Gráficos estadísticos. Estadígrafo

Tema 12: Estadística y probabilidad
Contenidos: Gráficos estadísticos - Estadígrafos de tendencia central
Nivel: 4° Medio
Gráficos estadísticos. Estadígrafo
1. Distribución de frecuencias
Generalmente se distribuyen los datos en clases (dependiendo de la cantidad
de los datos), entre 5 a 18 clases. Para calcular la magnitud de cada clase se
divide el rango en el número de clases que se necesita o quiere realizar la
distribución, aproximando al impar más cercano.
Marca de la clase es el valor medio entre el límite inferior y el límite superior
de cada clase.
Ejemplo:
Si de 80 datos, el menor es 60 y el mayor es 89, entonces el rango es (89 –
60) = 29; y si se decide formar 6 clases, entonces 29 : 6= 4, 8…, que
aproximado al impar mas cercano es 5, que será la amplitud de cada clase:
Frecuencia absoluta es el número de datos que se repite en cada clase.
Frecuencia total es la suma de las frecuencias absolutas (total de datos).
Frecuencia relativa es un número decimal o fraccionario entre 0 y 1 que
corresponde al cociente entre cada frecuencia absoluta y la frecuencia total:
Frecuencia porcentual es el porcentaje asociado a cada clase y se calcula
multiplicando la frecuencia relativa por 100.
En el ejemplo anterior, ¿cuál es la frecuencia absoluta de la tercera clase?
¿Cuál es la frecuencia total? ¿Cuál es la marca de la última clase? ¿Cuál es la
frecuencia relativa de la primera clase?
En efecto, la frecuencia absoluta de la tercera clase es 43.
La frecuencia total es 25 + 38 + 43 + 36 + 28 + 12 = 182
La marca de la última clase es:
(85 + 89) : 2 = 87
Y la frecuencia relativa de la primera clase es: 25/182 = 0,1373… y su
frecuencia porcentual corresponde a 13,73%.
2. Gráficos estadísticos
2.1 Histograma o gráfico de barras
El histograma es un gráfico de barras en que se presentan las frecuencias
(absolutas, relativas o porcentuales).
En el eje horizontal se ubican los intervalos o datos en cuestión y en el eje
vertical anotamos la frecuencia o frecuencia relativa de cada intervalo o dato.
Es un gráfico en el cual el dato en estudio (o intervalo) es puesto en el eje
horizontal. Para ello se utilizan rectángulos cuyo alto, indicado en el eje Y,
señala la frecuencia del dato en estudio.
Ejemplo 1:
Número de salas de cine en el país:
Ejemplo 2:
Edades de los alumnos de un colegio:
Observa que en este histograma en particular se presentan dificultades para
distinguir las frecuencias de cada intervalo. Para resolver lo anterior, algunas
veces se anota la frecuencia respectiva sobre la columna.
2.2 Gráfico de líneas
Este tipo de gráfico frecuentemente aparece en diarios y revistas, ya que
ilustra con mucha claridad los cambios que tiene alguna variable en estudio.
También se le llama Poligonal y consiste en unir los centros de cada barra del
Histograma.
Ejemplo:
Fluctuación del precio de la gasolina durante un mes:
2.3 Gráfico circular
En el gráfico circular, cada sector circular (por ende cada ángulo central) es
proporcional al valor que corresponde a cada dato.
Ejemplo:
Una encuesta practicada a 180 adultos, para determinar si estos fumaban o
no, se resume en el siguiente gráfico circular:
Ahora, determina la cantidad de personas que nunca han fumado y cuántos no
contestaron la encuesta.
Las preguntas se pueden contestar aplicando los principios de proporcionalidad
directa (ver módulo 1, eje temático “Números y Proporcionalidad”).
El total de personas es 180 y le corresponden 360°, por lo tanto:
, es decir: 10 personas nunca habían fumado.
