Electric Force and Field

Magnetismo
Introducción
Así como en la antigüedad se conocía la electricidad estática, también se conocía el magnetismo. De
hecho, el término “magnetismo” proviene de las rocas que fueron encontradas en la antigua provincia
griega de Magnesia unos 4000 años atrás; Lucretius, un poeta y filósofo romano, escribió sobre los
imanes hace más de 2000 años. Los materiales magnéticos eran considerados incluso más especiales
que los materiales eléctricos ya que salían de la tierra con su fuerza de atracción mientras que el
ámbar tenía que ser frotado para generar su fuerza electrostática.
También muy temprano en la historia de la humanidad se
percibió que si a una roca magnética se le daba la forma de
una aguja y se la hacía flotar en la superficie del agua, siempre
apuntaba en el mismo sentido. Ahora llamamos a esa
dirección el “norte magnético”. Fue usado por marineros
chinos más de 4000 años atrás para navegar. Como este
sentido era siempre el mismo, independientemente de tu
ubicación y en qué dirección viajabas, siempre era posible
saber en qué dirección ibas navegando.
Hay una similitud importante entre la electricidad y el
magnetismo. La carga eléctrica puede ser positiva o negativa;
cargas iguales se repelen y cargas diferentes se atraen. Los imanes tienen dos polos llamados “norte” y
“sur”; polos iguales se repelen y polos diferentes se atraen.
Pero hay una diferencia clave también; mientras que es
posible separar las cargas eléctricas positivas y negativas
(eso es lo que pasa cuando frotas una varilla de plástico con
un paño), es imposible separar los polos norte y sur. De
hecho, un polo norte sólo puede existir en la presencia de un
polo sur exactamente igual: “no hay monopolos magnéticos”.
Si se corta un imán a la mitad, el resultado no es la
separación de los polos norte y sur, sino la creación de más
polos iguales y opuestos.
Líneas del campo magnético
La fuerza entre los imanes ocurre sin que los imanes se
toquen; ocurre a distancia. Una buena forma de visualizar
cómo funciona esto es pensar en cada imán creando un
campo magnético. El campo magnético de un imán
interactúa con el campo magnético de otro; cuando estos
campos interactúan, generan una fuerza entre los imanes
de forma que cada imán trata de orientarse para
alinearse con el campo magnético del otro imán. Veamos
cómo funciona.
Las limaduras de hierro pueden actuar como imanes
pequeños. Cuando un imán es ubicado debajo de una hoja
de papel y se esparcen las limaduras de hierro sobre la hoja,
las limaduras rotan para alinearse con el campo del imán,
tal como lo haría cualquier imán, y esto hace que el campo
sea visible. Es exactamente lo que ves en esta imagen:
El campo parece salir de un polo y retornar al polo opuesto,
formando un circuito completo cuando el imán está
incluido. (Esto se ilustra en este dibujo de Física, de Giancoli.) Mientras que el circuito es claro, es
arbitrario decidir de qué lado del imán sale el campo y por qué lado reingresa; por convención, se
considera que el campo sale del polo norte y reingresa por el polo sur.
Sabemos que polos opuestos de atraen y que polos iguales se repelen; el polo sur de las limaduras rota
para acercarse al polo norte del imán, mientras que los polos sur se orientan para alejarse entre sí.
Esto se ve en la fotografía de abajo, que muestra las limaduras de hierro y las brújulas pequeñas:
http://www.school-for-champions.com/science/images/magnetic_detection-iron_filings.jpg
Cada aguja de una brújula o limadura de hierro es un imán; cada aguja es paralela al campo magnético
en esa ubicación en el espacio con su polo norte a lo largo de las líneas del campo en dirección al polo
sur del imán. Hace esto porque minimiza la energía del sistema para tener campos magnéticos
moviéndose en la misma dirección. Cualquier imán rotará en un campo magnético externo para que su
campo se alinee con el campo externo. El campo que sale del polo norte del imán apunta en la misma
dirección del campo que sale del polo norte del imán grande que está generando el campo externo.
