F(x, y)

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO)
POR INTEGRACION BASICA
1.-
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒚−𝟏
𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦−1
𝑥
∫
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=∫
𝑦−1
𝑥
ln(𝑦 − 1) + 𝐶1 = ln 𝑥 + 𝐶2
ln(𝑦 − 1) = ln 𝑥 + 𝑘
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝐶2 − 𝐶1
𝑒 ln(𝑦−1) = 𝑒 ln x+k
𝑒 ln(𝑦−1) = 𝑒 ln x . 𝑒 𝑘
𝑆𝑒𝑎: 𝑒 𝑘 = 𝐶
𝑦 − 1 = 𝐶. 𝑥
𝒚 = 𝑪. 𝒙 + 𝟏
2.- 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟒𝒚
𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
4𝑦
𝑥
∫
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫
4𝑦
𝑥
ln 𝑦
+ 𝐶1 = ln 𝑥 + 𝐶2
4
ln 𝑦
= ln 𝑥 + 𝑘
4
ln 𝑦 = 4 ln 𝑥 + 4𝑘
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝐶2 − 𝐶1
4
𝑒 ln 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥 . 𝑒 4𝑘
𝑆𝑒𝑎: 𝑒 4𝑘 = 𝐶
𝒚 = 𝑪. 𝒙𝟒
3.-
𝑑𝑦 =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒙+𝟔
𝒙+𝟏
𝑥+6
𝑑𝑥
𝑥+1
∫ 𝑑𝑦 = ∫
𝑥+6
𝑑𝑥
𝑥+1
𝑦 + 𝐶1 = ∫
𝑥
6
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥
𝑥+1
𝑥+1
𝑦 + 𝐶1 = ∫
−1
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + 6 ∫
𝑥+1
𝑥+1
𝑦 + 𝐶1 = − ln(𝑥 + 1) + 𝐶2 + 𝑥 + 𝐶3 + 6 ln(𝑥 + 1) + 𝐶4
𝑦 = 5 ln( 𝑥 + 1) + 𝑥 + 𝐶2 + 𝐶3 + 𝐶4 − 𝐶1
𝒚 = 𝟓 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) + 𝒙 + 𝒌
4.-
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒆𝒕 −
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝐶2 + 𝐶3 + 𝐶4 − 𝐶1
.
𝟐𝒕
𝒕𝟐 −𝟏
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 − ∫
2𝑡
𝑑𝑡
𝑡2 − 1
𝑥 + 𝐶1 = 𝑒 𝑡 + 𝐶2 − ln( 𝑡 2 − 1) + 𝐶3
𝑥 = 𝑒 𝑡 − ln( 𝑡 2 − 1) + 𝐶2 + 𝐶3 − 𝐶1
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝐶2 + 𝐶3 − 𝐶1
𝒙 = 𝒆𝒕 − 𝐥𝐧( 𝒕𝟐 − 𝟏) + 𝒌
5.-
𝒅𝒙
𝒚𝒅𝒚
𝑥(2𝑥 2
=
𝒙(𝟐𝒙𝟐 −𝒙−𝟏)
𝟐
√𝟒𝒚 −𝟏
𝟑
𝟑
𝑑𝑥
=
− 𝑥 − 1)
𝑑𝑥
∫ 𝑥(2𝑥 2 −𝑥−1) = ∫
𝑦 𝑑𝑦
2
√4𝑦 − 1
3
3
𝑦 𝑑𝑦
2
√4𝑦 −1
3
3
𝐼𝑎 = 𝐼𝑏
𝐼𝑎 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐼𝑏 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒
𝑰𝒂 = ∫
𝒙(𝟐𝒙𝟐
1
𝑥(𝑥−1)(2𝑥+1)
𝐴=
𝒅𝒙
− 𝒙 − 𝟏)
𝐴
𝑥
=
𝐵
𝐶
+ (2𝑥+1)
(𝑥−1)
+
1
(0 − 1)(0 + 1)
𝐴=1
;
𝑑𝑥
∫ 𝑥(2𝑥 2 −𝑥−1) = ∫
𝑑𝑥
𝑥
1
𝐵=
1
;
𝐵=
1
(2 + 1)
1
3
;
𝐶=
𝑑𝑥
4
;
4
3
𝑑𝑥
+ ∫
+ ∫
3 𝑥−1
3 2𝑥+1
2
𝐼𝑎 = − ln 𝑥 + 3 ln(𝑥 − 1) + 3 ln(2𝑥 + 1)
𝑰𝒃 = ∫
𝑢=
4𝑦 2
3
𝒚 𝒅𝒚
𝟐
√𝟒𝒚 − 𝟏
𝟑
𝟑
1
−3
𝑑𝑢 =
8𝑦
𝑑𝑦
3
3𝑑𝑢
8𝑦
= 𝑑𝑦
𝐶=
1
1
3
−2 .−2
∫
𝑑𝑢
√𝑢
4𝑦 2
3
(
1/2
4𝑦 2 1
=2 (
− )
3
3
1/2
= 2(𝑢)
1/2
1
−3)
1
2
= ln 𝑥 + 3 ln(𝑥 − 1) + 3 ln(2𝑥 + 1)
Despejamos Y:
𝒚=
6.-
𝟑(−𝒍𝒏𝒙)
𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟎. 𝟏 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏) + 𝟎. 𝟑𝐥 𝐧(𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝒌
= 𝟒𝒔𝒆𝒏 (𝟕𝒙)
𝑑𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛 (7𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 4𝑠𝑒𝑛 (7𝑥)𝑑𝑥
𝑦 + 𝐶1 =
𝒚=
7.-
4 cos(7𝑥)
7
+ 𝐶2
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝐶2 − 𝐶1
𝟒 𝐜𝐨𝐬(𝟕𝒙)
+𝒌
𝟕
𝒅𝑨
𝒅𝒕
= 𝒌𝑨
𝑑𝐴
= 𝑘 𝑑𝑡
𝐴
∫
𝑑𝐴
= 𝑘 ∫ 𝑑𝑡
𝐴
ln 𝐴 + 𝐶1 = 𝑘𝑡 + 𝐶2
ln 𝐴 = 𝑘𝑡 + 𝐶
𝑆𝑒𝑎: 𝐶2 − 𝐶1
𝑒 𝑙𝑛𝐴 = 𝑒 𝑘𝑡+𝑐
𝑒 𝑙𝑛𝐴 = 𝑒 𝑘𝑡 𝑒 𝑐
𝐴 = 𝐶. 𝑒
8.-
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝑑𝑦 =
𝑘𝑡
=
𝑥2
𝟕
𝒙𝟐 +𝟑𝒙−𝟏𝟎
7𝑑𝑥
+ 3𝑥 − 10
∫ 𝑑𝑦 = 7 ∫
𝑑𝑥
𝑥 2 + 3𝑥 − 10
𝐼𝑎 = 𝐼𝑏
𝐼𝑎 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
𝐼𝑏 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐼𝑎 = 𝑦 + 𝐶1
𝐼𝑏 ∶
𝑥2
7
7
𝐴
𝐵
=
=
+
+ 3𝑥 − 10 (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) (𝑥 + 5) (𝑥 − 2)
𝐴=
7
= −1
−5 − 2
𝐵=
7
=1
5+2
7
−1
1
=
+
𝑥 2 + 3𝑥 − 10 (𝑥 + 5) (𝑥 − 2)
𝐼𝑏 = ∫
−1
1
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 5)
(𝑥 − 2)
𝐼𝑏 = − ln(𝑥 + 5) + ln(𝑥 − 2) + 𝐶2
;
𝒚 = − ln(𝑥 + 5) + ln(𝑥 − 2) + 𝐶2 − 𝐶1
𝒚 = − 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟓) + 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟐) + 𝒌
9.-
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝑰𝒂 = 𝑰𝒃
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝐶2 − 𝐶1
𝑑𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝐼𝑎 = 𝐼𝑏
𝐼𝑎 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎
𝐼𝑏 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
𝑢 = 𝑒𝑥
𝐼𝑏:
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥
𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
𝐼𝑏: − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑒𝑥
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥
𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝐼𝑐: ∶
𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝐼𝑐: ∶
𝐼𝑎 = 𝐼𝑏
𝑦 + 𝐶1 =
𝒚=
10.-
𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 +
2
𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝐶2
+𝒌
= 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙
𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) 𝑑𝑥
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝐶2 − 𝐶1
𝐼𝑎 = 𝐼𝑏
𝐼𝑎 = 𝑦 + 𝐶1
𝐼𝑏:
𝑆𝑒𝑎
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝐼𝑏:
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (1 − 𝑢2 )
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝐼𝑏 = ∫ (1 − 𝑢2 ) 𝑑𝑢
𝑢3
𝐼𝑏 = −
+𝑢
3
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2
3
𝐼𝑏 = −
𝑰𝒂 = 𝑰𝒃
𝑦 + 𝐶1 = −
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2
3
𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙
𝒚= −
+ 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒌
𝟑
11.-
𝟐𝒚𝒅𝒚
𝒅𝒙
2𝑦 𝑑𝑦 =
=
(𝑥 2
𝟏
(𝒙𝟐 −𝟏𝟔)
𝑑𝑥
− 16)
2 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = ∫
𝑑𝑥
(𝑥 2 − 16)
𝐼𝑎 = 𝐼𝑏
𝐼𝑎 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
𝐼𝑏 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑰𝒂 = 𝒚𝟐 + 𝑪𝟏
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝐶2 − 𝐶1
(𝑥 2
1
𝐴
𝐵
=
+
(𝑥 + 4) (𝑥 − 4)
− 16)
(𝑥 2
1
𝑥(𝐴 + 𝐵) + 4(4𝐵 − 4𝐴)
=
− 16)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)
1 = 𝑥(𝐴 + 𝐵) + 4(4𝐵 − 4𝐴)
0𝑥 + 1 = 𝑥(𝐴 + 𝐵) + (4𝐵 − 4𝐴)
𝐴+𝐵 =0
1 = 4𝐵 − 4𝐴
𝑨 = −𝑩
1
1
𝐴 = −8
𝐼𝑏:
(𝑥 2
𝐵=8
1
1/8
−1/8
=
+
(𝑥 + 4) (𝑥 − 4)
− 16)
𝐼𝑏 =
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
∫
− ∫
8 (𝑥 + 4) 8 (𝑥 − 4)
𝐼𝑏 =
ln(𝑥 + 4) ln(𝑥 − 4)
−
+ 𝐶2
8
8
𝑰𝒂 = 𝑰𝒃
𝑦 2 + 𝐶1 =
𝒚= √
12.-
ln(𝑥+4)
ln(𝑥−4)
− 8 +
8
𝐶2
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝐶2 − 𝐶1
𝐥𝐧(𝒙 + 𝟒) 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟒)
−
+𝒌
𝟖
𝟖
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒆𝒕 −
𝟐𝒕
𝒕𝟐 −𝟏
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 − ∫
2𝑡
𝑑𝑡
−1
𝑡2
𝑥 + 𝐶1 = 𝑒 𝑡 + 𝐶2 − ln( 𝑡 2 − 1) + 𝐶3
𝑥 = 𝑒 𝑡 − ln( 𝑡 2 − 1) + 𝐶2 + 𝐶3 − 𝐶1
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝐶2 + 𝐶3 − 𝐶1
𝒙 = 𝒆𝒕 − 𝐥𝐧( 𝒕𝟐 − 𝟏) + 𝒌
13.-
𝒅𝑴
𝒅𝒕
= 𝒈𝑴
g= cte.
𝑑𝑀
= 𝑔 𝑑𝑡
𝑀
∫
𝑑𝑀
= 𝑔 ∫ 𝑑𝑡
𝑀
ln 𝑀 + 𝐶1 = 𝑘𝑡 + 𝐶2
𝑆𝑒𝑎: 𝐶2 − 𝐶1
ln 𝑀 = 𝑔𝑡 + 𝐶
𝑒 𝑙𝑛𝑀 = 𝑒 𝑔𝑡+𝑐
𝑒 𝑙𝑛𝑀 = 𝑒 𝑔𝑡 𝑒 𝑐
𝑀 = 𝐶. 𝑒
14.-
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝑔𝑡
= 𝟗𝒄𝒐𝒔 (𝟓𝒙)
𝑑𝑦 = 9𝑐𝑜𝑠 (5𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 9𝑐𝑜𝑠 (5𝑥)𝑑𝑥
𝑆𝑒𝑎: 𝑒 𝑐 = 𝐶
9 sen(5𝑥)
5
𝑦 + 𝐶1 =
𝒚=
15.-
+ 𝐶2
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝐶2 − 𝐶1
𝟗 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙)
+𝒌
𝟓
𝒅𝒚
= 𝟑𝒙(𝒚 + 𝟒)𝟐
𝒅𝒙
𝑑𝑦
= 3𝑥 𝑑𝑥
(𝑦 + 4)2
∫
𝑑𝑦
= ∫ 3𝑥 𝑑𝑥
(𝑦 + 4)2
𝑰𝒂 = 𝑰𝒃
𝐼𝑎 = Integracion por sustitucion
𝐼𝑏 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
𝐼𝑏 =
∫
3𝑥 2
+ 𝐶2
2
𝑑𝑦
= 𝐼𝑎:
(𝑦 + 4)2
𝑢 =𝑦+4
; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦
𝐼𝑎 = ln 𝑢 + 𝐶1
𝐼𝑎 = ln(𝑦 + 4) + 𝐶1
𝑰𝒂 = 𝑰𝒃
ln(𝑦 + 4) + 𝐶1 =
ln(𝑦 + 4) =
𝑒
𝑙𝑛( 𝑦+4)
𝑒 𝑙𝑛( 𝑦+4) = 𝑒
𝒚 = C𝒆
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝐶2 − 𝐶1
3𝑥 2
+𝑘
2
= 𝑒
𝟑𝒙𝟐
𝟐
3𝑥 2
+ 𝐶2
2
3𝑥 2
2
3𝑥2
+𝑘
2
. 𝑒𝑘
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝐶 = 𝐶2 − 𝐶1
−𝟒
CLASIFICACION DE ED, SEGÚN EL TIPO, GRADO, VARIABLES, CONSTANTES.
1.-
𝒅𝑷
𝒅𝒕
= 𝒌𝑷(𝑷𝟏 − 𝑷𝟐)
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 1
𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑𝑜
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑡 = 𝑉𝑖
𝟐. − 𝟐
;
𝑃 = 𝑉𝑑
𝒅𝒚
− 𝟐𝒚𝒙 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙
𝑎1(𝑥) = 2 ;
𝑎0(𝑥) = 2𝑥 ;
𝑔(𝑥) = 2 cos 𝑥
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 1
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷𝐿
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝟑. − 𝟖
𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
−
𝟐𝒙
+ 𝟒𝒚𝒙 = 𝟎
𝒅𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝑎2(𝑥) = 8
;
𝑎1(𝑥) = −2𝑥
; 𝑎0(𝑥) = 4𝑥
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝟒. − 𝒙
𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝒚
+ 𝟐𝒚 = 𝒙
𝒅𝒙
𝑎1(𝑥) = 𝑥
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 1
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷𝐿
;
𝑎0(𝑥) = 2
;
𝑔(𝑥) = 𝑥
;
𝑔(𝑥) = 0
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
5.- (2𝒙𝒚𝟐 - 3) 𝒅𝒙 + (𝟐𝒚𝒙𝟐 + 𝟒) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 4xy
= 4xy
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 1
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷𝐸
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝟔. − 𝟔
𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝒚
− 𝟕𝒙𝒚 = 𝟐
𝒅𝒙
𝑎1(𝑥) = 6 ;
𝑎0(𝑥) = −7𝑥 ;
𝑔(𝑥) = 2
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 1
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷𝐿
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
𝟕. − (𝟏 − 𝒙) 𝟐 − 𝟒𝒙
+ 𝟓𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝑎2(𝑥) = (1 − 𝑥)
;
𝑎1(𝑥) = −4𝑥
; 𝑎0(𝑥) = 5
;
𝑔(𝑥) = cos 𝑥
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝑵
𝑵𝟐 𝒕
𝟏
𝟖. −
=
+
+ 𝒌𝑵
𝒅𝒕
𝒅𝒕𝟐 𝒓𝒅𝑵
𝒅𝒕
𝑎2(𝑡) = 1
;
𝑎1(𝑡) =
1
𝑟
; 𝑎0(𝑥) = 𝑘
;
𝑔(𝑡) = 0
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝑡 = 𝑉𝑖
;
𝑁 = 𝑉𝑑
𝟗. −( 𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 = ( 𝟔𝒚𝟐 + 𝟐𝒙)𝒅𝒚
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑆𝑖𝑛 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝟏𝟎. −
𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
;
𝑁 = 𝑉𝑑
𝒅𝒚
= 𝟐𝒙
𝒅𝒙
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 1
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝑡 = 𝑉𝑖
11.- (2𝒙 + y) 𝒅𝒙 + (𝒙 +𝟔𝒚) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑥
=1
=1
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 1
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷𝐸
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒖 𝒅𝟐 𝒖
𝟏𝟐. −
+
=𝟎
𝒅𝒙𝟐
𝒅𝒚𝟐
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝑥, 𝑦 = 𝑉𝑖
;
𝑢 = 𝑉𝑑
𝒅𝟑 𝒙 𝟏 𝒅𝟐 𝒙
𝟏𝟑. − 𝟒 𝟑 +
+ 𝟖𝒙 = 𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒕)
𝒅𝒕
𝟑 𝒅𝒚𝟐
𝑎2(𝑡) = 4
;
𝑎1(𝑡) = −6
; 𝑎0(𝑡) = −8𝑥
;
𝑔(𝑡) = cos(2𝑡)
;
𝑔(𝑥) = 0
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 3
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝑡 = 𝑉𝑖
;
𝑥 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
𝟏𝟒. −
−
𝟐
+𝒚=𝟎
𝒅𝒕𝟐
𝒅𝒙
𝑎2(𝑥) = 1
;
𝑎1(𝑥) = −2
; 𝑎0(𝑥) = 1
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷𝐻
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝟏𝟓. −
𝑡 = 𝑉𝑖
;
𝑥 = 𝑉𝑑
𝒅𝒚 𝟐𝒙 − 𝒙𝒚
= 𝟐
𝒅𝒙
𝒚 +𝟏
𝑑𝑦(𝑦 2 + 1) = (2𝑥 − 𝑥𝑦)𝑑𝑥
𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 𝑥𝑦)
𝑝(𝑦) = (𝑦 2 + 1)
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 1
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝑡 = 𝑉𝑖
;
𝑥 = 𝑉𝑑
DEMOSTRACIONES EN FORMA EXPLICITA
1.- DEMOSTRAR QUE LAS SIGUIENTE FUNCION ES SOLUCION DE LA ED
𝒅𝒚
− 𝟑𝒚 = −𝟑
𝒅𝒙
𝒚(𝒙) = 𝒄𝒆𝟑𝒙 + 𝟏
;
1. − 𝐸𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦(𝑥)
𝑑𝑦
= 3𝑐𝑒 3𝑥
𝑑𝑥
2. − 𝑅𝑒𝑒𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟑𝒚 = −𝟑
3𝑐𝑒 3𝑥 − 3( 𝑐𝑒 3𝑥 + 1 ) = −3
3𝑐𝑒 3𝑥 − 3𝑐𝑒 3𝑥 − 3 = −3
−3 = −3
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒀(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝟐. −𝑽𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒆𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
𝒙
𝒅𝒚
+ 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙
;
𝒚=
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
1. − 𝐸𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦(𝑥)
𝑑𝑦
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
=
𝑑𝑥
𝑥2
2. − 𝑅𝑒𝑒𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
(
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷:
𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
) + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 −
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
+
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
𝑥
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒚(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
cos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝟐
𝟑. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆: 𝝓(𝒙) = 𝒙 − 𝒙
−𝟏
𝒅𝟐 𝒚 𝟐𝒚
𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 ∶
−
=𝟎
𝒅𝒙𝟐 𝒙𝟐
1. − 𝐸𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 1𝑒𝑟𝑎 𝑦 2𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝝓(𝑥)
𝑑𝜙
= 2𝑥 + 𝑥 −2
𝑑𝑥
𝑑2 𝜙
= 2 − 2𝑥 −3
𝑑𝑥 2
2. − 𝑅𝑒𝑒𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝒅𝝓
𝒅𝒙
𝑦
𝒅𝟐 𝝓
𝒅𝒙
𝟐
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷:
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒙
𝟐
−
𝟐𝒚
𝒙𝟐
=𝟎
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝒚 = 𝝓(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙−𝟏
2 − 𝑥 −3 −
2(𝑥 2 − 𝑥 −1)
= 0
𝑥2
2 − 2𝑥 −3 −
2𝑥 2 − 𝑥 −1
= 0
𝑥2
2𝑥 2 − 2𝑥 −1 − 2𝑥 2 + 2𝑥 −1)
= 0
𝑥2
0=0
(𝑽)𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝝓(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟒. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆: 𝝓(𝒙) = 𝒄𝟏𝒆−𝒙 + 𝒄𝟐𝒆𝟐𝒙
𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒚
𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 ∶
−
− 𝟐𝒚 = 𝟎
𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙
1. − 𝐸𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒
𝑎𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝝓(𝑥) 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1𝑒𝑟𝑎 𝑦 2𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑑𝜙
= −𝑐1 𝑒 −𝑥 + 2 𝑐2𝑒 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑2 𝜙
= 𝑐1𝑒 −𝑥 + 4𝑐2𝑒 2𝑥
𝑑𝑥 2
2. − 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝒅𝝓
𝒅𝒙
𝑦
𝒅𝟐 𝝓
𝒅𝒙𝟐
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷:
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒙𝟐
−
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟐𝒚 = 𝟎
𝑐1𝑒 −𝑥 + 4𝑐2𝑒 2𝑥 + 𝑐1 𝑒 −𝑥 − 2 𝑐2𝑒 2𝑥 − 2(𝑐1𝑒 −𝑥 + 𝑐2𝑒 2𝑥 ) = 0
1𝑒 −𝑥 + 4𝑐2𝑒 2𝑥 + 𝑐1 𝑒 −𝑥 − 2 𝑐2𝑒 2𝑥 − 2𝑐1𝑒 −𝑥 − 2𝑐2𝑒 2𝑥 = 0
0=0
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝝓(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟓. −𝑽𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒔 𝒐 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝒅𝒂𝒅𝒂:
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑥 = ln ( 𝑑𝑡 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑑𝑡 )
𝑥 = ln(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
𝑦 = 𝑡(1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ) + cos (𝑡)
1. − 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 2 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝒙, 𝒚 𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒙 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒚 𝒆𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 (𝒕)
𝑑𝑥
1
= ( ) + cos(𝑡)
𝑑𝑡
𝑡
𝑑𝑦
= 1 + 𝑡 cos(𝑡)
𝑑𝑡
2. −𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑇 = 𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝐺𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑇 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑦
1 + 𝑡 cos(𝑡)
𝑇=
1 + 𝑡 cos(𝑡)
𝑑𝑡
𝑡
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶
3. −𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟
𝒅𝒚
𝑑𝑦
𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑇=𝑡
𝑑𝑡
= 𝑡 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝒅𝒚
𝑠𝑒𝑎 ∶ 𝒙 = 𝐥𝐧 ( 𝒅𝒕 ) + 𝒔𝒆𝒏 ( 𝒅𝒕 )
𝑥 = ln(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
𝑥=𝑥
;
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑥 = ln(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒙, 𝒚 𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎.
𝟔. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 ∶ 𝝓(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆:
1. −𝑃𝑎𝑠𝑜 1: 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 1𝑒𝑟𝑎 𝑦 2𝑑𝑎 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝝓(𝒙)
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝜙(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝜙
= 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝑑2 𝜙
= −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥 2
2. − 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝒅𝟐 𝝓
𝒅𝒙𝟐
𝑦 𝜙(𝑥) 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷:
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒙𝟐
+𝒚=𝟎
−𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 = 0
0=0
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝝓(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐷𝑎𝑑𝑎.
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒙𝟐
+𝒚 =𝟎
7. −𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒚(𝒙) = 𝒆𝒙 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 ∶
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒙𝟐
−𝒚=𝟎
1. −𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑦(𝑥)
𝑑𝑦
= 𝒆𝒙
𝑑𝑥
𝑑2 𝑦
= 𝒆𝒙
𝑑𝑥 2
2. −𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦(𝑥) 𝑦
𝑆𝑒𝑎 ∶
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑑2 𝑦
−𝑦 =0
𝑑𝑥 2
𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 = 0
0=0
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒚(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎.
𝟖. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
𝒅𝒚
− 𝟐𝒚 = −𝟐
𝒅𝒙
;
𝒚(𝒙) = 𝒄𝒆𝟐𝒙 + 𝟏
1. − 𝐸𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦(𝑥)
𝑑𝑦
= 2𝑐𝑒 2𝑥
𝑑𝑥
2. − 𝑅𝑒𝑒𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝒅𝒚
𝒅𝒙
2𝑐𝑒 2𝑥 − 2( 𝑐𝑒 2𝑥 + 1 ) = −2
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟐𝒚 = −𝟐
2𝑐𝑒 2𝑥 − 2𝑐𝑒 2𝑥 − 2 = −2
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒀(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
−2 = −2
𝟗. −𝑽𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
𝒚(𝒙) =
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝟑𝒙
𝒙 𝒅𝒚
+ 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒅𝒙
;
𝟏. −𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒚(𝒙)
𝑑𝑦
(cos 𝑥 )3𝑥 − 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥
=
𝑑𝑥
9𝑥 2
2. −𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑥(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑒𝑛 ∶
𝒙 𝒅𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝒙
+𝒚=
𝒅𝒙
𝟑
(cos 𝑥 )3𝑥 − 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
)+
=
2
9𝑥
3𝑥
3
3𝑥 2 (cos 𝑥 )
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
−
+
=
2
9𝑥
3𝑥
3𝑥
3
cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
−
+
=
3
3𝑥
3𝑥
3
cos 𝑥 cos 𝑥
=
3
3
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒚(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟎 . −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
𝒙 = 𝒕𝒆𝒕
𝒚 = 𝒆−𝒕
;
(𝟏 + 𝒙𝒚)
;
𝒅𝒚
+ 𝒚𝟐
𝒅𝒙
1. −𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥(𝑡) 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑦(𝑡)
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑡 + 𝑡𝑒 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= −𝑒 −𝑡
𝑑𝑡
2. −𝐷𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 (𝑡)𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑦𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 (𝑌)𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎
𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 ∶
𝑑𝑦
−𝑒 −𝑡
𝑇= 𝑡
𝑑𝑡
𝑒 (1 + 𝑡)
𝑑𝑦
−𝑒 −2𝑡
𝑇=
𝑑𝑡
(1 + 𝑡)
3. −𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷
−𝑒 −2𝑡
(1 + 𝑡) + 𝑒 −2𝑡 = 0
(1 + 𝑡)
𝑒 −2𝑡 − 𝑒 −2𝑡 = 0
0=0
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕)𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑝𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟏. −𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆 𝒔𝒊 𝒍𝒂𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
𝒙 = 𝒕 𝒍𝒏 (𝒕)
;
𝒚 = 𝒕𝟐 (𝟐𝒍𝒏𝒕 + 𝟏)
;
𝒅𝒚
𝒅𝒚
𝒍𝒏 ( 𝒅𝒙 ) = 𝟒𝒙𝒍𝒏𝒕
𝒅𝒙
𝟒
1. − 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 2 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝒙, 𝒚 𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒙 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒚 𝒆𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 (𝒕)
𝑑𝑥
1
= ln 𝑡 + 𝑡
𝑑𝑡
𝑡
𝒅𝒙
= 𝒍𝒏𝒕 + 𝟏
𝒅𝒕
𝑑𝑦
1
= 2𝑡 (2𝑙𝑛𝑡 + 1) + 𝑡 2 ( )
𝑑𝑡
𝑡
𝑑𝑦
= 4𝑡𝑙𝑛𝑡 + 2𝑡 + 2𝑡
𝑑𝑡
𝒅𝒚
= 𝟒𝒕(𝒍𝒏𝒕 + 𝟏)
𝒅𝒕
𝑑𝑦
4𝑡 ( 𝑙𝑛𝑡 + 1)
𝑇=
𝑑𝑡
(𝑙𝑛𝑡 + 1)
𝑑𝑦
= 4𝑡
𝑑𝑡
2. −𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝒅𝒚
𝑻 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝒅𝒕
𝑑𝑦
4𝑡
ln ( ) = 4𝑡 𝑙𝑛𝑡
𝑑𝑡
4
4𝑡 𝑙𝑛𝑡 = 4𝑡 𝑙𝑛𝑡
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕)𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟐. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
𝑦(𝑥) = 8 + 𝑒 −𝑥
;
1. − 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑦
= −𝑒 −𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ 𝑒 −𝑥 = 0
𝑑𝑥
2. −𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝑆𝑒𝑎 ∶
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒 −𝑥 = 0
−𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 = 0
0=0
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒀(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟑. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
−𝒙
𝒚(𝒙) = 𝒄𝟏𝒆
𝒙
−𝟐𝒙
+ 𝒄𝟐𝒆 + 𝒄𝟑𝒆
𝟐𝒙
+ 𝒄𝟒𝒆
;
𝒅𝟒 𝒚
𝒅𝟐 𝒚
− 𝟓 𝟐 + 𝟒𝒚 = 𝟎
𝒅𝒙𝟒
𝒅𝒙
1. −𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 , 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝑑𝑦
= −𝑐1𝑒 −𝑥 + 𝑐2𝑒 𝑥 − 2𝑐3𝑒 −2𝑥 + 2𝑐4𝑒 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑2 𝑦
= 𝑐1𝑒 −𝑥 + 𝑐2𝑒 𝑥 + 4𝑐3𝑒 −2𝑥 + 4𝑐4𝑒 2𝑥
𝑑𝑥 2
𝑑3 𝑦
= −𝑐1𝑒 −𝑥 + 𝑐2𝑒 𝑥 − 8𝑐3𝑒 −2𝑥 + 8𝑐4𝑒 2𝑥
𝑑𝑥 3
𝑑4 𝑦
= 𝑐1𝑒 −𝑥 + 𝑐2𝑒 𝑥 + 16𝑐3𝑒 −2𝑥 + 16𝑐4𝑒 2𝑥
𝑑𝑥 4
2. −𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑑4 𝑦
𝑑𝑥 4
,
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
, 𝑦(𝑥) 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝒅𝟒 𝒚
𝒅𝟐 𝒚
𝑆𝑒𝑎 ∶
− 𝟓 𝟐 + 𝟒𝒚 = 𝟎
𝒅𝒙𝟒
𝒅𝒙
𝑐1𝑒 −𝑥 + 𝑐2𝑒 𝑥 + 16𝑐3𝑒 −2𝑥 + 16𝑐4𝑒 2𝑥 − 5 𝑐1𝑒 −𝑥 − 5𝑐2𝑒 𝑥 − 20𝑐3𝑒 −2𝑥 − 20𝑐4𝑒 2𝑥
+ 4𝑐1𝑒 −𝑥 + 4𝑐2𝑒 𝑥 + 4𝑐3𝑒 −2𝑥 + 4𝑐4𝑒 2𝑥 = 0
0 = 0 (𝑽)𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒚(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟒. 𝑽𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒚(𝒕) = 𝒆
−𝟒𝒕
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒕) 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 ∶ 𝟐 + 𝟖
+ 𝟐𝟓𝒚 = 𝟎
𝒅𝒕
𝒅𝒕
1. −𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 , 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝑑𝑦
= −4𝑒 −4𝑡 𝑐𝑜𝑠(5𝑡) − 𝑒 −4𝑡 𝑠𝑒𝑛 (5𝑡)
𝑑𝑡
𝑑2 𝑦
= 16𝑒 −4𝑡 cos(5𝑡) − 4𝑒 −4𝑡 𝑠𝑒𝑛(5𝑡) + 4𝑒 −4𝑡 𝑠𝑒𝑛(5𝑡) − 𝑒 −4𝑡 cos(5𝑡)
𝑑𝑥 2
𝑑2 𝑦
= −9𝑒 −4𝑡 cos(5𝑡) + 40𝑒 −4𝑡 𝑠𝑒𝑛(5𝑡)
𝑑𝑥 2
2. −𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑆𝑒𝑎 ∶
𝑑𝑦 𝑑2 𝑦
𝑦
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑡 𝑑𝑥 2
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
+𝟖
+ 𝟐𝟓𝒚 = 𝟎
𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒕
−9𝑒 −4𝑡 cos(5𝑡) + 40𝑒 −4𝑡 𝑠𝑒𝑛(5𝑡) − 32𝑒 −4𝑡 𝑐𝑜𝑠(5𝑡) − 8𝑒 −4𝑡 𝑠𝑒𝑛 (5𝑡) +
25𝑒 −4𝑡 𝑐𝑜𝑠(5𝑡) = 0
0 = 0 (𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒚(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟓. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚 𝟐
+
(
) =𝟎
𝒅𝒕𝟐
𝒅𝒙
;
𝒚(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙 + 𝒄) + 𝒄𝟐
;
𝒄𝟏, 𝒄𝟐 = 𝒌𝒕𝒆𝒔
1. −𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛, 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝒅𝒚
𝟏
=
𝒅𝒙
𝒙+𝟏
𝒅𝟐 𝒚
−𝟏
=
𝟐
𝒅𝒕
(𝒙 + 𝒄)𝟐
2. −𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑆𝑒𝑎 ∶
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚 𝟐
+
(
)
𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒕𝟐
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
=𝟎
−𝟏
𝟏
+
=𝟎
𝟐
(𝒙 + 𝒄)
(𝒙 + 𝒄)𝟐
0=0
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝒚(𝒙) 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
DEMOSTRACIONES EN FORMA IMPLICITA
𝟏. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
𝒙𝒚𝟑 − 𝒙𝒚𝟑 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟏
𝒅𝒚 (𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝟏)𝒚
=
𝒅𝒙
𝟑(𝒙 − 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙)
;
1. −𝐸𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 , 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎
𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑙𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑦 𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑙𝑎.
𝑦 3 (𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥) = 1
𝑦3 =
1
(𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)
;
𝑦 3 = (𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)−1
𝑑𝑦
3𝑦 2 ( ) = −1(𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)−2 (1 − 𝑥𝑐𝑜𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑦 (1 + 𝑥𝑐𝑜𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑦
=
∗
𝑑𝑥
3(𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑦 2
𝑦
𝑑𝑦 (1 + 𝑥𝑐𝑜𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑦
=
𝑑𝑥
3(𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑦 3
𝑑𝑦
(−1 + 𝑥𝑐𝑜𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑦
=
𝑑𝑥 3(𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)−1
2. −𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑌 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠
(−1 + 𝑥𝑐𝑜𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑦
3(𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)
=
(𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝟏)𝒚
𝟑(𝒙 − 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙)
(𝑽) 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷.
𝟐. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 ∶ 𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆 ∶
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝟏
𝟐𝒚
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟑 = 𝟎
1. −𝐶𝑜𝑚𝑒𝑛𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒
2𝑦
𝑑𝑦
+1=0
𝑑𝑥
;
𝑑𝑦 −1
=
𝑑𝑥 2𝑦
2. −𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝒅𝒚
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒅𝒙 =
−1
−1
=
2𝑦
2𝑦
−𝟏
𝟐𝒚
𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒅𝒂 ;
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝟏
𝟐𝒚
𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝟑. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒊 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
𝟒𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝒄
;
𝒄 = 𝒌𝒕𝒆
;
𝒚(
𝒅𝒚
) − 𝟒𝒙 = 𝟎
𝒅𝒙
1. −𝐶𝑜𝑚𝑒𝑛𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒
8𝑥 − 2𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
)=0
𝑑𝑥
𝑑𝑦
8𝑥 = 2𝑦 ( )
𝑑𝑥
𝑑𝑦
4𝑥
=
𝑑𝑥
𝑦
2. −𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑑𝑦
𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝑑𝑥
𝒅𝒚
𝑺𝒆𝒂 𝒍𝒂 𝑬𝑫 ∶ 𝒚 ( ) − 𝟒𝒙 = 𝟎
𝒅𝒙
4𝑥
( ) 𝑦 − 4𝑥 = 0
𝑦
4𝑥 − 4𝑥 = 0
𝟎=𝟎
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟒. − 𝑫𝒆𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 ∶ −𝟐𝒙𝟐 𝒚 − 𝒚𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒄𝒊𝒕𝒂
𝒅𝒆 ∶ 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 − 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
𝟏. −𝑬𝒎𝒑𝒆𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐
𝒅𝒚
𝒑𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏
𝒅𝒙
−2𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 − 1 = 0
−4𝑥𝑦 − 2𝑥 2
−2𝑥 2
−2
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+ 2𝑦
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+ 2𝑦
= 4𝑦𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 2
(𝑥 − 𝑦) = 4𝑦𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
4𝑥𝑦
=
𝑑𝑥
−2(𝑥 2 − 𝑦)
𝑑𝑦
−2𝑥𝑦
=
𝑑𝑥
(𝑥 2 − 𝑦)
2. −𝐷𝑒𝑑𝑖𝑏𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑦
𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑙𝑎
𝑑𝑥
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 − 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
𝑑𝑦
2𝑥𝑦
=
𝑑𝑥 −(𝑥 2 − 𝑦)
𝑈𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑦
𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑜 𝑛𝑜.
𝑑𝑥
2𝑥𝑦
𝟐𝒙𝒚
=
−(𝑥 2 − 𝑦) −(𝒙𝟐 − 𝒚)
(𝑽 )𝑃𝑜𝑟𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷.
𝟓. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
𝟖𝒙𝒚 𝒅𝒙 + (𝟖𝒚 + 𝟒𝒙𝟐 )𝒅𝒚 = 𝟎
;
𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟎
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟎
𝟏. −𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒐𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒅𝒆 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓
4𝑥𝑦 + 2𝑥 2
2𝑥 2
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+ 6𝑦
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+ 6𝑦
= −4𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(2𝑥 2 + 6𝑦) = −4𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
−4𝑥𝑦
=
(2𝑥 2 + 6𝑦)
𝑑𝑥
𝟐. −𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔
𝒅𝒚
𝒏𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
𝒅𝒙
−4𝑥𝑦
8𝑦𝑥 + (8𝑦 + 4𝑥 2 ) (
)=0
(2𝑥 2 + 6𝑦)
8𝑥𝑦 + 16𝑥 2 + 43𝑦 2 + 8𝑥 2 − 4𝑥𝑦 = 0
4𝑥𝑦 + 40𝑦𝑥 2 + 48𝑦 2 + 2𝑥 4 = 0
𝟎=𝟎
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟔 . −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂
𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
𝒙 = 𝒕𝒆𝒕
;
𝒚 = 𝒆−𝒕
;
(𝟏 + 𝒙𝒚)
𝒅𝒚
+ 𝒚𝟐
𝒅𝒙
1. −𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥(𝑡) 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑦(𝑡)
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑡 + 𝑡𝑒 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= −𝑒 −𝑡
𝑑𝑡
2. −𝐷𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 (𝑡)𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑦𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 (𝑌)𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎
𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 ∶
𝑑𝑦
−𝑒 −𝑡
𝑇= 𝑡
𝑑𝑡
𝑒 (1 + 𝑡)
𝑑𝑦
−𝑒 −2𝑡
𝑇=
𝑑𝑡
(1 + 𝑡)
3. −𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷
−𝑒 −2𝑡
(1 + 𝑡) + 𝑒 −2𝑡 = 0
(1 + 𝑡)
𝑒 −2𝑡 − 𝑒 −2𝑡 = 0
0=0
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕)𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟕. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 ∶ 𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆 ∶
𝒅𝒚
=
𝒅𝒙
−𝟏
𝟐𝒚
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟑 = 𝟎
1. −𝐶𝑜𝑚𝑒𝑛𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2𝑦
𝑑𝑦
+1=0
𝑑𝑥
;
𝑑𝑦 −1
=
𝑑𝑥 2𝑦
2. −𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝒅𝒚
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒅𝒙 =
−1
−1
=
2𝑦
2𝑦
−𝟏
𝟐𝒚
𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒅𝒂 ;
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝟏
𝟐𝒚
𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟖. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
𝒙𝒚
𝟐𝒆
+ 𝟐𝒚 − 𝟐𝒙 = −𝟐
;
𝒅𝒚
𝒆−𝒙−𝒚 − 𝒚
= −𝒙𝒚
𝒅𝒙
𝒆
+𝒙
1. −𝐸𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎
2𝑒 𝑥𝑦 (𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
)+2
− 2 = −2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2𝑒 𝑥𝑦 (𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
)+2
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 2𝑥
𝑑𝑦 𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑒 +2
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2𝑥
𝑑𝑦 𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑒 +2
= −2𝑦𝑒 𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(2𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 2) = −2𝑦𝑒 𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
−2𝑦𝑒 𝑥𝑦
=
(2𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 2)
𝑑𝑥
2. −𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜
𝑑𝑦
𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑠𝑖
𝑑𝑥
𝑒𝑠 𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑.
−2𝑦𝑒 𝑥𝑦
𝒆−𝒙−𝒚 − 𝒚
=
(2𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 2)
𝒆−𝒙𝒚 + 𝒙
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑒𝑠 (𝑭) 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑
𝟗. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑫𝒂𝒅𝒂.
𝟐
𝟐
𝒙= 𝒚 +𝒚
;
1. −𝐶𝑜𝑚𝑒𝑛𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜
1 = 2𝑦
𝒅𝒚 𝒅𝟑 𝒚
𝒅𝟐 𝒚
∗
= 𝟑 ( 𝟐)
𝒅𝒙 𝒅𝒙𝟑
𝒅𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑦
+
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝒅𝒚
𝟏
=
𝒅𝒙
𝟐𝒚 + 𝟏
2. −𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝑑2 𝑦
−2
=
𝑑𝑥 2
(2𝑦 + 1)3
𝑑3 𝑦
12
=
3
𝑑𝑥
(2𝑦 + 1)3
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐷𝑎𝑑𝑎.
𝟐
𝒅𝒚 𝒅𝟑 𝒚
𝒅𝟐 𝒚
𝑺𝒆𝒂 ∶
∗ 𝟑 = 𝟑 ( 𝟐)
𝒅𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒙
2
𝟏
12
−2
(
)(
) = 3(
)
(2𝑦 + 1)3
𝟐𝒚 + 𝟏 (2𝑦 + 1)3
12
12
(
)=(
)
6
(2𝑦 + 1)
(2𝑦 + 1)6
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟎. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑫𝒂𝒅𝒂.
𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒚𝟑 = 𝟎
(𝟖𝒙𝒚 )𝒅𝒙 + (𝟖𝒚 + 𝟒𝒙𝟐 )𝒅𝒚 = 𝟎
;
1. −𝐶𝑜𝑚𝑒𝑛𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒚𝟑 = 𝟎
4𝑥𝑦 + 2𝑥 2
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+ 6𝑦
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(2𝑥 2 + 6𝑦) = −4𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝒅𝒚
−𝟒𝒙𝒚
=
𝒅𝒙
(𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒚)
2. −𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝒅𝒚
−𝟖𝒙𝒚
=
𝒅𝒙
(𝟖𝒚 + 𝟒𝒙𝟐 )
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
𝐻𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦
𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝐸𝐷 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟 𝑠𝑖 𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑.
−4𝑥𝑦
−8𝑥𝑦
=
2
(2𝑥 + 6𝑦) (8𝑦 + 4𝑥 2 )
(𝑭)𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝟏𝟏. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑫𝒂𝒅𝒂.
−(𝟐𝒙𝒚𝟐 − 𝟑)𝒅𝒙 + (𝟐𝒚𝒙𝟐 + 𝟒)𝒅𝒚 = 𝟎
1. −𝐶𝑜𝑚𝑒𝑛𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑦
𝑑𝑥
;
𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟎
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟎
2𝑥𝑦 2 + 2𝑥 2 𝑦
2𝑦𝑥 2
𝑑𝑦
𝑑𝑦
−3+4
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+4
= 3 − 2𝑥𝑦 2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(2𝑦𝑥 2 + 4) = 3 − 2𝑥𝑦 2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
3 − 2𝑥𝑦 2
=
(2𝑦𝑥 2 + 4)
𝑑𝑥
2. −𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑑𝑦
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑒.
𝑑𝑥
𝑺𝒆𝒂 ∶ −(𝟐𝒙𝒚𝟐 − 𝟑)𝒅𝒙 + (𝟐𝒚𝒙𝟐 + 𝟒)𝒅𝒚 = 𝟎
𝑑𝑦
3 − 2𝑥𝑦 2
=
(2𝑦𝑥 2 + 4)
𝑑𝑥
3. −𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑.
𝑑𝑦
3 − 2𝑥𝑦 2
𝑑𝑦
3 − 2𝑥𝑦 2
=
=
=
(2𝑦𝑥 2 + 4) 𝑑𝑥
(2𝑦𝑥 2 + 4)
𝑑𝑥
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟐. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
𝟖𝒙𝒚 𝒅𝒙 + (𝟖𝒚 + 𝟒𝒙𝟐 )𝒅𝒚 = 𝟎
;
𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟎
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟎
𝟏. −𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒐𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒅𝒆 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓
4𝑥𝑦 + 2𝑥 2
2𝑥 2
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+ 6𝑦
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+ 6𝑦
= −4𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(2𝑥 2 + 6𝑦) = −4𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
−4𝑥𝑦
=
(2𝑥 2 + 6𝑦)
𝑑𝑥
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟐. −𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔
𝒅𝒚
𝒏𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝑬𝑫 𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
𝒅𝒙
−4𝑥𝑦
8𝑦𝑥 + (8𝑦 + 4𝑥 2 ) (
)=0
(2𝑥 2 + 6𝑦)
8𝑥𝑦 + 16𝑥 2 + 43𝑦 2 + 8𝑥 2 − 4𝑥𝑦 = 0
4𝑥𝑦 + 40𝑦𝑥 2 + 48𝑦 2 + 2𝑥 4 = 0
𝟎=𝟎
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟑. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
(𝟐𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 + (𝒙 + 𝟔𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
1. −𝐶𝑜𝑚𝑒𝑛𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑦
𝑑𝑥
;
𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟎
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟎
2𝑥 + 𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+ 6𝑦
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(𝑥 + 6𝑦) = −(2𝑥 + 𝑦)
𝑑𝑥
𝒅𝒚 −(𝟐𝒙 + 𝒚)
=
(𝒙 + 𝟔𝒚)
𝒅𝒙
2. −𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑑𝑦
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑒.
𝑑𝑥
𝑺𝒆𝒂 ∶ (𝟐𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 + (𝒙 + 𝟔𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
𝒅𝒚 −(𝟐𝒙 + 𝒚)
=
(𝒙 + 𝟔𝒚)
𝒅𝒙
3. −𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑.
−(𝟐𝒙 + 𝒚) −(𝟐𝒙 + 𝒚)
=
(𝒙 + 𝟔𝒚)
(𝒙 + 𝟔𝒚)
(𝑽)𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟒. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
(𝟒𝒙 − 𝟐)𝒅𝒙 = (−𝟔𝒚 − 𝟏𝟒)𝒅𝒚
1. −𝐶𝑜𝑚𝑒𝑛𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
− 14
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(−6𝑦 − 14) = 2 − 4𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2 − 4𝑥
=
𝑑𝑥 −(6𝑦 − 14)
𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚𝟐 − 𝟏𝟒𝒚 = 𝟎
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚𝟐 − 𝟏𝟒𝒚 = 𝟎
4𝑥 − 2 − 6𝑦
;
2. −𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑑𝑦
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑒.
𝑑𝑥
𝑺𝒆𝒂 ∶ (𝟒𝒙 − 𝟐)𝒅𝒙 = (−𝟔𝒚 − 𝟏𝟒)𝒅𝒚
𝑑𝑦
2 − 4𝑥
=
𝑑𝑥 −(6𝑦 − 14)
3. −𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑.
2 − 4𝑥
2 − 4𝑥
=
−(6𝑦 − 14) −(6𝑦 − 14)
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝟏𝟓. −𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
(𝟐𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 + (𝒙 − 𝟒𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
1. −𝐶𝑜𝑚𝑒𝑛𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑦
𝑑𝑥
;
𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐 = 𝟎
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐 = 𝟎
2𝑥 + 𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
− 4𝑦
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 −2𝑥 − 𝑦
=
𝑑𝑥
(𝑥 − 4)
2. −𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑑𝑦
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑒.
𝑑𝑥
𝑺𝒆𝒂 ∶ (𝟐𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 + (𝒙 − 𝟒𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
𝑑𝑦 −2𝑥 − 𝑦
=
𝑑𝑥
(𝑥 − 4)
3. −𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑.
−2𝑥 − 𝑦 −2𝑥 − 𝑦
=
(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)
(𝑽) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
PARTE 2
TIPO, VARIABLES ED ORDEN 2
𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒚
𝟏. −
+
+𝒚=𝟎
𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒚
𝟐. −
+
+ 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
𝟑. − 𝟗
+
𝟐
+ 𝟑𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒅𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
𝟒. −
+
𝟖
+𝒚=𝟎
𝒅𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝑷
𝒅𝑷
𝟓. −
+
𝟖𝒙
+𝟔=𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝒅𝒕
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑡 = 𝑉𝑖
;
𝑃 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
𝟔. −
+
𝒕
+ 𝟔𝒕 = 𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝒅𝒕
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑡 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
𝟕. −
+
𝒕
+ 𝟔𝒕 = 𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝒅𝒕
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑡 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝟖. −𝟐
+
𝟒
+ 𝟔𝒕 = 𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝒅𝒕
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑡 = 𝑉𝑖
𝟗. − 𝟒. 𝟓
;
𝑥 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒛
𝒅𝒛
+
𝟕.
