De la práctica a la formalización Respuestas y soluciones

Respuestas y soluciones
Matemática
De la práctica a la formalización
Cód. Int: 2020681
Liliana Edith Kurzrok
Claudia Comparatore
Silvia Viviana Altman
(i)solucionarioMatEnfoques4.indd 1
10/03/2016 09:07:27 a.m.
Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
Cap. 1: Número reales
Página 10
9. a. números naturales entre ◊15 y E = 4, 5, 6, 7. Existen
Página 8
cuatro número naturales, ya que ◊15 „ 3,8729...
1. a. Supongamos que ◊2 es un número racional; entonces,
b. Existen infinitos números racionales entre ◊15 y E, ya que
a
a
existen a y b ê Z (b ≠ 0) tales que — = ◊2 , siendo — una
b
b
a 2
fracción irreducible. Por lo tanto, ( — ) = 2 ı a2 =2.b2.
b
para cualquier pareja de números reales existe otro número
racional situado entre ellos.
c. Existen infinitos números irracionales, ya que entre dos
Luego, como 2 es un número primo, a2 es par ı a debe ser par
racionales distintos, existe por lo menos, un número racional.
ı a = 2 . k, con k ê Z ı a2 = (2k)2 ı 4k2 = 2b2 ı 2k2 = b2 ı
10. a. – ◊17 „ = – 4,1231...
b2 es múltiplo de 2 ı b también es múltiplo de 2; es decir,
a
tanto a como b son pares; por lo tanto, — no es una fracción
b
◊29 „ 5,3851...
Los números naturales son =0, 1, 2, 3, 4,5.
irreducible, lo cual es absurdo. Por lo tanto, ◊2 no se puede
b. Los números enteros son –4, –3, –2, –1, o , 1, 2, 3, 4, 5.
escribir como fracción; luego, no es un número racional.
c. Existen infinitos números racionales entre ◊15 y E,
b. 1,414
ya que para cualquier pareja de números reales existe otro
—9 3
2 a. Sí, pues — = —, que es racional.
16 4
número racional situado entre ellos.
1
1
1
b. No, pues — = —. Si — fuera racional ı
2 ◊2
◊2
1
a
b
ı — = — con a y b ø Z ı ◊2 =—, como a es
◊2
b
a
racionales distintos existe por lo menos un número racional.
entero, ◊2 sería racional, lo cual es absurdo.
1
(por ejemplo ◊2 y ◊2 + — ) siempre se puede encontrar otro.
3
√
3. a. 4,123
b. 2,924
d. Existen infinitos números irracionales, ya que entre dos
11. a. Por ejemplo: ◊3.
b. Hay infinitos, dado que entre dos números irracionales
c. 1,618
12. a.Ninguno, pues ◊8 < 3.
4. a. Sí, pues 13 < 5 < 33.
b. Hay infinitos. Por ejemplo: 2,8; 2,82; 2,43. Entre dos nú-
b. No, pues 51077 > 2262.
meros racionales a y b siempre existe otro racional, por
c. Sí, pues 2333 < 12812900 < 2343.
ejemplo
Página 9
5. a. >
b. <
c. >
(
a +b .
2
)
c. Hay infinitos, porque entre dos números irracionales
d. <
siempre hay otro.
6. a. < ; b. < ; c. = ; d. < ; e. >
d. Hay infinitos, pues I ÿ õ. Como hay infinitos números
1
7. a. Falso; por ejemplo: —.
3
irracionales, en particular, hay infinitos números reales.
b. Falso; por ejemplo: ◊3.
13. a. [–1; 2)
c. Verdadero, pues se puede escribir como fracción.
b. No es un intervalo, hay un único valor: x = 11.
d. Verdadero, porque no se puede escribir como fracción.
c. (–1; 1)
8.
Página 11
14.
15. Si se redondea, 4,245 ≤ x < 4,255.
2
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Caso 3: x < 0, y ≥ 0. Como x < 0, y ≥ 0 ı |x| = –x, |y| = y ı si |x| = |y| ı
ı –x = y ı x = –y
Caso 4: x < 0, y < 0. Como x < 0, y < 0 ı |x| = –x, |y| = –y ı si |x| = |y| ı
Si se trunca, 4,25 ≤ x < 4,259.
16. a. Si se redondea, –8,74534 ≤ x ≤ –8,74525,
con error < 0,00005.
b. Si se trunca, –8,74539 ≤ x ≤ –8,7453.
c.
x
|—
y |=
c. con error < 0,00009.
17. a. No es posible, pues 22 > 3; por lo tanto, no existen dos
x|
—
y | si y ≠ 0.
|
|
Demostración
x | =| —
x|
Caso
1: x ≥ 0, y > 0 ı | —
y
y
números naturales en A; el único natural en A es x = 1.
b. {–1; 0; 1}
x | =| —
x |x|
Como
|x| = x, |y|= y ı| —
y
y | =| —
y|
c. Hay infinitos, porque entre dos números reales distintos siempre se puede encontrar otro.
–x = –y ı x = y.
Caso 2: x ≥ 0, y < 0.
1
d. 0,5; 0,25; – ; –0,25; 0,3
2
x | =- a—
xo
Como:
x ≥ 0, y < 0 ı < 0 ı| —
y
y
◊2
e. —
2
x | =- —
x x = |—
x|
Como:
|x| = x, |y| = - y ı| —
y
y =—
–y
|y|
Caso 4: x < 0, y < 0.
f. (–◊2; ◊2 )
x
x
Si x < 0, y < 0 ı > 0 ı |—| = —.
y
y
x
x -x |x|
Como |x|= – x, |y|= –y ı |—|= —=—= —
y
y -y |y|
g.
Página 13
h.
20. a. 3 b. 5
21. ◊250
22. a. Falso, pues si (a + b) fuera racional, (a + b) = k, con k ê Q; por lo
tanto, a = k – b; como b ê Z, entonces k – b ê Q, por lo que a ê Q.
b. Falso. Si b = 0, a . b = 0, por lo que (a . b) es racional.
c. Falso, pues, por ejemplo: ◊2 + ◊2 = 2◊2, que es irracional.
d. Falso, pues, por ejemplo: ◊2 . ◊2 = 2 ê Q.
Página 12
18.
a. x= 9; x = -9
b. X = ƒ
2
2
e. x = –7; x= 9
c. x= 0
f. x= – —; x —
23. a. Por ejemplo: –◊2 + ◊2 = 0.
3 x= —
3 }
d. x = – —;
1
2
3
◊7 2. 3◊7
b. Por ejemplo: — + —— = 3◊7
3
3
11
2
24. -3 – 5◊17; ◊5 – 5◊17 – 8;2 5◊17 – 9
19. a. |x . y| = |x| . |y|
Página 14
Demostración:
Caso 1: x ≥ 0, y ≥ 0. Si x ≥ 0, y ≥ 0 ı x . y ≥ 0 ı |x . y| = x . y.
Como |x| = x, |y| = y ı |x . y| = x . y = |x| . |y|.
Caso 2: x ≥ 0, y < 0. Si x ≥ 0, y < 0 ı x . y < 0 ı |x . y| = –(x . y).
Como |x| = x, |y| = –y ı |x . y| = – x . y = x . (–y) = |x| . |y|.
Caso 3: x < 0, y ≥ 0. Si x < 0, y ≥ 0 ı x . y < 0 |x . y| = –(x . y).
Como |x| = –x, |y| = y ı |x . y| = –x . y = |x| . |y|
Caso 4: x < 0, y < 0. Si x < 0, y < 0 ı x . y > 0 ı |x . y| = x . y.
Como |x| = –x, |y| = –y ı |x . y| = x . y = (–x) . (–y) = |x| . |y|.
25. a. = ; b. = ;c. > ; d. = ; e. =
2.◊3 –3
26. ——— cm2
4
27. 4 ◊3 + ◊30 cm
28. Los catetos miden ◊5 cm y 2 . ◊5 cm.
Página 15
29. Queremos probar que: ( nn◊a . mm◊b )n.m = am . bn
b. |x| = |y| ı x = y ó x = –y
Demostración:
Caso 1: x ≥ 0, y ≥ 0.
