M047 Liquenes


M047: Líquenes
A) Presentación del problema
El hielo de algunos glaciares se está derritiendo como resultado del calentamiento global. Después de
doce años de que el hielo desaparece, plantas muy pequeñas, llamadas líquenes, empiezan a crecer
en las rocas.
Cada liquen crece aproximadamente en forma de un círculo.
La relación entre el diámetro del círculo y la edad del liquen se puede aproximar con la fórmula:
d = 7.0
t ! 12
donde d representa el diámetro del liquen en milímetros, y t representa el número de años después
de que el hielo desapareció.
B) Preguntas del problema
Pregunta 1
Usa la fórmula para calcular el diámetro del liquen después de 16 años de que el hielo ha desaparecido.
Muestra tu procedimiento.
Pregunta 2
Ana midió el diámetro de un liquen y encontró que era de 35 milímetros. ¿Hace cuántos años que el
hielo desapareció en este lugar?
Muestra tu procedimiento.
C) Solución directa del problema
Para la pregunta 1:
En este problema sólo se requiere sustituir el valor del tiempo dado, t = 16 años, en la formula
proporcionada: d = 7.0
d = 7.0 16 ! 12
= 7 4 = (7)(2) = 14mm
t ! 12
Para la pregunta 2:
En este caso es necesario sustituir d = 35 mm y despejar para el tiempo:
35 = 7 " t ! 12
35
= t ! 12
7
5 = t ! 12
25 = t ! 12
t = 37 años
D) Criterios de evaluación del problema según los estándares de PISA
INTENCIÓN DE LA PREGUNTA 1:
Evaluar la habilidad del alumno para aplicar la fórmula.
Código 2: 14 mm (no se requieren unidades). El código 2 debe de darse al alumno mientras que se
proporcione 14 como respuesta correcta, aun cuando no se incluya el procedimiento.
Código 1:
Respuestas parciales que incluyan:
 Sustitución correcta del valor en la fórmula pero respuesta incorrecta o sin la respuesta final
(sólo la sustitución)
 Respuestas incompletas (por ejemplo, 7 4 ).
Código 0: Otras respuestas Código 9:
Sin respuesta.
INTENCION DE LA PREGUNTA 2:
Evaluar la habilidad del alumno para aplicar la fórmula y despejar.
Código 2: 37 años (las unidades no se requieren) se muestre el procedimiento o no.
Código 1: Correcta sustitución de los valores en la fórmula pero respuesta incorrecta o sin
respuesta final ó 36 años ó 38 años. (Los estudiantes pueden llegar a esta respuesta usando el
método de prueba y error)
Código 0: Otras respuestas. Código 9:
Sin respuesta.
E) Solución comentada del problema según el proceso de matematización en el marco PISA.
Identificación de un problema
matemático.
Identificación de los elementos
matemáticos asociados al
problema, reorganización del
problema en términos de las
matemáticas identificadas.
En este problema se proporciona un modelo matemático
para encontrar el diámetro de un liquen con respecto al
tiempo. El alumno requiere manipular una fórmula.
En la primera pregunta al sustituir un valor dado en el
modelo matemático y realizar operaciones para obtener
una cantidad y en la segunda, sustituyendo un valor
dado y despejando. El punto más importante es que un
fenómeno biológico es susceptible a ser tratado
matemáticamente por cierta relación que guardan entre
si sus variables.
El punto matemático más importante aquí es entender
que ciertas variables están relacionadas por medio de
una función de raíz cuadrada.
El estudiante debe primero identificar el significado de
las variables que utilizará en la fórmula:
d = diámetro del liquen en milímetros
t = tiempo transcurrido en años
La fórmula que se proporciona es una expresión con
raíz cuadrada, el razonamiento numérico demanda que
el alumno pueda procesar y entender números que son
representados en diferentes formas.
En la primera pregunta el alumno deberá sustituir el
tiempo dado, realizar las operaciones y encontrar el
resultado.
Abstracción matemática
progresiva de la realidad
Para la segunda pregunta, debe sustituir y despejar, y
así encontrar el diámetro que corresponde al tiempo
dado.
