receptor optimo para transmision de pulsos por

RECEPTOR OPTIMO PARA TRANSMISION DE PULSOS
POR CANALES AWGN
El receptor óptimo se determina bajo las siguientes premisas: Se asume que a la entrada del
receptor llega una señal que es el pulso modificado por transmisor y canal y (p(t)) y el
ruido(n(t)). Al pulso “modificado” por el filtro HR lo llamaremos y(t),mientras que al ruido
filtrado por HR lo llamaremos nout..
Se busca maximizar la relación [y(t0)/σ] donde el tiempo t0 es un punto de muestreo y σ es
el voltaje r.m.s del ruido nout.
Utilizando la desigualdad de Schwartz
La igualdad ocurre cuando V(f)=kW(f) (son proporcionales)
En ese caso
En nuestro caso, podemos definir:
El máximo de la relación ocurre cuando
Se observa que la respuesta en frecuencia del filtro óptimo es: a) Proporcional a P*(f) b)
Inversamente proporcional a Gn(f) y presenta una exponencial compleja que representa un
retardo temporal igual al del pulso menos el tiempo to. Con este filtro se logra un máximo
que es igual a
Desarrollaremos un ejemplo completo.
Suponga una transmisión digital con pulsos p(t) que en el canal se contamina con ruido
blanco. Determine hRóptimo y la relación [y(t0)/σ] máxima.
Pero hR(t)= hR*(t)=2k/η p(t0-t)
Por ejemplo si
Observe que el máximo de la convolución es igual a y(t0)=2ktb/η
En cuanto al ruido:
Aplicando directamente la formula:
FILTRO ADAPTADO
Cuando el ruido es blanco el filtro óptimo se le llama filtro adaptado ya que su respuesta
impulsiva toma la forma de p(t). En este caso:
Ahora veamos un caso que será la base para los sistemas de modulación digital binaria:
suponer asociada al "1" una forma p1(t) y al "0" una forma p0(t). Cuando se transmita el "1"
el pulso a la salida lo llamaremos p1o(t); cuando se transmita el "0" el pulso a la salida lo
llamaremos p0o(t)
Se supondrá que a la entrada del sistema esta presente p1(t) o p0(t) mas el ruido n(t) y que a
la salida tenemos p1o(t) o p0o(t) mas el ruido filtrado que llamaremos nout(t).
Vamos a inducir mas que deducir el resultado:
CASO A
Suponga que a la salida de un sistema binario se pueden tener solo dos niveles 0.5A y
0.5A mas el ruido. La probabilidad de error se calcula como:
Si los valores 0.5A y
calcularía como:
0.5A son equiprobables el umbral es cero, que en realidad se
U=0.5[0.5A + (-0.5A)]=0
Resultando que
Pe=P(n>0.5A)
CASO B
Suponga que a la salida de un sistema binario excitado con +p(t) o
y(t0) 0 -y(t0). La probabilidad de error se calcula como:
Si los valores y(t0) y
calcularía como:
y(t0) son equiprobables el umbral es cero, que en realidad se
U=0.5[y(t0) + (-y(t0))]=0
Resultando que
p(t) se tiene a la salida
Pe=P(n> y(t0))
CASO C
Suponga que a la salida de un sistema binario excitado con p1(t) o p0(t) se tiene a la salida
p1o(t) o p0o(t). La probabilidad de error se calcula como:
Cuando entra p(t) sale y(t0). Cuando sale 0.5(p1o(t) - p0o(t)), es porque entra 0.5(p1(t) - p0(t)).
Por lo tanto usaremos las mismas formulas pero donde aparezca p(t) colocaremos 0.5(p1(t) p0(t)) y donde aparezca P(f) colocaremos 0.5(P1(f) - P0(f))
Asi:
Para el caso de ruido blanco (Filtro adaptado) el filtro óptimo resultara:
hR(t)optimo=k/η [p1(t0-t) -p0(t0-t)]
Como p1(t) y p0(t) solo existen en un intervalo (0, tb) hR(t)optimo también, pero la
convolución de los pulsos con hR(t)optimo tiene el doble de duración y es máxima en t0.
En el caso de ruido blanco
Definamos:
Si E1=E0=E
Si en cambio p1(t) y p0(t) son ortogonales, el factor λ=0, en cuyo caso:
Si se trata de señales antípodas (λ=-1)
Se observa que en este ultimo caso se obtiene la menor probabilidad de error, de hecho si
empleamos pulsos ortogonales necesitaremos enviar el doble de la potencia para lograr la
misma probabilidad de error que usando señales antípodas.
REALIZACIONES PRACTICAS DEL FILTRO ADAPTADO
Como sabemos:
hR(t)optimo=k/η [p1(t0-t)
p0(t0-t)]
Esto puede implementarse con dos filtros conectados como se muestra:
Matemáticamente:
Evaluemos en t0=tb y coloquemos hk(t)=pk (tb-t)
Hacemos el cambio de variable tb-τ=u
Esto se lograría con el siguiente sistema:
Observe que si po(t)=0 y p1(t)=Constante=k entre o y tb, la multiplicación no es necesaria y
el receptor optimo queda simplificado a un integrador seguido de un interruptor. Un
circuito sencillo que logra este objetivo es:
Se cierra momentaneamente el interruptor 1 y luego se cierra el interruptor 2 para
descargar.
Calculemos el valor de [y(t0)2/σ2] máximo
El ruido por su parte tiene una
Para comparar este resultado con el obtenido con el receptor óptimo (2A2tb/η) , dividimos
los resultados obteniendo:
Al graficar esta relación versus Btb, se ve que crece hasta que Btb es igual a 0.2 y luego
comienza a decrecer. Cuando Btb es igual a 0.2 la relación vale 0.814 que es lo que mas se
acerca el comportamiento del filtro RC al óptimo. Observe que si B crece el valor de y(tb)
crece pero también crece el ruido, esto implica un compromiso.
Ejercicio:
Encuentre el máximo entre la señal y el ruido cuando el receptor es un filtro pasabajo ideal
y se transmiten pulsos NRZ.
Veamos primero que pasa con la señal:
La respuesta impulsiva de un filtro pasabajo ideal de ancho de banda B es igual a
h(t)=2Bsinc2Bt
La salida máxima se calcula como y(t)=x(t)*h(t)/máxima
Aplicando la formula de convolución se observa que el producto entre el sinc y el pulso
deslizándose, es máximo cuando t=0.5tb. En este caso:
En cuanto al ruido como la DEP es constante solo pasa una porción por el LPF ideal igual a
σ2=ηB.
Al comparar la relación entre señal y ruido obtenida en este caso con la obtenida para el
caso óptimo y graficarla versus Btb, se ve que crece hasta que Btb es igual a 0.685 y luego
comienza a decrecer. Cuando Btb es igual a 0.685 la relación vale 0.825 que es lo que mas
se acerca el comportamiento del filtro pasabajo ideal al óptimo.
Todo este análisis ha sido realizado considerando solo el efecto del ruido. Si hay
Interferencia Intersimbólica habría que aumentar el ancho de banda para reducir la
dispersión de los pulsos. A continuación veremos el análisis del diseno de los filtros que
combaten la ISI y el ruido de manera conjunta.