Distribución normal y diseño de aviones

Análisis de Datos y Probabilidad
Grado 10-12
Espacio para las piernas “Legroom”
(Fuente: http://www.thestar.com/ )
Distribución normal y diseño de aviones
1
Introducción
La distribución normal tiene muchos usos en diferentes áreas del
conocimiento. En particular, se puede usar para diseñar objetos que se
ajusten a la mayoría de las personas. Por ejemplo, se usa para diseñar
asientos o sillas dependiendo de las medidas de las extremidades de las
personas. A propósito, ¿alguna vez se ha preguntado por qué las sillas de
un comedor miden más o menos lo mismo de largo y ancho, o las puertas
de los vehículos, entre otros ejemplos? En esta actividad los estudiantes
identificarán el concepto de la distribución normal y cuándo es razonable
usarla para resolver un problema. Además, aplicarán la regla empírica
para resolver problemas de probabilidad asociados con la distribución
normal. Vale la pena mencionar que estos problemas son “normales” en
las pruebas estandarizadas del Departamento de Educación.
Materiales




Plantilla de la actividad.
Tabla de la distribución normal
(adjunta a la plantilla de la
actividad).
Calculadora
Una computadora con Excel
(opcional).
Tiempo Estimado: 50 minutos.
Objetivos de Aprendizaje
Al finalizar la actividad, el estudiante:
1. Identificará las propiedades de la distribución normal.
2. Aplicará la distribución normal para estimar porcentajes y áreas
usando tablas de la distribución normal y la regla empírica.
3. Resolverá problemas reales usando la distribución normal.
Estándares y Expectativas (PR Common Core)
Estándar de Contenido: Análisis de Datos y Probabilidades
ES.E.41.1 Usa la media y la desviación estándar de un conjunto de datos
para ajustarla a una distribución normal y para estimar porcentajes de
población. Sabe que hay conjuntos de datos para los cuales dicho
proceso no es adecuado. Usa calculadoras, hojas de cálculo y tablas para
estimar las áreas bajo una curva normal.
ES.E.41.2 Identifica escenarios donde la distribución normal es de
utilidad. Describe las características de la distribución normal.
Repositorio Virtual para la
Enseñanza de Estadística y
Probabilidad en Escuela Superior
(RepASA)
Disponible en la página web: http://pegasus.uprm.edu/~pedro.torres/RepASA
Distribución normal y diseño de aviones
Este material se distribuye gratuitamente para uso
en los salones de clase. Su venta está prohibida. Su
desarrollo fue posible gracias al apoyo de la
American Statistical Association (ASA), Capítulo de
Puerto Rico de la ASA y el proyecto AFAMaCMatemáticas de la Universidad de Puerto Rico –
Mayagüez.
2
Actividad
Muchas de las aerolíneas de pasajeros han incrementado el número de
asientos en las cabinas para aumentar las ganancias. Esto a su vez
conlleva a la reducción en el espacio entre asientos o espacio para las
piernas (en inglés el “legroom” o “seat-pitch” 1 ), lo cual suele ser
incómodo para los viajeros. Una solución para los viajeros sería dejar
bastante espacio para las piernas. Sin embargo, esa no es una buena
solución para las aerolíneas ya que no pueden acomodar suficientes
asientos que le permiten tener buenos márgenes de ganancia.
En esta actividad vamos a usar la distribución normal para modelar el
largo del muslo de los pasajeros para determinar cuál debería ser el
espacio para las piernas de acuerdo a las medidas de los pasajeros y que
al mismo tiempo le permita a las aerolíneas obtener ganancias. Para este
propósito, se seleccionó una muestra de 30 hombres adultos y se les
tomaron medidas desde las rodillas hasta los glúteos (ver figura). Vamos
a usar hombres adultos porque ellos son los que se espera tengan
medidas más largas que las mujeres y los jóvenes.
Distribuya la hoja de la actividad junto con la hoja de la regla empírica y
la tabla de la distribución normal.
De acuerdo con el períodico Huffingtonpost, las
aerolíneas de Estados Unidos con el espacio más
largo para las piernas son: Jet Blue (33 pulgadas),
Virgin America (32) y Southwest (32). Este espacio
corresponde a sus aviones de mayor uso.
En el mundo, Aeroméxico tiene el espacio más
largo: 34 pulgadas.
Medida
Tabla 1. Largo del muslo (en pulgadas) de 30 hombres.
