archivo - Universidad Sergio Arboleda Bogotá

Álgebra y Genética
Cursillo
“La falta de relación entre la Matemática y la Biología
es o una tragedia o un escándalo o
un reto, es difícil decidir cual de las tres”
Gian Carlo Rota
Dr. Jesús Hernando Pérez
Universidad Sergio Arboleda
Stefany Moreno
Instituto Alberto Merani
XVI Encuentro de Geometría y IV de Aritmética
23 a 25 de Junio de 2005
1
Biomatemática

La Biomatemática es la ciencia mediante
la cual se analiza un fenómeno biológico
desde los modelos matemáticos, y se
obtienen modelos matemáticos a partir
de fenómenos biológicos.

La Sucesión de Fibonacci.
2
Contenido del Cursillo

Primera Parte:
Introducción al Cursillo.
 Tema: La Estructura Algebraica de la Herencia
Genética.


Segunda Parte:
Tema: El Código Genético como un Álgebra de
Codones.
 Conclusiones Generales del Cursillo.

3
Proyecto en proceso

Modelo Hawk – Dove.

Condiciones Generales:
 Dos
individuos (especies) compiten por un
recurso.
 Los individuos son de dos tipos: Hawk
(Halcón) o Dove (Palomas).


Se utiliza el Modelo Hawk - Dove de la Teoría de
Juegos en el cual los dos individuos son los
jugadores.
Corroboración Experimental con larvas de
Ischnura elegans (Odonato).
4
PRIMERA PARTE
5
Conceptos Biológicos Necesarios

Gen: Es la unidad fundamental de la herencia
cuya existencia se puede confirmar por
variantes alélicas y que ocupa un locus
cromosómico concreto.

Cromosoma: Molécula de DNA, RNA y
proteínas que forma una estructura filamentosa
donde se encuentra la información genética en
una secuencia lineal.
6
7
8
Conceptos Biológicos Necesarios

Alelos: Uno de los posibles estados de
un gen, diferente de otros alelos por sus
efectos fenotípicos.

Diploidía: Doble dotación cromosómica
(2n) en la cual los cromosomas se hallan
en parejas.
9
Conceptos Biológicos Necesarios

Haploidía: Dotación cromosómica simple
(n).

Meiosis: Proceso de división celular en el
cual de una sola célula diploide (2n) se
pasa a cuatro haploides (n).
10
Conceptos Biológicos Necesarios

Gameto: Célula reproductora Haploide
(n) cuyo núcleo se fusiona con otra (n).

Zigoto: La célula diploide (2n) que resulta
de la fusión de los gametos masculinos y
femeninos.
11
12
Conceptos Biológicos Necesarios

Homozigotos: Organismo diploide (2n)
que lleva alelos idénticos en uno o más
loci genéticos.

Heterozigotos: Organismo diploide que
lleva dos alelos diferentes en uno o más
loci genéticos.
13
14
Conceptos Biológicos Necesarios

Genotipo: La constitución genética de un
individuo.

Fenotipo: Características observables de
un individuo.
15
Conceptos Matemáticos Necesarios

Un conjunto G es un grupo si tiene una
operación + (se nota (G,+)) tal que:
1. Para a, b, c ∈ G
a + (b + c) = (a + b) + c.
2. Existe un e ∈ G tal que para todo a ∈ G
e + a = a + e = a.
3. Para todo a ∈ G existe un a-1 tal que
a + (-a) = (-a) + a = e.
4. Si + es conmutativa se dirá que el grupo es
abeliano.
16
Conceptos Matemáticos Necesarios

Un conjunto A es un anillo si tiene
dos operaciones +, · (se nota
(A, + , ·) ) las cuáles cumplen lo
siguiente:
1. (A ,+) es un grupo abeliano.
2. Para a, b, c ∈ G
a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
(b + c) · a = b · a + c · a
17
Conceptos Matemáticos Necesarios

Dado un grupo G y un subconjunto H de
G, se dice que H es un subgrupo de G si




e ∈ H (El neutro de G es neutro de H)
Para a, b ∈ H, a + b ∈ H.
Para a ∈ H, (-a) ∈ H.
Dado un anillo A y un subconjunto R de
A, se dice que R es un subanillo de A si


R es un subgrupo de (A,+)
Para a, b ∈ R, a · b ∈ R
18
Conceptos Matemáticos Necesarios

Para dos subconjuntos A y B de un
anillo M, A·B esta definido como:
{a·b| a ∈ A y b ∈ B}