Como x ≥ 0, y ≥ 0 ı |x| = x, |y| = y ı
ı si |x| = |y| ı x = y.
Caso 2: x ≥ 0, y < 0.
Como x ≥ 0, y < 0 ı |x| = x, |y| = –y ı si |x| = |y| ı x = –y
( n◊a . mm◊b )n . m = ( n◊a )n .m . ( m◊b )n.m =
n.m n.m
= a . —– b —– = am . bn
n
n
n
1
—
n
n
◊a n a
30. ◊a = a ; n◊a . n◊b = n◊a.b ; n — = — ; n◊a. m◊b =
◊b
b
=n.müa m.bn; n◊an = a, si n, m ê N son impares.
√
3
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menor.
Si n es par, n◊an = –a.
b. A veces mayores y a veces menores que el número exacto.
31. a. FALSO. ◊a2.b = ◊a2 . ◊b = |a| . ◊b, si a < 0, es falso.
Por ejemplo: 2,4167889 Æ 2,417; en este caso, la aproximación
b. VERDADERO. 3◊a3. b= 3◊a3 . 3◊b =a. 3◊b
3
—
2
es mayor, pero 2,41123 Æ 2,41, que es menor que el número
original.
1
1
1
c. VERDADERO. a = (—)
=√(—)
= √—
a
a
a
3
3
8. a. [ 1; 3}
b. (-2 ; 5)
d. VERDADERO. a = a = 3◊a2
9. a. 9
32. a-2 < 1 < 3◊a < ◊a ◊ a2 < a3
33. a3 < a2 <◊a <3◊a < 1 < a-1
72
2 3◊361
b. — ◊3 e. –2
h.
5
19
c. ◊7 –1 f. ◊57 + 3 . ◊6
34. 5◊b
11. a. S = {0; 6}
b. S= {◊2; –◊2 ; –◊3 }
◊3 ◊6
c. S={ — + — }
3 12
63
d.{ - — }
62
4
—
6
2
—
3
35. a. FALSO b. VERDADERO. c. FALSO. d. VERDADERO
d. 27. ◊3
g. – 1
Página 16
Capítulo 2: Funciones
36. a. ii. (◊80 + 3 ◊5 - 2◊5 )
b. ii.
c. ii.
Página 34
d. iii.
1.a. La relación entre la edad y el peso cerebral y la
e. No hay ningún correcto.
f. i.
(
◊2 (◊5 + ◊3 )
2
relación entre la edad y el peso corporal.
)
b. Que cuando la persona es adulta, el peso cerebral es
de 1400 g y el peso corporal, de 70 kg.
g. ii.
2. a. Hay que darle 1,5 ml.
h. No hay ningún correcto.
Página 17
b. Pesa 24 kg
4. Son funciones a. y b. porque a cada valor de la variable
dependiente se le asigna un único valor de la variable
37. a. S= { –8.(1–◊5 )}
b. S = {17}
independiente. c. no es función porque al 15 se le
c. S = { 5◊4 }
asignan dos valores distintos.
2.◊7
d. S= {——}
5
e. S= ƒ
Página 36
5. El primero, el segundo, el tercero y el cuarto.
5
38. Perímetro = 5 + ◊10 cm; área =— cm2.
4
6.
Página 31
1.5,451
Dominio
Imagen
a(x)
ℝ
ℝ
e(x)
ℝ
b(x)
2. a. FALSO. Porque ³√27 = 3 y 3 + 4 = 7 ê ℚ
b. FALSO. Porque ◊3 ê ã
g(x)
c. VERDADERO. Porque ◊4 = 2 y 2 – 2= 0 ê ℤ
r(x)
d. FALSO. Porque ◊0,81 = 0,9 ê ℚ
f(x)
e. FALSO. Porque 0,5 5 = ê ℚ
–
9
Imagen
ℝ≥0
ℝ≥0
(-∞ ; 2]
∪[2 ;+∞)
ℝ ≠0
ℝ
ℝ≥0
d(x)
ℝ
ℝ>0
i(x)
ℝ -{-2 ; 2}
ℝ>0
ℝ ≠5
ℝ ≠0
k(x)
ℝ
ℝ ≥ -4
ℝ ≠0
Página 37
5 13
2
4. a. {0} b. {3} c. {—;
2 —}
2 d. {-8; —}
3
Dominio
c(x)
ℝ
ℝ >0
h(x)
j(x)
ℝ ≠-3
6. El mayor es ◊x + 1, pues: ◊y <◊x < ◊x +1; y22 < y < ◊y <
7. a. Dom = ℚ +
◊x < ◊x +1; x22 < x < ◊x < ◊x + 1.
7. a. Son siempre menores o iguales al número exacto, pues
8. a. El primero, el segundo y el tercero.
al quitarle cifras decimales, el número obtenido puede ser
4
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ℝ
ℝ ≠0
ℝ ≠0
b. Dom = ℕ
c. Dom = ℝ +
b. Para el primer gráfico: Dominio = ℝ, Imagen = (–∞; 0]
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Para el segundo gráfico: Dominio = ℝ, Imagen = {1}
Para el tercer gráfico: Dominio = ℝ, Imagen = ℤ
c. Dom f = ℝ – {–5}; Dom g = [25; +∞)
Dom h = ℝ; Dom i = ℝ – {2; –2}
Página 38
15. No es posible.
9. a. A los 15 años.
b. Aproximadamente, a los 7 años y a los 26 años.
Página 51
c. Entre los 5 y los 15 años.
1. Son funciones:
Página 39
5
10. Para f(x): x = —
2
Para g(x): x = 4 y x = –4
Para h(x): x = 31 y x = –3
11. a. Los reconocemos gráficamente porque son los puntos
a. Dom f = {3; 4, 5; 6; 7, 8}; Im f = {5}
b. Dom f = {1; 2; 4; 7}; Im f = {1; 3; 5; 9}
c. No es función.
d. Dom f = {1; 2; 3; 4; 5}; Im f = {0; 2; 4; 6; 8}
e. Dom f = {1; 2, 4, 8, 16}; Im f = {0; 1; 2; 3; 4}
b. Los reconocemos en la tabla porque son los valores de
2. d no es función porque, por ejemplo, x = 1 no tiene
x cuya imagen es el 0.
donde el gráfico de la función corta al eje de las abscisas.
imagen.
s, sí, porque x2 + 5 es siempre positivo y la raíz cuadrada
existe para cualquier real positivo.
12. a. Máximo absoluto = (70; 30)
r no es porque x = -2 no tiene imagen.
Máximo relativo = (20; 22,5)
Mínimo absoluto = (50; 0)
Mínimo relativo = (90; 10)
3. a. Dominio = [0;1350]
b. Máximo absoluto = (90; 325)
Imagen = [-15000; 50000]
Máximo relativo = (20; 200) y (50; 300)
Ceros: 0; 450; 750.
Mínimo absoluto = (107; 0) y (0; 0)
Máximo absoluto en 1100 y es de 50000.
Mínimo relativo = (33; 100) y (60; 200)
Mínimo absoluto en 550 y es de -15000.
t es función porque x4 + 1 ≠ 0.
13. Dom f = {1991; 1992; 1993; 1994; 1995;
C+ = (0; 450) u (750; 1350)
1996; 1997; 1998; 1999; 2000}
C- = (450; 750)
Im f = {–3,5; –3; –0,3; 4; 5,5; 6; 8; 10; 10,5}
Intervalos de crecimiento = (0; 200) u (550; 1100)
Corta al eje en x = 2000.
Intervalos de decrecimiento = (300; 550) u (1100; 1350)
La función no es par porque no es simétrica respecto del
Crece entre los anos 1995 y 1997, y entre 1999 y 2000.
eje y. No es impar porque no es simétrica respecto de (0;0).
Decrece entre los anos 1991 y 1995, y entre 1997 y 1999.
C+ = {1991; 1992; 1993; 1994; 1996; 1997; 1998}
C– = {1995; 1999; 2000}
ejemplo, x = 200 y x = 300 tienen la misma imagen y los
números > 5000 no tienen preimagen.
