NOTAS Y EJERCICIOS PARA EL CURSO: ´ALGEBRAS DE LIE. G

NOTAS Y EJERCICIOS PARA EL CURSO:
ÁLGEBRAS DE LIE.
G. Salgado
Segundo Resumen
I. Más sobre Representaciones y el Lema de Schur
1.1. Definición. Sea ρ : g → gl(V ) una representación lineal de g en V . Diremos
que un subespacio W de V es invariante si
ρ(x)W ⊂ W
∀x ∈ g
1.2. Definición. Diremos que la representación ρ es irreducible si los únicos
subespacios invariantes son el subespacio cero y el total.
Sea ahora ρ0 : g → gl(U ) otra representación lineal de g. Y consideremos primero
HomF (V, U ) el conjunto de todas las transformaciones lineales de V en U , y fijemonos en el siguiente subconjunto:
Homg (V, U ) = { T ∈ HomF (V, U ) | T ◦ ρ(x) = ρ0 (x) ◦ T
∀x ∈ g }
Si T ∈ Homg (V, U ) decimos que T es equivariante.
1.3. Lema (de Schur). (1a. versión) Si ρ y ρ0 son representaciones irreducibles
de g y T ∈ Homg (V, U ) entonces o T es un isomorfismo o T ≡ 0.
Demostración. Notar que T ∈ Homg (V, U ) implica que Ker(T ) e Im(T ) son subespacios invariantes para V y U respectivamente. Como ρ y ρ0 son representaciones
irreducibles entonces Ker(T ) es o el subespacio cero o V , de forma análoga Im(T )
es el subespacio cero de U o U . Sea ahora F un campo algebraı́camente cerrado. Y supongamos que U = V , ahora
nos interesa
Endg (V ) = { T ∈ EndF (V ) | T ◦ ρ(x) = ρ(x) ◦ T
∀x ∈ g }
Key words and phrases. Lema de Schur; Álgebras de Lie solubles, nilpotentes, semisimples, simples; Radical de una álgebra de lie; Forma de Cartan-Killing.
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1.4. Lema (de Schur). (2a. versión) Si ρ es una representación irreducible de
g y T ∈ Endg (V ) entonces T = λ IdV .
Demostración. Como el campo es algebraı́camente cerrado existe un valor propio
λ con vector propio v, entonces Ker(T − λ IdV ) es un subespacio invariante no nulo
para ρ. Pero ρ es representación irreducible, por tanto Ker(T − λ IdV ) = V o lo
que es lo mismo T − λ IdV ≡ 0. Sea de nuevo ρ : g → gl(V ) una representación lineal de g en V . Si V se descompone como suma de subespacios invariantes que a su vez ya no admiten subespacios
invariantes no triviales, entonces decimos que la representación es totalmente reducible. En este caso V admite una descomposición del tipo
V = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk
y ademas ρi = ρ : g → gl(Wi ) es una representación irreducible para cada i ∈
1, 2, . . . , k y ademas se satisface que
ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρk
1.5. La métrica de Cartan-Killing.
Sea de nuevo ρ : g → gl(V ) una representación lineal de g en V , entonces podemos
definir
Bρ : g × g → F
(x, y) 7→ Tr(ρ(x) ◦ ρ(y))
de la definición podemos observar que Bρ es una forma bilineal y simétrica. Además
satisface que:
Bρ ([x, y], z) = Bρ (x, [y, z])
1.6. A las formas bilineales que satisfacen la igualdad anterior se les llama formas
bilineales invariantes en g.
De forma más general, si B : V × V → F es una forma bilineal y ρ : g → gl(V ) es
una representación, decimos que B es invariante (por la acción de g) si
B(ρ(x)u, v) + B(u, ρ(x)v) = 0
La forma bilineal invariante que nos interesa estudiar es la que se obtiene cuando
elegimos ρ = ad, en este caso la denotamos por
K(x, y) = Tr(ad(x) ◦ ad(y))
y la llamamos la forma de Cartan-Killing. Cuando dicha forma sea no-degenerada
entonces le llamaremos la métrica de Cartan-Killing. En este caso no necesariamente solicitamos que K sea definida positiva. Más aún, en la mayorı́a de los casos
no será definida positiva ni definida negativa.
