Contenido Unidad 1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA .......................................................................... 1

Contenido Unidad 1
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA .......................................................................... 1
1.1 INTRODUCCIÓN, NOTACIÓN SUMATORIA. .......................................................................... 1
Introducción. ............................................................................................................................. 1
Estadística Descriptiva. ............................................................................................................ 2
Notación Sumatoria. ................................................................................................................. 4
1.2 DATOS NO AGRUPADOS. ....................................................................................................... 7
1.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN. ........................................... 8
Media aritmética. ...................................................................................................................... 8
Media ponderada. ..................................................................................................................... 9
Media armónica. ..................................................................................................................... 10
Media geométrica. .................................................................................................................. 10
1.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN. ..................................................................................... 11
Varianza.................................................................................................................................. 11
Desviación Estándar. .............................................................................................................. 11
1.3 DATOS AGRUPADOS. ........................................................................................................... 12
Media Aritmética. .................................................................................................................... 12
Moda. ...................................................................................................................................... 12
Mediana. ................................................................................................................................. 12
Percentil. ................................................................................................................................. 14
Cuartiles.................................................................................................................................. 15
1.3.1 TABLA DE FRECUENCIA. ........................................................................................ 15
Tallo de Hojas. ........................................................................................................................ 15
Histograma. ............................................................................................................................ 16
Ingeniería Industrial
Ing. Alejandro Rosete Notario
I.T.S. de Tepeaca
Probabilidad y estadística.
2011.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
1.1 INTRODUCCIÓN, NOTACIÓN SUMATORIA.
Introducción.
La estadística descriptiva se ocupa de la organización y resumen de datos
estadísticos. Esto incluye el cálculo y la interpretación de medidas numéricas
como la media, la mediana y la desviación estándar, al igual que la elaboración y
empleo de representaciones gráficas, como las distribuciones de frecuencia.
“La probabilidad es utilizada con estas técnicas como una forma de saber
cuán posible es que ocurra un evento. Estos métodos descriptivos se emplean de
dos maneras; ya sea como un fin en sí mismas – en cuyo caso el propósito es
aclarar, visualizar o comunicar un concepto o idea -, o como una etapa inicial en el
proceso de inferencia.”1
“ESTADÍSTICA: Es el arte de reunir, analizar, presentar e interpretar datos.”2
La estadística se divide en tres ramas: 3
Estadística descriptiva
ESTADÍSTICA
Teoría de probabilidad
Estadística inferencial
1
STEVENSON William J. Estadística para Administración y Economía. Pág. 523
ANDERSON David R. Estadística para Administración y Economía. Pág. 16.
3 STEVENSON, William J. Op. Cit. Pág. 5.
2
1
Ingeniería Industrial
Ing. Alejandro Rosete Notario
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Probabilidad y estadística.
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Estadística Descriptiva.
“Estadística descriptiva: Cualquier tratamiento de datos que esté diseñado
para resumir o describir algunas de sus características más importantes sin
intentar deducir nada que escape al alcance de los datos.”4
Proceso de la estadística descriptiva:
Recolección
de datos
Estadísticos.
Procesamiento de datos
Organizar y resumir en:
- Gráficos
- Tablas
Continuos
Discretos
DATOS
5
Nominales
Jerarquizados
“Datos: “Se debe aprender a identificar y manejar cuatro tipos de datos:
continuos, discretos, nominales y jerarquizados.”6
De este modo, también se emplean variables en estadística, las cuales pueden
asumir virtualmente cualquiera o determinado tipo de datos (valores); por lo que
en estadística se manejarán 2 tipos de variables: variables discretas y variables
continuas.
“Variables continuas: pueden asumir cualquier valor en un intervalo
continuo de valores o datos. Características que se miden: altura, peso, longitud,
espesor, velocidad, viscosidad y temperatura, por mencionar algunas .”7
“Variables discretas: “adquieren valores enteros. Básicamente surgen al
contar un número de elementos u objetos.”8
4
Ibíd.; Pág. 7.
Ibíd.; Pág. 15.
6 Ídem.
7 Ídem.
8 Ibíd.; Pág. 16.
5
2
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“Datos nominales: se obtienen cuando se defienden las categorías y se
cuenta el número de observaciones que quedan en cada una; tales como sexo,
color de ojos, campo de estudios, calificaciones. Estos datos se cuentan y pueden
pasar a ser datos discretos.”9
Datos jerarquizados: “constan de valores relativos asignados para denotar
orden: 1º, 2º, 3º, 4º… y así sucesivamente.”10 Ejemplos de jerarquías: aceptable o
no aceptable, muy desordenado, poco desordenado. Por lo regular pueden ser
rangos un tanto subjetivos.
