Unidad 2

Unidad 2
Dinámica:
movimiento y equilibrio
ELEMENTOS DE FíSICA
2.1. Movimiento rectilíneo uniforme
(M.R.U.)
Decimos que un cuerpo está animado por un movimiento rectilíneo uniforme
M.R.U. si:
• Sutrayectoriaesrectilínea(esdecir,semueveenlínearecta).
• Su velocidad es constante (es decir, se desplaza siempre a la misma
velocidadsinaumentarlanidisminuirla).
A partir de esta definición podrás pensar que este tipo de movimiento
es demasiado irreal. Nos es difícil imaginar automóviles que se desplacen
siempre en línea recta (sin esquivar baches) o que viajen sin frenar ni acelerar
(debido a los topes). Sin embargo, muchos de los movimientos que observamos
a nuestro alrededor son de este tipo o pueden suponerse de este tipo para un
estudio más sencillo. El sonido, por ejemplo, se desplaza en el aire a velocidad
constante (aproximadamente 340 m ) y, si bien viaja en todas direcciones,
s
entre el emisor del sonido y el receptor (que pueden ser nuestros oídos) se
mueve en línea recta, por lo que el análisis del sonido puede hacerse bajo la
suposición de un M.R.U. También la luz, en determinadas condiciones (medio
homogéneo, sin interacción con grandes masas, etc.) viaja con M.R.U. a la nada
despreciable velocidad de:
3 × 108 m
s
km
m
(300,000,000
ó 300,000
ó 1.08 × 109 km ó 1,080,000,000 km )
s
s
h
h
Además, muchos de los movimientos complejos que realiza, por ejemplo,
un automóvil, pueden reducirse por tramos a M.R.U. Por ejemplo, cuando
nos desplazamos por una carretera sin curvas o con curvas tan leves que no
necesitamos disminuir la velocidad.
Ejemplos
• Calcula el desplazamiento de un automóvil que viaja a 30
Solución:
Datos:
v =30
m
s
m
durante 20 s.
s
35
36
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
Δt = 20 s (fíjate que 20 s ya son el intervalo de tiempo en que se realiza
el movimiento y que en realidad el problema no nos dice a qué hora comenzó
ni finalizó el recorrido). Por lo tanto, queremos saber cuánto vale Δx, para ello
usaremos la fórmula Δx = v Δt de la siguiente manera:
m 
Δx = v Δt =  30
 (20 s) = 600 m
s 

Los segundos se cancelan por estar tanto en el numerador como en el
denominador.
• Calcula el intervalo de tiempo de un automóvil que recorre 7.14 km a una
m
velocidad de 42
.
s
Solución:
Datos:
v = 42
m
s
Δx = 7.14 km = 7 140 m (como notarás 7.14 km son iguales a 7 140 m,
y esta conversión hace falta para que las unidades sean consistentes con
las de la velocidad).
Por lo tanto, queremos saber cuánto vale Δt, por ello usaremos la fórmula
Δt =
Dx
de la siguiente manera:
v
Δt =
Dx 7 140 m
=
= 170 s @ 2.83 min
v
m
42
s
Nota que los metros se cancelan por estar tanto en el numerador como
en el denominador, y que por la llamada “ley del sandwich”1 el resultado está
dado en segundos. Recuerda que los corchetes quieren decir que sólo nos
ocuparemos de las unidades y no de las cantidades:
m
ms
[ ∆x ] m
=
= 1 =
=s
[ ∆t ]
m m
[ v]
m
s
s
1
“Ley del sandwich” es el producto de extremos dividido entre productos de medios.
ELEMENTOS DE FíSICA
Ejercicios
1. Calcula el tiempo necesario para recorrer 31 km a una velocidad constante de 35
m
.
s
Datos:
v = 35
m
s
Δx = 31 km
Conversión:
Δx = ___________________________
Entonces los datos del problema son:
v=
Δx =
Δt =
Y por lo tanto el Δt será:
Dx
v
t = ___________________________
2. Calcula la distancia que recorre un móvil en 23 segundos a una velocidad constante de 58
Datos:
v = 58
m
s
Δt = 23 s
Δx = v Δt
Y por lo tanto el Δx será:
d = ___________________________
3. Calcula el tiempo necesario para recorrer 2.3 km a una velocidad constante de 81
Datos:
v = 81
m
s
Δx = 2.3 km
t = ___________________________
m
.
s
m
.
s
37
38
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
4. Calcula la distancia que recorre un móvil en 2 minutos a una velocidad constante de 3.4
m
.
s
5. Calcula la velocidad, considerada constante, de un móvil que se desplaza 25.4 kilómetros en 30
minutos.
Datos:
Δx = 25.4 km
Δt = 30 min
v = ___________________________
Todavía nos falta desmenuzar algo más, las fórmulas del M.R.U.
Sabemos que Δx = x − x0 y que Δt = t − t0, esto quiere decir que no solamente
podemos calcular desplazamientos e intervalos de tiempo, sino que podemos
calcular cuándo o dónde comenzó o finalizó el movimiento si conocemos
los datos relevantes:
a) Como Δx = v Δt, entonces podemos afirmar que Δx = v(t − t0) o
bien x − x0 = v(t − t0) o despejando x tenemos:
x = x0 + v(t − t0)
[2.1]
Donde x y t son la posición y el tiempo finales para el movimiento
que nos permite calcular la posición del móvil x para cualquier
tiempo t.
b) Como ∆t =
t - t0 =
x − x0
∆x
, entonces podemos afirmar que ∆t =
o bien
v
v
x - x0
o despejando t tenemos:
v
x - x0
t = t0 +
v
[2.2]
Donde x y t son la posición y el tiempo finales para el movimiento, lo cual
nos permite calcular el tiempo final del movimiento conociendo la velocidad,
las posiciones inicial y final, y el tiempo en que comenzó el movimiento.
Sin embargo, en la mayoría de los casos podemos considerar cero al
tiempo inicial (t0= 0), es decir, ponemos el reloj en cero cuando comienza el
movimiento, con lo que las fórmulas 2.1 y 2.2 se simplifican de esta manera:
x = x0 + vt
t=
Que son las más habituales.
x - x0
v
[2.3]
[2.4]
ELEMENTOS DE FíSICA
Ejemplos
• Calcula la posición final de un automóvil animado con M.R.U. que viaja a una
m
durante 20 s si parte de una posición inicial de 35 m.
velocidad de 30
s
Solución:
Datos:
v = 30
m
s
Δt = 20 s (al igual que en un ejemplo anterior, los 20 segundos ya son
el intervalo de tiempo en que se realiza el movimiento, o lo que es lo mismo,
equivalen a t = 20 s y t0 = 0).
x0 = 35 m
Por lo tanto, queremos saber cuánto vale x, por ello usaremos la fórmula
x = x0 + v(t − t0) de la siguiente manera:
m

