Fundamentos de termodinámica clásica para

Fundamentos
de termodinámica clásica
para ingeniería
Bibian Alonso Hoyos
Marta Cecilia Mejía
Fundamentos
de termodinámica clásica
para ingeniería
Colección Facultad de Minas 120 años
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
© Bibian Alonso Hoyos • Marta Cecilia Mejía
© Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Colección Facultad de Minas 120 años
ISBN: 978-958-728020-3
Primera edición:
Coordinación Editorial
Oficina de Comunicaciones
Facultad de Minas
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Carrera 80 n.º 65-223 Bloque M1-107
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Corrección de estilo, corrección de prueba y diagramación: Proyectos editoriales
Teléfono: 311 630 94 37
Contenido
1. Conceptos básicos........................................................................
1.1 Ingeniería .............................................................................
1.2 Termodinámica .....................................................................
1.3 Método de la termodinámica ................................................
1.4 Dimensiones y unidades .......................................................
1.4.1 Sistema internacional de unidades ...........................
1.4.2 Sistema inglés de unidades (americano
de ingeniería)............................................................
1.5 Sistemas termodinámicos ....................................................
1.6 Propiedades termodinámicas y sustancia de trabajo .............
1.7 Equilibrio y procesos termodinámicos .................................
Problemas propuestos .....................................................................
1
1
2
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7
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2. Propiedades termodinámicas .......................................................
2.1 Masa y peso ..........................................................................
2.2 Volumen y densidad ..............................................................
2.3 Temperatura ........................................................................
2.3.1 Ley cero de la termodinámica ..................................
2.3.2 Concepto de temperatura .........................................
2.3.3 Medida de la temperatura .........................................
2.3.4 Escalas de temperatura .............................................
2.4 Presión .................................................................................
2.5 Energía ................................................................................
2.5.1 Energía cinética ........................................................
2.5.2 Energía potencial ......................................................
2.5.3 Energía interna .........................................................
2.6 Entropía ..............................................................................
Problemas propuestos .....................................................................
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3. Ecuaciones de balance .................................................................
3.1 Calor ...................................................................................
3.2 Trabajo ................................................................................
3.2.1 Trabajo para vencer fuerzas de fricción .....................
3.2.2 Trabajo para levantar un peso ...................................
3.2.3 Trabajo para acelerar un sistema ..............................
3.2.4 Trabajo en procesos con resortes ..............................
3.2.5 Trabajo en procesos eléctricos ..................................
3.2.6 Trabajo de expansión o compresión para
procesos en sistema cerrado .....................................
3.2.7 Trabajo de flujo .........................................................
3.2.8 Trabajo en el eje ........................................................
3.3 Ecuaciones de balance .........................................................
3.3.1 Balance de masa .......................................................
3.3.2 Balance de energía ....................................................
3.3.3 Balance de entropía ..................................................
Problemas propuestos .....................................................................
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42
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43
4. Consecuencias de la segunda ley de la termodinámica ................
4.1 Postulados de la segunda ley de la termodinámica ..............
4.2 Máquinas térmicas ..............................................................
4.3 Refrigeradores y bombas de calor ........................................
Problemas propuestos .....................................................................
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5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras mediante
diagramas y tablas ......................................................................
5.1 Reglas de las fases de Gibbs .................................................
5.2 Relaciones fundamentales para una sustancia pura..............
5.3 Superficie P-v-T y diagramas de propiedades .........................
5.3.1 Diagrama presión temperatura (diagrama
de fases) ....................................................................
5.3.2 Diagrama presión volumen específico .......................
5.3.3 Diagrama temperatura volumen específico ...............
5.3.4 Diagrama temperatura entropía ...............................
5.3.5 Diagrama entalpía entropía ......................................
5.3.6 Diagrama presión entalpía ........................................
5.4 Calidad y humedad ..............................................................
5.5 Tablas de propiedades ..........................................................
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99
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100
100
101
105
5.5.1 Interpolación de propiedades tabuladas .................... 107
5.6 Capacidad calorífica ............................................................ 110
Problemas propuestos ..................................................................... 112
6. Cálculo de las propiedades de los gases ideales ...........................
6.1 Propiedades de los gases ideales ..........................................
6.1.1 Relaciones P-v-T para gases ideales ............................
6.2.2 Relaciones para calcular energía interna (u),
entalpía (h) y entropía (s) de gases ideales ...............
6.2 Datos tabulados de propiedades de gases ideales .................
6.2.1 Tabulación de la energía interna, la entalpía
y la entropía de gases ideales ....................................
6.2.2 Presión relativa y volumen relativo............................
6.3 Procesos reversibles con gases ideales .................................
Problemas propuestos ......................................................................
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7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras por medio
de relaciones ...............................................................................
7.1 Relaciones P-v-T ....................................................................
7.1.1 Ecuaciones de estado cúbicas ...................................
7.1.2 Ecuación virial ..........................................................
7.1.3 Relaciones P-v-T mediante correlaciones
generalizadas ............................................................
7.1.4 Propiedades P-v-T para líquidos .................................
7.2 Cálculo de otras propiedades de sustancias puras
en una sola fase ...................................................................
7.2.1 Relaciones de Maxwell...............................................
7.2.2 Cálculo de propiedades de sustancias puras
por correlaciones generalizadas ................................
7.2.3 La propiedad fugacidad, su función
y su cálculo ...............................................................
7.3 Cálculo de propiedades en sistemas difásicos ......................
Problemas propuestos .....................................................................
161
164
169
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos .............
8.1 Energía disponible y energía no disponible...........................
8.1.1 Energía disponible ....................................................
8.1.2 Disponibilidad de la energía en tránsito....................
8.1.3 Pérdida de disponibilidad .........................................
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134
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8.2 Balance de disponibilidad .....................................................
8.3 Eficiencia exergética ............................................................
8.3.1 Eficiencia de una máquina térmica ...........................
8.3.2 Eficiencia de un refrigerador ....................................
8.3.3 Eficiencia de una bomba de calor .............................
8.3.4 Eficiencias de bombas y compresores .......................
8.3.5 Eficiencia de una turbina .........................................
8.3.6 Eficiencia de un intercambiador de calor .................
8.3.7 Eficiencia de toberas .................................................
8.4 Análisis termodinámico de procesos ....................................
Problemas propuestos ......................................................................
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183
183
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184
184
184
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191
9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos ........................
9.1 Balance de energía mecánica ...............................................
9.1.1 El trabajo perdido en el flujo de fluidos ....................
9.1.2 Aplicaciones del balance de energía mecánica ..........
9.2 Flujo a través de toberas y difusores ....................................
9.2.1 La velocidad del sonido .............................................
9.2.2 Propiedades de estancamiento ..................................
9.2.3 Flujo adiabático reversible en conductos
de sección transversal variable ..................................
9.2.4 Eficiencia de toberas .................................................
9.3 Procesos de compresión y expansión en flujo estable ...........
9.3.1 Expansión en turbinas...............................................
9.3.2 Flujo en compresores ................................................
Problemas propuestos .....................................................................
195
195
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202
204
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración .....................
10.1 Ciclos de potencia .............................................................
10.2 Ciclos de potencia de gas .................................................
10.2.1 Ciclo de Brayton o ciclo de turbina de gas
básico ..................................................................
10.2.2 Ciclos para modelar máquinas de combustión
interna ................................................................
10.3 Ciclos de potencia de vapor .............................................
10.3.1 Ciclo de Carnot ...................................................
10.3.2 Ciclo de Rankine .................................................
10.3.3 Regeneración en plantas de potencia de vapor....
viii
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216
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230
231
234
10.3.4 Recalentamiento en las plantas de potencia
de vapor...............................................................
10.4 Cogeneración: producción de potencia y calor ................
10.5 Ciclos de refrigeración .....................................................
10.5.1 Sistema de refrigeración de gas ..........................
10.5.2 Sistemas de refrigeración de vapor .....................
Problemas propuestos .....................................................................
238
241
241
242
244
246
11. Referencias bibliográficas .......................................................... 251
ix
Introducción
El esfuerzo realizado para presentar este trabajo, obedece principalmente
a la necesidad de tener un texto de principios de termodinámica clásica
que enfatice en los balances de materia, energía, entropía y disponibilidad
y en el cual estos temas se presenten de una manera ordenada, integrada y
global.
Contrario a la gran mayoría de textos que tratan el tema (en los cuales se
presentan los balances en forma segmentada o particularizada para diversos casos y donde parece primar la idea de que lo importante es el cálculo
de propiedades en sí mismo), este libro nace de la convicción de que los
estudiantes pueden adquirir una mayor comprensión de la termodinámica
conociendo su panorama global para simplificar luego las relaciones más
generales a las situaciones particulares ante las que se encuentre. Con
este objetivo, se presenta una descripción macroscópica de la materia en
forma de los balances generales de masa, energía, entropía y disponibilidad
con aplicaciones a diversos procesos y dispositivos. Es importante resaltar
aquí también, el esfuerzo realizado para lograr una presentación ordenada
del balance de energía, que permita a los estudiantes enlazar este nuevo
concepto al de los balances previamente estudiados.
Como este libro está escrito con la intención de que pueda utilizarse en el
primer curso de termodinámica para estudiantes de ingeniería, creemos
que no es necesario abrumarlos con una gran cantidad de conceptos y
nuevas técnicas de cálculo; por tanto, estimamos que es suficiente con
aplicar los conceptos de los balances a procesos en los cuales solo están
involucradas sustancias puras; dejamos pues el cálculo de propiedades de
mezclas y de sistemas con reacción química a cursos posteriores, cuando
el concepto de balance tenga madurez.
El hecho de enfatizar en los balances no implica descuidar la presentación
del cálculo de propiedades de sustancias puras. Es por esto que presentamos este tema en tres capítulos consecutivos intentando recopilar en ellos
las técnicas de cálculo de más amplio uso en la actualidad y que, además,
sean un compromiso satisfactorio entre una descripción correcta de las
sustancias y la complejidad del cálculo.
1. Conceptos básicos
1.1 Ingeniería
Es difícil dar una explicación de ingeniería en pocas palabras, pues se puede
decir que la ingeniería comenzó con el hombre mismo, pero se puede intentar
dar un bosquejo general de la ingeniería como una profesión. La definición
dada por el Accreditation Board for Engineering and Technology es:
La ingeniería es la profesión mediante la cual se aplican racionalmente
los conocimientos de las matemáticas y de las ciencias naturales, adquiridos por el estudio, la experiencia y la práctica, al desarrollo de métodos
económicos de utilización de los materiales y las fuerzas de la naturaleza para
beneficio de la humanidad.
Se puede ampliar un poco más la definición y decir que los conocimientos
que un ingeniero necesita aplicar racionalmente en la actualidad, para llevar a
cabo un buen desempeño, abarcan muy diversas áreas (además de las matemáticas y las ciencias naturales); podemos mencionar las ciencias de ingeniería
(termodinámica, fenómenos de transporte, cinética), las ciencias sociales y
humanas (economía, historia, sociología), la legislación y la ética, entre otras.
Pero como lo menciona la cita anterior, estos conocimientos adquiridos por
el estudio alcanzarán su máxima utilidad en el ingeniero a medida que este se
enfrente a problemas cada vez más complejos, para cuya solución es necesario
recurrir al conocimiento adquirido por medio de la experiencia; y esto requiere
a menudo hacer gala de sentido común y creatividad.
Con estos conocimientos anteriormente mencionados (y por supuesto, con
nuevos descubrimientos o teorías en esas áreas del conocimiento), y siempre teniendo en cuenta los recursos disponibles, el ingeniero puede crear,
diseñar, operar y optimizar procesos que transformen dichos recursos
con miras a obtener un producto (bien o servicio) que satisfaga alguna
necesidad de la sociedad. El ingeniero deberá por tanto estar atento, no
solo a encontrar soluciones tecnológicamente factibles, sino también a
preguntarse si esa solución satisface las necesidades de la sociedad. Esto
implica, por supuesto, que el ingeniero debe cuidar al máximo los recursos
ambientales y, en la medida de sus posibilidades, que el proceso para llegar
a un producto final los afecte en la menor medida.
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
En la figura 1.1 se presenta un esquema que resume la anterior exposición
de la ingeniería como una profesión.
Figura 1.1 Esquema de la ingeniería como profesión
1.2 Termodinámica
Como se mencionó, la termodinámica hace parte de las herramientas
que debe tener un buen ingeniero para su desempeño eficiente, y puede
considerarse dentro de esa perspectiva como un puente entre los conocimientos de las ciencias naturales y los conocimientos de las ciencias de
ingeniería.
La termodinámica nació como una forma de estudiar y comprender mejor
dispositivos que producen energía mecánica a partir del calor (de allí su
nombre, el cual significa: potencia obtenida a partir del calor) y no es extraño
encontrar en los primeros libros sobre el tema definiciones como “Termodinámica es la ciencia que trata de las relaciones entre calor y trabajo”. En
la actualidad, se considera a la termodinámica como un área con un mayor
alcance y que se podría definir como “El estudio de las transformaciones
energéticas y las restricciones a estas transformaciones mediante la observación y la medición de propiedades macroscópicas de las sustancias en
condiciones de equilibrio o cerca de este”.
Algunas de las palabras claves de esta definición como energía, propiedad,
sustancia y equilibrio, se explicarán y definirán con mayor detalle. Por ahora
se puede decir que el análisis de estas transformaciones descansa en unos
postulados o leyes (llamadas las leyes de la termodinámica) que no se han
demostrado matemáticamente; su validez se basa en la experiencia recogida
por la humanidad durante años de observación de la naturaleza. Dentro de
las restricciones que impone la termodinámica no se ha encontrado ningún
proceso que incumpla con los postulados, y es claro que ellos serán válidos
2
1. Conceptos básicos
mientras no se hallen procesos o situaciones que los contradigan (momento
en el cual será la hora de desarrollar una nueva teoría).
En la última definición también se habla de un enfoque macroscópico (a
gran escala) de la naturaleza. Este enfoque, llamado termodinámica clásica, no considera por tanto los cambios ni procesos que ocurren a escala
microscópica o molecular. Por ello, al estudiar los efectos globales, no es
necesario tener un modelo de la estructura atómica de las sustancias, de
allí que los nuevos descubrimientos o teorías en este campo no modifican la
validez de los postulados de la termodinámica. La estructura de la termodinámica clásica es relativamente simple debido a que sus conceptos son más
fácilmente aceptables intuitivamente y a que las matemáticas involucradas
en su estudio no contienen mayor complejidad o nivel de abstracción; esta
estructura simple involucra alguna desventaja: aunque por medio de la
termodinámica clásica se pueden predecir las relaciones entre las propiedades de las sustancias, no puede mostrar por qué tales relaciones tienen
una forma particular. Afortunadamente, en la mayoría de las aplicaciones
de ingeniería, es más importante conocer los efectos globales que tener
un conocimiento detallado de lo que ocurre a nivel atómico.
En situaciones donde el enfoque macroscópico no es adecuado (como,
por ejemplo, cuando se hacen estudios de sustancias a alta temperatura y
presión en procesos de generación de energía magnetohidrodinámica), se
debe emplear un estudio basado en el comportamiento estadístico de gran
número de partículas (grupos del orden de 1020 o superiores). Este enfoque,
llamado termodinámica estadística, requiere un modelo de la estructura de
las sustancias, y combina técnicas de cálculo estadístico y teoría de probabilidades con conocimientos de teoría cuántica. Por esto, las matemáticas
requeridas por la termodinámica estadística son bastante más complejas
que las requeridas por la termodinámica clásica, pero esta complejidad es
recompensada por la posibilidad de predecir y explicar el comportamiento
macroscópico de la materia.
Como se mencionó, la mayoría de los problemas de ingeniería solamente
requieren un análisis del efecto global de los procesos sobre las sustancias; es
por eso que la presentación de la termodinámica en este libro tendrá esencialmente un enfoque clásico, el cual permite soluciones a menudo más simples y
una más fácil comprensión e interpretación de los resultados obtenidos.
En la definición de termodinámica se dice que los estudios se hacen entre
estados de equilibrio (o cerca del equilibrio). Esto quiere decir que solo se
consideran las características o propiedades de las sustancias antes y después de un proceso de cambio y no durante dicho proceso, ni se estudia el
mecanismo o la velocidad a la cual se lleva a cabo la transformación.
O en otras palabras, la termodinámica puede predecir lo que va a ocurrir
en un caso determinado, pero no dirá nada acerca de la velocidad a la que
ocurrirá ni cuál es el mecanismo involucrado.
3
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
1.3 Método de la termodinámica
Para el estudio de procesos de transformación energética, la termodinámica ha desarrollado un método claro y un modo de obrar que permite,
como ya se dijo, soluciones relativamente simples a problemas reales de
ingeniería. Este método de análisis termodinámico se puede resumir en
lo siguiente:
1. Análisis de las diferentes formas de energía que pueden estar involucradas en un proceso particular.
2. Conocimiento de las propiedades de las sustancias que están relacionadas con los procesos de transformación energética.
3. Determinación de la forma de medir estas propiedades y búsqueda de
las relaciones que permitan asociar propiedades de difícil medición con
otras cuya medición pueda ser más directa o sencilla.
4. Evaluación de la eficiencia de la transformación energética que ha
tenido lugar.
Para ilustrar este método con un ejemplo, considérese el dispositivo mostrado en la figura 1.2 (una máquina térmica).
Figura 1.2 Máquina térmica para la producción de energía eléctrica
El principal objetivo de esta máquina térmica es transformar energía
química del combustible (petróleo, carbón, gas, etc.) en la cámara de
combustión en energía eléctrica. Por esta máquina circula una sustancia
(llamada comúnmente sustancia de trabajo) que será la encargada de
recibir y entregar los flujos energéticos involucrados y sufrirá cambios en
sus propiedades a medida que pasa por cada uno de los equipos.
Por medio de la determinación de las propiedades de la sustancia en los puntos
1, 2, 3 y 4 (condiciones anteriores y posteriores de la sustancia en cada uno
de los equipos) y un análisis termodinámico, se puede establecer cuánta de
la energía entregada a la sustancia de trabajo en la cámara de combustión
4
1. Conceptos básicos
se convirtió realmente en energía eléctrica, así como la magnitud de los
diferentes flujos energéticos involucrados en todo el proceso. Cabe resaltar
que la cuantificación de los flujos energéticos dependerá solo del valor de las
propiedades de la sustancia de trabajo en cada punto y no de la naturaleza de
la sustancia utilizada (esta característica tan importante, será explicada con
mayor detalle en capítulos posteriores).
Por último, cabe anotar que los resultados que se pueden obtener de un análisis termodinámico de una situación en particular, dependen en gran medida
de la “confiabilidad” de los datos que están disponibles. Es decir, que a medida
que los datos de las propiedades de las sustancias se determinen con mayor
exactitud, se obtendrán resultados (por medio de análisis termodinámicos)
más ajustados a la realidad. Por esto en la actualidad la consecución de datos
más confiables de las propiedades y la búsqueda de mejores relaciones entre
ellas es uno de los campos de mayor actividad investigativa.
1.4 Dimensiones y unidades
Cualquier medida física tiene dimensiones y debe ser expresada en las unidades correspondientes a estas dimensiones de acuerdo con un sistema de
unidades particular. Dimensión es el nombre que se le da a las cantidades
físicas: longitud, masa, tiempo, etc. Unidad es la medida de la dimensión;
por ejemplo, pie, metro, y milla son unidades de la dimensión longitud.
Expresar una aceleración como 9,8 no tiene sentido; si se agrega la unidad
correspondiente de un determinado sistema y se dice por ejemplo que la
aceleración es 9,8 m/s2, esta información adquiere sentido. Para trabajos
científicos y de ingeniería, deben usarse las unidades de medida del Sistema
internacional de unidades (S.I.).
El gobierno colombiano expidió el decreto ley 2416 de diciembre de 1971 por
medio del cual se adopta el S.I. como sistema métrico oficial. Sin embargo,
debido a que en la bibliografía poco reciente, así como en la calibración de
algunos instrumentos, se utilizan unidades de otros sistemas, es indispensable saber trabajar e interpretar información de ellos (en especial el inglés de
ingeniería) y saber convertir unidades de un sistema a otro.
Cada sistema escoge un grupo de dimensiones fundamentales (de acuerdo con
un patrón estricto y reproducible) y las unidades asignadas a estas dimensiones
son unidades básicas. Las unidades asignadas a aquellas dimensiones que no
pertenezcan al grupo escogido recibirán el nombre de unidades derivadas.
Por ejemplo, si un sistema escoge la longitud como dimensión fundamental,
el área será una cantidad física derivada.
Los sistemas de unidades se clasifican en:
— Absolutos: aquellos donde las unidades de fuerza y energía son derivadas, como el S. I.
5
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
— Gravitacionales: los que no cumplen la condición anterior; para ellos la
fuerza es una dimensión fundamental definida con base en la fuerza de
atracción gravitacional al nivel del mar, un ejemplo es el sistema inglés.
1.4.1 Sistema internacional de unidades
Está sustentado en siete unidades básicas y dos suplementarias como se
indica en la tabla 1.1.
Tabla 1.1 Unidades básicas del sistema internacional de unidades
Dimensión física
Símbolo
Unidad
Símbolo
Longitud
L
metro
m
Masa
M
kilogramo
kg
Tiempo
θ
segundo
s
Intensidad eléctrica
I
amperio
A
Temperatura
T
kelvin
K
Intensidad luminosa
C
candela
cd
Cantidad de sustancia
N
mole
mol
Ángulo plano
radián
rad
Ángulo sólido
estereorradián
sr
En este sistema algunas definiciones de unidades son:
— Metro: longitud igual a 1.650.763,73 veces la longitud de onda en el
vacío, de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles
2p10 y 5d5 del átomo de kriptón 86.
— Segundo: duración de 9,192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
Las ventajas del S. I. son:
1. El producto o el cociente de dos o más de sus dimensiones da como
resultado la unidad derivada correspondiente, por ejemplo, área: L × L,
(m × m) = m2; fuerza M × L / θ2, (kg × m/s2) = N (newton).
2. La unidad de fuerza es independiente de la aceleración debida al campo
gravitatorio terrestre y por tanto será unidad derivada, en cambio, en
sistemas gravitacionales, la fuerza es una cantidad física fundamental
y su unidad estará definida estrictamente.
6
1. Conceptos básicos
3. Los factores de proporcionalidad para obtener unidades derivadas de las
básicas son siempre la unidad: 1 J ( j oule) = 1 N × 1 m = 1 W × 1 s.
1N =
1 kg × 1 m
1 s2
4. Se utiliza exclusivamente el sistema arábigo de numeración con base
10 y se usan prefijos para facilitar el trabajo (véase tabla 1.2).
Tabla 1.2 Prefijos para formar los múltiplos y submúltiplos del sistema internacional de unidades
Múltiplos
Prefijo
Símbolo
Factor de multiplicación
Exa
E
1018
Penta
P
1015
Tera
T
1012
Giga
G
109
Mega
M
106
Kilo
k
103
Hecto
h
102
Deca
da
101
Submúltiplos
Prefijo
Símbolo
Factor de multiplicación
Deci
d
10–1
Centi
c
10–2
Mili
m
10–3
Micro
µ
10–6
Nano
n
10–9
Pico
p
10–12
Femto
f
10–15
Atto
a
10–18
1.4.2 Sistema inglés de unidades (americano de ingeniería)
Tiene las dimensiones fundamentales con sus unidades básicas (véase
tabla 1.3).
La libra fuerza está definida como: La fuerza necesaria para acelerar una
masa de 1 lbm a 32,174 pies/s2 siendo esta la aceleración del campo gravitatorio terrestre en el ecuador, a nivel del mar.
La ley de Newton puede emplearse para ver cual es la situación con respecto
a la conversión de unidades dentro de un mismo sistema.
7
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Tabla 1.3 Dimensiones fundamentales y unidades básicas del sistema inglés
Dimensión física
Símbolo
Unidad
Símbolo
Longitud
L
pie
ft
Masa
M
libra masa
lbm
Tiempo
θ
segundo
s
Fuerza
F
libra fuerza
lbf
Temperatura
T
grado ranking
0R
Corriente eléctrica
I
ampere
A
Intensidad luminosa
C
candela
cd
F ∞ Μ × a, F =
M×a
gc
(1.1)
En la cual
F : Fuerza.
M : Masa.
a : Aceleración.
gc : Constante, cuyo valor numérico y unidades dependen del sistema de
unidades elegido y tiene dimensiones de (M × L / F ×θ2).
En el S.I. el newton está definido como la fuerza necesaria para acelerar 1
kg, con una aceleración de 1 m/s2:
1N=
1 kg × 1 m
s2 × gc
M×a
1 kg × 1 m/s2
kg × m
=
=
F
1N
N × s2
En el sistema gravitatorio inglés como se mencionó
gc =
1 lbf = 1 lbm × 32,174
luego
pie
s2 × gc
lbm × pie
s2 × gc
Puesto que en la mayoría de los campos científicos se trabaja con unidades del
S. I., la omisión del gc no causa problemas; es casi universal la práctica de no
incluir gc en las ecuaciones donde aparece conversión de unidades de masa a
fuerza. Sin embargo, la omisión del gc en el sistema inglés es desastrosa.
Por otra parte, en ingeniería es muy importante comprobar la homogeneidad dimensional de cualquier ecuación, o sea que las dimensiones del lado
derecho de la ecuación deben ser las mismas que las del lado izquierdo.
gc = 32,174
8
1. Conceptos básicos
Ejemplo 1.1
Establecer si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea
En la cual
P : Presión.
V : Volumen que fluye por unidad de tiempo.
g : Aceleración de la gravedad.
d1 y d2 : Diámetros de boquillas.
A : Área de descarga de boquilla.
ρ : Densidad del fluido.
c : Constante.
Solución
Para que sea consistente en cuanto a dimensiones debe ser una ecuación
dimensionalmente homogénea
De acuerdo con el análisis dimensional, c no puede ser una constante
adimensional, debe tener dimensiones de [θ/L1/2].
Ejemplo 1.2
La pérdida de presión total a través de un plato de una columna de destilación es
Para ht [pulg], ρL, ρv [lbm/pie3], g [pie/s2], Vd [lbm/h], Ad y AE [pie2]. Se
desea transformar la ecuación para que pueda aplicarse directamente con
h't [cm], ρL′, ρϖ′ [kg/m3], g′ [m/s2], Vd′ [kg/h], Ad′ y AE′ [cm2]. ¿Por qué la
presión está dada en unidades de longitud?
9
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Solución
Para transformar la relación original que tiene validez en unas unidades
determinadas, en una relación similar pero expresada en otras unidades,
es necesario relacionar cada una de las variables expresadas en las dos
unidades mediante factores de conversión, así
ht [pulg] = h't [cm]
1 pulg
2,54 cm
Luego
ht = 0,394 h't
De la misma manera para las otras variables
luego
ρv = 0,0623 × ρ′v
En la misma forma se tiene que
ρL = 0,0623 × ρ′L
además
por tanto
g = 3.281 × g′
luego
Vd = 2,2 × V′d
Ad [pie2] = A'd [cm2] ×
1 pie2
929 cm2
luego
Ad = 1,08 × 10-3 A′d
De la misma forma
AE = 1,08 × 10-3 A′E
Reemplazando en la ecuación original
por tanto
10
1. Conceptos básicos
1.5 Sistemas termodinámicos
Sistema, en termodinámica, se puede definir como toda aquella parte
del universo que se separa para su estudio. Esta separación se hace por
medio de superficies que pueden ser reales, como las paredes de un
equipo (tanque, compresor, etc.), o pueden ser imaginarias, como la
delimitación de una determinada cantidad de fluido que circula a través
de una tubería. El resto del universo y por supuesto, todos los otros sistemas termodinámicos que estén por fuera de esta frontera, se llamarán
alrededores o ambiente.
Dependiendo del tipo de interacciones entre el sistema y los alrededores
permitidas por la frontera, los sistemas se pueden clasificar como abiertos,
cerrados o aislados. En un sistema abierto, la frontera permite el intercambio de materia entre él y los alrededores, además podrá también permitir el
flujo de energía. Sistema cerrado es aquel en el cual la frontera permite el
flujo de energía (como calor o trabajo), pero es impermeable al paso de la
materia y por tanto este tipo de sistemas mantienen su masa constante. En
un sistema aislado la frontera no permite el flujo de materia ni de energía
entre el sistema y los alrededores. Siempre que se consideren un sistema
y sus alrededores juntos, estos constituirán un sistema aislado.
Se puede observar de la clasificación anterior, que un sistema termodinámico puede presentar interacción con los alrededores como: flujo o
intercambio de materia y flujo o intercambio de energía (el cual se divide
en flujo de calor y flujo de trabajo). En la figura 1.3 se presentan diferentes
tipos de sistemas.
La frontera puede también recibir un nombre específico dependiendo de sus
características: una frontera rígida es aquella que no permite que el volumen
del sistema cambie; una frontera diatérmica es la que permite el flujo de energía
en forma de calor hacia o desde el sistema (cuando dos o más sistemas están
conectados por medio de una frontera diatérmica se dice que están en
contacto térmico); una frontera adiabática es aquella que no permite el
intercambio de energía térmica entre el sistema y los alrededores. Las
fronteras reales que se encuentran en la naturaleza son generalmente
diatérmicas y aunque una frontera adiabática es una situación ideal,
puede suponerse que existe una frontera adiabática entre un sistema
y sus alrededores si la cantidad de energía térmica transmitida es muy
pequeña comparada con las cantidades de otros tipos de interacción
energética. En años recientes se han desarrollado materiales llamados
súperaislantes que pueden ser considerados para todos los propósitos
como una frontera diabática.
11
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 1.3 Ejemplo de varios tipos de sistemas. a. Sistema cerrado: el fluido.
b. Sistema abierto: la sustancia que está en la bomba. c. Sistema aislado:
bloques A y B.
1.6 Propiedades termodinámicas
y sustancia de trabajo
La sustancia que constituye el sistema y que permite las diferentes transformaciones energéticas mediante la variación de algunas de sus características
macroscópicas distintivas es llamada la sustancia de trabajo, la cual puede
ser una sustancia pura o una mezcla de sustancias puras. Las características
distintivas de la sustancia de trabajo reciben el nombre de propiedades y son
las cantidades que se pueden especificar para dar una descripción macroscópica de la sustancia. Estas propiedades pueden ser de medición directa (por
ejemplo masa, volumen, temperatura, presión, etc.) o pueden ser medidas
indirectamente o calculadas por medio de relaciones matemáticas (como
entropía). Cualquier tipo de combinación entre propiedades, como por ejemplo el producto o suma de varias propiedades, es también una propiedad,
o en otras palabras, se pueden obtener nuevas propiedades mediante una
relación matemática de otras propiedades, esta es una característica que
será de gran utilidad en estudios termodinámicos.
12
1. Conceptos básicos
Para describir completamente la condición física de una sustancia en un
instante dado es necesario caracterizarla por medio del conocimiento de
la magnitud de sus propiedades observables y el conocimiento de la fase
(o fases) en que se encuentra la sustancia. Una descripción de este tipo es
llamada el estado termodinámico de una sustancia. Por ejemplo, el estado
termodinámico de una sustancia en un momento dado puede ser: una masa
de 60 kg la cual ocupa un volumen de 80 l y que está en fase líquida y vapor
(dos fases) cuando se mantiene a la temperatura y presión del ambiente.
El valor de las propiedades que caracterizan a una sustancia debe ser independiente de la forma como se llegó a ese estado. Es decir, si un sistema está cambiando sus propiedades (su estado termodinámico) el valor que ellas alcancen
no dependerá de cómo se realice este cambio. Las propiedades que cumplen la
anterior condición son llamadas propiedades de estado o propiedades de punto.
Las propiedades que toman diferentes valores dependiendo de la forma en que se
han efectuado estos cambios son llamadas funciones de línea o de trayectoria.
Considere, por ejemplo, la figura 1.4 en la cual la propiedad h puede cambiar
entre los estados 1 y 2 por tres trayectorias diferentes, h será una propiedad
termodinámica de estado si el cambio en su valor es independiente de la
trayectoria seguida
Cambio en la propiedad =
(1.2)
Las propiedades se pueden clasificar también como intensivas o extensivas. Las
propiedades intensivas son aquellas que no dependen de la cantidad de sustancia
que hace parte del sistema (como presión, temperatura, concentración). Las
propiedades extensivas son las que dependen de la masa del sistema, algunas
de estas propiedades son la masa, el volumen, la energía, etc. Las propiedades
extensivas pueden transformarse a propiedades intensivas mediante su división
por la masa o por la cantidad de sustancia (moles) del sistema, este tipo de
propiedades son llamadas propiedades específicas. Considerando nuevamente
la propiedad h anteriormente mencionada en la figura 1.4 se puede decir que
el valor específico (h) de la propiedad extensiva (H) se puede obtener de la
siguiente manera
h = H/M
o se puede obtener el valor específico molar (h) como
= H/Número de moles
1.7 Equilibrio y procesos termodinámicos
Se dice que una sustancia está en equilibrio termodinámico con sus alrededores si es incapaz de experimentar espontáneamente algún cambio en su
estado cuando está sometido a las condiciones que le imponen los alrededores. Se dice que cualquier sistema aislado alcanzará el equilibrio termodi13
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 1.4 Función de estado
námico después de permanecer un tiempo prolongado sin estar sometido a
interacciones. Si en un sistema todas las fuerzas dentro de él se contrarrestan
exactamente y a su vez contrarrestan a las fuerzas externas, se dice que el
sistema y los alrededores están en equilibrio mecánico. Si la temperatura
dentro del sistema es uniforme e igual a la temperatura de los alrededores,
se tendrá entonces un equilibrio térmico. Cuando la composición química
del sistema no sufre ningún cambio entonces se dice que el sistema está en
equilibrio químico. El equilibrio termodinámico implica que los equilibrios
mecánico, térmico y químico deben cumplirse al mismo tiempo.
Cuando un sistema está cambiando de un estado termodinámico a otro, se
dice que está experimentando un proceso, y el conjunto de todos los estados
por los que pasa un sistema durante un proceso es denominado la trayectoria
del proceso. Las características particulares de una trayectoria son utilizadas
muchas veces para dar nombre a los procesos:
1. Proceso isométrico: es aquel que se da por medio de una trayectoria a
volumen constante.
2. Proceso isobárico: es el proceso que se realiza a presión constante.
3. Proceso isotérmico: se realiza mediante una trayectoria a temperatura
constante.
4. Proceso adiabático: es el que se lleva a cabo por una trayectoria en la
cual no hay transferencia de energía en forma térmica (no hay flujo de
calor).
5. Proceso cíclico: muchas veces llamado simplemente ciclo, es un proceso
mediante el cual la sustancia de trabajo, después de sufrir una serie de
transformaciones, siempre regresa a sus condiciones iniciales. O sea
que el cambio neto de las propiedades del sistema es cero cuando se
lleva a cabo un proceso de esta naturaleza.
6. Proceso reversible e irreversible: un proceso reversible puede ser definido
como aquel que ocurre de tal manera que es posible de algún modo re14
1. Conceptos básicos
gresar el sistema y los alrededores a sus estados iniciales. Un proceso que
no cumpla con esta condición es un proceso irreversible.
Considere, por ejemplo, el dispositivo mostrado en la figura 1.5. Si el bloque B
(el sistema) se puede deslizar lentamente sin fricción por el plano inclinado
y si tampoco hay fricción cuando la cuerda se desliza por la polea, entonces
el bloque B levantará al bloque A hasta el punto L (aumentando su energía
potencial). Si posteriormente se permite que el bloque A descienda, este
regresará al bloque B hasta su posición inicial. En el límite, si el proceso se
lleva a cabo a una velocidad infinitesimal, el sistema y los alrededores regresarán a sus condiciones iniciales, lo cual constituye un proceso reversible.
Si se considera ahora que en el dispositivo anterior hay fricción cuando el
desplazamiento tiene lugar, entonces el sistema (bloque B) levantará al
bloque A hasta un punto por debajo del nivel L (el resto de la energía potencial se ha disipado como calor debido a la fricción). Cuando el bloque A
descienda nuevamente no podrá llevar al bloque B hasta su posición inicial
y sería necesaria la intervención de una fuerza externa para lograrlo. Este
proceso es entonces irreversible.
El análisis de los procesos irreversibles no es una tarea fácil (tal como ocurre
la mayoría de las veces en procesos reversibles) y una parte importante de un
estudio termodinámico es conocer y determinar los factores que generan irreversibilidades para así diseñar nuevos procesos que las eviten. Las fuentes de
irreversibilidades aparecen en procesos en los cuales hay fricción de cualquier
clase (mecánica, de flujo viscoso o de resistencia eléctrica), siempre que se
encuentre un desequilibrio térmico, mecánico o químico dentro del sistema
y cuando hay deformación de sustancias sólidas.
Como se dijo anteriormente, una de las condiciones para que un proceso sea
reversible es que se debe llevar a cabo a una velocidad infinitamente pequeña.
Sin embargo, muchas transformaciones pueden ocurrir a una velocidad finita
pero de tal manera que el sistema alcanza el equilibrio en cada instante y sus
propiedades solo cambian infinitesimalmente de un estado de equilibrio a otro.
Este tipo de proceso es llamado también proceso internamente reversible.
La trayectoria seguida por el sistema en un proceso de estas características
se puede representar como una serie de estados de equilibrio separados solo
infinitesimalmente entre sí.
En termodinámica clásica se supone que cualquier transformación irreversible que ocurra en la naturaleza, también puede lograrse con un proceso
reversible entre los mismos estados.
Ejemplo 1.3
Extraer la información concerniente al tipo de sistema, de proceso y de
frontera en los siguientes casos:
a. Una taza de café a 65 °C que se enfría hasta 25 °C, mediante intercambio
de calor con la atmósfera.
15
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 1.5 Proceso reversible e irreversible
b. Un tanque aislado térmicamente con 1 kg de líquido con una densidad
determinada al cual se adicionan 2 kg de un fluido diferente.
c. Un kilogramo de un fluido que viaja entre dos puntos en una tubería
aislada térmicamente.
d. El flujo a través de una bomba.
Solución
a. Al considerar como sistema el café contenido en una taza, se puede
decir que se trata de un sistema abierto (debido a la evaporación de la
sustancia). El proceso es un enfriamiento isobárico (a presión atmosférica) y la frontera es real y diatérmica.
b. Si el sistema es el tanque y su contenido, entonces se trata de un sistema
abierto (entra masa al sistema), el proceso es un llenado adiabático de un
tanque y la frontera del sistema es real, rígida y adiabática.
c. Escogiendo como sistema solamente un kilogramo de fluido (el cual
está rodeado por el resto del fluido), entonces se tratará de un sistema
cerrado en un proceso de flujo a través de una tubería con una frontera
imaginaria, móvil y diatérmica (puede existir flujo de calor entre el
sistema y el resto de fluido que lo rodea).
d. En este caso se puede escoger como sistema al fluido que está en la
bomba en cada instante y entonces se tendrá un sistema abierto con
frontera rígida, real y diatérmica.
Problemas propuestos
1.1 La distancia entre la tierra y la estrella Alfa-Centauro es de 4,3 años
luz. Calcular el número de pasos que tomaría recorrer esta distancia
(con un paso normal).
1.2 La constante universal de los gasesR , en unidades S. I. es 8,3144
kJ/kmol K.
16
1. Conceptos básicos
a. Calcular el valor de R en Btu/lbmol°R.
b. Hallar el valor de R en Cal/gmol K.
1.3 El consumo de energía en Colombia es de aproximadamente 46 × 1015
Btu al año. ¿Cuál es el consumo en GJ? ¿Cuál es el equivalente en
barriles de petróleo? (La energía contenida en un barril de petróleo es
aproximadamente 5,8 × 106 Btu).
1.4 El consumo de energía en el mundo es cerca de 78 GJ por persona
al año. Para una población mundial de 5.500 millones de personas,
¿cuál es el consumo anual total de energía equivalente en barriles de
petróleo crudo?
1.5 El coeficiente de convección externa en una coraza de un intercambiador de calor se puede calcular como
donde
h0: Coeficiente de convección externo, Btu/spie2 °R.
kL: Conductividad térmica del líquido, Btu/spie °R.
ρL: Densidad molar del líquido, lb mol/pie3.
PML: Peso molecular, lbm/lb mol.
g: Aceleración de la gravedad, pie/s2.
µL: Viscosidad del líquido, centipoises.
Re: Número de Reynolds, adimensional.
Escribir la ecuación anterior en unidades del S.I.
1.6 La caída de presión a través de las ranuras de un plato de campanas
en una torre de destilación es
en la cual
K1: Pérdida de presión a través de las ranuras, pulg.
ρL, ρv: Densidad del líquido y del vapor respectivamente, lb/pie3.
hsh: Claridad bajo el borde de las campanas, pulg.
V: Caudal de vapor a través del plato, pie3/s.
A: Área perforada total del plato, pie2.
Hallar la expresión equivalente en unidades del S.I.
1.7 El acero inoxidable 306 tiene una conductividad k = 16,2 Btu/hpie°F.
Convertir este valor a unidades del S.I.
1.8 El coeficiente de transferencia de calor para un gas que fluye en forma
turbulenta dentro de un tubo es
17
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
h=
16,6 × Cp × G0,8
D0,2
donde
h: Coeficiente de transferencia de calor, Btu/hpie2 ºF.
Cp: Capacidad calorífica, Btu/lbm ºF.
D: Diámetro interno del tubo, pulg.
G: Velocidad de masa, lbm / spie2.
Transformar la ecuación con
h en kJ / hm2 ºC
Cp en Cal/g ºC
D en cm.
G en kg / sm2
1.9 La velocidad mínima de una hélice de cuatro aspas en un tanque de
agitación, sin resistencia, para mezclar dos líquidos inmiscibles, es
con
N: Velocidad del impulsor, h–1.
T: Diámetro del tanque, pie.
µ: Viscosidad, lbm / pieh.
ρ: Densidad, lbm/pie3.
∆ρ: Diferencia de densidades, lbm/pie3.
Convertir la ecuación anterior para obtener: N en s–1, T en m, µ en
kg/m s, ρ en kg/m3 y ∆ρ en kg/m3.
1.10 En un experimento de la expansión de un gas se determinó que la
siguiente relación es válida
Log P = 14,6 log V + 12,3
con
P: Presión, kPa y V: Volumen, m3/kg.
Transformar la ecuación para obtener P en lbf/pulg2 y V en pie3/lb.
1.11 El número de Reynolds es un grupo adimensional definido, para un
fluido que se desplaza en un tubo como
donde
D: Diámetro del tubo.
: Velocidad del fluido.
18
1. Conceptos básicos
ρ: Densidad del fluido.
µ: Viscosidad del fluido.
Cuando el valor del número de Reynolds es menor que 2.100, el flujo
es laminar (el fluido se mueve en corrientes suaves). Para números de
Reynolds por arriba de 2.100, el flujo es turbulento (existe una fuerte
agitación interna).
La metil etil cetona (MEC) fluye a través de un tubo de 2.067 pulg de
diámetro interno a 20 °C, temperatura a la que su densidad es 0,805
g/cm3 y su viscosidad es 0,43 centipoises. La velocidad promedio del
fluido es 0,048 pie/s. Determinar si el flujo es laminar o turbulento.
1.12 Afirmar para cada uno de los siguientes procesos si es reversible, irreversible o cuasiestático.
a. Enfriamiento de un tanque de almacenamiento desde una temperatura inicial de 250 °C hasta 25 °C mediante intercambio de
calor con la atmósfera (la cual está a 25 °C).
b. Se añade calor, muy despacio desde una fuente a 100 °C hasta
una mezcla de hielo y agua en equilibrio a 0 °C.
c. Una bola metálica que reposa encima de una mesa, alguien empuja la bola y la deja caer de la mesa.
d. Se agrega azúcar a una taza de café y este se disuelve lentamente.
e. Una bola metálica que rueda sin fricción por el interior de un
riel en forma de anillo circular.
1.13 Para cada uno de los siguientes procesos seleccionar un sistema y
especificar de qué tipo es (abierto, cerrado etc.) y además decir de
qué tipo es el proceso y el contorno.
a. Inflar una llanta de bicicleta con una bomba manual.
b. Enfriar la fuente de poder de una computadora personal.
c. El cambio en la presión dentro de un paquete sellado conforme
cambia T.
d. El enfriamiento de un transformador de energía eléctrica, pasando
aire frío.
e. El enfriamiento de una manzana dentro de un refrigerador.
f.
Bombear agua de un lago hacia una cisterna de almacenamiento
elevada.
g. Un gas en un cilindro que se expande contra un pistón para
comprimir un resorte.
h. El calentamiento de un freno de disco conforme el automóvil se
detiene.
i.
Mezclar alimentos en una licuadora eléctrica.
19
2. Propiedades termodinámicas
2.1 Masa y peso
La masa, representada por M, es una medida de la cantidad de sustancia,
por tanto es proporcional al número de moléculas que posee el cuerpo. Se
determina comparándola con masas patrón en una balanza. Es necesario
tener claro la diferencia entre masa y peso; para ello hay que recurrir a la
segunda ley de Newton (véase ecuación 1.1), según esta, el peso es la fuerza
de atracción gravitacional que actúa sobre un cuerpo de masa M.
Peso =
M×g
(2.1)
gc
El procedimiento de comparar masas en una balanza se ha llamado pesar
y frecuentemente se hace referencia a la masa con la palabra peso, por
esto es necesario estar atento para evitar confusiones. La unidad de masa
en el sistema S.I. es el kilogramo (kg) y la de peso en el mismo sistema
es el newton (N).
Ejemplo 2.1
Una balanza de resorte está calibrada para leer lbm en un sitio donde la
aceleración es 32,35 pie/s2, es decir: una lbm colocada en dicha balanza
dará una lectura de 1,00. Si la balanza se lleva a un sitio donde g = 32,00
pie/s2, ¿a cuántas lbm equivale una lectura de 15,5?
Solución
Si: L → Lectura de la balanza
F→ Fuerza de atracción (o sea el peso)
entonces L∝F
Tomando el primer sitio como 1 g1 = 32,35 pie/s2
El segundo sitio como 2, g2 = 32,00 pie/s2
L1 = Constante × F1 = constante × (M × g1) / gc
L2 = Constante × F2 = constante × (M × g2) / gc
Si L1 = 1 entonces
2. Propiedades termodinámicas
1=
constante × 1 lbm × 32,35 pie/s2
32,174 lbmpie/lfbs2
constante =
32,174 lbmpie/lfbs2
32,35 lbmpie/s2
para el segundo sitio
L2 = 15,5 = cte ×
M × 32,00 pie/s2
32,174 lbmpie/lbfs2
y la masa puesta en la balanza es
M=
M=
15,5 × 32,174 lbmpie/lbfs2
constante × 32 pie/s2
15,5 × 32,174 lbmpie/lbfs2 × 32,35 lbmpie/s2
32,174 lbmpie/lfbs2 × 32 pie/s2
M = 15,67 lbm
Una lectura de 15,5 en la balanza equivale a 15,67 lbm, lo que da una
desviación aproximada del 1%.
2.2 Volumen y densidad
El volumen (V) puede definirse como el espacio ocupado por una cantidad
de masa, por esto es el producto de tres longitudes, la unidad fundamental
en el S.I. es el m3.
La relación entre el volumen y la masa de una sustancia recibe el nombre de
volumen específico, se representa por v = V/M y la relación entre el volumen
y la cantidad de sustancia en moles recibe el nombre de volumen molar y se
representa porv = V/N, el inverso de los volúmenes específico o molar es
la densidad específica o molar y se representa por ρ oρ respectivamente.
Es común reportar para muchas sustancias su densidad relativa que es la
relación entre la densidad de esa sustancia y una densidad de referencia
conocida; para gases la densidad de referencia es generalmente la del aire
a condiciones normales (0,957 kg/m3) y para líquidos es el agua a 1 atm
y 4 °C (1.000 kg/m3); o su peso específico que es la relación entre el peso
de la sustancia y el volumen que esta ocupa
Peso específico γ =
M×g
V × gc
=ρ
g
gc
(2.2)
21
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Ejemplo 2.2
El peso de 1 l de gasolina extra es 7 N (a 25 °C) en un lugar donde la aceleración de la gravedad es 9,8 m/s2. Determinar:
a. La densidad de la gasolina en kg/m3 y lbm/pie3.
b. La densidad relativa en las unidades anteriores.
c. El peso específico.
Solución
a. El primer paso es calcular la masa de la gasolina:
De la ley de Newton
M=
M=
Peso × gc
g
7,0 N × 1 kgm/Ns2
9,8 m/s2
= 0,714 kg
Y la densidad se puede calcular como
ρ=
M
V
=
0,714 kg
1 lt
=
0,714 kg
1 × 10–3 m–3
= 714 kg/m3
Para obtener el valor de la densidad en el sistema inglés, se utilizan los
factores de conversión apropiados
ρ = 714 kg/m3
1 1lbm/pie3
16,018 kg/m3
o sea que
ρ = 44,6 lbm/pie3
b. Calculando la densidad relativa con respeto al agua a 4 °C. Usando unidades S.I.
ρ (25/4) =
714 kg/m3
1.000 kg/m3
= 0,714
Si se usan unidades del sistema inglés
ρ (77/39,4) =
44,6 lbm/pie3
62,43 lbm/pie3
= 0,714
c. El peso específico se puede calcular como
γ=
22
Peso
V × gc
=
7 kgm/s2
1 × 10–3 m3 × 1 kgm/Ns2
2. Propiedades termodinámicas
y por tanto,
γ = 7.000 kg/m2 s2, γ = 7.000 N/m3
Ejemplo 2.3
4 m3 de argón a 27 °C y 85 kPa tienen una masa de 7,13 kg.
a. Indicar tres propiedades intensivas y dos extensivas.
b. Si g = 9,6 m/s2 calcular el peso específico.
Solución
a. En ese caso tres propiedades que no dependen de la cantidad de masa
(son intensivas):
Temperatura: 27 °C. Presión: 85 kPa. Concentración: 100% argón.