Nota: Recuerde que por el ejercicio 26 de la tarea pasada el subespacio vectorial
de g que consta de los elementos x ∈ g tal que
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K(x, y) = 0
∀y ∈ g
es un ideal en g el cual se llama el radical de K.
II. Álgebras Solubles, Nilpotentes, Semisimples y Simples
Recordemos la siguiente construcción asociada a una álgebra de Lie g,
g(1) = [g, g], . . . , g(n+1) = [g(n) , g(n) ], . . .
sabemos que g(i) es un ideal en g y que además satisfacen que:
g ⊃ g(1) ⊃ · · · ⊃ g(n) ⊃ · · ·
(1)
A la serie dada por (1) le llamaremos la serie derivada. A g le podemos asociar
otra serie de ideales llamada la serie central descendente la cual esta definida como:
g1 = [g, g], . . . , gn+1 = [g, gn ], . . .
Estas dos series sugieren que puede ser interesante estudiar las álgebras de Lie tales
que gn = 0 o g(n) = 0.
2.1. Definición.
(1) Si existe n ∈ N tal que g(n) = 0 entonces g es una álgebra de Lie soluble.
(2) Si existe n ∈ N tal que gn = 0 entonces g es una álgebra de Lie nilpotente.
2.2. Notas.
1. Notar que toda álgebra de Lie abeliana es nilpotente.
2. Toda álgebra de Lie nilpotente es soluble.
3. Toda álgebra de Lie nilpotente tiene centro no trivial, el cual esta dado por el
ideal gn si gn 6= 0 y gn+1 = 0.
2.3. Definición. Una álgebra de Lie g se llama semisimple si el único ideal soluble
que contiene es el ideal cero. Si dimF (g) > 1 y los únicos ideales contenidos en g
son los triviales entonces decimos que g es simple.
2.4. Notas.
1. Toda álgebra de Lie simple es semisimple.
2. La condición dimF (g) > 1 es para evitar que la álgebra de Lie abeliana de
dimensión uno sea simple.
3. La condición dimF (g) > 1 implica que toda álgebra de Lie simple satisface que
[g, g] = g 6= 0. Y por tanto ninguna álgebra de Lie simple puede ser nilpotente o
soluble.
4. Notar que si g es simple entonces Z(g) = 0.
5. Notar que los subespacios invariantes bajo la representación adjunta se corresponden con los ideales de g, por tanto, g es simple si y sólo si ad es irreducible
como representación.
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2.5. Proposición. Sea g una álgebra de Lie,
(1) Si g es soluble entonces todas sus subálgebras son solubles.
(2) Si g es soluble y φ : g → h es un morfismo de álgebras de Lie, entonces φ(g)
es soluble.
(3) Si h es un ideal soluble de g y g/h es soluble entonces g es soluble.
(4) Si h y m son ideales solubles de g entonces tambien lo es h + m.
Demostración.
1) Si h es una subálgebra de g basta observar que h(i) ⊂ g(i) .
2) Notar que si φ : g → h es un morfismo suprayectivo entonces φ(g(i) ) = h(i) .
3) Supongamos que (g/h)(i) = 0, y llamemosle π : g → (g/h) al morfismo proyección.
Entonces, por ser π suprayectivo, π(g(i) ) = (g/h)(i) = 0, i.e., g(i) ⊂ h = Ker(π).
Pero por ser h soluble existe j tal que h(j) = 0 y como (g(i) )(j) = g(i+j) ⊂ h(j) = 0
tenemos que g es soluble.