𝟔𝒙
− 𝒕 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒘
𝒅𝒘𝟐
𝒅𝒘
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑤 = 𝑉𝑖
;
𝑧 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒌 𝒅𝒌
𝟏𝟎. − 𝟐 +
=𝟎
𝒅𝒔
𝒅𝒔
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑠 = 𝑉𝑖
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎
;
𝑘 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒙
𝟏𝟏. − 𝟐 +
+𝒙=𝟎
𝒅𝒚
𝒅𝒚
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑦 = 𝑉𝑖
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎
;
𝑥 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
𝟏𝟐. − (𝟏 − 𝒙) 𝟐 − 𝟒𝒙
+ 𝟓𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
𝟏𝟑. −(𝟏 + 𝒙 )
+
𝟐𝒙
+ 𝟕𝒚 = 𝟕 𝒙
𝒅𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝟐
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟑 𝒚 𝒅𝒚
𝟏𝟒. −
+
+ 𝒚 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙𝟑 𝒅𝒙
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝑥 = 𝑉𝑖
;
𝑦 = 𝑉𝑑
𝒅𝟐 𝝓 𝒅𝝓
𝟏𝟓. −
+
+ 𝝓 = 𝟑𝒙
𝒅𝜶𝟐 𝒅𝜶
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 = 2
𝑇𝑖𝑝𝑜 = 𝐸𝐷 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ∶
𝛼
= 𝑉𝑖
𝒅𝟐 𝒚
𝟏. −
= 𝟑𝒙
𝒅𝒙𝟐
;
𝜙
= 𝑉𝑑
SOLUCION DE ED ORDEN 2, POR INTEGRACION
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
3𝑥 2
=
+𝑘
𝑑𝑥
2
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
3
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑐5
2
𝒙𝟑
𝒚=
+ 𝒌𝒙 + 𝒄
𝟐
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒚
𝟐. −
= 𝒆𝒙
𝟐
𝒅𝒙
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑒𝑥 + 𝑘
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 = ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑐5
𝒚 = 𝒆𝒙 + 𝒌𝒙 + 𝒄
𝟑. −
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒚
= 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒅𝒙𝟐
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑘
𝑑𝑥
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 = − ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑐5
𝒚 = −𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒌𝒙 + 𝒄
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒚
𝟒. −
= 𝒎𝒈 𝒉
𝒅𝒉𝟐
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = 𝑚𝑔 ∫ ℎ 𝑑ℎ + 𝑐2
𝑑ℎ
𝑑𝑦
𝑚𝑔 ℎ2
=
+𝐿
𝑑ℎ
2
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 =
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝐿 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑚𝑔
∫ ℎ2 𝑑ℎ + 𝑐4 + 𝐿 ∫ 𝑑ℎ + 𝑐5
2
𝒎𝒈𝒉𝟑
𝒚=
+ 𝑳𝒉 + 𝒄
𝟐
;
𝒅𝟐 𝒚
𝟓. −
= 𝒄 𝒕𝟐
𝟐
𝒅𝒕
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = 𝑐 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 + 𝑐2
𝑑ℎ
𝑑𝑦
𝑐 𝑡3
=
+𝑆
𝑑ℎ
3
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑆 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑐
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 = ∫ 𝑡 3 𝑑𝑡 + 𝑐4 + 𝑆 ∫ 𝑑𝑡 + 𝑐5
2
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒄 𝒕𝟒
𝒚=
+𝑺𝒕+𝒄
𝟖
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒚
𝟔. −
= 𝒄 𝒕𝟐 + 𝒕 + 𝒆𝒕
𝒅𝒕𝟐
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = 𝑐 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 + 𝑐2 + ∫ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐3 + ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐4
𝑑ℎ
𝑑𝑦
𝑐 𝑡3 𝑡2
=
+
+ 𝑒𝑡 + 𝑂
𝑑ℎ
3
2
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑂 = 𝑐2 + 𝑐3 + 𝑐4 − 𝑐1
𝑐 𝑡3
𝑡2
∫ 𝑑𝑦 = ∫
+ ∫ + ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑂 ∫ 𝑑𝑡
3
2
𝒄 𝒕𝟒 𝒄 𝒕𝟑
𝒚=
+
+ 𝒆𝒕 + 𝑶𝒕 + 𝒄
𝟏𝟐
𝟔
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐6 + 𝑐7𝑐8 + 𝑐9 − 𝑐5
𝒅𝟐 𝒛
𝟕. − 𝟐 = 𝟕𝒍
𝒅𝒍
𝑑𝑘
+ 𝑐1 = 7 ∫ 𝑙 𝑑𝑙 + 𝑐2
𝑑𝑙
𝑑𝑧
7𝑙 2
=
+𝑘
𝑑𝑙
2
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
7
∫ 𝑑𝑧 + 𝑐3 = ∫ 𝑙 2 𝑑𝑙 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑙 + 𝑐5
2
𝒍𝟑
𝒛=
+ 𝒌𝒍 + 𝒄
𝟐
𝒅𝟐 𝒑
𝟖. −
= 𝟗𝒓
𝒅𝒓𝟐
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑑𝑝
+ 𝑐1 = 9 ∫ 𝑟 𝑑𝑟 + 𝑐2
𝑑𝑟
𝑑𝑝
9𝑟 2
=
+𝑘
𝑑𝑟
2
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑚 = 𝑐2 − 𝑐1
9
∫ 𝑑𝑝 + 𝑐3 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑟 + 𝑐4 + 𝑚 ∫ 𝑑𝑟 + 𝑐5
2
𝟑𝒓𝟑
𝒑=
+ 𝒎𝒓 + 𝒂
𝟐
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑎 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒖
𝟗. −
= 𝒎𝒂 𝒈
𝒅𝒈𝟐
𝑑𝑢
+ 𝑐1 = 𝑚𝑎 ∫ 𝑔 𝑑𝑔 + 𝑐2
𝑑𝑔
𝑑𝑢
𝑚𝑎 𝑔2
=
+𝐿
𝑑𝑔
2
∫ 𝑑𝑢 + 𝑐3 =
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝐿 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑚𝑎
∫ 𝑔2 𝑑𝑔 + 𝑐4 + 𝐿 ∫ 𝑑𝑔 + 𝑐5
2
𝒎𝒂 𝒈𝟑
𝒖=
+ 𝑳𝒈 + 𝒄
𝟐
;
𝒅𝟐 𝒚
𝟏𝟎. −
= 𝒄 𝒎𝟐
𝒅𝒎𝟐
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = 𝑐 ∫ 𝑚2 𝑑𝑚 + 𝑐2
𝑑ℎ
𝑑𝑦
𝑐 𝑚3
=
+𝑤
𝑑𝑚
3
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑤 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑐
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 = ∫ 𝑚3 𝑑𝑚 + 𝑐4 + 𝑆 ∫ 𝑑𝑚 + 𝑐5
2
𝒄 𝒎𝟒
𝒚=
+ 𝒘𝒕 + 𝒒
𝟖
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑞 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒚
𝟏𝟏. −
= 𝒔𝒆𝒏 (𝒑)
𝒅𝒑𝟐
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑝) 𝑑𝑝 + 𝑐2
𝑑𝑝
𝑑𝑦
= −cos(𝑝) + ℎ
𝑑𝑝
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ ℎ = 𝑐2 − 𝑐1
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 = − ∫ cos(𝑝) 𝑑𝑝 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑝 + 𝑐5
𝒚 = −𝒔𝒆𝒏(𝒑) + 𝒌𝒑 + 𝒇
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑓 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒚
𝟏𝟐. −
=𝒈𝒉
𝒅𝒉𝟐
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = 𝑔 ∫ ℎ 𝑑ℎ + 𝑐2
𝑑ℎ
𝑑𝑦
𝑔 ℎ2
=
+𝑗
𝑑ℎ
2
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 =
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑗 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑔
∫ ℎ2 𝑑ℎ + 𝑐4 + 𝑗 ∫ 𝑑ℎ + 𝑐5
2
𝒈𝒉𝟑
𝒚=
+ 𝒋𝒉 + 𝒌
𝟐
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒑
𝟏𝟑. −
=𝒓
𝒅𝒓𝟐
𝑑𝑝
+ 𝑐1 = ∫ 𝑟 𝑑𝑟 + 𝑐2
𝑑𝑟
𝑑𝑝
𝑟2
=
+𝑤
𝑑𝑟
2
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑤 = 𝑐2 − 𝑐1
1
∫ 𝑑𝑝 + 𝑐3 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑟 + 𝑐4 + 𝑤 ∫ 𝑑𝑟 + 𝑐5
2
𝟏𝒓𝟑
𝒑=
+ 𝒘𝒓 + 𝒃
𝟔
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒚
𝟏𝟒. −
= 𝒕𝒆𝒙
𝒅𝒙𝟐
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = 𝑡 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑡𝑒𝑥 + 𝑘
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 = 𝑡 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑐5
𝒚 = 𝒕𝒆𝒙 + 𝒌𝒙 + 𝒄
𝒅𝟐 𝒚
𝟏𝟓. −
= 𝒙𝒆𝒙
𝒅𝒙𝟐
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = ∫ 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2
𝑑𝑥
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑘
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 = 𝑡 ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑐5
𝒚 = 𝒙𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 + 𝒌𝒙 + 𝒄
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
SOLUCION DE UNA ED ORDEN 2 CON VALOR INICIAL
𝟏. −
𝒅𝟐 𝒔
𝒅𝒙𝟐
=𝒙
𝒔 (𝟎) = 𝟏
;
;
𝑑𝑠
+ 𝑐1 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2
𝑑𝑥
𝑑𝑠
𝑥2
=
+𝑘
𝑑𝑥
2
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
1
∫ 𝑑𝑠 + 𝑐3 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑐5
2
𝒙𝟑
𝒔=
+ 𝒌𝒙 + 𝒄
𝟐
𝑆𝑒𝑎:
𝑠 (0) = 1
1=
(0)3
+ 𝑘(0) + 𝑐
2
𝒌+𝒄=𝟏
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒙𝟑
𝒔=
+ 𝒌𝒙 + 𝟏
𝟐
𝒅𝟐 𝒘
𝟐. −
= 𝒆𝒉
𝒅𝒉𝟐
;
𝒘(𝟎) = 𝟎. 𝟓
𝑑𝑤
+ 𝑐1 = ∫ 𝑒ℎ 𝑑ℎ + 𝑐2
𝑑ℎ
𝑑𝑤
=
𝑑ℎ
𝑒ℎ + 𝑐
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐2 − 𝑐1
∫ 𝑑𝑤 + 𝑐3 = ∫ 𝑒ℎ 𝑑ℎ + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑ℎ + 𝑐5
𝒘 = 𝒆𝒉 + 𝒌𝒉 + 𝒍
𝑆𝑒𝑎:
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑙 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑤(0) = 0.5
0.5 = 𝑒 0 + 𝑘(0) + 𝑙
𝒍 = 𝟎. 𝟓
𝒘 = 𝒆𝒉 + 𝒄𝒉 + 𝟎. 𝟓
𝟑. −
𝒅𝟐 𝒙
= 𝟗𝒔𝒆𝒏𝒕
𝒅𝒕𝟐
𝑑𝑥
+ 𝑐1 = 9 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐2
𝑑𝑡
;
𝒙(𝟎) = 𝟐
𝑑𝑥
= −𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑘
𝑑𝑡
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
∫ 𝑑𝑥 + 𝑐3 = − ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 + 𝑐5
𝒙 = −𝒔𝒆𝒏𝒕 + 𝒌𝒕 + 𝒄
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑥(0) = 2
2 = −𝑠𝑒𝑛(0) + 𝑘(0) + 𝑐
𝒄=𝟐
𝒙 = −𝒔𝒆𝒏𝒕 + 𝒌𝒕 + 𝟐
𝟒. −
𝒅𝟐 𝒄
= 𝒌𝒘 𝒉
𝒅𝒉𝟐
;
𝒄(𝟎) = 𝟑. 𝟓
𝑑𝑐
+ 𝑐1 = 𝑘𝑤 ∫ ℎ 𝑑ℎ + 𝑐2
𝑑ℎ
𝑑𝑐
𝑘𝑤 ℎ2
=
+𝐿
𝑑ℎ
2
∫ 𝑑𝑐 + 𝑐3 =
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝐿 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑘𝑤
∫ ℎ2 𝑑ℎ + 𝑐4 + 𝐿 ∫ 𝑑ℎ + 𝑐5
2
𝒌𝒘𝒉𝟑
𝒄=
+ 𝑳𝒉 + 𝒌
𝟐
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒚(𝟎) = 𝟑. 𝟓
𝒌𝒘(𝟎)𝟑
𝟑. 𝟓 =
+ 𝑳(𝟎) + 𝒌
𝟐
𝒌 = 𝟑. 𝟓
𝒌𝒘𝒉𝟑
𝒄=
+ 𝑳𝒉 + 𝟑. 𝟓
𝟐
𝒅𝟐 𝒑
𝟓. −
= 𝒄 𝒕𝟐
𝟐
𝒅𝒕
;
𝒑(𝟏) = 𝟎
𝑑𝑝
+ 𝑐1 = 𝑐 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 + 𝑐2
𝑑ℎ
𝑑𝑝
𝑐 𝑡3
=
+𝑆
𝑑ℎ
3
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑆 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑐
∫ 𝑑𝑝 + 𝑐3 = ∫ 𝑡 3 𝑑𝑡 + 𝑐4 + 𝑆 ∫ 𝑑𝑡 + 𝑐5
2
𝒄 𝒕𝟒
𝒑=
+𝑺𝒕+𝒄
𝟖
𝑆𝑒𝑎: 𝑝(0) = 0.1
𝑐 (0)4
0.1 =
+ 𝑆 (0) + 𝑐
8
𝒄 = 0.1
𝒄 𝒕𝟒
𝒑=
+ 𝑺 𝒕 + 𝟎. 𝟏
𝟖
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒚
𝟔. −
= 𝒄 𝒕𝟐 + 𝒕 + 𝒆𝒕
𝟐
𝒅𝒕
;
𝒚(𝟎) = 𝟏. 𝟒
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = 𝑐 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 + 𝑐2 + ∫ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐3 + ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐4
𝑑ℎ
𝑑𝑦
𝑐 𝑡3 𝑡2
=
+
+ 𝑒𝑡 + 𝑂
𝑑ℎ
3
2
∫ 𝑑𝑦 = ∫
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑂 = 𝑐2 + 𝑐3 + 𝑐4 − 𝑐1
𝑐 𝑡3
𝑡2
+ ∫ + ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑂 ∫ 𝑑𝑡
3
2
𝒄 𝒕𝟒 𝒕𝟑
𝒚=
+
+ 𝒆𝒕 + 𝑶𝒕 + 𝒑
𝟏𝟐
𝟔
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑝 = 𝑐6 + 𝑐7𝑐8 + 𝑐9 − 𝑐5
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑦(0) = 1.4
𝑐 (0)4 (0)3
1.4 =
+
+ 𝑒 0 + 𝑂(0) + 𝑝
12
6
𝒑 = 𝟎. 𝟒
𝒄 𝒕𝟒 𝒕𝟑
𝒚=
+
+ 𝒆𝒕 + 𝑶𝒕 + 𝟎. 𝟒
𝟏𝟐
𝟔
𝒅𝟐 𝒛
𝟕. − 𝟐 = 𝟕𝒍
𝒅𝒍
;
𝑑𝑘
+ 𝑐1 = 7 ∫ 𝑙 𝑑𝑙 + 𝑐2
𝑑𝑙
𝑑𝑧
7𝑙 2
=
+𝑘
𝑑𝑙
2
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝒛(𝟎) = 𝟒𝟒
7
∫ 𝑑𝑧 + 𝑐3 = ∫ 𝑙 2 𝑑𝑙 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑙 + 𝑐5
2
𝒍𝟑
𝒛=
+ 𝒌𝒍 + 𝒄
𝟐
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑧(0) = 44
44 =
(0)3
+ 𝑘(0) + 𝑐
2
𝒄 = 𝟒𝟒
𝒍𝟑
𝒛=
+ 𝒌𝒍 + 𝟒𝟒
𝟐
𝟖. −
𝒅𝟐 𝒑
= 𝟗𝒓
𝒅𝒓𝟐
;
𝒑(𝟎) = 𝟎. 𝟔
𝑑𝑝
+ 𝑐1 = 9 ∫ 𝑟 𝑑𝑟 + 𝑐2
𝑑𝑟
𝑑𝑝
9𝑟 2
=
+𝑘
𝑑𝑟
2
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑚 = 𝑐2 − 𝑐1
9
∫ 𝑑𝑝 + 𝑐3 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑟 + 𝑐4 + 𝑚 ∫ 𝑑𝑟 + 𝑐5
2
𝟑𝒓𝟑
𝒑=
+ 𝒎𝒓 + 𝒂
𝟐
𝑝(0) = 0.6
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑎 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
0.6 =
3(0)3
+ (0)𝑟 + 𝑎
2
𝑎 = 0.6
𝟑𝒓𝟑
𝒑=
+ 𝒎𝒓 + 𝟎. 𝟔
𝟐
𝒅𝟐 𝒊
𝟗. −
= 𝒎𝒂 𝒈
𝒅𝒈𝟐
;
𝒊(𝟎) = 𝟐. 𝟐
𝑑𝑖
+ 𝑐1 = 𝑚𝑎 ∫ 𝑔 𝑑𝑔 + 𝑐2
𝑑𝑔
𝑑𝑖
𝑚𝑎 𝑔2
=
+𝐿
𝑑𝑔
2
∫ 𝑑𝑖 + 𝑐3 =
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝐿 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑚𝑎
∫ 𝑔2 𝑑𝑔 + 𝑐4 + 𝐿 ∫ 𝑑𝑔 + 𝑐5
2
𝒎𝒂 𝒈𝟑
𝒊=
+ 𝑳𝒈 + 𝒄
𝟐
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒖(𝟎) = 𝟐. 𝟐
𝒎𝒂 (𝟎)𝟑
𝟐. 𝟐 =
+ 𝑳(𝟎) + 𝒄
𝟐
𝒄 =2.2
𝒎𝒂 𝒈𝟑
𝒊=
+ 𝑳𝒈 + 𝟐. 𝟐
𝟐
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒛
𝟏𝟎. −
= 𝒄 𝒎𝟐
𝟐
𝒅𝒎
;
𝒛(𝟎) = 𝟒. 𝟔𝟓
𝑑𝑧
+ 𝑐1 = 𝑐 ∫ 𝑚2 𝑑𝑚 + 𝑐2
𝑑ℎ
𝑑𝑧
𝑐 𝑚3
=
+𝑤
𝑑𝑚
3
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑤 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑐
∫ 𝑑𝑧 + 𝑐3 = ∫ 𝑚3 𝑑𝑚 + 𝑐4 + 𝑤 ∫ 𝑑𝑚 + 𝑐5
2
𝒄 𝒎𝟒
𝒛=
+ 𝒘𝒎 + 𝒓
𝟖
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑟 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑦(0) = 4.65
4.65 =
𝑐 (𝑜)4
+ 𝑤(0) + 𝑞
8
𝑟 = 4.65
𝒄 𝒎𝟒
𝒛=
+ 𝒘𝒎 + 𝟒. 𝟔𝟓
𝟖
𝒅𝟐 𝒚
𝟏𝟏. −
= 𝒔𝒆𝒏 (𝒔)
𝒅𝒔𝟐
;
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑠) 𝑑𝑠 + 𝑐2
𝑑𝑠
𝑑𝑦
= −cos(𝑠) + ℎ
𝑑𝑠
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ ℎ = 𝑐2 − 𝑐1
∫ 𝑑𝑦 + 𝑐3 = − ∫ cos(𝑠) 𝑑𝑠 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑠 + 𝑐5
𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟑
𝒚 = −𝒔𝒆𝒏(𝒔) + 𝒌𝒔 + 𝒇
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑓 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑦(0) = 0.3
0.3 = −𝑠𝑒𝑛(0) + 𝑘(0) + 𝑓
𝑓 = 0.3
𝒚 = −𝒔𝒆𝒏(𝒔) + 𝒌𝒔 + 𝟎. 𝟑
𝒅𝟐 𝒐
𝟏𝟐. −
=𝒈𝒉
𝒅𝒉𝟐
;
𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟗
𝑑𝑜
+ 𝑐1 = 𝑔 ∫ ℎ 𝑑ℎ + 𝑐2
𝑑ℎ
𝑑𝑜
𝑔 ℎ2
=
+𝑗
𝑑ℎ
2
∫ 𝑑𝑜 + 𝑐3 =
𝒐=
;
𝑔
∫ ℎ2 𝑑ℎ + 𝑐4 + 𝑗 ∫ 𝑑ℎ + 𝑐5
2
𝒈𝒉𝟑
+ 𝒋𝒉 + 𝒌
𝟐
𝑆𝑒𝑎: 𝑦(0) = 0.9
0.9 =
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑗 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑔(0)
+ 𝑗(0) + 𝑘
2
𝒌 = 𝟎. 𝟗
𝒈𝒉𝟑
𝒐=
+ 𝒋𝒉 + 𝟎. 𝟗
𝟐
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒅𝟐 𝒑
𝟏𝟑. −
=𝒓
𝒅𝒓𝟐
;
𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟖
𝑑𝑝
+ 𝑐1 = ∫ 𝑟 𝑑𝑟 + 𝑐2
𝑑𝑟
𝑑𝑝
𝑟2
=
+𝑤
𝑑𝑟
2
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑤 = 𝑐2 − 𝑐1
1
∫ 𝑑𝑝 + 𝑐3 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑟 + 𝑐4 + 𝑤 ∫ 𝑑𝑟 + 𝑐5
2
𝟏𝒓𝟑
𝒑=
+ 𝒘𝒓 + 𝒃
𝟔
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑆𝑒𝑎: 𝑦(0) = 0.8
0.8 =
1(0)3
+ 𝑤(0) + 𝑏
6
𝑏 = 0.8
𝟏𝒓𝟑
𝒑=
+ 𝒘𝒓 + 𝟎. 𝟖
𝟔
𝒅𝟐 𝒚
𝟏𝟒. −
= 𝒕𝒆𝒇
𝒅𝒇𝟐
;
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = 𝑡 ∫ 𝑒𝑓 𝑑𝑓 + 𝑐2
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=
𝑑𝑓
𝑡𝑒𝑓 + 𝑘
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟕
∫ 𝑑𝑓 + 𝑐3 = 𝑡 ∫ 𝑒𝑓 𝑑𝑓 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑓 + 𝑐5
𝒚 = 𝒕𝒆𝒇 + 𝒌𝒇 + 𝒄
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑆𝑒𝑎: 𝑦(0) = 0.7
0.7 = 𝑡𝑒 0 + 𝑘(0) + 𝑐
𝑏 = 0.7
𝒚 = 𝒕𝒆𝒇 + 𝒌𝒇 + 𝟎. 𝟕
𝒅𝟐 𝒌
𝟏𝟓. −
= 𝒙𝒆𝒙
𝒅𝒙𝟐
;
𝒌(𝟎) = 𝟒. 𝟕
𝑑𝑦
+ 𝑐1 = ∫ 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2
𝑑𝑘
𝑑𝑘
=
𝑑𝑥
𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + ℎ
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ ℎ = 𝑐2 − 𝑐1
∫ 𝑑𝑘 + 𝑐3 = 𝑡 ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐4 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑐5
𝒌 = 𝒙𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 + 𝒌𝒙 + 𝒄
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑦(0) = 4.7
4.7 = 0𝑒 0 − 𝑒 0 − 𝑒 0 + 𝑘(0) + 𝑐
𝒄 = 𝟔. 𝟕
𝒌 = 𝒙𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 + 𝒌𝒙 + 𝟔. 𝟕
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
SOLUCION DE ED ORDEN 2 REDUCIBLE CAMBIO DE VARIABLE
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒙 𝟐
𝟏. − 𝟐 + 𝒙 ( ) + 𝒙 = 𝟎
𝒅𝒚
𝒅𝒚
𝑑2 𝑦
𝑣´ =
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
𝑣=
𝑑𝑥
𝑣´ + 𝑥𝑣 2 = 0
𝑑𝑣
= −𝑥𝑣 2
𝑑𝑥
∫
𝑑𝑣
= − ∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝑣2
−1
−𝑥 2
=
−𝑐
𝑣
2
𝑣=
−2
−𝑥 2 − 𝑐
𝑣=
𝑑𝑦
2
= 2
𝑑𝑥
𝑥 +𝑐
∫ 𝑑𝑦 = 2 ∫
𝑠𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 (−)
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑐
1
𝑘
𝑦 = 2 ( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( )) + 𝑘
𝑘
√𝑥
𝑦=
2
𝑘
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) + 𝑐
𝑘
√𝑥
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝟐. − 𝟐
+
𝟐
= 𝒆−𝒙
𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒚
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 −𝑥
+
=
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
2
𝑑2 𝑦
𝑣´ =
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
𝑣=
𝑑𝑥
𝑣´ + 𝑣 =
𝑒 −𝑥
2
𝑃(𝑥) = 1
𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥
2
𝑒 𝑥 𝑣´ + 𝑒 𝑥 𝑣 =
1
∫ 𝑑𝑥
2
∫ 𝑑( 𝑒 𝑥 . 𝑣) =
𝑥
𝑘
2
2
𝑒𝑥 . 𝑣 = +
𝑣=
𝑥
2𝑒 𝑥
+
𝑢(𝑥) = 𝑒 𝑥
;
𝑘
2𝑒 𝑥
;
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
2𝑒 𝑥
+
𝑘
2𝑒 𝑥
1 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 + 𝑘 ∫ 𝑥
2
𝑒
2𝑒
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝒚=
𝟑. −
(−𝒙𝒆−𝒙 −𝒆−𝒙 )
𝟐
− 𝒌𝒆−𝒙 + 𝒎
𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒙
+
=𝟏
𝒅𝒚𝟐 𝒅𝒚
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
+
=1
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
𝒎 = 𝒄𝟑 + 𝒄𝟒 − 𝒄𝟐
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑣´ =
𝑣´ + 𝑣 = 1
;
𝑑𝑣
= 𝑑𝑥
1−𝑣
;
𝑙𝑛𝑣 = 𝑥 + 𝑘
𝑣 = 𝑥𝑐 + 𝑘
𝑑𝑣
=1−𝑣
𝑑𝑥
ln 𝑣 + 𝑐1 = 𝑥 + 𝑐2
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 𝑥+𝑘
;
;
𝑣=
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝑑𝑦
= 𝑥𝑐 + 𝑘
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = 𝑐 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑥
𝒄𝒙𝟐
𝒚=
+ 𝒌𝒙 + 𝒄
𝟐
𝟒. −
𝑣=
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒙 𝟐
+( ) =𝟏
𝒅𝒚𝟐
𝒅𝒚
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ + 𝑣 2 = 0
∫
𝑣´ =
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑣´ = −𝑣 2
;
;
𝑑𝑣
= −𝑣 2
𝑑𝑥
𝑑𝑣
= − ∫ 𝑑𝑥
𝑣2
−1
+ 𝑐1 = −𝑥 + 𝑐2
𝑣
−1
= 𝑣
−(𝑥 − 𝑘)
;
;
𝑣=
−1
= −𝑥 + 𝑘
𝑣
𝑑𝑦
1
=
𝑑𝑥
(𝑥 − 𝑘)
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
;
𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
(𝑥 − 𝑘)
∫ 𝑑𝑦 = ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 𝑘)
;
𝑦 + 𝑐3 = ln(𝑥 − 𝑘) + 𝑐4
𝒚 = 𝐥𝐧(𝒙 − 𝒌) + 𝒄
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒙 𝟐
𝟓. − 𝟐 + 𝒙 ( ) + 𝒙 = 𝟎
𝒅𝒚
𝒅𝒚
𝑑2 𝑦
𝑣´ =
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
𝑣=
𝑑𝑥
𝑣´ + 𝑥𝑣 2 = 0
𝑑𝑣
= −𝑥𝑣 2
𝑑𝑥
∫
𝑑𝑣
= − ∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝑣2
−1
−𝑥 2
=
−𝑙
𝑣
2
𝑣=
−2
−(𝑥 2 − 𝑙)
𝑣=
𝑑𝑦
2
= 2
𝑑𝑥
𝑥 +𝑙
∫ 𝑑𝑦 = 2 ∫
𝑑𝑥
+𝑙
𝑥2
1
𝑘
𝑦 = 2 ( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( )) + 𝑘
𝑘
√𝑥
𝑦=
2
𝑘
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) + 𝑙
𝑘
√𝑥
𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒙
+
=𝟎
𝒅𝒚𝟐 𝒅𝒚
𝟔. −
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
+
=0
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ =
𝑣´ + 𝑣 = 0
𝑑𝑣
= −𝑑𝑥
𝑣
𝑑𝑣
= −𝑣
𝑑𝑥
;
;
ln 𝑣 + 𝑐1 = −𝑥 + 𝑐2
𝑙𝑛𝑣 = −𝑥 + 𝑘
𝑣 = −𝑥𝑐 + 𝑘
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
;
;
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 −𝑥+𝑘
𝑣=
𝒄𝒙𝟐
𝒚= −
+ 𝒌𝒙 + 𝒄
𝟐
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚
𝟕. − 𝒙
+
𝟐𝒙
−𝟏=𝟎
𝒅𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝟐
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
1
+2
= 2
2
(𝑥) 𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝑥
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ =
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝑑𝑦
= −𝑥𝑐 + 𝑘
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = 𝑐 ∫ −𝑥 𝑑𝑥 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑥
;
𝑣´ +
2𝑣
1
= 2
𝑥
𝑥
𝑥 2 𝑣´ + 𝑥 2
;
𝑃(𝑥) =
𝑢(𝑥) = 𝑥 2
2𝑣 𝑥 2
= 2
𝑥
𝑥
∫ 𝑑(𝑥 2 . 𝑣) = ∫ 𝑑𝑥
𝑣=
2
𝑥
1 𝑐
+
𝑥 𝑥2
;
;
𝑣=
𝑥2. 𝑣 = 𝑥 + 𝑐
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑑𝑦
1 𝑐
=
+
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2
1
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝑐 ∫ 2
𝑥
𝑥
𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐4 −
𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 −
𝑐
+ 𝑐5 − 𝑐3
𝑥
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒄
+𝒌
𝒙
𝒅𝟐 𝒚
𝒅𝒚 𝟐
𝟖. −
+ 𝟑( ) = 𝟎
𝒅𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ =
𝑣´ + 3𝑣 2 = 0
𝑑𝑣
= −3𝑣 2
𝑑𝑥
∫
𝑑𝑣
= −3 ∫ 𝑑𝑥
𝑣2
−
1
= 3𝑥 + 𝑘
𝑣
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑣´ = −3𝑣 2
;
;
𝑑𝑣
= −3𝑑𝑥
𝑣3
;
1
− + 𝑐1 = 3𝑥 + 𝑐2
𝑣
𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
−
1
=𝑣
3𝑥 + 𝑘
∫ 𝑑𝑦 = − ∫
𝒚=−
;
𝑣=
𝑑𝑦
1
= −
𝑑𝑥
3𝑥 + 𝑘
𝑑𝑥
3𝑥 + 𝑘
𝟏
𝐥𝐧(𝟑𝒙 + 𝒌) + 𝒄
𝟑
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝟗. − 𝟐
+
𝟐
= 𝒆−𝒙
𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒚
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 −𝑥
+
=
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
2
𝑑2 𝑦
𝑣´ =
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
𝑣=
𝑑𝑥
𝑣´ + 𝑣 =
𝑒 −𝑥
2
𝑃(𝑥) = 1
𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥
2
𝑒 𝑥 𝑣´ + 𝑒 𝑥 𝑣 =
1
∫ 𝑑𝑥
2
∫ 𝑑( 𝑒 𝑥 . 𝑣) =
𝑥
𝑘
2
2
𝑒𝑥 . 𝑣 = +
𝑣=
𝑥
2𝑒 𝑥
+
𝑢(𝑥) = 𝑒 𝑥
;
𝑘
2𝑒 𝑥
;
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
2𝑒 𝑥
1 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 + 𝑘 ∫ 𝑥
2
𝑒
2𝑒
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
+
𝑘
2𝑒 𝑥
𝒚=
(−𝒙𝒆−𝒙 −𝒆−𝒙 )
𝟐
𝟏𝟎. −
− 𝒌𝒆−𝒙 + 𝒄
𝒄 = 𝒄𝟑 + 𝒄𝟒 − 𝒄𝟐
𝒅𝟐 𝒛 𝒅𝒛
+
=𝟎
𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕
𝑑2 𝑧 𝑑𝑧
+
=0
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
𝑣=
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑣´ =
𝑣´ + 𝑣 = 0
𝑑𝑣
= −𝑣
𝑑𝑡
;
𝑑𝑣
= −𝑑𝑡
𝑣
;
ln 𝑣 + 𝑐1 = −𝑡 + 𝑐2
𝑙𝑛𝑣 = −𝑡 + 𝑘
𝑣 = −𝑡𝑐 + 𝑘
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡 2
;
;
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 −𝑡+𝑘
𝑣=
𝒄𝒕𝟐
𝒛= −
+ 𝒌𝒕 + 𝒄
𝟐
𝟏𝟏. −
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒙
+
𝟕
=𝟎
𝒅𝒚𝟐
𝒅𝒚
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
+
=0
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑣=
𝑑𝑥
𝑑2 𝑦
𝑣´ =
𝑑𝑥 2
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝑑𝑧
= −𝑡𝑐 + 𝑘
𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑧 = 𝑐 ∫ −𝑡 𝑑𝑡 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑡
;
𝑣´ + 7𝑣 = 0
𝑑𝑣
= −7𝑣
𝑑𝑥
;
𝑑𝑣
= −7𝑑𝑥
𝑣
;
ln 𝑣 + 𝑐1 = −7𝑥 + 𝑐2
𝑙𝑛𝑣 = −7𝑥 + 𝑘
;
𝑣 = −7𝑥𝑐 + 𝑘
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 −7𝑥+𝑘
;
𝑣=
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝑑𝑦
= −7𝑥𝑐 + 𝑘
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = 𝑐 ∫ −7𝑥 𝑑𝑥 + 𝑘 ∫ 𝑑𝑥
𝟕𝒄𝒙𝟐
𝒚= −
+ 𝟕𝒌𝒙 + 𝒄
𝟐
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝟏𝟐. − 𝟑
+
𝟑
= 𝒆−𝒙
𝒅𝒚𝟐
𝒅𝒚
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 −𝑥
+
=
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
3
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ + 𝑣 =
𝑣´ =
𝑒 −𝑥
3
𝑃(𝑥) = 1
𝑒 𝑥 𝑣´ + 𝑒 𝑥 𝑣 =
∫ 𝑑( 𝑒 𝑥 . 𝑣) =
𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥
3
1
∫ 𝑑𝑥
3
𝑥
𝑘
3
3
𝑒𝑥 . 𝑣 = +
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
;
𝑢(𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑣=
𝑥
3𝑒 𝑥
+
𝑘
;
3𝑒 𝑥
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
3𝑒 𝑥
+
𝑘
3𝑒 𝑥
1 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 + 𝑘 ∫ 𝑥
3
𝑒
3𝑒
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝒚=
(−𝒙𝒆−𝒙 −𝒆−𝒙 )
𝟑
𝟏𝟑. −
𝑣=
𝒄𝒕𝒆 = 𝒄𝟑 + 𝒄𝟒 − 𝒄𝟐
𝟑
𝒅𝟐 𝒘
𝒅𝒘 𝟐
+( ) =𝟏
𝒅𝒛𝟐
𝒅𝒛
𝑑𝑤
𝑑𝑧
𝑣´ + 𝑣 2 = 0
∫
𝒌
− 𝒆−𝒙 + 𝒄𝒕𝒆
𝑣´ =
𝑑2 𝑤
𝑑𝑧 2
;
𝑣´ = −𝑣 2
;
𝑑𝑣
= −𝑣 2
𝑑𝑧
𝑑𝑣
= − ∫ 𝑑𝑧
𝑣2
−1
+ 𝑐1 = −𝑧 + 𝑐2
𝑣
−1
= 𝑣
−(𝑧 − ℎ)
∫ 𝑑𝑤 = ∫
;
−1
= −𝑧 + ℎ
𝑣
;
𝑣=
𝑑𝑥
(𝑧 − ℎ)
𝒘 = 𝐥𝐧(𝒛 − 𝒉) + 𝒄
𝑑𝑤
1
=
𝑑𝑧
(𝑧 − ℎ)
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ ℎ = 𝑐2 − 𝑐1
;
𝑑𝑦 =
𝑦 + 𝑐3 = ln(𝑧 − ℎ) + 𝑐4
𝑑𝑤
(𝑧 − ℎ)
𝒅𝟐 𝒘
𝒅𝒘 𝟑
𝟏𝟒. −
+( ) =𝟎
𝒅𝒛𝟐
𝒅𝒛
𝑣=
𝑑𝑤
𝑑𝑧
𝑣´ =
𝑣´ + 𝑣 3 = 0
∫
𝑑2 𝑤
𝑑𝑧 2
𝑣´ = −𝑣 3
;
𝑑𝑣
= − ∫ 𝑑𝑥
𝑣3
1
= 2𝑥 − 2𝑘
𝑣2
1
𝑣=√
2𝑥 − 2𝑘
;
1
= 𝑣2
2𝑥 − 2𝑘
;
𝑣=
𝑆𝑒𝑎 ∶ ℎ = 𝑐2 − 𝑐1
𝑑𝑦
1
=√
𝑑𝑥
2𝑥 − 2𝑘
1
∫ 𝑑𝑦 = ∫ √
𝑑𝑥
2𝑥 − 2𝑘
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑛𝑚𝑜𝑠
𝒚=
𝟏
𝟏
) 𝟑/𝟐 + 𝒄
𝟐𝒙
−
𝟐𝒌
√𝟐
(
𝒅𝟐 𝒉
𝒅𝒉
𝟏𝟓. − 𝒕
+
𝟐𝒕
−𝟏=𝟎
𝒅𝒕𝟐
𝒅𝒕
𝟐
𝑑2 ℎ
𝑑ℎ
1
+2
= 2
2
(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡
𝑑𝑡
𝑣=
𝑑ℎ
𝑑𝑡
𝑣´ +
2𝑣 1
= 2
𝑡
𝑡
𝑡 2 𝑣´ + 𝑡 2
𝑣´ =
;
𝑃(𝑡) =
2
𝑡
𝑢(𝑡) = 𝑡 2
2𝑣 𝑡 2
= 2
𝑡
𝑡
∫ 𝑑(𝑡 2 . 𝑣) = 𝑡
𝑣=
𝑑2 ℎ
𝑑𝑡 2
1 𝑐
+
𝑡 𝑡2
𝑡2. 𝑣 = 𝑡 + 𝑐
;
;
𝑣=
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑑ℎ
1 𝑐
=
+
𝑑𝑡
𝑡 𝑡2
1
𝑑𝑡
∫ 𝑑ℎ = ∫ 𝑑𝑡 + 𝑐 ∫ 2
𝑡
𝑡
ℎ = 𝑙𝑛𝑡 + 𝑐4 −
𝒉 = 𝒍𝒏𝒕 −
𝑐
+ 𝑐5 − 𝑐3
𝑡
𝒄
+𝒌
𝒕
SOLUCION ED ORDEN 2, REDUCCION DE ORDEN CON VALORES INICIALES
𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒚
𝟏. −
−
=𝟎
𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝑣=
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ − 𝑣 = 0
𝑑𝑣
= 𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑣´ =
;
𝒚(𝟎) = 𝟏
;
𝒚(𝟎. 𝟓) = 𝟑
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑣´ = 𝑣
∫
𝑑𝑣
= ∫ 𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑣
=𝑣
𝑑𝑥
𝑙𝑛𝑣 + 𝑐1 = 𝑥 + 𝑐2
; 𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 𝑥+𝑘
𝑙𝑛𝑣 = 𝑥 + 𝑘
𝑣 = 𝑒𝑥𝑐
𝑣=
𝑑𝑦
= 𝑒𝑥𝑐
𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑒𝑘
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑒 𝑘
∫ 𝑑𝑦 = 𝑐 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑦 + 𝑐3 = 𝑐𝑒 𝑥 + 𝑐4
𝑆𝑒𝑎: 𝑃 = 𝑐4 − 𝑐3
𝒚 = 𝒄𝒆𝒙 + 𝒍
1)
𝑺𝒆𝒂:
𝒚(𝟎) = 𝟏
𝑺𝒆𝒂:
𝒚(𝟎. 𝟓) = 𝟑
1=𝑐+𝑙
𝒚 = 𝒄𝒆𝒙 + 𝒍
2)
3 = 1.6𝑐 + 𝑙
𝟏)
𝟏=𝒄+𝒍
𝟐)
𝟑 = 𝟏. 𝟔𝒄 + 𝒍
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑐1 𝑦 𝑐2 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝒄 = 𝟑. 𝟑𝟑
;
𝒍 = −𝟐. 𝟑𝟑
𝒚 = 𝟑. 𝟑𝟑 𝒆𝒙 − 𝟐. 𝟑𝟑
𝟐. −
𝒅𝟐 𝑷 𝒅𝑷
+
=𝟏
𝒅𝑸𝟐 𝒅𝑸
𝑑2 𝑃 𝑑𝑃
+
=1
𝑑𝑄 2 𝑑𝑄
𝑣=
𝑑𝑃
𝑑𝑄
𝑣´ =
𝑑2 𝑃
𝑑𝑄 2
;
𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟓
;
𝒚(𝟎. 𝟏) = 𝟏
𝑑𝑣
=1−𝑣
𝑑𝑄
𝑣´ + 𝑣 = 1
;
𝑑𝑣
= 𝑑𝑥
1−𝑣
;
𝑙𝑛𝑣 = 𝑥 + 𝑘
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 𝑄+𝑘
;
𝑣 = 𝑄𝑐
ln 𝑣 + 𝑐1 = 𝑥 + 𝑐2
;
𝑣=
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝑑𝑃
= 𝑄𝑐
𝑑𝑄
∫ 𝑑𝑃 = 𝑐 ∫ 𝑄 𝑑𝑄
𝑷=
𝒄𝑸𝟐
𝟐
+𝒌
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟓
𝑐(0.5)2
0.5 =
+𝑘
2
1) 0.5 = 0.12𝑐 + 𝑘
𝑷=
0.7 =
2)
𝒄𝑸𝟐
𝟐
+𝒌
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟕
𝑐(0)2
+𝑘
2
𝑘 = 0.5
𝟏) 𝟎. 𝟕 = 𝟎. 𝟏𝟐𝒄 + 𝒌
𝟐)
𝒌 = 𝟎. 𝟕
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐 𝑦 𝑘
𝑐 = 16.66
;
𝑘 = 0.7
𝑷=
𝟏𝟔.𝟔𝟔 𝑸𝟐
𝟐
𝒅𝟐 𝒙
𝟑. − 𝟑
+ 𝟎. 𝟕
+𝟑
𝒅𝒚𝟐
𝒅𝒙
= 𝒆−𝒙
𝒅𝒚
;
𝒚(𝟎) = 𝟓
;
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 −𝑥
+
=
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
3
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ + 𝑣 =
𝑣´ =
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑒 −𝑥
3
𝑃(𝑥) = 1
𝑢(𝑥) = 𝑒 𝑥
;
𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥
𝑒 𝑣´ + 𝑒 𝑣 =
3
𝑥
𝑥
1
∫ 𝑑𝑥
3
∫ 𝑑( 𝑒 𝑥 . 𝑣) =
𝑥
𝑘
3
3
𝑒𝑥 . 𝑣 = +
𝑣=
𝑥
3𝑒 𝑥
+
𝑘
;
3𝑒 𝑥
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
3𝑒 𝑥
+
𝑘
3𝑒 𝑥
1 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 + 𝑘 ∫ 𝑥
3
𝑒
3𝑒
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝒚=
(−𝒙𝒆−𝒙 −𝒆−𝒙 )
𝟑
𝒌
− 𝒆−𝒙 + 𝒔
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟎) = 𝟓
𝟑
𝒔 = 𝒄𝟑 + 𝒄𝟒 − 𝒄𝟐
𝒚(𝟏) = 𝟏
(−𝒙𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙 ) 𝒌 −𝒙
𝒚=
− 𝒆 +𝒔
𝟑
𝟑
5=
(−(0)𝑒 −0 − 𝑒 −0 ) 𝑘 −0
− 𝑒 +𝑠
3
3
1)
16
−𝑘
=
+𝑠
3
3
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟏) = 𝟏
𝒚=
5=
(−𝒙𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙 ) 𝒌 −𝒙
− 𝒆 +𝒔
𝟑
𝟑
(−(1)𝑒 −1 − 𝑒 −1 ) 𝑘 −1
− 𝑒 +𝑠
3
3
2) 5.73 = −0.12𝑘 + 𝑠
𝟏) 𝟓. 𝟑𝟑 = −𝟎. 𝟑𝟑𝒌 + 𝒔
𝟐) 𝟓. 𝟕𝟑 = −𝟎. 𝟏𝟐𝒌 + 𝒔
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝒌 𝑦 𝒔
𝑘 = 1.90
;
𝑠 = 1.98
(−𝒙𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙 )
𝒚=
− 𝟎. 𝟔𝟑𝒆−𝒙 + 𝟏. 𝟗𝟖
𝟑
𝒅𝟐 𝒓
𝒅𝒓
𝟒. − 𝒔
+
𝟐𝒔
−𝟏=𝟎
𝒅𝒔𝟐
𝒅𝒔
𝟐
;
𝒓(𝟏) = 𝟎 ;
𝒓(𝟐) = 𝟏
𝑑2 𝑟
𝑑𝑟
1
+2
= 2
2
(𝑠) 𝑑𝑠 𝑠
𝑑𝑠
𝑣=
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑣´ +
2𝑣
1
= 2
𝑠
𝑠
𝑠 2 𝑣´ + 𝑠 2
𝑣´ =
;
𝑃(𝑠) =
2
𝑠
𝑢(𝑠) = 𝑠 2
2𝑣 𝑠 2
= 2
𝑠
𝑠
∫ 𝑑(𝑠 2 . 𝑣) = 𝑠
𝑣=
𝑑2 𝑟
𝑑𝑠 2
1 𝑐
+
𝑠 𝑠2
;
;
𝑣=
𝑠2. 𝑣 = 𝑠 + 𝑐
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑑𝑟
1 𝑐
=
+
𝑑𝑠
𝑠 𝑠2
1
𝑑𝑠
∫ 𝑑𝑟 = ∫ 𝑑𝑠 + 𝑐 ∫ 2
𝑠
𝑠
𝑟 = 𝑙𝑛𝑠 + 𝑐4 −
𝒓 = 𝒍𝒏(𝒔) −
𝑐
+ 𝑐5 − 𝑐3
𝑠
𝒄
+𝒌
𝒔
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒓(𝟏) = 𝟎
0 = 𝑙𝑛(1) −
𝑐
+𝑘
1
1) 0 = −𝑐 + 𝑘
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒓(𝟐) = 𝟏
0 = 𝑙𝑛(2) −
𝑐
+𝑘
2
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
2) − 0.7 = −0.5 + 𝑘
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐 𝑦 𝑘
𝟏) 𝟎 = −𝒄 + 𝒌
𝟐) − 𝟎. 𝟕 = −𝟎. 𝟓𝒄 + 𝒌
𝑐 = −1.4
;
𝒓 = 𝒍𝒏(𝒔) +
𝟓. −
𝑘 = 1.4
𝟏. 𝟒
+ 𝟏. 𝟒
𝒔
𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒙
+
=𝟎
𝒅𝒚𝟐 𝒅𝒚
;
𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟏
;
𝒚(𝟐) = 𝟏
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
+
=0
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ =
𝑣´ + 𝑣 = 0
;
ln 𝑣 + 𝑐1 = −𝑥 + 𝑐2
𝑙𝑛𝑣 = −𝑥 + 𝑘
𝑣 = −𝑥𝑐
𝑑𝑣
= −𝑣
𝑑𝑥
;
𝑑𝑣
= −𝑑𝑥
𝑣
;
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
;
𝑣=
∫ 𝑑𝑦 = 𝑐 ∫ −𝑥 𝑑𝑥
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 −𝑥+𝑘
𝑑𝑦
= −𝑥𝑐
𝑑𝑥
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝒄𝒙𝟐
𝒚= −
+𝒌
𝟐
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟏
0.1 = −
𝑐(0)2
+𝑐
2
𝒌 = 𝟎. 𝟏
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟐) = 𝟏
𝑐(2)2
1= −
+ 0.1
2
𝒄 = 𝟎. 𝟒𝟓
𝟎. 𝟒𝟓𝒙𝟐
𝒚= −
+ 𝟎. 𝟏
𝟐
𝟔. −
𝒅𝟐 𝒛 𝒅𝒛
+
=𝟎
𝒅𝒘𝟐 𝒅𝒘
;
𝒚(𝟏) = 𝟎. 𝟏
;
𝒚(𝟏) = 𝟏
𝑑2 𝑧 𝑑𝑧
+
=0
𝑑𝑤 2 𝑑𝑤
𝑣=
𝑑𝑧
𝑑𝑤
𝑣´ =
𝑣´ + 𝑣 = 0
;
𝑑𝑣
= −𝑑𝑤
𝑣
;
𝑙𝑛𝑣 = −𝑤 + 𝑘
𝑑2 𝑧
𝑑𝑤 2
𝑑𝑣
= −𝑣
𝑑𝑤
ln 𝑣 + 𝑐1 = −𝑤 + 𝑐2
;
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 −𝑤+𝑘
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝑣 = −𝑤𝑐
;
𝑣=
𝑑𝑧
= −𝑤𝑐
𝑑𝑤
∫ 𝑑𝑧 = 𝑐 ∫ −𝑤 𝑑𝑤
𝒛 = −𝟎. 𝟓𝒘𝟐 + 𝒌
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏) = 𝟎. 𝟏
0.1 = −
𝑐(1)2
+𝑐
2
𝒌 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟓
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟏) = 𝟏
1= −
𝑐(1)2
+ 0.1
2
𝒄 = 𝟎. 𝟐𝟕
𝒛 = −𝟎𝟏𝟐𝟒𝒘𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟓
𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒚
𝟕. −
−
=𝟎
𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ − 𝑣 = 0
𝑣´ =
𝒚(𝟎) = 𝟏
;
𝒚(𝟎. 𝟓) = 𝟑
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑣´ = 𝑣
𝑑𝑣
= 𝑑𝑥
𝑑𝑣
∫
𝑑𝑣
=𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑣
= ∫ 𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑙𝑛𝑣 + 𝑐1 = 𝑥 + 𝑐2
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 𝑥+𝑘
𝑙𝑛𝑣 = 𝑥 + 𝑘
𝑣 = 𝑒𝑥𝑐
;
𝑣=
𝑑𝑦
= 𝑒𝑥𝑐
𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑒𝑘
;
∫ 𝑑𝑦 = 𝑐 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
; 𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑒 𝑘
𝑦 + 𝑐3 = 𝑐𝑒 𝑥 + 𝑐4
𝑆𝑒𝑎: 𝑃 = 𝑐4 − 𝑐3
𝒚 = 𝒄𝒆𝒙 + 𝒍
1)
𝑺𝒆𝒂:
𝒚(𝟎) = 𝟏
𝑺𝒆𝒂:
𝒚(𝟎. 𝟓) = 𝟑
1=𝑐+𝑙
𝒚 = 𝒄𝒆𝒙 + 𝒍
2)
3 = 1.6𝑐 + 𝑙
𝟏)
𝟏=𝒄+𝒍
𝟐)
𝟑 = 𝟏. 𝟔𝒄 + 𝒍
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑐1 𝑦 𝑐2 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝒄 = 𝟑. 𝟑𝟑
;
𝒍 = −𝟐. 𝟑𝟑
𝒚 = 𝟑. 𝟑𝟑 𝒆𝒙 − 𝟐. 𝟑𝟑
𝟖. −
𝒅𝟐 𝒃 𝒅𝒃
+
=𝟏
𝒅𝒇𝟐 𝒅𝒇
;
𝑑2 𝑏 𝑑𝑏
+
=1
𝑑𝑓 2 𝑑𝑓
𝑣=
𝑑𝑏
𝑑𝑓
𝑣´ + 𝑣 = 1
𝑣´ =
;
𝑑2 𝑏
𝑑𝑓 2
𝑑𝑣
= 1−𝑣
𝑑𝑓
𝒃(𝟎) = 𝟎. 𝟏
;
𝒃(𝟎) = 𝟏
𝑑𝑣
= 𝑑𝑓
1−𝑣
;
𝑙𝑛𝑣 = 𝑓 + 𝑘
ln 𝑣 + 𝑐1 = 𝑓 + 𝑐2
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 𝑓+𝑘
;
𝑣 = 𝑓𝑐
;
𝑣=
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝑑𝑏
= 𝑄𝑐
𝑑𝑓
∫ 𝑑𝑏 = 𝑐 ∫ 𝑓 𝑑𝑓
𝒃=
𝒄𝒇𝟐
𝟐
+𝒌
𝑺𝒆𝒂: 𝒃(𝟎) = 𝟎. 𝟏
𝑐(0)2
0.1 =
+𝑘
2
1) 0.1 = 𝑘
𝒃=
𝒄𝒇𝟐
𝟐
+𝒌
1=
𝑐(0)2
+𝑘
2
2)
𝑘=2
𝑺𝒆𝒂: 𝒃(𝟎) = 𝟏
𝟏) 𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟐𝒄 + 𝒌
𝟐)
𝒌=𝟐
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐 𝑦 𝑘
𝑐 = 0.36
𝒃=
;
𝟎.𝟑𝟔 𝒇𝟐
𝟐
𝑘=2
+𝟐
𝒅𝟐 𝒓
𝒅𝒓
𝟗. − 𝒋
+
𝟐𝒋
−𝟏=𝟎
𝒅𝒋𝟐
𝒅𝒋
𝟐
;
𝒓(𝟏) = 𝟎 ;
𝒓(𝟐) = 𝟏
𝑑2 𝑟
𝑑𝑟
1
+2
= 2
2
(𝑗) 𝑑𝑗 𝑠
𝑑𝑗
𝑣=
𝑑𝑟
𝑑𝑗
𝑣´ +
2𝑣 1
= 2
𝑗
𝑗
𝑗 2 𝑣´ + 𝑗
𝑣´ =
;
𝑃(𝑗) =
2
𝑗
𝑢(𝑗) = 𝑗 2
2𝑣 𝑗 2
= 2
𝑗
𝑗
∫ 𝑑(𝑗 2 . 𝑣) = 𝑠
𝑣=
𝑑2 𝑟
𝑑𝑗 2
1 𝑐
+
𝑗 𝑗2
;
;
𝑣=
𝑗 2. 𝑣 = 𝑗 + 𝑐
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑑𝑟
1 𝑐
=
+
𝑑𝑗
𝑗 𝑗2
1
𝑑𝑗
∫ 𝑑𝑟 = ∫ 𝑑𝑗 + 𝑐 ∫ 2
𝑗
𝑗
𝑟 = 𝑙𝑛𝑗 + 𝑐4 −
𝑐
+ 𝑐5 − 𝑐3
𝑗
𝒓 = 𝒍𝒏(𝒋) −
𝒄
+𝒌
𝒔
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒓(𝟎. 𝟏) = 𝟐
0 = 𝑙𝑛(0.1) −
𝑐
+𝑘
1
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
1) 2 = −2𝑐 + 𝑘
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒓(𝟏) = 𝟏
0 = 𝑙𝑛(1) −
𝑐
+𝑘
2
2) 1 = −0.5 + 𝑘
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐 𝑦 𝑘
𝟏) 𝟐 = −𝒄 + 𝒌
𝟐) − 𝟏 = −𝟎. 𝟓𝒄 + 𝒌
𝑐 = −2.5
;
𝒓 = 𝒍𝒏(𝒋) −
𝑘 = 0.14
𝟐. 𝟓
∗ 𝟐. 𝟓
𝒋
𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒚
𝟏𝟎. −
−
=𝟎
𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ − 𝑣 = 0
𝑣´ =
𝒚(𝟎) = 𝟏
;
𝒚(𝟎. 𝟓) = 𝟑
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑣´ = 𝑣
𝑑𝑣
= 𝑑𝑥
𝑑𝑣
∫
𝑑𝑣
=𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑣
= ∫ 𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑙𝑛𝑣 + 𝑐1 = 𝑥 + 𝑐2
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 𝑥+𝑘
𝑙𝑛𝑣 = 𝑥 + 𝑘
𝑣 = 𝑒𝑥𝑐
;
𝑣=
𝑑𝑦
= 𝑒𝑥𝑐
𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑒𝑘
;
∫ 𝑑𝑦 = 𝑐 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
; 𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑒 𝑘
𝑦 + 𝑐3 = 𝑐𝑒 𝑥 + 𝑐4
𝑆𝑒𝑎: 𝑃 = 𝑐4 − 𝑐3
𝒚 = 𝒄𝒆𝒙 + 𝒍
1)
𝑺𝒆𝒂:
𝒚(𝟎) = 𝟏
𝑺𝒆𝒂:
𝒚(𝟎. 𝟓) = 𝟑
1=𝑐+𝑙
𝒚 = 𝒄𝒆𝒙 + 𝒍
2)
3 = 1.6𝑐 + 𝑙
𝟏)
𝟏=𝒄+𝒍
𝟐)
𝟑 = 𝟏. 𝟔𝒄 + 𝒍
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑐1 𝑦 𝑐2 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝒄 = 𝟑. 𝟑𝟑
;
𝒍 = −𝟐. 𝟑𝟑
𝒚 = 𝟑. 𝟑𝟑 𝒆𝒙 − 𝟐. 𝟑𝟑
𝟏𝟏. −
𝒅𝟐 𝑷 𝒅𝑷
+
=𝟏
𝒅𝑸𝟐 𝒅𝑸
;
𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟓
;
𝒚(𝟎. 𝟏) = 𝟏
𝑑2 𝑃 𝑑𝑃
+
=1
𝑑𝑄 2 𝑑𝑄
𝑣=
𝑑𝑃
𝑑𝑄
𝑣´ =
𝑣´ + 𝑣 = 1
;
𝑑𝑣
= 𝑑𝑥
1−𝑣
;
𝑑2 𝑃
𝑑𝑄 2
𝑑𝑣
=1−𝑣
𝑑𝑄
ln 𝑣 + 𝑐1 = 𝑥 + 𝑐2
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑙𝑛𝑣 = 𝑥 + 𝑘
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 𝑄+𝑘
;
𝑣 = 𝑄𝑐
;
𝑣=
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝑑𝑃
= 𝑄𝑐
𝑑𝑄
∫ 𝑑𝑃 = 𝑐 ∫ 𝑄 𝑑𝑄
𝑷=
0.5 =
𝒄𝑸𝟐
𝟐
+𝒌
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟓
𝑐(0.5)2
+𝑘
2
1) 0.5 = 0.12𝑐 + 𝑘
𝑷=
𝒄𝑸𝟐
𝟐
+𝒌
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟕
𝑐(0)2
0.7 =
+𝑘
2
2)
𝑘 = 0.5
𝟏) 𝟎. 𝟕 = 𝟎. 𝟏𝟐𝒄 + 𝒌
𝟐)
𝒌 = 𝟎. 𝟕
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐 𝑦 𝑘
𝑐 = 16.66
𝑷=
;
𝑘 = 0.7
𝟏𝟔.𝟔𝟔 𝑸𝟐
𝟐
𝟏𝟐. − 𝟑
+ 𝟎. 𝟕
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒚
+𝟑
𝟐
= 𝒆−𝒙
;
𝒚(𝟎) = 𝟓
;
𝒚(𝟏) = 𝟏
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 −𝑥
+
=
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
3
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ + 𝑣 =
𝑣´ =
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑒 −𝑥
3
𝑃(𝑥) = 1
𝑢(𝑥) = 𝑒 𝑥
;
𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥
𝑒 𝑣´ + 𝑒 𝑣 =
3
𝑥
𝑥
1
∫ 𝑑𝑥
3
∫ 𝑑( 𝑒 𝑥 . 𝑣) =
𝑥
𝑘
3
3
𝑒𝑥 . 𝑣 = +
𝑣=
𝑥
3𝑒 𝑥
+
𝑘
;
3𝑒 𝑥
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
3𝑒 𝑥
+
𝑘
3𝑒 𝑥
1 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 + 𝑘 ∫ 𝑥
3
𝑒
3𝑒
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝒚=
(−𝒙𝒆−𝒙 −𝒆−𝒙 )
𝟑
𝒌
− 𝒆−𝒙 + 𝒔
𝟑
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟎) = 𝟓
(−𝒙𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙 ) 𝒌 −𝒙
𝒚=
− 𝒆 +𝒔
𝟑
𝟑
5=
(−(0)𝑒 −0 − 𝑒 −0 ) 𝑘 −0
− 𝑒 +𝑠
3
3
𝒔 = 𝒄𝟑 + 𝒄𝟒 − 𝒄𝟐
1)
16
−𝑘
=
+𝑠
3
3
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟏) = 𝟏
(−𝒙𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙 ) 𝒌 −𝒙
𝒚=
− 𝒆 +𝒔
𝟑
𝟑
5=
(−(1)𝑒 −1 − 𝑒 −1 ) 𝑘 −1
− 𝑒 +𝑠
3
3
2) 5.73 = −0.12𝑘 + 𝑠
𝟏) 𝟓. 𝟑𝟑 = −𝟎. 𝟑𝟑𝒌 + 𝒔
𝟐) 𝟓. 𝟕𝟑 = −𝟎. 𝟏𝟐𝒌 + 𝒔
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝒌 𝑦 𝒔
𝑘 = 1.90
;
𝑠 = 1.98
(−𝒙𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙 )
𝒚=
− 𝟎. 𝟔𝟑𝒆−𝒙 + 𝟏. 𝟗𝟖
𝟑
𝒅𝟐 𝒎
𝒅𝒎
𝟏𝟑. − 𝒔
+
𝟐𝒔
− 𝟏 = 𝟎 ; 𝒎(𝟏. 𝟏) = 𝟎. 𝟏 ;
𝒅𝒔𝟐
𝒅𝒔
𝟐
𝑑2 𝑚
𝑑𝑚
1
+2
= 2
2
(𝑠) 𝑑𝑠 𝑠
𝑑𝑠
𝑣=
𝑑𝑚
𝑑𝑠
𝑣´ =
𝑑2 𝑚
𝑑𝑠 2
𝒎(𝟎. 𝟐) = 𝟏
𝑣´ +
2𝑣
1
= 2
𝑠
𝑠
𝑠 2 𝑣´ + 𝑠 2
;
2
𝑠
𝑢(𝑠) = 𝑠 2
2𝑣 𝑠 2
= 2
𝑠
𝑠
∫ 𝑑(𝑠 2 . 𝑣) = 𝑠
𝑣=
𝑃(𝑠) =
;
1 𝑐
+
𝑠 𝑠2
;
𝑣=
𝑠2. 𝑣 = 𝑠 + 𝑐
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑐 = 𝑐2 − 𝑐1
𝑑𝑟
1 𝑐
=
+
𝑑𝑠
𝑠 𝑠2
1
𝑑𝑠
∫ 𝑑𝑚 = ∫ 𝑑𝑠 + 𝑐 ∫ 2
𝑠
𝑠
𝑐
+ 𝑐5 − 𝑐3
𝑠
𝑚 = 𝑙𝑛𝑠 + 𝑐4 −
𝒎 = 𝒍𝒏(𝒔) −
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐4 + 𝑐5 − 𝑐3
𝒄
+𝒌
𝒔
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒎(𝟏. 𝟏) = 𝟎. 𝟏
0 = 𝑙𝑛(1) −
𝑐
+𝑘
1
1) 0 = −𝑐 + 𝑘
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒎(𝟎. 𝟐) = 𝟏
0 = 𝑙𝑛(0.22) −
𝑐
+𝑘
2
2) 1 = −1.1 + 𝑘
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐 𝑦 𝑘
𝟏) 𝟎 = −𝒄 + 𝒌
𝟐) 𝟏 = −𝟏. 𝟏𝒄 + 𝒌
𝑐 = −2.8
;
𝑘 = 3.6
𝒎 = −𝟐. 𝟖 𝒍𝒏(𝒔) +
𝟏𝟒. −
𝟑. 𝟔
+ 𝟑. 𝟔
𝒔
𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒙
+
=𝟎
𝒅𝒚𝟐 𝒅𝒚
;
𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟏
;
𝒚(𝟐) = 𝟏
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
+
=0
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
𝑣=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑣´ =
𝑣´ + 𝑣 = 0
;
ln 𝑣 + 𝑐1 = −𝑥 + 𝑐2
𝑙𝑛𝑣 = −𝑥 + 𝑘
𝑣 = −𝑥𝑐
𝑑𝑣
= −𝑣
𝑑𝑥
;
𝑑𝑣
= −𝑑𝑥
𝑣
;
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
;
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 −𝑥+𝑘
𝑣=
∫ 𝑑𝑦 = 𝑐 ∫ −𝑥 𝑑𝑥
𝒄𝒙𝟐
𝒚= −
+𝒌
𝟐
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟏
𝑑𝑦
= −𝑥𝑐
𝑑𝑥
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝑐(0)2
0.1 = −
+𝑐
2
𝒌 = 𝟎. 𝟏
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟐) = 𝟏
1= −
𝑐(2)2
+ 0.1
2
𝒄 = 𝟎. 𝟒𝟓
𝒚= −
𝟎. 𝟒𝟓𝒙𝟐
+ 𝟎. 𝟏
𝟐
𝟏𝟓. −
𝒅𝟐 𝒉 𝒅𝒉
+
=𝟎
𝒅𝒘𝟐 𝒅𝒘
;
𝒉(𝟏) = 𝟎. 𝟏
;
𝒉(𝟏) = 𝟏
𝑑2 ℎ 𝑑ℎ
+
=0
𝑑𝑤 2 𝑑𝑤
𝑑2 ℎ
𝑣´ =
𝑑𝑤 2
𝑑ℎ
𝑣=
𝑑𝑤
𝑣´ + 𝑣 = 0
;
𝑑𝑣
= −𝑑𝑤
𝑣
;
𝑙𝑛𝑣 = −𝑤 + 𝑘
𝑣 = −𝑤𝑐
;
𝑑𝑣
= −𝑣
𝑑𝑤
ln 𝑣 + 𝑐1 = −𝑤 + 𝑐2
;
𝑣=
∫ 𝑑ℎ = 𝑐 ∫ −𝑤 𝑑𝑤
𝑒 𝑙𝑛𝑣 = 𝑒 −𝑤+𝑘
𝑑ℎ
= −𝑤𝑐
𝑑𝑤
;
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑒 𝑘 = 𝑐
𝒉 = −𝟎. 𝟓𝒘𝟐 + 𝒌
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏) = 𝟎. 𝟏
0.1 = −
𝑐(1)2
+𝑐
2
𝒌 = 𝟎. 𝟔𝟏𝟓
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟏) = 𝟏
1= −
𝑐(1)2
+ 0.1
2
𝒄 = 𝟎. 𝟑𝟑
𝒉 = −𝟎. 𝟑𝟑𝒉𝟐 + 𝟎. 𝟔𝟏𝟓
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (EDL) CON VALOR INICIAL
1.- 𝐬𝐞𝐜 𝒑
𝒅𝒓
𝒅𝒑
− 𝒓. 𝒄𝒔𝒄𝒑 = 𝐬𝐞𝐜 𝒑 𝒄𝒔𝒄 𝒑
𝑑𝑟
−𝑐𝑜𝑡 𝑝. 𝑟 = 𝑐𝑠𝑐𝑝
𝑑𝑝
U(𝑝) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑝)𝑑𝑝
P(𝑝)= -cot 𝑝
∫ 𝑑 (csc 𝑝 . 𝑟) = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑝 𝑑𝑝
csc 𝑝 . 𝑟 = −𝑐𝑜𝑡𝑝 + 𝐶
𝑦=
−𝑐𝑜𝑡𝑝
𝑐𝑠𝑐𝑝
–
𝐶
𝑐𝑠𝑐𝑝
𝑺𝒆𝒂: 𝒓(𝟎) = 𝟑
1
U(𝑝)= 𝑠𝑒𝑛𝑝 = csc 𝑝
; 𝒓(𝟎) = 𝟏
3=
−cot(0)
–
csc(0)
𝐶
csc(0)
𝒄=𝟑
𝒚=
−𝒄𝒐𝒕𝝓
𝒄𝒔𝒄𝝓
𝟐. −
𝟑
–
𝒄𝒔𝒄𝝓
𝒅𝒚
− 𝟐𝒚 = 𝒆𝟐𝒙
𝒅𝒙
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= - 2
𝑒 −2𝑥
;
𝒚(𝟏) = 𝟑
U(x)= 𝑒 −2𝑥
𝑑𝑦
𝑦
− 𝑒 −2𝑥 = 1
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑(𝑒 −2𝑥 . y ) = ∫ 𝑑𝑥
𝑒 −2𝑥 . y = x + C
y = 𝑥 𝑒 2𝑥 + 𝑒 2𝑥 𝐶
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏) = 𝟑
3 = 1 𝑒 2(1) + 𝑒 2(1) 𝐶
𝒄 = −𝟎. 𝟔
𝐲 = 𝒙 𝒆𝟐𝒙 − 𝟎. 𝟔𝒆𝟐𝒙
3.- 𝐭
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+
𝟑𝒚
𝒕
= 𝒕𝟑 + 𝟒𝒕 + 𝟐𝒕𝟐
𝑑𝑦 3𝑦
+
= 𝑡 2 + 4 + 2𝑡
𝑑𝑡
𝑡
; 𝑺𝒆𝒂: 𝒀(𝟏) = 𝟎
U(t) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡
P(t)= 3/t
𝑡3
U(t)= 𝑡 3
𝑑𝑦
𝑦
+ 𝑡 3 = 𝑡 6 + 4𝑡 3 + 2𝑡 5
𝑑𝑡
𝑡
∫ 𝑑(𝑡 3 . y ) = ∫ 𝑡 6 + 4𝑡 3 + 2𝑡 5 𝑑𝑡
𝒕𝟕
𝒕𝟔
𝟒
𝒕 .𝐲 = + 𝒕 + + 𝐂
𝟕
𝟑
−𝟐
𝐲=
𝒕𝟗
𝟕
𝟔
+𝒕 +
𝒕𝟖
𝟑
+ 𝒕𝟐 𝑪
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏) = 𝟎
0=
19
7
+ 16 +
18
+ 12 𝐶
3
𝑐 = −1.47
𝐲=
𝒕𝟗
𝟕
𝟔
+𝒕 +
4.- (𝒙𝟐 + 𝟏)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒕𝟖
𝟑
− 𝟏. 𝟒𝟕𝒕𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙
;
𝑺𝒆𝒂 𝒚(𝟐) = 𝟏
𝑑𝑦
2𝑥𝑦
2𝑥
𝑥2
+
=
+
𝑑𝑥 (𝑥 2 + 1) (𝑥 2 + 1) (𝑥 2 + 1)
2𝑥
P(x)= -(𝑥 2 +1)
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑑(𝑥 2 + 1). y) = ∫ 𝑥 2 + 2𝑥 𝑑𝑥
𝑥3
(𝑥 + 1). y =
+ 𝑥2 + 𝐶
3
2
U(x)= 𝑥 2 + 1
𝐲=
𝒙𝟑
+
𝟑(𝒙𝟐 +𝟏)
𝒙𝟐
(𝒙𝟐 +𝟏)
+
𝑪
(𝒙𝟐 +𝟏)
𝑺𝒆𝒂 𝒚(𝟐) = 𝟏
(𝟐)𝟑
𝟏=
𝟑((𝟐)𝟐 +𝟏)
+
(𝟐)𝟐
((𝟐)𝟐 +𝟏)
+
𝑪
((𝟐)𝟐 +𝟏)
𝑐 = 1.65
𝐲=
𝒙𝟑
+
𝟑(𝒙𝟐 +𝟏)
5.- 𝟑
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙𝟐
(𝒙𝟐 +𝟏)
+
𝟏.𝟔𝟓
(𝒙𝟐 +𝟏)
+ 𝟏𝟐𝒚 = 𝟒
;
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟏) = 𝟑
𝑑𝑦
4
+ 4𝑦 =
𝑑𝑥
3
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= 4
4𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 16𝑥 = 16𝑥
∫ 𝑑(𝑥. y) = ∫ 16𝑥 𝑑𝑥
𝑥. 𝑦 = 8𝑥 2 + 𝐶
𝒄
𝒚 = 𝟖𝒙 + 𝒙
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟏) = 𝟑
𝒄
𝟑 = 𝟖(𝟏) + (𝟏)
𝑐 = −5
U(x)= 4𝑥
𝟓
𝒚 = 𝟖𝒙 − 𝒙
6.- 𝟐
𝒅𝒔
𝒅𝒘
+ 𝟐𝟎𝒔 = 𝟐
;
𝑺𝒆𝒂: 𝒔(𝟎) = 𝟏
𝑑𝑠
+ 10𝑠 = 1
𝑑𝑤
U(w) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑤)𝑑𝑤
P(w)= 10
𝑒 10𝑤
U(w)= 𝑒 10𝑤
𝑑𝑠
− 𝑒 10𝑤 𝑠 = 𝑒 10𝑤
𝑑𝑥
∫ 𝑑(𝑒 510 s) = 𝑤
𝑒 10𝑤 . s =
𝑒 10𝑤
+𝐶
5
1
𝑐
5
𝑒 10𝑤
𝑠= +
𝑺𝒆𝒂: 𝒔(𝟎) = 𝟏
1
𝑐
5
𝑒 10(0)
1= +
𝑐 = 0.8
1
0.8
5
𝑒 10𝑤
𝑠= +
7.- 𝒛. 𝒅𝒙 = (𝒛 𝒔𝒆𝒏 𝒛 − 𝒙)𝒅𝒛
𝑑𝑥
𝑧 + 𝑥 = 𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝑧
𝑑𝑧
;
𝑺𝒆𝒂: 𝒙(𝟏) = 𝟐
𝑑𝑥 𝑥
+ = 𝑠𝑒𝑛 𝑧
𝑑𝑧 𝑧
𝑑𝑦
U(z) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑧)𝑑𝑧
P(z)= 1/z
U(z)= 𝑧 𝑑𝑧 − 𝑦 = 𝑧𝑠𝑒𝑛𝑧
∫ 𝑑(𝑧. 𝑥 ) = ∫ 𝑧𝑠𝑒𝑛𝑧 𝑑𝑧
1
𝑧. 𝑥 = 𝑧 ( −𝑧 cos 𝑧 + 𝑠𝑒𝑛 𝑧) +C
𝑥=
𝑠𝑒𝑛𝑧
𝑧
− 𝑐𝑜𝑠𝑧 +
𝑐
𝑧
𝑺𝒆𝒂: 𝒙(𝟏) = 𝟐
𝑥=
𝑠𝑒𝑛(1)
(1)
− cos(1) +
𝑐
(1)
𝒄 = 𝟏. 𝟔𝟗
𝒙=
𝒔𝒆𝒏𝒛
𝒛
− 𝒄𝒐𝒔𝒛 +
𝟏.𝟔𝟗
𝒛
𝒅𝒚
8.- −𝟐𝒚 − 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑 = 𝟐𝒚
𝑑𝑦 2𝑦
3
+
=
𝑑𝑥
𝑥
−2𝑥
P(x)= 2/x
𝑥2
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦 2𝑦
3𝑥 2
−
=
𝑑𝑥 𝑥
−2𝑥
∫ 𝑑(𝑥 2 . 𝑦 ) = ∫
3𝑥
𝑑𝑥
−2
U(x)= 𝑥 2
;
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏) = 𝟎. 𝟕
𝑥2. 𝑦 =
𝑦=
3𝑥 2
−4
+𝐶
3
𝑐
+ 𝑥2
4
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏) = 𝟎. 𝟕
3
0.7 =
𝑐
+ (0.7)2
4
𝒄 = −𝟎. 𝟎𝟑𝟓
𝑦=
3
−
4
0.035
𝑥2
𝒅𝒚
9.- 𝟖𝒙𝟐 𝒅𝒙 + (𝟐 − 𝟒𝒙)𝒚 = 𝟐𝒙𝒆𝒙
; 𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟏) = 𝟎
𝑑𝑦 (2 − 4𝑥)
𝑒𝑥
+
𝑦
=
𝑑𝑥
8𝑥 2
4𝑥
P(x)=
(2−4𝑥)
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
8𝑥 2
1
1
U(x)=−
1
1 ln 𝑥 −1/4
4
1 ln 𝑥 −4 𝑑𝑦
1 ln 𝑥 −4 2𝑦
1 ln 𝑥 −4 3𝑥 2
−
.