Si tienes dos imanes, es válido preguntar cuál crea el
campo externo y cuál experimenta la fuerza magnética que
hace que se alinee con ese campo externo. La respuesta es
que cada imán crea el campo magnético y también
responde al campo externo neto debido al otro imán (o el
campo magnético neto debido a varios imanes). La fuerza
magnética que actúa sobre un imán es igual y opuesta a la
fuerza que el imán ejerce sobre el otro. Esto es un ejemplo
más de la Tercera Ley de Newton; cada imán crea una
fuerza sobre el otro y responde a la misma fuerza que
actúa sobre él.
Los campos magnéticos son tan reales como cualquier otra
cosa en la naturaleza, otros imanes o limaduras de hierro, aunque no pueden verse sin la ayuda de una
brújula. En buena parte de este capítulo, veremos el efecto de los campos magnéticos en la naturaleza,
independientemente de su fuente.
El campo magnético de la Tierra
La Tierra tiene un centro de hierro fundido que está
rotando debido a la rotación general de nuestro planeta.
Ese centro en rotación crea un campo magnético gigante
que emerge cerca de uno de sus polos (definido por el eje
de rotación de la Tierra) y reingresa cerca del polo
opuesto. Este campo es de vital importancia para la vida
en la Tierra porque desvía, de una forma que pronto
explicaremos, los rayos cósmicos y los canaliza lejos de las
latitudes medias; algunos pocos de ellos finalmente
alcanzan la superficie del planeta y lo hacen cerca de los
polos, no en las latitudes medias. (Algunos creen que para
que la vida se desarrolle en un planeta tal como la
conocemos, el planeta requiere de un campo magnético
que ofrezca este tipo de protección).
Sabemos que el polo norte de una brújula apunta en la
dirección que llamamos norte. Y sabemos que uno de esos
polos geográficos de la Tierra estará cerca de polo
magnético norte, y el otro estará cerca de un polo
magnético sur, pero cuál es cuál. Mientras que
pensaríamos que el polo geográfico norte de la Tierra sería el polo magnético norte, también sabemos
que esto no puede ser así; si fuera así, el polo norte de una brújula apuntaría lejos de él y no hacia él.
En realidad, el polo geográfico norte de la Tierra (basado en su eje de rotación) está muy cerca del polo
magnético sur de la Tierra. El polo magnético sur de la Tierra está cerca de su polo geográfico norte.
Campos magnéticos uniformes
El campo magnético alrededor de una barra de imán varía en fuerza y dirección,
como puedes ver en las fotografías de arriba. Al igual que para los campos
eléctricos, la dirección del campo magnético es señalada por la dirección de las
flechas que usamos para representarlo, y su fuerza está indicada por la densidad
de las líneas del campo magnético. Mientras más cercanas se dibujen las líneas
del campo, más fuerte será el campo en ese punto.
En el caso de un campo magnético uniforme, las líneas del campo son paralelas e
igualmente espaciadas (lo mismo es válido para los campos eléctricos y los
gravitacionales, como aprendimos antes). Por convención, las líneas de los
campos siempre salen del polo norte y entran en el polo sur de un imán. Para
crear un campo uniforme, una pequeña brecha es creada entre dos polos magnéticos opuestos
relativamente grandes; el campo es luego constante entre los polos. En la práctica, hay una unión entre
las líneas del campo hacia los bordes, pero eso puede ser descartado si la brecha es muy pequeña en
comparación con el tamaño de los polos.
Una forma de crear un campo magnético más o menos uniforme es con un
imán en forma de herradura. Un lado de la herradura es magnetizado para
que sea el polo norte y el otro lado será el polo sur. En el espacio entre los
polos, el campo B deja el norte y entra en el polo sur. Si los polos son
grandes y están relativamente cerca, el campo entre ellos puede ser
considerado uniforme.