24.0
22.4
24.0
23.9
23.5
28.8
27.0
29.1
27.6
27.7
Distribución normal y diseño de aviones
25.0
25.6
25.9
25.0
25.0
27.0
26.9
27.0
27.4
27.0
26.0
25.8
26.0
26.1
26.0
26.0
26.3
26.0
26.0
26.2
3
Discusión
1. Construya una tabla de distribución de frecuencias usando un
ancho de clase de una pulgada. Complete la siguiente tabla
(incluya el límite derecho en la clase).
Clase (pulgadas)
(22-23]
(23-24]
(24-25]
(25-26]
(26-27]
(27-28]
(28-29]
(29-30]
Frecuencia
1
4
3
9
8
3
1
1
2. Dibuje un histograma para el largo del muslo usando la tabla de
distribución de frecuencias. Diga qué forma tiene el histograma
y qué significa la forma en términos de la distribución del largo
del muslo de los hombres.
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Matemático alemán. Hizo grandes contribuciones a la
teoría de números, álgebra, estadística, geometría
diferencial, geodesia, geofísica, mecánica,
electroestática, astronomía, teoría de matrices y
óptica. También se le conoce como el Príncipe de las
Matemáticas.
(Fuente: Wikipedia).
La forma de distribución del largo de los muslos es
aproximadamente simétrica. La mayoría de los hombres tienen
medidas alrededor de 26 pulgadas. Hay hombres con longitudes
cercanas a 22 y 30 pulgadas, pero en menor frecuencia. Dado los
resultados anteriores, la distribución normal podría ser un buen
modelo para describir estos datos. Es más, a continuación
mostramos el histograma con la curva normal superpuesta. Esta
curva corresponde a la fórmula de la función de densidad de
distribución normal con el promedio y la desviación estándar de
los 30 datos, calculados en los ejercicios 3) y 4). Esto apoya la idea
que la curva normal, a pesar de no ajustar perfectamente, es un
modelo razonable para describir las longitudes del muslo.
1
Billete de 10 Marcos Alemanes mostrando el rostro
de Gauss y la curva normal con su fórmula.
Actualmente esta moneda fue reemplazada por el
euro.
http://www.cntraveler.com/stories/2014-09-18/which-airline-has-the-most-legroom-a-complete-guide?mbid=synd_huffpo
Distribución normal y diseño de aviones
4
En la distribución normal el promedio, la mediana y
la moda son iguales.
3. Calcule la media aritmética o el promedio del largo del muslo.
Redondee el resultado a una cifra decimal.
𝑥̅ =
𝑥̅ =
22.4 + 23.5 + 23.9 + ⋯ + 27.6 + 28.8 + 29.1
30
46 + 48 + 150 + 260 + 162 + 56 + 58 780.2
=
= 26.00667
30
30
≈ 26 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
4. Calcule la desviación estándar de los datos. Redondee los
cálculos de la tabla a dos cifras decimales y el valor final a una
cifra decimal.
Medida (𝒙𝒊 )
)𝟐
̅
𝒙𝒊 − 𝒙
(𝒙𝒊 − 𝒙
̅
22.4
-3.6
12.96
23.5
-2.5
6.25
23.9
-2.1
4.41
24
-2
4
24
-2
4
25.6
-0.4
0.16
25
-1
1
25
-1
1
25
-1
1
25.9
-0.1
0.01
25.8
-0.2
0.04
26
0
0
26.1
0.1
0.01
26
0
0
26
0
0
26.3
0.3
0.09
Distribución normal y diseño de aviones
Recuerde que la varianza se mide en unidades
cuadradas mientras que la desviación en unidades de
la variable original.
5
𝑠2 =
26.2
0.2
0.04
26
0
0
26
0
0
26
0
0
26.9
0.9
0.81
27
1
1
27.4
1.4
1.96
27
1
1
27
1
1
27
1
1
27.7
1.7
2.89
27.6
1.6
2.56
28.8
2.8
7.84
29.1
3.1
9.61
Total
64.64
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
64.64
64.64
=
=
= 2.2289660 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 2
𝑛 − 1 30 − 1
29
𝑠 = √𝑠 2 = √2.2289660 ≈ 1.492972 ≈ 1.5 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
Regla Empírica: 68.2%, 95.4%, 99.7%
Si la distribución de una variable aleatoria se ajusta a
una distribución normal con promedio 𝜇 y desviación
estándar 𝜎 entonces:
 Aproximadamente el 68.2% de los datos
están dentro de una desviación estándar de
la media: [𝜇 − 1𝜎, 𝜇 + 1𝜎 ].
