinguen, depende del caudal Rc a través del canal (nótese que al
variar Rc habría que modificar el retardo entre las ramas del receptor RAKE, que debe
ser igual a TC). En efecto, suponiendo modulación binaria y periodo de bit de fuente
constante, tenemos un periodo de símbolo (bit) de canal
1
,
Rc
(6-4)
TS
1
=
C Rc C
(6-5)
TS =
lo que nos da un periodo de chip
TC =
LUIS MENDO TOMÁS
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164
El número de caminos de propagación, para un porcentaje ζ dado, es por tanto
L =  Tς / TC  =  Tς Rc C 
(6-6)
Vemos que al aumentar Rc, y suponiendo C fijo, aumenta el número de caminos L. Este
aumento tiene un doble efecto: por un lado contribuye a incrementar la interferencia
total, y por otro aumenta también el nivel de señal captada por las ramas del receptor,
dependiendo de la forma del perfil de potencia-retardo y del número de ramas M. Según
cuál de los dos efectos predomine, el aumento de L será perjudicial o beneficioso. La
situación es análoga a la representada en la figura 3.12. Allí vimos que existe un valor
óptimo de la dispersión del canal Tm para TS y C fijos; igualmente podemos decir que,
suponiendo C fijo, existe un valor óptimo de TS para cada valor de Tm, pues en definitiva
las curvas sólo dependen de la relación Tm/TS, para un valor de C dado. De este modo,
según que estemos a la izquierda o a la derecha del mínimo de la figura 3.12, el aumento
de Rc (disminución de TS) reducirá o incrementará respectivamente la probabilidad de
error de canal Pc. Así, el efecto desfavorable que teníamos en el canal AWGN puede
convertirse en este caso en beneficioso si nos encontramos a la izquierda del mínimo, lo
cual siempre puede conseguirse eligiendo M suficientemente elevado. En otras palabras,
utilizando un receptor con un número suficiente de ramas podemos lograr que la
probabilidad de error de canal se reduzca al aplicar codificación (en general, al aumentar
la velocidad de transmisión). Sin embargo, para los valores normalmente encontrados en
la práctica siempre nos encontramos en la zona M << L y por tanto en la zona creciente
de las curvas de la figura 3.12, por lo que podemos decir que en casi todos los casos de
interés el efecto de la codificación sobre la Pc en el canal CDMA va a ser perjudicial,
como en el caso del canal AWGN.
Los dos casos estudiados nos permiten extraer algunas conclusiones importantes:
- Partiendo de la probabilidad de error de bit en ausencia de codificación, Pb, al
introducir la codificación se producen dos efectos. El primero consiste en que la
probabilidad de error de bit de canal, Pc, cambia, normalmente aumenta,
respecto al valor anterior Pb. El segundo paso consiste en la “traducción” de
errores de canal a errores de fuente que lleva a cabo el mecanismo de
decodificación, obteniéndose la nueva Pb. En el caso habitual de que el primero
sea desfavorable, los dos efectos serán contrapuestos, y según con qué relación
Eb/'0 trabajemos dominará un efecto u otro. Por lo tanto, en general un código
sólo resulta útil para relaciones Eb/'0 por encima de un cierto valor umbral. La
figura 6.3 refleja claramente este fenómeno.
- Si suponemos errores de canal independientes, el segundo efecto (traducción de
Pc a Pb) sólo depende del proceso de codificación/decodificación. Sin embargo,
LUIS MENDO TOMÁS
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165
el primer efecto (modificación de Pc) depende del tipo de canal que estemos
considerando. Por tanto la variación neta de Pb originada por la codificación
depende del tipo de canal. Pero además la forma en que esa variación de Pb se
traduce en una reducción de la Eb/'0 requerida para Pb fija (ganancia de
codificación) depende de la pendiente de la curva Pc = f(Ec/'0,Rc) del canal, y
por tanto también varía de unos canales a otros. Podemos decir, por tanto, que la
mejora (ya sea en términos de reducción de Pb o de ganancia de codificación)
que es posible lograr con un código depende del tipo de canal al que se
enfrente.
6.1.6. Codificación de canal en sistemas CDMA
Hemos visto que la ganancia de codificación proporcionada por la utilización de
un código determinado permite reducir la relación señal/ruido necesaria para una
probabilidad de error dada. En sistemas con CDMA la relación señal/ruido a la entrada
del circuito de decisión depende del número de usuarios a los que el sistema esté dando
servicio simultáneamente, ya que la causa fundamental de degradación es la
interferencia que producen los demás usuarios a los que el sistema está dando servicio
sobre la señal del usuario de referencia.
La interferencia producida en el receptor del usuario de referencia por las demás
señales es gaussiana y resulta tener una potencia (varianza) proporcional al número total
de usuarios interferentes por célula, KI = K-1, como indica (3-85). De aquí se deduce
que una reducción en la relación señal/ruido (o más bien señal/interferencia) necesaria a
la salida del demodulador se traduce directamente en un incremento en el número de
usuarios a los que el sistema puede atender al mismo tiempo. Aquí se hace patente la
importancia de los códigos de canal en sistemas con CDMA. Por ejemplo, sin utilizar
codificación podemos doblar la capacidad del sistema a cambio de ocupar el doble de
ancho de banda simplemente utilizando un valor de C doble, ya que, según (4-25), esto
reduce Γε a la mitad. Si en vez de doblar C introducimos un código con ganancia de
codificación mayor de 3 dB lograremos, a cambio del mismo incremento en el ancho de
banda, un aumento mayor de la capacidad. Sin embargo, si queremos multiplicar por
diez la capacidad puede ser más conveniente la primera solución, ya que los códigos de
tasas muy bajas tienden a ser poco eficientes. En general debemos buscar un
compromiso entre el aumento de ancho de banda producido por las secuencias código y
el producido por el código de canal. Cabe señalar, en este sentido, la similitud existente
entre los procesos de ensanchamiento del espectro (SS) y codificación de canal: en
ambos casos transformamos la señal original en otra de ancho de banda más grande con
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
166
objeto de lograr una mayor protección frente a los efectos perjudiciales del canal
(interferencias).
Debemos mencionar la importancia del entrelazado en los canales de
comunicaciones móviles, como el que estamos considerando. La mayoría de los códigos
correctores conocidos son adecuados para canales sin memoria, es decir, canales en los
que los errores para símbolos (de canal) distintos son independientes. Sin embargo, en
los canales con multitrayecto son típicos los desvanecimientos en la señal recibida, que
pueden provocar ráfagas de errores. (Recordemos que aunque en el receptor RAKE
pueden separase las réplicas multitrayecto, lo cual en principio evitaría el
desvanecimiento, hay una resolución limitada por el ancho de banda utilizado, de modo
que varios caminos pueden ser recibidos como uno solo, dando lugar a
desvanecimientos). Se han investigado algunos códigos aplicables a canales con errores
a ráfagas, pero suele ser más conveniente transformar el canal en uno sin memoria y
utilizar un código habitual para canales sin memoria (tenemos aquí otro ejemplo de
dependencia de la ganancia de codificación con las características del canal, en este caso
la memoria del mismo). La forma de eliminar la memoria del canal es entrelazar los bits
en transmisión y desentrelazarlos en recepción, aleatorizando así los errores. Las
técnicas de entrelazado tienen el inconveniente de complicar el transmisor y el receptor
y de introducir un retardo en la transmisión. La profundidad del entrelazado, y por tanto
el retardo introducido, deberá ser tanto más grande cuanto mayor sea la longitud de las
ráfagas de errores producidas por el canal.
6.1.7. Codificador convolucional
De las modalidades existentes de codificación de canal, nosotros nos vamos a
centrar en la corrección de errores con códigos convolucionales. Vamos a empezar
estudiando el codificador. Un codificador convolucional puede realizarse mediante un
registro de desplazamiento de KL etapas de k bits cada una en el que se van
introduciendo y desplazando los bits en grupos de k. Mediante sumadores módulo-2 se
realizan n combinaciones de estas etapas, que generan n salidas para cada grupo de bits
de entrada. Así, n y k mantienen el significado explicado anteriormente. KL se denomina
longitud de restricción (constraint length) del código‡, y representa la memoria del
codificador, expresada como el número de k-tuplas que se almacenan en cada momento.
En la figura 6.4. se muestra como ejemplo un codificador con k=1, n=3 y KL = 6.
‡
Las denominaciones habituales para este parámetro son K o L; nosotros utilizaremos KL para evitar
confusiones con el número de usuarios por célula K o el número de réplicas multitrayecto L
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
167
Registro de desplazamiento de kKL etapas
1
2
3
· · ·
kKL
entrada
{fi}
n sumadores
módulo-2
1
2
···
n
salida
{ck }
FIGURA 6.4. Codificador convolucional
Los bits van entrando al registro y desplazándose hacia la derecha, y las salidas
de los sumadores se van intercalando secuencialmente para obtener la secuencia
codificada. Tenemos así n bits de salida por cada k bits de entrada. Es importante notar
que tras la introducción en el registro del último bit de la secuencia es necesario incluir
kKL-1 bits más, normalmente iguales a 0, para “vaciar” (flush) el registro de
desplazamiento.
Un código convolucional no queda determinado por los valores de k, n y KL; hay
que especificar la forma en que se realizan las conexiones para obtener la secuencia de
salida. La forma más sencilla es mediante los llamados vectores de conexión: n vectores
binarios de kKL elementos en los que un 1 en la posición i indica la existencia de
conexión de la etapa i al sumador correspondiente y un 0 la ausencia de conexión. Hay
un vector por cada sumador. En el ejemplo anterior los vectores de conexión serían:
g1 = ( 1 1 0 0 0 0 )
g2 = ( 0 0 1 0 1 0 )
g3 = ( 1 0 0 0 1 1 )
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
168
Hay otras formas de representar, y de implementar, el codificador, además de la
que hemos visto con un registro de desplazamiento y sumadores módulo-2.
- Una de ellas se basa en caracterizar al codificador mediante una respuesta al
impulso, aprovechando las propiedades de linealidad de estos códigos, Esta
representación es la que da a estos códigos el nombre de “convolucionales”.
- Otra forma es dar los llamados polinomios generadores, en los que las
componentes de los vectores de conexión que hemos visto se sustituyen por
coeficientes de polinomios binarios.
- Por último, dado que el codificador es un circuito digital secuencial, o máquina
de estados finitos, puede describirse mediante un diagrama de estados, en el que
cada entrada, junto con el estado actual, determina la salida y el estado siguiente
en el que se encontrará el codificador. Del diagrama de estados se derivan el
diagrama de árbol y el diagrama trellis, que añaden al primero la dimensión
temporal.
En lo sucesivo supondremos k = 1, pues es lo habitual en la práctica: los bits se
introducen y se desplazan de uno en uno en el registro.
6.1.8. El codificador convolucional como máquina de estados finitos
Con vistas al diseño del decodificador, es particularmente útil caracterizar el
codificador como una máquina de estados finitos. Para ello, como ya hemos
mencionado, se utilizan tres formas de descripción: el diagrama de árbol, el diagrama de
estados y el diagrama trellis.
En el diagrama de árbol se expresa el grupo de n bits que el codificador produce
para cada posible bit de entrada (recuérdese que tomamos k = 1) y para cada estado del
codificador, determinado por el contenido de las KL-1 últimas etapas del registro de
desplazamiento. Por ejemplo, para el código de n = 3 y KL = 6 que venimos utilizando
como ejemplo, y suponiendo que el estado inicial del codificador es el representado por
todos los bits a 0, si el bit de entrada es un 0 la salida será 000, y si es un 1 será 101.
Cada uno de estos grupos de n bits de salida constituye una rama del árbol. Estas dos
primeras ramas nacen de un nodo que representa el estado inicial, y forman la primera
etapa o nivel del árbol. Al final de cada rama tenemos dos nuevos nodos. Para el
siguiente bit de entrada se producirá una nueva salida, que dependerá también del estado
del codificador. En el diagrama esto se representa bifurcando cada una de las dos ramas
en otras dos, según que la entrada sea 0 ó 1. Así tenemos una nueva etapa en el árbol.
De este modo vamos bifurcando y creando un árbol con la profundidad, o número de
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169
etapas, que queramos. La secuencia fuente determinará el camino recorrido dentro del
árbol.
El diagrama de árbol tiene el inconveniente de que para una secuencia fuente de
b bits necesitamos un árbol de profundidad b, que tendrá 2b-1 ramas en la última etapa.
Puede obtenerse un diagrama más compacto que el árbol si observamos que la estructura
del mismo se repite a partir de una la etapa KL, debido a que el número de estados del
codificador es finito e igual a 2 K L −1. De los 2 KL nodos que tiene la etapa KL+1 del árbol
sólo habrá 2 K L −1 distintos, lo que permite “fundir” los que son iguales y así reducir el
número de nodos a la mitad. Haciendo esto en todas las etapas siguientes obtenemos el
trellis.
Por último, el diagrama de estados compacta aún más la información
representando todos los posibles estados del codificador y las transiciones entre ellos
para cada valor de entrada, así como la salida que se produce.
6.1.9. Elección del código
Para unos ciertos valores de k, n, y KL podemos encontrar códigos con mejores
características que otros. Las “mejores características” de un código se refieren a su
capacidad para reducir la probabilidad de error de fuente, o, equivalentemente, a su
ganancia de codificación, y están relacionadas con un parámetro denominado distancia
mínima del código. La distancia mínima da una idea de la diferencia que va a haber
entre las secuencias codificadas obtenidas a partir de dos secuencias fuente distintas. Por
supuesto, hay que establecer una definición precisa para ese concepto de diferencia o
distancia, relacionada con el tipo de decisiones (rígidas o suaves) que lleve a cabo el
decodificador, y de la que no vamos a hablar. Cuanto mayor sea la distancia mínima
mejor podrá el receptor distinguir las secuencias que llegan, es decir, menos errores
cometerá. Por tanto interesan códigos cuya distancia mínima sea lo mayor posible. Se
han hecho numerosas investigaciones para encontrar códigos con la mayor distancia
mínima posible para cada conjunto de valores de k, n y KL. Estos códigos son óptimos
en este sentido, y son los que vamos a utilizar.
La mayor distancia de código que puede conseguirse depende de los parámetros
r = k/n y KL del código. Para mayores KL podemos encontrar códigos con distancias
mayores, o sea, mejores códigos, a costa de complicar el codificador y sobre todo el
decodificador, y también de introducir mayor retardo en el proceso de decodificación.
Para tasas k/n menores también podemos aumentar la distancia, en este caso a cambio
de ocupar más ancho de banda.
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
170
6.1.10. Tipos de decodificadores convolucionales
Se han desarrollado diversos algoritmos para la decodificación de códigos
convolucionales, es decir, varias formas de desarrollar la “regla de decodificación
ampliada” de la que hablábamos al introducir el problema de la decodificación. Los más
utilizados son el secuencial (sequential decoding algorithm), el algoritmo de
decodificación con realimentación (feedback decoding) y el algoritmo de Viterbi.
Cualquiera de estos algoritmos puede utilizarse con decisiones rígidas o suaves.
El algoritmo de Viterbi es el óptimo, en el sentido de que produce la mínima
probabilidad de error para la secuencia decodificada, pues elige la secuencia cuya
probabilidad a posteriori es mayor (criterio MAP). Se suele utilizar para KL no muy
grandes, hasta 9 aproximadamente. Con decisiones suaves se pueden obtener
típicamente ganancias de codificación entre 3 y 6 dB. Con decisiones rígidas la ganancia
se reduce en unos 2.2 dB para el canal AWGN. Si en vez de decisiones suaves puras, es
decir, con la salida del demodulador sin cuantificar, empleamos 8 niveles de
cuantificación la pérdida es de unos 0.2 dB, prácticamente inapreciable, por lo que las
decisiones suaves suelen realizarse en la práctica con 8 niveles de cuantificación.
Para KL muy grandes se suele utilizar el algoritmo secuencial con decisiones
rígidas, debido a la complejidad que adquiere el de Viterbi. Así pueden lograrse
ganancias de hasta unos 8 dB para probabilidades de error de 10-6.
6.1.11. Decodificador basado en el algoritmo de Viterbi
Vamos describir el algoritmo de Viterbi, mencionando ciertos aspectos de
limitación de memoria y de retardo que debemos tener en cuenta en la práctica.
El algoritmo de decodificación de Viterbi asigna, para una secuencia recibida
dada, una métrica a cada uno de los posibles caminos del diagrama de trellis que
caracteriza al código. Así se va construyendo un diagrama trellis semejante al del
codificador. La métrica de cada camino de este nuevo trellis se calcula comparando la
secuencia recibida y la secuencia codificada correspondiente a ese camino. La definición
de la métrica utilizada depende de que utilicemos decisiones rígidas o suaves, y se hace
de manera que nos dé una medida de la probabilidad a posteriori (condicionada a la
secuencia que realmente se ha recibido) de cada una de las posibles secuencias
codificadas. Así, el camino de menor métrica es el más probable (a posteriori), y por
tanto el que hay que elegir (criterio MAP).
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
171
En cada etapa los caminos se van extendiendo de todas las maneras posibles,
actualizando las métricas, y cada vez que dos caminos coinciden en un mismo estado se
elige el de menor métrica como superviviente y el otro se descarta. Ésta es la clave del
algoritmo de Viterbi. Podemos hacer esto porque, como a partir de ahí los dos caminos
van a evolucionar de igual manera (se encuentran en el mismo estado), las extensiones
del que en el punto de encuentro tenga métrica más grande siempre tendrán métricas
mayores que las extensiones análogas del otro. Así vamos avanzando en el trellis,
descartando caminos en cada etapa. Cuando en una de las etapas anteriores sólo queda
un superviviente ya podemos saber, decodificar, el bit de fuente correspondiente a esa
etapa. Así vamos decodificando la secuencia recibida. Como vemos, la decodificación
se produce con un cierto retardo.
Limitaciones prácticas del algoritmo de Viterbi
Tal y como lo hemos descrito, el algoritmo de decodificación requiere capacidad
para almacenar en memoria la información correspondiente a un número ilimitado de
etapas, pues en un cada etapa sólo se decodifica un bit cuando todas las ramas menos
una han sido descartadas, y esto puede suceder cuando hayamos avanzado un número
arbitrariamente grande de etapas, en función de cuál sea la secuencia recibida. Como
consecuencia, el retardo puede ser también arbitrariamente grande. Para acotar el retardo
y limitar la memoria necesaria, se hace una modificación en el algoritmo descrito: sólo
se guarda un número h de etapas. Esto obliga a decidir en cada etapa el bit de fuente
correspondiente a la etapa que está h pasos antes, aunque haya más de una rama
superviviente. En caso de que haya varias debemos tener algún criterio para elegir una, y
decodificar así un bit de fuente. Las opciones más utilizadas son elegir la rama
correspondiente a un camino al azar o, mejor, elegir la rama correspondiente al camino
de menor métrica. Esta última opción es la que hemos utilizado en el decodificador con
el que realizamos las simulaciones.
Esta restricción de memoria implica que algunas decisiones no serán tan fiables
como en el caso ideal, en el que retenemos tantas etapas como sean necesarias. Como
consecuencia aumenta algo la probabilidad de error. Sin embargo, numerosos estudios
realizados demuestran que una longitud h = 5KL es suficiente para que esta degradación
sea despreciable.
La limitación de memoria produce otro tipo de degradación, debido a que
aparece una posibilidad que no teníamos en el caso ideal. Los errores en la secuencia
recibida pueden hacer que el estado más antiguo almacenado en memoria del camino de
métrica mínima sea inalcanzable desde el estado en que nos habíamos quedado, es decir,
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
172
no haya ninguna transición válida entre ambos en el trellis del codificador. Cuando
ocurre esto no podemos hacer otra cosa que decidir al azar, lo cual degrada nuevamente
la probabilidad de error respecto al caso ideal.
La conclusión es que al imponer al algoritmo una limitación de memoria, que es
la única forma en que puede llevarse a cabo en la práctica, surgen algunos efectos
nuevos, que habrá que tener en cuenta a la hora de implementar el algoritmo.
6.1.12. Simulaciones para el canal AWG
El algoritmo de Viterbi (con memoria limitada), descrito en los dos puntos
anteriores, se ha implementado en un programa de ordenador que permite definir el
código (con k = 1) y modificar otras variables de interés, como el parámetro h del
decodificador y el coeficiente de correlación de la constelación, que suponemos binaria.
El programa genera una secuencia fuente aleatoria de la longitud especificada, la
codifica según el código que hayamos definido, simula los efectos del canal AWGN
sobre esta secuencia y la decodifica siguiendo el algoritmo de Viterbi con decisiones
rígidas. La memoria finita del decodificador obliga a prever la posibilidad de
transiciones imposibles, como se ha explicado en el punto anterior. La figura 6.5
muestra gráficamente un ejemplo con una secuencia fuente de 100 bits y un código de
tasa r = 1/2 y longitud de restricción KL = 5. Se ha utilizado un código óptimo, el
determinado por los polinomios 23 y 35 en notación octal. La relación señal/ruido por
bit de fuente se ha tomado Eb/'0 = 3 dB, y se ha limitado la memoria del decodificador
a h = 5KL = 25. La figura pone de manifiesto la capacidad correctora incluso de un
código tan sencillo. Obsérvese también la presencia de (KL-1)/r = 8 bits adicionales al
final de la secuencia codificada, resultado de introducir KL-1 = 4 bits iguales a “0” al
final de la secuencia fuente con objeto de “vaciar” el registro de desplazamiento
(flushing).
LUIS MENDO TOMÁS
173
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Sec. original
Sec. codif. trans.
Sec. codif. rec.
Sec. decodificada
Errores de canal
Errores residuales
0
50
100
150
Símbolos (bits) de canal
200
FIGURA 6.5. Ejemplo de codificación y decodificación.
A continuación mostramos los resultados de las simulaciones realizadas para el
canal aditivo gaussiano blanco. Hemos utilizado en todas las simulaciones códigos
óptimos (máxima distancia posible) y modulación BPSK. Los datos obtenidos nos
permitirán comprobar algunas de las características de los códigos convolucionales que
hemos comentado en apartados anteriores. Vamos a utilizar en todos los casos un
producto número de simulaciones-probabilidad esperada de 50 o mayor, para tener una
buena precisión en las estimaciones. El valor esperado se ha obtenido de los resultados
obtenidos en otras simulaciones realizadas por diversos autores.
Influencia de h
En la figura 6.6 observamos las prestaciones de un código óptimo para k = 1,
n = 2 y KL = 3, determinado por los polinomios generadores, en notación octal
abreviada, 7 y 5, de distancia mínima igual a 5. Hemos realizado simulaciones para
distintos valores de la longitud máxima almacenada en el decodificador: h = KL, 3KL y
5KL. Incluimos también, como referencia, el caso sin codificación.
LUIS MENDO TOMÁS
174
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0
10
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
2.5
3
3.5
4
4.5
Eb/'0
5
5.5
6
6.5
Expresión teórica sin codificación
Simulaciones sin codificación
Simulaciones con codificación, h = KL
Simulaciones con codificación, h = 3KL
Simulaciones con codificación, h = 5KL
FIGURA 6.6. Probabilidad de error para código convolucional
óptimo de k = 1, n = 2, KL = 3 en el canal AWGN, con decodificación
de Viterbi basada en decisiones rígidas y diferentes longitudes de
almacenamiento h.
En esta gráfica se observa la mejora de prestaciones que se produce al aumentar h.
Vemos que para h muy bajas es incluso mejor no usar codificación. Al aumentar h nos
acercamos asintóticamente a la probabilidad de error correspondiente al caso ideal sin
limitación de memoria. Como consecuencia, la mejora producida por un aumento de h
es cada vez menor, y llega un momento en que no justifica el aumento de espacio de
almacenamiento requerido en el decodificador. Como valor de compromiso en la
práctica suelen tomarse valores de h entre 3KL y 5KL. La gráfica refleja también la
existencia de las dos zonas anunciadas anteriormente: para relaciones Eb/'0 muy bajas
se obtienen mejores resultados si no usamos codificación de canal que con ella, mientras
que para Eb/'0 altas la Pb disminuye.
LUIS MENDO TOMÁS
175
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Influencia de KL
En la figura 6.7 se comparan diversos códigos óptimos de k = 1, n = 2 y KL
variable. Se ha tomado en todos los casos h = 5KL.
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
2.5
3
3.5
4
4.5
Eb/'0
5
5.5
6
6.5
Expresión teórica sin codificación
Simulaciones con codificación, KL = 3
Simulaciones con codificación, KL = 5
Simulaciones con codificación, KL = 7
FIGURA 6.7. Probabilidad de error para códigos convolucionales
óptimos de k = 1, n = 2 y KL variable en el canal AWGN, con
decodificación de Viterbi basada en decisiones rígidas y h = 5KL.
Como vemos, para valores mayores de KL pueden lograrse códigos con mejores
características. La contrapartida es que al aumentar KL se complican el codificador y el
decodificador.
Influencia de n
Hemos analizado la influencia de h y de KL, y ahora vamos a ver el efecto del
parámetro que nos queda, n, o, lo que es lo mismo, la tasa del código, k/n, ya que
estamos suponiendo k fija e igual a 1. Utilizamos dos códigos óptimos de KL = 5 y n = 2
y 3 respectivamente. La longitud de memoria del decodificador, h, se toma igual a 5KL.
En la figura 6.8 se muestran los resultados.
LUIS MENDO TOMÁS
176
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
2.5
3
3.5
4
Eb/'0
4.5
5
5.5
Expresión teórica sin codificación
Simulaciones con codificación, n = 2
Simulaciones con codificación, n = 3
FIGURA 6.8. Probabilidad de error para códigos convolucionales
óptimos de k = 1, n variable y KL = 5 en el canal AWGN, con
decodificación de Viterbi basada en decisiones rígidas y h = 5KL.
Mediante estos resultados comprobamos que a menor tasa del código mejor capacidad
correctora podemos tener. Esta mejora se logra a cambio de ocupar más ancho de banda
para una tasa de fuente, Rb, fija, o bien de tener que reducir Rb para un ancho de banda
fijo.
6.1.13. Simulaciones para el canal CDMA
Para analizar el comportamiento de los códigos convolucionales en el canal
CDMA se ha realizado un programa que integra el decodificador de Viterbi con
decisiones rígidas utilizado en el punto anterior con la simulación del receptor RAKE en
un sistema CDMA asíncrono con canal variante multitrayecto del capítulo 5. La
secuencia fuente, generada aleatoriamente, se codifica en primer lugar según el código
especificado. A continuación se simula su paso por el canal y su procesado en el
receptor, generando directamente la variable de decisión a la salida del mismo, según el
algoritmo simplificado introducido en 5.2.8. Se demodula el símbolo (bit) y se entrega
la secuencia codificada demodulada (decisiones rígidas) al decodificador de Viterbi, el
cual produce a su salida una estimación de la secuencia fuente. Por último, ésta se
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
177
compara con la secuencia fuente verdadera y se cuentan los errores, obteniendo una
estimación de la probabilidad de error.
Utilizando este método de simulación, vamos a estudiar el comportamiento de
diversos códigos convolucionales en el sistema CDMA asíncrono que venimos
considerando. Observemos en primer lugar la probabilidad de error sin codificación,
representada en la figura 6.9 para Tm = 3 µs y M = 6. Se considera un factor de
reutilización ρ = 1.7 para tener en cuenta el aumento de interferencia provocado por las
demás células del sistema.
0
10
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
30
60
90
KI
120
150
Expresión teórica
Simulaciones
FIGURA 6.9. Probabilidad de error sin codificación para Rb = 9600
bits/s, Tm = 3 µs , M = 6 y ρ = 1.7.
Consideraremos códigos de tasa 1/2. Para que el caudal de canal resultante se
mantenga en 9600 bits/s, y así el ancho de banda necesario se mantenga también,
reducimos el caudal binario de fuente de 9600 a 4800 bits/s. Con esta reducción, sin
aplicar codificación todavía, la probabilidad de error sería la indicada en la figura 6.10.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
178
0
10
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
30
60
90
KI
120
150
Expresión teórica
Simulaciones
FIGURA 6.10. Probabilidad de error sin codificación para Rb = 4800
bits/s, Tm = 3 µs , M = 6 y ρ = 1.7.