Página 40
Página 52
14. a. Máximo = (23 de agosto; 184,5)
Mínimo = (8 de septiembre; 179)
Crece del 25 al 26 de agosto; del 28 al 29 de agosto; del
No es inyectiva, sobreyectiva ni biyectiva porque, por
4.
30 al 31 de agosto y del 3 al 4 de septiembre. Decrece del
23 al 25 de agosto; del 26 al 28 de agosto; del 29 al 30 de
agosto; del 31 de agosto al 3 de septiembre; del 4 al 6 de
septiembre y del 7 al 8 de septiembre.
b. Es positiva del 23 al 25 de agosto; el 26 y el 29 de agosto.
Es negativa el 28 y el 30 de agosto, el 3 de septiembre y
5. En ambos casos:
Dom = {1991; 1992; 1993; 1994; 1995; 1996; 1997; 1998;
1999; 2000}
del 4 al 8 de septiembre.
5
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En el de desocupados:
Im = {0,7; 0,8; 1,1; 1,4; 1,6; 1,7; 1,8; 2; 2,05}
Crece de 1991 a 1996 y de 1998 a 2000.
Decrece de 1996 a 1998.
iii. m = ; b = 1
3
iv. m = – 2 ; b = 1
5
4
v. m = 9 ; b = 3 ;
vi. m = 2; b = –18
En el de pobreza:
b. Son crecientes: b. c. e. y f.
Im = {17; 18; 19; 21; 26; 28,9; 27; 28; 25}
Son decrecientes a. y d.
Crece de 1993 a 1996 y de 1998 a 2000.
8. Los gráficos se numeran de izquierda a derecha.
Decrece de 1991 a 1993 y de 1996 a 1997.
a. Con el primer gráfico, es lineal, m = 5 y b = 3.
b. Con el cuarto gráfico, no es lineal.
c. Con en sexto gráfico, es lineal, m = 2 y b = –8.
d. Con el segundo gráfico, es lineal, m = –2 y b = 2 .
e. Con el tercer gráfico, no es lineal.
Capítulo 3: Algunos
modelos funcionales
1
2
f. Con el quinto gráfico, es lineal, m = – 3 ; y b = – 3 .
Página 54
Página 56
1. a. f(x) = 500 – 90 . x
9. a. 15 cm
d. 5
b. La pendiente es m = –90 y su signo indica que la
b. 115 cm
e. 9 segundos
función es decreciente (regresa).
c. 100 cm
c. Aproximadamente, a las 2 horas 46 minutos 47
f. y = 5 x + 15
10. a. v. y = 1200 + 100x
segundos y a la hora de haber salido.
2. Porque la duración total del viaje es de 5 horas (el tiempo
b. La pendiente es m = 100 e indica el ahorro mensual, la
ordenada al origen es b = 1.200 e indica el monto inicial.
11. a. El segundo auto va más rápido, ya que su velocidad es
no puede ser negativo).
mayor.
Página 55
b. Primer auto: y = 65x + 70; segundo auto: y = 80x + 25.
3.
c. Aproximadamente, a las 3 horas 41 minutos 32
segundos de haber comenzado el viaje.
d. A los 52’ 56”.
e. Se encuentran después de 3 horas de haber comenzado
el viaje y lo hacen a 265 km de Buenos Aires.
f.
4. La ordenada al origen es f(0) = m . 0 + b = b.
𝑏 si m ≠ 0
La raíz es cuando f(x) = 0 ⟹ 0 = mx + b ⟹ x = – 𝑚
Si m = 0, la función lineal es f(x) = b.
Si b ≠ 0, no tiene raíces.
5. No, las rectas verticales no corresponden a gráficas de
funciones, ya que para el mismo valor de x hay infinitos
valores de y.
6. La pendiente se puede calcular con la misma fórmula,
solo que, en el caso de ser una función constante, m = 0.
Página 57
7. a. Llamando m a la pendiente y b a la ordenada al origen:
i. m = –5; b = 8
ii. m = 9; b = –8
12. El primer gráfico, porque tiene pendiente negativa y
ordenada al origen positiva.
6
(i)solucionarioMatEnfoques4.indd 6
10/03/2016 09:07:33 a.m.
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13. a. No.
b. Sí. Pertenecen a la recta de ecuación: y = 8x + 9.
14. a. y = –3x + 12  
b. y = –2x + 7  
4
c. y = — x + 4  
3
pasan por A y B, y por B y C, comprobamos que estas no
d. y = 2x + 4  
son perpendiculares.
e. y = 9x + 23
26. (4; 4)
f. y = 12x – 8
Página 60
13
7
g. y = – — x – —
4
4
27. Si se consumen 79 kwh, se pagan $16,90; si se consumen
186 kwh, se pagan $20,082.
4
19
h. y = – — x + —
17
17
28. a. Recuerda 7 láminas.
semieje positivo y.
Página 61
b. Falso. Es x = 0.
3
29.–— x – 3
4
c. Falso. La pendiente de la recta graficada no puede ser
m = –1, pues sería decreciente.
4
— x + 1
7
Página 58
–x + 10
16. Nombrados de izquierda a derecha:
5
5
a. y = — x + —
4
2
3
b. y = — x – 1
4
b. Tenía 10 imágenes.
15. a. Verdadero, porque el gráfico de la función corta al
si x ≤ 0
si 0 < x < 7
30. 1,12 si 0 ≤ x < 200
3
c. y = – — x – 3
2
1,12 + 0,12 si 200 ≤ x < 400
1,12 + 0,24 si 400 ≤ x < 600
1
7
d. y = – — x – —
6
3
si x ≥ 7
...................................
17.Gráfico a. con condición 4, porque es decreciente y corta
al eje y en un punto cuya ordenada es positiva.
en general,
1,12 + 0,12 ([x – 200] – 1] donde
[x – 200] es la parte entera de x – 200.
Gráfico b. con condición 1, porque es constante y corta al
31. Dominio = ℝ – {–1; 1}
eje y en un punto cuya ordenada es positiva.
Raiz: x = 6
Gráfico c. con condición 2, porque es decreciente y corta
al eje y en un punto cuya ordenada es positiva.
Ordenada: y = 7
Gráfico d. con condición 3, porque es constante y corta al
eje y en un punto cuya ordenada es positiva.
18. y = –3x + 5
1
16
19. y = – 5 ; x – 5
Página 59
Página 71
20. a. b. y c. son paralelas entre si.
e., f., d. y h. son paralelas entre si.
1. a. con II), b. con III), c. con I)
a., b. y c. son perpendiculares a e, f, d y h.
(I) eje y: Importe a abonar ($).
7
19
21. y = – — x + —
4
4
Eje x: Tiempo (min).
23. Las rectas son paralelas, porque la segunda recta tiene
29
ecuación y = 8x + 3 ; por lo tanto, tienen la misma
pendiente.
22. y = x + 9
(II) eje y: Importe a abonar ($).
Eje x: Cantidad de tela (m).
(III) eje y: Cantidad de agua en el tanque (I).
Eje x: Tiempo (hs.)
2. a. 25° y es la ordenada al origen que corresponde a t = o.
24. D = (2; 1), porque AB: y = x + 1; CD: y = x – 1; BC: y =
–x + 5; AD: y = –x + 3
b. 15°. La pendiente indica igual variación de temperatura
por unidad de tiempo.
25. No, porque si buscamos las ecuaciones de las rectas que
c. 100°
7
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10/03/2016 09:07:33 a.m.
Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
d. 175°
e. A los 8 minutos 20 segundos fue de 150° y nunca fue de
Î
Î
—
—
MBN = QDP ı QP = MN (1)
—
—
AD = BC, por propiedad del rectángulo.
186°.
—
— —
— —
—
AQ + QD = AD y BN + NC = BC .
—
—
— —
Como BN = QD , por requerimiento del problema ı AQ = NC.
f.