x = x0 + v(t − t0) = 35 m +  30 2  (20 s) = 35 m + 600 m = 635 m
s 

Nota que por prioridad de operaciones debemos multiplicar la velocidad
por el tiempo antes de sumar la posición inicial y que, por consistencia de
unidades, no lo podríamos hacer de otra manera.
• ¿A qué hora llegará un automóvil a una ciudad que se encuentra a una
distancia de 70 kilómetros, si parte a las 8 h y mantiene una velocidad
km
promedio de 80
?
h
Solución:
Datos:
v = 80
km
h
Δx = 70 km (ahora, los 70 kilómetros ya son el desplazamiento Δx)
70 km
t = t0 +
Dx
=8h+
km = 8 h + 0.875 h @ 8 h 53 min
v
80
h
39
40
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
Ejercicios
m
con un tiempo
1. Calcula el tiempo final si un móvil recorre una distancia de 3.1 kilómetros a 30
s
inicial de 40 segundos.
Datos:
m
s
Δx = 3.1 km
t0 = 40 s
t = ? (es la incógnita)
t = ___________________________
v = 30
m
2. Calcula la posición final de un móvil que se mueve a 80
durante 43 segundos si parte a 432 metros
s
del origen de coordenadas.
Datos:
v = 80
m
s
Δt = 43 s
x0 = 432 m
x = ? (es la incógnita)
x = ___________________________
2.2. Aceleración
La velocidad es el cambio de posición en un determinado tiempo. Así, la
velocidad mide qué tan rápido o lento se mueve un cuerpo. Sin embargo,
esta magnitud no es suficiente para describir los movimientos más generales
que pueden realizar los móviles. Para ello los físicos definen otra magnitud que
llamaremos aceleración.
La aceleración de un cuerpo es la variación o cambio de velocidad en
un intervalo de tiempo. O bien:
Laaceleracióndeunmóvileselcocienteentreelcambiodevelocidadyel
tiempoempleadoenesecambio.
En símbolos:
a=
∆v
∆t
[2.5]
ELEMENTOS DE FíSICA
41
Donde Δv es el cambio de velocidad, es decir:
Δv = v − v0
[2.6]
(v y v0 son las velocidades final e inicial respectivamente) y Δt es el tiempo
empleado. Así resulta que Δt = t − t0, los tiempos en que finaliza y comienza
el cambio de velocidad.
Para entender mejor esta definición veamos algunos ejemplos que te
indiquen cómo manipularla:
Ejemplos
m
• Calcula la aceleración de un automóvil que aumenta su velocidad de 20
s
m
a 40
en 5 segundos.
s
Solución:
m
Como indica el problema, “aumenta su velocidad de 20
”, es decir que
s
m
m
su velocidad inicial era de v0 = 20
, y su velocidad final es de v = 40
.
s
s
Por otra parte, el cambio de velocidad se realiza en 5 segundos, es decir que
Δt = 5 s, por lo tanto:
∆v v − v0
=
=
a=
∆t
∆t
40
m
m
m
20
− 20
s
s =
s =4 m
s
5s
s2
5
1
Como ves, la aceleración es una nueva magnitud que mide la rapidez de
cambio de la velocidad de un cuerpo, esto es, qué tan rápido o qué tan lento
aumenta o disminuye su velocidad.
longitud
. En el Sistema Internacional de
tiempo 2
km cm
m
Unidades, la velocidad se medirá en 2 , pero también pueden usarse 2 , 2
s
h
s
o cualquier otra relación de distancia entre tiempo al cuadrado, aunque la más
habitual es la del Sistema Internacional.
Fíjate que al igual que para calcular una velocidad lo importante era
el cambio de posición (desplazamiento) y no sus posiciones respecto a algún
sistema de referencia, para calcular la aceleración no importan sus velocidades
reales, sino el cambio en ella. De la misma manera, no importa a qué hora
comenzó la aceleración ni a qué hora terminó, sino cuánto tardó en realizar esa
variación, es decir, lo importante es la variación de tiempo; en símbolos:
Sus unidades, son de [a ]=
Δt = tf − t0
Quétanrápidocambia
la velocidad es lo que
llamamosaceleración.
42
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
m
m
• Calcula la aceleración de un móvil que varía su velocidad de 20
a 80
s
s
en 8 segundos.
Solución:
Datos:
m
s
m
v = 80
s
v0 = 20
Δt = 8 s
Por lo tanto:
∆v v − v0
=
=
a=
∆t
∆t
80
m
m
m
60
− 20
s
s =
s = 7.5 m
s
8s
s2
8
l
• Calcula la aceleración de un móvil que viaja a 180
km
durante 1 hora.
h
Solución:
Datos:
km
h
km
v = 180
h
v0 = 180
Δt = 1 h
Por lo tanto:
∆v v − v0
=
=
a=
∆t
∆t
180
km
km
km
0
− 180
h
h =
h = 0 km
h2
1h
1h
¡Es decir que tiene aceleración cero! Para la aceleración no es importante
“ir rápido” o “lento”, sino que haya cambio en la velocidad.
ELEMENTOS DE FíSICA
43
m
m
a1
• Calcula la aceleración de un móvil que varía su velocidad de 25
s
s
en 4 segundos.
Solución:
Datos:
m
s
m
v=1
s
v0 = 25
Δt = 4 s
Por lo tanto:
v − v0
a=
=
∆t
1
m
m
m
− 25
−24
s
s =
s =−6 m
4s
4s
s2
En este ejemplo el móvil disminuyó su velocidad (lo que comúnmente
llamamos frenar) y por ello la aceleración tuvo signo negativo.
Haytantaaceleracióncuandoaumentamoslavelocidadcomocuando
la disminuimos, pero no debemos confundirnos cuando decimos que
“aceleramos” porque tenemos apretado el acelerador de un vehículo;
sinuestroautomóvilsedesplazaavelocidadconstante,suaceleración
escero.
Ejercicios
1. Calcula la aceleración de un automóvil que aumenta su velocidad de 12
m
m
a 34
en 5 segundos.
s
s
a = ___________________________
2. Calcula la aceleración de un móvil que varía su velocidad de 2
a = ___________________________
m
m
a 12
en 30 segundos.
s
s
44
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
m
durante
3. Calcula la aceleración de un móvil que viaja a una velocidad constante de 28
s
35 minutos.
a = ___________________________
4. Calcula la aceleración de un móvil que varía su velocidad de 180
km
km
a 30
en 0.1 horas.
h
h
a = ___________________________
Sin embargo, las unidades en que se reportan las velocidades inicial y
final y los tiempos inicial y final, pueden no ser iguales. En ese caso habrá que
convertirlas, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
km
y frena totalmente
• Calcula la aceleración de un automóvil que viaja a 80
h
en 10 segundos.
Solución:
Como indica el problema, los datos son los siguientes:
km
h
km
v=0
h
Δt = 10 s
v0 = 80
Como ves, las velocidades inicial y final no están dadas en las mismas
unidades que el tiempo, por lo que debemos convertir o bien los 10 s a
m
km
horas, o los 80
a
(no es preciso convertir la velocidad final, ya que
s
h
m
km
0
=0
). Para ser consistentes con el Sistema Internacional de Unidades,
s
h
hagamos lo segundo:
v0 = 80
km
km   1000 m   1 h  80 000 m
m
=  80
≅ 22.22

=

h
h   1 km   3 600 s 
s
3 600 s

Entonces los datos del problema son:
v0 = 22.22
m
s
Δt = 10 s
v=0
m
s
ELEMENTOS DE FíSICA
45
Y por lo tanto, la aceleración será:
∆v v − v0
α=
=
=
∆t
∆t
0
m
m
− 22.22
s
s ≅ − 2.2 m
s2
10 s
Ejercicios
1. Calcula la aceleración de un automóvil que viaja a 50
km
y frena totalmente en 50 segundos.
h
a = ___________________________
2. Calcula la aceleración de un móvil que disminuye su velocidad de 30
m
km
a 24
en 8 segundos.
s
h
a = ___________________________
3. Calcula la aceleración de un móvil que disminuye su velocidad de 80
m
km
a 20
en 2.3 segundos.
s
h
a = ___________________________
2.3. Movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado (M.R.U.A.)
Ya estamos en condiciones de definir el movimiento más simple después del
rectilíneo uniforme: el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
o simplemente, M.R.U.A.
Decimos que un cuerpo está animado por un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado si:
• Sutrayectoriaesrectilínea(esdecir,semueveenlínearecta).
• Suaceleraciónesconstante(esdecir,queelaumentoodisminuciónde
velocidadessiemprelamismaparaintervalosdetiempoiguales).
Muchos de los movimientos complejos que realiza, por ejemplo, un
automóvil, pueden reducirse por tramos a M.R.U. y M.R.U.A. Por ejemplo,
cuando nos desplazamos por una carretera sin curvas o con curvas leves que
permiten una variación uniforme de la velocidad.
46
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
Ejemplo
• Calcula el cambio de velocidad de un automóvil al que se le imprime una
m
aceleración de 3 2 durante 20 s.
s
Solución:
Datos:
a=3
m
s2
Δt = 20 s
Δv = ?
Por ello usaremos la fórmula Δv = a Δt de la siguiente manera:
60 m s
m
 m
∆v = a ∆t =  3 2  (20 s) =
= 60
2
s
s
 s 
2.4. Movimiento en un campo gravitatorio
¿Qué cae antes, el cuerpo más pesado o el más liviano? La pregunta anterior
tuvo para la humanidad una respuesta evidente durante muchos siglos.
Aproximadamente unos 300 años antes de nuestra era, Aristóteles afirmó que
el cuerpo más pesado debía caer primero. De hecho, nuestra intuición parece
confirmarlo. Todo el mundo ha visto caer una piedra antes que un papel cuando
se dejan caer simultáneamente (si no estás seguro, es un buen momento para
probarlo. Toma un lápiz, una canica o cualquier otro objeto más pesado que
una hoja de papel y suéltalos, al mismo tiempo. Verás cómo planea la hoja y
demora más en caer que el otro objeto).
Sin embargo, Galileo Galilei, el primer físico moderno, dudó de la
simplicidad de este enunciado y, a diferencia del gran filósofo griego, realizó
muchos experimentos arrojando objetos diversos (diferente peso e igual forma,
igual peso pero diferente forma, etc.) desde lo alto de la torre de Pisa, en la
ciudad italiana del mismo nombre. Con esos experimentos, Galileo demostró
que la caída de los cuerpos no se ve afectada por su peso, sino por su forma,
ya que el aire frena los objetos más extendidos.
De la misma manera que un paracaídas abierto o cerrado tiene el mismo
peso, vemos que el tiempo de caída depende de qué tanta resistencia oponga
el objeto al aire. Por ello podemos decir que:
Enausenciadelaresistenciadelaireuotroluido,todosloscuerposcaen
conlamismaaceleración.
ELEMENTOS DE FíSICA
Si dudas de la veracidad de esta afirmación, luego de haber probado que
un lápiz cae antes que un papel desplegado, arruga el papel, hazlo una bola, y
vuelve a realizar el experimento. Verás que ahora los dos cuerpos caen juntos
y, sin embargo, el peso del papel no se modificó por haberlo arrugado.
Existen dudas históricas sobre si realmente Galileo arrojó o no los
objetos desde la torre mencionada. Lo más probable es que haya usado un
plano inclinado, es decir, una tabla que se levanta en un extremo y los objetos
pueden rodar sobre ella. Sin embargo, esta precisión histórica resulta irrelevante
para nuestro estudio.
Si ahora aceptas que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, es
conveniente medir esa magnitud. Los físicos posteriores a Galileo se abocaron
a esa empresa y particularmente Lord Cavendish realizó una medición
sumamente precisa a partir de un péndulo de torsión. Esta cantidad se conoce
como aceleración de la gravedad, se la simboliza con la letra g, y su valor a
450 de latitud terrestre y a nivel del mar es aproximadamente de:
g = 9.81
m
s2
m
En la Ciudad de México, el valor de g es aproximadamente de 9.78 2
s
debido a su altitud.
2.4.1. Caída libre
Si todos los cuerpos caen con la misma aceleración ya no es necesario conocer
m
su cantidad, que a lo largo de este libro tomaremos como 9.81 2 , salvo que
s
se especifique lo contrario. Por esto llamaremos caída libre al movimiento
que realizan los cuerpos al caer en las cercanías de un cuerpo celeste como la
Tierra, en la suposición de que la fricción del aire es despreciable y que, por lo
tanto, todos los cuerpos caerán con la misma aceleración, independientemente
de su forma y peso.
Por ello, las fórmulas desarrolladas en las secciones anteriores siguen
siendo válidas para el movimiento de caída libre con la sustitución de x por y
(ya que el movimiento será siempre vertical) y la de a por g. Es decir:
g=
∆v
∆t
[2.7]
Δv = gΔt
∆t =
∆v
g
[2.9]
v = v0 + gt
y = y0 + v0 t +
[2.8]
1
g t2
2
[2.10]
[2.11]
47
48
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
Ejemplos
• Calcula la velocidad con que choca con el piso un objeto que se suelta desde
la azotea de un edificio y tarda 4 segundos en llegar al suelo.
Solución:
Datos:
m
a = g = 9.81 2
s
Δt = 4 s
v0 = 0, ya que se suelta, lo que equivale a decir que no se le imprime
ninguna velocidad inicial.
v = ?, por ello usaremos la fórmula Δv = g Δt de la siguiente manera:
m
m

