1.- tan 2 x sec3 x dx Solución. I tan 2 x sec3 x dx I tan 2 x sec x sec 2 x dx tan 2 x tan 2 x 1sec 2 x dx Realizando un cambio de variable: s tan x 2 ds sec x dx I s 2 s 2 1 ds Integrando por partes: u s2 du 2 s ds s 2 1 2 v s 1 ln s s 1 2 2 dv Reemplazando en la integral: 1 s 2 I s2 s 1 ln s s 2 1 2 2 1 s 2 I s2 s 1 ln s s 2 1 2 2 I s 2 1 ds 2 s 2s 2 s 2s 1 s 2 1 ln s s 2 1 2 1 ds 1 s 2 1 ds 2 s ln s s 2 1 2 ds s3 2 s2 s 1 ln s s 2 1 s 2 s 2 1 ds s ln s s 2 2 2 ds I II 3 s 2 s2 1 2 s ln s s 2 1 s ln s s 2 1 ds 2 I1 Integrando por partes I1 : u ln s s 2 1 dv s ds ds s2 du v 2 2 s 1 2 2 s 1 s I1 ln s s 2 1 ds 2 2 2 s 1 I2 Integrando por sustitución trigonométrica I 2 : I2 s 2 ds s2 1 s a tan tan 2 tan 2 s tan I2 sec 2 d sec 2 d 2 2 2 tan 1 sec ds sec d tan 2 I2 sec 2 d tan 2 sec d sec 2 1 sec d sec3 d sec d sec I 2 sec3 d sec d sec sec2 d ln sec tan I3 Integrando por partes: I 3 sec3 d sec 2 sec d u sec du sec tan d dv sec 2 d v tan I 3 sec tan tan 2 sec d sec tan sec 2 1 sec d I 3 sec tan sec3 sec d sec tan sec3 d sec d I3 I 3 I 3 sec tan ln sec tan I3 sec tan ln sec tan 2 2 ln s 2 1 s s 2 I3 s 1 2 2 Reemplazando I 3 en I 2 : ln s 2 I 2 I 3 ln sec tan s 1 2 ln s2 1 s 2 I1 ln s s 2 1 s 1 2 2 2 s2 1 s 2 s2 1 s 2 ln ln s2 1 s s 2 1 s s3 2 s2 s2 1s 2 1 s 1 ln s s 2 1 ln s s 2 1 s 1 ln s s 2 1 2 2 2 2 2 2 3 3 s 1s 2 1 s 2 1 s I s2 1 s 1 ln s s 2 1 s2 1 s 1 ln s s 2 1 4 4 2 2 4 8 4 2I s3 s 1 2s3 s 1 2 I s 2 1 ln s s 2 1 s 2 1 4 ln s s 1 4 8 4 8 Reemplazando: s tan x en la integral 2s3 s 1 2 tan 3 x tan x 1 2 2 2 I s2 1 ln s s 1 tan x 1 4 4 ln tan x tan x 1 c 8 8 2.- cos 4 x sin 3 x dx Solución. I cos 4 x cos 4 x sin x cos 4 x cos 4 x cos 4 x dx dx sin x dx sin x dx sin 3 x sin x sin 4 x sin 2 x 2 1 cos2 x 2 sin x dx sin 3 x Realizando un cambio de variable: u cos x du sin x dx I u4 1 u 2 2 du u4 du u 4 2u 2 1 u4 2u 2 1 1 2 2 u 4 2u 2 1 u 1 u 1 2u 2 1 u 1 u 1 2 2 2u 2 1 u 1 u 1 2 2 A u 1 2 B C D 2 u 1 u 1 u 1 1 3 1 3 4 4 4 4 2 2 u 1 u 1 u 1 u 1 1 3 1 3 u4 2u 2 1 4 4 4 4 1 1 2 2 2 2 u 1 u 4 2u 2 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u4 1 3 1 3 1 2 2 4 u 1 4 u u 2u 2 1 4 u 1 1 4 u 1 4 Reemplazando en la integral: I u4 1 u 2 2 1 3 1 3 du 1 du 2 2 4 u 1 4 u 1 4 u 1 4 u 1 du 3 du 1 du 3 du 2 2 u 1 4 u 1 4 u 1 4 u 1 I du 1 4 I du 2 2 1 u 1 du 3 du 1 u 1 du 3 du 4 4 u 1 4 4 u 1 1 u 1 3 1 u 1 3 ln u 1 ln u 1 4 1 4 4 1 4 1 3 1 3 I u ln u 1 ln u 1 4 u 1 4 4 u 1 4 1 1 I u 3 1 1 3 u 1 1 1 I ln u 1 ln u 1 u ln u 4 4 u 1 4 u 1 4 u 1 4 u 1 4 u 1 Reemplazando: u cos x 3 cos x 1 1 1 I ln cos x c 4 cos x 1 4 cos x 1 4 cos x 1 3.