Para la pregunta 1: “Usa la fórmula para calcular el
diámetro del liquen después de 16 años de que el hielo
ha desaparecido” el alumno reconoce que el dato
corresponde a la variable de tiempo t = 16 y sustituye
en l fórmula dada: d = 7.0 t ! 12 . Al sustituir el valor
para el tiempo, se obtiene:
d = 7.0 16 ! 12
Para la pregunta 2, al sustituir el diámetro, se obtiene:
35 = 7 " t ! 12
Resolución del modelo
matemático
Para la pregunta 1, el alumno debe realizar las
operaciones y obtener el resultado final:
d = 7.0 16 ! 12
= 7 4 = (7)(2) = 14mm
En la pregunta 2: “Ana midió el diámetro de un liquen y
encontró que era de 35 milímetros. ¿Hace cuántos años
que el hielo desapareció en este lugar?” El alumno
debe reconocer que la información proporcionada
corresponde a la variable d = 35 , y es necesario
despejar para el tiempo:
35 = 7 " t ! 12
35
= t ! 12
7
5 = t ! 12
25 = t ! 12
t = 37 años
Uso de la solución del modelo
matemático como herramienta
para interpretar el mundo real.
Un componente esencial en el razonamiento cuantitativo
del estudiante es la representación de números en
diferentes maneras como es el dos y la raíz positiva de
cuatro, y el desarrollar la comprensión de operaciones
al sustituir y despejar variables en una ecuación.
Este problema proporciona un modelo matemático que
relaciona el diámetro y el tiempo en una situación del
mundo real. Puede ser conveniente dar un poco más de
información sobre de dónde se obtuvo el modelo y sus
limitaciones.
Es importante considerar que dada la naturaleza de las
magnitudes involucradas, el resultado para el tiempo y
el diámetro deberán ser valores positivos y tener sentido
de acuerdo a las unidades en las que están expresadas.
Además de considerar las implicaciones de utilizar
unidades distintas a las que contempla el problema.
El estudiante se enfrenta al uso de diversas fórmulas en
otras materias como química, física o biología. Donde
será necesario que pueda identificar las variables
involucradas, sustituir, despejar y encontrar el valor de
la variable de interés.
F) Comentarios al contexto y dominio del problema según el marco PISA.
CLASIFICACION
Contexto
Científico: el problema proporciona una
fórmula que fue encontrada para
relacionar el diámetro de un liquen con
su edad en años.
Dominio
Cantidad: se proporciona una fórmula
para sustituir y despejar.
G) Comentarios a los procesos matemáticos dominantes del problema según el marco PISA.
Se marcan en amarillo las áreas dominantes:
MACRO-PROCESOS
PROCESOS
Reproducción
Conexión
Reflexión
Pensamiento y razonamiento
Argumentación
Comunicación, utilización de
operaciones y lenguaje técnico (formal
y simbólico).
Construcción de modelos
Planteamiento y solución de problemas
Representación
Uso de herramientas de apoyo.
Este es un problema que se asemeja un poco más a lo que son los problemas “típicos” de un libro de
texto. Una fórmula es dada y se substituyen números de diferentes maneras en la fórmula, se manipula
algorítmicamente y se obtiene un resultado.
El alumno sólo tiene que reproducir las formas de pensamiento ya aprendidas de que una fórmula
contiene variables que se deben tener valores numéricos para ellas, excepto una que es generalmente
la pregunta.
El alumno no participa en lo absoluto en la creación de un modelo matemático. La fórmula está dada y
sólo tiene que reproducirla para calcular lo que se le pide. No hay nada por conectar, excepto el
conocimiento procedimental que suponemos ya posee.
La solución del problema es totalmente estándar, por ello es reproductiva. Una función es dada y hay
procedimientos algebraico-aritméticos para manipular las variables de las mismas.
H) Conexiones curriculares del reactivo PISA con el programa de la SEP.
En el documento “CurrMateSEPMaster” obsérvense las siguientes conexiones curriculares. Para tener
mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular véase “Programa Mate SEP”
Sentido
numérico y
1.4.2
pensamiento
algebraico
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
Significado
y uso de
las
literales
Sentido
numérico y
3.2.1
pensamiento
algebraico
Significado
y uso de
las
literales
2.5.1
3.3.5
Significado
Potenciación y
y uso de las
radicación
operaciones
Manejo de la
información
Ecuaciones
Ecuaciones
Representación
de la
Gráficas
información
Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz
cuadrada y la potencia de exponente natural de números
naturales y decimales.
Representar con literales los valores desconocidos de un
problemas y usarlas para plantear y resolver un sistema de
ecuaciones con coeficientes enteros.
Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y
resolverlas utilizando procedimientos personales u
operaciones inversas.
Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones
funcionales no lineales para modelar diferentes
situaciones o fenómenos.