∆v = g ∆t =  9.81 2  (4 s) = 39.24
s 
s

Donde el Δv ya implica la velocidad final porque v0 = 0. O bien,
despejando v:
m
m
m
m
 m 
v = v0 + g ∆t =  0
+ 39.24
= 39.24
 +  9.81 2  (4 s ) = 0
s  
s
s 
s
s

• Calcula el tiempo que tarda en caer una piedra que se suelta desde lo alto de
m
un puente y llega a la superficie del agua a 5
.
s
Solución:
Datos:
a = g = 9.81
v0 = 0
v=5
m
s2
m
s
m
s
Δt = ? (Es equivalente suponer que se quiere averiguar el intervalo de
tiempo, que arbitrariamente colocar el origen en el tiempo t0 = 0 en el momento
en que se suelta la piedra).
∆v
=
∆t =
a
5
m
m
m
−0
5
2
s = 5 ms ≅ 0.5 s
s =
s
m
m
9.81 2 9.81 ms
9.81 2
s
s
Fíjate que los metros y los segundos se cancelan por estar tanto en
el numerador como en el denominador, y las unidades resultantes (s) son
consistentes con la magnitud velocidad.
ELEMENTOS DE FíSICA
• Calcula la altura de un edificio si una piedra que se suelta desde su azotea
choca con el piso en 2.3 segundos.
Solución:
Datos:
m
a = g = 9.81 2
s
t = 2.3 s
v0 = 0, ya que se suelta.
y=?
y=
1
1
g t2 =
2
2
m
m
2

2
 9.81 2  (2.3 s ) = 4.905 2 (5.29 s ) ≅ 25.95 m
s
s 

Es un edificio de más de 8 pisos. En realidad, un cuerpo que es soltado
desde esa altura sufre un efecto de retraso importante por la fricción con el
aire, por lo que un objeto soltado desde una altura mucho menor tardaría ese
tiempo.
• Calcula el tiempo que tarda en caer una piedra que se suelta desde lo alto de
un puente de 30 metros de alto, y la velocidad con que llega al suelo.
Solución:
Datos:
m
a = g = 9.81 2
s
m
v0 = 0
s
Δy = 30 m
t=?
v=?
Calculemos el tiempo
Δy = v0 t +
1
g t2
2
el término v0 t = 0, ya que v0 = 0
Δy = +
t=
1
g t2
2
t=
2 Dy
g
2 (30 m)
≅
m 2.47 s
9.81 2
s
49
50
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
Calculemos ahora la velocidad
v = v0 + g t = 9.81
m
(2.47 s)
s2
ya que v0 = 0
v = 24.23
m
s
Ejercicios
1. Calcula la velocidad con que choca con el piso un objeto que se suelta desde la azotea de un edificio y
tarda 5 segundos.
v = ___________________________
2. Calcula el tiempo que tarda en caer una piedra que se suelta desde lo alto de un puente y llega a la
m
superficie del agua a 12
.
s
t = ___________________________
3. Calcula la altura de un edificio si una piedra que se suelta desde su azotea choca con el piso en 1.23
segundos.
a = ___________________________
4. Calcula el tiempo que tarda en caer una piedra que se suelta desde lo alto de un puente de 40 metros
de alto, y la velocidad con que llega al suelo.
t = ___________________________
2.4.2. Tiro vertical
No todos los movimientos son efectuados en el mismo sentido en que actúa
g (hacia abajo). Todos hemos experimentado la caída de un objeto que había
sido arrojado previamente hacia arriba. Este movimiento lo llamaremos tiro
vertical, es decir que el tiro vertical es el movimiento que realizan los cuerpos
al subir y luego bajar por influencia del campo gravitatorio de la Tierra.
Esto quiere decir que el sentido de la aceleración de la gravedad de la
Tierra, es decir g, es contrario al de la velocidad inicial, lo que matemáticamente
se expresa colocándole un signo menos a g. Sin embargo, el movimiento sigue
siendo uniformemente variado, por lo que las fórmulas usadas hasta ahora
m
siguen siendo válidas si sustituimos a = g = −9.81 2
s
ELEMENTOS DE FíSICA
51
Por ello, las fórmulas desarrolladas en las secciones anteriores siguen
siendo válidas para el movimiento de caída libre con la sustitución de a
por g. Es decir:
−g=
∆v
∆t
Δv = −g Δt
∆t = −
∆v
g
[2.12]
[2.13]
[2.14]
O despejando convenientemente:
v = v0 − g Δt
[2.15]
2.4.3. Tiro parabólico
Hasta ahora hemos estudiado el movimiento de
los cuerpos en una sola dimensión. Sin embargo,
muchos de los movimientos que observamos en la
naturaleza no se pueden reducir fácilmente a este
tipo de movimiento. En esta sección, estudiaremos el movimiento que realiza
una piedra lanzada en cualquier dirección diferente a la vertical dentro de un
campo gravitatorio como el terrestre.
Por experiencia, tú sabes que una piedra así lanzada se alejará del tirador
al mismo tiempo que realiza un movimiento vertical. Si es hacia arriba,
subirá un poco para después caer a la Tierra. Al movimiento que realizan
los cuerpos que son lanzados no verticalmente en un campo gravitatorio se le
llama tiro parabólico.
Figura 2.1. Al movimiento que
realizan los cuerpos que son
lanzados no verticalmente en
un campo gravitatorio se le
llama tiro parabólico.
2.4.4. Tiro horizontal
Un experimento interesante (aunque también
extraño) consiste en arrojar desde una mesa el mismo
objeto varias veces con diferentes impulsos y siempre
en forma horizontal, como se indica en la figura:
Lo extraño de este experimento es que nuestra
intuición nos indica que el que es lanzado con más
fuerza debería caer más lejos y tardar más tiempo en tocar el suelo. Si bien es
cierto que aquel cuerpo lanzado con más fuerza cae más lejos, lo interesante
es que todos tardan el mismo tiempo en caer.
Puedes hacer la prueba de lanzar un objeto con mucha fuerza horizontal,
al mismo tiempo que dejas caer (vo = 0) otro objeto desde la altura de la mesa.
Los dos caerán al mismo tiempo. (Casos A y B de la figura 2.3).
Figura 2.2. Si bien es cierto
que el cuerpo que es lanzado
con más fuerza cae más lejos,
lo interesante es que todos
tardan el mismo tiempo en
caer.
52
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
Figura 2.3. Si pruebas lanzar
un objeto con mucha fuerza
horizontal, al mismo tiempo
que dejas caer (vo = 0)
otro objeto desde la altura
de la mesa, los dos caerán
al mismo tiempo (casos A y B
de la igura).
Para poder comprender lo que sucede en
este experimento vamos a recurrir a la noción de
magnitud vectorial.
La aceleración es una cantidad vectorial que
nos indica el vector cambio de velocidad con respecto
al tiempo. Nosotros sabemos que si soltamos un
cuerpo en las cercanías de la Tierra, caerá hacia su
centro.2 Como estamos soltando el objeto, su velocidad inicial será cero (vo = 0),
porque no le estamos dando ningún impulso. Al llegar al suelo, tendrá una
determinada velocidad final diferente de cero (v ≠ 0). Este cambio de velocidad
se debe, de acuerdo con la fórmula 2.20, a la existencia de una aceleración, la
cual es la misma para todos los cuerpos; la llamamos g y su valor aceptado es
de 9.81 m/s2.
Esta aceleración de la gravedad es una cantidad vectorial, por lo que
no basta con dar su módulo (9.81 m/s2), hace falta dar su dirección y sentido.
La dirección de la aceleración de la gravedad es la llamada vertical del lugar
y coincide con la dirección que toma el hilo de una plomada y su sentido es
hacia el centro de la Tierra.
Como esta aceleración está dirigida hacia el centro de la Tierra (es decir,
que no tiene ninguna componente horizontal) es la misma en ambos casos.
Todosloscuerposquesonlanzadoshorizontalmentedesdelamismaaltura
caeránalmismotiempoindependientementedelimpulsohorizontal.
Figura 2.4. Esquema que
simboliza el experimento
que comprueba la composición
de movimientos. La sombra
sobre el piso se mueve en
M.R.U. (movimiento horizontal),
mientras que la sombra que se
proyecta sobre la pared realiza
un movimiento de tiro vertical
(M.R.U.A. con a = –9.81 m/s2).
Si arrojamos un cuerpo en un campo gravitatorio,
describirá un movimiento parabólico cuyas características
estarán determinadas por la velocidad inicial.
Si colocáramos una lámpara arriba del lugar
donde se realizará el movimiento parabólico, como
lo indica la figura anterior, veríamos que la sombra
proyectada sobre el piso realiza un movimiento
rectilíneo uniforme (M.R.U.). Y si colocáramos una
lámpara a la derecha del movimiento, veríamos que la
sombra proyectada sobre la pared de la izquierda realiza
un movimiento de tiro vertical (es decir, M.R.U.A. con
g = –9.81 m/s2).
Por ello podemos decir que el movimiento parabólico que realiza el
cuerpo es la composición de un movimiento rectilíneo uniforme sobre el eje
horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sobre el
eje vertical con aceleración g = –9.81 m/s2.
2
Habitualmente decimos que cae “hacia abajo”; sin embargo, piensa que la Tierra tiene
una forma aproximadamente esférica, y lo que para un mexicano es “hacia abajo”, para un
australiano sería “hacia arriba”. Lo que realmente sucede es que los objetos son atraídos por
la Tierra y, por ello, se dirigen hacia su centro.
ELEMENTOS DE FíSICA
Si descomponemos la velocidad inicial sobre los ejes x y y, tendremos que:
v0x = v0 cos α
[2.16]
v0y = v0 sen α
[2.17]
El movimiento de la sombra sobre el eje horizontal es un M.R.U., donde
v = v0x = v0cos α (ya que en un M.R.U. la velocidad inicial, final y aquella que
anima al móvil durante todo el proceso es la misma), y por lo tanto:
x = x0 + (v0 cos α) t
[2.18]
El movimiento de la sombra sobre el eje vertical es un M.R.U.A.
Así, indicaremos la posición por y en lugar de x, v 0 = v 0y = v 0 sen , y
a = −g = −9.81 m/s2 , y por lo tanto:
y = y0 +(v0 sen α) t − ½ g t2
[2.19]
vy = v0 sen α − g t
[2.20]
Y el movimiento real es la composición de ambos movimientos,
resultando el tiro parabólico que observamos al arrojar una piedra.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplos
• Si un cuerpo se deja caer desde una altura de 1.2 m:
a) ¿Cuánto tiempo tardará en caer?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
Solución:
Si el objeto “se deja caer”, quiere decir que su velocidad inicial es cero,
v0 = 0, por lo que las componentes tanto horizontal como vertical también
serán cero (v0x = 0, v0y = 0). Además, parte de una altura inicial de 1.2 m
(y0 = 1.2 m) y llega al suelo, lo cual significa que su posición final será
cero (y = 0), por lo cual, de la fórmula 2.19 tenemos que:
a) y = y0 + (v0 sen α) t − ½ g t2, es decir que 0 = 1.2 m − ½ (9.81 m/s2) t2,
donde se anula todo el término v0 sen α t, y despejando t:
t=
(− 1.2 m)(2)
=
m
− 9.81 2
s
− 2.4 m
= 0.24 s2 ≅ 0.5 s
m
− 9.81 2
s
(Aproximadamente medio segundo.)
Figura 2.5.
53
54
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
b) De la fórmula 2.20 tenemos que:
vy = v0 sen α − g t
es decir
vy = (−9.81 m/s2) t
donde t = 0.5 s (hallado en el punto anterior)
vy = (−9.81 m/s2) (0.5 s) = −4.9 m/s
donde el signo negativo indica que la velocidad va hacia abajo, es
decir, que fue disminuyendo su altura a lo largo del movimiento.
• Si un cuerpo se lanza horizontalmente desde una altura de 1.2 m, a una
velocidad de 3 m/s:
a) ¿Cuánto tiempo tardará en caer?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
c) ¿A qué distancia cae?
Solución:
Si el objeto “se lanza horizontalmente”, quiere decir que su velocidad
inicial tiene sólo una componente, la horizontal (el ángulo es cero) y la
componente vertical también será cero (v 0x = v 0 cos 0 = v 0, mientras
que v 0y = v0 sen 0 = 0), por lo que el movimiento sobre el eje vertical es el
mismo que para el ejemplo anterior. Además, parte de una altura inicial
de 1.2 m ( y0 = 1.2 m) y llega al suelo, es decir, que su posición final será
cero (y = 0), pero en el eje horizontal no nos dicen desde dónde parte, así
que podemos tomar el origen en el lugar de partida, entonces x 0 = 0, y de la
fórmula 2.19 tenemos que:
a) y = y0 + (v0 sen α) t – ½ g t2
es decir que:
0 = 1.2 m – ½ (9.81 m/s2) t2
t = 0.5 s
(igual que en el ejemplo anterior, significa que tarda lo mismo en caer)
b) Ya que v0 = 0, de la fórmula 2.20 tenemos que:
vy = (–9.81 m/s2) t
ELEMENTOS DE FíSICA
donde:
t = 0.5 s
vy = –4.9 m/s
Pero ahora la velocidad en el eje horizontal no es cero, sino que
es vx = v0x = v0 cos 0= 3m/s, por lo que la velocidad total será la
composición de la vx y la vy, es decir:
2
v=
2
m
m2
m2

