F III_Guía TP2_LABO_Campo y potencial

FI UA
Trabajo Práctico Nº 2:
Laboratorio Física III
Campo y Potencial eléctrico
2014
UNIVERSIDAD
AUSTRAL
1) Objetivo general: El propósito de este experimento es realizar un estudio de las propiedades del Campo eléctrico,
como campo conservativo. Asimismo, se utilizarán dos métodos (uno experimental y el otro analítico) para trazas las
líneas equipotenciales de una chapa conductora y a partir de ellas, poder determinar las líneas de campo y calcular el
campo eléctrico (método de relajación por diferencias finitas)
IMPORTANTE: Para la realización de la experiencia cada grupo debe traer como mínimo 2 hojas milimetradas,
en lo posible tamaño A3. Si no se consiguen, las más grandes posibles
2) Introducción:
Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para ejercer su influencia sobre otras, de ahí que las fuerzas
eléctricas sean consideradas fuerzas de acción a distancia. Cuando en la naturaleza se da una situación de este estilo,
se recurre a la idea de campo para facilitar la descripción en términos físicos de la influencia que uno o más cuerpos
ejercen sobre el espacio que les rodea.
La noción física de campo se corresponde con la de un espacio dotado de propiedades medibles. En el caso de que
se trate de un campo de fuerzas éste viene a ser aquella región del espacio en donde se dejan sentir los efectos de
fuerzas a distancia. Así, la influencia gravitatoria sobre el espacio que rodea la Tierra se hace visible cuando en
cualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, un cuerpo de prueba y se mide su peso, es decir, la fuerza con
que la Tierra lo atrae. Dicha influencia gravitatoria se conoce como campo gravitatorio terrestre. De un modo análogo
la física introduce la noción de campo magnético y también la de campo eléctrico o electrostático.
El campo eléctrico asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas es aquella región del espacio en donde se
dejan sentir sus efectos. Así, si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca
una carga de prueba o carga testigo, se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir, de atracciones o de
repulsiones sobre ella.
Todo campo físico queda caracterizado por sus propiedades. En el caso del campo eléctrico, una forma de describir
las propiedades del campo sería indicar la fuerza que se ejercería sobre una misma carga si fuera trasladada de un
punto a otro del espacio.
La representación gráfica de un campo de fuerzas se basa en sus líneas de fuerza. Estas son líneas imaginarias que
describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un
punto a otro. En el caso del campo eléctrico, por poseer características vectoriales,
las
líneas de fuerza o líneas de campo eléctrico indican las trayectorias que
seguirían las partículas positivas si se las abandonase libremente a la influencia
de
las fuerzas del campo. Algunas de sus características son:
1. El número de líneas que parten de una carga positiva o llegan a una
negativa es proporcional a la carga.
2. Las líneas se dibujan simétricamente saliendo o entrando en la carga
puntual.
3. Las líneas empiezan o terminan solamente en las cargas.
4. La densidad de líneas es proporcional a la intensidad de campo eléctrico.
5. El campo es tangente a la línea de fuerza.
6. Las líneas de fuerza no se cortan nunca. (unicidad del campo).
Fig. 1: Líneas de campo
correspondiente a la
estructura de un dipolo
Luego, la relación entre el campo eléctrico en un determinado punto y la fuerza que soportaría una carga testigo q,
colocada en dicho punto, es:
F ( x, y, z)  q.E( x, y, z)
Trabajo y potencial eléctrico
(1)
El desplazamiento de una carga o cuerpo cargado en presencia o bajo la acción de un campo eléctrico genera un
trabajo eléctrico definido como
(2)
Fig. 2: Trabajo eléctrico determinado por el
movimiento de una carga en presencia de un campo
eléctrico.
Donde el campo eléctrico, en equilibrio electrostático, es el
resultante debido a todas las fuentes exteriores. Además,
dado que la fuerza electrostática es de tipo conservativa, el
trabajo eléctrico está asociado a un tipo de energía potencial
denominada electrostática.
Luego, a partir de la relación entre este tipo de energía y el trabajo
eléctrico, se define el potencial electrostático en forma diferencial, como el trabajo diferencial por unidad de carga de
acuerdo con:
dV  
dW
1
  F ( x, y, z ).dl   E.dl
q
q
(3)
de donde se deduce que
dV
dx
Ey  
E  V
(5)
Ex  
es decir
dV
dy
Ez  
dV
dz
(4)
Esta definición muestra que estrictamente el potencial eléctrico no está definido sino tan sólo sus variaciones entre
puntos del espacio. Por lo tanto, en condiciones de campo eléctrico nulo el potencial asociado es constante. Suele
considerarse sin embargo que el potencial eléctrico en un punto infinitamente alejado de las cargas eléctricas es cero
por lo que la (5) puede escribirse en forma integral como:
(6)
En función de (5), es posible definir un tipo de superficie llamada equipotencial, en donde para cualquier trayectoria
incluida en dicha superficie resulta ser dV = 0. Como consecuencia de ello, las curvas equipotenciales resultan
ortogonales a las líneas de campo eléctrico, para cada configuración de
carga.
Ley de Gauss
En aquellos casos en donde la carga o configuración de cargas
presenta cierto grado de simetría, es posible conocer la dirección y el
sentido de las líneas de campo eléctrico. En tales casos, el flujo del
campo eléctrico calculado sobre una superficie cerrada imaginaria
(superficie gaussiana, Fig.3) que encierra a dicha carga o configuración
cargas se puede calcular de acuerdo a la Ley de Gauss como:

