Circuitos RC* 1. Aspecto Teórico

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Departamento de Fı́sica
Fundamentos de Electricidad y Magnetismo
Guı́a de laboratorio No 07
Circuitos RC*
Objetivos
1. Encontrar la forma como varı́a la diferencia de potencial entre las placas de un condensador en función del
tiempo:
a) Cuando el condensador se carga a través de una resistencia.
b) Cuando el condensador se descarga a través de una resistencia.
2. Determinar experimentalmente el tiempo caracterı́stico τ de un circuito RC:
a) Cuando el condensador se carga a través de una resistencia.
b) Cuando el condensador se descarga a través de una resistencia.
3. Determinar la resistencia interna del voltı́metro a partir de la observación de su influencia en las mediciones que
se realizan durante la práctica.
1.
Aspecto Teórico
Un condensador es un sistema formado por dos conductores separados por un dieléctrico o aislante. Cuando se conectan
a una bateria o fuente de alimentación, la fuerza electromotriz de la fuente transporta electrones de un conductor al
otro, creando un desbalance de carga de tal forma que uno de los electrodos del condensador posee una carga positiva
+Q y el otro una carga negativa −Q. Cuando este desbalance de carga ocurre usualmente se dice que el condensador
está cargado a pesar de que la carga neta del condensador es cero. Un ejemplo clásico es el condensador de placas
paralelas como el que muestra la Figura 1.
+Q
~
E
-Q
Figura 1: Condensador de placas paralelas
Entre las dos placas existe un campo eléctrico y por lo tanto una diferencia de potencial V . Para todo condensador
se define una cantidad que se denomina capacitancia C y es igual al cociente entre la magnitud Q de la carga de
cualquiera de las placas y el valor absoluto de la diferencia de potencial V entre ellas.
C≡
Q
V
(1)
* Tomado y adaptado de: E. Bautista et al. Electromagnetismo (Guı́as de laboratorio II. Electromagnetismo). Universidad Nacional De
Colombia. Bogotá, 2001
Para un condensador dado, la capacitancia C es un valor fijo que mide la capacidad del condensador para almacenar
energı́a potencial eléctrica. En el sistema SI, la unidad de capacitancia es el Faradio (F); en la práctica se fabrican
condensadores de capacitancias muy pequeñas, del orden de µF, nF, pF; en el comercio se pueden conseguir condensadores del tipo llamado electrolı́tico que tienen valores del orden de mF, este tipo de condensador está construido de
una manera especial y debe tenerse la precaución de observar la polaridad en el momento de conectarlo en un circuito.
Este es el tipo de condensador que se utiliza en esta práctica.
La figura 2 muestra un circuito que se usa para cargar un condensador C (inicialmente descargado) a través de
una resistencia R. Este circuito se denomina RC.
R
S
b
+
C
V-
Figura 2: Circuito para cargar un condensador
Al cerrar el interruptor S, en el t = 0, empieza a fluir una corriente por el circuito, la cual crea un desbalance de carga
en el condensador, ya que las placas del condensador están aisladas y entonces la carga no puede fluir entre las placas
del condensador. Por esta razón aparece una diferencia de potencial (V = Q/C) a través del condensador opuesta a la
de la fuente, de manera que finalmente el movimiento de carga cesa, es decir, después de algún tiempo las placas del
condensador quedan cargadas: la superior con carga +Q y la inferior con carga −Q (la carga neta del condensador es
cero !), y la corriente del circuito es cero. Mientras ocurre el proceso de carga existe una corriente i (que varı́a en el
tiempo) en el circuito. La Ley de Conservación de la Energı́a (segunda regla de kirchhoff) aplicada al circuito conduce
a la siguiente ecuación
q
V − iR −
=0
C
Esta ecuación muestra que la diferencia de potencial que alimenta el circuito se reparte o divide: parte del voltaje cae
en la resistencia (iR) y el resto (q/C) entre las placas del condensador. Pero
i=
dq
dt
Entonces
dq
q
−
=0
dt
C
Esta es una ecuación diferencial cuya solución (obtenible por métodos matemáticos conocidos) es
V −R
q(t) = Q0 (1 − e−t/RC )
(2)
Este resultado expresa que la carga q en cualquiera de las placas del condensador crece exponencialmente con el
tiempo, hasta un valor máximo Q0 .