Y las propiedades extensivas son en este caso:
Volumen: 4 m3. Masa: 7,13 kg.
b. Para el peso específico
γ=
M×g
V × gc
=
7,13 kg × 9,6 m/s2
4 m3 × 1 kgm/Ns2
O sea que γ = 17,112 N/m3
2.3 Temperatura
Antes de dar un concepto de temperatura es bueno comprender lo que
significa el equilibrio térmico mediante la ley cero de la termodinámica.
2.3.1 Ley cero de la termodinámica
Recibe este nombre debido a que en un desarrollo lógico debe preceder a
la primera y la segunda ley, que fueron formuladas mucho antes.
Cuando un sistema A cuya temperatura es Ta se pone en contacto prolongado con un sistema B cuya temperatura es Tb a través de una superficie
diatérmica como muestra la figura 2.1 se dice que los sistemas están en
contacto térmico.
Figura 2.1 Sistemas en contacto térmico
23
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Si Ta > Tb se establece una transferencia de energía térmica de A hacia B,
las propiedades termodinámicas de ambos sistemas se modifican espontáneamente hasta cuando esta evolución se detiene, alcanzado el equilibrio
térmico. Cuando los dos sistemas A y B se ponen cada uno en contacto con
un sistema C a través de superficies diatérmicas, como muestra la figura
2.2, A y B por separado alcanzan equilibrio térmico con C y entonces A y
B estarán en equilibrio térmico entre sí. Estos resultados constituyen la
ley cero de la termodinámica, que puede enunciarse así: “Dos sistemas A
y B puestos en contacto prolongado alcanzan equilibrio térmico. Si estos
sistemas separadamente están en equilibrio térmico con un tercer sistema,
entonces están en equilibrio térmico entre sí”.
Figura 2.2 Sistemas en contacto térmico
De acuerdo con lo anterior, todos los sistemas en equilibrio térmico con un
sistema de referencia (este tercer sistema es generalmente el termómetro)
poseen en común una propiedad que es la temperatura.
2.3.2 Concepto de temperatura
La temperatura puede interpretarse como una medida de la capacidad que
tiene un sistema para intercambiar energía térmica. Este intercambio se
da hasta cuando se alcanza el equilibrio térmico.
2.3.3 Medida de la temperatura
La variación de temperatura de un cuerpo generalmente es acompañada
por la variación de alguna propiedad observable como: longitud, volumen,
resistencia eléctrica o fuerza electromotriz. Establecer una escala de
temperatura consiste en adoptar una de estas propiedades de la sustancia
termométrica como medida de la variación de temperatura y relacionar la
temperatura con esta propiedad mediante una función ojalá lineal, así:
Si T (que representa temperatura) es función lineal de X, siendo X la propiedad observable, entonces
T = aX + b
24
(2.3)
2. Propiedades termodinámicas
Para obtener a y b se pueden definir arbitrariamente dos puntos o elegir b =
0 y un punto y se tendrán escalas empíricas, por ejemplo: si se escoge como
sustancia termométrica un gas que se comporte como ideal (véase figura 2.3),
se tiene que: T = P × V/R, si además se mantiene constante el volumen del
termómetro, entonces la temperatura será función únicamente de la presión:
T = f (P). Adicionalmente si se elige en forma arbitraria b = 0 entonces
T=a×P
Para obtener el valor de la constante a se escoge como referencia el punto
triple del agua: P(Punto triple) = 0,6113 kPa. T (Punto triple) = 273,16 K
Y por tanto
a=
T(punto triple)
P(punto triple)
=
273,16
P(punto triple)
Lo cual conduce a la escala empírica
T = 273,16 P/P(punto triple)
Con la temperatura en Kelvin.
Siendo P la presión medida cuando el bulbo del termómetro se sumerge
en un sistema de temperatura T, la experiencia demuestra que el valor de
la relación P/P (punto triple) depende del tipo y de la cantidad de gas en
el bulbo. Sin embargo, cuando el procedimiento se repite utilizando cada
vez menos gas, el valor límite del cociente P/P (punto triple) y por tanto
el valor de T se hace independiente del gas utilizado.
Figura 2.3 Relación presión temperatura para un termómetro de gas ideal
2.3.4 Escalas de temperatura
La medida de la temperatura se puede representar mediante dos tipos de
escalas: relativas y absolutas. Las dos escalas relativas son Fahrenheit y
Celsius. Hasta 1954 las escalas eran construidas basándose en dos puntos
fijos: el punto del hielo que es aquel en el que están en equilibrio el agua
líquida y el agua sólida a 1 atm de presión, este se marcó con 32 °F en la
25
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
escala Fahreheit y 0 °C en la escala Celsius; y el punto del vapor donde están
en equilibrio agua líquida y vapor de agua a 1 atm, este se marcó con 212
°F y 100 °C. A partir de 1954 la base de las escalas es el punto triple del
agua (0,01 °C y 0,6113 kPa) y una definición de la magnitud de grado.
Las escalas absolutas están definidas a partir de la segunda ley de la termodinámica y son independientes de cualquier sustancia termométrica y se denominan
escala Kelvin (K) en S.I. y escala Rankine (°R) en sistema inglés, asociadas
respectivamente con la Celsius y la Fahrenheit. Las equivalencias son:
T (°R) = 1,8 T (K)
t (°F) = T (°R) − 459,67
t (°C) = T (K) – 273,15
t (°F) = 1,8 t (°C) + 32
La escala práctica internacional de temperatura se adoptó en 1968 por el
Comité Internacional de Pesas y Medidas, revisada en 1975, para facilitar
la calibración de los termómetros científicos e industriales, y coincide
prácticamente con la escala absoluta. Esta escala está basada en una serie
de puntos fijos y reproducibles, algunos de los cuales se especifican en la
tabla 2.1. Como puede verse, esta escala no está definida por debajo de
13,81 K, donde se utilizan métodos experimentales basados en propiedades
magnéticas para la medición de la temperatura. Por encima de 1.064,43 ºC
se emplean pirómetros de radiación monocromática. Una comparación
entre las escalas absolutas y relativas puede verse en la figura 2.4.
Ejemplo 2.4
Un termómetro de gas a volumen constante muestra una lectura de 0 °C
cuando la presión es 85 kPa y 100 °C cuando la presión es 110 kPa. ¿Qué
temperatura tendrá un recinto en el cual el gas dentro del termómetro
está a 100 kPa, considerando que la temperatura y la presión están relacionadas linealmente?
Solución
t=a×P+b
Para la primera condición
0 = a × 85 + b
Para la segunda condición
100 = a × 110 + b
b = –5a y reemplazando
100 = 110 × a − 85 × a
Luego
a = 100/25 = 4 ºC/kpa
y
b = −340 °C
26
2. Propiedades termodinámicas
Tabla 2.1 Puntos fijos de la escala práctica de temperatura
Termómetro
utilizado
Puntos fijos
T (K)
t (°C)
Punto triple de H2
13,81
− 259,34
Punto triple de O2
54,36
− 218,79
Punto de rocío de O2
90,19
− 182,96
Punto triple de H2O
293,16
0,01
Punto de ebullición de H2O
373,15
100,00
Punto solidificación, Zn
692,73
419,58
Punto solidificación, Sb
903,90
630,75
Punto solidificación, Ag
1.235,08
691,93
Par termoeléctrico
Punto solidificación, Au
1.337,58
1.064,43
Pt / Pt (10%) Rh
Resistencia de
platino
Figura 2.4 Comparación de escalas
Conociendo a y b se puede calcular la temperatura de la relación
t = 4 × P − 340
Y para 100 kPa
t = 4 × 100 − 340 = 60 °C
Ejemplo 2.5
Dos termómetros uno con lectura en °C y otro en K están en equilibrio
térmico con un sistema. ¿Cuál es la temperatura del sistema si los termómetros marcan −A °C y A K respectivamente?
Solución
De la relación de escalas se tiene
K = °C + 273,15
Reemplazando en esta relación la lectura de los termómetros se tiene
A = −A + 273,15
27
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
la lectura es entonces
A=
273,15
= 136,57
2
A = 136,57 K y A = −136,57 °C.
Ejemplo 2.6
La capacidad calorífica del tolueno líquido en kJ/kmol K está dada por
la relación: Cp = 8.314 (15.133 + 6,79 × 10−3 T +16,35 × 10−6 T2), en la
cual T es la temperatura en K.
Transformar la ecuación para obtener una relación válida para C′p en Btu/lbm
oF y T en oF. El peso molecular del tolueno es 92 kg/kmol.
Solución
De la misma forma como se procedió en el ejemplo 2.2, se relacionan las
variables en las distintas unidades mediante los factores de conversión
luego Cp = 384,36 C′P
T[K] = [t (ºC) + 273,15]=[t (ºF) –32) × 5/9 + 273,15]
luego
T[K] =
t (ºF) + 459,67
1,8
Reemplazando en la ecuación original se tiene
Cp = 125,8 + 56,45 × 10–3 T + 13,59 × 10–5 T2
Simplificando se obtiene
384,36 C′p = 149,04 + 0,07 t(ºF) + 4,17 × 10-5 [t(ºF)]2
Entonces la nueva relación es
C′p = 0,388 + 1,85 × 10-4t(ºF) + 1,1 × 10-7 [t(ºF)]2
2.4 Presión
La presión se define como la fuerza total normal por unidad de área ejercida sobre la superficie del sistema (sea esta real o imaginaria). La unidad
de presión en el S.I. es el pascal (Pa), que se define como la fuerza de un
newton ejercida sobre un área de 1 m2
1 Pa = 1N/1m2
28
2. Propiedades termodinámicas
En el sistema inglés la unidad de presión es el psi y es la fuerza ejercida
por una libra fuerza sobre una pulgada cuadrada
1 psi = 1 lbf/1 pul2
Otras unidades de presión usadas ampliamente en ingeniería son el bar, la
atmósfera (atm) y los milímetros de mercurio (mm Hg)
1 bar = 105 N/m2
1 atmósfera = 101.325 N/m2 = 760 mm de Hg ≈ 105 N/m2
La presión, así como la temperatura, se puede medir o expresar de dos
maneras diferentes, en una escala relativa (llamada escala manométrica) o
en una escala absoluta. La presión absoluta es la presión total a la que está
sometido un sistema en un momento determinado y toma como punto de
referencia el cero absoluto de presión. La escala manométrica expresa las
presiones tomando como referencia la presión ejercida por la atmósfera
terrestre, o en otras palabras
Pman = Pabs − Patm
(2.4)
La presión de vacío es una presión manométrica negativa y es utilizada
para expresar presiones totales inferiores a la presión atmosférica
Pvac = Patm − Pabs
(2.5)
En la figura 2.5 se muestra una representación esquemática de la relación
entre las escalas de presión. Los compartimentos de los tanques de dicha
figura se cierran y se llenan con aire.
Figura 2.5 Relación entre presión atmosférica, manométrica y absoluta
a. Presión absoluta mayor que la presión atmosférica. b. Presión absoluta
menor que la presión atmosférica.
Los dispositivos mecánicos típicos para las mediciones de las presiones
absoluta y manométrica son el barómetro aneroide y el manómetro de
Bourdon respectivamente (véase figura 2.6).
29
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 2.6 Medidores de presión mecánicos. a. Barómetro aneroide. b.
Manómetro de Bourdon.
El barómetro aneroide (véase figura 2.6 a), consta de un cilindro corto cerrado, dentro del cual se ha hecho un vacío de manera que la presión es cercana
al cero absoluto. El cilindro tiene un diafragma elástico que se deforma hacia adentro por la presión impuesta desde el exterior y esta deformación se
puede convertir en una medida de presión por medio de una escala. Aunque
el cilindro aneroide se utiliza convencionalmente para medir un pequeño
intervalo de presiones, el mismo principio se puede utilizar para medidores
de presión absoluta de uso más general.
Cuando el manómetro de Bourdon (véase figura 2.6 b) se conecta al sistema
al cual se le desea medir la presión, el tubo elíptico tiende a enderezarse y
mueve el indicador sobre una escala graduada. Si el manómetro está adecuadamente ajustado, el indicador se encontrará en el cero de la escala cuando
el manómetro está desconectado.
Existen también medidores de presión en los cuales se pueden hacer mediciones por medio de la altura de una columna de líquido (véase figura 2.7); estos
medidores son el tubo abierto en forma de u (para mediciones manométricas)
y el barómetro de mercurio (para mediciones de presión absoluta).
Figura 2.7 Medidores de presión por medio de columna de líquido. a. Manómetro de tubo en U abierto. b. Barómetro.
30
2. Propiedades termodinámicas
En el manómetro de tubo en forma de U un tubo abierto en dicha forma
se llena de un cierto líquido el cual se denomina fluido manométrico. En
este medidor la fuerza total que actúa hacia abajo en el punto Y es igual a
la fuerza que actúa al otro lado del tubo en el punto Y*, lo cual mediante
una relación de equilibrio de fuerzas se puede escribir como
P × A = Patm × A + peso de la columna de líquido sobre Y*
en la cual A es el área transversal del tubo del manómetro
Pt × A = Patm × A + M × g/gc
(2.6)
Pt × A = P × A + ρ × V × g/gc
en la cual ρ es la densidad, V es el volumen del fluido manométrico y V =
A × z siendo z la altura del liquido sobre el plano Y − Y*
Psist × A = Patm × A + A × ρ × z × g/gc
y reemplazando en la ecuación 2.4 se obtiene
Pman = ρ × g × z/gc
(2.7)
La presión atmosférica (llamada también presión barométrica) se puede medir
con un dispositivo inventado por Torricelli en 1643, el cual es mostrado en la
figura 2.7. Este medidor se construye llenando el tubo con mercurio libre de
aire, e invirtiéndolo con el extremo abierto debajo de la superficie del mercurio
contenido en el recipiente. Si se desprecia la cantidad de mercurio en forma
de vapor que puede pasar al espacio sobre la columna de mercurio (a condiciones normales la presión de vapor del mercurio es 1,7×10−4 kPa), entonces
la presión en ese espacio es cero absoluto y nuevamente PBar = ρ × g × z/gc
siendo en ese caso z una medida directa de la presión absoluta.
La presión barométrica puede variar con el clima, con la posición que
ocupe el dispositivo sobre la tierra (longitud y latitud) y con el tiempo.
Para hacer diseño de ingeniería que no dependa de estas fluctuaciones y
que pueda ser analizado en cualquier parte del planeta, se define un nivel
de referencia para la presión atmosférica, llamado atmósfera normal, que
es la presión que produce una columna de mercurio de 760 mm de altura
a 273,15 K bajo la aceleración normal de la gravedad.
Para distinguir entre presión manométrica y presión absoluta con frecuencia
se agrega a los símbolos de las unidades las letras a (por absoluta) o g (por
manométrica): 50 psia (absoluta). 30 psig (manométrica).
En las unidades del S.I. todas las presiones son absolutas, a menos que se
indique lo contrario. En este libro se mantendrá la misma convención.
Ejemplo 2.7
Calcular la presión que soporta un buzo cuando ha descendido 30 m bajo
la superficie del mar si la presión barométrica al nivel del mar es 0,95 bar
y la densidad relativa del agua de mar es 1,03.
31
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Solución
De la ecuación 2.4 se obtiene
Pabs = Pman + Patm
En la cual Patm = Pbar = 0,95 bar = 95 kPa
y la presión manométrica debida a la columna de agua de mar que está
sobre el buzo
Pman = ρ × g × z
Pman = 1,030 kg/m3 × 9,8 m/s2 × 30 m
Pman = 302,820 Pa = 302,82 kPa
y entonces
Pabs = 95 + 302,82 = 397,82 kPa
2.5 Energía
Durante años los científicos e ingenieros han descrito el comportamiento
de la naturaleza basándose en unos conceptos básicos o abstracciones que
se aceptan como realidades científicas. Uno de esos conceptos básicos es
la energía y es tal vez uno de los conceptos físicos más importantes.
En términos de su uso cotidiano, se relaciona a la energía con la cantidad
de combustible necesario para el transporte o el calentamiento de alguna
sustancia, la electricidad para la iluminación o para los aparatos domésticos,
con los alimentos consumidos, etc. Pero estas apreciaciones no definen de una
manera formal la energía. En muchos textos se encuentra la energía definida
como la capacidad de efectuar un trabajo. Sin embargo, esta definición es
incompleta, por lo cual es más conveniente tratar de definirla mediante una
relación matemática (balance de energía), como se verá en el capítulo 3.
La energía tiene las mismas unidades del producto de fuerza por longitud.
En el S.I. la unidad de energía es el Joule (J)
1J = 1N × 1m
En el sistema inglés la unidad de energía es la lbf × pie.
La energía puede tomar múltiples formas, entre las que se incluyen la energía mecánica, electromagnética, química, térmica, nuclear y superficial. No
obstante, la energía total almacenada en un cuerpo se puede dividir (solo
por motivos de conveniencia para su presentación) en dos clases: la energía
que no está determinada por las interacciones microscópicas de la materia
y que puede ser mensurable con respecto a un marco de referencia externo
(energía externa) y las energías que son función de la estructura molecular
y de las interacciones que ocurren a escala atómica (energía interna).
2.5.1 Energía cinética
Es posible concebir la energía cinética como aquella energía asociada con el
movimiento de un cuerpo con respecto a un marco de referencia (general32
2. Propiedades termodinámicas
mente, otro cuerpo en reposo). En la mayoría de los cálculos de ingeniería
se toma en forma conveniente a la Tierra como marco de referencia y se
considera que su velocidad es cero.
La energía cinética se define como el producto de la mitad de la masa por
el cuadrado de la velocidad, es decir
(2.8)
con representando la velocidad.
Esta expresión es válida en el límite no relativista, o sea, cuando
siendo C la velocidad de la luz.
<< C,
2.5.2 Energía potencial
La energía potencial es la energía que posee un cuerpo debido a su posición
en un campo potencial (gravitatorio, electromagnético, etc.). Según esta
definición, existe energía potencial entre las moléculas de una sustancia,
pero en termodinámica, este tipo de energías potenciales serán contabilizadas como de energía interna. Es decir que en estudios termodinámicos
cuando se habla de energía potencial se está haciendo referencia a la
energía potencial gravitatoria.
La energía potencial se define como el producto del campo potencial por
la distancia que separa al cuerpo de un marco de referencia, que en el caso
de un campo gravitacional es
(2.9)
Ejemplo 2.8
Calcula la velocidad teórica con la que debe salir el agua de la boquilla de
una manguera de bombero para que pueda alcanzar 12 metros de altura.
Solución
Como se debe recordar de los estudios de mecánica, la energía cinética y la
energía potencial son totalmente intercambiables en ausencia de fricción.
En otras palabras, para este caso, la energía potencial que alcanza el agua
debe ser igual a la energía cinética con la que sale de la boquilla
y para la altura de 12 metros
2.5.3 Energía interna
Es la energía asociada a la materia misma e incluye todas aquellas formas
energéticas diferentes a la cinética, potencial, eléctrica, magnética, de
33
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
superficie y de distorsión de sólidos. En la energía interna se contabilizan las energías de rotación, translación y vibración molecular, el espín
nuclear, el momento dipolar magnético, la energía electrónica dentro del
átomo, etc.
En termodinámica no se requiere conocer el valor absoluto de la energía
interna de un sistema en un estado determinado, sino que se requiere
conocer el cambio efectuado en la energía durante el proceso y se puede
por tanto seleccionar un estado de referencia arbitrario para calcular la
energía interna de todos los otros estados. (De la misma forma en que se
asigna el valor de cero a la energía potencial de un cuerpo en un plano
horizontal apropiado).
En ausencia de efectos eléctricos, magnéticos, de distorsión de sólidos y
de tensión superficial, el contenido total de energía de un sistema es el
debido a la suma de las energías interna y externa
Etotal = U + Ecinética + Epotencial
(2.10a)
Y el cambio en la energía durante el proceso se puede escribir como
∫ dE = E2 – E1 = ∆E = ∆U + ∆Ecinética + ∆Epotencial
(2.10b)
2.6 Entropía
Es una propiedad extensiva de la sustancia de trabajo y se representa por S.
Desde el punto de vista de la estructura atómica, la entropía es una medida
de la organización estructural de la sustancia: a mayor desorganización
mayor entropía. De acuerdo con este criterio, si se tiene una cantidad fija
de una sustancia a una presión determinada (por ejemplo: 1 kg de agua a
1 bar) la cual puede estar como vapor, como líquido o como sólido, dependiendo de la temperatura, la entropía será mayor en la fase de vapor que
en la fase líquida y esta a su vez mayor que en la fase sólida.
Si se tiene una cantidad fija de una sustancia pura en fase gaseosa y se enfría
mediante extracción de energía, alcanzará unas condiciones a las cuales puede pasar a la fase líquida, cuando toda se ha convertido en líquido, continúa
el enfriamiento, hasta obtener las condiciones para pasar a la fase sólida,
en este punto todo el líquido se convierte en sólido y luego puede seguir enfriándose hasta llegar a convertirse en sólido cristalino, donde prácticamente
desaparecen las energías de traslación, vibración y rotación de partícula y se
logra la máxima organización, condición en la cual se tiene el cero absoluto
de temperatura, a este estado de máxima organización se le asigna el valor de
cero entropía y en cualquier otro estado la entropía será mayor.
Un estudio más detallado de esta propiedad puede hacerse mediante la
termodinámica estadística, este tópico está por fuera del alcance de la termodinámica clásica y por tanto no se trata en este libro.
34
2. Propiedades termodinámicas
Como se verá más adelante la entropía es una medida de la degradación
(pérdida de calidad) de la energía, pero sin ser energía.
Las dimensiones para la entropía son energía sobre temperatura; en el
S.I. se expresan en J/K y en sistema inglés en Btu/ºR. El porqué de estas
unidades se comprenderá más adelante.
Entropía específica es la entropía dividida por la masa y se simboliza por
S = S/M y la entropía molar es la relación entre la entropía y la cantidad
de sustancia y se simboliza pors = S/N.
Problemas propuestos
2.1 Un gas cumple la siguiente ecuación de estado
con
a = 0,24203 Jm3/mol2.
b = 2,0956 ×10−5 m3/mol.
c = 9,9106 × 10−6 m3/mol.
T en K, R: Constante universal de los gases y P: Presión.
a. ¿Cuáles son las unidades de P,R,v en esta ecuación?
Hallar los valores de a, b, c si se desea transformar.
b. La relación entre la capacidad calorífica y la temperatura a ecuación para obtener P en lbf/pulg2, T en °R y v en pie3/lbmol?.
2.2 El poder emisor de un cuerpo se puede expresar por W = A × T2 donde
W: Poder emisor, Btu/pie2h
A: Constante = 0,171 × 10−8
T: Temperatura en °R.
a. ¿Cuáles deben ser las unidades de A?
b. ¿Cuál será la relación si W debe estar expresado en J/m2s y T en °C?
2.3 Se ha propuesto la siguiente relación para calcular la viscosidad de
gases
donde
µ : Viscosidad del gas, centipoises.
T : Temperatura, °R.
M : Peso molecular, lbm/lbmol.
P : Presión, lbf/pulg2.
Escribir la relación anterior en unidades S.I.
35
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
2.4 El fern se define como la unidad de fuerza requerida para acelerar la
unidad de masa llamada beng con la aceleración gravitacional de la
superficie lunar en m/s2 (la cual equivale a 1/6 de la acción gravitacional de la tierra).
a. ¿Cuánto vale gc en este sistema?
b. ¿Cuál es el peso en fern de 3 bengs sobre la superficie terrestre?
2.5 Una balanza es calibrada en La Costa para que la lectura sea igual a
la masa que se coloca sobre ella en kg. Si un hombre en La Costa se
sube a la balanza y la lectura es de 82 kg calcular:
a. El peso del hombre en Medellín (1.600 m/snm).
b. El peso del hombre en Bogotá (2.600 msnm).
c. La altura sobre el nivel del mar en la cual el peso del hombre
desciende un 1%. (La aceleración de la gravedad en función de la
elevación sobre el nivel del mar es g = 9,807 – 3,32×10−6 z, con
g en m/s2 y z en m).
2.6 Calcular la densidad de una mezcla formada por 32 litros de nitrobenceno (densidad relativa = 1,2) y 4,5 pie3 de benceno (densidad relativa
= 0,879) suponiendo que el volumen de la mezcla es la suma de los
volúmenes de los componentes puros.
2.7 Un bloque rectangular de grafito flota en la interfase de dos líquidos
inmiscibles. El líquido inferior es un aceite lubricante y el líquido superior es agua, el 54% del volumen total del bloque está sumergido en
el aceite y el resto en agua. ¿Cuál es la densidad relativa del aceite?
2.8 Se mezclan 2 litros de agua a 25 °C con un líquido desconocido para
formar una mezcla líquida. El volumen y la masa de la mezcla total
son 4.000 cm3 y 4 kg respectivamente. Si el volumen de la mezcla es
la suma de los volúmenes iniciales, determinar la densidad del líquido
desconocido.
2.9 Un tanque con volumen de 0,85 m3 contiene 16 kg de gas.
a. Determinar el volumen específico.
b. Calcular el volumen específico y la densidad del gas que queda en
el tanque después de que se escapan 12 kg de gas.
2.10 En un termómetro de gas de volumen constante, se halla experimentalmente que con independencia del gas usado, el siguiente resultado
es correcto
Ts / Ti = 1,3661
En la cual Ts es la temperatura de ebullición a presión atmosférica y
Ti es el punto de congelamiento (a presión atmosférica).
Demostrar que si Ts − Ti =100, Ts y Ti son exactamente el punto de
ebullición y el punto de congelamiento del agua en la escala Kelvin.
36
2. Propiedades termodinámicas
2.11 El químico austriaco Johann Sebastian Farblunget, formuló una escala
de temperaturas que nunca se popularizó. Los puntos de referencia de
esta escala eran 0 °FB (4 °C) (la temperatura por debajo de la cual la
nariz de Farblunget comenzaba a gotear y a molestarle) y 1.000 °FB
(98 °C) el punto de ebullición de la cerveza.
a. Encontrar una ecuación para T(°C) en función de T(°FB).
b. Encontrar una ecuación para T(°FB) en función de T(°R).
c. ¿Cuál es la equivalencia de un intervalo de temperatura 10 °FB
en °C, K, °F, °R?
2.12 Un termostato con escala de 0 a 100 se utiliza para regular la temperatura de un proceso. Una curva de calibración de la temperatura
(en °C) en función de la posición de la escala (R) es una línea recta
en un papel logarítmico que pasa a través de los puntos (R1 = 20, T1
= 220) y (R2 = 40, T2 = 150).
a. Encontrar la ecuación para T(°C) en función de R.
b. Estimar la posición de la escala del termostato necesaria para
obtener una temperatura de 346 °F.
2.13 La temperatura de un fluido se mide con un termómetro Celsius y
con uno Fahrenheit. Si la lectura N es la misma numéricamente en
los dos termómetros, ¿cuál es la temperatura del fluido en K y °R?
2.14 Suponiendo una escala lineal de temperatura definida de modo que los
puntos de fusión y ebullición del agua a 1 bar de presión son respectivamente 100 y 400, hallar la relación entre la temperatura medida
en dicha escala y la correspondiente en °C.
2.15 En un vacuómetro se lee 10 pulg de Hg. La presión barométrica es
29,9 pulg de Hg. Calcula la presión absoluta en bar.
2.16 La presión barométrica al nivel del mar es 762 mm de Hg cuando en
la cima de una montaña es 737 mm de Hg. Si se supone que el peso
específico del aire es constante y de 11,8 N/m3, calcular la altura de
la montaña.
2.17 El peso específico del agua de mar se puede calcular a partir de la
relación empírica
En la cual γ es el peso específico y h es la profundidad bajo la superficie
del océano.
Derivar una expresión para calcular la presión en cualquier punto h y
calcular el peso específico y la presión a una profundidad de 3,22 km
suponiendo que γ0 = 10,3 kN/m3 y K = 7,98 N/m7/2.
2.18 Un manómetro de Bourdon montado en un tanque cerrado lleno de
aire indica 141,1 kPa cuando el barómetro se encuentra en 775 mm
37
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
de Hg. Si la presión barométrica desciende a 741,2 mm de Hg, ¿qué
lectura indica el manómetro?
2.19 La ventana de observación de un antiguo traje de buzo mide aproximadamente 65 cm2 de área. Si se intenta mantener una presión de 1
atm en el interior del traje, ¿qué fuerza tendría que soportar la ventana
si el buzo descendiera a una profundidad de 150 m?
2.20 El depósito de la figura 2.8 contiene aceite de densidad relativa 0,75.
a. Determinar la lectura del manómetro A en psi.
b. ¿Cuál es la diferencia de presión entre M y N en psi y en Pa?
Figura 2.8 Depósito para el problema 2.20
2.21 Un sistema de alimentación por gravedad se utiliza para suministrar
agua a un intercambiador de calor. Se necesita una presión de agua
mínima de 30 psig a la entrada del intercambiador.
a. ¿Cuál es la elevación mínima del nivel del agua por encima del
intercambiador?
b. ¿Qué elevación se requeriría si el fluido fuera etanol?
2.22 Se lanza en dirección vertical un chorro de agua por una boquilla con
una velocidad de 82 pie/s en un lugar donde g = 32,174 pie/s2. ¿Cuál
es la velocidad teórica del chorro en un punto que está 72 pies arriba
de la boquilla?
2.23 Una turbina hidráulica recibe agua de un depósito que se encuentra a
100 m por encima de ella. ¿Cuál es el flujo mínimo de agua, en kg/s,
para producir una salida permanente en la turbina de 50.000 kW?
2.24 Un fluido en el interior de un cilindro vertical provisto con un pistón sin fricción, como se muestra en la figura 2.9, está en equilibrio
mecánico. La presión atmosférica es 101.325 kPa. El área del pistón
es de 3.000 mm2. El resorte lineal que tiene una constante de 1.500
N/m, se comprime 250 mm respecto a su elongación libre. ¿Cuál es
la masa del pistón si la presión absoluta del fluido es de 400 kpa?
38
2. Propiedades termodinámicas
Figura 2.9 Fluido en el interior de un cilindro vertical provisto de un pistón
sin fricción, problema 2.24
2.25 Los compartimientos de los tanques de la figura 2.10 se cierran y se
llenan con aire. El manómetro A indica 207 kPa, el manómetro B registra un vacío de 254 mm de Hg. ¿Qué indica el manómetro C si se
conecta al compartimiento 1, pero está dentro del compartimiento 2?
La presión barométrica es de 101 kPa.
Figura 2.10 Compartimientos llenos de aire para el problema 2.25
2.26 En una cascada el agua fluye a razón de 4,5 × 106 galones/h y cae
desde una altura de 170 pies. Determinar la potencia teórica (en kW)
que podría ser generada por una planta de energía instalada al final
de la caída de agua.
39
3. Ecuaciones de balance
Hasta ahora se han estudiado algunas de las propiedades termodinámicas
de la sustancia de trabajo, entre ellas una de particular importancia, la
energía.
Este capítulo presenta la energía no como propiedad sino como transferencia durante un proceso, clasificándola como calor o como trabajo dependiendo de la causa de la transferencia. Además, se siguen cuidadosamente
los cambios que experimenta el sistema mediante un esquema tradicional
de contabilidad, que conduce a la formulación de las ecuaciones de balance de masa, energía y entropía y su aplicación en diversos casos.
3.1 Calor
Es el flujo de energía a través de los límites del sistema en virtud de una
diferencia de temperatura entre el sistema y los alrededores. Una vez que
la energía térmica ha cruzado la frontera ya no se considera como calor
sino que pasa a ser parte de la componente térmica de la energía interna
del sistema o de los alrededores y por tanto no afecta la energía cinética
o potencial del sistema.
Como se puede concluir de la definición anterior, un flujo de energía
debida a un gradiente de temperatura dentro del sistema no puede ser
llamado calor.
El calor se simboliza por Q, sus unidades en S.I. son Joules (J) y en el
sistema inglés Btu; se puede expresar la cantidad de energía en forma de
calor por unidad de masa como
q = Q/M
y el flujo de calor por unidad de tiempo .
Teniendo en cuenta que el calor es una energía en tránsito, es importante
saber cuál es la dirección, si la energía entra al sistema se representa por
Qe y si lo abandona, por Qs y son siempre cantidades positivas; otra convención muy utilizada es considerar el calor como positivo cuando entra
al sistema y negativo cuando lo abandona, en otras palabras
Qneto = Qe − Qs
3. Ecuaciones de balance
3.2 Trabajo
Es el flujo de energía mecánica, debido a fuerzas motrices distintas al
gradiente de temperatura, que atraviesa los límites del sistema y que
puede ser convertido completamente (por lo menos en teoría) por un
dispositivo apropiado, al equivalente de una fuerza que se mueve a través
de una distancia.
Considerando el esquema mostrado en la figura 3.1, el trabajo hecho
por el sistema al expandirse, debido a una diferencia de presión entre el
sistema y sus alrededores es equivalente al trabajo para levantar el peso
una distancia z.
Figura 3.1 Esquema del trabajo hecho por un sistema
En otras palabras,
δW = F × dz
(3.1)
Al igual que con el calor, es importante conocer la dirección del flujo de
trabajo y se puede representar We trabajo hecho sobre el sistema y Ws trabajo realizado por el sistema. Arbitrariamente muchos autores consideran
un trabajo neto W = Ws − We, el cual es positivo si es hecho por el sistema
sobre los alrededores y negativo en caso contrario.
Se puede expresar la cantidad de trabajo por unidad de masa como w =
W/M y la cantidad de trabajo por unidad de tiempo por .
3.2.1 Trabajo para vencer fuerzas de fricción
En la figura 3.2, la fuerza que causa el desplazamiento es la componente
horizontal de la fuerza F, de tal manera que la ecuación 3.1a se convierte
en
δW = F cos θ dx
Si F y θ son constantes entonces
We = F cos θ ∆x
(3.1 a)
41
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 3.2 Trabajo realizado para vencer fuerzas de fricción
3.2.2 Trabajo para levantar un peso
En la figura 3.1 el trabajo para levantar un cuerpo de masa M a una altura
dz se puede escribir como
y por tanto
(3.1 b)
El trabajo realizado sobre el sistema causa un aumento en su energía
potencial.
3.2.3 Trabajo para acelerar un sistema
La ecuación 3.1 para el trabajo hecho sobre un sistema de masa M que se
somete a una aceleración a constante se transforma en
entonces
luego
(3.1 c)
El trabajo realizado sobre el sistema causa un aumento en su energía
cinética.
3.2.4 Trabajo en procesos con resortes
Si se considera como sistema un resorte ideal, sin peso ni rozamiento y
que cumple la ley de Hooke F = kx (véase figura 3.3), la ecuación 3.1 se
convierte en
42
3. Ecuaciones de balance
Figura 3.3 Esquema del trabajo realizado sobre un resorte
δWe = kdx
y
(3.1 d)
Este trabajo aumenta la energía interna del sistema.
3.2.5 Trabajo en procesos eléctricos
El trabajo para cargar una partícula neutra que se encuentra sometida a
un campo eléctrico ε, hasta adquirir una carga −q, está dado por
pero
dq = I dθ
donde I es la intensidad de corriente y θ es el tiempo, luego
δWe = ε I dθ
y
We = ε I (θ2 − θ1)
(3.1 e)
3.2.6 Trabajo de expansión o compresión para procesos
en sistema cerrado
Para ilustrar este tipo de trabajo se puede considerar el gas contenido en
un cilindro con un émbolo que se desplaza sin rozamiento, sometido a una
fuerza Fres como se muestra en la figura 3.4.
Si el cambio se lleva a cabo mediante un proceso de cuasi equilibrio
Fres = PresA
donde Pres es la presión ejercida por el gas sobre el área transversal del
pistón, A, entonces
δW = Fres dx = Pres A dx
pero
43
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 3.4 Trabajo en sistemas cerrados
A dx = dV
luego
δW = Pres dV
(3.2)
P y V son respectivamente presión y volumen del sistema.
Si V2 > V1, se trata de un trabajo hecho por el sistema, si V2 < V1, será un
trabajo realizado sobre el sistema.
La evaluación del trabajo se puede hacer analíticamente si se conoce la
relación entre P y V, por ejemplo, P × Vn = constante; o gráficamente mediante la evaluación del área bajo la curva en un diagrama P − V, la cual
puede hacerse utilizando métodos numéricos como el trapezoidal o el de
Simpson entre otros.
Considerando la figura 3.5 se ve claramente que el trabajo de expansión
para llevar el sistema desde el estado 1 al estado 2, depende de la trayectoria seguida durante el proceso, ya que el área bajo la curva cambia si la
trayectoria cambia.
Figura 3.5 Representación del trabajo de expansión o de compresión en un
sistema cerrado
44
3. Ecuaciones de balance
3.2.7 Trabajo de flujo
Es el trabajo que una cantidad de sustancia realiza para salir del volumen
de control, venciendo la presión de oposición del fluido que lo precede; o
el trabajo hecho sobre la sustancia por el fluido que le sigue para entrar
al volumen de control.
Figura 3.6 Trabajo de flujo
De acuerdo con la figura 3.6 el trabajo de flujo en e es
pero si se considera un diferencial de masa con volumen específico dV = ve
dM y
(3.3a)
De la misma forma, el trabajo de flujo en s es
(3.3b)
3.2.8 Trabajo en el eje
El trabajo en el eje es la máxima cantidad de trabajo que se puede obtener del flujo de un fluido a través de algún componente del equipo donde
se realiza trabajo (es también la mínima cantidad de trabajo que tendría
que ser suministrada a un fluido cuando pasa por un dispositivo donde se
realiza trabajo).
La máxima cantidad de trabajo que puede obtenerse del sistema se logra
solo mediante un proceso internamente reversible, cualquier proceso real
entre los mismos dos estados producirá una cantidad menor. O en forma
análoga, la mínima cantidad de trabajo que se debe suministrar a un cuerpo
se obtiene mediante un proceso cuasi estático.
Considérese la figura 3.7, en la cual un fluido fluye a través de una turbina
o de un compresor. Si se escoge como sistema una masa fija de fluido (sistema cerrado) y se estudia durante su paso a través del volumen de control,
entonces para este sistema existen tres formas de trabajo: a) el trabajo
de flujo que hace sobre el sistema el fluido que le sigue para llevarlo a lo
largo de la tubería, dado por Pent, Vent, b) el trabajo que es transmitido al
eje, Weje y c) el trabajo que hace el sistema sobre el fluido que le precede,
Psal, Vsal. Por tanto, el trabajo neto que sale del sistema es
45
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
(3.4)
y despejando el trabajo realizado en el eje
(3.5)
Ahora bien, si se considera que
entonces
que al ser sustituida en la ecuación 3.5 da
(3.6)
Debe recordarse aquí que Weje es el trabajo neto transferido al eje y por
tanto será una cantidad positiva si el fluido realiza trabajo sobre el eje o,
en caso contrario, será una cantidad negativa.
Figura 3.7 Trabajo en el eje en un sistema abierto
De la misma manera que para sistemas cerrados, la ecuación 3.6 se puede
evaluar analíticamente si se conoce la relación entre el volumen y la presión
o gráficamente mediante la evaluación del área comprendida entre la curva
y el eje de presión en un diagrama presión volumen (véase figura 3.8)
Figura 3.8 Evaluación gráfica del trabajo en el eje
46
3. Ecuaciones de balance
Ejemplo 3.1
Un gas dentro un cilindro con un pistón de 18 kg (véase la figura 3.4) a
una presión de 2,5 bar ocupa un volumen de 0,1 m3 y se mantiene en esa
posición mediante un pasador. Al retirarse el pasador, el gas se expande (sin
fricción en el pistón) siguiendo una trayectoria en la cual PV = constante,
hasta que su volumen es cuatro veces el volumen inicial. Calcula:
a. El trabajo total hecho por el gas.
b. El trabajo hecho por el gas contra la atmósfera.
c. La velocidad final del pistón.
Solución
a. Si se escoge como sistema el gas confinado en el arreglo cilindro pistón
entonces este sistema realiza trabajo contra la atmósfera (para comprimirla) y contra el pistón (para acelerarlo)
Wtotal sistema = Watm + Wpistón
y el trabajo total se puede calcular en este caso como
pero como P V = constante, entonces
Wtotal = constante × ln V2/V1 = constante × ln 4
El valor de la constante se puede encontrar de las condiciones iniciales
constante = 2,5 bar × 0,1 m3 = 0,25 bar m3 = 25 kJ
y por tanto
Wtotal = 25 × ln 4
Wtotal = 34,66 kJ
b. Para calcular el trabajo hecho contra la atmósfera se considera que esta opone una fuerza constante y el trabajo en este caso se puede calcular por
en la cual Po es la presión atmosférica constante. Por tanto
Watm = Po ∆V = 101.325 kPa × 0,3 m3 =30,4 kJ
c. El trabajo hecho sobre el pistón es entonces
Wpistón = 34,66 – 30,4 = 4,26 kJ
y de la ecuación 3.1c con
se obtiene
Ejemplo 3.2
Durante la experiencia que se esquematiza en la figura 3.9 se obtuvo la
tabla de datos 3.1. Se logró que el agua pasara de un estado de equilibrio
47
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
a 5,0 MPa y 40 °C hasta un nuevo estado a 7,0 MPa y 400 °C suministrando
calor desde una fuente a 773 K.
Figura 3.9 Esquema ilustrativo del ejemplo 3.2
Tabla 3.1 Datos obtenidos luego de efectuar el ciclo que se esquematiza
en la figura 3.9
P(MPa)
V(l)
t(°C)
5,0
1,01
40
5,2
4,85
76
5,4
8,62
115
5,6
12,5
156
5,8
16,49
178
6,0
20,47
200
6,2
24,42
220
6,4
28,51
245
6,6
32,20
294
6,8
36,12
347
7,0
39,93
400
El trabajo realizado sobre el resorte ideal fue de 37,87 kJ que se observa
en el medidor W acoplado al resorte. Evaluar:
a. El trabajo que efectúa el agua.
b. El trabajo perdido por fricción.
c. La relación k/A2, donde k es la constante del resorte ideal y A es el área
transversal del pistón.
48
3. Ecuaciones de balance
Solución
Tomando como sistema el kilogramo de agua dentro del tanque, se trata
de un sistema cerrado que recibe una cantidad de calor y realiza un trabajo contra el pistón, contra el resorte y para vencer la fricción entre el
émbolo y la pared del tanque. Considerando que este proceso se realiza
cuasiestáticamente, o de una manera internamente reversible
a. El trabajo que efectúa el agua será
no se conoce la ecuación que relaciona P con V para efectuar la integración
analítica, pero se tiene una tabla que reporta las medidas del volumen a
diferentes presiones desde el estado inicial de 5 MPa y 40 °C hasta el estado
final de 7 MPa y 400 °C.
Representando estos datos en un diagrama P–V (véase figura 3.10), prácticamente todos los puntos están sobre una línea recta cuyas coordenadas
iniciales son (5,0, 1,01) y las finales son (7,0, 39,93).
Figura 3.10 Diagrama P–V del ejemplo 3.2
Entonces el trabajo hecho por el agua será igual al área bajo la curva que
se representa. Esa área corresponde al área de un trapecio con base menor
= 5,0, base mayor = 7,0 y altura (39,93 − 1,01), y por tanto
área = (base menor + base mayor)/2 × altura.
reemplazando
luego
W = 233,52 kJ
es el trabajo total hecho por el agua.
49
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
b. Para calcular la energía gastada en vencer la fricción se usa la relación
Wfricción = Whecho por el sistema − Wpara mover el pistón − Wpara comprimir el resorte
Ya se conoce el trabajo hecho por el sistema.
donde P es la presión debida
El trabajo para mover el pistón
al peso del pistón que es constante e igual a 5.0 MPa (puesto que inicialmente el agua solo está soportando el pistón y el resorte no está ofreciendo
ninguna resistencia) y ∆V es el cambio de volumen experimentado por el
agua.
Wpistón = P × ∆V = 5,0 × 103 kPa × (39,93 − 1,01) × 10−3 m3
Wpistón = 194,6 kJ
El trabajo para comprimir el resorte Wresorte = 37,87 kJ de acuerdo con la
información disponible.
Wfricción = Wagua − Wpistón − Wresorte
Wfricción = 233,52 − 194,60 − 37,87 = 1,05 kJ
c. Para hallar el valor de la relación k/A2, considerando nuevamente el
trabajo hecho sobre el resorte
Expresando x (longitud que se comprime el resorte) en términos del cambio
del volumen del sistema y el área del pistón
se tiene
Ejemplo 3.3
Se desea comprimir 0,685 kg/s de aire mediante un compresor centrífugo
desde una presión de 0,8 bar y una temperatura de 298 K hasta una presión
de 3,2 bar. La densidad del aire a la entrada del compresor es 0,935 kg/m3.
Estimar la potencia requerida para impulsar el compresor, suponiendo que
durante el proceso de compresión no hay que vencer fricciones y que la presión y el volumen del aire en cada momento están relacionados mediante la
ecuación P × v1,4 = constante.
Solución
Se trata de un proceso que ocurre en sistema abierto, donde la frontera
la constituyen las paredes del compresor, y la sustancia de trabajo es el
aire sobre el cual se está realizando un trabajo de eje para aumentar su
presión. Como no hay que vencer fricciones, la potencia para impulsar el
50
3. Ecuaciones de balance
compresor es recibida totalmente por el aire el cual sufre un proceso de
transformación cuasi estático.
se puede evaluar analíticamente pues se conoce la relación entre P y v, y
las condiciones de presión a la entrada y a la salida, P × 1,4v = constante.
Si se toma n = 1,4, entonces
P × vn = k1 y P1/n × v =k2
k1 y k2 son constantes.
Reemplazando v en términos de P
k2 = vs × Ps1/n = ve × Pe1/n
Reemplazando k2 en términos de las condiciones de entrada o salida, dependiendo de lo que más convenga
pero
Al reemplazar n = 1,4
Pe = 0,8 bar = 80 kPa,
Ps = 3,2 bar = 320 kPa
y
se obtiene
weje = – 145.604 kJ/kg
51
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
o sea trabajo hecho sobre el sistema.
suministrados al
sistema.
3.3 Ecuaciones de balance
El comportamiento de un sistema se puede estudiar siguiendo los cambios
de estado que experimenta durante un proceso y los flujos de masa, energía
y entropía que atraviesan los límites del sistema, por ello al enfrentar el
análisis de un proceso es importante el concepto de contabilidad de una
cantidad física extensiva. Esta contabilidad puede representarse mediante
una relación que se conoce como ecuación de balance:
(3.7)
3.3.1 Balance de masa
En todo proceso donde no se presentan reacciones nucleares la masa total
se conserva y en ese caso no existe generación ni consumo y la ecuación
3.7 para el balance de masa de un sistema que sufre un proceso durante
un tiempo dθ se transforma, véase figura 3.11.
Figura 3.11 Esquema del balance de masa
(3.8)
En la cual dM/dθ representa la variación de la masa con el tiempo dentro
del sistema y
y
representan la cantidad diferencial de flujo de masa
que entra y sale del sistema respectivamente.
52
3. Ecuaciones de balance
Integrando la ecuación 3.8 entre dos límites de tiempo
(3.9)
1. Balance de masa en un sistema cerrado. Teniendo en cuenta que en un
sistema cerrado no hay flujo de masa entonces
La ecuación 3.8 queda
(3.10)
2. Balance de masa en un sistema abierto. Considerando que el sistema
abierto permite flujo de masa se pueden presentar dos casos:
a. Flujo estable: quiere decir que en el interior del sistema no se presenta acumulación de masa y por tanto la ecuación 3.8 queda
y la ecuación 3.9 se convierte en
la cual se puede transformar si se escribe la masa en términos de la
densidad y del volumen, para producir
en la cual representa el caudal (volumen por unidad de tiempo) de
la i-ésima corriente. El caudal se puede escribir también en términos
de la velocidad del fluido y del área transversal de flujo así
(3.11)
Esta ecuación es llamada la ecuación de continuidad y es válida para
flujo unidireccional a través de una porción de un tubo de corriente.
Para estudios de flujo bi y tridimensionales deben usarse expresiones
diferenciales de la ecuación de continuidad.
b. Flujo uniforme: es cuando se presenta variación de masa en el
interior del sistema a velocidad constante y
Ejemplo 3.4
Se alimenta metano de una densidad de 0,52 kg/m3 a un quemador (véase
figura 3.12). El metano entra a 30 m/s a través de una tubería con sección
transversal de 8,2 cm2. Al quemador también entra aire con una densidad de
1,2 kg/m3 de tal manera que la relación masa de aire/combustible sea 21 por
una tubería de 6 pulgadas de diámetro. Los gases de la combustión (ρ=0,68
kg/m3) escapan por medio de una tubería de 6 pulgadas de diámetro.
Calcular la velocidad de entrada del aire al quemador, el flujo másico y la
velocidad de salida de los gases de combustión.
53
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Solución
Figura 3.12 Ilustración del proceso indicado en el ejemplo 3.4
Si se considera que el quemador opera con un flujo estable entonces el
balance de masa queda así
pero
El área de la tubería de entrada del aire es
y por tanto
Reemplazando con los datos suministrados en las unidades apropiadas
El flujo másico de salida de los gases se calcula
y la velocidad de salida de los gases obtenida es
54
3. Ecuaciones de balance
Ejemplo 3.5
Un radiador contiene 3 kg de una mezcla anticongelante de etilen glicol
agua al 30% en peso de etilen glicol. Se desea elevar la concentración del
etilen glicol al 50%.
a. ¿Cuánto etilen glicol puro se debe añadir si no se saca líquido del radiador?
b. ¿Cuánto etilen glicol se debe añadir, si al comienzo dentro del radiador
hay una cantidad tal que al final queden 3 kg de mezcla sin sacar nada
de material del radiador?
Solución
Si se considera como sistema el radiador que contiene una cantidad de
anticongelante y se le va adicionando sustancia para aumentar su concentración, el balance total de masa es
∆M dentro del sistema = Mf – Mi = Me
El balance para el etilen glicol es
0,5Mf – 0,3 Mi = Me
El balance para el agua
0,5Mf – 0,7 M1 = 0
siendo: Mi = masa total dentro del radiador al comienzo.
Mf = masa total dentro del radiador al final.