E.d S 
Q
(7)

de
Fig.3: Superficie gaussiana
atravesada por las líneas de campo
donde Q representa la carga encerrada por la superficie gaussiana (carga puntual o distribución de carga lineal,
superficial o volumétrica). Aplicando el teorema de Gauss, la (7) se puede escribir en forma diferencial como:
.E 


(8)

donde
es la densidad volumétrica de carga. Luego, al combinar (5) y (8) se obtiene la ecuación de Poisson, que
relaciona los potenciales con las cargas de acuerdo con:
 2 .V  


(9)
Como caso particular, cuando la densidad volumétrica de cargas resulte nula (zonas del espacio donde no hay carga
neta) o cuando se aplique a una línea equipotencial, la (9) se reduce a la ecuación de Laplace, de acuerdo con:
 2 .V  0
(9)
3) Experimental
Método de Relajación:
Este método permite resolver en forma numérica la ecuación de Laplace. En particular describiremos brevemente su
resolución para el caso bidimensional que puede realizarse usando una hoja de cálculo. Si el problema es
bidimensional, la ecuación puede escribirse como:
 2V  2V

0
x 2 y 2
(10)
Al discretizar el plano xy de modo de formar una malla bidimensional (ver Fig.1) y dado que el potencial electrostático
resulta ser una función escalar de dos variables, se procede a operar con diferencias finitas, reemplazando las
coordenadas x,y por los subíndices i,j. Recordando las expresiones clásicas de derivación numérica:
V Vi 1, j  Vi , j V  Vi , j 1  Vi , j