4) Recordar que siempre hay un isomorfismo entre (h + m)/m y h/(h ∩ m). Como h
y m son ideales h ∩ m es un ideal en h (y en m). Usando 2) obtenemos que h/(h ∩ m)
es la imagen bajo π : h → h/(h ∩ m) por lo que es soluble, aplicando 3) a h + m y
m obtenemos que h + m es soluble. 2.6. Como una aplicación directa de 4) obtenemos que toda álgebra de Lie g
deberá tener un único ideal soluble máximo. A este ideal soluble máximo de g le
llamaremos el radical de g y lo denotaremos por Rad(g).
De manera análoga se puede demostrar (ejercicio!) que:
2.7. Proposición. Sea g una álgebra de Lie,
(1) Si g es nilpotente entonces todas sus subálgebras son nilpotentes.
(2) Si φ : g → h es un morfismo de álgebras de Lie y g es nilpotente, entonces
φ(g) es nilpotente.
(3) Si g/Z(g) es nilpotente entonces g es nilpotente.
(4) Si g es nilpotente y no cero, entonces Z(g) 6= 0.
III. El Teorema de Engel
3.1. Lema. Sea x ∈ gl(V ) un elemento nilpotente. Entonces ad(x) también es
nilpotente.
3.2. Teorema. Sea g ⊂ gl(V ) una subálgebra y supongamos que V tiene dimensión finita. Si g consta de elementos nilpotentes y V 6= 0 entonces existe un
elemento no nulo v ∈ V tal que g(v) = 0 para todo g ∈ g.
La demostración de este teorema se hace usando inducción.
3.3. Teorema (De Engel). Si todos los elementos de g son ad nilpotentes, entonces g es nilpotente.
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Tarea II
32. Sea ρ : g → gl(V ) es una representación de g en V demuestre que ρ induce una
representación de g en V ⊗ V definida por ρ(x)(u ⊗ v) = ρ(x)u ⊗ v + u ⊗ ρ(x)v.
33. Demuestre que S 2 (V ) y Λ2 (V ) son subespacios invariantes para la representación definida por ρ : g → gl(V ⊗ V ) como ρ(x)(u ⊗ v) = ρ(x)u ⊗ v + u ⊗ ρ(x)v.
Donde ρ : g → gl(V ) es una representación de g en V .
34. Demuestre que si g es una álgebra de Lie y h es un ideal de g entonces g/h
admite una estructura de álgebra de Lie tal que π : g → g/h (la proyección al
cociente) es un morfismo de álgebras de Lie.
35. Demuestre que g es semisimple si y sólo si Rad(g) = 0.
36. Demuestre que Rad(gln ) = hIn i.
37. Suponga que la caracterı́stica del campo F es dos. Demuestre que sl2 (F) es
nilpotente.
38. Pruebe que la álgebra de Lie de dimensión dos que no es la abeliana es soluble pero no nilpotente. Y demuestre que toda álgebra de Lie de dimensión dos
nilpotente es abeliana.
39. Pruebe que si h y m son ideales nilpotentes de g entonces h + m tambien es ideal
nilpotente de g. Concluya que entonces en g deberá existir un único ideal maximal
nilpotente. (A este ideal maximo nilpotente en g se le llama el nilradical de g).
40. Sea g una álgebra de Lie y h una subálgebra de g definimos el normalizador de
h en g como el conjunto que consta de los siguientes elementos:
Ng (h) = { x ∈ g | [x, h] ⊂ h }
Demuestre que Ng (h) es la subálgebra de g más grande que contiene a h como ideal.
41. Suponga que g es nilpotente y sea h una subálgebra propia de g. Demuestre
que h esta contenido propiamente en Ng (h).
42. Demuestre que las siguientes ecuaciones estructurales definen álgebras de Lie
nilpotentes:
(1) [e1 , e2 ] = e3 , [e1 , e3 ] = 0 y [e2 , e3 ] = 0.
(2) [e1 , e2 ] = e3 , [e1 , e3 ] = e4 , [e1 , e4 ] = 0, [e2 , e3 ] = 0, [e2 , e4 ] = 0 y [e3 , e4 ] = 0.