−−
.
=−
.
4
𝑑𝑥
4
𝑥
4
−2𝑥
1
1 ln 𝑥 −4
−
. 𝑦 = +𝐶
4
1
1 ln 𝑥 −4
𝑦=
4
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟏) = 𝟎
1
1 ln(1)−4
0=
4
𝑐=3
−
𝒚=
𝟏 𝐥𝐧 𝒙
𝟒
10.- 𝐱
𝟏
𝟒
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+𝟑
− 𝟐𝒚 = 𝒙−𝟑
𝒅𝒚 𝟐𝒚
−
= 𝒙−𝟒
𝒅𝒙
𝒙
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= - 2/x
𝑑𝑦
𝑦
− 𝑥 −2 = 𝑥 −6
𝑑𝑥
𝑥
𝑥 −2
∫ 𝑑(𝑥 −2 . y ) = ∫ 𝑥 −6 𝑑𝑥
𝑥
;
−2
𝑥 −5
.y =
+C
−5
𝐲=
𝒙−𝟑
−𝟓
+ 𝒙𝟐 𝑪
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏) = 𝟎. 𝟑
𝟎. 𝟑 =
𝟏−𝟑
−𝟓
+ 𝟏𝟐 𝑪
𝒄 = 𝟎. 𝟏
𝐲=
𝒙−𝟑
−𝟓
+ 𝟎. 𝟏𝒙𝟐
U(x)= 𝑥 −2
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏) = 𝟎. 𝟑
11.-
𝟏 𝒅𝒚
𝒙 𝒅𝒙
−
𝟐𝒚
𝒙𝟐
= 𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙
;
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟐
𝑑𝑦 2𝑦
−
= 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
2
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= - 𝑥
U(x)= 𝑥 −2
𝑥 −2 𝑑𝑦 2𝑦𝑥 −2
−
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑(𝑥 −2 y ) = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
𝐶2
𝑥
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟐
𝐶2
0.2 = 02 𝑠𝑒𝑛 0 + 𝑥
𝑐 = 0.2
𝒚 = 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟎. 𝟐𝒙
𝒅𝒚
12.-
𝒚
= 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟏
𝒅𝒙
;
𝑑𝑦 𝑦
− = 2𝑥 + 1
𝑑𝑥 𝑥
1
P(x)= - 𝑥
𝑥 −1
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑦
− 𝑥 −1 = 𝑥 −1 (2𝑥 + 1)
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑(𝑥 −1 y ) = ∫ 2 + 𝑥 −1 𝑑𝑥
𝑥 −1 y = 2x + ln 𝑥 + 𝐶
U(x)= 𝑥 −1
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏) = 𝟎. 𝟔
𝐲 = 𝟐𝒙𝟐 + (𝐥𝐧 𝒙) 𝒙 + 𝒙𝑪
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏) = 𝟎. 𝟔
𝟎. 𝟔 = 𝟐(𝟏)𝟐 + (𝐥𝐧(𝟏)) 𝟏 + 𝟏𝑪
𝑐 = −1.4
𝐲 = 𝟐𝒙𝟐 + (𝐥𝐧 𝒙) 𝒙 − 𝟏. 𝟒𝒙
13.-
𝒅𝒚
𝟐𝒙
−
𝟐𝒚
=
𝒆
𝒅𝒙
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= - 2
𝑒 −2𝑥
;
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟐
U(x)= 𝑒 −2𝑥
𝑑𝑦
𝑦
− 𝑒 −2𝑥 = 1
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑(𝑒 −2𝑥 . y ) = ∫ 𝑑𝑥
𝑒 −2𝑥 . y = x + C
y = 𝑥 𝑒 2𝑥 + 𝑒 2𝑥 𝐶
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟎. 𝟐
0.2 = (0) 𝑒 2(0) + 𝑒 2(0) 𝐶
𝑐 = 0.2
y = 𝑥 𝑒 2𝑥 + 0.2 𝑒 2𝑥
14.- 𝐱
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟐𝒚 = 𝒙−𝟑
;
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏. 𝟏) = 𝟎. 𝟏
𝑑𝑦 2𝑦
−
= 𝑥 −4
𝑑𝑥
𝑥
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= - 2/x
𝑥 −2
U(x)= 𝑥 −2
𝑑𝑦
𝑦
− 𝑥 −2 = 𝑥 −6
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑(𝑥 −2 . y ) = ∫ 𝑥 −6 𝑑𝑥
𝑥 −2 . y =
𝐲=
𝒙−𝟑
−𝟓
𝑥 −5
+C
−5
+ 𝒙𝟐 𝑪
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟏. 𝟏) = 𝟎. 𝟏
𝟎. 𝟏 =
(𝟏.𝟏)−𝟑
−𝟓
+ (𝟏. 𝟏)𝟐 𝑪
𝒄 = −𝟎. 𝟐𝟓
𝐲=
𝒙−𝟑
−𝟓
− 𝟎. 𝟐𝟓𝒙𝟐
15.- 𝐱
𝒅𝒚
+
𝒅𝒙
𝟑𝒚
𝒙
= 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 + 𝟐𝒙𝟐
𝑑𝑦 3𝑦
+
= 𝑥 2 + 4 + 2𝑥
𝑑𝑥
𝑥
P(x)= 3/x
𝑥3
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑦
+ 𝑥 3 = 𝑥 6 + 4𝑥 3 + 2𝑥 5
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑(𝑥 3 . y ) = ∫ 𝑥 6 + 4𝑥 3 + 2𝑥 5 𝑑𝑥
𝑥 −2 . y =
𝑥7
𝑥6
+ 𝑥4 + + C
7
3
U(x)= 𝑥 3
;
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟐) = 𝟑
𝐲=
𝒙𝟗
𝟕
+ 𝒙𝟔 +
𝒙𝟖
𝟑
+ 𝒙𝟐 𝑪
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒚(𝟐) = 𝟑
𝟑=
(𝟐)𝟗
𝟕
+ (𝟐)𝟔 +
𝑐 = −54.8
;
(𝟐)𝟖
𝟑
+ (𝟐)𝟐 𝑪
𝐲=
𝒙𝟗
𝟕
+ 𝒙𝟔 +
𝒙𝟖
𝟑
− 𝟓𝟒. 𝟖𝒙
METODO DE SOLUCION ED, MEDIANTE DERIVADAS CUADRATICAS
𝒅𝒚 𝟐
𝒅𝒚
𝟏. − ( ) − 𝟐𝒚 ( ) = 𝒚𝟐 (𝒆𝒙 − 𝟏)
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝑑𝑦 2
𝑑𝑦
( ) − 2𝑦 ( ) − 𝑦 2 (𝑒 𝑥 − 1) = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2𝑦 ± √4𝑦 2 − 4(1)(𝑒 𝑥 𝑦 2 + 𝑦 2 )
=
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2𝑦 ± √𝑒 𝑥 𝑦 2
=
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
= 𝑦 ± 𝑦√𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑦(1 + √𝑒 𝑥 )
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫(1 + √𝑒 𝑥 )𝑑𝑥
𝑥
ln 𝑦 = 𝑥 + 𝑘 + 2𝑒 2
;
𝑎=1
;
𝑏 = −2𝑦
∶ −𝑦 2 (𝑒 𝑥 − 1)
𝑒
𝑙𝑛𝑦
= 𝑒
𝑥
𝑥+𝑘+2𝑒 2
𝒚 = 𝒄𝒆𝒙+𝟐𝒆
;
𝑦= 𝑒
𝑥
𝑥+2𝑒 2
𝑒𝑘
; 𝑆𝑒𝑎 = 𝑐 = 𝑒 𝑘
𝒙/𝟐
𝒅𝒚 𝟐
𝟒 ( ) = 𝟗𝒙
𝒅𝒙
𝟐. −
𝑑𝑦 2 9𝑥
( ) =
𝑑𝑥
4
𝑑𝑦
3
= √𝑥
𝑑𝑥
2
3
∫ 𝑑𝑦 = ∫ √𝑥 𝑑𝑥
2
𝑦 + 𝑐1 = (𝑥)3/2 + 𝑐2
;
𝑆𝑒𝑎 = 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝒚 = (𝒙)𝟑/𝟐 + 𝒌
𝒅𝒚 𝟐
𝒅𝒚
𝟑. − ( ) − 𝟐𝒙 ( ) − 𝟖𝒙𝟐 = 𝟎
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝑎=1
;
𝑏 = −2𝑥
; 𝑐 = −8𝑥 2
𝑑𝑦
2𝑥 + √4𝑥 2 + 32𝑥 2
=
𝑑𝑥
2
∫ 𝑑𝑦 = ∫ (𝑥 +
𝑦 + 𝑐1 =
√40
𝑥) 𝑑𝑥
2
𝑥 2 √40 𝑥 2
+
+ 𝑐2 + 𝑐3
2
2 2
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1
𝒚=
𝒙𝟐
√𝟒𝟎
𝟒
𝒅𝒚
𝟐
𝟐
𝟒. − (
𝑎=1
+
𝒅𝒙
;
𝒙𝟐 + 𝒌
) − 𝟐𝒙 (
𝑏 = −2𝑥
𝒅𝒚
𝒅𝒙
) − 𝟒𝒙𝟐 = 𝟎
; 𝑐 = −4𝑥 2
𝑑𝑦
2𝑥 + √4𝑥 2 + 16𝑥 2
=
𝑑𝑥
2
∫ 𝑑𝑦 = ∫ (𝑥 +
√20
𝑥) 𝑑𝑥
2
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑦 + 𝑐1 =
𝒚=
𝒙𝟐
𝟐
√20
∫ 𝑥 𝑑𝑥
2
𝑥 2 √40 𝑥 2
+
+ 𝑐2 + 𝑐3
2
2 2
+
√𝟐𝟎
𝟒
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1
𝒙𝟐 + 𝒌
𝒅𝒚 𝟑
𝒅𝒚 𝟐
𝒅𝒚 𝟐
𝟐
𝟓. − ( ) − 𝒚 ( ) − 𝒙 ( ) + 𝒙𝟐 𝒚 = 𝟎
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝑑𝑦 3
𝑑𝑦 2
𝑑𝑦 2
2
( ) − 𝑦 ( ) = 𝑥 ( ) − 𝑥2𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
𝑑𝑦
( ) ( − 𝑦) = 𝑥 2 ( − 𝑦)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑥 2 ( − 𝑦)
𝑑𝑦 2
𝑑𝑥
( ) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( − 𝑦)
𝑑𝑥
𝑑𝑦 2
(𝑑𝑥 ) = 𝑥 2
𝑑𝑦
=𝑥
𝑑𝑥
;
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝑥2
𝑦 + 𝑐1 =
+ 𝑐2
2
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝒙𝟐
𝒚=
+𝒌
𝟐
𝒅𝒚 𝟐
𝟔. − 𝟏𝟔 ( ) = 𝟗𝒙𝟐
𝒅𝒙
𝑑𝑦 2 9𝑥 2
( ) =
𝑑𝑥
16
𝑑𝑦
9𝑥 2
= √
𝑑𝑥
16
𝑑𝑦
3𝑥
=
𝑑𝑥
4
𝑦 + 𝑐1 =
;
3𝑥 2
+ 𝑐2
8
𝟑𝒙𝟐
𝒚=
+𝒌
𝟖
∫ 𝑑𝑦 =
;
3
∫ 𝑥 𝑑𝑥
4
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝒅𝒚 𝟐
𝒅𝒚
𝟕. − ( ) − 𝟐𝒚 ( ) = 𝒚𝟐 (𝒆𝒙 − 𝟏)
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝑑𝑦 2
𝑑𝑦
( ) − 2𝑦 ( ) − 𝑦 2 (𝑒 𝑥 − 1) = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
;
𝑎=1
;
𝑏 = −2𝑦
∶ −𝑦 2 (𝑒 𝑥 − 1)
𝑑𝑦
2𝑦 ± √4𝑦 2 − 4(1)(𝑒 𝑥 𝑦 2 + 𝑦 2 )
=
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2𝑦 ± √𝑒 𝑥 𝑦 2
=
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
= 𝑦 ± 𝑦√𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑦(1 + √𝑒 𝑥 )
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫(1 + √𝑒 𝑥 )𝑑𝑥
𝑥
ln 𝑦 = 𝑥 + 𝑘 + 2𝑒 2
𝑒
𝑙𝑛𝑦
= 𝑒
𝑥
𝑥+𝑘+2𝑒 2
𝒚 = 𝒄𝒆𝒙+𝟐𝒆
;
𝒙/𝟐
𝒅𝒚 𝟐
𝟖. − 𝟐𝟓 ( ) = 𝟏𝟔𝒙
𝒅𝒙
𝑑𝑦 2 16𝑥
( ) =
𝑑𝑥
25
𝑦= 𝑒
𝑥
𝑥+2𝑒 2
𝑒𝑘
; 𝑆𝑒𝑎 = 𝑐 = 𝑒 𝑘
𝑑𝑦
4
= √𝑥
𝑑𝑥
5
4
∫ 𝑑𝑦 = ∫ √𝑥 𝑑𝑥
5
𝑦 + 𝑐1 =
𝒚=
4
(𝑥)3/2 + 𝑐2
5
;
𝑆𝑒𝑎 = 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝟒
(𝒙)𝟑/𝟐 + 𝒌
𝟓
𝒅𝒕 𝟐
𝒅𝒕
𝟗. − ( ) − 𝟐𝒕 ( ) = 𝒕𝟐 (𝒆𝒓 − 𝟏)
𝒅𝒓
𝒅𝒓
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
( ) − 2𝑡 ( ) − 𝑡 2 (𝑒 𝑟 − 1) = 0
𝑑𝑟
𝑑𝑟
;
𝑎=1
;
𝑏 = −2𝑡
∶ −𝑡 2 (𝑒 𝑟 − 1)
𝑑𝑡
2𝑡 ± √4𝑡 2 − 4(1)(𝑒 𝑟 𝑡 2 + 𝑡 2 )
=
𝑑𝑟
2
𝑑𝑡
2𝑡 ± √𝑒 𝑟 𝑡 2
=
𝑑𝑟
2
𝑑𝑡
= 𝑡 ± 𝑡√𝑒 𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑡(1 + √𝑒 𝑟 )
𝑑𝑟
∫ 𝑑𝑡 = ∫(1 + √𝑒 𝑟 )𝑑𝑟
𝑟
ln 𝑡 = 𝑟 + 𝑘 + 2𝑒 2
𝑒
𝑙𝑛𝑡
= 𝑒
𝑟
𝑟+𝑘+2𝑒 2
;
𝑦= 𝑒
𝑟
𝑟+2𝑒 2
𝑒𝑘
; 𝑆𝑒𝑎 = 𝑐 = 𝑒 𝑘
𝒕 = 𝒄𝒆𝒓+𝟐𝒆
𝒓/𝟐
𝒅𝒑 𝟑
𝒅𝒑 𝟐
𝒅𝒑 𝟐
𝟐
𝟏𝟎. − ( ) − 𝒑 ( ) − 𝒗 ( ) + 𝒗𝟐 𝒑 = 𝟎
𝒅𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝑑𝑝 3
𝑑𝑝 2
𝑑𝑝 2
( ) − 𝑝 ( ) = 𝑣 2 ( ) − 𝑣 2𝑝
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑝 2 𝑑𝑝
𝑑𝑝
( ) ( − 𝑝) = 𝑣 2 ( − 𝑝)
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑝
𝑣 2 ( − 𝑝)
𝑑𝑝 2
𝑑𝑣
( ) =
𝑑𝑝
𝑑𝑣
( − 𝑝)
𝑑𝑣
𝑑𝑝 2
(𝑑𝑣 ) = 𝑣 2
𝑑𝑝
=𝑣
𝑑𝑣
𝑝 + 𝑐1 =
;
𝑣2
+ 𝑐2
2
∫ 𝑑𝑝 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣
;
𝒑 = 𝟎. 𝟓𝒗𝟐 + 𝒌
𝟏𝟏. −
𝒅𝒘 𝟐
𝟗 ( ) = 𝟒𝒑
𝒅𝒑
𝑑𝑤 2 4𝑝
( ) =
𝑑𝑝
9
𝑑𝑤
2
= √𝑝
𝑑𝑝
3
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
2
∫ 𝑑𝑤 = ∫ √𝑝 𝑑𝑝
3
𝑤 + 𝑐1 = (𝑝)3/2 + 𝑐2
𝒘=
𝑆𝑒𝑎 = 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝟐𝟑 𝟐
√𝒑 + 𝒌
𝟑
𝟏𝟐. − (
𝑎=1
;
𝒅𝒖
𝒅𝒍
;
𝟐
) − 𝒍(
𝑏 = −𝑙
𝒅𝒖
𝒅𝒍
) − 𝟑𝒍𝟐 = 𝟎
; 𝑐 = −3𝑙 2
𝑑𝑢
𝑙 + √𝑙 2 + 12𝑙 2
=
𝑑𝑙
2
∫ 𝑑𝑢 = ∫ (𝑙 +
√13
𝑙) 𝑑𝑙
2
∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑙 𝑑𝑙 +
𝑢 + 𝑐1 =
𝒖=
𝒍𝟐
𝟐
√13
∫ 𝑙 𝑑𝑙
2
𝑙 2 √13 𝑙 2
+
+ 𝑐2 + 𝑐3
2
2 2
+
√𝟏𝟑 𝟐
𝒍
𝟒
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1
+𝒌
𝒅𝒒
𝒅𝒒 𝟐
𝟏𝟑. −𝟐𝒚 ( ) + ( ) = (𝒆𝒕 − 𝟏)𝒒𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝑑𝑞 2
𝑑𝑞
( ) − 2𝑞 ( ) − 𝑡 2 (𝑒 𝑡 − 1) = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
;
𝑎=1
;
𝑏 = −2𝑦
∶ −𝑞2 (𝑒 𝑡 − 1)
𝑑𝑞
2𝑞 ± √4𝑞 2 − 4(1)(𝑒 𝑡 𝑞2 + 𝑞 2 )
=
𝑑𝑡
2
𝑑𝑞
2𝑞 ± √𝑒 𝑡 𝑞 2
=
𝑑𝑡
2
𝑑𝑞
= 𝑞 ± 𝑞√𝑒 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑞
= 𝑞 (1 + √𝑒 𝑡 )
𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑞 = ∫ (1 + √𝑒 𝑡 ) 𝑑𝑡
ln 𝑞 = 𝑡 + 𝑘 + 2𝑒 0.5𝑡
𝑒 𝑙𝑛𝑞 = 𝑒 𝑡+𝑘+2𝑒
𝒒 = 𝒄𝒆𝒕+𝟐𝒆
0.5𝑡
𝑞 = 𝑒 𝑡+2𝑒
;
0.5𝑡
𝑒𝑘
𝟎.𝟓𝒕
𝒅𝝓 𝟐
𝟏𝟒. − 𝟑𝟔 ( ) = 𝟏𝟎𝟎𝒕
𝒅𝒕
𝑑𝜙 2 100𝑡
( ) =
𝑑𝑥
36
𝑑𝜙
10
=
√𝑡
𝑑𝑡
6
∫ 𝑑𝜙 =
10
∫ √𝑡 𝑑𝑡
6
𝜙 + 𝑐1 =
10 3/2
(𝑡) + 𝑐2
6
𝟑
𝝓 = 𝟏. 𝟔𝟔 √𝒕𝟐 + 𝒌
;
𝑆𝑒𝑎 = 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
; 𝑆𝑒𝑎 = 𝑐 = 𝑒 𝑘
𝒅𝒉 𝟑
𝒅𝒉 𝟐
𝒅𝒉 𝟐
𝟐
𝟏𝟓. − ( ) − 𝒉 ( ) − 𝒙 ( ) + 𝒊𝟐 𝒉 = 𝟎
𝒅𝒊
𝒅𝒊
𝒅𝒊
𝑑ℎ 3
𝑑ℎ 2
𝑑ℎ 2
( ) − ℎ ( ) = 𝑖 ( ) − ℎ𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑ℎ 2 𝑑ℎ
𝑑ℎ
( ) ( − ℎ) = 𝑥 2 ( − ℎ)
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑ℎ
𝑖 2 ( − ℎ)
𝑑ℎ 2
𝑑𝑖
( ) =
𝑑ℎ
𝑑𝑖
( − ℎ)
𝑑𝑖
𝑑ℎ 2
( 𝑑𝑖 ) = 𝑖 2
𝑑ℎ
=𝑥
𝑑𝑖
ℎ + 𝑐1 =
;
∫ 𝑑ℎ = ∫ 𝑖 𝑑𝑖
𝑖2
+ 𝑐2
2
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝒉 = 𝟎. 𝟓𝒊𝟐 + 𝒌
METODO DE SOLUCION ED, MEDIANTE DERIVADAS CUADRATICAS, VALORES INCIALES
𝒅𝒚 𝟐
𝟏. − ( ) = 𝒙
𝒅𝒙
𝑑𝑦 2
( ) =𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= √𝑥
𝑑𝑥
;
𝒚(𝟎) = 𝟑
∫ 𝑑𝑦 = ∫ √𝑥 𝑑𝑥
𝑦 + 𝑐1 = (𝑥)3/2 + 𝑐2
;
𝑆𝑒𝑎 = 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝟑
𝒚 = √𝒙 + 𝒌
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑦(0) = 3
3
3 = √0 + 𝑘
𝑘=3
𝟑
𝒚 = √𝒙 + 𝟑
𝒅𝒕 𝟐
𝒅𝒕
𝟐. − ( ) − 𝟐𝒕 ( ) = 𝒕𝟐 (𝒆𝒓 − 𝟏)
𝒅𝒓
𝒅𝒓
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
( ) − 2𝑡 ( ) − 𝑡 2 (𝑒 𝑟 − 1) = 0
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
2𝑡 ± √4𝑡 2 − 4(1)(𝑒 𝑟 𝑡 2 + 𝑡 2 )
=
𝑑𝑟
2
𝑑𝑡
2𝑡 ± √𝑒 𝑟 𝑡 2
=
𝑑𝑟
2
𝑑𝑡
= 𝑡 ± 𝑡√𝑒 𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑡(1 + √𝑒 𝑟 )
𝑑𝑟
;
;
𝑎=1
𝒕(𝟎) = 𝟐. 𝟑
;
𝑏 = −2𝑡
∶ −𝑡 2 (𝑒 𝑟 − 1)
∫ 𝑑𝑡 = ∫(1 + √𝑒 𝑟 )𝑑𝑟
𝑟
ln 𝑡 = 𝑟 + 𝑘 + 2𝑒 2
𝑟
𝑒 𝑙𝑛𝑡 = 𝑒 𝑟+𝑘+2𝑒 2
𝒕 = 𝒄𝒆𝒓+𝟐𝒆
;
𝑟
𝑦 = 𝑒 𝑟+2𝑒 2 𝑒 𝑘
; 𝑆𝑒𝑎 = 𝑐 = 𝑒 𝑘
𝒓/𝟐
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑡(0) = 2.3
2.3 = 𝑐𝑒 0+2𝑒
0/2
𝑐 = 2.3
𝒕 = 𝟐. 𝟑𝒆𝒓+𝟐𝒆
𝒓/𝟐
𝒅𝒑 𝟑
𝒅𝒑 𝟐
𝒅𝒑 𝟐
𝟐
𝟑. − ( ) − 𝒑 ( ) − 𝒗 ( ) + 𝒗𝟐 𝒑 = 𝟎
𝒅𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝑑𝑝 3
𝑑𝑝 2
𝑑𝑝 2
( ) − 𝑝 ( ) = 𝑣 2 ( ) − 𝑣 2𝑝
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑝 2 𝑑𝑝
𝑑𝑝
( ) ( − 𝑝) = 𝑣 2 ( − 𝑝)
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑝
𝑣 2 ( − 𝑝)
𝑑𝑝 2
𝑑𝑣
( ) =
𝑑𝑝
𝑑𝑣
( − 𝑝)
𝑑𝑣
;
𝒑(𝟎) = 𝟎. 𝟏
𝑑𝑝 2
𝑑𝑣
( ) = 𝑣2
𝑑𝑝
=𝑣
𝑑𝑣
𝑝 + 𝑐1 =
;
∫ 𝑑𝑝 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣
𝑣2
+ 𝑐2
2
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝒑 = 𝟎. 𝟓𝒗𝟐 + 𝒌
𝑝(0) = 0.1
0.1 = 0.5(0)2 + 𝑘
𝑘 = 0.1
𝒑 = 𝟎. 𝟓𝒗𝟐 + 𝟎. 𝟏
𝟒. −
𝒅𝒘 𝟐
( ) =𝒑
𝒅𝒑
;
𝒘(𝟏) = 𝟎
𝑑𝑤 2
( ) =𝑝
𝑑𝑝
𝑑𝑤
= √𝑝
𝑑𝑝
∫ 𝑑𝑤 = ∫ √𝑝 𝑑𝑝
𝑤 + 𝑐1 = (𝑝)3/2 + 𝑐2
;
𝑆𝑒𝑎 = 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝟑
𝒘 = √𝒑 𝟐 + 𝒌
𝑤(1) = 0
3
0 = √ 12 + 𝑘
𝑘 = −1
𝟑
𝒘 = √𝒑 𝟐 − 𝟏
𝟓. − (
𝑎=1
𝒅𝒖
;
𝒅𝒍
𝟐
) −𝒍(
𝑏 = −𝑙
𝒅𝒖
𝒅𝒍
) − 𝒍𝟐 = 𝟎
;
𝒖(𝟎) = 𝟏. 𝟏
; 𝑐 = −3𝑙 2
𝑑𝑢
𝑙 + √𝑙 2 + 4𝑙 2
=
𝑑𝑙
2
∫ 𝑑𝑢 = ∫ (𝑙 +
√5
𝑙) 𝑑𝑙
2
∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑙 𝑑𝑙 +
𝑢 + 𝑐1 =
√13
∫ 𝑙 𝑑𝑙
2
𝑙 2 √5 𝑙 2
+
+ 𝑐2 + 𝑐3
2
2 2
𝒖 = 𝟎. 𝟓𝒍𝟐 + 𝟎. 𝟓𝟓𝒍𝟐 + 𝒌
Sea: 𝑢(0) = 1.1
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1
1.1 = 0.5(0) + 0.55(0)2 + 𝑘
𝑘 = 1.1
𝒖 = 𝟎. 𝟓𝒍𝟐 + 𝟎. 𝟓𝟓𝒍𝟐 + 𝟏. 𝟏
𝒅𝒔
𝒅𝒔 𝟐
𝟔. −𝟐𝒒 ( ) + ( ) = (𝒆𝒕 − 𝟏)𝒔𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝑑𝑠 2
𝑑𝑠
( ) − 2𝑠 ( ) − 𝑡 2 (𝑒 𝑡 − 1) = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
;
;
𝑎=1
𝑑𝑠
2𝑠 ± √4𝑠 2 − 4(1)(𝑒 𝑡 𝑠 2 + 𝑠 2 )
=
𝑑𝑡
2
𝑑𝑠
2𝑠 ± √𝑒 𝑡 𝑠 2
=
𝑑𝑡
2
𝑑𝑠
= 𝑠 ± 𝑠 √𝑒 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑠
= 𝑠 (1 + √𝑒 𝑡 )
𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑠 = ∫ (1 + √𝑒 𝑡 ) 𝑑𝑡
ln 𝑠 = 𝑡 + 𝑘 + 2𝑒 0.5𝑡
𝑒 𝑙𝑛𝑠 = 𝑒 𝑡+𝑘+2𝑒
𝑠 = 𝑒 𝑡+2𝑒
0.5𝑡
0.5𝑡
𝑒𝑘
; 𝑆𝑒𝑎 = 𝑐 = 𝑒 𝑘
𝒔(𝟐) = 𝟏
;
𝑏 = −2𝑠
∶ −𝑠 2 (𝑒 𝑡 − 1)
𝒔 = 𝒄𝒆𝒕+𝟐𝒆
𝟎.𝟓𝒕
𝑆𝑒𝑎: 𝑠(2) = 1
1 = 𝑐𝑒 2+2𝑒
0.5(2)
𝑐 = 0.60
𝒔 = 𝟎. 𝟔𝟎𝒆𝒕+𝟐𝒆
𝟎.𝟓𝒕
𝒅𝒛 𝟐
𝟕. − ( ) = 𝟓𝒕
𝒅𝒕
;
𝒛(𝟐) = 𝟎
𝑑𝑧 2
( ) = 5𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑧
= 5 √𝑡
𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑧 = 5 ∫ √𝑡 𝑑𝑡
𝑧 + 𝑐1 = 5(𝑡)3/2 + 𝑐2
𝟑
𝒛 = 𝟓 √𝒕𝟐 + 𝒌
𝑆𝑒𝑎 . 𝑧(2) = 0
3
0 = 5 √(2)2 + 𝑘
𝑘 = −7.93
;
𝑆𝑒𝑎 = 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝟑
𝒛 = 𝟓 √𝒕𝟐 − 𝟕. 𝟗𝟑
𝟐
𝒅𝒍 𝟑
𝒅𝒍 𝟐
𝒅𝒍
𝟖. − ( ) − 𝒉 ( ) − 𝒉𝟐 ( ) + 𝒊𝟐 𝒗 = 𝟎
𝒅𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒗
𝑑𝑙 3
𝑑𝑙 2
𝑑𝑙 2
( ) − 𝑙 ( ) = 𝑣 ( ) − ℎ𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑙 2 𝑑𝑙
𝑑𝑙
( ) ( − 𝑙) = 𝑣 2 ( − 𝑙)
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑙
𝑣 2 ( − 𝑙)
𝑑𝑙 2
𝑑𝑣
( ) =
𝑑𝑙
𝑑𝑣
( − 𝑙)
𝑑𝑣
𝑑𝑙 2
(𝑑𝑣) = 𝑣 2
𝑑𝑙
=𝑣
𝑑𝑣
;
𝑙 + 𝑐1 = 0.5𝑣 2 + 𝑐2
𝒍 = 𝟎. 𝟓𝒗𝟐 + 𝒌
𝑆𝑒𝑎: 𝑙(1) = 2
2 = 0.5(1)2 + 𝑘
𝑘 = 1.5
∫ 𝑑𝑙 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
;
𝒍(𝟏) = 𝟐
𝒍 = 𝟎. 𝟓𝒗𝟐 + 𝟏. 𝟓
𝟐
𝒅𝒑 𝟒
𝒅𝒑 𝟑
𝒅𝒑
𝟗. − ( ) − 𝒑 ( ) − 𝒗𝟐 ( ) + 𝒑 = 𝟎
𝒅𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝑑𝑝 4
𝑑𝑝 3
𝑑𝑝 2
2
( ) − 𝑝 ( ) = 𝑣 ( ) − 𝑣 2𝑝
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑝 2 𝑑𝑝
𝑑𝑝
( ) ( − 𝑝) = 𝑣 2 ( − 𝑝)
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑝
𝑣 2 ( − 𝑝)
𝑑𝑝 2
𝑑𝑣
( ) =
𝑑𝑝
𝑑𝑣
( − 𝑝)
𝑑𝑣
𝑑𝑝 2
(𝑑𝑣 ) = 𝑣 2
𝑑𝑝
=𝑣
𝑑𝑣
𝑝 + 𝑐1 =
;
𝑣2
+ 𝑐2
2
𝒑 = 𝟎. 𝟓𝒗𝟐 + 𝒌
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑝(0) = 1
1 = 0.5(0)2 + 𝑘
𝑘=1
∫ 𝑑𝑝 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
;
𝑺𝒆𝒂 ∶ 𝒑(𝟎) = 𝟏
𝒑 = 𝟎. 𝟓𝒗𝟐 + 𝟏
𝒅𝒘 𝟐
𝟗 ( ) = 𝟒𝒑
𝒅𝒑
𝟏𝟎. −
;
𝒘(𝟐) = 𝟏
𝑑𝑤 2 4𝑝
( ) =
𝑑𝑝
9
𝑑𝑤
2
= √𝑝
𝑑𝑝
3
2
∫ 𝑑𝑤 = ∫ √𝑝 𝑑𝑝
3
𝑤 + 𝑐1 = (𝑝)3/2 + 𝑐2
𝒘=
;
𝑆𝑒𝑎 = 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝟐𝟑 𝟐
√𝒑 + 𝒌
𝟑
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑤(2) = 1
1=
23 2
√2 + 𝑘
3
𝑘 = 0.058
𝒘=
𝟐𝟑 𝟐
√𝒑 + 𝟎. 𝟎𝟓𝟖
𝟑
𝟏𝟏. − (
𝒅𝒚
𝟐
) − 𝒎(
𝒅𝒎
𝒅𝒚
𝒅𝒎
) − 𝟕𝒎𝟐 = 𝟎
;
𝒚(𝟎. 𝟓) = 𝟎. 𝟏
𝑎=1
;
𝑏 = −𝑚
; 𝑐 = −3𝑚2
𝑑𝑦
𝑚 + √𝑚2 + 28𝑚2
=
𝑑𝑚
2
∫ 𝑑𝑦 = ∫ (𝑚 +
√29
𝑚) 𝑑𝑚
2
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑚 𝑑𝑚 +
𝑦 + 𝑐1 =
𝒚=
√29
∫ 𝑚 𝑑𝑚
2
𝑚2 √29 𝑚2
+
+ 𝑐2 + 𝑐3
2
2 2
𝒎𝟐
𝟐
+
√𝟐𝟗
𝟒
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1
𝒎𝟐 + 𝒌
𝑆𝑒𝑎 ∶ 𝑦(0.5) = 0.1
0.1 =
(0.5)2
2
+
√29
4
(0.5)2 + 𝑘
𝑘 = −0.36
𝒚=
𝒎𝟐
𝟐
+
√𝟐𝟗
𝟒
𝒎𝟐 − 𝟎. 𝟑𝟔
𝒅𝑨
𝒅𝑨 𝟐
𝟏𝟐. −𝟐𝑨 ( ) + ( ) = (𝒆𝒕 − 𝟏)𝑨𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒕
;
𝑑𝐴 2
𝑑𝐴
( ) − 2𝐴 ( ) − 𝑡 2 (𝑒 𝑡 − 1) = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
;
;
𝑎=1
𝑨(𝟎) = 𝟑. 𝟓
𝑏 = −2𝐴
∶ −𝐴2 (𝑒 𝑡 − 1)
𝑑𝐴
2𝐴 ± √4𝐴2 − 4(1)(𝑒 𝑡 𝐴2 + 𝐴2 )
=
𝑑𝑡
2
𝑑𝐴
2𝐴 ± √𝑒 𝑡 𝐴2
=
𝑑𝑡
2
𝑑𝐴
= 𝐴 ± 𝐴√𝑒 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝐴
= 𝐴 (1 + √𝑒 𝑡 )
𝑑𝑡
∫ 𝑑𝐴 = ∫ (1 + √𝑒 𝑡 ) 𝑑𝑡
ln 𝐴 = 𝑡 + 𝑘 + 2𝑒 0.5𝑡
𝑒 𝑙𝑛𝐴 = 𝑒 𝑡+𝑘+2𝑒
𝐴 = 𝑒 𝑡+2𝑒
0.5𝑡
0.5𝑡
𝑒𝑘
𝑨 = 𝒎𝒆𝒕+𝟐𝒆
; 𝑆𝑒𝑎 = 𝑚 = 𝑒 𝑘
𝟎.𝟓𝒕
𝑆𝑒𝑎: 𝐴(0) = 3.5
3.5 = 𝑚𝑒 (0)+2𝑒
0.5(0)
𝑚 = 2.6
𝑨 = −𝟐. 𝟔𝒆𝒕+𝟐𝒆
𝟎.𝟓𝒕
𝒅𝒚 𝟐
𝒅𝒚
𝟏𝟑. − ( ) − 𝟐𝒚 ( ) = 𝒚𝟐 (𝒆𝒙 − 𝟏)
𝒅𝒙
𝒅𝒙
;
𝒚(𝟎) = 𝟖
𝑑𝑦 2
𝑑𝑦
( ) − 2𝑦 ( ) − 𝑦 2 (𝑒 𝑥 − 1) = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
;
𝑎=1
;
𝑏 = −2𝑦
∶ −𝑦 2 (𝑒 𝑥 − 1)
𝑑𝑦
2𝑦 ± √4𝑦 2 − 4(1)(𝑒 𝑥 𝑦 2 + 𝑦 2 )
=
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2𝑦 ± √𝑒 𝑥 𝑦 2
=
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
= 𝑦 ± 𝑦√𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑦(1 + √𝑒 𝑥 )
𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫(1 + √𝑒 𝑥 )𝑑𝑥
𝑥
ln 𝑦 = 𝑥 + 𝑘 + 2𝑒 2
𝑒
𝑙𝑛𝑦
= 𝑒
𝑥
𝑥+𝑘+2𝑒 2
𝒚 = 𝒄𝒆𝒙+𝟐𝒆
;
𝒙/𝟐
𝑺𝒆𝒂: 𝒚(𝟎) = 𝟖
8 = 𝑐𝑒 (0)+2𝑒
(0)/2
𝑐 = 2.87
𝒚 = 𝟐. 𝟖𝟕𝒆𝒙+𝟐𝒆
𝒙/𝟐
𝑦= 𝑒
𝑥
𝑥+2𝑒 2
𝑒𝑘
; 𝑆𝑒𝑎 = 𝑐 = 𝑒 𝑘
𝒅𝒚 𝟐
𝟔𝟒 ( ) = 𝟗𝒙
𝒅𝒙
𝟏𝟒. −
;
𝒚(𝟏) = 𝟑
𝑑𝑦 2 9𝑥
( ) =
𝑑𝑥
64
𝑑𝑦
3
= √𝑥
𝑑𝑥
8
3
∫ 𝑑𝑦 = ∫ √𝑥 𝑑𝑥
8
𝑦 + 𝑐1 = (𝑥)3/2 + 𝑐2
;
𝑆𝑒𝑎 = 𝑘 = 𝑐2 − 𝑐1
𝟑
𝒚 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟓 √𝒙𝟐 + 𝒌
𝑆𝑒𝑎: 𝑦(1) = 3
3
3 = 0.375√(1)2 + 𝑘
𝑘 = 2.62
𝟑
𝒚 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟓 √𝒙𝟐 + 𝟐. 𝟔𝟐
𝒅𝒚 𝟐
𝒅𝒚
𝟏𝟓. − ( ) − 𝟐𝒕 ( ) − 𝟖𝒕𝟐 = 𝟎
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝑎=1
;
𝑏 = −2𝑡
; 𝑐 = −8𝑡 2
𝑑𝑦
2𝑡 + √4𝑡 2 + 32𝑡 2
=
𝑑𝑡
2
;
𝒚(𝟎. 𝟏) = 𝟎. 𝟐
∫ 𝑑𝑦 = ∫ (𝑡 +
√40
𝑦) 𝑑𝑡
2
𝑡 2 √40 𝑡 2
𝑦 + 𝑐1 =
+
+ 𝑐2 + 𝑐3
2
2 2
;
𝑆𝑒𝑎: 𝑘 = 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1
𝒚 = 𝟎. 𝟓𝒕𝟐 + 𝟏. 𝟓𝟖𝒕𝟐 + 𝒌
𝑦(0.1) = 0.2
0.2 = 0.5(0.1) + 1.58(0.1)2 + 𝑘
𝑘 = −0.134
𝒚 = 𝟎. 𝟓𝒕𝟐 + 𝟏. 𝟓𝟖𝒕𝟐 − 𝟎. 𝟏𝟑𝟒
SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES BAJO INTEGRACION BASICA
En ingeniería se desarrollan conceptos incite máticos que constan con derivadas de una función incógnita.
Fenómenos físicos como caída libre, decaimiento de una sustancia radiactiva, se usan ecuaciones con derivadas conocidas
como ecuaciones diferenciales
Características y solución de una ecuación diferencial de primer grado básica.
Asi una ED de caída libre (objeto liberado de una altura
𝑚=
𝑑2 ℎ
𝑑𝑡 2
= −𝑚𝑔
donde
𝑔=
𝑑2 ℎ
𝑑𝑡 2
La solución de una ED consiste en despejar h=? desconocido en función del tiempo
d2 h
dt2
= −g
dh
dt
= gt + c1 h(t) =
−gt
2
+ c1t + c2
El despeje de h(t) se da integrando la relación anterior
La solución analítica es ℎ(𝑡) =
−𝑔𝑡 2
2
+ 𝑐1𝑡 + 𝑐2
Donde c1 y c2 son constantes
La solución grafica puede ser dando valores a las constantes en función del tiempo
𝒅𝟐 𝒉
= −𝒈𝒕𝟐
𝒅𝒙𝟐
𝒅𝑨
= −𝑲𝑨
𝒅𝒕
Concepto de una ED
Una ED contiene una variable con respecto a otra variable
1𝑟𝑎
derivada
2𝑟𝑎
derivada
𝑡
variable independiente
𝑥
variable dependiente
𝑄, 𝐾
constantes
Una variable se puede expresar :
𝒅𝒖 𝒅𝒙
−
= 𝒙 − 𝒛𝒚
𝒅𝒙 𝒅𝒚
Xy= variable independiente
U= variable dependiente
𝑑𝑦
Una ED se puede expresar de la siguiente manera 𝑑𝑥 = 𝑓𝑥, su función consiste en hallar una solución cuya derivada sea fx
Ejemplos de aplicación
𝒅𝒚
1. (𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝟔
(𝑥 + 1)𝑑𝑦 = (𝑥 + 6)𝑑𝑥
𝑑𝑦 =
(𝑥 + 6)𝑑𝑥
(𝑥 + 1)
∫ 𝑑𝑦 = ∫
𝑦∫
(𝑥 + 6)𝑑𝑥
(𝑥 + 1)
𝑥𝑑𝑥
6𝑑𝑥
+∫
(𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)
𝑢 =𝑥+1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑥 =𝑢−1
𝑦=∫
𝑢−1
+ 6 ln|𝑥 + 1|
𝑢
𝑦 = ∫ 𝑑𝑢 − ∫
𝑑𝑢
+ 6 ln|𝑥 + 1|
𝑢
𝑦 = 𝑢 − ln 𝑢 + 6 ln|𝑥 + 1| + 𝑐
𝑦 = 𝑥 + 1 − ln|𝑥 + 1| + 6 ln|𝑥 + 1| + 𝑐
𝑦 = 𝑥 + 5 ln|𝑥 + 1| + 𝑐 + 1
𝑦 = 𝑥 + 5 ln|𝑥 + 1| + 𝑘
2.
𝒅𝒚
=
𝒅𝒙
∫
𝒚+𝟏
𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−∫
𝑦+1
𝑥
ln|𝑦 + 1| = ln|𝑥| + 𝑐
𝑒 ln|𝑦+1| = 𝑒 ln|𝑥|+𝑐
𝑒 ln|𝑦+1| = 𝑒 ln|𝑥| 𝑒 𝑐
𝑦 + 1 = 𝑥𝑒 𝑐 𝑒 𝑐 = 𝑘
𝑦 = 𝑘𝑥 − 1
3. 𝒙𝒚𝒍 = 𝟒𝒚
𝑥
𝑑𝑦
= 4𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦 4𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
∫
𝑑𝑦
4𝑑𝑥
=∫
𝑦
𝑥
k=c+1
ln 𝑦 = 4 ln 4 + 𝑐
𝑒 ln 𝑦 = 𝑒 4 ln 𝑥+𝑐
4
𝑦 = 𝑒 ln 𝑥 𝑒 𝑐
𝑦 = 𝑘𝑒 ln 𝑥
4.
𝒅𝑨
𝒅𝒕
k=𝑒 𝑐
4
= 𝒌√𝑨
𝑑𝐴
√𝐴
= 𝑘𝑑𝑡
∫ 𝐴−1\2 = ∫ 𝑘𝑑𝑡
∫ 𝐴−1\2 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑡
1
2
𝐴1\2 + 𝑐1 = 𝑐𝑡 + 𝑐2
𝐴1\2 = 2𝑘𝑡 + 2𝑚
(𝐴1\2 )2 = (2𝑘𝑡 + 2𝑚)2
𝐴(𝑡) = 4𝑘 2 𝑡 2 + 8𝑘𝑡𝑚 + 4𝑚2
5.
𝒅𝟐 𝒉
𝒅𝒙𝟐
= −𝒈𝒕𝟐
𝑑 𝑑ℎ
( ) = −𝑔𝑡 2
𝑑𝑡 𝑑𝑡
∫
𝑑 𝑑ℎ
( ) = ∫ −𝑔𝑡 2 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑ℎ
= −𝑔 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 − 𝑐1
𝑑𝑡
m=c2-c1
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝑔𝑡 3
3
+ 𝑐2 − 𝑐1
m=c2-c1
𝑑ℎ 𝑔𝑡 3
=
+ 𝑐2 − 𝑐1
𝑑𝑡
3
𝑑ℎ 𝑔𝑡 3
=
+𝑚
𝑑𝑡
3
∫ 𝑑ℎ = ∫
ℎ=−
𝑔𝑡 4
12
𝑔𝑡 3
+ ∫𝑚
3
+ 𝑚𝑡 + 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1
ℎ(𝑡) == −
6.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝑔𝑡 4
+ 𝑚𝑡 + 𝑛
12
= 𝒆𝒙+𝟏
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 𝑥+1 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 𝑥 𝑒 1 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = 𝑒 1 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑒1𝑒 𝑥 + 𝑐
k=𝑒 1
𝑦 = 𝑘𝑒 𝑥 + 𝑐
7. 𝒙𝒍 = 𝐞𝒙 −
𝟐𝒕
𝒕𝟐 −𝟏
𝑑𝑥 𝑥
2𝑡
e =− 2
𝑑𝑡
𝑡 −1
2𝑡
e𝑥 dx = − 2
𝑑𝑡
𝑡 −1
2𝑡
∫ e𝑥 dx = − ∫ 2
𝑑𝑡
𝑡 −1
n=c2+c3-c1
e𝑥 = ln|𝑡 2 − 1| + 𝑐
𝑥(𝑡) = e𝑡 − ln|𝑡 2 − 1| + 𝑐
ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES
Si una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥, 𝑦) se reduce a la forma:
𝑴(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
Donde M es una función solo de x, y N es una función solo de y, a esta ecuación se le conoce con el nombre de “Ecuación
Diferencial Ordinaria de variable separable” y la solución general se obtiene por integración directa, es decir:
∫ 𝑴(𝒙)𝒅𝒙 + ∫ 𝑵(𝒚)𝒅𝒚 = 𝒄
Donde c es una constante cualquiera.
La ecuación diferencial de la forma:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= ∫(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄)
Donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitución z=ax + by + c.
INTEGRAR LAS ECUACIONES
1. (𝟏 + 𝒀𝟐 )𝒅𝒙 + (𝟏 + 𝑿𝟐 )𝒅𝒚 = 𝟎
(1 + 𝑌 2 )𝑑𝑥 + (1 + 𝑋 2 )𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
=0
2
1+𝑋
1 + 𝑌2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=−
2
1+𝑋
1 + 𝑌2
∫
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
−
∫
1 + 𝑋2
1 + 𝑌2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦 = 𝑐
sea
𝑡𝑔(𝐴 + 𝐵) =
𝑡𝑔𝐴 + 𝑡𝑔𝐵
1 − 𝑡𝑔𝐴 𝑡𝑔𝐵
entoncs
𝑥 + 𝑦 = 𝑐(1 − 𝑥𝑦)
2. (𝟏 + 𝒀𝟐 )𝒅𝒙 + 𝒙𝒚𝒅𝒚 = 𝟎
(1 + 𝑌 2 )𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑥
𝑦𝑑𝑦
+
=0
𝑥
1 + 𝑦2
∫
𝑑𝑥
𝑦𝑑𝑦
+∫
= ∫0
𝑥
1 + 𝑦2
1
ln 𝑥 + ln|1 + 𝑦 2 | = 𝑘
2
2ln 𝑥 + ln|1 + 𝑦 2 | = 2𝑘
Donde
ln 𝑥 2 (1 + 𝑦 2 ) = 2𝑘
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
ln 𝑥 2 (1 + 𝑦 2 ) = 2𝑘
𝑥(1 + 𝑦 2 ) = 𝑐
3. (𝒚𝟐 + 𝒙𝒀𝟐 )𝒚| + 𝒙𝟐 − 𝒚𝒙𝟐 = 𝟎
(𝑦 2 + 𝑥𝑌 2 )𝑦 | + 𝑥 2 − 𝑦𝑥 2 = 0
(𝑦 2 + 𝑥𝑌 2 )
𝑑𝑦
+ 𝑥 2 − 𝑦𝑥 2 = 0
𝑑𝑥
(𝑦 2 + 𝑥𝑌 2 )
𝑦 2 (1 + 𝑥)
𝑑𝑦
= −𝑥 2 + 𝑦𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −𝑥 2 (1 + 𝑦)
𝑑𝑥
𝑦 2 𝑑𝑦
−𝑥 2
=
1+𝑦 1+𝑥
∫
𝑦 2 𝑑𝑦
−𝑥 2
=∫
1+𝑦
1+𝑥
(1 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦 − 2) + 2 ln |
1+𝑥
|=𝑐
1−𝑦
4. (𝟏 + 𝒚𝟐 )𝒅𝒙 = 𝒙𝒅𝒚
(1 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑥
1 + 𝑦2
∫
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=∫
+𝑐
𝑥
1 + 𝑦2
𝑠𝑒𝑎
ln 𝑥𝑘 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 + 𝑐
𝑦 = 𝑡𝑔(ln(𝑘𝑥)) + 𝑐
5. 𝒙√𝟏 + 𝒚𝟐 + 𝒚𝒚𝒍 √𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟎
𝑥√1 + 𝑦 2 + 𝑦𝑦 𝑙 √1 + 𝑥 2 = 0
𝑥√1 + 𝑦 2 + 𝑦√1 + 𝑥 2
𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥
𝑥√1 + 𝑦 2 = −𝑦√1 + 𝑥 2
𝑥𝑑𝑥
√1 + 𝑥 2
∫
𝑥𝑑𝑥
√1 + 𝑥 2
=−
𝑦𝑑𝑦
√1 + 𝑦 2
= −∫
𝑦𝑑𝑦
√1 + 𝑦 2
𝑠𝑒𝑎
𝑢 = 1 + 𝑥2
𝑑𝑢 = 2𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥
𝑣 = 1 + 𝑦2
𝑑𝑣 = 2𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑣
2𝑦
∫
𝑥𝑑𝑢
= −∫
2𝑥 √𝑢
𝑦𝑑𝑣
2𝑣 √𝑣
1
1
∫ 𝑢−1\2 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑣 −1\2 𝑑𝑣
2
2
𝑢1\2 = −𝑣 1\2 + 𝑐
√1 + 𝑥 2 = −√1 + 𝑦 2 + 𝑐
6. 𝒆−𝒚 (𝟏 + 𝒚𝒍 ) = 𝟏
𝑒 𝑦 = (1 + 𝑦 𝑙 )
𝑒𝑦 − 1 = 𝑦𝑙
𝑒𝑦 − 1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑒𝑦 − 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑑𝑥
𝑦
𝑒 −1
∫
𝑑𝑦
= ∫ 𝑑𝑥
−1
𝑒𝑦
ln(1 − 𝑒 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑘
𝑒 ln(1−𝑒
𝑦)
= 𝑒 𝑥+𝑘
1 − 𝑒 𝑦=𝑒
𝑒 𝑦=𝑒
𝑘𝑒 𝑥
𝑘𝑒 𝑥
+1
𝑥
𝑒 𝑦=𝑘𝑒 + 1
𝒆𝒙 =
𝟏
(𝟏 − 𝒆−𝒚 )
𝒆𝒌
𝒆𝒙 = 𝒄(𝟏 − 𝒆−𝒚 )
7. 𝒚𝒍 = 𝒂𝒙+𝒚 (𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎)
𝑑𝑦
= 𝑎 𝑥+𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑎𝑥 ∙ 𝑎𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑎 𝑥 𝑑𝑥
𝑎𝑦
𝑎−𝑦 𝑑𝑦 = 𝑎 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑎−𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥
𝑎 𝑥 + 𝑎−𝑦 = 𝑘
8. 𝒆𝒚 (𝟏 + 𝒙𝟐 )𝒅𝒚 − 𝟐𝒙(𝟏 + 𝒆𝒚 )𝒅𝒙 = 𝟎
𝑒 𝑦 (1 + 𝑥 2 )𝑑𝑦 − 2𝑥(1 + 𝑒 𝑦 )𝑑𝑥 = 0
𝑒 𝑦 (1 + 𝑥 2 )𝑑𝑦 = 2𝑥(1 + 𝑒 𝑦 )𝑑𝑥
𝑒 𝑦 𝑑𝑦
2𝑥𝑑𝑥
=
𝑦
(1 + 𝑒 ) (1 + 𝑥 2 )
𝑢 = 1 + 𝑒𝑦
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 𝑑𝑦
𝑒𝑦
𝑣 = 1 + 𝑥2
𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣
= 𝑑𝑥
2𝑥
𝑒 𝑦 𝑑𝑢 2𝑥 𝑑𝑣
=
(𝑢) 𝑒 𝑦 (𝑣) 2𝑥
𝑑𝑢 𝑑𝑣
=
(𝑣)
𝑢
∫
𝑑𝑢
𝑑𝑣
=∫
(𝑣)
𝑢
ln 𝑢 = ln 𝑣 + 𝑐
ln(1 + 𝑒 𝑦 ) = ln(1 + 𝑥 2 ) + 𝑐
ln
(1 + 𝑒 𝑦 )
=𝑘
(1 + 𝑥 2 )
(1 + 𝑒 𝑦 )
=𝑐
(1 + 𝑥 2 )
(1 + 𝑒 𝑦 ) = 𝑐(1 + 𝑥 2 )
9. (𝟏 + 𝒚𝟐 )(𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 − 𝒆𝒚 𝒅𝒚) − (𝟏 + 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
(1 + 𝑦 2 )(𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒 𝑦 𝑑𝑦) − (1 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 −
1+𝑦
𝑑𝑦 = 0
1 + 𝑦2
∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 − ∫
1+𝑦
𝑑𝑦 = 0
1 + 𝑦2
𝑒 2𝑥
2
− 𝑒 𝑦−𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦−ln √1+𝑦 =𝑐
2
10. (𝒙𝒚𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 𝒚 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒙 + 𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎
(𝑥𝑦 2 − 𝑦 2 + 𝑥 − 1)𝑑𝑥 + (𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑥 2 + 2𝑦 − 2𝑥 + 2)𝑑𝑦 = 0
[𝑦 2 (𝑥 − 1) + (𝑥 − 1)]𝑑𝑥 = [𝑦(𝑥 2 − 2𝑥 + 2) + (𝑥 2 − 2𝑥 + 2)]𝑑𝑦 = 0
(𝑦 2 + 1)(𝑥 − 1)𝑑𝑥 + (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)𝑑𝑦 = 0
(𝑦 2 + 1)(𝑥 − 1)𝑑𝑥 = −(𝑦 + 1)(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)𝑑𝑦
(𝑥 − 1)𝑑𝑥
(𝑦 + 1)
=
−
𝑑𝑦
(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)
(𝑦 2 + 1)
∫
(𝑥 − 1)𝑑𝑥
(𝑦 + 1)
=
−
∫
𝑑𝑦
(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)
(𝑦 2 + 1)
1
1
(ln 𝑥 2 − 2𝑥 + 2) + ln( 𝑦 2 + 1) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦) = 𝑘
2
2
ln(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)( 𝑦 2 + 1) = −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦 + 𝑘
(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)(𝑦 2 + 1) = 𝑒 −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦+𝑘
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)(𝑦 2 + 1)𝑒 −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦 = 𝑐
11. 𝒚𝒍 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙 − 𝒚)
𝑥𝑧 = −𝑦
𝑑𝑧
= 1 − 𝑦𝑙
𝑑𝑥
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑐𝑒𝑠
1−
𝑑𝑧
= 𝑦𝑙
𝑑𝑥
Como 𝑦 𝑙 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) remplazando se tiene
𝑑𝑧
= 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑧
= 𝑑𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑧
∫
𝑑𝑧
= ∫ 𝑑𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑧
∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑧 + 𝑡𝑔 𝑧 𝑠𝑒𝑐𝑧)𝑑𝑧 = 𝑥 + 𝑐
𝑡𝑔 𝑧 + 𝑠𝑒𝑐𝑧 = 𝑥 + 𝑐
𝑡𝑔 (𝑥 − 𝑦) + 𝑠𝑒𝑐(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 + 𝑐
12. 𝒚𝒍 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄
𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
𝑑𝑧
= 𝑎 + 𝑏𝑦 𝑙
𝑑𝑥
𝑦𝑙 =
1 𝑑𝑧
( − 𝑎)
𝑏 𝑑𝑥
Remplazamos en
𝑦 𝑙 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
1 𝑑𝑧
( − 𝑎) = 𝑧
𝑏 𝑑𝑥
𝑑𝑧
− 𝑎 = 𝑏𝑧
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑑𝑧
= 𝑑𝑥
𝑎 + 𝑏𝑧
Integrando
∫
𝑑𝑧
= ∫ 𝑑𝑥
𝑎 + 𝑏𝑧
1
ln(𝑎 + 𝑏𝑧) = 𝑥 + 𝑘
𝑏
ln(𝑎 + 𝑏𝑧) = 𝑏𝑥 + 𝑏𝑘
𝑎 + 𝑏𝑧 = 𝑐𝑒 𝑏𝑘
13. (𝒙 + 𝒚)𝟐 𝒚𝒍 = 𝒂𝟐
sea
Entonces
𝑧 =𝑥+𝑦
𝑑𝑧
= 1 + 𝑦𝑙
𝑑𝑥
𝑦𝑙 =
𝑑𝑧
−1
𝑑𝑥
Remplazando en
(𝑥 + 𝑦)2 𝑦 𝑙 = 𝑎2
Entonces
𝑧2 (
𝑑𝑧
− 1) = 𝑎2
𝑑𝑥
Separando las variables
𝑧2
𝑑𝑧 = 𝑑𝑥
𝑎2 + 𝑧 2
Integramos
𝑧
𝑧 − 𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) = 𝑥 + 𝑘
𝑎
Simplificando
𝑧
𝑥 + 𝑦 = 𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( + 𝑐)
𝑎
𝒚𝟐
14. (𝟏 − 𝒚)𝒆𝒚 𝒚𝒍 + 𝒙𝒍𝒏𝒙 = 𝟎
(1 − 𝑦)𝑒 𝑦
𝑑𝑦
𝑦2
+
=0
𝑑𝑥 𝑥𝑙𝑛𝑥
(1 − 𝑦)𝑒 𝑦
∫
∫
𝑑𝑦
𝑦2
=−
𝑑𝑥
𝑥𝑙𝑛𝑥
(1 − 𝑦)𝑒 𝑦
𝑑𝑥
+∫
=𝑐
2
𝑦
𝑥𝑙𝑛𝑥
(1 − 𝑦)𝑒 𝑦
𝑑𝑥 + ln(𝑙𝑛𝑥) = 𝑐
𝑦2
𝑒𝑦
∫𝑑
= ln(𝑙𝑛𝑥) = 𝑐
𝑦
De donde
𝑒𝑦
− + ln(𝑙𝑛𝑥) = 𝑐
𝑦
ln(𝑙𝑛𝑥) =
15. 𝑥𝑦 2 (𝑥𝑦 𝑙 + 𝑦) = 𝑎2
Sea
𝑒𝑦
+𝑐
𝑦
𝑧 = 𝑥𝑦
𝑦=
𝑧
𝑥
𝑥𝑑𝑧
−𝑧
𝑦 𝑙 = 𝑑𝑥 2
𝑥
𝑐𝑜𝑚𝑜
𝑥𝑦 2 (𝑥𝑦 𝑙 + 𝑦) = 𝑎2
Remplazando se tiene
𝑧 2 𝑑𝑧
𝑧
[𝑥
− 𝑧 + ] = 𝑎2
𝑥
𝑑𝑥
𝑥
𝑧 2 𝑑𝑧 = 𝑎2 𝑥𝑑𝑥
𝑧 3 𝑎2 𝑥 2
=
+𝑐
3
2
Entonces
2𝑥 3 𝑦 3 = 3𝑎2 𝑥 2 + 𝑘
16. (𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟏)𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎
sea
𝑧 = 𝑥𝑦
𝑦=
𝑑𝑦 =
𝑧
𝑥
𝑥𝑑𝑧 − 𝑧𝑑𝑥
𝑥2
(𝑥 2 𝑦 2 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥 2 𝑑𝑦 = 0
𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑥𝑑𝑧 − 𝑧𝑑𝑥
(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥 2 (
)=0
𝑥2
(𝑧 2 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑧 − 2𝑧𝑑𝑧 = 0
(𝑧 2 − 2𝑧 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑧 = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑧
+
=0
2𝑥 (𝑧 − 1)2
∫
𝑑𝑥
𝑑𝑧
+∫
=𝑐
2𝑥
(𝑧 − 1)2
1
1
𝑙𝑛𝑥 −
=𝑐
2
𝑥𝑦 − 1
17. (𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟐 )𝒚 + (𝒙𝒚 − 𝟏)𝟐 𝒙𝒚𝒍 = 𝟎
Sea
𝑧 = 𝑥𝑦
𝑦=
𝑧
𝑥
𝑥𝑑𝑧
−𝑧
𝑦 = 𝑑𝑥 2
𝑥
𝑙
Remplazando
𝑥𝑑𝑧
−𝑧
𝑧
(1 + 𝑧 2 ) = (𝑧 − 1)2 𝑥 ( 𝑑𝑥 2 ) = 0
𝑥
𝑥
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠
(1 + 𝑧 2 )𝑧 = (𝑧 − 1)2 𝑥
𝑑𝑧
− (𝑧 − 1)2 = 0
𝑑𝑥
Entonces
(1 + 𝑧 2 )𝑧𝑑𝑧 + 2𝑧 2 𝑑𝑥 = 0
2𝑑𝑥 (1 + 𝑧 2 )
+
𝑑𝑧 = 0
𝑥
𝑧2
Integrando
2𝑑𝑥
(1 + 𝑧 2 )
∫
+∫
𝑑𝑧 = 0
𝑥
𝑧2
2𝑙𝑛𝑥 + 𝑧 − 2𝑙𝑛𝑧 −
−2𝑙𝑛𝑦 =
1
=𝑘
𝑧
1
− 𝑥𝑦 + 𝑘
𝑥𝑦
𝑙𝑛𝑐𝑦 2 = 𝑥𝑦 −
𝑐𝑦 2 = 𝑒
𝑥𝑦−
1
𝑥𝑦
1
𝑥𝑦
ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES CON VALORES INICIALES
1. 𝒙√𝟏 − 𝒚𝟐 𝒅𝒙 + 𝒚𝒙√𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎
y(0)=1
𝑥√1 − 𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑦𝑥 √1 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0
𝑥√1 − 𝑦 2 𝑑𝑥 = −𝑦𝑥√1 − 𝑥 2 𝑑𝑦
Separando variables
𝑥𝑑𝑥
𝑥√1 −
𝑥2
=
−𝑦𝑑𝑦
√1 − 𝑦 2
Integrando
∫
𝑥𝑑𝑥
𝑥√1 − 𝑥 2
+∫
−𝑦𝑑𝑦
√1 − 𝑦 2
=𝑐
De donde
√1 − 𝑥 2 + √1 − 𝑦 2 = 𝑘
Para x=0: y=1
√1 − 02 + √1 − 12 = 𝑘
𝑘=1
√1 − 𝑥 2 + √1 − 𝑦 2 = 1
2. (𝟏 + 𝒆𝒙 )𝒚𝒚𝒍 = 𝒆𝒚
y(0)=0
(1 + 𝑒 𝑥 )𝑦
𝑑𝑦
= 𝑒𝑦
𝑑𝑥
𝑦𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
(1 + 𝑒 𝑥 )
Integrando
∫ 𝑦𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = ∫
𝑑𝑥
(1 + 𝑒 𝑥 )
De donde
(1 + 𝑦)𝑒 −𝑦 = 𝑙𝑛(
1 + 𝑒𝑥
)+1−𝑥
2
entonces
1+𝑒 𝑥
𝑙𝑛 (
2
) + 1 − 𝑥 = 𝑙𝑛(1 + 𝑒 𝑥 ) + 𝑐
Sea
Y(0)=0
1 + 𝑒0
𝑙𝑛 (
) + 1 − 𝑥 = 𝑙𝑛(1 + 𝑒 0 ) + 𝑐
2
Entonces
c=3,15
1 + 𝑒𝑥
𝑙𝑛 (
) + 1 − 𝑥 = 𝑙𝑛(1 + 𝑒 𝑥 ) + 3,15
2
3.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟒(𝒙𝟐 + 𝟏)
𝒙(𝝅\𝟒) = 𝟏
Sea
𝑑𝑦
= (𝑥 2 + 1)𝑑𝑥
4
Integrando
∫
∫
𝑑𝑦
= ∫(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥
4
𝑑𝑦
= ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 1𝑑𝑥
4
𝑦 𝑥3
=
+𝑥+𝑐
4
3
𝑦=
4𝑥 3
+ 4𝑥 + 4𝑐
3
Para k=4c
4𝑥 3
𝑦=
+ 4𝑥 + 𝑘
3
4.