Vemos que la probabilidad de error disminuye algo respecto a la de la figura 6.9. Esto se
debe a que al tener Rb mitad y no aplicar codificación el ancho de banda se reduce a la
mitad y el número L de réplicas multitrayecto que distingue el receptor es menor. El
efecto es el mismo que el de una reducción de Tm a la mitad. Como explicamos en el
capítulo 3, si M es mucho menor que L una disminución de esta última resulta
beneficiosa, pues el nivel de señal captada por las M ramas del receptor apenas
disminuye, mientras que la interferencia vista por el receptor sí se reduce
considerablemente. En nuestro caso la mejora es pequeña porque M no es muy inferior a
L: M es igual a 6 y L pasa de 19 a 9 (para Tζ = 5Tm).
Manteniendo los parámetros anteriores introducimos un código convolucional
óptimo de tasa 1/2 y KL = 3. Ver figura 6.11.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
179
0
10
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
30
60
90
KI
120
150
Pb sin codificación, expresión teórica
Pb sin codificación, simulaciones
Pc con codificación, expresión teórica
Pc con codificación, simulaciones
Pb con codificación, simulaciones
FIGURA 6.11. Probabilidad de error para Rb = 4800 bits/s, Tm = 3 µs,
M = 6, ρ = 1.7, con código óptimo de k = 1, n = 2 y KL = 3 y
decodificador de h = 5KL.
En esta gráfica pueden verse muy bien los dos efectos de la codificación comentados: el
aumento de Pc (de ‘o’ a ‘+’) es compensado por la capacidad correctora del código (de
'+’ a ‘x’) para número de usuarios menor que un cierto valor (relación señal/ruido mayor
que un cierto valor), produciendo una mejora neta. Mencionamos también que los
resultados para Pc coinciden con los de la probabilidad de error sin codificación para Rb
= Rc = 9600 bits/s, debido a que el código eleva la tasa en el canal Rc de 4800 a 9600
bits/s.
En la figura 6.12 se muestran los resultados de cálculos y simulaciones análogas
con M = 4 ramas en vez de 6.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
180
0
10
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
30
60
90
KI
120
150
Pb sin codificación, expresión teórica
Pb sin codificación, simulaciones
Pc con codificación, expresión teórica
Pc con codificación, simulaciones
Pb con codificación, simulaciones
FIGURA 6.12. Probabilidad de error para Rb = 4800 bits/s, Tm = 3 µs,
M = 4, ρ = 1.7, con código óptimo de k = 1, n = 2 y KL = 3 y
decodificador de h = 5KL.
Comparando con el caso anterior, podemos decir en primer lugar que al tener menos
ramas en el receptor las tres probabilidades aumentan ligeramente: sin código, de canal
con código y de fuente con código. Además comprobamos que al tener menos ramas el
receptor el efecto negativo de la codificación sobre la probabilidad de error de canal se
acentúa: las ‘+’ están más claramente por encima de las ‘o’ que antes. Si redujésemos
aún más M o aumentásemos Tm este efecto sería todavía más patente, mientras que si M
fuera suficientemente grande o Tm suficientemente pequeño podría incluso convertirse
en favorable, obteniendo Pc menores que sin codificación, según razonamos en 6.1.5.
Por último, comparando las figuras 6.11 y 6.12 podemos comprobar también, de manera
aproximada, que el otro efecto de la codificación, el paso de Pc a Pb, es independiente de
las características del sistema, suponiendo un algoritmo de decodificación dado (de
Viterbi con decisiones rígidas) y errores de canal independientes.
Con las simulaciones realizadas, y comparando con las correspondientes al canal
AWGN para este mismo código, ya podemos intuir un resultado importante: en el canal
CDMA conseguimos mayores reducciones en la Pb que en el canal de ruido gaussiano,
o, equivalentemente, mayores ganancias de código. Ello se debe a que de los dos efectos
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
181
que produce la codificación, uno que opera a favor y otro en contra, el primero es
independiente del canal supuesto éste sin memoria, mientras que el segundo es mucho
menos acusado en el canal CDMA, pudiendo llegar a ser incluso favorable.
Como sabemos, aumentando KL podemos encontrar códigos con mejores
características (mayor distancia mínima) y reducir así la probabilidad de error. En la
figura 6.13 se comparan códigos óptimos para k = 1, n = 2 y KL = 3 y 5. Para mayor
claridad, no mostramos los valores obtenidos para Pb sin codificación y Pc con
codificación en las simulaciones; en la gráfica anterior hemos visto que se ajustan
perfectamente a las curvas.
0
10
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
30
60
90
KI
120
150
Pb sin codificación, expresión teórica
Pc con codificación, expresión teórica
Pb con codificación, KL = 3
Pb con codificación, KL = 5
FIGURA 6.13. Probabilidad de error para Rb = 4800 bits/s, Tm = 3 µs,
M = 4, ρ = 1.7, con código óptimo de k = 1, n = 2 y KL variable, y
decodificador de h = 5KL.
Observando la figura anterior vemos que en la zona en que el código mejora las
prestaciones del sistema (marcas por debajo de la línea continua) dicha mejora es mayor
con el código de KL más grande, mientras que en la otra zona ocurre al revés. Es decir,
la ventaja del código de KL = 5 respecto al de KL = 3 es que produce una mejora mayor
en la zona en que este último ya era ventajoso; sin embargo, dentro de la aproximación
que permite la figura, podemos decir que no extiende hacia la derecha la zona de
mejora: en ambos casos la Pb empieza a ser menor que Pc para valores de Pc inferiores a
LUIS MENDO TOMÁS
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182
0.1 aproximadamente. Si queremos que este punto de cruce entre Pb y Pc se desplace a
la derecha no parece adecuado utilizar códigos más complicados sino más bien
disminuir la Pc, por ejemplo aumentando el número M de ramas del receptor a 6, como
en la figura 6.14.
0
10
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
-5
10
30
60
90
KI
120
150
Pb sin codificación, expresión teórica
Pc con codificación, expresión teórica
Pc con codificación, KL = 3
Pb con codificación, KL = 5
FIGURA 6.14. Probabilidad de error para Rb = 4800 bits/s, Tm = 3 µs,
M = 6, ρ = 1.7, con código óptimo de k = 1, n = 2 y KL variable y
decodificador de h = 5KL.
Observamos que el punto de cruce se sigue produciendo para probabilidad en torno a
0.1, pero ahora este valor se obtiene para un KI mayor que antes.
6.2. FACTOR DE ACTIVIDAD VOCAL
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183
Para una conversación típica entre una pareja de usuarios, numerosos estudios
experimentales han demostrado que cada uno de los interlocutores sólo está hablando
durante aproximadamente el 35-45% del tiempo. Este porcentaje se explica teniendo en
cuenta que:
- normalmente los dos usuarios no hablarán a la vez
- además se producen pausas, es decir, hay intervalos en los que ninguno de los
dos está hablando.
Durante el tiempo en que un usuario no está activo podemos suprimir o reducir
la potencia de la señal transmitida. Si no transmitimos señal durante las pausas de cada
usuario disminuiremos la interferencia total producida en un 60% aproximadamente, y
por tanto lograremos un aumento de la capacidad del sistema. En vez de suprimir la
señal durante los periodos de inactividad podemos disminuir la potencia transmitida, a
la vez que se reduce la velocidad de símbolo para mantener la energía por símbolo
constante. Esta variación de la velocidad de símbolo es posible porque la apariencia de
la señal modulada no se ve modificada, y por tanto se mantienen sus propiedades de
separabilidad. En cualquiera de los dos casos, necesitamos un codificador de voz capaz
de detectar cuándo el usuario está hablando y cuando no.
En las simulaciones cuyos resultados mostramos más abajo seguimos teniendo
en cuenta la influencia de la interferencia proveniente de otras células a través del
parámetro ρ, que tomamos igual a 1.7; y ahora además aprovechamos la actividad vocal
de los usuarios en la forma descrita, suponiendo que durante las pausas de los hablantes
no se transmite señal. En el programa que realiza la simulación esto requiere unos
cambios mínimos: definimos dos nuevos parámetros, el factor de actividad vocal medio,
αv, y la fracción de potencia transmitida durante los periodos de inactividad, βv, que
hemos tomado iguales a 0.4 y 0 respectivamente. Para cada usuario generamos una
variable aleatoria discreta que vale 1 con probabilidad αv y βv con probabilidad 1-αv. En
la expresión teórica el término de interferencia Var[ I 1n ] queda multiplicado por
αv€+€(1−αv)βv, factor que denominaremos factor de actividad efectivo, o factor de
actividad de canal, α'v:
α ' v = α v + (1 − α v ) β v ,
(6-7)
con lo cual la probabilidad de error Pb sigue estando dada por (3-99) y (3-98), es decir,
∞
Pb =
∫ P'
b (γ ) pγ (γ ) dγ =
0
1 M −1 
ηm 
π m 1 −
∑

2 m= 0 
1 + ηm 
(6-8)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
M
πm = ∏
i =1
i≠ m
ηm
η m − ηi
,
184
(6-9)
si sustituimos (3-90) por
η m = E[ γ m ] =
[
E | h1n,m |2
]
L −1
ρ ( K − 1) Γ ε α 'v ∑ E |h |
l=0
[
n 2
1,l
]
,
(6-10)
En el caso de perfil rectangular, Pb sigue estando dada por (3-106) y (3-107),
∞
1− µ 

Pb = ∫ P 'b (γ ) pγ (γ )dγ = 
 2 
−∞
µ=
 M − 1 + m 1 + µ m
∑ m  2 
m= 0 
M M −1
η0
,
1+ η0
(6-11)
(6-12)
si sustituimos (3-103) por
ηm =
1
= η0
ρ ( K − 1) Γ ε α 'v L
(6-13)
La gráfica 6.15 muestra la gran diferencia que se obtiene al aprovechar la
actividad vocal, o más bien inactividad vocal, de los usuarios. La curva superior
corresponde a los resultados expuestos antes para receptor de M = 4 ramas y código de
k = 1, n = 2, KL = 5, y la inferior al mismo sistema pero realizando las modificaciones
descritas referentes a la actividad vocal. Vemos que, para una probabilidad de error (de
fuente) fijada como objetivo podemos, aproximadamente, doblar el número de usuarios
que pueden estar siendo servidos por el sistema simultáneamente. Nótese que ahora esto
no equivale al número de usuarios que están transmitiendo a la vez; éstos serán por
término medio el 40% de aquéllos.
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0
10
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
30
60
90
120
150
180
KI
Pb sin aprovechamiento de la actividad vocal
Pb con aprovechamiento de la actividad vocal
FIGURA 6.15. Probabilidad de error para Rb = 4800 bits/s, Tm = 3 µs,
M = 4, ρ = 1.7, código óptimo de k = 1, n = 2 y KL = 5 y decodificador
de h = 5KL, con y sin aprovechamiento del factor de actividad vocal
Por último, en la gráfica 6.16 comparamos el caso anterior, con aprovechamiento
del factor de actividad vocal y código de KL = 5, con el caso de un código óptimo de
KL = 7 también con explotación de la actividad vocal, manteniendo iguales los demás
parámetros.
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186
0
10
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
30
60
90
120
150
180
KI
Pb sin codificación, expresión teórica
Pc con codificación, expresión teórica
Pb con codificación, KL = 5
Pb con codificación, KL = 7
FIGURA 6.16. Probabilidad de error para Rb = 4800 bits/s, Tm = 3 µs,
M = 4, ρ = 1.7, códigos óptimos de k = 1, n = 2 y KL variable y
decodificador de h = 5KL, con aprovechamiento del factor de
actividad vocal
6.3. ESTIMACIÓ DE CAAL
El receptor RAKE para señales BPSK de espectro ensanchado necesita
información de los coeficientes del canal para combinar coherentemente las señales
obtenidas en cada rama. Sólo así es posible llevar a cabo la combinación óptima (MRC)
inherente a este tipo de receptor. Esta combinación, como sabemos, consiste en
ponderar la amplitud de cada componente según el grado de fiabilidad que le
concedemos, dado por el nivel con que se recibe, y cancelar el desplazamiento de fase
introducido por el canal. En otras palabras, lo que debemos hacer es multiplicar cada
réplica por el conjugado del coeficiente de canal para ese camino de propagación.
Vemos así la necesidad de su estimación.
La estimación del canal debe ser dinámica, pues las características del mismo
van a ir variando a lo largo de la comunicación y el receptor debe adaptarse a estos
LUIS MENDO TOMÁS
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187
cambios. Tal variabilidad es una característica típica del canal móvil. Está claro que
cuanto más rápidos sean estos cambios más deprisa y más a menudo deberá el receptor
realizar las estimaciones. La rapidez de variación del canal se describe con el ancho de
banda Doppler del mismo, Bd, parámetro que definimos en 3.2.2. Cuanto mayor sea el
ancho de banda Doppler más rápidas serán las variaciones observadas en el
comportamiento del canal, esto es, en los coeficientes que caracterizan al mismo. El
inverso del ancho de banda Doppler es el tiempo de coherencia del canal, (∆t)c, y da una
idea del tiempo durante el cual las propiedades del canal se mantienen aproximadamente
constantes.
Hasta ahora hemos supuesto que el receptor tenía un bloque encargado de
estimar la respuesta del canal y que esta estimación era perfecta, es decir, sin errores.
Esto nos ha permitido olvidarnos, en las simulaciones, de cuál era la rapidez de
variación del canal, pues en cualquier caso suponíamos al receptor capaz de seguir esas
variaciones. En la práctica, cuanto más deprisa varíen los coeficientes más difícil será
estimarlos, y, por el contrario, si esta variación es lenta la estimación será mejor
(podremos reducir el error por ejemplo promediando varias estimaciones sucesivas). A
la hora de abordar diseño del subsistema que se encarga de la estimación de la respuesta
del canal, el grado de variabilidad temporal del canal es fundamental.
6.3.1. Efecto del error en la estimación de canal
Para tener una primera idea de la influencia de la estimación del canal sobre las
prestaciones del receptor, vamos a introducir un cierto error en la misma de la siguiente
forma. Suponemos, como hemos hecho hasta ahora, que los coeficientes de canal en
intervalos consecutivos son independientes, es decir, la variación temporal de los
mismos es arbitrariamente rápida (aunque para un periodo de símbolo dado
consideramos que los coeficientes del anterior son iguales), pero el receptor ya no es
capaz de estimar perfectamente, sino que aparece un error gaussiano cuya varianza
podemos ajustar. En otras palabras, abstraemos el hecho de que en la práctica no
podríamos intentar una estimación en un canal con variaciones completamente
aleatorias, y simplemente suponemos que el bloque estimador que antes considerábamos
ideal entrega unos resultados que están afectados por un cierto error. Vamos a ver qué
probabilidades de error se obtienen para distintos errores cuadráticos medios de la
estimación de canal. Consideraremos probabilidades de error de canal, para ver más
claramente el efecto de la estimación no ideal, independientemente del código
empleado. Tomamos un perfil retardo-potencia exponencial con Tm = 3 µs, TS = 1/9600
s y receptor de M = 4 ramas. Suponemos que no se hace uso de la actividad vocal de los
LUIS MENDO TOMÁS
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188
usuarios, lo que equivale a tomar αv = 1, y factor de reutilización ρ = 1.7. En la figura
6.17 podemos observar cómo las características se van degradando según aumenta el
error. La primera gráfica corresponde a estimación perfecta. En las siguientes se
introduce un error modelado como una variable aleatoria gaussiana compleja de media
nula, con varianza del 1%, 9% y 25% del valor medio del módulo al cuadrado del
primer coeficiente del canal (determinado por el perfil de potencia-retardo). Para errores
pequeños el efecto es casi inapreciable, pero vemos cómo a medida que éstos aumentan
empieza a ser importante.
0
10
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
30
60
90
KI
120
150
90
KI
120
150
(a) Estimación sin errores
0
10
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
30
60
(b) Estimación con error de varianza 1%
FIGURA 6.17. (continúa en la página siguiente)
LUIS MENDO TOMÁS
189
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0
10
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
20
40
60
80
100
120
140
160
KI
(c) Estimación con error de varianza 9%
0
10
-1
10
Pb
-2
10
-3
10
30
60
90
KI
120
150
(d) Estimación con error de varianza 25%
Estimación ideal, expresión teórica
Estimación con error gaussiano, simulación
FIGURA 6.17. Efecto de la estimación de canal imperfecta
6.3.2. Método de generación de los coeficientes del canal
En el punto anterior hemos tratado de adquirir algunas ideas generales sobre la
influencia de la estimación no ideal de los coeficientes del canal. Para ello simplemente
hemos considerado que la estimación consiste en el valor real más un término de error,
generado como una variable aleatoria (compleja) gaussiana. Sin embargo, no hemos
LUIS MENDO TOMÁS
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190
entrado a estudiar el funcionamiento del subsistema de estimación. Eso es lo que vamos
a comenzar en este punto.
En primer lugar creemos conveniente recordar brevemente el modelo de canal
que estamos considerando: tenemos una parte de señal útil a la que se superponen el
ruido y las interferencias de otros usuarios. La señal útil recibida consiste en L ecos de la
señal transmitida equiespaciados en el tiempo, con retrasos relativos de valor TC. Hemos
justificado la validez de este modelo, en base a la limitación de banda de las señales de
espectro ensanchado utilizadas. Las réplicas se reciben con amplitudes y fases que
varían de manera aleatoria, pero que suponemos constantes dentro de un intervalo de
símbolo. Estas amplitudes y fases se describen mediante los coeficientes del canal. Por
tanto, para caracterizar el canal basta un conjunto de L coeficientes complejos variantes
en el tiempo pero aproximadamente constantes durante un intervalo de símbolo.
Hasta este momento, en los programas de simulación, habíamos generado, para
cada intervalo de símbolo, cada uno de los L coeficientes de canal, digamos el l-ésimo,
como una variable aleatoria compleja gaussiana de varianza determinada por el perfil
retardo-potencia φh(τ). Es decir, tal y como los generábamos,
1) los coeficientes de distinto orden eran independientes entre sí y
2) los valores de un mismo coeficiente eran independientes para intervalos
distintos.
Esto equivale a modelar los coeficientes como un conjunto de L procesos estocásticos
estacionarios en sentido amplio independientes, gaussianos y blancos. Ahora este
modelo no nos vale. Si queremos analizar la estimación de los coeficientes debemos
utilizar un modelo más próximo a la realidad. Si el comportamiento del canal fuera el
que acabamos de describir no sería posible estimar los coeficientes, pues sólo podemos
estimar el valor de un coeficiente en el periodo de símbolo actual basándonos en el
conocimiento (realmente, en las estimaciones) relativo a periodos anteriores. Si el valor
en el intervalo actual es independiente de los anteriores no hay estimación posible. De
manera más general, debe haber suficiente dependencia respecto a los valores
anteriores para poder estimar el valor actual a partir de aquéllos con un grado de
fiabilidad razonable. En la práctica a veces no se cumple esta condición y la estimación
resulta imposible, o inviable. Supondremos que el grado de dependencia es
suficientemente grande, es decir, que las variaciones de un coeficiente a lo largo del
tiempo son suficientemente lentas, para poder llevar a cabo la estimación. Por tanto,
debemos abandonar la suposición 2) anterior, con lo que los procesos ya no serán
blancos. En cuanto a la 1), seguimos considerando los coeficientes de distinto orden
independientes; esta independencia estadística está justificada por la independencia
física de los caminos de propagación que representan.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
191
Al ser los coeficientes de canal procesos estocásticos independientes nos basta
con caracterizar cada uno por separado. La variación temporal de cada coeficiente se
describe mediante su función de autocorrelación, o equivalentemente mediante su
espectro de potencia, llamado en este contexto espectro Doppler del coeficiente. La
autocorrelación del coeficiente l-ésimo h1,l(t), considerado como un proceso estocástico
estacionario en sentido amplio, vendrá dada por
φ l ( ∆t ) = E [hl* (t )hl ( t + ∆t )]
(6-14)
En la expresión anterior hemos eliminado el subíndice 1, que representa el usuario
considerado, en base a la suposición de que las propiedades de variabilidad temporal del
canal son las mismas para todos los usuarios del sistema. El espectro de potencia o
espectro Doppler del coeficiente l-ésimo será:
∞
S l ( ν ) = ∫ φ l ( ∆t ) e − j 2πν∆t d∆t
(6-15)
−∞
Teniendo en cuenta (3-31), (3-8) y (3-9), podemos expresar (6-14) de la siguiente
forma:
φ l ( ∆t ) = TC2 E [h * ( lTC , t ) h(lTC , t + ∆t )] = TC2 φ h (lTC , ∆t ) ,
(6-16)
y de (6-15) y (6-16), utilizando (3-20), se deduce
S l ( ν ) = TC2 S (lTC , ν ) ,
(6-17)
Esta expresión indica que el espectro de potencia del coeficiente l-ésimo puede
obtenerse como el corte a través del plano τ = lTC de la función de dispersión del canal
S(τ,ν). Definimos el ancho de banda Doppler para el coeficiente l-ésimo, Bl, como un
parámetro representativo de la anchura de su espectro de potencia Sl(ν). Cuanto más
ancho sea el espectro Doppler de un coeficiente más rápidas serán las variaciones del
mismo.
En el capítulo 3 definimos el espectro Doppler del canal ST(ν), y su ancho de
banda Doppler asociado, Bd. ST(ν) puede expresarse, según la ecuación (3-24), que
reproducimos a continuación, promediando la función S(τ,ν) respecto a τ:
∞
ST (ν ) = ∫ S (τ , ν )dτ
(3-24)
−∞
Comparando (6-17) y (3-24) queda claro que tanto ST(ν), con su anchura asociada Bd,
como las Sl(ν), con sus anchuras Bl, nos dan información de la dispersión temporal del
canal, pero esta información es más completa en el segundo caso.
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192
Nos enfrentamos ahora a una cuestión importante: la elección del espectro
Doppler que caracteriza la evolución temporal de cada coeficiente. Nos vamos a basar
en el modelo COST 207 para canales móviles, que expresa la forma del espectro
Doppler de cada componente multitrayecto en función de su retardo. Esto nos permitirá
asignar a cada coeficiente un espectro, según su retardo asociado. Mostramos a
continuación los cuatro tipos de espectros considerados. Definimos en primer lugar la
siguiente función auxiliar:
G ( A, f 1 , f 2 , ν ) = Ae
−
( ν − f1 ) 2
2 f 22
(6-18)
Los espectros considerados son los siguientes:
- Espectro tipo CLASS: para retardos τ < 0.5 µs.
A0
S0 (ν ) =
1− (
ν
fd
para ν ≤ f d
)
(6-19)
2
- Espectro tipo GAUS1: para retardos entre 0.5 y 2 µs.
S1 ( ν ) = G ( A1 ,−0.8 f d ,0.05 f d , ν ) + G ( A'1 ,0.4 f d ,0.1 f d , ν ) ,
con A'1 10 dB menor que A1.
(6-20)
- Espectro tipo GAUS2: para retardos que superen los 2 µs.
S 2 ( ν ) = G ( A2 ,0.7 f d ,0.1 f d , ν ) + G ( A' 2 ,−0.4 f d ,0.15 f d , ν ) ,
con A'2 15 dB menor que A2
(6-21)
- Espectro tipo RICE. Incorpora un rayo directo con una contribución igual a la del
total de caminos reflejados. Se usa principalmente en la simulación de canales
en zonas rurales.
S3 (ν ) =
0.41 A3
2πf d 1 − (
ν
fd
+ 0.91 A3δ (ν − 0.7 f d )
)
para ν ≤ f d
(6-22)
2
Supondremos estas cuatro funciones normalizadas, es decir,
∞
∫ S (ν )dν = 1,
i
(6-23)
−∞
con i = 0,...,3. Esta condición determina las constantes Ai.
En estas cuatro expresiones fd representa el máximo desplazamiento Doppler
introducido por el canal. Éste depende de la velocidad máxima del móvil así como de
las variaciones propias del canal físico. Es decir, las características del canal pueden
LUIS MENDO TOMÁS
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193
variar debido a desplazamientos del móvil o debido a otros cambios, de muy diversa
índole, en el entorno físico. Si suponemos que la causa dominante de variación es el
desplazamiento del móvil podemos calcular fd como
fd =
vr
λ
,
(6-24)
siendo vr la velocidad radial del móvil y λ la longitud de onda de trabajo.
En nuestro caso, con C = 127 y TS = 1/9600 s obtenemos un periodo de chip
TC = 0.82 µs. Según esto el primer camino de propagación (l = 0) llevará asociado un
retardo 0, el segundo (l = 1) 0.82 µs, el tercero (l = 2) 1.64 µs etc. La forma del espectro
que corresponde a cada coeficiente es entonces la indicada en la tabla 6.1.
TABLA 6.1. Forma del espectro Doppler de los coeficientes de canal
Orden del coeficiente (l)
Espectro Doppler
0
1
2
3
...
CLASS (i = 0)
GAUS1 (i = 1)
GAUS1 (i = 1)
GAUS2 (i = 2)
GAUS2 (i = 2)
Hemos especificado la forma del espectro Doppler de cada coeficiente a través
de las funciones normalizadas Si (ν ) . La magnitud del mismo viene determinada por el
perfil potencia-retardo del canal, ya que el valor cuadrático medio del coeficiente debe
cumplir la ecuación (3-41). Por tanto Sl(ν) se obtiene como
Sl (ν ) = Ql Si (ν ) ,
(6-25)
con i dada por la tabla 6.1, y siendo Ql una constante real positiva cuyo valor se
determina de la siguiente forma. Invirtiendo la transformada de Fourier de (6-15) y
haciendo ∆t = 0 tenemos
∞
∫ S (ν )dν = φ (0) = E[| h (t )|
2
l
l
l
]
(6-26)
−∞
Utilizando (6-25) y (6-23) en (6-26) obtenemos la siguiente condición para Ql:
Ql = E[| hl (t )|2 ],
que teniendo en cuenta (3-41) se transforma en
(6-27)
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194
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Ql = TC2 φ h ( lTC )
(6-28)
Por tanto, según las expresiones (6-25) y (6-28), la función de dispersión S(τ,ν)
de nuestro canal tiene para τ = lTC la forma de la función correspondiente Si (ν ) del
modelo COST 207, indicada por la tabla 6.1, ponderada por el perfil potencia-retardo.
La figura 6.18 representa la función de dispersión del canal así obtenida para TC = 0.82
µs, perfil exponencial con Tm = 3 µs y frecuencia Doppler fd = 100 Hz.
0.015
0.01
0.005
0
0
2fd
5TC
fd
0
10TC
τ
-fd
-2fd
ν
FIGURA 6.18. Función de dispersión del canal para TC = 0.82 µs,
perfil exponencial con Tm = 3 µs y frecuencia Doppler fd = 100 Hz
De los L coeficientes de canal sólo necesitamos considerar los M primeros, que
son con los que va a trabajar el estimador (la interferencia multitrayecto producida por
las restantes L-M componentes de la señal del usuario de referencia es despreciable,
como sabemos, frente a la interferencia producida por las señales de los demás usuarios,
en las cuales se consideran las L componentes). Nuestro problema ahora es el siguiente:
conociendo el espectro de potencia que debe tener el proceso estocástico que representa
a cada coeficiente, queremos encontrar dicho proceso. Más bien encontraremos uno
posible, pues la solución no es única; un proceso no queda determinado por su espectro
de potencia. En otras palabras, para cada camino de propagación m de los M que
consideramos buscamos el coeficiente hm(t) tal que su espectro de potencia Sm(ν) sea el
dado por (6-25). Para encontrar estos procesos utilizaremos una propiedad fundamental
de los sistemas lineales con entradas estocásticas estacionarias en sentido amplio:
Si h(t) es la respuesta al impulso de un sistema lineal y su entrada x(t) es
estacionaria en sentido amplio, la salida y(t) es también estacionaria en sentido
amplio y se verifica
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φ y ( ∆t ) = h( ∆t )∗ h∗ (− ∆t )∗ φ x ( ∆t )
2
S y (ν ) = H (ν ) S x (ν ) ,
195
(6-29)
(6-30)
donde φz(∆t) denota la autocorrelación y Sz(ν) el espectro de potencia de una
señal compleja z(t).
Utilizando esta propiedad, vamos a generar cada coeficiente hm(t) como la salida
de un filtro en el que introducimos un ruido gaussiano blanco de media nula con
espectro de potencia igual a 1 para todas las frecuencias. Vamos a determinar la
respuesta impulsiva que debe tener ese filtro, fm(t), imponiendo la condición de que el
espectro de salida sea el buscado, Sm(ν). Utilizando (6-30) esta condición se expresa:
2
Sm ( ν ) = Fm (ν ) ⋅ 1 = Fm (ν )
2
(6-31)
Por tanto el filtro debe cumplir:
Fm (ν ) = S m (ν )
(6-32)
Así podemos conseguir el espectro de potencia que queramos, sin más que elegir
la respuesta en frecuencia con el módulo dado por (6-32) y cualquier fase. El hecho de
poder elegir la fase permite lograr una respuesta al impulso causal. Tomaremos una fase
lineal con la frecuencia, arg[Fm(ν)] = -j2πt0ν, eligiendo t0 adecuadamente para que fm(t)
sea causal.