Si A es un subconjunto de un anillo
M, <A> es el subanillo más
pequeño que contiene al conjunto
A.
19
Potencias Principales
Para un anillo C, un x ∈ C y un
subanillo U de C las potencias
principales están definidas
inductivamente como:





x1 = x.
U1= U
xi = xi-1 x
Ui = <Ui-1U>
i ∈ N.
i ∈ N.
Una población Pi representa el cruce
entre Pi-1 y P.
20
Potencias Enteras
Para un anillo C, un x ∈ C y un subanillo
U de C las potencias enteras están
definidas inductivamente como:





x[1] = x.
U[1]= U
x[i] = x[i-1] x[i-1] i ∈ N.
U[i] = <U[I-1] U[I-1]>
i ∈ N.
Una población P[i] representa el cruce entre P[I-1]
y P[I-1] .
21
Potencias Enteras y Principales

Ejemplos:


x4 = x3 x = (x2 x) x = ((x x) x) x
x[4] = x[3] x[3] = (x[2] x[2] )(x[2] x[2] ) =
((x x)(x x)) ((x x)(x x)).
22
Conceptos Matemáticos Necesarios

1.
2.
Un anillo (C, + , ·) es un cuerpo si
satisface además las siguientes
propiedades:
Es un Anillo en el cual la operación ·
tiene un elemento unidad (notado
como 1), es conmutativa y
asociativa.
Para todo a ∈ C, a ≠ 0, existe un a-1
tal que
a · a-1 = a-1 · a = 1.
23
Conceptos Matemáticos Necesarios

Si R es un anillo, un R-módulo M es un
grupo abeliano junto con una operación
RxM
(r, m)
M
r ·m
que satisface las siguientes propiedades:




a (b x) = (a b) x
a (x + y) = a x + a y
1 x = x (Si el anillo tiene unidad)
(a + b) x = a x + b x
Para todo a, b ∈ R y todo x, y ∈ M.
24
Conceptos Matemáticos Necesarios

Si R es un anillo, una R-álgebra es
un R – módulo A, tal que A es
también un anillo y satisface la
siguiente propiedad:
(a x) y = a (x y) = x (a y)
para todo a ∈ R y todo x, y ∈ A.
25
Conceptos Matemáticos
Necesarios


Un Homomorfismo entre grupos es
una función f de un grupo A en un
grupo B para la cual
f (a + b) = f (a) + f (b),
con a, b ∈ A
26
Conceptos Matemáticos
Necesarios



Un Homomorfismo f de un grupo A en
un grupo B es inyectivo si
f(a) = f(b) implica que a = b.
∀ a,b ∈ A.
Un Homomorfismo f de un grupo A en
un grupo B es sobreyectivo si ∀ b ∈ B
existe un a ∈ A tal que f(a) = b.
Un Homomorfismo es un isomorfismo
si es inyectivo y sobreyectivo.
27
Conceptos Matemáticos
Necesarios



Para un Homomorfismo f de un grupo A en un
grupo B el núcleo (Kernel) esta definido como
el siguiente subgrupo:
Ker (f) = {a ∈ A | f(a) = e}, donde e es el
elemento neutro de B.
Para un anillo A, un elemento a ∈ A es
nilpotente si an = 0 (Potencias Principales)
para algún n ∈ Z+ (El menor n que cumple
esta condición se denomina el índice de a)
Para B subanillo de A, decimos que B es
nilpotente si existe n ∈ N tal que el producto
de cualesquiera n elementos de B es igual a
0.
28
Conceptos Matemáticos Necesarios

Idempotentes:



Para un anillo A y un m ∈ A, m ≠ 0, m es
idempotente si m2 = m.
Un subconjunto P de un anillo es
idempotente si P · P = P.
Genéticamente, esto ultimo se interpreta
como una población que
independientemente de sus características
genotípicas es estable.
29
Conceptos Matemáticos
Necesarios



Dado un Modulo W, un submòdulo H de W, es
un subconjunto cerrado para las operaciones
de W.
Si W1 y W2 son submódulos de un módulo W
se define la suma interna como
W1 + W2 = {w1 + w2 : wi ∈ Wi}
Si W1 + W2 = W, y si W1 ∩ W2 = 0, W se dice
que es la suma directa de W1 con W2 y se
escribe W = W1 ⊕ W2
30
Álgebras con Realización Genética

Álgebras Gaméticas.