 m
=
+
vx 2 + v y 2 =  3  +  −4.9
.
9
24
01

s 
s2
s2

 s 
== 33.01
m
m2
= 5.7
2
s
s
m
c) vx = vo = 3
s
xo = 0
t = 0.55
x = xo + v × t
x = 0 + 3 (0.5) = 1.5 m
x = 1.5 m
• Un objeto es lanzado con una velocidad inicial de 50 m/s con una inclinación
de 60° sobre la horizontal:
a) ¿Cuánto tiempo tarda en caer?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
c) ¿A qué distancia del punto desde donde es lanzado toca el piso?
(A esta distancia se la llama alcance).
d) ¿Cuál es la altura máxima?
Solución:
Datos:
v0 =
α =
g =
y0 =
x0 =
50 m/s
60°
−9.81 m/s2
0 (parte del piso)
0 (elegimos arbitrariamente el origen en el lugar de partida para
facilitar los cálculos)
55
56
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
a) De la fórmula 2.19
y = y0 + (v0 sen α) t − ½ g t2
tenemos que:
y = 0 + (50 m/s sen 60°) t − ½ 9.81 m/s2 t2
o bien:
y = (43.3 m/s) t − (4.9 m/s2) t2,
que es una ecuación cuadrática en el tiempo. Si queremos obtener el
tiempo en que la piedra llega al suelo, vemos que en ese momento
la altura final será cero, es decir, y = 0, por lo que tenemos:
0 = (43.3 m/s) t − (4.9 m/s2) t2
y factorizando t, tenemos:
0 = t (43.3 m/s − 4.9 m/s2 t)
Esta ecuación tiene solución cuando alguno de los factores es cero,
es decir que:
t=0
O bien:
43.3 m/s – 4.9 m/s2 t = 0
La primera de estas soluciones es más que evidente, ya que nos indica
que y = 0 (es decir que está en el piso) a t = 0 (esto es, al comenzar
el movimiento estaba en el piso). Esto ya lo sabíamos, por lo que
esta solución no nos interesa y la descartamos. La segunda solución
es la que buscábamos, entonces:
43.3 m/s – 4.9 m/s t = 0
y despejando t:
m
s = 8.8 s
t=
m
− 4.9 2
s
− 43.3
Esto significa que tarda 8.8 segundos en llegar al suelo.
ELEMENTOS DE FíSICA
b) La velocidad con que llega al suelo será la composición de la velocidad
horizontal y la vertical. En el eje horizontal la velocidad es constante,
así que:
vx = v0 cos 60° = 50 m/s (0.5) = 25 m/s
En el eje vertical:
vy = 50 m/s sen 60° – 9.81 m/s2 t
donde:
t = 8.8 s
vy = 43.3 m/s –86.33 m/s = –43 m/s
Y por lo tanto:
2
m2
m
m
m
m
v =  25  +  − 43  ≅ 50
= 2 474 2 = 49.74 ≅ 50
s
s  
s 
s
s