Un espectro de potencia siempre es real. Si además tiene simetría par podemos
encontrar un proceso real que tenga ese espectro de potencia. Sin embargo, nosotros
partimos de un proceso de entrada complejo, de modo que las salida que obtengamos va
a ser compleja, como corresponde a un proceso estocástico que pretende representar a
un coeficiente de canal.
El método de generación de los coeficientes de canal que vamos a utilizar es,
entonces, el esquematizado en la figura 6.19: generamos un ruido blanco de potencia
unidad y lo filtramos con un sistema de respuesta en frecuencia Fm(ν) dada por
Fm ( ν ) = Sm (ν ) e − j 2πt0ν ,
(6-33)
siendo Sm(ν) el espectro Doppler buscado, determinado por el modelo COST 207.
P.E. blanco
fm(t)
hm(t)
FIGURA 6.19. Generación de los coeficientes de canal
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
196
El programa que hemos realizado para generar los coeficientes sigue el algoritmo
que hemos descrito excepto que, en vez de elegir el parámetro Qm según hemos visto
para que el proceso generado cumpla (3-41), considera que este factor es igual a la
unidad, y, una vez generado el proceso estocástico (el cual no es, todavía, el proceso
buscado hm(t), al no haber elegido adecuadamente Qm), lo multiplica por un factor
constante calculado de manera que el valor medio en el tiempo de |hm(t)|2 sea el dado por
(3-41). Realmente es la esperanza matemática, no el valor medio en el tiempo, la que
debe satisfacer la condición (3-41); sin embargo, valor esperado y valor medio en el
tiempo pueden considerarse prácticamente iguales bajo la hipótesis de ergodicidad del
proceso y con un tiempo de observación suficientemente elevado.
La resolución temporal utilizada es de TS, puesto que admitimos que los
coeficientes de canal pueden considerarse constantes durante un periodo de símbolo TS.
Por tanto, realmente generaremos sucesiones de valores h1,nm como los definidos en el
capítulo 3.
6.3.3. Ejemplo de generación de los coeficientes del canal
Seguidamente vamos a poner en práctica el método de generación descrito y a
comprobar que los coeficientes obtenidos responden a las características buscadas.
Puesto que sólo estamos interesados en las características de variación temporal de los
coeficientes, no en el valor cuadrático medio de los mismos, generaremos coeficientes
con varianza unidad. Estos coeficientes normalizados nos servirán como base para
obtener los coeficientes de canal que utilizaremos en las simulaciones referentes al
estimador de canal, ya teniendo un perfil potencia-retardo determinado.
En los espectros de todos los coeficientes suponemos una frecuencia Doppler
fd = 100 Hz. A una frecuencia de trabajo en torno a 900 MHz esto corresponde, según
(6-24), a una velocidad radial del móvil de unos 120 Km/h. Tomamos un periodo de
símbolo TS de 1/9600 s. Con estos valores se cumple que la frecuencia Doppler,
fd = 100 Hz, es casi 100 veces menor que la frecuencia de repetición de símbolos,
1/TS = 9600 s-1, de modo que la aproximación de considerar los coeficientes de símbolo
constantes durante un periodo de símbolo es válida. Para cada coeficiente generaremos
una serie de 10000 valores, correspondientes a la evolución del coeficiente durante
10000TS = 1.04 s.
Siguiendo el método visto, lo primero que hacemos es generar una realización de
un proceso blanco complejo, como se representa en la figura 6.20. Mostramos sólo las
1000 primeras muestras para mayor claridad de la figura.
LUIS MENDO TOMÁS
197
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
2
0
Re
-2
-4
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08 0.09
0.1
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 0.06
t (s)
0.07
0.08 0.09
0.1
2
0
Im
-2
-4
0
FIGURA 6.20. Ruido blanco complejo
A continuación filtramos dicho ruido con un sistema lineal de respuesta en
frecuencia Fm(ν) dada por (6-33). Empezamos con el espectro CLASS, que corresponde
al primer coeficiente del canal. La respuesta al impulso fm(t) es la indicada en la figura
6.21. Nótese que es una función real; esto es posible por la simetría del espectro
CLASS.
250
200
150
100
50
0
-50
-100
0
0.05
0.1
t (s)
0.15
0.2
FIGURA 6.21. Respuesta al impulso del filtro para espectro tipo
CLASS
La respuesta tiene duración infinita, pero como su amplitud va decreciendo en ambos
sentidos podemos recortar sin que el error sea apreciable. Nótese que la respuesta
LUIS MENDO TOMÁS
198
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
truncada puede hacerse causal, eligiendo adecuadamente t0, como en la figura 6.21,
aunque la causalidad no es necesaria en nuestro método.
Realizando la convolución del ruido con la respuesta al impulso del filtro
obtenemos la señal que representa la evolución temporal del primer coeficiente del
canal. En este punto nos encontramos con un problema, referente a la manera de realizar
esto en la práctica: tanto el ruido como la respuesta al impulso deberían tener duración
infinita, lo cual es imposible. En el caso de la respuesta al impulso la solución ha sido
fácil: como la amplitud decrece en ambos sentidos hemos podido aproximarla por una
de duración finita. En el caso del ruido esto no ocurre, por lo cual utilizamos el siguiente
artificio: si la secuencia que representa al ruido blanco tiene duración '1 y la respuesta
(truncada) del filtro tiene duración '2 < '1, la duración de la convolución de ambas será
'1 + '2 -1. En los '1 - 1 primeros y los '1 - 1 últimos puntos influirá el hecho de que la
duración del ruido no es infinita, pero en los '1 - '2 + 1 restantes no. Estos puntos
constituyen lo que podemos llamar el “régimen permanente” de la convolución, y nos
quedaremos con ellos únicamente. Hemos elegido '1 y '2 de manera que obtengamos
10000 muestras útiles. En la figura 6.22 mostramos las 1000 primeras.
2
0
Re
-2
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08 0.09
0.1
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 0.06
t (s)
0.07
0.08 0.09
0.1
2
0
Im
-2
0
FIGURA 6.22. Coeficiente de canal con espectro tipo CLASS
Comparando esta última gráfica con la 6.20 podemos ver cómo el filtro suaviza las
variaciones totalmente aleatorias del ruido blanco.
Comprobemos si el espectro de potencia del proceso estocástico resultante de
nuestro método coincide con el espectro Doppler buscado. Para ello habría que generar
un número muy grande de realizaciones del proceso, estimar la autocorrelación del
mismo (en sentido estadístico) y hallar su transformada de Fourier, que debería ser muy
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
199
parecida al espectro Doppler dato. Sin embargo, vamos a hacer la estimación con una
sola realización, lo que será suficiente para comprobar el parecido. Esto equivale a
hallar la autocorrelación y el espectro de potencia de la señal obtenida considerándola
como una señal determinista.
A la hora de realizar numéricamente la transformada de Fourier surgen una serie
de cuestiones que debemos tener en cuenta. Si llamamos t al dominio inicial y f al
dominio transformado:
- La aritmética de precisión finita utilizada por el ordenador introducirá errores, en
los que no vamos a entrar.
- La transformada se evalúa para un conjunto discreto de frecuencias, lo que
determina el rango de frecuencias B y la resolución en frecuencia ∆f.
Normalmente elegiremos B en función del ancho de banda esperado de la
función.
- La función a transformar se define con una cierta resolución temporal ∆t. Esto
provoca la aparición de réplicas no deseadas del espectro cada 1/∆t, que
perturbarán los resultados si entran en nuestro rango de frecuencias, es decir, si
1/∆t < B. Esto nos indica que si queremos calcular la transformada para un rango
de frecuencias B debemos tener una resolución temporal de 1/B o mejor para que
no aparezcan las réplicas no deseadas.
- Si la función en el dominio del tiempo tiene una duración infinita, como ocurre
por ejemplo si se trata de un ruido blanco, el tomar sólo un intervalo T equivale
a considerar la función nula fuera de él, cuando en realidad no lo es, y el
espectro se modifica, se “emborrona” según una convolución con una función
sinc de anchura inversamente proporcional a T. Este efecto será apreciable o no
según la resolución en frecuencia que tengamos: no se notará si ∆f es mayor que
el emborronamiento 1/T. Por tanto, fijada ∆f deberemos elegir T mayor que 1/∆f
para no notar este efecto. Si no, el espectro se difuminará y no será válido con
una resolución mejor que 1/T.
Teniendo esto en cuenta, calculamos la autocorrelación en sentido determinista
de la señal que hemos obtenido y su transformada de Fourier. En la figura 6.23 se
muestran los resultados para el caso de espectro CLASS, comparándolos con el espectro
Doppler del proceso estocástico buscado.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
200
Espectro Doppler
0.06
0.04
0.02
0
-150
-100
-50
0
50
Espectro de potencia obtenido
100
150
100
150
0.06
0.04
0.02
0
-150
-100
-50
0
50
ν (Hz)
FIGURA 6.23. Espectro tipo CLASS y espectro de potencia del
coeficiente obtenido
Siguiendo el mismo procedimiento podemos determinar la respuesta del filtro
necesario para obtener un proceso estocástico con espectro tipo GAUS1,
correspondiente a los coeficientes segundo y tercero. Pasamos por este filtro una
muestra del proceso estocástico blanco de entrada y calculamos la autocorrelación de la
salida, y a continuación la transformada de Fourier de ésta, igual que hemos hecho en el
caso de espectro CLASS. Mostramos sólo los resultados finales, que pueden verse en la
figura 6.24.
LUIS MENDO TOMÁS
201
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Espectro Doppler
0.06
0.04
0.02
0
-150
-100
-50
0
50
Espectro de potencia obtenido
100
150
100
150
0.15
0.1
0.05
0
-150
-100
-50
0
ν (Hz)
50
FIGURA 6.24. Espectro tipo GAUS1 y espectro de potencia del
coeficiente obtenido
Para el espectro Doppler GAUS2 tenemos los resultados de la figura 6.25.
Espectro Doppler
0.04
0.02
0
-150
-100
-50
0
50
Espectro de potencia obtenido
100
150
100
150
0.1
0.05
0
-150
-100
-50
0
50
ν (Hz)
FIGURA 6.25. Espectro tipo GAUS2 y espectro de potencia del
coeficiente obtenido
En los tres casos vemos que el espectro de potencia determinista de la señal
obtenida se parece razonablemente al espectro Doppler, que sería el espectro, en sentido
estadístico, del proceso estocástico a la salida del filtro, con ruido blanco como entrada.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
202
Nótese la diferente escala en las partes superior e inferior de las gráficas, debida a las
fluctuaciones del espectro determinista obtenido (parte inferior) respecto al valor medio
esperado (parte superior).
6.3.4. Subsistema de estimación de canal
En este apartado vamos a analizar una posible estructura para el bloque de
estimación de canal, conocida como rastreador alfa (alpha tracker). Nos veremos
obligados a complicar el algoritmo de estimación en apartados posteriores para mejorar
sus prestaciones.
Los coeficientes son variantes en el tiempo de acuerdo con un espectro Doppler
determinado, y para los valores utilizados de frecuencia Doppler fd y periodo de símbolo
TS se pueden considerar constantes durante un intervalo de símbolo. Suponemos
modulación BPSK, de manera que los símbolos, o bits, pueden representarse por los
valores 1 y -1.
En el receptor, la señal recibida durante un intervalo n se multiplica en cada
rama m por el pulso conjugado del usuario de referencia retrasado mTC y se integra entre
nTS y (n+1)TS. Esta operación tiene el efecto de separar las diferentes componentes
multitrayecto, si los pulsos tienen las características adecuadas. Posteriormente, se
pondera cada uno de los resultados anteriores por el conjugado del coeficiente de canal
(estimado) y se suman las partes reales. Como vimos en 3.3.2, puede ser más
conveniente sumar las señales de cada rama, ponderar y luego integrar el total, pues así
en vez de M integradores necesitamos sólo uno. Sin embargo, para el método de
estimación que vamos a analizar necesitamos tener cada señal integrada por separado,
por lo que incluimos el integrador dentro de cada rama del RAKE; después vendría la
ponderación y la suma. Denotaremos por U 1,nm la salida del integrador de la rama m en el
instante t = (n+1)TS. Nótese que
M −1
U 1n = Re ∑ h$1n,mU 1n,m
(6-34)
m= 0
Asimismo, llamaremos D$ 1n al símbolo demodulado en el n-ésimo periodo de símbolo, el
cual podrá ser 1 o -1. Con esto ya podemos presentar la estructura del estimador, que es
la de la figura 6.26.
LUIS MENDO TOMÁS
203
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
D$ 1n −1
~
h1,nm−1
U
1-α
h$1,nm
n −1
1, m
TS
α
h$1,nm−1
FIGURA 6.26. Estimador de canal para BPSK (cada coeficiente
requiere un bloque como el representado)
Tendremos M bloques como éste, uno para cada rama del receptor RAKE. El
funcionamiento del estimador es el siguiente: la señal U 1,nm presente en la rama m del
receptor tiene una componente útil correspondiente al camino (real o ficticio) m más
términos de interferencia. El término útil contiene información del símbolo transmitido,
así como de la amplitud y fase del camino por el que ha llegado. El multiplicador de la
figura se encarga de eliminar la primera (suponemos modulación BPSK; en general
*
habría que multiplicar por D$ n−1 | D$ n−1 |2 ), de modo que ya tenemos una variable,
1
1
~
h1n,m = D$ 1n−1U 1n,m−1 ,
(6-35)
que nos indica la amplitud y la fase de cada camino de propagación, aunque con un
cierto error, o ruido de estimación. Nótese que el valor entregado para el símbolo actual
realmente es una estimación del coeficiente correspondiente al intervalo anterior n-1.
Debe trabajarse así porque en el intervalo actual aún no conocemos el valor del símbolo
demodulado. Esto no supone un error importante si el canal es de variación
suficientemente lenta.
Podríamos quedarnos aquí, pero es posible disminuir el error en la estimación
aprovechando el hecho de que la variación de los coeficientes es más o menos suave. Lo
que se hace es promediar la estimación realizada con la obtenida para el símbolo
anterior. Esto se lleva a cabo con el subsistema que aparece recuadrado en la figura. La
importancia relativa que demos a la estimación del símbolo anterior depende del
parámetro α. Un valor 0 indica que no tenemos en cuenta la estimación previa, mientras
que un valor 1 daría una salida constante. La idea es que si el canal varía
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
204
suficientemente despacio los valores correspondientes a intervalos de símbolo
consecutivos no serán muy diferentes, y si lo son se deberá más bien a errores en la
estimación, de manera que al promediar el error tiende a disminuir. El subsistema
recuadrado es un filtro paso bajo caracterizado por la siguiente ecuación en diferencias,
~
h$1n,m = (1 − α )h1n,m + αh$1n,m−1 ,
(6-36)
~
o bien, llamando y[n] = h$1n,m (salida del filtro) y x[n] = h1n,m (entrada del filtro),
y[n] = (1 - a ) x[n] + ay[n − 1] ,
(6-37)
correspondiente a la función de transferencia
H ( z) =
1− α
1 − αz −1
(6-38)
Representando H(z) para z = ejΩ, con Ω entre π y - π, tenemos las curvas de la figura
6.27.
1
0.5
Módulo
0
-π
-π/2
0
π/2
π
0
π/2
π
1
0
Fase
-1
-π
-π/2
Ω
α = 0.2
α = 0.5
α = 0.8
FIGURA 6.27. Función de transferencia del filtro del estimador
El parámetro α controla el ancho de banda del filtro. Cuanto mayor sea α más
estrecha es la banda de paso, debido a que las estimaciones anteriores tienen mucho
peso a la hora de obtener el valor estimado actual, con lo que el sistema no es capaz de
seguir variaciones muy rápidas. Debemos buscar el valor óptimo de α, de modo que el
filtro pueda seguir las variaciones del canal pero rechazando el máximo posible de ruido
de estimación. Este valor óptimo será el que dé menor error de estimación a la salida del
filtro.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
205
Recapitulando, para el estimador propuesto existen cuatro posibles causas por las
cuales el valor estimado h$ n puede diferir del valor real h n :
1,m
1,m
1) La señal U 1n,m−1 contiene término útil e interferencias, las cuales modificarán el
valor estimado h$1n,m
2) Las interferencias presentes en las U 1n,m−1 dan lugar a un término de ruido en la
variable de decisión U 1n−1 , que puede producir errores en la demodulación, es
decir, D$ n−1 ≠ D n−1 , los cuales introducirán un error en h$ n
1
1
1,m
3) El filtro paso bajo tiende a reducir el ruido de estimación originado por 1) y 2);
sin embargo, puede ser otra causa posible de error si es incapaz de seguir las
variaciones del canal, por tener una banda de paso demasiado estrecha. Además
la memoria introducida por este filtro favorece la aparición de ráfagas de errores,
que analizaremos en 6.3.5.
4) En realidad estimamos el valor del coeficiente en el símbolo anterior, y
utilizamos este valor como una estimación para el coeficiente en el símbolo
actual. Ésta es una limitación inevitable, pero poco importante si el canal varía
suficientemente despacio.
Estimación sin interferencias
Empezamos realizando un análisis en el que suponemos que no hay
interferencias en las variables U 1,nm , es decir, que éstas sólo contienen término útil.
Consecuentemente tampoco se producen errores en la demodulación. Nos quedan
únicamente las causas de degradación 3) y 4). Este caso, bastante alejado de la realidad,
nos servirá sin embargo como referencia. En esta situación no existe realmente
compromiso: al no haber ruido de estimación, interesa un ancho de banda lo mayor
posible, que corresponde a α lo más pequeño posible.
Realizaremos las simulaciones para un sistema con un periodo de símbolo
TS = 1/9600 s-1, perfil potencia-retardo exponencial con Tm = 3 µs, espectros Doppler
según el modelo COST 207 con frecuencia Doppler fd = 100 Hz, factor de actividad
vocal αv = 40%, y suponiendo que no se transmite señal durante los periodos de
inactividad, es decir, βv = 0. El receptor RAKE tendrá M = 4 ramas. Habrá que estimar
por tanto 4 coeficientes de canal, para lo cual se requerirán 4 subsistemas como el
representado en la figura 6.26. En la figura 6.28 mostramos el error medio para cada uno
de los 4 coeficientes estimados a lo largo de una serie de 500 símbolos consecutivos,
LUIS MENDO TOMÁS
206
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
expresado como relación entre la desviación típica del error y el valor medio del módulo
del coeficiente.
50
40
30
error (%)
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
α
Primer coeficiente
Segundo coeficiente
Tercer coeficiente
Cuarto coeficiente
FIGURA 6.28. Error de estimación sin interferencias
La figura permite comprobar que, en la situación ideal que estamos
considerando, cuanto menor sea α menos error tenemos, ya que todas las variaciones a
la entrada del filtro son variaciones reales del canal, no se deben a errores en la
estimación. En la figura 6.29, correspondiente al primer coeficiente de canal, puede
observarse este comportamiento.
LUIS MENDO TOMÁS
207
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.04
0.02
Re
0
-0.02
-0.04
0
100
200
0
100
200
300
400
500
300
400
500
300
400
500
300
400
500
0.04
0.02
Im
0
-0.02
-0.04
n
(a) α = 0.2
0.04
0.02
Re
0
-0.02
-0.04
0
100
200
0
100
200
0.04
0.02
Im
0
-0.02
-0.04
n
(b) α = 0.8
FIGURA 6.29. Estimación del primer coeficiente de canal sin
interferencias
Estimación sin errores en los símbolos demodulados
Vamos a introducir el efecto de las interferencias en la estimación de los
coeficientes, pero admitiendo, por ahora, que los símbolos siempre se demodulan
correctamente. En estas condiciones, habrá un valor de α óptimo, que permita seguir las
variaciones del canal rechazando a la vez el mayor ruido posible. Suponemos control de
potencia medio ideal, de forma que el valor medio del módulo de cada coeficiente de
canal es igual para todos los usuarios de la célula de referencia. Como en el caso
anterior, mostramos en la figura 6.30 el error obtenido para diferentes valores de α,
LUIS MENDO TOMÁS
208
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
utilizando la misma secuencia de 500 coeficientes de antes. Suponemos que hay KI = 90
usuarios interferentes por célula y un factor de reutilización ρ = 1.7.
90
80
70
60
error (%)
50
40
30
20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
α
Primer coeficiente
Segundo coeficiente
Tercer coeficiente
Cuarto coeficiente
FIGURA 6.30. Error de estimación sin errores de demodulación
La figura 6.31 ilustra el efecto de la variación de α. Mostramos sólo las partes
reales por comodidad. Al principio, según va aumentando α la estimación presenta
menor error medio, pues eliminamos más ruido y perdemos poco en cuanto a capacidad
de seguimiento de las variaciones del canal, pero llega un punto en el que el error
empieza a aumentar, debido a que no podemos seguir las variaciones del canal, y ahora
este efecto es más importante que el mayor rechazo del ruido de estimación. En este
punto tenemos el valor óptimo de α.
LUIS MENDO TOMÁS
209
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.05
Re
0
-0.05 0
100
200
300
400
500
300
400
500
300
400
500
300
400
500
n
(a) α = 0.2
0.05
Re
0
-0.05 0
100
200
n
(b) α = 0.5
0.05
Re
0
-0.05 0
100
200
n
(c) α = 0.8
0.05
Re
0
-0.05 0
100
200
n
(d) α = 0.9
FIGURA 6.31. Estimación del primer coeficiente de canal sin errores
de demodulación
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
210
Estimación con interferencias y errores en los símbolos demodulados
Vamos a considerar ya la estimación tal y como tiene lugar en la realidad, con
interferencias y posibilidad de errores en la demodulación. Mostramos en la figura 6.32
los resultados para las simulaciones realizadas, con los mismos parámetros que en los
casos anteriores.
200
180
160
140
120
100
error (%)
80
60
40
20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
α
Primer coeficiente
Segundo coeficiente
Tercer coeficiente
Cuarto coeficiente
FIGURA 6.32. Error de estimación
Vemos que para valores pequeños de α el error es mucho mayor que antes, por
los errores en la demodulación de los símbolos. Sin embargo, eligiendo α en torno al
valor óptimo que obtuvimos para el caso sin errores de demodulación tenemos unos
resultados parecidos a aquéllos. Esto se debe a que el filtro elimina en gran medida los
errores debidos a demodulaciones incorrectas.
En la figura 6.33, que muestra las estimaciones para la misma serie de 500
coeficientes con distintos valores de α, se puede apreciar mejor lo comentado.
LUIS MENDO TOMÁS
211
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.05
Re
0
-0.05 0
100
200
300
400
500
300
400
500
n
(a) α = 0.2
0.05
Re
0
-0.05 0
100
200
n
(b) α = 0.8
FIGURA 6.33. Estimación del primer coeficiente de canal
Como vemos, el filtrado paso bajo resulta muy efectivo frente a los cambios bruscos en
el valor estimado del coeficiente de canal provocados por errores de demodulación.
En las dos figuras anteriores comprobamos la existencia del mínimo anunciado,
que en este caso se produce para un valor de α en torno a 0.8. Sin embargo, hay que
tener en cuenta que hemos usado siempre las mismas secuencias de 500 valores para
cada uno de los 4 coeficientes que estima el receptor; para determinar cuál es el valor
óptimo de α habría que utilizar secuencias más largas. Además este valor depende del
nivel de interferencia y por tanto del número de usuarios interferentes KI, ya que a
mayor interferencia interesará filtrar más para eliminar más ruido de estimación, a pesar
de que perdamos algo en la capacidad de seguimiento de las variaciones del canal.
También depende de la frecuencia Doppler: cuanto mayor sea ésta menor será el α
óptimo, pues más rápidas serán las variaciones a seguir, y más arriba (mayor error) se
producirá el mínimo, pues se eliminará menos ruido.
La capacidad del filtro para reducir los errores de estimación causados por
demodulaciones incorrectas se obtiene si estos errores se producen de manera aleatoria;
si éstos se produjeran a ráfagas el filtro no podría actuar frente a ellos (estarían dentro de
su banda de paso). Ahora bien, una de las posibles causas de ráfagas de errores de
demodulación es la propia memoria del filtro de estimación. Este efecto, que no hemos
observado hasta ahora, nos va a obligar a complicar el algoritmo de estimación.
6.3.5. Variaciones en el algoritmo de estimación
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
212
Cualquier algoritmo de estimación de canal se basa en medir la amplitud y fase
de la señal recibida (de las réplicas multitrayecto diferenciadas por el receptor) para
averiguar el efecto del canal sobre la señal transmitida. En principio tenemos dos
posibilidades para hacer esto:
- utilizar símbolos especiales intercalados en la señal transmitida, o transmitidos
en un canal separado
- utilizar para la estimación los propios símbolos de información.
Con el primer método disponemos para la estimación de símbolos “seguros”,
símbolos que no llevan información y cuyo valor es conocido por el receptor, por lo que
no tendrán errores de demodulación. Sabemos sin error cuál ha sido el símbolo
transmitido y esto ayuda a hacer una estimación del canal más fiable. La desventaja, por
supuesto, es que al añadir símbolos aumentamos la velocidad de la señal transmitida y
por tanto el ancho de banda necesario.
El segundo método, o método guiado por decisión, es el que hemos utilizado en
el estimador descrito en el punto anterior. Tiene la ventaja de que no necesitamos añadir
símbolos a la señal de información, pero la estimación es menos segura, pues los
posibles errores en la demodulación se traducen en errores en la estimación del canal.
El problema comentado para el método guiado por decisión es mucho más
importante de lo que puede parecer a primera vista. La razón es que se trata de un
método inherentemente inestable. Imaginemos que, debido a los efectos de interferencia
del conjunto de usuarios del sistema, un símbolo se demodula incorrectamente. Esto
produce un error grande en la estimación de los (M primeros) coeficientes de canal para
ese intervalo. Como este símbolo se utiliza para la estimación de los coeficientes de
canal del siguiente intervalo de símbolo, lo más probable es que dichas estimaciones
tengan un error también grande. Esto hará que el símbolo siguiente sea demodulado a su
vez erróneamente, y la situación puede repetirse a lo largo de un número muy alto de
intervalos de símbolo, hasta que el receptor vuelva a la estabilidad. La posibilidad de
aparición de estas ráfagas es mayor cuanto más baja sea la relación señal/ruido, de modo
que el problema es poco importante para relaciones señal/ruido altas, pero es inaceptable
en un entorno celular, en el que la relación señal/ruido(o interferencia) se ajusta al valor
mínimo necesario para obtener la calidad deseada. Por otro lado, el “encadenamiento”
de los errores también es más importante cuanto más estrecho sea el filtro del estimador,
es decir, cuanto más peso tengan los valores anteriores en la determinación del valor
actual.
El resultado de este fenómeno de encadenamiento es un aumento de la tasa de
errores en los símbolos demodulados, que además se producen fundamentalmente a
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
213
ráfagas. Esto último es más grave que el propio aumento de la tasa de errores, pues si
dicho aumento se produjera manteniéndose independientes los errores podríamos
aminorarlo introduciendo codificación de canal más potente, mientras que si los errores
se producen a ráfagas necesitaremos además un proceso de entrelazado. Cuanto más
largas sean las ráfagas más complicado será el entrelazado necesario y mayores serán los
retardos que el mismo introducirá en el proceso de transmisión, lo cual es especialmente
importante en el caso de comunicación de voz.
Una primera solución a este problema es utilizar directamente el método no
guiado por decisión, es decir, realizar la estimación a partir símbolos especialmente
insertados en la señal para este fin, o bien transmitidos en un canal piloto sin modular,
separado del canal de tráfico. Ésta puede ser una buena solución para el enlace
descendente, pues el mismo canal piloto puede ser utilizado por todas las estaciones
móviles de la célula. En el enlace ascendente, sin embargo, se requeriría un canal piloto
por cada estación móvil, por lo que no es una opción conveniente. Tampoco serviría la
alternativa de disponer símbolos para la estimación intercalados en la señal modulada,
pues la variabilidad del canal móvil exigiría un gran número de estos símbolos, con la
consecuente sobrecarga en velocidad de transmisión.