Î
Î
Como AMQ y PNC son rectángulos y tienen 2 lados iguales,
Î
Î
—
—
AMQ = PNC ı NP = MQ (2)
De (1) y (2): MNQP tiene 2 pares de lados opuestos congruentes;
Página 72
por lo tanto, es un paralelogramo.
3. a. y = -6x + 2
b. y = -1,5x + 7,5
c. y = 0,5x – 3
4. a. -13
5
b. 3
2. a.
c. 8
d. 8
Cant. de horas
0
1
2
3
4
5
Cant. de bacterias
8
16
32
64
128
256
Largo (cm)
10
20
35
40
45
48
Alto (cm)
40
30
15
10
5
2
Base (cm)
10
20
25
40
50
100
Altura (cm)
20
10
8
5
4
2
No es lineal
5. a.
b.
Es lineal
c.
No es lineal
Página 75
b. Se cruzan en A= (3 ; 7) y en C= (1,25 ; 1,75)
c. Es el gráfico hecho en a. en la vista algebraica se ven
3.La a. y la c.
4. (–56; 8)
[100+(-100)]
5. Si, pues
= 0.
5
las coordenadas de las intersecciones.
235 – 244
6. No, pues
≠ 239,5.
2
Capítulo 4: Funciones
cuadráticas
Página 76
7. a. Cualquier punto de coordenadas (101,5; y), con y ≠ 8.
Página 74
b. Hay infinitas opciones, porque puede completarse la
ordenada con cualquier valor diferente a 8.
8. Si, pues = -3+11 = 4 y
2
9. (40; 20) y (–60; 0)
—
—
AB = DC por propiedad del rectángulo.
—
—
— — — —
AM + MB = AB y DP + PC = DC.
b
b—)2 + b (-—
b
b—2 ) - b—2 = +c
10.y
—)= a (-2a
2
v= F (-2a
2a) + c= (4a
2a
2
2
2
b
b
b
= 4a
— -2a
— + c =—
4a +c
1.
—
— —
—
Como PC = AM , por requerimiento del problema ı MB = DP
15 -7
2
= 4.
11. a. V = (2,5; –7,5). Dos pares de valores simétricos pueden
ser (0; 5) y (5; 5); (2; –7) y (3; –7).
Î
Î
Como MBN y QDP son rectángulos y tienen 2 lados iguales,
8
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10/03/2016 09:07:34 a.m.
Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
b. V = (2; 6). Dos pares de valores simétricos pueden ser
II. a. Vértice = (–3; –147). b. Es cóncava hacia arriba. c.
Dos pares de valores simétricos son, por ejemplo, (0;
(0; 2) y (4; 2); (1; 5) y (3; 5).
–120) y (–6; –120); (–2; –144) y (–4; –144). d. Imagen =
[–147; +ˇ). e. Crece en (–3; +ˇ); decrece en (–ˇ; –3). f.
Tiene un mínimo en (–3; –147). g. Raíces: x = 4 y x = –10.
c. V = (0; –4). Dos pares de valores simétricos pueden ser
(1; –3) y (–1; –3); (2; 0) y (–2; 0).
III: a. Vértice = (–1; 0). b. Es cóncava hacia arriba. c. Dos
pares de valores simétricos son, por ejemplo, (0; 2) y (–2;
d. V = (0; 0). Dos pares de valores simétricos pueden ser
2); (1; 8) y (–3; 8). d. Imagen = [0; +ˇ). e. Crece en (–1; +ˇ);
decrece en (–ˇ; –1). f. Tiene un mínimo en (–1; 0). g. Raíz:
(1; –3) y (–1; –3); (2; –12) y (–2; –12).
x = –1.
Página 77
12. Largo = 100 m; ancho = 50 m.
Página 78
13.Base = 40 ; altura = 45 ; área = 2700 +225 .∏
12∏
12∏
2 (12 +∏)2
16. a.
14. a. En abril de 2001.
b. 2700.
c. 2025.
d. Si, en octubre de 2003.
15. I. a. Vértice = (3;8). b. Es cóncava hacia abajo. c.Dos pares
de valores simétricos son, por ejemplo, (0; -10) y (6; -10);
Puntos de intersección:
(
(2;6) y (4;6). d. Imagen =( -ˇ; 8]. e. Crece en (–ˇ; 3);
decrece en (3; +ˇ). f. Tiene un máximo en (3; 8). g. Raíces:
(
-1 + ◊21
9
; 22,5 - —. ◊21) y
2
2
9
; 22,5 + —. ◊21 )
2
2
x = 1 y x = 5.
-1 + ◊21
9
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Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
b.
e. 7650 (x = 33).
3. a. V = (2; 6). Dos pares de valores simétricos pueden ser,
por ejemplo, (0; –6) y (4; –6); (1; 3) y (3; 3).
Puntos de intersección: (2; 3) y (1; 0).
17. a. 90 km/h
b. 270 km/l
c. Si; v = 90 km/h.
d. Entre 0 km/h y 90 km/h.
b. V = (2; 6). Dos pares de valores simétricos pueden ser,
por ejemplo, (0; 2) y (4; 2); (1; 5) y (3; 5).
18. Una respuesta posible es y = –3(x + 1) + 5. Hay infinitas.
2
4
13
19. y = – 3 𝑥2 – 3 𝑥 + 3 . Hay una única función.
20. Una respuesta posible es y = –3 (x – 2)(x – 5). Hay
2
infinitas.
5
21. y = 4 (x – 2)(x – 5). Hay una única función.
c. V = (0; –4). Dos pares de valores simétricos pueden ser,
por ejemplo, (1 ; 3) y (1 ; 3); (2 ; 0) y (2 ; 0).
Página 79
5
5
32
22. y = – — x2 + — x + — . Hay una única función.
32
4
8
23. Para k ≥ – 2
24. Para k > 7,5
1
25. a. x= 5 ó x = —
12
1
b. x =— 0 x=2
3
d. V = (0; 0). Dos pares de valores simétricos pueden ser,
por ejemplo, (1; –5) y (–1; –5); (2; –20) y (–2; –20).
-1 ◊73
-1 ◊73
c. x =
ó x=
-6
-6
26. 3, 4 y 5.
y2
27. y = —
16
4. Base = 600 m
Altura = 3600/7 m.
x2
28. y = —
32
9
3
29. a. Foco: (0; —); directriz y = - —.
2
2
9
9
b. Foco (—; 0); directriz: y = -—.
4
4
Página 92
30. La directriz debe ser una recta horizontal y el foco puede
b. 12.500 abejas. el 20 de mayo.
ser cualquier punto siempre que no se encuentre sobre
c. 12.375 abejas.
esa recta.
d. A los 80 días.
9
5.k > —
8
6. f (x) = -(x + 3) (x-5)
7. a. El 31 de marzo.
8. Largo = m; ancho = 50 m.
Página 91
9. Largo = 200 m; ancho = 150 m.
1. a. No, es lineal. b. Es cuadrática.
10. a. v = 374,5 m/s; t = 13,5 segundos.
2. a. 1° de de julio (x = 30)
b. 7695 pacientes.
c. Aproximadamente 69 días
d. Los días 6 de junio y 26 de julio (x = 5 o 55).
b. Después de 27,184 segundos.
c. v = 350 m/s a los 10 segundos y a los 17 segundos.
La velocidad nunca es de 400 m/s.
10
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Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
Capítulo 5: Sistemas de
ecuaciones
7x +12 y = 10
x + y= 1
x = 2y
S = ƒ, luego, don Jose no puede vender cafe en estas
Página 94
condiciones.
1. Pedro tiene 84 años y Miguel 16.
Lo debera vender a $8,67 el kilo (si colocara 400 g y 600 g, y
2. Hay infinitas soluciones, dado que el sistema está
no cumpliera la tercera condición).
8. a. Si k ê õ –{–1}
formado por dos ecuaciones que son equivalentes.
b. No existe ningún valor de k.
Página 95
c. Si k = – 1, el sistema es incompatible.