Esta fotografía es de limaduras de hierro cerca de un imán con forma de
herradura. Observa que directamente entre los dos lados de la herradura el
campo es relativamente uniforme. No puede determinarse en esta fotografía
cuál de los polos es norte y cuál es sur, pero sabemos que tienen igual y opuesta polaridad magnética
(http://www.physics.ohio-state.ed/~yuri/112/ horse_shoe_magnet.jpg). Cuando trabajes con
cualquier imán, siempre dibuja el campo desde el norte hacia el polo sur.
Corrientes eléctricas producen campos magnéticos
Uno de los más asombrosos descubrimientos del siglo XIX fue la relación entre la electricidad y el
magnetismo. Previamente, estos se consideraban fenómenos independientes. Durante miles de años,
las personas habían experimentados electricidad estática; de la misma forma, durante esos años,
habían experimentado con imanes. La idea de que estaban relacionados no emergió hasta una
afortunada coincidencia en 1820. Hans Christian Ortsted estaba preparando una clase de física sobre
electricidad. Había diseñado un circuito eléctrico con una batería y un interruptor. Cuando activó el
interruptor y la electricidad comenzó a circular por el cable, notó que una brújula que estaba cerca del
cable rotaba, como si tratara de alinearse con el campo magnético, al igual que como rota una brújula
cuando está cerca de una barra de imán, como se muestra en la fotografía de arriba. Había sólo una
explicación: la corriente eléctrica estaba creando un campo magnético.
Dirección de un campo magnético inducido
Los experimentos mostraron que la dirección del campo magnético creado por una
corriente eléctrica es circular: fluye como círculos concéntricos alrededor del cable.
Su dirección se describe usando las primera de dos “reglas de la mano derecha” que
veremos. En este caso, para encontrar la dirección del campo magnético que rodea
un cable con corriente, apunta tu pulgar derecho en la dirección de la corriente; el
campo magnético fluye en un círculo que se describe por la dirección en que
flexionas los dedos de tu mano derecha.
Dado un cable circular, el campo puede describirse como yendo en un lado de la curva y fuera del otro.
Esto es porque no importa de dónde tomes el círculo con tu mano derecha para que tu pulgar apunte
en la dirección de la corriente, tus dedos entrarán por un lado del círculo, pasarán por él y saldrán por
el otro lado; el campo magnético hace lo mismo.
Describir la dirección en un mundo 3-D
Hasta ahora, hemos estudiado los problemas que podrían ser
descriptos y solucionados con enfoques bidimensionales (2-D). Pero
como ya podemos comenzar a ver, y como se hará más evidente, el
magnetismo es fundamentalmente un efecto tridimensional (3-D).
Entonces necesitamos algunas buenas herramientas para describir las
seis direcciones de un mundo 3-D. Estas herramientas serán usadas en
este capítulo para describir la dirección de la corriente, la fuerza y el
campo en seis sentidos posibles.
Mientras que los primeros cuatro indicadores del sentido son
obvios, los últimos dos son nuevos y requieren de explicación.
Piensa en la corriente, la fuerza o el campo descriptos como una
flecha, con la punta en un lado (en el sentido al que va) y la cola de
plumas en el otro lado.
Si la flecha está volando hacia ti, fuera de la hoja, verás justo ese su punta, que parecerá como un
punto. Si la flecha está volando lejos de ti, verás la cola de plumas como una “x”. Entonces, si el campo
está yendo hacia la hoja verás una “x”, y si el campo está saliendo de la hoja, hacia ti, verás un punto.
Mientras que estos símbolos funcionan bien para
describir las direcciones de la corriente y la fuerza,
se necesita una adaptación más para describir la
dirección del campo magnético. Esto es porque los
campos ocupan grandes volúmenes de espacio,
mientras que la corriente y la fuerza pueden ser
pensadas como líneas. Aquí se muestra cómo los seis
sentidos posibles del campo magnético son
dibujados usando las convenciones de arriba.
Usando estas herramientas, y la regla de la mano
derecha, puedes dibujar y resolver problemas que
involucran el campo magnético creado por una
corriente eléctrica. Dibujemos ahora una corriente
que fluye en cada una de estas tres dimensiones
posibles para que nos acostumbremos a usar estos
símbolos.