Una solución mejor para el enlace ascendente consiste en combinar ambos
métodos: estimar basándonos en los símbolos normales de información pero incluir cada
cierto tiempo un pequeño número de símbolos “seguros”, sin información, según
muestra la figura 6.34. Estos símbolos tienen por finalidad devolver al receptor a la
normalidad en caso de que se encuentre inmerso en una ráfaga de errores, según el
proceso de encadenamiento anteriormente descrito. De esta forma limitamos la duración
de las ráfagas y reducimos la tasa de error.
sest
cest
FIGURA 6.34. Símbolos de información y símbolos de tara.
A continuación vamos a evaluar los métodos anteriores a través de una serie de
simulaciones realizadas para un receptor RAKE de M = 4 ramas. Suponemos como
siempre modulación BPSK y una velocidad binaria de la señal de información
Rb = 1/9600 bps. No incluimos codificación de canal (por tanto, las probabilidades que
obtengamos se refieren a símbolos de canal). Utilizaremos los mismos parámetros que
en 6.3.4, es decir, KI = 90, ρ = 1.7, αv = 40%, βv = 0, perfil exponencial con Tm = 3 µs, y
espectro Doppler dependiente del retardo según el modelo del punto 6.3.2. Suponemos
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
214
como siempre control de potencia medio ideal. Con los parámetros mencionados la
probabilidad de error de bit (de canal) esperada suponiendo estimación perfecta de los
coeficientes es de 0.0402 (expresiones (6-8), (6-9) y (6-10)), valor que nos permitirá
comparar las diferentes estrategias de estimación.
Estimación basada únicamente en los símbolos de información
En primer lugar veamos qué ocurre para un algoritmo de estimación basado
únicamente en los símbolos de información, como el que hemos descrito en 6.3.4.
Tomaremos en todos los casos un valor de α = 0.8 para el filtro del estimador. En la
figura 6.35 representamos el error, expresado como la diferencia en valor absoluto entre
el valor real y el valor estimado, de los M = 4 coeficientes con los que trabaja el
receptor, y también los errores de demodulación. Puede observarse la presencia de dos
de las ráfagas de errores anunciadas. Nótese que se producen a la vez para los 4
coeficientes, y que durante las mismas se produce una acumulación de errores en los
símbolos demodulados.
LUIS MENDO TOMÁS
215
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.1
0
0
500
1000
1500
2000
2500
(a) Error en la estimación del primer coeficiente
0.04
0
0
500
1000
1500
2000
2500
(b) Error en la estimación del segundo coeficiente
0.05
0
0
500
1000
1500
2000
2500
(c) Error en la estimación del tercer coeficiente
0.04
0
0
500
1000
1500
2000
2500
(d) Error en la estimación del cuarto coeficiente
0
500
1000
1500
2000
2500
(e) Errores en la demodulación
FIGURA 6.35. Ráfagas de errores para estimación basada
únicamente en los símbolos de la señal útil.
La duración de las ráfagas puede ser muy grande; en el caso de las de la figura es del
orden de cientos de intervalos. Debemos reducir esta duración.
Algoritmo con símbolos seguros
Vamos a utilizar una estructura como la de la figura 6.34. El algoritmo de
estimación es el mismo utilizado hasta ahora con dos modificaciones que pasamos a
explicar.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
216
La primera modificación es evidente a la vista de la figura 6.34. Cada cest
disponemos de sest símbolos en los que sabemos, sin necesidad de demodular, que D1n
será igual a un valor D0 previamente convenido (1 ó -1, si utilizamos BPSK). Durante
estos símbolos, por tanto, sustituimos la entrada D$ n del estimador, procedente del
1
demodulador, por ese valor conocido, de modo que el valor estimado antes de filtrar,
~
h1n,m , durante esos símbolos ya no está dado por (6-35) sino por D0U 1,nm . En definitiva,
aquella ecuación se transforma en
 $ n−1 n−1
~ n  D1 U 1,m si el símbolo n − 1 es de información
h1,m = 
 D0U 1n,m−1
si el símbolo n − 1 es "seguro"
(6-39)
Si durante los símbolos de información comprendidos entre dos grupos de
símbolos seguros el receptor entra en una situación de inestabilidad, dando lugar a una
ráfaga de errores, la modificación anterior indudablemente contribuye a la extinción de
la misma, pero no la garantiza, pues los símbolos sin información no eliminan
totalmente la dependencia respecto a valores anteriores. Así, suponiendo por ejemplo
una estructura con sest = 2 símbolos seguros cada cest = 10 símbolos totales, puede darse
una situación como la siguiente. El receptor se encuentra inmerso en una ráfaga de
errores de demodulación-estimación, y en el intervalo n0 llega el primer símbolo seguro.
Esto elimina el posible error de demodulación en ese intervalo, pero no debemos olvidar
que el valor que entregará el estimador también depende del valor estimado en el
intervalo n0-1, que está afectado de un error muy grande. Esto puede provocar que el
valor estimado en el intervalo n0 tenga un error considerable. Este valor se tiene en
cuenta a su vez para la estimación realizada en el intervalo n0+1, que se utilizará en el
n0+2, y así el error puede propagarse, atravesando el grupo de símbolos seguros, y llegar
al intervalo n0+2, que corresponde a un símbolo de información. La demodulación de
este símbolo será probablemente errónea, y a partir de aquí la ráfaga de errores puede
continuar, a pesar de la presencia de los símbolos seguros. Por supuesto, será más difícil
que la ráfaga perdure cuanto mayor sea la duración del bloque de símbolos seguros, sest,
y cuanto menor sea el parámetro α del filtro. Sin embargo, introducir más símbolos
aumenta el ancho de banda necesario, y una disminución de α reduce el rechazo del
filtro al ruido de estimación.
A la vista de lo anterior, debemos realizar una segunda modificación en el
algoritmo de estimación: al llegar al intervalo n0 correspondiente al primer símbolo
seguro eliminamos la memoria respecto a símbolos anteriores, es decir, la memoria del
filtro. Esta reducción de la memoria del filtro disminuye la capacidad del mismo para
eliminar ruido de estimación, pues aumenta su ancho de banda, pero es necesaria para
evitar ráfagas de errores, que son causadas precisamente por la presencia de memoria en
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
217
la estimación. Cuando se reciba el primer símbolo de un bloque de símbolos seguros el
estimador olvidará el valor anterior, de manera que en este intervalo el valor entregado
por el estimador ya no será el dado por (6-36) sino directamente
~
h$1n,m = h1n,m ,
(6-40)
es decir, refiriéndonos a la figura 6.26, eludimos el filtro durante este intervalo. Con
esto, a partir de ese intervalo n0 comenzamos a estimar “de cero”, es decir, sin importar
lo que haya ocurrido antes, y además comenzamos con un bloque de sest símbolos libres
de errores de demodulación. A partir de ahí dejamos que actúe la memoria del filtro,
para seguir las variaciones del canal eliminando el mayor ruido posible. Si, debido a esta
memoria, el receptor cae en una ráfaga de errores, al llegar al siguiente bloque de
símbolos seguros se dará fin a esta ráfaga.
Es importante darse cuenta de que la introducción de símbolos seguros garantiza
que no va a haber errores de demodulación, pero no elimina las demás causas de
degradación, particularmente el ruido de estimación. Así, la presencia de símbolos
seguros no permite garantizar la ausencia de errores; la “seguridad” es sólo respecto a
demodulación incorrecta. Ahora bien, el ruido de estimación (antes de filtrar) da lugar a
errores independientes, que no participan en el proceso de encadenamiento de errores de
estimación-demodulación descrito, por lo que podemos decir, en definitiva, que con este
algoritmo las ráfagas quedan descompuestas en bloques independientes de duración
máxima de cest símbolos.
Una vez descrito el nuevo algoritmo, pasamos a las simulaciones. Mantendremos
los valores habituales para KI, ρ, αv, βv, M, α, Tm, y las formas del perfil de potencia y
los espectros Doppler de los coeficientes de canal. Utilizaremos sest = 2 y cest variable.
Empezamos con sest = 2, cest = 10. Vamos a observar el error en los M = 4 coeficientes
estimados, para poder detectar fácilmente la presencia de ráfagas. En la figura 6.36
vemos un serie de 3000 símbolos correspondientes a 2500 símbolos de información con
500 símbolos seguros intercalados según la estructura elegida. Las figuras 6.37 y 6.38
corresponden a simulaciones con cest = 30 y 100 respectivamente, también con 2500
símbolos útiles.
LUIS MENDO TOMÁS
218
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.05
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
2500
3000
(a) Error en la estimación del primer coeficiente
0.04
0.02
0
0
500
1000
1500
2000
(b) Error en la estimación del segundo coeficiente
0.04
0.02
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
1000
1500
2000
2500
(d) Error en la estimación del cuarto coeficiente
3000
(c) Error en la estimación del tercer coeficiente
0.04
0.02
0
0
500
FIGURA 6.36. Error en las estimaciones con sest = 2, cest = 10.
LUIS MENDO TOMÁS
219
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.05
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
2500
3000
(a) Error en la estimación del primer coeficiente
0.05
0
0
500
1000
1500
2000
(b) Error en la estimación del segundo coeficiente
0.05
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
2500
3000
(c) Error en la estimación del tercer coeficiente
0.04
0.02
0
0
500
1000
1500
2000
(d) Error en la estimación del cuarto coeficiente
FIGURA 6. 37. Error en las estimaciones con sest = 2, cest = 30.
LUIS MENDO TOMÁS
220
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
0.1
0.05
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
2500
3000
(a) Error en la estimación del primer coeficiente
0.1
0.05
0
0
500
1000
1500
2000
(b) Error en la estimación del segundo coeficiente
0.04
0.02
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
1000
1500
2000
2500
(d) Error en la estimación del cuarto coeficiente
3000
(c) Error en la estimación del tercer coeficiente
0.05
0
0
500
FIGURA 6.38. Error en las estimaciones con sest = 2, cest = 100.
En las figuras 6.36 a 6.38 se advierte la presencia de ráfagas de errores
claramente mayores que los demás en los 4 coeficientes a la vez. Se observa también
que la duración de estas ráfagas es menor cuanto más pequeño sea el valor de cest.
La tabla 6.2. muestra las probabilidades de error con los parámetros anteriores
para diferentes valores de cest. Cada una se ha obtenido simulando 4 series de 2500
intervalos útiles, excepto la correspondiente a estimación ideal, que es un valor teórico,
obtenido mediante la expresión teórica modificada (6-8)-(6-10).
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
221
TABLA 6.2. Probabilidad de error para diferentes algoritmos de
estimación de canal
Algoritmo de estimación
Probabilidad de error
(Estimación ideal)
sest = 2, cest = 10
sest = 2, cest = 30
sest = 2, cest = 50
sest = 2, cest = 100
Sin símbolos seguros
0.039
0.079
0.079
0.101
0.094
0.340
Queremos destacar el compromiso existente entre filtrado del ruido de
estimación y posibilidad de aparición de ráfagas de errores. Este compromiso tiene su
origen en el hecho de que ambos fenómenos son dos manifestaciones de la misma
cualidad del estimador: la memoria del mismo. Así, para reducir la incidencia de las
ráfagas hemos tenido que limitar la memoria del filtro, con lo que eliminamos menos
ruido. Sin embargo, en vez de simplemente reducir el valor de α, hemos empleado un
método más provechoso, que consigue acotar la duración de las ráfagas sin reducir
demasiado la capacidad del filtro para rechazar ruido de estimación, si bien la velocidad
de transmisión necesaria se ve incrementada.
Para un mismo valor de α, el estimador normal y el estimador con símbolos
seguros y reinicialización de memoria no tendrán el mismo comportamiento en cuanto a
eliminación de ruido ni, sobre todo, en cuanto a ráfagas de errores. Así, el valor de α
óptimo para unas ciertas características del sistema (KI, ρ, M, Tm, forma del perfil de
potencia y de los espectros Doppler de los coeficientes) podrá ser distinto en los dos
casos. Sin embargo, vamos a ver a continuación que los cambios realizados no influyen
mucho en este sentido, de modo que el valor de α que minimiza el error de la
estimación prácticamente se mantiene (dentro del margen de error asociado a la
simulación). Realizamos el mismo tipo de simulaciones que en 6.3.4, con las mismas
condiciones que allí excepto que utilizamos el nuevo algoritmo de estimación con sest =
2 símbolos seguros cada cest = 10 símbolos y reinicialización de memoria. Los
resultados se representan en la figura 6.39.
LUIS MENDO TOMÁS
222
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
200
180
160
140
120
error (%)
100
80
60
40
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
α
Primer coeficiente
Segundo coeficiente
Tercer coeficiente
Cuarto coeficiente
FIGURA 6.39. Error con el algoritmo de estimación modificado
Comparando ésta con la figura 6.32 observamos que:
- el error en las estimaciones ha aumentado sensiblemente. Ello se debe sin duda a
la modificación realizada en el estimador, que reduce la memoria del mismo, al
reinicializar cada cest símbolos
- aunque el error mínimo es mayor que antes, se produce aproximadamente en el
mismo lugar: para α en torno a 0.8.
6.3.6. Observaciones finales
Hemos analizado un algoritmo de estimación basado en el llamado rastreador
alfa, modificándolo para controlar las de ráfagas de errores de estimacióndemodulación.
En todas las simulaciones hemos supuesto una fd = 100 Hz, y hemos ajustado
convenientemente el valor del polo α para minimizar el error de la estimación. En la
práctica el valor de fd será dependiente de las características del canal, de modo que
puede ser más conveniente un algoritmo adaptativo que estime este valor, a partir de la
rapidez de variación de los coeficientes, y ajuste consecuentemente el parámetro α..
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
223
6.4. COTROL DE POTECIA E BUCLE CERRADO
En el capítulo 2 explicamos la necesidad del control de potencia en los sistemas
CDMA, y vimos que es especialmente crítico en el enlace ascendente, en el cual el
control se suele estructurar en dos mecanismos diferenciados: control de potencia medio
o en bucle abierto y control de potencia instantáneo o en bucle cerrado. A lo largo de
todas las simulaciones realizadas hasta ahora hemos supuesto que existe un control de
potencia en bucle abierto, de forma que la potencia recibida promediada en un intervalo
suficientemente grande es constante con el tiempo. Como vimos en el capítulo 2, en un
sistema real esto puede conseguirse fácilmente a partir de medidas por parte de las
estaciones móviles del canal piloto transmitido por la estación base. El control en bucle
cerrado es más complicado, ya que requiere, como su nombre señala, un mecanismo de
realimentación entre la estación base y la estación móvil para hacer frente a las
variaciones más rápidas que el control en bucle abierto no puede contrarrestar.
Vamos a incorporar ahora un mecanismo de control de potencia en bucle cerrado
a nuestro modelo para el enlace ascendente de un sistema CDMA asíncrono, el cual nos
permitirá mejorar las características del sistema en cuanto a probabilidad de error.
6.4.1. Variable de decisión y potencia recibida
Debido a la propagación multitrayecto y a la presencia de señales interferentes,
es difícil definir la potencia de la señal útil recibida. Sin embargo, lo que determina el
comportamiento del receptor es la relación señal/ruido a la entrada del circuito de
decisión, expresada como la relación entre el valor medio (para un cierto símbolo
transmitido) de la variable de decisión (supuesta gaussiana), o término útil, y la
desviación típica de la misma. El primero viene dado, con las aproximaciones
realizadas, por (3-63), y la segunda se obtiene de (3-85).
Estudiemos, no obstante, la potencia recibida. En primer lugar debemos tener en
cuenta que la señal total recibida consta, como sabemos, de una señal procedente del
usuario de referencia y señales interferentes de los demás usuarios del sistema. Estas
últimas pueden considerarse incoherentes con la primera, lo que permite separar la
potencia de la señal deseada y la potencia del conjunto de señales interferentes. Así,
podemos escribir la potencia de la señal útil durante el intervalo n, r1n (t ) , como
P1 (t ) =
1 n 2
| r (t )| ,
2 1
(6-41)
LUIS MENDO TOMÁS
224
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
con r1n (t ) dada por (3-46). Para llegar a una expresión sencilla vamos a simplificar
despreciando la interferencia entre símbolos, representada por el segundo sumando de
(3-46). Además, teniendo en cuenta que el receptor sólo detecta las M primeras réplicas
de la señal, consideraremos únicamente estas réplicas como señal útil, comportándose
las demás como interferencia:
1
P1 (t ) ≈
2
2
M −1
∑h
n
1,m
n n
1 1
D u (t − nTS − mTC )
(6-42)
m= 0
Si promediamos la potencia recibida durante el intervalo tenemos:
1
P =
2TS
( n +1) TS
n
1
2
M −1
∫ ∑h
n
1,m
n n
1 1
D u (t − nTS − mTC ) dt
(6-43)
m= 0
nTS
En virtud de las propiedades de separabilidad de los códigos, se cumplirá
( n +1) TS
∫u
n
1
(6-44)
( n +1) TS
*
(t − nTS − iTC )u1n (t − nTS − jTC ) dt <<
∫u
n
1
*
(t − nTS − kTC )u1n (t − nTS − kTC ) dt
nTS
nTS
para i ≠ j, con lo cual podemos aproximar suponiendo que la separabilidad de las M
réplicas multitrayecto es total. Esto permite simplificar nuevamente:
1
P ≈
2TS
n
1
( n +1) TS
∫
nTS
M −1
1
∑|h D u (t − nTS − mTC )| dt = 2T
m= 0
S
n
1,m
n n
1 1
2
M −1
∑|h
n 2
1,m
m= 0
|
C−m
T
C S
(6-45)
Si aproximamos teniendo en cuenta que m << C en (6-45) obtenemos
P1n ≈
1 M −1 n 2
∑|h | ,
2 m=0 1,m
(6-46)
Ésta es la expresión simplificada que buscábamos para la potencia recibida en el
intervalo n. Recuérdese que en los coeficientes de canal se incluye la amplitud de la
señal transmitida. Comparando (3-63) y (6-46) observamos que, con las aproximaciones
realizadas, y salvo un término constante, el valor absoluto del término útil de la variable
de decisión con estimación perfecta de canal equivale a la potencia recibida, tal y como
la hemos definido. Nótese que (6-45) es comparable a (3-62), en la que no se desprecian
las pérdidas por integración incompleta.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
225
6.4.2. Mecanismo de control de potencia en bucle cerrado
Considerando únicamente la interferencia por acceso múltiple (ya que las demás
clases de interferencia son despreciables frente a ésta), el término interferente de la
variable de decisión es la suma de gran cantidad de términos, uno por cada usuario, de
modo que el nivel global de interferencia se mantiene aproximadamente constante. El
término útil, sin embargo, está sujeto a las variaciones individuales que puede
experimentar el canal del usuario de referencia:
- si el nivel de este término decrece el comportamiento del receptor en cuanto a
probabilidad de error, suponiendo que el nivel de interferencia no varía, se
degradará
- si aumenta el comportamiento del receptor considerado mejorará, pero
aumentará el nivel de interferencia sobre los demás receptores
La solución óptima a nivel global, es decir, teniendo en cuenta a todos los usuarios del
sistema, se obtiene cuando el término útil Akn tiene el mismo nivel para todos. Por tanto
en el receptor se debe intentar mantener el nivel del término útil de la variable de
decisión lo más próximo a un cierto valor prefijado, igual para todos. Para conseguir
esto debe controlarse la potencia transmitida de forma que se contrarresten las
variaciones introducidas por el canal.
Naturalmente, el valor del término útil de la variable de decisión depende del
símbolo transmitido, según indica (3-63). Lo que debe tratar de mantenerse constante es
su valor absoluto, que es independiente del símbolo transmitido; esto es lo que
queremos decir al hablar del “nivel” del término útil. Según 6.4.1, mantener constante el
valor absoluto de este término útil equivale aproximadamente a mantener constante la
potencia recibida, pero remarcamos que lo que debemos intentar fijar es el valor
absoluto del término útil de la variable de decisión.
En las simulaciones realizadas hasta ahora para el enlace ascendente hemos
supuesto que la media, en sentido estadístico, del módulo de los coeficientes del canal
para el usuario de referencia es constante, es decir, no varía con el tiempo. Esto implica,
en virtud de la ergodicidad de los procesos considerados, que su media temporal a lo
largo de un intervalo suficientemente largo es constante, y por tanto, según (3-63), el
valor absoluto del término útil de la variable de decisión, | A1n |.
Ahora pretendemos introducir un control de potencia en bucle cerrado. El
receptor debe estimar el valor absoluto de A1n y tratar de compensar sus variaciones. Por
supuesto, el receptor no puede distinguir en la variable de decisión el término útil de las
interferencias, de modo que la propia variable de decisión constituye la única estimación
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
226
que tenemos para A1n . Si multiplicamos esta variable de decisión U 1n por el símbolo
transmitido demodulado D$ n , lo que equivale, teniendo en cuenta la regla de decisión, a
1
tomar el valor absoluto de U 1n , tendremos una estimación de | A1n | . Sin embargo, en el
intervalo actual n no conocemos el símbolo demodulado, por lo que, al igual que
sucedía en el subsistema de estimación de canal, debemos trabajar con los valores
correspondientes al intervalo anterior n-1 (a su vez, para calcular U 1n−1 el receptor utiliza
los coeficientes estimados h$ n−1, que se obtienen a partir de medidas efectuadas en el
1,m
intervalo n-2). En el caso de símbolos seguros para la estimación de canal, en vez de
multiplicar por el símbolo demodulado utilizaremos el valor previamente convenido D0:
 D$ 1n−1U 1n−1 =|U 1n−1 | si el símbolo n − 1 es de información
n
$
| A1 | = 
n −1
si el símbolo n − 1 es "seguro"
 D0U 1
(6-47)
Nótese que el valor estimado siempre es positivo en los símbolos de información,
mientras que en los símbolos seguros puede ser negativo.
En esta estimación puede haber, según lo explicado, errores por diferentes
causas:
1) La variable de decisión contiene interferencias además del término útil
2) En el cálculo de la variable de decisión el receptor utiliza los valores estimados
de los coeficientes de canal, que tendrán un error respecto a los valores reales
3) En el caso de símbolos de información, el símbolo demodulado puede no
coincidir con el símbolo transmitido
4) Realmente utilizamos un valor aproximado, con las limitaciones anteriores, de
| A1n−1 | como estimación para | A1n |
Para tratar de reducir el error de la estimación podemos realizar un promediado
(filtrado paso bajo) de los valores | A$ n | obtenidos en intervalos sucesivos, de forma
1
parecida al filtrado del subsistema de estimación de canal. El procedimiento más simple
es ir acumulando (sumando) los valores obtenidos y cada cierto número de intervalos,
cP, obtener el valor medio (los errores son independientes de un intervalo a otro, por lo
que promediando disminuimos el error). El valor así obtenido se compara con un valor
de referencia y se envía la orden correspondiente al móvil a través del canal
descendente. Esta orden puede ser tan simple como un bit que indique al móvil si debe
aumentar o disminuir la potencia de transmisión, en un paso prefijado de ∆P dB. El
móvil recibirá y demodulará este bit tras un cierto retardo equivalente a rP periodos de
símbolo y actuará en consecuencia.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
227
6.4.3. Funcionamiento del control de potencia en bucle cerrado
En nuestro programa de simulación con control de potencia en bucle cerrado
vamos a seguir el algoritmo descrito, suponiendo una cierta probabilidad pP de que el
móvil demodule incorrectamente el bit de control de potencia. Tomaremos un valor
pP = 0.01, ya que normalmente el bit de control de potencia se transmite sin codificación
de canal para disminuir el tiempo de respuesta. Suponemos el retardo de propagación y
demodulación equivalente a rP = 1 periodo de símbolo y tomamos el paso de variación
de la potencia ∆P = 1 dB. A través del parámetro cP vamos a ir cambiando la frecuencia
con que se estima (promediando los valores acumulados) el nivel del término útil de la
variable de decisión y se envía la orden al móvil, para ver cómo esto influye en la tasa
de error. Vamos a trabajar con errores de canal, es decir, no consideramos el efecto de
introducir codificación de canal. Suponemos estimaciones de canal no ideales, según el
algoritmo de estimación propuesto en 6.3.5 con α = 0.8, sest = 2, cest = 10 y
reinicialización de memoria. En la simulación es fundamental considerar, junto con el
control de potencia en bucle cerrado, la estimación de canal, pues la medida de | A1n | será
más o menos acertada en función del grado de fidelidad que tengan nuestras
estimaciones; además, la obtención de la misma es diferente para los símbolos de
información y para los símbolos seguros. Los demás parámetros del sistema se toman:
TS = 1/9600 s, perfil de potencia con Tm = 3 µs, C = 127 chips/símbolo, M = 4, K = 90
usuarios por célula, ρ = 1.7, αv = 40%, βv = 0, espectro Doppler de los coeficientes de
canal según el modelo que venimos utilizando, especificado en el punto 6.3.2.
Realizamos varias simulaciones, cada una con 10 series de 2500 símbolos
transmitidos. En cada simulación elegimos un valor diferente para el parámetro cP. Las
probabilidades de error de bit obtenidas se muestran en la tabla 6.3.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
228
TABLA 6.3. Probabilidad de error con control de potencia en bucle
cerrado
cP
Pb
10
20
50
100
250
500
Sin c.d.p.b.c. (1)
Sin c.d.p.b.c. y con e.d.c. ideal, teórico (2)
0.046
0.054
0.059
0.059
0.060
0.065
0.074
0.039
(1)
Sin control de potencia en bucle cerrado
Valor teórico sin control de potencia en bucle cerrado y con
estimación de canal ideal
(2)
Aquí se manifiestan dos aspectos importantes. En primer lugar, la tasa de error
aumenta según utilizamos cP mayores. Esto se debe a que el algoritmo no puede seguir
las variaciones rápidas del canal, a pesar de que las medidas de potencia son más fiables
para cP mayor, al promediar más muestras. En segundo lugar, observamos la mejora
producida por el control de potencia en bucle cerrado: con cP = 10 obtenemos una
probabilidad parecida a la que se tiene sin control de potencia en bucle cerrado y
suponiendo estimación ideal de los coeficientes de canal.
La figura 6.40 permite entender mejor el funcionamiento del mecanismo de
control de potencia que hemos desarrollado. En la parte superior se representa la
estimación de | A1n | realizada por el receptor de la estación base, en dos casos: sin control
de potencia en bucle cerrado, parte izquierda, y con control, parte derecha.
Representamos el valor absoluto de la estimación para poder utilizar una escala
logarítmica; recordemos que la estimación puede llegar a ser negativa, si bien la mayoría
de las veces será positiva. La parte central muestra los valores promediados, con
cP = 10. Estos valores promediados normalmente serán todos positivos, como ha
ocurrido en esta realización. La parte inferior representa el valor real de | A1n | , dado por
(3-63), que es siempre positivo. En las seis gráficas se señala con línea de puntos el
nivel de referencia esperado por el receptor, esto es, el nivel con el que compara para
llevar a cabo el control de potencia. Contrastando las gráficas de la izquierda con las de
la derecha comprobamos que el control de potencia tiende a mantener el nivel de señal
próximo al de referencia.
LUIS MENDO TOMÁS
229
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
-2
-2
10
10
-4
-4
10
10
-6
-6
10
10
0
1000
2000
3000
(a) Estimación de | A1n |, sin control
0
1000
2000
3000
(b) Estimación de | A1n |, con control
(valor absoluto)
(valor absoluto)
-2
-2
10
10
-4
-4
10
10
-6
-6
10
10
0
1000
2000
3000
(c) Estimación de | A1n | promediada,
0
1000
2000
3000
(d) Estimación de | A1n | promediada,
sin control
con control
-2
-2
10
10
-4
-4
10
10
-6
-6
10
10
0
1000
2000
3000
(e) Valor real de | A1n |, sin control
0
1000
2000
3000
(f) Valor real de | A1n |, con control
FIGURA 6.40. Valor estimado (en valor absoluto), valor estimado
promediado y valor real de | A1n |, con y sin control de potencia en bucle
cerrado.