𝒅𝒚
𝒚𝟐 −𝟏
= 𝒙𝟐 −𝟏
𝒅𝒙
𝒚(𝟐) = 𝟐
Separamos terminos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦2 − 1 𝑥2 − 1
Integramos
∫
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=∫ 2
−1
𝑥 −1
𝑦2
1
1
1
1
1
1
(
−
) 𝑑𝑦 = (
−
) 𝑑𝑦
2 y−1 y+1
2 x−1 x+1
1
1
1
1
1
1
∫ (
−
) 𝑑𝑦 = ∫ (
−
) 𝑑𝑦
2 y−1 y+1
2
x−1 x+1
1
1
1
1
1
1
[∫ (
−
) 𝑑𝑦] = [∫ (
−
) 𝑑𝑦]
2
y−1 y+1
2
x−1 x+1
ln(y − 1) − ln(y + 1) = ln(x − 1) − ln(x + 1) = 𝑙𝑛𝑐
y−1
x−1
=𝑐
𝑦+1
𝑥+1
Para y(2)=2
2−1
2−1
=𝑐
2+1
2+1
1
1
=𝑐
3
3
c=1
entonces
y−1
x−1
=1
𝑦+1
𝑥+1
y−1 x−1
=
𝑦+1 𝑥+1
𝒅𝒚
5. 𝐱 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒚 − 𝒙𝒚
y(-1)=-1
Sea
x2
𝑑𝑦
= 𝑦(1 − 𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑦 (1 − 𝑥)
=
𝑦
x2
Integrando
∫
∫
𝑑𝑦
(1 − 𝑥)
=∫
𝑦
x2
𝑑𝑦
1
𝑑𝑥
= ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫
𝑦
x
𝑥
𝑦 = ∫ x −2 𝑑𝑥 − ∫
𝑑𝑥
𝑥
𝑦 = −x −1 − 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐
1
𝑦 = − − 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐
𝑥
Para y(-1)=-1
−1 = −
1
− 𝑙𝑛 − 1 + 𝑐
−1
𝑐 = 0,36
1
𝑦 = − − 𝑙𝑛𝑥 + 0,36
𝑥
𝒅𝒚
6.
𝒅𝒕
+ 𝟐𝒚 = 𝟏
Sea
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 1 − 2𝑦
y(0)=5\2
𝑑𝑦
= 𝑑𝑡
1 − 2𝑦
Integrando
∫
𝑑𝑦
= ∫ 𝑑𝑡
1 − 2𝑦
𝑢 = 1 − 2𝑦
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑦
𝑑𝑦 =
𝑑𝑢
2
Remplazamos
∫
𝑑𝑢
= ∫ 𝑑𝑡
2𝑢
𝑙𝑛𝑢
=𝑡+𝑐
2
𝑙𝑛𝑢 = 2𝑡 + 𝑘
ln(2𝑡 + 𝑘) = 2𝑡 + 𝑘
𝑒 ln(1−2𝑦) = 𝑒 2𝑡+𝑘
1 − 2𝑦 = 𝑚𝑒 2𝑡
2𝑦 = −𝑚𝑒 2𝑡 + 1
𝑦=−
𝑚𝑒 2𝑡 + 1
2
Para y(0)=5\2
𝑚𝑒 0 + 1
5\2 = −
2
𝑚 = −4
𝑦=
7. √𝟏 − 𝒚𝟐 𝒅𝒙 − √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎
y(0)=
4𝑒 2𝑡 + 1
2
√𝟑
𝟐
√1 − 𝑦 2 𝑑𝑥 = √1 − 𝑥 2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
√1 − 𝑥 2
∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥 2
=
𝑑𝑦
√1 − 𝑦 2
=∫
𝑑𝑦
√1 − 𝑦 2
𝑠𝑒𝑛−1 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛−1 𝑦 = 𝑐
Para y(0)=
√3
2
𝑠𝑒𝑛−1 𝑜 − 𝑠𝑒𝑛−1
𝑐=−
√3
=𝑐
2
𝜋
3
Entonces
𝑠𝑒𝑛−1 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛−1 𝑦 = −
8. (𝟏 + 𝒙𝟒 )𝒅𝒚 + 𝒙(𝟏 + 𝟒𝒚𝟐 )𝒅𝒙 = 𝟎
𝜋
3
𝒚(𝟏) = 𝟎
Sea
(1 + 𝑥 4 )𝑑𝑦 = −𝑥(1 + 4𝑦 2 )𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑥𝑑𝑥
=
2
(1 + 4𝑦 ) (1 + 𝑥 4 )
𝑑𝑦
𝑥𝑑𝑥
=
(1 + 2𝑦 2 ) (1 + (𝑥 2 )4 )
∫
𝑑𝑦
𝑥𝑑𝑥
=
∫
(1 + 2𝑦 2 )
(1 + (𝑥 2 )4 )
1 −1
1
𝑡𝑔 2𝑦 = − 𝑡𝑔−1 𝑥 2 + 𝑐
2
2
𝑡𝑔−1 2𝑦 + 𝑡𝑔−1 𝑥 2 = 𝑐
Para 𝑦(1) = 0
𝑡𝑔−1 20 + 𝑡𝑔−1 12 = 𝑐
𝑐=
𝜋
4
𝑡𝑔−1 2𝑦 + 𝑡𝑔−1 𝑥 2 =
9. (𝟏 + 𝒀𝟐 )𝒅𝒙 + (𝟏 + 𝑿𝟐 )𝒅𝒚 = 𝟎
𝜋
4
𝒚(𝟐) = 𝟎
(1 + 𝑌 2 )𝑑𝑥 + (1 + 𝑋 2 )𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
=0
2
1+𝑋
1 + 𝑌2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=−
2
1+𝑋
1 + 𝑌2
∫
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −∫
2
1+𝑋
1 + 𝑌2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦 = 𝑐
sea
𝑡𝑔(𝐴 + 𝐵) =
𝑡𝑔𝐴 + 𝑡𝑔𝐵
1 − 𝑡𝑔𝐴 𝑡𝑔𝐵
entoncs
𝑥 + 𝑦 = 𝑐(1 − 𝑥𝑦)
Para 𝑦(2) = 0
2 + 0 = 𝑐(1 − 0)
𝑐=2
𝑥 + 𝑦 = 2(1 − 𝑥𝑦)
10. (𝟏 + 𝒀𝟐 )𝒅𝒙 + 𝒙𝒚𝒅𝒚 = 𝟎
𝒚(𝟎) = 𝟏
(1 + 𝑌 2 )𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑥
𝑦𝑑𝑦
+
=0
𝑥
1 + 𝑦2
∫
𝑑𝑥
𝑦𝑑𝑦
+∫
= ∫0
𝑥
1 + 𝑦2
1
ln 𝑥 + ln|1 + 𝑦 2 | = 𝑘
2
2ln 𝑥 + ln|1 + 𝑦 2 | = 2𝑘
Donde
ln 𝑥 2 (1 + 𝑦 2 ) = 2𝑘
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
ln 𝑥 2 (1 + 𝑦 2 ) = 2𝑘
𝑥(1 + 𝑦 2 ) = 𝑐
Para 𝑦(0) = 1
0(1 + 12 ) = 𝑐
𝑐=0
𝑥(1 + 𝑦 2 ) = 0
11. (𝒚𝟐 + 𝒙𝒀𝟐 )𝒚| + 𝒙𝟐 − 𝒚𝒙𝟐 = 𝟎
𝒚(𝟏) = −𝟏
(𝑦 2 + 𝑥𝑌 2 )𝑦 | + 𝑥 2 − 𝑦𝑥 2 = 0
(𝑦 2 + 𝑥𝑌 2 )
𝑑𝑦
+ 𝑥 2 − 𝑦𝑥 2 = 0
𝑑𝑥
(𝑦 2 + 𝑥𝑌 2 )
𝑦 2 (1 + 𝑥)
𝑑𝑦
= −𝑥 2 + 𝑦𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −𝑥 2 (1 + 𝑦)
𝑑𝑥
𝑦 2 𝑑𝑦
−𝑥 2
=
1+𝑦 1+𝑥
𝑦 2 𝑑𝑦
−𝑥 2
∫
=∫
1+𝑦
1+𝑥
(1 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦 − 2) + 2 ln |
1+𝑥
|=𝑐
1−𝑦
Para 𝑦(1) = −1
1+1
(1 − 1)(1 − 1 − 2) + 2 ln |
|=𝑐
1+1
𝑐=0
(1 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦 − 2) + 2 ln |
12. (𝟏 + 𝒚𝟐 )𝒅𝒙 = 𝒙𝒅𝒚
1+𝑥
|=0
1−𝑦
𝒚(𝟐) = 𝟏
(1 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑥
1 + 𝑦2
∫
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=∫
+𝑐
𝑥
1 + 𝑦2
𝑠𝑒𝑎
ln 𝑥𝑘 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 + 𝑐
𝑦 = 𝑡𝑔(ln(𝑘𝑥)) + 𝑐
Para 𝑦(2) = 1
1 = 𝑡𝑔(ln(2)) + 𝑐
𝑐 = 0,16
𝑦 = 𝑡𝑔(ln(𝑘𝑥)) + 0,16
13. 𝒙√𝟏 + 𝒚𝟐 + 𝒚𝒚𝒍 √𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟎
𝒚(𝟏) = 𝟏
𝑥√1 + 𝑦 2 + 𝑦𝑦 𝑙 √1 + 𝑥 2 = 0
𝑥√1 + 𝑦 2 + 𝑦√1 + 𝑥 2
𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥
𝑥√1 + 𝑦 2 = −𝑦√1 + 𝑥 2
𝑥𝑑𝑥
√1 + 𝑥 2
∫
𝑥𝑑𝑥
√1 +
𝑥2
=−
𝑦𝑑𝑦
√1 + 𝑦 2
= −∫
𝑦𝑑𝑦
√1 + 𝑦 2
𝑠𝑒𝑎
𝑢 = 1 + 𝑥2
𝑑𝑢 = 2𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥
𝑣 = 1 + 𝑦2
𝑑𝑣 = 2𝑦
𝑑𝑥 =
∫
𝑥𝑑𝑢
2𝑥 √𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑣
2𝑦
= −∫
𝑦𝑑𝑣
2𝑣 √𝑣
1
1
∫ 𝑢−1\2 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑣 −1\2 𝑑𝑣
2
2
𝑢1\2 = −𝑣 1\2 + 𝑐
√1 + 𝑥 2 = −√1 + 𝑦 2 + 𝑐
Para 𝑦(1) = 1
√1 + 12 = −√1 + 12 + 𝑐
𝑐 = −1
√1 + 𝑥 2 = −√1 + 𝑦 2 − 1
14. 𝒆−𝒚 (𝟏 + 𝒚𝒍 ) = 𝟏
y(0)=1
𝑒 𝑦 = (1 + 𝑦 𝑙 )
𝑒𝑦 − 1 = 𝑦𝑙
𝑒𝑦 − 1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑒𝑦 − 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑑𝑥
𝑒𝑦 − 1
∫
𝑑𝑦
= ∫ 𝑑𝑥
𝑒𝑦 − 1
ln(1 − 𝑒 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑘
𝑒 ln(1−𝑒
𝑦)
= 𝑒 𝑥+𝑘
1 − 𝑒 𝑦=𝑒
𝑒 𝑦=𝑒
𝑒
𝑒𝑥 =
𝑘𝑒 𝑥
𝑦=𝑘𝑒 𝑥
𝑘𝑒 𝑥
+1
+1
1
(1 − 𝑒 −𝑦 )
𝑒𝑘
𝑒 𝑥 = 𝑐(1 − 𝑒 −𝑦 )
Para y(0)=1
𝑒 0 = 𝑐(1 − 𝑒 −1 )
𝑐 = 0,73
𝑒 𝑥 = 0.73(1 − 𝑒 −𝑦 )
15. 𝒚𝒍 = 𝒂𝒙+𝒚 (𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎)
y(1)=1
𝑑𝑦
= 𝑎 𝑥+𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑎𝑥 ∙ 𝑎𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑎 𝑥 𝑑𝑥
𝑎𝑦
𝑎−𝑦 𝑑𝑦 = 𝑎 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑎−𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥
𝑎 𝑥 + 𝑎−𝑦 = 𝑘
Para y(1)=1=a
11 + 1−1 = 𝑘
𝑘=1
𝑎 𝑥 + 𝑎 −𝑦 = 1
16. 𝒆𝒚 (𝟏 + 𝒙𝟐 )𝒅𝒚 − 𝟐𝒙(𝟏 + 𝒆𝒚 )𝒅𝒙 = 𝟎
𝒚(𝟎) = 𝟎
𝑒 𝑦 (1 + 𝑥 2 )𝑑𝑦 − 2𝑥(1 + 𝑒 𝑦 )𝑑𝑥 = 0
𝑒 𝑦 (1 + 𝑥 2 )𝑑𝑦 = 2𝑥(1 + 𝑒 𝑦 )𝑑𝑥
𝑒 𝑦 𝑑𝑦
2𝑥𝑑𝑥
=
𝑦
(1 + 𝑒 ) (1 + 𝑥 2 )
𝑢 = 1 + 𝑒𝑦
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 𝑑𝑦
𝑒𝑦
𝑣 = 1 + 𝑥2
𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣
= 𝑑𝑥
2𝑥
𝑒 𝑦 𝑑𝑢 2𝑥 𝑑𝑣
=
(𝑢) 𝑒 𝑦 (𝑣) 2𝑥
𝑑𝑢 𝑑𝑣
=
(𝑣)
𝑢
∫
𝑑𝑢
𝑑𝑣
=∫
(𝑣)
𝑢
ln 𝑢 = ln 𝑣 + 𝑐
ln(1 + 𝑒 𝑦 ) = ln(1 + 𝑥 2 ) + 𝑐
ln
(1 + 𝑒 𝑦 )
=𝑘
(1 + 𝑥 2 )
(1 + 𝑒 𝑦 )
=𝑐
(1 + 𝑥 2 )
(1 + 𝑒 𝑦 ) = 𝑐(1 + 𝑥 2 )
Para 𝑦(0) = 0
(1 + 𝑒 0 ) = 𝑐(1 + 02 )
𝑐=2
(1 + 𝑒 𝑦 ) = 2(1 + 𝑥 2 )
17. (𝟏 + 𝒚𝟐 )(𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 − 𝒆𝒚 𝒅𝒚) − (𝟏 + 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
Para 𝑦(0) = 1
𝒚(𝟎) = 𝟏
(1 + 𝑦 2 )(𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒 𝑦 𝑑𝑦) − (1 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 −
1+𝑦
𝑑𝑦 = 0
1 + 𝑦2
∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 − ∫
1+𝑦
𝑑𝑦 = 0
1 + 𝑦2
𝑒 2𝑥
2
− 𝑒 𝑦−𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦−ln √1+𝑦 =𝑐
2
𝑒2
2
− 𝑒 𝑦−𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦−ln √1+𝑦 =𝑐
2
𝑐 = 2.69
𝑒 2𝑥
2
− 𝑒 𝑦−𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦−ln √1+𝑦 =2.69
2
18. (𝒙𝒚𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 𝒚 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒙 + 𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎
𝒚(𝟏) = 𝟎
(𝑥𝑦 2 − 𝑦 2 + 𝑥 − 1)𝑑𝑥 + (𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 𝑥 2 + 2𝑦 − 2𝑥 + 2)𝑑𝑦 = 0
[𝑦 2 (𝑥 − 1) + (𝑥 − 1)]𝑑𝑥 = [𝑦(𝑥 2 − 2𝑥 + 2) + (𝑥 2 − 2𝑥 + 2)]𝑑𝑦 = 0
(𝑦 2 + 1)(𝑥 − 1)𝑑𝑥 + (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)𝑑𝑦 = 0
(𝑦 2 + 1)(𝑥 − 1)𝑑𝑥 = −(𝑦 + 1)(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)𝑑𝑦
(𝑥 − 1)𝑑𝑥
(𝑦 + 1)
=
−
𝑑𝑦
(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)
(𝑦 2 + 1)
∫
(𝑥 − 1)𝑑𝑥
(𝑦 + 1)
=
−
∫
𝑑𝑦
(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)
(𝑦 2 + 1)
1
1
(ln 𝑥 2 − 2𝑥 + 2) + ln( 𝑦 2 + 1) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦) = 𝑘
2
2
ln(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)( 𝑦 2 + 1) = −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦 + 𝑘
(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)(𝑦 2 + 1) = 𝑒 −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦+𝑘
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)(𝑦 2 + 1)𝑒 −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦 = 𝑐
Para 𝑦(1) = 0
(12 − 2 + 2)(02 + 1)𝑒 −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 = 𝑐
𝑐=1
(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)(𝑦 2 + 1)𝑒 −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦 = 1
19. 𝒚𝒍 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙 − 𝒚)
𝒚(𝟎) = 𝟎
𝑥𝑧 = −𝑦
𝑑𝑧
= 1 − 𝑦𝑙
𝑑𝑥
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑐𝑒𝑠
1−
𝑑𝑧
= 𝑦𝑙
𝑑𝑥
Como 𝑦 𝑙 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) remplazando se tiene
𝑑𝑧
= 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑧
= 𝑑𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑧
∫
𝑑𝑧
= ∫ 𝑑𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑧
∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑧 + 𝑡𝑔 𝑧 𝑠𝑒𝑐𝑧)𝑑𝑧 = 𝑥 + 𝑐
𝑡𝑔 𝑧 + 𝑠𝑒𝑐𝑧 = 𝑥 + 𝑐
𝑡𝑔 (𝑥 − 𝑦) + 𝑠𝑒𝑐(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 + 𝑐
Para 𝑦(0) = 0
𝑡𝑔 (0) + 𝑠𝑒𝑐(0) = 0 + 𝑐
𝑐=0
𝑡𝑔 (𝑥 − 𝑦) + 𝑠𝑒𝑐(𝑥 − 𝑦) = 𝑥
20. 𝒚𝒍 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄
𝒚(𝟏) = 𝟏
𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
𝑑𝑧
= 𝑎 + 𝑏𝑦 𝑙
𝑑𝑥
𝑦𝑙 =
1 𝑑𝑧
( − 𝑎)
𝑏 𝑑𝑥
Remplazamos en
𝑦 𝑙 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
1 𝑑𝑧
( − 𝑎) = 𝑧
𝑏 𝑑𝑥
𝑑𝑧
− 𝑎 = 𝑏𝑧
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑑𝑧
= 𝑑𝑥
𝑎 + 𝑏𝑧
Integrando
∫
𝑑𝑧
= ∫ 𝑑𝑥
𝑎 + 𝑏𝑧
1
ln(𝑎 + 𝑏𝑧) = 𝑥 + 𝑘
𝑏
ln(𝑎 + 𝑏𝑧) = 𝑏𝑥 + 𝑏𝑘
𝑎 + 𝑏𝑧 = 𝑐𝑒 𝑏𝑥
Para 𝒚(𝟏) = 𝟏 a=b=c=1
1 + 1𝑧 = 1𝑒 1𝑥
𝑥 = 5,4
𝑎 + 𝑏𝑧 = 𝑐𝑒 5.4𝑏
21. (𝒙 + 𝒚)𝟐 𝒚𝒍 = 𝒂𝟐
𝒚(𝟓) = 𝟕
sea
𝑧 =𝑥+𝑦
𝑑𝑧
= 1 + 𝑦𝑙
𝑑𝑥
Entonces
𝑦𝑙 =
𝑑𝑧
−1
𝑑𝑥
Remplazando en
(𝑥 + 𝑦)2 𝑦 𝑙 = 𝑎2
Entonces
Separando las variables
𝑧2 (
𝑑𝑧
− 1) = 𝑎2
𝑑𝑥
𝑧2
𝑑𝑧 = 𝑑𝑥
𝑎2 + 𝑧 2
Integramos
𝑧
𝑧 − 𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) = 𝑥 + 𝑘
𝑎
Simplificando
𝑧
𝑥 + 𝑦 = 𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑎 + 𝑐)
Para
𝑦(5) = 7 y a=1
1
5 + 7 = 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( + 𝑐)
1
𝑐 = 1,63
𝑧
𝑥 + 𝑦 = 𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( + 1.63)
𝑎
𝒚𝟐
22. (𝟏 − 𝒚)𝒆𝒚 𝒚𝒍 + 𝒙𝒍𝒏𝒙 = 𝟎
𝒚(𝟐) = −𝟏
𝑑𝑦
𝑦2
(1 − 𝑦)𝑒
+
=0
𝑑𝑥 𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑦
(1 − 𝑦)𝑒 𝑦
𝑑𝑦
𝑦2
=−
𝑑𝑥
𝑥𝑙𝑛𝑥
(1 − 𝑦)𝑒 𝑦
𝑑𝑥
∫
+∫
=𝑐
2
𝑦
𝑥𝑙𝑛𝑥
(1 − 𝑦)𝑒 𝑦
∫
𝑑𝑥 + ln(𝑙𝑛𝑥) = 𝑐
𝑦2
∫𝑑
𝑒𝑦
= ln(𝑙𝑛𝑥) = 𝑐
𝑦
De donde
−
𝑒𝑦
+ ln(𝑙𝑛𝑥) = 𝑐
𝑦
ln(𝑙𝑛𝑥) =
𝑒𝑦
+𝑐
𝑦
ln(𝑙𝑛2) =
𝑒 −1
+𝑐
−1
Para 𝒚(𝟐) = −𝟏
𝑐 = 0.0036
ln(𝑙𝑛𝑥) =
𝑒𝑦
+ 0.0036
𝑦
23. 𝒙𝒚𝟐 (𝒙𝒚𝒍 + 𝒚) = 𝒂𝟐
𝑦(1) = 1
Sea
𝑧 = 𝑥𝑦
𝑦=
𝑧
𝑥
𝑥𝑑𝑧
−𝑧
𝑦 𝑙 = 𝑑𝑥 2
𝑥
𝑐𝑜𝑚𝑜
𝑥𝑦 2 (𝑥𝑦 𝑙 + 𝑦) = 𝑎2
Remplazando se tiene
𝑧 2 𝑑𝑧
𝑧
[𝑥
− 𝑧 + ] = 𝑎2
𝑥
𝑑𝑥
𝑥
𝑧 2 𝑑𝑧 = 𝑎2 𝑥𝑑𝑥
𝑧 3 𝑎2 𝑥 2
=
+𝑐
3
2
Entonces
2𝑥 3 𝑦 3 = 3𝑎2 𝑥 2 + 𝑘
Para
𝑦(1) = 1
213 13 = 3𝑎2 12 + 𝑘
𝑘 = −1
2𝑥 3 𝑦 3 = 3𝑎2 𝑥 2 − 1
24. (𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟏)𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎
𝒚(𝟎) = 𝟎
sea
𝑧 = 𝑥𝑦
𝑦=
𝑑𝑦 =
𝑧
𝑥
𝑥𝑑𝑧 − 𝑧𝑑𝑥
𝑥2
(𝑥 2 𝑦 2 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥 2 𝑑𝑦 = 0
𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑥𝑑𝑧 − 𝑧𝑑𝑥
(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥 2 (
)=0
𝑥2
(𝑧 2 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑧 − 2𝑧𝑑𝑧 = 0
(𝑧 2 − 2𝑧 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑧 = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑧
+
=0
2𝑥 (𝑧 − 1)2
∫
𝑑𝑥
𝑑𝑧
+∫
=𝑐
2𝑥
(𝑧 − 1)2
1
1
𝑙𝑛𝑥 −
=𝑐
2
𝑥𝑦 − 1
Para 𝒚(𝟏) = 𝟎
1
1
𝑙𝑛1 −
=𝑐
2
0−1
𝑐=0
1
1
𝑙𝑛𝑥 −
=0
2
𝑥𝑦 − 1
25. (𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟐 )𝒚 + (𝒙𝒚 − 𝟏)𝟐 𝒙𝒚𝒍 = 𝟎
𝒚(𝟎) = 𝟏
Sea
𝑧 = 𝑥𝑦
𝑦=
𝑧
𝑥
𝑥𝑑𝑧
−𝑧
𝑦 𝑙 = 𝑑𝑥 2
𝑥
Remplazando
𝑥𝑑𝑧
−𝑧
𝑧
(1 + 𝑧 2 ) = (𝑧 − 1)2 𝑥 ( 𝑑𝑥 2 ) = 0
𝑥
𝑥
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠
(1 + 𝑧 2 )𝑧 = (𝑧 − 1)2 𝑥
𝑑𝑧
− (𝑧 − 1)2 = 0
𝑑𝑥
Entonces
(1 + 𝑧 2 )𝑧𝑑𝑧 + 2𝑧 2 𝑑𝑥 = 0
2𝑑𝑥 (1 + 𝑧 2 )
+
𝑑𝑧 = 0
𝑥
𝑧2
Integrando
∫
2𝑑𝑥
(1 + 𝑧 2 )
+∫
𝑑𝑧 = 0
𝑥
𝑧2
2𝑙𝑛𝑥 + 𝑧 − 2𝑙𝑛𝑧 −
−2𝑙𝑛𝑦 =
1
=𝑘
𝑧
1
− 𝑥𝑦 + 𝑘
𝑥𝑦
𝑙𝑛𝑐𝑦 2 = 𝑥𝑦 −
𝑐𝑦 2 = 𝑒
𝑥𝑦−
1
𝑥𝑦
1
𝑥𝑦
Para 𝑦(0) = 1
𝑐12 = 𝑒
0−
1
𝑥𝑦
𝑐=1
𝑦2 = 𝑒
𝑥𝑦−
1
𝑥𝑦
ECUACIONES DIFERENCIALES DE TIPO EXACTAS (EDE)
𝒅𝒚
1.- 𝒙 (2𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) +y (𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 ) 𝒅𝒙 = 0
𝑥 (2𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑥 +y (𝑥 2 + 2𝑦 2 ) 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑁
= 2xy
𝜕𝑥
𝑑𝑓
=2𝑥 3 + 𝑥𝑦 2
𝑑𝑥
= 2xy
= 2𝑦 3 + 𝑦𝑥 2
F(x, y) = ∫ 2𝑥 3 + 𝑥𝑦 2 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =
𝑥4
2
+
𝑦2𝑥2
2
+ 𝝓 (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
2
=
𝑦𝑥
+ 𝝓` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑦𝑥 2 + 𝝓` (y) = 2𝑦 3 + 𝑦𝑥 2
𝝓` (y) = 2𝑦
F(x, y) =
𝒙𝟒
𝟐
3
+
𝑦4
𝝓 (y) =
𝒚𝟐 𝒙𝟐
𝟐
+
𝒚𝟒
𝟐
=C
2
R.
2.- (2𝒙𝒚𝟐 - 3) 𝒅𝒙 + (𝟐𝒚𝒙𝟐 + 𝟒) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 4xy
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 4xy
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=2𝑥𝑦 2 – 3
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= 2𝑦𝑥 2 + 4
F(x, y) = ∫ 2 𝑥𝑦 2 − 3 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑥 2 𝑦 2 − 3𝑥 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
2
=
2𝑦𝑥
+ 𝝓` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
2𝑦𝑥 2 + 𝝓` (y)= 2𝑦𝑥 2 + 4
𝝓` (y) = 4
𝝓 (y) = 4𝑦
F(x, y) = 𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒𝐲 = 𝐂
R.
3.- (2𝒙 + y) 𝒅𝒙 + (𝒙 +𝟔𝒚) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=1
=2𝑥 + y
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=1
= 𝑥 + 6y
F(x, y) = ∫ 2 𝑥 + 𝑦 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + ϕ (y)
𝜕𝐹
= 𝑥 + 𝝓` (y)
𝜕𝑦
𝜕𝐹
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
2𝑦𝑥 2 + 𝝓` (y)= 2𝑦𝑥 2 + 4
𝝓` (y) = 6y
𝝓 (y) = 3𝑦 2
F(x, y) = 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝑪
R.
4.- (4y+2𝒙 -5) 𝒅𝒙 + (𝟔𝒚 + 𝟒𝒙 − 𝟏 ) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑁
=4
𝜕𝑥
= 4y +2𝑥 − 5
𝑑𝑓
=4
= 6y + 4x − 1
𝑑𝑦
F(x, y) = ∫ 2 𝑥 + 4𝑦 − 5 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 5x + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 4𝑥 + 𝝓` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
4𝑥 + 𝝓` (y) = 6y + 4x − 1
𝝓` (y) = 6y − 1
𝝓 (y) = 3𝑦 2 − 𝑦
F(x, y) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒚 − 𝟓𝐱 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒚 = 𝑪
R
5.- (𝒔𝒆𝒏𝒚 − 𝒚𝒔𝒆𝒏𝒙 )𝒅𝒙 + (𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒙𝒄𝒐𝒔𝒚 − 𝒚 ) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥
= 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦
F(x, y) = ∫ seny − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝝓 (y)
𝜕𝐹
= 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝜕𝐹
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + ϕ` (y) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦
𝝓 (y) = −
𝑦2
2
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝝓` (y) = −y
F(x, y) = 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒚 + 𝒚𝒄𝒐𝒔𝒙 −
𝒚𝟐
=𝑪
𝟐
R.
6.- (𝒆𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 + (𝟐 + 𝒙 + 𝒚𝒆𝒚 ) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑁
=1
𝜕𝑥
𝑑𝑓
= 𝑒𝑥 + 𝑦
=1
= 2 + 𝑥 + 𝑦𝑒 𝑦
𝑑𝑦
F(x, y) = ∫ 𝑒 𝑥 + 𝑦 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝝓 (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 𝑥 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑥 + ϕ` (y) = 2 + 𝑥 + 𝑦𝑒 𝑦
𝑒 𝑦 (y − 1)
𝝓` (y) = 2 + y 𝑒 𝑦
F(x, y) = 𝒆𝒙 + 𝒙𝒚 +𝟐𝒚 + 𝒆𝒚 (𝐲 − 𝟏) = 𝐂
7.- (𝟓𝒙 + 𝟒𝒚)𝒅𝒙 + (𝟒𝒙 − 𝟖𝒚𝟑 ) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑁
=4
𝜕𝑥
= 5𝑥 + 4𝑦
=4
𝑑𝑓
𝑑𝑦
F(x, y) = ∫ 5𝑥 + 4𝑦 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =
5𝑥 2
2
+4yx+ 𝝓 (y)
= 4𝑥 − 8𝑦 3
𝐑.
𝝓 (y) = 2𝑦 +
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 4𝑥 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
4𝑥 + ϕ` (y) = 4𝑥 − 8𝑦 3
𝝓` (y) = −8𝑦 3
F(x, y) =
𝟓𝒙𝟐
𝟐
𝝓 (y) =−2𝑦 4
+4yx−𝟐𝒚𝟒 = 𝐂
𝐑.
8.- (𝒙 + 𝒚)𝟐 𝒅𝒙 + (𝟐𝒙𝒚 + 𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒚 = 0
(𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 𝑥 2 − 1) 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2x + 2y
𝜕𝑁
= 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
𝑑𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦
= 2x + 2y
= 2𝑥𝑦 + 𝑥 2 − 1
F(x, y) = ∫ 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =
𝑥3
3
+ y𝑥 2 + 𝑥𝑦 2 + 𝝓 (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
2
=
𝑥
+ 2xy + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑥 2 + 2xy + ϕ` (y) = 2𝑥𝑦 + 𝑥 2 − 1
𝝓` (y) = −1
F(x, y) =
𝒙𝟑
𝟑
𝝓 (y) = −y
+ y𝒙𝟐 + 𝒙𝒚𝟐 −𝐲 = 𝐂
R.
9.- (𝟒𝐱𝐲 − 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝒅𝒙 + (𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒚 ) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=4
𝜕𝑁
𝜕𝑥
=4
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑑𝑓
= 4xy − 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
= 2𝑥 2 + 4𝑦
𝑑𝑦
F(x, y) = ∫ 4xy − 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =2𝑥 2 𝑦 − 𝑡𝑔 𝑥 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
2
=
2𝑥
y − tg x + ϕ` (y)
𝜕𝑦
2𝑥 2 + ϕ` (y) = 2𝑥 2 + 4𝑦
𝝓 (y) = 2𝑦 2
𝝓` (y) = 4𝑦
F(x, y) =𝟐𝒙𝟐 𝒚 − 𝒕𝒈 𝒙 + 𝟐𝒚𝟐 = 𝐂
𝐑.
10.- (𝒙𝟐 𝒚𝟑 )𝒅𝒙 + (𝒙𝟑 𝒚𝟐 ) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 3𝑥 2 𝑦 2
𝜕𝑁
= 𝑥 2𝑦 3
𝑑𝑓
𝜕𝑥
= 3𝑥 2 𝑦 2
𝑑𝑦
= 𝑥 3𝑦 2
F(x, y) = ∫ 𝑥 2 𝑦 3 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =
𝑥3𝑦3
3
+ ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
3 2
=
𝑥
𝑦 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑥 3 𝑦 2 + ϕ` (y) = 𝑥 3 𝑦 2
𝝓` (y) = 0
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝝓 (y) = 𝑘
F(x, y) =
𝒙𝟑 𝒚𝟑
𝟑
+ 𝒌=𝑪
𝑹.
11.- (𝟑𝒙𝟐 −𝟑𝒙𝒚𝟒 )𝒅𝒙 + (𝒚𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 𝒚𝟑 ) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑁
= −12𝑥𝑦 3
𝜕𝑥
𝑑𝑓
= 3𝑥 2 −3𝑥𝑦 4
F(x, y) = 𝑥 −
= 𝑦 2 − 6𝑥 2 𝑦 3
𝑑𝑦
F(x, y) = ∫ 3𝑥 2 −3𝑥𝑦 4
3
=−12𝑥𝑦 3
3𝑥 2 𝑦 4
2
dx + 𝝓 (y)
+ ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= −6𝑥 2 𝑦 3 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
−6𝑥 2 𝑦 3 + ϕ` (y) = 𝑦 2 − 6𝑥 2 𝑦 3
𝝓` (y) = 𝑦
2
F(x, y) = 𝒙𝟑 −
𝝓 (y) =
𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟒
𝟐
+
𝒚𝟑
𝟑
=𝐂
𝑦3
3
𝐑.
12.- (𝟐𝐱𝐲)𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝜕𝑁
= 2xy
𝑑𝑓
F(x, y) = ∫ 2xy
𝜕𝑥
𝑑𝑦
=2𝑥
= 𝑥2 − 1
dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑥 2 𝑦 + ϕ (y)
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝐹
2
=
𝑥
+ ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑥 2 + ϕ` (y) = 𝑥 2 − 1
𝝓` (y) = −1
𝝓 (y) =−𝑦
F(x, y) = 𝒙𝟐 𝒚 − 𝒚 = 𝑪
𝑹.
13.- (𝒙 + 𝒚𝟐 )𝒅𝒙 + (𝟐𝐱𝐲 + 𝐲)𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2𝑦
𝜕𝑁
= 𝑥 + 𝑦2
𝑑𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦
=2𝑦
= 2xy + y
F(x, y) = ∫ 𝑥 + 𝑦 2 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝑥𝑦 2 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 2y x + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
2xy + ϕ` (y)= 2xy + y
𝑦2
𝝓` (y) = 𝑦
F(x, y) =
𝒙𝟐
𝟐
𝝓 (y) = 2
𝟐
+ 𝒙𝒚 +
𝒚𝟐
𝟐
=𝑪
𝑹.
14.- (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒚) )𝒅𝒙 + ( 𝐜𝐨𝐬(𝐱 + 𝐲) )𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑁
= −𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)
𝜕𝑥
𝑑𝑓
= 1 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)
𝑑𝑦
=−𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)
= cos(x + y)
F(x, y) = ∫ 1 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =𝑥 + sen(𝑥 + 𝑦) + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= cos(x + y) + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
cos(x + y) + ϕ` (y)= cos(x + y)
𝝓` (y) = 0
𝝓 (y) =𝑘
F(x, y) =𝒙 + 𝐬𝐞𝐧(𝒙 + 𝒚) + 𝐤 = 𝑪
R.
15.- (𝟐𝐱𝐲 + 𝐲 + 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝐱 )𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 + 𝒙)𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 1
𝜕𝑁
= 2xy + y + 2cos x
𝑑𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦
=2𝑥 + 1
= 𝑥2 + 𝑥
F(x, y) = ∫ 2xy + y + 2cos x dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑦𝑥 2 + xy + 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
2
=
𝑥
+ x + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑥 2 + 𝑥 + ϕ` (y)= 𝑥 2 + 𝑥
𝝓` (y) = 0
𝝓 (y) =𝑘
F(x, y) = 𝒚𝒙𝟐 + 𝐱𝐲 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝛟 (𝐲) + 𝐤 = 𝑪
R.
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON VALOR INICIAL (EDE)
𝟐
1.- (𝒚 − 𝐱𝐲 )𝒅𝒙 + (𝟐𝒙𝒚 −
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝒔𝒆𝒏 𝒚) 𝒅𝒚 = 0
= 2𝑦 − 𝑥
𝜕𝑁
= 𝑦 2 − xy
𝑑𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦
=2𝑦 − 𝑥
= 2𝑥𝑦 −
𝑥2
2
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑦
F(x, y) = ∫ 𝑦 2 − xy dx + 𝝓 (y)
2
F(x, y) = 𝑦 𝑥 +
𝜕𝐹
= 2𝑦𝑥 −
𝜕𝑦
2𝑦𝑥 −
𝑥2
2
𝑥2
2
y𝑥 2
2
+ ϕ (y)
𝝓` (y) = 𝑠𝑒𝑛 𝑦
F(x, y) = 𝒚𝟐 𝒙 −
SEA: y (1)=1
𝜕𝐹
+ ϕ` (y)
+ ϕ` (y)= 2𝑥𝑦 −
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑥2
2
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝝓 (y) =−𝑐𝑜𝑠𝑦
𝐲𝒙𝟐
𝟐
− 𝒄𝒐𝒔𝒚 = 𝑪
; y (1)=1
R.
Calculamos C
C = 0.9
2.- (𝒙 + 𝒚𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝒅𝒙 + ( 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒚 )𝒅𝒚 = 0
;
y(2)=0.6
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= cos 𝑥
𝜕𝑁
= 𝑥 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦
= cos 𝑥
= 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦
F(x, y) = ∫ 𝑥 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =
𝑥2
2
+ 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑥 + ϕ` (y)=𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦
𝝓` (y) = 𝑦
F(x, y) =
𝒙𝟐
𝟐
𝝓 (y) =
+ 𝒚𝒔𝒆𝒏 𝒙 +
SEA: y (2)=0.6
𝒚𝟐
𝟐
=𝑪
𝑦2
2
R.
Calculamos C
C = 2.7
3.- (𝒔𝒆𝒏 (𝒙𝒚) + 𝒙𝒚𝒄𝒐𝒔 (𝒙𝒚))𝒅𝒙 + ( 𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒚))𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2 x cos( 𝑥𝑦) − 𝑦𝑥 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
𝜕𝑁
= 𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦) + 𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠 (𝑥𝑦)
𝑑𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦
=2 x cos( 𝑥𝑦) − 𝑦𝑥 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
= 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)
F(x, y) = ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦) + 𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠 (𝑥𝑦) dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦) + ϕ (y)
; y (1)=0.5
𝜕𝐹
𝜕𝐹
2
=
𝑥
𝑐𝑜𝑠 (𝑥𝑦) + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥𝑦) + ϕ` (y)= 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)
𝝓` (y) = 𝑦0
F(x, y) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦) = 𝑪
𝝓 (y) = 𝑘
R.
SEA: y (1)=0.5
Calculamos C
C = 0.4
4.- (𝒚𝒆𝒙 − 𝒚𝟐 ) 𝒅𝒙 + (𝒆𝒙 − 𝟐𝒙𝒚)𝒅𝒚 = 0
;
y (0.5)=1
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥 − 2𝑦
𝜕𝑁
=𝑦𝑒 𝑥 − 𝑦 2
𝑑𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦
=𝑒 𝑥 − 2𝑦
= 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑦
F(x, y) = ∫ 𝑦𝑒 𝑥 − 𝑦 2 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑦𝑒 𝑥 − 𝑥𝑦 2 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝑥
=
𝑒
− 2𝑥𝑦 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑦 + ϕ` (y)=𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑦
𝝓` (y) = 0
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝝓 (y) = 𝑘
F(x, y) = F(x, y) = 𝒚𝒆𝒙 − 𝒙𝒚𝟐 = 𝑪
R.
SEA: y (0.5)=1
Calculamos C
C = 1.1
5.- (𝒚𝒆−𝒙 − 𝒔𝒆𝒏 (𝒙)) 𝒅𝒙 + (−𝒆−𝒙 − 𝟐𝒚)𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑒 −𝑥
𝜕𝑁
=𝑦𝑒 −𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
𝑑𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦
=𝑒 −𝑥
= −𝑒 𝑥 − 2𝑦
F(x, y) = ∫ 𝑦𝑒 −𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =−𝑦𝑒 −𝑥 + cos 𝒙 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
−𝑥
=
−
𝑒
+ ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
− 𝑒 −𝑥 + ϕ` (y)=−𝑒 −𝑥 − 2𝑦
𝝓` (y) = −2𝑦
𝝓 (y) =− 𝑦 2
F(x, y) = −𝒚𝒆−𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝒚𝟐 = 𝑪
SEA: y (2)=1
Calculamos C
C = -1.5
R.
;
y (2)=1
6.- (𝒙√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚) 𝒅𝒙 + (𝐲√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒙)𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦
(𝒙𝟐 +𝒚𝟐 )1/2
𝜕𝑁
-1
𝜕𝑥
𝑑𝑓
=𝑥√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑦
;
y (0.2)=1
𝑥𝑦
=(𝒙𝟐 +𝒚𝟐)1/2 -1
= y√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥)
𝑑𝑦
F(x, y) = ∫ 𝑥√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑦 dx + 𝝓 (y)
(𝑥 2 +𝑦 2 )3/2
F(x, y) =
3
− 𝑦𝑥 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 𝑦(𝑥 2 + 𝑦 2 )1/2 − 𝑥 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
1
𝑦(𝑥 2 + 𝑦 2 )2 − 𝑥 + ϕ` (y) = y√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥
F(x, y) =
(𝒙𝟐 +𝒚𝟐 )𝟑/𝟐
𝟑
− 𝒚𝒙 = 𝑪
𝝓` (y) = 0
R.
SEA: y (0.2)=1
Calculamos C
C = 0.15
𝟐𝒚
− 𝒚𝟐 𝒆𝒙𝒚 + 𝟏) 𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 𝒆𝒚𝒙 + 𝟐𝐱𝐲𝒆𝒙𝒚 − 𝟐𝐲)𝒅𝒚 = 0
2𝑦
+ 2𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑦 . 𝑥 2 + 2𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑒 𝑥𝑦 2𝑥𝑦
7.- (𝟐𝒙𝒚𝒆𝒙
𝟐
𝟐
𝟐
y(0)=1
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2𝑥𝑒 𝑥
2
2
2
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= 2𝑥𝑒 𝑥
2𝑦
=2𝑥𝑦𝑒 𝑥
2
2
2
+ 2𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑦 . 𝑥 2 + 2𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑒 𝑥𝑦 2𝑥𝑦
2𝑦
2
− 𝑦 2 𝑒 𝑥𝑦 + 1
2
2
= 𝑥 2 𝑒 𝑦𝑥 + 2xy𝑒 𝑥𝑦 − 2y
F(x, y) = ∫ 2𝑥𝑦𝑒 𝑥
2𝑦
2
2
− 𝑦 2 𝑒 𝑥𝑦 + 1 dx + 𝝓 (y)
2
F(x, y) =𝑒 𝑥 𝑦 +𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥 + ϕ (y)
𝜕𝐹
2 𝑥
=
𝑥
𝑒
𝜕𝑦
𝑥 2𝑒 𝑥
−2𝑦
2𝑦
2𝑦
+ 2𝑥𝑦𝑒 𝑥
2𝑦
𝜕𝐹
+ ϕ` (y)
2
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
2
2
+ 2𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑦 + ϕ` (y) =𝑥 2 𝑒 𝑦𝑥 + 2xy𝑒 𝑥𝑦 − 2y
ϕ(y) = 𝑦 2
𝟐
𝟐
F(x, y) =𝒆𝒙 𝒚 +𝒆𝒙𝒚 + 𝒙 + 𝒚𝟐 = 𝑪
SEA: y (0)=1
𝑹.
Calculamos C
C=3
8.- (𝟐𝒙 + 𝟐𝒙𝒚𝟐 + 𝒚) 𝒅𝒙 + (𝟐𝒙𝟐 𝐲 + 𝐱)𝒅𝒚 = 0
y(1)=0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑁
= 4𝑦𝑥 + 1
=2𝑥 + 2𝑥𝑦 2 + 𝑦
𝜕𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= 2𝑥 2 y + x
F(x, y) = ∫ 2𝑥 + 2𝑥𝑦 2 + 𝑦 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 + ϕ (y)
=4xy+1
;
𝝓` (y) =
𝜕𝐹
𝜕𝐹
2
=
2𝑦𝑥
+ 𝑥 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
2𝑦𝑥 2 + 𝑥 + ϕ` (y)=2𝑦𝑥 2 + 𝑥
𝝓` (y) = 0
𝝓 (y) =𝑐
F(x, y) =𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝒙𝒚 = 𝑪
R.
SEA: y (1)=0
Calculamos C
C=1
9.- (𝟐𝒙 + 𝒚) 𝒅𝒙 + (𝟐𝐲 + 𝐱)𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
; y (0.5)=0.2
=1
𝜕𝑁
=2𝑥 + 𝑦
𝑑𝑓
𝜕𝑥
=1
𝑑𝑦
F(x, y) = ∫ 2𝑥 + 𝑦 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =𝑥 2 + 𝑥𝑦 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 𝑥 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑥 + ϕ` (y)=2𝑦 + 𝑥
𝝓` (y) = 2𝑦
𝝓 (y) =𝑦 2
F(x, y) =𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝑪
SEA: y (0.5)=0.2
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
R.
= 2y + x
Calculamos C
C = 0.4
10.- (𝒙−𝟏 𝒚 ) 𝒅𝒙 + (𝒍𝒏𝒙 + 𝟑𝒚𝟐 )𝒅𝒚 = 0
;
y (0.1)=0.7
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑁
= 𝑥 −1
=𝑥 −1
𝜕𝑥
𝑑𝑓
=𝑥 −1 𝑦
𝑑𝑦
= 𝑙𝑛𝑥 + 3𝑦 2
F(x, y) = ∫ 𝑥 −1 𝑦 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) =𝑦𝑙𝑛𝑥 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 𝑙𝑛𝑥 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑙𝑛𝑥 + ϕ` (y)=𝑙𝑛𝑥 + 3𝑦 2
𝝓` (y) = 3𝑦 2
𝝓 (y) =𝑦 3
F(x, y) =𝒚𝒍𝒏𝒙 + 𝒚𝟑 = 𝑪
R.
SEA: y (0.1)=0.7
Calculamos C
C = -1.2
𝟐
𝟐
11.- (−𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝒚𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙 + (𝒆𝒙 + 𝟐𝐲)𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑒 𝑥
𝜕𝑁
2
=−2𝑥 3 + 2𝑥𝑦𝑒 𝑥
𝜕𝑥
2
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= 2𝑥𝑒 𝑥
2
; y (0.6)=0.3
2
= 𝑒 𝑥 + 2y
F(x, y) = ∫ −2𝑥 3 + 2𝑥𝑦𝑒 𝑥
−𝑥 4
F(x, y) =
𝜕𝐹
2
2
dx + 𝝓 (y)
2
+ 𝑦𝑒 𝑥 + ϕ (y)
𝜕𝐹
2
= 𝑒 𝑥 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
2
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
2
𝑒 𝑥 + ϕ` (y)= 𝑒 𝑥 + 2𝑦
𝝓` (y) = 𝑦 2
F(x, y) =
−𝑥 4
2
𝝓 (y) =𝑦 2
2
+ 𝑦𝑒 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑪
R.
SEA: y (0.6)=0.3
Calculamos C
C = 0.45
12.- (2𝒙 + y) 𝒅𝒙 + (𝒙 +𝟔𝒚) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=1
=2𝑥 + y
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=1
= 𝑥 + 6y
F(x, y) = ∫ 2 𝑥 + 𝑦 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝐹
= 𝑥 + 𝝓` (y)
𝜕𝑦
=
𝑑𝑓
𝑑𝑦
2𝑦𝑥 2 + 𝝓` (y)= 2𝑦𝑥 2 + 4
𝝓` (y) = 6y
𝝓 (y) = 3𝑦 2
F(x, y) = 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝑪
SEA: y (0.3)=1
R.
; y (0.3)=1
Calculamos C
C = 3.4
12.- (2𝒙 -1) 𝒅𝒙 + (𝟑𝒚 + 𝟕) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑁
=0
𝜕𝑥
=0
𝑑𝑓
=2𝑥 − 1
; y (1)=4
= 3𝑦 + 7
𝑑𝑦
F(x, y) = ∫ 2 𝑥 − 1 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑥 2 − 𝑥 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 𝝓` (y)
𝜕𝑦
𝝓 (y) = 3𝑦 2 /2
𝝓` (y) = 3y + 7
𝟐
F(x, y) = 𝒙 − 𝒙 +
SEA: y (1)=4
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝟑𝒚𝟐
𝟐
+ 𝟕𝒚 = 𝑪
R.
Calculamos C
C = 52
13.- (4𝒙 -2) 𝒅𝒙 + (𝒚 + 𝟏𝟒) 𝒅𝒚 = 0 ; y (1)=2
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=0
=4𝑥 − 2
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=0
= 𝑦 + 14
F(x, y) = ∫ 4 𝑥 − 2dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 2𝑥 2 − 𝑥 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 𝝓` (y)
𝜕𝑦
𝑑𝑓
= 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝝓` (y) = y + 14
𝝓 (y) =
𝟐
F(x, y) = 𝟐𝒙 − 𝒙 +
SEA: y (1)=2
𝒚𝟐
𝟐
+ 𝟏𝟒𝒙 = 𝑪
𝑦2
2
+ 14𝑥
R.
Calculamos C
C = 17
14.- (2𝒙 +y) 𝒅𝒙 + (𝒙 − 𝟒𝒚) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑁
=1
𝜕𝑥
𝑑𝑓
=2𝑥 + 𝑦
𝑑𝑦
; y (3)=1
=1
= 𝑥 − 4y
F(x, y) = ∫ 2𝑥 + 𝑦dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + ϕ (y)
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝐹
= x+𝝓` (y)
𝜕𝑦
x+𝝓` (y) = x−4𝑦
𝑑𝑓
=
𝑑𝑦
𝝓` (y) = -4y
𝝓 (y) = −2𝑦 2
F(x, y) = 𝒙𝟐 + 𝒙𝐲 − 𝟐𝒚𝟐 = 𝑪
SEA: y (3)=1
R.
Calculamos C
C = 10
15.- (𝒆𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 + (𝟐 + 𝒙 + 𝒚𝒆𝒚 ) 𝒅𝒚 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=1
= 𝑒𝑥 + 𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑦
; y (2)=3
=1
= 2 + 𝑥 + 𝑦𝑒 𝑦
F(x, y) = ∫ 𝑒 𝑥 + 𝑦 dx + 𝝓 (y)
F(x, y) = 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝝓 (y)
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 𝑥 + ϕ` (y)
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝑥 + ϕ` (y) = 2 + 𝑥 + 𝑦𝑒 𝑦
=
𝑑𝑓
𝑑𝑦
𝝓` (y) = 2 + y 𝑒 𝑦
𝝓 (y) = 2𝑦 + 𝑒 𝑦 (y − 1)
F(x, y) = 𝒆𝒙 + 𝒙𝒚 +𝟐𝒚 + 𝒆𝒚 (𝐲 − 𝟏) = 𝐂
𝐑.
SEA: y (2)=3
Calculamos C
C = 59
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (EDL)
𝒅𝒚
1.- 𝒅𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟓
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= - 2
𝑒 −2𝑥
U(x)= 𝑒 −2𝑥
𝑑𝑦
−2𝑥
−2𝑥 2
−2𝑥
−
2𝑦
𝑒
=
𝑒
𝑥
+
𝑒
5
𝑑𝑥
∫ 𝑑( 𝑒 −2𝑥 . y) = ∫ 𝑒 −2𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑒 −2𝑥 dx
(𝑒
−2𝑥
𝒚=
2.-
−𝑥 2 𝑒 −2𝑥 𝑥𝑒 −2𝑥 𝑒 −2𝑥
. y) =
−
−
+𝐶
2
2
4
−𝒙𝟐
𝟐
𝒅𝒓
𝒅𝝓
𝒙
−𝟐−
𝟏
𝟐𝒙
+
𝑪𝒆
𝟒
R.
+ 𝒓. 𝐭𝐚𝐧 𝝓 = 𝐬𝐞𝐜 𝝓
P (𝜙)= tan 𝜙
U (𝜙) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝜙)𝑑𝜙
1
U (𝜙)= 𝑐𝑜𝑠𝜙 = sec 𝜙
∫ 𝑑 (sec 𝜙 . 𝑟) = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜙 𝑑𝜙
sec 𝜙 . 𝑟 = 𝑡𝑎𝑛𝜙 + 𝐶
𝒓=
𝒕𝒂𝒏𝝓
3.-
𝟏 𝒅𝒚
𝒔𝒆𝒄𝝓
–
𝑪
𝒔𝒆𝒄𝝓
𝑹.
𝟐𝒚
− 𝒙𝟐 = 𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒙 𝒅𝒙
𝑑𝑦 2𝑦
−
= 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
2
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= - 𝑥
U(x)= 𝑥 −2
𝑥 −2 𝑑𝑦 2𝑦𝑥 −2
−
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑 (𝑥 −2 y ) = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
𝒚 = 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪/𝒙𝟐
4.-
𝒅𝒚
𝑹.
𝒚
= 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟏
𝒅𝒙
𝑑𝑦 𝑦
− = 2𝑥 + 1
𝑑𝑥 𝑥
1
P(x)= - 𝑥
𝑥 −1
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑦
− 𝑥 −1 = 𝑥 −1 (2𝑥 + 1)
𝑑𝑥
𝑥
U(x)= 𝑥 −1
∫ 𝑑 (𝑥 −1 y ) = ∫ 2 + 𝑥 −1 𝑑𝑥
𝑥 −1 y = 2x + ln 𝑥 + 𝐶
𝐲 = 𝟐𝒙𝟐 + (𝐥𝐧 𝒙) 𝒙 + 𝒙𝑪
R.
𝒅𝒚
𝟐𝒙
−
𝟐𝒚
=
𝒆
𝒅𝒙
5.-
P(x)= - 2
𝑒 −2𝑥
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
U(x)= 𝑒 −2𝑥
𝑑𝑦
𝑦
− 𝑒 −2𝑥 = 1
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑 (𝑒 −2𝑥 . y ) = ∫ 𝑑𝑥
𝑒 −2𝑥 . y = x + C
𝐲 = 𝒙 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆𝟐𝒙 𝑪
6.- 𝐱
𝒅𝒚
−𝟑
−
𝟐𝒚
=
𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒚 𝟐𝒚
−
= 𝒙−𝟒
𝒅𝒙
𝒙
P(x)= - 2/x
𝑥
R.
−2
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑦
−2
−𝑥
= 𝑥 −6
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑 (𝑥 −2 . y ) = ∫ 𝑥 −6 𝑑𝑥
−5
𝑥
𝑥 −2 . y =
+C
−5
U(x)= 𝑥 −2
𝐲=
𝒙−𝟑
−𝟓
7.- 𝐱
+ 𝒙𝟐 𝑪
𝒅𝒚
+
𝒅𝒙
𝟑𝒚
𝒙
R.
= 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 + 𝟐𝒙𝟐
𝑑𝑦 3𝑦
+
= 𝑥 2 + 4 + 2𝑥
𝑑𝑥
𝑥
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= 3/x
𝑥3
U(x)= 𝑥 3
𝑑𝑦
𝑦
+ 𝑥 3 = 𝑥 6 + 4𝑥 3 + 2𝑥 5
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑 (𝑥 3 . y ) = ∫ 𝑥 6 + 4𝑥 3 + 2𝑥 5 𝑑𝑥
7
6
𝑥
𝑥
𝑥 −2 . y =
+ 𝑥4 + + C
7
3
𝐲=
𝒙𝟗
𝟕
𝟔
+𝒙 +
𝒙𝟖
𝟑
+ 𝒙𝟐 𝑪
R.
𝒅𝒚
8.- (𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙
𝑑𝑦
2𝑥𝑦
2𝑥
𝑥2
+
=
+
𝑑𝑥 (𝑥 2 + 1) (𝑥 2 + 1) (𝑥 2 + 1)
2𝑥
P(x)= -(𝑥 2 +1)
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
U(x)= 𝑥 2 + 1
∫ 𝑑(𝑥 2 + 1). y) = ∫ 𝑥 2 + 2𝑥 𝑑𝑥
𝑥3
(𝑥 + 1). y =
+ 𝑥2 + 𝐶
3
2
𝒙𝟑
𝒙𝟐
𝑪
𝐲 = 𝟑(𝒙𝟐 +𝟏) + (𝒙𝟐 +𝟏) + (𝒙𝟐 +𝟏)
9.- 𝐬𝐞𝐜 𝝓
𝒅𝒓
𝒅𝝓
R.
− 𝒓. 𝒄𝒔𝒄𝝓 = 𝐬𝐞𝐜 𝝓 𝒄𝒔𝒄𝝓
𝑑𝑟
−𝑐𝑜𝑡 𝜙. 𝑟 = 𝑐𝑠𝑐𝜙
𝑑𝜙
P (𝜙)= -cot 𝜙
U (𝜙) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝜙)𝑑𝜙
1
U (𝜙)=
= csc 𝜙
𝑠𝑒𝑛𝜙
∫ 𝑑 (csc 𝜙 . 𝑟) = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜙 𝑑𝜙
csc 𝜙 . 𝑟 = −𝑐𝑜𝑡𝜙 + 𝐶
𝒚=
−𝒄𝒐𝒕𝝓
𝒄𝒔𝒄𝝓
10.- 𝐱
𝒅𝒚
–
𝑪
𝒄𝒔𝒄𝝓
𝑹.
𝟔
𝒙
−
𝟒𝒚
=
𝒙
+
𝒆
𝒅𝒙
𝑑𝑦 4𝑦
𝑒𝑥
5
−
=𝑥 +
𝑑𝑥
𝑥
𝑥
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= 1/x
𝑥
U(x)= 𝑥
𝑑𝑦
𝑦
− 𝑥 = 𝑥6 + 𝑒𝑥
𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑑(𝑥. y) = ∫ 𝑥 6 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝒚=
𝒙𝟔
𝟕
11.- 𝟑
+
𝒆𝒙
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒄
+𝒙
R.
+ 𝟏𝟐𝒚 = 𝟒
𝑑𝑦
4
+ 4𝑦 =
𝑑𝑥
3
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= 4
𝑑𝑦
4𝑥 𝑑𝑥 − 16𝑥 = 16𝑥
∫ 𝑑(𝑥. y) = ∫ 16𝑥 𝑑𝑥
𝑥. 𝑦 = 8𝑥 2 + 𝐶
𝒄
𝒚 = 𝟖𝒙 + 𝒙
R.
U(x)= 4𝑥
12.- 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟏𝟎𝒚 = 𝟐
𝒅𝒚
+ 𝟓𝒚 = 𝟏
𝒅𝒙
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= 5
𝑒 5𝑥
U(x)= 𝑒 5𝑥
𝑑𝑦
− 𝑒 5𝑥 𝑦 = 𝑒 5𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑑(𝑒 5𝑥 . y) = ∫ 𝑒 5𝑥 𝑑𝑥
5𝑥
𝑒
𝑒 5𝑥 . y =
+𝐶
5
𝟏
𝒄
𝒚 = 𝟓 + 𝒆𝟓𝒙
R.