h
x
h
; y
 2V Vi , j 1  2.Vi , j  Vi , j 1

y 2
h2
(11)
(12)
Donde h resulta ser el tamaño de la discretización o mejor
dicho en este caso el tamaño de la celda unitaria (Fig.4).
Luego la (10) puede aproximarse como:
1
Vi , j  (Vi 1, j  Vi 1, j  Vi , j 1  Vi , j 1 )
4
(10)
Fig.4: Discretización del plano xy.
Tamaño de la celda unitaria de ancho h
Al verificarse (10) por parte de la función potencial V(x,y), el valor del potencial V(I,j) en un dado punto del plano (i,j)
resulta igual al promedio del valor del potencial en los cuatro puntos vecinos próximos. Esta propiedad utilizada en el
método de relajación, permite resolver la ecuación de Laplace, de manera que el valor de una dada celda es el promedio
de sus vecinas más próximas, excepto para aquellos puntos que tienen un potencial fijo (coincidente con el potencial
de los electrodos), cuyos valores están establecidos por las condiciones de borde y no varían.
Existen dos tipos básicos de condiciones de borde en el caso que se use un diseño experimental como el propuesto
en este experimento. Por un lado, están los valores de potencial determinados por los electrodos (metálicos) cuyos
valores son constantes, donde se aplica como condición de borde lo que se conoce como condición de Dirichlet.
Operacionalmente, esto se logra haciendo que los valores de potencial en las celdas que definen estos bordes sean
constantes. Por otro lado, están las condiciones de borde sobre las paredes del recipiente, que son no conductoras,
por lo tanto la corriente eléctrica ( j   .E ) sobre dicha pared sólo puede tener componente paralela a la misma. O
sea que sobre estas paredes la componente perpendicular del campo eléctrico es nula, lo cual se traduce en 1:
1
Esta condición de contorno se denomina de Neumann. Operacionalmente, esta condición de contorno se logra haciendo que los
valores de las celdas que definen los bordes del recipiente sean iguales a los valores de las celdas contiguas interiores. Por ejemplo,
V
0
n
(11)
PRIMERA PARTE: Método Experimental
El objetivo de esta primera etapa es determinar en forma experimental las líneas equipotenciales, calcular el campo
eléctrico en un punto y trazar las líneas de campo.
Fig.5: Esquema del
dispositivo utilizado
en el laboratorio para
trazar las líneas
equipotenciales y de
campo.
Materiales
-
Cuba de plástico transparente
Dos electrodos de aluminio
Voltímetro digital
Fuente de C.C.
Agua
Dos Hojas de Papel milimetrado
Cables de conexión y una punta de prueba
Al conectarse el circuito (Fig.5) en el medio interpuesto entre los electrodos (agua potable) se estacionan los campos,
uno de carácter escalar, EL POTENCIAL ELECTRICO y otro de carácter vectorial, EL CAMPO ELECTRICO.
1-
El potencial eléctrico se determina experimentalmente mediante una punta de prueba, buscando en el medio
(agua) puntos de igual potencial. Se determinarán líneas equipotenciales de 2V, 4V, 6V, etc., hasta llegar a
10V, agregando las trazas de los electrodos que corresponden a las equipotenciales de 0V y de 12V. Los
puntos se identifican con el auxilio del papel milimetrado donde se leen las coordenadas de cada uno. Estos
puntos de igual potencial deben ser 5 como mínimo para cada línea equipotencial. Los valores de las
coordenadas y el potencial se ordenan en un cuadro como el indicado, y se representan en la 2da hoja
milimetrada donde se unirán, con una línea continua, los puntos de igual potencial.
Lectura Nº
Volt
1
Coordenada Cm
2
3
4
5
6
7
8
Cm
Cm
Cm
Cm
Cm
Cm
Cm
X
2
Y
X
4
Y
6
X
si la pared izquierda del recipiente coincide con el eje y, cuyas celdas están caracterizadas por los índices (i, j=0), el valor del
potencial sobre esta pared Vi,j=0 =Vi,j=1, con lo que se satisface la condición (14).
Y
X
8
Y
X
10
Y
X
12
Y
X
14
2-
Y
Para el cálculo y representación del vector campo eléctrico en un punto es necesario hacer breves
consideraciones teóricas.
La determinación del campo lo haremos eligiendo un punto
perteneciente a una equipotencial determinada experimentalmente
(para comprobar la perpendicularidad) y en una zona donde el campo
sea aproximadamente uniforme (menor error al tomar  V por dV y
l por dl )
Dado que E  V y teniendo en cuenta la expresión cartesiana del
gradiente
V 
dV
dV
i
j
dx
dy
Se pueden obtener las componentes ortogonales del vector campo eléctrico
Fig.6: Componentes del campo
eléctrico y su relación con su módulo
dV
dV
E x i  E y j  (
i
j)
dx
dy
Es decir:
Ex  
dV
dx
Ey  
dV
dy
El modulo será
E  Ex 2  E y 2
y la dirección y el sentido queda determinada al
calcular el ángulo theta: (Fig.6)
  Arctg (
Ey
Ex
)
de manera que los signos de Ey y Ex nos indicarán el cuadrante al que pertenece E.
En la práctica utilizaremos las expresiones aproximadas (Fig.7)
 Ex 
Vx
x
 Ey 
y
Vy
Fig.7: Variaciones finitas del potencial
para el cálculo del campo eléctrico
y
Se debe poner atención a los signos de los cuatro incrementos para obtener la
correcta orientación de