La comparación entre las partes superior e inferior de la figura nos permite
comprender las limitaciones del sistema de control de potencia. En las gráficas
superiores, que indican las medidas que realiza el receptor de la base para un usuario
dado, vemos que hay un margen de error considerable, debido sobre todo a la presencia
de interferencias de los otros usuarios del sistema (de la nuestra y de otras células). Si
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
230
tuviéramos medidas muy fiables en cada periodo podríamos enviar una orden al móvil
en cada intervalo, lo cual permitiría seguir muy de cerca las variaciones del canal, con
un retraso de sólo (rP + 1)TS. Aparte de que esto exigiría un canal dedicado al control de
cada móvil con la misma capacidad que el de tráfico, en la práctica no puede hacerse
porque no es posible obtener medidas tan precisas. Debemos promediar las medidas
obtenidas en un número de intervalos cP no muy pequeño, para disminuir el error, y por
tanto no podemos seguir muy estrechamente las variaciones del canal. De esta manera la
velocidad de transmisión requerida para enviar la información de control de potencia al
móvil es considerablemente más baja, y el tiempo de respuesta medio es
(rP + cP/2 + 1)TS.
En resumen, el algoritmo propuesto lleva a cabo un control de potencia que,
aunque no es realmente instantáneo y tiene un cierto error, es capaz, no obstante, de
mejorar sensiblemente el comportamiento del sistema en cuanto a probabilidad de error.
Las contrapartidas son un aumento de complejidad del sistema y la necesidad de
habilitar un canal de baja capacidad para el control de potencia de cada móvil.
6.4.4. Influencia del control de potencia en el subsistema de estimación de
canal
Como ha quedado claro del estudio realizado, el control de potencia no puede
analizarse por separado del bloque de estimación de canal, pues nos basamos en éste
para obtener el término útil a partir de la señal recibida. Cuanto mejores sean las
estimaciones del canal más preciso será el control de potencia que podremos llevar a
cabo.
Por otro lado, el control de potencia también influye en el subsistema de
estimación de canal. El receptor no va poder distinguir los efectos de las variaciones del
canal físico de los del control de potencia; va a estimar unos coeficientes que describen
el canal tal y como lo ve el receptor, sin importarle si las variaciones que se le presentan
se deben a cambios en el canal físico o en el nivel de potencia transmitido. En otras
palabras, los coeficientes sobre los que se realiza la estimación incluyen el efecto del
control de potencia en bucle cerrado. Consecuentemente, este control puede influir en el
grado de variación temporal de los coeficientes, y por tanto en el valor óptimo de α del
estimador. Para verlo realizamos el mismo tipo de simulaciones que en las figuras 6.32
y 6.39, utilizando un algoritmo de estimación estimación con sest = 2, cest = 10 símbolos
y vaciado de memoria, e incluyendo control de potencia en bucle cerrado con cP = 10,
∆P = 1 dB, rP = 1 y pP = 0.01, obteniendo los valores de la figura 6.41.
LUIS MENDO TOMÁS
231
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
160
140
120
100
80
error (%)
60
40
20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
α
Primer coeficiente
Segundo coeficiente
Tercer coeficiente
Cuarto coeficiente
FIGURA 6.41. Error de estimación con control de potencia
En comparación con la figura 6.39, notamos que el error relativo en las
estimaciones ha disminuido. Podemos explicar este hecho de la siguiente manera: el
control de potencia tiende a incrementar el valor de los coeficientes cuando éstos son
más pequeños (cuando es más pequeño el término útil de la variable de decisión), que es
cuando se producen los errores relativos más grandes, por lo que el error medio
disminuye. Aparte de esta disminución del error, vemos que la situación del mínimo es
aproximadamente la misma.
Observando las figuras 6.32, 6.39 y 6.41 podemos decir que ni las
modificaciones hechas en el estimador respecto al algoritmo guiado únicamente por
decisión ni la introducción del mecanismo de control de potencia en bucle cerrado
cambian sustancialmente el valor óptimo para el polo del filtro de estimación. Este valor
es función del nivel de interferencia presente en el receptor y de la rapidez de variación
de la respuesta del canal, dada por el espectro Doppler de sus coeficientes.
LUIS MENDO TOMÁS
232
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
6.4.5. Curva de probabilidad de error con control de potencia
Con los valores habituales de Tm = 3 µs, M = 4, ρ = 1.7, factor de actividad vocal
medio αv = 40%, con supresión de señal en los periodos de inactividad, es decir, βv = 0,
y espectro Doppler de los coeficientes de canal según el modelo habitual podemos
encontrar la curva de probabilidad de error en función del número de usuarios
incluyendo los mecanismos de estimación de canal y control de potencia descritos. Los
resultados para la tasa de error sin codificación se muestran en la figura 6.42. Cada
punto se ha obtenido mediante 10 series de simulaciones de 2500 intervalos cada una,
excepto el correspondiente a KI = 15, para el que se han realizado 25 de estas series.
-1
10
-2
10
Pb
-3
10
-4
10
0
30
60
KI
90
120
FIGURA 6.42. Probabilidad de error (sin codificación) con control
de potencia en bucle cerrado con ∆P = 1 dB, cP = 10, pP = 0.01,
rP = 1 y estimación de canal con sest = 2, cest = 10, α = 0.8.
6.4.6. Observaciones finales
A lo largo de todo este apartado hemos propuesto y analizado un algoritmo de
control de potencia en bucle cerrado para el enlace ascendente de un sistema CDMA. En
el análisis ha sido necesario tener en cuenta también el proceso de estimación de canal,
debido a la estrecha relación existente entre estos dos subsistemas.
El control de potencia en bucle abierto, o control de potencia medio, se ha tenido
en cuenta simplemente suponiendo constante el valor medio (esperado) de los
coeficientes de canal que se tendrían sin control en bucle cerrado. En realidad, sin
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
233
embargo, los dos mecanismos de control de potencia están relacionados; el control en
bucle abierto debe funcionar continuamente para asegurar un nivel medio constante
independientemente de las acciones del control en bucle cerrado, para evitar la
posibilidad de que éste último, con sus correcciones acumuladas, produzca una
elevación del nivel medio por encima de lo deseado. Esta posibilidad se hace más
patente si tenemos en cuenta que las correcciones efectuadas son logarítmicas, con lo
cual aunque el número de correcciones hacia arriba sea igual al de correcciones hacia
abajo se tendrá una elevación del valor medio. El estudio que hemos realizado podría
refinarse simulando la actuación del control en bucle abierto para contrarrestar este
efecto.
6.5. SUBSISTEMA DE SICROISMO
6.5.1. Sincronismo en sistemas de espectro ensanchado
En los sistemas de espectro ensanchado el receptor debe emplear una réplica
sincronizada de la secuencia código utilizada en el transmisor para poder desensanchar
la señal recibida. El proceso de sincronización de la secuencia generada localmente con
la señal ensanchada recibida suele realizarse en dos pasos o etapas:
- la primera, llamada de adquisición (acquisition), es una etapa de sincronismo
grueso, en la que se consigue un alineamiento con un error del orden de TC.
- la segunda, denominada de seguimiento (tracking), es una etapa de sincronismo
fino, que, por medio de un bucle de realimentación, trata de mantener las
secuencias lo más alineadas posible. Para funcionar correctamente, esta etapa
requiere la garantía de que el error de alineación está comprendido en un margen
reducido, normalmente ±TC/2. De ahí la necesidad de la etapa de adquisición.
Al principio sólo actúa la etapa de adquisición; cuando ésta ya ha logrado establecer el
sincronismo grueso entra en funcionamiento la etapa de alineamiento, pero el
subsistema de adquisición debe seguir funcionando, mientras actúa el subsistema de
seguimiento, con objeto de asegurar que el error existente a la entrada de este último se
encuentra en el margen requerido.
Esta descripción general se aplica igualmente a cualquiera de las modalidades de
espectro ensanchado. A partir de este momento nos centraremos en los mecanismos de
sincronización para sistemas de secuencia directa (DS-SS), pues éstos son los más
utilizados para aplicaciones de CDMA.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
234
Nosotros estudiaremos únicamente la etapa de adquisición, por la mayor
simplicidad del análisis.
6.5.2. Etapa de adquisición
La etapa de adquisición del sincronismo trata de mantener el error de
alineamiento en el intervalo ±TC/2. Esto facilita la labor de la etapa de seguimiento, que
se encarga de reducir este error al mínimo posible.
La forma de conseguir este sincronismo grueso se basa en las propiedades de
autocorrelación periódica de las secuencias utilizadas, si éstas son de periodo corto, o de
autocorrelación aperiódica si son de periodo largo, suponiendo que durante la etapa de
adquisición se transmite una serie de símbolos iguales previamente convenidos. Si
correlamos la secuencia código recibida con la misma secuencia generada localmente el
resultado será máximo cuando el alineamiento sea perfecto, y será muy pequeño en caso
contrario. Así, sabremos que las secuencias están alineadas cuando obtengamos un valor
máximo de su correlación, o bien cuando ésta supere un umbral previamente fijado. Es
importante destacar que el desalineamiento o desplazamiento entre las secuencias no
tiene por qué ser múltiplo del periodo de chip, TC.
Un parámetro fundamental es el número de chips que utilizamos en las
correlaciones. Si las secuencias son de periodo corto podemos utilizar los ' = C chips
de la secuencia completa, pero si son de periodo largo puede no ser posible o
conveniente prolongar la correlación durante los ' chips de la secuencia. Para evaluar el
subsistema de adquisición utilizaremos secuencias de periodo corto, y realizaremos
correlaciones de C chips. Supondremos que durante la etapa de adquisición se transmite
una serie de símbolos iguales de valor conocido. Por todo ello, en este caso, la
autocorrelación que entra en juego en el algoritmo de adquisición es la periódica. En
general, con cualquier tipo de secuencias, cuanto menor número de chips que utilicemos
más reduciremos el tiempo de adquisición pero a cambio ésta será menos fiable, pues
las propiedades de autocorrelación se degradan al tomar un segmento más pequeño de la
secuencia (compromiso tiempo de adquisición - fiabilidad de la misma).
Debemos, por tanto, realizar correlaciones de la señal de código recibida con
diferentes desplazamientos de la señal de código generada localmente. Hay dos
variantes a la hora de realizar estas operaciones de correlación. Podemos realizarlas
todas a la vez, con varios correladores funcionando en paralelo, o bien una tras otra, en
serie, utilizando un sólo correlador. La primera opción permite reducir el tiempo de
adquisición, mientras que la segunda requiere menor complejidad del subsistema de
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
235
sincronismo (compromiso tiempo de adquisición - complejidad del subsistema). El
algoritmo de sincronización es básicamente el mismo en ambos casos, sólo cambia la
forma de realizar la búsqueda.
Por último, hay que destacar la influencia del parámetro que controla la
resolución con que se realiza la búsqueda. La etapa de seguimiento requiere, para
funcionar correctamente, tener un error de partida, proporcionado por la etapa de
adquisición, inferior a ±TC/2. Para conseguir esto puede parecer suficiente con realizar
la adquisición en pasos de TC; sin embargo, hay que tener en cuenta la degradación
producida por un paso demasiado grande: con un paso de TC la referencia óptima puede
tener un desalineamiento de hasta TC/2 con la réplica a sincronizar, lo que provoca una
reducción a la mitad, aproximadamente, del valor de la correlación obtenida, según se
deduce de las propiedades de la correlación de secuencias código con pulsos de chip
rectangulares. Conviene por tanto utilizar pasos más pequeños, como TC/2 o TC/4, para
reducir estas pérdidas por desalineamiento, aunque esto incrementa la complejidad del
subsistema y/o el tiempo de adquisición, pues se necesita realizar un mayor número de
correlaciones (compromiso fiabilidad de la adquisición - tiempo de adquisición o
complejidad del sistema).
6.5.3. Adquisición en canales variantes, multitrayecto y con CDMA
Según hemos explicado, debemos correlar la señal de código recibida con las
referencias generadas localmente, pero en el receptor no disponemos de la secuencia
código recibida sino de una señal que consiste en la secuencia código modulada y
transmitida, y distorsionada según la respuesta del canal. Puesto que durante la fase de
sincronismo se transmite una serie de símbolos iguales, si además la respuesta del canal
fuera simplemente una atenuación y desfase conocidos podríamos obtener fácilmente la
señal código a partir de la señal recibida, pues sería proporcional a ésta según un
coeficiente complejo conocido.
Como esto no es así en realidad, hay que realizar modificaciones en el método.
Para obtener la secuencia código recibida a partir de la señal recibida en un canal
variante se necesitaría una estimación de la respuesta impulsiva que caracteriza al canal
en cada momento. Pero para realizar esta estimación es necesario tener ya establecido el
sincronismo, por lo que no podemos llevarla a cabo. En el caso de que no tengamos
multitrayecto, es decir, de que sólo se reciba una réplica de la señal transmitida, el
problema se soluciona fácilmente realizando una correlación no coherente de la señal
recibida con la generada localmente: se utilizan dos canales en cuadratura y se halla la
suma cuadrática de las correlaciones correspondientes a cada uno; hacen falta por tanto
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
236
dos integradores para cada correlador no coherente. En el programa de simulación
trabajamos con señales paso bajo equivalentes complejas, con lo que, el tratamiento se
simplifica unificando los canales en fase y en cuadratura en un sólo canal complejo.
Veamos por qué la correlación no coherente proporciona la solución. Si suponemos la
respuesta del canal invariante durante el tiempo en que se realiza la correlación, como
va a ocurrir en la práctica, la autocorrelación de la señal recibida con cada referencia va
a ser la misma que la de la señal código con dicha referencia excepto un coeficiente
complejo igual para cada una de las referencias, que tiene en cuenta la atenuación y
desfase introducidos por el canal en ese momento y la potencia utilizada por el
transmisor. Realizando las correlaciones de forma no coherente eliminamos el efecto de
este coeficiente.
En el caso de canal multitrayecto es necesario modificar el algoritmo. En este
caso se reciben varias componentes retardadas de la señal transmitida. Debido a las
propiedades de los códigos utilizados, éstas réplicas son separables. Esto quiere decir
que si en un correlador una de las réplicas está alineada se obtendrá un valor grande a la
salida del mismo, y las demás réplicas apenas modificarán el mismo, pues producirán
valores de correlación bajos. En general nos interesará sincronizar con la primera
réplica, ya que, como el perfil potencia-retardo del canal es habitualmente decreciente,
de este modo el receptor de M ramas utilizará las M primeras componentes, que serán
las de mayor nivel; además, cuanto mayor sea el nivel medio de la componente
sincronizada más fácil será mantener el sincronismo. Cada componente vendrá afectada
por un coeficiente de canal que no podemos estimar. Si esos coeficientes fueran todos
iguales habría un grupo de correladores que darían resultados claramente superiores en
módulo a los demás: aquéllos cuyo alineamiento temporal coincidiera con el de alguna
de las componentes recibidas. Para sincronizar respecto a la primera réplica recibida
bastaría elegir el primero de esos correladores, entendiendo el primero como aquél con
la referencia menos retardada. Ahora bien, como los coeficientes en realidad tomarán
valores muy dispares, puede ocurrir que las correlaciones obtenidas para algunas de las
réplicas sean muy pequeñas y no destaquen como válidas entre el conjunto de salidas de
todos los correladores. El problema se acentúa si elegimos por máximo: el máximo
corresponderá seguramente con una componente válida pero no tiene por qué coincidir
con la primera, pues en un momento dado puede haber una de más nivel. Sin embargo,
la primera sí que será la de mayor amplitud en promedio. Por tanto podemos resolver el
problema promediando a lo largo de un número suficiente de periodos de símbolo. Esto
incrementa el tiempo de adquisición pero aumenta la probabilidad de que sincronicemos
correctamente.
Por último, hay que tener en cuenta que además del multitrayecto, que provoca
interferencias de las réplicas de la propia señal de un usuario dado, estarán presentes en
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
237
el receptor señales procedentes de los demás usuarios del sistema. Idealmente estas
señales darían resultados nulos a la salida de los correladores, pero realmente esto no es
así, pues la correlación aperiódica cruzada entre secuencias es relativamente baja pero
no nula. Es la correlación aperiódica la que hay que tener en cuenta aquí, porque el
símbolo transmitido será en general distinto de un periodo a otro, en función de la
información que se esté transmitiendo. Éste es el efecto más perjudicial para el
sincronismo, pues:
- como sabemos, la interferencia por acceso múltiple es mucho más importante
que la interferencia multitrayecto, pues hay muchas más señales, con sus
correspondientes réplicas, procedentes de los demás usuarios que réplicas de la
propia señal del usuario de referencia. Los valores residuales a la salida de los
correladores ya no serán pequeños.
- el peligro no es, como antes, que nos sincronicemos con una componente distinta
de la primera, sino que no logremos sincronizar en absoluto.
El efecto de la interferencia por acceso múltiple también se aminora mediante el
promediado. Cuanto mayor sea el número de usuarios mayor será el nivel de
interferencia a la salida de los integradores y más veces tendremos que promediar para
tener resultados correctos.
En definitiva, debemos realizar correlaciones no coherentes para distintas
referencias, promediando un cierto número de veces, 'adq, para mejorar las prestaciones,
y decidir por máximo. Este algoritmo es semejante a los descritos en los libros de
Viterbi (aunque éste utiliza detección por umbral en vez de por máximo) y Sklar
(aunque éste no tiene en cuenta la amplitud y fase aleatorias con que puede recibirse la
señal, o con que puede recibirse cada componente multitrayecto de la misma). En la
práctica la decisión también podría ser por umbral, en vez de por máximo,
especialmente si para materializar el algoritmo se recurriese a una búsqueda en serie.
6.5.4. Simulaciones
En las simulaciones hemos fijado la resolución temporal utilizada por el
programa para representar las señales en 1/16 muestras por periodo de chip. El programa
genera en primer lugar la señal recibida con un retardo aleatorio, y trata de estimar éste
según el algoritmo descrito en el punto anterior. El programa permite variar el paso de la
búsqueda, es decir, la precisión con que pretendemos conseguir el sincronismo, lo que
determina el número de referencias a utilizar. Nosotros utilizaremos un paso de TC/4.
También puede variarse el número de chips con que realizamos las correlaciones, C en
LUIS MENDO TOMÁS
238
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
nuestro caso. La señal recibida puede incluir réplicas multitrayecto según un perfil
potencia-retardo a definir, ruido gaussiano e interferencias procedentes de otros usuarios
(con el mismo perfil potencia-retardo). Vamos a utilizar secuencias código de Gold con
un ' = 127 = C, como en el capítulo 5. Para poder realizar las simulaciones en un
tiempo razonable, en todos los casos hemos simulado las contribuciones de los usuarios
a través de un único representante con la potencia adecuada (KIs = 1).
En la gráfica 6.43 se muestran los resultados de una simulación sin usuarios
interferentes, con un paso de búsqueda de TC/4 y un promediado de 'adq = 10 valores
para cada referencia, esto es, para cada posible desplazamiento temporal. Utilizamos un
canal con perfil potencia-retardo exponencial y dispersión Tm = 3 µs. La línea
discontinua indica los resultados para un sólo grupo o serie de valores de las
correlaciones ('adq = 1), mientras que la línea continua representa el promedio de las 10
series. Podemos ver el efecto ventajoso del promediado: en la curva discontinua, debido
a la fluctuación de los coeficientes de canal, la muestra de valor máximo no corresponde
con la primera réplica, mientras que al promediar nos acercamos mucho más, pues la
primera réplica es la que en promedio tiene mayor nivel. Hemos supuesto que los
valores de los coeficientes de canal en cada serie de correlaciones son independientes.
En la práctica esto exigiría esperar un tiempo del orden del tiempo de coherencia del
canal antes de realizar la siguiente correlación correspondiente a una misma referencia,
lo cual aconsejaría búsqueda en serie.
7
x 10-7
6
5
4
Correlaciones
3
error = 0
2
1
0
0
20
40
60
80
100
Desplazamiento temporal en chips
120
Una serie ('adq = 1)
Promedio ('adq = 10)
FIGURA 6.43. Resultados de la etapa de adquisición para KI = 0 y
'adq = 10
140
LUIS MENDO TOMÁS
239
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
Las gráficas 6.44 a 6.47 permiten ver el efecto de un aumento del número de
usuarios: el nivel de interferencia crece y se hace necesario promediar más valores para
lograr el sincronismo. En todos los casos el instante de llegada de la señal se elige de
manera aleatoria, y se muestra el error, en periodos de chip, de la estimación del
receptor.
x 10-6
5
4
3
error = 0.0625
Correlaciones
2
1
0
0
20
40
60
80
100
Desplazamiento temporal en chips
120
140
FIGURA 6.44. Resultados de la etapa de adquisición para KI = 10 y
'adq = 10
x 10-6
4
error = 0.0625
3
Correlaciones
2
1
0
0
20
40
60
80
100
Desplazamiento temporal en chips
120
FIGURA 6.45. Resultados de la etapa de adquisición para KI = 30 y
'adq = 10
140
LUIS MENDO TOMÁS
6
240
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
x 10-6
5
error = 0.9375
4
Correlaciones
3
2
1
0
0
20
40
60
80
100
Desplazamiento temporal en chips
120
140
FIGURA 6.46. Resultados de la etapa de adquisición para KI = 50 y
'adq = 10
5
x 10-6
error = 0
4
Correlaciones
3
2
1
0
20
40
60
80
100
Desplazamiento temporal en chips
120
140
FIGURA 6.47. Resultados de la etapa de adquisición para KI = 50 y
'adq = 50
En general, un error de adquisición positivo y mayor que TC/2 significa que
estamos intentando sincronizar con una réplica distinta de la primera. Ya hemos dicho
que interesa sincronizar con la primera o una de las primeras réplicas, para poder sacar
partido de las componentes de mayor nivel. En cualquier caso, lo importante es que la
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
241
etapa de adquisición mantenga el sincronismo en un intervalo de ±TC/2 en torno a la
componente sincronizada, para que la etapa de seguimiento pueda realizar su trabajo.
Así, un error positivo mayor que TC/2 sería aceptable si se mantuviera en todo momento
dentro en un intervalo de ±TC/2. En cambio, un error negativo menor que -TC/2 sería
inadmisible, ya que no se correspondería con ninguna componente de la señal. La etapa
de adquisición no podría limitar la variación a ±TC/2 y no lograríamos el sincronismo.
En los cuatro casos mostrados en las figuras se consigue un error menor de TC/2,
excepto en el tercero, en el que el receptor se sincronizaría (suponiendo que la etapa de
adquisición mantuviera en todo momento el error dentro del margen de ±TC/2 necesario
y la etapa de seguimiento funcionase correctamente) con la señal a partir de la segunda
componente recibida.
CAPÍTULO 7:
CAPACIDAD DE SISTEMAS CDMA
En los capítulos anteriores hemos estudiado las prestaciones de un sistema
DS-CDMA con secuencias de Gold en términos de la probabilidad de error que puede
conseguirse en función del número de usuarios. Se ha analizado la influencia de las
características del canal, prestando especial atención al fenómeno del multitrayecto, del
que el receptor RAKE hace uso para mejorar la calidad de la demodulación, y a la
variabilidad temporal, que implica la necesidad de hacer una estimación del canal, más
complicada cuanto más rápidas sean las variaciones del canal. También hemos visto la
influencia del control de potencia imperfecto del sistema, y cómo el empleo de
codificación de canal o la utilización de codificadores de voz que exploten la actividad
vocal no continua de los usuarios pueden mejorar las prestaciones del sistema.
En este capítulo vamos a seguir un enfoque distinto: estudiaremos la capacidad
proporcionada por el sistema para una cierta calidad objetivo
7.1. ITRODUCCIÓ
En primer lugar, es importante recordar que en sistemas celulares el análisis de
capacidad se hace por célula, o sector si éstas están sectorizadas, es decir, por unidad de
concentración. Recordamos también que los sistemas de telefonía móvil suelen
diseñarse como sistemas de llamadas perdidas.
La capacidad puede entenderse bajo dos puntos de vista:
- capacidad del sistema: número máximo de usuarios por célula K a los que el
sistema puede atender simultáneamente. En el caso de sistemas CDMA celulares
pseudoaleatorios debemos precisar esta definición añadiendo la condición de
que el número de usuarios sea igual para todas las células del sistema, pues,
como veremos, el número máximo de usuarios que pueden ser atendidos en una
célula depende de la carga que tengan las demás.
- capacidad de servicio: si tenemos una capacidad del sistema igual a K usuarios
por célula, es decir, podemos atender a hasta K usuarios simultáneamente en una
misma célula, es posible dar servicio a un número mayor de usuarios por célula
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
243
E, ya que normalmente sólo una fracción de los mismos estarán siendo atendidos
por el sistema. Sin embargo, esto conlleva la posibilidad de que se produzca
bloqueo, es decir, que cuando un usuario intente acceder al sistema su petición
no pueda ser atendida por haber K usuarios con llamada en curso. Para calcular
la capacidad de servicio debemos obtener la capacidad de tráfico del sistema, A,
que se relaciona con la capacidad de servicio teniendo en cuenta el tráfico medio
por usuario.
7.2. CAPACIDAD DEL SISTEMA
Vamos a analizar en este apartado la capacidad entendida como el número
máximo de usuarios a los que el sistema puede atender simultáneamente.
En sistemas FDMA y TDMA esta capacidad está limitada directamente por el
ancho de banda disponible: a mayor ancho de banda podemos tener más canales. Es una
limitación rígida, en el sentido de que cuando están ocupadas todas las frecuencias o
todos los intervalos de tiempo no se puede acomodar a ningún usuario más. Si
utilizáramos en cada célula todo el ancho de banda disponible las interferencias de las
células serían intolerables, por lo que debe dividirse éste en varios grupos de canales,
cada uno de las cuales se asigna a una célula y no se reutiliza hasta un cierto número de
células más lejos, de modo que la relación señal/interferencia (cocanal) sea
suficientemente alta. Un grupo de células en el que se utiliza todo el ancho de banda
constituye un racimo o cluster. Dentro de cada célula los canales se materializan de
acuerdo a la técnica utilizada, FDMA o TDMA.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
244
A
B
C
D
E
F
G
FIGURA 7.1. Agrupación (cluster) de 7 células.
En CDMA transmitimos durante todo el tiempo las señales ensanchadas en
frecuencia, de modo que cada una ocupa todo el ancho de banda. En DS-CDMA el
ensanchamiento se hace multiplicando por una secuencia de código. En recepción las
señales pueden separarse en virtud de sus propiedades de correlación, derivadas de una
elección adecuada de las secuencias de código. Como vimos en el capítulo 4, hay tres
posibilidades para esta elección: señales ortogonales, cuasi-ortogonales o
pseudoaleatorias.
La primera opción es elegir las secuencias de código de modo que las señales
sean ortogonales. De este modo podrán separarse perfectamente en recepción. Si
dividimos el intervalo de símbolo en C chips, el número máximo de canales ortogonales
que podemos conseguir es C, igual que en TDMA. La limitación de capacidad sigue
siendo rígida, pues es una limitación por dimensiones, esto es, por número de canales.
Es necesario que las transmisiones de todos los usuarios estén sincronizadas, porque si
las señales se desplazan entre sí se pierde la ortogonalidad. Por la misma razón, la
ortogonalidad también se pierde en entornos con multitrayecto. En estos dos casos sigue
habiendo un cierto nivel de separabilidad, pero no total. Para aminorar las interferencias
de otras células debemos asignar los canales, es decir, las secuencias código, según una
estructura de agrupación o cluster, como en TDMA o FDMA. Por tanto, podemos
englobar el método CDMA ortogonal dentro del enfoque clásico, ya que sigue estando
basado en canales perfectamente separables organizados en agrupaciones, aunque ahora
la separación se logre por ortogonalidad de las señales en vez de por división de
frecuencia o de tiempo.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
245
Con señales cuasi-ortogonales hay un cierto grado de interferencia, es decir, la
separabilidad ya no es total, pero actúa frente a señales interferentes sincronizadas o no
y frente al multitrayecto. Respecto a éste último, tenemos una ventaja adicional: no sólo
tenemos protección frente al multitrayecto sino que podemos utilizarlo en nuestro favor,
logrando una forma de diversidad, que mejora la calidad de recepción y en definitiva las
prestaciones del sistema. Sabemos además que la interferencia se mantiene acotada,
según las características de la familia utilizada. Aparte de esto, el número de secuencias
cuasi-ortogonales sigue siendo del orden de C, y debemos recurrir a la estructura celular
clásica formando agrupaciones, por lo que este caso es en esencia igual que el ortogonal.