13.- 𝒙. 𝒅𝒚 = (𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝒚)𝒅𝒙
𝑑𝑦
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑦
+ = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥 𝑥
P(x)= 1/x
𝑥
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦
− 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑥
U(x)= 𝑥
∫ 𝑑(𝑥. 𝑦 ) = ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
1
𝑥. 𝑦 = 𝑥 ( −𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) +C
𝒚=
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙
𝒄
− 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒙
R
𝒅𝒚
14.- −𝟐𝒚 − 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑 = 𝟐𝒚
𝑑𝑦 2𝑦
3
+
=
𝑑𝑥
𝑥
−2𝑥
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
P(x)= 2/x
2
𝑑𝑦
2𝑦
3𝑥
𝑥2
−
=
𝑑𝑥
𝑥
−2𝑥
∫ 𝑑(𝑥 2 . 𝑦 ) = ∫
2
𝑥 .𝑦 =
𝒚=
𝟑
3𝑥 2
−4
𝒄
+ 𝒙𝟐
𝟒
+𝐶
R
3𝑥
𝑑𝑥
−2
U(x)= 𝑥 2
𝒅𝒚
15.- 𝟖𝒙𝟐 𝒅𝒙 + (𝟐 − 𝟒𝒙)𝒚 = 𝟐𝒙𝒆𝒙
𝑑𝑦 (2 − 4𝑥 )
𝑒𝑥
+
𝑦=
𝑑𝑥
8𝑥 2
4𝑥
P(x)=
−
−
(2−4𝑥)
8𝑥 2
1
−
1 ln 𝑥 4
4
U(x) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦
1 ln 𝑥
.
−−
𝑑𝑥
4
−
1
4
U(x)=−
2𝑦
1 ln 𝑥
.
=−
𝑥
4
−
1
4
1 ln 𝑥 −1/4
4
3𝑥 2
.
−2𝑥
1
−
1 ln 𝑥 4
4
𝑦=
.𝑦 =
+𝐶/−
+𝐶
1 ln 𝑥
1
−4
4
SOLUCIÓN DE ED HOMOGENEAS DE ORDEN 2, CUADRATICA CON VALORES
IMAGINARIOS
1. 𝟒𝒚” − 𝟖𝒚′ + 𝟓𝒚 = 𝟎
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 − 8𝑚 + 5 = 0
𝑚1 = 1 + 0.5𝑖
𝑚2 = 1 − 0.5𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (1+0.5𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (1−0.5𝑖)𝑥
𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑒 (0.5𝑖)𝑥 + 𝑒 (−0.5𝑖)𝑥 )
𝑒 (0.5𝑖)𝑥 = cos(0.5𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(0.5𝑥 )
𝑒 (−0.5𝑖)𝑥 = cos(0.5𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛(0.5𝑥 )
𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝐶1 cos(0.5𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(0.5𝑥 ) + C2cos(0.5𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛 (0.5𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = 𝒆𝒙 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟎. 𝟓𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟎. 𝟓𝒙)) 𝑹
2. 𝒚” − 𝟐𝒚´ + 𝟐𝒚 = 𝟎
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 − 2𝑚 + 2 = 0
𝑚1 = 1 + 𝑖
𝑚2 = 1 − 𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (1+𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (1−𝑖)𝑥
𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑒 (𝑖)𝑥 + 𝑒 (−𝑖)𝑥 )
𝑒 (𝑖)𝑥 = cos(𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 )
𝑒 (−𝑖)𝑥 = cos(𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 )
𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝐶1 cos(𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) + C2cos(𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = 𝒆𝒙 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)) 𝑹
3. - 𝒚” + 𝟐𝒚′ + 𝟓𝒚 = 𝟎
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 + 2𝑚 + 5 = 0
𝑚1 = −1 + 2𝑖
𝑚2 = −1 − 2𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (−1+2𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (−1−2𝑖)𝑥
𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑒 (2𝑖)𝑥 + 𝑒 (−2𝑖)𝑥 )
𝑒 (2𝑖)𝑥 = cos(2𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 )
𝑒 (−2𝑖)𝑥 = cos(2𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 )
𝑦 = 𝑒 −𝑥 (𝐶1 cos(2𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(2𝑥 ) + C2cos(2𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛(2𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = 𝒆−𝒙 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)) 𝑹
4. - 𝒚” + 𝟒𝒚′ + 𝟓𝒚 = 𝟎
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 + 4𝑚 + 5 = 0
𝑚1 = −2 + 𝑖
𝑚2 = −2 − 𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (−2+𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (−2−𝑖)𝑥
𝑦 = 𝑒 −2𝑥 (𝑒 (𝑖)𝑥 + 𝑒 (−𝑖)𝑥 )
𝑒 (𝑖)𝑥 = cos(𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 )
𝑒 (−𝑖)𝑥 = cos(𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 )
𝑦 = 𝑒 −2𝑥 (𝐶1 cos(𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) + C2cos(𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = 𝒆−𝟐𝒙 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)) 𝑹
5. - 𝒚” + 𝒚′ − 𝟐𝒚 = 𝟎
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 + 𝑚 − 2 = 0
1 3
𝑚1 = − + 𝑖
2 2
1 3
𝑚2 = − − 𝑖
2 2
𝑦 = 𝐶1𝑒
𝑦= 𝑒
𝑒
3
(2𝑖)𝑥
1 3
(−2+2𝑖)𝑥
1
−2 𝑥
3
(2𝑖)𝑥
(𝑒
+ 𝐶2𝑒
+𝑒
1 3
(−2−2𝑖)𝑥
3
(−2𝑖)𝑥
)
3
3
= cos ( 𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥)
2
2
𝑒
3
(−2𝑖)𝑥
3
3
= cos ( 𝑥) − 𝑖𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥)
2
2
1
3
3
3
3
𝑦 = 𝑒 −2𝑥 (𝐶1 cos ( 𝑥) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥) + C2cos ( 𝑥) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥))
2
2
2
2
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝟏
𝟑
𝟑
𝒚 = 𝒆−𝟐𝒙 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏 ( 𝒙)) 𝑹
𝟐
𝟐
6. - 𝒚” + 𝒚 = 𝟎
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 + 1 = 0
𝑚2 = −1
1
(−1)2
𝑚=
𝑚1 = 𝑖
𝑚2 = −𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (−𝑖)𝑥
𝑒 (𝑖)𝑥 = cos(𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 )
𝑒 (−𝑖)𝑥 = cos(𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 )
𝑦 = (𝐶1 cos(𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) + C2cos(𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)) 𝑹
7. - 𝒚” + 𝟗𝒚 = 𝟎
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 + 9 = 0
𝑚2 = −9
1
𝑚 = (−9)2
𝑚1 = 3𝑖
𝑚2 = −3𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (3𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (−3𝑖)𝑥
𝑒 (3𝑖)𝑥 = cos(3𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 )
𝑒 (−3𝑖)𝑥 = cos(3𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 )
𝑦 = (𝐶1 cos(3𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(3𝑥 ) + C2cos(3𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛(3𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) 𝑹
8. - 𝒚” − 𝟐𝒚′ + 𝟑𝒚 = 𝟎
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 − 2𝑚 + 3𝑚 = 0
(𝑚 − 1)^2 = −4
𝑚1 = 1 + 2𝑖
𝑚2 = 1 − 2𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (1+2𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (1−2𝑖)𝑥
𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑒 (2𝑖)𝑥 + 𝑒 (−2𝑖)𝑥 )
𝑒 (2𝑖)𝑥 = cos(2𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 )
𝑒 (−2𝑖)𝑥 = cos(2𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 )
𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝐶1 cos(2𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(2𝑥 ) + C2cos(2𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = 𝒆𝒙 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)) 𝑹
9. - 𝒚” + 𝟐𝟓𝒚 = 𝟎
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 + 25 = 0
𝑚2 = −25
1
(−25)2
𝑚=
𝑚1 = 5𝑖
𝑚2 = −5𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (5𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (−5𝑖)𝑥
𝑒 (5𝑖)𝑥 = cos(5𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 )
𝑒 (−5𝑖)𝑥 = cos(5𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 )
𝑦 = (𝐶1 cos(5𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(5𝑥 ) + C2cos(5𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛(5𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙)) 𝑹
10. - 𝒚” − 𝟒𝒚′ + 𝟖𝒚 = 𝟎
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 − 4𝑚 + 8 = 0
𝑚1 = −2 + 2𝑖
𝑚2 = −2 − 2𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (−2+2𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (−2−2𝑖)𝑥
𝑦 = 𝑒 −2𝑥 (𝑒 (2𝑖)𝑥 + 𝑒 (−2𝑖)𝑥 )
𝑒 (2𝑖)𝑥 = cos(2𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 )
𝑒 (−2𝑖)𝑥 = cos(2𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 )
𝑦 = 𝑒 −2𝑥 (𝐶1 cos(2𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(2𝑥 ) + C2cos(2𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = 𝒆−𝟐𝒙 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)) 𝑹
SOLUCIÓN DE ED HOMOGENEAS DE ORDEN 2, CUADRATICA CON VALORES
IGUALES (SEN Y COS)
1.- 𝒚” + 𝟐𝟓𝒚 = 𝑪𝑶𝑺(𝟓𝑿)
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 + 25 = 0
𝑚2 = −25
1
𝑚 = (−25)2
𝑚1 = 5𝑖
𝑚2 = −5𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (5𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (−5𝑖)𝑥
𝑒 (5𝑖)𝑥 = cos(5𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 )
𝑒 (−5𝑖)𝑥 = cos(5𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 )
𝑦 = (𝐶1 cos(5𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(5𝑥 ) + C2cos(5𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛(5𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙))
𝑓(𝑥 ) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(5𝑥 ) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(5𝑥 )
𝑓´(𝑥 ) = −5𝐴𝑠𝑒𝑛(5𝑥 ) + 𝐵5𝑐𝑜𝑠(5𝑥 )
𝑓"(𝑥) = −𝐴25𝑐𝑜𝑠(5𝑥 ) − 𝐵25𝑠𝑒𝑛(5𝑥 )
Remplazamos en la función original 𝑦” + 25𝑦 = 𝐶𝑂𝑆(5𝑋)
[−25𝐴𝑐𝑜𝑠(5𝑥 ) − 25𝐵𝑠𝑒𝑛(5𝑥 )]
+ 25[𝐴𝑐𝑜𝑠(5𝑥 ) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(5𝑥 )]
= cos(5𝑥 )
Respuesta total
𝒚 = 𝒙(𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙)) 𝑹
2.- 𝒚” + 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 + 1 = 0
𝑚2 = −1
𝑚1 = 𝑖
𝑚2 = −𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (−𝑖)𝑥
𝑒 (𝑖)𝑥 = cos(𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 )
𝑒 (−𝑖)𝑥 = cos(𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 )
𝑦 = (𝐶1 cos(𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) + C2cos(𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙))
𝑓 (𝑥 ) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) + 𝐵𝑐𝑜𝑠 (𝑥 )
𝑓´(𝑥 ) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) − 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝑥 )
𝑓"(𝑥) = −𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) − 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑥 )
Remplazamos en la función original 𝑦” + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos(𝑥)
[−𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) − 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) + 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑥 )] = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) − cos(𝑥)
Respuesta total
𝒚 = 𝒙(𝑨𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝑩𝒄𝒐𝒔(𝒙)) 𝑹
3.- 𝒚” + 𝟏𝟔𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙 + 𝜶)
𝑚 = 𝑦′
𝑚2 + 4 = 0
𝑚2 = −4
𝑚1 = 4𝑖
𝑚2 = −4𝑖
𝑦 = 𝐶1𝑒 (4𝑖)𝑥 + 𝐶2𝑒 (−4𝑖)𝑥
𝑒 (4𝑖)𝑥 = cos(4𝑥 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (4𝑥 )
𝑒 (−4𝑖)𝑥 = cos(4𝑥 ) − 𝑖𝑠𝑒𝑛 (4𝑥 )
𝑦 = (𝐶1 cos(4𝑥 ) + 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛(4𝑥 ) + C2cos(4𝑥 ) − 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛(4𝑥 ))
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝒚 = (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒙) + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙))
𝑓(𝑥 ) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(4𝑥 ) + 𝐵𝑐𝑜𝑠 (4𝑥 )
𝑓´(𝑥 ) = 4𝐴𝑐𝑜𝑠(4𝑥 ) − 4𝐵𝑠𝑒𝑛(4𝑥 )
𝑓"(𝑥) = −16𝐴𝑠𝑒𝑛(4𝑥 ) − 16 𝐵𝑐𝑜𝑠(4𝑥 )
Remplazamos en la función original 𝑦” + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 + 𝛼)
[−16𝐴𝑠𝑒𝑛(5𝑥 ) − 16 𝐵𝑐𝑜𝑠 (𝑥 ) + 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 + 𝛼 ]
Respuesta total
𝒚 = 𝒙(𝑨𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙) + 𝑩𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙)) 𝑹
OPERADORES DIFERENCIALES
 𝑺𝒆𝒂: 𝑳[𝒚] = 𝟐𝒚′′ − 𝟖𝒚′ + 𝒓𝒚
1. 𝑳[𝟐𝒙𝟐 ]=?
𝐿[𝑦] = 202 − 90 + 6
𝑦 = 2𝑥 2
𝑦′ = 4𝑥 𝑦′′ = 4
𝐿[𝑦] = 2(4) − 8(4𝑥) + 6(2𝑥2 )
𝐿[𝑦] = 8 − 32𝑥 + 12𝑥2
𝑳[𝟐𝒙𝟐 ] = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝟐𝒙 + 𝟖 [𝒚]
2. 𝑳[𝒙𝟑 ] =?
𝐿[𝑦] = 202 − 80 + 6 [𝑦]
𝑦 = 𝑥3
𝑦′ = 3𝑥 2 𝑦′′ = 6𝑥
𝐿[𝑦] = −12𝑥 − 24𝑥2 + 6𝑥3
𝑳[𝒙𝟑 ] = 𝟔𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙
3. 𝑳[𝒆𝟐𝒙 ]=?
𝐿[𝑦] = 202 − 90 + 6 [𝑦]
𝑦 = 𝑒 2𝑥
𝑦 = 2𝑒 2𝑥 𝑦 = 4𝑒 2𝑥
𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓:
𝐿[𝑦] = 2(4𝑒2𝑥 ) − 8(2𝑒2𝑥 ) + 6(𝑒2𝑥 )
𝐿[𝑦] = 8 𝑒2𝑥 − 16 𝑒2𝑥 + 6 𝑒2𝑥
𝐿[𝑦] = −2 𝑒2𝑥
𝑳[𝒆𝟐𝒙 ] = −𝟐 𝒆𝟐𝒙
4. 𝑳[𝑒4𝑥 ]=?
𝐿[𝑦] = 202 − 80 + 6
𝑦 = 𝑒 4𝑥
𝑦′ = 4𝑒 4𝑥 𝑦′′ = 16𝑒 4𝑥
𝐿[𝑦] = 2(16𝑒4𝑥 ) − 8(4𝑒4𝑥 ) + 6(𝑒4𝑥 )
𝐿[𝑦] = 32𝑒4𝑥 − 32𝑒4𝑥 + 6𝑒4𝑥
𝑳[𝟐𝒙𝟐 ] = 𝟔𝒆𝟒𝒙
 Dadas y1 (x)= 𝑒 2𝑥 ;y2 (x)= 𝑒 −𝑥 soluciones de la EDH
Y”−𝑦 ′ − 2𝑦 = 0 Hallar soluciones que satisfagan los valor, dadas
5. 𝑦(0) = −1
𝑦 ′ (0) = 4
𝑦(𝑥 ) = 𝑐1 𝑒2𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥
𝑐1 = 1
𝑦(0) = −1
𝑐2 = −2
𝑐1 + 𝑐2 = −1
𝑦 = 𝑒 2𝑥 − 2 𝑒 −𝑥
𝑦 ′ (𝑥) = 2𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑥
𝐲′(0)= 4
OPERADORES DIFERENCIALES COMO PRODUCTO
 Hallar el operador diferencial producto y evaluar en y=0,5
1. 𝒚′′ = −𝟖𝒚′ + 𝟒𝒚
𝐿[𝑦] = 𝐷2 − 8𝐷 + 4 [𝑦]
𝑆𝑒𝑎 𝐷2 − 8𝐷 + 4
𝐷1 -7,46
𝐷2 − 0,53
𝐷1 -7,46=0
𝐷2 − 0,53=0
𝑳[𝒚] = (𝑫𝟏 − 𝟕, 𝟒𝟔)(𝑫𝟐 − 𝟎, 𝟓𝟑)
2. 𝟒𝒚′′ − 𝟐𝒚′ − 𝟑𝒚
𝐿[𝑦] = (4𝐷2 − 2𝐷 − 3) [𝑦]
1
𝐷1 = 4 −
𝐷2 =
√13
4
1
𝐷1 − 4 +
1 √13
+
4
4
𝑳[𝒚] = (𝑫𝟏 −
𝐷2 −
𝟏
𝟒
+
√𝟏𝟑
𝟒
√13
4
=0
-7
1 √13
−
=0
4
4
)(𝑫𝟐 −
𝟏
𝟒
−
√𝟏𝟑
𝟒
) [y]
3. 𝒚′′ + 𝟏𝟎𝒚′ + 𝟒𝒚
𝐿[𝐷𝑦] = (𝐷2 − 10𝐷 + 4) [𝑦]
𝐷1 = −5 − √21
𝐷2 = √21 − 5
𝐷1 + 5 + √21 = 0
𝐷2 − √21 + 5 = 0
𝑳[𝒚] = (𝑫𝟏 + 𝟓 + √𝟐𝟏 )(𝑫𝟐 − √𝟐𝟏 + 𝟓 ) [y]
4. 𝟔𝒚′′ − 𝟐𝒚′ − 𝟒𝒚
𝐿[𝑦] = (6𝐷2 + 2𝐷 + 4) [𝑦]
𝑆𝑒𝑎 6𝐷2 + 2𝐷 + 4 = 0
1
𝐷1 = − 6 𝑖(√23 − 𝑖 )
1
𝐷2 = 𝑖(√23 − 𝑖)
6
1
𝐷1 + 6 𝑖(√23 − 𝑖) = 0
1
𝐷2 − 𝑖(√23 + 𝑖) = 0
6
-
1
1
𝐿[𝑦] = (𝐷1 + 6 𝑖(√23 − 𝑖))(𝐷2 − 6 𝑖(√23 + 𝑖)) [y]
DEMOSTRACIÓN DE OPERADORES DIFERENCIALES
1. 𝒚′ = 𝑫 𝒚′′ = 𝑫𝟐
𝐷2 + 60𝐷 + 4) [𝑦]
𝐷1 = −0,35
𝐷2 = −5,64
(𝐷1 + 0,35) (𝐷2 + 5,64) [𝑦] = (𝐷1 + 0,35) (𝐷2 + 5,64)
Son iguales por lo tanto cumple la igualdad
2. 𝒚′′ − 𝟕𝒚′ + 𝟒𝒚 = (𝑫𝟐 − 𝟕𝑫 + 𝟒)
𝐷1 = 𝑦′
[𝒚]
𝐷2 = 𝑦′′
(𝐷 2 − 7𝐷 + 4) [𝑦] = (𝐷2 − 7𝐷 + 4)[𝑦]
𝐷1 = −6,87
𝐷2 = 0,62
(𝐷1 − 6,87 ) (𝐷2 + 0,62 ) [𝑦] = (𝐷1 − 6,87 ) (𝐷2 + 0,62 ) [𝑦]
Si cumple la igualdad
3. Verificar que Y (t)= 𝑒 −3𝑡 cos 4𝑡 es solución de 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ + 25𝑦 = 0 y expresar
como operador diferencial producto
𝑦(𝑡) = 𝑒 −3𝑡 cos 4𝑡
𝑦 ′ (𝑡) = −3𝑒 −3𝑡 cos 4𝑡 − 4𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛 4𝑡
𝑦 ′′ (𝑡) = 24𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛 (4𝑡) − 7𝑒 −3𝑡 cos(4𝑡)
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
24𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛 (4𝑡) − 7𝑒 −3𝑡 cos(4𝑡) + 6(−3𝑒 −3𝑡 cos(4𝑡 (−4𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛 4𝑡))
25(𝑒 −3𝑡 cos 4𝑡) = 0
24𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛 (4𝑡) − 7𝑒 −3𝑡 cos(4𝑡) + 6(−3𝑒 −3𝑡 cos(4𝑡 (−4𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛 4𝑡))
25(𝑒 −3𝑡 cos 4𝑡) = 0
4. Verificar que y (t)= 𝑒 −4𝑡 . cos 5𝑡 es solución de 𝑦 ′′ + 8𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
𝑦(𝑡) = 𝑒 −4𝑡 + cos 5𝑡
𝑦 ′ (𝑡) = −4𝑒 −4𝑡 cos 5𝑡 − 5𝑒 −4𝑡 𝑠𝑒𝑛 5𝑡
𝑦 ′′ (𝑡) = 40𝑒 −4𝑡 sen 5𝑡 − 9𝑒 −4𝑡 𝑐𝑜𝑠 5𝑡
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑦 ′′ + 8𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
40𝑒 −4𝑡 sen 5𝑡 − 9𝑒 −4𝑡 𝑐𝑜𝑠 5𝑡
− 32𝑒 −4𝑡 cos 5𝑡 − 40𝑒 −4𝑡 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 + 25𝑒 −4𝑡 cos 5𝑡
𝑈 = 0 (𝑉)𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝐷
5. Verificar que y(t)= 𝑒 −5𝑡 es solución de 𝑦 ′′ + 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
𝑦 ′′ + 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
𝑦(𝑡) = 𝑒 −5𝑡
𝑦 ′ (𝑡) = −5𝑒 −5𝑡
𝑦 ′′ (𝑡) = 25 𝑒 −5𝑡
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑦 ′′ + 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
25 𝑒 −5𝑡 − 50𝑒 −5𝑡 + 25𝑒 −5𝑡 = 0
𝑈 = 0 [v] si es solución de la ED
Ecuaciones Diferenciales (Lineales) de
Orden Superior
2.2
2.2.1
Nociones fundamentales. Ecuaciones lineales de orden superior
Ecuaciones diferenciales de orden n
Definici´on 10 Una ecuaci´on diferencial de orden n es toda ecuaci´on que, expresada en forma impl´ıcita, es
del tipo
F (x, y(x), y (x), . . . , y(n)(x)) = 0
o bien, expresada en forma expl´ıcita,
y(n)(x) = f (x, y(x), y (x), . . . , y(n−1)(x))
La soluci´on general de estas ecuaciones es una familia de curvas cuya expresi´on anal´ıtica depende de n
constantes arbitrarias; escribi´endose y = y(x; C1, . . . , Cn) en forma expl´ıcita, o f (x, y; C1, . . . , Cn) = 0 en
forma impl´ıcita. Dichas constantes se determinan una vez dado un conjunto de condiciones iniciales
x0
,
y(x0) = y0
,
y (x0) = y0
,
...
,
(n−1)
Ecuaciones Diferenciales.
20
o bien el correspondiente problema de contorno.
El primer resultado fundamental es el que relaciona las ecuaciones diferenciales de orden superior con los
sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden:
Proposici´on 6 Toda ecuaci´on diferencial de orden n (expresada en forma normal)
y(n)(x) = f (x, y(x), y (x), . . . , y(n−1)(x))
es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden
dy
dx
dy1
dx
=
y1(x)
=
y2(x)
.
dyn−2
dx
=
yn−1(x)
dyn−1
dx
=
f (x, y1(x), . . . , yn−1(x))
(2.1)
donde y(x), y1(x), . . . , yn−1(x) son funciones desconocidas.
( Dem. )
Inmediata.
De este modo, resolver la ecuaci´on diferencial de orden n equivale a resolver el sistema anterior, esto es,
a buscar las n funciones y(x), y1(x), . . . , yn−1(x). Cada una de ellas contendr´a una constante arbitraria y el
total de ´estas se determinar´a a partir de las condiciones iniciales, que ahora se escribir´an
x0
,
,
y(x0) = y00
,
y1(x0) = y10
...
,
yn−1(x0) = yn0 −1
La cuesti´on que se plantea ahora es la de la existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales de orden superior en general. En virtud de la proposici´on precedente ello es equivalente a estudiar la
existencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden 1.
Teorema 5 (de existencia y unicidad local para sistemas de 1er orden): Consid´erese el sistema de ecuaciones
de primer orden
dy1
dx
dyn
dx
= f1(x, y1(x), . . . , yn(x))
.
= fn(x, y1(x), . . . , yn(x))
con las condiciones iniciales
x0
,
y1(x0) = y10
,
...
,
yn(x0) = yn0
y sea el rect´angulo
y(n−1)(x0) = y0
D = [x0 − a, x0 + a] × [y10 − b1, y10 + b1] × . . . × [yn0 − bn, yn0 + bn] ⊂ Rn+1
(con a, b1, . . . , bn > 0). Si se verifican las condiciones
1. fi(x; y1, . . . , yn) (i = 1, . . . , n) son funciones continuas en D.
1Aunque
los sistemas de ecuaciones ser´n objeto de estudio en el pr´ximo cap´ıtulo, adelantamos este resultado por razones
obvias.
..
..
a
o
Ecuaciones Diferenciales.
21
2. Cada una de estas funciones satisface la condici´on de Lipschitz; es decir, para todo par de puntos
(x, y10, . . . , yn0 ), (x, y11, . . . , yn1 ) ∈ D y ∀i existe una constante L > 0 tal que
n
|fi(x, y11, . . . , yn1 ) − fi(x, y10, . . . , yn0 )| ≤ L
|yj1 − yj0|
j=1
Entonces existe una u´nica soluci´on del problema, y1(x), . . . , yn(x), definida en un cierto intervalo (x0 −
δ, x0 + δ) (con 0 < δ ≤ a).
( Dem. )
Sigue los mismos pasos que la del teorema de Picard:
1. fi est´an acotadas en D (por ser D compacto), luego ∃Mi > 0 tales que |fi(x, y1, . . . , yn)| ≤ Mi, ∀i.
2. Se construyen las n sucesiones funcionales {yin(x)} (con n ∈ {0} ∪ N e i = 1, . . . , n), definidas como
yi0(x)
yi1(x)
= yi0
..
x
= yi0 +
fi(t, y10(t), . . . , yn0 (t))dt
x0
Se demuestra que lim {yin(x)} = yi(x) , funciones
l´ımite que est´an definidas en un intervalo (x0 −
.
yin+1(x)
= yi0 +
x
fi(t, y1n(t), . . . , ynn(t))dt
x0
n→∞
δ, x0 + δ) (δ depende de todas las constantes involucradas en el teorema).
3. Se prueba que yi(x) constituyen la soluci´on del sistema.
4. Se prueba que esa es la u´nica soluci´on del problema (usando la condici´on de Lipschitz).
Comentarios:
· An´alogamente al resultado para funciones de dos variables, se tiene ahora el siguiente:
Sea una funci´on f (x, y1, . . . , yn) y D ⊂ Rn+1 una regi´on compacta en su dominio. Si, ∀i (i = 1, . . . , n),
∂f
existen y son funciones continuas en D, entonces f satisface la condici´on de Lipschitz.
∂yi
· En el caso de las n − 1 primeras ecuaciones del sistema (2.1), los segundos miembros, fi(x, y1, . . . , yn),
son funciones continuas que tienen derivadas parciales continuas en D; por consiguiente para que se
verifiquen las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad en este caso, basta con que las cumplan
la funci´on f del segundo miembro de la u´ltima ecuaci´on.
· Los resultados sobre prolongaci´on de soluciones y de existencia y unicidad de soluci´on maximal se
establecen de manera an´aloga a como se estudi´o en el cap´ıtulo anterior para las ecuaciones de primer
orden.
· Tambi´en se pueden extender estos resultados a ecuaciones diferenciales de variable compleja y la funci´on
f anal´ıtica.
2.2.2
Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
Dentro del conjunto de las ecuaciones diferenciales de orden superior, prestaremos especial atenci´on a las
lineales.
Ecuaciones Diferenciales.
22
Definici´on 11 Una ecuaci´on diferencial lineal de orden n es una ecuaci´on de orden n que es una expresi´on
lineal de la funci´on y sus derivadas 2; por tanto, tiene la forma
fn(x)
d ny
n
dn−1y
+ fn−1(x)
n−1
+ . . . + f1(x)
dy
dx
+ f0(x)y + f (x) = 0
Se denomina ecuaci´on lineal homog´enea de orden n (asociada o no a una ecuaci´on lineal completa) a
toda ecuaci´on lineal en la que f (x) = 0; esto es,
fn(x)
dny
n
dn−1y
dxn−1
+ fn−1(x)
dy
dx
+ . . . + f1(x)
+ f0(x)y = 0
Si fn(x) = 0, ∀x ∈ [a, b], entonces la ecuaci´on se puede expresar en forma normal
dny
n
=−
fn−1(x) dn−1y
n−1
− ... −
f1(x) dy
fn(x) dx
−
f0(x)
fn(x)
y−
f (x)
fn(x)
=0
que habitualmente escribiremos
dny
dxn
dn−1y
dxn−1
+ Fn−1(x)
+ . . . + F1(x)
dy
dx
(2.2)
+ F0(x)y = F (x)
Los puntos en los que fn(x) = 0 se denominan puntos singulares de la ecuaci´on lineal.
Al igual que ya se hizo con la ecuaci´on lineal de primer orden, se puede traducir la ecuaci´on lineal al
lenguaje de operadores. As´ı, si se considera el espacio de las funciones en R infinitamente derivables, C∞(R),
se puede definir el operador de derivaci´on
D
:
C∞(R) −→
→
C∞(R)
y
y
y se puede escribir y = D0(y) ≡ I(y), y = D1(y), y = D2(y), . . . ,y(n) = Dn(y). A partir de aqu´ı, se
introduce el operador
L := Dn + Fn−1Dn−1 + . . . + F0I
del cual puede probarse con facilidad que es lineal, y que permite escribir la ecuaci´on (2.2) como
L(y) = F (x)
(con lo que el nombre dado queda justificado).
Se plantea ahora la cuesti´on de la de la existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales
lineales de orden superior. A´un cuando sigue vigente el teorema 5, en este caso concreto se puede precisar
algo m´as.
Teorema 6 (de existencia y unicidad para ecuaciones lineales): Consid´erese la ecuaci´on (2.2) con la
condici´on inicial
y(x0) = y0
, y (x0) = y1
, . . . , y(n−1)(x) = yn−1
y tal que las funciones F (x), F0(x), . . . , Fn−1(x) son continuas en un cierto intervalo I = (x0 − a, x0 + a)
(con 0 < a). Entonces existe una u´nica soluci´on y = y(x) definida en el intervalo I , que es derivable con
continuidad hasta el orden n.
( Dem. )
Expresando la ecuaci´on lineal en forma normal
d
n
y
n
dn−1y
dxn−1
= −Fn−1(x)
dy
+...−
dx
F1(x)
dx
2Obs´rvese
dx
que los coeficientes funcionales son funciones de x u´nicamente.
dx
dx
dx
e
−
F0(x
)y
+F
(x)
≡
G(x
, y,
y,.
..,
yn−
1)
fn(x) dx
Ecuaciones Diferenciales.
23
dado que las funciones Fi(x) (i = 0, 1, . . . , n − 1) son continuas por hip´otesis, tambi´en lo son G y
∂G
∂y(i)
, por lo que son aplicables los teoremas generales de existencia y unicidad, concluy´endose, pues, que el
problema de valor inicial dado tiene una u´nica soluci´on maximal y(t) definida en un cierto intervalo abierto.
Ahora se trata de comprobar que dicho intervalo es I .
Por simplicidad, se har´a la demostraci´on para el caso de la ecuaci´on lineal de primer orden. Se comienza
comprobando que, dado T > 0, la soluci´on est´a definida para todo x ∈ [x0, x0 + T ]. En efecto, a partir de
la expresi´on (1.8), que en este caso es
x
(−g(t)y(t) + f (t))dt
y(x) = y0 +
x0
se obtiene
x
x
|g(t)||y(t)|dt +
|y(x)| ≤ |y0| +
x0
|f (t)|dt
x0
por lo que, llamando φ(x) = |y(x)| y con L = maxI |g(x)|, M = maxI |f (x)|, se tiene
x
φ(x) ≤ |y0| + L
φ(t)dt + M (x − x0)
x0
y utilizando el lema de Gronwald,
φ(x) = |y(x)| ≤ |y0|eL(x−x0) +
M
L
eL(x−x0) − 1 = |y0|eLT +
M
L
eLT − 1
acotaci´on que prueba que la soluci´on maximal est´a definida en el intervalo [x0, x0 + T ] y como esto vale para
cualquier T , se ha demostrado que y(x) est´a definida para todo x ≥ x0 en I . De igual manera se probar´ıa que
lo est´a tambi´en para todo x ≤ x0 en I , luego se concluye que existe soluci´on maximal en I y, en particular,
en todo R, si I = R.
Comentario:
· Es importante resaltar que, si los coeficientes funcionales son continuos en todo R, entonces la existencia
de la soluci´on est´a garantizada tambi´en en todo R.
Sobre la resoluci´on de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se tiene el mismo resultado
que para las de primer orden:
Proposici´on 7 El conjunto de soluciones de la ecuaci´on (2.2) est´a dado por yP + yH , donde yP es una
soluci´on particular cualquiera de la ecuaci´on completa e yH es la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea
asociada.
( Dem. )
2.3
2.3.1
An´aloga a la de la proposici´on 2.
Estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n
Dependencia e independencia lineal de funciones. Wronskiano
Antes de tratar el estudio de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, es preciso
introducir algunos conceptos y resultados sobre dependencia e independencia lineal de funciones.
Definici´on 12 Dado un conjunto de funciones {y1(x), . . . , yn(x)} definidas en el mismo dominio D ⊆ R,
estas funciones son linealmente independientes en D sii se cumple que, ∀x ∈ D,
con α1, . . . , αn
α1y1(x) + . . . + αnyn(x) = 0
∈ R.
= Fi
⇐⇒
α1 = . . . = αn = 0
Ecuaciones Diferenciales.
24
Enunciaremos, a continuaci´on, algunas condiciones suficientes para garantizar la independencia lineal de
funciones.
Dado el conjunto de funciones {y1(x), . . . , yn(x)} en D, se observa, en primer lugar que, si se verifica que,
∀x ∈ D,
α1y1(x) + . . . + αnyn(x) = 0
para algunos α1, . . . , αn ∈ R, entonces tambi´en se cumplen las siguientes relaciones, ∀x ∈ D,
α1y1(x) + . . . + αnyn(x)
=
0
α1y1(x) + . . . + αnyn(x)
=
..
0
.
α1y1
(n−1)
=
(x) + . . . + αnyn(n−1)(x)
0
Definici´on 13 Sea un conjunto de funciones {y1(x), . . . , yn(x)} definidas en el mismo dominio D ⊆ R. La
matriz asociada al sistema (2.3)
..
..
y1(x)
. . . yn(x)
(x)
. . . yn
y1 y1(x) (x)
. . . yn(x)
.
(n−1)
.
(n−1)
se denomina matriz wronskiana del conjunto y su determinante en cada punto x ∈ D, que denotaremos por
W (x) = W (y1(x), . . . , yn(x)), recibe el nombre de wronskiano.
Con esta nomenclatura el primero de los resultados anunciados, que se obtiene como consecuencia directa
de lo expuesto, es el siguiente:
Proposici´on 8 Sea el conjunto de funciones {y1(x), . . . , yn(x)} en D. Si W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0 para
alg´un x ∈ D, entonces las funciones y1(x), . . . , yn(x) son linealmente independientes en D.
Equivalentemente, si y1(x), . . . , yn(x) son linealmente dependientes en D entonces W (y1(x), . . . , yn(x)) =
0, para todo x ∈ D.
( Dem. ) En efecto, si W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0 para alg´un x ∈ D, entonces la u´nica soluci´on posible del
sistema (2.3) en ese punto es que α1 = . . . = αn = 0 y, por tanto, en cualquier otro punto de D se tendr´a
que α1y1(x) + . . . + αnyn(x) = 0 con α1 = . . . = αn = 0, luego las funciones y1(x), . . . , yn(x) son linealmente
independientes en D.
El rec´ıproco de este enunciado no es cierto, en general (v´ease el ejemplo en el pr´oximo comentario), a
menos que se imponga alguna hip´otesis adicional, tal como enuncia el siguiente resultado que relaciona el
concepto de independencia lineal con las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homog´eneas.
Teorema 7 Sea el conjunto de funciones {y1(x), . . . , yn(x)} en un intervalo I ⊂ R. Si y1(x), . . . , yn(x)
son linealmente independientes en I y adem´as son soluciones de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea
L(y) = 0, cuyos coeficientes Fi(x) son funciones continuas, entonces W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0, ∀x ∈ I ,
( Dem. ) Sup´ongase que W (y1(x0), . . . , yn(x0)) = 0 para alg´un x0 ∈ I . Entonces, se pueden elegir las
constantes αi de manera que se satisfaga el sistema de ecuaciones (2.3) y tales que no todas ellas sean nulas
(ya que al ser el determinante del sistema nulo en alg´un punto, existen soluciones no triviales del mismo).
Para tales valores de las constantes, la combinaci´on lineal
y(x) = α1y1(x) + . . . + αnyn(x)
es soluci´on de la ecuaci´on lineal homog´enea dada (v´ease el teorema 8) y, en virtud de las ecuaciones (2.3),
satisface adem´as las condiciones iniciales
y(x0) = 0
,
y (x0) = 0
,...,
yn−1(x0) = 0
(2.3)
Ecuaciones Diferenciales.
25
Pero tambi´en estas condiciones iniciales son satisfechas por la soluci´on trivial y(x) = 0, luego, en virtud del
teorema de existencia y unicidad, ´esta es la u´nica soluci´on posible y, por tanto
y(x) = α1y1(x) + . . . + αnyn(x) = 0
por lo que y1(x), . . . , yn(x) han de ser linealmente dependientes, en contra de la hip´otesis.
Comentario:
· Si las funciones y1(x), . . . , yn(x) linealmente independientes no son soluciones de una ecuaci´on lineal
homog´enea, pueden tener el wronskiano nulo, no s´olo en algunos puntos, sino id´enticamente en todo I .
Ejemplo: En I = [0, 2] consid´erense las funciones
(x − 1)2
0
y1(x) =
si 0 ≤ x ≤ 1
si 1 ≤ x ≤ 2
;
y2(x) =
0
(x − 1)2
si 0 ≤ x ≤ 1
si 1 ≤ x ≤ 2
Evidentemente W (y1(x), y2(x)) = 0, ∀x ∈ I . Sin embargo, se trata de dos funciones linealmente
independientes, ya que la igualdad α1y1(x) + α2y2(x) = 0, considerada en el segmento 0 ≤ x < 1, da
como soluci´on α1 = 0; mientras que considerada en el segmento 1 < x ≤ 2, da como soluci´on α 2 = 0;
por consiguiente α1 = α2 = 0.
2.3.2
Soluci´on de la ecuaci´on lineal homog´enea
Una vez aclarados los puntos precedentes, se puede iniciar ya el estudio de las soluciones de las ecuaciones
diferenciales lineales de orden n.
En primer lugar se tiene:
Teorema 8 (Principio de superposici´on): Si y1(x), . . . , ym(x) son soluciones (particulares) de la ecuaci´on
lineal homog´enea L(y) = 0 en un dominio I ⊆ R, entonces cualquier combinaci´on lineal de ellas, y(x) =
m
ciyi(x) , es tambi´en soluci´on de dicha ecuaci´on.
i=1
( Dem. )
Es una consecuencia trivial de la linealidad del operador L.
Teniendo ´esto en cuenta, el siguiente paso es:
Teorema 9 Sea L(y) = 0 una ecuaci´on lineal homog´enea de orden n cuyos coeficientes F 0(x), . . . , Fn−1(x)
son funciones continuas en un intervalo I ⊂ R. Entonces, el conjunto de soluciones de dicha ecuaci´on (esto
es, ker L) es un espacio vectorial de dimensi´on n.
( Dem. ) Evidentemente el n´ucleo de un operador lineal es un espacio vectorial. Hay que comprobar que
su dimensi´on es n.
Sea x0 ∈ I . Consid´erense los siguientes..problemas de valores iniciales
L(y(x)) = 0
y(x0) = 1, y (x0) = 0, . . . , y(n−1)(x0) = 0
L(y(x)) = 0
y(x0) = 0, y (x0) = 1, . . . , y(n−1)(x0) = 0
.
L(y(x)) = 0
y(x0) = 0, y (x0) = 0, . . . , y(n−1)(x0) = 1
como se satisfacen las condiciones del teorema de existencia y unicidad, existe soluci´on u´nica para cada
uno de ellos. Sean y1(x), . . . , yn(x) ∈ C∞(I ) las soluciones respectivas, las cuales satisfacen obviamente que
W (y1(x0), . . . , yn(x0)) = 1 = 0, luego son linealmente independientes en I y, por tanto dim ker L ≥ n.
Ecuaciones Diferenciales.
26
Probemos, seguidamente, que {y1(x), . . . , yn(x)} es una base de ker L. Sea y ∈ ker L; esto es, tal que
n
L(y) = 0, y sup´ongase que y(x0) = λ1, y (x0) = λ2, . . . , y(n−1)(x0) = λn. La funci´on y(x) =
λiyi(x)
i=1
tambi´en es soluci´on de L(y) = 0 y satisface las condiciones iniciales dadas, luego por el teorema de existencia y
unicidad, es la soluci´on ∀x ∈ I . As´ı pues, {y1(x), . . . , yn(x)} es base de ker L y, por consiguiente, dim ker L =
n.
De este modo, hallar la soluci´on general de una ecuaci´on lineal homog´enea con coeficientes continuos pasa
por encontrar n soluciones particulares linealmente independientes. Ello da origen a la siguiente definici´on:
Definici´on 14 Se denomina sistema fundamental de soluciones de una ecuaci´on lineal homog´enea de orden
n (cuyos coeficientes sean funciones continuas en un intervalo I = [a, b] ⊂ R) a cualquier conjunto de n
soluciones particulares linealmente independientes.
El conocimiento de un conjunto de n soluciones linealmente independientes define de manera un´ıvoca la
ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de la cual ese conjunto es un sistema fundamental de soluciones, ya
que:
Teorema 10 Sean dos ecuaciones lineales homog´eneas con coeficientes continuos en un intervalo I ⊂ R
L1(y) ≡
L2(y) ≡
dny
n
dny
n
+ Fn−1(x)
+ Gn−1(x)
dn−1y
dxn−1
dn−1y
n−1
dy
dx
+ . . . + F1(x)
dy
dx
+ . . . + G1(x)
+ F0(x)y = 0
+ G0(x)y = 0
tales que tienen un mismo sistema fundamental de soluciones {y1(x), . . . , yn(x)}. Entonces Fi(x) = Gi(x),
∀x ∈ I (ambas ecuaciones son iguales).
( Dem. )
En efecto, si y1(x), . . . , yn(x) son soluciones de ambas ecuaciones tambi´en lo son de su diferencia
0 = L1(y) − L2(y) = (Fn−1(x) − Gn−1(x))
dn−1y
dxn−1
dy
dx
+ . . . + (F1(x) − G1(x))
+ (F0(x) − G0(x))y
y si Fn−1(x) = Gn−1(x) se tendr´ıa una ecuaci´on lineal homog´enea de orden n − 1 con n soluciones linealmente independientes, en contradicci´on con el teorema anterior, luego F n−1(x) = Gn−1(x). Iterando el
razonamiento se llega al mismo resultado para el resto de coeficientes.
El procedimiento para hallar la ecuaci´on lineal homog´enea definida por un sistema fundamental de
soluciones es como sigue:
Sea {y1(x), . . . , yn(x)} un conjunto que es sistema fundamental de soluciones de una ecuaci´on homog´enea
L(y) = 0 en I = [a, b] (por tanto son funciones derivables con continuidad hasta el orden que haga falta).
Necesariamente (teorema 7) W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0, ∀x ∈ I . Sea y(x) otra soluci´on cualquiera de la
ecuaci´on, entonces y1(x), . . . , yn(x), y(x) son linealmente dependientes en I y, por tanto, ∀x ∈ I ,
W (y1(x), . . . , yn(x), y(x)) =
y1(x)
...
yn(x)
y(x)
y1(x)
...
yn(x)
y (x)
.
=0
.
(n−1)
...
(n−1)
(n)
...
(n)
y
(n−1)
y(n)(x)
(obs´ervese que la u´ltima columna es una combinaci´on lineal de las anteriores). Desarrollando el determinante
por la u´ltima columna se obtiene, por tanto, una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea
fn(x)
dny
n
+ fn−1(x)
dn−1y
dy
dx
+ . . . + f1(x)
n−1
+ f0(x)y = 0
dx
dx
dx
..
y1
y1 (x)
dx
dx
..
(x)
yn
yn (x)
(x)
(x)
Ecuaciones Diferenciales.
27
donde fn(x) = W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0, ∀x ∈ I , y el resto de los coeficientes son los determinantes de las
submatrices de orden n que aparecen en el desarrollo del determinante. Por tanto, dividiendo por fn(x)
queda
dny
dn−1y
dy
+ Fn−1(x)
+ . . . + F1(x)
+ F0(x)y = 0
dxn
dxn−1
dx
que es una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea con coeficientes Fi(x) continuos, ya que son productos y
sumas de las funciones yi(x).
A partir de aqu´ı se obtiene el siguiente resultado:
Proposici´on 9 Sea {yp(x), y1(x), . . . , yn(x)} un conjunto de funciones tales que:
1. yp(x) es una soluci´on particular de una ecuaci´on lineal con coeficientes continuos, L(y) = F (x) en
I = [a, b].
2. {y1(x), . . . , yn(x)} es un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea L(y) = 0 en
I = [a, b].
Entonces dicho conjunto de funciones determina un´ıvocamente la ecuaci´on lineal completa L(y) = F (x)
( Dem. ) En efecto, el conjunto {y1(x), . . . , yn(x)} determina, de manera un´ıvoca, la ecuaci´on homog´enea
seg´un el procedimiento descrito; esto es, el operador L(y). Entonces F (x) se determina haciendo L(yp) =
F (x).
(V´ease un ejemplo de aplicaci´on en la colecci´on de problemas).
Comentario:
de la ecuaci´on homog´enea permite reducir el orden del problema en una unidad. Este procedimiento
· En las condiciones de aplicaci´on de los anteriores teoremas, el conocimiento de una soluci´on particular
´
se conoce con el nombre de m´etodo de D’Alembert, y se va a ilustrar con la ecuaci´on lineal homog´enea
de 2o orden
y + f1(x)y + f0(x)y = 0
Si yp(x) es una soluci´on particular, haciendo el cambio de variable y = zyp se tiene que y = zyp + z yp
y y = zyp + 2z yp + z yp, luego sustituyendo en la ecuaci´on
0
=
y + f1(x)y + f0(x)y = zyp + 2z yp + z yp + f1zyp + f1z yp + f0zyp
=
z(yp + f1yp + f0yp) + 2z yp + z yp + f1z yp = z yp + z (2yp + f1yp)
y esta es una ecuaci´on lineal homog´enea de primer orden para la funci´on u = z .
2.3.3
Soluci´on de la ecuaci´on lineal completa: m´etodo de variaci´on de constantes
Analicemos, ahora, el problema de hallar la soluci´on de la ecuaci´on lineal completa. El m´etodo que vamos
a presentar consiste en obtener dicha soluci´on a partir de n soluciones linealmente independientes conocidas
de la ecuaci´on lineal homog´enea asociada.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente, si se tiene una ecuaci´on lineal de orden n (con coeficientes
continuos), L(y) = F (x), y un sistema fundamental de soluciones {y1(x), . . . , yn(x)}, de la ecuaci´on lineal
homog´enea asociada L(y) = 0, la soluci´on general de esta u´ltima ecuaci´on es una combinaci´on lineal yH (x) =
n
ciyi(x) , por lo que para tener la soluci´on general de la ecuaci´on lineal completa basta con obtener una
i=1
soluci´on particular de la misma (proposici´on 7). Entonces:
Ecuaciones Diferenciales.
28
Proposici´on 10 Sea una ecuaci´on lineal de orden n (con coeficientes continuos), L(y) = F (x), y sea
{y1(x), . . . , yn(x)} un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea asociada L(y) = 0.
Entonces, una soluci´on particular de la ecuaci´on lineal completa es la combinaci´on lineal (con coeficientes
funcionales)
n
yP (x) =
Ci(x)yi(x)
i=1
donde las funciones Ci(x) son la soluci´on del sistema
y1(x)
...
yn(x)
0
C1(x)
.
.
(n−1)
(n−1)
.
F (x)
.
Cn(x)
(2.4)
( Dem. ) La demostraci´on se basa en la aplicaci´on del m´etodo de variaci´on de constantes o de Lagrange.
n
El m´etodo consiste en suponer que una soluci´on particular es yP (x) =
poniendo C(x) = (C1(x), . . . , Cn(x)) e Y(x) = (y1(x), . . . , yn(x)), se puede escribir en forma compacta como
(2.5)
yP (x) = C(x), Y(x)
teni´endose que
L(Y(x)) ≡ L(y1(x), . . . , yn(x)) = (0, . . . , 0) ≡ 0
Derivando la expresi´on (2.5) se obtiene
yP (x) = C (x), Y(x) + C(x), Y (x)
y, dado que buscamos una soluci´on particular, se pueden, en principio, elegir las funciones {Ci(x)} de
manera que C (x), Y(x) = 0. A partir de aqu´ı, derivando sucesivamente y tomando en cada paso
C (x), Y(i−1)(x) = 0 se obtiene
yP (x)
yP (x)
=
=
C (x), Y(x) + C(x), Y (x)
C (x), Y (x) + C(x), Y (x)
con
con
C (x), Y(x) = 0
C (x), Y (x) = 0
.
(n)
=
C (x), Y(n−1)(x) + C(x), Y(n)(x)
Sustituyendo ahora en la ecuaci´on diferencial lineal resulta
dnyP
L(yP (x)) ≡
n
=
+ Fn−1(x)
dn−1yP
n−1
+ . . . + F1(x)
dyP
+ F0(x)yP
dx
C(x), Y(n)(x) + C (x), Y(n−1)(x) + Fn−1(x) C(x), Y(n−1)(x) +
. . . + F1(x) C(x), Y (x) + F0(x) C(x), Y(x)
=
C(x), Y(n)(x) + Fn−1(x) C(x), Y(n−1)(x) + . . . + F0(x) C(x), Y(x) + C (x), Y(n−1)(x)
=
C(x), Y(n−1)(x) = F (x)
luego para que yP (x) =
n
satisfagan las siguientes condiciones
C (x), Y(x)
=
0
C (x), Y (x)
=
0
.
C (x), Y(n−1)(x)
=
F (x)
As´ı pues, el vector C(x) est´a completamente determinado como soluci´on del sistema (2.4)
≡
C (x), Y(x)
=
C1(x)y1(x) + . . . + Cn(x)yn(x)
.
.
(n−1)
C (x), Y(n−1)(x)
..
y1
(n−1)
..
(x)
0
. . . yn
..
(x)
= F (x)
..
(x)
i=1
Ci(x)yi(x); expresi´n que,o
..
yP (x)
dx
dx
i=1
Ci(x)yi(x) sea soluci´n de ola ecuaci´no lineal completa es suficiente con que se
..
..
≡ C1(x)y1
..
(x) + . . . + Cn(x)yn
Ecuaciones Diferenciales.
29
(que es compatible y determinado, ya que {y1(x), . . . , yn(x)} es un sistema fundamental de soluciones de la
ecuaci´on homog´enea y, por tanto, W (y1(x), . . . , yn(x)) = 0, ∀x ∈ I , luego existe soluci´on C (x) y de aqu´ı
C(x)).
(V´ease un ejemplo de aplicaci´on en la colecci´on de problemas).
Llegados a este punto est´a claro que lo u´nico que queda por hacer para tener la soluci´on general de una
ecuaci´on lineal de orden n es conocer un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea
asociada. Obtener tal sistema no es, en general, un problema elemental, salvo cuando los coeficientes son
constantes, tal como vamos a ver en la siguiente secci´on.
Para finalizar, es conveniente sen˜alar que tambi´en para las ecuaciones lineales completas se puede establecer un principio de superposici´on de soluciones, en el siguiente sentido:
Proposici´on 11 Sean L(y) = F1(x), . . . , L(y) = Fn(x) ecuaciones diferenciales lineales. Si y1(x), . . . , yn(x)
son soluciones respectivas de ellas, entonces y1(x) + . . . + yn(x) es soluci´on de la ecuaci´on lineal L(y) =
F1(x) + . . . + Fn(x)
( Dem. )
2.4
2.4.1
Trivial.
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
Ecuaciones lineales homog´eneas con coeficientes constantes
Comenzaremos el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales (de orden n) con coeficientes constantes con
el caso de las ecuaciones homog´eneas. Se trata, pues, de resolver la ecuaci´on del tipo
dx
dx
dny
n
+ an−1
dn−1y
n−1
+ . . . + a1
dy
dx
+ a0y = 0
con a0, . . . an−1 ∈ R. En forma abreviada, y como ya es costumbre, escribiremos L(y) = 0, donde en este
caso el operador lineal L es
L := Dn + an−1Dn−1 + . . . + a1D + a0I
Entonces se define:
Definici´on 15 La ecuaci´on
p(x) := xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0
se denomina ecuaci´on caracter´ıstica y el polinomio p(x) es el polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on diferteorema de Algebra lineal:
encial lineal homog´enea dada.
Y para hallar un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on diferencial lineal se utiliza el siguiente
´
Teorema 11 (de la 1a descomposici´on): Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo K y F : E → E
un endomorfismo. Sea p(x) ∈ K (X ) un polinomio y p(x) = p1(x) . . . pr (x) una descomposici´on tal que
m.c.d. (pi(x), pj (x)) = 1, ∀i, j . Entonces
Ker p(F ) := Ker p1(F ) ⊕ . . . ⊕ Ker pr (F )
donde los subespacios Ker pi(F ) son invariantes por F .
Ecuaciones Diferenciales.
30
En el caso que nos ocupa E = C∞(R), K = R, F = D y p(x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 es un
polinomio que anula D en Ker L; es decir, p(D)(y) = 0, ∀y ∈ Ker L; o lo que es lo mismo, p(D)(y) = L(y).
Entonces hay que distinguir los siguientes casos:
p(x) tiene n ra´ıces reales simples
En este caso resulta:
Proposici´on 12 Si la ecuaci´on caracter´ıstica de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de orden n tiene
n ra´ıces reales distintas λ1, . . . , λn ∈ R, entonces
{eλ1x, . . . , eλnx}
es un sistema fundamental de soluciones de dicha ecuaci´on y, por tanto, la soluci´on general de la ecuaci´on
es
n
y(x) =
cieλix
i=1
( Dem. )
En primer lugar se tiene la descomposici´on
p(x) = (x − λ1) . . . (x − λn)
luego, aplicando el teorema de la 1a descomposici´on,
Ker L = Ker p(D) = Ker (D − λ1I) ⊕ . . . ⊕ Ker (D − λnI)
y ahora hay que calcular Ker (D − λiI); esto es, hallar y ∈ C∞(R) tal que solucione la ecuaci´on
(D − λiI)y = y − λiy = 0
que es de variables separadas y tiene como soluci´on
y(x) = C1eλix
Por consiguiente
⇔
Ker (D − λiI) = {eλix}
Ker L = Ker p(D) = {eλ1x, . . . , eλnx}
luego ese conjunto es un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea y la proposici´on queda
probada.
(Obs´ervese que, efectivamente, se trata de un conjunto de funciones linealmente independientes, ya que,
como puede comprobarse f´acilmente, W (eλ1x, . . . , eλnx) = 0. P. ej., el wronskiano en x = 0 es
u
W (0) = ((λ2 − λ1)(λ3 − λ2) . . . (λn − λn−1))((λ3 − λ2) . . . (λn − λn−1)) . . . (λn − λn−1) = 0
y recibe el nombre de determinante de Vandermonde).
p(x) tiene ra´ıces reales m´ ltiples
En este caso se tiene:
Proposici´on 13 Si la ecuaci´on caracter´ıstica de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de orden n tiene
m ra´ıces reales λ1, . . . , λm ∈ R (1 ≤ m < n) con multiplicidades µ1, . . . , µm respectivamente (µ1 + . . . + µm =
n); entonces
{eλ1x, xeλ1x, . . . , xµ1−1eλ1x; . . . ; eλmx, xeλmx, . . . , xµm−1eλmx}
es un sistema fundamental de soluciones de dicha ecuaci´on y, por tanto, la soluci´on general de la ecuaci´on
es
m
y(x) =
(c1i eλix + c2i xeλix + . . . + cµi i−1xµi−1eλix)
i=1
Ecuaciones Diferenciales.
( Dem. )
31
Se procede como en el caso anterior. En primer lugar se tiene la descomposici´on
p(x) = (x − λ1)µ1 . . . (x − λm)µm
luego, aplicando el teorema de la 1a descomposici´on,
Ker L = Ker p(D) = Ker (D − λ1I)µ1 ⊕ . . . ⊕ Ker (D − λmI)µm
y ahora hay que calcular Ker (D − λiI)µi ; esto es, como dim (Ker (D − λiI)µi ) = µi, se trata de hallar µi
funciones yj (x) ∈ Ker (D − λiI)µi linealmente independientes. Unos simples (aunque largos y tediosos)
ejercicios de c´alculo permiten comprobar que las funciones
y1i (x) = eλix, y2i (x) = xeλix, . . . , yµi (x) = xµi−1eλix
1. Son elementos de Ker (D − λiI)µi .
2. Son linealmente independientes (ya que W (y1i (x), . . . , yµi (x)) = 0); luego forman una base de Ker (D −
λiI)µi .
Con lo cual queda probada la proposici´on.
p(x) tiene n ra´ıces complejas simples
En primer lugar debe observarse que, puesto que la ecuaci´on caracter´ıstica es de coeficientes reales, si
tiene una raiz compleja λ = a + bi ∈ C (a, b ∈ R), tambi´en lo es su conjugada λ¯ = a − bi. Entonces:
Proposici´on 14 Si la ecuaci´on caracter´ıstica de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de orden n tiene
alguna ra´ız compleja λj = aj +bj i ∈ C, tambi´en tiene su conjugada λ¯j = aj −bi ∈ C (con aj , bj ∈ R); entonces
Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ¯j I) = {eaj x cos bj x, eaj x sin bj x}
( Dem. )
Es igual que en los casos anteriores. En primer lugar se tiene la descomposici´on
p(x) = (x − λ1) . . . (x − λj )(x − λ¯j ) . . . (x − λm)
luego, aplicando el teorema de la 1a descomposici´on,
Ker L = Ker p(D) = Ker (D − λ1I) ⊕ . . . ⊕ ⊕ Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ¯j I) ⊕ . . . ⊕ Ker (D − λmI)
Keren(Del−caso
λ¯j I)de
= {e
}
Procediendo como
lasλj xra´ıces
reales simples se obtiene que
Ker (D − λj I) = {eλj x}
¯
=
{e(aj +bj i)x}
=
{eaj x(cos bj x + i sin bj x)}
=
{e(aj −bj i)x}
=
{eaj x(cos bj x − i sin bj x)}
Ahora se tiene que
Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ¯j I)
= K1eaj x(cos bj x + i sin bj x) + K2eaj x(cos bj x − i sin bj x)
=
(K1 + K2)eaj x cos bj x + i(K1 − K2)eaj x sin bj x
u
donde K1, K2 ∈ C son constantes arbitrarias. As´ı pues
Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ¯j I) = {eaj x cos bj x, eaj x sin bj x}
Finalmente queda por comprobar que las funciones halladas son linealmente independientes, para lo cual
basta con comprobar que W (eaj x cos bj x, eaj x sin bj x) = 0, para alg´un x.
p(x) tiene ra´ıces complejas m´ ltiples
N´otese, primero, que una raiz compleja y su conjugada tienen la misma multiplicidad. Entonces:
Proposici´on 15 Si la ecuaci´on caracter´ıstica de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de orden n
tiene alguna ra´ız compleja λj = aj + bj i ∈ C y su conjugada λ¯j = aj − bj i ∈ C (con aj , bj ∈ R), ambas con
multiplicidad µ; entonces
Ker (D − λj I)µ ⊕ Ker (D − λ¯j I)µ
= {ea1x cos b1x, xea1x cos b1x, . . . , xµ−1ea1x cos b1x;
ea1x sin b1x, xea1x sin b1x, . . . , xµ−1ea1x sin b1x}
( Dem. )
Es igual que en el caso de ra´ıces reales m´ultiples.
Ecuaciones Diferenciales.
2.4.2
32
Ecuaciones lineales completas con coeficientes constantes. M´etodo del
anulador
Pasemos a analizar el caso general de la ecuaci´on lineal completa con coeficientes constantes
dx
dny
n
+ an−1
dx
dn−1y
n−1
+ . . . + a1
dy
dx
+ a0y = F (x)
con a0, . . . an−1 ∈ R (y F (x) continua). En forma abreviada, L(y) = F (x).
Tal como ya se vio en la secci´on anterior, a partir de un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on
homog´enea asociada y aplicando el m´etodo de variaci´on de constantes, se puede encontrar una soluci´on
particular de esta ecuaci´on, con lo que se tendr´ıa su soluci´on general.
Sin embargo, cuando el t´ermino independiente F (x) tiene la propiedad de que se anula bajo la acci´on
de alg´un operador con coeficientes constantes, hay un m´etodo alternativo al de variaci´on de constantes que
permite obtener una soluci´on particular de la ecuaci´on lineal completa. Este procedimiento recibe el nombre
de m´etodo del anulador o tambi´en de la conjetura prudente.
Proposici´on 16 Sea L(y) = F (x) una ecuaci´on diferencial lineal con coeficientes constantes (y F (x) continua). Si K ≡ K (D) es un operador diferencial con coeficientes constantes que anula F (x), entonces una
soluci´on particular de la ecuaci´on se obtiene resolviendo la ecuaci´on lineal homogenea
(K ◦ L)(y) = 0
( Dem. )
Basta observar que si K (F (x)) = 0 entonces
K (F (x)) = K (L(y)) = (K ◦ L)(y) = 0
A continuaci´on se muestran los resultados del procedimiento para algunos casos t´ıpicos en los que el
t´ermino independiente F (x) tiene una forma particular.
Casos particulares:
1. F (x) = eαx(bpxp + . . . + b1x + b0).
Hay dos opciones:
(a) Si α no es raiz del polinomio caracter´ıstico entonces una soluci´on particular es de la forma
yP (x) = eαxP p(x)
donde P p(x) es un polinomio de grado p.
(b) Si α es raiz del polinomio caracter´ıstico y tiene multiplicidad µ entonces una soluci´on particular
es de la forma
yP (x) = xµeαxP p(x)
donde P p(x) es un polinomio de grado p.