3. a. S = ƒ b. S = ƒ
9. Una respuesta posible es:
x + 2y = 4
2x + y = 3
3x + 3y =8
10. No puede, pues (0; 0) es solución del sistema.
11. Una respuesta posible es: 2x+y =1 ó 2 –2y= 4x
12.b > 0, e > 0, a > 0 y b < 0 ó a < 0 y b > 0
Página 97
13. En la primera hora, v = 35 km/h; en la segunda hora,
4. Una posible respuesta es:
14. Para el camion, a = 10 km/h2 ; para el auto, a = 0 km/ h2.
1
y = —x + 2
3
15. Si la moto sale de Buenos Aires, se encuentra con el
camion a las 6,74 hs. aproximadamente y no se encuentra
1
y = –— x + 2
3
con el auto.
16. Se encuentran, aproximadamente, a las 1,69 horas y
b. y = –x + 2
88,3 horas.
5
y= — x – 5
2
17. Hay dos rectas tangentes: y = 7x – 15; y = –9x + 1.
4
1
y =— x –—
3
3
c.
Página 98
18. y = 4x – 1
y = –x –1
19. a. Puntos de interseccion:
y= –x +3
d.
v = 45 km/h.
a. y = –2x + 8
y = – 2x +4
3y= –6x +12
(
(
)
)
-1 + ◊21 ; 22,5 – . ◊2`1 y
2
-1 ◊21 ; 22,5 +. ◊2`1 .
2
2
Página 96
5. Una posible respuesta es:
a. 2x + 3y = –7
5x + y = 2
b. x + y = 3
2x = 6 – 2y
b. Puntos de intersección: (2; 3) y (1; 0).
6. Debe colocar 7 kg de te fuerte y 3 kg de te con canela.
7. Debe verificarse:
11
(i)solucionarioMatEnfoques4.indd 11
10/03/2016 09:07:39 a.m.
Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
Capítulo 6: Semejanza de
figuras
Página 108
Página 99
20. a. 121,5
1. Es necesario medir ángulos y lados de la figura original.
b. 504
Los ángulos serán iguales y los lados proporcionales.
21. a. Como maximo, 2.
b. Pueden tener dos soluciones, ninguna o infinitas.
Página 109
Página 106
2. a. Razón de semejanza = 0,5; 𝛽 = 92° ; AE = 2 cm A´B´ =
1. Tengo $23.
1,5 cm B´C´ =2 cm E´D´ =1 cm
2.No se encuentran.
b. Razón de semejanza = 1,5
3. No pueden haber gastado dicha suma de dinero en
esas condiciones
1
D´C´ = 2,76 cm DE = 2 1/3 cm F´E´ = 4,185 cm AF = 2 30 cm
C´B´ = 3,4 cm
4. Ariel tiene 12 figuritas y Nicolás tiene 13.
5. 0,9332 y 0,0062.
6. a. S = ƒ
DCB = 38,34° FED =59,87° A´F´E´ =72,13° C´B´A´ = 55,74°
Página 110
3. a. Es cierto, porque los lados son iguales entonces
la constante para pasar de una longitud a la otra es la
misma y los ángulos de ambos miden todos 120°.
b. También son semejantes, porque los lados son iguales
entonces la constante para pasar de una longitud a la otra
es la misma y los ángulos de ambos miden todos 108°.
37 13
b. {(– — ; — )}
3 3
4. Sí, es cierto porque los lados son proporcionales.
5. Es cierto porque el tercer ángulo también será igual al ser la
diferencia con 180° y al tener los ángulos iguales se podrían
superponer como en el problema IV y quedan semejantes.
Página 111
6. No alcanza ya que, por ejemplo un cuadrado tiene todos
los ángulos rectos y un rectángulo que no sea cuadrado
9
7. a. I. Para k ê õ – {—} el sistema es compatible
5
9
II. Si k = —, el sistema es compatible
5
también tiene los ángulos de 90° pero no son semejantes.
7. a. Son semejantes porque los ángulos son iguales.
III. No existe k para que el sistema sea incompatible.
proporcionales.
b. k ≠ –9
(
)
3 9
8. a. (1;6) y — ; —
2 2
b. No son semejantes porque los lados no son
c. Sí son semejantes porque tienen un ángulo común y
los lados que forman ese ángulo son proporcionales con
constante 1,3.
b. ( 3,8; 7,68) y (–3; 24)
d. Son proporcionales con razón de semejanza 0,35.
9. Aproximadamente 848 unidades cuadradas.
Página 112
8. a. No pueden calcularse los lados porque los datos de sus
medidas no son lados homólogos. El ángulo G = 99,24° y
el ángulo H = 46,15°
12
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Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
b. Los triángulos son semejantes con razón de semejanza
Página 125
2. No se puede calcular los otros lados o ángulos.
c. Los triángulos son semejantes con razón de semejanza
5. No se puede calcular los otros lados o ángulos.
d. 5,4 cm.
Página 113
9.9. AB ≌ 1,96 cm
1. Los triángulos ABC y DEC son semejantes porque AB es
paralelo a ED. Por lo tanto DE = CD (1). Por otro lado, los
AB CA
triángulos DEO y AOB son semejantes porque tienen los
mismos ángulos y por lo tanto DE = EO (2). Por (1) y (2)
AB OA
la igualdad pedida es correcta.
2. Perímetro del triángulo AOC es 24 cm y el perímetro del
10. Son semejantes los triángulos ABC con EFC porque EF es
paralela a AB. El triángulo ABC con el ADE porque BC es
triángulo DOE es 72 cm.
3. a. Es un paralelogramo, porque en los datos dice que BC
paralela a DE. Por transitividad los triángulos ADE y EFC
es paralela a DF, como BO es una parte de BC y DE es una
son semejantes.
parte de DF, BO es paralela a DE, lo mismo sucede con DB
11. a. Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales. El
y EO.
recto y el ángulo B que es común.
b. Son semejantes porque AD es paralela a GE.
Los lados homólogos son CB con EB con ED y AB con DB.
c. Son semejantes porque EF es paralela a OC.
b. El área mide 65,625 cm2 y el perímetro 37,5 cm
d. Como los triángulos DAF y BAC son semejantes, porque
12. Es cierto porque al ser AC es paralela a MN el ángulo A y
AD es paralela a EG, y el triángulo BAC es semejante al
el ángulo M miden igual, lo mismo pasa con el ángulo C y
triángulo OGC, porque BA es paralela a GO. Tenemos
el ángulo N, por lo que tienen 2 pares de ángulos iguales.
por transitividad que los triángulos DAF y OGC son
Página 114
13. Por ejemplo OC = OF
AB DE
14. Errata dice AE y debe decir AG, con esa aclaración. Y que
semejantes.
8
e. El perímetro del triángulo ADF es 118 15 cm
Página 126
BE = 10 cm
a. Los triángulos semejantes son BAE, CAF y DAG.
b. El perímetro mide 76 cm.
4. a. Son iguales porque son las dos partes en las que queda
dividido un rectángulo por su diagonal
b. Los triángulos AFC y BOC son semejantes porque FA es
Página 115
paralela a BO y los triángulos FCH y FOG son semejantes
15. a.
porque CH es paralela a OG. Como los triángulos AFC y
FCH son iguales, todos los triángulos son semejantes.
c. Perímetro de CEO = 70,59 cm; perímetro de FGO = 9,4
cm y perímetro de FCH = 80 cm.
5. El perímetro del triángulo ABE es 129,93 cm.
6. a. Es un trapecio porque OF es paralela a DC.
Los segmentos sobre son iguales porque si se utiliza el teorema de
Thales se tiene que:
AQ = AD = 2 = 2 → AQ = PQ
QP DE 3
Así se puede seguir con todos los segmentos que quedaron determinados
—
en AB.
b. No es necesario que midan todos 1 cm pero deben
ángulo recto y el triángulo ABC no.
c. No son semejantes porque, a menos que el triángulo
ABC sea isósceles los ángulos no son iguales.
d. Los triángulos ABC y DOE no son semejantes porque el
triángulo DOE tiene un ángulo recto y el otro no.
e. Los triángulos BEC y BOF son semejantes porque EC) es
paralela a OF.
medir todos igual.