Las señales pseudoaleatorias tienen la característica de que, una vez
desensanchada la señal de referencia, las demás se comportan como ruido de banda
ancha, que puede reducirse mediante filtrado en el demodulador. En este caso las
señales tampoco tienen por qué estar sincronizadas entre sí. Es una situación similar al
caso cuasi-ortogonal excepto que ahora no tenemos tanto control sobre la interferencia
entre una pareja dada de secuencias como teníamos en aquel caso. Pero ahora el número
de secuencias es muy grande, lo que permite asignar una distinta a cada usuario del
sistema. Ya no es necesario por tanto establecer agrupaciones, pues las secuencias no se
reutilizan. Para un usuario dado, los demás son fuentes de interferencia cuya
superposición puede modelarse como ruido gaussiano. Así, cada usuario contribuye al
nivel de interferencia total, y podemos añadir usuarios mientras la interferencia no pase
de un nivel establecido como límite de calidad. De este modo, la capacidad ya no está
limitada por dimensiones, sino por interferencia. Este nuevo enfoque resultará más o
menos eficiente que el clásico según el tipo de sistema en el que se utilice.
7.2.1. Capacidad en sistemas no celulares
En sistemas no celulares las técnicas clásicas de acceso múltiple proporcionan
una mayor capacidad. Para verlo, supondremos modulación BPSK en los dos casos, a
efectos de hacer una comparación homogénea.
Sea R la tasa binaria de canal de las señales generadas por los usuarios. Podemos
considerar que el ancho de banda necesario para transmitir cada una de estas señales es
aproximadamente B = R. Sea W el ancho de banda total disponible.
En el caso de FDMA, TDMA o CDMA ortogonal el número de canales que
podemos tener, es decir, la capacidad del sistema, es:
K=
W W
=
B R
(7-1)
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
246
En el caso de utilizar una técnica CDMA con señales pseudoaleatorias
(CDMA PN), supondremos, por simplicidad, que se utiliza un demodulador
convencional (no RAKE). Con un receptor de este tipo tenemos protección frente al
multitrayecto, si bien no lo aprovechamos, como en el receptor RAKE, para lograr
diversidad. Podemos dividir funcionalmente el receptor en dos partes: un bloque que
desensancha la señal seguido de un demodulador habitual.
Multiplicador
Señal
recibida
Demodulador BPSK
Señal
desensanchada
Señal
demodulada
PN
FIGURA 7.2. Diagrama funcional del receptor convencional
Después del multiplicador la señal de referencia se ha desensanchado al ancho de banda
en banda base, B = R, mientras que las demás señales permanecen ensanchadas, con un
ancho de banda W = CB, y podemos considerar que estas señales interferentes se
comportan como ruido gaussiano de banda ancha a la entrada del demodulador. A partir
del factor de actividad vocal medio αv y la fracción de potencia transmitida durante los
periodos de inactividad βv definimos el factor de actividad de canal α'v como en (6-7).
Suponiendo un control de potencia ideal, que contrarresta las variaciones del canal de
modo que todas las señales se reciben con el mismo nivel S, la densidad espectral de
potencia de este ruido equivalente será:
I 0 = α ' v ( K − 1)
S
S
= α ' v ( K − 1)
W
CB
(7-2)
Además el receptor introducirá ruido térmico. Sea 0 su densidad espectral de potencia.
La densidad total de ruido e interferencia será:
(7-3)
'0 = 0 + I 0
El sistema tendrá una calidad objetivo, que puede expresarse en términos de relación
Eb/'0 media requerida a la entrada del demodulador para tener la probabilidad de error
deseada. La energía por bit puede expresarse como:
Eb =
S
R
(7-4)
Para satisfacer el objetivo de calidad, deberá cumplirse:
Eb
S
=
=
'0 R ( 0 + I 0 )
S
S
R ( 0 + α ' v ( K − 1) )
W
=
W
W
R ( 0 + α ' v ( K − 1))
S
(7-5)
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247
Despejando, y suponiendo K >> 1:
K=
W
1  W/R
− 0 

α ' v  Eb / ' 0
S 
(7-6)
Con objeto de facilitar la comparación, podemos tomar para este caso de CDMA
pseudoaleatorio
K≈
1 W/R
α ' v Eb / ' 0
(7-7)
Vemos, comparando (7-1) y (7-7), dos diferencias importantes entre los métodos
clásicos y el CDMA pseudoaleatorio en sistemas no celulares:
- en los métodos clásicos la capacidad no depende de la calidad requerida. La
capacidad está limitada por el ancho de banda disponible. La calidad sólo influye
en la potencia de transmisión que será necesaria. Por el contrario, en CDMA
pseudoaleatorio la capacidad está limitada por la relación Eb/0 necesaria, que
depende de la calidad requerida y de las técnicas de modulación y codificación
utilizadas. La potencia de transmisión, por el contrario, es irrelevante siempre
que se mantenga suficientemente por encima del ruido térmico del receptor.
- en el caso de sistemas no celulares la capacidad de los métodos clásicos es
superior, siempre que la relación Eb/0 requerida sea mayor que 1/α'v. Esto es lo
que suele ocurrir en la práctica, ya que α' es del orden de 0.5. En caso de
acercarnos suficiente al límite teórico de -1.6 dB para Eb/0 conseguiríamos una
mejora de la capacidad utilizando CDMA aleatorio.
7.2.3. Capacidad en sistemas celulares
En los sistemas celulares los métodos clásicos sufren una importante reducción
de la capacidad debido a la imposibilidad de reutilizar todos los canales en células
contiguas. La reducción para el método CDMA PN es considerablemente inferior, y
esto, unido a la mejor adaptación de esta técnica a las características del entorno móvil
celular, hace que en este tipo de sistemas la técnica CDMA PN sea más eficiente.
El parámetro que mide la pérdida de capacidad (entendida como número de
canales) en un sistema celular respecto a un sistema no celular, o sistema formado por
una célula aislada, se denomina eficiencia de reutilización, ρ, y se define como:
ρ=
nº de canales en un sistema no celular
nº de canales por celula en un sistema celular
(7-8)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
248
No hay que confundir este parámetro con el factor de reutilización, φ, que tiene
sentido fundamentalmente en los sistemas clásicos FDMA y TDMA, en los que
representa el número de células (sectorizadas o no) por cluster. En ellos la eficiencia de
reutilización coincide con el factor de reutilización, y éste se elige como el mínimo valor
posible que satisface la relación señal/interferencia cocanal requerida. Así, en FDMA y
TDMA celulares, el número máximo de usuarios por célula es:
K=
1W
φ R
(7-9)
En el caso de células sectorizadas con s sectores por célula habría sφ sectores por
agrupación, por lo que el número de usuarios por sector sería W / sφR, y el número de
usuarios por célula seguiría estando dado por (7-9). La ventaja de la sectorización en
sistemas clásicos es que permite utilizar factores de reutilización φ menores.
La expresión (7-9) nos permite comprobar la afirmación hecha en el capítulo 2
referente a que en los sistemas celulares clásicos, o limitados por dimensiones, la
calidad determina la capacidad pero indirectamente, a través del factor de reutilización
φ: si permitimos una relación señal/interferencia más baja podremos aumentar φ y con
ello la capacidad K.
En CDMA PN la capacidad está determinada directamente por el nivel total de
interferencia. Por tanto la eficiencia de reutilización es simplemente el aumento de
interferencia producido al insertar la célula en el entorno constituido por las demás
células. Este aumento es consecuencia de que aparecen interferencias procedentes del
exterior de la célula, además de las generadas en la propia célula. Por tanto en CDMA
PN la eficiencia de reutilización se calcula como:
ρ=
I total
I
= 1 + ext ,
I int
I int
(7-10)
siendo Iint el nivel de interferencia procedente de la propia célula, Iext el nivel de
interferencia generada por las demás células del sistema e Itotal la suma de ambos.
Evidentemente, la interferencia calculada en el punto anterior 7.2.2 corresponde a la que
aquí llamamos interferencia interna.
Nótese que esta definición de ρ es coherente con la que utilizamos en el capítulo
3, en el sentido de que aquélla, dada por la expresión (3-83), se reduce a ésta haciendo
L = 1 (esto es, sin considerar multitrayecto).
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249
Eficiencia de reutilización en un sistema CDMA pseudoaleatorio
Para el cálculo de la capacidad en un sistema CDMA PN debemos determinar la
eficiencia de reutilización ρ. Nos centraremos en el enlace ascendente. En el enlace
descendente el valor de ρ sería algo superior, debido a que las estaciones móviles que se
encuentran en soft hand-off requieren enlaces con dos o más estaciones base.
El cálculo que vamos a realizar supone el mismo número de móviles en todas las
células del sistema, con una distribución uniforme de éstos dentro de cada célula;
control de potencia ideal y ley de propagación de la forma:
Pr
= k r −n
Pt
(7-11)
Es sabido que en una red celular la forma óptima de las células es la hexagonal,
pues es la que minimiza el número de células necesarias para cubrir totalmente una
zona. Ahora bien, en la práctica sería muy difícil conseguir células con esta forma, y
además el tamaño y forma de la célula no son fijos, sino deben entenderse
dinámicamente. En CDMA, la frontera entre células, y por tanto la forma de éstas, se
establece a través del mecanismo de soft hand-off, según explicaremos en el capítulo 8.
Nosotros supondremos, para simplificar, células circulares. Veremos que la posición
relativa que se considere para las células influye sensiblemente en los resultados.
Según (7-10), para conocer la eficiencia de reutilización hay que calcular la
relación entre la interferencia externa y la interna de la célula. Sea Rc el radio de las
células. Si K es el número de móviles por célula, la densidad (superficial) de los mismos
será
σ=
K
π Rc2
(7-12)
Establecemos el sistema de coordenadas de la figura 7.3 para situar las células en
relación con la de referencia:
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250
i=3
i=2
i=1
j=1
j=2
j=3
FIGURA 7.3. Sistema de coordenadas para las células interferentes
La célula de referencia se sitúa en el origen. Cada valor de i representa un anillo de
células interferentes, y dentro de cada uno hay un total de 6j células, de las cuales en la
figura se representan j, estando las demás situadas simétricamente alrededor de la de
referencia.
Consideremos una célula arbitraria (i,j), situada a una distancia Di,j de la de
referencia, como indica la figura 7.4:
dr
θ
Rc
Di,j
dθ
di,j
FIGURA 7.4. Cálculo de la interferencia procedente de una célula
arbitraria.
LUIS MENDO TOMÁS
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251
Para que la potencia de la señal recibida en la estación base que está atendiendo a un
móvil sea fija e igual a S, la potencia transmitida por el móvil debe variar con la
distancia r a la estación base de la siguiente forma:
rn
Pt = S
k
(7-13)
La potencia interferente producida por ese móvil en la estación base de referencia,
situada a una distancia di,j del mismo, será:
P(d i , j ) = Pt kd i−, jn
 r 
= S

 di , j 
n
(7-14)
La interferencia media de todos móviles de la célula (i,j) sobre la estación base de
referencia, teniendo en cuenta el factor de actividad de canal, se calculará como
n
Ii , j
 r  K
= ∫∫ α ' v P(d i , j )σ dA = ∫∫ α ' v S 

2 dA ,
 di , j  π Rc
(7-15)
donde la integral debe extenderse a toda la superficie de la célula interferente.
Ya podemos calcular la interferencia generada por el conjunto de células del
sistema, sin más que sumar las contribuciones de cada una:
i
∞
I ext = 6∑ ∑ I i , j
i =1 j =1
n
 r  K
= 6∑ ∑ ∫ ∫ α ' v S 

2 rdrdθ ,
i =1 j =1 θ = 0 r = 0
 d i , j  π Rc
i
∞
2π Rc
(7-16)
Teniendo en cuenta que
I int = α ' v ( K − 1) S ≈ α ' v KS ,
(7-17)
podemos expresar la relación Iext/Iint de la siguiente forma:
I ext
6
=
I int π Rc2
n
 r 
∑ ∑ ∫ ∫  d  rdrdθ
i =1 j =1 θ = 0 r = 0  i , j 
∞
i
2 π Rc
(7-18)
El valor de di,j que aparece en esta expresión puede deducirse fácilmente de la figura
7.4:
d i , j = Di2, j + r 2 + 2 Di , j r cosθ ,
(7-19)
En cuanto a Di,j, surge ahora la cuestión de qué distribución de células consideramos. Al
haber sustituido los hexágonos por círculos, ya no es posible cubrir totalmente la zona
objetivo sin solapamiento. En la figura 7.5 se muestran tres posibles criterios:
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SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
252
a) Si consideramos circunferencias inscritas a los hexágonos:
Di , j = 2 Rc i 2 + j 2 − ij
(7-20)
b) Si sustituimos los hexágonos por círculos de igual área:
Di , j =
2π
Rc i 2 + j 2 − ij ≈ 1.905Rc i 2 + j 2 − ij
3
(7-21)
4
c) Si suponemos circunferencias circunscritas a los hexágonos:
Di , j = 3Rc i 2 + j 2 − ij ≈ 1.732 Rc i 2 + j 2 − ij
(7-22)
Rc
Rc
(a)
Rc
(b)
(c)
FIGURA 7.5. Criterios para fijar el radio de la célula
El criterio que utilicemos influye en el valor de ρ obtenido. En la figura 7.6 se muestran
los resultados de evaluar numéricamente ρ a través de la expresión (7-18) en cada uno
de los tres casos y teniendo en cuenta para el cálculo diferentes números de anillos de
células interferentes.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
2
1.8
1.6
ρ
1.4
1.2
1
1
2
3
Anillos considerados
4
5
3
Anillos considerados
4
5
(a) n = 3.5
2
1.8
1.6
ρ
1.4
1.2
1
1
2
(b) n = 4
FIGURA 7.6. (continúa en la página siguiente)
253
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
254
2
1.8
1.6
ρ
1.4
1.2
1
1
2
3
Anillos considerados
4
5
(c) n = 4.5
Circunferencias inscritas a los hexágonos
Circunferencias de igual área que los hexágonos
Circunferencias circunscritas a los hexágonos
FIGURA 7.6. Eficiencia de reutilización para diferentes exponentes
de la ley de propagación.
Puede verse que los valores obtenidos dependen sensiblemente del exponente de
la ley de propagación, n, así como del criterio considerado en la distribución celular.
Como era de esperar, a partir del segundo anillo la influencia es prácticamente
despreciable, y más cuanto más alto sea n. Los valores de ρ obtenidos para un n típico
igual a 4 varían entre 1.32 y 1.77 según el criterio considerado. Un valor bastante
utilizado para ρ es 5/3.
Una vez calculada la eficiencia de reutilización, ya podemos obtener la
capacidad de un sistema celular basado en CDMA pseudoaleatorio. En el entorno
celular tenemos interferencia interna de la propia célula y procedente de las demás
células del sistema, de modo que la interferencia total puede ponerse como
I total = I int + I ext = ρ I int
(7-23)
Por lo tanto, la densidad espectral equivalente de interferencia será:
I 0 = α 'v ρ ( K − 1)
S
,
W
(7-24)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
255
la relación señal/ruido por bit queda:
Eb
S
=
=
'0 R ( 0 + I 0 )
S
S
R ( 0 + α 'v ρ ( K − 1) )
W
=
W
,
0W
R(
+ α 'v ρ ( K − 1))
S
(7-25)
y la capacidad, despreciando de nuevo 1 frente a K:
K=
W
1  W/R
− 0 

α ' v ρ  Eb / ' 0
S 
(7-26)
Aproximando de forma similar al caso de célula aislada:
K≈
1
W/R
α 'v ρ Eb / '0
(7-27)
Como podemos ver, la capacidad se ha reducido aproximadamente en un factor 1/ρ
respecto a la de aquél caso.
En CDMA PN, en el caso de utilizar células sectorizadas con s sectores por
célula, la antena ve aproximadamente s veces menos interferencia, lo que se traduce
directamente en un aumento de la capacidad en un factor s. Realmente el aumento es
algo menor, porque con los diagramas de radiación que pueden lograrse en la práctica
debe existir un solapamiento parcial entre los mismos para poder cubrir toda la
superficie de la célula. En general, si la antena tiene una directividad d (en unidades
naturales) la capacidad se multiplica por d. Hay que destacar que, suponiendo que la
interferencia tenga una distribución espacial uniforme, el aumento de capacidad depende
exclusivamente de la directividad de la antena, no de la forma del diagrama de
radiación.
Por ejemplo, para s = 3 sectores por célula, si pudiera lograrse un diagrama de
radiación uniforme en un margen angular de 120º y nulo fuera de él la directividad sería
d = 3 y la capacidad aumentaría en este factor. Como en la práctica este diagrama no
puede hacerse tan abrupto la mejora es algo menor. Sin embargo, como aproximación
supondremos que el aumento de capacidad que se logra con sectorización es igual a s.
Por tanto, las expresiones para las capacidades por célula y por sector respectivamente
son:
 W/R
W
− 0 ,

S 
α ' v ρ  Eb / ' 0
(7-28)
1  W/R
K
W
=
− 0 ,

s α ' v ρ  Eb / ' 0
S 
(7-29)
K=
Ks =
s
Para facilitar la comparación aproximamos esta expresión de la forma
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
K≈
s
W/R
α 'v ρ Eb / '0
256
(7-30)
Ya podemos comparar la capacidad en sistemas celulares clásicos, expresión
(7-9), con la de CDMA PN, expresión (7-30). Para ello utilizamos los siguientes valores
típicos:
- TDMA: agrupaciones de 4 células trisectorizadas: φ = 4, s = 3:
K=
1W
= 0.25 W / R ;
φ R
- CDMA PN: α’v = 0.4, ρ = 1.7, Eb/’0 = 7 dB, células sectorizadas en s = 3
sectores:
K=
s
W/R
= 0.9 W / R
α ' v ρ Eb / ' 0
Vemos, por tanto, que podemos lograr un aumento de la capacidad de según un
factor de 3 ó 4. No hay que olvidar, sin embargo, que, debido a las simplificaciones
realizadas, el cálculo que hemos hecho es aproximado, y meramente orientativo. Un
cálculo más riguroso debería analizar la capacidad asociada a un valor de probabilidad
de corte, en vez de tener en cuenta valores medios de señal, interferencia y relación
señal/ruido requerida como hemos hecho.
En CDMA la actividad vocal discontinua de los usuarios permite doblar
aproximadamente la capacidad, interrumpiendo la transmisión en los periodos de
inactividad, como indica la expresión (7-30) y se vio mediante las simulaciones del
apartado 6.2. En TDMA también podría pensarse en suprimir la transmisión durante
estos periodos, sin embargo, es más difícil explotar este hecho para lograr un aumento
de la capacidad. La dificultad se deriva de que en TDMA, y en general en sistemas
ortogonales (limitados por dimensiones), la interferencia sobre un canal dado se produce
desde un número reducido de células cocanal. La mayoría de los usuarios del sistema, en
particular los demás de la célula de referencia, no interfieren con el usuario considerado;
la interferencia total está causada por una interferencia relativamente alta de unos pocos
usuarios del sistema. Aunque la monitorización de la actividad vocal permita reducir en
un α'v ≈ 40% la potencia transmitida en promedio, al haber tan pocos usuarios
interferentes la potencia interferente será superior a ese valor medio durante una
fracción importante del tiempo. En CDMA PN la situación es bien distinta: con esta
técnica de acceso múltiple, un usuario es interferido por todos los demás usuarios del
sistema (si bien una parte importante de la interferencia, 1/ρ ≅ 60%, está originada en la
propia célula, siendo el 40% restante causada por las demás células del sistema), de
modo que la interferencia se mantiene en todo momento muy próxima ese valor medio,
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
257
al ser la suma de un gran número de términos. Esta diversidad o distribución de la
interferencia es uno de los aspectos novedosos de la técnica CDMA PN, que consigue
convertir la interferencia en benigna, gracias al ensanchamiento de espectro llevado a
cabo. Esto conlleva que en CDMA PN la limitación venga dada por una situación de
“caso medio”, mientras que en TDMA, o sistemas ortogonales en general, el límite es
producido por una situación de “caso peor”, que reduce las prestaciones del sistema.
Vamos a analizar con más detalle la capacidad obtenida para un sistema CDMA
PN celular. Supongamos que todas las células del sistema están sirviendo al mismo
número de usuarios K. Cuando un nuevo usuario accede al sistema, suponiendo S fija, la
relación Eb/'0 disminuye, según se desprende de (7-28). Para compensar esta
disminución el valor de S debe aumentarse para todos los usuarios del sistema. El
aumento requerido con cada nuevo usuario es mayor según aumenta K, y llega un
momento en el que las estaciones móviles no pueden transmitir más potencia
(suponemos que el enlace ascendente es el que limita). En este punto ya no pueden
acceder más móviles a esa célula, pues ello conllevaría una degradación en la Eb/'0, al
no poder ya incrementar S. Este valor máximo de K es la capacidad del sistema dada por
(7-28), considerando ahora Eb/'0 como el valor requerido de relación señal/ruido y S
como el valor máximo de potencia recibida en la estación base.
Se observará que al aumentar la potencia máxima S con que se reciben las
señales el efecto del ruido se hace despreciable, y la capacidad tiende asintóticamente a
un valor máximo (“power pole” o “pole point”) dado por
K max =
s W/R
,
α ' ρ Eb / ' 0
(7-31)
que es el valor aproximado utilizado anteriormente, expresión (7-30). En la figura 7.7 se
muestra gráficamente este comportamiento.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
258
40
35
K
30
25
20
-1
10
0
1
10
10
2
10
S / 0 W
FIGURA 7.7. Capacidad de un sistema CDMA PN en función de la
potencia máxima en recepción. Se han tomado Eb/'0 = 7 dB,
W/R = 127, s = 1, ρ = 1.7, α'v = 0.4.
Como vemos, acercarnos al valor máximo exige cada vez un aumento mayor en
la potencia que deben poder transmitir las estaciones móviles. Normalmente esta
potencia transmitida máxima se fija de modo que la capacidad real del sistema K sea
una fracción η de la capacidad máxima (respecto a S) Kmáx:
K = ηKmax ,
(7-32)
siendo 0.9 un valor típico para η. Esta η puede expresarse, sustituyendo (7-28) y (7-31)
en (7-32) y teniendo en cuenta (7-4), como
η=
K
W Eb / ' 0
' − 0
,
= 1− 0
= 1− 0 = 0
Kmax
S
W/R
'0
'0
(7-33)
que puede interpretarse como la contribución relativa de la interferencia al ruido
equivalente global (interferencia más ruido térmico). Es decir, la reducción de capacidad
K respecto a la máxima Kmáx es igual a la relación entre la interferencia por acceso
múltiple y el nivel total de interferencia más ruido.
En la estimación realizada de la capacidad del sistema, expresión (7-28), hemos
supuesto implícitamente que el número de usuarios es igual en todas las células, pues de
lo contrario se modificaría el valor de ρ en (7-28). Si la carga en las demás células,
particularmente en las células vecinas, es inferior a la capacidad del sistema K, es
posible permitir un número más elevado de usuarios en la célula considerada,
reduciéndose a cambio la capacidad en esas células vecinas. Esto nos lleva al análisis de
la capacidad de servicio.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
259
7.3. CAPACIDAD DE TRÁFICO Y DE SERVICIO
En el caso de un sistema clásico con un número máximo de usuarios por célula
K, si un usuario intenta acceder a una célula que ya está sirviendo a K usuarios
encontrará una situación de bloqueo y su tentativa será rechazada. La capacidad de
tráfico A para una probabilidad de bloqueo PB se obtiene mediante la distribución Erlang
B:
A = B −1 ( K , PB ),
(7-34)
y a partir de ésta se calcula la capacidad de servicio E sin más que dividir entre el tráfico
por usuario a:
E=
A
a
(7-35)
En CDMA PN la situación es diferente, pues, como hemos dicho al final del
apartado anterior, el número máximo de usuarios por célula no es rígido sino que
depende de la carga de las demás células del sistema. Sea K la capacidad del sistema
CDMA PN entendida según hemos visto en el apartado anterior, es decir, como el
número máximo de usuarios por célula suponiendo que hay igual número de usuarios en
todas las células. Si un usuario intenta acceder a una célula ocupada con K usuarios y
todas las demás células del sistema tienen también K usuarios el usuario no podrá ser
atendido, por la propia definición de K. Sin embargo, si la carga de las demás células es
menor la interferencia producida en la célula considerada será menor que el valor
máximo tolerable, y el nuevo usuario podrá ser atendido por su célula. Logramos así un
efecto deseado de compartición de canales, de manera natural y automática, como
consecuencia del principio de distribución de la interferencia. En los sistemas clásicos
es posible la compartición de canales mediante técnicas de asignación dinámica de
canales, pero resulta más compleja y menos eficiente.
Según lo anterior, para obtener la probabilidad de bloqueo en CDMA PN no
podemos aplicar la fórmula Erlang B inversa para una probabilidad de bloqueo dada PB
y un número de servidores K, como haríamos en un sistema clásico, sino que debemos
tener en cuenta la carga presente en todas las células del sistema.
Vamos a realizar una estimación de la capacidad de tráfico del sistema mediante
simulaciones. Pretendemos únicamente tener un valor aproximado de la capacidad, por
lo que facilitaremos el análisis realizando algunas simplificaciones.
Como sabemos, cuando un nuevo usuario accede al sistema debe incrementarse
la potencia transmitida por todas las estaciones móviles, y cuando se llega al límite de
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
260
potencia ya no se puede dar servicio a más usuarios sin degradar la calidad,
produciéndose el bloqueo.
Supondremos que el efecto de la variabilidad del nivel de interferencia por efecto
de la actividad vocal discontinua (es decir, el hecho de que, aunque la interferencia se
reduzca por término medio en un factor α'v, se producen fluctuaciones) está englobado
en la relación Eb/0 media requerida en el receptor de la estación base. Consideraremos
por tanto niveles medios de interferencia. Realizamos además las siguientes
simplificaciones:
- control de potencia ideal
- el número de usuarios servidos en cada célula se va a elegir independientemente
de las demás células. Ésta es una hipótesis pesimista, ya que puede dar lugar a
distribuciones imposibles de usuarios con llamada en curso, que en realidad
serían bloqueadas por el sistema, y por tanto a niveles de interferencia
irrealmente elevados. Sin embargo, este efecto pierde importancia conforme
disminuye el tráfico total ofrecido, o equivalentemente la probabilidad de
bloqueo del sistema, de modo que la aproximación puede hacerse para las
probabilidades de bloqueo habituales.
- se considera sólo el primer anillo de células interferentes
- suponemos que hay un número suficiente de equipos transceptores en la estación
base, de modo que nunca se produce bloqueo (rígido) por estar todos ocupados
El algoritmo de simulación es el siguiente: partiendo de un valor del tráfico
ofrecido al sistema, se genera una distribución aleatoria uniforme de usuarios en el
mismo y se calcula el nivel de interferencia más ruido producido en la estación base de
la célula de referencia. Hay que tener en cuenta que el nivel de interferencia depende de
la potencia recibida por usuario, de modo que lo que se calcula es el nivel de
interferencia relativo a la potencia por usuario. El número se usuarios activos (es decir,
con llamada en curso) por célula se obtiene fijando el tráfico ofrecido A, el tráfico por
usuarios a y considerando que en una célula hay A/a usuarios, cada uno de los cuales
estará siendo atendido con una probabilidad a. Esto equivale a una distribución de
Poisson de parámetro a para el número de usuarios atendidos por célula. A continuación
se evalúa la potencia recibida necesaria en la estación base para mantener la Eb/'0
objetivo con el ruido térmico y el nivel de interferencia relativo calculado, y si es mayor
que el valor umbral S hay bloqueo. S se obtiene a partir de K y 0 según (7-28).
Realmente el programa calcula la Eb/'0 obtenida con el nivel máximo S y si es menor
que la requerida hay bloqueo.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
261
Para la disposición de las células hemos seguido el criterio (c) de la figura 7.5.
Como coeficiente de la ley de propagación se ha tomado n = 4. Consecuentemente con
estas dos hipótesis, ρ se ha tomado (para el cálculo de K) igual a 1.7.
El programa trabaja con células omnidireccionales, pero, debido a la simetría de
la disposición de las células en torno a la de referencia, mostrada en la figura 7.8, y la
distribución uniforme de usuarios, los resultados obtenidos para célula omnidireccional
pueden aplicarse a un sector en el caso de células sectorizadas.
FIGURA 7.8. Disposición de las células para el cálculo de la
capacidad de tráfico.
En la figura 7.9 se representa la probabilidad de bloqueo en función del tráfico
total ofrecido por célula A para los valores indicados de ρ y n, y W/R = 128,
(Eb/'0)req = 7 y 9 dB, α'v = 0.4, a = 20 mE, η = 0.9. Con estos valores tenemos, para
célula omnidireccional, Kmáx = 37.4 y K = 33. En la figura se representan los resultados
para células trisectorizadas, que se obtienen multiplicando por s = 3 los
correspondientes a célula omnidireccional. A efectos de comparación, se muestra
también la probabilidad de bloqueo en función del tráfico ofrecido en el caso de TDMA
con la misma W/R = 128 y considerando clusters de 4 células trisectorizadas. Se obtiene
aplicando (7-33) con K = 32, obtenida según (7-9).