Álgebras Zigóticas.
31
Tabla para un álgebra gamética
A
a
A
a
A
½(A+a)
½(A+a)
a
32
Tabla para un álgebra zigótica
AA
Aa
aa
AA
AA
½(AA+Aa)
Aa
Aa
½(AA+Aa)
aa
Aa
¼AA+½Aa+¼aa
½(Aa+aa)
½(Aa+aa)
aa
33
Carácter No Asociativo de la
Herencia Genética


(P x Q) x R ‡ P x (Q x R)
Ejemplo:



A x (A x a) = ¾A + ¼a
(A x A) x a = ½ A +½a
Los elementos del Álgebra son
sumas de la forma:
w AA + y Aa + z aa
34
Álgebras Gaméticas

Población con n alelos {a1,a2,...,an} .
n
aiaj = ∑ cijkak
K=1
Tal que
0≤
n
cijk ≤ 1
i,j,k = 1,...,n
∑ cijk = 1 i,j= 1,...,n
K=1
cijk = cjik
i,j,k = 1,...,n
35
Álgebras Zigóticas
n

aijapq = ∑ cij,pq,ksaks
K≤s
Tal que
0≤
n
cij,pq,ks ≤ 1
∑ cij,pq,ks= 1
i,j,k,p,q,s = 1,...,n
i,j,p,q= 1,...,n
K=1
cij,pq,ks = cpq,ij,ks
i,j,k,p,q,s = 1,...,n
36
Álgebras con Realización Genética
(Generalización)


Supongamos que A es un álgebra
sobre R de dimensión n.
{a1,a2,...,an} una base de A sobre R.
aiaj = ∑ cijkak
K=1
Tales que
0≤
cijk ≤ 1
i,j,k = 1,...,n
n
∑ cijk = 1 i,j= 1,...,n
K=1
37
Álgebras Báricas



Un álgebra A sobre un campo k es
un álgebra bárica si admite un
homomorfismo no trivial w: A→ k.
w es llamado el homomorfismo de
peso o la función bárica.
En algunos casos w no es único.
38
Álgebras Báricas

Teorema 1. Tomemos A como una
álgebra n- dimensional con
realización genética sobre ℝ.
Entonces A es un álgebra bárica.
39
Álgebras Báricas

¿Tiene solo un homomorfismo de
peso un álgebra bárica?
a1
a2
a3
a1
a1+a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a3
a2
a2
a2+a3
40
Álgebras Báricas




w1: A → ℝ
w1(a1)=1 y w1(a2)=w1(a3)=0
w2: A → ℝ
w2(a3)=1 y w2(a1)=w2(a2)=0
41
Potencias Enteras y Principales

Teorema 2: Tomemos A un álgebra
bárica sobre un campo k, con
función de peso w. Si N = Ker w es
nilpotente, entonces w es único.
42
Idempotentes

Teorema 3. Tomemos A un álgebra
bárica sobre un campo k con
función de peso w. Supongamos
que A contiene un idempotente e tal
que w(e)=1. Entonces,
A = ke ⊕ Ker w.
43
T - álgebras



Tomemos A un álgebra bárica sobre
un campo k. Tomemos {a1,a2,..,an}
una base de A. Existe un polinomio
llamado el rango polinomial que
anula todos los elementos de A:
f(x) = xr + θ1xr-1+ θ2xr-2+... + θr-1x.
Donde θp es un polinomio homogéneo de
grado p en las coordenadas ei para x=
∑ni=1 eiai
44
T - álgebras


Rango Polinomial --- Relevancia
Genética.
Tomemos A un álgebra bárica con
función de peso w y rango polinomial
f(x) = xr + θ1xr-1+ θ2xr-2+... + θr-1x. A es una
T-Álgebra de rango r si los
coeficientes θp del rango polinomial de
A son funciones de w(x).
45
T - álgebras


Teorema 4. Tomemos A una T-Álgebra
de rango r con función de peso w: A→ k.
Entonces todo elemento en N = Ker w
es nilpotente de un índice menor o igual
que r.
Corolario. Una T-Álgebra tiene una única
función de peso.
46
T-Álgebras Especiales

Una Álgebra bárica con función de
peso w es llamada T-Álgebra
Especial si N= Kerw es nilpotente
47
Aplicaciones : Autofertilización



Autofertilización: Es el poceso en el
cual se forma un zigoto a partir de
los gametos tanto femeninos como
masculinos de un mismo individuo.
En este caso corresponde a el cruce
de una poblacion consigo misma.
P = wAA+yAa+zaa
w+y+z=1
48
Autofertilización