16. Misma construcción del ejercicio anterior pero con 9
b. No son semejantes ya que el triángulo BOF tiene un
f. El área mide aproximadamente 53,63 cm2
segmentos iguales en la semirrecta.
13
(i)solucionarioMatEnfoques4.indd 13
10/03/2016 09:07:40 a.m.
Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
Capítulo 7: Trigonometría
sen å
=
= Por lo tanto,
b
c
queda demostrado el teorema para triángulos
al lado d, obtenemos que
sen ∫
obtusángulos.
Página 128
21. a. = 2,5217 cm; b. = 14,7893 cm.
1. a = 45° 35’ 4,88”
22. 75,48 km
2. 1431,81 metros.
Página 145
Página 129
1. a. m = 132,29 . 1, 00345t m en gramos y t en horas.
3. Perímetro = 30,66 cm; área = 42,9 cm2.
b. 0,345% por hora; 8,617% por día; 78,35% por semana.
c. Cada 8 días, 9 horas y 15,5 minutos.
4. No existe un rombo cuyos lados midan 8 cm y su diagonal
mayor, 5 cm.
d. Después de 587,3177 horas.
5. 75° 31’ 21” y 14° 28’ 39”.
2. a. = b. > c. < d. >
6. 48,8 m.
3. Por ejemplo y= -3.2x
7. Área = 742,12832 cm2; perímetro = 142,26 cm.
4. a. m= 1,5182.0,9762t m en kg y t en años.
8. 6,39234272 m.
5. a. x = 7
b. x = 5
c. x = 3 ó x = 1,75
Página 130
9. Área = 99,65 cm2; perímetro = 193,77 cm.
10. CD 3,48663426 cm
11. BD ≈ 19,53 cm y DE ≈ 15,38 cm
12. 90°, 63° 26´ 6´´ y 26° 33´ 54´´
13. 1,34 metros.
Página 146
6. 382,717 m
7. Longitud de los cables: 39,4357 m y 34,0467 m; altura de la
torre: 49,55 m.
8. 28,1 m.
9. Altura del acantilado: 379,95 m; distancia original del barco
Página 132
al acantilado: 286,31 m.
14. a. 0,58   b. 0,866   c. 0,5   d. 0,5   e. – 0,866   f. 0,866
Capítulo 8: Funciones y
ecuaciones polinómicas
15. a. 1   b. 0,707   c. – 0,707   d. – 1
Página 133
16. e. = 6,52 cm   f. 7,37 cm   g. = 4,55 cm   c. = 5,44 cm  
d. = 3,55 cm
17.
= 62°     = 61°     39°
Página 148
18. 777,862 metros.
1. a. 0,35 m3
19. 145,81 metros.
b. 12,96 m3
c. f(x) = x2 (0,25 x + 0,10)
Página 134
20. Las relaciones que se obtuvieron son válidas en cualquier
triángulo.
h
sen ∫ = — y sen (180° – å) = ı como sen (180o – å) =
a
sen å ı sen ∫ . a = sen å . b; dividiendo
ambos miembros por a . b,
sen ∫
b
=
sen å
a
. Si trazamos la altura correspondiente
Página 149
2. y = 24 . x
3. a. Es un polinomio: el grado es 2, el coeficiente principal
es 8 y el termino independiente es –2.
b. Es un polinomio: no tiene grado, el coeficiente
principal es 0 y el termino independiente es 0.
c. No es un polinomio porque el exponente de x es –1 e Z–.
d. Es un polinomio: el grado es 0, el coeficiente principal
es 3 y el termino independiente es 3.
14
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Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
e. Es un polinomio: el grado es 4, el coeficiente principal
es 8 y el termino independiente es –5.
f. No es un polinomio porque en uno de los términos el
exponente de x no es natural.
g. No es un polinomio porque el exponente de x es una fracción.
4. Problema I: Es un polinomio. El grado es 3, el coeficiente
principal es y el término independiente es 0.
13.P(x) = 2x4 + x2 – 1
14. No, pues gr[P(x)]2 = 2 . gr[P(x)]; por lo tanto, gr[P(x)]2 tiene
que ser par.
Página 152
10
15. K(x) = 2x44 + —
3
Problema II: Es un polinomio. El grado es 3, el coeficiente
6
16. Q(x) = —
5
principal es 50 y el término independiente es 100.
17. No existe.
5. a. P (x) + Q (x) =
18. a. b = –1; a = –1 25
2
= 8 x7 – — x5 + —x4+x3+3x2–3x + 8
4
3
19. P(x) = –4x + 8x – 5x + 17x2 – 29x + 10
b. 2P(x) – 9Q(x) = –55x8 – 6x7 + 53,5 x5 – 6x4 +
79x3 – 126x2 + 38x – 105
b. Cociente C(x) = 1; resto R(x) = –14.
Página 150
6. a. P(–5) = –25423
b. Q(–1) = 2
c. S(x) = 7x5 – 6x4 + 48x3 + 8x2 – 24x + 10
d. R(x) = –42x8 + 36x7 + 21x6 – 66x5 + 60x3 – 18x + 8
7. a. No existen a y b que verifiquen las condiciones
5
4
3
b. a = –3; ä b ≠ 1.
20. a. Cociente C(x) = x2; resto R(x) = –2x3 – 3x2 + 1.
21. a. Resto = 56751
b. Resto = –1796860
Página 153
8
22. a. Conciente C(x) = — . x2; resto R (x) = 0.
3
9
b. Cociente C(x) = –2x3 + — x; resto R (x) =0.
2
c. Conciente C (x) = 0; resto R(x) = 6x3
pedidas.
d. Cociente C(x) = 4x4 –8x3 +16x2 – 32 x + 64;
b. No existen a y b que verifiquen las condiciones
resto R(x) = –128.
pedidas.
23. a. a = –7; b = 2.   b. No es posible.
8. a. S(x) = –5x4 – x3 + 8x2 – 4x
24.gr[Q(x)] = 4
b.T(x) = –25x4 + 5x3 + 12x2 – 6x – 5
25.gr[P(x)] = 7
c. [P (x) + Q (x)]. R(x) = –100 x8 + 60x7 + 31x –
– 32x5 – 39 x4 + 7x3 +28x2 –15x
14
1
26. R (x) = 4x2 – —x – —.
3
2
d. [P(x) + R(x)]2 . Q(x) = 125x12 + 75 x11 +
+165X30 – 139x9 + 551x8 + 162x7 + 457x6–
14 1
27. a. Cociente C(x) = ; resto R(x) = –3x2 — x — .
3 2
—440x5 + 768x4 + 200x3 + 280x2 – 400x + 500
28. a. m = –9
9. a. W(x) = –10x8 + 100x7 – 155x6 + 70x5 + 105x4 – 120x3 – 95x2
b. Cociente C(x) = x4 + 3x3 + 9x2 + 30x + 88; resto R(x) = 265.
– 30x +75
Página 154
b. Z(x) = x8 – 16x7 + 60x6 + 32x5 + 10x4 – 48x3 – 12x2 + 9
b. m = 392
c. No tiene solución porque P(–1) = 1
c. M(x) = –2x8 – 5x7 + x6 + 9x5 + 18x4 – 44x3 – 23x2 – 30x +56
Página 151
5
5
29.
a = √—
3 ó a = √—
3
10. a. gr[A(x) – B(x)] ≤ 5
30. No, el resto de dividir P(x) por Q(x) es –25.
b.gr[A(x) . B(x) + C(x)] = 10
31. a. a = –6.   b. a = –9
c.5 ≤ gr[(A(x) – B(x)) . C(x)] ≤ 10
25
32. k = – —
124
11. a. a = 2 y b = 10
b. a = 4 y b = –1 verifiquen las condiciones pedidas.
c. No existen a y b que
12.gr[P(x)] = 2
33. a. M(x) = 3x2 – 3
b. No existe M(x) que verifique dichas condiciones.
34. k = 4.
15
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Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
Página 155
9
6. = —
2
1
35. a. S = { 3√— }
3
Capítulo 9: Combinatoria
b. S = { 3; –5; 1}
c. S = {0; 6}
36. Ver respuesta de libro 2 problema 20 página 26
1
a. x = —
2
b. x = 2 ó
2
c. x =— ó
3
Página 172
1. En esa panadería se preparan 64 variedades de
x = –2
1
x=—
4
sandwiches.