EJERCICIOS:
Identifique los siguientes en términos del tipo de datos:
a. 17 gramos
b. 25 segundos
c. 3 canastas
d. 3 incorrectas, 7 correctas
e. Tallas de camisas
f. Kilómetros por litro
g. Más lento
h. 2 helados
i. El más encantador
RESPUESTAS:
Contínuos: a. b, f;
9
Discretos: c, h;
Nominales: d, e;
Jerarquizados: g, i.
Ídem
Ibíd.; Pág. 17.
10
3
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Notación Sumatoria.11
CASO 1: La mayor parte de los procedimientos en estadística emplean
sumas de datos y estas se representan por la letra griega sigma ∑. De aquí que
ciertas operaciones sean representadas como sumatorias o también conocidas
como "notación sumatoria".
Ejemplo:
1. La letra sigma denota una suma y "x" es una variable de cualquier tipo.
2. Los siguientes datos pertenecen a la variable "x": 1, 5, 6 y 9. Obtenga la
=21
3. Si los valores de y son 2, 4 5, y 9, encuentre
CASO 2: Si sólo se van a sumar algunos de los valores, se utilizan
subíndices para indicar dichos valores del siguiente modo:
Lo anterior indica la suma de los valores de la variable x, empezando con el primer
dato (i=1) y terminando con el quinto (i=5).
Ejemplo:
Utilizando los datos que se indican, calcule a)
11
Ibíd.; P. P. 18-20.
4
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CASO 3: Cuando cada valor de una variable va a ser multiplicada o dividida
por una constante; dicha constante se puede aplicar después de que los valores
se hayan sumado.
Ejemplo:
Hallar la sumatoria siguiente usando los datos de la tabla del CASO 2.
CASO 4: La adición de una suma (o diferencia) de dos variables es igual a
la suma (o diferencia) de sumatorias individuales de las dos variables.
Ejemplo:
a) Realizar la sumatoria
con los siguientes datos:
CASO 5: Los subíndices i y j se emplean para designar la fila, (i) y la
columna (j), y la letra se utiliza para simbolizar el de filas y k para el de columnas.
Ejemplo:
Se requiere examinar datos acerca del kilometraje por unidad de consumo de
Gasolina según diferentes combinaciones de autos y conductores.
Automóvil
1
2
3
sumas
Conductor
1
22.3
20.4
23.4
66.1
2
23.5
20.1
25.6
69.2
3
20.5
19.0
19.6
59.1
4
19.8
20.8
21.7
62.3
sumas
86.1
80.3
90.3
256.7
5
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La notación general para esta tabla de muestra a continuación:
1.
a)
b)
c)
d)
Escriba las siguientes sumas con la notación sumatoria:
x, + x2 + ... + xn
(x, + X2+- ... + xn)2
Xi + X2 + X3 + X4 + X5 +X6+ X7
[(o, - e,)2 / e,] +[(o2 – e2)2 e2] + [(o3 - e3)2 / e3] + [(o* - e4)a / e4]
2. Calcule cada una de las siguientes cantidades sirviéndose de los
datos proporcionados. (Nota: n es el de datos).
y = 15, 10, 5, 9, 14, 20, 6, 17
3. Calcule las siguientes cantidades, utilizando la información de la tabla que se
presenta.
6
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1.2 DATOS NO AGRUPADOS.
Cuando los datos estadísticos se recolectan, estos se encuentran
desordenados y por tanto deberán ser asociados de tal forma que puedan
interpretarse.
Los datos estadísticos se van a identificar en dos formas, como población y como
muestra.
POBLACIÓN: El conjunto de todos los elementos de interés en determinado
estudio.12
MUESTRA: Un subconjunto de la población.13
Con lo anterior se va a clasificar la forma de medir los datos:
12
13
ANDERSON, David R. Op. Cit. Pág. 16.
Idem.
7
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Medidas de
tendencia
central
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Media de la Población.
Varianza.
Población
Medidas de
dispersión
Desviación Estándar.
Error estándar.
Datos
Estadísticos
Medidas de
tendencia
central
Muestra
Media de la muestra.
Varianza de la muestra.
Medidas de
dispersión
Desviación estándar de la
muestra.
Error estándar de la muestra.
1.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN.
Media aritmética.
La media aritmética también llamada media de la muestra, esperanza
matemática o tan conocida por todos como promedio: esta es la suma de los datos
y dividida entre la cantidad de datos que se estén sumando.14 La fórmula de esta
es:
Para la Población:
14
STEVENSON, William J. Op. Cit. Pág. 23.