2. F (x) = cos αx(bpxp + . . . + b1x + b0) ´o F (x) = sin αx(bpxp + . . . + b1x + b0).
Hay dos opciones:
(a) Si αi no es raiz del polinomio caracter´ıstico entonces una soluci´on particular es de la forma
yP (x) = cos αxP1p(x) + sin αxP2p(x)
donde P1p(x), P2p(x) son polinomios de grado p.
Ecuaciones Diferenciales.
33
(b) Si αi es raiz del polinomio caracter´ıstico y tiene multiplicidad µ entonces una soluci´on particular
es de la forma
yP (x) = xµ(cos αxP1p(x) + sin αxP2p(x))
donde P1p(x), P2p(x) son polinomios de grado p.
3. F (x) = eαx cos βx(bpxp + . . . + b1x + b0) ´o F (x) = eαx sin βx(bpxp + . . . + b1x + b0).
Hay dos opciones:
(a) Si α + β i no es raiz del polinomio caracter´ıstico entonces una soluci´on particular es de la forma
yP (x) = eαx(cos βxP1p(x) + sin βxP2p(x))
donde P1p(x), P2p(x) son polinomios de grado p.
(b) Si α+β i es raiz del polinomio caracter´ıstico y tiene multiplicidad µ entonces una soluci´on particular
es de la forma
yP (x) = xµeαx(cos βxP1p(x) + sin βxP2p(x))
donde P1p(x), P2p(x) son polinomios de grado p.
(V´eanse ejemplos de aplicaci´on en la colecci´on de problemas).
2.5
2.5.1
Casos particulares y aplicaciones
Caso particular: ecuaciones de Euler
Un caso particularmente interesante de ecuaci´on diferencial lineal son las denominadas ecuaciones de Euler,
que tienen la siguiente expresi´on general:
an(bx + c)n
dny
dxn
+ an−1(bx + c)n−1
dn−1y
dxn−1
+ . . . + a1(bx + c)
dy
dx
+ a0y = f (x)
con a0, . . . an, b, c ∈ R. En el caso en que f (x) = 0 se tienen las ecuaciones de Euler homog´eneas.
Estas ecuaciones se transforman en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes haciendo
el cambio de variable bx + c = et.
dx de Euler homog´eneas
dx
En el caso particular de ecuaciones
con b = 1, c = 0; esto es, las ecuaciones de la
forma
dn−1y
dny
dy
anxn
+ . . . + a 1x
+ a0y = 0
n + an−1xn−1
n−1
dx
se pueden probar directamente soluciones particulares del tipo y = xk . En efecto, pues, si con el cambio x = et se transformara en una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea con coeficientes constantes cuya
soluci´on particular fuese de la forma y = ekt, entonces una soluci´on como la propuesta, y = xk , conducir´ıa
directamente a y = xk = ekt.
2.5.2
Aplicaciones f´ısicas
El estudio anal´ıtico del comportamiento de muchos sistemas en F´ısica conduce a ecuaciones lineales.
Un ejemplo t´ıpico en Mec´anica son los osciladores arm´onicos:
1. El oscilador arm´onico simple: su ecuaci´on es
my + ky = 0
Ecuaciones Diferenciales.
34
2. El oscilador arm´onico amortiguado: su ecuaci´on es
my + βy + ky = 0
3. El oscilador arm´onico (amortiguado) forzado: su ecuaci´on es
my + βy + ky = F (t)
En todos los casos se trata de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. (Su resoluci´on ha sido tratada
en los cursos de F´ısica).
El estudio anal´ıtico del comportamiento de muchos sistemas el´ectricos conduce tambi´en a ecuaciones
lineales. Un ejemplo t´ıpico son los circuitos el´ectricos RCL, cuya ecuaci´on es:
LI + RI +
1
I=
C
dE
dt
que es, tambi´en, una ecuaci´on lineal con coeficientes constantes. (Su resoluci´on ha sido tratada en los cursos
de F´ısica).
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden
Definiciones fundamentales. Teorema de existencia y unicidad de soluciones
Definici´on 16 Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden que, expresado en forma impl´ıcita, es
F1(t, x1(t), . . . , xn(t), x1(t), . . . , xn(t))
=
0
.
Fn(t, x1(t), . . . , xn(t), x1(t), . . . , xn(t))
=
o bien, expresado en forma expl´ıcita 1,
dx1
dt
dxn
dt
= f1(t, x1(t), . . . , xn(t))
.
= fn(t, x1(t), . . . , xn(t))
1Que
es como se dar´an en adelante.
35
..
..
0
Ecuaciones Diferenciales.
36
Se denomina soluci´on del sistema a cualquier familia de funciones x1(t) . . . , xn(t) diferenciables en I ⊂ R
que satisfaga id´enticamente las ecuaciones del sistema
Es muy habitual utilizar la notaci´on vectorial: introduciendo los vectores
x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) ,
,
x (t) = (x1(t), . . . , xn(t))
f (t, x(t)) = (f1(t, x(t)), . . . , fn(t, x(t)))
el sistema se puede escribir en forma compacta como
x (t) = f (t, x(t))
Escrito de esta manera, un sistema de ecuaciones de primer orden tiene un aspecto an´alogo a las ecuaciones
de primer orden.
Esta analog´ıa no es meramente formal. En efecto; lo que interesa es hallar la soluci´on al problema de
valor inicial
dx1
dt
=.. f1(t, x1(t), . . . , xn(t))
.
dxn
dt
= fn(t, x1(t), . . . , xn(t))
x1(t0) = x01, . . . , xn(t0) = x0n
que, expresado en forma vectorial, es
x (t) = f (t, x(t))
;
x(t0) = x0
Entonces, el teorema de existencia y unicidad de soluciones (teorema 5) se establece en los mismos t´erminos
que para una s´ola ecuaci´on. Con esta notaci´on su enunciado ser´ıa:
Teorema 12 (de existencia y unicidad local para sistemas de 1er orden): Consid´erese el problema de valor
inicial (3.1) y sea un rect´angulo D ⊂ R × Rn con centro en (t0, x0). Si f1, . . . , fn son funciones continuas y
∂fi
(i, j = 1, . . . , n) sean funciones continuas en
lipschitzianas en D (para lo cual es suficiente con que fi,
∂xj
D), entonces existe una u´nica soluci´on del problema, x(t), definida en un cierto intervalo (t0 − δ, t0 + δ) ⊂ R
Comentario:
· A partir de aqu´ı los teoremas relativos a prolongaci´on de las soluciones se establecen tambi´en de manera
an´aloga al caso de una s´ola ecuaci´on.
La soluci´on x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) del problema de valor inicial determina en el espacio eucl´ıdeo R × Rn,
de coordenadas {t, x1, . . . , xn}, una curva diferencial que es la curva integral del sistema. Cuando se cumplen
las condiciones del teorema de existencia y unicidad, por cada punto de dicho espacio pasa una s´ola curva
integral del sistema, el conjunto de las cuales forma una familia de curvas dependiente de n par´ametros que
constituyen la soluci´on general del sistema.
3.2.2
Sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de orden
superior
Como ya se vio (proposici´on 6), toda ecuaci´on diferencial de orden n (expresada en forma normal)
x(n)(t) = f (t, x(t), x (t), . . . , x(n−1)(t))
(3.1)
Ecuaciones Diferenciales.
37
es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden
dx
dt
= x1(t)
.
dxn−2
dt
dxn
dt
= xn−1(t)
= f (t, x1(t), . . . , xn(t))
y, dado un conjunto de condiciones iniciales de la ecuaci´on lineal,
t0
,
x(t0) = x0
,
x (t0) = x10
,
...
,
x(n−1)(t0) = xn0 −1
se tienen como condiciones iniciales para el sistema
,
t0
x(t0) = x0
,
,
x1(t0) = x10
...
,
xn−1(t0) = xn0 −1
Este resultado se puede generalizar a sistemas como sigue:
Proposici´on 17 Todo sistema de n ecuaciones diferenciales de ´ordenes r1, . . . , rn (expresado en forma
normal)
(r )
=
(r −1)
(t); . . . , xn(t), . . . , x(nrn−1)(t))
(r −1)
(t); . . . , xn(t), . . . , xn(rn−1)(t))
.
x(nrn)(t)
=
es equivalente a un sistema de r1 + . . . + rn ecuaciones diferenciales de primer orden.
( Dem. ) Basta aplicar la proposici´on 6 y reducir cada ecuaci´on del sistema inicial a un subsistema de r i
ecuaciones de primer orden.
Tambi´en se puede plantear el problema rec´ıproco; es decir, si es posible , a partir de un sistema de n
ecuaciones de primer orden, obtener una ecuaci´on de orden n equivalente, cuya integraci´on permita resolver
el sistema. La respuesta es afirmativa (bajo ciertas condiciones) y el proceso constituye, adem´as, uno de los
m´etodos fundamentales de integraci´on de sistemas ecuaciones diferenciales.
El m´etodo, en l´ıneas generales ser´ıa el siguiente:
1. Se construye un sistema formado por las ecuaciones del sistema inicial y derivadas de ´estas.
2. Se excluyen (por sustituci´on) todas las funciones inc´ognita salvo una, que aparecer´a como la u´nica
inc´ognita de una ecuaci´on de orden superior.
3. Se integra esta u´ltima ecuaci´on (si es posible), determinando dicha funci´on inc´ognita.
4. Se determinan (en lo posible) las restantes funciones inc´ognita sin integrar, utilizando las ecuaciones
del sistema original y sus derivadas.
(V´eanse ejemplos de aplicaci´on en la colecci´on de problemas).
3.3
3.3.1
Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales
Conceptos generales
Definici´on 17 Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal es un sistema de n ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden, que, expresado en forma expl´ıcita, es
dx1
dt
= g11(t)x1(t) + . . . + g1n(t)xn(t) + f1(t)
..
x1 1 (t)
f1(t; x1(t), . . . , x1 1
..
fn(t; x1(t), . . . , x1 1
Ecuaciones Diferenciales.
38
.
dxn
dt
= gn1 (t)x1(t) + . . . + gnn(t)xn(t) + fn(t)
o en forma vectorial,
x (t) = A(t)x(t) + f (t)
o bien
x (t) − A(t)x(t) = f (t)
donde se han introducido las funciones vectoriales
,
x(t) = (x1(t), . . . , xn(t))
1
x (t) = (x1(t), . . . , xn(t))
,
f (t)) = (f1(t), . . . , fn(t))
. . . g1n(t)
.
g11(t)
.
... gn(t)
El sistema es un sistema lineal homog´eneo sii f (t) = 0.
Al igual que ya se hizo con las ecuaciones lineales, se puede traducir la ecuaci´on lineal al lenguaje de
operadores. As´ı, si se considera I ⊆ R, se puede definir el operador vectorial
L
:
C∞(I, Rn) −→
→
C∞(I, Rn)
x (t) − A(t)x(t)
x(t)
esto es,
L(x(t)) := x (t) − A(t)x(t)
del cual puede probarse con facilidad que es lineal y permite escribir la ecuaci´on (2.2) como
L(x(t)) = f (t)
(3.2)
L(x(t)) = 0
(3.3)
o en el caso homog´eneo
(con lo que el nombre dado queda justificado).
La cuesti´on de la de la existencia y unicidad de soluciones para estos sistemas tiene la siguiente respuesta:
Teorema 13 (de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones lineales): Consid´erese el sistema (3.2)
con la condici´on inicial x(t0) = (x01, . . . , x0n) ≡ x0 y tal que las funciones fi(t), gij (t) son continuas en un
cierto intervalo I = (x0 − a, x0 + a) (con 0 < a). Entonces existe una u´nica soluci´on x(t) definida en el
intervalo I , que es derivable con continuidad hasta el orden n.
(En particular, si los coeficientes funcionales son continuos en todo R, entonces la existencia y unicidad
de la soluci´on est´a garantizada tambi´en en todo R).
( Dem. ) Se basa en los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuaciones de
primer orden (teorema 12) y para ecuaciones diferenciales lineales (teorema 6).
3.3.2
Soluciones de los sistemas de primer orden lineales
Comenzaremos el estudio de las soluciones de los sistemas de primer orden lineales con el siguiente resultado:
Proposici´on 18 Sea el sistema de primer orden lineal (3.2) y x1(t) ∈ C∞(I, Rn) una soluci´on. Entonces
x2(t) ∈ C∞(I, Rn) es soluci´on del sistema si, y s´olo si, x2(t) − x1(t) ∈ Ker L; esto es, es soluci´on del sistema
lineal homog´eneo asociado L(x(t)) = 0.
..
g1 (t)
.
..
1
Ecuaciones Diferenciales.
( Dem. )
39
Si L(x1(t)) = f (t) y L(x2(t)) = f (t) entonces
L(x2(t) − x1(t)) = L(x2(t)) − L(x1(t)) = f (t) − f (t) = 0
Rec´ıprocamente, si x2(t) − x1(t) ∈ Ker L entonces
0 = L(x2(t) − x1(t)) = L(x2(t)) − L(x1(t))
f (t) = L(x2(t)) = L(x1(t))
⇒
Corolario 1 La soluci´on general del sistema de primer orden lineal (3.2) est´a dada por x(t) = xP (t)+Ker L
donde xP (t) es una soluci´on particular cualquiera del sistema y Ker L designa la soluci´on general del sistema
lineal homog´eneo asociado.
( Dem. )
Inmediata. (V´ease tambi´en la demostraci´on de la proposici´on 2).
Teniendo en cuenta que Ker L es un subespacio vectorial de C∞(I, Rn), es inmediato probar el siguiente
resultado:
Proposici´on 19 Sea el sistema de primer orden lineal homog´eneo (3.3). Entonces cualquier combinaci´on
lineal de soluciones del sistema es tambi´en soluci´on.
Y para finalizar este estudio preliminar se tiene:
Proposici´on 20 Sea el sistema de primer orden lineal homog´eneo (3.3). Sea la funci´on vectorial compleja
z(t) ∈ C∞(I, Cn), que se puede expresar como z(t) = u(t) + iv(t), donde u(t), v(t) ∈ C∞(I, Rn) (son
funciones vectoriales reales). Entonces z(t) es una soluci´on compleja del sistema si, y s´olo si, u(t), v(t) son
tambi´en soluciones (reales); es decir, las partes real e imaginaria de la soluci´on son soluciones por separado.
( Dem. )
Evidente ya que
0 = L(z(t)) = L(u(t) + iv(t)) = L(u(t)) + iL(v(t))
⇔
L(u(t)) = 0 , L(v(t)) = 0
puesto que u(t), v(t) son funciones vectoriales reales.
3.3.3
Dependencia e independencia lineal de soluciones
Se van a introducir, a continuaci´on, algunos conceptos y resultados sobre dependencia e independencia lineal
de soluciones de sistemas de primer orden lineales.
Definici´on 18 Dado un conjunto de funciones vectoriales {x1(t), . . . , xn(t)} ⊂ C∞(I, Rn), estas funciones
son linealmente independientes sii, ∀t ∈ I , se cumple que, si α1, . . . , αn ∈ R,
α1x1(t) + . . . + αnxn(t) = 0
⇐⇒
α1 = . . . = αn = 0
..
Como primer resultado se tiene:
Proposici´on 21 Sea el conjunto de funciones vectoriales de C∞(I, Rn)
x1(t)
=
(x11(t), . . . , x1n(t))
.
xn(t)
=
(xn1 (t), . . . , xnn(t))
Ecuaciones Diferenciales.
40
y el determinante
x11(t)
...
xn1 (t)
...
xnn(x)
.
x1n(t)
.
Si det (x1(t), . . . , xn(t)) = 0 para alg´un t ∈ I , entonces las funciones x1(t), . . . , xn(t) son linealmente independientes en I .
Equivalentemente, si x1(t), . . . , xn(t) son linealmente dependientes en I entonces det (x1(t), . . . , xn(t) =
0, ∀t ∈ I .
( Dem. ) Evidente, ya que el sistema α1x1(t) + . . . + αnxn(t) = 0 ha de tener soluci´on α1, . . . , αn no trivial
para todo t ∈ I .
El rec´ıproco de este enunciado no es cierto, en general, a menos que se imponga alguna hip´otesis adicional,
tal como se ver´a posteriormente.
Ejemplo:
· En R, consid´erense las funciones
x1(t) = (0, cos t)
x2(t) = (0, sin t)
;
se tiene que det (x1(t), x2(t)) = 0, ∀t ∈ R y, sin embargo, se trata de dos funciones linealmente
independientes, ya que
0
α1 cos t
α1x1(t) + α2x2(t) =
+
0
α2 sin t
=
0
α1 cos t + α2 sin t
y el resultado es nulo ∀t ∈ R si, y s´olo si, α1 = α2 = 0.
3.3.4
Soluci´on del sistema lineal homog´eneo. Matriz Fundamental
Teniendo en cuenta lo expuesto en los apartados precedentes, ahora se puede probar que:
Proposici´on 22 Para cualquier operador L (de orden n) con coeficientes continuos se tiene que
dim (Ker L) = n.
( Dem. )
iniciales
Sea {e1, . . . , en} una base de Rn y t0 ∈ R. Consid´erense los siguientes problemas de valores
L(x(t)) =
x(t0) =
0
e1
;
...
;
L(x(t)) =
x(t0) =
0
en
y sean x1(t), . . . , xn(t) ∈ C∞(I, Rn) las soluciones u´nicas respectivas. Entonces
det (x1(t0), . . . , xn(t0)) = det (e1, . . . , en) = 0
ya que e1, . . . , en son vectores constantes y linealmente independientes, luego tambi´en x1(t), . . . , xn(t) lo
son. S´olo queda probar que son tambi´en un sistema generador. Para ello consid´erese cualquier soluci´on x(t)
del sistema; ser´a
x(t0) = λ1e1 + . . . + λnen
lo que significa que x(t) es soluci´on del problema de valor inicial
L(x(t)) =
x(t0) =
0
λ1e1 + . . . + λnen
pero tambi´en λ1x1(t) + . . . + λnxn(t) es soluci´on de dicho problema, por tanto, como la soluci´on es u´nica,
se concluye que
x(t) = λ1x1(t) + . . . + λnxn(t)
det (x1(t), . . . , xn(t)) ≡ det
..
..
Ecuaciones Diferenciales.
41
luego {x1(t), . . . , xn(t)} es un sistema generador de dim (Ker L) y, por consiguiente, forman base, con lo
cual dim (Ker L) = n.
Como corolario inmediato de esta proposici´on se tiene:
Teorema 14 Sea el sistema de primer orden lineal homog´eneo con coeficientes continuos (3.3) y sean
x1(t), . . . , xn(t) ∈ C∞(I, Rn) soluciones linealmente independientes del mismo. Entonces la soluci´on general
es una combinaci´on lineal de ellas (con coeficientes constantes)
xH (t) = λ1x1(t) + . . . + λnxn(t)
Finalmente, se puede enunciar el resultado an´alogo al del teorema 7:
Teorema 15 Sea el conjunto de funciones vectoriales {x1(t), . . . , xn(t)} ⊂ C∞(I, Rn). Si x1(t), . . . , xn(t)
son linealmente independientes en I y adem´as son soluciones de un sistema lineal homog´eneo, L(x(t)) = 0,
con coeficientes continuos, entonces det (x1(t), . . . , xn(t)) = 0, ∀t ∈ I .
( Dem. ) Sup´ongase que ∃t0 ∈ I tal que det (x1(t0), . . . , xn(t0)) = 0, entonces existen λ1, . . . , λn ∈ R, no
todos nulos, tales que λ1x1(t0) + . . . + λnxn(t0) = 0 y, en consecuencia, x(t) = λ1x1(t) + . . . + λnxn(t) es
soluci´on del problema de valores iniciales
L(x(t)) = 0
x(t0) =
0
Pero x(t) = 0 es tambi´en soluci´on, y como ´esta ha de ser u´nica, hay que concluir que, ∀t ∈ I ,
λ1x1(t) + . . . + λnxn(t) = 0
con los λi no todos nulos; en consecuencia x1(t), . . . , xn(t) son linealmente dependientes, contra la
hip´otesis. La contradicci´on proviene de suponer que ∃t0 ∈ I tal que det (x1(t0), . . . , xn(t0)) = 0; luego
det (x1(t), . . . , xn(t)) = 0, ∀t ∈ I .
Teniendo presentes estos resultados, el siguiente concepto es el s´ımil para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homog´eneos de la noci´on de sistema fundamental de soluciones de una ecuaci´on lineal
homog´enea.
Definici´on 19 Una matriz fundamental de un sistema de n ecuaciones de primer orden lineal homog´eneo
con coeficientes constantes (3.3) es toda matriz de orden
x1(t) n cuyas columnas son soluciones linealmente independientes del sistema:
.
..
1
. . . xn1 (t)
.
x1n(t)
.
... xnn(x)
Las propiedades m´as relevantes de las matrices fundamentales (cuya demostraci´on es inmediata tras lo
expuesto en este apartado) son las siguientes:
Proposici´on 23 Sea V (t) una matriz fundamental de un sistema de primer orden lineal homog´eneo (3.3).
Entonces
1. det V (t) = 0, ∀t.
2. La soluci´on general de L(x(t)) = 0 es x(t) = V (t)c con c ∈ Rn.
3. Si M es cualquier matriz constante tal que det M = 0, entonces V (t)M es tambi´en una matriz fundamental.
Ecuaciones Diferenciales.
3.3.5
42
Soluci´on del sistema lineal completo. M´etodo de variaci´on de constantes
Analicemos, ahora, el problema de hallar la soluci´on general del sistema lineal completo. Como en el caso de
una ecuaci´on diferencial lineal completa, el m´etodo consiste en partir de una matriz fundamental del sistema;
es decir, de n soluciones linealmente independientes conocidas del sistema lineal homog´eneo asociado (esto
es, su soluci´on general), de modo que para tener la soluci´on general del sistema lineal completo basta con
obtener una soluci´on particular del mismo. Entonces:
Proposici´on 24 Sea un sistema lineal completo de n ecuaciones diferenciales de primer orden (con coeficientes continuos), L(x(t)) = f (t), y sea {x1(t), . . . , xn(t)} un sistema de soluciones linealmente independientes del sistema lineal homog´eneo asociado L(x(t)) = 0. Entonces, una soluci´on particular del sistema
lineal completo es la combinaci´on lineal (con coeficientes funcionales)
1
. . . xn1 (t)
n
xP (t) =
.
.
.
x1n(t)
i=1
C1(t)
Cn(t)
... xnn(x)
donde las funciones Ci(x) se obtienen a partir de la soluci´on del sistema V (t)C (t) = f (t); esto es,
1
.
x1n(t)
( Dem. )
. . . xn1 (t)
f1(t)
C1(x)
.
... xnn(t)
(3.4)
.
.
fn(t)
Cn(x)
La demostraci´on se basa nuevamente en la aplicaci´on del m´etodo de variaci´on de constantes o de
n
Lagrange. El m´etodo consiste en suponer que una soluci´on particular es xP (t) =
Ci(t)xi(t) . Derivando
i=1
esta expresi´on y sustituyendo en la expresi´on del sistema lineal completo resulta
n
L(xP (t)) = xP (t) − A(t)xP (t) =
n
Ci(t)xi (t) −
Ci (t)xi(t) +
i=1
n
i=1
Ci(t)A(t)xi(t) = f (t)
i=1
Pero L(xi(t)) = 0, ∀i, luego xi (t) = A(t)xi(t) y, por tanto, para que xP (t) =
de la ecuaci´on lineal completa es suficiente con que
n
i=1
Ci(t)xi(t) sea soluci´on
n
Ci (t)xi(t) = f (t)
-19L(xP (t)) =
i=1
expresi´on que, en forma expl´ıcita es el sistema (3.4), el cual es compatible y determinado, ya que
{x1(t), . . . , xn(t)} es un conjunto de soluciones linealmente independientes del sistema homog´eneo y, por
tanto, det (x1(t), . . . , xn(t)) = 0, ∀t ∈ I , luego existe soluci´on {Ci (t)} y de aqu´ı {Ci(t)}.
3.4
3.4.1
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
con coeficientes constantes
Ideas generales
Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal con coeficientes constantes es un sistema de n
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que, expresado en forma expl´ıcita, es
dx1
dt
= a11x1(t) + . . . + an1 xn(t) + f1(x)
.
dxn
dt
= a1nx1(t) + . . . + annxn(t) + fn(x)
x1(t)
.
Ci(t)xi
x1(t)
.
..
..
..
..
..
..
≡ V (t)C(t)
Ecuaciones Diferenciales.
43
con aij ∈ R (y fj ∈ C∞(R)). En forma vectorial se tiene
x (t) = Ax(t) + f (t)
donde la matriz de coeficientes es constante
o bien x (t) − Ax(t) = f (t)
a11
an1
...
..
a1n
(3.5)
...
an1
Tambi´en se puede traducir al lenguaje de operadores poniendo L(x(t)) := x (t) − Ax(t), con lo que el sistema
se expresa igual que en el caso general
L(x(t)) = f (t)
El sistema es un sistema lineal homog´eneo sii f (t) = 0; esto es,
L(x(t)) = 0
Los resultados expuestos para el caso general siguen siendo v´alidos, por supuesto. En concreto, la soluci´on
general de un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden lineal con coeficientes constantes est´a
dada por x(t) = xP (t)+Ker L donde xP (t) es una soluci´on particular cualquiera del sistema y Ker L designa
la soluci´on general del sistema lineal homog´eneo asociado. Como, adem´as, para el operador L del sistema
se tiene que dim (Ker L) = n, dicha soluci´on general ser´a del tipo
x(t) = xH (t) + xP (t) = λ1x1(t) + . . . + λnxn(t) + xP (t)
En general la forma m´as sencilla de integrar un sistema de esta ´ındole suele ser convertirlo en una s´ola
ecuaci´on de orden superior, que ser´a necesariamente lineal con coeficientes constantes; siguiendo el m´etodo
expuesto en el apartado 3.2.2. Sin embargo, existen m´etodos para calcular una matriz fundamental (esto es,
un sistema fundamental de soluciones) del sistema homog´eneo asociado a un sistema lineal con coeficientes
constantes. De aqu´ı se obtiene directamente la soluci´on general del sistema homog´eneo y, por aplicaci´on del
m´etodo de variaci´on de las constantes, una soluci´on particular del sistema completo. Estudiaremos dichos
m´etodos a continuaci´on.
3.4.2
Estudio del sistema homog´eneo (con matriz del sistema diagonalizable)
Se va a analizar el problema de hallar la soluci´on general de un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal
homog´eneo con coeficientes constantes
L(x(t)) ≡ x (t) − Ax(t) = 0
donde A es una matriz de constantes como (3.5).
Comenzaremos considerando el caso en que la matriz A del sistema es diagonalizable. Esta situaci´on
se presenta cuando todas las ra´ıces λ del polinomio caracter´ıstico de A tienen multiplicidad algebraica
(multiplicidad de la ra´ız) es igual a la dimensi´on del subespacio de vectores propios asociados a ese valor
propio; es decir, es igual a dim ker (A − λ Id).
El primer resultado es el siguiente:
Proposici´on 25 Sea el sistema lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.6) y sea v ≡ (v1, . . . , vn) ∈
Rn un vector propio de A de valor propio real λ ∈ R. Entonces
x(t) = eλtv = eλt(v1, . . . , vn) ∈ C∞(I, Rn)
es soluci´on (real) del sistema.
(3.6)
Ecuaciones Diferenciales.
( Dem. )
44
Basta con sustituir
L(eλtv) =
dt
e v − A(eλtv) = λeλtv − eλtAv = λeλtv − eλtλv = 0
Si el vector y el valor propio no son reales, el resultado se establece de forma similar.
Proposici´on 26 Sea el sistema lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.6) y sea v ≡ (v 1, . . . , vn) ∈
Cn un vector propio de A de valor propio λ = α + iβ ∈ C, (α, β ∈ R). Entonces
x(t) = eλtv = eλt(v1, . . . , vn) ∈ C∞(I, Cn)
es soluci´on (compleja) del sistema.
( Dem. )
Igual que en el caso anterior.
Dado que el sistema de ecuaciones diferenciales es de coeficientes y funciones reales, tambi´en sus soluciones
han de poder expresarse por medio de funciones reales; luego en este u´ltimo caso hay que ver como obtener
soluciones reales a partir de la soluci´on compleja hallada. Entonces:
Proposici´on 27 Sea el sistema lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.6) y sea v ≡ (v1, . . . , vn) ∈
Cn un vector propio de A de valor propio complejo λ = α + iβ ∈ C, (α, β ∈ R). Entonces v ≡ v1 + iv2, con
v1, v2 ∈ Rn, y
x1(t)
=
Re (x(t)) = eαt cos βt v1 − eαt sin βt v2 ∈ C∞(I, Rn)
x2(t)
=
Im (x(t)) = eαt sin βt v1 + eαt cos βt v2 ∈ C∞(I, Rn)
son soluciones (reales) linealmente independientes del sistema.
( Dem. )
La primera parte es una consecuencia del resultado anterior y de la proposici´on 20.
Veamos que son linealmente independientes.
Si λ = α + iβ es valor propio del vector propio v = v1 + iv2 (con v1, v2 ∈ Rn), tambi´en lo es su conjugada
λ¯ = α − iβ , del vector propio v¯ = v1 − iv2. En efecto, ya que
Av = λv
⇒
A¯v¯ = Av¯ = λ¯v¯
(pues A = A¯ por ser los coeficientes del sistema reales). Como λ = λ¯, entonces v y v¯ son vectores linealmente
independientes por ser vectores propios de autovalores diferentes, luego
0
=
det (v, v¯ ) = det (v1 + iv2, v1 − iv2) = det (v1, v1 − iv2) + det (iv2, v1 − iv2)
=
det (v1, v1) − i det (v1, v2) + i det (v2, v1) + det (v2, v2) = −2i det (v1, v2)
de donde det (v1, v2) = 0 y, por tanto, v1, v2 son linealmente independientes. Teniendo ´esto en cuenta
resulta
det (x1(t), x2(t))
=
det (eαt cos βt v1 − eαt sin βt v2, eαt sin βt v1 + eαt cos βt v2)
= e2αt cos βt sin βtdet (v1, v1) + e2αt cos2 βt det (v1, v2)
−e2αt sin2 βt det (v2, v1) − e2αt cos βt sin βt det (v2, v2)
= e2αtdet (v1, v2)(sin2 βt + cos2 βt) = e2αtdet (v1, v2) = 0
luego x1(t), x2(t) son linealmente independientes.
Teniendo todo ´esto en cuenta, para obtener la soluci´on general de un sistema de n ecuaciones diferenciales
lineal homog´eneo con coeficientes constantes har´a falta u´nicamente disponer de n vectores propios de A
linealmente independientes. Entonces:
d λt
Ecuaciones Diferenciales.
45
Teorema 16 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes
(3.6). Sea v1, . . . , vn una base de vectores (en Rn o en Cn) formada por vectores propios de A y λ1, . . . , λn
sus valores propios respectivos, (que pueden ser reales o complejos, distintos o repetidos). Entonces las
funciones
x1(t) = eλ1tv1, . . . , xn(t) = eλntvn
forman una base de ker L (quiz´as en C) y, por consiguiente, det (x1(t), . . . , xn(t)) = 0, ∀t.
( Dem. )
Se obtiene como consecuencia inmediata de los anteriores resultados.
Observaci´on:
· En el caso en que la base de la proposici´on anterior no sea real, es posible hallar una base de funciones
reales aplicando la proposici´on 27. En efecto, consid´erese el vector propio vi y su conjugado v¯ i, cuyos
real
e imaginaria
eλitv¯ i se obtienen dos funciones reales linealmente independientes entre si, pero
autovalores
son λde
i ∈ C y su conjugado λ¯i, respectivamente. Tomando la parte real e imaginaria de
eλitvi se obtienen dos funciones reales linealmente independientes, mientras que si se toman la parte
¯
linealmente dependientes de las dos anteriores (de este modo, el n´umero final de funciones soluci´on es
el mismo).
Concluyendo, la soluci´on general de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes se obtiene del siguiente modo:
1. Se calculan los valores y vectores propios de la matriz A del sistema.
2. Para cada vector propio vi se construye la funci´on xi(t) = eλitvi (y si es complejo, a partir de ´el o su
conjugado, las funciones reales xi1(t) = Re (xi(t)), xi2(t) = Im (xi(t))).
3. Si se tienen n vectores propios linealmente independientes (esto es, la matriz A es diagonalizable), se
construye la soluci´on general como una combinaci´on lineal (con coeficientes constantes) de las anteriores
funciones.
3.4.3
Estudio del sistema homog´eneo (con matriz del sistema no diagonalizable)
En el caso en que la matriz A de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes
constantes no sea diagonalizable, no va a ser posible hallar una base de Rn o Cn formada por vectores propios
de la misma y, por consiguiente, no es aplicable el teorema 16 para encontrar la soluci´on general del sistema.
Esta situaci´on se presenta cuando hay alguna ra´ız λ del polinomio caracter´ıstico de A cuya multiplicidad
algebraica (multiplicidad de la ra´ız) es mayor que la dimensi´on del subespacio de vectores propios asociados
a ese valor propio; es decir, mayor que dim ker (A − λ Id).
Para resolver este problema se intentar´a seguir un m´etodo an´alogo al caso de las ecuaciones diferenciales
de orden superior cuando hab´ıa alguna ra´ız del polinomio caracter´ıstico con multiplicidad mayor que 1. En
n−1
tal caso, se tratar´a de encontrar soluciones del tipo x(t) =
vitieλt .
i=0
En primer lugar se tiene:
Lema 4 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.6)
tal que el polinomio caracter´ıstico de A tiene una o varias ra´ıces λ de multiplicidad µ ≥ 1. Entonces
dim ker (A − λ Id)µ = µ.
( Dem. ) Por simplicidad, se demostrar´a para el caso en que el polinomio caracter´ıstico de A tiene una
s´ola ra´ız λ de multiplicidad µ = n. El polinomio caracter´ıstico de la matriz A, P (A) = (−1) n(x − λ)n, anula
dicha matriz (teorema de Cayley-Hamilton), luego (A − λ Id)n = 0 y de aqu´ı
dim ker (A − λ Id)n = n − rg (A − λ Id)n = n
Ecuaciones Diferenciales.
46
En el caso en que haya m´as de una ra´ız la demostraci´on se generaliza de manera inmediata.
Como ya se ha dicho, la situaci´on de partida es que no existe una base de Rn o Cn formada por vectores
propios, ya que dim ker (A − λ Id) < µ. Como
ker (A − λ Id) ⊆ ker (A − λ Id)2 ⊆ . . . ⊆ ker (A − λ Id)m ⊆ . . . ⊆ ker (A − λ Id)µ
resulta que las respectivas dimensiones de estos subespacios verifican las desigualdades
d1 < d2 < . . . < dm = dm+1 = . . . = dµ = µ
Entonces, el procedimiento se basa en hallar una base de ker (A − λ Id)µ, para lo cual se puede seguir el
siguiente procedimiento:
1. Hallar una base de ker (A − λ Id).
2. Completar la base hallada hasta obtener una de ker (A − λ Id)2.
3. Iterar el proceso hasta obtener una base de ker (A − λ Id)µ.
Entonces la obtenci´on de la soluci´on general se basa en el siguiente resultado:
Proposici´on 28 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes
(3.6). Sea λ una ra´ız del polinomio caracter´ıstico de la matriz del sistema A, de multiplicidad µ > 1, y sean
v1, . . . , vr vectores de una base de ker (A − λ Id)µ pero que no pertenecen a ker (A − λ Id)µ−1. Entonces, para
cada vector vj (j = 1, . . . , r), las funciones
xj1(t)
= eλt(A − λ Id)µ−1vj
xj2(t)
= eλt(t(A − λ Id)µ−1vj + (A − λ Id)µ−2vj )
t2
(A − λ Id)µ−1vj + t(A − λ Id)µ−2vj + (A − λ Id)µ−3vj
2!
xj3(t) = eλt
.
xjm(t) =
eλt
tm−1
(m − 1)!
(A − λ Id)µ−1vj + . . . + t(A − λ Id)vj + vj
son linealmente independientes y, adem´as, son la soluciones del sistema homog´eneo.
( Dem. )
En primer lugar, estas funciones son linealmente independientes, pues
det(xj1(0), . . . , xjm(0)) = det((A − λ Id)µ−1vj , . . . , (A − λ Id)vj , vj ) = 0
pues los vectores columna son linealmente independientes. En efecto,
α1(A − λ Id)µ−1vj + . . . + αµ−1(A − λ Id)vj + αµvj
µ−1
µ−1 j
j
j
=
0
=⇒
= αµ(A − λ Id)µ−1vj
y como (A − λ Id)µ−1vj = 0 esto implica que αµ = 0. Repitiendo el razonamiento multiplicando por el factor
(A − λ Id)µ−2 se obtendr´ıa que αµ−1 = 0 e iterando el proceso lo mismo para el resto de coeficientes αi.
Adem´as son soluciones del sistema homog´eneo, pues
xji (t) = λxji (t) + xji−1(t)
y
(A − λ Id)xji (t) = xji−1(t)
de donde
Axji (t) = λxji (t) + xji−1(t) = xji (t)
De esta manera, el c´alculo de n soluciones linealmente independientes de un sistema de ecuaciones
diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes en el caso en que la matriz A del sistema no es
diagonalizable se resuelve aplicando los siguientes pasos:
..
0 = (A − λ Id)
(α1(A − λ Id)
v + . . . + αµ−1(A − λ Id)v + αµv )
Ecuaciones Diferenciales.
47
1. Hallar todos los valores propios de A. Entonces, para cada valor propio λ (con multiplicidad µ > 1):
2. Se buscan todos los vectores propios de A, esto es, los vectores vj0 (j0 = 1, . . . , d1) de una base de
ker (A − λ Id). Si A tiene s´olo d1 < n vectores propios linealmente independientes, de acuerdo con los
resultados del apartado anterior, se dispone de d1 soluciones linealmente independientes del tipo
eλtvj0
3. Se buscan todos los vectores vj1 (j1 = 1, . . . , d2 − d1) de una base de ker (A − λ Id)2 tales que
(A − λ Id)2vj1 = 0
pero
(A − λ Id)vj1 = 0
De acuerdo con la anterior proposici´on, para cada uno de estos vectores hay una soluci´on del tipo
eλt(t(A − λ Id)vj1 + vj1 )
y todas ellas (d2 − d1) son linealmente independientes entre si y en relaci´on a las d1 del punto anterior.
4. Si a´un no se tienen n soluciones linealmente independientes, se buscan todos los vectores vj2 (j2 =
1, . . . , d3 − d2 − d1) de una base de ker (A − λ Id)3tales que
(A − λ Id)3vj2 = 0
pero
(A − λ Id)2vj2 = 0
De acuerdo con la anterior proposici´on, para cada uno de estos vectores hay una soluci´on del tipo
t2
eλt
2!
(A − λ Id)2vj2 + t(A − λ Id)vj2 + vj2
y todas ellas (d3 − d2 − d1) son linealmente independientes en relaci´on a las de los puntos anteriores
(seg´un se ha probado en la proposici´on precedente).
5. Se itera el proceso hasta completar las n soluciones linealmente independientes 2.
Comentario:
· Otra manera equivalente de proceder ser´ıa la siguiente: se buscan todos los vectores vj (j = 1, . . . , µ)
de una base de ker (A − λ Id)µ (que obviamente contendr´a vectores vj0 , vj1 , vj2 . . . de bases de ker (A −
λ Id), ker (A − λ Id)2, . . . respectivamente). Entonces, para cada uno de esos vectores hay una soluci´on
del tipo
t2
eλt vj + t(A − λ Id)vj +
(A − λ Id)2vj + . . .
2!
y todas ellas son linealmente independientes. Obs´ervese que cuando vj coincide con alguno de los
vectores vj0 , vj1 , vj2 . . . se van obteniendo, en particular, las soluciones anteriores de manera sucesiva.
3.4.4
Estudio del caso general
Finalmente, se va a analizar el problema de encontrar la soluci´on general de un sistema de n ecuaciones
diferenciales lineal no homog´eneo con coeficientes constantes
L(x(t)) ≡ x (t) − Ax(t) = f (t)
donde A es una matriz de constantes como (3.5).
La u´nica cuesti´on es c´omo hallar una soluci´on particular del sistema. Para ello se puede utilizar el m´etodo
de variaci´on de constantes. Sin embargo, al igual que ya se hizo en el caso de la ecuaci´on diferencial lineal
con coeficientes constantes, tambi´en se puede emplear el m´etodo del anulador o de la conjetura prudente,
cuando el t´ermino independiente f (t) tiene la propiedad de que se anula bajo la acci´on de alg´un operador
vectorial con coeficientes constantes.
Daremos, a continuaci´on, el resultado de la aplicaci´on de dicho m´etodo en un caso particular:
´
(3.7)
una cota superior del n´umero de pasos que se requiere para alcanzar el objetivo (v´ease M. Braun, Ecuaciones Diferenciales y
sus Aplicaciones, Grupo Ed. Iberoam´erica (1990))
2A
este respecto, existe un resultado de Algebra lineal que garantiza que este algoritmo siempre funciona, dando adem´s
a
Ecuaciones Diferenciales.
48
Proposici´on 29 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal no homog´eneo con coeficientes constantes (3.7). Si
f (t) = eλt(vptp + . . . + v1t + v0)
donde λ no es valor propio de la matriz del sistema A y vi ∈ Rn (0 ≤ i ≤ p), entonces una soluci´on
particular del sistema es
xP (t) = eλt(uptp + . . . + u1t + u0)
donde
up
=
(λ Id − A)−1vp
p−1
=
(λ Id − A)−1(vp−1 − pup)
up−2
=
..
(λ Id − A)−1(vp−2 − (p − 1)up−1)
u
.
u0
=
(λ Id − A)−1(v0 − u1)
(obs´ervese que (λ Id − A) es inversible ya que λ no es valor propio de A).
( Dem. )
Es una mera cuesti´on de c´alculo (algo tedioso).
(V´eanse ejemplos en la colecci´on de problemas).
Chapter 4
Estudio Cualitativo de Ecuaciones
Diferenciales
4.1
Introducci´on
En este cap´ıtulo se va a abordar el estudio cualitativo de los sistemas de ecuaciones diferenciales (de primer
orden).
Se comenzar´a dando una serie de conceptos generales que incluyen el planteamiento del problema y
las primeras nociones y resultados de puntos de equilibrio, estabilidad y comportamiento asint´otico de
soluciones, asi como los conceptos de espacio de fases, ´orbitas y curvas integrales de un sistema. Se estudia,
a continuaci´on, el problema de la estabilidad. Tras establecer con todo rigor la definici´on y un resultado
de caracter general, se analiza primero la estabilidad de los sistemas lineales y, en particular, la de los
sistemas lineales homog´eneos con coeficientes constantes, para pasar a investigar la de los sistemas lineales
completos. Finalmente, se considera la estabilidad de sistemas aut´onomos en general y se da un resultado
sobre estabilidad cuando se efectuan pequen˜as variaciones del segundo miembro de una ecuaci´on diferencial.
Igual que en los cap´ıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precisi´on m´as concreta, se asumir´a
que todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.
4.2
4.2.1
Conceptos generales
Planteamiento del problema
En este cap´ıtulo se va a comenzar considerando sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden de tipo
general
x (t) = f (t, x(t))
(4.1)
donde
x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) ,
f (t, x(t)) = (f1(t, x(t)), . . . , fn(t, x(t)))
siendo el segundo miembro una funci´on vectorial, no necesariamente lineal, de las variables x1, . . . , xn.
Desgraciadamente, en general, no se conocen m´etodos anal´ıticos de resoluci´on de estas ecuaciones. Afortunadamente, en la mayor´ıa de los casos pr´acticos, no es necesario conocer expl´ıcitamente las soluciones del
sistema, sino que basta con obtener resultados de tipo cualitativo sobre el comportamiento del sistema.
Un ejemplo t´ıpico lo constituyen los modelos que describen la competencia entre especies (modelos
depredador-presa o similares). El problema se plantea en los siguientes t´erminos: sean x1(t) y x2(t) las
poblaciones (en funci´on del tiempo) de dos especies que compiten entre si por los recursos existentes en su
“habitat”, de tal manera que sus respectivas tasas de crecimiento-decrecimiento est´an regidas por un sistema
49
Ecuaciones Diferenciales.
50
de ecuaciones diferenciales del tipo (4.1). De modo general, no se va a estar interesado realmente en los
valores precisos de x1(t) y x2(t) en cada instante t sino, m´as bien, en las propiedades cualitativas de estas
funciones. Concretamente, se intentar´a hallar respuesta a las siguientes cuestiones:
1. ¿Existen valores ξ1, ξ2 de x1(t) y x2(t) respectivamente para los que ambas especies coexisten en un
estado estable? En otra palabras, ¿existen ξ1, ξ2 ∈ R tales que x1(t) = ξ1 y x2(t) = ξ2 es una soluci´on
de (4.1)?
2. Suponiendo que en un instante dado ambas especies est´an coexistiendo en equilibrio, ¿qu´e sucede si se
incrementa ligeramente el n´umero de miembros de una de ellas?: ¿contin´ua habiendo equilibrio o una
de ellas se impone sobre la otra?
3. Suponiendo que x1(t) y x2(t) tienen valores dados en t = 0; ¿que ocurre cuando t → ∞?: ¿prevalece
una especie sobre la otra?, ¿se tiende a una situaci´on de equilibrio? o, como m´ınimo, ¿se tiende a una
soluci´on peri´odica?
4.2.2
Puntos de equilibrio. Estabilidad. Comportamiento asint´otico
Comenzaremos establececiendo la siguiente nomenclatura:
Definici´on 20 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma (4.1).
1. Se denominan puntos de equilibrio del sistema a los puntos ξ ≡ (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn tales que
x(t) ≡ (x1(t), . . . , xn(t)) = (ξ1, . . . , ξn) ≡ ξ
es soluci´on del sistema.
2. Se dice que las soluciones son estables sii, dada una soluci´on del sistema x1(t), para toda otra soluci´on
x2(t) tal que para un valor inicial t0 y para todo i = 1, . . . , n, x1i (t0) y x2i (t0) tienen valores muy
cercanos, se cumple que los valores x1i (t) y x2i (t) permanecen pr´oximos, para todo t > t0 y para todo
i = 1, . . . , n.
3. Si x(t) es una soluci´on del sistema, se denomina comportamiento asint´otico de la misma a su comportamiento cuando t → ∞; es decir, al resultado de hacer lim x(t) .
t→∞
As´ı pues, nuestro inter´es ser´a estudiar las siguientes propiedades de las soluciones de (4.1):
1. Estudiar la existencia de los posibles puntos de equilibrio del sistema.
2. Estudiar la estabilidad de las soluciones.
3. Estudiar el comportamiento asint´otico de las soluciones.
Es importante destacar, a este respecto que, a menudo, se puede encontrar una respuesta satisfactoria a
estas cuestiones sin necesidad de resolver expl´ıcitamente el sistema de ecuaciones. As´ı, en lo referente a la
cuesti´on de los puntos de equilibrio se tiene el resultado siguiente:
Proposici´on 30 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (4.1) en I ⊆ R. x0 ∈ Rn es
un punto de equilibrio del sistema si, y s´olo si, f (t, x0) = 0, ∀t ∈ I , (o bien f (x0) = 0, si f no depende
expl´ıcitamente de t).
( Dem. ) Basta observar que, considerada una soluci´on x(t), se tiene que x (t) = 0 si, y s´olo si, x(t) = x 0;
esto es, es constante.
Comentario:
Ecuaciones Diferenciales.
51
· Como consecuencia, obs´ervese que todo punto de equilibrio de un sistema es un punto cr´ıtico de las
funciones x(t) soluci´on (es decir, de las curvas integrales).
El estudio de la estabilidad de las soluciones constituye el problema central de la teor´ıa cualitativa de
las ecuaciones diferenciales, ya que tiene una importancia capital en todas las aplicaciones f´ısicas, debido al
hecho de que no es posible, casi nunca, poder medir con exactitud las condiciones iniciales del problema.
Conviene, por tanto, saber si pequen˜as variaciones de ´estas alteran significativamente el comportamiento de
las soluciones.
La cuesti´on de la estabilidad es usualmente muy dif´ıcil de analizar, ya que no se conoce expl´ıcitamente
la soluci´on del sistema. El u´nico caso que es accesible al estudio es cuando la funci´on vectorial f no depende
expl´ıcitamente de t. En tal caso:
Definici´on 21 Un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (4.1) es un sistema aut´onomo sii la
funci´on f no depende expl´ıcitamente de la variable independiente t.
Incluso para sistemas aut´onomos, s´olo hay dos casos en los cuales se ha completado el estudio de la
estabilidad:
1. Cuando f (x) = Ax; esto es, para sistemas lineales homog´eneos y completos con coeficientes constantes.
2. Cuando, no siendo el sistema lineal homog´eneo con coeficientes constantes, s´olo interesa el estudio de
la estabilidad de las soluciones de equilibrio.
Estos ser´an los que se estudiar´an en el resto del cap´ıtulo.
´
Puesto que, de acuerdo con lo dicho, en adelante s´olo se van a considerar sistemas aut´onomos, es importante destacar el siguiente resultado:
Proposici´on 31 Todo sistema de n ecuaciones diferenciales no aut´onomo de la forma (4.1) puede transformarse en un sistema equivalente de n + 1 ecuaciones diferenciales aut´onomo.
( Dem. )
Si el sistema no aut´onomo de partida es
dx1
dt
..
= f1(t, x1, . . . , xn)
.
dxn
dt
= fn(t, x1, . . . , xn)
basta con introducir la funci´on x0(t) = t, con lo cual se puede escribir el sistema como
dx0
dt
dx1
dt
=..
1
=
f1(x0, x1, . . . , xn)
.
Espacio de fases. Orbitas
4.2.3
dxn
dt
=
fn(x0, x1, . . . , xn)
´
Consid´erese un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma (4.1), con condiciones iniciales dadas
x(t0) = x0 ≡ (x01, . . . , x0n)
Ecuaciones Diferenciales.
52
Si las funciones f1, . . . , fn no dependen expl´ıcitamente de t (sistema aut´onomo), se puede dar una interpretaci´on de las soluciones x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) del problema que es particularmente c´omoda (y necesaria) para abordar el estudio de la estabilidad. As´ı, en el espacio eucl´ıdeo Rn, de coordenadas rectangulares
{x1, . . . , xn}, la soluci´on x1 = x1(t), . . . , xn = xn(t) determina la ley de movimiento de un punto que
sigue una cierta trayectoria seg´un la variaci´on del par´ametro t, que en esta interpretaci´on se identificar´a
con
De componentes.
este modo, la derivada
x (t)interpretaci´on
representa la velocidad
de yun
punto de
trayectoria
y
x1(t),el. .tiempo.
. , xn(t) sus
Esta es una
muy natural
c´omoda
enlaciertos
problemas
de
´
F´ısica y Mec´anica. Entonces:
Definici´on 22 En la interpretaci´on anterior,:
1. El sistema x (t) = f (t, x(t)) se denomina sistema din´amico.
2. El espacio E ⊆ Rn formado por todos los puntos que pueden ser condiciones iniciales de un sistema din´amico se denomina espacio de fases del sistema. (Sus coordenadas son, por consiguiente,
{x1, . . . , xn}).
3. La curva (t, x(t)) = (t, x1(t), . . . , xn(t)) ⊂ R × E se denomina trayectoria de fases u ´orbita del sistema.
La curva x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) ⊂ E se denomina curva integral del sistema.
4. La representaci´on de las o´rbitas del sistema (en E ) se denomina diagrama de fases del sistema.
Un sistema din´amico determina, pues, en el espacio Rn un campo de velocidades: x (t).
· Si la funci´on vectorial f = (f1, . . . , fn) depende expl´ıcitamente de t, entonces este campo de velocidades
cambia con el tiempo y las trayectorias de fases pueden intersectarse.
· Si, por el contrario, la funci´on vectorial f = (f1, . . . , fn) no depende expl´ıcitamente de t, entonces el
campo de velocidades es estacionario, es decir, no cambia con el tiempo. En este caso, se tiene el
siguiente resultado:
Proposici´on 32 Sea un sistema din´amico aut´onomo cuyo espacio de fases es E ⊆ Rn y tal que se cumplen
las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces por cada punto x0 ∈ E del espacio de fases
pasa una s´ola trayectoria del sistema (es decir, las ´orbitas de un sistema aut´onomo no se cruzan en ning´un
punto).
( Dem. ) Sean x1(t) y x2(t) sendas soluciones tales que x1(t0) = x0 y x2(t1) = x0. Entonces la primera es
soluci´on del problema de valor inicial
x (t) = f (x(t)) ,
x(t0) = x0
x (t) = f (x(t)) ,
x(t1) = x0
y la segunda lo es de
Entonces, teniendo en cuenta que el sistema es aut´onomo, resulta que x3(t) := x2(t + t1 − t0) es tambi´en
soluci´on del primer problema de valor inicial, por consiguiente se tendr´a que x3(t) = x2(t + t1 − t0) = x1(t),
por lo que las ´orbitas de x1(t) y x2(t) han de ser las mismas.
Ejemplo:
· El sistema de ecuaciones
dx
dt
= −y
,
dy
dt
=x
tiene la siguiente familia de soluciones
x(t) = a cos (t + b)
,
y(t) = a sin (t + b)
Ecuaciones Diferenciales.
53
luego las curvas integrales del sistema son h´elices en R3
C(t) = (t, a cos (t + b), a sin (t + b))
y, como se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad, por cada punto (t, x, y) pasa
una s´ola curva integral.
Si se considera t como par´ametro, en el plano de fases R2 de coordenadas (x, y) se tiene como trayectorias de fases una familia de circunferencias con centro en el origen,
c(t) = (a cos (t + b), a sin (t + b))
cada una de las cuales es la proyecci´on de una curva integral del sistema. Como se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad estas curvas no se cortan. Si se fija a se obtiene una trayectoria determinada, mientras que fijar b equivale a elegir el instante inicial; esto es, una parametrizaci´on
del movimiento en concreto. Obs´ervese que la ecuaci´on de la trayectoria, x2 + y2 = a2, no depende de
b, lo cual significa que para una misma trayectoria todos los movimientos (parametrizaciones del tipo
t + b) son equivalentes.
En el caso especial a = 0, la trayectoria se reduce a un punto que es un punto de reposo del sistema,
dado que no evoluciona con t.
Una de las ventajas de trabajar con las trayectorias u ´orbitas de un sistema en vez de con la soluci´on
misma del sistema (esto es, las curvas integrales), es que, a menudo, es posible conocer aqu´ellas sin necesidad
de resolver el sistema; es decir, sin obtener las curvas integrales. En efecto, por simplicidad se va a mostrar
el procedimiento en el caso particular de sistemas de dos ecuaciones (n = 2).
Proposici´on 33 Las ´orbitas del sistema de ecuaciones diferenciales aut´onomo
dx
dt
dy
dt
=
f (x, y)
=
g(x, y)
(4.2)
son las curvas integrales de la ecuaci´on diferencial de primer orden
dy
dx
=
g(x, y)
f (x, y)
( Dem. ) Sea x = x(t), y = y(t) una soluci´on del sistema dado y, por tanto, (x(t), y(t)) una ´orbita del
sistema. Sea t = t1 tal que x (t1) = 0 entonces, de acuerdo con el teorema de la funci´on impl´ıcita, se puede
despejar t como funci´on de x en la primera ecuaci´on, t = t(x), en un entorno del punto x1 = x(t1). De este
modo, para todo t pr´oximo a t1, la ´orbita de la soluci´on dada, expresada en forma expl´ıcita, viene dada por
la funci´on y = y(t(x)) ≡ Y (x). Entonces, aplicando la regla de la cadena y el teorema de la funci´on inversa
a esta funci´on resulta
dy
dy
dy dt
g(x, y)
=
dx
dt dx = ddxt = f (x, y)
dt
cuya soluci´on es, obviamente, y = Y (x)+ C . Estas funciones, representadas en R2 son las curvas integrales de
la ecuaci´on (4.4) que, por construcci´on, coinciden con las ´orbitas del sistema dado. Con ello queda probado
el resultado.
As´ı pues, para hallar las ´orbitas del sistema aut´onomo de primer orden (4.2) basta con resolver la ecuaci´on
diferencial de primer orden (4.3). Esta ecuaci´on da la pendiente de la recta tangente a la trayectoria del
sistema (4.2) que pasa por el punto (x, y), siempre que en dicho punto las funciones f y g no se anulen
simultaneamente (si as´ı fuera el caso, el punto en cuesti´on ser´ıa un punto cr´ıtico y por ´el no pasar´ıa ninguna
´orbita).
Comentarios:
· Obs´ervese que hay una sutil diferencia entre las ´orbitas de (4.2) y las curvas integrales de (4.3),
y es que, mientras que las primeras son curvas orientadas (con la orientaci´on natural dada por la
parametrizaci´on), las segundas no lo son.
(4.3)
(4.4)
Ecuaciones Diferenciales.
54
· De la ecuaci´on de las trayectorias obtenida de esta manera, que por tanto est´an dadas, en general,
en forma impl´ıcita, podr´a obtenerse la soluci´on del sistema de partida s´olo si es posible hallar una
parametrizaci´on de dicha familia de curvas que satisfaga el sistema original.
4.2.4
Estabilidad y estabilidad asint´otica de soluciones
En esta secci´on se comienza a analizar el problema de la estabilidad de los sistema de ecuaciones diferenciales
(aut´onomos).
x (t) = f (x(t))
(4.5)
Empezaremos precisando algo m´as la noci´on de estabilidad establecida en la definici´on 20.
Definici´on 23 (Liapunov): Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales (aut´onomo o no) y una soluci´on
(´orbita) del sistema x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)).
1. x(t) es una soluci´on estable sii, para todo ε ∈ R+, existe δ ≡ δ(ε) ∈ R+ tal que, para cualquier soluci´on
y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) que en t0 satisfaga que |yi(t0) − xi(t0)| < δ, (para todo i = 1, . . . , n), se cumple
que |yi(t) − xi(t)| < ε, en cualquier t > t0.
2. x(t) es una soluci´on asint´oticamente estable sii:
(a) Es una soluci´on estable.
(b) Existe δ ∈ R+ tal que, para cualquier soluci´on y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) que en t0 satisfaga que
|yi(t0) − xi(t0)| < δ, (para todo i = 1, . . . , n), se cumple que
lim |yi(t) − xi(t)| = 0
t→∞
Obs´ervese que una soluci´on es asint´oticamente estable si, y s´olo si, cualquier otra que en t0 permanece
pr´oxima a la dada, para cualquier otro valor t > t0, no s´olo sigue permaneciendo pr´oxima, sino que adem´as
se confunde con la inicial cuando t → ∞.
es
Ejemplo: Consid´erese el sistema formado por el p´endulo simple en el plano. Su ecuaci´on de movimiento
dt
d2θ
2
+
g
sin θ = 0
l
que, poniendo x1 = θ, se transforma en el siguiente sistema de primer orden:
dx1
dt
= x2
;
dx2
dt
g
= − sin x1
l
Este sistema tiene dos soluciones de equilibrio que son
x1 = 0
,
x2 = 0
y
x1 = π
,
x2 = 0
las cuales tienen muy diferentes propiedades:
· Si se perturba ligeramente la primera de ellas (bien desplazando el p´endulo de su posici´on de equilibrio,
bien imprimi´endole una pequen˜a velocidad), el p´endulo ejecuta pequen˜as oscilaciones en torno a x1 = 0.
Se dice, entonces, que esta posici´on es de equilibrio estable.
· Si se perturba ligeramente la segunda de ellas (de cualquiera de ambos modos), o bien el p´endulo ejecuta
oscilaciones de gran amplitud en torno a x1 = 0, o bien gira indefinidamente.
Se dice, entonces, que esta posici´on es de equilibrio inestable.
En las siguientes secciones se analizar´a la estabilidad y la estabilidad asint´otica de las soluciones de los
sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y, en particular, con coeficientes constantes, ya que en este caso
es posible hallar la soluci´on anal´ıticamente.
Ecuaciones Diferenciales.
4.3
55
Estabilidad de sistemas lineales
4.3.1
Estabilidad de sistemas lineales homog´eneos
Consid´erese un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo
x (t) = A(t)x(t)
Un sistema de estas caracter´ısticas siempre tiene como soluci´on particular x0(t) = 0. Entonces, el siguiente
teorema relaciona la estabilidad de cualquier soluci´on con la de ´esta.
Teorema 17 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo del tipo (4.6).
1. Si la soluci´on x(t) = 0 es estable, entonces cualquier otra soluci´on es tambi´en estable.
2. Si la soluci´on x(t) = 0 es asint´oticamente estable, entonces cualquier otra soluci´on es tambi´en
asint´oticamente estable.
3. Si la soluci´on x(t) = 0 es inestable, entonces cualquier otra soluci´on es tambi´en inestable.
4. Si la soluci´on x(t) = 0 es estable pero no asint´oticamente estable, entonces cualquier otra soluci´on es
tambi´en estable pero no asint´oticamente estable.
( Dem. )
1. Si la soluci´on x0(t) = 0 es estable, entonces, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, para toda soluci´on y(t) tal que
|yi(t0)| < δ (∀i), se cumple que |yi(t)| < ε, ∀t > t0.
Sea x(t) cualquier otra soluci´on. Se ha de probar que es estable. Sea ε > 0 y cualquier soluci´on z(t)
tal que |zi(t0) − xi(t)| < δ (∀i), entonces, tomando y(t) := x(t) − z(t) es tambi´en soluci´on (por ser el
sistema lineal) y satisface las condiciones del p´arrafo anterior, luego se tiene que, ∀t > t0 y ∀i
|yi(t)| = |zi(t0) − xi(t)| < ε
2. Si la soluci´on x0(t) = 0 es asint´oticamente estable entonces es estable por definici´on y, por el apartado
anterior, cualquier soluci´on x(t) es tambi´en estable. Hay que ver que tambi´en lo es asint´oticamente.
Por serlo x0(t) = 0, ∃δ > 0 tal que, para toda soluci´on y(t) tal que |yi(t0)| < δ (∀i), se cumple
que lim |yi(t)| = 0 . Sea cualquier soluci´on z(t) tal que |zi(t0) − xi(t)| < δ (∀i), entonces, tomando
t→∞
y(t) := x(t) − z(t) es tambi´en soluci´on (por ser el sistema lineal) y satisface las condiciones del p´arrafo
anterior, luego se tiene que
lim |yi(t)| = lim |zi(t0) − xi(t)| = 0
t→∞
t→∞
3. Se va a probar la negaci´on del enunciado; esto es, que si existe alguna soluci´on x(t) estable, entonces
x0(t) = 0 es estable.
