Matemáticas Financieras Avanzadas MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Sesión No. 5 Nombre: Anualidades Simples Objetivo Al término de la sesión el estudiante aplicará los cálculos básicos de anualidades con anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas, a través de la resolución de ejercicios prácticos. Contextualización En esta sesión se identificará, definirá y explicarán los diferentes tipos de anualidades simples, ciertas, vendidas e inmediatas (ASCVI). Se plantearán y resolverán problemas con este tipo de anualidades y se encontrará el monto, valor actual, plazo e interés, según sea el caso. Fuente: https://sites.google.com/site/miguelandresosorio/dinero1.jpg 1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Introducción al Tema Nos referimos a la anualidad como el grupo de pagos iguales realizados en intervalos iguales. Aunque no siempre hace referencia a períodos anuales, el nombre se le ha quedado en temas financieros. Te mencionamos algunos ejemplos: * Pagos de mensualidades por renta * El cobro por quincena o por semana de sueldos * Los abonos por mes a una cuenta de crédito * Los pagos por año de primas de pólizas de seguros de vida. Intervalo o periodo de pago: tiempo que transcurre entre un pago y otro Plazo: tiempo que pasa entre el inicio del primer pago y el último Renta: pago periódico que se hace 2 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Explicación La variación de elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas. Fuente: http://www.gestiopolis.com/Canales4/fin/matema1.gif De acuerdo con las anteriores clasificaciones se pueden distinguir diversos tipos de anualidades: 3 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS De estos 16 tipos de anualidades, el más común es la anualidad vencida (ASCVI) y estas ocurren al final de cada período, su representación gráfica es: Fuente: http://matfinadm.files.wordpress.com/2011/08/matematicas-financieras_3.pdf Monto. 𝑀=𝑅 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑖 Esta ecuación relaciona el Monto o Valor futuro (M) con la renta o pago por período (R), una determinada cantidad de periodos en el tiempo (n) y una tasa de interés (i) . 4 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Ejemplo: ¿Cuál es el monto de $20 000 semestrales depositados durante 4 años y medio en una cuenta bancaria que rinde 12% capitalizable semestralmente? Solución: R = 20000 𝑖= 0.12 año = 0.12 = 2 semestres 0.12 2 = 0.06 n = 4.5 x 2 (2 semestres tiene un año) = 9 (1 + 0.06)9 − 1 𝑀 = 20000 = 229 826.32 0.6 Valor Actual. 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝐶=𝑅 𝑖 Esta ecuación relaciona el Capital o Valor Actual (C o A) con la renta o pago por período (R), una determinada cantidad de períodos en el tiempo (n) y una tasa de interés (i). Ejemplo: ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $1 000 al final de cada 3 meses durante 5 años, suponiendo un interés anual de 16% convertible trimestralmente? Solución: R = 1000, 𝑖= 0.16 𝑎ñ𝑜 = 0.16 4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 0.16 4 = 0.04 n = 5x4 (4 trimestres tiene un año) = 20 𝐶 = 1000 1 − (1 + 0.04)−20 = $13 590.33 0.04 5 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Renta. Se conoce como renta al pago periódico que se realiza a intervalos iguales. 𝑅 = 𝐶𝑖 1−(1+𝑖)−𝑛 Plazo: Se calcula por medio del número de períodos de pago n. Ejemplo: ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $1 550 se tendrían que hacer para saldar una deuda, pagadera hoy, de $8 000 cuyo interés es de 2.75% bimestral? Solución: R = 1550, C = 8000, i = 2.75%, n = ? 8000 = 1550 1 − (1.0275)−𝑛 0.0275 (8000)(0.0275) − 1 = −(1.0275)−𝑛 1550 −𝑛 = 𝑙𝑜𝑔0.8580 = −𝑛𝑙𝑜𝑔1.0275 𝑙𝑜𝑔0.8564 𝑙𝑜𝑔1.0275 𝑛 = 5.6425 Como el número de pagos es fraccionario, se pueden hacer dos casos: • Hacer 5 pagos de $1550 y un sexto pago menor • Realizar 4 pagos de $1550 y un pago final mayor. 6 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Conclusión En esta sesión se introdujo el concepto de anualidades, se mencionó que resulta más conveniente identificar los diferentes tipos de ellas, clasificándolas de acuerdo a los criterios de tiempo, interés, pagos e iniciación. La combinación de estas características da lugar a los diversos tipos de anualidades y en esta sesión se explicó el caso de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas (ASCVI). En la siguiente sesión trabajaremos con las anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas (ASCAI). 7 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. • Morales, C. (2012). Matemáticas Financieras. Anualidades y gradientes. Consultado el 4 de junio de 2013: http://matfinadm.files.wordpress.com/2011/08/matematicasfinancieras_3.pdf • Ruiz, M. (s.f.). Unidad IV. Anualidades. Consultado el 4 de junio de 2013: http://brd.unid.edu.mx/unidad-iv-anualidades/ Video sobre anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas: • Ramirez, M. (2010). Calculo de número de períodos para anualidades vencidas. Consultado el 4 de junio de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=Bov1VN8HH5k Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito. 8 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas, aplica los conceptos paradar solución a los siguientes ejercicios: 1. El Sr. López deposita $150 000 cada fin de año en una cuenta de ahorros que abona 4% de interés. ¿Cuánto habrá ahorrado al haber cuatro depósitos? 2. La Sra. Jiménez desea vender un comedor que posee y que considera vale $35 000. Hay dos compradores interesados que le hacen ciertas propuestas: a) El comprador A ofrece pagarle 12 mensualidades vencidas de $3100 b) B ofrece pagarle 18 mensualidades vencidas de $2250 Con intereses a razón de 14.4% anuales convertibles mensualmente. ¿Cuál oferta le conviene más? 3. ¿Cuál es la renta semestral vencida equivalente a $2400 mensuales vencidos con intereses del 11.6% anual capitalizable por meses? Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma. 9 MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS Bibliografía 1. Díaz, A. y Aguilera, V. (2007). Matemáticas financieras. México: McGraw Hill. 2. Villalobos, José L. (2007). Matemáticas financieras. México: Pearson Educación. 10