Me = masa total que entra al radiador y que es etilen glicol puro.
a. En este caso Mi = 3 kg, Mf y Me son incógnitas. Tomando dos de las
tres ecuaciones de balance de material planteadas se pueden conocer
M f y M e.
Del balance total
Mf – 3 kg = Me
Mf = Me + 3 kg
y reemplazando en el balance para etilen glicol
0,5(Me + 3 kg) – 0,3 × 3 kg = Me
luego
Me = 1,2 kg es la cantidad de etilen glicol puro que debe añadirse.
Mf = 1,2 kg + 3 kg
Mf = 4,2 kg es la cantidad total de anticongelante al 50% en peso de etilen
glicol en el radiador.
b. En este caso Mf = 3 kg, Mi y Me son las incógnitas. Tomando dos de las
tres ecuaciones de balance de materia planteadas se pueden conocer
M i y M e.
55
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Del balance total 3 kg – Mi = Me
Del balance de agua 0,5 × 3 kg = 0,7 Mi
luego
Me = (3 – 2,14 ) kg = 0,86 kg
La masa de etilen glicol puro que se añade es 0,86 kg para obtener una
solución anticongelante al 50% en peso; en el radiador había inicialmente
2,14 kg de una solución al 30% de etilen glicol.
En procesos en los cuales se da reacción química se puede realizar un
balance de masa total o balances por componentes. En estos últimos, los
términos generación o consumo pueden aparecer en la ecuación.
Ejemplo 3.6
Un proceso antiguo para la producción de ácido clorhídrico requiere calentar una mezcla de NaHSO4 y NaCl en un horno especial. Si la reacción
estequiométrica es
NaHSO4 (s) + NaCl (s) → Na2SO4 (s) + HCl (g)
y ocurre en su totalidad, establecer el balance para cada uno de los componentes y el balance total de materia, si se alimentan al horno 140 kg de
NaHSO4, 58,5 kg de NaCl y 10 kg de Na2SO4 cada hora.
Solución
Tomando como sistema el horno (véase figura 3.13).
Figura 3.13 Ilustración del proceso indicado en el ejemplo 3.6
Teniendo como referencia la ecuación 3.7, si se considera que dentro del
horno no se da acumulación de masa, pues al mismo ritmo se alimenta y
se extrae el producto, el término de variación en el interior del sistema es
cero para todos los componentes.
De acuerdo con la estequiometría de la reacción, 1 mol de NaHSO4 reacciona con un mol de NaCl, o sea que 120 kg de NaHSO4 reaccionan con
58,5 kg de NaCl, y en este caso el reactivo límite es el NaCl, luego
— Balance de masa para el NaHSO4:
0 = Entrada – Salida – Consumo
0 = 140 kg/h – Salida – 120 kg/h
La cantidad de NaHSO4 que sale sin reaccionar es 20 kg/h.
56
3. Ecuaciones de balance
— Balance de masa para el NaCl:
0 = Entrada – Consumo
0 = 58,5 kg/h – 58,5 kg/h
— Balance de masa para el Na2SO4
0 = Entrada – Salida + Generación
0 = 10 kg/h – Salida + 142 kg/h
La cantidad de Na2SO4 que se retira del horno es 152 kg/h.
— Balance de masa para el HCl
0 = – Salida + Generación
0 = – Salida + 36,5 kg/h
La cantidad de HCl que se retira del horno es 36,5 kg/h.
— Balance total de masa
0 = Entrada – Salida
Entrada = 140 kg/h NaHSO4 + 10 kg/h Na2SO4 + 58,5 kg/h NaCl
Entrada = 208,5 kg/h
Salida = 20 kg/h NaHSO4 + 36,5 kg/h HCl + 152 kg/h Na2SO4
Salida = 208,5 kg/h
Estos resultados están de acuerdo con lo planteado en la ecuación de
balance de masa.
3.3.2 Balance de energía
Hasta mediados del siglo XIX se consideraba al calor y al trabajo como
magnitudes de distinta naturaleza. Fue James Prescot Joule quien entre
1840 y 1849 llevó a cabo cuidadosos experimentos acerca de la naturaleza
del calor y el trabajo.
Básicamente se trataba de experiencias sencillas en las cuales una cantidad
medida de agua se ponía dentro de un recipiente aislado (véase figura 3.14)
y se agitaba por medio de un agitador rotatorio.
Figura 3.14 Experimento de Joule
57
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
A medida que el peso baja una distancia determinada, se realiza una
cantidad de trabajo sobre el agitador que a su vez lo transmite al agua
produciendo un aumento de temperatura y esa energía mecánica transmitida incrementa la energía interna del agua. Midiendo cuidadosamente
el incremento de temperatura, Joule calculó el incremento en la energía
interna. Por otra parte, calculó también el trabajo hecho por el peso en
su descenso dándose cuenta que cuando se suministraba una cantidad de
trabajo mecánico el efecto era equivalente al causado por el suministro
de una cantidad de calor, estableciéndose así el equivalente mecánico del
calor. El mejor valor obtenido por Joule fue
1 Btu = 772,5 lbf pie
1 cal = 4.155 J
mediciones posteriores han fijado estos valores más exactamente en
1 Btu = 777,647 lbf pie
1 cal = 4.184 J
Estos resultados llevan a la conclusión de que la energía es una cantidad
conservativa y que puede manifestarse de diversas formas.
Si para un sistema cualquiera que sufre un proceso se realiza un balance
de energía, teniendo en cuenta que esta es una cantidad conservativa y por
tanto no existe generación ni consumo, entonces la ecuación 3.7 queda
reducida a
Si se plantea el balance de energía entre un tiempo θ y un tiempo θ + dθ se
tiene dEsist/dθ representa la variación de la energía total dentro del sistema
con respecto al tiempo. Y, en ausencia de efectos eléctricos, magnéticos,
de tensión superficial y de distorsión de sólidos, tenemos
La entrada de energía al sistema puede darse de diversas formas:
— Con el flujo másico
— Con el flujo de calor
— Con el flujo de trabajo
La salida de energía del sistema puede darse de las mismas tres formas
58
3. Ecuaciones de balance
El término W(total) representa todas las formas de trabajo (eléctricas,
magnéticas, de eje, de expansión o compresión de los límites del sistema,
de flujo, etc.), y puede representarse como:
W(total) = Wflujo + Wmecánico
En la cual W mecánico representa todas las formas de trabajo excepto el trabajo
de flujo. Reemplazando la ecuación 3.3 en la ecuación anterior se obtiene
W(total) = M P v + Wmecánico
La ecuación general de balance de energía queda
factorizando
El término u + P v (propiedades de la sustancia) aparece en repetidas
ocasiones en desarrollos termodinámicos y por conveniencia se ha definido
como una nueva propiedad termodinámica llamada entalpía
h=u+Pv
(3.12)
Reemplazando en la ecuación general del balance de energía
(3.13)
La ecuación 3.13 permite contabilizar la energía teniendo en cuenta que
es una cantidad conservativa, quiere decir que la energía total se conserva
aunque adopte diferentes formas. Cuando desaparece una forma de energía
surge simultáneamente otra y esto se aplica al sistema y a sus alrededores
durante un proceso, luego: variación de energía del sistema + variación
de energía de los alrededores = 0, es decir,
d (E)sistema + d (E)alrededores = d (E)Universo = 0
(3.14)
Esta relación constituye la formulación de la primera ley de la termodinámica, es una ley empírica que se basa en inducciones a partir de observaciones experimentales, aún no ha sido demostrada.
59
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Es bueno recalcar que la energía interna representa la energía almacenada
en el sistema pero el producto Pv no tiene este significado, luego la entalpía
es una propiedad útil pero no representa la energía almacenada.
1. Balance de energía en un sistema cerrado
Un sistema cerrado que no permite transferencia de masa a través de la
frontera, tampoco puede transferir energía con la masa, entonces la ecuación 3.13 se simplifica
Por lo general, solo se da un determinado flujo de energía que entra al sistema en forma de calor o en forma de trabajo y lo mismo ocurre con respecto
a la salida, además el sistema no se desplaza ni cambia de posición con
respecto a un plano de referencia durante un proceso, entonces la relación
puede simplificarse en ese caso y presentarse de diferentes formas
(3.15 a)
(3.15 b)
integrando
M ∆u = Qneto – Wneto
(3.16 a)
(3.16 b)
Ejemplo 3.7
Un gas contenido dentro de un cilindro con pistón cumple un proceso
cíclico en tres etapas. Primero se expande a presión constante con una
adición de calor de 50 kJ y la realización de un trabajo de 25 kJ. Luego se
enfría a volumen constante con remoción de 30 kJ de calor. Finalmente
mediante un proceso adiabático regresa a sus condiciones iniciales.
a. Representar el proceso en un diagrama P-V.
b. Determinar el trabajo del proceso adiabático.
c. Determinar el trabajo neto del ciclo.
d. Determinar la energía interna de gas en cada uno de los estados intermedios si se le asigna un valor de cero a la energía interna inicial.
Solución
Tomando como sistema la cantidad de gas en el cilindro, es un sistema cerrado sometido a un proceso cíclico en tres etapas: 1→2 a P = constante;
2→3 a V = constante y 3→1 con Q = 0.
a. La representación en un diagrama P-V de este proceso se indica en la
figura 3.15.
60
3. Ecuaciones de balance
Figura 3.15 Diagrama P-V del proceso indicado en el ejemplo 3.7
b. Haciendo un balance de masa y de energía para la etapa adiabática,
considerando que el sistema permanece fijo con respecto a un punto
de referencia, luego no experimenta cambios en su energía potencial ni
cinética, se tiene
M1 – M 3 = 0
U1 – U3 = We
Para calcular We es necesario conocer la variación de la energía interna
U1 – U3 = – (U3 – U1) = – ∆U1→3
∆U1→3 = ∆U1→2 + ∆U2→3
La variación de energía interna de 1 a 2 puede calcularse a partir de un
balance de energía para ese proceso así
U2 – U1 = Qe 1→2 – Ws 1→2 = (50 – 25) kJ
∆U1→2 = 25 kJ
La variación de energía interna de 2 a 3 puede calcularse a partir de un
balance de energía para ese proceso así
U3 – U2 = – Qs 2→3 = – 30 kJ
luego reemplazando, se tiene
∆U1→3 = 25 –30 = – 5 kJ
∆U3→1 = – ∆U1→3 = 5 kJ
de la relación anterior We = 5 kJ.
c. Para determinar el trabajo neto del ciclo, se hace un balance de energía
global; teniendo en cuenta que no hay variación de energía dentro del
sistema
Qneto= Wneto
Qe 1→2 – Qs 2→3 = Wneto
50 – 30 = 20 kJ es el trabajo neto.
61
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
d. Si se toma como referencia la energía interna en el estado 1 igual a
cero
U2 – U1 = 25 kJ; U2 = 25 kJ.
U3 – U2 = – 30 kJ; U3 = – 5 kJ.
2. Balance de energía en un sistema abierto
En general el ingeniero trata de diseñar equipos y procesos que operen en
régimen permanente o estacionario durante largos periodos de tiempo, estos
procesos son de operación y mantenimiento más sencillos que los no estacionarios. De acuerdo con esto se pueden adoptar dos modelos para el estudio
de los sistemas abiertos.
— Modelo de estado estable, flujo estable: es un modelo en el cual las propiedades de la sustancia de trabajo en un punto dado no cambian con
el tiempo y se consideran las siguientes suposiciones:
• El volumen de control no tiene un movimiento relativo a un eje coordenado.
• El estado de la masa en cada punto en el interior del volumen de control
no varía con el tiempo.
• La masa que fluye a través de los límites del sistema (frontera) conserva
su estado termodinámico con el paso del tiempo y no se acumula.
• La velocidad a la cual el calor y el trabajo fluyen a través de los límites
del sistema permanece constante.
Teniendo en cuenta estas suposiciones, se analizan nuevamente todos los
términos de la ecuación 3.13.
Con respecto a la variación de energía dentro del sistema, esta solo puede
presentarse si existe variación de masa, pero la condición del modelo es
que no hay acumulación de masa, luego este término siempre es cero.
Con respecto a la energía que entra o sale con la masa, se debe tener
presente que no varía con el tiempo, lo mismo para los flujos de calor y
trabajo, y la ecuación 3.13 se convierte en
(3.17)
Ejemplo 3.8
Se comprime aire en un proceso de estado estable flujo estable y sin fricción
desde 90 kPa, 15 °C y v = 0,918 m3/kg hasta 130 kPa de tal manera que
P (v + 0,25) = constante. La velocidad a la entrada del compresor puede
despreciarse, a la salida es de 110 m/s.
62
3. Ecuaciones de balance
Cuál es el trabajo requerido para la compresión por kilogramo de aire y
la cantidad de calor asociada con el proceso, si la entalpía a la entrada es
290 kJ/kg y a la salida 295 kJ/kg.
Solución
De acuerdo con el enunciado (véase figura 3.16), puede considerarse que
no hay variación en la energía potencial de la sustancia que sale con respecto a la sustancia que entra, además, el volumen de control permanece
fijo con respecto a un punto de referencia.
Figura 3.16 Representación esquemática del proceso de compresión
El balance de masa, teniendo en cuenta que no hay acumulación en el interior del sistema, es
pero no se conoce cuál es el flujo másico.
El balance de energía es
como no se conoce el flujo másico se puede plantear el balance por unidad
de masa y la relación se transforma así
en la cual we y qs son incógnitas, es necesario disponer de otra relación
para resolver el problema.
Se sabe que
y se conoce cómo está relacionado v con P
quiere decir que es necesario suministrar en forma de trabajo 28,65 kJ por
cada kg de aire que se vaya a comprimir.
63
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Conociendo este trabajo se puede reemplazar en la ecuación del balance
de energía para saber la cantidad de calor asociada con el proceso.
En este proceso es necesario suministrar una energía en forma de trabajo
de 28,65 kJ por kg de aire que se comprime y se liberan 17,6 kJ de calor
por kg de aire.
— Modelo de estado uniforme, flujo uniforme: a este modelo corresponden
por ejemplo, los procesos que ocurren cuando se llenan o vacían tanques.
En él se consideran las siguientes suposiciones:
• El volumen de control permanece en una posición relativa constante
con respecto a un eje coordenado.
• El estado de la masa dentro del volumen de control puede cambiar con
el tiempo, pero este cambio es a velocidad constante.
• El estado de la masa que fluye a través de los límites del sistema no varía
con el tiempo.
• Los flujos de calor y trabajo si los hay, son constantes en el tiempo. En
este caso habrá que entrar a considerar si tienen o no validez todos los
términos de la ecuación 3.13.
Ejemplo 3.9
Vapor de agua a una presión de 1,4 MPa y 300 °C fluye por una tubería que
está conectada, por medio de una válvula, con un tanque vacío. La válvula se
abre y el tanque se llena hasta cuando la presión llega a 1,4 MPa, en ese momento la válvula se cierra. El proceso es adiabático y los cambios de energía
cinética y potencial se pueden considerar despreciables, además se cuenta
con la información de la tabla 3.2 acerca de las propiedades AP = 1,4 MPa.
Tabla 3.2 Datos para el ejemplo 3.2
t (°C)
u (kJ/kg)
h (kJ/kg)
300
2.785,2
3.040,4
350
2.869,2
3.149,5
400
2.952,5
3.257,5
500
3.121,1
5.474,1
Determinar la temperatura final del vapor en el tanque.
Solución
La figura 3.17 presenta un esquema del proceso.
64
3. Ecuaciones de balance
Figura 3.17 Esquema del proceso indicado en el ejemplo 3.9
Si se escoge como límite del sistema el tanque que inicialmente está vacío,
entonces los balances de masa y de energía son
o en forma integrada
pero Mi = 0 (el tanque estaba inicialmente vacío)
Balance de energía
integrando nuevamente con Mi = 0
la cual conduce a
Con los datos proporcionados por el problema se puede encontrar la entalpía a la entrada
he = 3.040,4 kJ/kg
(a 1,4 MPa y 300 °C)
y por tanto uf = 3.040,4 kJ/kg. Con este valor se puede mirar, en la tabla
de propiedades, a qué valor de temperatura corresponde el valor encontrado de energía interna. Se puede observar que el valor de energía interna
en el estado final está entre los dos últimos valores reportados en la tabla
de propiedades. Si se supone que la temperatura y la energía interna se
65
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
comportan linealmente para intervalos pequeños de temperatura (esto
es, suponiendo que entre valores contiguos de la tabla de propiedades se
puede utilizar interpolación lineal) entonces utilizando la ecuación de una
línea recta entre dos puntos
en la cual los subíndices 1 y 2 representan dos valores contiguos en la
tabla de propiedades y el subíndice ∗ el punto en el cual se quiere hallar
una de las propiedades.
Despejando
Se dice que un sistema que experimenta un proceso se encuentra en condición transitoria (estado no estacionario), si el valor de cualquiera de las
variables termodinámicas del sistema cambia con el tiempo. Cuando se
arranca o se para un proceso de estado estable, flujo estable, se presentan
cambios en las condiciones normales de operación y se tiene entonces un
modelo transitorio, que no se estudiará en el presente libro.
3.3.3 Balance de entropía
La primera ley es una herramienta útil y versátil en el análisis de transformaciones energéticas. Sin embargo, hay fenómenos de conversión de energía
que no pueden explicarse utilizando únicamente la primera ley, pues esta
no permite predecir a qué grado habrá conversión de energía, ni tampoco
indica si un proceso ideado para la conversión de energía es posible o no.
El concepto de entropía fue sugerido originalmente por el físico Clausius
como una medida de la capacidad que tendrá el universo en el futuro para
producir trabajo, como resultado de los procesos actuales o pasados, mostrando cómo cada vez se pierde esa capacidad de hacer trabajo y cómo la
entropía del universo aumenta.
Teniendo en cuenta que la primera ley de la termodinámica dice que a
escala macroscópica la energía se conserva, entonces para comprender el
concepto de balance de entropía es necesario considerar que la energía
puede tener calidades y que a medida que se realizan los procesos la energía
se va trasformando de una forma más útil (trabajo) a una menos útil (calor).
La entropía entonces está relacionada con la energía sin ser energía.
La ecuación general de balance de entropía para un sistema sometido a
un proceso es
66
3. Ecuaciones de balance
La variación de entropía con el tiempo dentro del sistema se representa por
El flujo de entropía que entra es debido a los flujos de masa, de trabajo y
de calor.
.
— El flujo de entropía que entra con la masa puede representarse como
1. Flujo de entropía que entra con el trabajo
Para determinar el aporte del flujo de trabajo a la variación de entropía,
se puede considerar el siguiente proceso ilustrativo: si se tiene una cantidad fija de una sustancia dentro de un arreglo cilindro pistón de paredes
adiabáticas y se ejerce sobre él un trabajo de tal manera que el pistón se
desplaza sin fricción, con un desplazamiento infinitesimalmente lento, el
proceso de compresión es adiabático y es internamente reversible, aumenta
la energía cinética de las partículas que chocan con el pistón, aumentando
por ello su temperatura, produciendo mayor desorganización y aumento
de entropía. Como también aumenta la presión y disminuye el volumen, se
tiene por ello mayor organización (al estar más empacadas las partículas)
y por tanto disminuye la entropía.
Se puede demostrar mediante herramientas de termodinámica estadística
que estos dos efectos se compensan exactamente y la variación de entropía
neta para el sistema por efecto de este trabajo hecho sobre él, es cero. Luego, un flujo de energía en forma de trabajo no conlleva flujo de entropía.
2. Flujo de entropía que entra con el calor
Como consta en la definición de entropía (véase sección 2.6), si se coloca
una cantidad de gas en un recipiente rígido y se le suministra calor, aumenta el grado de desorganización y por tanto la entropía, o sea que el flujo
de energía en forma de calor va acompañado de un flujo de entropía, esto
puede representarse mediante la relación ds∝δQ. La entropía del sistema
varía si se recibe o libera calor durante un proceso (independiente de que
este sea reversible o no). La variación de entropía por flujo de calor será:
.
Para calcular cuál es la constante de proporcionalidad, considérese una
cantidad de sustancia sujeta a un proceso cíclico reversible en cuatro
etapas:
67
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Dos isotermas A B y C D y dos adiabáticas B C y D A como se muestra en
la figura 3.18.
El proceso comienza en A y regresa al mismo punto y no hay variación en
las propiedades de la sustancia.
t1 y t2 representan trayectorias isotermas, t1 > t2 y S1 y S2 representan las
trayectorias adiabáticas.
De A a B se adiciona calor a temperatura constante (t1), de B a C hay una
expansión adiabática, de C a D se extrae calor a temperatura constante
(t2), de D a A hay una compresión adiabática.
Figura 3.18 Proceso reversible en cuatro etapas
El trabajo neto está representado por el área dentro de la curva A B C D y
como puede observarse es un trabajo realizado por el sistema. Durante el
proceso cíclico se obtuvo energía mecánica a partir de energía térmica y
el ciclo reversible propuesto se conoce como ciclo de Carnot.
Si se quiere aumentar el trabajo producido por el ciclo, lo que equivaldría
a aumentar el área encerrada por la curva del proceso, se puede entregar
calor en la tercera etapa a una temperatura menor t3, y en este caso el
ciclo es A B E F
Wneto = Q1 – Q3 y t1 > t2 > t3
Considerando valores absolutos
Q1 > Q2 > Q3
Puede observarse entonces que en general Qi es una función de ti.
La variación de entropía en los dos ciclos (por ser reversibles) ocurre solo en
las trayectorias isotermas y para el ciclo A B C D se puede escribir como
como el proceso es cíclico entonces, ∆SABCD = 0
luego
68
3. Ecuaciones de balance
y
(3.18)
La función f(t) puede escogerse arbitrariamente, para que no dependa de
las propiedades de la sustancia de trabajo de la máquina térmica si no de la
temperatura a la cual se transfiere calor reversiblemente, como lo propuso
Lord Kelvin: f (t) = T, esta temperatura T se conoce como temperatura
termodinámica y coincide con la escala absoluta de temperatura que se
había presentado anteriormente
luego
En resumen, el flujo de entropía que entra al sistema se representa por
De forma análoga, el flujo de entropía que sale del sistema se representa por
siendo TQe y TQs las temperaturas a las cuales se da la transferencia de
calor.
3. Entropía generada y entropía consumida
Para ilustrar el concepto de generación o consumo de entropía considerar el
siguiente arreglo: se tiene confinado un gas en parte de un recipiente rígido
y aislado térmicamente, separado del resto del recipiente que se encuentra
vacío, mediante una membrana impermeable (véase figura 3.19a), si se
rompe la membrana, el gas llena todo el recipiente (véase figura 3.19b),
este proceso es irreversible y no se da transferencia de energía ni en forma
de calor ni en forma de trabajo. Cualquiera que sea el sistema escogido,
la desorganización aumenta y nunca se podrá obtener un sistema más organizado espontáneamente, luego la entropía aumenta y ese aumento va
asociado a la irreversibilidad. Se puede afirmar que la irreversibilidad de
un proceso genera entropía pero nunca la consume.
Este proceso se pudo haber realizado entre los mismos estados inicial y
final en forma tal que el sistema hiciera trabajo, esa energía que no se
aprovechó como trabajo se gastó en vencer las irreversibilidades, por eso
se conoce como trabajo perdido (LW por el término en inglés lost work),
.
y puede decirse que la entropía generada
69
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 3.19 Ilustración del concepto de generación o consumo de entropía. a.
Estado inicial del proceso irreversible. b. Estado final del proceso irreversible.
Se acaba de mostrar que la constante que relaciona el flujo de calor y el
flujo de entropía es 1/T, de la misma manera se puede establecer que la
constante para la generación de entropía es de igual forma, siendo en este
caso T la temperatura absoluta a la cual se producen las irreversibilidades.
Entonces
En la cual TLW es la temperatura a la cual se da la irreversibilidad. Esta
temperatura es en general variable y diferente de TQe y TQs.
Esta entropía generada también da cuenta de los flujos energéticos en el
interior del sistema que no pueden ser llamados calor ni trabajo. En resumen, la ecuación general del balance de entropía queda
(3.19a)
4. Balance de entropía en un sistema aislado
En el caso de un sistema aislado en el cual no se da transferencia de materia
ni de energía, la ecuación 3.19a se transforma en
(3.19b)
Para el caso particular en el cual se trata de un proceso reversible entonces
(3.19c)
Las dos ecuaciones anteriores llevan a la conclusión de que
(3.20a)
En la cual la igualdad se cumple en el caso de un proceso reversible.
La ecuación 3.20a establece que la entropía de un sistema aislado nunca
puede disminuir y se conoce como principio de aumento de la entropía.
70
3. Ecuaciones de balance
Debido a que un sistema aislado es aquel que no interactúa en forma alguna con sus alrededores, este principio puede parecer muy limitado en
sus aplicaciones. Sin embargo, una selección apropiada de las fronteras
con frecuencia hace posible trabajar con sistemas aislados. En particular,
siempre puede formarse un sistema aislado si se incluyen el sistema y sus
alrededores dentro de una misma frontera y puesto que el conjunto de un
sistema y sus alrededores se ha definido como el universo, entonces
(3.20 b)
en la cual
(3.21)
Se debe recordar en este punto que la entropía de un sistema puede aumentar, disminuir o permanecer constante (véase ecuación 3.19a). Es
solo la entropía del universo (o la de cualquier sistema aislado) la que no
puede disminuir.
El principio de aumento de entropía proporciona un criterio de reversibilidad
para cualquier proceso: 1) si la entropía del universo permanece constante,
entonces el proceso es reversible, 2) si la entropía del universo aumenta, el
proceso es irreversible y 3) si la entropía del universo disminuye, entonces
el proceso es imposible. (La entropía del universo no puede disminuir).
Es importante notar que, así como el principio de conservación de la energía
en el universo (véase ecuación 3.14) es llamado la primera ley de la termodinámica, el principio de aumento de la entropía (véase ecuación 3.20a) es
postulado generalmente como la segunda ley de la termodinámica.
5. Balance de entropía en sistema cerrado
En un sistema cerrado la ecuación 3.19 se reduce a
(3.22 a)
En términos de la transferencia neta de calor la ecuación se puede escribir
como
(3.22 b)
Integrando
(3.22 c)
Cuando se trata de un proceso reversible la ecuación 3.22b queda
T dS)sist = δQN
integrando
71
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
QN = ∫ T dSsist
(3.23)
En la cual es claro que la variable independiente es el tiempo.
La integral del lado derecho de la ecuación 3.23 puede evaluarse como el
área bajo la curva en un diagrama T-S (véase la figura 3.20), o analíticamente si se conoce la ecuación que relaciona la temperatura y la entropía
durante el proceso.
Figura 3.20 Evaluación gráfica de la transferencia de calor en procesos reversibles
De la figura 3.20 puede concluirse que la cantidad de calor transferida
durante el proceso, al igual que el trabajo, depende de la trayectoria.
Ejemplo 3.10
Dos kilogramos de oxígeno se comprimen isotérmicamente en un arreglo
cilindro pistón de 95 kPa y 20 °C a 300 kPa. Determina la transferencia
de calor si
a. El proceso es reversible.
b. Si las irreversibilidades incrementan el trabajo requerido en un 80%
comparado con el trabajo necesario para la compresión reversible.
Las variaciones de energía interna, entalpía y entropía son respectivamente:
5 kJ/kg, 7 kJ/kg, –0,3 kJ/kg K.
Solución
Si se escoge como sistema los dos kilogramos de oxígeno dentro del arreglo
cilindro pistón, se trata entonces de un sistema cerrado. Se considera que
no hay variaciones de energía cinética y potencial en el interior del sistema
para determinar la transferencia de calor.
a. En el proceso reversible e isotérmico:
Balance de masa
Mi = Mf = M
Balance de energía
∆U = QN – WN
M(∆u) = QN – WN
Balance de entropía
72
3. Ecuaciones de balance
Directamente del balance de entropía se puede calcular el calor transferido.
QN = MT∆s = 2 kg × 293 K (–0,3) kJ/kg K = – 175,8 kJ
Como se trata de una cantidad neta de calor, el hecho de que sea negativo
significa que el calor se libera del sistema.
b. En el proceso irreversible e isotérmico:
Balance de masa
Mi = Mf = M
Balance de energía
M(∆u) = QN – WN
Balance de entropía
equivale a la entropía generada por irreversibilidades, en este caso TLW = TQN.
Para calcular QN mediante el balance de entropía es necesario conocer LW.
De acuerdo con el enunciado, el trabajo perdido por irreversibilidades es
el 80% del trabajo requerido para la compresión en el proceso reversible,
este trabajo se puede calcular del balance de energía en la parte a) conociendo el QN así
WN(rev) = QN – M(∆u) = –175,8 kJ – 2 kg × 5 kJ/kg
WN(rev) = –185,8 kJ
trabajo que se suministra al sistema.
Entonces LW = 0,8 × WN(rev) = 0,8 × 185,8 = 148,64 kJ
QN = MT∆s – LW = –2 kg × 293 K × 0,3 kJ/kg K – 148,64 kJ = –324,44 kJ
Es un calor que fluye del sistema a los alrededores.
6. Balance de entropía en sistemas abiertos.
Al igual que para el balance de energía se pueden presentar dos casos:
—Modelo de estado estable, flujo estable: teniendo en cuenta las restricciones mencionadas anteriormente, para este modelo, la ecuación general
del balance de entropía se convierte en
(3.24)
En el caso especial de un proceso adiabático con una sola entrada y una
salida, la ecuación anterior se transforma en
la cual conduce a que
(3.25)
en la igualdad anterior se cumple solo en el caso reversible.
73
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
De la ecuación 3.25 se puede concluir que en el flujo adiabático a través
de cualquier sistema abierto el fluido no puede disminuir su entropía.
Ejemplo 3.11
Por una válvula de expansión fluyen 2,3 kg/s de refrigerante 12. A la entrada
de la válvula el refrigerante tiene las siguientes condiciones:
P = 2,7 MPa, h = 212,614 kJ/kg, s = 0,6585 kJ/kg K.
Escribir los balances de masa, energía y entropía si se desea que el proceso
sea:
a. Adiabático.
b. Isentrópico.
Solución
a. Si se considera como sistema el refrigerante que fluye en todo momento
por la válvula en estado estable y se desprecian los cambios en la energía
cinética y potencial entonces
Balance de masa
Balance de energía
Como el refrigerante no mueve ningún eje en la válvula ni tampoco se
mueven los límites del sistema, entonces
y
Si además, se considera que el flujo a través de una válvula se da a una
velocidad tal que no hay tiempo para establecer una transferencia de calor,
entonces
y el balance de energía se reduce a
lo cual conduce a
he = hs
El balance de energía lleva entonces a la conclusión de que el flujo adiabático a través de una válvula es isoentálpico.
Balance de entropía: para el proceso sin transferencia de calor el balance
de entropía queda
y
b. Un proceso isentrópico se puede dar de dos maneras:
• Proceso adiabático reversible
74
3. Ecuaciones de balance
En este caso los balances de masa y energía están representados por las
ecuaciones
y
he = hs
y el balance de entropía queda
se = ss
• Proceso irreversible con transferencia de calor
El balance de masa es nuevamente la ecuación
el balance de energía es ahora la ecuación
y el balance de entropía queda
como se requiere que el proceso sea isentrópico, entonces
—Modelo de estado uniforme, flujo uniforme: de acuerdo con las restricciones para este modelo presentadas en el balance de energía, la ecuación
que se aplica es la ecuación general del balance (3.19a).
Ejemplo 3.12
Un tanque aislado cuyo volumen es 1 m3 contiene aire a 800 kPa y 25 °C
con una densidad de 9,35 kg/m3, como muestra la figura 3.21. Se abre la
válvula para entregar el aire a la presión atmosférica y a 20 °C. La presión
dentro del tanque cae hasta 150 kPa y la densidad dentro del tanque alcanza
un valor de 2,83 kg/m3. La diferencia de entropía entre el aire que escapa
y el que permanece dentro del tanque es 0,58 kJ/kg K.
Asumiendo que el aire que permanece dentro del tanque experimenta una
expansión adiabática reversible, calcular la entropía generada durante el
proceso.
Solución
Se trata de un sistema abierto que cumple el modelo de estado uniforme,
flujo uniforme. De acuerdo con el enunciado del problema, el aire que
permanece dentro del tanque no sufre cambio en su entropía.
Mque permanece (sf – si) = 0
Luego, sf = si dentro del tanque.
75
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 3.21 Ilustración de un tanque aislado
Para el sistema considerado, cuya superficie de control se muestra con las
líneas punteadas (véase figura 3.22).
Figura 3.22 Ilustración de un sistema abierto
Balance de masa: Mf – Mi = –Ms
Balance de entropía Mf sf – Mi si = –Ms ss + Sgenerada
Reemplazando, y recordando que si = sf se tiene que
Ms (ss – si) = Sgenerada
por otra parte
Mi = ρi Vi = 9,35 kg/m3 × 1 m3 = 9,35 kg
Mf = ρf Vf = 2,83 kg/m3 × 1 m3 = 2,83 kg
Ms = Mi – Mf = (9,35 – 2,83) kg = 6,52 kg
y de los datos del problema
(ss – si) = 0,58 kJ/kg K
Reemplazando los valores de Ms y (ss – si) se tiene
Sgenerada = 6,52 kg × 0,58 kJ/kg K = 3,78 kJ/K
Las irreversibilidades en este proceso se generan en el paso a través de la
válvula.
Problemas propuestos
3.1
76
Una masa de 25 kg en reposo cae desde una altura de 5 m hasta que
golpea un resorte lineal que está en ese momento en posición de
equilibrio. Si toda la energía del cuerpo al caer se destina a compri-
3. Ecuaciones de balance
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
mir el resorte, ¿cuánto se acortará este si la constante del resorte
es de 500 N/m?
En función de la altura sobre el nivel del mar, la aceleración de la
gravedad es g = 9,807 – 3,32 × 10–6 Z; con g en m/s2 y Z en metros.
¿Qué cantidad de trabajo será necesario realizar para elevar un satélite
que en La Costa pesa 2.350 N, desde la cuidad de Medellín (1.500
msnm) hasta una altura de 450 km sobre la superficie de la tierra?
Calcular la potencia necesaria para acelerar un cuerpo de 3.400 N
de una velocidad de 40 m/s hasta 100 m/s:
a. En 1 segundo.
b. En 1 minuto.
Se tiene argón en un tanque rígido de 0,6 m3 a una presión de 1.500
kPa. El argón se enfría para así reducir la presión hasta 950 kPa.
¿Cuánto trabajo se realiza? Dibujar un diagrama P-V para la trayectoria de este proceso.
Un gas sufre un proceso mediante una trayectoria que se puede escribir como P×Vn = C donde n y C son constantes. Halla la ecuación
general para el trabajo realizado, cuando el gas se expande de una
presión absoluta y un volumen inicial de P1, V1 hasta una presión y
un volumen final de P2, V2 respectivamente.
a. Suponiendo un sistema cerrado con trabajo debido a la expansión.
b. Suponiendo un sistema abierto con trabajo hecho por un eje.
Calcular la potencia necesaria para bombear 3,4 m3/h de agua (ρ
= 999,1 kg/m3) desde un lago hasta un tanque abierto ubicado 3
metros por encima del nivel del lago.
Un fabricante de ventiladores presenta los siguientes datos de su
producto cuando opera con aire a 20 °C:
Presión del aire a la entrada del ventilador = 101,325 kPa.
Diferencia de presión entre la entrada y la salida del aire = 0,80 kPa.
Gasto volumétrico = 870 m3/h.
Calcular la potencia mínima que se debe suministrar al ventilador
de estas características para que opere en estado estable.
Un gas ideal es sometido a una compresión reversible isotérmica
en un conjunto cilindro pistón sin fricción. Hallar la ecuación del
trabajo.
Un dispositivo cilindro pistón contiene un gas que sufre un proceso
de expansión cuasiestático para el cual la relación entre P y V es
77
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
con P en bar y V en m3. Si la expansión se realiza entre 4 y 5 bar,
determinar
a. Las unidades de la constante 10,8.
b. La relación entre P y V en unidades S.I.
c. El trabajo desarrollado en el proceso.
3.10 En un experimento de la expansión de un gas en un sistema cerrado
se tomaron los datos indicados en la tabla 3.3.
Tabla 3.3 Datos para el ejemplo 3.10
(m3/kg)
07998
08027
08700
09890
10976
P (kPa)
2.139,5
2.128,7
1.901,8
1.589,3
1.373,6
(m3/kg)
0,12010
0,13014
0,13998
0,15930
0,17832
(kPa)
210,9
082,2
977,2
815,4
96,3
a. Hallar el valor del volumen específico para los siguientes valores
de presión: 600 kPa, 1.100 kPa, 2.500 kPa y 3.000 kPa.
b. Calcular el trabajo realizado por el gas entre 2.100 kPa y 700 kPa.
3.11 Oxígeno gaseoso es mantenido en un dispositivo cilindro pistón a
5 atm de presión por medio de un pistón que pesa 65 kgf y que es
mantenido en una posición inicial dentro del cilindro mediante un
pasador. El cilindro, que tiene un área transversal de 652 cm2 y mide
4 metros de altura, está abierto al ambiente. El volumen inicial del
gas es de 32 litros y la temperatura es de 25 °C (la cual puede ser
considerada constante durante todo el proceso). En un momento
dado, el pistón se libera y el gas se expande mediante una trayectoria
que se puede escribir
Con: a = 0,24203 Jm3/mol2, b = 2,0956 × 10–5 m3/mol, c = 9,9106
× 10–6 m3/mol.
Si el pistón asciende sin rozamiento, determinar:
a. ¿El pistón abandona el cilindro?
b. ¿Qué altura alcanza el pistón?
c. Si el pistón sale fuera del cilindro, ¿cuál es la velocidad con la que
lo abandona?
3.12 En un conjunto cilindro pistón sin fricción se tiene 1 kg de gas a 5
bar y ocupando un volumen de 100 litros. Este gas puede pasar a
un estado 2 a 1 bar y 263 litros por la trayectoria A o por la B. El
78
3. Ecuaciones de balance
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
proceso por la trayectoria A es adiabático y la relación entre P y V
es V5/3 × P = constante.
El proceso por la trayectoria B se caracteriza porque la presión depende linealmente del volumen y hay transferencia de calor.
Determinar el trabajo que realiza el gas por cada trayectoria.
El proceso de bombeo de agua se lleva a cabo en una planta industrial
mediante una bomba a la cual entra el agua a 14,7 psia y sale a una
presión de 500 psig. Se puede considerar que el proceso de bombeo
es adiabático y que los cambios de energía cinética y potencial son
despreciables. Determinar la potencia mínima requerida para operar
la bomba con un gasto másico de 100 kg/s.
En un proceso de cuasiequilibrio en un sistema abierto, un gas se
expande en un eje desde un volumen de 0,150 m3/kg y una presión
de 120 kPa a la entrada hasta un volumen de 0,25 m3/kg a la salida
mediante una trayectoria tal que
P (v + 0,028) = constante
Calcular el trabajo realizado por el gas en el eje.
Un combustible de avión con un peso específico de 8.232 N/m3 debe
bombearse a una velocidad de 5,2 kg/s desde una presión de 40 kPa
hasta una presión de 800 kPa. La temperatura del combustible es
aproximadamente de 5 °C y el cambio de velocidad a través de la
bomba es pequeño. Se calcula que la potencia necesaria de entrada
a la bomba es del 140% de la requerida para realizar el bombeo sin
fricción. Describir las suposiciones que se hagan y determinar la
potencia de entrada requerida.
Una mezcla benceno tolueno contiene 50% en masa de benceno.
Una porción de la mezcla se vaporiza para dar un vapor que contiene
85% en masa de benceno y un líquido residual que contiene 10,6%
en masa de benceno.
Si el proceso es continuo en régimen permanente y la alimentación
de la mezcla es de 100,0 kg/h, calcular cuántos kg/h se obtienen
de vapor y cuántos kg/h de líquido residual.
Entra agua a un tanque de 2 litros con un flujo másico de 3 g/s y
sale con un flujo másico de 5 g/s. Inicialmente el tanque está a la
mitad de su capacidad. Escribir el balance de masa para este proceso.
Resolver la ecuación para determinar en cuánto tiempo se descarga
el tanque.
Por una línea de conducción de 2 pulgadas de diámetro fluye CO2 a
40 psia y 20 °F, con una densidad de 0,052 lb/pie3 y a una velocidad
de 2.000 pies/s. En una sección que está corriente abajo la tubería
se reduce a una de 0,5 pulgadas de diámetro, por la cual el CO2 fluye
79
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
3.19
3.20
3.21
3.22
con una densidad de 0,124 lb/pie3. Determinar la velocidad del fluido
después de la reducción.
En una unidad de aire acondicionado entra aire atmosférico a 32
°C, con una densidad de 1,24 kg/m3 a través de un área de sección
transversal de 0,058 m2 con una velocidad de 11,2 m/s. Se elimina
el agua del aire y sale del sistema de aire acondicionado como un
líquido a un ritmo de 45,8 kg/h. El aire que sale de la unidad está a
15 °C con una densidad de 1,32 kg/m3. El área de la sección transversal de descarga es de 0,077 m2. Determinar la velocidad del aire
que sale.
El sistema de flujo de un motor de avión de propulsión a chorro
se debe diseñar de tal manera que entre aire con una densidad de
0,041 lb/pie3 a una velocidad de 400 millas/h a través de una sección
transversal con un área de 9,22 pie2. Del aire que ingresa, se deben
retirar 6 lb/s de aire a través de un compresor, para la ventilación
de la cabina. Al aire que va al motor se le añade combustible a una
razón de masa de aire/combustible de 38 y se quema. Los gases de
escape tendrán una densidad de 0,021 lb/pie3 y una velocidad de
1.180 pie/s. Determinar el área de la sección transversal de escape.
Un sistema cerrado experimenta un cambio de 1 a 2 en el cual se añaden 450 kJ de calor y realiza un trabajo equivalente a 150 kJ. Durante
el proceso inverso 2-1, se suministran 100 kJ en forma de trabajo.
Determinar la transferencia de calor durante el proceso 2-1.
Para cada uno de los procesos siguientes que se llevan a cabo en
sistema cerrado, llene los espacios en blanco de la tabla 3.4 donde
sea posible.
Tabla 3.4 Datos para el ejemplo 3.22
Qneto (kJ)
Wneto (kJ)
E1 (kJ)
a
40
16
10
b
40
–16
60
c
–55
–30
10
d
–15
20
e
10
E2 (kJ)
∆E (kJ)
0
30
3.23 En un tanque rígido se encuentran almacenados 1,5 kg de gas, los
cuales se agitan mediante un impulsor que suministra 50 kJ/kg de
gas de trabajo. La energía del gas se incrementa de 120,0 a 160.000
kJ/kg. Determinar la transferencia total de calor.
3.24 En un compresor se comprimen 129 kg/h de aire. Se sabe que durante la compresión aumenta la entalpía del aire en 19.000 kJ/kg
80
3. Ecuaciones de balance
3.25
3.26
3.27
3.28
3.29
y la entalpía del agua que enfría el compresor aumenta en 10.000
kJ/h. Despreciando los cambios en energía cinética y potencial y
conociendo que 1 kWh de energía cuesta $45, calcula el costo de
operación del compresor.
Una batería de plomo de 12 voltios se requiere para suministrar 1,8
amperios. La caída de energía interna de la batería debe ser 954 kJ
(máximo). En este proceso la batería se calienta y debe disipar 90 kJ
de calor al aire que la rodea. Calcular el tiempo que se puede usar
la batería antes de que se deba recargar.
Un cilindro cuyo volumen es 2 pie3 contiene 1,5 lb de un gas a 20
psia y 60 °F. el gas se comprime en un proceso de cuasiequilibrio
hasta 120 psia de forma tal que
P (en psia) = constante – 100 V
donde V está expresado en pie3. Su temperatura final es de 30 °F.
La energía interna del gas está dada por:
u (en Btu/lb) = 0,20 t con t en grados Fahrenheit.
Dibujar un diagrama P-V y calcular:
a. La transferencia de calor.
b. El cambio de la entalpía por libra de gas.
A través de un aparato que opera en condiciones de estado estable
flujo estable se realizan 70 kJ de trabajo por cada kilogramo de
fluido que pasa a través de él. La tubería de entrada está localizada 20 m sobre el piso y en este punto el volumen específico de
la sustancia es 3 m3/kg, su presión es 300 kPa y la velocidad con
que se desplaza es 50 m/s. La tubería de descarga está localizada
15 m bajo el piso y en este punto la sustancia tiene un volumen
específico de 9 m3/kg, una presión de 60 kPa y una velocidad de
150 m/s. La pérdida de calor del fluido es de 3 kJ/kg. Determinar
el cambio en la energía interna que experimenta la sustancia.
En un tanque aislado se encuentran almacenados 0,50 kg de gas con
una energía interna de 260 kJ/kg. Por medio de una válvula se le
suministra gas con una energía interna de 260 kJ/kg y una entalpía
de 350 kJ/kg, hasta cuando la masa total dentro del tanque sea de
1,0 kg. Calcular la energía interna final del gas dentro del tanque.
Un fluido se expande en una turbina en condiciones de estado y flujo
permanentes. El fluido ingresa a la turbina por una tubería de 10
pulgadas de diámetro a 13 m/s. En el punto de entrada, la entalpía
del fluido es de 2.400 kJ/kg y el volumen específico de 0,34 m3/kg.
En el punto de salida, la tubería tiene 5 pulgadas de diámetro y el
fluido sale con una entalpía de 2.100 kJ/kg y con un caudal de 22,62
l/s. Despreciando la transferencia de calor:
81
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
82
a. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del trabajo involucrado en
este proceso?
b. ¿Cuál es la densidad del flujo a la salida?
c. ¿Cuál es el error que se comete si se considera que el cambio en
la energía cinética es despreciable?
Se desea producir 40 l/s de vapor de agua a 350 °C en un evaporador
provisto de una resistencia eléctrica. Al evaporador se alimentan
8,5 kg/s de agua líquida en la siguiente condición: t = 350 °C, P =
16,13 MPa, u = 1.641,9 kJ/kg, s = 3,7777 kJ/kg K.
El agua entra al evaporador con una velocidad de 4,2 m/s por una
tubería de 2 pulgadas de diámetro. Al evaporador se entregan 2.500
kW de energía eléctrica y este disipa 420 kW de calor al ambiente.
El vapor sale por una tubería de 6 pulgadas, ubicada 8 metros por
arriba de la tubería de entrada. La eficiencia del evaporador es del
78%. Calcular la entalpía, la entropía y el volumen específico a la
salida del evaporador.
El trabajo realizado por un sistema cerrado que experimenta un
proceso de transformación reversible es de 15 kJ, y el calor que se
le agrega es de 5 kJ. Determinar si el cambio de entropía para el
sistema es:
a. Positivo.
b. Negativo.
c. Puede ser positivo o negativo.
Un sistema cerrado efectúa un proceso durante el cual el cambio de
entropía para el sistema es 18 kJ/K. El sistema recibe 6.000 kJ de
un depósito de calor a 300 K. Determinar si el proceso es reversible,
irreversible o imposible.
Un sistema cerrado efectúa un proceso mediante el cual elimina
calor. ¿Se puede regresar el sistema a su estado inicial mediante un
proceso adiabático? Justificar la respuesta.
En un arreglo cilindro pistón se realiza un proceso isotérmico reversible a 25 °C en el cual el volumen del sistema se duplica sin que
cambie su energía interna. Determinar el trabajo desarrollado por
el sistema en kJ/kg si la relación que existe entre la entropía y el
volumen para un sistema cerrado se puede expresar como
s = so + 0,29 × ln v
donde s queda expresado en kJ/kg K si v está dado en m3/kg y so es
una constante.
Se efectúa un proceso en un dispositivo que opera de acuerdo con
el modelo de estado estable flujo estable. El trabajo desarrollado es
3. Ecuaciones de balance
de 50 Btu y la cantidad de calor cedido es de 10 Btu. Determinar si
el cambio de entropía del fluido es:
a. Positivo.
b. Negativo.
c. Puede ser positivo o negativo.
3.36 Un gas se expande reversible e isotérmicamente a 25 °C, sin que
cambie su entalpía, en un dispositivo que opera en estado permanente. La presión del gas a la salida es igual a la tercera parte de la
presión a la entrada. Los cambios en energía cinética y potencial
son despreciables. ¿Qué potencia en kW desarrolla el dispositivo si
el flujo másico es de 50 kg/s?
La relación entre la entropía y la presión del gas es: s = so + 0,29 ×
ln P donde s está dada en kJ/kg K, P está dada en kPa.
3.37 Se enfría un fluido en un intercambiador de calor que opera en flujo
permanente y que elimina calor al ambiente a 25 °C. El fluido entra
con una entalpía de 2.326,1 kJ/kg y una entropía de 7.508 kJ/kg
K. A la salida los valores de estas propiedades son respectivamente
162,5 kJ/kg y 0,555 kJ/kg K. Demostrar que este proceso de transferencia de calor es irreversible.
3.38 En un sistema cerrado a temperatura constante hay vapor de agua
con las siguientes propiedades: P = 16 bar, t = 350 °C, v = 0,17456
m3/kg, h = 3.145,4 kJ/kg.
Durante el proceso se realiza un trabajo de 100 kJ/kg sobre el vapor
por medio de una rueda de paletas dentro del tanque. En un instante dado se transfieren 12,7 kJ/kg de calor a los alrededores. Si la
eficiencia es del 72% calcular:
a. La energía interna al final del proceso.
b. El cambio de entropía del vapor de agua.
c. El trabajo perdido.
83
4. Consecuencias de la segunda
ley de la termodinámica
El balance de materia y de energía no es suficiente para analizar muchos
sistemas y procesos termodinámicos, debido a que la naturaleza ha impuesto sobre la conversión y la transferencia de energía ciertas restricciones
adicionales.
El tratamiento de estas restricciones se ha facilitado por la introducción del
concepto de entropía y la segunda ley de la termodinámica, que permiten
establecer si un proceso puede realizarse o no y con qué eficiencia se lleva
a cabo la transformación energética.