 Aproximadamente el 95.4% de los datos
están dentro de dos desviaciones estándar
de la media: [𝜇 − 2𝜎, 𝜇 + 2𝜎 ].
 Aproximadamente el 99.7% de los datos
están dentro de tres desviaciones estándar
de la media: [𝜇 − 3𝜎, 𝜇 + 3𝜎 ].
Estos porcientos quizás los encuentren redondeados
en algunas versiones. Por ejemplo, 68%, 95% y
99.7%.
5. Calcule las siguientes cantidades:
Valor
𝑥̅ − 3𝑠
21.5
𝑥̅ − 2𝑠
23
𝑥̅ − 𝑠
24.5
𝑥̅ + 𝑠
27.5
𝑥̅ + 2𝑠
29
𝑥̅ + 3𝑠
30.5
Si los datos siguen aproximadamente una
distribución normal entonces la regla empírica se
debe cumplir. Ahora, si se cumple la regla empírica,
en general, no es cierto que los datos sigan una
distribución normal.
6. Vamos asumir que la distribución normal es una buena opción para
modelar la longitud del muslo de los hombres. Grafique una curva
de la distribución normal e identifique la media de la distribución y
las longitudes correspondientes a ±1, 2, 3 desviaciones estándar del
promedio.
Distribución normal y diseño de aviones
6
Recuerde que si X es el valor de la variable aleatoria
que queremos estandarizar, y μ y 𝜎 es el promedio y
la desviación estándar, respectivamente, entonces el
puntaje estandarizado Z se calcula como
Z=
X−μ
.
σ
Esta cantidad indica a cuántas desviaciones estándar
se encuentra X del promedio de la distribución. En
muchas áreas, tales como psicología, estos puntajes Z
son importantes ya que individuos con puntajes Z
mayores a 3 o menores a -3 son etiquetados como no
típicos de acuerdo a la distribución de los resultados
de las pruebas psicológicas.
Note que si usted tiene el puntaje Z entonces pueden
recuperar el valor de X si conoce el promedio y la
desviación estándar:
X = μ + Zσ.
Para responder los ejercicios del 7) al 13) use la regla empírica de la
siguiente figura:
Figura. Regla empírica de la distribución normal.
7. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre elegido al azar mida 26
pulgadas de largo del muslo?
Sea X: = Medida del muslo de un hombre. Como esta medida
corresponde a una variable aleatoria continua, entonces P(X =
26) = 0. Este resultado es cierto para cualquier variable aleatoria
continua.
8. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre elegido al azar mida más
de 26 pulgadas de largo del muslo?
Z=
X − μ 26 − 26
=
=0
σ
1.5
P(X > 26) = P(z > 0) = 0.5.
Distribución normal y diseño de aviones
7
Note que este resultado se puede deducir rápidamente ya que 26 es
el promedio de la distribución. Como la distribución normal es
simétrica alrededor del promedio, y el promedio es igual a la
mediana, entonces la probabilidad pedida es igual a 0.5.
9.
¿Cuál es la probabilidad de que un hombre elegido al azar mida más
de 29 pulgadas de largo del muslo?
𝑍=
𝑋 − 𝜇 29 − 26
=
=2
𝜎
1.5
𝑃(𝑋 > 29) = 𝑃(𝑍 > 2) ≅ 0.0215.
10. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre elegido al azar mida
menos de 24.5 pulgadas de largo del muslo?
𝑍=
𝑋 − 𝜇 24.5 − 26
=
= −1
𝜎
1.5
𝑃(𝑋 < 24.5) = 𝑃(𝑍 < −1) ≅ 0.1575.
11. ¿Cuál es la probabilidad de que el largo de muslo de un hombre mida
entre 24.5 y 27.5 pulgadas?
𝑍𝑖 =
𝑍𝑠 =
𝑋𝑖 − 𝜇 24.5 − 26
=
= −1
𝜎
1.5
𝑋𝑠 − 𝜇 27.5 − 26
=
=1
𝜎
1.5
𝑃(24.5 < 𝑋 < 27.5) = 𝑃(−1 < 𝑍 < 1)
= 𝑃(𝑍 < 1) − 𝑃(𝑍 < −1) = 0.682.