y
− 43
m
s = ang tan –1.72 = –59.83° = 300.17°
a = ang tan
m
25
s
c) En el eje horizontal se realiza un M.R.U., donde:
v = vx = v0 cos 60° = 50 m/s (0.5) = 25
x0 = 0
y
m
s
t = 8.8 s (al final)
Entonces x = 0 + 25 m/s 8.8 s = 220 m
El alcance es de 220 m.
d) La velocidad en el eje vertical disminuirá paulatinamente hasta llegar
al punto máximo y luego comenzará a aumentar pero hacia abajo. La
altura máxima es el punto donde cambia el sentido de la velocidad
vertical, por lo cual en ese punto vy = 0, así que:
vy = v0 sen α − g t = 50 m/s sen 60° – (9.81 m/s) t
0 = 43 m/s – (9.81 m/s2) t
57
58
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
de donde, despejando t:
m
s ≅ 4.4 s
t=
m
−9.81
s
− 43
Es decir, el tiempo de la altura máxima es la mitad del tiempo total,
lo que resulta muy lógico, y por lo tanto la altura máxima será:
y = y0 + (v0 sen ) t − ½ g t2
y = 0 + (50 m/s sen 60°) t – ½ (9.81 m/s2) t2
o bien
y = 43.3 m/s t − 4.9 m/s2 t2
haciendo t = 4.4 s
y = 43.3 m/s 4.4 s – 4.9 m/s2 (4.4 s)2
y = 190.52 m – 4.9 m/s2 19.36 s2
y = 190.52 m – 94.86 m
y = 95.66 m
Que es la altura máxima.
Ejercicios
1. Si un cuerpo se deja caer desde una altura de 60 cm:
a) ¿Cuánto tiempo tardará en caer?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
2. Si un cuerpo se lanza horizontalmente desde una altura de 25 m, a una velocidad de 8 m/s:
a) ¿Cuánto tiempo tardará en caer?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
c) ¿A qué distancia cae del lugar del que fue lanzado?
ELEMENTOS DE FíSICA
59
3. Un objeto es lanzado desde el piso con una velocidad inicial de 30 m/s con una inclinación de 30°
sobre la horizontal:
a) ¿Cuánto tiempo tarda en caer?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
c) ¿A qué distancia del punto de donde es lanzado toca el piso?
d) ¿Cuál es la altura máxima?
4. Si un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo desde una altura de 20 m, a una velocidad de 3 m/s:
a) ¿Cuánto tiempo tarda en caer?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
5. Si un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 20 m, a una velocidad de 3 m/s:
a) ¿Cuánto tiempo tarda en caer?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
c) ¿Cuál es la altura máxima?
2.5. Leyes de Newton
Las llamadas leyes de Newton constituyen el cuerpo que forma la base de la
física conocida. Sin pretender que toda la información esté contenida en ellas,
sí podemos afirmar que es a partir de ellas que se construye el resto.
2.5.1. Primera Ley de Newton o de la inercia
¿Qué es más fácil, mover un librero lleno de libros o uno vacío?
La Primera Ley de Newton se refiere a la inercia. Pero, ¿qué es la
inercia? Para contestar esta pregunta, desarrollemos un experimento mental,
de aquellos que tanto le gustaban a Albert Einstein. Un experimento mental
es un juego mental en donde resumimos el conjunto de experiencias que cada
uno ha construido a lo largo de su vida en una suerte de “experimento” que
se concretiza en aprendizaje. Claro está que los experimentos mentales no
sustituyen a los verdaderos experimentos, los cuales son la verdadera respuesta
a nuestras preguntas.
Como dijimos, Aristóteles esbozó una teoría del movimiento al suponer
que los cuerpos buscaban su lugar natural, los pesados hacia el centro de la
Tierra y los livianos hacia el cielo. Esta teoría sostenía que los cuerpos más
pesados caerían más rápidamente que los más livianos. Esta concepción parece
verificarse en nuestra experiencia.
Galileo Galilei dudó de esta afirmación. Si dejamos caer dos cuerpos, M
y m, de los cuales el primero es más “pesado” (en realidad deberíamos decir de
mayor masa) que el segundo, de acuerdo con esta concepción M debe llegar al
60
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
suelo primero. Pero si los unimos en un solo cuerpo, el más liviano retrasará
al más pesado debiendo caer en un tiempo menor de lo que caería el más pesado,
pero antes de lo que lo haría el más liviano. Por otra parte, el cuerpo formado
por los dos sería más pesado que cada uno de ellos por separado, por lo tanto,
debería caer antes que el más pesado. La contradicción es evidente.
A veces nuestra intuición nos engaña y sacamos conclusiones algo
precipitadas. Ya vimos qué sucede cuando arrojamos dos cuerpos de distinto
peso. Al dejar caer una piedra y una hoja de papel desplegada, simultáneamente,
vemos que la piedra llega al suelo antes que el papel.
Figura 2.6. Si arrojamos una
piedra y una hoja de papel,
simultáneamente, la piedra llega
al suelo antes que el papel.
Figura 2.7. Si arrojamos
simultáneamente una piedra
y una hoja de papel hecho bola,
llegan al suelo al mismo tiempo.
Figura 2.8. Si arrojamos una piedra y una hoja
de papel desplegado pero en una campana de
vacío, caen simultáneamente, ya que no existe
resistencia que frene la caída del papel.
Vimos también que todos los cuerpos caen con la misma aceleración,
llamada aceleración de la gravedad, que en el caso de la Tierra es aproximadamente
m
de 9.81 2 . Vemos que esta aceleración no depende de qué tan pesados sean
s
los cuerpos, ya que es la misma para todos.
Con estos antecedentes podemos recuperar los experimentos que
realizó Galileo y que sirvieron de base a la formulación de la Primera Ley de
la Mecánica.
Supongamos que tenemos dos planos inclinados enfrentados, como se
muestra en la figura 2.9. Un plano inclinado es simplemente una tabla que está
levantada en un extremo.
Si dejamos caer un cuerpo de un plano inclinado bien pulido, donde la
fricción con el suelo y la resistencia del aire sean despreciables (como el marcado
con las letras AB de la figura anterior), el cuerpo subirá sobre el plano inclinado
CD hasta la misma altura en que fue soltado, ya que la aceleración que sufre el
cuerpo sobre el plano CD, y que es responsable de irlo frenando, es la misma
que la aceleración recibida a lo largo del plano AB.
Si ahora procedemos a disminuir la inclinación del segundo plano
inclinado (CD), la aceleración será menor y, por lo tanto, recorrerá más distancia
de tal forma que llegue, si no hay fricción con el suelo ni con el aire, hasta
la misma altura que antes. Si seguimos este proceso, veremos que el cuerpo
tiende a recorrer cada vez mayor distancia, y en el caso límite en que el plano
CD estuviese totalmente horizontal, el cuerpo no se detendría nunca, ya que
no podría alcanzar la altura inicial.
ELEMENTOS DE FíSICA
Figura 2.9. Si dejamos caer un cuerpo
por un plano inclinado sin fricción, llega hasta la misma
altura de la que fue arrojado.
61
Figura 2.10. Si vamos bajando el plano CD, el cuerpo
recorre cada vez mayor distancia.
En el límite tendría un movimiento continuo.
De este experimento crucial se deduce uno de los más grandes logros
de la ciencia moderna, que ahora estamos en condiciones de formular:
La Primera Ley de Newton, que dice:
Todocuerposobreelcualnoseaplicaningunafuerzaexterna,permanecerá
enreposoosemoveráenformarectilíneayuniforme.
Esto quiere decir que si un cuerpo se encuentra en reposo con respecto
a algún sistema de referencia, seguirá en reposo a menos que se le aplique una
fuerza. Y si un cuerpo se encuentra en M.R.U., seguirá moviéndose en forma
rectilínea y uniforme (velocidad constante) a menos que sobre él actúe una
fuerza externa.
Esta importante ley nos habla de la inercia que poseen los cuerpos
en movimiento o en reposo. Llamamos inercia a la resistencia al cambio de
movimiento o en reposo. Esto es, que si un cuerpo se encuentra en reposo
tenderá a quedarse en reposo y opondrá una resistencia a comenzar a moverse.
Si en cambio, el cuerpo se encontraba en movimiento, opondrá resistencia a
cambiar el módulo de su velocidad o a torcer su trayectoria rectilínea. A pesar
de que parezca extraña, has vivido muchas veces esta ley. Piensa en estas tres
situaciones:
Ejemplos
• Te encuentras parado dentro de un autobús que está detenido frente a un
semáforo. En el momento del arranque, tu cuerpo tiende a irse para atrás. Es
decir, estabas en reposo y tu cuerpo, por inercia, tiende a quedarse en reposo.
• Estás parado en el mismo autobús que se desplaza a velocidad constante, y
frena de repente. Tu cuerpo se va para adelante. Es decir, estabas desplazándote
a velocidad constante y ante el cambio de velocidad (disminución) tu cuerpo
tiende a seguir moviéndote para adelante. Si en lugar de frenar, el camión que
estaba moviéndose a velocidad constante aumenta su velocidad (acelera), tu
cuerpo se va para atrás. En otras palabras, tu cuerpo tiende a seguir a la misma
velocidad que tenía antes del cambio.
La inercia es la propiedad
delosobjetosderesistir
cambiosdemovimiento.
62
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
• Si el conductor del mismo vehículo que se está desplazando a velocidad
constante decide dar vuelta sin disminuir la velocidad, tu cuerpo se desplazará
en el sentido contrario al giro. Es decir que, te estabas desplazando en
forma rectilínea y, ante el cambio, tu cuerpo tiende a seguir la trayectoria
rectilínea.
Figura 2.11. a) Si el móvil
está parado y arranca,
tu cuerpo se desplaza hacia
atrás del colectivo.
b) Si el móvil frena,
tu cuerpo se desplaza hacia
adelante del colectivo.
Figura 2.13. ¿Cuál es la
trayectoria que sigue una
piedra que es soltada en
un punto de un movimiento
circular, la A o la B?
Pruébalo experimentalmente.
Figura 2.12. Si el autobús dobla, tú sigues en movimiento rectilíneo.
El efecto es creer que te vas para “afuera”.
Si atas una piedra a un hilo y lo haces girar en círculo en forma horizontal
sobre una mesa y en determinado momento sueltas el hilo, ¿cómo se moverá
la piedra durante los instantes siguientes?
La ley de la inercia fue hallada por Galileo y posiblemente por otros
físicos anteriores, como Leonardo da Vinci (el autor de La Gioconda, quien
también realizó investigaciones científicas), sin embargo, fue Isaac Newton
quien la enunció en su forma actual y le proporcionó consistencia, al unirla
con las otras dos leyes para fundar la mecánica actual.
Si bien puedes haber “creído” lo dicho hasta ahora, esta importante ley no
se intuye fácilmente. Aristóteles había dicho que los cuerpos se ven animados
por fuerzas hasta que se detienen. Para él, una piedra que es lanzada sigue
animada de fuerzas que la impulsan hacia adelante hasta que se detiene. Para
Newton, la piedra se sigue moviendo por inercia y su explicación es mucho
más plausible, ya que Aristóteles no podía justificar quién ejercía esa fuerza
una vez que se desprendía de la mano impulsora.
Pero para hacer realmente ciencia, no aceptes ciegamente lo dicho; mejor
compruébalo tú mismo. Construye un péndulo, atando al extremo de un
hilo un peso determinado. Cuando el péndulo esté sostenido de la punta
del hilo, tomará una posición vertical hacia abajo (dirección y sentido de
la aceleración de la gravedad). Cuelga ese péndulo del espejo interior de tu
automóvil o del de un amigo. En un trayecto relativamente corto en el que
frenes, aceleres y gires, podrás comprobar esta ley, que es la fundadora del
pensamiento físico moderno.
Esta inercia que muestran los cuerpos está estrechamente relacionada
con otra magnitud que es de fundamental importancia para la física: la masa.
La masa de un cuerpo está relacionada con la cantidad de materia que posee
el cuerpo. Así, decimos que un camión tiene más masa que un automóvil
pequeño.
ELEMENTOS DE FíSICA
Pensemos en la ley de la inercia en función de las masas de los cuerpos.
Supongamos que yendo en tu pequeño automóvil, te quedas sin gasolina a
100 metros de una gasolinera. Sería posible que decidas empujarlo hasta ella.
Sin embargo, si las circunstancias te llevan a quedarte sin gasolina mientras
manejas un gran camión cargado con materiales de construcción, difícilmente
decidirías empujarlo. No podrías hacerlo. Más bien, buscarías un recipiente para
transportar algo de gasolina. Lo que sucede es que el camión tiene más masa
y, por ello, mayor inercia, y si el camión está detenido te va a costar mucho
más vencer su estado de reposo que en el caso del auto. De la misma manera,
prefieres vaciar un librero antes de moverlo, con ello disminuyes su masa, es
decir su inercia, y lo puedes mover más fácilmente.
Si ahora suponemos que dejas tu pequeño auto en una pendiente, te
bajas y olvidas colocar el freno de mano, éste comenzará a desplazarse. En ese
momento, puedes decidir colocarte para detenerlo; si, en cambio, te sucede lo
mismo con el camión cargado, dudo mucho que intentes ponerte delante para
frenarlo, más bien buscarás subirte y frenarlo de otra manera. ¿Por qué? El
camión tiene más masa y mayor inercia y, por ende, una vez que se encuentra
en movimiento, es más difícil cambiar su estado que el del auto.
En la época de las direcciones hidráulicas y asistidas, es más difícil
identificar la tendencia al movimiento rectilíneo de la inercia, pero puedes
preguntar a las personas mayores qué características físicas tenían antes los
conductores de camiones. Te dirán que eran hombres grandes y fuertes, y es
que para doblar la dirección de un camión hacía falta hacer mucha fuerza para
vencer la inercia al movimiento rectilíneo.
63
¿Qué pasa con la velocidad
de un automóvil en el
instante posterior a soltar
el pedal de la aceleración?
2.5.2. Segunda Ley de Newton o de la masa
Ya tenemos las bases para poder dar el paso fundamental a la mecánica de
Newton: su segunda ley. De la primera ley vemos que un cuerpo sobre el cual
no actúan fuerzas externas a él, o cuya suma se anula (resultante igual a cero),
se moverá en forma rectilínea y uniforme. De ahí podemos deducir que si
sobre un cuerpo actúa alguna fuerza externa se acelerará. Recuerda que cuando
decimos que un cuerpo se acelera, no queremos afirmar que necesariamente
aumenta su velocidad, sino que cambia, es decir, la velocidad puede aumentar
o disminuir.
Segunda Ley de Newton. Cuandoseaplicaunafuerzaqueesunamagnitud
vectorial,sobreuncuerpo,seproduceunaaceleraciónsobreésteenla
mismadirecciónysentidoqueaquélla.
Figura 2.14. La aceleración
que produce una fuerza
externa a un cuerpo es un
vector que tiene la misma
dirección y el mismo sentido
que la fuerza; sin embargo,
sus módulos son, en general,
diferentes.
64
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
El hallazgo de Newton fue que los módulos de esos vectores son
proporcionales. Si recuerdas tus cursos de matemáticas, esta afirmación significa
que los cocientes entre las diferentes fuerzas que se aplican a un mismo cuerpo
y las aceleraciones que producen son una constante. Esta relación es conocida
como Segunda Ley de Newton y en símbolos esto quiere decir que:
F1
=
a1
F2
=
a2
F3
= etcétera
a3
Es decir que si sobre un cuerpo se aplica una fuerza de módulo doble a
otra, se obtendrá una aceleración también de doble intensidad.
Figura 2.15. Las fuerzas
aplicadas a un mismo cuerpo
son proporcionales a las
aceleraciones que provocan
sobre él. Es decir que, a mayor
fuerza, mayor aceleración,
y a menor fuerza, menor
aceleración.
El cociente (resultado de la división) entre la fuerza y la aceleración es
una magnitud que es función del cuerpo y no de las fuerzas externas aplicadas.
Esa magnitud es empleada como la masa del cuerpo, que es una magnitud
escalar. Es decir que:
F
= m o bien F = m a
a
[2.21]
La unidad de masa en el Sistema Internacional es el kilogramo (kg). Si
hacemos un análisis dimensional veremos que la unidad de la fuerza debe ser el