8
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Probabilidad y estadística.
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Para la Muestra:
EJEMPLO:
Se tienen las siguientes calificaciones de alumnos, obtenga la media aritmética:
Matemáticas Física Dibujo
Ética
Taller de H. Fundamentos de investigación.
70
95
90
71
85
83
La media aritmética es: 82.33
NOTA: Ya sea media de la población y media de la muestra, el procedimiento
sigue siendo el mismo para obtener el resultado.
Media ponderada.
La media ponderada es muy similar a la anterior con la diferencia de que se
maneja un grado de importancia o ponderación para cada dato.15 La fórmula es la
siguiente:
En este caso w es la ponderación i-èsima. Que se le aplica a cada dato.
EJEMPLO:
Con las siguientes calificaciones obtenga un promedio ponderado:
15
ANDERSON, Sweeney William. Op. Cit. Pág. 66.
9
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Probabilidad y estadística.
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Media armónica.
Esta se define como n divida entre la suma de los recíprocos de los n s; o n.16
Bien:
Ejemplo:
Si un avión
Millas/hora.
La media armónica tiene una utilidad limitada, pero es adecuada.
vuela 100 millas a 300 millas/hora y las siguientes 100 millas a 600
Ha recorrido 400 millas/hora en promedio
Media geométrica.
Se aplica a un conjunto de n s positivos y es la raíz n-ésima de su producto.
Si todos los s son iguales, la media geométrica es igual a la media aritmética; pero,
en caso contrario, la media geométrica es siempre menor que la aritmética.17
La fórmula es:
Ejemplo:
Obtenga la media geométrica de las siguientes calificaciones:
Examen (n) Calificación (x,)
No. 1
80
16
17
Ídem
STEVENSON, William J. Op. Cit. Pág. 34.
10
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No. 2
Final
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90
96
1.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN.
Varianza.
La varianza o también conocida como variancia, es la desviación promedio
de valores obtenidos a partir de la media, elevada al cuadrado y calculada
mediante n-1 en lugar de n.18 Las fórmulas que se emplean son las siguientes:
Para la Población:
ó
Para la Muestra:
ó
Desviación Estándar.
La desviación estándar de un conjunto de s se define como la raíz cuadrada
positiva de la variancia.19
Es simplemente la raíz cuadrada positiva de la variancia. De este modo si la
variancia es 81, la desviación estándar es 9; si la variancia es √10, la desviación
estándar es √10= 3.16. Para obtener la desviación estándar, se debe calcular la
variancia y hallar su raíz cuadrada.
18
19
Ídem
Ibíd.; Pág. 36.
11
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Las fórmulas para la desviación estándar son:
(x
S
i
 x) 2
n 1
Como se hizo anteriormente, sustituir (n-1) por n las convierte en fórmulas para
calcular la desviación estándar de la población.
1.3 DATOS AGRUPADOS.
Las medidas fundamentales en lo que a datos agrupados se refieren, son las
mismas que para los pequeños conjuntos de datos, principalmente la media,
mediana y moda como medidas de tendencia central y la desviación estándar,
variancia y amplitud de variación como medidas de dispersión.
Media Aritmética.
La media aritmética es lo que viene a la mente de las personas cuando se
menciona la palabra “promedio”. Como este término tiene ciertas características
matemáticas deseables, es la más importante de las tres medidas.
La media aritmética se calcula al sumar los valores de un conjunto y al
dividir el producto de esta suma entre el de valores del mismo. 20
Ejemplo:
70  80  120 270

 90
3
3
Moda.
Es el valor que con más frecuencia se presenta en un conjunto. 21
Ejemplo:
En el conjunto 10, 10, 8, 6 y 10, el 10 se presenta tres veces en tanto que uno de
los otros valores, solo una vez. El valor más frecuente, la moda, es 10.
Mediana.
Es el valor intermedio, cuando los valores de los datos se ordenan en forma
ascendente. Si hay una cantidad impar de elementos, la mediana es el valor del
20
21
Ibíd. Pág. 23.
Ídem.
12
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elemento intermedio, cuando todos los elementos están ordenados de manera
ascendente.
Si hay una cantidad par de elementos, la mediana es el valor promedio de
los dos elementos intermedios, cuando todos se ordenan en forma ascendente.22
Ejemplo:
Sueldos mensuales iniciales para una muestra de 12 egresados de una escuela
de administración.
Egresado
Sueldo
mensual ($)
Egresado
Sueldo
mensual ($)
1
2
3
4
5
6
2350
2450
2550
2380
2255
2210
7
8
9
10
11
12
2390
2630
2440
2825
2420
2380
Al disponer los cinco valores de datos en orden ascendente, se obtiene la
siguiente lista ordenada.