ó
1
x=—
5
37.
1
1
1
a. F(x) = –24 . (x + —). (x + —). (x – —)
2
3
2
2
2
2
b. R(x) = 81 . (x + —). (x + —). (x – —)
3
3
3
1
c. T(x) = –3x .( x – — ). (x2 + 4) . (x + 1)
3
Página 156
38. Si n es par: P (x) es divisible por (x-a) y por (x+a).
2. Se pueden combinar de 24 maneras diferentes.
Página 173
3. Por ejemplo, para hacer un cartel de metal se pueden
elegir dos clases de formato: tres colores para el fondo,
dos tipos de letras y dos colores para pintarlas. ¿Cuántos
carteles metálicos diferentes se pueden hacer?
4. Analía puede elegir su clave entre 3024 opciones.
5. Los integrantes del equipo pueden construir 120 banderas
Q (x) no es divisible por (x-a) ni por (x +a).
Si n es impar, P (x) es divisible por (x-a).
Q (x) es divisible por (x + a)
9
39. a. x = 2    b. x = 3� 4 ; x = 2 y x = - 1
diferentes.
6. Las amigas tienen 6 maneras de alinearse para que les
tomen la foto.
7. Si consideramos que los números telefónicos solo pueden
c. x = 2/3, x = - 1 /4 , x = 5
comenzar con 4, 5 o 6, entonces, hay 15120 números de
1
2
40.
a. Q (x) = 3 (x+1). (x -—)
3 . (x + 4)
b. F(x)= –2 . (x – 5) . (x – 3) . (x + 1)
Dom B = õ; ordenada al origen: y = –4; raíces: x = –2 de
multiplicidad 2, x = –1 de multiplicidad 2;
c. C+ = ƒ; C– = (–ˇ; –2) ü (–2; –1) ü (–1; +ˇ).
Dom P = õ; ordenada al origen: y = 16; raíces: x = –2 de
teléfono diferentes.
Página 174
8. En la fila, los alumnos pueden ordenarse de 32! maneras
distintas.
9. Por ejemplo, en una heladería se elaboran 59 gustos de
helado. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar dichos
multiplicidad 3; x = 1 de multiplicidad 2; x = 2;
d. C+ = (–2; 1) ü (1; 2); C– = (–ˇ; –2) ü (2; +ˇ) Dom M = õ;
ordenada al origen: y = –16; raíces: x = 2 de multiplicidad
3; x = 1 de multiplicidad 2; x = –2;
e. C+ = (–ˇ; –2) ü (2; +ˇ); C– = (–2; 1) ü ( 1; 2).
Página 170
gustos en una lista?
10. a. Pueden hacerlo de 15! formas.
11. a. El empleado puede ubicar los libros de 11! maneras
diferentes.
2. a. No es posible. Depende de los coeficientes.
b. No es posible, depende de los coeficientes.
c. 10.
3. a. FALSO. Es 3 la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x).
b. FALSO. Es el polinomio nulo.
c. VERDADERO. K(x) = 7x2 + x - 2
b. El empleado puede acomodar los libros de 7! . 5!
formas distintas.
1. a. 5
b. 8
b. Tienen 13! . 3! formas de ordenarse en ese caso.
Página 175
12. a. 720 números.
b. 120 números.
c. 24 números.
13. a. 25!
b. 24!
16
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Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
c. (25) . 15! . 10
—
15
Página 176
14. a. Los amigos pueden hacerlo de 24 maneras.
25. Los premios pueden otorgarse de 24360 maneras
diferentes.
26.
4
b. Los amigos pueden sentarse de —. 3! , es decir, 24,
3
maneras.
96
15. a. Mara puede hacer — elecciones.
6
27. a. La elección puede hacerse de 6840 formas diferentes.
96
b. Mara tiene . — 6! opciones.
6
16. Los corredores pueden distribuirse el primero, segundo y
tercer puesto de 336 maneras.
17. 24024 turnos diferentes.
18. Por ejemplo, un anticuario tiene 10 objetos distintos
para acomodar en un estante de una vitrina. ¿De cuantas
b. Los candidatos pueden ser seleccionados de (20), es
3
decir, 1140, maneras distintas.
Página 179
29. a. Paula puede elegir a sus invitados de 5733 formas
diferentes.
formas diferentes puede hacerlo?
Página 177
19. Por ejemplo, entre los 10 alumnos de un curso de inglés,
( )( )( )
b. 9 . 6 . 3 + 9 . 5 , es decir, 7560.
(3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 4 )
28. a. 10 . 6 . 3 , o sea, 12600, números diferentes.
4
3 2
b. Teniendo en cuenta el ítem a., Paula tiene para
seleccionar 364 grupos de comensales.
30. a. 228 señales.
el profesor debe elegir 3 para asignarles las siguientes
b. 780 señales.
tareas: tipear una traducción en una computadora,
c. 14840 señales.
imprimirla y enviarla por E-mail. Si cada uno de los
d. 25200 señales.
alumnos seleccionados realizara una sola de las tareas,
de cuantas maneras puede el profesor realizar la
Página 180
elección?
31. a. 13
4
20. Porque si n fuera igual a m, se trataría de una
permutación de m elementos y si n fuera mayor que m,
no se podrían tomar n elementos entre los m.
21. a. 6.720 mensajes.
b. 262.144 mensajes.
22. Por ejemplo, Rita cocino una torta que quiere rellenar
en 3 capas y dispone para eso de 10 rellenos diferentes.
Cuantas formas tiene Rita de rellenar su torta si puede
repetir un mismo relleno en las distintas capas?
23. a. 1.080 números.
b. 300 números.
c. 360 números.
Página 178
24. a. 1080 números.
( )( )
9 . 7! = 129329600.
2
b. 12
4
c. n – 1 rectas.
( ) ( 28 ) . 6!= 9979200.
32. a. 22 . 5 . 6!, es decir, 11088000 anagramas.
(3 ) (3)
b. 22 . 3! . 5 . 3! . 2, o sea, 1108800.
(3) (3)
33.
a. n , es decir n . (n-1) rectas.
(2)
2
b. n , o sea n. (n-1). (n-2) triángulos.
(3)
6
Página 181
34. a. I. La elección puede realizarse de maneras.
( )( )
II. La eleccion puede hacerse de 38 + 38 , es decir,
5
3
b. 180 números.
510378, formas.
c. 30 números.
d. 300 números.
b. Los alumnos pueden ser seleccionados de 40 maneras.
14
( )
17
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Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
( )
35. a. Andrea puede guardar las bolitas de 22 formas.
15
( )
b. Andrea tiene 14 maneras.
7
b. 4! . 2! . 2! . 2! . 2! = 384
c. Disponen de 5! . 4! . 4!, es decir, 69120, opciones.
( )()( )
4. Malena puede obtener 8 + 8 + 8 , o sea, 92, sabores
1
2
3
diferentes.
36. a. 10!
5. a. Se pueden formar 66, es decir, 46656, números.
b. 10 . 5!
5
( )
c. 11 . 7!
(4)
d. 15 . 13 . 10 . 8 . 6!
(2) ( 3) (2 )(2)
b. Existen 6!, o sea, 720, números.
c. Hay 64, es decir, 1296, números.
d. Se pueden formar 63 . 3, o sea, 648, números.
e. Existen 3 . 62, es decir, 108, números.
37. A las palomas se las puede colocar en las jaulas de 23
9
formas diferentes.
( )
f. Hay 18 números.
Página 196
Página 182
38. a. Se pueden sentar de 6! . 5!, o sea, 86400, maneras.
b. Pueden sentarse de 5! . 5! . 2, es decir, 28800, maneras.
39. Es posible determinar 20 . 12 + 12 . 20 , es decir, 3600,
2
2
triángulos.