Ejemplo 1: Tres corrientes eléctricas son dibujadas abajo. En cada caso, dibuja el campo magnético que se
crearía por esa corriente eléctrica. Usa la regla de la mano derecha. Si notas que tus dedos deben ir hacia
la hoja en un lado del cable, luego el campo sebe ir hacia la hoja en ese lado (las “x”), y fuera de la hoja en
el lado opuesto del cable (los “puntos”).
Solución:
Ejemplo 2: Un círculo de cable carga una corriente. El sentido de la corriente se indica con las flechas.
Dibuja el campo magnético inducido dentro y fuera del círculo.
Problema
Solución
Ejemplo 3: En cada caso de abajo, un campo magnético es inducido por corrientes eléctricas pasando por
un cable (mostrado con una línea o con un punto). En cada caso, usa el campo magnético dado y la regla
de la mano derecha para determinar el sentido de la corriente.
Solución
Unidades y símbolos para el campo magnético
El símbolo para el campo magnético es “B”; a veces los campos magnéticos son llamados “campos B”.
Hay dos unidades comunes para medir los campos B: el Tesla (T) equivale a 1 Newton/Amperiometro. Esto naturalmente deriva de las unidades que usamos en capítulos anteriores (Newtons,
Amperios, metros) y emerge de la generación de campos B por una corriente eléctrica, que
estudiaremos a continuación.
𝟏 𝐓𝐞𝐬𝐥𝐚 = 𝟏
𝐍𝐞𝐰𝐭𝐨𝐧
𝐀𝐦𝐩 − 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨
𝟏 𝐆𝐚𝐮𝐬𝐬 = 𝟏𝟎−𝟒 𝐓𝐞𝐬𝐥𝐚
El Gauss (G) equivale a -4 Tesla (T); se usa a menudo porque los campos magnéticos son generalmente
mucho menos que un Tesla, entonces es más conveniente medirlos en Gauss:
Fuerza en un cable con corriente en un campo B
La relación entre electricidad y magnetismo fue más clara cuando se observó que un cable cargado con
corriente eléctrica en un campo magnético experimentaba una fuerza. La fuerza magnética se debe a la
interacción entre el campo magnético externo fijo y el campo magnético creado por la corriente
eléctrica. La corriente que fluye a través del cable crea un campo magnético, como se dijimos más
arriba, y el campo magnético del cable interactúa con el campo magnético externo. Así como sucedía
con los dos imanes, los campos interactúan y esto resulta en una fuerza en las fuentes de ambos
campos, el cable y el imán fijo. El resultado es una fuerza tanto en el cable como en el imán fijo. Sin
embargo, como el cable tiene mucha menos masa que el imán fijo, la misma fuerza que actúa en ambos
resulta en que el movimiento del cable es mucho más grande y más fácil de detectar.
El diagrama de abajo ilustra la dirección de la fuerza creada. Esta es verdaderamente una situación 3-D
ya que la fuerza, la corriente y el campo B son todos perpendiculares el uno con el otro (no hay fuerza
si el campo B y la corriente eléctrica con paralelos). Una segunda regla de la mano derecha nos
permite determinar el sentido de la fuerza dadas las direcciones del campo y de la corriente.
Para determinar el sentido de la fuerza en un cable con corriente:
1. Apunta tu brazo y mano derecha en el sentido en que fluye la corriente eléctrica.
2. Flexiona tus dedos en la dirección en que va el campo magnético externo (flexiona, pero no
cambies la dirección a la que apunta tu brazo).
3. Extiende tu pulgar para que sea perpendicular a tu brazo y mano. Tu pulgar apunta en el
sentido de la fuerza en el cable.
Ejemplo 3: Determina el sentido de la fuerza en el cable en cada caso.
Solución
Nota que si el campo B y la corriente son paralelos, no hay fuerza.