32 42 46 46 54
Como n = 5 es impar, la mediana es el elemento intermedio de la lista ordenada.
Así, la mediana del tamaño de clase es 46 alumnos. Aun cuando hay dos valores
46, cada uno se maneja como artículo.
Calculemos la mediana del salario inicial de los egresados de la escuela de
administración. Ordenamos los 12 elementos de la tabla
2210 2255
2350 2280 2380
2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825
Dos valores intermedios
Como n = 12 es par, identificamos los dos elementos intermedios. La mediana es
la media de esos dos valores.
Mediana 
22
2390  2420
 2405
2
ANDERSON, Sweeney William. Op. Cit. Pág. 66.
13
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Percentil.
El p-ésimo percentil es un valor tal que por lo menos un p por ciento de los
elementos tienen dicho valor o menos y. al menos, un (100—p) por ciento de los
elementos tienen este valor o más.23
Para calcular el p-ésimo percentil se aplica el siguiente método.
Paso 1. Ordenar los datos de manera ascendente.
Paso 2. Calcular un índice i
 P 
i = 
 n
 100 
En donde:
p es el percentil de interés
n es la cantidad de elementos.
Paso 3.
(a) Si i no es entero, se redondea. El valor entero inmediato mayor que i indica la posición del p-ésimo percentil.
(b) Si i seis entero, el p-ésimo percentil es el promedio de los valores de
los datos ubicados en los lugares i e i + 1.
Como ejemplo de este procedimiento, determinemos el 85o percentil de los datos
de salario inicial en la tabla
Paso 1. Disponer los 12 valores de los datos en orden ascendente.
2210
2255 2350
2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825
Paso 2.
 P 
 85 
i
n  
12  10.2
 100
 100
23
ANDERSON, Sweeney William. Estadística para Administración y Economía. Pág. 65.
14
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Paso 3. Como i no es entera, redondeamos. El lugar del 85o percentil es el
siguiente entero mayor que 10.2, o sea el lugar 11.
Regresando a los datos, vemos que el 85o percentil corresponde al 1 lo
lugar en los datos, que es 2630.
Cuartiles.
La mediana (ya sea de una población o de una muestra) divide los datos en
dos partes iguales. También es posible dividir los datos en más de dos partes.
Cuando se divide un conjunto ordenado de datasen cuatro partes iguales, los
puntos de división se conocen como cuartiles24.
El primer cuartil o cuartil inferior, q1, es un valor que tiene aproximadamente
la cuarta parte (25%) de las observaciones por debajo de él, y el 75% restante, por
encima de él. El segundo cuartil, q2, tiene aproximadamente la mitad (50%) de las
observaciones por debajo de él. Es segundo cuartil es exactamente igual a la
mediana. El tercer cuartil, o cuartil superior, q3, tiene aproximadamente las tres
cuartas partes (75%) de las observaciones por debajo de él. Al igual que en el
caso de la mediana, es posible que los cuartiles no sean únicos. Por simplicidad,
si más de una observación satisface la definición de un cuartil, entonces se utiliza
el promedio de ellas como cuartil.
1.3.1 TABLA DE FRECUENCIA.
Tallo de Hojas.
Las técnicas del análisis exploratorio de datos consisten en operaciones
aritméticas sencillas y representaciones fáciles de trazar, que pueden emplearse
para resumir con rapidez los datos. 25
Sin embargo, hay una que se llama diagrama de tallo y hojas, que todavía se
usa mucho para mostrar tanto el orden de rangos como La forma de un conjunto
de datos, en forma simultánea.
Ejemplo:
La información es resultado de un examen de aptitudes de 150 preguntas,
aplicado a 50 personas durante un proceso de selección de personal en Haskens
Manufacturíng. Los datos indican el de respuestas correctas.
A) Ordenamos, de acuerdo con los dígitos iniciales de cada uno, en el lado
izquierdo de una línea vertical.
24
25
MONTGOMERY, Douglas C. Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería. Pág. 20
ANDERSON, Sweeney William. Op. Cit. Pág. 40.
15
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B) A la derecha de esa recta se anota el último dígito de cada dato,
conforme se recorren las calificaciones en el orden en que fueron anotadas.
C) El último dígito de cada dato se coloca en el renglón de los primeros
dígitos del correspondiente.
