Física - Ingreso 2013 Docente Fernando Giacomelli Vectores De fi ni c i ón de ve c tor : Un ve ct o r f ijo p u n to A (o rige n ) a l p u nt o B ( e xt re m o ). Módul o de e s u n se gm en t o o rie n t ad o qu e va de l : E s la lo n git u d de l se gmen t o AB , se re p re sen t a p o r Di r e c c i ón de l ve c tor : E s la d ire cció n d e la re ct a qu e co n t ie ne a l ve ct o r o d e cu a lquie r re ct a pa ra le la a e lla . S e nti do de l ve c tor : E l qu e va d e l o rige n A a l e xt re m o B . Do s p un t o s A y B d e te rm ina n d o s ve ct o re s f ijo s y , co n se n t ido d ist in t o , qu e se lla m an ve ct o re s o p ue st o s . Un ve ct o r f ijo e s n u lo cu a nd o e l o rige n y su e xt re m o co in cid e n. V e c tor de pos i c i ón de un punto e n e l pl a no de c oorde na da s E l vector qu e u n e e l origen d e co o rd en a da s O co n un punto P se lla ma vector de posición d e l p u n to P . FÍSICA – Vectores Pág. 1 de 8 Física - Ingreso 2013 Docente Fernando Giacomelli Coor de na da s o compone nte s de un ve c tor e n e l pl ano S i la s co o rde na d as d e A y B so n : L a s coordenadas o componentes del vector so n la s coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen. E je m pl os Ha lla r la s componentes de un vector cuyo s e xt re mo s so n: Un ve ct o r t ie n e d e componentes (5 , −2). Ha lla r la s coordenadas d e A si se co n o ce e l e xt re mo B (1 2 , −3 ). V e c tor es e qui pole nte s Do s ve ct o re s so n e qui pol e nte s cu a nd o t ien e n igu al módul o, di re cc i ón y s e nti do . FÍSICA – Vectores Pág. 2 de 8 Física - Ingreso 2013 Docente Fernando Giacomelli Si y so n ve c tore s e qui pol e nte s , el cu a d rilá t e ro A B CD e s un pa ra l e l ogramo . E j e m pl o : Ca lcu la la s co o rde na d a s d e C p a ra qu e e l cu a d rilá t e ro d e vért ice s: A (-3 , -4 ), B (2 , -3 ), D(3 , 0 ) y C; se a un p a ra le lo gra m o . V e c tor l i bre E l co n jun t o d e to d o s lo s ve ct o res e qu ip o len t e s e n t re sí se lla m a ve c tor l i bre . Ca d a ve c tor fi jo e s u n re p re se n ta n te de l ve c tor l i bre . FÍSICA – Vectores Pág. 3 de 8 Física - Ingreso 2013 Docente Fernando Giacomelli Módul o de un ve c tor E l m ódul o d e u n ve c tor e s la l ongi tud d e l se gme nto o rie n t ad o qu e lo d ef ine . E l m ódul o d e u n ve c tor e s u n núme ro sie m p re pos i ti vo y so la m e nt e e l ve c tor nul o t ie n e m ó du lo c e ro . Cá l c ul o del módul o c onoc i e ndo s us c ompone nte s E je m pl o Cá l c ul o del módul o c onoc i e ndo l a s c oorde na das de los puntos E je m pl o Di s ta nc i a e ntre dos puntos L a di s ta nc i a e ntre dos puntos e s igu a l a l módul o del ve c tor qu e t ie n e d e e xt re mo s d ichos p u nt o s. E je m pl o FÍSICA – Vectores Pág. 4 de 8 Física - Ingreso 2013 Docente Fernando Giacomelli S um a de ve c tore s P a ra s uma r do s ve c tore s l i bres y se e sco ge n co m o re p re se n ta n te s d o s ve ct o re s t ale s qu e e l e x tre mo de un o co in cid a co n e l ori ge n d e l o t ro ve ct o r. Re gl a de l pa ral e logra mo S e t oma n co mo rep re se n ta n te s do s ve c tore s co n e l ori ge n e n c omún , se t ra za n re c ta s pa ra l el a s a lo s ve c tore s o b t en ié nd o se u n pa ra le l ogra mo cu ya d ia go n a l co in cid e co n la su ma de lo s ve ct o re s. P a ra s uma r dos ve c tore s s e s uma n s us re s pe c ti va s c ompone nte s. P r opi e da des de la s uma de ve c tore s As oc i a ti va + ( + ) = ( + = + + = Conmuta