La magnitud de la fuerza en el cable cargado con corriente es proporcional al tamaño del campo B, el
tamaño de la corriente eléctrica y el largo del cable. La fuerza es simplemente igual al producto de
estos tres factores, siempre y cuando el campo y la corriente sean perpendiculares. La fuerza es cero si
son paralelos. En el próximo curso, agregarás un factor para dar cuenta de los ángulos entre 0° y 90°,
pero por ahora sólo consideraremos los casos en los que el campo y la corriente son paralelos (no hay
fuerza) o perpendiculares, en cuyo caso la fuerza está dada por:
I es la magnitud de la corriente eléctrica, L es el largo del cable, y Bperpendicular es el campo magnético
perpendicular al cable. A corriente se mide en Amperios; el largo del cable se mide en metros, el campo
B se mide en Teslas; la fuerza se mide en Newtons.
Ejemplo 4: Determina la fuerza magnética que actúa sobre un cable de 2,0 m de largo que lleva una
corriente de 4,0 A perpendicular a un campo magnético de 0,25 T.
Solución:
FB = ILBperpendicular
FB = (4,0 A)(2,0 m)(0,25 T)
FB = 2,0 N
Ejemplo 5: Un cable de 3,0 m de largo experimenta una fuerza de 9,0 N cuando lleva una corriente de
6,0 A perpendicular a un campo magnético. ¿Cuál es el tamaño del campo magnético?
Solución:
FB = ILBperpendicular
Bperpendicular = FB / (IL)
Bperpendicular = 9,0 N / (6,0 A)(3,0 m)
Bperpendicular = 0,50 T
Fuerza en una carga eléctrica móvil en un campo B
Como una corriente eléctrica se mueve en un fluido de cargas, no es sorprendente que una carga móvil
en un campo magnético experimente una fuerza magnética que es como la que experimenta un cable
cargado con corriente. De hecho, mostraremos abajo que es realmente la misma fuerza, con una
apariencia apenas diferente: la fuerza en un cable con corriente es el resultado de una fuerza en cada
una de las cargas móviles en el cable.
La fuerza que experimenta una carga móvil depende de su velocidad, carga y la cantidad de campo
magnético. También depende del ángulo de la velocidad hacia el campo B. La fuerza es máxima cuando
la velocidad de la carga y el campo son perpendiculares; es cero cuando son paralelos; es de un valor
intermedio en los ángulos entre 0 y 90 grados. En el próximo curso, agregarás un factor para dar
cuenta de los ángulos entre 0° y 90°, pero por ahora sólo consideraremos los casos en los que el campo
y la corriente son paralelos (no hay fuerza) o perpendiculares, en cuyo caso la fuerza está dada por:
La fuerza magnética es FB, la cantidad de carga es dada por q, la
velocidad es v, y el componente perpendicular del campo
magnético externo es dado por Bperpendicular.
Para una carga positiva, el sentido de la fuerza está dado por la
misma regla de la mano derecha que usamos para determinar la
fuerza en un cable con corriente. Sólo apunta tu brazo y mano
derecha en la dirección de la velocidad, flexiona tus dedos en la
dirección del campo, y tu pulgar apuntará hacia arriba en el sentido
de la fuerza; esto es idéntico a lo que hiciste para averiguar la
fuerza en un cable con corriente. La única diferencia es que ahora estás apuntando tu brazo en el
sentido de la velocidad en lugar del sentido de la corriente.
Sin embargo, las cargas pueden ser positivas o negativas; si la carga es negativa, la fuerza será en el
sentido opuesta del hallado para una carga positiva. Una forma de determinar la fuerza en una carga
negativa es usar la misma regla de la mano derecha, luego será hacia abajo para una carga negativa.
Alternativamente, puedes usar tu mano izquierda para las cargas negativas; obtendrás la misma
respuesta que si usaras tu mano derecha y luego invirtieras el resultado final. Algunas personas
prefieren usar la mano izquierda ya que así no olvidarán invertir una respuesta al final. Otras prefieren
usar siempre una mano; depende de ti.
Ejemplo 4: Determina el sentido de la fuerza en la carga en cada caso.