43. Demuestre que toda álgebra de Lie de dimensión tres nilpotente pero no conmutativa tiene ecuaciones estructurales [e1 , e2 ] = e3 , [e1 , e3 ] = 0 y [e2 , e3 ] = 0.
44. Enumere todas las álgebras de Lie de dimensión tres que sean nilpotentes.
45. Demuestre que si h es un ideal contenido en Z(g) tal que g/h es nilpotente,
entonces g es nilpotente.
46. Demuestre que si g es soluble entonces [g, g] es nilpotente.
47. Demuestre el lema 3.1..
48. Sea g una álgebra de Lie y K su forma de Cartan-Killing, demuestre que Rad(g)
y [g, g] son ortogonales con respecto a K.
49. Halle [g, g] si:
(1) g = gln (F).
(2) g = tn
(3) g = sln (F)
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50. Demuestre que si las ecuaciones estructurales de una álgebra de Lie de dimensión tres estan dadas por:
[e1 , e2 ] = 0
[e2 , e3 ] = ae1 + be2
[e3 , e1 ] = ce1 + de2
con ad − bc 6= 0 entonces dicha álgebra es soluble.
51. Demostrar que para toda g, el cociente g(n) /g(n+1) es abeliano.
52. Sea h un ideal de g(n) tal que g(n) /h es conmutativo, entonces g(n+1) ⊂ h.
k
53. Demuestre que si g es una álgebra de Lie simple entonces Ckj
= 0.
54. Sea g una álgebra de Lie de dimensión tres. Entonces su corchete de Lie le hace
corresponder a cada plano generado por el par de vectores u, v ∈ F3 una recta con
dirección w = [u, v]. Demuestre que si g no es simple entonces esta correspondencia
es degenerada.
55. Demuestre que no existen álgebras de Lie semisimples de dimensión menor que
tres y que toda álgebra tridimensional semisimple es simple.
56. Demostrar que una álgebra de Lie g es semisimple si y sólo si no tiene ideales conmutativos no triviales. Notar que en particular el centro de una álgebra
semisimple deberá ser nulo.
57. Sea g semisimple y h y m ideales (primos ?). Demuestre que son equivalentes:
(1) h ∩ m = 0.
(2) [h, m] = 0.
(3) K(h, m) = 0 si h ∈ h y m ∈ m.
58. Demuestre que g/Rad(g) es semisimple.
59. Demuestre que si g es semisimple entonces g = [g, g].
60. Demuestre que spn (R) es semisimple.
61. Suponga que g es una álgebra de Lie de dimensión cuatro y que sus ecuaciones
estructurales estan dadas por:
[e1 , e2 ] = 3e1 ,
[e1 , e3 ] = e3 ,
[e2 , e3 ] = 3e3
Demostrar que g se descompone en suma directa de su centro y una álgebra semisimple.
62. Suponga que g es nilpotente. Demuestre que g tiene un ideal h tal que dimF (h)+
1 = dimF (g).
Definición Una bandera en un espacio vectorial V es una cadena de subespacios
0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vn = V tal que dimF (Vi ) = i. Decimos que un elemento
x ∈ gl(V ) estabiliza a la bandera si x(Vi ) ⊂ Vi .
63. Use el Teorema 3.2. del segundo resumen e inducción para demostrar si
g ⊂ gl(V ) consiste de elementos nilpotentes y V 6= 0 entonces existe una bandera
(Vi ) en V estable bajo g y tal que x(Vi ) ⊂ Vi−1 para toda i. En otras palabras,
existe una base de V tal que la matriz asociada a cada x ∈ g (con respecto a esta
base) esta en t0 (n, F). (Vea el ejercicio 21 del primer resumen).
64. Use de nuevo el Teorema 3.2. para demostrar que: Si g es nilpotente y h es un
ideal no nulo de g entonces h ∩ Z(g) 6= ∅.
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Definición Una álgebra de Lie g se llama reductiva si su representación adjunta es
completamente reducible.