A continuación, en la figura 7.10 se comparan los resultados para CDMA PN
con W/R = 32, 128 y 512, con (Eb/'0)req = 7 dB y los demás parámetros como antes.
Puede comprobarse que, para R fija, al multiplicar por 4 el ancho de banda W la
capacidad de tráfico A, y consecuentemente la capacidad de servicio E, se incrementa en
mayor medida.
LUIS MENDO TOMÁS
262
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
90
80
70
60
50
A 40
30
20
10
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
PB
CDMA con (Eb/'0)req = 7 dB (simulaciones)
CDMA con (Eb/'0)req = 9 dB (simulaciones)
TDMA (Erlang B)
FIGURA 7.9. Capacidad de tráfico en CDMA PN (enlace
ascendente)
300
100
A
30
10
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
PB
W/R = 32
W/R = 128
W/R = 512
FIGURA 7.10. Capacidad de tráfico en CDMA PN (enlace
ascendente) para distintos valores de W/R
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
263
7.4. CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS CDMA CELULARES
Resumimos a continuación las características más importantes de los sistemas
celulares CDMA PN relacionadas con la capacidad.
- la característica más notable es la mayor capacidad, debida a la adaptación de las
señales de espectro ensanchado a las características del canal móvil (protección
frente a interferencias y multitrayecto) y a la limitación por interferencia, que
hace que toda reducción de la misma (por factor de actividad vocal, por ejemplo)
se traduzca de forma natural en una mayor capacidad
- la capacidad de tráfico también aumenta por la compartición de canales inherente
al acceso CDMA PN, consecuencia de la distribución de interferencia
- además el límite de capacidad no es rígido como en sistemas clásicos sino
gradual (soft blocking): suponiendo que haya suficientes equipos transceptores,
tenemos la posibilidad de acomodar temporalmente más usuarios en el sistema a
costa de una pequeña degradación en la calidad de todos los enlaces.
- permite intercambiar fácilmente capacidad y cobertura. Por un lado, al reducir la
carga de una célula su cobertura aumenta, debido a que la interferencia
disminuye y las estaciones móviles necesitan transmitir menos potencia.
Además, y por la misma razón, las células más cargadas tienden a reducir
automáticamente su cobertura, traspasando los enlaces que tenga activos a las
células vecinas. Este proceso tiende a equilibrar, de forma automática, la carga
de tráfico soportada por cada célula.
- permite la realización de traspasos suaves (soft hand-off), sin interrupciones en
la comunicación (make-before-break)
- no es necesario realizar complicadas planificaciones de frecuencias. La
introducción de una nueva célula en un sistema ya existente es muy sencilla. Por
ejemplo, se facilita grandemente la introducción de una microcélulas en zonas de
elevada densidad de tráfico en el interior de células ya existentes.
- para maximizar la capacidad, se requiere un control de potencia muy estricto, lo
que, unido a la dificultad tecnológica de las técnicas de espectro ensanchado,
conlleva una mayor complejidad en los equipos.
CAPÍTULO 8:
SISTEMA CDMA MICROCELULAR EN
UN ENTORNO URBANO
8.1. SISTEMAS MICROCELULARES
Los sistemas microcelulares se caracterizan por utilizar células de tamaño
reducido, llamadas microcélulas, con distancias de cobertura del orden de centenares de
metros. La principal razón de reducir el tamaño celular es que con ello se incrementa la
densidad de tráfico que puede soportar el sistema. En efecto, suponiendo la capacidad de
tráfico por célula fija e igual a E y llamando Sc a la superficie de la célula, la densidad
de tráfico máxima que puede soportar el sistema será E/Sc, de modo que puede
aumentarse ésta reduciendo las dimensiones de la célula. Otra ventaja es que se reduce
la potencia de transmisión en la estación base y, lo que es más importante, en las
estaciones móviles. A cambio de estas mejoras, reducir el tamaño celular aumenta la
complejidad de la estructura fija de la red, aumenta el número de traspasos entre células
y requiere mayor rapidez en los mismos.
Las zonas con mayor densidad de usuarios se encuentran en los núcleos urbanos,
de modo que es en estos entornos donde suele ser necesaria la implantación de
microcélulas. La propagación en el medio urbano tiene ciertas características propias,
que estudiamos en el apartado 8.2. En 8.3 se define la frontera celular a partir del
mecanismo de soft hand-off y se determina la forma de las microcélulas para diferentes
emplazamientos de estaciones base en una estructura urbana regular. Por último, en el
apartado 8.4 se utilizan los resultados anteriores para calcular la eficiencia de
reutilización en el entorno urbano considerado.
8.2. MODELO DE PROPAGACIÓ PARA MICROCÉLULAS
Para las coberturas microcelulares las antenas de las estaciones base se sitúan a
alturas del orden de 10 m sobre el suelo, por debajo de los tejados de los edificios. La
topografía urbana influye en gran medida en la propagación, que se produce
principalmente a lo largo de las calles, con un cierto grado de penetración en el interior
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
265
de los edificios. Existen dos mecanismos de propagación claramente diferenciados,
según que exista o no visión directa (en línea recta) desde el transmisor:
- Propagación LOS (line of sight), cuando existe visión directa. Dentro de esta
zona el modelo generalmente aceptado es una atenuación según una ley
potencial de exponente en torno a 2 hasta llegar a una cierta distancia, en un
punto que se suele denominar turning point, en que el exponente cambia a un
valor próximo a 4.
- Propagación LOS (no line of sight). La señal también llega a zonas en que no
existe visión directa, debido a mecanismos de difracción en las esquinas o
reflexión en las fachadas de los edificios, si bien el nivel es considerablemente
inferior que en la zona LOS.
Las características del canal radioeléctrico en entornos urbanos microcelulares
son semejantes a las que hemos estudiado para los canales radioeléctricos móviles en
general: variación temporal y multitrayecto, con la salvedad de que los retardos relativos
de las componentes multitrayecto recibidas son considerablemente inferiores que en
otros entornos. Puesto que la señal se propaga a lo largo de la calle, la diferencia de
trayectos entre réplicas diferentes no puede ser mucho mayor que algunas decenas de m.
Tenemos, entonces, retardos en torno a 100 ns, correspondientes a anchos de banda
coherencia de decenas de MHz. Esto tiene implicaciones en el diseño del sistema
CDMA: para los anchos de banda habituales, en torno a 1 MHz, el canal es no selectivo
en frecuencia. En otras palabras, para TC ≈ 1 µs, la resolución temporal no permite
separar en el receptor las diferentes réplicas multitrayecto. Éstas se reciben todas juntas,
dando lugar a desvanecimientos multitrayecto, como en los sistemas de espectro no
ensanchado. Por la misma razón el receptor RAKE pierde su utilidad en este tipo de
entornos. Así, perdemos tanto la protección frente al multitrayecto como la posibilidad
de utilizar este fenómeno en beneficio propio para obtener diversidad, características
inherentes a los sistemas de espectro ensanchado en canales selectivos en frecuencia.
En cuanto a la variación de la atenuación media con la distancia, adoptaremos el
modelo propuesto por el grupo COST 231 y la universidad de Lund. Según este modelo,
en la zona LOS la atenuación media sigue una ley semejante a la potencial de dos
tramos con exponentes n1 y n2, excepto que el cambio se produce de forma gradual:
(
LLOS (d ) = 10 log k [ l14 (d ) + l24 (d )]
con
1/ 4
),
(8-1)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
266
2
 4π 
k =  ,
 λ 
(8-2)
l1 (d ) = d n1 ,
(8-3)
l1 (d ) = d tp− n2 +n1 d n2 ,
(8-4)
d tp =
4ht hm
λ
,
(8-5)
siendo ht la altura de la antena de la estación base y ht la de la estación móvil. Para
ht = 15 m, hm = 1.5 m y una frecuencia f = 900 MHz, correspondiente a una longitud de
onda λ = 0.33 m, se tienen k = 1421 y dtp = 270 m. Como valores de los exponentes
utilizaremos n1 = 2.13 y n1 = 4.35, correspondientes a una estructura de calles regulares.
La fórmula anterior no tiene en cuenta los efectos de ganancia de las antenas de
la estación base y móvil. Para tenerlas en cuenta habrá que restar al término LLOS la
ganancia de cada una en la dirección considerada.
El modelo en la zona NLOS proporciona la atenuación en calles transversales
que se cruzan con una de las calles principales de cobertura LOS; no entra en calles más
remotas, en las cuales la atenuación ya es muy grande. Dicho modelo se basa en la
situación representada en la figura 8.1.
d0
T
O
ϕ
d
R
wd
FIGURA 8.1. Atenuación NLOS según el modelo COST 231-Lund
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
267
La atenuación se obtiene como la suma de la atenuación LOS desde el transmisor T
hasta el punto O y un término adicional L' correspondiente a la zona de sombra:
LNLOS = LLOS (d 0 ) + L'
(8-6)
Este término adicional se calcula así:
L' = [ u( y1 ) − u( y2 )] f ( y2 )
log y − log y1
+ u ( y2 ) f ( y ) ,
log y2 − log y1
(8-7)
con
0 para y < 0
u( y ) = 
,
1 para y > 0
(8-8)
y1 = 10.7ϕ + 0.22 wd + 2.99 ,
(8-9)
y2 = 0.62 wd + 4.9 ,
(8-10)
n
 y
f ( y) = 10 log  ,
 y0 
(8-11)
y0 = 8.92ϕ + 17
. ,
(8-12)
. e −23.4ϕ
n = 2.75 − 113
(8-13)
8.3. ESTRUCTURA GEOMÉTRICA MICROCELULAR
Como resultado de las características de propagación en microcélulas, ya no
podemos considerar que éstas tienen una forma aproximadamente circular o sectorial,
sino que la zona de cobertura abarca una o dos calles principales, en las que se tiene
visión directa (LOS) desde la estación base, y calles transversales, en las que la
cobertura se consigue principalmente por NLOS, con atenuaciones mayores.
Consecuentemente, ya no puede llevarse a cabo una planificación celular basada en una
geometría hexagonal, sino que la distribución de estaciones base debe adaptarse a las
características de propagación propias de los entornos microcelulares. Esto tiene como
consecuencia una modificación en el valor de la eficiencia de reutilización ρ del
sistema, como veremos en el apartado 8.4.
8.3.1. Atenuación en entornos urbanos microcelulares
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
268
Para conocer la forma de la zona de cobertura microcelular debemos obtener en
primer lugar la atenuación media en las diferentes calles, en función de la situación y
orientación de la estación base. Para ello utilizaremos el modelo del apartado 8.2.
Supondremos una estructura regular de calles de anchura 25 m con una separación de
50 m. Calcularemos la atenuación en pixels de 2.5 m de lado, y utilizaremos los valores
de los parámetros propuestos en el apartado anterior. Para la estación móvil
supondremos antena isótropa con ganancia 0 dB. En cuanto a la estación base,
empezaremos considerando el caso de antena isótropa en el plano horizontal, con
ganancia de 3 dB, situada en el centro de un cruce de calles, como indica la figura 8.2.
Esta situación es improbable en la práctica, pero nos servirá para tener una idea de la
distribución geométrica de la atenuación y como referencia para comparar los demás
casos que vamos a analizar. En la figura 8.3 se muestra el mapa de atenuación
correspondiente a este emplazamiento. No se considera penetración en edificios. Vemos
cómo en la zona LOS, a lo largo de las dos calles que coinciden en el cruce donde se
encuentra situada la estación base, la atenuación es considerablemente inferior a la
encontrada en las calles transversales, que se encuentran en zona NLOS.
50 m
12.5 m
25m
FIGURA 8.2. Situación de la estación base, caso 1.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
FIGURA 8.3. Atenuación para el caso 1 de estación base (antena
omnidireccional situada en el centro de un cruce de calles)
269
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
270
Vamos a considerar ahora un caso más realista en el que la estación base se sitúa
cerca de una esquina, separada 2.5 m hacia el S y hacia el O, como muestra la figura 8.4.
En este caso se tiene el mapa de atenuación representado en la figura 8.5. Se observará
que la distribución de la atenuación es bastante parecida a la del caso anterior, excepto
que aumenta ligeramente le extensión de la zona LOS en las calles transversales.
50 m
2.5 m
25m
FIGURA 8.4. Situación de la estación base, caso 2.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
FIGURA 8.5. Atenuación para el caso 2 de estación base (antena
omnidireccional situada en una esquina)
271
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
272
Por último, supongamos que el diagrama de radiación de la antena de la estación
base en el plano horizontal es, en vez de omnidireccional, el representado en la figura
8.6. Consideraremos la antena situada en el mismo sitio que en el caso anterior y
apuntada en dirección SO, según indica la figura 8.7. En el mapa de atenuación, figura
8.8, se aprecia cómo en este caso la directividad de la antena limita la cobertura LOS a
un sólo sentido de las calles principales.
8 dB
3 dB
-15 dB
-90°
-60°
0°
60°
90°
FIGURA 8.6. Diagrama de radiación en el plano horizontal de la antena de
la estación base para el caso 3.
50 m
2.5 m
25m
FIGURA 8.7. Situación y orientación de la estación base, caso 3.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
FIGURA 8.8. Atenuación para el caso 3 de estación base (antena directiva
situada en una esquina)
273
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
274
8.3.2. Definición de la frontera celular en CDMA
En un sistema CDMA celular, la cobertura de una célula no está determinada por
la atenuación desde o hasta la estación base correspondiente, sino que también
intervienen las condiciones de propagación hasta las estaciones base vecinas y la carga
que tenga cada una de las células, como explicamos a continuación.
Según vimos en el punto 7.2.3, el nivel de potencia recibida en la estación base
por parte de cada estación móvil debe elevarse según aumenta el número de éstas, de
modo que la relación señal/(ruido+interferencia) se mantenga igual a un valor
predeterminado. Así, cuantas más estaciones estén cursando llamada más potencia les
pedirá la estación base que transmitan. Cuando un móvil detecta una señal piloto
suficientemente intensa de otra estación base entra en una situación de soft hand-off, y
su potencia pasa a ser controlada por las dos estaciones base, de modo que el móvil
ajusta su potencia de transmisión según el mínimo de los dos valores que le pidan las
dos estaciones base. Definimos la frontera entre las dos células como la línea en la cual
la potencia de transmisión requerida por cada una es la misma. Puesto que la potencia
requerida por cada célula depende de su carga y de la de las vecinas (en definitiva, de la
interferencia total captada por la estación base), de aquí se desprende que la cobertura de
cada célula varía con las condiciones de carga del sistema.
Sean l1 y l2 las atenuaciones, en unidades naturales, desde una estación móvil de
referencia a dos estaciones base adyacentes, y S1 y S2 los niveles de potencia recibida
necesarios en las mismas, que dependerán de las condiciones de carga del sistema. La
potencia de transmisión del móvil necesaria en cada caso será
Pt i =
Si
,
li
(8-14)
y la frontera entre las dos células estará constituida, según la definición que hemos dado,
por los puntos que verifican
Pt 1 = Pt 2 ,
(8-15)
S1 S2
=
l1
l2
(8-16)
es decir,
Suponiendo, por simplicidad, una atenuación en función de la distancia (incluyendo las
ganancias de las antenas) idéntica para ambas células de la forma
li = k ri − n ,
(8-17)
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
275
donde ri es la distancia a la estación base correspondiente, la frontera está determinada
por
S1r1n = S 2 r2n
(8-18)
En la figura 8.9 se representa gráficamente esta condición.
Pt i(dB)
S'2
S'1
S1
S2
F
r1
F'
r2
FIGURA 8.9. Determinación de la frontera entre células
La figura permite entender el mecanismo de equilibrio de la carga mencionado en el
capítulo 7. Para los valores S1 y S2 la frontera se tiene en el punto F de la figura.
Supongamos ahora que se produce un aumento en la carga de la célula 2. Esto elevará el
valor de interferencia en esta célula, y por tanto la potencia requerida aumentará de S2 a
un valor S'2. En la célula 1 el aumento de carga de la célula 2 también se traduce en un
aumento de interferencia pero mucho más pequeño, al tratarse de una célula vecina, y el
nivel requerido también aumenta menos que en la célula 1, pasando de S1 a S'1. El
resultado es un desplazamiento de la frontera de F a F'. La célula más cargada se ha
encogido, traspasando parte de su carga a la célula vecina. Vemos cómo la definición de
la frontera entre células, asociada al mecanismo de soft hand-off utilizado, tiende a
equilibrar automáticamente la carga entre las células del sistema.
8.3.3. Geometría de la red CDMA microcelular
Para tener una idea de la forma de la zona de cobertura de las microcélulas,
consideraremos una distribución uniforme de las mismas en un entorno urbano regular
como el considerado al principio del apartado. Suponiendo condiciones de igual carga
para todas las células del sistema e igual nivel de ruido térmico en los receptores de las
estaciones base, el nivel requerido Si será igual para todas. Bajo estas hipótesis, según
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
276
(8-16), las coberturas sí están determinadas por las atenuaciones li: un punto cualquiera
de la estructura urbana pertenece a la zona de cobertura de la estación base para la cual
la atenuación sea mínima.
Vamos a determinar la forma de las microcélulas para tres tipos diferentes de
estructura celular, correspondientes a los tres casos de emplazamientos analizados en
8.3.1. El proceso que seguimos es muy simple: sobre una estructura regular de calles
similar a la que venimos utilizando situamos varias estaciones base, calculamos en cada
punto la atenuación correspondiente a cada una y asignamos el pixel a la estación base
para la cual la atenuación sea menor. Los resultados se representan gráficamente en las
figuras 8.10, 8.11 y 8.12, para las ubicaciones de los casos 1, 2 y 3 del punto 8.3.1
respectivamente. En las figuras se indica la posición de las estaciones base con marcas
blancas. Se ha utilizado una resolución de 25/3 m para aligerar el proceso de cálculo.
Una característica común a las tres figuras es la presencia de lo que podemos
denominar “efectos de borde”, originados por el número finito de estaciones base
considerado: la cobertura de algunas microcélulas se extiende anormalmente debido a la
ausencia de células colindantes. En la figura 8.10 se observa que la zona de cobertura
tiene forma de un cuadrado girado 45° respecto al entramado urbano, salvo los efectos
de borde mencionados. Comparando con la 8.11, vemos que el hecho de trasladar las
antenas hacia las esquinas apenas modifica la forma de las células. Por último, en la
figura 8.12 la cobertura pasa a ser rectangular por efecto de la directividad de las
antenas. Obsérvese que en esta última el número de estaciones base es
aproximadamente el doble que en las anteriores, con microcélulas más pequeñas.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
FIGURA 8.10. Mapa de cobertura para el caso 1 de estación base (antena
omnidireccional situada en el centro).
277
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FIGURA 8.11. Mapa de cobertura para el caso 2 de estación base (antena
omnidireccional situada en una esquina)
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FIGURA 8.12. Mapa de cobertura para el caso 3 de estación base (antena
directiva situada en una esquina)
279
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280
8.4. EFICIECIA DE REUTILIZACIÓ E ESTRUCTURAS
MICROCELULARES
A partir del estudio del apartado 8.3, vamos a calcular la eficiencia de
reutilización ρ para el enlace ascendente en entornos urbanos microcelulares.
Basándonos en los mapas de cobertura obtenidos en dicho apartado, realizaremos el
cálculo siguiendo un proceso análogo al utilizado en 7.2.3 para obtener la eficiencia de
reutilización en estructuras macrocelulares: suponiendo una densidad uniforme de
móviles con llamada en curso y control de potencia ideal, calcularemos la interferencia
total de todas las células sobre la estación base de la célula de referencia y la
interferencia debida exclusivamente a los móviles situados dentro de esta célula de
referencia; la eficiencia de reutilización, ρ, viene dada, según (7-10), como la relación
entre ambas.
Para un móvil situado en un punto genérico (x,y) de la estructura microcelular,
perteneciente a la célula i, la interferencia sobre la estación base de la célula j de
referencia se calcula, según un razonamiento análogo al de 7.2.3, como
P( x , y ) = S
li
,
lj
(8-19)
siendo li y lj las atenuaciones hasta las estaciones base i y j respectivamente y S el nivel
de recepción exigido en esta última. Si llamamos σ a la densidad de estaciones móviles,
el nivel de interferencia originada por los móviles de la célula i sobre la estación base j
(recuérdese que estamos considerando el enlace ascendente) será, teniendo en cuenta el
factor de actividad de canal, α'v,
I ij =
∫∫
CELULA
α 'v S
j
li
σ dA
lj
(8-20)
Particularizando para i = j tenemos la interferencia interna de la célula de
referencia:
I int = I ii =
∫∫ α '
CELULA
v
Sσ dA ,
(8-21)
i
mientras que la interferencia total se obtiene como
I total = ∑ I ij
(8-22)
i
En principio la suma debe extenderse a todas las células del sistema, sin embargo, sólo
la célula de referencia y las células vecinas contribuyen significativamente al nivel total
de interferencia. Nosotros consideraremos sólo las células mostradas en los mapas de las
figuras 8.10-12.
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281
Finalmente, sustituyendo (8-21) y (8-22) en (7-10) nos queda para ρ la siguiente
expresión:
∑ ∫∫
ρ=
I total
j
=
I int
CELULA
α 'v S
j
li
σ dA
lj
∫∫ α ' v Sσ dA
CELULA
i
li
dA
j CELULA j l j
∑ ∫∫
=
(8-23)
∫∫ dA
CELULA
i
Puesto que disponemos de los mapas de atenuación y de cobertura para las tres
disposiciones consideradas de estaciones base, es inmediato evaluar numéricamente a
partir de estos datos las dos integrales de (8-23) y obtener el valor de ρ en cada caso.
Como célula j de referencia se toma en cada caso la célula central. Los resultados se
muestran la tabla 8.1. Se representa también, en las figuras 8.13, 8.14 y 8.15, el cociente
li/lj, en escala logarítmica (dB), en función de la posición. Este cociente nos da una idea
de la contribución relativa de cada punto de la estructura microcelular a la interferencia
total sobre la célula central de referencia. Podemos comprobar que la contribución de las
células disminuye rápidamente conforme nos alejamos de la célula central. Obsérvese
también que, dentro de una microcélula dada, la contribución es menor cerca de su
estación base, ya que ahí la potencia transmitida por los móviles será muy reducida.
TABLA 8.1. Eficiencia de reutilización en diferentes entornos
urbanos microcelulares
Entorno
Caso 1 (antena omnidireccional en el centro)
Caso 2 (antena omnidireccional en la
esquina)
Caso 3 (antena directiva en la esquina)
ρ
1.22
1.25
1.21
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FIGURA 8.13. Contribución relativa (dB) a la interferencia total para
el caso 1 de estación base (antena omnidireccional situada en el
centro)
282
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FIGURA 8.14. Contribución relativa (dB) a la interferencia total para
el caso 2 de estación base (antena omnidireccional situada en una
esquina)
283
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FIGURA 8.15. Contribución relativa (dB) a la interferencia total para
el caso 3 de estación base (antena directiva situada en una esquina)
284
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285
Fijándonos en los resultados de la tabla 8.1, vemos que la eficiencia de
reutilización es muy similar en los tres casos, y sensiblemente inferior a la calculada en
7.2.3 para macrocélulas circulares con ley de propagación de tipo potencial. Tomando
para sistemas microcelulares un valor de este parámetro igual a 1.25, y en sistemas
macrocelulares igual a 1.7, tenemos una reducción en el mismo del 1.7/1.25 - 1 = 36%,
que se traduce directamente, como sabemos, en un aumento de capacidad por célula del
36% (en términos de capacidad de sistema K, según la definimos en el capítulo 7, pues
estamos considerando densidad uniforme de usuarios). Este efecto tiende a reforzar el
aumento de capacidad global que se consigue al reducir el tamaño de las células.
Nótese que en el cálculo de ρ se ha tenido en cuenta implícitamente el
mecanismo de soft hand-off característico de CDMA, a través de la definición que
hemos establecido para la frontera entre células. En efecto, en nuestro modelo la
potencia de transmisión del móvil se ajusta de modo que sea la mínima entre las
requeridas por todas las estaciones base, exactamente como ocurre en la realidad en
virtud al mecanismo de soft hand-off.
Como resumen, podemos decir que las condiciones de propagación en entornos
urbanos microcelulares son más favorables que en macrocélulas, disminuyendo la
interferencia que producen las demás células sobre una dada, y aumentando así la
capacidad por célula.
CAPÍTULO 9:
DESCRIPCIÓN DE LOS PROGRAMAS
DE SIMULACIÓN
En este capítulo vamos a resumir en primer lugar los programas utilizados en las
diferentes simulaciones realizadas a lo largo de nuestro estudio. De entre todos los
programas utilizados, los de mayor interés se han adaptado para futuras aplicaciones;
para éstos describiremos brevemente su forma de utilización.
9.1 TIPOS DE PROGRAMAS UTILIZADOS
A lo largo de los capítulos anteriores hemos recurrido a la simulación para
investigar diversos aspectos del sistema CDMA. Todos los programas han sido
realizados en Matlab, y pueden clasificarse en tres categorías:
1) Programas para verificar resultados teóricos o calcular el valor de ciertos
parámetros del sistema. Se incluyen en este grupo:
- los programas utilizados en el capítulo 4 para caracterizar las diferentes
familias de secuencias
- para obtener funciones de correlación periódica de secuencias y de señales
- para calcular numéricamente la eficiencia de reutilización ρ en
macrocélulas
- para evaluar la capacidad de tráfico en el capítulo 7
- para obtener los mapas de atenuación, cobertura y la eficiencia de
reutilización en entornos urbanos microcelulares
2) Programas que simulan diversos aspectos del funcionamiento del sistema. Son
los programas principales, que analizan:
- el comportamiento del receptor RAKE
- actividad vocal
- codificación de canal
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287
- estimación de canal
- control de potencia
- adquisición del sincronismo en el receptor.
3) Programas auxiliares que generan resultados intermedios, utilizados por los
programas principales. Se incluyen en este grupo programas para:
- generar secuencias-m y de Gold
- calcular numéricamente transformadas de Fourier
- obtener realizaciones de los procesos estocásticos que representan la
variación temporal de los coeficientes de canal, a partir de sus espectros
Doppler
- implementar las fórmulas de atenuación LOS y NLOS del capítulo 8
Dentro del segundo grupo, se han realizado versiones orientadas al usuario de
algunos de los programas de más interés. Además del algoritmo de simulación
propiamente dicho, incluyen una interfaz de usuario para la entrada de datos y
presentación de resultados, aprovechando las posibilidades de sistemas de menúes y
representación gráfica que ofrece Matlab. Puesto que las simulaciones que pueden
llevarse a cabo con estos programas han sido parte fundamental del estudio realizado en
los capítulos 5 y 6, ya se ha explicado en cada caso el algoritmo seguido, junto con sus
limitaciones y aproximaciones. Aquí describiremos simplemente la utilización de las
versiones adaptadas de los programas.
El intervalo de variación de los parámetros está determinado en algunos casos
por el algoritmo seguido en el programa, mientras que en otros no existe un valor
máximo rígido, sino que el valor elegido simplemente influye en el tiempo de ejecución,
dependiendo de las prestaciones del ordenador. En estos casos daremos un valor
máximo orientativo.
9.2. SIMULACIÓ DEL FUCIOAMIETO DEL RECEPTOR RAKE
El programa RAKE.M lleva a cabo el tipo de simulaciones “completas”
desarrolladas en el capítulo 5, referentes al funcionamiento y prestaciones del receptor
RAKE en un sistema CDMA asíncrono con canal variante multitrayecto. El algoritmo y
las limitaciones de la simulación son los especificados en el punto 5.2.1.
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288
Requerimientos
El programa requiere para funcionar encontrar en el directorio de trabajo de
Matlab o en alguno de los directorios por defecto (especificados por la orden PATH) un
fichero de datos en el formato habitual de Matlab (.MAT) denominado G.MAT, que
debe contener una variable denominada G con la familia de secuencias código a utilizar
en la simulación, en formato bipolar (“1” y “-1”) y con una secuencia en cada fila de la
matriz. El programa carga esta variable y determina el valor de C (secuencias de periodo
corto).