6
7
9
2
8
3
6
3
6
5
8
6
2
3
1
1
0 4 5
9
7
2
2
6
2
1 5 8 854
10
7
4
8
0
2
6 6 0 6
11
2
8
5
9
3
5 9
12
6
8
7
4
13
2
4
14
1
D) Con esta organización de los datos, es fácil clasificar los dígitos de cada
renglón en su rango (magnitud) correspondiente. Al hacerlo se llega al diagrama
de tallo y hojas que vemos a continuación:
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8
2
0
1
0
2
4
2
1
9
3
1
2
0
3
6
4
3
1
2
2
5
7
5
2
2
4
5
8
6
3
4
6
8
6
4
5
6
9
5 6
5 6 7
6 7 8
9
E) Cada línea de este diagrama se denomina como tallo, y cada dígito en el
tallo es una hoja.
Histograma.
Es la representación gráfica común de datos cuantitativos este resume
grafico se puede preparar con datos que sean resumido anteriormente en una
distribución de frecuencia porcentual. 26
Se traza colocando la variable de interés sobre el eje horizontal y la
26
Idem. Pág. 33
16
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frecuencia porcentual de cada clase trazando un rectángulo, cuya base es el
intervalo de la clase sobre el eje horizontal y cuya altura es la frecuencia
correspondiente.
Pasos para la elaboración de un histograma.
1.- La raíz de todos los s cualitativos.
K= n
Nota: Los rangos deben de ser de 5 ≤ k ≥ 15.
2.- De ¿cuántos valores va a constar cada clase?
Amplitud de clase = (valor máximo – valor mínimo )
o rango
k
3.- Crear las clases o rangos.
4.- Contabilizar las frecuencias de cada clase.
5.- Con los datos obtenidos al contabilizar las frecuencias
el histograma.
elaboraremos
Ejemplo:
Los siguientes datos son resultado de una encuesta realizada a alumnos de
segundo año de secundaria. Obtendremos su histograma.
Calificaciones
70
80
90
75
84
96
85
75
96
72
88
90
90
95
76
72
92
83
73
77
94
95
85
90
70
80
85
77
72
85
88
90
72
83
96
75
82
90
70
96
88
92
80
70
77
70
70
72
90
75
96
85
72
78
80
82
84
86
88
90
84
82
80
78
76
74
90
75
86
90
92
94
96
80
72
94
92
90
88
86
Clases
Frecuencia Frecuencia
(Calificaciones) (Absoluta) (Relativa)
50 - 54
55 - 59
60 - 64
65 - 69
14
6
11
11
14%
6%
11%
11%
90
86
70
86
70
70
75
80
70
75
90
80
85
85
80
80
90
90
75
80
Frecuencia
Absoluta
Acumulada
(ascendente)
z
14
20
31
42
Frecuencia
Absoluta
Acumulada
(descendente)
100
86
80
69
58
17
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Ing. Alejandro Rosete Notario
70 - 74
75 - 79
80 - 84
85 - 89
90 - 94
95 - 99
Probabilidad y estadística.
2011.
I.T.S. de Tepeaca
6
11
7
14
6%
11%
7%
14%
9%
11%
9
11
48
59
66
52
41
34
20
11
0
80
89
100
HISTOGRAMA DE CALIFICACIONES (2º AÑO DE
SECUNDARIA, 2002)
50 - 54 =
14
12
10
FRECUENCIA 8
ABSOLUTA 6
4
2
0
55 - 59 =
60 - 64 =
14
14
11 11
11
6
6
65 - 69 =
9 11
70 - 74 =
7
75 - 79 =
80 - 84 =
1
85 - 89 =
CLASE [Calificacion %]
90 - 94 =
95 - 99 =
HISTOGRAMA DE CALIFICACIONES (2º AÑO DE
SECUNDARIA, 2002)
1,4
1,4
1,4
1,2
1,1 1,1
50 - 54 =
1,1
1,1
1
0,9
FRECUENCIA 0,8
RELATIVA 0,6
0,6
0,6
0,7
55 - 59 =
60 - 64 =
65 - 69 =
70 - 74 =
0,4
75 - 79 =
0,2
80 - 84 =
0
1
CLASE [calificacion %]
85 - 89 =
90 - 94 =
95 - 99 =
ACUMULADA DE LAS CALIFICACIONES DE 2º
AÑO DE PRIMARIA 2002
frecuencia absoluta
acumulada
120
100
100
86
80
80
69
60
58
66
59
52
48
42
40
41
34
31
20
20
14
89
80
20
11
0
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
50 54
55 59
60 64
65 69
70 74
75 79
80 84
85 89
90 94
95 99
CLASE [calificacion % ]
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA
FRECUENCIA ABSOLUTA ACOMULADA DESENDENTE
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