El producto RC se llama constante de tiempo del circuito o tiempo caracterı́stico τ . Es igual al tiempo transcurrido desde t = 0 hasta cuando q es igual al 63 % de la carga final Q0 .
La figura 3 muestra un circuito que se utiliza para descargar un condensador C, previamente cargado, a través de una
resistencia R. Cuando se cierra el interruptor S, en el instante t = 0, la carga acumulada en las placas del condensador
C comienza a fluir por el circuito, originándose una corriente i. Cuando las cargas pasan a través de la resistencia
R pierden energı́a por choques sucesivos con las imperfecciones de la red del marerial hasta que cesa su movimiento;
puesto que transcurrido algún tiempo la carga en las placas del condensador se agota, el resultado final será: las placas
del condensador sin carga y corriente cero en el circuito. Después de cerrar el interruptor S la aplicación de la Ley de
Conservación de Energı́a en el circuito conduce a la siguiente ecuación:
q
− − iR = 0
C
2
S
b
Q0
C
R
Figura 3: Circuito utilizado para descargar un condensador.
Que también puede expresarse
R
dq
q
+
=0
dt
C
La solución se esta ecuación diferencial es:
q(t) = Q0 e−t/RC
(3)
La relación (3) expresa que cuando un condensador previamente cargado se conecta a una resistencia, la carga en
las placas del condensador empieza a decaer exponencialmente desde el valor inicial Q0 ; cuando ha transcurrido un
tiempo igual al tiempo caracterı́stico τ = RC, la magnitud de la carga en cada placa del condensador tendrá un valor
igual a 1/e del valor incial.
De acuerdo con la relación (1), la carga Q en las placas del condensador y la diferencia de potencial V entre ellas son directamente proporcionales, esto significa que las dos cantidades deben variar de la misma forma durante los
procesos de carga y descarga de un condensador. Resulta muy sencillo estudiar estos procesos observando cómo varı́a
el voltaje entre las placas ya que, en la práctica, las diferencias de potencial son fácilmente medibles con un voltı́metro;
por supuesto, al conectar el voltı́metro a las placas del condensador se introduce una nueva resistencia al circuito (la
resistencia interna del voltı́metro) que puede modificar el tiempo caracterı́stico del mismo.
2.
Procedimiento
Para la realización de esta práctica Usted recibirá una tableta como la que muestra la Figura 4.
C1
-
+
C2
-
+
R1
R2
Figura 4: Tableta con elementos a utilizar
2.1.
Carga de un condensador
Arme el circuito que muestra la Figura 5. Utilice el condensador de 1000 µF y la resistencia de 62 kΩ. Al
realizar la conexiones asegúrese de que el polo positivo del condensador quede conectado a un punto de potencial más
alto que el polo negativo. Utilice el voltı́metro digital para realizar las medidas.
3
Voltímetro
Rv
S
b
R
+
V
-
+
-
C
Figura 5: Circuito para medir la carga de un condensador
1. Establezca una diferencia de potencial de 6 V entre los terminales de la fuente para alimentar el circuito.
2. Cierre el circuito y mida el voltaje VR a través de la resistencia cada 10 segundos durante los primeros 100
segundos, y luego cada 20 segundos hasta que ese voltaje sea cercano a cero (∼ 0, 2 V). Anote los valores de
voltaje VR y tiempo t en una tabla de datos.
3. Con los datos que obtuvo al realizar el punto anterior, determine el voltaje VC a través del condensador, para
cada tiempo t. Explique cómo determina los valores VC .
4. Elabore un gráfico de voltaje VC en función del tiempo t. ¿Su resultado está de acuerdo con lo predice la teorı́a?
Explique.
5. A partir del gráfico realizado en el punto anterior, encuentre el tiempo caracterı́stico τ del circuito. Explique el
método que utilice.
6. Compare los tiempos caracterı́sticos experimental y teórico. Encuentre el error relativo de su medida.
7. Con los datos que obtuvo al realizar el punto 2, determine la corriente i en el circuito para cada uno de los
tiempos considerados. Elabore la tabla corriente i para cada tiempo t. Explique cómo determina los valores de i.
8. Elabore un gráfico de corriente i en el circuito en función de tiempo t. ¿Su resultado está de acuerdo con lo que
predice la teorı́a? Explique.
