“CEPRUNSA EXCELENCIA” LÓGICA - 6 Por comprensión: En cuyo caso en lugar de enumerar los elementos, se coloca la definición después de una x que simboliza a los elementos. Ejemplo: A= {x/x es una vocal fuerte} Donde A es la clase de las vocales fuertes, tales que (/), x es una vocal fuerte. SESIÓN 06 LÓGICA DE CLASES Es parte de la lógica simbólica que, a diferencia de la lógica proposicional (que se ocupa del aspecto formal de las proposiciones) y de la lógica de predicados (que se ocupa del análisis de los predicados de las proposiciones), se ocupa de los argumentos o sujetos de las proposiciones. 1. NOCIÓN Y NOTACIÓN DE CLASE 2. CLASES FUNDAMENTALES 2.1. CLASE UNIVERSAL: Representa a todos los elementos enunciados. Este concepto es relativo, ya que se refiere sólo a todos los elementos de un universo determinado. Se le representa simbólicamente por una “U” y gráficamente por un rectángulo. 1.1. NOCIÓN DE CLASE: Una clase es una colección o reunión de objetos que presentan una característica común. Ejemplo: “La clase de los lógicos peruanos”. 1.2. NOTACIÓN DE CLASE: Las clases se simbolizan con letras mayúsculas: A,B,C... mientras que los elementos se simbolizan con letras minúsculas: a,b,c,... La pertenencia de un elemento a una clase se simboliza por una “” y la no pertenencia por “”. Ejemplo: bA aA Que se lee: el elemento b (podría ser Francisco Miro Quesada) pertenece a la clase A (La Clase de los Lógicos Peruanos). Y el elemento a (Mario Vargas LLosa) no pertenece a la Clase de los Lógicos Peruanos. La notación se puede hacer de dos maneras: Por enumeración: En este caso se escriben todos los elementos separados por comas, entre llaves y precedidos del signo igual, el cual a su vez es precedido por la letra mayúscula que representa a la clase. Por ejemplo: A={a,e,i,o,u} En donde A es la clase de las vocales, las cuales son sus elementos componentes. U Y se le define: U={x/x:x} 2.2. CLASE VACÍA O NULA: Es la clase a la cual no pertenece ningún elemento en el universo del discurso. Se le representa simbólicamente por un cero “” y gráficamente por un círculo sombreado o rayado en su interior, con una letra adjunta. A Y se le define: ={x/xx} 3. RELACIONES DE CLASES 3.1. INCLUSIÓN: Se presenta cuando todos los elementos de la primera clase relacionada pertenecen a la segunda, pero no viceversa. La inclusión se simboliza por el signo “” y se la define: AB={x/xAxB} 1 “CEPRUNSA EXCELENCIA” Que se lee: la clase A está incluida en B, es igual a todos los elementos x, tales que si x es elemento de A, entonces x es elemento de B. Ejemplo: la clase A conformada por los arequipeños incluida en la clase B de los peruanos. Cuya representación gráfica de las clases relacionadas se hace dentro de la clase universal. A AB LÓGICA - 6 Que se lee: la clase A está excluida de la clase B, es lo mismo que decir que para todos los x, si x pertenece a la clase A, entonces x no pertenece a la clase B. Ejemplo: La clase A de los números pares está excluida de la clase B de los números impares. Cuya representación gráfica es: A B AB B 4. 3.2. IGUALDAD: Se presenta cuando ambas clases tienen los mismos elementos. Se le simboliza por el signo “=” y se la define:A=B:{x/xAxB} 4.1. UNIÓN O SUMA: Clase formada por todos los elementos de las clases que participan en la suma. La unión o suma se simboliza por el signo “U” y se la define: AB={X/XA V XB} Que se lee: hay unión de la clase A con la clase B es igual a decir: para todo x, tal que x pertenece a la clase A o x pertenece a la clase B. Ejemplo: La unión de la clase de los números pares positivos y la de los impares positivos es igual a la clase de los números naturales. A={0,2,4} B={1,3,5} AB={0,1,2,3,4,5} Cuya representación gráfica es: Que se lee: la clase A es igual a la clase B significa, para cualquier x, tales que x pertenece a la clase A, si y sólo si x pertenece a la clase B. Ejemplo: La clase A de los hombres es igual a la clase B de los bípedos racionales. Cuya representación gráfica es: A=B A