65. Demuestre que los subespacios invariantes bajo la representación adjunta en g
se corresponden con ideales en g. Y que dicho subespacio invariante es irreducible
si y sólo si es un ideal simple.
66. Demuestre que si en g existen ideales h y m de g tal que g = h ⊕ m como espacio
vectorial entonces [h, m] = 0.
67. Demuestre que si g es reductiva entonces g se descompone como suma de ideales
de la siguiente forma
V1 ⊕ V 2 ⊕ · · · ⊕ Vr ⊕ W 1 ⊕ · · · ⊕ W s
donde dimF (Vi ) = 1, dimF (Wi ) ≥ 2 y cada Wi es una álgebra de Lie simple.
68. Demuestre que si g es reductiva entonces Z(g) = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vr .
69. Sea ad : g → gl(V ) la representación adjunta de g muestre que ad(g) es una
subálgebra de gl(V ) y que si g es reductiva entonces es isomorfa a g/Z(g).
70. Demuestre que si g es reductiva entonces g/Z(g) es semisimple.
71. Demuestre que si g es reductiva entonces Rad(g) = Z(g).
72. Demuestre que g reductiva es semisimple si y sólo si Z(g) = 0.
73. Demuestre que toda álgebra de Lie reductiva se puede escribir como g =
Z(g)⊕[g, g] = Rad(g)⊕[g, g]. Note que g reductiva implica que [g, g] es semisimple.
74. Demuestre que si Rad(g) = Z(g) entonces g es reductiva. (Vea ejercicio 9 de
esta tarea).
Sea g una álgebra de Lie y sean Der(g) y In(g) las álgebra de Lie de derivaciones
y derivaciones interiores de g resp.
75. Demuestre que In(g) es un ideal en Der(g) para toda g.
76. Si g = SpanF { e1 , e2 } y [e1 , e2 ] = e2 . Entonces Der(g) = In(g).
77. Determine a Der(g) si g es la álgebra de Lie abeliana de dimensión dos. ¿ Que
pasa en dimensión mayor ?
Más construcciones de álgebras de Lie.
Sea ρ : g → gl(h) una representación lineal de g en h donde h también es álgebra
de Lie. Supongamos además que para todo g ∈ g se tiene que ρ(g) ∈ Der(h).
Consideremos el espacio vectorial definido por g ⊕ h y definamos:
[g1 + h1 , g2 + h2 ]g⊕h := [g1 , g2 ]g + ρ(g1 )h2 − ρ(g2 )h1 + [h1 , h2 ]h
78. Demuestre que con esta definición g ⊕ h es una álgebra de Lie.
79. Demuestre que g es una subálgebra y que h es un ideal.
Definición. Si en la construcción anterior tenemos que ρ(g) ≡ 0 para toda g ∈ g
entonces a la álgebra resultante le llamamos la suma directa de g y h. Si h es
abeliana entonces a la álgebra resultante de llamamos la suma semidirecta de g y
h y la notación usual es g n h.
L
80. Sea D una derivación en g. Y sea g =
λ gλ la descomposición de g en
subespacios propios con respecto a los valores propios de D. (Recuerde que gλ =
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{ x ∈ g | ∃k ∈ N (D − λ Idg )k x = 0 } ) Demuestre que [gα , gβ ] = 0 si α + β no es
valor propio de D, mientras que [gα , gβ ] ⊂ gα+β si α + β es valor propio de D.
L
L
81. (continuación de 80.) Defina S :
λ gλ →
λ gλ haciendo S|gλ := λ Idgλ .
Demuestre que S es una derivación que conmuta con D y que D−S es una derivación
nilpotente, i.e., existe n ∈ N tal que (D − S)n ≡ 0.
Facultad de Ciencias, Universidad Autonoma de San Luis Potosı́; Av. Salvador Nava
s/n, Zona Universitaria, CP 78290, San Luis Potosı́, S.L.P., Mexico.
E-mail address: gsalgado@fciencias.uaslp.mx, gil.salgado@gmail.com
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