Asignación de polos

Diseño de sistemas de control en el espacio del
estado
Método de asignación de polos y método de lugar de la
raíces
I
I
Son métodos semejantes: colocan polos en lazo cerrados en
posiciones deseadas.
Sin embargo, mientras el método del lugar de las raíces solo
ubica los polos dominantes, la asignación de polos opera sobre
todos los polos del sistema.
Suposiciones básicas
I
Todas las variables del estado:
I
I
I
I
Se pueden medir,
Se pueden usar para realimentar el sistema.
El sistema es completamente controlable.
El sistema es de la forma
1.
ẋ = A x + B u
2.
y =C x +D u
I
I
I
El escalar y es la medición de la salida,
El escalar u es la variable de control,
El vector x ∈ Rn son las variables del estado.
Objetivo de la técnica
I
Desplazar los polos del sistema a ubicaciones deseadas con sólo
aplicar una realimentación estática del estado.
I
I
I
Realimentación estática ≡ ganancia fija.
La ganancia en este caso es una matriz.
La ley de control es de la forma
3.
u = K (r − x)
I
El vector r ∈ Rn es son los valores de referencia del estado.
I
Por el momento se asumirá que r ≡ 0
Advertencia
I
Si bien, en teoría es posible mover los polos del sistema a
cualquier parte, en la realidad se está limitado por:
I
I
La capacidad de los actuadores, y
Efectos físicos no considerados a la hora de modelar, por
ejemplo:
I
I
I
Efectos no lineales,
Elasticidades no consideradas,
Etc.
Sistema con realimentación
I
El sistema realimentado es
4.
ẋ = (A − BK ) x
I
La solución al sistema está dada por
5.
x = e (A−BK )t x(0)
I
El punto medular es seleccionar la matriz la matriz K tal que la
matriz resultante (A − BK ) sea global y asintóticamente
estable.
Ejemplos
!
!
!
!
ẋ =
0
1
0
x+
u
−3 −2
1
ẋ =
0
1
0
x+
u
−1 −1
1
Teorema para la asignación de polos
6. Es condición suficiente y necesaria para la asignación arbitraria
de polos que el sistema (1)
ẋ = A x + B u
sea completamente controlable.
(Sin demostración, cf. @Ogata2010)
Determinación de realimentación estática: Por medio de
transformación de coordenadas
I
I
Encontrar el valor de la realimentación estática K para el caso
de un sistema en la forma controlable es simple.
El problema es cuando el sistema no esta en la forma
controlable.
I
I
Hay que transformar el sistema a forma controlable.
La forma más general de lograr está transformación es usar una
transformación de coordenadas
7. x = T x̂
I
Donde

I
an−1
an−2


W =  ...

 a1
1
ai son los coeficientes
T = CW
an−2 · · ·
an−3 · · ·
..
..
.
.
a1
1
..
.
···
···
0
0
1
0

1
0

.. 
.

0
0
Ejemplo
!
ẋ =
!
6 2
1
x+
u
7 5
4