Sea y(t) una soluci´on cualquiera pr´oxima a x0(t) = 0 en t0, entonces z(t) = y(t) + x(t) es otra soluci´on
(por ser el sistema lineal) pr´oxima a x(t) en t0 y, por consiguiente, para todo t (ya que x(t) es estable).
Por tanto, y(t) permanece pr´oxima a x0(t) = 0 para todo t > t0, luego x0(t) = 0 es estable.
4. An´aloga a la del apartado anterior.
As´ı pues, para estudiar la estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo basta
con analizar la de la soluci´on nula. En el siguiente apartado se har´a este an´alisis para sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales homog´eneos con coeficientes constantes.
(4.6)
Ecuaciones Diferenciales.
4.3.2
56
Estabilidad de sistemas lineales homog´eneos con coeficientes constantes
Consid´erese un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes (y, por tanto,
aut´onomo)
x (t) = Ax(t)
(4.7)
Vamos a estudiar, por simplicidad, el caso en que A ∈ M2×2(R); es decir, sistemas de dos ecuaciones
diferenciales (a fin de poder hacer razonamientos sobre sus ´orbitas, que est´an en el plano R2). Expl´ıcitamente
escrito el sistema es
dx
dt
dy
dt
=
a11x(t) + a21y(t)
=
a12x(t) + a22y(t)
y se pueden distinguir los siguientes casos:
1. A tiene valores propios reales, λ1, λ2 ∈ R, y det A = 0 (es decir, ninguno de ellos es nulo).
En este caso, el u´nico punto de equilibrio del sistema es (0, 0). Se pueden distinguir los siguientes
subcasos:
(a) λ1 > λ2 > 0 (ambos son positivos y distintos).
Si v1, v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la soluci´on general es
x(t) = c1eλ1tv1 + c2eλ2tv2 ≡
x(t)
y(t)
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).
· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → 0.
Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on inestable,
luego toda soluci´on es inestable.
Se dice, entonces, que el punto de equilibrio es un nodo inestable.
(b) λ1 < λ2 < 0 (ambos son negativos y distintos).
Si v1, v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la soluci´on general es
x(t) = c1eλ1tv1 + c2eλ2tv2 ≡
x(t)
y(t)
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → 0.
· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).
Entonces, del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on
asint´oticamente estable, luego toda soluci´on es asint´oticamente estable.
Se dice, entonces, que el punto de equilibrio es un nodo estable.
(c) λ1 < 0 < λ2 (uno es positivo y otro negativo).
Si v1, v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la soluci´on general es
x(t) = c1eλ1tv1 + c2eλ2tv2 ≡
x(t)
y(t)
Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on inestable,
luego toda soluci´on es inestable.
Se dice, en este caso, que el punto de equilibrio es un punto de silla.
(d) λ1 = λ2 ≡ λ > 0 (ambos son positivos e iguales).
Hay que distinguir dos posibilidades:
i. Hay dos vectores propios v1, v2 linealmente independientes; esto es, dim ker (A − λId) = 2.
En este caso la soluci´on general es
x(t) = (c1v1 + c2v2)eλt ≡
x(t)
y(t)
Ecuaciones Diferenciales.
57
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).
· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → 0.
Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on
inestable, luego toda soluci´on es inestable.
El punto de equilibrio es un nodo inestable.
ii. Hay un s´olo vector propio v1 ∈ R2 linealmente independiente; esto es, dim ker (A − λId) = 1.
Se completa una base de R2 con un segundo vector v2 por el m´etodo descrito en el cap´ıtulo
anterior, de modo que la soluci´on general es
x(t)
y(t)
x(t) = (c1v1 + c2(tv1 + v2))eλt ≡
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).
· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → 0.
Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on
inestable, luego toda soluci´on es inestable.
El punto de equilibrio es un nodo inestable.
(e) λ1 = λ2 ≡ λ < 0 (ambos son negativos e iguales).
Hay que distinguir dos posibilidades:
i. Hay dos vectores propios v1, v2 linealmente independientes; esto es, dim ker (A − λId) = 2.
En este caso la soluci´on general es
x(t) = (c1v1 + c2v2)eλt ≡
x(t)
y(t)
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → 0.
· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).
Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on
asint´oticamente estable, luego toda soluci´on es asint´oticamente estable.
El punto de equilibrio es un nodo estable.
ii. Hay un s´olo vector propio v1 ∈ R2 linealmente independiente; esto es, dim ker (A − λId) = 1.
Se completa una base de R2 con un segundo vector v2 por el m´etodo descrito en el cap´ıtulo
anterior, de modo que la soluci´on general es
x(t) = (c1v1 + c2(tv1 + v2))eλt ≡
x(t)
y(t)
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → 0.
· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).
Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on
asint´oticamente estable, luego toda soluci´on es asint´oticamente estable.
El punto de equilibrio es un nodo estable.
2. A tiene valores propios complejos, α ± iβ ∈ C, y det A = 0 (es decir, ninguno de ellos es nulo).
El u´nico punto de equilibrio del sistema sigue siendo (0, 0).
Sean v1 ± iv2 (con v1, v2 ∈ R2) los vectores propios correspondientes a ambos autovalores. La soluci´on
del sistema es
x(t) = eαt((c1 cos βt + c2 sin βt)v1 + (c2 cos βt − c1 sin βt)v1) ≡
Hay que distinguir los siguientes subcasos:
(a) α > 0.
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).
· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → 0.
x(t)
y(t)
Ecuaciones Diferenciales.
58
Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on inestable,
luego toda soluci´on es inestable.
Se dice que el punto de equilibrio es un foco inestable.
(b) α < 0.
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → 0.
· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).
Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on
asint´oticamente estable, luego toda soluci´on es asint´oticamente estable.
Se dice que el punto de equilibrio es un foco estable.
(c) α = 0.
En este caso, la soluci´on del sistema es
x(t) = (c1 cos βt + c2 sin βt)v1 + (c2 cos βt − c1 sin βt)v1 ≡
x(t)
y(t)
luego las soluciones son ´orbitas peri´odicas y, por tanto, son curvas cerradas 1. Del diagrama
de fases formado por las trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on estable pero no
asint´oticamente estable, luego toda soluci´on es estable pero no asint´oticamente estable.
Se dice que el punto de equilibrio es un centro.
3. det A = 0. En este caso hay, al menos, un valor propio que es nulo.
Hay diversos casos a analizar:
(a) λ1 = 0, λ2 = 0 (el segundo valor propio es no nulo).
En este caso dim ker A = 1. Sea, entonces, v1 un vector base de ker A y sea v2 un vector propio
correspondiente al valor propio λ2. Entonces la soluci´on general es
x(t)
y(t)
x(t) = c1v1 + c2eλ2tv2 ≡
Se distinguen los dos siguientes casos:
i. λ2 > 0.
Analizando en detalle la soluci´on se tiene que
x(t) = c1v11 + c2eλ2tv12
,
y(t) = c1v21 + c2eλ2tv22
Si c2 = 0, eliminando el factor exponencial de ambas ecuaciones resulta
v21(y − c1v21) = v22(x − c1v11)
que es la ecuaci´on de una familia de rectas paralelas (cuyo vector director es v2. Obs´ervese
que, en este caso:
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).
· Si t → −∞ entonces x(t) → c1v11, y(t) → c1v21.
Si c2 = 0 se obtiene
x(t) = c1v11
, y(t) = c1v21
que es una familia uniparam´etrica de puntos de equilibrio (inestable), los cuales se hallan
sobre la recta que pasa por el origen y tiene por vector director v1.
Del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on
inestable, luego toda soluci´on es inestable.
Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio inestable.
e
ii. λ2 < 0.
El an´alisis es an´alogo al del caso anterior salvo que ahora, cuando c2 = 0,
· Si t → +∞ entonces x(t) → c1v11, y(t) → c1v21.
· Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo).
1Obs´rvese
que no existen los l´ımites de x(t), y(t) cuando t → ∞.
Ecuaciones Diferenciales.
59
Entonces, del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0(t) = 0
es soluci´on estable pero no asint´oticamente estable, luego toda soluci´on es estable pero no
asint´oticamente estable.
Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio estable.
(b) λ1 = λ2 = 0 (ambos valores propios son nulos).
Hay dos casos posibles:
i. dim ker A = 1.
Sea, entonces, v1 un vector base de ker A y sea v2 un segundo vector que completa una base
de R2. La soluci´on general es
x(t)
y(t)
x(t) = (c1 + c2t)v1 + c2v2 ≡
Si c2 = 0, se trata de una familia de rectas paralelas (con vector director v1), para la cual
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo cuando c2 > 0 y negativo cuando c2 < 0).
· Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (negativo cuando c2 > 0 y positivo cuando c2 < 0).
Si c2 = 0 es una familia de puntos de equilibrio (inestable), los cuales se hallan sobre la recta
que pasa por el origen y tiene por vector director v1.
Del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0(t) = 0 es soluci´on
inestable, luego toda soluci´on es inestable.
Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio inestable.
ii. dim ker A = 2.
Sea, entonces, v1, v2 una base de ker A = R2. La soluci´on general es
x(t) = c1v1 + c2v2 ≡
x(t)
y(t)
que son todos los puntos del plano. Por consiguiente todos ellos son soluciones estables pero
no asint´oticamente estables.
Se trata de puntos de equilibrio indiferente.
A modo de resumen se tiene:
· Las soluciones son asint´oticamente estables en todos los casos en que todos los valores propios tienen
parte real negativa (casos 1.b, 1.e.i, 1.e.ii y 2.b).
· Las soluciones son estables pero no asint´oticamente estables en todos los casos en que hay valores
propios que tienen parte real negativa y tambi´en los hay con parte real nula, pero en este u´ltimo caso
se cumple que dim ker (A − λId) = µ (multiplicidad de λ). (casos 2.c, 3.a.ii y 3.b.ii).
· Las soluciones son inestables en todos los casos en que hay alg´un valor propio que tiene parte real
positiva o nula, pero en este u´ltimo caso se cumple que dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad de λ).
(casos 1.a, 1.c, 1.d.i, 1.d.ii, 2.a, 3.a.i y 3.b.i).
Todo ello se puede generalizar a sistemas lineales homog´eneos con coeficientes constantes de dn ecuaciones,
enunciando el siguiente resultado:
Teorema 18 Sea un sistema lineal homog´eneo con coeficientes constantes del tipo (4.7) con A ∈ Mn×n(R).
1. Las soluciones del sistema son estables y asint´oticamente estables si, y s´olo si, todos los valores propios
tienen parte real negativa.
2. Las soluciones del sistema son estables pero no asint´oticamnete estables si, y s´olo si, todos los valores
propios tienen parte real no positiva y hay alguno con parte real nula tal que dim ker (A − λId) = µ
(multiplicidad del valor propio como raiz del polinomio caracter´ıstico).
Ecuaciones Diferenciales.
60
3. Las soluciones del sistema son inestables si, y s´olo si, alg´un valor propio tiene parte real positiva o
nula pero, en este u´ltimo caso, dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad del valor propio como raiz del
polinomio caracter´ıstico) 2.
Este teorema permite obtener resultados sobre la estabilidad de estos sistemas sin necesidad de hallar la
soluci´on: basta con estudiar las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica del sistema.
4.3.3
Criterio de Routh-Hurwitz
Seg´un se acaba de ver en el apartado anterior, el problema del estudio de la estabilidad de los sistemas de
ecuaciones lineales homog´eneos con coeficientes constantes se ha reducido al an´alisis de los signos de las
partes reales de los valores propios o ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica. Pero si ´esta es de grado elevado,
su soluci´on puede ser muy dif´ıcil. Es por ello que conviene disponer de m´etodos que permitan discernir el
de ellos es el siguiente teorema de Algebra lineal (que se enuncia sin demostrar):
signo de la parte real de las ra´ıces sin necesidad de resolver la ecuaci´on caracter´ıstica. El m´as significativo
´
Teorema 19 (de Hurwitz): Sea un polinomio de grado n con coeficientes reales
bnxn + bn−1xn−1 + . . . + b1x + b0
con bn > 0. La c.n.s. para que todas sus ra´ıces tengan parte real negativa es que todos los menores principales
(∆i) de la siguiente matriz (de orden n) sean positivos
bn−1
bn−5
..
bn−3
0
.
0
0
bn
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
..
bn−2
bn−4
..
bn−1
bn−3
..
bn
bn−2
..
0
bn−1
..
0
bn
...
...
..
0
0
..
0
0
..
0
0
..
0
0
.
0
0
0
.
0
0
0
.
0
0
0
.
0
0
0
.
0
0
0
.
.
.
.
..
0
b04
b2
...
...
...
b0
0
0
b1
0
0
b2
b0
0
b3
b1
0
.
b0
Esta matriz se denomina matriz de Hurwitz.
Comentarios:
· Obs´ervese que ∆n = b0∆n−1, por lo que, si ∆n−1 > 0, entonces ∆n > 0 ⇔ b0 > 0.
· Para polinomios de grado alto la aplicaci´on de este criterio es complicada y existen otros alternativos
y de m´as f´acil ejecuci´on para estos casos.
4.3.4
Estabilidad de sistemas lineales completos con coeficientes constantes
Consid´erese ahora un sistema de ecuaciones diferenciales lineal completo con coeficientes constantes
x (t) = Ax(t) + f (t)
En lo que se refiere a la estabilidad de sus soluciones, se tiene el siguiente resultado:
Proposici´on 34 Sea un sistema lineal completo. La estabilidad de sus soluciones es equivalente a la estabilidad de la soluci´on de equilibrio x0(t) = 0 del sistema lineal homog´eneo asociado x (t) = Ax(t).
2 Este
enunciado es equivalente al primero.
(4.8)
Ecuaciones Diferenciales.
61
( Dem. ) En efecto, sean x1(t) y x2(t) dos soluciones del sistema completo pr´oximas entre si en t0, entonces
x2(t) − x1(t) es soluci´on de x (t) = Ax(t), y el resultado es inmediato.
A continuaci´on vamos a utilizar ´este y los anteriores resultados para analizar la estabilidad de las soluciones de una ecuaci´on diferencial lineal de orden n.
Proposici´on 35 La estabilidad de las soluciones de una ecuaci´on diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes
y(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + . . . + a1y (t) + a0y(t) = f (t)
depende de las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on
p(λ) := λn + an−1λn−1 + . . . + a1λ + a0
En concreto, si A es la matriz del sistema lineal de primer orden con coeficientes constantes equivalente a
esta ecuaci´on, se tiene que p(λ) = det(A − λId), y entonces:
1. Las soluciones de la ecuaci´on son estables y asint´oticamente estables si, y s´olo si, todas las ra´ıces tienen
parte real negativa.
2. Las soluciones de la ecuaci´on son estables si, y s´olo si, todas las ra´ıces tienen parte real no positiva y
hay alguno con parte real nula tal que dim ker (A − λId) = µ (multiplicidad de la ra´ız).
3. Las soluciones de la ecuaci´on son inestables si, y s´olo si, alguna ra´ız tiene parte real positiva o nula
pero, en este u´ltimo caso, dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad de la ra´ız) 3.
( Dem. ) La clave de la demostraci´on est´a en convertir la ecuaci´on lineal de orden n en un sistema de n
ecuaciones lineales de primer orden
dx0
dt
dx1
dt
= x1(t)
= x2(t)
..
.
dxn−2
dt
dxn−1
dt
= xn−1(t)
= −an−1xn−1(t) − . . . − a1x1(t) − a0x0(t) + f (t)
donde x0 = y, x1 = y , . . . , xn−1 = y(n−1); esto es, en forma vectorial,
x(t) = Ax(t) + f (t)
0
0
siendo
.
0
−a0
1..
0..
...
0..
0..
0
1
...
0
0
.
0
−a1
.
0
−a2
.
0
.
1
...
...
−an−2
0
;
−an−1
f (t)
Entonces s´olo queda por probar que el polinomio caracter´ıstico de la matriz A y el de la ecuaci´on lineal dada
son el mismo, con lo que el resultado es una consecuencia inmediata de la proposici´on 34 y el teorema 18.
Dicha prueba se hace por inducci´on:
· Si n = 2: Entonces
A=
3 Este
0
−a0
enunciado es equivalente al primero.
1
−a1
⇒
det (A − λId) = λ2 + a1λ + a0 ≡ p(2)(λ)
Ecuaciones Diferenciales.
62
· Si es cierto para n − 1, entonces es cierto para n: Por hip´otesis de inducci´on, para n − 1 se tiene
p(n−1)(λ) := λn−1 + an−2λn−2 + . . . + a1λ + a0
y para n, desarrollando el determinante de la matriz A − λId por la primera columna
det (A − λId) = −λ(−1)n(λn−1 + an−2λn−2 + . . . + a1λ + a0)
y de ah´ı el resultado.
4.4
4.4.1
Estabilidad de sistemas no lineales
Estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas aut´onomos no lineales
El estudio de la estabilidad de las soluciones de sistemas no lineales s´olo est´a completado para las soluciones
de equilibrio.
Para abordar el estudio de la estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas aut´onomos no lineales
se consideran primero los sistemas “casi lineales” aut´onomos del tipo
x (t) = Ax(t) + g(x(t))
con A ∈ Mn×n(R) (matriz de constantes). Entonces:
Definici´on 24 Dado un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo (4.9), se denomina sistema linealizado
asociado al mismo a
x (t) = Ax(t)
Y se tiene el siguiente resultado (que se enuncia sin demostraci´on).
Teorema 20 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo (4.9), tal que
1. g(0) = 0.
2.
g(x(t))
x(t)
es una funci´on continua y lim
x→0
g(x(t))
x(t)
=0.
Entonces la soluci´on de equilibrio x0(t) = 0 del sistema linealizado es tambi´en una soluci´on de equilibrio del
sistema y:
1. Si todos los valores propios de A tienen parte real negativa entonces la soluci´on de equilibrio x0(t) = 0
del sistema es asint´oticamente estable.
2. Si la matriz A tiene alg´un valor propio con parte real positiva entonces la soluci´on de equilibrio x0(t) = 0
del sistema es inestable.
3. En el resto de los casos no se puede asegurar nada sobre la estabilidad de la soluci´on de equilibrio
x0(t) = 0 del sistema.
Teniendo esto en cuenta, el estudio de la estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas aut´onomos
no lineales pasa por la “linealizaci´on” de los mismos.
(4.9)
Ecuaciones Diferenciales.
63
Proposici´on 36 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales aut´onomo (no lineal)
dx(t)
dt
= f (x(t))
(4.10)
y sea x0 un punto de equilibrio cualquiera del sistema (esto es, tal que f (x0) = 0). Entonces, la estabilidad
de la soluci´on de equilibrio xeq (t) = x0 es equivalente 4 a la estabilidad de la soluci´on de equilibrio z0(t) = 0
del sistema
dz(t)
∂fi
=
z(t) + g(z(t))
(4.11)
dt
∂xj
x=x0
donde g es una funci´on que contiene s´olo t´erminos cuadr´aticos o de orden superior en zk y verifica que
g(z(t))
lim
=0.
z(t)
z→0
( Dem. )
Desarrollando f (x) por Taylor en un entorno de x0, y teniendo en cuenta que f (x0) = 0,
∂fi
∂xk
f (x) = f (z + x0) = f (x0) +
con lim
z→0
g(z(t))
z(t)
z(t) + g(z(t)) =
x=x0
∂fi
∂xj
x=x0
z(t) + g(z(t))
= 0 , y como x) = z + x0, se tiene que
dz(t)
dt
=
dx(t)
dt
= f (z + x0)
de donde la ecuaci´on (4.10) queda transformada en (4.11), y x = x0 es soluci´on de equilibrio de (4.10) si, y
s´olo si, z = 0 es soluci´on de equilibrio de (4.11). De ah´ı el resultado.
Por consiguiente, como corolario del teorema 20 y de esta proposici´on se obtiene que el estudio de la
estabilidad de las soluciones de equilibrio de un sistema aut´onomo se basa en el an´alisis del signo de la parte
real de los valores propios de la matriz jacobiana de la funci´on f en los puntos de equilibrio; esto es:
Proposici´on 37 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales aut´onomo (no lineal)
dx(t)
dt
= f (x(t))
y sea x0 un punto de equilibrio cualquiera del sistema (esto es, tal que f (x0) = 0). Entonces:
1. Si todos los valores propios de la matriz
eq
2. Si la matriz
∂fi
∂xj
∂fi
∂xj
x=x0
tienen parte real negativa, entonces la soluci´on
0
x=x0
tiene alg´un valor propio con parte real positiva, entonces la soluci´on de
equilibrio xeq (t) = x0 del sistema inicial es inestable.
3. En el resto de los casos no se puede asegurar nada sobre la estabilidad de la soluci´on de equilibrio
xeq (t) = x0 del sistema inicial.
(V´eanse ejemplos de aplicaci´on en la colecci´on de problemas).
4.4.2
Estabilidad respecto a variaciones del segundo miembro
En este u´ltimo apartado se va a analizar brevemente el problema de la estabilidad de las soluciones de
ecuaciones diferenciales cuando el segundo miembro de la ecuaci´on sufre pequen˜as variaciones. Se enuncia
el resultado para el caso de una s´ola ecuaci´on diferencial.
4En
el sentido precisado en el teor. 20.
de equilibrio x (t) = x del sistema inicial es asint´oticamente estable.
Ecuaciones Diferenciales.
64
Teorema 21 Consid´erense los problemas de valores iniciales en D ⊆ R2
y (t) = f (t, y(t))
y (t) = f (t, y(t)) + θ(t, y(t)
0)
;
y(t0) = y0
;
y(t0) = y0 +
0
∈ D). Sean ϕ(t) y ψ(t) soluciones respectivas de ambos problemas de valor inicial. Si existen M ∈ R
tales que f y θ son funciones continuas y derivables, con derivadas continuas en D ⊆ R2 (con (t0, y0), (t0, y0 +
+
y ε ∈ R+ (arbitrariamente pequen˜o) tales que
|ψ(t) − ϕ(t)| ≤
∂f
≤ M y |θ(t, y(t)| < ε, para todo (t, y) ∈ D, entonces
∂y
0e
M |t−t0|
para todo t tal que (t, ϕ(t)), (t, ψ(t)) ∈ D.
( Dem. )
Es una consecuencia del lema de Gronwald.
+
ε
M
(eM |t−t0| − 1)
Chapter 5
La Transformaci´on de Laplace
5.1
Introducci´on
La transformaci´on de Laplace es un m´etodo directo y muy potente para la resoluci´on de problemas de
valor inicial de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Su uso permite transformar
una ecuaci´on diferencial (o un sistema) de esta ´ındole, junto con sus condiciones iniciales, en una ecuaci´on
algebraica. En particular se va a estudiar su aplicaci´on al caso de ecuaciones diferenciales con segundos
miembros discontinuos, que es cuando este m´etodo se muestra especialmente u´til.
El uso de la transformaci´on de Laplace en este contexto y, en particular su aplicaci´on a problemas
de ingenier´ıa el´ectrica, comenz´o en los an˜os treinta (siglo y medio despu´es de que Laplace introdujese su
transformaci´on), como consecuencia de los trabajos de Van der Pool y Doestch que llevaron a abandonar
el m´etodo operacional de Heaviside, de aplicaci´on m´as restringida e inc´omoda y carente de una adecuada
justificaci´on en aquellos tiempos.
En la primera secci´on del cap´ıtulo se van a introducir los conceptos b´asicos y propiedades fundamentales
sobre la transformaci´on de Laplace, que se utilizar´an para calcular las transformadas de algunas funciones
elementales. Tambi´en se estudiar´a la cuesti´on de la inversi´on de la transformaci´on de Laplace por el m´etodo
de descomposici´on en fracciones simples. En la segunda secci´on se aplicar´an las nociones anteriores para
la resoluci´on de problemas de valor inicial planteados por ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales y ecuaciones ´ıntegro-diferenciales con coeficientes constantes. El an´alisis de algunos casos especiales
(excitaciones discontinuas y excitaciones puntuales) conducir´a a la introducci´on de la funci´on de Heaviside
y la delta de Dirac. Finalmente se estudiar´a el producto de convoluci´on y su aplicaci´on a la resoluci´on de
problemas de valor inicial con excitaciones en cuya expresi´on aparecen varios t´erminos de forma diversa.
Igual que en los cap´ıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precisi´on m´as concreta, se asumir´a
que todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.
5.2
5.2.1
Definiciones b´asicas y propiedades
Transformadas de Laplace
Comenzaremos definiendo formalmente la transformaci´on de Laplace.
Definici´on 25 Sea f : [0, ∞) ⊂ R → R. Se denomina transformada de Laplace de la funci´on f (t) a la
funci´on F : R → R (si existe) definida del siguiente modo
∞
F (s) :=
x
e−stf (t)dt := lim
0
65
x→∞
e−stf (t)dt
0
Ecuaciones Diferenciales.
66
En los ejemplos de c´alculo que se muestran en la secci´on 5.2.3 puede observarse que la transformada de
Laplace de una funci´on dada puede no existir para algunos valores de s o, incluso, para ning´un valor de s,
tal como muestra el siguiente caso:
Ejemplo:
· La funci´on f (t) = et no admite
transformada de Laplace ya que, para cualquier s, se tiene que
2
e−stet =2 et(t−s) > et
para t > s + 1, luego para x > s + 1
x e−stet dt
2 > lim
lim
x→∞
x→∞
0
x
etdt = lim (ex − es+1) = +∞
x→∞
s+1
El siguiente resultado establece condiciones suficientes que garantizan la existencia de la transformada
de Laplace y precisan su dominio de definici´on (esto es, los valores de s para los que existe).
Teorema 22 (de existencia de la transformada de Laplace): Sea f : [0, ∞) ⊂ R → R tal que:
1. La restricci´on de f a cualquier intervalo finito [0, x] ⊂ R es una funci´on continua (por lo menos a
trozos).
2. f es de orden exponencial γ ; es decir, existe M ∈ R+ tal que |f (t)| ≤ M eγt , ∀t ∈ [0, ∞).
Entonces la transformada de Laplace F (s) de f (t) existe ∀s ∈ (γ, ∞).
( Dem. )
x
La primera condici´on garantiza la existencia de la integral
e−stf (t)dt para todo x > 0. S´olo
0
es necesario, pues, garantizar la convergencia de la integral en el intervalo [0, ∞); pero, por ser f (t) de orden
exponencial γ , se tendr´a que para s > γ
x
x
|e−stf (t)|dt ≤ M
0
∞
|e−(s−γ)t|dt ≤ M
0
|e−(s−γ)t|dt =
0
1
s−γ
independientemente de x, por lo que la integral impropia es absolutamente convergente y, por tanto, convergente.
Definici´on 26 f : [0, ∞) ⊂ R → R es una funci´on admisible sii:
1. La restricci´on de f a cualquier intervalo finito [0, x] ⊂ R es una funci´on continua (por lo menos a
trozos).
2. f es de orden exponencial γ .
Comentarios:
· La clase de funciones admisibles es suficientemente amplia para la mayor´ıa de las aplicaciones. En
ella se incluyen las funciones polin´omicas, las exponenciales, las logar´ıtmicas y las peri´odicas que sean
continuas a trozos en cada periodo.
· Es inmediato probar, adem´as, que la combinaci´on lineal y el producto de funciones admisibles es otra
funci´on admisible
El siguiente resultado (cuya demostraci´on se omite) permitir´a invertir la transformaci´on de Laplace en
muchas ocasiones, sin necesidad de recurrir a una f´ormula general de inversi´on que requiere integraci´on en
el campo complejo. Para ello bastar´a con descomponer la funci´on F (s) en suma de funciones que sean
transformadas de funciones conocidas, ya que:
Teorema 23 (de unicidad de la transformada de Laplace): Si f (t), g(t) son funciones admisibles y F (s) =
G(s), para todo s grande, entonces f (t) = g(t) en cada punto donde ambas son continuas. En particular, si
f y g son continuas para todo t ≥ 0, entonces f = g.
(5.1)
Ecuaciones Diferenciales.
5.2.2
67
Primeras propiedades
Para estudiar las propiedades de la transformaci´on de Laplace resulta u´til introducir el operador
L
:
C∞([0, ∞))
f (t)
−→
→
C∞(R)
F (s)
Entonces, como primeras propiedades de las transformadas de Laplace se pueden establecer las siguientes:
Proposici´on 38 (Linealidad): L es un operador lineal; esto es, si f (t), g(t) son funciones admisibles, entonces af (t) + bg(t) (con a, b ∈ R) es tambi´en admisible y
L(af (t) + bg(t)) = aL(f (t)) + bL(g(t) ≡ aF (s) + bG(s)
( Dem. )
En efecto
∞
L(af (t) + bg(t))
∞
=
e−st(af (t) + bg(t))dt = a
∞
e−stf (t)dt + b
0
0
e−stg(t)dt
0
= aL(f (t)) + bL(g(t) ≡ aF (s) + bG(s)
La siguiente propiedad es el fundamento de la aplicaci´on de las transformadas de Laplace a la resoluci´on
de ecuaciones diferenciales. As´ı, teniendo en cuenta que si f (t) es una funci´on derivable tal que f (t) es
admisible, entonces f (t) tambi´en lo es, se tiene:
Proposici´on 39 (Derivaci´on): Sea f (t) una funci´on derivable tal que f (t) es admisible, entonces
L(f (t)) = sL(f (t)) − f (0) ≡ sF (s) − f (0)
(5.2)
y, en general, si f (t) es derivable hasta el orden n y f (n)(t) es una funci´on admisible, entonces
L(f (n)(t)) = snF (s) − sn−1f (0) − . . . − sf (n−2)(0) − f (n−1)(0)
( Dem. )
Integrando por partes resulta
∞
L(f (t))
e−stf (t)dt = e−stf (t)
=
0
=
∞
0
∞
e−stf (t)dt
+s
0
−f (0) + sL(f (t)) = sF (s) − f (0)
y, en general, procediendo por inducci´on
L(f (n)(t))
= sL(f (n−1)(t)) − f (n−1)(0)
= s(sn−1F (s) − sn−2f (0) − . . . − f (n−2)(0)) − f (n−1)(0)
= snF (s) − sn−1f (0) − . . . − sf (n−2)(0) − f (n−1)(0)
Comentario:
· En la anterior proposici´on se asume que f (t) est´a definida en t = 0. De no ser as´ı, al ser f (t) admisible
y, por tanto, continua a trozos, ha de existir f (0+) = tlim+ f (t) y se tiene
∞
L(f (t))
=
lim
→0+
∞
e−stf (t)dt = lim (e−stf (t)|∞ + s
→0+
= −f (0+) + sL(f (t)) ≡ sF (s) − f (0+)
y lo mismo para el caso general.
→0
e−stf (t)dt)
Ecuaciones Diferenciales.
68
La inversi´on de la transformaci´on de Laplace se ver´a facilitada en gran medida por las siguientes
propiedades:
Proposici´on 40 (Integraci´on): Si f (u) una funci´on integrable y admisible (con transformada de Laplace
t
F (s)), entonces
f (u)du es admisible y
0
t
L
f (u)du
0
( Dem. )
t
Poniendo g(t) =
propiedad de derivaci´on
=
F (s)
s
f (u)du se tiene que g (t) = f (t) con g(0) = 0, por lo que utilizando la
0
t
F (s) = L(g (t)) = sL(g(t)) = sL
f (u)du
0
Proposici´on 41 (Valores inicial y final): Si f (t) es una funci´on admisible (con transformada de Laplace
F (s)) cuya derivada es admisible y existen los l´ımites de f (t) cuando t → 0+ y t → +∞, entonces
1.
lim F (s) = 0 .
s→+∞
2. tlim+ f (t) = s lim∞ sF (s) .
3.
lim f (t) = lim sF (s) .
t→+∞
( Dem. )
s→0
En efecto.
1. Es una consecuencia inmediata de la acotaci´on |F (s)| ≤
M
s−γ
, que se obtiene, a su vez, de la acotaci´on
(5.1).
2. Se parte de la propiedad de derivaci´on expresada como
L(f (t)) = sF (s) − lim f (t)
t→0+
Haciendo s → +∞ y teniendo en cuenta que, al ser f (t) admisible, se tiene que lim L(f (t)) = 0 , el
t→0+
resultado es inmediato.
3. Se parte de nuevo de la propiedad de derivaci´on escrita ahora en la forma
x
L(f (t)) = lim
e−stf (t)dt = sF (s) − f (0)
x→+∞
0
de donde, haciendo s → +∞, se obtiene
x
lim sF (s) − f (0)
s→0
=
=
lim lim
e−stf (t)dt = lim lim
s→0 x→+∞
x→+∞ s→0
0
x
lim
x→+∞
x
0
e−stf (t)dt
0
f (t)dt = lim f (x) − f (0) = lim f (t) − f (0)
x→+∞
t→+∞
(Se ha utilizado el hecho de que es posible intercambiar el orden de ejecuci´on de los l´ımites, por estar
F (s) definida en un entorno de s = 0).
→+→0
Ecuaciones Diferenciales.
69
Proposici´on 42 (Multiplicaci´on por t): Si f (t) es una funci´on admisible (con transformada de Laplace
F (s)), entonces
dF (s)
L(tf (t)) = −
ds
( Dem. )
En efecto, pues
dF (s)
ds
Proposici´on 43 (Divisi´on por t): Si
∞
d
ds
=
Si g(t) =
f (t)
t
e−sttf (t)dt
0
0
f (t)
es una funci´on admisible, para lo cual, si f (t) es admisible (con
t
f (t)
, entonces
t→0 t
L
( Dem. )
∞
e−stf (t)dt = −
∞
f (t)
=
t
F (u)du
s
se tiene que f (t) = tg(t), y utilizando la propiedad anterior
F (s) = −
dG(s)
ds
de donde
∞
x
F (u)du = lim
x→+∞
s
x
−
F (u)du = lim
x→+∞
s
dG(u)
s
du = lim (G(s) − G(x)) = G(s) = L
du
x→+∞
donde se ha utilizado la propiedad 1 de la proposici´on 41.
Proposici´on 44 (Multiplicaci´on por eat): Si f (t) es una funci´on admisible (con transformada de Laplace
F (s)), entonces
L(eatf (t)) = F (s − a)
( Dem. )
En efecto, pues
∞
L(eatf (t)) =
∞
e−steatf (t)dt =
0
e−(s−a)tf (t)dt = F (s − a)
0
Proposici´on 45 (Traslaci´on): Si f (t) es una funci´on admisible (con transformada de Laplace F (s)), entonces la funci´on
f (t − a) si t ≥ a
f˜(t) =
0
si t < a
es admisible y
L(f˜(t)) = e−asF (s)
( Dem. )
En efecto, pues
∞
∞
f (t)
t
L(f˜(t)) =
e−stf˜(t)dt =
0
e−stf (t − a)dt = (∗)
a
y haciendo t − a = u,
∞
(∗) =
e−sue−saf (u)du = e−asF (s)
0
transformada de Laplace F (s)), es suficiente con que exista lim+
Ecuaciones Diferenciales.
70
Proposici´on 46 (Cambio de escala): Si f (t) es una funci´on admisible (con transformada de Laplace F (s))
y a > 0, entonces
1
s
L(f (at)) =
F
a
a
( Dem. )
En efecto, haciendo at = u
∞
L(f (at)) =
∞
1
a
e−stf (at)dt =
0
1
F
a
s
0
s
a
Proposici´on 47 (Funciones peri´odicas): Si f (t) es una funci´on admisible peri´odica de periodo T ; es decir,
f (t + T ) = f (t), entonces
T
0
L(f (t)) =
( Dem. )
1 − e−sT
En efecto,
∞
L(f (t)) =
∞
T
e−stf (t)dt =
e−stf (t)dt +
0
e−stf (t)dt = (∗)
0
T
y haciendo t = T + u en la u´ltima integral
∞
T
(∗)
=
e−stf (t)dt +
e−s(T +u)f (T + u)du
0
0
∞
T
=
e−stf (t)dt + e−sT
e−suf (u)du =
0
5.2.3
T
e−stf (t)dt + e−sT F (s)
0
0
Transformadas de Laplace de algunas funciones elementales
Vamos a utilizar algunas de las propiedades expuestas para calcular, a modo de ejemplo, las transformadas
de Laplace de algunas funciones elementales.
1. f (t) = 1.
∞
L(1) :=
x
e−stdt = lim
x→∞
0
e−stdt = lim
x→∞
0
1 − e−sx
s
=
1
s
si s > 0, no existiendo si s ≤ 0.
2. f (t) = tn.
Para n = 1 se tiene
∞
L(t) :=
0
x
e−sttdt = lim
x→∞
0
e−sttdt =
1
s2
si s > 0, no existiendo si s ≤ 0. (Tambi´en se obtiene a partir del primer resultado y usando la propiedad
de multiplicaci´on por t).
Para n = 2, partiendo del anterior resultado y usando la propiedad de multiplicaci´on por t,
Finalmente, por inducci´on
d1
L(t2) = −
L(tn) = −
d
ds
2
s
2
L(tn−1) = −
d (n − 1)!
ds sn
n!
s
e− a uf (u)du =
e−stf (t)dt
ds s
=3
= n+1
Ecuaciones Diferenciales.
71
3. f (t) = tneat.
Partiendo del resultado anterior y usando la propiedad de multiplicaci´on por eat:
n!
(s − a)n+1
L(tneat) =
4. f (t) = eat.
∞
L(eat) :=
x
e−steatdt = lim
x→∞
0
e−(s−a)tdt =
0
1
s−a
si s > a, no existiendo si s ≤ a. (Tambi´en se obtiene a partir del primer resultado y usando la propiedad
de multiplicaci´on por eat).
5. f (t) = cos bt , g(t) = sin bt.
Sus transformadas de Laplace se pueden determinar directamente como en los otros ejemplos, pero es
m´as c´omodo utilizar la f´ormula de Euler:
∞
L(cos bt) + iL(sin bt)
:=
∞
e−st cos btdt + i
e−st sin btdt
0
0
∞
=
∞
e−st(cos bt + i sin bt)dt =
0
e−steibtdt =
0
1
s − ib
s + ib
s + b2
e igualando partes real e imaginaria se obtiene
L(cos bt)
=
L(sin bt)
=
s
s2 + b2
b
s2 + b2
6. f (t) = eat cos bt , g(t) = eat sin bt.
Partiendo del resultado anterior y usando la propiedad de multiplicaci´on por eat:
L(eat cos bt)
=
L(eat sin bt)
=
s−a
(s − a)2 + b2
b
(s − a)2 + b2
7. f (t) = t cos bt , g(t) = t sin bt.
Partiendo del mismo resultado que antes y usando la propiedad de multiplicaci´on por t:
L(t cos bt)
=
L(t sin bt)
=
s2 − b2
(s2 + b2)2
2bs
(s2 + b2)2
Comentario:
· Naturalmente el uso de las propiedades expuestas puede reiterarse. As´ı, p. ej., para obtener la
transformada de Laplace de la funci´on
t
f (t) =
e−uu sin udu
0
se parte de la transformada de f (t) = sin t y basta con aplicar sucesivamente las propiedades de
multiplicaci´on por t, de multiplicaci´on por eat y de integraci´on, para obtener
0
t
L
e−uu sin udu
2
(
s
+
1
)
=
s
(
(
s
+
1
)
2
+
1
)
2
=2
Ecuaciones Diferenciales.
5.2.4
72
Inversi´on (por descomposici´on en fracciones simples)
Se va a estudiar, finalmente, el problema de invertir la transformaci´on de Laplace. En general ello requiere
considerar s como variable compleja e integrar en el plano complejo. Afortunadamente, en muchos casos
de las aplicaciones, la transformada de Laplace es una funci´on racional con el polinomio del numerador de
grado menor que el del denominador (´esto es una consecuencia de la propiedad del valor inicial (1)). En
tales casos es m´as f´acil invertir la transformaci´on utilizando el m´etodo que a continuaci´on se describe.
P (s)
Sea la funci´on racional F (s) =
, donde P (s) y Q(s) son polinomios con coeficientes reales y
Q(s)
grado (P (s)) < grado (Q(s)). El procedimiento consiste en descomponer la funci´on en suma de fracciones
simples. Entonces, pueden darse los siguientes casos, seg´un las caracter´ısticas de las ra´ıces de Q(s):
1. Si α ∈ R es una ra´ız de Q(s) con multiplicidad µ, entonces en la descomposici´on en fracciones simples
aparecen los factores
A1
,
s−α
A2
,
(s − α)2
...
Aµ
,
(Ak ∈ R)
(s − α)µ
y, de acuerdo con los resultados del apartado anterior, para cada uno de ellos se tiene, en general,
∀k = 1, . . . , µ,
Ak
Ak (k − 1)!
Ak
=
=L
tk−1eαt
(s − α)k
(k − 1)! (s − α)k
(k − 1)!
2. Si α + iβ ∈ C es una ra´ız de Q(s), tambi´en lo es su conjugada α − iβ ∈ C, ambas con la misma
multiplicidad µ. Entonces se pueden englobar los factores correspondientes a estas dos ra´ıces en un
s´olo sumando, debi´endose distinguir los siguientes casos:
(a) Si la multiplicidad es µ = 1: Entonces el t´ermino correspondiente a estas ra´ıces que aparece en la
descomposici´on en fracciones simples es
As + B
(s − α)2 + β 2
A(s − α)
=
+
(s − α)2 + β 2
Aα + B
β
β
(s − α)2 + β 2
= L Aeαt cos βt +
β
e
sin βt
(b) Si la multiplicidad es µ = 2: Entonces, en la descomposici´on en fracciones simples correspondiente
a estas ra´ıces aparece, adem´as del anterior, el t´ermino
Cs + D
((s − α)2 + β 2)2
=
C
2β (s − α)
2β ((s − α)2 + β 2)2
+ (C α + D)
1
((s − α)2 + β 2)2
Para el primer sumando se tiene
2β (s − α)
((s − α)2 + β 2)2
= L eαtt sin βt
y para el segundo
1
((s − α)2 + β 2)2
=
=
=
1 (s − α)2 + β 2 − (s − α)2 + β 2
2β 2
1
2β
1
2β 3
((s − α)2 + β 2)2
β
3
(s − α)2 + β 2
L(eαt sin βt) −
−
1
2β
1
2β 2
(s − α)2 − β 2
3
((s − α)2 + β 2)2
L(eαtt cos βt)
(c) Si la multiplicidad es µ > 2, entonces la inversi´on de los correspondientes t´erminos es m´as c´omoda
si se utilizan los m´etodos de convoluci´on que se expondr´an al final del cap´ıtulo.
Comentario:
· Obs´ervese que, al expresar la funci´on racional como suma de fracciones simples e invertir la transformaci´on de Laplace, se est´a haciendo uso de la propiedad expresada en el teorema de unicidad de la
transformada de Laplace.
Aα + B αt
Ecuaciones Diferenciales.
73
· El c´alculo de los coeficientes que aparecen en la descomposici´on en fracciones simples puede hacerse por
el conocido m´etodo de coeficientes indeterminados. Sin embargo, para los t´erminos correspondientes a
ra´ıces reales (y, en particular, cuando son simples) es m´as c´omodo el siguiente m´etodo:
Si α ∈ R es una ra´ız de Q(s) con multiplicidad µ, se tiene
µ
P (s)
Q(s)
=
k=1
Ak
(s − α)k
+ R(s)
donde R(s) es una funci´on racional cuyo denominador ya no contiene la ra´ız α. Multiplicando ambos
miembros por (s − α)µ se obtiene
P (s)
Q(s)/(s − α)µ
µ
=
Ak (s − α)µ−k + (s − α)µR(s)
k=1
e identificando el segundo miembro como el desarrollo de Taylor del primero, se obtiene que
Aµ =
P (s)
Q(s)/(s − α)µ
y, en general
Ak =
5.3
5.3.1
s=α
,
Aµ−1 =
1 dµ−k
(µ − k)! dsµ−k
d
ds
P (s)
Q(s)/(s − α)µ
P (s)
Q(s)/(s − α)µ
s=α
s=α
Aplicaci´on a la resoluci´on de ecuaciones diferenciales
Resoluci´on de problemas de valor inicial de ecuaciones y sistemas con
coeficientes constantes
Utilizando u´nicamente las propiedades de linealidad y de derivaci´on de la transformaci´on de Laplace, se est´a
ya en condiciones de resolver algunos problemas de valor inicial para:
1. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
2. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
3. Ecuaciones ´ıntegro-diferenciales.
(V´eanse ejemplos en la colecci´on de problemas).
5.3.2
Excitaciones discontinuas: Funci´on de Heaviside
El uso de la transformada de Laplace para la resoluci´on de los problemas de valor inicial de ecuaciones
diferenciales sen˜alados en el apartado anterior muestra toda su eficacia cuando la funci´on que aparece en el
t´ermino independiente de la ecuaci´on (o sistema) presenta discontinuidades de salto en uno o varios puntos
de su dominio 1.
Para tratar este tipo de problemas con el m´etodo de la transformaci´on de Laplace es de gran utilidad la
siguiente funci´on:
Definici´on 27 Se denomina funci´on de Heaviside o funci´on de salto unidad a la funci´on
u(t − a) ≡ ua(t) =
Si a = 0 se escribe simplemente u(t).
0
1
si 0 ≤ t < a
si a ≤ t
1Ello
corresponde a que el sistema modelado por dicha ecuaci´on presente saltos bruscos en uno o varios instantes.
Ecuaciones Diferenciales.
74
El resultado de mayor inter´es para nosotros es:
Proposici´on 48 La transformada de Laplace de ua(t) es
e−sa
L(ua(t)) =
1
En particular L(u(t)) =
( Dem. )
s
s
.
Inmediata, pues
∞
∞
e−stdt =
e−stua(t)dt =
L(ua(t)) :=
0
a
e−sa
s
Comentarios:
· Una funci´on que presente discontinuidades de salto tal como
f (t) =
f2(t) si a ≤ t < b
f3(t)
si b ≤ t
se puede expresar en t´erminos de la funci´on de Heaviside de la siguiente forma
f (t)
= f1(t)(u(t) − u(t − a)) + f2(t)(u(t − a) − u(t − b)) + f3(t)u(t − b)
= f1(t) + (f2(t) − f1(t))u(t − a) + (f3(t) − f2(t))u(t − b)
· La propiedad de traslaci´on puede expresarse ahora en t´erminos de la funci´on de Heaviside como
L(f˜(t)) = L(u(t − a)f (t − a)) = e−asF (s)
(donde F (s) = L(f (t))), f´ormula que permite el c´alculo de la transformada de Laplace de una funci´on
con discontinuidades de salto y tambi´en su inversi´on.
(V´eanse ejemplos en la colecci´on de problemas).
5.3.3
Delta de Dirac
Hay muchas aplicaciones cuya modelizaci´on matem´atica conduce a ecuaciones diferenciales lineales (con
coeficientes constantes) en las que la funci´on f (t) del t´ermino independiente es nula fuera de un estrecho
intervalo [a, a + ] en el que toma valores arbitrariamente grandes. Normalmente, adem´as, estos valores son
β
desconocidos, disponi´endose u´nicamente del valor de la integral I =
f (t)dt (si α ≤ a < a + ≤ β ).
α
Este tipo de situaciones se presenta en problemas de naturaleza impulsiva. Por ejemplo, en un sistema
mec´anico formado por una masa sujeta mediante un resorte el´astico, al golpear con un martillo en un
instante t = a, comunicando un impulso de valor I durante un breve intervalo de tiempo [a, a + ], en el
cual el martillo est´a en contacto con la masa (en este caso, f (t) representa la fuerza aplicada en ese lapso
de tiempo). Tambi´en en el caso de un circuito el´ectrico RCL, cuya ecuaci´on
e(t) = RI + L
dI
dt
+
1
C
t
I (τ )dτ
0
se deriva para obtener la ecuaci´on diferencial
L
d2I
dt2
+R
dI
dt
+
1
I=
C
de
dt
= f (t)
f1(t) si 0 ≤ t < a
Ecuaciones Diferenciales.
75
cuando la tensi´on cambia bruscamente en el instante α (de hecho entre α y α + ) desde un valor e0 hasta
el valor e0 + I .
Para tratar estas situaciones se va a considerar el caso ideal que se obtiene al hacer que
I = 1, si f → f0, esta “funci´on” f0 deber´ıa satisfacer
→ 0. Fijando
β
f0(t) = 0
para t = α
;
si α ≤ a < β
f0(t)dt = 1
α
condiciones que no puede verificar ninguna funci´on ordinaria.
Obs´ervese, no obstante, que lo que realmente interesa no es obtener el valor del l´ımite de f cuando → 0,
sino resolver el problema de valor inicial
;
a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = f (t)
para el caso
y(0) = 0
,
y (0) = 0
(5.3)
→ 0, y que en la resoluci´on de un problema como ´este (que para simplificar se ha tomado
con condiciones iniciales homog´eneas) no es preciso conocer los valores de f (t) sino simplemente el valor de
β
integrales de la forma
g(t)f (t)dt , donde g(t) es una funci´on continua. En efecto, la soluci´on de (5.3)
α
obtenida por el m´etodo de variaci´on de constantes a partir de dos soluciones y1 e y2 de la ecuaci´on lineal
homog´enea asociada es, como se puede comprobar,
t
y(t) = y1(t)
t
−y2(τ )
a2W (τ )
0
f (τ )dτ + y2(t)
0
y1(τ )
a2W (τ )
f (τ )dτ
An´alogamente, la resoluci´on del problema de valor inicial (5.3) utilizando la transformaci´on de Laplace
conduce a la ecuaci´on
∞
e−stf (t)dt
(a2s2 + a1s + a0)Y (s) = F (s) =
0
de donde se obtiene Y (s) e, invirtiendo, y(t). En ambos casos f (t) s´olo interviene como integrando multiplicado por una funci´on continua.
β
As´ı pues, para resolver el caso ideal planteado ( → 0) hay que calcular lim
→0
es una funci´on continua. Se tiene:
g(t)f (t)dt cuando g(t)
α
Lema 5 Si g(t) es continua en [α, β ], entonces
β
lim
g(t)f (t)dt =
→0
α
( Dem. ) Si α es tal que α ≤ a < β , para
para t ∈ [a, a + ],
g(a) si α ≤ a < β
0 en otro caso
suficientemente pequen˜o α ≤ a < a + < β , y como f (t) = 0
β
a+
g(t)f (t)dt =
α
g(t)f (t)dt
a
Ahora, con m = min g(t) y M = max g(t) , se tiene
[a,a+ ]
[a,a+ ]
a+
m
a+
a
f
a+
(t)dt ≤
a
g(t)f (t)dt ≤ M
f (t)dt
a
es decir
a+
m≤
g(t)f (t)dt ≤ M
a
pero como g es continua, cuando
→ 0, tanto m como M tienden a g(a), luego
β
lim
→0
α
g(t)f (t)dt = g(a)
Ecuaciones Diferenciales.
76
Si a ≥ β entonces f (t) = 0 en [α, β ], y si a ≤ α entonces, para
luego tambi´en f (t) = 0 en [α, β ], por tanto
suficientemente pequen˜o, a +
< a,
β
lim
→0
g(t)f (t)dt = 0
α
Este resultado permite considerar el caso ideal → 0 (en que f → f0) en la situaci´on descrita. Para ello
se define la siguiente “funci´on” 2:
Definici´on 28 Se denomina delta de Dirac a la “funci´on” δ(t − a) tal que, para toda funci´on continua g(t)
en [α, β ], verifica que
β
g(a) si α ≤ a < β
g(t)δ(t − a)dt =
0 en otro caso
α
Con esta definici´on, el caso
→ 0 en un problema de valor inicial como (5.3) (pero con condiciones
iniciales cualesquiera) conduce a la ecuaci´on
;
a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = I δ(t − a)
y(0) = y0
,
y (0) = y1
para cuya resoluci´on basta con conocer L(δ(t − a)).
Proposici´on 49 La transformada de Laplace de δ(t − a) es
L(δ(t − a)) = e−sa
En particular, para a = 0, L(δ(t)) = 1 .
( Dem. )
Inmediata, pues de la propia definici´on se obtiene que
∞
L(δ(t − a)) :=
e−stδ(t − a)dt = e−sa
0
(V´eanse ejemplos en la colecci´on de problemas).
5.3.4
Convoluci´on y sistemas lineales
A menudo se presenta el problema de determinar la respuesta de un sistema sometido a varias excitaciones
de diverso tipo simult´aneamente. Consid´erese como modelo el caso en que la formulaci´on matem´atica del
sistema conduce al problema de valor inicial (5.3)
a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = f (t)
;
y(0) = 0 ,
y (0) = 0
(5.4)
con f (t) conteniendo diferentes expresiones tipos de funciones (para simplificar se han considerado condiciones iniciales homog´eneas). Su resoluci´on mediante la transformada de Laplace lleva a
Y (s) =
1
a2s2 + a1s + a0
F (s) ≡ H (s)F (s)
(5.5)
y s´olo resta invertir la transformaci´on de Laplace para obtener y(t). Sin embargo, ser´ıa deseable hacerlo de
tal forma que al cambiar f (t) y, por tanto F (s), no hubiera que rehacer todos los c´alculos. Para ello, se
1
comienza observando que en la anterior expresi´on H (s) =
es la transformada de Laplace de
a2s2 + a1s + a0
la funci´on h(t), soluci´on del problema de valor inicial dado cuando F (s) = 1, es decir, cuando f (t) = δ(t).
Entonces:
h(0) = 0 , h (0) = 0
a2h (t) + a1h (t) + a0h(t) = δ(t) ;
2Realmente
no se trata de una verdadera funci´on en el sentido ordinario, sino de una distribuci´on.
Ecuaciones Diferenciales.
77
Definici´on 29 Dado un problema de valor inicial
;
a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = f (t)
,
y(0) = y0
y (0) = y1
se denomina funci´on de transferencia o respuesta impulsional del sistema a la funci´on h(t) soluci´on del
problema de valor inicial
;
a2h (t) + a1h (t) + a0h(t) = δ(t)
h(0) = 0
1
esto es a la funci´on cuya transformada de Laplace es
a2s2 + a1s + a0
,
h (0) = 0
.
Comentario:
· N´otese que s´olo pueden darse los siguientes casos:
1. La soluci´on general de la ecuaci´on (5.6) es h(t) = (c1 cos bt+c2 sin bt)eat, si las ra´ıces del polinomio
caracter´ıstico asociado son del tipo λ = a + bi.
En este caso, la soluci´on particular del problema de valor inicial da c1 = 0.
2. La soluci´on general de la ecuaci´on (5.6) es h(t) = c1eλ1t + c2eλ2t, si las ra´ıces del polinomio
caracter´ıstico son λ1, λ2 ∈ R, con λ1 = λ2.
En este caso, la soluci´on particular del problema de valor inicial da c1 = −c2.
3. La soluci´on general de la ecuaci´on (5.6) es h(t) = c1eλt + c2teλt, si las ra´ıces del polinomio
caracter´ıstico son λ1 = λ2 ≡ λ ∈ R.
En este caso, la soluci´on particular del problema de valor inicial da c1 = 0.
· Obs´ervese que la funci´on de transferencia de un sistema depende u´nicamente de “la parte fija” del
problema, correspondiente a los coeficientes ai.
La expresi´on (5.5) sugiere que y(t) est´e relacionada directamente con h(t) y f (t). Se trata de discernir
c´omo. En general se tiene que y(t) = h(t)f (t), ya que L(h(t)f (t)) = L(h(t))L(f (t)). El resultado correcto
es:
Proposici´on 50 El problema de valor inicial (5.4) (cuya resoluci´on por el m´etodo de Laplace conduce a la
expresi´on (5.5)) tiene como soluci´on la funci´on
t
y(t)
t
f (τ )h(t − τ )u(t − τ )dτ =
f (τ )h(t − τ )dτ
0
( Dem. )
0
Se va a aproximar la funci´on f (t) mediante
N −1
f (t)
f (ti)(u(t − ti) − u(t − ti+1))
i=1
y, a su vez, se va a utilizar la aproximaci´on
u(t − ti) − u(t − ti+1)
con lo que, si ci = f (ti)∆ti,
∆tiδ(t − ti)
N −1
f (t)
ciδ(t − ti)
i=1
A continuaci´on se van a utilizar dos propiedades b´asicas de las soluciones de problemas de valor inicial de
ecuaciones diferenciales lineales. En primer lugar, es v´alido el principio de superposici´on, por lo que la
soluci´on correspondiente a una combinaci´on lineal de excitaciones es la correspondiente combinaci´on de las
soluciones a cada una de las excitaciones. As´ı pues, se puede aproximar la soluci´on y(t) por
(5.6)
N −1
y(t)
ciyi(t)
i=1
Ecuaciones Diferenciales.
78
donde yi(t) son las soluciones de
;
a2y (t) + a1y (t) + a0y(t) = δ(t − ti)
y(0) = 0 ,
y (0) = 0
En segundo lugar, por la propiedad de invariancia en el tiempo del sistema se ha de tener que yi(t) =
h(t − ti)u(t − ti), lo que se traduce en
L(yi(t)) = H (s)L(δ(t − ti)) = H (s)e−sti
obteni´endose, as´ı, que
N −1
y(t)
f (ti)∆tih(t − ti)u(t − ti+1)
i=1
El segundo miembro de esta expresi´on puede verse como una suma de Riemann, por lo que, al hacer N → ∞
y max{∆ti, 0 ≤ i ≤ N − 1} → 0, se tendr´a
t
y(t)
t
f (τ )h(t − τ )u(t − τ )dτ =
0
f (τ )h(t − τ )dτ
0
ya que u(t − τ ) = 1 para τ < t.
Definici´on 30 Dadas dos funciones f (t) y g(t), se denomina producto de convoluci´on de las mismas a la
funci´on (si existe)
t
(f ∗ g)(t) :=
f (τ )g(t − τ )dτ
0
De la discusi´on precedente se obtiene inmediatamente el siguiente resultado:
Teorema 24 (de Convoluci´on): Si f (t) y g(t) son funciones admisibles, entonces f (t) ∗ g(t) tambi´en lo es y
L((f ∗ g)(t)) = L(f (t))L(g(t))
Comentario:
· El producto de convoluci´on es muy u´til para invertir la transformaci´on de Laplace, ya que, del teorema
de convoluci´on se obtiene de inmediato que si Y (s) = F (s)G(s) y f (t) = L−1(F (s) y g(t) = L−1(G(s))
entonces y(t) = L−1(Y (s)) = (f ∗ g)(t)).
Utilizando la definici´on y/0 este teorema es inmediato comprobar las siguientes propiedades:
Proposici´on 51 Sean f (t), g(t) y h(t) funciones admisibles, entonces:
1. (f ∗ g)(t) = (g ∗ f )(t).
2. (f ∗ (g + h))(t)) = (f ∗ g)(t) + (f ∗ h)(t).
3. ((f ∗ g) ∗ h)(t)) = (f ∗ (g ∗ h))(t).
4. (δ ∗ f )(t) = f (t).
Teniendo presente todo ´esto, se puede ahora afirmar que la soluci´on del problema de valor inicial (5.4) es
t
y(t) = (f ∗ h)(t)) =
f (τ )h(t − τ )dτ
0
y si se modifica f (t) s´olo ser´a necesario modificar, en consecuencia, el c´alculo del producto de convoluci´on
con la funci´on de transferencia del sistema.
(V´eanse ejemplos en la colecci´on de problemas).
Chapter 6
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas
Parciales
6.1
Introducci´on
Igual que en los cap´ıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precisi´on m´as concreta, se asumir´a que
todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.
6.2
Ecuaciones en derivadas parciales y problemas de contorno
6.2.1
Definiciones b´asicas
Antes de comenzar conviene recordar que, como se defini´o en el primer cap´ıtulo, una ecuaci´on diferencial es
una relaci´on entre una funci´on (suficientemente derivable), sus variables y una o varias derivadas sucesivas
de la funci´on. En forma impl´ıcita es una expresi´on del tipo
F (x, y(x), y (x), . . . , y(n)(x)) = 0
Entonces:
Definici´on 31 Se denomina ecuaci´on diferencial en derivadas parciales a una ecuaci´on diferencial en la que
la funci´on inc´ognita es de varias variables, u ≡ u(x1, . . . , xn). Esto es, una expresi´on del tipo:
F
x1, . . . , xn,
∂u
∂x1
,...,
∂u ∂ 2u ∂ 2u
, ,
∂xn ∂xk1 ∂x1∂x2
,...,
∂ 2u
∂x2n
,...
=0
(Las ecuaciones en derivadas parciales se suelen expresar siempre en forma impl´ıcita).
1. Se denomina orden de la ecuaci´on al de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuaci´on.
2. Se denomina grado de la ecuaci´on al exponente de la derivada de mayor orden.
Igual que con las ecuaciones diferenciales ordinarias, se van a tratar, en particular, las ecuaciones en
derivadas parciales de tipo lineal:
Definici´on 32 Una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales es de tipo lineal sii es de primer grado en
la funci´on inc´ognita u y en sus derivadas parciales. Se suele escribir L(u) = f (donde u y f son funciones
de varias variables y L es un operador lineal que puede contener en su expresi´on funciones de las variables
independientes).
La ecuaci´on lineal es homog´enea sii no tiene t´ermino independiente; esto es, f = 0.
79
Ecuaciones Diferenciales.
80
Ejemplos:
· Una ecuaci´on en derivadas parciales lineal es, por ejemplo,
2
donde L = 2
∂
∂x
+ xy
∂2
∂x2
− ex
∂
∂y
∂u
∂x
+ xy
∂ 2u
2
− ex
∂u
∂y
= f (x, y)
.
· No es una ecuaci´on en derivadas parciales lineal la siguiente
u
ya que L = u
∂
∂x
+ xy
∂2
∂x∂y
∂u
∂x
+ xy
∂ 2u
∂x∂y
= f (x, y)
no es un operador lineal, como puede comprobarse f´acilmente.
En este cap´ıtulo se prestar´a especial atenci´on a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de
segundo orden ya que, como se ver´a, son las que aparecen en las principales aplicaciones.