- ln x 1 x 2 dx Solución. Integrando por partes: I ln x 1 x 2 dx 1 x du 1 dx x 1 x2 1 x 2 1 1 x2 1 du dx x 1 x 2 1 x 2 dx du 1 x2 u ln x 1 x 2 I x ln x 1 x 2 x 1 x2 dx dv dx vx s2 1 x2 2s ds 2 xdx s ds x dx s 1 x2 I x ln x s dss x ln x 1 x s sds x ln x 1 x s x ln x 1 x 1 x c I x ln x 1 x 2 2 2 2 2 1 x 2 ds 2 4.- eax sin bx dx Solución. I e ax sin bx dx Integrando por partes: u e ax ax du ae dx I dv sin bx dx cos bx v b e ax a cos bx e ax cos bx dx b b Integrando por partes: u e ax ax du ae dx I dv cos bx dx sin bx v b e ax a e ax sin bx a e ax cos bx ae ax sin bx a 2 cos bx e ax sin bx dx 2 e ax sin bx dx 2 b b b b b b b I I a be sin bx ae sin bx I b2 b2 I e ax a sin bx b cos bx c a 2 b2 2 ax ax a 2 b2 b2 ae ax sin bx be ax cos bx I b2 5.- sin 2 x cos 4 x dx Solución. 2 1 2 1 cos 2 x 1 cos 2 x I sin 2 x cos 4 x dx sin 2 x cos 2 x dx dx 1 cos 2 x 1 cos 2 x dx 2 2 8 1 1 2 I 1 cos 2 x 1 cos 2 x dx 1 cos 2 x cos 2 2 x cos3 2 x dx 8 8 1 2 3 I dx cos 2 x dx cos 2 x dx cos 2 x dx 8 I1 I2 1 cos 4 x 1 1 sin 4 x x sin 4 x 2 I1 cos 2 x dx dx 1 cos 4 x dx x 2 2 2 4 2 8 2 I2 I2 u sin 2 x cos3 2 x dx cos 2 2 x cos 2 x dx 1 sin 2 2 x cos 2 x dx du 2cos 2 x dx du cos 2 x dx 2 3 3 3 1 u 2 du2 12 1 u 2 du 12 u u3 12 sin 2 x sin3 2 x sin22 x sin6 2 x Reemplazando I1 y I 2 en I 1 sin 2 x 1 1 1 1 I x x sin 4 x sin 2 x sin 3 2 x c 8 16 16 64 16 48 6.- x 2 arccos x dx Solución. I x 2 arccos x dx Integrando por partes u arccos x dx du 1 x2 I dv x 2 dx x3 v 3 x3 1 x3 arccos x dx 2 3 3 1 x I1 I1 x 3 1 x2 dx Integrando por sustitución: u 2 1 x2 2u du 2 x dx u du x dx I1 x3 1 x 2 dx x 2 1 u 2 u 1 x 2 1 x 1 u u du 1 u u du 2 x2 x 2 dx u 2 2 u 1 u du 2 3 u 1 x 2 1 x 2 3 3 x 1 x3 Reemplazando en: I arccos x dx 3 3 1 x2 I1 du u 2 du u 3 I1 I x 1 arccos x 1 x 2 3 3 7.- x3 1 x3 5 x 2 6 x dx 3 1 1 x3 2 3 arccos x 3 1 x 3 1 x 2 3 1 x 2 3 Solución. Dividiendo x3 1 5x2 6 x 1 1 x3 5 x 2 6 x x3 5 x 2 6 x Descomponiendo en fracciones parciales. 5x2 6 x 1 5x2 6x 1 5x2 6x 1 A B C 3 2 2 x 5 x 6 x x x 5 x 6 x x 2 x 3 x x 2 x 3 1 9 B 6 2 x3 1 5x2 6 x 1 1 3 x3 5 x 2 6 x x 5x2 6 x A C 28 3 x3 1 A B C 1 3 2 x 5x 6 x x x2 x3 c A B C dx dx dx I 1 B C dx dx A x x 2 x 3 x x2 x3 I x A ln x B ln x 2 C ln x 3 Reemplazando las constantes: 1 9 28 I x ln x ln x 2 ln x 3 c 6 2 3 ax 8.- e cos bx dx Solución. I e ax cos bx dx Integrando por partes: u e ax du ae ax dx I dv cos bx dx sin bx v b e ax sin bx a e ax sin bx dx b b Integrando por partes: u e ax du ae ax dx dv sin bx dx cos bx v b I e ax sin bx a e ax cos bx a e ax cos bx dx b b b b I e ax sin bx a ax a2 2 e cos bx 2 e ax cos bx dx b b b I 2 ax I a e sin bx a ax I 2 e cos bx 2 b b b I e ax beax sin bx aeax cos bx c a 2 b2 a 2 b2 e ax ax ax b 2 I b 2 be sin bx ae cos bx http://www.docentes.utonet.edu.bo/layzacayoc