Ex
Ey
y
3- Para el trazado de las líneas de campo se deberán tener en cuenta las siguientes propiedades:
- Las líneas de campo son líneas continuas que tienen su origen en las cargas positivas y terminan en cargas
negativas.
- Son líneas imaginarias dibujadas de tal modo que su dirección (la de su tangente) en cada punto es la dirección
del campo en dicho punto.
- Cortan ortogonalmente a las superficies equipotenciales (en nuestro caso a las trazas o líneas equipotenciales)
-
Las trazas de los electrodos en el plano que se representa el campo son líneas equipotenciales
Se conviene dibujar un número limitado de líneas de fuerza con el criterio que su densidad en una región sea la
medida de la intensidad de campo en dicha región
En el trabajo práctico se empleará el método de los cuadrados curvilíneos
que se forman entre dos líneas equipotenciales continuas y dos líneas de
campo cuya separación deberá ser igual a la separación de las anteriores
(Fig.8).
Prácticamente se procede así:
1- Se interpolan a ojo las líneas equipotenciales intermedias 1V, 3V,
5V, etc. (Se dibujan en punteado)
2- Se comienza el trabajo desde la parte central de uno de los
electrodos (desde el punto de máximo gradiente para los electrodos
convexos o mínimo para los cóncavos).
3- Se mide la minima distancia l entre las equipotenciales de 0V, 2V
en el primer caso o la máxima en el segundo caso.
4- Desde el pie de esa distancia se lleva sobre la equipotencial de 0V,
l 2 a cada lado con un compás y se determinan 2 puntos.
5- Desde cada uno de esos dos puntos se traza una perpendicular a
Fig.8: Líneas de campo y equipotenciales
ajustadas a condiciones de contorno
la primera equipotencial (0V) hasta cortar la equipotencial de 1V,
luego desde este punto una perpendicular a la perpendicular de
2V hasta cortar la de 3V y así sucesivamente hasta llegar perpendicularmente a la equipotencial de 12V.
6- Las restantes líneas a cada lado de las dos primeras ya trazadas deben separarse de la anterior una distancia
de tal manera de formar cuadrados curvilíneos.
7- Para comenzar el trazado es conveniente el electrodo que no presente angulosidades.
8- Las envolventes de las líneas quebradas obtenidas son las líneas de campo.
SEGUNDA PARTE: Método Numérico. Solución numérica de la ecuación de Laplace: método de las diferencias
finitas
Mediante la ayuda de una hoja de cálculo (Excell) se realizan iteraciones hasta que los valores de las celdas no cambian
o hasta que su variación es menor que un valor prefijado, digamos del 0.1%, de acuerdo al siguiente procedimiento:
-
Ir a Herramientas >> Opciones >> Pestaña Calcular, tildar la opción “Iteración” y usar 10000 iteraciones.
Elegir una celda cualquiera y apretar “=+(”, seleccionar todas las celdas separándolas por un “+”, cerrar el
paréntesis y dividir todo por 4 ,“)/4”
Copiar la formula (Ctrl C + Ctrl V) en un cuadro de no menos de 50x50
A las celdas del Borde borrar la formula y apretar “=” y seleccionar la celda de adentro de el cuadro.
Armar la configuración que se les pidió, dándole a las celdas que necesiten un potencial de 1000000
Apretar F9
Seleccionar el cuadro entero e ir a Insertar>> Grafico>> Superficie y Graficar las 2 superficies en colores en
hojas nuevas.
Tener en cuenta que el grafico nos va a mostrar bandas equipotenciales, si uno quiere encontrar las líneas