m
producto de la unidad de la masa por la de la aceleración  2  , es decir que:
s 
[F ]= [m ][a ]= kg
m
s2
m

A esta relación,  kg 2 , la llamamos newton (N), y en el Sistema
s 

Internacional es la unidad de fuerza, en honor a Isaac Newton. Es decir, que
una fuerza de 1 newton aplicada a un cuerpo de 1 kilogramo de masa, produce
m
una aceleración de 1 2 . En símbolos:
s
m
 m
1 N= (1 kg)  1 2  = 1 kg 2
s
 s 
ELEMENTOS DE FíSICA
Ejemplos
• ¿Qué fuerza es necesaria aplicar a un cuerpo de 5 kg de masa para producir
m
una aceleración de 2 2 ?
s
Solución:
A pesar de que tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes
vectoriales, ya sabemos que la dirección y el sentido de la fuerza necesaria serán
las de la aceleración. Es decir, solamente hace falta conocer el módulo de la
fuerza necesaria, por lo que sólo necesitamos hacer operaciones escalares.
De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, F = m a y como m = 5
m
kg y a = 2 2 .
s
Datos:
m = 5 kg
a=2
m
s2
F=?
m
 m
Entonces, como F = m a = (5 kg)  2 2 = 10 kg 2 = 10 N.
s
 s 
• ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de 13.28 N produce una aceleración
de 2 ?
Solución:
De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, en la forma en que la
introducimos, existe una proporcionalidad entre la fuerza y la aceleración, por
F
lo tanto su cociente es la masa. En símbolos: m = .
a
Volviendo al problema, como
m
F = 13.28 N y a = 2 2
s
los datos son:
F = 13.28 N
pero como
1 N = 1 kg
m
s2
65
66
Unidad 2. Dinámica: movimiento y equilibrio
entonces
F = 13.28 kg
a=2
m
s2
m
s2
m=?
N
F 13.28 N
= 6.64
= 6.64
por lo tanto, m = =
m
m
a
2 2
s2
s
m
s2 = 6.64 kg .
m
s2
kg
• ¿Qué aceleración produce una fuerza de 54.28 N a un cuerpo de 5 kg de
masa?
Solución:
De acuerdo con la fórmula 2.21, a =
F
.
m
Datos:
m = 5 kg
F = 54.28
N = 54.28 kg
m
s2
a=?
F 54.28 N
entonces, a = =
=
5 kg
m
m
s2 = 10.856 m ≅ 10.86 m .
5 kg
s2
s2
54.28 kg
Ejercicios
1. ¿Qué fuerza es necesaria aplicar a un cuerpo de 15 kg de masa para producir una aceleración de
m
2.5 2 ?
s
Datos:
m = 15 kg
m
a = 2.5 2
s
F=?
Entonces, como F = m a = ____________________
ELEMENTOS DE FíSICA
2. ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de 54.27 N produce una aceleración de 7.3
67
m
?
s2
Datos:
m
F = 54.27 N = 54.27 kg 2
s
m
a = 7.3 2
s
m=?
F
Entonces, m =
= ____________________
a
3. ¿Qué aceleración produce una fuerza de 184 N a un cuerpo de 5.1 kg de masa?
Datos:
m = 5.1 kg
F = 184 N = 184 kg
m
s2
a=?
Entonces, a =
F
= ____________________
m
4. ¿Qué fuerza es necesaria aplicar a un cuerpo de 75.43 kg de masa para producir una aceleración de
m
−9.81 2 .
s
Datos:
m=
a=
F=?
5. ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de −32.54 N produce una aceleración de −7
Datos:
F=
a=
m=?
6. ¿Qué aceleración produce una fuerza de −166.77 N a un cuerpo de 17 kg de masa?
Datos:
F=
m=
a=?
m
?
s2
68
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
La Segunda Ley de Newton habla de una fuerza externa. Sin embargo,
por lo general sobre un cuerpo actuará más de una fuerza. Pero la ley de la
masa habla siempre de la resultante. ¿Recuerdas cómo sumar vectores? Las
fuerzas son vectores, por lo que para hallar la resultante, que es la fuerza
equivalente a dos de éstas o más aplicadas a un mismo cuerpo, habrá que
sumarlas.
Ejemplos
• Imagina que sobre un mismo cuerpo de 4 kg de masa, actúan tres fuerzas
de 3, 5 y 8 N cada una, dirigidas en la misma dirección y sentido. ¿Cuál es la
aceleración del cuerpo?
Solución:
Como las fuerzas tienen el mismo punto de aplicación
(están aplicadas en un mismo cuerpo) y tienen además la
misma dirección y sentido, el módulo de la resultante será la
simple suma de las fuerzas componentes, y la dirección y el
sentido serán los de cualquiera de ellas.
Figura 2.16. La resultante
de tres fuerzas de 3, 5 y 8 N
con la misma dirección y
sentido es otra fuerza de
“módulo 16” (su suma), con el
mismo sentido.
Datos:
m = 4 kg
F = 16 N
a=?
m
F 16 N
= = 4 2 .
Y entonces a =
a 4 kg
s
Hay dos argumentos para saber que la aceleración de este problema debe
m
tener unidades de 2 , uno matemático y otro físico:
s
[F ]
[a] =
1. Argumento matemático: =
[m]
2. Argumento físico: [a ] =
m
s2 = m , ya que N = kg m .
s2
kg
s2
kg
unidades de longitud
m
= 2
s
unidades de tiempo al cuadrado
Tanto la fuerza como la masa están dadas en unidades del S.I., en
consecuencia la aceleración debe darse en unidades de aceleración del S.I.
ELEMENTOS DE FíSICA
69
• ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de 13.28 N
contrarrestada por otra de 5.23 N en sentido contrario,
m
produce una aceleración de 2 2 ?
s
Solución:
Datos:
Figura 2.17. La resultante
de dos fuerzas, de 13.28 N
y 5.23 N, con la misma
dirección pero de sentido
contrario, es otra fuerza de
módulo igual a su diferencia
(8.05 N) con la misma dirección
y sentido de la mayor de ellas.
F = 8.05 N
m
a=2 2
s
Símbolos: m =
F 8.05 N
=
≅ 4 kg
m
a
2 2
s
Ejercicios
1. Imagina que sobre un mismo cuerpo de 42 kg de masa, actúan tres fuerzas de 30, 5 y 15 N cada una,
dirigidas en la misma dirección y sentido. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo?
a = ____________________
2. ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de 328 N contrarrestada por otra de 53 N en sentido
m
contrario, produce una aceleración de 21 2 ?
s
m = ____________________
Uso de la Segunda Ley de Newton para unidades que no
pertenecen al S.I.
Pero, ¿qué sucede si las unidades de la fuerza, de la aceleración y de la masa no
están en el S.I.? Como hicimos con el caso de la cinemática, tendremos que
convertir unidades.
Vamos a practicar la conversión de unidades.
La unidad de fuerza en el sistema c.g.s. (cm, g, s) es la dina cuya
abreviatura es din, entonces:
din = [F ]= [m ][a ]= g
cm
s2
Significa que una fuerza de 1 dina aplicada sobre un cuerpo de 1 gramo
m
de masa produce una aceleración de 1 2 .
s
70
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
Ejemplos
• Imagina que sobre un mismo cuerpo de 4 500 g de masa, actúa una fuerza
de 8 N. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en unidades del S.I.?
Solución:
En este caso, la masa no está dada en kilogramos, que es la unidad
correspondiente al Sistema Internacional. Por ello vamos a convertirla a kg.
 1 kg 
4 500 g = 4 500 g 
 = 4.5 kg
 1 000 g 
Datos:
m = 4.5 kg
F=8N
a=?
m
8 kg 2
8N
F
s ≅ 1.78 m .
=
=
a=
4.5 kg
m
s2
4.5 kg
• ¿Cuál es la masa de un cuerpo en kg si una fuerza de 3 N le produce una
cm
aceleración de 25 2 ?
s
Solución:
m
, que es la unidad
s2
correspondiente al Sistema Internacional. Por ello vamos a convertirla.
En este caso, la aceleración no está dada en
25
cm
cm  1 m 
m
= 25 2 
 = 0.25 2
2
s
s  100 cm 
s
Datos:
a = 0.25
m
s2
F=3N
m=?
m
3 kg 2
N
3
F
s
12 kg .
m=
=
= =
a 0.25 m 0.25 m
s2
s2
• Imagina que sobre un mismo cuerpo de 4 kg de masa, actúa una fuerza de
800 000 din. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en unidades del S.I.?
Solución:
En este caso, la fuerza no está dada en N, que es la unidad correspondiente
al Sistema Internacional. Por ello vamos a convertirla.
ELEMENTOS DE FíSICA
71
 g cm   1 m   1 kg 
800 000 din = 800 000  2  
 = 8 N.