4.1 Postulados de la segunda ley de la
termodinámica
Las observaciones de las transformaciones en la naturaleza, referidas a la
unidireccionalidad de los procesos que en ella ocurren, están incorporadas
en el enunciado de que todos los procesos espontáneos se desarrollan de
tal forma que la entropía del universo nunca disminuye. Las consecuencias de este enunciado son conocidas con el nombre de segunda ley de la
termodinámica.
Esta ley se ha postulado en formas muy diversas, pero todas son equivalentes
entre sí. Sin embargo, ninguna de las formulaciones puede derivarse de
ninguna otra ley de la naturaleza. Por tanto, la segunda ley de la termodinámica (al igual que la primera) mantendrá su validez hasta el momento
en el cual se descubran procesos que no puedan ser explicados por estas
leyes.
Los numerosos enunciados de la segunda ley pueden ser considerados como
variaciones de dos premisas básicas:
— Ningún dispositivo puede operar continuamente en forma tal que su
único efecto sea la conversión completa de calor en trabajo. Este es
conocido como el enunciado Kelvin Planck de la segunda ley.
— Es imposible la transferencia espontánea de calor desde un cuerpo a una
temperatura dada hacia otro de temperatura superior. Este constituye
el enunciado de Clausius.
4. Consecuencias de la segunda ley de la termodinámica
Si se acepta uno de los postulados, todos los demás pueden demostrarse a
partir de él.
Aunque los postulados anteriores muestran la imposibilidad de transformar
completamente en forma continua energía térmica en mecánica, en la práctica esta transformación puede llevarse a cabo, al menos parcialmente, mediante un dispositivo conocido como máquina térmica. De la misma manera se
puede transferir calor de un cuerpo a baja temperatura a otro a temperatura
alta con la intervención de un dispositivo conocido como refrigerador, el
cual requiere para operar el suministro de un trabajo mecánico.
4.2 Máquinas térmicas
Una máquina térmica es un arreglo de equipos que operando en forma
cíclica y continua transforma parte de la energía térmica que recibe en
energía mecánica. La representación esquemática de una máquina térmica operando entre una temperatura alta (Tc) y una temperatura baja (TF)
constantes, puede verse en la figura 4.1, y algunos ejemplos de máquinas
térmicas son la planta de generación termoeléctrica (véase figura 1.2) y
los motores de combustión interna (ciclos de Otto y de Diesel).
Figura 4.1 Representación esquemática de una máquina térmica
Para medir la calidad del funcionamiento de una máquina térmica se utiliza
el concepto de eficiencia térmica definida como la relación entre el trabajo
neto producido y la cantidad de calor suministrado
(4.1)
Si se realiza un balance de energía a la máquina térmica de la figura 4.1
se obtiene
luego
85
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
y reemplazando en la ecuación 4.1
(4.2)
Este resultado es aplicable a cualquier máquina térmica sea esta reversible
o no. En el caso particular de una máquina completamente reversible, el
balance de entropía (teniendo en cuenta que la temperatura de los focos
permanece constante) lleva al siguiente resultado
luego
y remplazando esta última relación en la ecuación 4.2 se obtiene
(4.3)
La ecuación 4.3 establece que la eficiencia de una máquina térmica reversible depende solamente de la temperatura de los focos con los cuales
intercambia calor y no depende de las características de la sustancia de
trabajo que opera en el interior de la máquina.
Como puede observarse la eficiencia térmica nunca puede ser del 100%,
porque esto implicaría o entregar calor a un foco a temperatura de cero
absoluto o recibir calor de un foco a temperatura infinita.
Vale la pena resaltar que los focos con los cuales la máquina intercambia
calor son cuerpos cuya temperatura permanece constante a medida que se
da el intercambio de calor y además, el proceso de transferencia de calor
se considera reversible. En la naturaleza los cuerpos que más se aproximan
a estas características deben ser de gran tamaño como: la atmósfera, el
océano y los grandes ríos.
Ejemplo 4.1
Una planta termoeléctrica que opera entre una fuente de calor a 850 °C
y una descarga (depósito) de calor a 110 °C opera con una eficiencia de
solo el 48% de la eficiencia ideal.
a. ¿Cuál debe ser la velocidad de transferencia de calor hacia la planta si se
quiere generar una potencia de 1000 MW? ¿Cuál debe ser la velocidad
a la cual se descarga calor de la planta?
b. Realizar el mismo cálculo anterior considerando una máquina ideal.
Solución
a. La eficiencia térmica ideal se puede calcular como
86
4. Consecuencias de la segunda ley de la termodinámica
La eficiencia real de la planta será
y por definición
y por tanto
El calor que sale de la planta se puede calcular como
b. Si la máquina térmica es ideal
y
4.3 Refrigeradores y bombas de calor
Los refrigeradores y las bombas de calor son dispositivos que operan en
sentido inverso al de las máquinas térmicas y por tanto pueden, mediante
el suministro de trabajo, extraer calor de un foco de baja temperatura y
transmitir calor a un foco de alta temperatura.
Cuando el propósito del dispositivo es mantener un espacio a baja temperatura mediante la extracción de calor recibe el nombre de refrigerador. Si
el objetivo es mantener un espacio a alta temperatura se tiene una bomba
de calor. Una representación esquemática puede verse en la figura 4.2.
Aunque la representación y el principio de funcionamiento son el mismo
para un refrigerador y una bomba de calor, el diseño mecánico y estructural
es diferente debido a que los objetivos son diferentes.
Teniendo en cuenta el objetivo del refrigerador, se define el coeficiente de
operación como la relación entre el calor extraído del depósito frío y el
trabajo suministrado
(4.4)
Al igual que en una máquina térmica, si se reemplaza
y
de acuerdo con el balance de energía, entonces
en términos de
(4.5)
87
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 4.2 Representación esquemática de un refrigerador y de una bomba
de calor
Si se trata de un refrigerador reversible
(4.6)
Ejemplo 4.2
Se desea que un refrigerador elimine 8,4×105 kJ/h de calor de un cuerpo
frío. Si el coeficiente de funcionamiento del refrigerador es de 3,5, ¿cuál es
la potencia con que se debe alimentar el refrigerador? ¿Cuál es la velocidad
a la cual el refrigerador debe entregar calor al ambiente?
Solución
De la definición de coeficiente de funcionamiento para un refrigerador
(véase la ecuación 4.4)
Del balance de energía
La bomba de calor tiene como propósito mantener un depósito a alta temperatura, luego su coeficiente de operación está definido como la relación
entre el calor suministrado al depósito y el trabajo neto
(4.7)
y de acuerdo con el balance de energía se obtiene
(4.8)
88
4. Consecuencias de la segunda ley de la termodinámica
Si la bomba de calor es reversible
(4.9)
Ejemplo 4.3
Una bomba de calor proporciona 14 kJ/s para mantener una habitación a
25 °C y recibe calor del exterior a –8 °C. Si el coeficiente real de funcionamiento es 50% del correspondiente a una bomba de calor ideal que opera
entre las mismas temperaturas, ¿cuál es la potencia real necesaria para
operar la bomba?
Solución
El coeficiente de funcionamiento ideal de la bomba de calor está dado por
El coeficiente de funcionamiento real es entonces
(COP)real = 0,5 (COP)ideal = 4,515
y de la ecuación 4.7
Contrario a la eficiencia de una máquina térmica que nunca puede ser
igual o mayor que uno, en una bomba de calor o en un refrigerador el
coeficiente de operación puede ser mayor que uno, sin embargo, el coeficiente de operación del dispositivo reversible siempre será mayor que el
real, funcionando entre los mismos focos de temperatura.
Problemas propuestos
4.1 Una máquina térmica que opera en un ciclo reversible recibe energía
de un depósito de calor a 1.500 °C y cede calor a un depósito a 40 °C.
Calcular el cambio de entropía de los depósitos y del universo si por
cada ciclo la máquina realiza un trabajo de 5.000 kJ.
4.2 Una máquina térmica que opera en un ciclo recibe calor de un depósito
a 2.000 K y cede calor a un depósito a 300 K.
Determina si la máquina es reversible, irreversible, o imposible para
cada uno de los siguientes casos
a. Qf = 50 J, Ws = 1.500 J
b. Qc = 2.000 J, Qf = 300 J
c. Qc = 1.000 J, Ws = 900 J
4.3 Dos refrigeradores reversibles están conectados en serie. El primero
toma calor de un depósito frío a TF y descarga calor a 10 °C. El se89
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
90
gundo refrigerador absorbe el calor eliminado por el primero a 10 °C
y descarga al medio ambiente que se encuentra a 25 °C.
a. Si se desea que ambos refrigeradores tengan el mismo coeficiente
de funcionamiento, ¿cuánto debe valer TF?
b. Si se desea que ambos refrigeradores consuman la misma cantidad
de trabajo, ¿cuánto debe valer TF?
Dos máquinas térmicas que operan en ciclos de Carnot están colocadas en serie. La máquina A, recibe calor a 1.200°F y descarga a un
depósito con una temperatura T. La máquina B, recibe el calor que
descarga la primera y a su vez descarga calor a un depósito que está
a 60 °F. Calcular la temperatura T para el caso en que
a. Los trabajos de las dos máquinas sean iguales.
b. Las eficiencias de las dos máquinas sean iguales.
Durante mucho tiempo se ha propuesto generar potencia eléctrica
aprovechando la diferencia de temperatura que se presenta en ciertas partes del mar. Si la máxima temperatura disponible cerca de la
superficie del océano es de 30 °C y la mínima, cerca del fondo, es de
5 °C, ¿cuál es la eficiencia máxima que puede tener una máquina de
esta naturaleza?
Una persona asegura haber desarrollado una máquina térmica que
aprovecha la diferencia de temperatura que se da en el océano (30 °C y
5 °C) y dice que puede producir 100 kJ de trabajo a partir de 1.000 kJ
de calor que se agreguen en cada ciclo. Verificar si puede ser verdad.
Una máquina térmica reversible que toma energía de un depósito de
alta temperatura TC y elimina calor a los alrededores a TO, se utiliza
para operar un refrigerador (también reversible). El refrigerador toma
calor de un cuerpo frío a TF y elimina calor a los mismos alrededores
a TO. Demostrar que el cociente del calor eliminado del cuerpo frío
(QF) y el calor proporcionado a la máquina térmica (QC) se aproxima
a TF /(To–TF) si TC es un valor mucho mayor que TO.
Una máquina térmica reversible intercambia calor con tres depósitos
y produce una cantidad de trabajo de 400 Btu. El depósito A tiene una
temperatura de 800 °R y suministra 1.200 Btu a la máquina; si los
depósitos B y C tienen temperaturas de 600 y 400 °R respectivamente.
¿qué cantidad de calor en Btu intercambia cada uno con la máquina?
¿Cuál es la dirección de los intercambios de calor con respecto a la
máquina?
Si para hacer funcionar un refrigerador cuyo coeficiente de operación
es 4, se emplea una máquina térmica con una eficiencia del 40%, ¿qué
cantidad de calor se debe proveer a la máquina térmica por cada kilo
joule que se sustrae del cuerpo frío mediante el refrigerador?
4. Consecuencias de la segunda ley de la termodinámica
4.10 El arreglo mostrado en la figura 4.3 se puede utilizar para producir calor
del proceso a alta temperatura. Si la eficiencia térmica de la máquina
real es el 60% de la eficiencia de la máquina reversible y el coeficiente de
funcionamiento real de la bomba de calor es el 60% del coeficiente de la
bomba de calor reversible. Determinar la cantidad de calor que se requiere
de la fuente a 373 K para producir cada unidad de calor a 425 K.
Figura 4.3 Obtención de calor mediante una fuente de baja temperatura,
para el problema 4.10
4.11 Para mantener un edificio a 22 °C se requiere suministrar 85.000 kJ/h
de calor. Cuánta potencia requiere una bomba de calor de Carnot si
absorbe calor de
a. La atmósfera a –5 °C.
b. Agua de un pozo a 8 °C.
4.12 Una máquina térmica recibe 250 kJ de calor reversiblemente de un
depósito de calor a 1.200 K. Luego, mediante un proceso adiabático
reversible de expansión se reduce la temperatura del sistema a 300 K.
Posteriormente se transfieren en forma reversible 180 kJ de calor a
un sumidero que se encuentra a 300 K. El ciclo se completa mediante
un proceso adiabático de compresión. Determinar si la compresión
adiabática es reversible, irreversible o imposible.
4.13 Se hace pasar una corriente eléctrica de 20 A por una resistencia de 50
ohmios que se mantiene a 100 °C. la energía disipada por la resistencia
la recibe el aire de los alrededores, que permanece a 25 °C. Si el proceso
transcurre durante 2 horas. ¿Cuánta entropía se produce (en kJ/kg K)?
4.14 Una máquina térmica y un refrigerador están conectados como se
muestra en la figura 4.4. La máquina térmica tiene una eficiencia de
solo el 81% de la eficiencia ideal y el refrigerador tiene un coeficiente
de funcionamiento de solo el 86% del coeficiente de funcionamiento
de un refrigerador ideal. Calcula:
91
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
a. El trabajo que sale de la máquina térmica.
b. El flujo de calor del depósito de alta temperatura hacia la máquina
térmica.
c. El flujo de calor y la temperatura de descarga del refrigerador.
Figura 4.4 Conexión entre una máquina térmica y un refrigerador, para el
problema 4.14
4.15 Se desea mantener refrigerado un depósito a –30 °C mediante la
extracción de 1.500 kW de calor. Para esta operación se utiliza un
refrigerador que descarga calor al ambiente (el cual está a 25 °C) y
que tiene un coeficiente de funcionamiento de solo el 62% del coeficiente de funcionamiento del refrigerador ideal que opera entre las
mismas temperaturas. El refrigerador recibe trabajo de una máquina
térmica reversible que recibe calor de un depósito de alta temperatura
y deposita 500 kW de calor al ambiente. Calcular:
a. El flujo de calor descargado del refrigerador.
b. El flujo de calor y la temperatura del depósito de alta temperatura
hacia la máquina térmica.
c. Si en lugar de una máquina térmica reversible se tiene una con
una eficiencia del 71% de la eficiencia máxima, ¿cuál debe ser el
flujo de calor de la fuente de alta temperatura hacia la máquina
térmica?
92
5. Cálculo de las propiedades de sustancias
puras mediante diagramas y tablas
En este texto solo se presentan procesos en los cuales la sustancia de trabajo
es una sustancia pura, es decir, que tiene una composición química definida
la cual no varía durante la transformación. Algunos ejemplos son: agua,
dióxido de carbono, amoníaco, oxígeno y aire seco. En este último caso se
considera como una sustancia pura porque siempre tendrá una composición
fija de 21% de oxígeno y de 79% de nitrógeno.
En el análisis de procesos es necesario determinar el estado termodinámico de
las sustancias y esto se logra mediante el conocimiento de un cierto número
de propiedades. En este punto es indispensable conocer, en cada caso, cuál es
el mínimo número de propiedades que determinan el estado termodinámico,
esto se logra mediante la aplicación de la regla de las fases.
5.1 Reglas de las fases de Gibbs
Esta regla establece que el número de propiedades intensivas independientes que deben especificarse arbitrariamente para fijar el estado termodinámico de un sistema en equilibrio se llama grados de libertad y es
la diferencia entre el número total de variables que se tiene y el número
de ecuaciones independientes que relacionan estas variables. J. W. Gibbs
dedujo mediante racionamiento teórico la siguiente relación
L=2–F+C–r
(5.1)
en la cual L es el número de grados de libertad, F es el número de fases
en equilibrio, C es el número de componentes y r indica las restricciones
(generalmente asociado al número de reacciones químicas presentes). Para
el caso de una sustancia pura C = 1 y r = 0, luego
L=3–F
(5.2)
De la ecuación 5.2 se puede deducir que para una sustancia pura el número
máximo de fases que pueden coexistir en equilibrio es tres. En este caso
no hay grados de libertad y las condiciones son únicas.
5.2 Relaciones fundamentales para una sustancia pura
De acuerdo con la regla de las fases el estado termodinámico de una sustancia
pura en una fase queda determinado conociendo dos variables intensivas,
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
esto significa que cualquier propiedad puede evaluarse como una función
de las dos propiedades conocidas. Esto es
Z = f (X, Y)
(5.3)
En la cual X, Y, Z representan propiedades. En particular para las propiedades que ya se conocen
u = f (T, v)
s = f (u, P)
h = f (s, T)
(5.4)
Estas relaciones definen estados de equilibrio y se conocen como ecuaciones
de estado.
Para una cantidad fija de una sustancia pura que experimenta un cambio
de estado reversiblemente, el balance de energía en forma diferencial es
du = δqneto – δwneto
y el balance de entropía es
y reemplazando en el balance de energía
du = T ds – δwneto
y con δw de la ecuación 4.2 queda
du = T ds – P dv
(5.5)
Además, por definición
h = u + Pv
y entonces
dh = du + P dv + v dP
por tanto
dh = T ds + v dP
(5.6)
Aunque las ecuaciones 5.5 y 5.6 fueron deducidas para el caso de un proceso
reversible, el resultado muestra una relación entre propiedades de estado,
y por tanto son válidas también para procesos irreversibles y se pueden
aplicar siempre que se requiera evaluar la variación de la energía interna
o de la entalpía conociendo las variaciones de la entropía y el volumen o
de la entropía y de la presión respectivamente.
Se pueden definir otras propiedades útiles (como se verá más adelante),
llamadas energía libre de Gibbs (G) y energía libre de Helmholtz (A), así
g=h–Ts
(5.7)
a=u–Ts
(5.8)
y en forma diferencial
dg = dh – T ds – s dT
da = du – T ds – s dT
reemplazando las ecuaciones 5.5 y 5.6
94
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
dg = v dP – s dT
(5.9)
da = –P dv – s dT
(5.10)
Las ecuaciones 5.5, 5.6, 5.9 y 5.10 se conocen como ecuaciones fundamentales de la termodinámica porque a partir de ellas se puede generar
cualquier relación termodinámica.
5.3 Superficie P-v-T y diagramas de propiedades
Como se dijo anteriormente, la presión, el volumen y la temperatura son
propiedades de medición directa y por tanto se pueden realizar una serie de
experiencias que permiten establecer cómo están relacionadas estas propiedades en las distintas fases y en equilibrio entre ellas. Los resultados obtenidos
se pueden representar en coordenadas rectangulares obteniendo lo que se
conoce como superficie P-v-T.
Las condiciones bajo las cuales dos o más fases de una sustancia pura pueden
coexistir en equilibrio reciben el nombre de condiciones de saturación. En estos
puntos la presión y la temperatura se conocen como presión de saturación y
temperatura de saturación. Es importante recordar, de la regla de las fases,
que al especificar la presión (o la temperatura) y la condición de saturación se
determinan las otras propiedades intensivas de las fases involucradas. Cualquier
fase de una sustancia que exista bajo estas condiciones se conoce como fase
saturada. Por ejemplo, en el equilibrio de un líquido con vapor de una sustancia,
a estas fases se les llama líquido saturado y vapor saturado respectivamente.
Mucho más útiles que la superficie P-v-T en tres dimensiones son los diagramas bidimensionales que se pueden obtener como proyecciones de la
superficie P-v-T sobre cada uno de los planos.
5.3.1 Diagrama presión temperatura (diagrama de fases)
En este diagrama se pueden apreciar varias características de las sustancias
puras (véase figura 5.1).
Aunque para la mayoría de las sustancias la temperatura de congelación
aumenta a medida que aumenta la presión, de forma que la curva de saturación sólido líquido (línea de fusión) tiene pendiente positiva, para el agua
y otras para sustancias que se expanden al congelarse, el incremento en la
presión disminuye la temperatura de congelación de modo que la línea de
fusión tiene una pendiente negativa (véase figura 5.2).
Para la mayoría de las sustancias hay cierta presión por debajo de la cual no
puede existir el líquido. Por debajo de esta presión las fases sólida y de vapor
coexisten en equilibrio y la línea de saturación sólido vapor en un diagrama
P-T se conoce como línea de sublimación. Para todas las sustancias, a mayor
presión, mayor es la temperatura de sublimación (o en otras palabras, la
línea de sublimación siempre tiene pendiente positiva).
95
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 5.1 Diagrama de fase para una sustancia que se contrae al congelarse
Figura 5.2 Diagrama de fase de una sustancia que se expande al congelarse
La curva que separa la fase líquida de la fase vapor recibe el nombre de curva
de vaporización o curva del punto de ebullición. La pendiente de la curva
de vaporización es positiva para todas las sustancias simples compresibles,
lo cual significa que la temperatura a la cual el líquido alcanza la ebullición
aumenta al incrementarse la presión.
El líquido que existe a una temperatura inferior a su temperatura de saturación (o a una presión superior a su presión de saturación) se conoce
como líquido comprimido o líquido sub-enfriado; por consiguiente, todos
los puntos de la región líquida que no están en la línea de saturación líquido vapor o sólido líquido, representan estados de líquido comprimido.
De igual forma, un sólido a una temperatura menor que la temperatura
96
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
de saturación se llama sólido comprimido, y un vapor con una temperatura por encima de la temperatura de saturación se conoce como vapor
sobrecalentado.
El punto en el cual se interceptan las líneas de vaporización, de sublimación
y de fusión representa las condiciones a las cuales las tres fases pueden
coexistir en equilibrio y recibe el nombre de punto triple. Esta condición
está representada por un punto solamente en el diagrama P-T, pero en
otros diagramas de propiedades está representado por una línea o por un
área. Si una sustancia puede existir en más de tres fases, tiene más de un
punto triple.
5.3.2 Diagrama presión volumen específico
Un diagrama P-v de una sustancia pura se muestra en la figura 5.3. De la
misma manera que en el diagrama P-T, los estados sólido, líquido y vapor
están representados por distintas regiones en un diagrama P-v. Sin embargo,
a diferencia del diagrama P-T el equilibrio de dos fases está representado
por un área y el equilibrio de tres fases está representado por una línea.
En este diagrama se puede observar que a medida que aumenta la presión,
el volumen específico del líquido saturado se incrementa y el del vapor
saturado disminuye, de tal forma que al final de la línea de vaporización
se hacen iguales y el líquido y el vapor no se pueden diferenciar entre sí.
Este punto se conoce como punto crítico. A presiones y temperaturas
mayores que la presión y la temperatura crítica las fases líquida y vapor
no son distinguibles.
Figura 5.3 Diagrama presión volumen específico
97
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
El área bajo el domo formado por las líneas de líquido saturado y de vapor
saturado representa mezclas de líquido y vapor y se conoce en ocasiones
como la región de vapor húmedo (esta región se representa, en el diagrama
P-T, como la línea de vaporización entre el punto triple y el punto crítico).
La línea a-b representa los estados de volumen específico mínimo para el
sólido a diferentes presiones, o en otras palabras, el sólido no puede comprimirse más allá de esta línea.
El área delimitada por los puntos a-b-c-d representa la región sólida y el
área delimitada por los puntos c-d-e-f representa mezcla de sólido y líquido.
De acuerdo con la definición de las condiciones de saturación, el líquido
a la temperatura de congelación (e-f) podría llamarse líquido saturado,
pero esto puede producir confusión con la línea de líquido a temperatura
de ebullición. Por tanto, la línea e-f se conoce como línea de líquido en
congelación.
Por debajo de la presión de tres fases no pueden existir líquidos, el área
encerrada por los puntos a-c-e-g-h representa mezclas de sólido y vapor (la
línea a-c representa el sólido saturado y la línea g-h representa estados de
vapor saturado). La línea c-e-g representa los estados en los que pueden
coexistir las tres fases.
Debido a la compresibilidad menor del líquido, comparado con el vapor, la
pendiente de las líneas de temperatura constante en la región del líquido
es mucho mayor que las mismas líneas en la región del vapor (véase figura
5.4). Por otra parte, dado que la vaporización a temperatura constante se
efectúa también a presión constante, una línea de temperatura constante
dentro de la región de vapor húmedo constituye también una línea de
presión constante.
Figura 5.4 Domo de vapor en un diagrama P-v con líneas de temperatura
constante
98
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
5.3.3 Diagrama temperatura volumen específico
La figura 5.5 constituye un diagrama T-v donde se muestra la curva de saturación. El comportamiento de la sustancia en la región de líquido vapor
es muy semejante al examinado en el diagrama P-v.
Figura 5.5 Diagrama T-v
El espaciamiento de las líneas de presión constante en la región del líquido
es mucho más pequeño que en la región de vapor. Por esta razón, un estado
de líquido comprimido se puede aproximar como un estado de líquido saturado a la misma temperatura y se puede observar también que el cambio
de volumen a temperatura constante, debido a un cambio de presión, es
mucho mayor para un vapor que para un líquido. Esto es debido a que el
vapor es mucho más compresible que el líquido.
5.3.4 Diagrama temperatura entropía
Además de la superficie P-v-T y de sus proyecciones a cada uno de los planos, se pueden establecer diagramas de otras propiedades que son útiles
en aplicaciones específicas de ingeniería. Uno de estos es el diagrama T-s
(véase figura 5.6). Por lo general, en estos diagramas se indican las líneas
de presión constante y las líneas de entalpía constante lo cual hace que
este diagrama sea sumamente útil.
Dado que, como se explicó antes, el área bajo la trayectoria que representa
un proceso cuasi estático en un diagrama T-s constituye la cantidad de
calor suministrada durante el proceso, en el caso de un ciclo reversible
(formado por varios procesos reversibles), la transferencia de calor neta
durante el ciclo está dada entonces por el área encerrada por los procesos
y de acuerdo con el balance de energía, esta área representa también el
trabajo neto desarrollado durante el ciclo. Es por esta razón que el diagrama
T-s adquiere gran valor para el estudio de ciclos.
99
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 5.6 Esquema de un diagrama T-s para una sustancia pura
5.3.5 Diagrama entalpía entropía
Un esquema de un diagrama h-s (también llamado diagrama de Mollier
en honor a su creador) se muestra en la figura 5.7. Dado que el diagrama
de Mollier contiene información de utilidad para la mayoría de los análisis de
ingeniería, su uso es bastante común. En especial, se facilita mucho el estudio de dispositivos tales como toberas, difusores, compresores, turbinas
e intercambiadores de calor.
Figura 5.7 Diagrama h-s o diagrama de Mollier
5.3.6 Diagrama presión entalpía
En la figura 5.8 se muestra un diagrama P-h. Este diagrama es de gran utilidad
en el estudio de ciclos de refrigeración, ya que en él, varios de los procesos
ideales que forman tales ciclos quedan representados por líneas rectas.
Las líneas de temperatura constante en la región del líquido son prácticamente verticales dado que el efecto de la presión en la entalpía es despreciable para un líquido. En la región de vapor, las líneas de temperatura
constante tienen una pendiente muy pronunciada, acercándose a la vertical
100
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Figura 5.8 Domo de vapor en un diagrama P-h
en la región de baja presión. Esto se debe a que en un vapor a baja presión
esta no afecta a la entalpía. (Este aspecto se estudiará con mayor detalle
cuando se muestre el comportamiento de los gases ideales).
5.4 Calidad y humedad
Como lo define la regla de las fases para una sustancia pura, si se establece
una propiedad y la condición de saturación entonces las otras propiedades de las fases involucradas quedan determinadas. Pero las propiedades
de la mezcla total no pueden ser especificadas a menos que se conozcan
las cantidades de cada una de las fases presentes. En efecto, suponga que
el volumen ocupado por el vapor saturado en una mezcla sea Vg y que el
volumen ocupado por el líquido saturado sea Vf, entonces el volumen total
de la mezcla está dado por
V = Vf + V g
(5.11)
y en términos de volúmenes específicos
V = M f vf + M g vg
(5.12)
en la cual Mf y Mg son la masa del líquido saturado y del vapor saturado
respectivamente.
Es claro que se necesita conocer Mf y Mg (además de vf y vg) para determinar
el valor del volumen de la mezcla.
La ecuación 5.12 se puede escribir como
(5.13)
en la cual v es el volumen específico de la mezcla y M es su masa. El cociente de la masa del vapor entre la masa total recibe el nombre de calidad
de la mezcla x.
101
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
(5.14)
combinando las ecuaciones 5.13 y 5.14 se obtiene
v = vf (1 – x) + vg x
(5.15a)
o bien
v = vf +( vg – vf) x = vf + x vfg
(5.15b)
en la cual, vfg = vg – vf
La relación entre la masa del líquido y la masa total se llama humedad de
la mezcla (Y)
(5.16)
Un líquido saturado que no esté en presencia de vapor tiene entonces x = 0
y Y = 1.
De igual manera, un vapor saturado sin presencia de líquido se caracteriza
porque x = 1, Y = 0 (a esta condición se le llama en ocasiones vapor saturado seco). Se ve claramente entonces, que el valor mínimo de la calidad
y de la humedad es cero. Los conceptos de calidad y humedad no tienen
sentido por fuera de la región de equilibrio de fases líquido vapor.
De forma similar a la ecuación 5.12 se pueden escribir las otras propiedades
de una mezcla de dos fases de una sustancia pura
U = M f uf + M g ug
(5.17a)
H = M f hf + M g hg
(5.17b)
S = M f sf + M g sg
y en términos de la calidad
u = uf (1 – x) + ug x = uf + ufg x
(5.17c)
h = hf (1 – x) + hg x = hf + hfg x
(5.18b)
s = sf (1 – x) + sg x = sf + sfg x
(5.18c)
(5.18a)
Ejemplo 5.1
En un arreglo cilindro pistón se expanden adiabática y reversiblemente 10 kg
de refrigerante R 134a desde una presión de 1 MPa hasta una presión de 0,2
MPa y una temperatura de 12 °C. ¿Cuál es la temperatura inicial del sistema
y cuál el trabajo realizado por el refrigerante sobre el pistón y la atmósfera?
Solución
Se trata de un proceso que ocurre en sistema cerrado sin experimentar
cambios en su energía cinética y potencial. Luego el balance de masa es
∆M = M2 – M1 = 0
El balance de energía para esta situación es
∆U = M (u2 – u1) = – Ws
102
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Balance de entropía
∆S = M (s2 – s1) = 0
Con las condiciones del estado 2
P2 = 0,2 MPa y t2 = 12 °C.
En el diagrama P-h del R 134a se pueden leer las otras propiedades:
v2 = 0,12 m3/kg, h2 = 262 kJ/kg, s2 = 1 kJ/kg K.
Para calcular u2 se debe recordar que
u2 = h2 – P2 v2 = 262 – 200 × 0,12 = 238 kJ/kg
como s2 = s1, entonces con s1 y P1 = 1 MPa queda determinado el estado
1 y se puede leer
v1 = 0,024 m3/kg, h1 = 298 kJ/kg, t1 = 67 °C
y calcular u1 = h1 – P1 v1 = 298 – 1.000 × 0,024 = 274 kJ/kg
y del balance de energía
Ws = 10 kg (274 – 238) kJ/kg = 360 kJ
La temperatura al comienzo de la expansión es de 67 °C y el trabajo hecho
por el sistema es 360 kJ.
Ejemplo 5.2
En la línea de una estación de bombeo de gas, el metano se comprime adiabáticamente desde 500 psia y 77 °F hasta 725 psia, a razón de 2,5 lbm/s.
Calcular la potencia requerida en kW y la temperatura del metano a la salida
del compresor, si el proceso es reversible.
Solución
Limitando el volumen de control como se muestra en la figura 5.9, se trata
de un sistema abierto que experimenta un proceso de compresión adiabático
en estado estable flujo estable.
Figura 5.9 Limitación del volumen de control, ejemplo 5.2
Las bases del análisis son: 1) que las variaciones de energía cinética y potencial de la masa que fluye pueden considerarse despreciables y 2) que el
proceso es adiabático y reversible. El balance de masa es
103
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Balance de energía:
he puede conocerse pues el estado termodinámico a la entrada está determinado con Pe = 500 psia y te = 77 °F.
Para determinar hs es necesario determinar primero el estado termodinámico a la salida, del cual aparentemente se conoce una propiedad, la presión
Ps = 725 psia. Un balance de entropía para ese sistema es
luego
Se = Ss
Se tiene entonces la otra propiedad ss que define completamente el estado.
Con ayuda del diagrama P-h para el metano con Pe = 500 psia y te = 77 °F
se lee he = 390 Btu/lbm y se = 1.23 Btu/lbm °R con ss = 1.23 Btu/lbm °R
y Ps = 725 psia: hs = 418 Btu/lbm y ts = 120 °F = 48,9 °C.
La potencia requerida es de 70,38 kW y la temperatura con la cual sale el
metano del compresor es 48,9 °C.
Ejemplo 5.3
Un recipiente rígido cuyo volumen es de 0,5 m3 contiene 80% en volumen
de agua líquida y 20% en volumen de vapor a 200 °C. En esas condiciones
se bombea agua de tal modo que se introducen al recipiente 140 kg. Si la
temperatura final del fluido en el recipiente es de 80 °C, ¿cuál es la presión
final en kPa?
Solución
Si se selecciona como volumen de control las paredes del tanque rígido
como se aprecia en la figura 5.10, se trata de un sistema abierto, sometido
a un proceso de llenado.
Figura 5.10 Volumen de control para el ejemplo 5.3
Para determinar la presión final es necesario, conocer el estado termodinámico mediante dos propiedades intensivas independientes que son la
temperatura y el volumen específico que puede calcularse a partir de la
información suministrada.
104
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Temperatura final del agua dentro del recipiente
tf = 80 °C.
Volumen específico final del agua
para conocer la masa final, se hace un balance de masa
Mf – Mi = Me, Mf = Mi + Me
además se sabe que
Mi vi = Vrecipiente
vi se puede conocer, se trata de una mezcla líquido vapor con calidad
Vlíquido = 0,8 Vrecipiente = 0,8 × 0,5 m3 = 0,4 m3
Vvapor = 0,2 Vrecipiente = 0,2 × 0,5 m3 = 0,1 m3
a 200 °C en el diagrama T-s para el agua
vf = 2 cm3/g = 2 × 10–3 m3/kg
vg = 140 cm3/g = 14 × 10–2 m3/kg
Con esto se obtiene
x = 0,0036
vi = (1 – x) vf + vg x = 2,5 × 10–3 m3/kg
Mi = 200 kg
Entonces
Mf = 200 + 140 = 340 kg
vfinal = 0,5/340 = 1,47 × 10–3 m3/kg
con tf = 80 °C y vfinal = 1,47 × 10–3 m3/kg en el diagrama T-s se puede ver
que P es la presión de saturación: 0,5 bar.
5.5 Tablas de propiedades
La misma información que reportan los diagramas se puede obtener en forma
de tablas de datos. Tanto los diagramas como las tablas de propiedades se
construyen a partir de una serie de mediciones experimentales de las variables
de medición directa y la ayuda de relaciones entre propiedades (como las
ecuaciones 5.5 a 5.10). Debido a que los datos experimentales son (en general) escasos, se pueden generar valores para otros estados termodinámicos
por medio de interpolaciones con la ayuda de métodos numéricos apropiados.
La ventaja de las tablas frente a los diagramas es su precisión a costa de un
mayor consumo de tiempo para obtener la información. El valor reportado
para aquellas propiedades que no se pueden medir en forma directa se obtiene
105
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
escogiendo un estado de referencia arbitrario para el cual se asigna un valor
de cero (generalmente a la energía interna y a la entropía). Por esto, se debe
tener cuidado de no mezclar datos de una sustancia obtenidos de distintas
fuentes. A diferencia de los diagramas, donde toda la información aparece
en ellos, en las tablas la información se muestra sectorizada.
— Tabla de saturación: donde aparecen reportadas la temperatura y la
presión de saturación, el valor de las propiedades específicas del líquido
saturado (subíndice f) y las del vapor saturado (subíndice g). Esta tabla
reporta valores entre el punto triple y el punto crítico.
Teniendo en cuenta que en equilibrio de fases la temperatura y la presión son dependientes entre sí, esta tabla puede presentarse teniendo
la temperatura o la presión como argumento.
— Tablas de vapor sobrecalentado y líquido comprimido: de acuerdo con
la regla de las fases, en esta zona se requiere del conocimiento de dos
propiedades independientes entre sí, es por eso que estas tablas son de
dos argumentos (temperatura y presión). Conviene recordar que las
propiedades del líquido comprimido cambian muy poco con la presión.
Solo para altas presiones. A bajas presiones las propiedades se pueden
calcular de manera aproximada, suponiéndolas iguales a los valores
correspondientes de la saturación a la misma temperatura.
Puesto que la información en las tablas de datos se encuentra dividida por
fases, es necesario determinar la fase en que se encuentra una sustancia
para así utilizar la tabla apropiada. Para esto se presentan generalmente
dos casos:
1. Se conocen la temperatura y la presión.
a. En la tabla de saturación se lee la presión de saturación (Psat) a la
temperatura conocida, y si
Pconocida>Psat ⇒ Líquido comprimido
Pconocida=Psat ⇒ Líquido + vapor
Pconocida<Psat ⇒ Vapor sobrecalentado
b. Otra manera de determinar la fase es leyendo la temperatura de saturación (Tsat) a la presión conocida, y si
Tconocida < Tsat ⇒ Líquido comprimido
Tconocida = Tsat ⇒ Equilibrio líquido vapor
Tconocida > Tsat ⇒ Vapor sobrecalentado
2. Se conocen la temperatura (o la presión) y una propiedad intensiva π
(u, h, v, o s).
En la tabla de saturación a la temperatura (o presión) conocida se lee πf
y πg (aquí π representa a cualquiera de las propiedades u, h, v, o s) y si
π < πf
⇒ Líquido comprimido
π = πf
⇒ Líquido saturado
106
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
πg > π > πf ⇒ Líquido + vapor
π = πg
⇒ Vapor saturado
π > πg
⇒ Vapor sobrecalentado
5.5.1 Interpolación de propiedades tabuladas
Muy a menudo, en la solución de problemas, se requiere hacer interpolaciones entre valores tabulados con el fin de obtener el valor de las propiedades
para condiciones que no aparecen en la tabla de datos. Si los incrementos
en variables independientes (temperatura y presión generalmente) son
pequeños, se puede emplear la interpolación lineal para obtener datos
aceptables (como en el ejemplo 4.9), es decir, si x es la propiedad que se
quiere determinar, entonces
(5.19)
En la cual los subíndices 1 y 2 representan dos datos consecutivos de la
tabla de datos.
Para los casos en los cuales los intervalos no son lo suficientemente pequeños (como en algunas tablas de vapor sobrecalentado), el cálculo de
algunas propiedades (en especial el volumen y la entropía) no arroja buenos
resultados si se realiza mediante una interpolación lineal.
Para el caso del volumen, se sabe que este es inversamente proporcional
a la presión y por tanto, una expresión de interpolación que da mejores
resultados que la ecuación 5.19 es
(5.20)
Para el caso de la entropía las expresiones de interpolación que dan mejores
resultados son
(5.21)
(5.22)
Ejemplo 5.4
En un arreglo cilindro pistón se comprimen 50 kg de amoniaco en forma
isotérmica. Al principio de la compresión el amoniaco está a 18 °C y 250
kPa y la presión al final es de 1.200 kPa. Para la compresión se necesitaron
18,5 MJ de trabajo mecánico. Calcular la transferencia de calor y el trabajo
perdido durante el proceso.
Solución
Si se escoge como sistema el amoniaco atrapado en el arreglo cilindro
pistón, entonces se pueden escribir los balances de la siguiente manera.
107
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Balance de masa
∆Msist = 0; Me = 0; Ms = 0
Balance de energía
∆U = M (uf – ui) = We – Qs
Balance de entropía
e integrando
M T (sf –si) = Lw – Qs
Para calcular el trabajo perdido se debe determinar primero el trabajo que
se hubiera requerido si el proceso se realiza en forma reversible entre los
mismos estados inicial y final.
Balance de energía del proceso reversible
M (uf – ui) = We, rev – Qs, rev
Balance de entropía del proceso reversible
M T (sf –si) = – Qs, rev
Se requiere conocer entonces el cambio en la energía interna y la entropía
durante la compresión y se requiere primero que todo establecer la fase en
la que está el amoniaco en las condiciones inicial y final. Para la condición
inicial (de la tabla de saturación)
ti = 18 °C ⇒ Psat = 803,66 kPa
por tanto se trata de un vapor sobrecalentado. De la misma manera, se
puede establecer que al final el amoniaco es un líquido comprimido.
Las propiedades al comienzo de la compresión se pueden encontrar en la
tabla de vapor sobrecalentado del amoniaco (mediante interpolaciones)
vi = 0,5525 m3/kg, hi = 1.503,0 kJ/kg, si = 5,8043 kJ/kg K y se puede
calcular ui = 1.503 – 250 × 0,5525 = 1.364,9 kJ/kg.
Las propiedades al final de la compresión se pueden evaluar como aproximadamente iguales a las del líquido saturado a 18 °C.
vf = 0,001631 m3/kg, hf = 265,4 kJ/kg, sf = 1,0112 kJ/kg K y, uf = 265,4
– 1.200 × 0,001631 = 263,4 kJ/kg.
Se puede obtener
Qs, rev = M T (si –sf) = 50 × 291,15 (5,8043 – 1,0112) = 69,77 MJ
We, rev = Qs, rev + M (uf – ui) = 69.770 + 50 (263,4 – 1.364,9) = 14.695 kJ
por tanto
Lw = Wtotal – Wrev = 3.805 MJ
y la transferencia de calor del proceso no reversible se calcula así
Qs, no rev = Qrev + Lw = 69,77 + 3.805 = 73,58 MJ
108
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Figura 5.11 Volumen de control para el ejemplo 5.5
Ejemplo 5.5
A una válvula de expansión fluyen 6 kg/s de freón-12 a 20 °C y 0,8 MPa
y salen a presión atmosférica. Calcular la temperatura y la densidad del
freón–12 a la salida de la válvula.
Solución
En forma esquemática el proceso se puede representar como se indica en
la figura 5.11.
Para este caso de sistema abierto en estado estable y suponiendo que los
cambios en energía cinética y potencial no son apreciables, entonces
Balance de masa
Balance de energía. Como se explicó en el ejemplo 3.11 si se considera
que el flujo es lo suficientemente rápido y puesto que no se mueve ningún
eje, ni los límites del sistema
Balance de entropía. Al igual que en el ejemplo 3.11
Las propiedades de salida se pueden conocer con Ps = 0,1 MPa y he = hs.
Por otra parte, de la tabla de saturación del freón–12 se obtiene que a 20 °C
Psat = 0,5673 MPa o sea que a la entrada se trata de un líquido comprimido y he ≈ hf = 54.828 kJ/kg. Con estos datos se puede establecer que
a la salida de la válvula Ps = 0,1 MPa y hs = 54.828 kJ/kg y de la tabla de
saturación se puede leer t = –30 °C y hf = 8.854 kJ/kg y hg = 174.076
kJ/kg (hg > hs > hf).
En este punto se puede decir que a la salida el freón-12 es una mezcla de
líquido vapor con una temperatura de –30 °C.
Para calcular la densidad de salida es necesario conocer primero la calidad
en ese punto
con este valor y tomando de la tabla de saturación vf = 6,72 × 10–4 m3/kg
y vfg = 0,158703 m3/kg entonces v = vf + vfg x = 0,0451 m3/kg y ρ = 1/v
= 22,17 kg/m3.
109
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
5.6 Capacidad calorífica
Es una propiedad termodinámica de gran utilidad cuando se quieren conocer la energía interna u o la entalpía h de las sustancias simples.
Recordando que una propiedad cualquiera de una sustancia pura en una
fase es función de dos propiedades intensivas independientes; u = u (T, v)
y h = h (T, P), se puede escribir la diferencial total para cada una de las
propiedades anteriores
(5.23)
(5.24)
En este punto se pueden definir dos nuevas propiedades termodinámicas
(5.25)
en la cual Cv se llama capacidad calorífica a volumen constante y
(5.26)
donde CP es la capacidad calorífica a presión constante.
Las unidades de Cv y CP serán unidades de energía por unidad de masa y diferencia de temperatura y se trata de cantidades específicas. También se puede
hacer referencia a las capacidades caloríficas por cantidad molar de sustancia
y en ese caso se representa con los simbolismos
y
y las unidades serán
energía sobre cantidad de sustancia en moles y diferencia de temperatura.
Cuando se tienen dos o tres fases en equilibrio para una sustancia pura P y T
no son propiedades independientes y entonces no pueden evaluarse Cv y CP..
Para sustancias puras en fase sólida o líquida la variación de las propiedades
por variación de volumen o presión es menos significativa que por variación de
la temperatura, entonces Cv = CP = C y es solo función de temperatura.
Dado que la capacidad calorífica es una propiedad termodinámica, es por
tanto función de dos propiedades intensivas independientes. En fase gaseosa
se acostumbra representarla como función de T y P.
Físicamente esta propiedad representa la cantidad de energía que es
necesario suministrar o retirar a una cantidad determinada de sustancia
para variar en un grado su temperatura. A esta cantidad de energía se le
denominaba antiguamente “calor sensible”, porque se pensaba que esa
energía solo podía suministrarse o retirarse en forma de calor, lo cual no
es cierto porque también puede ser en forma de trabajo; el término sensible se refiere a que ese intercambio de energía causa un sensible efecto
en la temperatura.
110
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
En condiciones de saturación cualquier suministro de energía a presión
constante produce un cambio de fase sin cambiar la temperatura, es por
eso que a esta energía se le llamaba “calor latente” dando la idea de que el
efecto quedaba oculto.
Ejemplo 5.6
Un tanque de calentamiento se alimenta continuamente con hielo picado
a –10 °C y 100 kPa. Si se desea obtener vapor a 200 °C y la misma presión,
calcular la cantidad de calor que se debe suministrar al agua. Adicionalmente
se sabe que la capacidad calorífica del agua sólida es 2,03 J/gK, que la capacidad calorífica del agua líquida es CL = 4,19 J/gK y que el calor latente
de fusión del agua es 335 J/g.
Solución
Los balances de masa y de energía para este sistema abierto en estado
estable son (considerando cambios insignificantes en la energía cinética
y potencial).
Me = M s
0 = M (he – hs) + Qe
y por tanto
qe = hs – he = hvapor – hhielo = ∆h
Se puede entonces conocer la cantidad de calor necesaria si se conoce el
cambio de entalpía de todo el proceso, para lo cual este se debe dividir en
varias etapas:
a. Suministro de calor para pasar de hielo a –10 °C hasta hielo a 0 °C.
b. Suministro de energía para el cambio de fase (hasta líquido a 0 °C).
c. Aumento de la temperatura del líquido desde 0 °C hasta la temperatura
de saturación a 100 kPa (99,63 °C).
d. Cambio de líquido saturado hasta vapor saturado a 100 kPa y 99,63 °C.
e. Aumento de la temperatura del vapor desde 99,63 °C hasta 200 °C.
O sea que
qe = ∆ha + ∆hb + ∆hc + ∆hd + ∆he
donde los subíndices representan cada una de las etapas.
La primera etapa se puede calcular utilizando la ecuación 5.24 que para
un proceso a presión constante se puede escribir como
dh= CP dT
y en forma integrada con la capacidad calorífica del sólido constante
∆ha = C (T2 – T1) = 2,03 × (0 + 10) = 20,3 J/g
La etapa b es el cambio de entalpía para el cambio de fase y es conocido
como el calor latente de fusión
∆hb = ∆hfusión = 335 J/g
111
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
La parte c se puede calcular utilizando dh= CP dT con la capacidad calorífica del líquido constante
∆hc = CL (Tsat – Tcongelación) = 4,19 × (99,63 – 0) = 417,4 J/g
El cambio de entalpía del proceso d es el calor latente de vaporización que
se puede encontrar en la tabla de saturación del agua a 100 kPa
∆hd = hg – hf = hfg = 2.258 J/g
Por último, la etapa e se puede hallar de las tablas del vapor de agua
sobrecalentado que a 100 kPa ∆he = h200 °C – hsat = 2.875,3 – 2.675,5 =
199,8 J/g.
En conclusión, la cantidad de calor necesaria para llevar a cabo el proceso es
qe = 20,3 + 335 + 417,4 + 2.258 + 199,8 = 3.230,5 J/g.
Problemas propuestos
5.1 Se tiene agua en un sistema cerrado a 300 °C con un volumen específico de 0,015 m3/kg y se expande reversiblemente a presión constante
hasta que vf = 2 vi.
a. Hacer un esquema del proceso en el diagrama T-s.
b. Calcular la temperatura final.
c. Calcular el trabajo y el calor involucrados en el proceso.
5.2 Agua con una calidad de 0,5 se expande reversiblemente a temperatura constante de 200 °C en un arreglo cilindro pistón hasta que su
volumen sea 4,67 veces el volumen inicial.
a. Hacer un esquema del proceso en los diagramas P-v, P-T y T-s.
b. Calcular el trabajo y el calor para realizar el proceso.
5.3 Encontrar los valores de entalpía específica del agua para los siguientes
estados:
a. P = 0,2 MPa, x = 1.
b. P = 0,2 MPa, x = 0,59.
c. P = 2,0 MPa, u = 2.900 kJ/kg.
d. P = 25 MPa, t = 100 °C.
e. P = 25 MPa, t = 110 °C.
f. P = 0,1 MPa, t = 25 °C.
5.4 Determinar la energía interna del freón–12 para cada uno de los
siguientes casos:
a. t = –5 °C, P = 50 kPa.
b. t = 25 °C, s = 0,5 kJ/kg K.
c. P = 1,0 MPa, h = 220 kJ/kg.
112
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
5.5 Determinar, para cada uno de los siguientes casos, la densidad del
amoníaco:
a. t = –40 °C, P = 98 kPa.
b. P = 300 kPa, h = 1.290 kJ/kg.
c. P = 240 kPa, s = 6.230 kJ/kg K.
5.6 Por un ciclo reversible de cuatro etapas fluye freón–12 de la siguiente
manera: freón–12 a –80 °C y una calidad desconocida se hace pasar
por un evaporador hasta obtener una calidad de 0,9, luego el freón
se comprime en forma adiabática reversible hasta vapor saturado.
En una tercera etapa el freón se condensa hasta líquido saturado.