P es un elemento de un álgebra
zigotica con dos alelos. El interés esta
cuando P se cruza con P
reiteradamente.
F1 = P x P
F1 = w(AA x AA) + y(Aa x Aa) + z(aa x aa)
= wAA + y(¼AA +½Aa+¼aa) + zaa
= (w + ¼y) AA + ½yAa + (z + ¼y) aa

49
Autofertilización
Fn = wn AA + yn Aa + znaa. ?

Un: Diferencia Genética de la población
Fn con Fn-1, es decir , Un = Fn– Fn-1
U1 = F1 – P, U2 = F2 – F1.
Para el primer caso tendríamos:
U1 = ¼y AA - ½yAa + ¼y aa
= ½y (½AA – Aa + ½aa )

50
Autofertilización
Para el segundo caso, como F2 = F1 x F1,
entonces:
 F2 =(w + ⅜y)AA + ¼yAa + (z + ⅜y) aa.
U2 = ⅛y AA - ¼yAa + ⅛yaa
= ¼y (½AA – Aa + ½aa)


Generalizando ...
51
Autofertilización

Un =⅟2n y (½AA – Aa + ½aa).
El total de diferencia genética de
población en n generaciones será
 U1+ U2+...+ Un =
= (½AA – Aa + ½aa)(½+¼+...+ ⅟2n)y
= y (1 - ⅟2n) (½AA – Aa + ½aa)

52
Autofertilización


Fn = w AA + y Aa + z aa + Un
= (w +½y - ⅟2n+1 y) AA + ⅟2ny Aa +
(z +½y - ⅟2n+1 y) aa.
A medida que incrementa n, ⅟2n
tiende a 0. Lo que indica que al
hacer autofertilización
reiteradamente los heterocigotos
desaparecen.
53
SEGUNDA PARTE
54
Definiciones Biológicas


ADN (Ácido Desoxirribunucleico): Es la
molécula de la herencia que contiene
toda la información genética del
individuo.
Nucleótidos: Son los ladrillos que
conforman la Estructura del ADN.
Están Compuestos por un grupo
fosfato, un azúcar (Desoxirribosa) y
una Base Nitrogenada.
55
56
57
Definiciones Biológicas



Las bases nitrogenadas pueden ser Purinas
o Pirimidinas según la cantidad de anillos
que tengan.
Las Purinas tienen dos anillos (Son mas
grandes) y son la Adenina (A) y la Guanina
(G).
Las Pirimidinas tienen un solo anillo (Son
mas pequeñas) y son la Citosina (C) y el
Uracilo (U). Esto se conoce como el tipo
químico.
58
El Tipo Químico :
¿Purina o Pirimidina?
ADENINA
(A)
GUANINA
(G)
URACILO
(U)
CITOSINA
(C)
59
Definiciones Biológicas


Codón: Es un triplete de nucleótidos
que codifica para un aminoácido.
Varios aminoácidos unidos
conforman una proteína.
Mutación: Es un error (No significa
entonces que no pueda ser
benefica) en la codificación de la
proteína.
60
61
Grupo abeliano de cuatro elementos
(bases)

Axiomas:




La base que empieza necesita un mínimo de
puentes de Hidrógeno
La mayor diferencia entre un elemento y el
siguiente es un criterio para hacer los
arreglos.
El Tipo químico causa la mayor diferencia
entre bases.
{A, C, G, U} y {U, G, C,A}
62
Grupos abelianos de cuatro
elementos (bases)


Z4 y V4.
Carácter Cíclico. Es decir, que
exista un elemento generador.
Carácter de estabilidad para la
molécula de ADN

Por el carácter Cíclico elegimos a
Z4
63
Grupos de cuatro elementos
(bases)
Z4
0
1
2
3
V4
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
1
1
0
3
2
2
2
3
0
1
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
3
3
2
1
0
64
Grupos Cíclicos
En Z4 tenemos que un elemento
generador es el 1:





2
3
0
1
=
=
=
=
1
1
1
1
+
+
+
+
1.
1 + 1.
1 + 1 + 1.
1 + 1 + 1 + 1.
Otro generador es 3.
65
Grupos Cíclicos

En V4 tenemos que ningún elemento es
generador del grupo:
0
= 0.
0 + 0 = 0
2
=2
2 + 2 = 0
1
=1
1 + 1 =
0
3
=3
3 + 3 =
0
66
Grupo de cuatro elementos
(bases)