9. Dibuje el gráfico ln(i/imax ) vs t. Determine el τ del circuito a partir de la pendiente de este gráfico y compárelo
con el valor teórico. Vuelva al circuito de la figura (5) pero ahora cambie el voltı́metro digital por el sakura.
10. Establezca una diferencia de potencial de 6 V entre los terminales de la fuente para alimentar el circuito.
11. Cierre el circuito y mida el voltaje VR a través de la resistencia cada 10 segundos durante los primeros 100
segundos, y luego cada 20 segundos hasta que este voltaje sea cercano a cero (∼ 0, 2 V). Anote los valores de
voltaje VR y el tiempo t en una tabla de datos. No cambie de escala.
12. Con los datos que obtuvo al realizar el punto anterior, determine el voltaje VC a través del condensador, para
cada uno de los tiempos de la tabla del numeral 11. Elabore la tabla VC para cada tiempo t.
13. Elabore un gráfico de voltaje VC en función de tiempo t. ¿Su resultado está de acuerdo con lo que predice la
teorı́a? Explique.
14. A partir del gráfico realizado en el punto anterior, encuentre el tiempo caracterı́stico τ del circuito. Explique el
método que utilice.
15. De acuerdo con el resultado del punto anterior ¿cuál es el valor de la resistencia a traveś de la cual se está cargando
el condensador?
16. De acuerdo con el circuito utilizado (Figura 5) ¿qué representa el valor de la resistencia que acaba de encontrar?
4
17. Según la respuesta del numeral 16 determine el valor que el experimento predice para la resistencia interna del
voltı́metro.
18. Compare los tiempos caracterı́sticos experimental y teórico (valor nominal de la resistencia interna del voltı́metro
120 kΩ). Encuentre el valor relativo de su medida.
2.2.
Descarga de un condensador
Arme el circuito que muestra la Figura 6. Utilice el condensador de 1000 µF y la resistencia de 62 kΩ. Al
realizar las conexiones asegúrese de que el polo positivo del condensador quede conectado a un punto de potencial más
alto que el polo negativo. Utilice el voltı́metro digital para realizar las medidas.
R
Voltímetro
Rv
C
+
-
+V
-
Figura 6: Circuito utilizado para medir la descarga de un condensador
1. Establezca una diferencia de potencial de 6 V entre los terminales de la fuente para cargar el condensador.
2. Desconecte la fuente del circuito y mida el voltaje a través del condensador cada 10 segundos durante los primeros
100 segundos y luego cada 20 segundos hasta observar que el proceso de descarga se hace muy lento. Anote los
valores de voltaje y tiempo en una tabla de datos.
3. Elabore un gráfico de voltaje V en función de tiempo t. ¿Su resultado está de acuerdo con lo que predice la
teorı́a?
4. Dibuje el gráfico de ln(V /Vmax ) vs t.
5. Utilice su gráfico para encontrar el tiempo caracterı́stico τ del circuito. Explique el método que utilice.
6. Compare los tiempos caracterı́sticos experimental y teórico. Encuentre el error relativo de su medida.
Vuelva al circuito de la Figura 6, pero ahora cambie el voltı́metro digital por el Sakura.
7. Establezca una diferencia de potencial de 6 V entre los terminales de la fuente para cargar el condensador.
8. Desconecte la fuente del circuito y mida el voltaje a través del condensador cada 10 segundos durante los primeros
100 segundos y luego cada 20 segundos hasta observar que el proceso de descarga se hace muy lento. Utilice la
escala de 6 V. Anote los valores del voltaje y tiempo en una tabla de datos. No cambie de escala.
9. Elabore un gráfico de ln(V /Vmax ) vs t. Utilice sus gráficos para encontrar el tiempo caracterı́stico τ del circuito.
10. ¿Cuál es la resistencia a través de la cual se está descargando el condensador?
11. Determine nuevamente la resistencia interna del voltı́metro.
12. Compare los tiempos caracterı́sticos experimental y teórico (valor nominal de la resistencia interna del voltı́metro:
120 kΩ). Encuentre el error relativo de su medida.
Referencias
[1] R. Serway. Fı́sica. Tomo I. McGraw-Hill. México D.F. 1997
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