( )
( )
40. 8 . 6
3 2
( )( )
41. 10
(2 )
43. a. 40
3
b. 10 . 30 + 10 . 30 + 10
1
2
2 1
3
( ) ( ) ( )( ) ( )
d. 152
b. 15
9
( )
Página 183
(
(
(
(
45. 6
1
)
46. 10
3
)
)
7. Los amigos pueden elegir sentarse de 20 . 6! maneras.
6
( )
8. a. 7 . 4 . 2!
3
2
( )( )
( )( )
9. a. El gerente puede hacerlo de 8 . 12 maneras.
2
2
b. El gerente de personal puede seleccionar al grupo de
42. 40.39.38.37 = 2193360
( )
c. 10 . 8
(2)(3)
44. a. 25
(9)
( )
6. 200 selecciones diferentes.
5
)
47. 11 , o sea, 330.
7
( 83 ) .(123 )–(123 ) .( 51 ) maneras diferentes.
( )( ) ( )( )
c. El gerente puede hacer la elección de 8 . 12 – 7 . 11
3
3
2
2
maneras.
()
d. El gerente de personal puede hacer la selección de 8 . 10
3
maneras distintas.
( ) ( )
11. La dirección puede entregar los ejemplares de 10 . 5
(5 ) (3)
maneras diferentes.
10. Los premios pueden ser asignados de 50 . 3!. 47 maneras.
3
5
12. 103. 263
13. a. 25
9
( )
14. 11
(8)
48. 11 . 54.87
7
50. a. m + m + m + m = (1+1)m = 2 m
0
1
2
3
Página 195
1. a. Si en la experiencia de tirar una moneda dos veces,
llamamos c al resultado cara y s al resultado ceca,
362880, maneras.
2. Los chicos tienen que elegir su camiseta entre 2 . 2 . 2 . 3!, es
( )
Página 198
1. a. La aparición de las bandas se puede ordenar de 9!, o sea,
b. Hay 8! formas.
b. 15
9
Capítulo 10: Probabilidad
49. 44◊3 + 76
( ) ()( )( )
obtenemos que M = {cc; s; sc; ss} y #M = 4.
b. M = { 1; 2; 3; 4; 5; 6} y #M = 6.
c. En la experiencia de tirar una moneda y un dado,
decir, 48, modelos diferentes.
llamemos c al resultado cara y s al Resultado ceca. Luego,
3. a. Las parejas pueden sentarse de 8!, o sea, de 40320,
resulta: M = {c1; c2; c3; c4; c5; c6; s1; s2; s3; s4; s5; s6} y
maneras.
#M =12.
18
(i)solucionarioMatEnfoques4.indd 18
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Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
d. M = {1de corazón; 2 de corazón; ... } y #M = 52.
e. M = {(1; 1 de oro) ; (1; 2 de oro); ... } y #M = 6 . 48 = 288.
f. Si llamamos v al resultado bolita verde, r al resultado
bolita roja y a al resultado bolita azul, obtenemos que M =
1 y P(A)= —
2
=—
5
9
{v1 ; v2 ; v3; v4; v5; r1; r2; a1; a2; a3} y #M = 10.
c. P(c) = —13
g. M = {(0;1;2) ; (0; 1;3); (0;1;4); ... ; (2;1;0) ;...} y #M = 720.
Página 199
1
c. —
4
1
e. —
24
1
b. —
2
12
3
3
d. — = — f. —
52 13
10
7
a. —
8
3
b. —
8
1
c. —
4
80
b. —
177
158
c. —
177
26
4. a. —
59
1
d.
P(AUC) = —
3
15. a. P (B) = 0,25   b. P ((AoB)/A) = 0,25
1
2. a. —
2
3.
1
1
14. a. P (AnB) = — y P (A/B) = —
9
5
b. Los sucesos A y B no son independientes porque P(A/B)
1
g.—
5
16. a. 0,000026   b. 0,00002653 c. 0,999999047
Página 203
5
17. a. —
15
5
b. —
15
2
c. —
15
5
d. —
9
2
4
e. — f. —
5
15
5
3
7
18. a. — b. — c. —
9
4
8
2
19. —
3
5. a. 216 b. A = {(1; 1; 1)} c. B = {(6; 6; 6)}
d. C = {(6; 6; 1); (6; 1; 6); (1; 6; 6); (5; 6; 2); (5; 2; 6);
Página 204
(6 ;5; 2); (2; 5; 6); (6; 2; 5); (2; 6; 5); (4; 6; 3);
20. La frecuencia relativa de cara es 0,474 y la de ceca es
(4; 3; 6); (6; 4; 3); (6; 3; 4); (3; 4; 6); (3; 6; 4); (4; 4; 5);
0,526. Como la cantidad de repeticiones de la experiencia
(4; 5; 4); (5; 4; 4); (5; 5; 3); (5; 3; 5); (3; 5; 5)}
de lanzar una moneda es 1000, cada una de las frecuencias
e. P (A) = , P (B) = y P (C) = .
relativas anteriores debería ser un número mucho mas
f. (ver libro 8, pg. 80, ej. 6)
próximo a 0,5 que es la probabilidad teórica de que salga
cara y la probabilidad teórica de que salga ceca. Por lo
Página 200
6.
1
a. —
32
tanto, la moneda no está equilibrada. A cada cara de
22
b. —
141
9
c. —
376
9
d. —
376
dicha moneda puede asignársele como probabilidad de
salir la correspondiente frecuencia relativa mencionada
7. a. 0,1377 b. 0,4747 c. 0,6329
anteriormente.
1
1
8. Como P(A) = —, P(B) = — y P(AoB) = 0,
8
4
entonces, los sucesos A y B no son independientes.
21.
a. 0,3
6
c. —
25
b. 0,46
5
e. —
9
d.0,5
Página 205
Página 201
22.
2
4
4
9. Como P(C) = —, P(D) = — y P (C/D) = — , los sucesos A y
11
11
55
23.
B no son independientes.
1
10. a. —
3
11
b. —
36
1
c. —
3
11
1
b. —
12
1
c. —
26
7
a. —
12
c. 0,57023
b. 0,0612
d. 0,74291
1
a. —
4
2
b. —
3
e.0,62472
3
c. —
4
Página 206
7
d. —
12
Página 202
44
12. a. —
45
13. a. Los sucesos A y B no son independientes.
2
2
b. P (AoB) =— y P (A/B) = —.
7
5
a. 0,0000181
3
1
24. a. P(R) = — d. P(D/A) =0 f. P(NnT) = —
8
8
3
1
b. P(U) = — e. P(T) =—
8
4
1
g. P(R/D) = —
3
2
c. P(U/R) = —
3
1
25. a. P(T) = —
4
3
b. P(R) = —
8
19
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Respuestas y soluciones
Matemática - Enfoques
1
c. P(VnT) = —
8
1
d. P(T/V) = —
4
3
e. P(D) = —
8
2
f. P(V/D) = —
3
2
g. P(R/U) = —
3
6. a. No porque P(A
b. 0,4
18
7. a. —
35
ü
B) = 0,5 ≠ P (A). P(B).
c. 0,625
3
b.—
7
Página 207
23
26. —
38
27. a. 0,3
b. 0,69
c. 0,24
d. 0,31
28. a. 0,03089
b. 0,0117 c. 0,50322 d. 0,0171
29.0,01973
30.0,77
Página 208
31. a. 0,2553 b. 0,234
1
32. a. —
4
c. 0,234
d. 0,8387
3
b. —
4
1
33. a. ————
100000
1
19
b. — c. ————
2
1000000
1
34. —
7
Página 209
35. a. 0,05
b. 0,5
c. 0,9375
1
36. a.—
3
8
b. —
27
35
c. —
81
d. 1
Página 210
3
37.a.I. —
4
1
II. —
48
b. Los sucesos P y R no son independientes porque
3
1
P (R/P) = — y P (R) = —
4
2
3
38. —
5
39.0,089
40. a. 0,956
b. 0,998
41. a. 0,051
Página 224
1. a. 0,9
b. 0,5 c. 1
2
d. —
9
7
e. —
9
2. a. 0,963 b. 0,00067
2
3. —
5
4. 9
5. a. 0,465
b. 0,52
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