Por último, se expande en forma adiabática reversible hasta llegar al
estado inicial.
a. Hacer un esquema del ciclo en un diagrama T-s.
b. Calcular la temperatura, la calidad y la entropía en cada punto del
ciclo.
c. Calcular la transferencia de calor en el evaporador y en el condensador.
d. Calcular el trabajo del proceso y el coeficiente de funcionamiento
del refrigerador.
5.7 Una máquina térmica que utiliza agua como fluido de trabajo opera
como sigue: el líquido saturado recibe calor a 310 °C hasta alcanzar
vapor saturado. Luego el agua sufre una expansión adiabática reversible hasta que la calidad sea del 80%. Luego de lo cual, el agua cede
calor hasta alcanzar el valor de entropía del estado inicial. Por último,
el agua se comprime a entropía constante hasta alcanzar nuevamente el
estado inicial.
a. Hacer un esquema del proceso en el diagrama T-s.
b. Calcular QC, QF, Wneto y η de la máquina térmica.
5.8 Un compresor enfriado por agua cambia el estado del freón–12 desde
vapor saturado a 1 bar hasta una presión de 8 bar y 62 °C. El flujo
másico de freón–12 al compresor es de 0,9 kg/min y el agua de enfriamiento absorbe calor a razón de 140 kJ/min. Calcular:
a. La potencia que debe ser suministrada en el compresor.
b. Si la velocidad del freón-12 no debe cambiar entre la entrada y la
salida del compresor, ¿cuál debe ser la relación entre los diámetros
de la tubería de salida y tubería de entrada (ds/de)?
c. Si el agua de enfriamiento disponible está a 25 °C y 85 kPa y debe salir
de la camisa de refrigeración como vapor saturado a la misma presión,
calcular el flujo másico y el caudal de agua que se necesita.
d. Calcular el costo por hora de operación del compresor teniendo en
cuenta que un kWh de energía eléctrica cuesta $50 y un metro cúbico
de agua cuesta $540.
113
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
e. ¿Cuál es la eficiencia del compresor si se le compara con un compresor adiabático reversible que opera entre las mismas condiciones
de entrada y la misma presión de salida?
5.9 Amoniaco a 250 kPa y 10 °C fluye por una tubería que está conectada,
por medio de una válvula, con un tanque vacío. La válvula se abre y el
tanque se llena hasta que la presión alcanza 250 kPa. En ese momento
la válvula se cierra. Si el proceso es adiabático y se pueden despreciar
los cambios en la energía cinética y potencial, calcular la temperatura
final del amoniaco dentro del tanque.
5.10 Un cilindro con pistón contiene 10 kg de nitrógeno a 0,5 MPa y –163 °C.
El pistón se desplaza de tal manera que comprime el nitrógeno a temperatura constante hasta obtener nitrógeno líquido saturado y retirando
2.200 kJ de calor. Calcular:
a. El trabajo necesario para la compresión.
b. La eficiencia de la compresión si se compara con una compresión
isotérmica reversible entre los mismos estados.
5.11 Se desea comprimir amoniaco de –18 °C y con una calidad del 85% hasta
500 kPa y 60 °C. Para realizar este proceso se utilizan un evaporador y un
compresor acoplados en serie. El calentador descarga amoniaco como
vapor saturado a una velocidad de 15 m/s a través de una tubería de 10
cm2 de área de sección transversal. El compresor es adiabático y descarga
el amoniaco a través de un área de sección transversal de 3,65 cm2. El
flujo es estable y se puede despreciar el cambio en la energía cinética en
el evaporador pero no en el compresor. Calcular:
a. El flujo másico y la velocidad de descarga del compresor.
b. El flujo de calor de todo el proceso.
c. El trabajo necesario para la compresión.
d. La eficiencia de la compresión y la temperatura de salida si se utiliza
un compresor adiabático reversible.
e. Si en lugar de un evaporador y un compresor en serie se pudiera
utilizar un solo compresor ideal. ¿Cuál sería el trabajo hecho en
ese compresor hipotético?
5.12 En una planta de refrigeración el amoniaco líquido entra a la válvula
de expansión a 200 psi y 80 °F. La presión a la salida de la válvula es
de 40 psi y los cambios en la energía cinética son despreciables.
a. Mostrar el proceso en un diagrama T-s.
b. Calcular el incremento en la entropía por kilogramo de amoniaco.
5.13 Una turbina recibe vapor de agua a 7,04 kgf/cm2 y 260 °C. El vapor
sale a 0,141 kgf/cm2. El trabajo medido en la salida es de 95,5 kcal/
kg de vapor. Hallar la eficiencia de la turbina si se compara con una
turbina adiabática reversible.
114
5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
5.14 Entra vapor de agua a una tobera adiabática a 10 bar y 200 °C con una
velocidad de 20 m/s. Las condiciones de salida son 7 bar y 180 °C.
Determinar la relación entre los diámetros de tubería de entrada y
de salida. (de/ds).
5.15 Se hace pasar agua por un estrangulamiento de tal manera que el
agua entra a 40 bar y sale a 0,35 bar y 120 °C.
a. Calcular la calidad del vapor que entra al dispositivo de estrangulación.
b. Si las velocidades de entrada y de salida son prácticamente iguales,
calcular la relación entre área de salida y área de entrada al dispositivo de estrangulación.
5.16 Un bloque de 1 lbm de aluminio a 200 °C se pone en contacto con
un bloque de 2 lbm de cobre a 1.000 °C y se les aísla del ambiente,
permitiendo que lleguen en forma reversible a un equilibrio térmico.
Si para el aluminio CP = 4,8 + 0,00322 T y para el cobre CP = 5,44 +
0,01462 T ( con CP en cal/mol K y T en kelvin), calcular:
a. La temperatura final de los bloques.
b. El cambio de entropía de cada bloque.
5.17 En un sistema cerrado hay vapor de agua a 16 bar con una densidad de
5,7287 kg/m3. Durante el proceso se realiza un trabajo de 100 kJ/kg de vapor por medio de una rueda de paletas dentro del tanque y se transfieren
12,7 kJ/kg de calor a los alrededores de tal manera que la temperatura
permanece constante. Calcular la presión final en el tanque
5.18 Si se considera que el refrigerante más apropiado es aquel que muestra
una mayor caída de temperatura para una caída de presión dada en
una estrangulación, escoger el mejor refrigerante entre freón–134a,
freón–12 y amoniaco si se tiene una caída de presión de 0,5 MPa a
través de una válvula aislada y la temperatura de entrada a la válvula
es de 25 °C (Considere que las sustancias a la entrada están como
líquido saturado y que los cambios en la energía cinética y potencial
son despreciables)
5.19 Utilizando los datos de tablas de propiedades para el oxígeno y la defini, determinar de manera aproximada la capacidad cación
lorífica a presión constante para el oxígeno en los siguientes estados:
a. 101.325 kPa y 180 K.
b. 101.325 kPa y 300 K.
c. 10 MPa y 180 K.
d. 10 MPa y 300 K.
5.20 La presión de saturación (presión de vapor) del agua para una temperatura dada se puede determinar con gran precisión en el intervalo
de temperaturas de 0 °C a 200 °C mediante la siguiente expresión
115
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
en la cual T está en kelvin y Psat es la presión de vapor en atmósferas.
Escribir un programa de computadora con esta expresión para calcular
la presión de vapor (hasta tres cifras decimales) en kPa, desde 10 °C
hasta 200 °C con incrementos de 10 °C y que calcule los porcentajes
de desviación con respecto a los datos de las tablas.
116
6. Cálculo de las propiedades
de los gases ideales
Como se vio anteriormente, se puede expresar una propiedad para una
sustancia pura en función de otras dos. Para regiones donde existe una fase
simple, la relación entre P, v y T puede expresarse como f (P, v, T) = 0. Esta
relación es conocida como ecuación de estado y permite encontrar una de
las propiedades en función de las otras dos, por ejemplo v = v (P,T) y
(6.1)
En esta ecuación las derivadas parciales tienen un significado determinado
y pueden medirse experimentalmente.
La ecuación 6.1 se puede transformar si se definen
(6.2)
en la cual β es el coeficiente de expansión térmica
(6.3)
siendo k el coeficiente de compresibilidad isotérmica. En consecuencia
(6.4)
Esta ecuación constituye una ecuación de estado.
De entre todas las fases, la gaseosa permite una descripción cuantitativa
relativamente sencilla y en especial aquellos gases que son llamados ideales
se pueden modelar mediante relaciones simples. En este capítulo se presenta el cálculo de las propiedades y algunos procesos con gases ideales.
6.1 Propiedades de los gases ideales
Los gases que se encuentran a bajas presiones y altas temperaturas (puede
considerarse que cumplen esta condición las sustancias que se encuentran a
presiones por debajo de dos atmósferas y temperaturas inferiores a dos veces
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Tc o a presiones por encima de dos atmósferas y temperaturas superiores
a dos veces la Tc, o sea, que se encuentren alejadas de las condiciones de
saturación), se pueden modelar como sustancias que tienen el siguiente
comportamiento:
— El volumen de las partículas se considera despreciable con respecto al
volumen del recipiente que contiene al gas debido a que la distancia
entre ellas es apreciable.
— Las colisiones de las partículas son elásticas entre sí y con las paredes
del recipiente.
— No hay atracción o repulsión interna.
A estos gases se les denomina gases ideales.
6.1.1 Relaciones P-v-T para gases ideales
En 1662 Boyle realizó las primeras medidas cuantitativas del comportamiento P-v de una cantidad fija de un gas a una temperatura constante y
encontró que el volumen y la presión están relacionados inversamente
,
o sea que
P v)T = constante
La representación de esta relación en un diagrama P-v (véase figura 6.1)
corresponde a una hipérbola equilátera en la cual cada una de las curvas
es una isoterma y T1 < T2 < T3.
Figura 6.1 Experimento de Boyle: relación entre presión y volumen a temperatura constante
118
6. Propiedades de los gases ideales
Por tanto
(6.5)
En 1687 Charles y Gay Lussac cada uno trabajando independiente del otro,
estudiaron el comportamiento de una cantidad fija de gas a una presión baja
que permanecía constante y encontraron que la temperatura y el volumen
tienen una relación directamente proporcional
(6.6)
Reemplazando las ecuaciones 6.5 y 6.6 en la ecuación 6.1 se obtiene
Integrando
Ln v = Ln T − Ln P + Ln R
donde R es la constante de integración. Luego
vP=RT
(6.7a)
Si se considera que la cantidad fija de gas es una mole, entonces se trata
no de volumen específico sino de volumen molar entonces
(6.7b)
Se puede determinarR si se considera que cuando T = T0 = 273,15 K y
(del
P = P0 = 1 atm, entonces V0 = 22,415 × 10−3 m3 y
principio de Avogadro); en consecuencia:
se conoce con el nombre de constante universal de los gases.
Las ecuaciones 6.7a y 6.7b, representan distintas formas de la ecuación
de estado del gas ideal y de ellas se puede deducir que
= R × PM
(6.8)
donde PM es el peso molecular del gas y R es la constante particular del
gas.
Otras formas de expresar la ecuación de gas ideal son
PV=MRT
PV=N T
en las cuales M y N representan la cantidad de masa y el número de moles
respectivamente.
La ecuación de estado de gas ideal también puede obtenerse a partir de
la mecánica cuántica.
119
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
6.2.2 Relaciones para calcular energía interna (u),
entalpía (h) y entropía (s) de gases ideales
De acuerdo con la regla de las fases, la energía interna de una sustancia
pura se puede escribir como una función de presión y temperatura. La dependencia de la presión se debe a la existencia de fuerzas intermoleculares
y si la sustancia se comporta como gas ideal estas fuerzas no existen y no se
requiere ninguna energía para alterar la distancia molecular promedio y por
consiguiente tampoco para producir cambios en el volumen y la presión de
un gas a temperatura constante. De esto se concluye que la energía interna
de un gas ideal solo depende de la temperatura y por tanto la ecuación 6.25
puede escribirse como
y
du = Cv dT
(6.9)
como h = u + Pv y para gases ideales Pv = RT entonces h = u + RT. Por
tanto, la entalpía de gases ideales también depende solo de la temperatura
y la ecuación 6.26 puede escribirse
y
dh = Cp dT
(6.10)
Por otra parte, dh = du + R dT y entonces Cp dT = Cv dT + R dT y por
tanto
Cp = C v + R
(6.11)
Para calcular la variación de entropía se tienen dos relaciones obtenidas a
partir de las ecuaciones 6.5 y 6.6. De la ecuación 6.5
y reemplazando du de acuerdo con la ecuación 6.9 y P/T por R/v entonces
(6.12)
de la misma manera, de la ecuación 6.6 se obtiene
(6.13)
Para integrar las ecuaciones 6.9 a 6.13 es necesario tener en cuenta que las
capacidades caloríficas son función de la temperatura y por tanto se debe
conocer la expresión de la función para hacer una integración analítica.
En general, si el cambio de temperatura no es de gran magnitud, se puede
120
6. Propiedades de los gases ideales
hacer un cálculo aproximado de las integrales considerando que Cp y Cv
son constantes en el intervalo de temperatura de interés.
Ejemplo 6.1
Un recipiente cerrado, rígido y aislado está ocupado por un gas ideal que
tiene una masa molecular de 46 kg/kmol. El gas, que inicialmente se encuentra a 50 kPa y 25 °C, recibe trabajo de un motor externo a través de
un impulsor montado dentro del recipiente hasta que la presión es de
100 kPa. Se conoce también que para este gas Cp = 0,84 + 0,0075 T con
Cp en kJ/kg K y T en kelvin. Calcular la temperatura final del gas y el trabajo realizado sobre él.
Solución
Se trata de un sistema cerrado en un proceso a volumen constante. En este
caso los balances de masa y energía son
dusist = δwe
pero en procesos a volumen constante
du = dh − v dP
y por tanto
we = ∆h − v ∆P
Para calcular ∆h es necesario conocer la temperatura final, que para un
gas ideal en un proceso a volumen constante es
y por tanto
por otra parte
y el trabajo realizado sobre el gas resulta
we = 1.250,5 − 53,89 = 1.196,61 kJ/kg
6.2 Datos tabulados de propiedades
de gases ideales
Teniendo en cuenta el comportamiento particular de los gases ideales (para
los cuales la energía interna y la entalpía son solo función de la temperatura)
y utilizando relaciones termodinámicas apropiadas se pueden presentar las
propiedades termodinámicas de estos gases en forma de tablas de datos.
Esto es útil, por ejemplo, en el caso del aire seco a bajas presiones (en las
121
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
cuales se puede considerar un gas ideal) por ser esa una sustancia de uso
común en procesos químicos.
Evidentemente no es necesario tabular la información de las propiedades
P-v-T de gases ideales puesto que estas propiedades están relacionadas por
medio de la ecuación de estado.
6.2.1 Tabulación de la energía interna,
la entalpía y la entropía de gases ideales
Las tablas de estas propiedades para gases ideales se construyen con respecto a un estado de referencia Tref y Pref al cual se le asigna arbitrariamente
y por tanto se cumple que href ≈ 0
Se puede calcular entonces la energía interna y la entalpía de un gas ideal
con respecto al estado de referencia escogido por medio de las ecuaciones
6.9 y 6.10
Si se conocen Cp y Cv en función de la temperatura se pueden evaluar las
integrales del lado derecho de las ecuaciones anteriores y se puede por
tanto tabular u y h utilizando la temperatura como argumento.
De la ecuación 6.13 se puede obtener el cambio de entropía entre dos
estados para un gas ideal
la cual se puede escribir también como
(6.14)
y si se define la propiedad s°
Es evidente que s° es solo función de la temperatura y se puede entonces
tabular junto a la energía interna y la entalpía. La ecuación 6.14 se puede
escribir como
(6.15)
De esta manera se puede evaluar el cambio de entropía empleando la tabla
(para encontrar s°) y la ecuación 6.15.
122
6. Propiedades de los gases ideales
6.2.2 Presión relativa y volumen relativo
De la ecuación 6.15 para un gas ideal que efectúa un cambio de estado
isentrópico
o bien
(6.16)
se puede definir presión relativa mediante
(6.17)
como s° es solo función de la temperatura, Pr es función únicamente de la
temperatura y se puede tabular.
Combinando las ecuaciones 6.16 y 6.17 se obtiene para un proceso isentrópico
o sea que
(6.18)
en la cual Pr2 corresponde a T2 y Pr1 corresponde a T1. De manera parecida,
si se define el volumen relativo como
(6.19)
el cual evidentemente es solo función de la temperatura, se puede demostrar que para un proceso isentrópico resulta
(6.20)
En las tablas de gases aparece también tabulado el volumen relativo con
la temperatura como argumento.
Ejemplo 6.2
Un tanque rígido de 0,6 m3 de capacidad contiene aire a 700 kPa y 20 °C. El
tanque está provisto de una válvula de alivio que se abre cuando la presión
es de 850 kPa y se cierra cuando la presión es de 810 kPa. Si un incendio
ocasiona que la válvula se abra, calcular la temperatura del aire cuando
se abre la válvula, la cantidad de aire que se pierde durante el incendio y
cuánta energía en forma de calor ha recibido el tanque en el momento en
que ésta se abre.
123
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Solución
Inicialmente el tanque permanece cerrado y a medida que recibe energía en
forma de calor aumenta su temperatura y su presión mientras su volumen
específico se mantiene constante. Esta primera parte del proceso ocurre
en sistema cerrado. Cuando la presión llega a 850 kPa se abre la válvula
y sale aire hasta cuando la presión cae a 810 kPa, momento en el cual se
cierra. Se trata de un proceso de vaciado y el sistema es abierto.
— Considerando que el aire tiene un comportamiento de gas ideal, se
puede calcular la temperatura en el momento en que se abre la válvula
mediante
Con
P = 850 kPa, V = 0,6 m3, R = 0,287 kJ/kgK
y M es la masa de aire dentro del tanque, que se puede calcular de las
condiciones a las que este se encuentra inicialmente
Luego,
— El aire que se pierde durante el incendio puede calcularse por un balance
de masa para el sistema durante el tiempo que permanece abierta la
válvula
Mf − Mi = − Ms
Mi es la masa dentro del tanque a las condiciones de 700 kPa y 20 °C
que es la misma a las condiciones de 850 kPa y 82,78 °C.
Mf es la masa dentro del tanque cuando se cierra la válvula a 810 kPa. Si se
puede considerar que el vaciado del tanque se lleva a cabo de tal manera
que la temperatura dentro de él permanece constante a 82,78 °C,
Ms = Mi − Mf = 0,24 kg.
— Hasta el momento en que se abre la válvula se trata de un proceso en
sistema cerrado. O sea, balance de masa, Me = Ms = 0 ⇒ Mi = Mf, balance
de energía M ∆u = QN. Como se trata de un gas ideal, la energía interna es
124
6. Propiedades de los gases ideales
función solo de la temperatura y utilizando la información de la tabla de
aire a baja presión
∆u = u2 (355,78 K) − u1 (293 K)
como los valores de temperatura no se encuentran directamente en la
tabla es necesario hacer una interpolación lineal
∆u = 254,2 – 209,07 = 45,13 kJ/kg
QN = 5 × 45,13 = 225,64 kJ
6.3 Procesos reversibles con gases ideales
Para una cantidad de gas ideal que experimenta una transformación reversible, se pueden estudiar diversos casos.
— Procesos a presión constante. El balance de energía es
du = δq − δw
reemplazando δw de la ecuación 3.2
du = δq − P dv ⇒ δq = du + P dv = dh, luego
q = ∆h = ∫ Cp dT
(6.21)
— Si el proceso ocurre a volumen constante entonces
du = δq, luego
q = ∆u = ∫ Cv dT
(6.22)
— En procesos reversibles a temperatura constante no hay variación de
energía interna ni de entalpía y del balance de energía se tiene
(6.23)
— Si el proceso es adiabático reversible, el balance de energía es du = − δw
reemplazando du y δw de acuerdo con las ecuaciones 6.9 y 4.2 y teniendo
en cuenta la ecuación de estado de gas ideal
(6.24)
Si a la relación Cp/Cv se le denomina γ y de acuerdo con la ecuación 6.11
(6.25)
luego
125
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
reemplazando en la ecuación 6.24
reordenando
(6.26)
Si se reemplazan los volúmenes en función de la temperatura y la presión
en la ecuación 6.26 se llega a
(6.27)
y
P1 v1γ = P2 v2γ
(6.28)
entonces para un proceso adiabático reversible de un gas ideal P v γ =
constante y
(6.29)
En general los procesos internamente reversibles de gases ideales se pueden
representar mediante la relación
P v n = constante
(6.30)
La ecuación 6.30 constituye la representación de un proceso politrópico, el
exponente politrópico n toma diferentes valores dependiendo del proceso
particular; así: n = 0, proceso a presión constante; n = ∞, proceso a volumen constante; n = 1, proceso a temperatura constante; n = γ, proceso
isentrópico de un gas ideal cuyas capacidades caloríficas son constantes.
En las figuras 6.2a y 6.2b se muestran esquemáticamente estos procesos
en diagramas P-v y T-s.
Combinando la ecuación 6.30 con la ecuación de estado de gas ideal se
obtienen las siguientes relaciones para proceso politrópicos
(6.31)
(6.32)
126
6. Propiedades de los gases ideales
Figura 6.2 Representación esquemática de procesos politrópicos. a. Diagrama
P-v. b. Diagrama T-s.
Ejemplo 6.3
Se alimentan 2,4 kg/s de aire a un compresor adiabático a 20 m/s con una
presión de 1 bar y una temperatura de 27 °C. El aire en la descarga está a
307 °C, 8 bares y con una velocidad de 60 m/s.
a. Hallar la potencia necesaria para la compresión.
b. Calcular la potencia que se requiere si se utiliza un compresor ideal y
se quiere la misma presión de salida del compresor real.
Solución
a. Escogiendo como sistema el aire que está en cada momento en el compresor, los balances de masa, energía y entropía se pueden escribir
127
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Con las temperaturas a la entrada y a la salida se puede encontrar en
las tablas de aire el valor que corresponde a la entalpía y con el balance
de energía se puede calcular la potencia necesaria para la compresión.
De las tablas de aire A Te ≈ 300 K ⇒ he = 300,19 kJ/kg, a Ts ≈ 580 K
⇒ hs = 586,04 kJ/kg y por tanto
b. Si el aire se comprime ahora en un compresor adiabático reversible, los
balances de energía y entropía son:
Para encontrar la potencia del compresor ideal se debe primero calcular
la temperatura a la cual saldría el aire en ese compresor (Ts, ideal) y después hallar la entalpía de salida del compresor ideal (hs, ideal). El cálculo
de la temperatura de salida del compresor ideal se puede hacer de tres
maneras:
— De la ecuación 6.15
y por tanto con
R = 0,287 kJ/kgK y so300K = 2,5133 kJ/kgK
soT = 3,11 kJ/kgK
s
y de la tabla del aire se puede encontrar (interpolando) que
Ts, ideal = 538,8 K
— De la ecuación 6.18, para un proceso adiabático reversible
y con Pr, 300 = 1,3860, entonces
Pr, Ts =1,088 de la tabla del aire Ts, ideal = 539,8 K.
— Si se supone que CP y Cv son constantes en el intervalo de temperatura, se puede utilizar la relación entre temperatura y presión para
procesos politrópicos con n = γ = CP/CV (véase ecuación 6.27).
y como para el aire γ = 1,4, entonces Ts, ideal = 543,4 K.
128
6. Propiedades de los gases ideales
Es evidente que los tres métodos producen resultados muy cercanos
entre sí.
Si se toma Ts, ideal ≈ 540 K se puede encontrar que hs, ideal = 544,35
kJ/kg y por tanto
Definiendo eficiencia adiabática de un compresor (ηc) como
entonces, para este caso η = 85,5%.
Ejemplo 6.4
Por medio de un compresor reversible se comprime aire permanentemente
desde 100 kPa y 300 K hasta una presión de 900 kPa. Determinar el trabajo
de la compresión por kilogramo de aire para:
a. Una compresión isoentrópica.
b. Una compresión politrópica con n = 1,3.
c. Una compresión isotérmica.
Comparar los resultados.
Solución
El proceso de compresión obedece al modelo de sistema abierto, flujo estable estado estable, se puede considerar que la sustancia de trabajo (aire)
a esas condiciones de presión se comporta como gas ideal y su capacidad
calorífica es función de la temperatura.
Las condiciones de entrada al volumen de control y la presión de salida del
volumen de control son las mismas para las tres compresiones propuestas y las
variaciones de energía cinética y potencial pueden considerarse despreciables.
a. Compresor isentrópico:
Balance de masa
Balance de energía
Balance de entropía
Del balance de energía
WN = he − hs = −∆h
Para calcular la variación de entalpía es necesario conocer la temperatura
a la salida.
Por tratarse de un gas ideal sometido a un proceso isentrópico la ecuación 6.14
queda
Con ayuda de la tabla de aire se puede obtener s°300 K = 2,5153 kJ/kgK y
entonces
con este valor y nuevamente con el uso de la tabla (interpolando) se
encuentra
129
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Ts = 557,72 K
y por tanto
Es necesario suministrar 262,6 kJ de energía en forma de trabajo por cada
kilogramo de aire que se comprima.
b. Compresor politrópico:
Balance de masa
Balance de energía
Balance de entropía
Durante el proceso hay transferencia de calor a temperatura que varía entre
la entrada y la salida, luego este calor no puede calcularse directamente del
balance de entropía. En este caso se cumplen las ecuaciones 6.31 y 6.32.
Con n = 1,3 se obtiene
wN = −245,34 kJ/kg
Para calcular la cantidad de calor liberada durante el proceso, de acuerdo
con el balance de energía
qN = hs − he + wN
Utilizando las tablas del aire para calcular la variación de entalpía
qN = 500,21 – 300,19 – 245,34
qN = − 45,32 kJ/kg
Es necesario durante la compresión politrópica suministrar 245,24 kJ por
cada kilogramo de aire que se comprima y se liberan 45,32 kJ en form a
de calor.
c. Compresor isotérmico:
Balance de masa
Balance de energía
Balance de entropía
Como la transferencia de calor ocurre a temperatura constante, del balance de entropía
130
6. Propiedades de los gases ideales
pero
y por tanto
qN = − 300 × 0,287 Ln 9 = − 189,18 kJ/kg
luego de la ecuación 6.23
wN = qN = − 189,18 kJ/kg
El compresor isotérmico requiere 189,18 kJ de energía en forma de trabajo
para comprimir un kilogramo de aire liberando la misma energía en forma de
calor; esto está de acuerdo con la consideración de gas ideal que dice que si
no se varía la temperatura no existe variación en energía para la sustancia.
Si solo se tiene en cuenta el consumo de potencia del compresor para un flujo másico determinado, es más recomendable el compresor isotérmico.
Problemas propuestos
6.1 Se expande aire en un arreglo cilindro pistón sin fricción. Al principio
de la expansión el aire se encuentra a 40 °C y 1,5 MPa. El estado final
es 62 °C y 1,5 MPa. Calcular el trabajo y el calor involucrados.
6.2 Aire a 350 kPa y 90 °C con una velocidad de 5 m/s se hace pasar por
una tobera con el fin de acelerarlo. El aire sale de la tobera a 340 kPa
y 50 °C. Calcular la velocidad de salida del gas.
6.3 En un sistema cilindro pistón se comprime aire adiabáticamente desde
1 bar y 16 °C hasta 10 bares y 350 °C.
a. Calcular el trabajo necesario para la compresión.
b. Calcular el trabajo si la compresión se realiza en forma adiabática
reversible.
6.4 Se comprime aire mediante un proceso con un coeficiente politrópico
de 1,3 en un sistema cerrado. El aire inicialmente está a 17 °C y 1 bar
y la presión final es de 5 bares. Calcular:
a. La temperatura final del aire.
b. El trabajo efectuado sobre el gas.
c. La cantidad de calor transferida.
d. El trabajo necesario para una compresión adiabática reversible.
6.5 Un recipiente cerrado no rígido está ocupado por un gas ideal de un
peso molecular de 46 g/mol a una presión de 50 kPa y una temperatura
de 25 °C. Se realiza trabajo sobre el gas (mediante un motor externo
acoplado a un impulsor montado dentro del recipiente) hasta que la
presión alcanza 120 kPa. Se sabe que el proceso es reversible y se cumple que T v 0,36 = constante y que para el intervalo de temperaturas
involucradas CP = 0,84 + 0,0075 T con T en kelvin y CP en kJ/kgK.
131
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Calcular:
a. El trabajo neto realizado sobre el gas.
b. La transferencia de calor.
6.6 Demostrar que para un gas ideal, el coeficiente de expansión β (véase
ecuación 6.2) es solo función de la temperatura.
6.7 Demostrar que la compresibilidad isotérmica k (véase ecuación 6.3) es
solo función de la presión para un gas ideal.
6.8 A un compresor adiabático entran 32 kg/s de gas metano a 1 atm y
135 °C. El metano sale del compresor a 25 MPa y 935 °C. Calcula:
a. La potencia necesaria para operar el compresor.
b. La potencia requerida si la compresión de realiza en forma reversible.
6.9 Se tiene metano en un recipiente cerrado no rígido el cual, mediante
un proceso politrópico, sufre una compresión desde 100 kPa y 27 °C
hasta 300 kPa y 73,07 °C. Calcular:
a. El coeficiente politrópico.
b. El cambio de entropía del metano.
c. El trabajo hecho en la compresión y el calor transferido.
6.10 Un vendedor está ofreciendo una turbina para generar 2.500 kW de energía
eléctrica. Las características de la turbina son: turbina adiabática para
operar con 35 kg/s de aire. La línea de alimentación a la turbina debe
estar a 6 MPa y 400 °C. Las condiciones de salida serán 1 MPa y 400 °C
para una eficiencia global del 93,2 %. Verificar la veracidad de la oferta.
6.11 Dentro de un tanque no rígido se encuentran 10 kg de etileno (C2H4)
a 10,23 MPa y 68 °C. El sistema sufre un proceso adiabático reversible
hasta alcanzar una presión de 1.023 MPa. Si se considera el etileno
como un gas ideal:
a. Calcular el trabajo involucrado en el proceso.
b. Hallar el cambio en la entalpía del etileno.
6.12 Por una tubería horizontal aislada de 2 pulgadas de diámetro fluye
nitrógeno en estado estable. El nitrógeno pasa por una válvula parcialmente abierta en la cual experimenta una caída en la presión. Las
condiciones justo antes de la válvula son: 80 psia, 100 °F y 15 pie/s.
Si la presión justo después de la válvula es de 20 psia, calcular la
temperatura después de la válvula (considerar el nitrógeno como un
gas ideal con Cv = 5/2 R y CP = 7/2 R).
6.13 Se expande aire en una tobera para acelerarlo desde una velocidad de
2 m/s hasta 350 m/s. Calcula el descenso en la temperatura del aire.
6.14 El aire contenido en un cilindro con pistón se comprime en un proceso reversible. Durante el proceso de compresión la relación entre
la presión y el volumen es P v1,25 = constante. La masa de aire en el
132
6. Propiedades de los gases ideales
cilindro es 0,1 kg, la presión y la temperatura inicial son respectivamente 100 kPa y 20 °C, el volumen final es la octava parte del volumen
inicial. Determinar el trabajo y el calor transferido.
6.15 Fluye aire por una tubería a 500 kPa y 25 °C, un tanque inicialmente
vacío se conecta mediante una válvula. Cuando la válvula se abre el aire
fluye al tanque hasta cuando la presión dentro del tanque es 500 kPa.
a. Si el proceso ocurre adiabáticamente, cuál es la temperatura final
del aire dentro del tanque.
b. Determinar una expresión general que dé la relación entre la temperatura del gas que entra al recipiente y la temperatura final del gas dentro
del tanque en términos de las propiedades termodinámicas del gas.
6.16 Un tanque cuyo volumen es 1 m3 está conectado a un tanque cuyo volumen es 0,3 m3 mediante una válvula. Inicialmente, el tanque grande
contiene aire a 700 kPa y 20 °C y el pequeño está vacío. Se abre la válvula
y permanece abierta hasta cuando se alcanza una presión de equilibrio. Puede asumirse que el aire que permanece en el tanque grande
sufre un proceso adiabático reversible y además que el proceso global
es adiabático. ¿Cuál es la masa de aire al final en el tanque pequeño?
¿Cuál es la temperatura final del aire en el tanque pequeño?
6.17 Fluye nitrógeno a través de una tobera a razón de 1 kg/s. A la entrada se encuentra a 400 kPa y 200 °C y su velocidad es de 30 m/s, a la
salida la presión es 100 kPa. Asumiendo que el proceso es reversible
y adiabático, encontrar la velocidad de salida y el área transversal de
la tobera a la salida.
6.18 Se comprime aire en un proceso reversible de estado estable flujo
estable desde 100 kPa y 27 °C hasta 800 kPa. Calcular el trabajo de
compresión, el cambio de entropía y el calor transferido por kilogramo
de aire comprimido, asumiendo los siguientes procesos:
a. Isotérmico.
b. Politrópico con n = 1,25.
c. Adiabático.
Representar todos estos procesos en diagramas P-v y T-s.
133
7. Cálculo de las propiedades de sustancias
puras por medio de relaciones
En el capítulo cinco se presentó la forma de cálculo de propiedades para
sustancias de las cuales se dispone de información en forma de diagramas
o tablas. En el capítulo seis se mostraron los procesos con gases ideales
y la manera de calcular las propiedades de este tipo de sustancias. Para
completar la presentación del cálculo de propiedades de sustancias puras
se estudiarán en este capítulo formas de cálculo para sustancias que no se
pueden considerar como gases ideales ni de las cuales se dispone de tablas
de datos. El cálculo de las propiedades para estas sustancias se realiza
principalmente por relaciones matemáticas.
7.1 Relaciones P-v-T
En la literatura pueden encontrarse un gran número de ecuaciones de estado
para diversas aplicaciones. Estas ecuaciones tienen un grado de complejidad
que va desde las expresiones más simples (gas ideal), pasando por ecuaciones
de dos o tres constantes, hasta las más complicadas formas que contienen
cincuenta o más constantes.
Las ecuaciones de muchas constantes se han empleado para la presentación
precisa de datos volumétricos; estas ecuaciones por lo general no son utilizadas para el cálculo de equilibrio de fases o en estudios de simulación de
procesos, principalmente debido a que requieren excesivo tiempo de computador y a que es difícil obtener formas generalizadas de ellas que puedan
aplicarse a cálculos de mezclas multicomponentes, por tanto, en la mayoría
de las situaciones, el uso de las ecuaciones de estado cúbicas representa un
compromiso satisfactorio entre exactitud y velocidad de cálculo.
7.1.1 Ecuaciones de estado cúbicas
Para la descripción precisa del comportamiento P-v-T de los fluidos dentro
de un amplio intervalo de presión y temperatura se requiere una ecuación
más general que la de gas ideal.
La primera relación con esta característica la propuso J.D. Van der Waals
en 1873, en la cual trata de corregir la ecuación de gas ideal en cuanto a considerar el volumen de las partículas y la pérdida de presión por colisiones
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
(7.1)
donde el término ac/v2 es la corrección por presión y b la corrección por
volumen, ac y b son constantes características para cada sustancia.
Aunque la ecuación de Van der Waals tiene un reconocido valor histórico,
no describe en forma precisa el comportamiento termodinámico de muchas sustancias y por esto desde su aparición se han propuesto cientos de
variaciones a la ecuación semiempírica original. Una de las modificaciones
más exitosa fue la realizada por Redlich y Kwong (en 1949) quienes propusieron una ecuación que se puede escribir
(7.2)
En la cual α es llamada la función de atracción y depende de la temperatura
reducida (Tr = T/Tc) para cada componente.
Para la ecuación de Redlich-Kwong
(7.3)
Las constantes de las ecuaciones de estado se deben evaluar experimentalmente a partir de datos disponibles de presión, volumen y temperatura.
O en caso de que no se tenga esa información, se pueden evaluar para
ecuaciones de dos constantes teniendo en cuenta que la isoterma Tc tiene
un punto de inflexión en el punto crítico (véase figura 7.1) y por tanto,
matemáticamente se cumple que
Al diferenciar las ecuaciones 7.1 y 7.2 se obtienen expresiones para las dos
derivadas, que son iguales a cero cuando P=Pc, v = vc y T = Tc. La ecuación
de estado se escribe para las condiciones críticas y de las tres relaciones
se pueden obtener ecuaciones que permiten calcular ac y b conociendo las
propiedades críticas de la sustancia.
Para la ecuación de Van der Waals
(7.4a)
(7.4b)
Para la ecuación de Redlich-Kwong
(7.5a)
135
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
(7.5b)
En este punto se debe mencionar que aunque las ecuaciones 7.4 y 7.5
proporcionan resultados aceptables en la cercanía del punto crítico, los
resultados que se obtengan en condiciones alejadas de este punto deben
tomarse con reserva. Además, cabe decir que los coeficientes numéricos de
las constantes ac y b, en esas expresiones, son adimensionales, de tal manera
que se pueden utilizar con cualquier conjunto consistente de unidades.
Figura 7.1 Isotermas que se obtienen con una ecuación de estado cúbica
En los últimos años la principal línea de desarrollo en las modificaciones
propuestas para mejorar la ecuación de Redlich-Kwong está basada en
nuevas formas de la función de atracción (α). Una de las modificaciones
más aceptadas es la hecha por Soave (en 1972) quien postuló (sin utilizar
datos experimentales) la siguiente relación entre α y Tr
α = [1 + m (1 − Tr0,5)]2
(7.6)
con
m = 0,48 + 1,574 ω − 0,176 ω2
(7.7)
en la cual ω es el factor acéntrico.
En 1976 Peng y Robinson propusieron una modificación que ha tenido gran
acogida internacional y para la cual se basaron en las propiedades de una
gran cantidad de sustancias
(7.8)
con
136
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
(7.9a)
(7.9b)
y α se debe evaluar con la ecuación 7.6 pero ahora
m = 0,37464 + 1,54226 ω − 0,26992 ω2
(7.10)
En resumen, las ecuaciones de estado cúbicas presentadas en este texto
tienen la forma general
(7.11a)
con
(7.11b)
(7.11c)
y los valores de k1, k2, Ωa, Ωb, α y m para las cuatro ecuaciones de estado
están en la tabla 7.1.
La solución de las ecuaciones cúbicas produce tres raíces, las cuales pueden
ser reales o imaginarias. En la región de una sola fase, bien sea de líquido
comprimido, vapor sobrecalentado o por encima de las condiciones críticas,
la solución de la ecuación conduce a una sola raíz real para el volumen.
En la región de saturación la solución de la ecuación conduce a tres raíces
reales, el menor valor corresponde al volumen de líquido saturado, el mayor
al volumen de vapor saturado y el valor intermedio no tiene significado
físico. En el punto crítico la ecuación de estado produce tres raíces reales
iguales que corresponden al volumen crítico (véase figura 7.1).
Tabla 7.1 Valores de los parámetros para las ecuaciones de estado cúbicas
consideradas en este texto
Ecuación
k1
k2
Ωa
Ωb
α
m
Van der Waals
0
0
0,421875
0,125
1
0
Redlich-Kwong
1
0
0,42747
008664
Ec. 7.3
-
Redlich-Kwong-Soave
1
0
0,42747
0,08664
Ec. 7.6
Ec. 7.7
Peng-Robinson
2
−1
0,45724
0,0778
Ec. 7.6
Ec. 7.10
Las raíces de una ecuación de estado cúbica pueden encontrarse analíticamente o se pueden emplear técnicas iterativas que resultan prácticas
137
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
solamente si convergen en la raíz deseada. Por ejemplo, la forma general
de las ecuaciones de estado cúbicas presentadas en este texto (véase la
ecuación 7.11a) se puede escribir como
la cual puede ser usada para calcular el volumen del vapor mediante la
relación de iteración
(7.12)
El valor indicado del volumen para iniciar la iteración es el de gas ideal a
las condiciones dadas de presión y temperatura.
Para calcular el volumen del líquido con la misma ecuación, esta se puede
representar en forma polinomial de la siguiente manera
la cual se puede iterar para el líquido mediante
(7.13)
en la que
Como valor inicial para el volumen se toma v0 = b.
La solución de las ecuaciones de estado cúbicas mediante las técnicas
iterativas de las ecuaciones 7.12 y 7.13 puede presentar problemas de
convergencia (especialmente para la ecuación de Peng-Robinson), es por
eso que en los últimos años se han desarrollado métodos que sistematizan
adecuadamente el proceso iterativo. Entre estas técnicas, el método de
Bairstow tiene gran aceptación porque con este procedimiento la determinación de las raíces tiene lugar secuencialmente de menor a mayor, lo
que favorece la convergencia.
Ejemplo 7.1
Calcular el volumen específico del líquido y del vapor saturado del propano a 70 °C, (cuya presión de saturación a esta temperatura es 25,94 bar)
mediante las ecuaciones de Van der Waals, Redlich-Kwong, Soave y PengRobinson. Comparar con los valores experimentales
vf (70 °C) = 2,73 × 10−3 m3/kg vg (70 °C) = 11,23 × 10−3 m3/kg.
138
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Solución
Para calcular el volumen específico del vapor, se puede utilizar la ecuación 7.12.
El valor inicial para el volumen es el calculado por la ecuación de gas ideal
y además se tiene para el propano
Pc = 4.306 kPa,
Tc = 369,8 K
Para la ecuación de Van der Waals
ac = 0,04763 kPa m6/kg2
b = 0,002 m3/kg
k1 = 0
k2 = 0
α=1
y por tanto la ecuación 7.12 queda
y
ω = 0,152
Después de realizar las iteraciones se llega a
vg = 17,83 × 10−3 m3/kg
Para calcular el volumen específico del líquido se puede utilizar la ecuación 7.13
con un valor inicial v0 = b = 0,002 m3/kg se llega después de varias iteraciones a
vf = 4,22× 10−3 m3/kg
Los porcentajes de error para la ecuación de Van der Waals son 54,6% para
el líquido y 58,8% para el vapor.
Igual procedimiento se puede seguir para las ecuaciones de RedlichKwong y de Soave. Para la ecuación de Peng-Robinson las ecuaciones 7.12
y 7.13 no convergen y por tanto se debe utilizar el método de Bairstow.
En la tabla 7.2 se presentan los resultados para el volumen (el valor entre
paréntesis corresponde al porcentaje de desviación con respecto al valor
experimental).
7.1.2 Ecuación virial
Para la fase gaseosa las ecuaciones P-v-T pueden ser más simples que para
líquidos; siempre a temperatura constante cuando P aumenta v disminuye
para una cantidad fija de sustancia, pero el producto P v se mantiene más
o menos constante.
En la figura 7.2 se representa este comportamiento para un gas ideal y
para otros gases.
139
140
4.218
(54,6%)
17.859
(58,8%)
vf × 103
(m3/kg)
vg × 103
(m3/kg)
Iteración ecuación 7.12 ó 7.13
Van der Waals
17.822
(58,7%)
4.566
(67,3%)
Bairstow
16.430
(46,3%)
2.959
(8,39%)
Iteración
16.421
(46,2%)
2.990
(9,52%)
Bairstow
Redlich-Kwong
16.130
(43,6%)
2.852
(4,47%)
Iteración
16.123
(43,6%)
2.874
(5,27%)
Bairstow
Soave
Tabla 7.2 Cálculo de volumen específico en el caso del ejemplo 7.1 usando distintas ecuaciones
No converge
No converge
Iteración
15.558
(38,5%)
2.544
(6,81%)
Bairstow
Peng-Robinson
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Figura 7.2 Comportamiento de los gases a temperatura constante
Por tanto se puede decir que
(7.14)
En la cual a es el mismo para todos los gases y depende solo de la temperatura T; a = a(T).
Considerando este comportamiento se sugiere una expansión en serie para
las relaciones P, v y T
P v = a + b P + c P2 + d P3 + ...
(7.15a)
P v = a (1 + B′ P + C′ P2 + D′ P3 +...)
(7.15b)
En la cual a, B′, C′, D′ son los coeficientes viriales y solo dependen de la
temperatura para un componente dado.
Remplazando la ecuación 7.14 en la 7.15b
(7.16a)
(7.16b)
donde
(7.17)
La ecuación de estado virial se puede deducir utilizando la termodinámica
estadística. Se puede demostrar que los coeficientes viriales están relacionados con las fuerzas que existen entre grupos de moléculas. Desde un
punto de vista microscópico B′ representa las interacciones entre pares
141
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
de moléculas, C′ describe interacciones entre grupos de tres moléculas y
así sucesivamente.
El número de términos que deben utilizarse en las ecuaciones 7.15 y 7.16
depende de la precisión que se desee, pero dado que la probabilidad de las
interacciones de cuatro moléculas es mucho menor que la de las interacciones entre pares de moléculas, es frecuente despreciar el cuarto coeficiente
virial (D). De igual manera, a bajas presiones el tercer coeficiente virial
(C) se puede eliminar.
7.1.3 Relaciones P-v-T mediante
correlaciones generalizadas
Para el cálculo de propiedades P-v-T es de mucha utilidad disponer de una
relación que se aplique de una manera general a cualquier gas. Una relación de estas características se puede obtener por ejemplo a partir de la
ecuación 7.11a. Si esta ecuación se multiplica por v/RT se tiene
definiendo el factor de compresibilidad Z como
(7.18)
El valor de Z es una medida de cuánto se desvía de la idealidad el comportamiento real de la sustancia (para el caso de una sustancia que cumpla
el modelo de gas ideal es igual a uno).
Entonces
(7.19)
en la cual
Si se reemplazan ac y b en términos de las condiciones críticas del gas en la
ecuación para Z y además se definen las propiedades temperatura reducida
como la relación entre la temperatura y la temperatura crítica
(7.20)
presión reducida como la relación entre la presión y la presión crítica
(7.21)
y volumen reducido como la relación entre el volumen y el volumen crítico
(7.22)
se obtiene
142
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
(7.23)
con
(7.24)
La ecuación 7.23 facilita la solución iterativa para un gas a cualquier condición
de Tr y Pr (desafortunadamente no converge cuando se usan las constantes de
la ecuación de Van der Waals ni para la mayoría de los cálculos de líquidos).
De acuerdo con lo anterior se puede enunciar el principio de los estados
correspondientes de dos parámetros que establece: todos los gases comparados a las mismas condiciones de temperatura y presión reducidas tienen
aproximadamente el mismo factor de compresibilidad Z y se desvían del
comportamiento ideal en el mismo grado.
En realidad, para algunas sustancias este principio no tiene suficiente
precisión. Para ilustrar esta inexactitud considérese la ecuación 7.22 que
puede escribirse como
en la cual Zc es el factor de compresibilidad en el punto crítico
(7.25)
y por tanto z/zc = f (Tr, Pr). Esto implica que para los mismos valores de Pr y Tr
todos los gases deberían tener la misma relación z/zc y como a valores muy
bajos de presión, Z = 1 para todos los gases, entonces Zc debería ser igual
para todos. Los experimentos muestran que esto no es cierto (por ejemplo,
para el agua Zc = 0,299, para el bióxido de carbono Zc = 0,274 y para el hidrógeno Zc = 0,305) por tanto, la relación generalizada para Z es imprecisa
a bajas presiones y se comporta mejor en las cercanías al punto crítico. Las
únicas sustancias que no presentan desviación son argón, criptón y xenón.
Es necesario entonces modificar la relación introduciendo un tercer parámetro
(adicional a Tr y Pr) característico de la estructura molecular para obtener un
mejor comportamiento para gases reales. El más conocido de estos parámetros
es el factor acéntrico ω, introducido por Pitzer y colaboradores.
El factor acéntrico muestra la desviación del comportamiento de las sustancias reales con respecto a los fluidos simples (FS) Xe, Ar y Kr.
en la cual Prsat y Trsat son la presión de saturación reducida y la temperatura
de saturación reducida.
Pitzer notó que para todos los fluidos simples a Trsat = 0,7 se cumplía que
log Prsat = −1 y por tanto
143
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
(7.26)
La relación para Z desarrollada por Pitzer y colaboradores introduciendo
el tercer parámetro ω es
Z = Z(0) + ω Z(1)
(7.27)
(0)
(1)
en la cual Z y Z son funciones de Tr y Pr
Z(0) y Z(1) son funciones complejas de Tr y Pr por lo cual se dificultan los
cálculos analíticos. Si se quiere evitar el cálculo por tablas de Z se puede
utilizar la ecuación virial con dos términos
reemplazando P en términos de Pc y Pr y T en términos de Tc y Tr, entonces
considerando que la relación BPc /RTc puede ser de la forma B(0) + ω B(1)
(similar a la relación para Z en términos de Z(0) y Z(1)) se tiene que
Comparando esta relación con la ecuación 7.27, entonces
(7.28)
Y
(7.29)
Los segundos coeficientes viriales son solo función de la temperatura y en
forma similar, B(°) y B(1) son únicamente función de la temperatura reducida y quedan bien representados por las ecuaciones sencillas propuestas
por M.M. Abbott
(7.30)
(7.31)
luego, Z puede calcularse analíticamente solo conociendo la condición de Tr
y Pr para el gas real. Esta forma de calcular Z solo tiene validez a presiones
reducidas bajas y moderadas donde Z es lineal con la presión.
Ejemplo 7.2
Calcular el volumen específico del vapor saturado de propano a 70 °C y
25,94 bar mediante
a. La ecuación 7.23.
144
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
b. La ecuación 7.27 y las tablas.
c. Las ecuaciones 7.27 a 7.31.
Solución
Como para el propano se tiene que Tc = 369,8 K y Pc = 4.306 kPa, entonces,
Tr = 0,928 y Pr = 0,61, además se tiene que ω = 0,152.
a. Utilizando las constantes de la ecuación de Peng-Robinson (véase tabla 7.1)
en las ecuaciones 7.23 y 7.24 se obtiene
Se puede empezar el proceso iterativo con Z0 = 1 y hallar h. Con este valor
se halla el nuevo valor de Z
Z = 1 ⇒ h = 0,05114 ⇒ Z = 0,7320
Z = 0,732 ⇒ h = 0,06986 ⇒ Z = 0,6430
después de algunas iteraciones se llega a Z = 0,501 y utilizando la ecuación 7.18
este valor tiene una desviación del 9,62% con respecto al valor experimental.
b. La ecuación 7.27 es, para este caso
Z = Z(0) + 0,152 Z(1)
De las tablas con Tr = 0,928 y Pr = 0,61
Z(0) = 0,6635
Z(1) = −0,1662
y por tanto Z = 0,6382 y de la ecuación 8,18 vg = 16,33 × 10−3 m3/kg (la
desviación es 39,89%).