equipotenciales en las opciones de escala del grafico hay que disminuir la “Unidad Mayor”
4) Ejercicios numéricos
Utilizando los pasos establecidos para la solución numérica de la ecuación de Laplace, se propone elegir alguno de los
siguientes ejemplos para resolverlo con el método de las diferencias finitas.
Concretamente: en el informe incluir 2 de los siguientes ejercicios más otro que represente aproximadamente la
posición de los electrodos utilizados en la parte experimental
Encuentre la distribución de potencial de las siguientes configuraciones bidimensionales utilizando el método de
relajación con una planilla de cálculo. Grafique la función potencial V (x,y) en 3D y las líneas equipotenciales de cada
configuración en 2D.
5) Estructura del informe
1) Carátula.
2) Objetivos y materiales. NO incluir introducción teórica.
3) Mapa de campo obtenido experimentalmente. Debe estar indicado el sistema de referencia: ejes x y. Debe incluir
las equipotenciales obtenidas en la experiencia, por lo menos 4 líneas de campo eléctrico y el vector campo
eléctrico calculado en un punto con sus componentes en x y en y. El mapa de campo debe contener los valores
numéricos de las equipotenciales y la escala que se utilizó para graficar el vector campo eléctrico
4) Breve explicación acerca del método utilizado para obtener las líneas equipotenciales.
5) Explicación detallada acerca de cómo se obtuvo el vector campo eléctrico en un punto del mapa. Indicar fórmulas,
cálculos e unidades.
6) 3 ejercicios numéricos: 2 elegidos entre los 9 que se proponen más un 3ro que represente aproximadamente a la
disposición utilizada en la parte experimental
7) Conclusiones de la parte experimental. Deben hacer referencia a las propiedades que se observan en el mapa de
campo.
Conclusiones de los ejercicios numéricos. Deben hacer referencia a las propiedades de las funciones graficadas.
Conclusiones relativas a la comparación entre el mapa de campo y el 3er ejercicio numérico
8) Responder las siguientes preguntas e incluir pregunta y respuesta como una sección final del informe. Las
preguntas son las siguientes, explicando en todos los casos:
a) ¿Por qué es necesario medir el campo eléctrico de una chapa cargada, en forma indirecta, a través del
potencial que se genera?
b) ¿En qué unidades se miden el campo y el potencial eléctrico?
c) ¿Por qué se dice que el campo eléctrico es un campo conservativo?
d) ¿Qué relación encuentra entre el concepto de una superficie equipotencial y el concepto matemático de
una diferencial total exacta?
e) ¿Cómo afectan a las mediciones las condiciones de borde del recipiente, al ser este último no conductor?
f)
Si se conoce el valor del potencial en un punto (x, y), ¿se puede calcular el campo en ese punto?
g) Si se conoce el vector campo eléctrico en un punto (x, y), ¿se puede calcular el potencial en ese punto?
h) Si se conoce el potencial en dos puntos próximos (x 1, y1) y (x2, y2), ¿se puede estimar la componente del
vector campo eléctrico a lo largo de la línea que une a dichos puntos?
Trabajo Práctico N° 2
Campo y Potencial eléctrico
Física III (2do cuatrimestre 2014)
Grupo N°
Integrantes:
Apellido:
Nombres:
Fechas
Realización Entrega
Devolución
Entrega
Devolución
Entrega Aprobación
Correcciones a realizar:
Docente corrector: ..................................................