 s   100 cm   1 000 g 
Datos:
m = 4 kg
F=8N
a=?
m
8 kg 2
F 8N
s =2 m .
a == =
4 kg
s2
m 4 kg
Ejercicios
1. ¿Cuál es la masa de un cuerpo en kg si una fuerza de 13 N produce una aceleración de 52
cm
?
s2
m = ____________________
2. Imagina que sobre un cuerpo de 750 g de masa, actúa una fuerza de 15 N. ¿Cuál es la aceleración del
m
cuerpo en 2 ?
s
a = ____________________
3. Imagina que sobre un cuerpo de 2 kg de masa, actúa una fuerza de 750 000 din. ¿Cuál es la aceleración
m
del cuerpo en 2 ?
s
m = ____________________
No obstante, puede suceder que todas las cantidades estén dadas en el
sistema c.g.s. Veamos cómo podemos trabajarlo en ese caso.
Ejemplo
• Imagina que sobre un mismo cuerpo de 4 500 g de masa, actúa una fuerza
de 800 000 dinas. ¿Cuál es la aceleración del cuerpo?
Solución:
En este caso, ni la masa ni la fuerza están dadas en el Sistema Internacional.
Por ello vamos a convertirlas:
 1 kg 
4 500 g = 4 500 g 
 = 4.5 kg.
 1 000 g 
72
Unidad 2. Dinámica: movimiento y equilibrio
m
 g cm   1 kg   1 m 
800 000 din = 800 000  2  

 = 8 kg 2 = 8 N.
s
 s   1 000 g   100 cm 
Datos:
m = 4.5 kg
F=8N
a=?
m
8 kg 2
8N
F
s ≅ 1.78 m
a=
=
=
4.5 kg
m
s2
4.5 kg
Que resulta ser el mismo problema del ejemplo anterior.
También podríamos haber resuelto el problema en el sistema c.g.s. primero
y luego convertir la aceleración al S.I., como se muestra a continuación:
Datos:
m = 4 500 g
F = 80 000 din
a=?
F 800 000 din
=
=
a=
4 500 g
m
Pero 178
cm
s2 ≅ 178 cm
4 500 g
s2
800 000 g
m
cm
 cm   1 m 
= 178  2  
 = 1.78 2
2
s
s
 s   100 cm 
Ejercicios
1. ¿Cuál es la masa de un cuerpo si una fuerza de 130 000 din produce una aceleración de 52
cm
?
s2
m = ____________________
2. Imagina que sobre un cuerpo de 750 g de masa, actúa una fuerza de 1 500 din. ¿Cuál es la aceleración
del cuerpo?
a = ____________________
3. Imagina que sobre un cuerpo de 2 000 g de masa, actúa una fuerza de 750 000 din. ¿Cuál es la
aceleración del cuerpo?
a = ____________________
ELEMENTOS DE FíSICA
73
2.5.3. Tercera Ley de Newton o de interacción
Ya estamos en condiciones de estudiar la tercera ley, que es la culminación
de los prerrequisitos para comprender la física clásica. La Segunda Ley de
Newton refiere a una fuerza externa. En otras palabras, que las fuerzas deben
ser externas a los cuerpos. Un cuerpo jamás podrá hacerse fuerza a sí mismo.
Las fuerzas aparecen como interacción entre dos cuerpos y siempre en pares,
por lo que es costumbre llamarlas acción y reacción (es decir, si existe una
fuerza necesariamente existe su compañera aplicada al otro cuerpo), debido
a esto, muchos autores le llaman ley de acción y reacción.
La Tercera Ley de Newton afirma que:
Cuandouncuerpointeractúaconotro,elprimeroejerceunafuerzasobre
elsegundo,perosimultáneamenteelsegundoejerceráotrafuerzasobreel
primero,deigualmóduloydirección,perodesentidocontrarioyaplicada
sobrecuerposdiferentes.
Es necesario resaltar que las fuerzas que surgen en una interacción
de dos cuerpos llamadas acción y reacción son simétricas. Es decir que no
existe una preferente respecto a la otra. En otras palabras, no existe una de
esas fuerzas que sea la acción y otra la reacción, sino que cualquiera de las
dos son la acción y dado que una de ellas es considerada la acción, la otra es
la reacción.
Por lo tanto, los pares de fuerzas de acción y reacción:
• Tienen igual módulo, es decir, si una es de 30 N, la otra también
tiene módulo 30 N.
• Tienen igual dirección, lo cual significa que las fuerzas se sitúan
sobre la recta de acción que une los centros de los cuerpos.
• Tienen sentido contrario, esto es que si una va hacia la derecha la
otra va hacia la izquierda.
• Tienen distinto punto de aplicación. Es decir, una fuerza está
aplicada sobre un cuerpo y la otra sobre el otro. Es habitual hablar
de la fuerza que ejerce el cuerpo A sobre el cuerpo B y escribirla FBA.
De la misma manera, escribiremos FAB para designar a la fuerza que
ejerce el cuerpo B sobre el A. A estas fuerzas las llamamos pares de
acción y reacción.
Silosparesdefuerzas
deacciónyreacciónsonde
igualmóduloydirección
perodesentidocontrario,
¿por qué no se anulan
siempre?Estaairmación
¿quiere decir que el
movimientonoesposible?
74
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
Ejemplo
• ¿Cuáles de los siguientes pares de fuerzas pueden ser de acción y reacción?
a)
b)
c)
d)
No, ya que tienen diferentes módulos.
No, ya que no están en la misma línea de acción.
No, ya que tienen el mismo punto de aplicación.
Sí. Tienen igual módulo, igual dirección, diferente sentido, diferente
punto de aplicación y están situadas en la misma línea de acción.
2.6. Gravitación
En la naturaleza se identifican cuatro tipos de fuerzas: la gravitacional, la
electromagnética y las nucleares fuerte y débil. De ellas, la gravitacional
es la dominante. Las fuerzas nucleares se manifiestan a escalas atómicas y
subatómicas, las fuerzas electromagnéticas y sus efectos no siempre se pueden
observar a simple vista, mientras que la fuerza gravitacional es la responsable
del movimiento planetario.
Newton (1642-1727) publicó en su obra Philosophiæ Naturalis Principia
Mathematica de 1687, la vinculación entre la fuerza que mantiene a la Luna
orbitando alrededor de la Tierra y la que provoca la caída de los cuerpos debido
sólo a su masa.
Fue Newton quien le dio a estos eventos un sustento matemático y
físico, basándose en el trabajo experimental de Kepler y en la estructura de
pensamiento de Galileo.
De acuerdo con la segunda ley de Newton, si un cuerpo experimenta
una aceleración, entonces hay una fuerza que actúa sobre él. De igual manera
se sabe que dos cuerpos, por el hecho de tener masa, ejercen una fuerza uno
sobre otro. Newton examinó estos fenómenos sobre el tipo de fuerza que actúa
sobre la Luna para que mantenga una orbita casi circular alrededor de
la Tierra, llegó a la conclusión que debe haber una fuerza que se ejerce
sobre la Luna, a la cual llamó fuerza de gravedad y que debía ser la Tierra la que
ejerce esta fuerza, que es la misma que regula tanto la caída de una manzana,
como a la órbita lunar.
La gravitación es, por lo tanto, una sola fuerza universal y fundamental
que influye en el movimiento de una partícula con masa apreciable tanto como
en el de una galaxia.
Esta fuerza universal ha sido discutida como una de las más amplias
generalizaciones de la mente humana. Su fenomenología ha sido plasmada en un
principio elegantemente simple llamado la Ley de la gravitación universal.
ELEMENTOS DE FíSICA
75
Antes de comenzar con el estudio de la ley de la gravitación universal es
necesario recordar las leyes de Newton y el concepto de masa.
1. Un cuerpo tiende a permanecer en reposo o en movimiento rectilíneo
uniforme mientras no actúe una fuerza externa que modifique dicho
estado.
2. La aceleración producida en un cuerpo es directamente proporcional a
la fuerza aplicada e inversamente proporcional a su masa. La expresión
matemática de esta ley está dada por
∑ F = ma
[2.22]
donde • F es la suma de fuerzas externas que actúan sobre el
cuerpo.
m:
 masa del cuerpo
a : es la aceleración
3. Para cada fuerza de acción siempre existe una fuerza de reacción de
la misma magnitud pero de sentido opuesto. Las fuerzas de reacción
y de acción actúan, de manera independiente, para cada uno de los
cuerpos que interactúan.
¿Qué es esta ley de la gravitación?
Consiste en que todo objeto A en el universo atrae a todo otro objeto B con una
fuerza que para dos cuerpos cualesquiera varía inversamente con el cuadrado de
la distancia entre ellos. Lo anterior se puede analizar de la siguiente manera.
Sea
FG ∝
1
r2
[2.23]
La fuerza gravitacional (FG) ejercida por la Tierra
sobre cualquier otro cuerpo, la cual es proporcional a
la variación inversa del cuadrado de la distancia que
los separa, considerando dicha distancia el centro de la
Tierra.
Para poder hacer uso algebraico de la relación 2.23
es común añadir una constante k, eliminar el signo de
proporcionalidad α y agregar el signo de igualdad, de la
siguiente manera
FG =
k
o k = FG r 2
r2
[2.24]
Así, FG corresponde a la fuerza gravitacional entre dos partículas como
se ilustra en la figura 2.18.
Figura 2.18. Esquema que
ilustra la fuerza gravitacional
que se ejerce mutuamente
entre dos partículas.
76
Unidad2.Dinámica:movimientoyequilibrio
La tercera ley de Newton establece que si la Tierra ejerce fuerza
gravitacional sobre cualquier cuerpo, a su vez, dicho cuerpo ejerce una fuerza
de dirección opuesta y de igual magnitud sobre la Tierra. (FBA = –FAB, figura
2.18). Por tanto, la fuerza de gravedad también depende de las masas. Así, la
constante k es directamente proporcional al producto de las dos masas:
k ∝ mA mB
[2.25]
Convirtiendo la proporcionalidad en igualdad queda:
k = G mA mB
[2.26]
Donde G es la constante de la gravitación universal, que se ha determinado
experimentalmente, y cuyo valor aceptado es de 6.67 × 10 –11 (N m2/kg2).
Sustituyendo 2.26 en 2.24 obtenemos:
FG =
G mA mB
r2
[2.27]
Esta ecuación es la expresión de la ley de la gravitación universal, que se
define de la siguiente manera:
TodocuerpoenelUniversoatraeaotroscuerposconunafuerzaquees
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al
cuadradodeladistanciaentresuscentrosdemasa.Estafuerzaactúaalo
largodelalíneadeacciónqueunealosdoscuerpos.
Figura 2.19.
Dicho de otra manera, (figura 2.19) la fuerza varía con el inverso del
cuadrado de la separación de los cuerpos, y además la fuerza gravitacional
que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de las
masas de dichos cuerpos. De acuerdo con la ley de gravitación universal,
la fuerza de atracción entre un cuerpo que se encuentra sobre la superficie
de la tierra y ésta, es máxima y tiende a disminuir a medida que el cuerpo
se aleja ya que aumenta la distancia entre las masas (la fuerza de atracción
gravitacional es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
separa a dos cuerpos). Sin embargo, si un cuerpo se adentrara en la tierra,
la masa por debajo del cuerpo disminuye la fuerza gravitacional (la fuerza
es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos que
interaccionan).
Una vez que se ha establecido la Ley de gravitación se comenzará con
la idea de la intensidad del campo gravitatorio o, simplemente, gravedad.
La fuerza gravitacional, de acuerdo con Newton, es una fuerza universal
en la que cada cosa atrae a las demás. En otras palabras, es una fuerza de
atracción entre cuerpos.
ELEMENTOS DE FíSICA
77
El campo gravitatorio representa la interacción gravitatoria y puede
interpretarse como la fuerza gravitatoria por unidad de masa. El concepto
intensidad de campo gravitatorio o simplemente de gravedad es el más intuitivo,
a diferencia del concepto de fuerza. En física, la aceleración de la gravedad se
representa con el vector g . Las unidades de la aceleración de la gravedad
en el Sistema Internacional están dadas por m/s2.
Sobre la superficie de un planeta típicamente esférico la aceleración de
la gravedad está dada por:
GM g sup = 2 u r
R
[2.28]
Donde G es la constante de gravitación universal en N• m2/kg2; M es
la masa del planeta en kg, R es el radio del planeta en m y u r es un vector
unitario que toma una dirección hacia el centro del planeta.
El valor de la constante de la gravitación universal G en el sistema
internacional SI de unidades es de 6.67 × 10 –11 N m2/kg2.
Los valores de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra
varían, de 9.781 m/s2 (o en el sistema Inglés de 32.09 ft/s2) en el ecuador, hasta
alcanzar un valor de 9.833 m/s2 (o de 32.26 ft/s2) en los polos; para efectos de
cálculo se usará el valor aproximado de 9.81 m/s2 (o de 32.2 ft/s2).
El valor de la aceleración de la gravedad tiene su valor máximo en la
superficie del planeta, disminuyendo de forma aproximadamente parabólica
con la altura y de forma lineal con la profundidad.
La aceleración de la gravedad en la Tierra varía según la altura. Para el
caso de una altura H sobre la superficie terrestre, el valor de la gravedad se
encuentra determinado por la siguiente expresión:
g( H ) =
GM ur
( R + H )2
[2.29]
Equivalentemente g puede definirse como el peso
por unidad de masa de un objeto que se encuentra sobre la
superficie de la Tierra. De esta manera:
w
g=
m
[2.30]
La lista adjunta muestra la aceleración de la gravedad
en el Sol, en las superficies de cada planeta del Sistema Solar
y en la Luna, tomando como referencia su relación con el
valor de g en la Tierra.
Para el caso de la Luna, la gravedad lunar representa
0.16 veces la gravedad que existe en la Tierra.
Astro
Factor
de multiplicación
Sol
27.90
Mercurio
0.37
Venus
0.88
Tierra
1.00
Luna
0.16
Marte
0.38
Júpiter
2.64
Saturno
1.15
Urano
0.93
Neptuno
1.22