Si no se hubiera utilizado la corrección por factor acéntrico entonces Z = 0,6635
y vg = 16,33 × 10−3 m3/kg con una desviación del 45,41% respecto al valor experimental.
c. Utilizando las ecuaciones 7.30 y 7.31 se obtiene
y las ecuaciones 7.28 y 7.29 producen
145
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Por tanto de la ecuación 7.27
Z = 0,7419 – 0,152 × 0,06337 = 0,7323
y vg = 18,03 × 10−3 m3/kg con una desviación de 60,6%.
7.1.4 Propiedades P-v-T para líquidos
El volumen específico de líquidos es una propiedad relativamente fácil de
medir y hay un gran número de referencias bibliográficas en las cuales se
pueden encontrar datos experimentales tabulados de volúmenes (o densidades) o en las cuales se proporcionan constantes para el cálculo rápido
por medio de ecuaciones empíricas. Sin embargo, si no se dispone de
datos experimentales, se puede estimar el volumen específico de líquidos
mediante correlaciones.
Una ecuación para estimar el volumen de líquidos saturados desarrollada por
Rackett (en 1970) y luego modificada por Spencer y Danner (en 1972) es
(7.32)
en la cual ZRA es el factor de compresibilidad de Rackett que puede ser
calculado por
ZRA = 0,29056 – 0,08775 ω
(7.33)
Si se dispone de un dato experimental de volumen saturado a una temperatura de referencia (T ref), la forma recomendada de la ecuación de
Rackett es
(7.34)
con
Aunque de las ecuaciones de estado cúbicas se pueden obtener valores de
volumen específico de líquidos saturados o subenfriados, los resultados
obtenidos con estas ecuaciones no son muy buenos y se han propuesto
numerosas modificaciones para mejorarlos.
Una de las modificaciones más aceptadas es la de Peneloux y Rauzy (propuesta en 1982) quienes recomendaron que la siguiente corrección sea
restada del volumen obtenido de la ecuación de Soave-Redlich-Kwong
c = 0,4076(0,29441 – ZRA) RTc / Pc
146
(7.35)
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Ejemplo 7.3
Calcular el volumen específico del líquido saturado de propano a 70 °C y
25,94 bar mediante
a. La ecuación 7.32.
b. La ecuación 7.34 utilizando como volumen de referencia el volumen
crítico vc = 4,61 × 10−3 m3/kg.
c. La corrección de la ecuación 7.35.
Solución
a. Mediante la ecuación 7.32 para este caso se obtiene
y de la ecuación 7.33
ZRA = 0,277222
esto lleva a que vf = 2,45 × 10−3 m3/kg (desviación de −10,26%).
b. Utilizando vfref = vc = 4,61 × 10−3 m3/kg, entonces T ref = Tc y por tanto
Trref = 1 y la ecuación 7.34 queda
vf = 4,61 × 10−3 × 0,27222 (0.471545)
vf = 2,52 × 10−3 m3/kg (la desviación es – 7,69%)
c. La corrección de la ecuación 7.35 es
c = 1,1343 × 10−4 m3/kg
y del ejemplo 7.1 el valor hallado por la ecuación de Soave es v = 2,852 ×
10−3 m3/kg, por tanto
vf = 2,852 × 10−3 – 1,1343 × 10−4 = 2,74 × 10−3 m3/kg con una desviación de 0,37%.
7.2 Cálculo de otras propiedades
de sustancias puras en una sola fase
En esta sección se mostrará la manera de calcular propiedades como la
entalpía, la entropía y la energía interna para sustancias puras de las cuales
no se dispone de información en forma de tablas o gráficas. Como estas
propiedades no son de medición directa, es necesario obtener relaciones
termodinámicas entre las propiedades que se desean calcular y las propiedades de medición directa (P, v, T, CP , Cv).
Antes de establecer la relación entre propiedades se recordarán algunas
características matemáticas de estas relaciones. En el capítulo cinco se
estableció que, según la regla de las fases, toda propiedad de una sustancia
147
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
pura se puede expresar unívocamente en función de otras dos propiedades
(véase ecuación 5.3).
Z = f (X, Y )
(6.3)
y por tanto, según las leyes del cálculo se puede escribir
(7.36)
y si por simplicidad se escribe
(7.37)
entonces
dZ = M dX + N dY
se puede ver también que
(7.38)
Pero las reglas del cálculo para derivadas establecen que la secuencia en la
diferenciación de una propiedad de estado no puede cambiar el resultado
de las derivadas. O sea que
(7.39)
Otra propiedad de las derivadas de funciones exactas que es de gran utilidad
es la llamada relación del triple producto
(7.40)
Esta relación permite quitar de las derivadas restricciones (condiciones)
desfavorables (tales como s, g, a, h o u).
7.2.1 Relaciones de Maxwell
En el capítulo cinco se obtuvieron las relaciones fundamentales para una
sustancia pura (véanse ecuaciones 5.5, 5.6, 5.9 y 5.10)
du = T ds − P dv
(6.5)
dh = T ds + v dP
(6.6)
dg = v dP − s dT
(6.9)
da =−P dv − s dT
(6.10)
Aplicando el resultado de la ecuación 7.39 resulta
(7.41)
(7.42)
148
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
(7.43)
(7.44)
(Las formas recíprocas de estas relaciones también son válidas).
Las ecuaciones 7.41 a 7.44 son llamadas relaciones de Maxwell y son de gran
utilidad (en unión con las ecuaciones fundamentales) a la hora de deducir
expresiones para la evaluación de variaciones de propiedades en función de
las variables de medición directa.
Una técnica para obtener relaciones termodinámicas en función de las
propiedades de medición directa (P, T, v, CP, y Cv) y de relaciones entre
ellas consiste en lo siguiente:
— Si la ecuación diferencial que se va a transformar contiene u, h, a o g, llevar
estas funciones al numerador para luego eliminarlas por medio de la relación
de propiedad adecuada y con ayuda de la relación del triple producto.
— Eliminar la entropía llevándola al numerador (el triple producto puede
ser usado para eliminar la entropía como restricción) y reemplazando las
diferenciales de entropía por medio de las relaciones de Maxwell. Si todavía
aparecen derivadas de entropía introducir 1/dT en el numerador y en el
denominador de la derivada y eliminar luego las derivadas de la entropía
con respecto a la temperatura por medio de las ecuaciones de CP y Cv desarrolladas de las ecuaciones 5.5 y 5.6.
1. Evaluación de variaciones de entalpía, energía interna y entropía
La entalpía se puede expresar en función de T y P o v, o en función de v y P,
pero la función más sencilla y cómoda para evaluar es la que se expresa en
función de T y P.
Sea entonces
h = h (T, P)
y la diferencial total es
pero de la ecuación 5.6
y
149
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
y por tanto
Utilizando la definición de CP y la relación de Maxwell (véase la ecuación
7.43) queda
(7.45)
De igual manera se puede expresar la energía interna como
(6.23)
pero utilizando la definición de la ecuación 5.25 resulta
el término ∂u/∂v)T puede deducirse empleando la ecuación 5.5
y de la ecuación 7.44 de Maxwell
Reemplazando estos resultados en la ecuación 5.23 resulta
(7.46)
Por último, se puede encontrar la variación de entropía siguiendo el mismo
procedimiento. Si
s = s (T, P)
se llega a
(7.47)
o si, por otra parte se expresa
s = s (T, v)
el resultado es
(7.48)
150
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Se debe observar que cuando se aplican las ecuaciones 7.45 a 7.48 a un
gas ideal se obtienen las ecuaciones 7.9, 7.10, 7.12 y 7.13.
Se debe anotar también que para integrar las ecuaciones 7.45 a 7.48 (y así
obtener los cambios en entalpía, energía interna o entropía) se deben conocer,
además de las relaciones entre CP o Cv con la temperatura, la ecuación de estado apropiada para la sustancia o disponer de datos experimentales de presión,
volumen y temperatura que permitan realizar una integración gráfica.
Ejemplo 7.4
Determinar el coeficiente de expansión volumétrica a 27 °C para un gas
que obedece la ecuación de estado P( − b) = T donde b = 20 cm3/mol,
si el volumen molar es = 1.500 cm3/mol.
Solución
Se definió el coeficiente de expansión volumétrica. De acuerdo con la información suministrada, se obtiene de la ecuación de estado
luego
Reemplazando por sus respectivos valores
β = 3,29 × 10−3 K−1
Ejemplo 7.5
Para cierto tipo de cálculos en toberas es necesario conocer la rapidez de
variación de la entalpía de la sustancia con respecto a la densidad, puesto
que el proceso en la tobera puede considerarse isentrópico, lo que se necesita conocer es ∂h /∂ρ)s en términos de P, v, T, Cp, Cv. Obtener la expresión
particular en caso de gas ideal.
Solución
La relación entre volumen y densidad es ρ = 1/v y por tanto
entonces
derivando la ecuación 5.6 con respecto al volumen a entropía constante
aplicando el triple producto
151
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
a partir de la ecuación de estado se puede obtener ∂T /∂v)P y ∂T /∂P)v, y
de las ecuaciones 5.5 y 5.6 de acuerdo con la definición de Cp y Cv
cuando se trata de gas ideal
Ejemplo 7.6
Se comprime helio en un compresor isotérmico reversible. El helio entra al
compresor a 300 K y 12 bar y se comprime continuamente hasta 180 bar.
Calcula el trabajo por mol de helio requerido para operar el compresor y
la cantidad de calor que debe extraerse del compresor si
a. El helio se comporta como gas ideal.
b. Si obedece a la ecuación de estado P = T − aP/T + b P, con
a = 0,385 m3K/kmol y b = 0,0152 m3/kmol
Solución
Se trata de un proceso que ocurre en estado estable flujo estable (véase
figura 7.3) donde pueden despreciarse las variaciones de energía cinética
y potencial.
Figura 7.3 Proceso descrito en el ejemplo 7.6
Las ecuaciones de balance de masa, energía y entropía son
0 = he + We − hs − qs ⇒ we − qs = ∆h
0 = se − ss − qs /T ⇒ qs = −T ∆s
Los estados de entrada y de salida del compresor están completamente determinados, y del balance de entropía se puede calcular la cantidad de calor
152
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
que fluye por mol de helio, reemplazando este valor en el balance de energía
se puede calcular la cantidad de trabajo para comprimir cada mol de helio.
a. Cuando la sustancia se comporta como gas ideal
y como el proceso es isotérmico
del balance de energía
we = qs + ∆h
como se trata de un proceso isotérmico con gas ideal entonces ∆h = 0
y we = qs = 6754,74 J/mol
b. Cuando la sustancia obedece la ecuación de estado P = T − aP/T + bP,
entonces de la ecuación 7.47 para un proceso isotérmico
y por tanto
Para calcular el trabajo por medio del balance de energía se debe conocer
el cambio en la entalpía de la ecuación 7.45 para este caso
pero
y por tanto
por último
we = 6.988,54 J/mol
7.2.2 Cálculo de propiedades de sustancias
puras por correlaciones generalizadas
En la sección anterior se mencionó que para evaluar cambios en la entalpía,
la energía interna y la entropía por medio de las ecuaciones 7.45 a 7.48 se
debe conocer la ecuación de estado para las sustancias. En esta sección
se desarrollaran aún más estas ecuaciones para sustancias que cumplan el
principio de los estados correspondientes.
153
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Si se considera que una sustancia pura experimenta un cambio entre los
estados 1 y 2 como se muestra en la figura 7.4a en estas condiciones es
poco probable que la ecuación de gas ideal se aplique y se debe utilizar
una ecuación de estado apropiada.
Ya que el cambio de una propiedad de estado es independiente del camino
elegido para su cálculo se puede evaluar este cambio mediante la ruta 1-1°
-2°-2 de la figura 7.4b.
Figura 7.4 Sustancia pura que experimenta un cambio entre los estados 1 y 2.
a. Proceso de un gas real. b. Trayectoria 1-1°-2°-2 para evaluar h2−h1.
Esta trayectoria consiste en un proceso a temperatura constante del estado
1 al 1°, un proceso a presión constante del estado 1° al 2° y un proceso a
temperatura constante desde 2° hasta 2. Los estados 1° y 2° son a presiones
tan bajas que se puede considerar que las sustancias se comportan como
gases ideales. Por tanto el cambio de entalpía entre los estados 1 y 2 se
puede escribir como:
154
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
h2 − h1 = (h2 − h°2 ) + (h°2 − h°1) + (h°1 − h1)
(7.49)
Cada uno de los términos del lado derecho de la ecuación 7.49 se puede
evaluar mediante la ecuación 7.45.
Si se generaliza, para un proceso a temperatura constante desde una presión P (en la cual la sustancia no se puede considerar como un gas ideal),
hasta una presión P°→0, la ecuación 7.45 queda
si además se cumple que v = ZRT/P entonces
y por tanto
Recordando que T = Tc Tr y P = Pc Pr y que dT = Tc dTr y dP = Pc dPr,
entonces
(7.50)
En la cual h° es la entalpía de la sustancia a presión muy baja (cuando se
comporta como gas ideal).
Si se define la propiedad residual de una sustancia pura como la diferencia
entre la propiedad de la sustancia si esta se comporta como un gas ideal
y la propiedad a la misma temperatura pero a una presión a la cual no es
un gas ideal, entonces
hR = h° −h
(7.51)
es la entalpía residual y según la ecuación 7.50 se puede escribir como una
función de Tr y Pr únicamente.
Derivando la ecuación 7.27 con respecto a Tr y manteniendo Pr constante
se obtiene
reemplazando ese resultado y la ecuación 7.51 en la ecuación 7.50 se
obtiene
y por analogía con la ecuación 7.27
(7.52)
155
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
en la cual
(7.53)
y
(7.54)
Las integrales de las ecuaciones 7.53 y 7.54 se han calculado para distintos
valores de Pr y Tr y se han llevado a diagramas y tablas.
Con los resultados obtenidos hasta ahora se puede rescribir la ecuación
7.49 como
h2 − h1 = hR1 − hR2 + h°2 − h°1
pero el cambio entre los estados 1° y 2° es el de un gas ideal a presión
constante y por tanto
(7.55)
Si además se reemplaza el resultado de la ecuación 7.52 resulta
(7.56)
Para evaluar el cambio de entropía entre los estados 1 y 2 se puede suponer una
ruta hipotética semejante al caso del cambio de entalpía: un proceso a temperatura constante hasta una presión lo suficientemente baja para que el gas sea
considerado gas ideal (no necesariamente la presión en el punto 2), luego un
cambio desde el estado 1° hasta el estado 2° de gas ideal pero a la temperatura
del estado 2. Finalmente, un cambio a temperatura constante desde el estado 2°
hasta el estado 2. (Los estados 1° y 2° pueden no existir, son solamente estados
hipotéticos donde la sustancia se comporta como gas ideal).
El cambio de entropía entre dos estados se puede escribir como
s2 − s1 = (s2 − s°2) + (s°2 − s°1) + ( s°1 − s1)
(7.57)
y si se define la entropía residual
sR = s° − s
(7.58)
entonces
s2 − s1 = sR1 − sR2 + s°2 − s°1
Los valores de entropía residual se pueden evaluar considerando que estos
son procesos a temperatura constante y por tanto de la ecuación 7.47
resulta
156
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
y si la sustancia cumple que v = ZRT/P entonces
e integrando para un proceso entre una presión P y una presión muy baja
P°→ 0, entonces
Reemplazando la temperatura y la presión en términos de Pc, Tr, Tc y Tr
y siguiendo un desarrollo similar al hecho para la entalpía residual se
obtiene
(7.59)
en la cual
(7.60)
(7.61)
De la misma manera que para la entalpía residual, se pueden presentar
los resultados de las ecuaciones 7.60 y 7.61 en forma de diagramas o de
tablas de datos para distintos valores de Tr y Pr.
El término s°2 − s°1 en la ecuación 7.57 es un cambio de estado para un
gas ideal y por tanto se puede escribir
(7.62)
en la cual las entropías residuales se pueden evaluar mediante la ecuación
7.59 y las tablas.
Para evaluar la capacidad calorífica de gases reales se puede definir una
capacidad calorífica residual como
(7.63)
es la capacidad calorífica del gas a una presión lo suficienteen la cual
mente baja para ser considerado como un gas ideal.
mediante
De una manera similar que para la entalpía se puede evaluar
(7.64)
y por tanto de la ecuación 7.63
157
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
(7.65)
Datos de
y
se reportan generalmente en tablas.
Para evaluar el cambio de otras propiedades (como energía interna, energía libre de Gibbs y energía libre de Helmothz) se utilizan las definiciones
de estas propiedades en términos de entalpía y entropía. Por ejemplo, el
cambio en la energía interna se puede evaluar fácilmente como
∆u = ∆h − ∆Pv
o
∆u = (h2 − h1) − (P2 v2 − P1 v1) = (h2 − h1) − R (Z2 T2 − Z1 T1)
(7.66)
en la cual (h2 − h1) se evalúa mediante la ecuación 7.56.
Ejemplo 7.7
Utilizando las tablas de correlaciones generalizadas, determinar el cambio
de entalpía, entropía y energía interna para el nitrógeno que experimenta
un cambio de estado desde 100 kPa y 300 K hasta 20 MPa y 200 K.
Solución
Las propiedades del nitrógeno son
Tc = 126,2 K Pc = 33,9 bar
= 1,0416 kJ/kgK, R = 0,2968 kJ/kgK ω
= 0,04
Como el valor del factor acéntrico es pequeño, se puede despreciar su corrección en el cálculo de las propiedades. Luego
Z = Z(0), hR = (hR)(0), sR = (sR)(0)
Además, como en la condición inicial la presión es baja, se puede considerar
que su comportamiento prácticamente no se desvía del ideal. Entonces
Z1 = 1,
,
y por tanto, de acuerdo con las ecuaciones 7.55 y 7.62
las condiciones reducidas al final son
Utilizando las tablas de hR y sR con estas condiciones reducidas
158
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Figura 7.5 Turbina isotérmica reversible, proceso descrito en el ejemplo 7.8
por tanto
y
Para calcular la variación de energía interna se puede utilizar la ecuación 7.66
∆u = ∆h − R (Z2 T2 − Z1 T1)
para el estado final Z2 =
= 0,902
∆u = −181,96 – 0,2968 (0,902 × 200 − 300)
∆u = −146,46 kJ/kg
Si se hacen los cálculos de la variación de estas propiedades por medio de
las tablas particulares del nitrógeno los valores obtenidos son
∆h = −180,86 kJ/kg
∆s = −2,292 kJ/kg K
∆u = −149,54 kJ/kg
Ejemplo 7.8
A través de una turbina isotérmica reversible se expande metano desde 70
bar y 27 °C hasta 20 bar (véase figura 7.5), parte del trabajo obtenido de
la turbina se usa para impulsar un compresor isentrópico en el cual todo
el gas descargado por la turbina es recomprimido parcialmente y sale del
compresor a 93 °C.
a. ¿Cuál es la presión del gas a la salida del compresor?
b. ¿Qué fracción del trabajo total entregado por la turbina debe ser suministrada al compresor?
Solución
Considerando que el metano cumple el principio de los estados correspondientes y que las propiedades pueden calcularse por correlaciones generalizadas, teniendo en cuenta que una fracción del trabajo total entregado
159
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
por la turbina se gasta para accionar el compresor, la presión de salida del
compresor debe ser menor que la de entrada a la turbina.
a. Considerando la capacidad calorífica CP para el CH4 constante e igual
a 2,2537 kJ/kg K y además Tc = 190,6 K, Pc = 46 bar, ω = 0,008 (se
puede despreciar la corrección por factor acéntrico).
Del cálculo de las condiciones reducidas se obtiene
Por otra parte, de acuerdo con la condición de operación del compresor,
el balance de entropía para ese sistema es
s4 = s3
y por tanto la ecuación 7.62 queda
con las condiciones reducidas y las tablas de sR se obtiene
y por tanto
Para calcular el valor de P4 se debe utilizar un proceso iterativo que se
puede explicar como
— Suponer una P4.
— Calcular Pr .
4
— Con Pr , Tr y las tablas, calcular sR4.
4
4
sR4
— Con calcular la nueva P4.
El valor apropiado para empezar la iteración debe ser mayor que la presión
a la entrada del compresor (P4 > 20 bar) pero menor que la presión de
entrada a la turbina (P4 < 70 bar). Para este caso se puede comenzar la
iteración con P4 = 40 bar.
Luego de tres iteraciones se llega a que P4 = 46,31 bar.
b. Un balance de energía para el compresor permite calcular el trabajo que
recibe de la turbina
y de las tablas
por tanto
wc = 2,2537 × (93 − 27) + 21,21 – 29,52
160
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
wc = 140,43 kJ/kg
Para calcular el trabajo total que se obtiene de la turbina se deben plantear
los balances de energía y de entropía en ella
wT = h1 − h2 +qe = qe − ∆h
qe = T (s2 − s1) = T∆s
Las condiciones reducidas para los estados 1 y 2 son
de las cuales se obtiene
luego
qe = 233,21 kJ/kg
y
wT = 188,32 kJ/kg
La fracción del trabajo de la turbina que se debe emplear en el compresor es
7.2.3 La propiedad fugacidad, su función y su cálculo
Para ilustrar la utilidad de la propiedad fugacidad considerar primero el
caso de un proceso isotérmico reversible de producción de trabajo en estado
estable. Se tiene del balance de energía
dh = δqe − δws
y del balance de entropía para un proceso reversible
δqe = T ds
combinando estas dos ecuaciones resulta
δws = T ds − dh
pero dado que dg)T = dh − T ds entonces el trabajo de salida se puede
expresar también como
δWs = − dg)T
(7.67)
pero la ecuación 6.9 para un proceso a temperatura constante produce
dg)T = v dP)T
que para un gas ideal se transforma en
(7.68)
161
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
(7.69)
En 1901 G. N. Lewis definió una nueva propiedad para preservar, para gases
reales, la misma forma de la ecuación 7.69
dg)T = R T d(Ln f)
(7.70)
en la cual f recibe el nombre de fugacidad del gas real. (La fugacidad es
también una propiedad sumamente útil en el estudio de equilibrio de fases
y equilibrio químico, temas que no se tratarán en este texto). Esta nueva
propiedad debe cumplir que
(7.71)
así que cuando la presión tiende a cero entonces f→P y la ecuación 7.70
se reduce a la ecuación 7.69.
De la definición de propiedad residual
dg° − dg = dgR = R T d(Ln P/f)
integrando a temperatura constante, desde una P cualquiera hasta una
P→0, y teniendo en cuenta la ecuación 7.71 se obtiene
(7.72)
Si se define el coeficiente de fugacidad como
(7.73)
entonces la ecuación 7.72 queda
gR = − R T Lnφ
(7.74)
la evaluación del coeficiente de fugacidad puede llevarse a cabo combinando
las ecuaciones 7.70 y 7.68
y en términos del factor de compresibilidad
y como
entonces
y d(Ln f)T – d(Ln P)T = Z d(Ln Pr)T – d(Ln Pr)T
es decir que
e integrando, desde P = 0 hasta una presión cualquiera
162
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
(7.75)
e introduciendo la ecuación 7.27 se llega a
Ln φ = Ln φ(0) + ω Ln φ(1)
y por tanto
φ = φ(0) φ(1) ω
(7.76)
(0)
(1)
en la cual φ es el coeficiente de fugacidad del fluido simple y φ es la
función de desviación del coeficiente de fugacidad.
Los valores de Lnφ(0) Ln φ(1) se pueden presentar en forma de diagramas
o de tablas a diferentes condiciones de Tr y Pr.
Para evaluar la fugacidad en las fases líquida y sólida se debe tener en cuenta
que según la regla de las fases de Gibbs, para dos fases α y β en equilibrio
se debe cumplir que
gα = gβ
y por tanto, según la ecuación 7.70
fα = f β
(7.77)
Se puede entonces conocer la fugacidad del líquido o del sólido saturado
conociendo la fugacidad del vapor en equilibrio con ellos.
Cuando se trata de sólidos o líquidos que se encuentran alejados de la
condición de saturación se puede utilizar la relación
(7.78)
O si se dispone de tablas o diagramas particulares de la sustancia para las
fases condensadas, la fugacidad se puede estimar por
(7.79)
en esta ecuación P* es el menor valor reportado para la presión a una
temperatura dada y a esas condiciones se evalúan h* y s*.
Ejemplo 7.9
Mediante las tablas del coeficiente de fugacidad, calcular el trabajo que se
obtiene en la turbina isotérmica reversible del ejemplo 7.8.
Solución
La turbina del ejemplo 7.8 opera a 27 °C con una presión de entrada de 70
bar y una presión de salida de 20 bar. De las ecuaciones 7.67 y 7.70
y utilizando el coeficiente de fugacidad
163
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
que se puede escribir como
w = –RT[Ln φs – Ln φs + L Ps /Pe]
las condiciones de reducción son Pr,e = 1,52, Pr,s = 0,43, Tr,e = 1,57, Tr,s = 1,57.
Despreciando la corrección por factor acéntrico, de las tablas de coeficiente
de fugacidad se obtiene
Ln φe = −0,050 × 2,302 y Ln φs = −0,0143 × 2,302 y por tanto
w = –0,51835 × 300 [–0,0329 + 0,1151 + Ln 2/7]
w = 182,03 kJ/kg
Que es muy cercano al resultado obtenido por el método del ejemplo 7.8.
7.3 Cálculo de propiedades en sistemas difásicos
Como se explicó anteriormente la transición de una fase α a otra fase β de
una sustancia pura, ocurre a presión y temperatura constante.
Se puede verificar, con ayuda de las tablas de propiedades, que para cualquier sustancia pura la energía libre de Gibbs también permanece constante
para cualquier cambio de fase y por tanto se puede verificar que
gα = gβ
(7.80)
en la cual los subíndices representan dos fases saturadas diferentes.
La igualdad de la ecuación 7.80 se conoce como criterio de equilibrio y de
ella se puede concluir que para cambios en la presión y la temperatura a
lo largo de la curva de saturación
dgα = dgβ
(7.81)
o
vαdPsat – sαdTsat = vβdPsat – sβdTsat
y por tanto
(7.82)
Utilizando el criterio de equilibrio
gα = hα – Tsatsα = hβ – TsatSβ = gβ
o sea
(7.83)
y con esta ecuación se puede eliminar la entropía en la ecuación 7.82
(7.84)
La ecuación 7.84 se conoce como ecuación de Clapeyron y proporciona
información sobre la pendiente de la curva de saturación del diagrama
presión temperatura.
164
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Para el equilibrio sólido líquido
sβ – sα = sf – ssol = ∆sfusión
vβ – vα = vf – vsol = ∆sfusión
∆sfusión es positivo para todas las sustancias y ya que ∆vfusión puede ser positivo o negativo (según que la densidad del sólido sea mayor o menor que
la del líquido) entonces (dPsat /dTsat )sol-liq puede ser positiva o negativa.
En el equilibrio líquido gas
∆sαβ – sgas = sliq = ∆svap
∆vαβ – vgas = vliq = ∆vvap
en este caso ∆svap y ∆vvap son siempre positivos y en consecuencia (dPsat
/dTsat )1 – g siempre será positivo.
En el equilibrio sólido gas
∆sαβ – sgas = ssol = ∆ssublimación
∆vαβ – vgas = vsol = ∆vsublimación
∆ssubl ∆vsubl son siempre positivos y (dPsat /dTsat )s – g siempre será positivo.
Esto corrobora lo que se había discutido cuando se trató el diagrama de
fases para una sustancia pura.
Para integrar la ecuación de Clapeyron en el equilibrio sólido líquido
∆hfusión y ∆vfusión son casi independientes de T y P y por tanto
(7.85)
Para el equilibrio de una fase condensada, ya sea sólida o líquida, con vapor
se tiene
(7.86)
donde ∆h es la variación de entalpía por vaporización del líquido o por sublimación del sólido (según sea el caso); en la mayoría de los casos vg − vc ≈ vg
y suponiendo que el gas se comporta según vg = ZRT/P, la ecuación se
transforma en
(7.87)
o
(7.88)
165
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
La ecuación 7.88 se conoce con el nombre de ecuación de Clausius Clapeyron y relaciona la presión de vapor de líquido o sólido con la variación
de entalpía (de vaporización o sublimación) y con la temperatura.
Para el caso específico del equilibrio líquido vapor, la ecuación 7.88 se
puede escribir como
(7.89)
La ecuación 7.89 se puede integrar considerando que, excepto en las cercanías del punto crítico, ∆hvap y Z son funciones débiles de la temperatura
y como ambos decrecen con el incremento de esta, resulta un efecto compensatorio y la relación ∆hvap /Z se puede considerar constante.
La forma integrada de la ecuación 7.89 queda
(7.90)
en la cual A es una constante de integración y B = ∆hvap /ZR.
La ecuación 7.90 es sorprendentemente buena para calcular presiones
de vapor en intervalos pequeños de temperatura a baja presión, pero se
obtienen malos resultados si se utiliza en las cercanías del punto crítico o
a intervalos de temperatura grandes.
Para mejorar los datos de presión de saturación obtenidos con la ecuación
7.90, Antoine (en 1888) propuso una modificación sencilla que se emplea
ampliamente
(7.91)
los valores de A, B y C están publicados para una gran cantidad de sustancias.
Aunque la ecuación 7.91 es una mejora de la ecuación original, no es
utilizable para intervalos amplios de temperatura y no se debe utilizar
para presiones superiores a 2 bar. Extrapolaciones más allá de este límite
pueden producir resultados absurdos. Por otra parte, las constantes A, B
y C forman un conjunto unificado (nunca usar constantes obtenidas de
tablas diferentes en la misma ecuación).
Se han propuesto una gran cantidad de ecuaciones para estimar con mayor
precisión las presiones de saturación para grandes intervalos de temperatura, entre ellas la ecuación de Riedel
(7.92)
y la ecuación de Wagner
(7.93)
166
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
en la cual τ = 1 − Tr
La ecuación de Wagner es una de las mejores ecuaciones para predecir
presiones de saturación, pero tiene el inconveniente de requerir cuatro
constantes para cada sustancia, lo que hace que su aplicación sea limitada.
Cuando no se dispone de información suficiente para calcular ∆hvap mediante las ecuaciones de Clapeyron o de Clausius Clapeyron, se pueden utilizar
métodos empíricos aproximados para hacer estimaciones.
Riedel propuso la siguiente ecuación para predecir el cambio de entalpía
por vaporización a una atmósfera de presión (llamado también el punto
de ebullición normal)
(7.94)
donde
Tn = Temperatura de ebullición a P = 1 atm (punto de ebullición normal).
∆hn = Entalpía de vaporización a Tn.
Pc = Presión crítica en bar.
Tr n = Temperatura reducida a Tn.
R = Constante universal.
Los errores cometidos al utilizar esta ecuación rara vez exceden el 3%.
Las estimaciones de la entalpía de vaporización para líquidos puros a cualquier temperatura a partir de un valor conocido a una sola temperatura,
pueden hacerse mediante el método propuesto por K. M. Watson de acuerdo
con la relación
(7.95)
esta ecuación es simple y confiable pues aunque se han sugerido ecuaciones
más complejas, ellas no representan mejoras significativas en los errores
promedio reportados.
Ejemplo 7.10
En cierto proceso de fabricación de sales de mercurio se requiere condensar vapor de mercurio (Hg) desde 920 °F y 40 psia hasta obtener líquido
saturado a la misma presión.
Calcular la transferencia de calor necesaria para realizar la condensación
con el uso de la siguiente información:
1. Temperaturas de ebullición a diferentes presiones (véase tabla 7.3).
167
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Tabla 7.3 Datos de presión y temperatura para el ejemplo 7.10
Presión (psia)
10
20
40
60
80
Temperatura (°F)
637,0
706,0
784,4
835,7
874,8
2. Peso molecular: PM = 200,59.
.
3. Capacidad calorífica del vapor de mercurio
3
4. A 40 psi la densidad del mercurio líquido saturado es 787,4 lb/pie y el
volumen específico del vapor saturado es 1,648 pie3/lb.
Solución
El balance de energía para este proceso de condensación resulta:
qs = he − hs = −∆h
Si se realiza la evaluación termodinámica al estado inicial, se llega a la
conclusión de que el mercurio a la entrada está en fase gaseosa (Tsat < Te)
y el proceso se puede representar en un diagrama T-s de la manera indicada
en la figura 7.6.
Figura 7.6 Representación del proceso indicado en el ejemplo 7.10
El cambio de entalpía para el proceso que va desde vapor de mercurio a
la entrada (punto e) y vapor saturado a la misma presión (punto I) (véase
figura 7.7) es
El cambio de entalpía en el cambio de fase se puede calcular mediante la
ecuación 7.86
168
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
Figura 7.7 Cambio de entalpía en el cambio de fase, ejemplo 7.10
en la cual
se calcula como la pendiente de la figura 7.7 de los datos de presión y
temperatura de saturación a 40 psi.
Y gráficamente se puede calcular que
y por tanto
∆hvap = 0,35 × (784,4 + 459,67) (1,648 – 1/787,4)
∆hvap = 717,0 psi × pie3/lb = 33,43 kcal/lb
y como
∆h2 = hs − hI = −∆hvap entonces
∆h2 = −33,43 kcal/lb
en conclusión
qs = 33,43 + 0,846 = 34,276 kcal/lb
Problemas propuestos
7.1
Se va a transportar gas desde el yacimiento hasta el mercado de consumidores. El gas es esencialmente metano que entra a la tubería a
razón de 32 kg/s, a una presión de 210 bar y a una temperatura de
20 °C. El diámetro interno de la tubería es de 30 cm.
Calcular, a la entrada de la tubería, la densidad en kg/m3 y la velocidad en m/s considerando que el gas cumple:
169
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
7.2
7.3
7.4
a. La ecuación de Van der Waals.
b. La ecuación de Redlich Kwong.
c. El principio de estados correspondientes y se pueden utilizar
correlaciones generalizadas.
Comparar los resultados obtenidos con aquellos que se obtienen
utilizando tablas para el metano.
Mediante la ecuación de estado de Van der Waals, graficar dos isotermas para el nitrógeno en coordenadas P-v, una para 0 °C y otra para
100 °C; ambas en un intervalo que se extiende a 300 atm. Mostrar
los puntos que se obtendrían mediante la ecuación de estado de gas
ideal y mediante los factores de compresibilidad.
Se ha sugerido que la temperatura de un líquido orgánico puede
reducirse expandiéndolo adiabáticamente en una turbina reversible,
el coeficiente de expansión térmica β es 4,0 × 10−3 (°R)−1, el líquido
tiene una densidad relativa de 0,8, una capacidad calorífica de 0,09
Btu/lbm ºR. Determinar ∂T/∂P)s a 200 ºF.
Demostrar las siguientes igualdades
a.
b.
c.
7.5
Encontrar una expresión para el cambio de entalpía de un gas que
obedece a la ecuación de estado P (v − b) = RT.
7.6 Determinar ∂ Cp /∂P)T para un gas que cumple la ecuación de Van
der Waals.
7.7 Demostrar que las líneas de presión constante en la región de dos
fases de un diagrama entalpía entropía son rectas pero no paralelas
entre sí.
7.8 Demostrar que para un gas ideal las líneas de temperatura constante
del diagrama entalpía entropía son horizontales.
7.9 Demostrar que para cualquier sustancia, en un proceso isentrópico,
la entalpía disminuye si la presión disminuye.
7.10 La velocidad del sonido en una sustancia se puede definir como C2 =
∂P /∂P)s. Demostrar que para un gas ideal la velocidad del sonido es
solo función de la temperatura.
7.11 Se expande isoentrópicamente CO2 por medio de una tobera aislada
y de diseño adecuado. El CO2 se entrega a la tobera a 54 bar y a 40 °C y
con velocidad despreciable. La presión de descarga será de 34 bar.
170
7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...
A una presión de 1 bar, para el CO2 Cp/R = 5.457 + 1.045 × 10−3 T,
donde T se expresa en K. Determinar la velocidad de salida de la tobera:
a. Suponiendo que el CO2 es un gas ideal.
b. Suponiendo que el CO2 es un gas que cumple la ecuación de
estado P (v − b) = R T con b = 0,043 m3/kmol.
c. Mediante correlaciones generalizadas.
7.12 Determinar la potencia requerida para comprimir 0,3 kg/s de etileno
en un proceso en estado estable, reversible e isotérmico de 10 MPa
y 10 °C a 40 MPa. También determinar la velocidad de extracción de
calor y el área de la línea de descarga si la velocidad media a la salida
no excede 20 m/s.
7.13 Demostrar que el cambio de entalpía para un gas de Van der Waals,
está dado por
7.14 Demostrar que la diferencia entreCp yCv para un gas de Van der
Waals, está dada por
7.15 La entalpía de vaporización del agua a 212 °F y 1 atm es 970,3 Btu/lbm.
Estimar la presión de vapor a 220 °F basándose únicamente en la
información proporcionada.
7.16 Se bombea butano líquido saturado a un vaporizador a una presión
de 16,2 atm, el butano sale del vaporizador como vapor húmedo
con 90% de calidad y a la misma presión con que entró. Estimar la
cantidad de calor suministrada por mol de butano.
Para el butano Pc = 37,48 atm, tc = 305,3 °F, Ln Psat = −4.840/T +
9,92, donde P está en atm y T en °R.
7.17 El punto de ebullición normal del Hg es 357 °C y su calor latente
de vaporización es 68 cal/g, se requiere destilar el líquido a 100 °C.
Estima la presión a la cual debe realizarse la destilación.
7.18 Las presiones de saturación de vapor para el benceno y el tolueno
vienen dadas por la relación
donde A y B tienen los valores indicados en la tabla 7.4.
Tabla 7.4 Datos de A y B para el problema 7.18
Benceno
Tolueno
A (K)
32.290
39.200
B
9.779
10.455
171
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Calcular la variación de entalpía de vaporización para cada uno de
esos valores a 85 kPa.
7.19 Se comprime CO2 en el compresor de una unidad de desasfaltado
de una planta productora de parafinas. El compresor utiliza propano líquido saturado a 1 atm como refrigerante. El propano sale a
la misma presión y a 50 °C; el CO2 a comprimir entra a 42 °C y 1,5
atm y sale como vapor saturado a 15,2 bar. Se ha estimado que del
CO2 se deben retirar 2.170 kW de calor en el compresor. Calcular
el flujo másico de propano necesario para realizar la operación. Nota: la
temperatura de ebullición normal del propano es 231,1K.
7.20 Determinar la fugacidad del hidrógeno a 0 °C y 2 atm, utilizando
correlaciones generalizadas.
7.21 A partir de los datos del factor de compresibilidad para el H2 (véase
tabla 7.5), determinar su fugacidad a 1.000 atm.
Tabla 7.5 Datos del factor de compresibilidad para el problema 7.21
P (atm)
Z
P (atm)
Z
100
1.069
600
1.431
200
1.138
700
1.504
300
1.209
800
1.577
400
1.283
900
1.649
500
1.356
1.000
1.720
7.22 Estimar la fugacidad de la acetona líquida a 110 °C y 275 bar. A 110 °C
la presión de vapor de la acetona es de 4.360 bar y el volumen molar
del líquido saturado es igual a 73 cm3 mol−1.
7.23 Se comprime nitrógeno reversible e isotérmicamente en un compresor
que trabaja en estado estable desde 300 K y 101 kPa hasta 20 MPa.
Determinar el trabajo requerido.
7.24 En una turbina bien aislada térmicamente se expanden 0,087 kg/s de
metano de 14 MPa y 13,5 °C hasta 0,5 MPa y −45 °C. Si los cambios
de energía cinética y potencial son despreciables, calcular:
a. La potencia que se obtiene de la turbina.
b. La eficiencia si se la compara con una turbina adiabática reversible
que descarga a la misma presión del proceso real.
7.25 Dietil éter a 853 kPa y 100 °C se expande isotérmica y reversiblemente
en una turbina hasta la presión atmosférica.
a. Calcular el trabajo obtenido en la turbina.
b. Calcular la transferencia de calor.
172
8. Energía disponible.
Análisis termodinámico de procesos
El objetivo de un análisis termodinámico es determinar con cuánta eficiencia se emplea o produce la energía y mostrar cuantitativamente el efecto de
las ineficiencias en cada etapa del proceso. A partir del estudio de la primera
y de la segunda ley y del cálculo de las propiedades de las sustancias puras
se sabe que una cantidad fija de aire a 100 kPa y 50 °C contiene la misma
cantidad de energía que si se encuentra a 200 kPa a la misma temperatura.
Sin embargo, el aire que se encuentra a mayor presión puede realizar más
trabajo y por tanto es más valioso. De este análisis surgen las preguntas: de
toda la energía con que se cuenta en un momento dado, ¿cuánta realmente
puede utilizarse? O sea, ¿cuánta es la disponible? La disponibilidad de la
energía depende de las condiciones a las cuales se encuentra el sistema y
de las condiciones del medio en el cual interactúa.
En capítulos previos, la referencia a la eficiencia se hacía en términos de
un equipo en particular (por ejemplo, de una tobera, de una turbina, de un
compresor) o de la eficiencia térmica de una máquina que transforma
energía en forma de calor en energía en forma de trabajo.
En este capítulo se pretende dar respuesta a las preguntas planteadas y
además analizar la eficiencia de un proceso real comparada con la de un
proceso completamente reversible que logre la misma transformación del
proceso real. Por tanto, es necesario establecer una relación que permita
calcular el trabajo para este proceso hipotético de comparación.
Es necesario tener en cuenta que el sistema sólo puede transformarse hasta cuando alcance equilibrio termodinámico (esto es: mecánico, térmico
y químico) con el ambiente, en ese momento ya no puede sufrir ningún
cambio espontáneo, las condiciones finales de presión y de temperatura
son las del ambiente, su velocidad es cero, su energía potencial es mínima
y no puede reaccionar químicamente. Por tanto, es necesario conocer
las condiciones del ambiente, en el cual, al considerarse muy grandes en
comparación con el sistema, la presión y la temperatura no son afectadas
por los procesos que ocurren en este y se representan por P0 y T0.
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
8.1 Energía disponible y energía no disponible
Energía disponible es aquella parte del contenido energético total que
potencialmente puede transformarse en trabajo útil.
8.1.1 Energía disponible
Esta energía puede calcularse permitiendo que la sustancia efectúe un
cambio de estado reversible hasta alcanzar equilibrio termodinámico con
el medio ambiente que se encuentra a P0 y T0. En la práctica, al medio
ambiente se le designa como depósito estándar para determinar la energía
disponible del sistema.
— Cuando el cambio de estado reversible se lleva a cabo en sistema cerrado,
de la primera ley se tiene que
δq = du + δw
de la segunda ley se sabe que
ds(sistema) + ds(alrededores) = 0 ⇒ ds(alrededores) = – ds(sistema)
ds(alrededores) =
– ds(sistema)
T(alrededores)
combinando las ecuaciones anteriores se tiene que
T(alred) ds(stma) = du + δw(máx)
(8.1)
se trata de δw(máx) por ser un proceso reversible, luego
δw(máx) = T(alred) ds – du
si los alrededores son el medio ambiente
δw(máx) = T0 ds – du
(8.2)
entonces el trabajo máximo queda dado por
w(máx) = (u – T0 s) – (u0 – T0 s0)
(8.3)
donde T0, s0, u0 son las propiedades del sistema cuando se encuentra en
equilibrio con el medio ambiente y w(máx) es el máximo trabajo que puede
realizar un sistema hasta alcanzar equilibrio con el ambiente.
Se debe tener en cuenta que parte de este trabajo máximo se realiza contra el medio ambiente y por tanto no resulta útil. Este trabajo contra el
ambiente está dado por P0 (v0 – v), entonces el trabajo máximo útil es
w(máx, útil) = w(máx) – P0 (v0 – v)
w(máx, útil) = (u + P0 v – T0 s) – (u0 + P0 v0 – T0 s0)
(8.4)
El trabajo máximo útil se conoce como disponibilidad o energía disponible
en sistema cerrado o exergía sin flujo. Para representar esta disponibilidad
por unidad de masa se utiliza el símbolo φ
φ = (u + P0 v – T0 s) – (u0 + P0 v0 – T0 s0)
(8.5)
174
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos
La disponibilidad es función de las propiedades del sistema y del medio
ambiente.
Cuando un sistema cerrado efectúa un cambio del estado 1 al estado 2, se
puede decir que el máximo trabajo útil es la diferencia entre la disponibilidad al comienzo y la disponibilidad al final del proceso:
w(máx, útil) = φ1 – φ2
(8.6)
w(máx, útil) = T0 (s2 – s1) – (u2 – u1) – P0 (v2 – v1)
(8.7)
La visualización de cómo determinar la disponibilidad y lo que ello significa
puede verse en la figura 8.1.
Figura 8.1 Arreglo conceptual para determinar la disponibilidad
Todos los procesos involucrados deben ser reversibles, luego, la transferencia de calor es reversible, la máquina térmica es reversible y parte del
trabajo hecho por el sistema es contra el medio ambiente que se encuentra
a una presión P0.
Ejemplo 8.1
A un recipiente cerrado y rígido que contiene amoníaco saturado seco a 10 °C
se añade calor hasta que la presión alcanza 800 kPa. ¿En cuánto aumenta la
energía disponible del amoníaco si la temperatura del ambiente es 25 °C?
Solución
Se trata de calcular la variación de la disponibilidad para una cantidad fija
de amoníaco que sufre una transformación en sistema cerrado a volumen
constante. El aumento de la energía disponible por unidad de masa es
∆φ = φ2 – φ1
de acuerdo con la ecuación 8.5
φ2 – φ1 = (u2 – T0 s2) – (u1 – T0 s1)
en el estado 1, vapor saturado seco a 10 °C
175
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
u1 = h1 – P1 v1 = 1.453,3 – 614,95 × 0,2056 = 1.326,87 kJ/kg
s1 = 5,2104 kJ/kg K
En el estado 2, vapor sobrecalentado a 800 kPa y v2 = v1 = 0,2056 m3/kg
u2 = h2 – P2 v2 = 1.621,68 – 800 × 0,2056 = 1.457,20 kJ/kg
s2 = 5,6227 kJ/kgK
φ2 – φ1 = (1.457,2 – 298 × 5,6227) – ( 1.326,87 – 298 × 5,2104)
φ2 – φ1 = 7,465 kJ/kg
La disponibilidad aumenta en 7,465 kJ por cada kilogramo de amoníaco,
sin embargo, el calor añadido es
Qe = u2 – u1 = (1.457,20 – 1.326,87)
Qe = 130,33 kJ/kg
— Cuando el cambio de estado reversible se lleva a cabo en sistema abierto
en un proceso de flujo en estado estable, el balance de energía es
0 = (h + ec + ep)e + qN – (h + ec + ep)s – wN
donde wN es el trabajo de eje que en su totalidad es trabajo útil y máximo.
De la segunda ley para proceso reversible
∆s(stma) + ∆s(alred) = 0
∆s(alred)=
q(alred)
T(alred)
=
– qN
T(alred)
Combinando las ecuaciones anteriores resulta
0 = (h + ec + ep)e + T(alred) (ss – se) – (h + ec + ep )s – w(máx,útil)
Si la transformación se da hasta alcanzar el equilibrio con el ambiente
donde la energía cinética y la potencial se anulan y la temperatura de la
sustancia llega a T0, entonces
w(máx, útil) = T0 (s0 – s) – (h0 – h) + (ec + ep )e
(8.8)
donde T0, s0 y h0 son las propiedades de la corriente en la descarga del
dispositivo que está en equilibrio con el medio ambiente.
El trabajo máximo útil expresado por la ecuación 8.8 se conoce como disponibilidad o energía disponible en sistema abierto o la exergía del flujo.
Esta disponibilidad por unidad de masa se representa con el símbolo ψ
ψ = (h + ec + ep – T0 s) – (h0 – T0 s0)
(8.9)
y es función tanto de las propiedades del fluido como del medio ambiente.
El máximo trabajo útil que puede obtenerse de una corriente de fluido que
sufre un cambio al pasar a través de un dispositivo que opera en estado
estable flujo estable es
w(máx,útil) = ψe – ψs = (h + ec + ep – T0 s)e – (h + ec + ep – T0 s)s (8.10)
Si las contribuciones de la energía cinética y potencial se pueden considerar
despreciables, la ecuación 8.10 queda
176
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos
Figura 8.2 Arreglo conceptual para determinar la disponibilidad de flujo (la
máquina térmica opera reversiblemente, el trabajo entregado por el volumen
de control y por la máquina es en su totalidad trabajo útil).
w(máx,útil) = T0 (ss – se) – (hs – he)
(8.11)
La visualización del significado de la disponibilidad de flujo está representada en la figura 8.2.
Ejemplo 8.2
Vapor de agua saturado a 100 °C se condensa reversiblemente en un intercambiador de calor hasta alcanzar líquido saturado a la misma temperatura.
Calcular el trabajo máximo útil que se podría obtener de esta operación.
Solución
El trabajo útil es en este caso (despreciando los cambios de energía cinética y potencial)
w(máx,útil) = (h1 – T0 s1) – (h2 – T0 s2)
w(máx,útil) = T0 ∆s – ∆h
De las tablas de vapor de agua se obtiene
h1 = hg (100 °C) = 2.676,0 kJ/kg, s1 = sg = 7,3554 kJ/kg K, h2 = hf = 419,06
kJ/kg, s2 = sf = 1,3069 kJ/kg K y suponiendo que T0 = 25 °C = 298,15 K,
entonces w(máx,útil) = 453,5 kJ/kg.
8.1.2 Disponibilidad de la energía en tránsito
1. Calor y energía disponible
Cuando la energía en tránsito se está dando en forma de calor es muy
importante tener en cuenta cuál es la condición de temperatura a la que
el depósito está entregando ese calor porque de ello depende la disponibilidad que se tenga.