Tablas de Suma para los dos maneras de
ordenar:
+
A
C
G
U
+
U
G
C
A
A
A
C
G
U
U
U
G
C
A
C
C
G
U
A
G
G
C
A
U
G
G
U
A
C
C
C
A
U
G
U
U
A
C
G
A
A
U
G
C
67
68
69
Algoritmo para la Suma de Codones
1.
Las bases correspondientes a la tercer
posición se suman de acuerdo a la tabla
de suma.
2.
Si la base resultante está antes que las
bases sumadas se lleva C (G en el caso
de la dual)
3.
Luego se suman las primeras
componentes (De acuerdo a la tabla) y
si se cumple (2) se lleva C para la suma
de las segundas posiciones.
70
Ejemplo

Z2 x Z2 x Z2
(0,0,0)
(0,0,1)
(1,0,0)
(1,0,1)
(0,1,0)
(0,1,1)
(1,1,0)
(1,1,1)

Z8
0
1
2
3
4
5
6
7
71
Grupo de Codones
Z4 x Z4 x Z4 = Z64
 (Cg,+)
 Grupo cíclico: k(XYZ).
 Para todo u en Cg existe un k en Z64
tal que u = k XYZ
 XYZ = AAC o XYZ = UUG
 u ⊗ v = k(XYZ) ⊗ k’(XYZ) =
=k * k’ (XYZ ⊗ XYZ) = k * k’ (XYZ)

72
Generalización




(Cg)n
((Cg)n,+)
Anillo:((Cg),+, ⊗) es isomorfo a
((Z64 ),+, ⊗).
Genoma:
G = P1 ⊕ P2 ⊕ P3 ⊕ ... ⊕ Pm
73
Regularidades Importantes



El Codón de inicio (AUG, metionina)
es inverso a dos de los codones de
parada (UAG, UAA).
Los Codones Hidrofílicos son
inversos a los codones Hidrofóbicos
(simetria).
Cuando dos codones codifican para
el mismo aminoácido tienen la
misma paridad.
74
Mutaciones en el VIH




VIH es un virus que infecta a la célula y se
reproduce a partir de ella.
Existen unos Inhibidores de Proteasa (Enzima
que usa el virus para introducir su material
genético) cuyo objetivo es que el virus no se
reproduzca en las otras células.
Las Mutaciones en el material genético del VIH
generan Resistencia Cruzada a dichos
Inhibidores.
Los Conceptos de Orden y Paridad son
determinantes para establecer las mutaciones
que generaran resistencia cruzada.
75
Orden
76
Orden y Paridad



El orden de un elemento a en grupo
abeliano G, es el mínimo m tal que, m veces
a es 0. (Tabla anterior. Diapositiva 76)
La paridad de un elemento a en el grupo Z64
coincide con la paridad como elemento de Z
(Par o Impar).
En la siguiente tabla se muestran algunos
casos de mutaciones en el VIH. Las
mutaciones que están en negrilla aumentan
el orden del codón inicial y las que están en
cursiva cambian la paridad del codón inicial.
77
78
79
80
Regularidades Importantes


Cuando el codon resultante de la
mutación aumenta el orden del
codon inicial la mutación genera
resistencia cruzada.
Cuando el codon resultante de la
mutación cambia de paridad
respecto al codon inicial la mutación
genera resistencia cruzada.
81
Invitación

La Matemática y la Biología son
temas que aunque pareciesen
distantes, están profundamente
relacionados. El reto ahora es no
solo relacionar el conocimiento que
ya se tiene sino producir
conocimiento a partir de dicha
relación.
82
Bibliografía Básica


AUBRY, GRÈGORIE. Algebraic
Approach to Population Genetics,
Ècole Polytechnique Fèdèrale de
Lausanne, July 2001.
ETHERINGTON I.M.H. Genetic
Algebras. Proc. Roy. Soc. Edinburg
59 (1939) 242 – 258.
83
Bibliografía Básica


GONSHOR H. Special Train Algebras
arising in Genetics. Proc. Edinburg
Math. Soc. (2) 14 (1965) 333 – 338.
REED, M.; Algebraic structures in
genetic inheritance American
Mathematical Society. Volume 34,
Number 2, April 1997, Pages 107130.
84
Bibliografía Básica


SÁNCHEZ ROBERSY Y OTROS. Gene
Algebra from a Genetic Code
Algebraic Structure, Research
Institute of Tropical Roots, Tuber
Crops and Banana (INIVIT).
Biotechnology Group. Santo
Domingo. Villa Clara. Cuba.
WÔRZ – BUSEKROS ANGELIKA.
Algebras in Genetics, Springer
Verlag, Berlin Heidelberg, New York,
Lecture Notes in Biomathematics, 36.
1980.
85