Solución:
Cargas móviles y corriente eléctrica
La conexión más profunda entre la fuerza magnética actuando sobre una corriente en un campo
magnético y la fuerza magnética actuando sobra una carga móvil en un campo magnético se vuelve
más clara en los dos diagramas siguientes. En
el primero, imagina que una corriente está
conformada por un gran número de cargas
positivas (sólo se muestran algunas) fluyendo
a través de un cable en un campo magnético.
La corriente eléctrica es hacia la derecha, en
el mismo sentido de la velocidad de las
cargas. La fuerza en el cable está dada por la
regla de la mano derecha para un cable
cargando corriente en un campo B. Con el
campo B dirigido hacia la hoja y la corriente
hacia la derecha, la fuerza será hacia la parte superior de la hoja. Pero la fuente de esa fuerza en el
cable es la suma de la fuerza en todas las cargas individuales que componen la corriente en el cable.
Para hallar esas fuerzas, usamos la regla de la mano derecha para una fuerza en una carga móvil en un
campo B. Con el campo hacia la hoja y la velocidad hacia la derecha, la fuerza también será hacia la
parte superior de la hoja. Ambas fuerzas (en la corriente o en la carga) son realmente las mismas.
Pero la corriente eléctrica es de hecho compuesta por cargas negativas (electrones) moviéndose en
sentido opuesto al de la corriente convencional, las cargas positivas (protones) están cerradas en un
lugar y no pueden moverse.
Sin embargo, el resultado es el mismo.
El sentido de la corriente convencional
es todavía hacia la derecha,
independientemente de si se debe a
cargas positivas moviéndose hacia la
derecha o hacia la izquierda. Entonces,
la fuerza en el cable es la misma, hacia
la parte superior de la hoja. La fuerza en
los electrones también hacia la parte
superior de la hoja ya que la regla de la
mano derecha para un campo hacia la
hoja y velocidad hacia la izquierda sería
hacia la parte inferior de la hoja, pero
esto tiene que ser revertido para las cargas negativas (o si usaras la mano izquierda para las cargas
negativas). En cualquier caso, la relación entre la fuerza sobre cargas móviles y cables cargando
corriente puede considerarse como que tienen la misma fuente.
Movimiento circular de cargas en un campo B
La fuerza que actúa en una carga que se mueve
perpendicularmente al campo magnético es siempre
perpendicular a la dirección del movimiento: FB es siempre
perpendicular a v. En un capítulo anterior sobre
movimiento circular, aprendimos que si la fuerza que actúa
sobre un objeto es siempre perpendicular a su movimiento,
el resultado será un movimiento circular y la aceleración
del objeto estará dada por a –v2/r. Este será el caso para
cualquier carga que está viajando por el espacio cuando un
campo magnético perpendicular es repentinamente
activado, como se muestra a la derecha.
Si una carga móvil entra en una región del espacio en la cual un campo
magnético está siempre presente, la carga completará la mitad de un
círculo y luego saldrá del campo viajando en sentido opuesto a su
velocidad inicial. Su movimiento será circular mientras que esté en el
campo, de ahí en más viajará en línea recta, ya que no habrá una fuerza
actuando sobre ella después de salir del campo.
Podemos combinar las relaciones que ya desarrollamos para el
movimiento circular en un capítulo anterior y lo que hemos aprendido
sobre una fuerza magnética actuando sobre una carga móvil en este
capítulo para aprender las características de la carga observando su
movimiento en un campo. Esto es exactamente lo que se hace al
observar reacciones nucleares en cámaras de burbujas o en
espectrómetros de masa para estudiar cargas desconocidas.
𝛴𝐹 = 𝑚𝑎
𝐹𝐵 = 𝑚𝑎𝑐
𝑚𝑣 2
𝑟
𝑚𝑣
𝑞𝐵 =
𝑟
𝑞
𝑣
=
𝑚
𝐵𝑟
𝑞𝑣𝐵 =
La fuerza magnética es responsable del movimiento circular.
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵 y 𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
Divide ambos lados por v.
Resuelve la relación carga/masa.
Al medir el radio de movimiento circular descripto por una partícula de velocidad conocida en un
campo B de magnitud conocida, podemos determinar q/m: la relación carga/masa de la partícula. Esto
tiene mucho valor para identificar la identidad de una partícula desconocida. Es la base de la
espectrometría de masa, que nos permite analizar muestras desconocidas.