Entrada de datos
Al ejecutar el programa se presenta al usuario un menú con diferentes opciones
para modificar los parámetros de la simulación o comenzar la misma. Al pulsar uno de
los botones se muestra un mensaje en la ventana principal de Matlab (MATLAB
COMMAND WINDOW) invitándonos a introducir el valor del parámetro correspondiente.
Las opciones de este menú principal son:
- DISPERSIÓN TEMPORAL: permite elegir la dispersión temporal Tm del canal en µs.
Valor por defecto: 3 µs. El valor introducido debe estar comprendido entre 0
(ausencia de multitrayecto) y un valor máximo igual a TS(µs)/5, siendo TS(µs) el
periodo de símbolo en µs. Con el valor por defecto TS = 104.17 µs, este valor
límite es 20.8 µs.
- FORMA del PDP: define la forma del perfil potencia-retardo del canal, supuesto
igual para todos los usuarios. Las opciones son EXPONENCIAL, por defecto;
TRIANGULAR y RECTANGULAR.
- Nº DE INTERVALOS POR SIMULACIÓN: debe estar comprendido entre 1 y un valor
orientativo de 100. Para simular un número elevado de intervalos se recurre al
parámetro Nº DE SIMULACIONES, que vemos a continuación. Valor por defecto:
50.
- Nº DE SIMULACIONES: si se elige mayor que 1, los resultados de todas las
simulaciones se promedian para obtener la probabilidad de error definitiva.
Valor por defecto: 1.
- Nº DE RAMAS DEL RECEPTOR: M. Debe ser un número natural entre 1 y C, el
número de chips por símbolo. Valor por defecto: 2.
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289
- Nº DE USUARIOS INTERFERENTES: número de usuarios interferentes por célula, KI.
Debe ser un número entero no negativo. Valor por defecto: 20.
- OTROS PARÁMETROS: da acceso a otro menú que permite modificar otros
parámetros de la simulación:
- RESOLUCIÓN: número de muestras por periodo de chip utilizadas para
representar las señales. El valor por defecto, 4, es un buen compromiso
entre precisión y rapidez de la simulación.
- VELOCIDAD DE TRANSMISIÓN: en bits/s. Valor por defecto: 9600.
- D.E.P. DE RUIDO: densidad espectral de potencia de ruido térmico en el
receptor, 0, en W/Hz. Valor por defecto: 0.
- POTENCIA TRANSMITIDA: en W. Valor por defecto: 2.
- ATENUACIÓN MEDIA: valor medio (esperado) en unidades naturales de la
atenuación del canal, teniendo en cuenta el total de caminos de
propagación, que se suponen no coherentes, e incluyendo el efecto del
control de potencia medio. Valor por defecto: 10-6.
- Nº DE REPRESENTANTES EN LA SIMULACIÓN: KIs: este parámetro puede
elegirse para realizar simulaciones completas (KIs = KI) o simplificadas
(KIs < KI). Debe ser un número natural. El valor por defecto se elige a
partir del parámetro Nº DE USUARIOS INTERFERENTES según la siguiente
regla:
 KI
4

K Is = 5

 K I / 10 + 1
si K I < 5
si 5 ≤ K I < 30
si 30 ≤ K I < 40
(9-1)
si no
En todo caso, el valor de este parámetro no debe superar el número de filas
de la matriz en la que se definen las secuencias código.
- ERROR EN LA ESTIMACIÓN DE CANAL: desviación típica del error en la
estimación de los coeficientes de canal, respecto a la raíz cuadrada del
valor cuadrático medio del primer coeficiente de canal. Valor por defecto:
0.
- MENÚ PRINCIPAL: vuelve al menú principal.
- SIMULAR: inicia la simulación con los valores elegidos de los parámetros.
- SALIR: sale del programa sin realizar ninguna simulación.
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290
Presentación de resultados
Tras introducir los datos y pulsar el botón SIMULAR se muestra una lista con
los valores de los parámetros y se inicia el proceso de simulación. Finalizado éste el
programa muestra el valor obtenido de la tasa de error a lo largo del número
especificado de simulaciones. Éste constituye el resultado principal del programa.
Además, tras esperar a que el usuario pulse una tecla, se muestra otro menú que permite
ver gráficamente otros resultados de interés. En caso de haber elegido un Nº DE
SIMULACIONES mayor que 1, estos resultados se refieren sólo la última simulación,
excepto los histogramas, que se obtienen teniendo en cuenta los valores
correspondientes al total de simulaciones. Presionando uno de los botones del menú de
representación se muestra la gráfica correspondiente, y pulsando a continuación
cualquier tecla se vuelve al menú. Las opciones son:
- PERFIL RETARDO-POTENCIA: representa la forma del perfil retardo-potencia del
canal y los valores medios de los coeficientes de canal.
- FORMA DE LOS PULSOS: representa la forma de los KIs + 1 pulsos utilizados,
correspondientes al usuario de referencia y los KIs representantes interferentes.
Los diferentes pulsos se van representando cada vez que pulsemos el botón.
- SEÑAL RECIBIDA: forma de la señal recibida durante un intervalo de símbolo. El
número de intervalo se introduce a través de la ventana principal de Matlab, y
debe estar comprendido entre 1 y Nº DE INTERVALOS POR SIMULACIÓN. Se
representan las partes real e imaginaria de la señal paso bajo equivalente. En
azul claro se representa la señal total a la entrada del receptor y en amarillo la
señal que se tendría sin considerar las señales correspondientes a los usuarios
interferentes; es decir, se representa la señal del usuario de referencia más el
posible ruido gaussiano.
- SEÑALES EN LAS RAMAS DEL RECEPTOR: representa, siguiendo los convenios
anteriores en cuanto a representación y código de colores, las señales presentes
en las diferentes ramas del receptor durante un cierto intervalo, que se elige igual
que antes.
- SALIDA DEL INTEGRADOR DE CADA RAMA: permite observar las señales de cada
rama integradas, las cuales, muestreadas al final del intervalo de símbolo y
combinadas adecuadamente, dan lugar a la variable de decisión.
- VARIABLES DE DECISIÓN: valores de la variable de decisión en todos los
intervalos de la última simulación, con y sin usuarios interferentes. Puesto que el
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291
símbolo transmitido es siempre “1”, un valor negativo de la variable
corresponde a un error de demodulación.
- ERRORES: indica en qué intervalos se ha producido error, en los dos casos
anteriores.
- HISTOGRAMAS GLOBALES: da acceso a un nuevo menú que permite
observar los histogramas de la variable de decisión, obtenidos a partir de los
resultados de todas las simulaciones:
- VARIABLE
decisión
DE DECISIÓN:
histograma de los valores de la variable de
- SIN INT. DE OTROS USUARIOS: histograma de los valores de la variable de
decisión obtenidos suponiendo que la señal recibida no contiene señales de
los demás usuarios
- SÓLO INT. DE OTROS USUARIOS: histogramas de los valores obtenidos
suponiendo que sólo se reciben las interferencias de las demás usuarios.
- VOLVER: vuelve al menú principal de representación gráfica de resultados.
- SALIR: sale del programa y regresa a la ventana principal de Matlab.
Programa auxiliar GOLD.M
Este programa genera una familia de secuencias de Gold de periodo a elegir por
el usuario y la almacena en el directorio de trabajo en un archivo G.MAT, que es
utilizado por el programa RAKE.M. El programa solicita confirmación en caso de que
ya exista un fichero G.MAT, y a continuación pide al usuario que elija el periodo de
la familia entre 7, 15, 63, 127 y 511 (no existen familias de Gold de periodos 3, 31 ni
255). Una vez introducido este parámetro genera la familia y guarda el resultado.
Las secuencias de Gold se generan a partir de una pareja preferida de
secuencias-m como se explica en 4.3.4. La pareja preferida se obtiene a partir de una
sola secuencia-m haciendo uso del teorema enunciado en 4.3.6. Esta secuencia-m se
genera en base al correspondiente polinomio generador, que se encuentra almacenado en
el programa.
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292
9.3. DECODIFICADOR COVOLUCIOAL DE VITERBI CO DECISIOES
RÍGIDAS
El programa CONVOLUC.M implementa un decodificador de Viterbi basado en
decisiones rígidas en el canal AWGN con modulación binaria, llevando a cabo
simulaciones análogas a las realizadas en el punto 6.1.12. El algoritmo de simulación se
describe en ese mismo punto.
Entrada de datos
Al ejecutar el programa se muestra un menú de entrada de datos, con las
siguientes opciones:
- TASA DEL CÓDIGO: permite elegir la tasa del código a través del parámetro n; k se
supone igual a 1. Valor por defecto: 2. El valor de n debe ser un número natural.
Una vez introducido, el programa comprueba si dispone de una matriz de
conexión óptima para los valores actuales de k, n y KL, y si es así la fija como
matriz de conexión por defecto. En caso contrario solicita al usuario la
introducción de una matriz de conexión de dimensiones n × KL. Ésta debe
introducirse siguiendo la notación habitual de Matlab. Por ejemplo, la matriz
1 0 1 
A =

1 1 0
se introduciría de la forma [ 1 0 1; 1 1 0 ], o bien sustituyendo los “;” por
retornos de carro.
- LONGITUD DE RESTRICCIÓN: permite elegir la longitud de restricción del código,
KL. Valor por defecto: 3. Como n, debe ser un número natural, e, igual que antes,
tras introducir este parámetro, si el programa no dispone de matriz de conexión
ésta debe ser introducida por el usuario. El programa tiene codificadas matrices
de conexión para códigos óptimos con los valores más habituales de n y KL
(k = 1): n = 2, 3; KL = 3, 5, 7, 9.
- MEMORIA DEL DECODIFICADOR: número de etapas almacenadas en el
decodificador, h. Debe elegirse mayor o igual que la LONGITUD DE RESTRICCIÓN,
KL. El valor por defecto es 5KL. Puesto que al introducir KL se modifica
automáticamente el valor de h, si se quiere elegir KL y un h distinto de 5KL debe
introducirse primero KL y luego h.
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293
- MODIFICAR POLINOMIOS GENERADORES: permite modificar la matriz de conexión,
que se introduce de la forma explicada anteriormente. El valor por defecto puede
existir o no según los valores de n y KL, como ya se ha visto; cuando existe,
caracteriza a un código óptimo para los valores de n y KL elegidos.
- Nº DE SÍMBOLOS POR SIMULACIÓN: número de símbolos (bits) de la secuencia
fuente utilizada en cada simulación, entre 1 y un valor aproximado de 100000.
Valor por defecto: 100.
- Nº DE SIMULACIONES: el programa permite realizar varias simulaciones, en cada
una de las cuales se utiliza una secuencia fuente con el número de símbolos
(bits) elegido. Las tasas de error presentadas al final se obtienen considerando el
total de simulaciones. Esto es útil para estimar probabilidades de error pequeñas,
que requieren simular un número muy grande de símbolos. Valor por defecto: 1.
- CONSTELACIÓN (BINARIA): coeficiente de correlación real de la constelación
binaria utilizada. Debe estar entre 1 y -1. El valor -1 indica modulación
antipodal (BPSK); 0 modulación ortogonal (BFSK). Valor por defecto: -1.
- RELACIÓN SEÑAL/RUIDO: relación señal/ruido por bit de fuente Eb/0 en dB.
Valor por defecto: 5.
- SIMULAR: inicia el proceso de simulación con los valores elegidos.
- SALIR: sale del programa.
Presentación de resultados
El resultado principal del programa es la tasa de error de bit de fuente. Se indica
también la tasa de error de bit de canal. Al término de cada simulación se muestran los
valores correspondientes a la misma, y al finalizar la última se muestran también los
resultados globales.
A continuación el programa espera a que el usuario pulse una tecla y representa
en una gráfica las secuencias que han intervenido en la última simulación:
- S. ORIGINAL: secuencia fuente, de tantos bits como el número de símbolos por
simulación que se haya elegido.
- S. CODIF. TRANS.: secuencia codificada transmitida. Tendrá n veces el número de
bits de la secuencia fuente más KL - 1 debidos al “vaciado” (flushing) del
codificador.
- S. CODIF. REC.: secuencia codificada recibida.
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294
- S. DECODIF.: secuencia decodificada, con el mismo número de bits que la
secuencia fuente.
- E. DE CANAL: errores de la secuencia codificada recibida respecto a la
transmitida.
- E. RESIDUALES: errores de la secuencia decodificada respecto a la secuencia
fuente.
9.4. DECODIFICADOR DE VITERBI E U ETORO CDMA ASÍCROO
CO CAAL VARIATE MULTITRAYECTO
El programa CONVRAKE.M simula el comportamiento de un receptor RAKE
con decodificador convolucional de Viterbi basado en decisiones rígidas en un entorno
CDMA asíncrono con canal variante multitrayecto.
La simulación se lleva a cabo según el método utilizado en 6.1.13, que es el
algoritmo simplificado (tipo II) desarrollado en 5.2.8 integrado con el algoritmo de
decodificación convolucional de 6.1.12 e incluyendo la influencia del factor de actividad
vocal como en 6.2.
Entrada de datos
Al ejecutar el programa se muestra el menú principal, con las opciones que
describimos a continuación. Como siempre, tras pulsar el botón correspondiente, el dato
se introduce a través de la ventana principal de Matlab.
- TASA DEL CÓDIGO
- LONGITUD DE RESTRICCIÓN: el significado de estos dos parámetros, así como sus
valores por defecto y forma de introducir la matriz de conexión si procede, son
iguales que para el programa CONVOLUC.M.
- Nº DE SÍMBOLOS POR SIMULACIÓN: número de bits de la secuencia fuente. Valores
extremos y por defecto como en CONVOLUC.M.
- VELOCIDAD BINARIA DE FUENTE: velocidad en bits/s de la secuencia fuente. Valor
por defecto: 4800.
- FORMA DEL PDP: como en RAKE.M, puede elegirse entre
defecto; TRIANGULAR y RECTANGULAR.
EXPONENCIAL,
por
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295
- DISPERSIÓN MULTITRAYECTO: en µs, entre 0 y 50. Valores extremos y por defecto
como en RAKE.M.
- FACTOR DE EXPANSIÓN DEL ESPECTRO: número de chips por símbolo (bit) de la
señal codificada, C. Valor por defecto: 127.
- Nº DE RAMAS
RAKE.M.
DEL RECEPTOR:
M. Valores extremos y por defecto como en
- Nº DE USUARIOS INTERFERENTES: número de usuarios interferentes por célula, KI.
Valor por defecto: 60.
- OTROS PARÁMETROS: da acceso a otro menú que permite modificar otros
parámetros de la simulación:
- MEMORIA
DEL DECODIFICADOR:
h. Debe elegirse mayor o igual que la
LONGITUD DE RESTRICCIÓN, KL. El valor por defecto es 5KL, y se actualiza
automáticamente como en CONVOLUC.M.
- MODIFICAR POLINOMIOS GENERADORES: como en CONVOLUC.M
- Nº DE SIMULACIONES: valor por defecto: 1. Puede elegirse mayor que 1 para
simular un número total de intervalos grande.
- CONSTELACIÓN (BINARIA): coeficiente de correlación real de la
constelación binaria utilizada. Valor por defecto: -1.
- ACTIVIDAD VOCAL DE LOS USUARIOS: permite elegir la actividad vocal
media de los usuarios, αv, entre 0 y 1, y la fracción de potencia transmitida
durante los periodos de inactividad, β'v, también entre 0 y 1. Valores por
defecto: 0.4 y 0 respectivamente.
- EFICIENCIA DE REUTILIZACIÓN: parámetro, ρ, que nos da la relación entre la
potencia interferente originada en la célula de referencia y la potencia total
interferente, procedente de todas las células del sistema. Valor por defecto:
1.7.
- Nº DE REPRESENTANTES EN LA SIMULACIÓN: como en RAKE.M.
- MENÚ PRINCIPAL: vuelve al menú principal.
- SIMULAR: inicia el proceso de simulación con los parámetros elegidos.
- SALIR: sale del programa.
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296
Presentación de resultados
Como en CONVOLUC.M, se indican las tasas de error de bit de fuente y de
canal, para cada simulación y para el total de las mismas. A continuación el programa
espera a que el usuario pulse una tecla y representa en una gráfica las secuencias que
han intervenido en la última simulación, siguiendo la misma disposición que en aquel
programa:
- S. ORIGINAL: secuencia fuente.
- S. CODIF. TRANS. : secuencia codificada transmitida
- S. CODIF. REC.: secuencia codificada recibida
- S. DECODIF.: secuencia decodificada
- E. DE CANAL: errores en la secuencia codificada recibida
- E. RESIDUALES: errores en la secuencia decodificada
9.5. ESTIMACIÓ DEL ÚMERO DE USUARIOS POR CÉLULA
El programa RAKEINV.M estima, a partir de simulaciones completas (tipo I), el
número de usuarios por célula, K, para tener una probabilidad de error de bit Pb dada,
para unos valores fijos de los parámetros característicos del canal y del sistema. No tiene
en cuenta codificación de canal, aprovechamiento de la actividad vocal ni influencia de
las otras células.
Funciona básicamente igual que RAKE.M, pero realizando iteraciones hasta que
la probabilidad de error obtenida se ajusta al valor deseado. En la primera iteración se
elige K, o KI, según la expresión teórica. El número de representantes KIs se elige a
partir de KI según la regla (9-1).
Requerimientos
Fichero G.MAT con las secuencias código de periodo corto, igual que en
RAKE.M.
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297
Entrada de datos
Las opciones del menú principal son las siguientes:
- DISPERSIÓN TEMPORAL
- FORMA DEL PDP
- Nº DE RAMAS DEL RECEPTOR
Estos tres parámetros tienen el mismo significado y valores extremos y por
defecto que en RAKE.M.
- PROBABILIDAD
0.01.
DE ERROR:
probabilidad de error objetivo. Valor por defecto:
- OTROS PARÁMETROS: da acceso al siguiente menú:
- RESOLUCIÓN
- VELOCIDAD DE TRANSMISIÓN
- D.E.P. DE RUIDO
- POTENCIA TRANSMITIDA
- ATENUACIÓN MEDIA
- ERROR EN LA ESTIMACIÓN DE CANAL
Como en RAKE.M.
- PASO EN EL NÚMERO DE USUARIOS: indica en cuánto se incrementa o
disminuye el número de usuarios K en las iteraciones. Valor por defecto:
5.
- MARGEN PARA LA PROBABILIDAD DE ERROR: indica cuánto deseamos
acercarnos al valor objetivo de probabilidad de error. Se trata de un
margen logarítmico; un margen ∆ para una probabilidad de error objetivo
(Pb)req indica que los valores admitidos para la probabilidad de error Pb
son 10-∆/10(Pb)req < Pb < 10∆/10(Pb)req. Valor por defecto: 2 (con lo cual el
margen es: 0.63(Pb)req < Pb < 1.59(Pb)req ).
- PRODUCTO Nº DE SIM. - PROB. DE ERROR: indica cuántos intervalos simula el
programa en cada iteración para estimar el valor de la probabilidad de
error, en función de la probabilidad de error esperada (deseada). Cuanto
mayor sea este parámetro más fiables serán las estimaciones. Valor por
defecto: 10. El número de intervalos se agrupa, como es habitual, en varios
grupos de simulaciones, sólo que esta vez el programa lo hace
LUIS MENDO TOMÁS
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298
automáticamente, con un máximo de 50 intervalos por simulación.
Los valores de los tres parámetros anteriores deben elegirse de forma
coherente; por ejemplo, un valor pequeño del MARGEN PARA LA
PROBABILIDAD DE ERROR no tiene sentido con un PRODUCTO Nº DE SIM. PROB. DE ERROR o un PASO EN EL NÚMERO DE USUARIOS excesivamente
grandes.
- SIMULAR: muestra los valores elegidos e inicia la simulación.
- SALIR: sale del programa.
Presentación de resultados
Tras pulsar el botón SIMULAR se muestran los valores de los parámetros
elegidos y comienzan las iteraciones. En cada una el programa muestra el número de
usuarios que está probando y el tiempo restante aproximado. Al finalizar la misma, si la
tasa de error obtenida no está dentro del margen deseado se inicia una nueva iteración
probando un número de usuarios diferente. Cuando la tasa de error entra en el margen
deseado la simulación finaliza, y se muestran la probabilidad de error final y el número
de usuarios. A continuación el programa permite observar las señales correspondientes a
la última simulación (grupo de 50 intervalos como máximo) de la última iteración (la
que ha proporcionado el valor final de K), de forma similar a como se hace en
RAKE.M.
CAPÍTULO 10:
CONCLUSIONES Y
LÍNEAS FUTURAS DE TRABAJO
En el estudio que hemos realizado se han analizado diversos aspectos de los
sistemas móviles celulares CDMA.
La limitación de banda nos ha permitido utilizar un modelo de canal basado en
componentes equiespaciadas, y hemos obtenido las curvas de probabilidad de error para
un receptor RAKE en un sistema CDMA asíncrono con control de potencia medio en un
canal variante multitrayecto.
En cuanto a las secuencias código, hemos clasificado las familias en tres grupos,
según sus propiedades de correlación, relacionadas con el número de secuencias
pertenecientes a la familia. Las familias de secuencias utilizadas en sistemas CDMA
pseudoaleatorios se caracterizan por tener un número muy elevado de secuencias; a
cambio, no hay exigencias muy estrictas en cuanto al comportamiento de las mismas.
Se han realizado gran cantidad de simulaciones referentes a un sistema móvil
CDMA BPSK asíncrono, que nos han permitido extender nuestro estudio a ámbitos de
difícil tratamiento teórico. En primer lugar hemos desarrollado un modelo general que
nos ha permitido comprobar la validez de las curvas teóricas.
La utilización de codificación de canal resulta imprescindible para reducir la tasa
de error a valores aceptables. Los códigos convolucionales ofrecen la posibilidad de
lograr una mejora importante, como hemos comprobado a través de numerosas
simulaciones, a cambio de un mayor ancho de banda y una cierta complejidad en el
codificador y sobre todo decodificador.
Hemos comprobado también que la monitorización de la actividad vocal de los
usuarios permite aproximadamente doblar la capacidad.
La estimación de canal es uno de los aspectos críticos del receptor RAKE. Se ha
propuesto un algoritmo de estimación basado en símbolos de información y en símbolos
especiales intercalados en la señal transmitida. Esta solución representa un compromiso
entre los métodos guiados únicamente por decisión, que son muy inestables, provocando
la aparición de ráfagas de errores, y los métodos basados únicamente en símbolos de
estimación, que o bien no son lo suficientemente rápidos o bien incrementan
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
300
considerablemente la tasa binaria y por tanto el ancho de banda necesario. El algoritmo
propuesto se ha evaluado mediante simulaciones, obteniendo unos resultados
satisfactorios.
Se ha propuesto y analizado también un mecanismo de control de potencia en
bucle cerrado para el enlace ascendente, íntimamente relacionado con el subsistema de
estimación de canal. Este mecanismo, si bien dista de ser instantáneo, permite mejorar
las prestaciones del receptor.
Se ha tratado también el subsistema de sincronismo de código, centrándonos en
la etapa de adquisición. Hemos podido comprobar que los algoritmos usuales en
espectro ensanchado son aplicables si realizamos algunas modificaciones para
adaptarlos a las duras condiciones de interferencia y variabilidad temporal propias del
sistema CDMA considerado.
El análisis de capacidad indica que las sistemas limitados por dimensiones, con
técnicas de acceso múltiple ortogonales (FDMA, TDMA, CDMA ortogonal), resultan
más adecuadas en sistemas no celulares, mientras que los sistemas limitados por
interferencia, basados en técnicas no ortogonales (CDMA pseudoaleatorio), permiten
una mayor capacidad en el caso de sistemas celulares. Los sistemas celulares CDMA
pseudoaleatorios, por tanto, ofrecen un aumento de capacidad respecto a los sistemas
celulares clásicos.
Por último, las características de propagación en entornos microcelulares
urbanos modifican la forma de las células, lo que influye en la disposición de las
estaciones base. Por otro lado, estas condiciones de propagación, con el apantallamiento
introducido por los edificios, reducen la interferencia total y consecuentemente
aumentan la capacidad por célula (independientemente del tamaño de ésta) en un
sistema CDMA.
Las características únicas de la técnica de acceso CDMA, fundamentalmente su
mejor adaptación a entornos celulares, auguran un futuro prometedor para la misma, a
medida que se vaya dando solución a las dificultades tecnológicas asociadas. En la
actualidad se está investigando intensamente en diferentes campos relacionados con esta
técnica.
Como futuras líneas de trabajo, de entre la gran variedad de temas relacionados o
incluidos dentro del concepto CDMA, podemos mencionar el de la utilización de
técnicas cancelación de interferencias, que permiten una mejora de prestaciones
utilizando receptores multiusuario relativamente complejos.
Sería interesante también evaluar otros algoritmos de estimación de canal o de
control de potencia y compararlos con los que hemos propuesto.
LUIS MENDO TOMÁS
SISTEMA MÓVIL MICROCELULAR CON CDMA
301
Nuestro tratamiento de las propiedades de las secuencias código ha sido breve y
se ha basado en ciertas simplificaciones; un estudio más profundo podría revelar
aspectos de interés en lo que a sistemas CDMA se refiere. Podría analizarse por ejemplo
el procedimiento utilizado en el estándar IS-95, que comprende varias capas o niveles de
modulación con secuencias pseudoaleatorias superpuestas.
Otro aspecto importante que no hemos considerado es el compromiso entre
ganancia de procesado, consecuencia del proceso de ensanchamiento de espectro, y
ganancia de codificación, obtenida también a costa de un incremento de ancho de banda.
Puesto que la ganancia de los códigos convolucionales tiende a aumentar cada vez más
despacio a medida que reducimos la tasa del código, un estudio detallado permitiría
determinar posibles valores óptimos o de compromiso entre ambas técnicas de
incremento o ensanchamiento del espectro.
Algunos de los programas de simulación han sido adaptados añadiendo una
sencilla interfaz de usuario. Estos programas podrían mejorarse y completarse con
objeto de permitir su utilización para analizar distintas modalidades de sistemas o con
fines didácticos.
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PLIEGO DE CONDICIONES
1. PARA EL DESARROLLO DEL PROYECTO:
1.1. ESPECIFICACIONES DE HARDWARE:
Ordenador PC 486 o Pentium
Impresora láser HP Laserjet III
1.2. ESPECIFICACIONES DE SOFTWARE:
Sistema operativo MS-DOS/Windows 3.11 o Windows 95
Entorno de simulación y desarrollo Matlab versión 4.2
Procesador de texto Microsoft Word versión 6.0, 7.0 ó 97.
2. PROGRAMAS DE APLICACIÓN:
1.1. ESPECIFICACIONES DE HARDWARE:
Ordenador PC 486 o Pentium (recomendado Pentium 100 MHz 16 MB)
1.2. ESPECIFICACIONES DE SOFTWARE:
Sistema operativo MS-DOS/Windows 3.11 o Windows 95
Entorno de simulación y desarrollo Matlab versión 4.2
1.3. ARCHIVOS:
Programa RAKE: rake.m, g.mat.
Programa GOLD: gold.m.
Programa CONVOLUC: convoluc.m.
Programa CONVRAKE: convrake.m
Programa RAKEINV: rakeinv.m, g.mat.
PRESUPUESTO
1. GASTOS DE PERSONAL
SALARIOS
Salario del ingeniero: 7000 pts/h × 1500 horas..........................10.500.000
Salario del mecanógrafo: 2000 pts/h × 150 horas...........................300.000
Subtotal gastos de salarios ................................................................10.800.000
GASTOS SOCIALES
35 % de los salarios: 35 % de 10.800.000 ...................................3.780.000
Total de gastos de personal ........................................................................14.580.000
2. GASTOS DE MATERIAL
USO DE ORDENADOR: 25000 pts/mes × 16 meses................................400.000
USO DE IMPRESORA: 15000 pts/mes × 1 mes .........................................15.000
CONSUMIBLES:
tóner, papel..........................................................................................5.000
encuadernación y copias ...................................................................20.000
Total de gastos de material .............................................................................440.000
3. TOTALES
TOTAL DE GASTOS DE PERSONAL................................................14.580.000
TOTAL DE GASTOS DE MATERIAL.....................................................440.000
TOTAL DE GASTOS ...........................................................................15.020.000
16 % DE I.V.A.........................................................................................2.403.200
TOTAL ...................................................................................17.423.200
El coste total del proyecto es de diecisiete millones cuatrocientas veintitrés mil
doscientas pesetas.
Madrid, Septiembre de 1997
Luis Mendo Tomás
Ingeniero Superior de Telecomunicación