Elementos de física
Unidad 2. Dinámica: movimiento y equilibrio
Nombre:
Grupo:
Número de cuenta:
Profesor:
Campus:
Autoevaluación
1. Calcula la posición final de un automóvil que viaja a 80 km/h, si se mueve durante 75 minutos y su
punto de partida es en el kilómetro 58.
2. Calcula la velocidad de una pelota que es lanzada contra un muro a 12 metros de él y tarda 5 segundos
en llegar a golpearlo.
3. Un proyectil es disparado hacia el espacio con una velocidad constante de 1 000 m/s, ¿cuánto vale la
aceleración del proyectil?
4. Cuando se detiene un automóvil, los frenos aplican una fuerza al auto que produce una aceleración
que hace que la velocidad varíe desde la velocidad v que tenía el auto al iniciar el frenado hasta que se
detiene v = 0.
a) ¿Qué trabajo realizan los frenos al detener un automóvil cuya velocidad al iniciar a frenar es de
50 m/s, y el tiempo en detenerse es de 3 s?
b) ¿Varía el trabajo realizado si el automóvil duplica su masa de 500 a 1 000 kg? Explica tu respuesta.
c) Si el tiempo de frenado disminuye a la mitad, ¿cambia el trabajo realizado por los frenos?
d) Por experiencia, cuando dejamos de “acelerar” en un terreno plano después de un tiempo
determinado el auto se detiene. Explica en términos de la conservación de la energía porqué
sucede esto.
5. a) ¿Cuál es la altura de un edificio si al dejar caer un cuerpo tarda 4.2 s en chocar con el piso?
b) ¿Cuál es el valor de la velocidad cuando ha recorrido la mitad de la altura del edificio?
c) ¿En qué punto la energía mecánica del sistema es igual a la energía cinética?
6. Un cuerpo es disparado en tiro vertical con una velocidad de 5 m/s.
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cuerpo?
b) ¿A qué altura son iguales la energía cinética y la potencial?
c) ¿En cuánto tiempo el móvil regresa al punto de lanzamiento?
7. a) ¿Cuánto tiempo tardará en tocar el suelo un cuerpo que es lanzado horizontalmente con una
velocidad de 10 cm/s desde un edificio de 50 m de altura?
b) ¿Qué velocidad tiene el cuerpo al llegar al suelo?
8. a) ¿A qué distancia cae un cuerpo que es lanzado horizontalmente a 25 m/s?
b) ¿Qué tiempo tarda el cuerpo en tocar el suelo?
79
9. En un tiro parabólico, el alcance se refiere a la distancia horizontal a que llega un proyectil, supongamos
que tenemos un cañón que puede disparar en diferentes ángulos.
a) ¿Con qué ángulo se debe disparar el cañón para tener el máximo alcance?
b) Si queremos acertar a un blanco a una distancia de 100 m con un proyectil que tiene una velocidad
v0= 50 m/s, ¿cuál será el ángulo con que hay que disparar el cañón?
c) ¿Cuál será el tiempo empleado en dar en el blanco?
10. a) ¿Cuál es la altura máxima de un objeto que es lanzado desde el piso con una velocidad de 16 m/s y
una inclinación de 35° sobre la horizontal?
b) ¿Cuánto vale la velocidad en el eje horizontal al llegar a la altura máxima?
11. Calcular la aceleración que sufre un cuerpo con masa de 5 kg, el cual se ve sujeto a un conjunto de
fuerzas, como se observa en la siguiente figura. La superficie donde se mueve el cuerpo no ofrece
rozamiento.
12. ¿Qué masa tendrá un cuerpo si una fuerza de 50 N es contrarrestada por una de 30 N y la aceleración
que se produce es de 4 m/s2?
13. ¿Cuál será la aceleración que le produce una fuerza de 300 N si se aplica a un cuerpo de 60 kg de
masa?
14. ¿Cuál será la fuerza que se aplica a un cuerpo de 12 kg y le produce una aceleración de 3 m/s2?
15. ¿Cuál será la fuerza que ejerce una barda contra un coche, si el coche de 1 000 kg tiene una aceleración
de 20 m/s2?
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