ti va E l e me nto ne utro E l e me nto opues to + (− + ) + ) = Re s ta de ve c tores P a ra re sta r d o s ve ct o re s lib re s o p ue st o d e y se su m a co n e l . L a s com po ne n te s d e l ve ct o r re st a se o b t ien e n re st a n do la s co mpo n en t e s d e lo s ve ct o re s. FÍSICA – Vectores Pág. 5 de 8 Física - Ingreso 2013 Docente Fernando Giacomelli E j e m pl o P r oduc to de un núme ro por un ve c tor E l pr oduc to de un núme ro k p o r un ve c tor e s o t ro ve c tor : De i gua l di re cc i ón qu e e l ve ct o r . De l m i s mo se nti do qu e e l ve ct o r s i k e s pos i ti vo . De s e nti do c ontrari o d e l ve ct o r s i k e s ne ga ti vo . De m ódul o L a s com p on en t e s d e l ve ct o r re su lt a n t e se o b t ien en m u lt ip lican d o p o r K la s com po n en t e s d e l ve ct o r. E j e m pl o P r opi e da des de l produc to de un núme ro por un ve c tor A so cia t iva : k · (k' · ) = (k · k') · Dist rib u t iva re sp e ct o a la sum a : k · ( + ) = k · Dist rib u t iva re sp e ct o a lo s e sca la re s : (k + k') · E le me n to n eu t ro : FÍSICA – Vectores 1 · + k · = k · + k' · = Pág. 6 de 8 Física - Ingreso 2013 Docente Fernando Giacomelli Coor de na da s del punto me di o de un s e gme nto S i la s co o rde na d as d e lo s p un t o s e xt re m o s, A y B , so n: Las co o rde n ad a s del p u n to m edio de un se gme n to co in cid e n co n la se m isum a d e la s coo rd e na d a s d e d e lo s p u n to s e xt re mo s . E j e m pl o Ha lla r la s c oordena da s d e l punto me di o de l s e gmento A B . Condi c i ón pa ra qué tre s puntos e sté n a l i nea dos L o s pu n to s A (x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) y C( x 3 , y 3 ) e st á n a lin ead o s sie m p re qu e l o s vect o re s t e n ga n la mism a d ire cción . E st o o cu rre cua n do su s co o rd en ad a s so n p ro p o rcion a les . E j e mpl o Ca lcu la r e l va lo r de a p a ra qu e lo s puntos e s té n al i nea dos . FÍSICA – Vectores Pág. 7 de 8 Física - Ingreso 2013 Docente Fernando Giacomelli V e c tores . E je rc ic ios 1 Da d o e l ve ct o r = (2 , -1 ), d e t e rm in a r d o s ve ct o re s e qu ip o le n te s a sa b ie nd o qu e A (1 , -3 ) y D(2 , 0 ). 2 Ca lcu la e l va lo r d e k sa b ie nd o que e l mó d u lo de l ve ct o r , = (k, 3 ) e s 5 . 3 Si e s u n ve ct o r d e com p on e nt e s (3 , 4 ), h a lla r un ve ct o r u n it a rio de su m isma d ire cción y se n t ido . 4 Da d o s lo s vé rt ice s d e u n t riá n gulo A (1 , 2 ), B (-3 , 4 ) y C( -1 , 6 ), h a lla r l a s co o rd en a da s de l ba rice n t ro . 5 Ha lla r la s co o rd e na d a s de l p u nto C, sa b ie n do qu e B (2 , -2 ) e s e l p u n to m e d io de A C, A ( -3 , 1 ). 6 A ve rigu a r si e st án a lin ea d o s lo s pun t o s: A ( -2 , -3 ), B (1 ,0 ) y C(6 , 5 ). 7 Ca lcu la la s coo rd e na d a s d e D p a ra qu e e l cua drilá t e ro d e vé rt ice s: A (-1 , -2 ), B (4 , -1 ), C(5 , 2 ) y D; se a un p a ra le lo gra m o . 8 L a s co o rd e na d as d e lo s e xt re m o s d e l se gm en t o A B so n : A (2 , -1 ) y B (8 , -4 ). Ha lla r la s coo rd en a da s de l pu n to C qu e d ivid e a l se g m e n to A B e n d o s p a rt e s ta le s qu e AC e s la m it a d d e CB . 9 S i e l se gm e nt o A B d e e xt re mo s A(1 , 3 ), B (7 , 5 ), se d ivid e e n cu a t ro pa rt e s igu a le s, ¿cu á le s so n la s co o rde n ad as d e lo s p un t o s d e d ivisió n ? 1 0 Ha lla r e l sim é t rico d e l p u n to A (4, -2 ) re sp e cto de M(2, 6 ) . FÍSICA – Vectores Pág. 8 de 8