177
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
La parte disponible del calor añadido o extraído de un sistema es aquella
que podría convertirse en trabajo mediante una máquina térmica reversible,
el resto será la energía no disponible.
Si se utilizan los símbolos Qdis y Qno dis para las partes disponible y no
disponible de la energía en forma de calor y Q la cantidad total de calor,
entonces
Q = Qdis + Qno dis
(8.12)
La máquina de Carnot entonces recibe una cantidad de calor Q de un
depósito que se encuentra a una temperatura T (que puede ser variable),
parte lo transforma en trabajo y el resto lo entrega al ambiente a una
temperatura T0. La adición de calor al sistema en un proceso reversible se
puede representar como en la figura 8.3.
T δqdis = (T – T0) ds
Figura 8.3 Representación de qdis y qno dis
La parte disponible de la energía que recibe el sistema se determina imaginando que cada fracción de calor se añade a una máquina de Carnot a una
temperatura T. El proceso global, para el cual la temperatura cambia desde
T1 hasta T2, se puede pensar como una serie de máquinas de Carnot que
reciben la energía a una temperatura constante y descargan a T0. Luego,
las porciones disponibles y las no disponibles están representadas por las
áreas (T – T0) ds y T0 ds respectivamente, por consiguiente
(8.13)
178
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos
(8.14)
2. Trabajo y energía disponible
Cuando la energía en tránsito se está dando en forma de trabajo, se debe tener
en cuenta que en un proceso de expansión o compresión la parte del trabajo
que se realiza contra los alrededores no resulta verdaderamente útil
w(útil, expansión) = wtotal – walred
(8.15)
Por otra parte, cuando el trabajo se realiza en un eje, no hay desplazamiento
de las fronteras del sistema y por tanto no está haciendo trabajo contra los
alrededores. De esto se concluye que todo el trabajo en el eje útil es
w(útil, eje) = wtotal
(8.16)
8.1.3 Pérdida de disponibilidad
Es aquella energía que potencialmente pudo aprovecharse como trabajo,
pero debido a las irreversibilidades del proceso se perdió. Esto puede ilustrarse mediante el proceso representado en la figura 8.4.
Figura 8.4 Representación de un proceso con la mayor pérdida de disponibilidad
Se trata de una sustancia gaseosa confinada a unas condiciones Pi y Ti, separada por medio de una membrana de una cámara de vacío, cuando la membrana se rompe el sistema se expande ocupando todo el espacio sin realizar
trabajo. Es claro entonces que el trabajo máximo que se pudo obtener, se
perdió. Este trabajo perdido se conoce como irreversibilidad o disponibilidad
perdida y se puede expresar a partir de la ecuación 8.2
δwmáx = T0 ds – du
en la cual δwmáx es todo el trabajo perdido. Por otra parte, como no hay
transferencia de energía, la energía interna permanece constante durante
el proceso y por tanto
δlw = T0 ds
además, del balance de entropía para este caso
ds = δsgen
reemplazando se tiene
δ lw = T0 δsgen
(8.17)
179
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
como se mencionó anteriormente este trabajo perdido también puede
llamarse irreversibilidad y se representa por
δi = T0 δsgen
(8.18)
8.2 Balance de disponibilidad
Teniendo en cuenta que la energía puede estar conformada por una porción
de energía que es disponible y otra que no lo es, la ecuación de balance de
disponibilidad puede plantearse como
Entonces, variación de disponibilidad en el interior del sistema:
Entrada de energía disponible al volumen de control
.
— Con la masa:
.
— Con el calor:
.
— Con el trabajo:
Salida de energía disponible del volumen de control
.
— Con la masa:
.
— Con el calor:
.
— Con el trabajo:
Consumo de disponibilidad
La ecuación general de balance queda entonces
(8.19)
este balance de disponibilidad equivale a un balance de trabajo útil.
Ejemplo 8.3
En un arreglo cilindro pistón se comprimen 50 kg de amoníaco en forma
isotérmica. Al principio de la compresión el amoníaco está a 18 °C y 250
kPa y la presión final es de 1.200 kPa. Para la compresión se necesitaron
18,5 MJ de trabajo mecánico. Calcular la irreversibilidad del proceso.
Solución
El balance de energía disponible para este caso es
180
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos
Como el proceso es a temperatura constante, la integral del lado derecho
se puede calcular fácilmente
La transferencia de calor se puede calcular por medio de un balance de
energía
Qs = We(total) – M (uf – ui)
y de las tablas del amoníaco
Qs = 18.500 + 50 (263,4 – 1.364,9) = 73.575 kJ
El cambio en la disponibilidad del sistema se puede calcular (despreciando
los cambios en energía cinética y potencial) como
φ2 – φ1 = (u2 – u1) + P0 (v2 – v1) – T0 (s2 – s1)
si se supone que T0 = 25 °C y P0 = 85 kPa y con la ayuda de las tablas del
amoníaco resulta φ2 – φ1 = (263,4 – 1.364,9) + 85 (0,001631 – 0,5525)
– 298,15 (1,0112 – 5,8043)
φ2 – φ1 = 280,74 kJ/kg
Para calcular el trabajo útil que entra al sistema, se debe restar del trabajo
total el trabajo hecho por la atmósfera (ecuación 8.15)
we(útil) = we,total – watm
we(útil) = 18.500 – M P0 (v1 – v2)
we(útil) = 18.500 – 50×85 (0,5525 – 0,001631)
we(útil) = 16.158,8 kJ
y por tanto la irreversibilidad es
I = 3.890,7 kJ = 3,89 MJ
Ejemplo 8.4
Se estrangula vapor saturado seco a 2,0 MPa hasta 600 kPa, haciéndolo
pasar a través de una válvula. El flujo de vapor es de 360 kg/h. Para una
temperatura ambiente de 5 °C, dibujar el diagrama T-s para el proceso y
calcular la pérdida de disponibilidad.
Solución
Se trata de un proceso en estado estable flujo estable donde no se realiza trabajo, se pueden despreciar los cambios de energía cinética y potencial. Del
balance de energía se concluye que se trata de un cambio isoentálpico.
Estado termodinámico a la entrada
Pe = 2,0 MPa, he = 2.799,5 kJ/kg, te = 212,42 °C, se = 6,3409 kJ/kg K.
Estado termodinámico a la salida
Ps =600 MPa, hs = 2.799,5 kJ/kg, ts = 177,68 °C, ss = 6,8545 kJ/kg K.
En un diagrama T-s el proceso se representa como se indica en la figura 8.5.
181
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 8.5 Representación del proceso del ejemplo 8.4
El balance de disponibilidad es
corresponde a la pérdida de disponibilidad.
Pérdida de disponibilidad =
Aunque durante el proceso no se da ningún tipo de transferencia de energía
al ambiente, se pierde disponibilidad debido a la irreversibilidad.
8.3 Eficiencia exergética
Hasta el momento, al hacer referencia a la eficiencia siempre ha sido en
términos energéticos, sin hacer distinción de la calidad de la energía producida o consumida. Una forma más apropiada de evaluar los procesos es
en términos de la energía disponible consumida o producida ya que es la
energía verdaderamente aprovechable. En esta sección se presentará la
eficiencia exergética de procesos la cual se conoce también como eficiencia
de segunda ley. En general, la eficiencia se puede definir como lo que se
obtiene sobre lo que se paga
lo que se obtiene
(8.20)
lo que se paga
A diferencia de la eficiencia energética, la eficiencia exergética puede ser del
ciento por ciento si el proceso de transformación al que se refiere se realiza
de una manera completamente reversible (sin destrucción de exergía).
ηexergética=
182
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos
8.3.1 Eficiencia de una máquina térmica
De acuerdo con el objetivo de una máquina térmica, que es obtener trabajo
a partir de calor suministrado, y ya que todo el trabajo producido es, en
este caso, energía disponible, mientras que la fracción disponible del calor
es Qc (1 – T0 /Tc), tenemos
ηexergética=
W
ηt
=
Qc (1 – T0 /Tc) (1 – T0 /Tc)
(8.21)
La ηexerg siempre es mayor que la ηt debido a que sólo se contabiliza la
fracción de calor que efectivamente se puede convertir en trabajo.
8.3.2 Eficiencia de un refrigerador
El objetivo de un refrigerador es extraer calor para lograr una baja temperatura por medio de una máquina que consume trabajo. Al extraer calor de
un depósito, este queda en capacidad de permitir la producción de trabajo
mediante una máquina térmica reversible que recibe calor del ambiente y
descarga en el depósito; luego, la eficiencia exergética es
ηref, exerg=
WM.T rev
Wreal
(8.22)
Pero
WM.T rev = Qc ηT
de acuerdo con la primera ley
WM.T rev = (WM.T, rev + QF) ηT
QF ηT
WM.T rev=
1 – ηT
Reemplazando en la ecuación 8.22 se obtiene
ηT
QF
ηref, exerg =
1 – ηT Wreal
y de acuerdo con la ecuación 5.4
(8.23)
8.3.3 Eficiencia de una bomba de calor
En este caso se desea mantener un recinto a una temperatura alta suministrándole calor extraído de un foco que se encuentra a menor temperatura
mediante el empleo de trabajo mecánico. Al obtener un depósito caliente,
se está en capacidad de producir trabajo mediante una máquina térmica
reversible conectada entre este depósito y el ambiente.
W
ηB. C, exergia = M.T rev
Wreal
183
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
ηB. C, exergia =
Qc ηT
Wreal
de acuerdo con las ecuaciones 5.7 y 5.9
(8.24)
8.3.4 Eficiencias de bombas y compresores
En estos equipos la sustancia recibe energía mecánica para aumentar su
exergía (representada en alta presión o incremento de energía potencial)
ηexergia =
ηexerg =
incremento de exergia
trabajo real suministrado
ψs – ψe
We
(8.25)
8.3.5 Eficiencia de una turbina
En estos equipos se obtiene trabajo a expensas de una disminución de la
exergía de la sustancia, luego
ηexerg =
trabajo real obtenido
disminución de la exergia
ηexerg =
Ws
ψE – ψs
(8.26)
8.3.6 Eficiencia de un intercambiador de calor
De acuerdo con el criterio de eficiencia exergética se podría definir para
un intercambiador de calor
ηI. C, exerg =
exergia ganada por el fluido que se calienta
exergia perdida por el fluido que se calienta
(8.27)
En la práctica esta eficiencia no tiene mucho sentido, pues lo que interesa
es la transferencia de calor para aumentar la energía de una sustancia. Sería
más útil hacer referencia a una eficiencia energética.
8.3.7 Eficiencia de toberas
En estos dispositivos se logra aumentar la velocidad del fluido a expensas
de una disminución de la presión
184
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos
ψ
ηtob, exerg = ψs
e
(8.28)
donde la disponibilidad en la salida es debida principalmente a la velocidad,
y en la entrada, a la presión.
Ejemplo 8.5
Una máquina térmica que opera entre dos depósitos de calor a 2.000 y 200 °C,
produce un trabajo neto de 2.000 kJ. Si la máquina tiene una eficiencia
térmica del 51% de la eficiencia de Carnot entre las mismas temperaturas,
calcular la eficiencia exergética de la máquina (suponer que la temperatura
ambiente es 300 K).
Solución
Un esquema que representa la máquina térmica se indica en la figura 8.6.
La eficiencia exergética de la máquina es
ηT (real)
ηexergetica =
(1 – T0 /Tc)
para este caso,
ηT (real) = 0,51 × ηCarnot = 0,51 × (1 – T /T )
f
c
ηT (real) = 0,51 × (1 – 473 /2.273)= 0,40
y por tanto
0,40
ηexergetica =
=0,46
(1 – 300/2.273)
La eficiencia exergética es mayor que la eficiencia térmica porque se calcula
con base únicamente en la energía disponible del calor.
Figura 8.6 Esquema que representa la máquina térmica del ejemplo 8.5
Ejemplo 8.6
Una turbina aislada térmicamente se alimenta con 10 kg/s de agua a 600 °C
y 3.500 kPa. De la turbina salen dos corrientes: la corriente 2 está a 500 °C y
400 kPa y la corriente 3 es agua con 80% de calidad a 70 kPa. Si la potencia que se obtiene de esta turbina es 7 MW, calcular la irreversibilidad y la
eficiencia exergética de la turbina.
185
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Solución
El proceso se puede esquematizar como se indica en la figura 8.7.
Figura 8.7 Esquema que representa una turbina aislada térmicamente,
ejemplo 8.6
Para calcular la irreversibilidad y la eficiencia de la turbina se deben calcular
primero los flujos másicos de las corrientes 2 y 3. Estos se pueden calcular de
los balances de masa y de energía
Balance de masa
;
balance de energía
resolviendo para las incógnitas
y
se obtiene
=5,51 kg/s y
=4,49 kg/s.
Para calcular la irreversibilidad, el balance de energía disponible se puede
escribir como
o en términos de las propiedades
De las tablas de propiedades del agua se obtiene
h1 = 3.678,4 kJ/kg, h2 = 3.484,9 kJ/kg, h3 = 2.203,46 kJ/kg, s1 = 7,4339
kJ/kg K, s2 = 8,1913 kJ/kg K, s3 = 6,2218 kJ/kg K y si se toma T0 = 298,15
K y P0 = 101,3 kPa entonces h0 = 104,89 kJ/kg, s0 = 0,3674 kJ/kgK y
por tanto
.
La eficiencia se puede calcular como
y con los valores ya encontrados
186
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos
8.4 Análisis termodinámico de procesos
Un análisis comprende
— La evaluación del estado termodinámico en cada uno de los puntos del
proceso.
— Determinación de los flujos másicos de cada corriente.
— El cálculo de las transferencias de calor y trabajo real para cada una de
las etapas.
— El cálculo de la energía disponible en cada punto.
— El cálculo de la irreversibilidad en cada etapa y a qué porcentaje de la
irreversibilidad total corresponde.
— El cálculo de la eficiencia termodinámica de cada etapa y del proceso
global.
Este análisis se puede ilustrar en el ejemplo 8.7.
Ejemplo 8.7
La figura 8.8 muestra un proceso que enfría 0,5 kg/s de agua de 25 a 5 °C.
El agua actúa como su propio refrigerante por medio de un ciclo de
recirculación. El compresor (bomba de vacío) mantiene una presión de
succión en el punto (4), de forma tal que la temperatura de saturación
en el separador sea 5 °C y descarga al punto (5) a 10 kPa. El compresor
opera con una eficiencia adiabática del 75% y el condensador descarga
agua líquida saturada a 10 kPa. Realizar un análisis termodinámico
completo.
Figura 8.8 Proceso que enfría 0,5 kg/s de agua de 25 a 5 °C, ejemplo 8.7
187
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Solución
Para este problema y teniendo en cuenta los datos proporcionados, se considera que todos los procesos, excepto en el condensador, son adiabáticos,
las bombas operan en forma reversible y la corriente de alimentación y de
producto están a presión atmosférica. El análisis termodinámico se realiza
siguiendo los pasos que se indican a continuación.
1. Determinación del estado termodinámico de todos los puntos y los flujos
másicos de cada corriente. De los datos del ejemplo: punto 1, P = 101,325
kPa, t = 25 °C; punto 2, P = 101,325 kPa; punto 3, vapor húmedo a 5
°C; punto 4, vapor saturado a 5 °C; punto 5, P = 10 kPa; punto 6, líquido
saturado a 10 kPa; punto 7, P = 101,325 kPa; punto 8, líquido saturado
a 5 °C; punto 9, P = 101,325 kPa. Queda entonces por determinar completamente el estado termodinámico de los puntos 2, 3, 5, 7 y 9.
Para calcular otra propiedad en 7 se realiza un balance de energía en
la bomba 1
wb1 = h7 – h6
pero como la bomba es reversible y teniendo en cuenta que el volumen
específico del líquido no cambia apreciablemente con la presión
wb1 = v6 (P7 – P6)
por tanto h7 = v6 (P7 – P6) + h6 = 191,92 kJ/kg.
La entalpía en el punto 9 se puede evaluar de la misma manera, mediante
un balance en la bomba 2 h9 = v8 (P9 – P8) + h8 = 21,08 kJ/kg.
Los estados 2 y 3 se pueden encontrar de la siguiente manera
— Balance de energía en la unión de 1 y 7
— Balance de energía en la válvula entre 2 y 3
— Balance de energía en el separador
Combinando estas tres ecuaciones se obtiene
y como
entonces
un balance de masa en la unión de 1 y 7 produce
reemplazando
188
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos
y h3 = 107,91 kJ/kg
El estado 5 se puede determinar del proceso en el compresor. Si el compresor fuera reversible wc, rev = h5, rev – h4, rev
y del balance de entropía para el caso reversible s4 = s5, rev = 9,0257 kJ/
kgK con s5, rev y P5 se encuentran de las tablas, h5, rev = 2.940,2 kJ/kg y la
ecuación produce
wc, rev = 429,6 kJ/kg
de la ecuación de eficiencia adiabática
y del balance de energía para el compresor real h5 = h4 + wc,real = 3.083,4
kJ/kg.
Hasta aquí se han encontrado, al menos, dos propiedades para cada punto y
por tanto todas las otras propiedades pueden ser especificadas. En la tabla
8.1 se resumen las condiciones de todos los puntos
2. Energía en forma de trabajo en cada etapa. Es claro que en este caso
sólo hay trabajo en el compresor y en las bombas
— En el compresor
— En la bomba 1
— En la bomba 2
Se puede concluir que la potencia consumida en las bombas es prácticamente despreciable comparada con la potencia consumida en el compresor.
3. Transferencia en forma de calor en cada etapa. El único sitio donde se
intercambia calor es en el condensador
4. Irreversibilidades en cada etapa. Mediante balances de energía disponible
se puede calcular la irreversibilidad de las etapas.
— En la unión de las corrientes 1 y 7
— En la válvula
— En el separador
— En el compresor
189
190
M (kg/s)
0,5
0,518
0,518
0,018
0,018
0,018
0,018
0,5
0,5
fase
Líquido
comprimido
Líquido
comprimido
Vapor
húmedo
X=0,0349
Vapor
saturado
Vapor
recalentado
Líquido
saturado
Líquido
comprimido
Líquido
saturado
Líquido
comprimido
Punto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
101,325
0,8721
101,325
10
10
0,8721
0,8721
101,325
101,325
P (kPa)
5,02
5
45,83
45,81
303,4
5
5
25,7
25
t (°C)
21,08
20,98
191,92
191,83
3.083,4
2.510,6
107,91
107,91
104,89
h (kJ/kg)
0,0761
0,0761
0,6493
0,6493
9,2924
9,0257
0,3884
0,37718
0,3674
s (kJ/kgK)
0,001
0,001
0,00101
0,00101
v (m3/kg)
3,04
2,94
2,98
2,89
317,52
–175,76
–3,24
0,1040
0
ψ (kJ/kg)
Tabla 8.1 Condiciones de todos los puntos para el ejemplo 8.7 (los valores resaltados son los que permiten leer las otras propiedades en las tablas)
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos
— En el condensador
y qdisp = q– qno dis, pero qno disp = T0 (s5 – s6) = 2.576,94 kJ/kg, qdisp
= 314,63 kJ/kg
con estos resultados
— En la bomba 1
— En la bomba 2
5. Irreversibilidad total y porcentajes de contribución de cada etapa. La
irreversibilidad total es
Otra forma de cálculo es con un balance de energía disponible de toda
la planta
= 3,18 kJ/s
6. Eficiencia exergética de cada etapa
— Para la mezcla de 1 y 7
— Para el separador
— Para el compresor
— En el condensador
— En la bomba 1
— En la bomba 2
Problemas propuestos
8.1
8.2
Un tanque rígido contiene vapor de agua saturado a 90 °C. Se agrega
calor al agua hasta que la presión en el tanque alcanza un valor de
1,5 bar. La temperatura del ambiente es 10 °C. Calcular cuánto del
calor agregado es energía disponible.
Se enfría aire a 15 lbf/pul2 y a presión constante desde 340 °F hasta
80 °F, todo el calor que cede el sistema aparece en los alrededores
que tienen una temperatura de 60 °F. Determinar, del calor que se
sustrae, qué cantidad es energía disponible para el sistema cerrado
en Btu/h.
191
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
Determinar la cantidad máxima de trabajo que se puede obtener en
un proceso de flujo de un kilogramo de vapor de agua a 200 kPa y
400 °C, si las condiciones del ambiente son 101,33 kPa y 300 K.
Agua a 300 K y 10.000 kPa fluye por una caldera a razón de 10 kg/s, allí
se vaporiza produciendo vapor saturado a 10.000 kPa. ¿Cuál es la fracción
máxima del calor agregado al agua en la caldera que puede convertirse en
trabajo en un proceso cuyo producto terminal es agua a las condiciones
iniciales, si T0 = 300 K? ¿Qué pasa con el calor restante?
Un gas ideal a 2.000 kPa se estrangula adiabáticamente hasta 200 kPa.
Determinar el trabajo perdido durante este proceso si T0 = 300 K.
Considere la transferencia de calor directa desde un recipiente térmico
a T1 hasta otro recipiente térmico a T2, donde T1 > T2 >T0. No es obvio
por qué el trabajo perdido de este proceso depende de T0, puesto que los
alrededores no intervienen en la transferencia de calor real. Mediante el
empleo adecuado de la fórmula para la máquina de Carnot, demostrar
que para la transferencia de una cantidad de calor Q se cumple
En un tanque rígido con un volumen de 0,10 m3 hay freón-12 a 2 bar
con una calidad del 50%. Se agrega calor de un depósito a 100 °C
hasta que la presión alcanza 5 bar. Determinar la irreversibilidad del
proceso. Considerar la temperatura ambiente 24 °C.
El arreglo de la figura 8.9 se puede emplear para producir vapor a 1.000
kPa, si se dispone de dos fuentes de vapor una a 2.500 kPa y otra a
300 kPa. Suponiendo que tanto el compresor como la turbina operan
isoentrópicamente y en estado y flujo permanente, determinar:
a. La razón de flujos másicos que hay entre las fuentes de vapor de
alta y de baja presión.
b. La temperatura del vapor de 1.000 kPa que se obtiene mediante
la descarga de la turbina y el compresor.
c. La irreversibilidad del proceso por cada kilogramo de vapor a 300 kPa,
suponer que todo el proceso es adiabático, P0 = 101,32 kPa, T0
Figura 8.9 Descripción del proceso para el problema 8.8
192
8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
8.15
Un refrigerador opera entre un depósito de calor de baja temperatura a 5 °C y un depósito de calor de alta temperatura a 20 °C. Si se
requiere proporcionar 1.000 kJ de trabajo para producir 4.000 kJ de
refrigeración, ¿cuál es su eficiencia exergética? t0 = 20 °C.
Un flujo permanente de agua se calienta en un intercambiador de
calor de 25 a 50 °C mediante el calor proveniente de un depósito a
250 °C. Si el flujo de agua es de 0,5 kg/s, determinar la irreversibilidad del proceso.
Un tanque rígido de 1 m3 de volumen contiene inicialmente aire
a 700 kPa y 40 °C. Al extraer aire del tanque se proporciona calor
al mismo de tal manera que su temperatura se mantenga a 40 °C.
Determinar para cuando la presión del aire dentro del tanque haya
caído a 175 kPa:
a. La cantidad total de calor que fue necesario proporcionar al tanque.
b. La irreversibilidad del proceso. T0 = 300 K, P0 = 101,325 kPa.
Se comprime aire isotérmicamente mediante un compresor que opera en estado permanente desde 100 kPa y 300 K hasta una presión
final de 500 kPa. ¿Cuál es la eficiencia exergética del proceso? Para
un flujo másico de 2,0 kg/s, ¿cuál es la potencia reversible? P0 =
101,25 kPa, T0 = 300 K.
Se comprime aire adiabáticamente mediante un compresor que opera en estado permanente, desde 100 kPa y 300 K hasta una presión
final de 500 kPa. ¿Cuál es la eficiencia exergética del proceso? Para
un flujo másico de 2,0 kg/s, ¿cuál es la potencia reversible? P0 =
101,325 kPa, T0 = 300 K.
Un reactor nuclear opera una planta elemental de potencia de turbina
de gas, como se muestra la figura 8.10. El aire entra en el punto 1 y
se comprime adiabáticamente hasta el punto 2, se calienta a presión
constante entre los puntos 2 y 3 y se expande adiabáticamente del
punto 3 al punto 4. Las condiciones específicas son: punto 1, 20 °C,
1 bar; punto 2, 4 bar; punto 3, 540 °C, 4 bar; punto 4, 1 bar.
El trabajo para operar el compresor Wc proviene de la turbina y el
trabajo adicional de la turbina es el trabajo neto Ws que entrega la
planta. Las eficiencias del compresor y la turbina se indican en la
figura 8.10. Realizar un análisis termodinámico del proceso, incluyendo el reactor nuclear como parte del sistema y tratándolo como
un depósito de calor a 650 °C, T0 = 293,15 K.
Se usa agua como sustancia de trabajo en una planta de potencia que
utiliza un reactor nuclear. El diagrama de esta planta se muestra en
la figura 8.11. El líquido comprimido que sale del reactor entra al
evaporador instantáneo, donde se reduce la presión. Aquella fracción
de agua que se evapora fluye hacia la turbina, mientras que el líquido
193
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 8.10 Descripción del proceso para el problema 8.14
que permanece va hacia la cámara de mezcla; la turbina es adiabática
reversible, igual que las bombas. Realizar un análisis termodinámico
del proceso.
Figura 8.11 Diagrama de una planta para el problema 8.15
194
9. Aplicaciones termodinámicas
del flujo de fluidos
En este capítulo se aplican los conceptos presentados en capítulos previos al
estudio del flujo de fluidos a través de equipos. En este tipo de aplicaciones (y
por supuesto en las presentadas en el capítulo diez) se requiere de un uso global
de los conceptos y herramientas de cálculo estudiadas anteriormente.
Se presentará primero el flujo de fluidos a través de tuberías (para mostrar la
utilización de la ecuación del balance de energía mecánica), posteriormente
se analizarán los flujos a través de toberas y difusores, para concluir el capítulo con el estudio de los procesos de compresión y expansión en turbinas.
9.1 Balance de energía mecánica
Para deducir el balance de energía mecánica se puede considerar el flujo
a través de un equipo, como se muestra en la figura 9.1. El volumen de
control para este caso será infinitesimal, de tal manera que los cambios
en las propiedades se puedan considerar como diferenciales.
Figura 9.1 Sistema diferencial para determinar la ecuación de Bernoulli
Si se considera que el flujo es de estado estable, entonces el balance de
energía es
0 = δMe (h + ec + ep)e + δQ − δMs (h + ec + ep)s − δWs
y si los cambios en la entalpía, la energía cinética y la energía potencial,
se pueden considerar como diferenciales, entonces el balance por unidad
de masa es
0 = δq − δws − d(h + ec + ep)
(9.1)
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
El balance de entropía para este caso es
y por unidad de masa
(9.2)
en la cual ds representa la diferencia en la entropía entre los puntos de
salida y de entrada.
Si se considera que el sistema diferencial se mantiene a temperatura
constante, entonces
T ds = δq + δlw
(9.3)
combinando las ecuaciones 9.1 y 9.3 para eliminar el flujo de calor, se
obtiene
0 = T ds − δlw − δws − d(h + ec + ep)
la cual se puede reescribir como
(9.4)
0 = T ds − dh − δlw − δws − d(ec + ep)
(9.5)
y utilizando la ecuación 5.6 (ecuaciones fundamentales) se transforma en
0 = − v dP − δlw − δws − d(ec + ep)
(9.6)
La ecuación 9.6 es el balance de energía mecánica para un sistema diferencial. La integración de esta ecuación sobre todo el proceso (o en otras
palabras, la suma de los cambios a través de todos los elementos diferenciales que componen un proceso) produce
(9.7)
la únicas restricciones en la deducción de esta ecuación fueron las consideraciones de un estado estable y que el proceso ocurre por una serie de estados
de equilibrio (esto está implícito en la utilización de la ecuación 5.6). La
consideración de que el sistema diferencial sea isotérmico no implica que el
proceso global tenga esta restricción, simplemente significa que cada estado
de equilibrio mantiene la misma temperatura.
9.1.1 El trabajo perdido en el flujo de fluidos
El trabajo perdido en estos casos es debido principalmente al rozamiento
en la tubería, a cambios en la dirección del fluido y a turbulencias. En el
caso de flujo por el interior de tuberías, las pérdidas se pueden expresar
en función del factor de fricción de fanning (f)
(9.8)
en la cual D es el diámetro de la tubería y L la longitud.
El factor de fricción es función del régimen de flujo (turbulento o laminar)
representado por el número de Reynolds
196
9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos
la rugosidad relativa de la tubería (ε/D) y la relación longitud/diámetro
f = f (NRE, ε/D, L/D)
(9.9)
En muchos casos de interés práctico, en el cual el régimen se puede considerar turbulento, el factor de fricción se hace prácticamente independiente
del número de Reynolds (especialmente en las tuberías de mayor rugosidad)
y por tanto se puede considerar constante durante todo el flujo. En esos
casos la ecuación 9.8 se puede integrar para producir
(9.10)
si el diámetro de la tubería es constante, la ecuación 9.10 queda
(9.11)
la cual se puede evaluar si se conoce la variación de la velocidad a lo largo
de toda la tubería.
Para el flujo de fluidos a través de accesorios (como codos, válvulas, uniones, etc.) el trabajo perdido se evalúa usualmente mediante el coeficiente
de pérdidas del accesorio (kaccesorio).
(9.12)
Para la gran mayoría de aplicaciones prácticas, se ha encontrado que el
coeficiente de pérdidas es constante y las tablas para gran número de accesorios se pueden encontrar en la bibliografía sobre el tema.
9.1.2 Aplicaciones del balance de energía mecánica
El balance de energía mecánica (véase ecuación 9.6) se puede simplificar
a formas más útiles en algunos casos especiales.
1. Fluidos incompresibles
En este caso, el volumen específico de la sustancia no cambia apreciablemente durante el proceso y por tanto la ecuación 9.6 queda
(9.13)
Si se trata de flujo unidireccional y no hay equipos en los cuales se intercambie trabajo, el trabajo perdido se deberá solo a las rugosidades y por
tanto usando la ecuación 9.10
(9.14)
y si el flujo es ideal (sin trabajo perdido) entonces
197
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
(9.15)
o en otras palabras
(9.16)
Ejemplo 9.1
Se utiliza una bomba para llevar agua de enfriamiento a un intercambiador
de calor, el agua de alimentación a la bomba se mantiene en un tanque
abierto y llega al intercambiador por una tubería de 0,6 pulgadas (véase
figura 9.2). El intercambiador requiere 0,3 m3/min de agua a 3 atm. La
tubería que mide 27,5 m y que tiene una diferencia de altura entre la
bomba y el intercambiador de 15,5 m, tiene un factor de fricción que se
puede considerar constante ƒ = 0,003, los accesorios en la tubería son 4
codos de 90° (k = 0,75) y una válvula de globo (k = 6,4). Si el motor de
la bomba consume 77 kW, ¿cuál es su eficiencia?
Solución
Figura 9.2 Esquema de bombeo para el ejemplo 9.1
Para resolver este problema se puede utilizar la ecuación 9.13, ya que se
puede considerar que el volumen específico del agua no cambia durante
el proceso y que el trabajo mecánico entra en la bomba
si se considera que la diferencia de velocidad entre los puntos 1 y 2 es
despreciable
el primer término del lado derecho se puede evaluar suponiendo que el
agua de alimentación está a condiciones atmosféricas y por tanto
v = 0,001 m3/kg
we = lw + 0,35455 kJ/kg
El término lw se puede dividir en tres contribuciones
— Trabajo perdido en la tubería por fricción lwtub.
— Trabajo perdido en los accesorios lwaccesorios.
— Trabajo perdido en la bomba lwbomba.
198
9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos
Para calcular la eficiencia de la bomba se debe encontrar primero el trabajo
que haría una bomba reversible. ( con lwbomba = 0)
we (rev) = lwtub + lwaccesorios + 0,35455 kJ/kg
el trabajo perdido por fricción en la tubería se puede hallar de la ecuación 9.8
con velocidad constante
y en la cual la velocidad es
caudal volumétrico
Área transversal de tubería
Caudal = 0,3 m3/min = 0,005 m3/s
=
Área tubería =
y entonces
El trabajo perdido en la tubería es
lwtub = 8,134 kJ/kg
Para calcular el trabajo perdido en accesorios se utiliza la ecuación 9.12
y kaccesorio = 4 × kcodo + 1 × kválvula
kaccesorio = 4 × 0,75 + 6,4 = 9,4
por tanto
El trabajo requerido por la bomba reversible es
we (rev) = 8,134 + 3,513 + 0,35455 = 12,00 kJ/kg
y la potencia consumida
La eficiencia de la bomba es por tanto
η = 77,9%
2. Fluidos compresibles a través de tuberías largas
Para el caso de flujo a través de grandes longitudes de tubería en los cuales se pueda despreciar el cambio en la energía potencial y donde no haya
dispositivos que intercambien trabajo, la ecuación 9.6 se reduce a
199
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
que con la ecuación 9.8 queda
(9.17)
En estos casos, la velocidad cambia a lo largo de la tubería y por tanto la
evaluación de la ecuación 9.17 requiere el conocimiento de la relación
entre y L. Una forma de evitar este problema es mediante la siguiente
manipulación matemática: dividiendo la ecuación 9.17 por
se llega a
(9.18)
que se puede transformar en
(9.19)
= /A, que en el
Por otra parte, la ecuación de continuidad establece que
caso de estado estable en una tubería de área constante produce
= consse llega a
tante y en consecuencia, multiplicando la ecuación 9.19 por
(9.20)
pero
y por tanto la ecuación 9.20 queda
(9.21)
la cual puede ser integrada fácilmente, produciendo
(9.22)
o
(9.23)
En resumen, las ecuaciones 9.22 y 9.23 son aplicables al caso de flujo de
fluidos a través de tuberías de diámetro constante, en estado estable, sin
dispositivos que intercambien trabajo y en los cuales el cambio en la energía
potencial no sea apreciable.
Para su evaluación se requiere conocimiento de la relación entre la presión y la densidad durante todo el proceso. Esta puede expresarse en una
forma sencilla en el caso de una sustancia que se pueda modelar como un
gas ideal; pero produce expresiones extremadamente complicadas para el
200
9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos
caso de ecuaciones de estado no ideales con las cuales se debe recurrir a
métodos numéricos apropiados.
Ejemplo 9.2
Se desea bombear etano entre dos estaciones de un gasoducto por una tubería
de 12,3 km de longitud con un factor de fricción constante de 0,0025. La
presión en la estación de bombeo inicial y final debe ser de 5 atm y 2 atm
respectivamente. Si por el gasoducto deben fluir 1,2 kg/s de etano en forma
isotérmica a 20 °C, calcular el diámetro del gasoducto a utilizar.
Solución
Considerando al etano que fluye por el gasoducto como un gas ideal entonces ρ = P/RT y la ecuación 9.23 queda (considerando flujo isotérmico)
con A = π D 2 /4 e integrando, se obtiene
reemplazando los valores
reorganizando
D = 620.416,1 D5 – 67,1
y resolviendo por tanteo
D = 0,161 m
9.2 Flujo a través de toberas y difusores
En esta sección se presentará la aplicación de los conceptos estudiados del
flujo mediante dispositivos de área variable.
Una tobera es un dispositivo que aumenta la velocidad de la sustancia
mediante una disminución en la presión. En un difusor, la presión de la
sustancia aumenta, disminuyendo la velocidad. Debido a que el flujo a
través de toberas y difusores es, en general, a altas velocidades, no hay
tiempo para que se establezca la transferencia de calor y por tanto se
puede considerar que estos dispositivos son adiabáticos. Por otra parte,
los equipos estudiados en esta sección no requieren de ningún dispositivo
para el intercambio de trabajo.
Antes de plantear las ecuaciones que describen el comportamiento de las
sustancias en las toberas y los difusores se deben presentar dos conceptos
previos: la velocidad del sonido y las propiedades de estancamiento.
201
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
9.2.1 La velocidad del sonido
Para encontrar la expresión para la velocidad con la que viaja una onda
de sonido (la cual puede ser considerada como una pequeña perturbación de
presión) en un fluido, se examinará el fenómeno desde el punto de vista
de un observador situado en la onda, como se muestra en la figura 9.3.
Figura 9.3 Movimiento de una onda de sonido, el observador se mueve con
la onda
Desde el punto de vista del observador, está en una onda estacionaria, con
el fluido viajando hacia él con una velocidad C y sale del volumen de control
con una velocidad C−d . Debido a que la onda de sonido es infinitesimal,
los cambios en la presión, densidad y entalpía durante el paso de la onda
están dados por dP, dρ y dh respectivamente.
Para el observador, se tiene un estado estable en flujo estable y puesto que el
proceso se puede considerar adiabático, sin cambios en la energía potencial
y no se tiene intercambio de trabajo, el balance de energía para el volumen
de control de la figura 9.3 es
(9.24)
la cual, despreciando las diferenciales de segundo orden, queda
(9.25)
Por otra parte, la ecuación de continuidad para este caso puede escribirse en
la forma
ρ C A = (ρ + dρ) (C−d ) A
que, despreciando nuevamente las diferenciales de segundo orden, se reduce a
C dρ = ρ d
que al reemplazarse en la ecuación 9.25 produce
(9.26)
Si se utiliza la ecuación 5.6 para eliminar la entalpía, la ecuación 9.26 queda
(9.27)
202
9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos
Como la onda sonora se puede considerar como una onda de presión infinitesimal, se puede suponer que el proceso es reversible. Por tanto, como
el flujo es también adiabático, resulta que ds = 0 y la ecuación 9.27 se
reduce a
es decir,
(9.28)
Como la derivada del lado derecho de la ecuación 9.28 se debe evaluar a
entropía constante, se puede escribir más correctamente como
(9.29)
ya que la relación del lado derecho de la ecuación 9.29 es una propiedad
termodinámica, entonces la velocidad del sonido también es una propiedad termodinámica y tiene un solo valor para cada estado.
Para el caso particular de un gas ideal, se puede demostrar que
que en un proceso isentrópico queda
o en otras palabras
(9.30)
Al reemplazar en la ecuación 9.29 se obtiene que para un gas ideal
(9.31)
es decir que la velocidad del sonido en un gas ideal es función únicamente
de la temperatura.
En el estudio de flujo de fluidos es conveniente utilizar un parámetro
adicional conocido como el número de Mach (M*) que se define como la
relación entre la velocidad del fluido y la velocidad con la que se propaga
el sonido dentro de este
(9.32)
Empleando el número de Mach se pueden clasificar los regímenes de flujo
de la siguiente manera:
Flujo subsónico, cuando M* < 1.
Flujo sónico, cuando M* = 1.
Flujo supersónico, cuando M* > 1.
203
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Ejemplo 9.3
Calcular el número de Mach en la estación inicial y final del etano que fluye
por el gasoducto del ejemplo 9.2.
Solución
La velocidad del etano se puede calcular en cualquier punto con la ecuación de continuidad
y considerando al etano como un gas ideal
con los datos del problema 9.2
se obtiene para la estación de bombeo inicial
en la estación de bombeo final la velocidad es
la velocidad del sonido, en este caso, se mantiene constante
La velocidad del sonido es entonces C = 310,33 m/s y el número de Mach
en cada punto
9.2.2 Propiedades de estancamiento
Este es un concepto que muchas veces simplifica el análisis de problemas de
flujo compresible. Se define como estado de estancamiento isentrópico al estado
que alcanza un fluido en movimiento si se llevara al reposo en un dispositivo
operando en estado estable, mediante un proceso reversible sin interacciones
de calor ni de trabajo. El balance de energía para este proceso hipotético es
(9.33)
en el cual
simboliza la entalpía del fluido en reposo.
es la misma que
Por otra parte, como la entropía de estancamiento
la del fluido en movimiento, todas las propiedades quedan especificadas
mediante el conocimiento de
y
.
204
9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos
Ejemplo 9.4
Determinar la temperatura y la presión de estancamiento isentrópico de un
avión que viaja a Mach 0,9 bajo unas condiciones atmosféricas de 50 kPa y
−12 °C.
Solución
Para el aire a −12 °C se tiene que
y por tanto la velocidad del avión es
De la ecuación 9.33, la entalpía de estancamiento es
y
si se considera un gas ideal con Cp constante
Para un proceso isentrópico de gas ideal y considerando capacidades caloríficas constantes
y
reemplazando los valores
9.2.3 Flujo adiabático reversible en conductos
de sección transversal variable
Para el estudio de flujo a través de toberas y difusores (dispositivos con
área de flujo variable), se puede realizar un análisis similar al mostrado en
el desarrollo del balance de energía mecánica.
205
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 9.4 Sistema diferencial para flujo en conductos de área variable
La aplicación de la ecuación 9.6 al proceso mostrado en la figura 9.4 en
el cual el flujo es adiabático, reversible sin intercambio de trabajo y con
cambios insignificantes en la energía potencial, produce
o
(9.34)
Por otra parte, la ecuación de continuidad es
renciada logarítmicamente se transforma en
= constante que dife(9.35)
combinando las ecuaciones 9.34 y 9.35 se obtiene
que utilizando el resultado de la ecuación 9.29 se transforma en
(9.36)
Utilizando el concepto de número de Mach la ecuación se convierte en
(9.37)
o
(9.38)
reemplazando la ecuación 9.34 en la 9.38 resulta
(9.39)
El análisis de las ecuaciones 9.38 y 9.39 conduce a conclusiones importantes
206
9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos
1. Cuando M* < 1
Esto significa que si se desea acelerar un fluido subsónico el área de la
sección transversal debe disminuir en la dirección en que aumenta la
velocidad y disminuye la presión. De la misma forma, se puede concluir
que un difusor subsónico debe tener forma divergente.
2. Cuando M* > 1
En este caso, una tobera supersónica debe ser divergente, mientras que
un difusor supersónico debe ser convergente.
3. Cuando M* = 1
El área de flujo se mantiene constante en este caso.
Se debe notar, de estas conclusiones, que una vez que el fluido alcanza
la velocidad del sonido, una aceleración posterior solo puede ocurrir en
una sección divergente. Las conclusiones se pueden resumir esquemáticamente en la figura 9.5.
Figura 9.5 Relación de velocidad, área y presión para flujo isentrópico en
toberas y difusores
9.2.4 Eficiencia de toberas
Cuando el flujo a través de una tobera no es reversible, se puede utilizar la
ecuación 9.40 para calcular la magnitud de las irreversibilidades
207
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
(9.40)
Las irreversibilidades en una tobera se deben principalmente a la fricción.
En la actualidad, mediante diseños mejorados y la escogencia de materiales
apropiados, los efectos de la fricción se han minimizado y es por eso que las
eficiencias de toberas son generalmente muy altas (del orden de 92 a 97%).
Un balance de exergía en una tobera real produce
que reemplazando en la ecuación 9.40 da
Es claro entonces que cuando la tobera funciona sin irreversibilidades, la
eficiencia exergética es la máxima.
Algunos autores postulan que el objeto de una tobera no es obtener una
exergía alta en la salida, sino específicamente un aumento en la velocidad y
por tanto definen una eficiencia energética como la relación entre la energía cinética real obtenida y la que se obtendría si el flujo fuera isentrópico
entre las mismas condiciones iniciales y la misma presión final.
(9.41)
y utilizando las propiedades de estancamiento (véase ecuación 9.33)
(9.42)
es la entalpía de estancamiento en la entrada y hsi es la
en la cual
entalpía de salida si el flujo fuera reversible.
Ejemplo 9.5
Por una tobera entran 1,5 kg/s de aire a 160 kPa y 67 °C con una velocidad
de 90 m/s. El área de la sección transversal de la salida de la tobera es de
0,018 m2 y el fluido sale por ella a 350 m/s. Calcular:
a. La temperatura a la salida.
b. La presión en la salida.
b. La eficiencia energética.
Solución
a. El balance de energía es
y considerando gas ideal con Cp constante
208
9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos
y por tanto
b. Para un gas ideal P = ρ R T y de la ecuación de continuidad
o sea que
c. Para calcular la velocidad de salida del proceso adiabático reversible se
debe encontrar primero la temperatura de salida ideal.
Del balance de entropía para el flujo adiabático reversible de un gas ideal
y por tanto
Tsi = 185,9 K
La velocidad de salida ideal se puede calcular del balance de energía
y entonces
la eficiencia es
9.3 Procesos de compresión y expansión
en flujo estable
Antes de presentar el funcionamiento de las máquinas térmicas y de los
refrigeradores se estudiarán un poco más de cerca dos de los equipos más
importantes de estos ciclos: las turbinas y los compresores.
9.3.1 Expansión en turbinas
El propósito de una turbina es producir trabajo llevando al fluido desde unas
condiciones de entrada hasta una presión final específica. Por tanto, es útil
209
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
investigar diferentes tipos de procesos reversibles entre el estado inicial y
alguna presión final dada para determinar cuál representa la mayor cantidad
de trabajo. En la figura 9.6 se muestran tres trayectorias reversibles de expansión para un gas entre un mismo estado inicial y una presión final dada.
Del diagrama presión volumen mostrado, es claro que el proceso isotérmico es
el que produce la mayor cantidad de trabajo, pero en la práctica, la cantidad
de calor que puede transmitirse durante la expansión en una turbina está
limitada por una pequeña superficie disponible para la transferencia de calor
y por el poco tiempo que el gas permanece en la turbina. En consecuencia,
muchas veces no es deseable el calentamiento durante la expansión propiamente dicha, sino que se obtiene trabajo adicional con una etapa intermedia
de recalentamiento: el gas se saca de la turbina a una presión intermedia
entre las presiones de entrada y salida, se calienta a presión constante (véase figura 9.7) y entonces reingresa a la turbina o entra a otra turbina para
expandirse hasta la presión de salida.
Figura 9.6 Trayectorias de expansión reversible
De la figura 9.7 es claro que el trabajo se incrementa (con respecto a la expansión adiabática) mediante el recalentamiento. También se puede observar
que para valores dados de PE y Ps existe una presión óptima para el recalentamiento (esto se puede intuir analizando los casos extremos: si se selecciona
una presión intermedia muy cercana a la presión de entrada o de salida, el
aumento del trabajo obtenido es pequeño comparado con el aumento obtenido
de una etapa intermedia como la mostrada en la figura 9.7).
Se ha demostrado que si el recalentamiento lleva al gas a su temperatura
inicial, se obtiene el máximo trabajo cuando el trabajo es el mismo para
las dos etapas. Se puede también concluir, de un análisis posterior, que
cuando se tienen más de dos etapas, el trabajo óptimo se obtiene cuando
las etapas aportan por partes iguales al total obtenido.
9.3.2 Flujo en compresores
Un análisis similar al realizado para las turbinas se puede hacer con el
flujo estable en compresores. En este caso se desea obtener una presión
210
9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos
Figura 9.7 Recalentamiento en turbina de gas
de salida alta con un mínimo de trabajo invertido en ello. En la figura 9.8
se muestran tres procesos reversibles para realizar la compresión.
Figura 9.8 Trayectorias de compresión reversible
En el caso de los compresores se aplican restricciones similares al caso
de las turbinas para la transferencia de calor y es por tanto preferible, en
muchos casos, tener etapas de enfriamiento intermedio. En este caso, la
experiencia ha mostrado que si se tienen más de dos etapas, el mínimo
trabajo de entrada se requiere cuando el trabajo total se divide en partes
iguales entre las etapas (véase figura 9.9).
Figura 9.9 Compresión en tres etapas con enfriamientos intermedios a Pi1 y Pi
211
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Problemas propuestos
9.1 Se desea bombear gas metano entre dos estaciones de un gasoducto por
una tubería de 20 cm de diámetro, 12,3 km de longitud y un factor de
fricción constante de 0,0025. A la estación final deben llegar 1,5 kg/s
de metano a 4 atm. Calcular cuál debe ser la presión en la estación de
partida si el flujo es considerado isotérmico a 20 °C.
9.2 Calcular la transferencia de calor involucrada en el problema 9.1.
9.3 Por un tubo horizontal, perfectamente liso y aislado térmicamente
de diámetro constante (D = 4 pulgadas) fluye aire en estado estable.
El aire entra a 150 kPa y 35 °C con una velocidad de 58 m/s y sale a
140 kPa y 240 °C. Determinar:
a. La velocidad del aire a la salida.
b. El flujo másico.
9.4 Por una tubería horizontal con un factor de fricción de 0,008 fluye
agua a 78 °F. La caída de presión debida a la fricción es de 1,1 psi
por cada 100 pies de tubería. ¿Cuál es el flujo másico que se puede
conducir por una tubería de 6 pulgadas?
9.5 En un conducto horizontal fluye helio en forma adiabática reversible,
desde 750 kPa y 60 °C hasta 150 kPa. Si la velocidad inicial es de 60 m/s,
determinar la velocidad al final del ducto.
9.6 A un tubo de 4 cm de diámetro entra agua a 2.000 kPa y 30 °C con
una velocidad de 2 m/s. La salida del tubo está a 25 m por arriba de la
entrada. Si la caída de presión por fricción es de 15 kPa, determinar
la presión a la salida.
9.7 Entre dos estaciones de bombeo de un gasoducto fluye propano por una
tubería que se puede considerar horizontal de 32 cm de diámetro y de
38 km de largo. La presión del gas en la estación de bombeo inicial es
de 62 atm y la presión de entrada a la estación de bombeo final es de
30,5 atm. Se puede suponer que el factor de fanning es de 0,0042 en
toda la tubería. Si se considera que el flujo es isotérmico a 25 °C y que
el propano obedece a la ecuación de estado
con Pc en kPa calcular:
a. El flujo másico.
b. Las velocidades al comienzo y al final de la tubería.
c. La transferencia de calor.
9.8 Se bombea gas natural (metano) a través de una tubería horizontal de
0,305 m de diámetro y de 56 km de largo. Las presiones al comienzo
y la final de la tubería son respectivamente de 51 atm y 27 atm. Se
212
9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos
puede suponer un factor de fricción de Fanning de 0,004. Si el metano
obedece la ecuación de estado
calcular el caudal y la transferencia de calor si el flujo es isotérmico
a 15,6 °C.