Por otro lado, a las personas que no contestaron la encuesta les corresponde
un ángulo de: 360°– (90° + 120° + 20° + 80°) = 50°, por lo que planteamos
la proporción:
De modo que 25 personas no contestaron la encuesta.
Los problemas acerca de gráficos de sectores circulares pueden plantearse al
revés, es decir, determinar los ángulos centrales si se conoce la cantidad (o
porcentaje) de cada rubro.
2.4 Pictograma
Es un gráfico donde se ocupa una figura o ícono que representa el dato que se
está estudiando.
Ejemplo:
Número de líneas telefónicas instaladas en una determinada ciudad durante 3
años consecutivos.
2.5 Gráfico ojiva
Ojiva es un gráfico de línea que interpreta el crecimiento acumulado de las
frecuencias absolutas, relativas o porcentuales. Se realiza una tabla de
frecuencias y de frecuencias acumuladas, la que se grafica considerando en el
eje horizontal las clases y en el eje vertical las frecuencias acumuladas.
El gráfico ojiva es siempre creciente en tramos, demostrando los períodos que
son de mayor o menor crecimiento.
En el ejemplo anterior:
Tabla de frecuencias
Datos Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
porcentual
F. absoluta
acumulada
F. relatva
acumulada
1998
1999
2000
May – 20
Jun – 20
Sep – 20
25 %
30 %
45 %
50000
110000
200000
May – 20
Nov – 20
20/20 = 1
50000
60000
90000
F.
porcentual
acumulada
25%
55%
100%
3. Estadígrafos de tendencia central
Los estadígrafos de tendencia central que estudiaremos son la media, la
mediana y la moda.
Estos estadígrafos nos dan los valores donde están centrados los datos según
su frecuencia.
3.1 Media aritmética
La media aritmética también se llama “media” o “promedio aritmético” y es lo
que siempre has ocupado para calcular el promedio de notas.
La media aritmética se calcula dependiendo de cómo se presenten los datos,
pero en general es la suma de los datos dividida por el número de datos.
1. Media aritmética de datos no agrupados
de n datos corresponde a la suma de todos los datos, dividida por
La media
el número de datos.
Se puede escribir como la sumatoria de los datos desde el primero hasta el
dato enésimo, dividido por n, quedando la siguiente fórmula:
Ejemplo:
Si Pedro ha obtenido las siguientes notas en Ciencias:
6,0 – 5,8 – 7,0 – 6,8 – 5,6
Su media aritmética o promedio es:
, lo que se redondea al décimo
como 6,2.
2. Media de datos dados en una tabla de frecuencia
En este caso, se debe multiplicar cada dato por su respectiva frecuencia,
sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos,
esto es:
Ejemplo:
Se ha lanzado un dado 40 veces, obteniéndose los siguientes resultados:
Por lo tanto, su media es:
3. Media de datos agrupados en intervalos
Se define la marca de clase de un intervalo como la media aritmética entre los
extremos de él.
Si llamamos a la marca de clase de un intervalo
conjunto de datos agrupados en intervalos es:
, entonces la media de un
Ejemplo:
La distribución de edades de un conjunto de 50 personas está representada
por el siguiente gráfico:
La media de este conjunto de datos es:
30.86 años, aproximadamente.
4. Media ponderada de datos
En algunas oportunidades, los datos no tienen la misma relevancia, de modo
que cada dato se multiplica por un factor, el cual indica el grado de
importancia que tiene en la muestra; en este caso la media se calcula con la
expresión:
donde pi es un factor del dato xi, el cual viene dado en la situación planteada
en el problema.
Ejemplo:
Un alumno tiene nota 5,0 como promedio de controles que valen un 80% de la
nota final y obtiene un 6,0 en el examen. ¿Cuál es su promedio final?
En este caso el dato 5,0 tiene un factor de 0,8 (80%) y el dato 6,0 tiene un
factor de 0,2 (20%), por lo tanto su media es:
Propiedades de la media
Sean los n datos: x1, x2, x3, x4,...xn, con media
.