12. Para ayudar a la distribución de los asientos al diseñar el avión la
aerolínea quiere que aproximadamente el 97% de los pasajeros les
sobre al menos 5 pulgadas de espacio para las piernas. ¿De cuánto
debe ser el espacio entre las piernas (“legroom”)?
Si sumamos los porcientos de la regla empírica, aproximadamente el
97.55% de los individuos caen por debajo de dos desviaciones
estándar del promedio. Esto corresponde a
𝑋 = 𝜇 + 𝑍𝜎 = 26 + 2(1.5) = 29 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠.
Por lo tanto, una aerolínea que quiera que aproximadamente el
97.5% de los pasajeros tenga un sobrante de al menos 5 pulgadas de
espacio para las piernas (“legroom”) debería dejar un espacio de
29+5=34 pulgadas entre las sillas.
Distribución normal y diseño de aviones
8
13. Si una aerolínea diseña su avión con 30 pulgadas de espacio para las
piernas (“legroom”), ¿qué porciento de los pasajeros tiene espacio
suficiente para acomodar sus piernas?
𝑍=
𝑋 − 𝜇 30 − 26
=
≅ 2.67
𝜎
1.5
𝑃(𝑋 < 30) = 𝑃(𝑍 < 2.6667) ≅ 0.9962.
Esta cantidad se obtiene buscando en la tabla de la distribución
normal estándar que se adjunta a la actividad. Note que este
ejercicio no se puede resolver con la regla empírica ya que el puntaje
Z no es igual a ninguno de los valores para ±1, 2, 3 desviaciones
estándares.
Distribución normal y diseño de aviones
9
Adaptaciones e ideas adicionales
Cálculos de probabilidades usando Excel
Las probabilidades anteriores se pueden calcular usando las funciones
NORM.DIST() y NORM.S.DIST() de Excel. La función NORM.DIST() calcula
la probabilidad asociada a un valor de X para una distribución normal con
un promedio y desviación estándar dadas. Es decir, no hay necesidad de
estandarizar a puntajes Z. La función NORM.S.DIST() calcula la
probabilidad de un valor Z en una distribución normal estándar, es decir,
el valor de entrada debe estar estandarizado. Por ejemplo, si queremos
calcular P(X<29) entonces seguimos las siguientes instrucciones:
Si queremos calcular P(X>29) entonces calculamos 1-P(X<9):
=1-NORM.DIST(B4, B1, B2, TRUE)
En lugar de las celdas, usted puede ingresar valores numéricos para el
promedio y la desviación estándar.
De otro lado, si queremos calcular P(X<27), esto es equivalente a calcular
P(Z<0.6667). En este caso podemos usar la función NORM.S.DIST():
Ambas funciones son útiles para hallar probabilidades o valores de X que
no se asocian con la regla empírica.
Existen otras funciones que pueden resolver fácilmente algunos
problemas asociados a la distribución normal. Por ejemplo, supongamos
que queremos saber para qué longitud de muslo el 95% de los individuos
se encuentran por debajo este valor. En este caso podemos usar la
función de Excel que calcula los percentiles en lugar de los valores de la
variable.
=NORM.INV(0.95, 26, 1.5)
La respuesta es 28.47 pulgadas.
Ejercicio
Distribución normal y diseño de aviones
10
Resuelva los ejercicios del 7) al 13) usando Excel. Compare los resultados
con los obtenidos usando la regla empírica.
Estos problemas también los puede resolver usando la tabla de la
distribución normal estándar que se adjunta con la actividad. A
diferencia de Excel, los valores de la variable aleatoria siempre se deben
estandarizar para usar la tabla de valores. Además, en la tabla los
puntajes Z se redondean a dos cifras decimales y las probabilidades a
cuatro cifras decimales. Excel provee respuestas más precisas.
Otras ideas
Para una variante de esta actividad podría indicarles a los estudiantes
que diseñen la distribución de las sillas de un avión para estudiantes de
edades similares. En este caso, pídales a los hombres y mujeres que
recolecten los datos entre parejas del mismo sexo y use esos datos para
llevar a cabo los análisis y responder las preguntas de la actividad.
Los cálculos del promedio y la desviación estándar en los ejercicios 3) y
4) los puede sustituir por el uso de las funciones AVERAGE() y STDEV.S()
de Excel.
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