6.2.2
Problemas de contorno. Tipos de condiciones de contorno y de valor
inicial
En el contexto de este cap´ıtulo, un problema de contorno consiste en resolver una ecuaci´on diferencial
en derivadas parciales, esto es, en hallar una funci´on u que satisfaga dicha ecuaci´on en alg´un dominio de
las variables independientes, asi como ciertas condiciones de la funci´on y/o sus derivadas parciales en el
contorno de este dominio. Tambi´en se acostumbra a exigir condiciones de continuidad de u y sus derivadas
en el dominio en cuesti´on y su contorno.
Las condiciones de contorno que se van a considerar principalmente son las siguientes:
Definici´on 33 Un problema de contorno es lineal sii la ecuaci´on en derivadas parciales a la que est´a asociado
es lineal y las propias condiciones de contorno tambi´en son lineales. Se tiene, por tanto:
e.d.p. lineal:
Conds. cont. lineales:
L(u) = f
L1(u) = f1 , . . . , Lk (u) = fk
Si f1 = . . . = fk = 0 se dice que las condiciones de contorno son homog´eneas.
Ejemplo:
· En el recinto 0 < x < 1, y > 0 se define
e.d.p. lineal:
Conds. cont. lineales:
L(u(x, y)) :=
∂ 2u
∂y2
−
∂ 2u
∂x2
= sin πx
L1(u(x, 0)) := u(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1
L2(u(x, 0)) :=
∂u
∂x
(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1
L3(u(0, y)) := u(0, y) = 0 , y ≥ 0
L4(u(1, y)) := u(1, y) = 0 , y ≥ 0
En este ejemplo se tiene f = sin πx, f1 = f2 = f3 = f4 = 0; luego las condiciones de contorno son
lineales y homog´eneas.
Igual que en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, se tiene el siguiente resultado:
∂x
Ecuaciones Diferenciales.
81
Proposici´on 52 (Principio de superposici´on de soluciones): Sea una ecuaci´on en derivadas parciales lineal
y homog´enea L(u) = 0. Si u1, . . . , un son soluciones, entonces:
n
1. Cualquier combinaci´on lineal de las mismas, u =
ck uk , es tambi´en soluci´on.
k=1
2. Si u1, . . . , un son soluciones que satisfacen una condici´on de contorno lineal y homog´enea, entonces
n
cualquier combinaci´on lineal de las mismas, u =
ck uk , satisface tambi´en la condici´on dada.
k=1
( Dem. )
Evidente pues, por ser L lineal
n
L(u) = L(
n
ck uk ) =
k=1
ck L(uk ) = 0
k=1
y la segunda parte de la proposici´on es inmediata.
A continuaci´on se van a introducir las diversas maneras en que pueden presentarse las condiciones de
contorno.
Definici´on 34 Un problema de contorno es de tipo Dirichlet sii las condiciones de contorno consisten en
dar los valores de la funci´on inc´ognita u en el contorno del dominio de definici´on del problema.
Definici´on 35 Un problema de contorno es de tipo Newmann sii las condiciones de contorno consisten en
∂u
dar los valores de la derivada direccional de la funci´on inc´ognita u, en la direcci´on normal al contorno
∂n
del dominio de definici´on del problema, sobre los puntos de dicho contorno.
Definici´on 36 Un problema de contorno es de tipo mixto sii las condiciones de contorno consisten en
dar los valores de una combinaci´on lineal de la funci´on inc´ognita u y de la derivada direccional
(en la
∂u
∂n
direcci´on normal al contorno del dominio de definici´on del problema) sobre los puntos de dicho contorno. Es
decir, de
∂u
hu +
∂n
donde h es una constante arbitraria o una funci´on de las variables independientes.
Definici´on 37 Un problema de contorno es de tipo Cauchy sii la ecuaci´on en derivadas parciales es de
segundo orden en alguna de las variables (p. ej., y) y las condiciones de contorno consisten en dar los
∂u
valores de la funci´on inc´ognita u y de la derivada parcial
en y = 0.
∂y
M’as adelante se ver´a c´omo se resuelven diversos tipos de ecuaciones en derivadas parciales sometidas a
diferentes clases de condiciones de contorno.
6.2.3
Clasificaci´on de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden
lineales
Consid´erese una ecuaci´on en derivadas parciales de segundo orden lineal homog´enea con coeficientes constantes. Por simplicidad se tratar´a la cuesti´on en dos dimensiones; esto es, se supondr´a que la funci´on
inc´ognita depende de dos variables, u = u(x, y). Con estas hip´otesis, se est´an considerando ecuaciones cuya
expresi´on general es
+B
L
u
:
A
2
∂ 2u
∂ 2u (
)
=
∂x∂y
+C
∂ 2u
∂y2
+D
∂u
∂x
+E
∂u
∂y
+ Fu (6.1
=0 )
donde A, B, C, D, E, F ∈ R son constantes. En estas condiciones se tiene el siguiente resultado general:
∂x
Ecuaciones Diferenciales.
82
Proposici´on 53 Toda ecuaci´on en derivadas parciales de segundo orden lineal con coeficientes constantes
(en dos dimensiones) del tipo (6.1) puede convertirse (por medio de transformaciones lineales) en una de
los tres siguientes tipos:
1. Una ecuaci´on lineal con coeficientes constantes con un u´nico t´ermino de segundo orden en el que
aparecen las derivadas parciales cruzadas de la funci´on inc´ognita.
2. Una ecuaci´on lineal con coeficientes constantes con un u´nico t´ermino de segundo orden en el que no
aparecen las derivadas parciales cruzadas de la funci´on inc´ognita.
3. Una ecuaci´on lineal con coeficientes constantes con dos t´erminos de segundo orden (con el mismo
coeficiente) en los que no aparecen las derivadas parciales cruzadas de la funci´on inc´ognita.
( Dem. )
Si se efect´ua el siguiente cambio lineal de coordenadas
t = αx + βy
,
s = µx + λy
(6.2)
(con α, β, µ, λ ∈ R par´ametros arbitrarios) y se designa por u˜ = u˜(t, s) a la funci´on transformada de u(x, y),
se tiene que
∂u
∂x
∂u
∂y
∂ 2u
∂x2
∂ 2u
∂x∂y
∂ 2u
∂y2
=
=
∂ u˜
∂t
∂ u˜
β
∂t
α
=
α2
=
αβ
=
β2
∂ u˜
∂s
∂ u˜
∂s
+µ
+λ
∂ 2u˜
+ αµ
∂t2
2
2
∂t∂s
2
+ αλ
2
∂ 2u˜
∂ 2u˜
+ βλ
∂t∂s
∂ 2u˜
∂t∂s
∂ 2u˜
+ µα
∂s∂t
2
+ µβ
∂s∂t
∂ 2u˜
+ λβ
∂s∂t
+ µ2
∂ 2u˜
∂s2
2
+ µλ
+ λ2
= α2
2
∂ 2u˜
2
∂ 2u˜
+ 2αµ
∂t2
2
= 2αβ
= β2
2
+ µ2
∂t∂s
+ (αλ + µβ )
2
∂ 2u˜
∂ 2u˜
+ 2β λ
∂ 2u˜
+ λ2
∂t∂s
∂ 2u˜
∂s2
2
∂t∂s
+ 2µλ
∂ 2u˜
∂s2
∂ 2u˜
∂s2
con lo que la ecuaci´on (6.1) se transforma en
0
=
(α2A + αβB + β 2C )
D(α + β )
∂u
∂t
∂ 2u
∂t2
+ E (µ + λ)
+ (2αµA + (αλ + µβ )B + 2β λC )
∂u
∂s
∂ 2u
∂t∂s
+ (µ2A + µλB + λ2C )
∂ 2u
∂s2
+
+ Fu
Analicemos la forma de los t´erminos de segundo orden, de manera que se obtenga una de las tres opciones
consideradas.
1. La ecuaci´on tiene un s´olo t´ermino de segundo orden en el que aparecen las derivadas parciales cruzadas
de la funci´on inc´ognita.
Hay dos posibilidades:
(a) Si A = C = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformaci´on (6.2).
(b) Sup´ongase que A = 0 (y/o C = 0). Entonces ha de tenerse que
α2A + αβB + β 2C = 0 ,
µ2A + µλB + λ2C = 0
o, equivalentemente
2
A+
α
αβ
β
µ
B
+λ
C
=
0
,
2
µ
B
λ +
C
=
0
A+
de donde, despejando, se obtiene la siguiente relaci´on
α
β
∂ u˜
∂t
∂t
=
1
2A
(−B ±
∂ u˜
B2 − 4AC ) ,
∂ u˜
µ
λ
=
∂ u˜
∂ u˜
∂s
∂t
∂s
∂t
1
2A
(−B
B 2 − 4AC )
∂ u˜
(6.3)
Ecuaciones Diferenciales.
83
(en una de las igualdades se toma el signo + y en la otra el −). Para que la transformaci´on (6.2)
α µ
no sea singular ha de ser = , por lo que la ecuaci´on adopta la forma deseada
β λ
B
∂ 2u˜
∂t∂s
+D
∂ u˜
∂t
+E
∂ u˜
∂s
+ F u˜ = 0
si, y s´olo si, B2 − 4AC > 0.
2. La ecuaci´on tiene un s´olo t´ermino de segundo orden en el que no aparecen las derivadas parciales
cruzadas de la funci´on inc´ognita.
Hay dos posibilidades:
(a) Si B = C = 0 ´o B = A = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformaci´on
(6.2).
(b) Suponiendo de nuevo que A = 0 (y/o C = 0), entonces ha de tenerse que
α2A + αβB + β 2C = 0 ,
2αµA + (αλ + µβ )B + 2β λC = 0
Si B 2 − 4AC = 0, de la primera de las expresiones (6.3) se obtiene que
α
β
=
−B
2A
, con lo que se
logra la anulaci´on del primer coeficiente. Por otra parte, si se toma µ = 1 y λ = 0; es decir, se
realiza la transformaci´on
t = −Bx + 2Ay , s = x
la segunda ecuaci´on se reduce a
2αA + βB = 0
con lo que se obtiene una ecuaci´on en derivadas parciales del tipo 1:
A
∂ 2u˜
2
+D
∂ u˜
∂t
+E
∂ u˜
∂s
+ F u˜ = 0
3. La ecuaci´on tiene dos t´erminos de segundo orden en los que no aparecen las derivadas parciales cruzadas
de la funci´on inc´ognita.
Hay dos posibilidades:
(a) Si B = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformaci´on (6.2).
(b) Si B = 0, la transformaci´on
−Bx + 2Ay
t=√
4AC − B 2
,
s=x
(es pues necesario que B2 − 4AC < 0) convierte la ecuaci´on en derivadas parciales inicial en una
de la forma
∂ 2u˜
∂ 2u˜
∂ u˜
∂ u˜
A
+
+D
+E
+ F u˜ = 0
2
∂s2
∂t
∂s
La discusi´on precedente da origen a la siguiente definici´on que clasifica las ecuaciones en derivadas
parciales de segundo orden lineales con coeficientes constantes:
Definici´on 38 Dada una ecuaci´on en derivadas parciales de segundo orden lineal homog´enea con coeficientes
constantes (en dos dimensiones) del tipo (6.1).
1. La ecuaci´on es del tipo hiperb´olico (y el operador lineal L es hiperb´olico) sii B 2 − 4AC > 0; es decir,
es del primer tipo:
∂ 2u
+D
∂
x
∂
y
∂u
∂x
+E
1Si
se desea que el t´ermino que aparezca sea
∂ 2u˜
∂t2
+ Fu
=0
, el an´alisis a efectuar es an´alogo.
∂s
∂t
∂u
∂y
Ecuaciones Diferenciales.
84
2. La ecuaci´on es del tipo parab´olico (y el operador lineal L es parab´olico) sii B 2 − 4AC = 0; es decir,
es del segundo tipo:
∂ 2u
∂u
∂u
+D
+E
+ Fu = 0
∂x2
∂x
∂y
3. La ecuaci´on es del tipo el´ıptico (y el operador lineal L es el´ıptico) sii B 2 − 4AC < 0; es decir, es del
∂x
∂y
tercer tipo:
∂ 2u
2
+
∂ 2u
2
+D
∂u
∂x
+E
∂u
∂y
+ Fu = 0
Comentario:
· Esta clasificaci´on es de gran relevancia ya que, para cada clase de ecuaci´on, el tipo de condici´on de
contorno y la naturaleza de la soluci´on son diferentes (como ya se ver´a). Adem´as, cada una de ellas
corresponde, en las aplicaciones, a un tipo diferente de problema f´ısico:
1. Las hiperb´olicas describen problemas de vibraciones (y requieren dos condiciones iniciales, adem´as
de las de contorno).
2. Las parab´olicas describen problemas de difusi´on (y requieren una condici´on inicial, adem´as de las
de contorno).
3. Las el´ıpticas describen problemas de estados de equilibrio (y no requieren condiciones iniciales,
adem´as de las de contorno).
Antes de abordar el estudio y resoluci´on de estos tipos de ecuaciones sometidos a diferentes condiciones
de contorno, es preciso dar algunas nociones sobre las series de funciones trigonom´etricas conocidas como
series de Fourier.
6.3
6.3.1
Series de Fourier y funciones ortogonales
Series y coeficientes de Fourier
En el estudio de muchos problemas f´ısicos que se modelizan por medio de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales (p. ej., problemas de vibraciones mec´anicas, conducci´on del calor, transmisi´on de ondas, electromagnetismo, etc.) es necesario trabajar con series de funciones trigonom´etricas del tipo
f (x) =
1
a0 +
2
∞
(an cos nx + bn sin nx)
(6.4)
n=1
Aparte de ello, el estudio puramente te´orico de estas series ha influido notablemente en el desarrollo del
ana´alisis matem´atico en los u´ltimos 250 an˜os.
Una ventaja de estas series es que son capaces de representar funciones de tipo muy general con muchas
discontinuidades (como, p. ej., las funciones discontinuas de impulso en ingenier´ıa electr´onica); mientras
que, p. ej., las series de potencias s´olo pueden representar funciones de clase C∞.
Se va a comenzar su estudio presentando algunos c´alculos cl´asicos que fueron realizados inicialmente por
Euler, y que se recogen en la siguiente:
Proposici´on 54 Sea una serie trigonom´etrica del tipo
1
a0 +
2
∞
(an cos nx + bn sin nx)
n=1
(6.5)
Ecuaciones Diferenciales.
85
tal que converge uniformemente a una funci´on f (x) en el intervalo [−π, π). Entonces los coeficientes de la
serie son
a0 =
π
1
π
f (x)dx
,
−π
π
1
an =
π
1
π
bn =
f (x) cos nxdx
(∀n ∈ N)
f (x) sin nxdx
(∀n ∈ N)
−π
π
−π
( Dem. ) Por ser la serie uniformemente convergente en [−π, π) es integrable t´ermino a t´ermino en dicho
intervalo, por lo que, teniendo en cuenta que
π
π
cos nxdx = 0 ,
sin nxdx = 0
−π
(∀n ∈ N)
−π
la integraci´on t´ermino a t´ermino conduce a
π
f (x)dx = a0π
−π
⇔
a0 =
1
π
π
f (x)dx
−π
a0
es, por tanto, el valor medio de f (x) en el intervalo considerado). Multiplicando
2
ahora (6.4) por cos nx resulta
(obs´ervese que el t´ermino
f (x) cos nx =
1
a0 cos nx + a1 cos x cos nx + b1 sin x cos nx + . . . + an cos2 x + bn sin nx cos nx + . . . (6.7)
2
y, teniendo en cuenta las relaciones trigonom´etricas
sin mx cos nx
=
cos mx cos nx
=
sin mx sin nx
=
1
(sin (m − n)x + sin (m + n)x)
2
1
(cos (m − n)x + cos (m + n)x)
2
1
(cos (m − n)x − cos (m + n)x)
2
es f´acil comprobar que
π
π
sin mx cos nxdx = 0 ,
−π
cos mx cos nxdx = 0
;
(si m = n)
−π
por lo que, integrando t´ermino a t´ermino (6.7) se obtiene
π
π
cos2 nxdx = anπ
f (x) cos nxdx = an
−π
⇔
−π
an =
1
π
π
f (x) cos nxdx
−π
Realizando un proceso an´alogo, pero multiplicando por sin nx y usando que
π
sin mx sin nxdx = 0
;
(si m = n)
−π
se llega a que
π
−π
π
f (x) sin nxdx = bn
sin2 nxdx = bnπ
−π
⇔
bn =
1
π
π
f (x) sin nxdx
−π
(6.6)
La situaci´on presentada en esta proposici´on es, no obstante, demasiado restrictiva, ya que se asume que la
serie trigonom´etrica es uniformemente convergente a la funci´on f (x) o, lo que es lo mismo, que esta funci´on es
desarrollable por medio de una serie trigonom´etrica uniformemente convergente. Estas hip´otesis no estar´an,
en general, aseguradas previamente y, por consiguiente, tampoco la existencia de los coeficientes a n y bn.
El punto de vista que se va a tomar ser´a, pues, dada una funci´on f (x), definir los coeficientes mediante las
expresiones (6.6) y, con ellos, construir la serie trigonom´etrica (6.5).
Ecuaciones Diferenciales.
86
Definici´on 39 Dada una funci´on f (x) integrable 2 en [−π, π), se denominan coeficientes de Fourier de
f (x) a los valores an, bn obtenidos mediante las expresiones (6.6) y serie de Fourier de f (x) a la serie
trigonom´etrica
∞
1
(an cos nx + bn sin nx)
a0 +
2
n=1
y como corolario de la proposici´on anterior se tiene:
Corollary 1 Dadas dos funciones f (x), g(x) integrables en [−π, π), los coeficientes de Fourier de αf (x) +
βg(x) (α, β ∈ R) son la suma de α veces los de f (x) y β veces los de g(x).
Es de desear que la serie de Fourier de una funci´on f (x) converja (uniformemente) y tenga como suma
la funci´on dada (cumpli´endose, por tanto, la igualdad (6.4)). Desgraciadamente no siempre ocurre as´ı y hay
muchas funciones integrables (e incluso continuas) cuya serie de Fourier diverge en uno o m´as puntos.
Comentario:
· Del mismo modo que una serie de Fourier no tiene por qu´e ser convergente, una serie trigonom´etrica no
tiene por qu´e ser serie de Fourier de alguna funci´on; esto es, los coeficientes de dicha serie no podr´ıan
obtenerse mediante expresiones del tipo (6.6) para ninguna funci´on f (x) (ni aun tomando como funci´on
la suma de dicha serie, en el caso de que fuera convergente).
Ejemplo:
∞
· La serie
n=1
6.3.2
sin nx
converge ∀x ∈ R pero se sabe que no es de Fourier.
log (1 + n)
Convergencia de series de Fourier
El problema fundamental consiste, pues, en investigar las propiedades de una funci´on integrable que garanticen que su serie de Fourier, no s´olo es convergente, sino que tiene dicha funci´on como suma.
En primer lugar, de la igualdad (6.4) y observando que cada t´ermino de la serie trigonom´etrica que en
ella aparece tiene periodicidad 2π, se obtiene de inmediato que:
Proposici´on 55 Si
1
a0 +
2
∞
(an cos nx + bn sin nx) es la serie de Fourier de una funci´on f (x) y converge
n=1
sumando f (x) (es decir, se cumple la igualdad (6.4)), entonces f (x) es peri´odica de periodo 2π.
Puede tambi´en demostrarse que:
Lema 6 Sea f (x) una funci´on tal que 3:
1. f (x) est´a acotada.
2. f (x) tiene un n´umero finito de puntos de discontinuidad.
3. f (x) tiene un n´umero finito de m´aximos y m´ınimos.
e
Entonces todos los puntos de discontinuidad de f (x) son simples; es decir, existen los l´ımites laterales f (x+)
y f (x−) de f (x) en todos los puntos x de su dominio.
2Obs´rvese
3Estas
que no es necesario que sea una funci´on continua.
condiciones se denominan condiciones de Dirichlet.
Ecuaciones Diferenciales.
87
Y a partir de aqu´ı, el siguiente resultado (que se enuncia sin demostraci´on):
Teorema 25 (de Dirichlet): Sea f (x) una funci´on definida en el intervalo I = [−π, π), tal que:
1. f (x) est´a acotada en I .
2. f (x) tiene un n´umero finito de puntos de discontinuidad en I .
3. f (x) tiene un n´umero finito de m´aximos y m´ınimos en I .
4. Fuera de [−π, π) est´a definida por periodicidad; es decir, es peri´odica de periodo 2π.
1 (f (x+) + f (x−)) en todos los puntos x ∈ R y,
Entonces existe la serie de Fourier de f (x), que converge a
2
por tanto, converge a la funci´on f (x) en todos los puntos donde la funci´on es continua.
(En particular, si en los puntos de discontinuidad la funci´on se define tomando el valor medio de sus
l´ımites laterales en dichos puntos, la serie de Fourier converge a la funci´on en todos los puntos del dominio).
Comentario:
· Obs´ervese que la continuidad de una funci´on no es, por tanto, condici´on necesaria ni suficiente para la
convergencia de su serie de Fourier (si ´esta existe).
De este modo, puede darse el caso de que una funci´on discontinua sea representable por una serie de
Fourier en todos los puntos de su dominio, siempre que sus discontinuidades sean simples y se comporte
suficientemente bien entre los puntos de discontinuidad.
Ejemplo:
· Para la funci´on
0
π
f (x) =
si −π ≤ x < 0
si 0 ≤ x < π
se tiene que
es decir, b2n = 0 y b2n−1 =
a0
=
an
=
bn
=
0
1
π
1
π
1
π
2
2n − 1
π
0dx +
−π
πdx
=π
0
π
(n ≥ 1)
π cos nxdx = 0
0
π
π sin nxdx =
0
1
(1 − (−1)n)
n
(n ≥ 1)
; por consiguiente la serie de Fourier de esta funci´on es
π
+ 2 sin x +
2
sin 3x
3
+
sin 5x
5
+ ...
Esta serie converge a la funci´on dada en todos los puntos de los intervalos (−π, 0) ∪ (0, π), pero no en
los puntos de discontinuidad −π, 0, π donde su suma vale π/2.
Si la funci´on se extiende por periodicidad a todo R, el resultado sobre la convergencia de la serie es el
mismo en todos los intervalos [(2n − 1)π, (2n + 1)π) (n ∈ Z − {0}).
Ecuaciones Diferenciales.
6.3.3
88
Funciones pares e impares
En los apartados anteriores se ha trabajado con funciones definidas en el intervalo [−π, π) y extendidas
por periodicidad fuera de ese intervalo. En estos casos, tambi´en podr´ıa haberse tomado como intervalo de
trabajo [0, 2π) u otro cualquiera de longitud 2π. Sin embargo, el haber tomado la primera opci´on (intervalo
sim´etrico respecto al origen) tiene notorias ventajas a la hora de explotar las propiedades de simetr´ıa o
antisimetr´ıa de las funciones. As´ı, como primer resultado se tiene:
Proposici´on 56 Sea f (x) una funci´on integrable en [−π, π).
1. f (x) es una funci´on par si, y s´olo si, sus coeficientes de Fourier son
an =
π
2
π
0
f (x) cos nxdx , bn = 0
es decir, su serie de Fourier contiene s´olo t´erminos en cos nx.
2. f (x) es una funci´on impar si, y s´olo si, sus coeficientes de Fourier son
π
2
an = 0 , bn =
π
f (x) sin nxdx
0
es decir, su serie de Fourier contiene s´olo t´erminos en sin nx.
( Dem. )
Inmediata.
Y de aqu´ı:
Definici´on 40 Una serie de Fourier se dice que es de tipo seno para x (resp. de tipo coseno para x) sii
s´olo contiene t´erminos en sin nx (resp. en cos nx).
Y como caso particular del teorema de Dirichlet en este contexto se tiene:
Teorema 26 (de Dirichlet): Sea f (x) una funci´on definida en el intervalo I = [0, π), tal que satisfaga las
condiciones de Dirichlet en I 4. Entonces f (x) se puede desarrollar en una serie de Fourier de tipo coseno
o de tipo seno, con la salvedad, en este u´ltimo caso, de que la serie no puede converger a f (x) en los puntos
x = 0, π, . . . , nπ, . . ., a menos que la funci´on tome valor 0 en ellos.
( Dem. )
Es una consecuencia directa del teorema de Dirichlet.
Comentario:
· Para hallar la serie de Fourier de tipo seno de f (x), se redefine la funci´on f (x) (si es necesario) d´andole
el valor 0 en x = 0, π y extendi´endola, a continuaci´on, al intervalo [−π, 0) de manera que la funci´on
extendida en [−π, π) sea impar. Fuera de este intervalo se define por periodicidad (si es necesario).
· De igual forma, para hallar la serie de Fourier de tipo coseno de f (x), se extiende la funci´on al intervalo
[−π, 0) de manera que la funci´on extendida en [−π, π) sea par. Fuera de este intervalo se define por
periodicidad (si es necesario).
Ejemplo:
· Para la funci´on f (x) = cos x definida en [0, π), la serie de Fourier de tipo seno es
8
π
∞
n=1
n sin 2nx
4n2 − 1
mientras que la de tipo coseno es simplemente la propia funci´on.
4 N´tese
que no se pide que sea par ni impar, ni tan siquiera peri´odica, sino que s´olo est´e definida en ese intervalo verificando
esas condiciones.
o
Ecuaciones Diferenciales.
6.3.4
89
Extensi´on a intervalos arbitrarios
Hasta el momento todo lo que se ha enunciado sobre series de Fourier es v´alido para funciones definidas en
el intervalo [−π, π) (y extendidas por periodicidad fuera de ´el). No obstante, en muchas aplicaciones ser´a
necesario manejar series de Fourier de funciones peri´odicas de periodo 2L definidas en el intervalo [−L, L)
(con L > 0).
Para obtener dichas series el procedimiento a seguir es el siguiente:
1. Efectuar el cambio de variable t =
πx
L
o, equivalentemente, x =
Lt
π
.
Con ello la funci´on f (x), x ∈ [−L, L), peri´odica de periodo 2L, se transforma en f˜(t) = f (Lt/π) ,
t ∈ [−π, π), que es peri´odica de periodo 2π.
2. Si f (x) satisface las condiciones de Dirichlet en [−L, L), tambi´en lo hace f˜(t) en [−π, π).
Entonces se desarrolla f˜(t) en serie de Fourier de la forma expuesta.
3. Se deshace el cambio de variable en la serie hallada a fin de obtener la serie de Fourier de f (x).
Comentario:
· Otra forma de obtener el mismo resultado consistir´ıa en calcular directamente la serie de Fourier de
f (x), pero calculando los coeficientes de Fourier del siguiente modo:
a0 =
L
1
L
f (x)dx
−L
,
an =
bn =
1
L
L
−L
L
1
L
f (x) cos nxdx (∀n ∈ N)
f (x) sin nxdx
−L
(∀n ∈ N)
aunque, en general es m´as r´apido el anterior procedimiento.
6.3.5
Funciones ortogonales: series de Fourier generalizadas
Definici´on 41 Una sucesi´on funcional {θn(x)} (n ∈ N) es una sucesi´on de funciones ortogonales sobre el
intervalo [a, b] sii
b
0 si m = n
θn(x)θm(x)dx =
k
n
=
0 si m = n
a
La sucesi´on se denomina ortonormal sii kn = 1, ∀n, y en tal caso, se dice que las funciones de la sucesi´on
est´an normalizadas.
Comentario:
· Si la sucesi´on funcional {θn(x)} es ortogonal pero no ortonormal entonces es inmediato observar que
{φn(x)} con
θn(x)
e
φn(x) = √
kn
es una sucesi´on ortonormal 5.
Ejemplo:
b
5Obs´rvese
que kn > 0 ya que
(θn(x))2dx .
a
Ecuaciones Diferenciales.
90
· La sucesi´on funcional
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .
que se ha usado en los apartados anteriores para construir las series de Fourier de funciones, es
ortogonal en el intervalo [−π, π] pero no en el [0, π], pues
π
1 sin xdx = 2 = 0
0
y dado que
π
π
1dx = 2π
π
,
−π
cos2 nxdx = π
,
−π
sin2 nxdx = π
−π
la sucesi´on ortonormal en [−π, π] obtenida a partir de esta es
√
1
2π
,
cos x
√
π
sin x
,√
π
,
cos 2x
√
π
,
sin 2x
√
π
, ...
En el siglo XIX y principios del XX algunos matem´aticos y f´ısicos observaron que se pod´ıan construir
series del tipo de Fourier utilizando cualquier sucesi´on de funciones ortogonales 6. En efecto; sup´ongase que
se tiene una sucesi´on ortonormal {φn(x)} (n ∈ N) en [a, b] y una funci´on f (x) integrable en [a, b] y que se
quiere desarrollar dicha funci´on en una serie que converja a la funci´on, del siguiente modo
∞
f (x) =
anφn(x)
n=1
Intentemos definir cu´ales son los coeficientes an. Multiplicando ambos miembros de la igualdad por φn(x)
se obtiene
f (x)φn(x) = a1φ1(x)φn(x) + . . . + anφ2n(x) + . . .
y, asumiendo que se puede integrar t´ermino a t´ermino y teniendo en cuenta la propiedad de ortonormalidad
de las funciones φn(x), resulta
b
a
b
f (x)φn(x)dx = an
a
φ2n(x)dx = an
luego, tomando esto como modelo se puede definir:
Definici´on 42 Sea una sucesi´on ortonormal {φn(x)} (n ∈ N) en [a, b] y una funci´on f (x) integrable en
[a, b]. Se denomina serie de Fourier generalizada de f (x) respecto a la sucesi´on {φn(x)} a la serie
∞
anφn(x)
n=1
donde los coeficientes son
b
an =
f (x)φn(x)dx
a
y se denominan coeficientes de Fourier generalizados de f (x) respecto a la sucesi´on {φn(x)}.
Comentario:
· Obs´ervese que, en el desarrollo anterior, se han asumido las hip´otesis de que la funci´on f (x) puede ser
expresada por medio de una serie de la forma descrita y que dicha serie es integrable t´ermino a t´ermino.
En realidad, estas dos condiciones no van a estar aseguradas de entrada para cualquier funci´on y, por
tanto, la igualdad (6.8) no se va a cumplir en general (igual que ya ocurr´ıa con las series de Fourier
ordinarias, que son un caso particular de ´estas).
6Posteriormente,
estas series pasaron a ser instrumentos indispensables de trabajo en muchas ramas de la f´ısica matem´tica,
(6.8)
principalmente en Mec´anica Cu´antica.
Ecuaciones Diferenciales.
6.3.6
91
Convergencia en media cuadr´atica de series de Fourier
Se va a estudiar, a continuaci´on en qu´e condiciones se puede garantizar que una serie de Fourier generalizada
converja a la funci´on que la define. Previamente hay que introducir un nuevo concepto sobre convergencia
de series de funciones.
Sea una funci´on f (x) y una sucesi´on de funciones {pn(x)}, definidas todas ellas en [a, b] ∈ R. Si se
desea aproximar f (x) por medio de los t´erminos de esta sucesi´on, cada uno de los n´umeros |f (x) − p n(x)| y
(f (x) − pn(x))2 da una medida del error de la aproximaci´on en el punto x. Sin embargo, puede ser preferible
dar una medida del error que se refiera a todo el intervalo [a, b], lo cual puede conseguirse mediante las
integrales
b
b
,
|f (x) − pn(x)|dx
(f (x) − pn(x))2dx
a
a
siendo la segunda mejor elecci´on que la primera ya que evita el valor absoluto en el integrando y hace m´as
convenientes los c´alculos necesarios (como se ver´a). As´ı pues:
Definici´on 43 Dada una funci´on f (x) y una sucesi´on de funciones {pn(x)}, definidas e integrables en
[a, b] ∈ R.
1. Se denomina error cuadr´atico medio de f (x) por la sucesi´on {pn(x)}
7
a
b
(f (x) − pn(x))2dx
En =
a
2. Se dice que {pn(x)} converge en media a f (x) sii
lim En := lim (f (x) − pn(x))2 = 0
n→∞
y se escribe
8
n→∞
l.i.m.n→∞pn(x) = f (x) .
Comentario:
· El error cuadr´atico medio es justamente el cuadrado de la norma f − pn
en el espacio m´etrico
de funciones integrables en [a, b]. Por consiguiente, la convergencia en media de {pn(x)} a f (x) es
equivalente a la convergencia de esta sucesi´on al l´ımite f (x) en ese espacio m´etrico; es decir
(n → ∞)
d(f, pn) = f − pn → 0
El resultado crucial de este apartado es el siguiente:
Teorema 27 Sea una funci´on f (x) y una sucesi´on ortonormal de funciones {φn(x)}, definidas e integrables
en [a, b] ∈ R. Para cada entero positivo k, la k-´esima suma parcial de la serie de Fourier generalizada de
k
f (x) respecto a la sucesi´on {φn(x)}; es decir,
anφn(x) , produce un error cuadr´atico medio
n=1
b
k
[f (x) −
Ekmin =
a
anφn(x)]2dx
n=1
k
(6.9)
que es menor que el de cualquier otra combinaci´on lineal pk =
bnφn(x) .
n=1
7Esta
terminolog´ıa es adecuada por cuanto, si se divide En por b − a, se obtiene el valor medio del error cuadr´tico
(f (x) − pn(x))2 de la aproximaci´on.
8l.i.m. significa l´ımite in media.
Ecuaciones Diferenciales.
( Dem. )
92
Se trata de minimizar el error cuadr´atico medio
b
Ek =
k
b
(f (x) −
(f (x) − pk (x))2dx =
a
a
bnφn(x))2dx
n=1
mediante una adecuada elecci´on de los coeficientes bn. Desarrollando el cuadrado del integrando se tiene
b
k
b
2
Ek =
f (x)
a
(
bnφn(x)dx +
a
k
b
a
n=1
bnφn(x))2dx
n=1
b
Recordando que los coeficientes de Fourier de f (x) respecto a la sucesi´on {φn(x)} son an =
f (x)φn(x)dx
a
, la segunda integral del desarrollo es
k
b
k
f (x)
a
bn
n=1
k
b
bnφn(x)dx =
n=1
f (x)φn(x)dx =
a
bnan
n=1
mientras que la tercera, teniendo en cuenta la ortonormalidad de las funciones φn(x), se transforma en
b
k
(
a
k
b
k
(
bnφn(x))2dx =
a
n=1
n=1
k
b
bnφn(x))(
bnφn(x))dx =
n=1
k
b2nφn(x)2dx =
a n=1
b2n
n=1
De este modo resulta
k
b
f (x)2dx − 2
Ek =
a
k
bnan +
n=1
k
b
b2n =
n=1
f (x)2dx −
a
k
(bn − an)2
a2n +
n=1
n=1
y, observando que los t´erminos de la u´ltima suma son (bn − an)2 ≥ 0, se obtiene finalmente que Ek es m´ınimo
en el caso en que bn = an.
A partir de este teorema se obtiene:
Teorema 28 Sea una funci´on f (x) y una sucesi´on ortonormal de funciones {φn(x)}, definidas e integrables
en [a, b] ∈ R. Si los n´umeros an son los coeficientes de Fourier de f (x) respecto a la sucesi´on {φn(x)},
∞
entonces la serie num´erica
a2n es convergente y satisface la desigualdad de Bessel:
n=1
∞
b
a2n ≤
n=1
(f (x))2dx
a
( Dem. ) De acuerdo con el teorema anterior, como En ≥ 0para toda elecci´on de bn, es claro que el valor
m´ınimo de En (que ocurre cuando bn = an) es tambi´en no negativo; lugo (6.9) implica que
k
b
(f (x))2dx −
a
k
a2n ≥ 0
n=1
⇔
b
a2n ≤
n=1
(f (x))2dx
a
de donde, al hacer k → ∞, se obtiene el resultado.
Y, como el t´ermino n-´esimo de una serie convergente ha de tender a 0 cuando n → ∞, se tiene como
corolario que:
Teorema 29 Sea una funci´on f (x) y una sucesi´on ortonormal de funciones {φn(x)}, definidas e integrables
en [a, b] ∈ R. Si los n´umeros an son los coeficientes de Fourier de f (x) respecto a la sucesi´on {φn(x)},
entonces lim an = 0 .
n→∞
f (x) dx − 2
Ecuaciones Diferenciales.
93
Con estos resultados se est´a ya en condiciones de responder a la pregunta de bajo qu´e condiciones la serie
de Fourier (generalizada) de una funci´on converge en media a dicha funci´on o, lo que es equivalente, cuando
las sumas parciales de la mencionada serie convergen en media a la funci´on. La respuesta es:
Teorema 30 Sea una funci´on f (x) y una sucesi´on ortonormal de funciones {φn(x)}, definidas e integrables
en [a, b] ∈ R. La serie de Fourier generalizada de f (x) respecto a la sucesi´on {φn(x)} converge en media a
f (x); es decir,
k
l.i.m.k→∞
(6.10)
anφn(x) = f (x)
n=1
si, y s´olo si, la desigualdad de Bessel se transforma en la identidad de Parseval:
∞
b
a2n =
(f (x))2dx
a
n=1
( Dem. ) Teniendo en cuenta el teorema 27, es evidente que la expresi´on (6.10) es v´alida si, y s´olo si,
Ek → 0 cuando k → ∞, y de la f´ormula (6.9) se obtiene que ello es equivalente a que se satisfaga la igualdad
en la desigualdad de Bessel:
∞
b
a2n −
(f (x))2dx = 0
a
n=1
que es la identidad de Parseval.
Definici´on 44 Una sucesi´on ortonormal de funciones {φn(x)}, definidas e integrables en [a, b] ∈ R se dice
que es completa sii para cualquier funci´on f (x) (integrable en [a, b] ∈ R) su serie de Fourier generalizada
respecto a la sucesi´on {φn(x)} converge en media a f (x); es decir, se verifica la expresi´on (6.10).
As´ı pues, una sucesi´on ortonormal completa en [a, b] es u´til para construir aproximaciones en media
cuadr´atica de funciones integrables en [a, b].
Finalmente se enuncia (sin demostraci´on) el siguiente resultado:
Teorema 31 La sucesi´on ortonormal trigonom´etrica
√
1
2π
,
cos x
√
π
sin x
,√
π
,
cos 2x
√
π
,
sin 2x
√
π
, ...
es completa en [π, π).
Por consiguiente, toda funci´on integrable en [−π, π) puede ser aproximada por su serie de Fourier (en el
sentido de que dicha serie converge en media cuadr´atica a la funci´on dada) 9.
Comentario:
· Recordemos ahora que, dado un espacio vectorial eucl´ıdeo E y una base de vectores ortonormales {ui},
cualquier vector v ∈ E se puede expresar como una combinaci´on
v=
αiui
(6.11)
i
con los coeficientes determinados mediante las expresiones
αi = v, ui
9Conviene
recordar que esta afirmaci´n es falsa si se considera la convergencia puntual, como ya se ha visto en alguno de los
(6.12)
ejemplos dados en los apartados anteriores.
o
Ecuaciones Diferenciales.
94
Teniendo ´esto en mente, se puede establecer la siguiente analog´ıa: el conjunto de funciones integrables
de Riemann en un intervalo [a, b] tiene estructura de espacio vectorial (de dimensi´on infinita) en el cual
se puede definir el siguiente producto escalar de funciones
b
f, g :=
f (x)g(x)dx
a
De este modo, una sucesi´on de funciones ortonormales {φn(x)} se puede considerar como una base
ortonormal de dicho espacio (respecto a este producto escalar) y el u´ltimo teorema expresa el hecho
de que cualquier funci´on, elemento de este espacio, se puede expresar como combinaci´on de elementos
de esta base, con los coeficientes determinados del mismo modo que en el caso de cualquier espacio
eucl´ıdeo normal.
Es en base a esta analog´ıa que la expresi´on (6.11) se puede denominar desarrollo en serie de Fourier
del vector v respecto a la base {ui}, y los coeficientes de (6.12) coeficientes de Fourier del vector v
respecto a la base {ui}.
6.4
Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden y su resoluci´on
6.4.1
M´etodo de separaci´on de variables. Problema de Sturm-Liouville
Para resolver ecuaciones en derivadas parciales el m´etodo m´as simple es el denominado m´etodo de separaci´on
de variables, que consiste en asumir la siguiente hip´otesis:
Hip´otesis 1 (M´etodo de separaci´on de variables): La soluci´on de la ecuaci´on diferencial en derivadas
parciales es factorizable en producto de funciones de cada una de las variables independientes
Cuando se aplica este m´etodo para la resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales (en dos dimensiones,
como son las que se van a estudiar), con condiciones de contorno (de tipo Dirichlet) lineales y homog´eneas,
el problema queda reconvertido en un problema de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias, del cual
se trata de hallar soluciones no triviales. En el caso m´as general , dicho problema se plantea en los siguientes
t´erminos:
Definici´on 45 Se denomina problema de Sturm-Liouville al problema de resolver una ecuaci´on diferencial
ordinaria del tipo
d
dy(x)
p(x)
+ [λq(x) + f (x)]y(x) = 0 (∀x ∈ [a, b])
dx
dx
con condiciones de contorno lineales y homog´eneas.
Si las condiciones de contorno consisten en dar los valores de la funci´on inc´ognita y(x) en los extremos del
intervalo; esto es, y(a) e y(b), y las funciones p(x) y q(x) se restringen adecuadamente se tiene el siguiente
resultado:
Teorema 32 Sea el problema de contorno
d
dy(x)
(x ∈ [a, b])
+ [λq(x) + f (x)]y(x) = 0
dx
dx
con lim λn = ∞ tal que el par´ametro λ ∈ R coincide con alguno de estos valores λn. En tal caso, para
p(x)
y(a) = y(b) = 0
tal que p(x) > 0 y q(x) > 0 y son funciones continuas en [a, b] (p(x) de clase C 1). Entonces existen
soluciones no triviales a dicho problema si, y s´olo si, existe una sucesi´on creciente y positiva {λn} ⊂ R+
n→∞
cada valor λn se tiene un problema de contorno cuya soluci´on (no trivial) yn(x) es u´nica salvo un factor
constante arbitrario.
Ecuaciones Diferenciales.
95
Y se adopta la siguiente terminolog´ıa:
Definici´on 46 En el teorema anterior, los t´erminos de la sucesi´on {λn} se denominan valores propios
o autovalores y las funciones yn(x) correspondientes funciones propias o autofunciones del problema de
contorno dado.
En los tres casos que se van a analizar, el problema de Sturm-Liouville que se plantear´a es un caso
particular del anterior en el que p(x) = q(x) = 1 y f (x) = 0:
Corolario 2 Dado el problema de contorno
d2y(x)
+ λy(x) = 0
dx2
;
y(0) = 0 , y(L) = 0
· Si λ ≤ 0 entonces la u´nica soluci´on del problema es la trivial y(x) = 0.
· Si λ > 0, el problema tiene soluci´on no trivial si, y s´olo si, λ =
cuyo caso dicha soluci´on es la funci´on
y(x) = kn sin
nπ
L
x
n2π2
L2
, para alg´un valor n ∈ N; en
(an ∈ R − {0})
(y cualquier otra que se obtenga multiplicando ´esta por un factor constante).
( Dem. )
6.4.2
Trivial (se propone como ejercicio).
Ecuaci´on de ondas (o de la cuerda vibrante)
La primera ecuaci´on que se va a estudiar es la que describe la transmisi´on de ondas en un medio. Como
caso concreto se va a analizar la siguiente situaci´on: se tiene una cuerda tensa sujeta entre los puntos x = 0
y x = L, la cual se somete a una deformaci´on inicial representada por una curva plana f (x). La forma
de la cuerda va a cambiar en funci´on del tiempo y, por consiguiente, vendr´a representada por una funci´on
y = y(x, t). Tras hacer algunas hip´otesis basadas en principios f´ısicos se encuentra que la ecuaci´on del
movimiento de los puntos de la cuerda es la siguiente
∂ 2y
2
− a2
∂ 2y
∂x2
=0
en la cual a es una constante que depende de las caracter´ısticas f´ısicas del problema
(6.13)
10
, y se denomina
ecuaci´on de la cuerda vibrante o ecuaci´on de ondas unidimensional.
Se trata, pues, de una ecuaci´on en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homog´enea, con coeficientes constantes de tipo hiperb´olico. (ya que, en este caso, B2 − 4AC > 0, seg´un la definici´on 38).
Vamos a resolver pues el problema cl´asico de f´ısica matem´atica que consiste en hallar la soluci´on a esta
ecuaci´on 11. siguiendo el m´etodo de separaci´on de variables.
Proposici´on 57 (soluci´on de Bernouilli de la ecuaci´on de ondas): Sea el problema de la cuerda vibrante,
que se plantea en los siguientes t´erminos:
10Se
tiene que a2 =
H
ρ
, donde H es la componente horizontal de la tensi´on (que es constante si se asume que s´olo hay
movimiento transversal) y ρ es la densidad.
11Este problema fue propuesto por Daniel Bernouilli en 1753 y acabado de resolver por Euler en 1777 quien, de este modo,
abri´o el vasto campo del estudio de las series de Fourier.
∂t
Ecuaciones Diferenciales.
· Ecuaci´on diferencial
96
: la ecuaci´on de ondas en una dimensi´on (lineal, homog´enea e hiperb´olica)
∂ 2y
∂t2
· Condiciones de contorno
∂ 2y
∂x2
− a2
=0
: Extremos fijos (condiciones de Dirichlet (lineales homog´eneas))
y(0, t) = 0
· Condiciones iniciales
(x ∈ [0, L])
,
y(L, t) = 0
(6.14)
: Cuerda inicialmente en reposo de forma dada
∂y
∂t
t=0
=0
,
y(x, 0) = f (x)
(6.15)
donde f (x) es una funci´on desarrollable en serie de Fourier en [0, L], con f (0) = f (L) = 0.
Su soluci´on es
∞
y(x, t) =
bn sin
n=1
nπ
L
nπ
L
x cos
at
(n ∈ N)
donde bn son los coeficientes de Fourier (de tipo seno) de la funci´on f (x) en [0, L].
( Dem. )
El punto de partida ser´a, pues, asumir que
y(x, t) = u(x)v(t)
de modo que, sustituyendo en la ecuaci´on (6.13)
a2u (x)v(t) = u(x)v (t)
u (x)
u(x)
⇒
1 v (t)
a v(t)
Dado que cada miembro de esta u´ltima ecuaci´on depende de una variable diferente, la igualdad s´olo puede
ser cierta si, y s´olo si, ambos son iguales a una constante λ ∈ R (constante de separaci´on); con lo cual se
obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´eneas con coeficientes constantes
d2u(x)
dx2
− λu(x) = 0 ,
d2v(t)
dt2
− λa2v(t) = 0
(6.16)
Para la primera de ellas, las condiciones de contorno (6.14) se traducen en u(0) = 0, u(L) = 0 y, en virtud del
n2π2
corolario 2, las soluciones no triviales para u(x) se van a dar cuando λ = −
, y ser´an las autofunciones
L2
un(x) = sin
nπ
L
x
Por otra parte, para cada uno de esos autovalores λ la segunda de las ecuaciones (6.16) tiene como soluci´on
general
nπ
nπ
at
v(t) = c1 sin
at + c2 cos
L
L
Pero para esta ecuaci´on la primera de las condiciones iniciales (6.15) se traduce en que
que c1 = 0 y, por consiguiente, todas las funciones
dv
dt
(0) = 0 , con lo
) = cos
nπ
L
at
son soluciones no triviales de dicho problema.
De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo
Knyn(x, t) ≡ Knun(x)vn(t) ≡= Kn sin
nπ
L
x cos
nπ
L
at (Kn ∈ R − {0} , n ∈ N)
=2
Ecuaciones Diferenciales.
97
son soluci´on no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno inicialmente
establecidas). Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 12
∞
y(x, t) =
nπ
L
Kn sin
n=1
x cos
nπ
L
∞
at ≡
Knyn(x, t)
n=1
es tambi´en soluci´on y satisface las condiciones de contorno (6.14) y la primera de las condiciones iniciales
(6.15). S´olo queda por imponer la segunda de las condiciones iniciales (6.15). Por una parte se tiene
∞
y(x, 0) =
nπ
L
Kn sin
n=1
x
y por otra, desarrollando f (x) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, L], resulta
∞
f (x) =
bn sin
n=1
nπ
L
x
con lo que y(x, 0) = f (x) lleva a que Kn = bn, ∀n ∈ N.
Comentario:
· Obs´ervese que la resoluci´on completa de la ecuaci´on de ondas (esto es la obtenci´on de la soluci´on
con todas las constantes determinadas) requiere la imposici´on de condiciones de contorno (de tipo
Dirichlet) y dos condiciones iniciales.
6.4.3
Ecuaci´on del calor
El an´alisis matem´atico del problema de la conducci´on del calor en un cuerpo fu´e realizado por el f´ısico
matem´atico franc´es Fourier en un tratado de 1822. Bas´andose en datos experimentales f´ısicos y en razonamientos anal´ıticos dedujo que, si T (x, y, z, t) era la funci´on que describ´ıa la temperatura de un cuerpo en
cada punto (x, y, z) y en cada instante t, se satisfac´ıa la siguiente expresi´on
a2
∂ 2T
2
+
∂ 2T
2
+
∂ 2T
∂z2
=
∂T
∂t
en la cual a es una constante que depende de las caracter´ısticas f´ısicas del cuerpo en cuesti´on
(6.17)
13
. Esta
ecuaci´on recibe el nombre de ecuaci´on de transmisi´on del calor tridimensional,
En el estudio que se va a hacer nos limitaremos a considerar el caso de transmisi´on del calor en una s´ola
dimensi´on, en el que se toma la funci´on T = T (x, t) y, por tanto, estudiaremos la ecuaci´on
∂ 2T
∂x2
1 ∂T
a ∂t
Se trata, pues, de una ecuaci´on en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homog´enea, con coeficientes
constantes de tipo parab´olico.
Vamos a abordar ahora el problema de la resoluci´on de la ecuaci´on de transmisi´on del calor a lo largo de
una barra de longitud L. Para ello se seguir´a el mismo m´etodo que para la ecuaci´on de ondas; es decir, el
m´etodo de separaci´on de variables. Con ello demostraremos el siguiente resultado:
Proposici´on 58 Sea el problema de la transmisi´on del calor (en una dimensi´on), que se plantea en los
siguientes t´erminos:
12 Asumiendo
13Se
la convergencia y derivabilidad t´ermino a t´ermino de dicha serie.
tiene que a2 =
K
cρ
, donde K es la conductividad
t´ermica, c es el calor espec´ıfico
y ρ es la densidad.
∂x
∂y
=2
Ecuaciones Diferenciales.
98
· Ecuaci´on diferencial
parab´olica)
: la ecuaci´on de transmisi´on del calor unidimensional (lineal, homog´enea y
∂ 2T
∂x2
· Condiciones de contorno
mog´eneas))
1 ∂T
a ∂t
= 0 (x ∈ [0, L])
: Extremos a temperatura nula (condiciones de Dirichlet (lineales ho-
T (0, t) = 0
· Condici´on inicial
(6.18)
,
T (L, t) = 0
(6.19)
: Temperatura inicial dada
T (x, 0) = f (x)
(6.20)
donde f (x) es una funci´on desarrollable en serie de Fourier en [0, L], con f (0) = f (L) = 0.
Su soluci´on es
∞
T (x, t) =
nπ
L
bn sin
n=1
n2 π2 2
(n ∈ N)
donde bn son los coeficientes de Fourier (de tipo seno) de la funci´on f (x) en [0, L].
( Dem. )
El punto de partida ser´a, pues, asumir que
T (x, t) = u(x)v(t)
que, al sustituir en la ecuaci´on (6.18), conducir´a a
u (x)
u(x)
1 v (t)
a v(t)
y de aqu´ı se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´eneas con coeficientes constantes
d2u(x)
dx2
dv(t)
dt
− λu(x) = 0 ,
− λa2v(t) = 0
(λ ∈ R)
(6.21)
Para la primera de ellas, las condiciones de contorno (6.19) se traducen en u(0) = 0, u(L) = 0 y, en virtud del
n2π2
corolario 2, las soluciones no triviales para u(x) se van a dar cuando λ = −
, y ser´an las autofunciones
L2
nπ
un(x) = sin
L
x (n ∈ N)
Por otra parte, para esos autovalores λ la segunda de las ecuaciones (6.21) tiene como soluci´on general no
trivial las funciones
n2 π2 2
(n ∈ N)
De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo
KnTn(x, t) ≡ Knun(x)vn(t) ≡ Kn sin
nπ
L
n2 π2 2
(Kn ∈ R − {0} , n ∈ N)
son soluci´on no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno establecidas).
Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 14
n=1
L
∞
n2 π2 2
nπ
T (x, t) =
Kn sin
∞
KnT
n(x,
t)
n=1
es tambi´en soluci´on y satisface las condiciones de contorno (6.19). S´olo queda por imponer la condici´on
inicial (6.20). Por una parte se tiene
−2
T (x, 0) =
∞
Kn sin
n=1
14 Asumiendo
nπ
L
x
nuevamente la convergencia y derivabilidad t´ermino a t´ermino de dicha serie.
xe− L2 a t
=2
vn(t) = e− L2 a t
xe− L2 a t
xe− L2 a t ≡
Ecuaciones Diferenciales.
99
y, por otro, desarrollando f (x) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, L], resulta
∞
f (x) =
= bn sin
n=1
nπ
L
x
con lo que T (x, 0) = f (x) lleva a que Kn = bn, ∀n ∈ N.
Comentario:
· Obs´ervese que la resoluci´on completa de la ecuaci´on del calor unidimensional (esto es la obtenci´on de
la soluci´on con todas las constantes determinadas) requiere la imposici´on de condiciones de contorno
(tipo Dirichlet) y una condici´on inicial.
6.4.4
Ecuaci´on de Laplace. Problema de Dirichlet
Como punto de partida para obtener la tercera de las ecuaciones que nos interesan, consid´erese la ecuaci´on
de transmisi´on del calor (6.17) y, como caso particular de ella, una situaci´on en la que hay un estado estable.
+ + =0 (6.2)
∂ω
∂z2tiene que = 0 y la ecuaci´on anterior se
∂x inc´ognita,
∂y
Entonces, denominando ω = ω(x, y, z) a la funci´on
se
∂t
reduce a
∂ 2ω ∂ 2ω ∂ 2ω
2
2
que se denomina ecuaci´on de Laplace, y es una de la m´as importantes que aparecen en matem´atica aplicada.
Nos vamos a limitar a considerar el caso bidimensional en el que se toma la funci´on ω = ω(x, y) y, por
tanto, estudiaremos la ecuaci´on
∂ 2ω
∂ 2ω
+
=0
∂x2
∂y2
Se trata de una ecuaci´on en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homog´enea, con coeficientes
constantes de tipo el´ıptico.
La resoluci´on de la ecuaci´on de Laplace con unas condiciones de contorno dadas recibe el nombre de
problema de Dirichlet y se puede enunciar as´ı:
Definici´on 47 Sean una regi´on compacta D ⊂ Rn, con borde ∂D = C , y una funci´on f : I ⊂ R → C ⊂ Rn,
continua (al menos a trozos). Se denomina Problema de Dirichlet al problema de determinar una funci´on
continua (al menos a trozos) ω: D ⊂ Rn → R tal que:
1. Sea soluci´on de la ecuaci´on de Laplace en D (esto es, arm´onica).
2. Coincida con f sobre la frontera C de D.
Vamos a resolver la ecuaci´on de Laplace en el plano, primero en un rect´angulo, siguiendo nuevamente el
m´etodo de separaci´on de variables.
Proposici´on 59 Sea el problema de Dirichlet en un rect´angulo del plano, que se plantea en los siguientes
t´erminos:
· Ecuaci´on diferencial
: la ecuaci´on de Laplace en un rect´angulo D ⊂ R2 (lineal, homog´enea y el´ıptica)
∂ 2ω
∂x2
· Condiciones de contorno
+
∂ 2ω
∂y2
=0
((x, y) ∈ [0, a] × [0, b])
(6.23)
: (condiciones de Dirichlet (lineales homog´eneas))
ω(x, 0) = 0
,
ω(x, b) = 0
,
ω(0, y) = 0
donde f (y) es una funci´on desarrollable en serie de Fourier en [0, b].
,
ω(a, y) = f (y)
(6.24)
Ecuaciones Diferenciales.
100
Su soluci´on es
∞
ω(x, y) =
nπ
Kn sinh
n=1
donde Kn =
( Dem. )
bn
sinh naπ
nπ
x sin
b
b
y
(n ∈ N)
, siendo bn son los coeficientes de Fourier (de tipo seno) de la funci´on f (y) en [0, b).
Asumiendo que
ω(x, y) = u(x)v(y)
y sustituyendo en la ecuaci´on (6.23) se llega a
u (x)
u(x)
v (y)
v(y)
=−
y de aqu´ı se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´eneas con coeficientes constantes
d2u(x)
dx2
− λu(x) = 0
d2v(y)
,
+ λv(y) = 0
dy2
(λ ∈ R)
Comencemos por resolver la segunda ecuaci´on, para la cual las dos primeras condiciones de contorno (6.24)
se traducen en v(0) = 0, v(b) = 0 y, en virtud del corolario 2, las soluciones no triviales para v(y) se van a
n2π2
dar cuando λ =
, y ser´an las autofunciones
b2
nπ
vn(y) := sin
b
y
(n ∈ N)
Por otra parte, para esos autovalores λ la primera de las ecuaciones (6.25), junto con la condici´on de inicial
u(0) = 0 en que se traduce la tercera de las condiciones de contorno (6.24), tiene como soluci´on general no
trivial las funciones
nπ
x (n ∈ N)
un(x) = sinh
b
De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo
nπ
Knωn(x, t) ≡ Knun(x)vn(y) ≡ Kn sinh
b
nπ
x sin
b
y
(Kn ∈ R − {0} , n ∈ N)
son soluci´on no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno establecidas).
Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 15
∞
ω(x, y) =
Kn sinh
nπ
b
n=1
∞
nπ
x sin
b
y≡
ωn(x, t)
n=1
es tambi´en soluci´on y satisface las tres primeras condiciones de contorno (6.24).
S´olo queda por imponer la u´ltima condici´on de contorno (6.24). Por una parte se tiene
∞
ω(a, y) =
Kn sinh
n=1
nπ
b
a sin
nπ
b
y
y, por otro, desarrollando f (y) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, b], resulta
n=1
sin
∞
f (y) =
bn
(6.25)
nπ
x
b
con lo que ω(a, y) = f (y) lleva a que Kn =
bn
sinh nbπ a
, ∀n ∈ N.
Vamos a resolver, a continuaci´on, la ecuaci´on de Laplace en un c´ırculo (esto es, la ecuaci´on de Laplace en
coordenadas polares), siguiendo otra vez el m´etodo de separaci´on de variables. Se tiene el siguiente resultado:
15 Asumiendo
la convergencia y derivabilidad t´ermino a t´ermino de dicha serie.
Ecuaciones Diferenciales.
101
Proposici´on 60 Sea el problema de Dirichlet en un c´ırculo del plano, que se plantea en los siguientes
t´erminos:
· Ecuaci´on diferencial
: la ecuaci´on de Laplace en coordenadas polares, en el c´ırculo unidad (lineal,
homog´enea y el´ıptica)
∂ 2ω
2
1 ∂ 2ω
r ∂ θ2
· Condici´on de contorno
+
1 ∂ω
r ∂r
=0
((r, θ) ∈ D = {(r, θ) ∈ R2 | 0 < r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π}
(6.26)
: (condici´on de Dirichlet (lineal homog´enea))
ω(1, θ) = f (θ)
(6.27)
donde f (θ) es una funci´on desarrollable en serie de Fourier en el intervalo [0, 2π].
Su soluci´on es
ω(r, θ) =
∞
1
a0 +
2
rn(an cos nθ + bn sin nθ)
(n ∈ N)
n=1
donde an, bn son los coeficientes de Fourier de la funci´on f (θ).
( Dem. )
Asumiendo que
ω(r, θ) = u(r)v(θ)
y sustituyendo en la ecuaci´on (6.26) se llega a
r2u (r) + ru (r)
=−
u(r)
v (θ)
v(θ)
y de aqu´ı se obtienen las dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´eneas con coeficientes constantes
d2u(r)
d2v(θ)
du(r)
r2
− λu(r) = 0 ,
+r
+ λv(θ) = 0 (λ ∈ R)
(6.28)
dr2
dr
dθ2
Comencemos por resolver la segunda ecuaci´on, que est´a definida en [0, 2π] y,por tanto, en virtud del corolario
2, las soluciones no triviales para v(θ) se van a dar cuando λ = n2 , y ser´an las combinaciones lineales
(n ∈ Z+)
v(θ) = An cos nθ + Bn sin nθ
Por otra parte, para esos autovalores λ la primera de las ecuaciones (6.28) se convierte en
r2
d2u(r)
2
+r
du(r)
dr
− n2u(r) = 0
que es una ecuaci´on de Euler cuyas soluciones no triviales son
u(r)
u(r)
= A + B log r
n
si n = 0
−n
si n ∈ N
como se desea que u(r) sea continua en r = 0, ha de ser B = 0, con lo que resulta la soluci´on general no
trivial de esta ecuaci´on son las funciones
un(r) = rn
(n ∈ Z+)
De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo ω0(r, θ) son constantes y valen 12 A0, y
ωn(r, θ) = rn(An cos nθ + Bn sin nθ)
(An, Bn ∈ R , n ∈ N)
son soluci´on no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno establecidas).
Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 16
1
ω(r, θ) =
A0 +
2
16 Asumiendo
∞
rn(An cos nθ + Bn sin nθ) ≡
n=1
la convergencia y derivabilidad t´ermino a t´ermino de dicha serie.
∂r
+2
dr
= Ar + Br
1
A0 +
2
∞
ωn(r, t)
n=1
Ecuaciones Diferenciales.
102
es tambi´en soluci´on.
S´olo queda por imponer la condici´on de contorno (6.27). Por una parte se tiene
ω(1, θ) =
1
A0 +
2
∞
(An cos nθ + Bn sin nθ)
n=1
y, por otro, desarrollando f (θ) en serie de Fourier en el intervalo [0, 2π], resulta
f (θ) =
1
A0 +
2
∞
(an cos nθ + bn sin nθ)
n=1
con lo que ω(1, θ) = f (θ) lleva a que An = an y Bn = bn, ∀n ∈ Z+ .
Comentario:
· Obs´ervese que la resoluci´on completa de la ecuaci´on de Laplace bidimensional
(esto es la obtenci´on de
la soluci´on con todas las constantes determinadas) no requiere la imposici´on de
condiciones iniciales
adicionales a las condiciones de contorno (de tipo Dirichlet).