Selectores de velocidad
Para poder usar la relación de arriba para determinar la
relación carga/masa de una partícula, necesitamos saber la
velocidad de la partícula. Resulta que es posible crear un
dispositivo que permite que sólo las partículas a una cierta
velocidad lo atraviesen. Usando ese selector de masa como
la primera fase de un espectrómetro de masa, la velocidad
de todas las partículas entrando en el dispositivo será
conocida.
Un selector de velocidad consiste en un campo eléctrico y un campo magnético que son
perpendiculares entre sí y perpendiculares a la velocidad de las partículas que lo atraviesan. La fuerza
que actúa sobre la partícula debido al campo eléctrico está dada por: FE = qE mientras que la fuerza
debido al campo magnético está dada por FB = qvB. Si las dos fuerzas son iguales y opuestas, la
partícula viajará en línea recta a través de él. Sin embargo, esto sólo sucederá para una velocidad en
particular.
𝛴𝐹 = 𝑚𝑎
𝐹𝐵 − 𝐹𝐸 = 0
No hay aceleración, así que la fuerza magnética es igual a la fuerza eléctrica.
𝐹𝐵 = 𝐹𝐸
𝑞𝑣𝐵 = 𝑞𝐸
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵 y 𝐹𝐸 = 𝑞𝐸
𝑣𝐵 = 𝐸
𝐸
𝑣=𝐵
Resuelve v.
Si la partícula tiene una velocidad menor que E/B, la fuerza eléctrica será más fuerte y hará que la
partícula se curve hacia abajo. Si una partícula tiene una velocidad mayor que E/B, la fuerza magnética
será más grande y hará que la partícula se curve hacia arriba. Sólo en el caso en que la velocidad está
dada por v = E/B una partícula cargada viajará en línea recta a través del detector.
Observa que mientras nuestro dibujo está basado en una partícula positiva, no hay diferencia si la
partícula es positiva o negativa ya que q se cancela en nuestras ecuaciones. De la misma forma,
tampoco habrá diferencia por el tamaño de la partícula; las partículas serán seleccionadas para pasar a
través del detector sólo en función de su velocidad. Al medir el tamaño de los campos magnético y
eléctrico, se puede determinar la velocidad de todas las partículas cargadas. Además, modificando E, B
o ambos, se pueden seleccionar partículas de diferente velocidad.
El tamaño del campo magnético creado por un cable cargado con corriente
Más arriba determinamos la dirección del campo magnético creado por un cable cargado con
corriente: forma círculos concéntricos alrededor del cable en el sentido dado por la primera regla de la
mano derecha. La magnitud del campo está dada por la expresión:
𝑩=
𝝁𝟎 𝑰
𝟐𝝅 𝒓
I es la corriente en el cable y r es la distancia desde el cable (el campo se desprende de 1/r). La
constante μ0 se llama la permeabilidad del espacio libre y es exactamente dada por:
𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 𝑇 ∙
𝑚
𝐴
El motivo por el que este es exactamente el caso es que un Amperio de corriente es de hecho definido
por la fórmula de arriba y ese valor específico de μ0. Cuando trabajes con cables con corriente, esto se
simplifica ya que 4π en la definición de μ0 y el 2π en la fórmula para B siempre se cancelará, dejando
sólo un factor de 2.
Ejemplo 6: ¿Cuál es la magnitud del campo magnético a 6,0 m de un cable con una corriente de 4,0 A?
Solución:
𝐵=
𝐵=
𝜇0 𝐼
2𝜋𝑟
(4𝜋×10−7
𝑇∙𝑚
)(4,0𝐴)
𝐴
(2𝜋)(6,0𝑚)
𝐵 = 1,3 × 10−7 𝑇
La fuerza magnética entre dos cables con corriente
Como un cable con corriente crea un campo magnético y un
cable con corriente en un campo magnético experimenta una
fuerza magnética, luego dos cables con corriente deben crear
campos que interactúan y crean una fuerza entre ellos.