OPERACIONES DE CLASES Son operaciones lógicas con dos o más clases para formar una nueva clase. Entre ellas tenemos: B 3.3. EXCLUSIÓN: Se presenta cuando ningún elemento de la primera clase relacionada es elemento de la segunda. Se le simboliza por el signo “” y se la define: AB= {x/xAxB} A AUB 2 B “CEPRUNSA EXCELENCIA” 4.2. INTERSECCIÓN O PRODUCTO: Clase formada por los elementos comunes a las clases intersecadas. La intersección se simboliza por el signo “” y se la define: AB={x/xA xB} ^ Que se lee: La intersección de las clases A y B es igual a todos los elementos x, tales que x son elementos de A y B. Ejemplo: La intersección de la clase de los arequipeños y la de los médicos es la clase de los médicos arequipeños. Cuya representación gráfica es: A B LÓGICA - 6 clase dada. El complemento de una clase se simboliza con una barra “¯” superpuesta en la letra que representa a la clase original “Ā” y se le define: Ā={x/x U v xA} Que se lee: el complemento de A, es igual a todos los elementos x, tales que x son elementos de la clase universal, y no son elementos de la clase A. Ejemplo: Considerando que la clase universal es la de los animales. El complemento de la clase de los hombres es la clase de los animales no racionales. Cuya representación gráfica es: x AB A 4.3. DIFERENCIA O COMPLEMENTO RELATIVO: entre dos clases, es la clase formada por todos los elementos de la primera, que no pertenecen a la segunda. La diferencia se simboliza por el signo “– ” y se la define: A PRÁCTICA 6 1. La clase de todos los Diplomáticos son cultos se denomina: a) Clase Universal b) Complemento de una clase c) Clase no Vacía d) Intersección de dos clases e) Clase Vacía A–B={x/xA xB} ^ Que se lee: la diferencia de las clase A–B, es igual a todos los elementos x, tales que x son elementos de A y no son elementos de B. Ejemplo: La diferencia entre la clase de los arequipeños y la clase de los biólogos, es la clase de los arequipeños que no son biólogos. Cuya representación gráfica es: A A 2. En las operaciones de clase. La _______: Es la clase formada por todos los elementos de la primera que no pertenecen a la segunda. a) Unión b) Intersección. c) Diferencia. d) Inclusión. e) Igualdad. B A-B x 4.4. COMPLEMENTO DE UNA CLASE: Es la clase de los elementos que perteneciendo a la clase universal, no pertenecen a la 3. En las relaciones de clase se dice que todos los elementos de la primera clase 3 “CEPRUNSA EXCELENCIA” relacionada pertenecen a la segunda, pero no viceversa. a) Una diferencia b) Una igualdad c) Una inclusión d) Una intersección e) Una exclusión LÓGICA - 6 d) Una exclusión total. e) Diferencia 8. El siguiente gráfico pertenece a: S 4. Ningún filósofo es un artista ¿A qué relación de clases pertenece?: a) A la diferencia. b) A la igualdad. c) A la exclusión. d) A la unión. e) Al complemento. a) b) c) d) e) 5. Relaciona las definiciones siguientes. I.- La clase que tiene por lo menos un elemento se denomina unitaria. II.- La unión está formada por los elementos que pertenecen únicamente a la clase A y no a la clase B. III.-Una clase es la reunión de elementos que tienen características comunes. IV.-Una clase universal es cuando designa la reunión de todos sus miembros. a) VFVF. b) FFFF. c) VVFF. d) FVVV. e) VFVV. P Igualdad Complemento Unión Intersección Diferencia 9. El siguiente grafico pertenece a: B A a) b) c) d) e) Inclusión total Intersección Exclusión parcial Una exclusión total Una diferencia 6. Dada la siguiente proposición: Si se sabe que p q es verdadera; r t es verdadera; y p r es falsa; entonces los valores de p, q, r y t son respectivamente: a) VFFV b) VFVV c) VVFV d) VVVF e) VVVV 10. Halle la proposición representada en el siguiente diagrama: 7. La expresión “Algunos jugadores son entrenadores” es: a) Inclusión Total. b) Intersección c) Exclusión parcial. a) b) c) d) e) 4 Todos los materialistas son ateos. Algunos materialistas son ateos. Todos los ateos no creen en Dios. Todos los ateos son materialistas. Ningún materialista es ateo.