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
. Es decir, la suma de
1. La suma de los datos corresponde al producto
los datos se puede determinar multiplicando la media por el número de
datos.
2. Si a cada uno de los datos se le suma (o resta) una cantidad a, la media
aritmética será
3. Si a cada uno de los datos se le multiplica por una cantidad a, la media
aritmética será
.
Ejemplo 1:
Un colegio tiene tres cuartos medios, los que en el último ensayo de Lenguaje
obtuvieron los siguientes puntajes promedio:
Ocupando la propiedad 1, la suma de los puntajes del 4° A es la multiplicación
del promedio por el número de alumnos, esto es:
Suma = 20 · 650 = 13.000
Por lo tanto, la suma de todos los puntajes de los alumnos es:
20 · 650 + 30 · 600 + 25· 580 = 45.500
Así, la media aritmética de los tres cursos es:
Ejemplo 2:
La media aritmética de las edades de tres hermanos es 25 años. ¿Cuál será su
media en tres años?
Dada la propiedad 2, la media aritmética será 28 años.
3.2. Mediana
Si los datos se ordenan en sentido creciente o decreciente, la mediana indica el
dato que se ubica al centro de ellos.
Si el número de datos n es un número impar, entonces la mediana es el dato:
Si el número de datos n es un número par, entonces la mediana es la media
aritmética entre los datos
y
.
Las fórmulas anteriores las puedes obviar si tienes en cuenta que la mediana
es el término central en el caso de que este sea uno, o bien la media de los
términos centrales en el caso de que sean dos.
Ejemplo 1:
Las alturas de 6 integrantes de un equipo de básquetbol (en cm) son las
siguientes: 182 – 175 – 181 – 182 – 178 – 183. ¿Cuál es la mediana?
Primero ordenemos los datos de menor a mayor (o al revés):
175 – 178 – 181 – 182 – 182 – 183.
Como hay dos datos centrales, se calcula la media de ambos datos:
Ejemplo 2:
Se ha consultado la edad a treinta trabajadores de una empresa, obteniendo
los siguientes resultados:
La suma de las frecuencias es 30, por lo tanto, es un número par de datos; la
mediana es la media entre el dato de lugar 15 y el de lugar 16; el dato de
lugar 15 es 23 y el de lugar 16 es 27, por lo tanto:
3.3 Moda
La moda es el dato que más se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia.
Volviendo al ejemplo 1:
Las alturas eran: 182 – 175 – 181 – 182 – 178 – 183; por lo tanto, la moda es
182, ya que es el dato que más se repite.
En el ejemplo 2:
La moda es 23, ya que tiene mayor frecuencia.
A veces los datos no tienen moda.
Por ejemplo, si los datos fueran:
185 – 188 – 183 – 178 – 177, no hay un dato que tenga mayor frecuencia que
los otros.
Hay otras distribuciones que pueden tener más de una moda:
Por ejemplo:
La moda es 16 y 20; y en este caso se habla de una distribución bimodal. No
se pueden tener más de 3 modas.
Sitios sugeridos
Para reforzar tipos de gráficos estadísticos visita el sitio:
http://sapiens.ya.com/matagus/unidad2.htm
Para que refuerces las medidas de tendencia central y los cálculos de los
percentiles, estudia el siguiente sitio:
http://www.liccom.edu.uy/bedelia/cursos/metodos/material/estadistica/med_p
os.html
Para que refuerces el cálculo de tendencias centrales según tablas de
frecuencias, visita el sitio: http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node18.htm
Para una visión más general y ampliada sobre estadística, estudia el siguiente
sitio: http://www.southlink.com.ar/vap/MEDIDAS.htm
Si deseas profundizar sobre estadística descriptiva, visita el siguiente sitio:
http://www.unavarra.es/estadistica/I.T.T.Imagen/descriptiva.pdf
Conviene que visites este sitio, donde se esquematiza con ejemplos gráficos el
análisis de los datos estadísticos:
http://endrino.cnice.mecd.es/~jhem0027/estadistica/estadistica02.htm