En el primer diagrama, vemos desde arriba dos cables con una
corriente en la misma dirección y el mismo sentido. En la
segunda ilustración, vemos el campo magnético creado por el
cable de la izquierda (usando la primera regla de la mano
derecha), y la fuerza que crea en el cable de la derecha (usando
la segunda regla de la mano derecha). La fuerza en el cable de la
izquierda es luego debida a la Tercera Ley de Newton, o
alternativamente, podemos ver en el tercer diagrama que la
fuerza en el cable más a la izquierda debe ser la misma al seguir
los mismos pasos que hicimos arriba, pero cambiando los roles
de los cables. Tenemos el cable de la derecha creando el campo
y el de la izquierda respondiendo a él. Obtenemos el mismo
resultado: los cables con corrientes en el mismo sentido se
atraen.
Otra forma de pensar esto es
observa los cables desde la
perspectiva de que las corrientes
están fluyendo hacia ti, en lugar de
observar los cables desde arriba.
En este diagrama, dos cables llevan una corriente hacia ti.
Observa que en la región entre los dos cables los campos se
oponen entre sí, reduciendo el campo neto: el campo del cable
de la izquierda está dirigido hacia arriba, mientras que la
corriente del cable de la derecha está dirigida hacia abajo. Esto
resulta en una fuerza empujando los cables juntos ya que hay
menos energía almacenada en un campo neto más pequeño, y
los sistemas se mueves de forma de minimizar su energía. Esto
nos da el mismo resultado que arriba, pero desde perspectivas
diferentes.
Si las corrientes fluyen en sentidos opuestos, los cables se repelerán. Esto se ve abajo al revertir el
sentido de la corriente en el cable de la derecha y siguiendo la misma serie de pasos que hicimos
anteriormente. Elige un cable y dibuja el campo que crea usando la primera regla de la mano derecha.
Luego determina la fuerza en el cable de la derecha usando la segunda regla de la mano derecha.
Finalmente, mostramos que podríamos haber elegido el otro cable para generar el campo y
obtendríamos el mismo resultado: los cables con corrientes en sentidos opuestos se repelen.
Por otro lado, si los cables cargan corrientes en sentidos opuestos, sus campos estarán alineados en el
espacio entre ellos. Esto incrementa el campo neto y representa un
estado más alto de energía, así que los cables sentirán una fuerza para
disminuir esa interacción: los cables se repelerán entre sí y se alejarán,
disminuyendo la fuerza entre el campo que cada uno experimentará
debido al otro.
Podemos determinar la magnitud de la fuerza entre dos cables si asumimos que un cable crea un
campo magnético y el segundo cable responde a éste. Por la Segunda Ley de Newton, cada cable sentirá
una fuerza igual y opuesta, así que no importa qué cable elijas como el que crea el campo; obtendrás el
mismo resultado.
La fuerza en un cable con corriente debido a un campo externo está dada por F = BIL. Llamaremos I1 a
la corriente en el cable que responderá al campo externo. Luego esto se convierte en F1 = BI1L. El
campo externo es creado por el segundo cable con corriente. La magnitud del campo que crea está
𝜇0 𝐼
dada por: 𝐵 = 2𝜋𝑟
, nombrando I2 a la corriente en este cable. Luego sustituiremos esto por B en la
primera expresión.
𝐹1 = 𝐵𝐼1 𝐿
𝜇0 𝐼2
)𝐼 𝐿
2𝜋𝑟 1
𝜇0 𝐼2 𝐼1 𝐿
𝐹1 =
2𝜋𝑟
𝐹 𝜇0 𝐼2 𝐼1
=
𝐿
2𝜋𝑟
𝐹1 = (
La fuerza por unidad de longitud, F/L, está dada por esta expresión. La fuerza será igual y opuesta en
cada cable, así que podemos reemplazar F1 por F. Sólo aparece el producto de las corrientes, así que
está claro que la fuerza en cada cable debe ser la misma. Asumimos que los cables tienen la misma
longitud.