9.9 La central de una hidroeléctrica tiene una turbina que recibe 400 kg/s
de agua de un lago artificial a través de una tubería de cemento de 0,915
m de diámetro y 0,8 km de longitud y que se extiende hasta el lecho
de un río 75 m más abajo. La tubería tiene una válvula de compuerta
50% abierta (con un coeficiente de pérdidas de 4,5) y para todos los
caudales prácticos se tiene un flujo turbulento con un factor de Fanning
de 0,005. Si la turbina tiene un rendimiento del 85%, calcular:
a. El trabajo que se obtiene de la turbina.
b. La presión justo antes de entrar a la turbina.
9.10 Suponiendo un comportamiento de gas ideal, determinar la velocidad
del sonido en cada uno de los siguientes casos:
a. Aire a 25 °C.
b. Monóxido de carbono a 25 °C.
c. Argón a 25 °C.
d. Agua a 0,2 MPa y 250 °C.
9.11 A través de un conducto fluye oxígeno isoentrópicamente en estado
estable. En el punto de entrada donde el área de la sección transversal
es de 0,2 m2 el oxígeno está a 70 kPa y 50 °C y tiene una velocidad de
600 m/s. En la sección de salida el gas está a 340 kPa. Determinar:
a. El área de la sección transversal de salida.
b. El número de Mach en la salida.
9.12 En una tobera con una eficiencia energética del 93% se expande CO2
desde 3,2 MPa y 180 °C hasta 0,8 MPa. Suponiendo que el CO2 es un
gas ideal, calcular:
a. La velocidad de salida.
b. La temperatura de salida.
9.13 En una tobera con una eficiencia energética del 95% se expande vapor
de agua desde 6,0 MPa y 400 °C hasta 3,0 MPa. Si el área se salida es
de 6,5 cm2, determinar el flujo másico del agua.
9.14 En una tobera se expande nitrógeno en forma adiabática reversible
desde 1.500 kPa y 100 °C. Se desea obtener una velocidad de salida
de 600 m/s. Despreciando la velocidad de entrada determinar:
a. El número de Mach a la salida.
b. La presión a la salida.
c. La eficiencia energética en la tobera.
213
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
9.15 Demostrar que la presión de estancamiento
incompresible, se puede expresar mediante
, para un fluido
9.16 Determinar la presión de estancamiento para el agua a 100 °C y 200
kPa, que fluye con una velocidad de 50 m/s.
9.17 Determinar la presión y la temperatura de estancamiento correspondiente
a un avión de propulsión a chorro que viaja a 500 m/s a través de aire
atmosférico a 12 kPa y −20 °C.
9.18 Vapor de agua que se encuentra a 200 psia tiene una entalpía de estancamiento de 1.270,8 Btu/lb y su velocidad es de 300 pies/s. Calcula
la temperatura y la entropía de estancamiento.
9.19 Demostrar que para el flujo de un gas ideal con capacidades caloríficas
constantes se cumple
a.
b.
9.20 Mediante una tobera se expande vapor de agua desde unas condiciones
de estancamiento de 200 psia y 800 °F hasta otras condiciones de 40
psia y 450 °F. Determinar la eficiencia energética de la tobera.
9.21 Desde una caldera donde la presión es de 1,0 MPa y la temperatura es
de 500 °C fluye vapor de agua. Determinar la velocidad en un punto de
una tobera donde la presión es de 100 kPa, si el proceso es reversible.
9.22 Un gas ideal con calores específicos constantes entra a una tobera a
500 kPa y 300 K, y sale de la tobera a 100 kPa. Si el proceso es isentrópico en estado estable, calcular el número de Mach a la salida de
la tobera si el gas es:
a. Aire.
b. Dióxido de carbono.
c. Helio.
214
10. Aplicaciones de ciclos
de potencia y refrigeración
Una sociedad industrializada consume grandes cantidades de energía.
Además se caracteriza por su creciente dependencia de la electricidad,
tendencia que tiene efectos directos en el consumo global de energía e
indirectos en el medio ambiente. Como consecuencia de ello, las decisiones
que se deben tomar en relación con el diseño de un sistema de conversión
de energía, están ligadas al comportamiento de la economía y a la calidad de
vida en el ambiente.
La generación de potencia involucra innumerables aplicaciones de la termodinámica, por ejemplo a la propulsión de automóviles, aviones o barcos,
para suministro de electricidad o para aplicación directa en la operación
de bombas, compresores, equipos de procesamiento de materiales y refrigeración.
Un ingeniero debe esforzarse por incrementar la eficiencia térmica de un
sistema de generación de potencia o por reducir el consumo de potencia
en un proceso de refrigeración, tratando de minimizar irreversibilidades.
El diseño de un buen proceso es aquel que tenga una eficiencia razonablemente alta y cumpla con los requisitos técnicos, económicos y de
protección del ambiente.
10.1Ciclos de potencia
En general el equipo generador de potencia se clasifica en: sistemas de
potencia de gas y sistemas de potencia de vapor.
Los sistemas de potencia de gas incluyen las turbinas de gas y los motores
de combustión interna. En ambos la sustancia de trabajo, durante el proceso, no cambia de fase, permanece como gas.
En los sistemas de potencia de vapor la fase de la sustancia de trabajo
cambia y este cambio permite que se alcance más energía que la que se
puede almacenar por solo calentamiento en una fase. Aquí la sustancia
de trabajo se expande como vapor pero se comprime como líquido con un
volumen específico pequeño, por ello muy poco del trabajo obtenido en la
expansión tiene que usarse en la compresión.
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
De todos los sistemas de potencia de gas, se tratarán en este texto las
plantas de turbina de gas que operan de acuerdo con el ciclo de Brayton
y las máquinas de combustión interna que operan de acuerdo con el ciclo
de Otto y el ciclo de Diesel. Existen otros sistemas de potencia de gas modelados mediante otros ciclos o por combinación entre ellos, cuyo análisis
se hace en la misma forma de los antes mencionados.
El modelado de las plantas de potencia de vapor se hace de acuerdo con
el ciclo de Rankine.
10.2 Ciclos de potencia de gas
10.2.1 Ciclo de Brayton o ciclo de turbina de gas básico
En una turbina de gas simple el aire atmosférico entra a un compresor
donde se comprime hasta una presión y una temperatura más alta, luego
pasa a una cámara de combustión donde se le inyecta el combustible y los
productos calientes de la combustión se expanden luego en una turbina
para producir trabajo. Parte del trabajo de la turbina se usa para impulsar
el compresor, una pequeña cantidad se utiliza para operar dispositivos
auxiliares y el resto es la salida neta de trabajo de la planta.
El modelo más simple para estudiar la turbina de gas es el modelo estándar
de aire, con las siguientes características:
— La sustancia de trabajo es aire, que se comporta como gas ideal a lo
largo del ciclo.
— El proceso de combustión se reemplaza por un proceso de adición de
calor a presión constante.
— El escape real de los productos de combustión de la turbina y el aspirado
del aire atmosférico por el compresor se reemplazan por un proceso de
liberación de calor a presión constante.
Para el cálculo de propiedades del aire puede también suponerse que las
capacidades caloríficas son constantes y sus valores corresponden a los de
la temperatura ambiente.
El ciclo de Brayton es un modelo de aire estándar de un ciclo de turbina
de gas simple. La figura 10.1 muestra un diagrama de flujo, un diagrama
P-v y un diagrama T-s para este ciclo.
Los procesos de compresión y expansión son isentrópicos y la adición y liberación de calor ocurren de una manera reversible a presión constante.
En el diagrama T-s se ve claramente la divergencia de las líneas de presión
constante con entropía, lo cual asegura que la variación de entalpía en la
turbina es mayor en magnitud que la variación de entalpía en el compresor. De otra manera la turbina no puede impulsar el compresor y entregar
trabajo a los alrededores.
216
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
Figura 10.1 Ciclo de Brayton que simula una operación simple de una turbina
de gas. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. c. Diagrama T-s.
Mediante los balances de energía en la turbina, en el compresor y en la
cámara de combustión, despreciando variaciones de energía cinética y
potencial se tiene
wturbina = h3 − h4
(10.1)
wcompresor = h2 − h1
(10.2)
wneto = wturbina − wcompresor = (h3 − h4) − (h2 − h1)
(10.3)
(10.4)
Para el caso especial de capacidades caloríficas constantes con la temperatura
(10.5)
Esta eficiencia también podría expresarse en términos de las presiones.
La eficiencia del ciclo de Brayton es significativamente menor que la de un
ciclo de Carnot que opera dentro de los mismos límites de temperatura,
como se muestra en la figura 10.2
En algunas aplicaciones de turbinas de gas se pueden utilizar otras sustancias de trabajo.
Las bajas eficiencias de las turbinas y los compresores retrasaron el desarrollo de plantas de turbinas de gas, pues los procesos reales en estos
217
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 10.2 Superposición de un ciclo Brayton y un ciclo de Carnot para
comparar las eficiencias
equipos ocurren irreversiblemente generando pérdidas de disponibilidad,
como puede apreciarse en el diagrama de la figura 10.3
Figura 10.3 Ciclo de turbina de gas de aire estándar con compresión y expansión irreversibles
Ejemplo 10.1
El aire entra al compresor de una planta de turbina de gas simple a 100
kPa, 20 °C, a razón de 2,20 kg/s. La eficiencia adiabática del compresor es
60%. La presión de descarga es de 450 kPa. Calcular la cantidad de calor
en kJ/s, que debe agregarse para proporcionar una temperatura de entrada
a la turbina de 650 °C.
Solución
Se trata de un proceso en estado estable, flujo estable como se representa
en la figura 10.4.
218
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
Figura 10.4 Proceso en estado estable, flujo estable, ejemplo 10.1
El calor se agrega en el proceso de 2 a 3 que se realiza a presión constante
(reemplaza la combustión en el proceso real). El aire se va a considerar
como un gas ideal, suponiendo capacidades caloríficas constantes con la
temperatura. Un balance de energía en el intercambiador de calor da
q2→3 = h3 − h2 real
Para calcular h2 es necesario determinar el real estado 2, esto puede hacerse
mediante un análisis en el compresor.
Si el compresor trabaja de una manera adiabática reversible se cumple que
y para este caso con γ para el aire igual a 1,4
sería la temperatura a la salida del proceso reversible y el trabajo suministrado a este compresor de acuerdo con el balance de energía es
wc, rev = h2, rev − h1 = Cp, 0 (T2, rev − T1)
wc, rev = 1,0035 (450,5 −293) = 158,05 kJ/kg
Como la eficiencia del compresor real es del 60%, se tiene
w
ηc = c, rev
wc, real
luego
wc, real = 158,05/0,6 = 263,42 kJ/kg
Un balance de energía para el compresor real permite calcular T2 real así
wc, real = h2, real − h1 = Cp, 0 (T2, real − T1)
219
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Figura 10.5 Ciclo de turbina de gas regenerativa. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.
luego
T2, real=
wc, real + T
1
wp, 0
T2, real = 263,42/1,0035 + 293 = 555,5 K = 282,5 °C
De la ecuación a
q2→3 = Cp, 0 (T3 − T2, real) = 1,0035 (650 – 282,5) = 368,79 kJ/kg
El flujo de calor en el intercambiador será
1. Regeneración en turbinas de gas
Como la temperatura de escape de la turbina de gas es bastante mayor
que la temperatura del aire que sale del compresor, se puede instalar un
intercambiador de calor que recibe el nombre de regenerador, donde el
gas de escape de la turbina calienta el aire que sale del compresor antes
220
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
de entrar a la cámara de combustión reduciendo así el consumo de combustible. Este ciclo regenerativo se muestra en la figura 10.6.
Aplicando el balance de energía al regenerador suponiendo cambios de
energía cinética y potencial despreciables y sin pérdida de calor a los alrededores se tiene que
h3 − h2 = h5 − h6
porque
q2 → 3 = q5 → 6
Las dos áreas que representan transferencia de calor en la figura 10.6 son
iguales.
Para una eficiencia térmica máxima de un ciclo regenerativo, T3 en la figura
10.6, debería ser tan alta como fuera posible, siendo su valor límite T5, por
tanto puede definirse la efectividad del regenerador como
(10.6)
Figura 10.6 Ciclo de turbina de gas de aire estándar con inter-enfriamiento.
a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.
221
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Incrementar la efectividad de un regenerador exige una mayor área de superficie de transferencia de calor, lo cual incrementa tanto el costo como
los requerimientos de espacio, entonces regeneradores con alta efectividad
pueden no justificarse económicamente. En consecuencia los valores de
efectividad raramente exceden el 0,7 en las plantas reales.
2. Inter-enfriamiento en turbinas de gas
El trabajo neto del ciclo puede incrementarse disminuyendo el trabajo
necesario en la compresión o aumentando el de la turbina. Esos son los
propósitos del inter-enfriamiento y del recalentamiento respectivamente,
como puede apreciarse en las figuras 10.7 y 10.8.
3. Propulsión a chorro con turbinas de gas
Los aviones son impulsados acelerando aire hacia atrás y ejerciendo una
fuerza sobre estos. La fuerza de igual magnitud y dirección opuesta del
fluido sobre el avión es lo que lo impulsa.
Qe Qe, rec
C.C.
2
4
Recalentador
5
3
T
T
C
W
6
1
a.
T
3
5
4
6
2
Recalentamiento
a presión constante
1
S
b.
Figura 10.7 Ciclo de turbina de gas de aire estándar con recalentamiento. a.
Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.
222
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
2
C
3
C.C.
T
X1
4
1
X5
5
Tobera
a.
T
P
3
2
3
4
Trabajo de la turbina
2
5
4
1
Trabajo del compresor
1
5
S
V
b.
c.
Figura 10.8 Motor turborreactor. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. c.
Diagrama T-s.
De los diferentes motores de propulsión el turborreactor es el que mejor ilustra
el principio de funcionamiento como puede apreciarse en la figura 10.8.
La potencia producida por la turbina es solamente la necesaria para impulsar el compresor, el gas solo se expande hasta una presión P4 la cual
es mayor que la presión ambiente. Luego el gas a alta presión se expande
isoentrópicamente en la tobera del estado 4 al estado 5 adquiriendo una
velocidad
considerablemente mayor que
y en consecuencia se desarrolla un empuje.
Ejemplo 10.2
Una turbina de gas de aire estándar opera en un ciclo regenerativo con
una efectividad del regenerador del 70%. La compresión y la expansión son
isentrópicas. La temperatura de entrada al compresor es de 15 °C. Calcular
la eficiencia del ciclo si la temperatura de entrada a la turbina es de 635 °C
y la razón de presión es 5.
Solución
Los diagramas de flujo y T-s para este proceso se representan según la
figura 10.9.
223
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
T
6
2
2
3
5
C.C.
6
C.C.
3
C
1
C
4
5
4
T
T
3
4
T
WN
WN
2
2
1
1
4
3
5
6
5
6
P= Constante
P= Constante
1
S
a.
a.
b.
b.
Figura 10.9 Diagramas para una turbina de gas de aire. a. Diagrama de flujo.
b. Diagrama T-s.
Eficiencia del regenerador =
Razón de presión =
Se considera que el aire que entra al compresor se encuentra a la presión
del ambiente supuesta como 100 kPa. Durante todo el proceso se comporta
como gas ideal.
La eficiencia del ciclo se calcula mediante la relación
De acuerdo con los balances de energía en el compresor la turbina y el
intercambiador de calor, tenemos
wc = h2 − h1
wT = h4 − h5
q3→4 = h4 − h3
porque en todas las etapas las variaciones de energía cinética y potencial
se pueden despreciar.
Para calcular la entalpía en cada punto, el estado tiene que estar completamente determinado así
Estado 1: P1 = 100 kPa, T1 = 288 K.
Estado 2: P2 = 5 P1 = 500 kPa.
Para encontrar otra propiedad que lo determine, se hace un balance de
entropía en el compresor
s2 = s1
o sea que para el aire
224
S
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
Esta relación permite calcular
y en las tablas para el aire a ese valor de
se puede calcular T2.
Estado 3: P3= P2 = 500 kPa
es necesario conocer la temperatura T3 que se puede calcular de la relación
de la eficiencia del regenerador, siempre que se conozca T5.
T3 = 0,7 (T5 − T2) + T2
Estado 4: P4 = P3 = 500 kPa, T4 = 908 K.
Estado 5: P5 = P1 = 100 kPa.
para determinar T5 se hace un balance de entropía en la turbina
s4 = s5
luego
se calcula
y con este valor y con ayuda de la tabla de propiedades para
el aire se calcula T5. Después de conocer T5 se puede calcular T3.
Con los estados 1, 2, 3, 4 y 5 determinados se calculan (con ayuda de las
tablas) las entalpías (véase tabla 10.1).
Tabla 10.1 Entalpías para el ejemplo 10.2.
Estado
P (kPa)
T (K)
h (kJ/kg)
1
100
288
288,6
2
500
455
457,19
3
500
551,6
556,41
4
500
908
941,9
5
100
593
599,68
wc = 168,59 kJ/kg
wT = 342,22 kJ/kg
q3 → 4 = 385,49 kJ/kg
La eficiencia del ciclo será
ηter = 0,45 ó 45%
Si se quiere saber cuál es la temperatura T6, se hace un balance de energía
en el regenerador adiabático
h5 + h2 = h6 + h3
h6 = h5 + h2 − h3 = 500,46 kJ/kg
T6 ≈ 500 K
225
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
10.2.2 Ciclos para modelar máquinas
de combustión interna
Para motores de ignición por chispa que se usan en la mayoría de los automóviles, una mezcla de aire combustible se aspira a un cilindro y se comprime,
una chispa enciende la mezcla elevando la temperatura y el gas se expande,
realizando trabajo sobre un pistón que hace girar el árbol del motor. Al final
de la carrera del pistón los gases de escape son expelidos para completar el
ciclo de operación. La secuencia de procesos que ocurren dentro del cilindro
es compleja y se dan variaciones químicas importantes.
Los procesos de las máquinas de ignición por compresión son iguales de
complejos a los de las máquinas de ignición por chispa pero difieren en
que solo aire (y no una mezcla de aire combustible), es aspirado dentro
del cilindro y comprimido, la compresión eleva la temperatura del aire
por encima de la temperatura de ignición del combustible. Cerca del final
de la carrera de compresión se inyecta el combustible y rápidamente se
enciende. El gas se expande conforme procede la combustión y continúa
expandiéndose hasta que inicia el proceso de escape.
Los modelos más simples para máquinas de ignición por chispa e ignición
por combustión son los de aire estándar, donde se consideran las siguientes
bases de análisis: el sistema es cerrado por lo que el fluido se usa repetidamente; el fluido de trabajo siempre es aire comportándose como gas ideal;
los procesos de compresión y expansión son reversibles y adiabáticos; el
proceso de combustión se reemplaza por un proceso reversible de transferencia de calor; como el sistema es cerrado, el proceso de escape de la
máquina real es reemplazado por eliminación de calor reversiblemente y
a volumen constante para regresar el fluido a su condición inicial antes
de la compresión.
1. Ciclo de Otto de aire estándar
Este ciclo se compone de cuatro procesos reversibles en un sistema cerrado:
compresión adiabática, adición de calor a volumen constante, expansión
adiabática y liberación de calor a volumen constante, como se muestra en
la figura 10.10
La razón de compresión r para el ciclo está definida por
Es una relación de volumen fijada por la geometría del motor.
El balance de energía para este ciclo en cada etapa del proceso es
∆U = QN − WN
Se debe tener en cuenta que en las etapas adiabáticas QN = 0 y en las
etapas a volumen constante WN = 0.
226
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
P
T
P
3
T
3
3
3
s=
s
Con = Con
stan stan
te
te
v=
4
2
2
4
nte tante
sta
s
Con = Con
v
2
4
2
s=
s
Con = Con
stan stan
te
te
1
1
nte tante
sta
s
Con = Con
v
1
v
a.
1
v=
4
v
S
a.
b.
S
b.
Figura 10.10 Ciclo de Otto de aire estándar. a. Diagrama P-v. b. Diagrama T-s.
Cuando de consideran las capacidades caloríficas del aire constantes con la temperatura y teniendo en cuenta las relaciones para gases ideales, se llega a que
la eficiencia térmica para la máquina es
(10.7)
este resultado muestra que la eficiencia térmica del ciclo de Otto de aire
(cuando las capacidades se consideran constantes con la temperatura) depende solo de la razón de compresión. En caso contrario depende también
de los límites de temperatura.
P
T
P
2
2
3
3
3
3
s=
s
Con = Con
stan stan
te
te
4
s=
T
s
Con = Con
stan stan
te
te
1
2
4
1
1
v
a.
a.
2p =
1
nte nte
sta sta
Con = Con
p
4
4
nte nte
sta sta
Con = Con
=
v
v
v
S
b.
b.
Figura 10.11 Ciclo de Diesel de aire estándar. a. Diagrama P-v. b. Diagrama T-s.
227
S
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
2. Ciclo de Diesel de aire estándar
Se compone también de cuatro etapas reversibles en sistema cerrado:
1-2 compresión adiabática, 2-3 adición de calor a presión constante, 3-4
expansión adiabática hasta el volumen inicial y 4-1 liberación de calor a
volumen constante, como puede apreciarse en la figura 10.11.
La razón de corte o razón de fin de inyección rc está definida por
el porcentaje de corte se define por
Porcentaje de corte =
es decir, esta es la fracción de la carrera durante la cual se agrega calor.
La eficiencia térmica, cuando se consideran constantes las capacidades
caloríficas del aire con la temperatura, es solo una función de la razón de
compresión y la razón de corte.
(10.8)
Las máquinas Diesel reales son máquinas de ignición por compresión, lo
que las distingue de las de ignición por chispa, como son las máquinas
Otto reales.
Las comparaciones de rendimiento entre los ciclos de Otto y de Diesel de
aire estándar, se realiza al determinar cuál tiene la eficiencia térmica más
alta con la misma razón de compresión y la misma entrada de calor. Esta
comparación está representada en la figura 10.12.
T
3O
v=
2
1
O Otto
D Diesel
nte
sta
n
o
C
P=
3D
4D
nte
ta
ons
C
4O
nstante
v = Co
S
Figura 10.12 Comparación de los ciclos de Otto y de Diesel.
De acuerdo con la localización relativa de los puntos 4O y 4D en el diagrama T-s se muestra que el ciclo de Otto elimina menos calor que el Diesel,
228
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
en consecuencia tiene una eficiencia térmica más alta. Se pueden hacer
comparaciones de manera similar para diversas condiciones.
Ejemplo 10.3
Un ciclo de Otto de aire estándar tiene una razón de compresión de 8 y una
temperatura máxima de 1.097 °C. Al inicio de la carrera de compresión, el aire
está a 100 kPa y 25 °C. Determinar la presión máxima en el ciclo, la cantidad
de calor agregado en kJ/kg y la fracción disponible del calor agregado.
Solución
La representación del proceso en los diagramas P-v y T-s se indica en la
figura 10.13.
P
T
P
3
3
3
3
s=
2
T
s
Con = Con
stan stan
te
te
nte tante
sta
s
Con = Con
=
v
v
4
2
4
2
2
s=
s
Con = Con
stan stan
te
te
1
1
a.
4
nte tante
sta
s
Con = Con
=
v
v
1
v
a.
1
4
S
v
b.
b.
Figura 10.13 Representación del proceso indicado en el ejemplo 10.3 en los
diagramas a. P-v. b. T-s.
De acuerdo con los diagramas se debe determinar la presión máxima que
corresponde a P3, la cantidad de calor agregado que corresponde a q2→3 y
de este la fracción que es disponible.
Se considera que T0 = 298 K que es también la temperatura del aire al
inicio de la carrera de compresión.
Durante el proceso cíclico la temperatura y la presión varían pero se puede
considerar que el aire se comporta como gas ideal y que su capacidad calorífica no varía con la temperatura y es la capacidad calorífica a 300 K.
— Para calcular P3 se debe tener determinado el estado 3, o sea conocer
T3 que corresponde a la temperatura máxima 1.097 °C o 1.370 K y v3
que es igual a v2, como
229
S
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
—Un balance de energía en la etapa de 2 a 3 determina que
q2 → 3 = u3 − u2
Se debe entonces conocer la temperatura en 2. Haciendo un balance de
entropía en la etapa de 1 a 2
s2 − s1 = 0
por tanto se puede aplicar la relación
con γ = 1,4 y
T2 = 298 (8)0,4 = 684,62 K
q2 → 3 = 0,7165 (1.370 − 684,62) = 491 kJ/kg.
—Para calcular la fracción disponible del calor agregado, el proceso de 2
a 3 se puede representar como se indica en la figura 10.14.
T
3
3
nte
onsta
2
684,62 K
T0=298 K
v=C
Energía disponible
1
Energía no disponible
S
Figura 10.14 Cálculo de la fracción disponible del calor agregado, para el
ejemplo 10.3
de acuerdo con la definición de disponibilidad (véase ecuación 9.5), el
cambio de esta durante un proceso que se lleva a cabo en un sistema cerrado y con v3 = v2 es
Fracción disponible del calor agregado = 342,89/491 = 70%.
230
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
10.3 Ciclos de potencia de vapor
Las plantas de potencia de vapor generan la fracción principal de la potencia eléctrica producida en el mundo. El ciclo de potencia de vapor es
esencialmente el mismo si el suministro de calor a la sustancia de trabajo
es una caldera en la que se quema combustible o mediante un reactor
nuclear en el que ocurre la fisión. La sustancia de trabajo más común es
el agua, pero existen plantas que operan con otras sustancias.
10.3.1 Ciclo de Carnot
Cuando se piensa en un ciclo de potencia para máxima eficiencia, de inmediato se piensa en el ciclo de Carnot, ya que para límites de temperatura
específicos, ningún ciclo puede tener una eficiencia más alta y esa eficiencia
es independiente de la sustancia de trabajo, en la práctica las características
de la sustancia de trabajo limitan los alcances. En la figura 10.15 se muestra
un diagrama T-s para el agua y dos propuestas diferentes de ciclo de Carnot.
La figura 10.15a muestra un ciclo que opera por completo con vapor húmedo.
La temperatura del vapor durante los procesos 1-2 y 3-4 puede mantenerse
constante, manteniendo constante la presión. En la práctica este ciclo es
difícil de operar porque es difícil hacer que el proceso de liberación de calor termine en el estado 4 que está a la misma entropía que 1, también la
temperatura crítica del vapor (374 °C) limita la temperatura máxima en el
ciclo a un valor muy bajo.
T
T
1
1
2
2
4
4
3
3
S
a.
a.
1
1
2
2
4
4
3
3
S
b.
b.
Figura 10.15 Ciclos de Carnot con agua como sustancia de trabajo. a. Ciclo
que opera por completo con vapor húmedo. b. Ciclo donde la temperatura de
adición de calor es mucho más alta que el anterior.
La figura 10.15b muestra un ciclo donde la temperatura de adición de
calor es mucho más alta, pero se necesitan unas presiones muy altas para
alcanzar la máxima temperatura al comprimir el líquido desde el estado
231
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
4 y el proceso isotérmico de 1 a 2 debe realizarse con una continua variación de presión que significa un problema de control. En otras palabras
el ciclo de Carnot es un modelo inadecuado para el diseño de plantas de
potencia de vapor.
10.3.2 Ciclo de Rankine
La figura 10.16 muestra los diagramas de flujo, P-v y T-s de un ciclo Rankine,
el cual sirve para modelar plantas de potencia de vapor simples.
V.S.S
1
WT
T
Caldera
Qe
4
2
3
Wb
QS
Condensador
a.
T
P
4
1
1
4
3
2
3
2
S
v
b.
Figura 10.16 Ciclo de Rankine. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. c.
Diagrama T-s.
Vapor saturado seco entra en 1 a la turbina donde se expande isoentrópicamente hasta el estado 2. El vapor se condensa luego a presión y temperatura
constante hasta líquido saturado en 3 y durante este proceso se transfiere
calor a los alrededores. El líquido saturado que sale del condensador se
bombea isoentrópicamente hacia una caldera donde a presión constante
P4 se calienta hasta la temperatura de saturación y luego se evapora para
salir nuevamente en el estado 1 y completar así el ciclo.
Para usar temperaturas más altas sin incrementar la presión máxima del
ciclo, el vapor después de salir de la caldera se puede sobrecalentar a presión
constante en un sobrecalentador. La combinación de la caldera y el sobre232
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
calentador se llama generador de vapor. En la figura 10.17 se muestran los
diagramas de flujo y T-s de un ciclo de Rankine con sobrecalentamiento.
La comparación de los diagramas T-s de las figuras 10.16 y 10.17 muestra
que para ciertos límites de presión, la eficiencia térmica se incrementa
mediante el sobre-calentamiento.
T
Adición de calor a
P=constante en el
sobrecalentador
1
Qe
Generador de
vapor
4
2
Wb
1
T W
2
3
4
3
2
QS
Condensador
a.
S
b.
Figura 10.17 Ciclo de Rankine con sobrecalentamiento. a. Diagrama de flujo.
b. Diagrama T-s.
Para límites de temperatura dados, la eficiencia del ciclo de Rankine siempre es menor que la eficiencia de Carnot ya que no se agrega todo el calor
a la temperatura más alta.
Mediante balances de energía en las distintas etapas del proceso en estado
estable y despreciando variaciones de energía cinética y potencial se tiene
Generador de vapor q4→1 = h1 − h4, (P1 = P4)
Turbina wT = h1 − h2, (s1 = s2)
Condensador q2→3 = h3 − h2, (P3 = P2, h3 = hf)
Bomba wb = h4 − h3, (s4 = s3)
La eficiencia térmica del ciclo es
(10.9)
Para las condiciones en el estado 4, las tablas, gráficos y programas de computador generalmente no permiten calcular h4. Pero para una bomba que
opera reversiblemente w = ∫vdP y por tratarse de un líquido se puede considerar que el volumen durante la compresión permanece aproximadamente
constante y es igual al del líquido saturado en las condiciones 3, luego
wb = v3 (P4 − P3)
(10.10)
h4 = h3 + v3 (P4 − P3)
(10.11)
Una ventaja del ciclo de Rankine sobre todos los otros ciclos de potencia
discutidos hasta aquí, es la baja razón de trabajo consumido
Razón de trabajo consumido =
wbomba
wturbina
233
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Ejemplo 10.4
Determinar la eficiencia y la razón de trabajo consumido en un ciclo de
Rankine que opera entre 5,0 MPa y 10 kPa con una temperatura máxima
de 400 °C.
Solución
De acuerdo con el enunciado se trata de un ciclo de Rankine sencillo y reversible, su representación en un diagrama T-s se indica en la figura 10.18.
T
1
5 Mpa
4
10 Mpa
3
2
S
Figura 10.18 Representación en un diagrama T-s del ciclo de Rankine sencillo
y reversible
La eficiencia térmica es
los balances de energía en la turbina, la bomba y el generador de vapor,
llevan a las relaciones
wT = h1 − h2
wb = h4 − h3
q4→1 = h1 − h4
Por balance s de entropía en la turbina y en la bomba s1 = s2 y s3 = s4.
O sea que los estados termodinámicos de todos los puntos están determinados.
La razón de trabajo consumido = Wb/WT
234
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
Con ayuda de las tablas de propiedades termodinámicas para el agua, se
calculan las propiedades que aparecen en la tabla 10.2.
Tabla 10.2 Entalpías para el ejemplo 10.2
Estado
P (kPa)
t (°C)
h (kJ/kg)
s (kJ/kg K)
1
5.000
400
3.195,7
6,6459
2
10
45,81
2.106,04
6,6459
3
10
45,81
191,83
0,6493
4
5.000
46,11
207,49
0,6493
Entonces η = 0,36 ó 36%, r.w.c = 0,014 ó 1,4%.
10.3.3 Regeneración en plantas de potencia de vapor
Para mejorar la eficiencia del ciclo disminuyendo irreversibilidades en la
transferencia de calor en el generador de vapor, se precalienta el agua que
fluye al generador de vapor. Esto se hace extrayendo o “sangrando” vapor
desde varios puntos de la turbina, después de que esta ha realizado algún
trabajo al expandirse y usando este vapor para calentar el agua que fluye
de la bomba al generador de vapor.
Esta transferencia de energía ocurre en los calentadores de agua de alimentación. En la figura 10.6 se muestran los diagramas de flujo y T-s de un
ciclo de potencia de vapor que usa un calentador de agua de alimentación
abierto, llamado también de contacto directo, donde se mezclan el vapor
sangrado y el condensado.
El calentador opera a la presión del punto de sangrado, por lo que se necesita otra bomba para forzar el agua hacia el generador de vapor.
Para los balances de masa y energía en ciclos regenerativos es conveniente
definir la razón de masa M´ para cualquier punto a como
donde
es el flujo másico en cualquier punto y
entrada a la turbina.
Un balance de energía en el calentador abierto es
es el flujo másico a la
que también puede escribirse
(10.12)
Si se conocen los estados del fluido en los puntos 2, 5 y 6 (véase figura 10.19),
esta ecuación puede resolverse para , la fracción de flujo de vapor que
entra al calentador.
235
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
El diagrama T-s de la figura 10.19 muestra correctamente la localización
de todos los puntos; pero la masa de fluido no es la misma en cada punto,
por tanto el área bajo la curva de la trayectoria reversible representa la
transferencia de calor por unidad de masa de fluido que experimenta ese
proceso, y deben tenerse en cuenta las variaciones de flujos másicos cuando
se comparen áreas.
T
1
1 M´1 = 1
Qe
Generador de
vapor
M´7 = M´1=1
T W
2 M´2
7
6
5
7
5
Calentador
4
M´5 = 1M´2
C
2
3
4
3
QS
S
b.
a.
Figura 10.19 Ciclo regenerativo con calentador de agua de alimentación
abierto. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.
Cuando se usa un calentador de agua de alimentación cerrado, el agua de
alimentación se bombea a través de varios tubos al calentador y el vapor
sangrado se condensa en el exterior de los tubos, las dos corrientes de fluido no se mezclan. En la figura 10.20 aparecen los diagramas de flujo y T-s
para este ciclo.
1
T
2
Qe
7
Generador
de vapor
6
Calentador
cerrado
1
TW
3
Trampa
C
8
QS
4
5
4
6
79
8
2
3
10
5
Wb
S
a.
b.
Figura 10.20 Ciclo regenerativo con un calentador de agua de alimentación
cerrado. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.
En el caso ideal, el condensado que sale del estado 8 es un líquido saturado,
y el agua que sale en el estado 6 está a una temperatura solo un poco más
baja que T8, en la práctica es generalmente del orden de 5 °C.
236
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
Un balance de energía en el calentador de agua de alimentación cerrado da
(10.13)
Ejemplo 10.5
Un ciclo ideal regenerativo opera con condiciones de entrada de 25 bar
y 400 °C, un calentador de agua de alimentación abierto a 2,5 bar y una
presión del condensador de 15 kPa. Comparar su eficiencia con la de un
ciclo de Rankine simple que tenga las mismas condiciones de entrada y
presión de escape.
Solución
Los diagramas T-s para ambos ciclos se indican en la figura 10.21.
T
T
1
2,5 Mpa
1
7
4
5
0,015 Mpa
3
2
2
6
4
3
2,5 Mpa
0,25 Mpa
0,015 Mpa
S
S
a.
b.
Figura 10.21 Diagramas T-s para un ciclo ideal regenerativo a. y para un ciclo
de Rankine simple b.
La eficiencia para el ciclo Rankine simple es
Como se trata de un ciclo reversible, las propiedades para cada uno de los estados, calculados con ayuda de las tablas de vapor se indican en la tabla 10.3.
Tabla 10.3 Propiedades para cada uno de los estados para el ejemplo 10.5
Estado
P (MPa)
t (°C)
h (kJ/kg)
s (kJ/kg K)
1
2,5
400
3.239,3
7,0148
2
0,015
53,97
2.273,92
7,0148
3
0,015
53,97
225,94
0,7549
4
2,5
54,57
228,46
0,7549
Para calcular h4, se tiene en cuenta que h4 = h3 + wb
237
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
como el proceso en la bomba es reversible
donde v es el volumen del líquido saturado en el estado 3 y no varía apreciablemente por tratarse de la compresión de un líquido.
wb = − 0,001014 (2.500 − 15) = − 2,52 kJ/kg
es un trabajo suministrado a la bomba.
ηR. S = 0,32 ó 32%
Para el ciclo regenerativo que también se considera reversible, la eficiencia se calcula teniendo en cuenta las 2 etapas en la turbina, cada una con
distinto flujo másico y el trabajo de las 2 bombas también con diferentes
flujos másicos (véase figura 10.20). Por ello es necesario conocer las razones de flujo másico
,
puede hallarse mediante un balance de energía en el calentador, de
acuerdo con la ecuación 10.12
las propiedades para los diferentes estados, calculadas con ayuda de las
tablas de vapor, se indican en la tabla 10.4.
Tabla 10.4 Propiedades para cada uno de los estados para el ejemplo 10.5 para
el ciclo regenerativo
Estado
P (kPa)
t (°C)
h (kJ/kg)
(kJ/kg K)
1
2.500
400
3.239,3
70.148
2
250
127,44
2.716,9
70.148
3
15
53,97
2.273,92
70.148
4
15
53,97
225,94
0,7549
5
250
54,00
226,18
0,7549
6
250
127,44
535,37
1,6072
7
2.500
128,00
537,77
1,6072
El vapor que se extrae para el calentador en las condiciones 2 está prácticamente saturado pues la calidad es del 99,3%.
Para el cálculo de h5 y h7 se procede en la misma forma que para el cálculo
de la entalpía h4 en el ciclo de Rankine simple. Entonces
238
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
Realizando balances de energía para las dos etapas de la turbina, las bombas y el generador de vapor, considerando que de todo el flujo másico que
circula por el generador de vapor y que entra a la turbina parte se extrae
al calentador y el resto continúa al condensador
ηC, reg = 0,336 ó 33,6%
Por efecto de la regeneración la eficiencia aumentó 1,6%.
El trabajo por kilogramo de sustancia que hay que suministrarle a las
bombas es muy pequeño con respecto al trabajo realizado por la turbina y
puede despreciarse, en ese caso
ηR.S = 32,06%
ηreg = 33,7%
Prácticamente se tienen los mismos resultados.
10.3.4 Recalentamiento
en las plantas de potencia de vapor
La eficiencia térmica de un ciclo de Rankine se incrementa aumentando
la presión en el generador de vapor o la temperatura máxima. Para una
temperatura máxima dada, que está limitada por las características de
los materiales de construcción, el incrementar la presión del generador
hace que disminuya la calidad del vapor a la salida de la turbina, esto no
es deseable, ya que una humedad mayor del 10% o 12% ocasiona erosión
severa en los alabes de la turbina. Una forma de prevenir esta humedad es
recalentar el vapor en el generador de vapor, una vez se haya expandido un
poco en la turbina, para llevarlo nuevamente alrededor de la temperatura
máxima, regresando nuevamente a la turbina para que continúe expandiéndose. Este procedimiento puede realizarse varias veces.
El efecto del recalentamiento en la eficiencia térmica depende de las
condiciones del ciclo. Entre más alta sea la presión de recalentamiento y
más alta sea la temperatura después del recalentamiento, más alta será la
eficiencia. En la figura 10.22 pueden apreciarse los diagramas de flujo y
T-s para un ciclo con recalentamiento.
Ejemplo 10.6
Determinar la eficiencia y la velocidad de flujo requerida de un ciclo ideal
de recalentamiento que debe producir 150.000 kW en el acoplamiento de
la turbina, si las condiciones de entrada son 15,0 MPa y 600 °C; el recalentamiento es de 1,4 MPa a 600 °C y la presión del condensador es 5 kPa.
Solución
El proceso cíclico puede representarse mediante un diagrama de flujo y
un diagrama T-s como se indica en la figura 10.23.
239
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
1
T
1
2T1 W
Qe
3
6
2
3
5
6
4
5
T2 W
4
QS
S
b.
a.
Figura 10.22 Ciclo de Rankine con recalentamiento. a. Diagrama de flujo. b.
Diagrama T-s.
1
T
15.000 kPa
1
3
6
Qe
2
3
2
T W=150.000 kW
Wb
5 kPa
4
5
6
1.400 kPa
4
5
S
QS
b.
a.
Figura 10.23 Ciclo ideal de recalentamiento para el ejemplo 10.6. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.
Las propiedades del agua en cada uno de los estados, calculados con ayuda
de las tablas de vapor, se indican en la tabla 10.5.
Tabla 10.5 Propiedades del agua en cada uno de los estados
240
Estado
P (kPa)
t (°C)
h (kJ/kg)
(kJ/kg K)
1
15.000
600
3.582,3
6,6776
2
1.400
236,13
2.855,99
6,6776
3
1.400
600
3.694,8
7,8710
4
5
32,88
2.401,7
7,8710
5
5
32,88
137,82
0,4764
6
15.000
33,4
153,42
0,4764
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
Haciendo balances de energía en la turbina, la bomba y el generador de
vapor
El ciclo regenerativo funciona con una eficiencia del 46,95% y un flujo
másico de 7,43 kg/s.
10.4 Cogeneración: producción de potencia y calor
En los ciclos discutidos hasta ahora se ha considerado que el calor liberado
durante el proceso no tiene ningún valor, debido a que la mayor parte de
su energía es no disponible.
Hay muchas circunstancias en las cuales se necesita energía en forma de
calor y la potencia que se debe generar no es muy alta.
En muchos procesos industriales las funciones de calentamiento y producción de potencia frecuentemente pueden combinarse de manera efectiva.
Esta combinación se llama cogeneración. La cogeneración puede darse
de dos formas diferentes dependiendo de las necesidades, como puede
apreciarse en la figura 10.24.
En la figura 10.24a el mismo flujo de masa circula por la turbina y el sistema de calentamiento. Tal ciclo es satisfactorio donde el flujo de vapor
puede ser controlado solo por las necesidades de calentamiento y cualquier
potencia producida puede usarse como complemento a la potencia producida por otras fuentes.
1
Qe
Qe
G.V
TW
G.V
6
7
9
4
Wb
2T W
8
Qs1
10
Qs1
2
5 wb
a.
3
10
2
QS
3
Qe
4 Qs2
b.
Figura 10.24 Ciclo de vapor para calentamiento y potencia. a. Flujo de masa
que circula por la turbina y el sistema de calentamiento. b. Ciclo para cargas
de calor y potencia variable.
241
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
Donde las cargas de calor y potencia variable deben ser proporcionadas por
una sola planta, se usa un ciclo como el de la figura 10.24b. Cuando la carga
de potencia es cero, todo el vapor pasa a través de la válvula y nada a través
de la turbina. Cuando la carga de calentamiento es cero, la totalidad del
vapor se expande a través de la turbina y el condensador. Para hacer frente
a las demandas de calentamiento y de potencia, la distribución de flujo de
vapor se determina de acuerdo con los requerimientos de calor y potencia
y mediante balances de energía en el calentador y en la turbina.
10.5 Ciclos de refrigeración
Un sistema de refrigeración elimina calor de una parte de los alrededores
y descarga calor a una más caliente.
El coeficiente de operación o rendimiento de un refrigerador se definió de
acuerdo con la ecuación 4.4 como
El ciclo de Carnot inverso se utiliza como un estándar de comparación
para los ciclos de refrigeración ya que su eficiencia es la máxima para unos
límites de temperatura dados.
La figura 10.25 muestra los diagramas T-s para diferentes sustancias de
trabajo.
T
T
T
4
Tc
3
4
Tc
3
4
Tc
3
1
Tr
2
1
Tr
2
1
Tr
2
a.
S
S
S
b.
c.
Figura 10.25 Diagramas T-s de un ciclo de Carnot inverso para a. Cualquier
sustancia de trabajo. b. Vapor saturado. c. Vapor algunas veces saturado y otras
sobrecalentado.
10.5.1 Sistema de refrigeración de gas
Los ciclos de refrigeración reales con sustancia de trabajo gaseosa no
están basados en el ciclo de Carnot debido a sus dificultades prácticas. Se
modelan con base en un ciclo de Brayton inverso.
La figura 10.26 muestra los diagramas de flujo, P-v y T-s para este ciclo. Tc
y TF son las temperaturas de aquellas partes de los alrededores a los que el
calor será liberado o de las que el calor será eliminado respectivamente.
242
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
Liberación de calor a
presión constante
QS
3
2
TC
W
W
4
1
Qe
Adición de calor a
presión constante
a.
P
3
T
2
TL
TF
2
3
1
4
4
b.
1
V
S
c.
Figura 10.26 Ciclo de Brayton inverso. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v.
c. Diagrama T-s.
La sustancia de trabajo más común en este ciclo es el aire, este se comprime
isoentrópicamente a una temperatura por encima de Tc y luego se enfría
de manera reversible a presión constante hasta que su temperatura es Tc o
ligeramente mayor. En seguida se expande isoentrópicamente a través de una
máquina expansora (turbina) que suministra algo de la potencia requerida
por el compresor. La temperatura del aire a la salida de la máquina cae a un
valor menor que TF. Por tanto el calor puede ser absorbido de los alrededores
que están a TF a medida que el aire fluye a presión constante a través de un
intercambiador de calor para alcanzar el estado 1 y completar el ciclo.
Mediante balances de energía a cada uno de los procesos y considerando
variaciones de energía cinética y potencial despreciables se tiene
w c = h 2 − h1
qsalida, 2→3 = h2 − h3
wmáq = h3 − h4
243
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
qentra, 4→1 = h1 − h4
Hay entrada de trabajo, porque el trabajo producido por la máquina no es
suficiente para accionar el compresor.
La máquina no puede ser reemplazada, con buenos resultados, por una
válvula de estrangulamiento porque si el aire se comporta como gas ideal
no se logrará la caída de temperatura.
Un inconveniente de un sistema de refrigeración de aire es que su baja
densidad a presiones moderadas requiere ya sea de presiones muy altas o
razones de flujo de volumen muy altas con el fin de obtener una capacidad
de refrigeración moderada.
10.5.2 Sistemas de refrigeración de vapor
La figura 10.27 muestra los diagramas de flujo, T-s y P-h de un sistema de
refrigeración por compresión de vapor convencional. Este ciclo propuesto
como modelo está constituido por cuatro procesos, tres de los cuales son
reversibles, pues el paso a través de la válvula no lo es, dos adiabáticos y
dos a presión constante, alternados.
Se habla de compresión seca, cuando al compresor llega vapor saturado seco,
como es el caso representado en la figura 10.27, o sobrecalentado. La compresión es húmeda cuando al compresor llega una mezcla líquido vapor.
Son posibles muchas modificaciones al ciclo de compresión básico con el
propósito de incrementar el coeficiente de operación.
Cuando se trabaja con unidades inglesas, una unidad de capacidad de refrigeración ampliamente usada es la tonelada de refrigeración, la cual se define
como un flujo de absorción de calor de 200 Btu/min. El nombre de esta
unidad se deriva del hecho de que en 24 horas este flujo de calor eliminado
congelará aproximadamente una tonelada de agua a 32 °F a hielo a 32 °F.
Ejemplo 10.7
En un sistema de refrigeración por compresión de vapor, la temperatura del
condensador es de 25 °C y la temperatura del evaporador es de −10 °C. A la
válvula de expansión entra líquido saturado y al compresor vapor saturado
seco. El compresor opera de manera adiabática reversible. Para un efecto
de refrigeración de 3,5 kJ/s, determinar la velocidad de flujo y la potencia
de entrada si el refrigerante es amoniaco.
Solución
Este sistema de refrigeración puede representarse mediante los siguientes
diagramas de flujo y T-s.
El efecto de refrigeración corresponde a la cantidad de calor que es necesario retirar en la unidad de tiempo para mantener un espacio refrigerado,
en este caso es de 3,5 kg/s que llegan al evaporador.
244
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
QS
3
2
Condensador
Compresión
W
4
Evaporador
1
Qe
a.
T
P
2
3
2
3
1
4
b.
4
1
S
h
c.
Figura 10.27 Ciclo de refrigeración por compresión de vapor: compresión
seca. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s. c. Diagrama P-h.
Para calcular la velocidad de flujo
evaporador.
, se hace un balance de energía en el
La potencia de entrada al compresor se puede calcular mediante un balance de energía
luego es necesario conocer las entalpías de los estados 1, 2, 4 para el amoniaco, que es el refrigerante.
El estado 4 está localizado a la salida de la válvula, y teniendo en cuenta
que esta es adiabática y no realiza trabajo, un balance de energía lleva a
concluir que h3 = h4.
245
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
QS
3
Condensador
25 ºC
2
T
2
3
W
10 ºC
Evaporador
10 ºC
4
1
4
1
S
Qe=3,5 kg/s
b.
a.
Figura 10.28 Sistema de refrigeración por compresión de vapor para el ejemplo
10.7. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.
Con ayuda de las tablas de propiedades para el amoniaco se obtienen los
resultados indicados en la tabla 10.6.
Tabla 10.6 Tablas de propiedades para el amoniaco
Estado
P (kPa)
t (°C)
h (kJ/kg)
s (kJ/kg K)
1
290,85
−10
1.432
5,4730
2
1.003,00
76
1.605,5
5,4730
3
1.003,00
25
298,8
1,1234
entonces
Problemas propuestos
10.1 La relación de presión para un ciclo de Brayton estándar de aire es
de 4 a 1. La presión del aire en la entrada al compresor es 100 kPa y
la temperatura máxima del ciclo es 850 °C. La velocidad de flujo es
10 kg/s. Asumiendo que la capacidad calorífica del aire permanece
constante con la temperatura, determinar:
a. La potencia para accionar el compresor.
b. La potencia entregada por la turbina.
c. La potencia neta.
d. La eficiencia térmica del ciclo.
246
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
10.2 Repetir el problema 10.1 asumiendo que la capacidad calorífica del
aire varía con la temperatura.
10.3 Una turbina de gas se utiliza para bombear gas natural a través de
un gaseoducto. La potencia requerida para impulsar el compresor
es 1.000 kW y se ha decidido utilizar una turbina de gas para que
provea esta potencia. Se usará un ciclo simple abierto, con un regenerador con 50% de rendimiento. Ya que es fácil el suministro de
combustible y puesto que algunas de estas unidades pueden estar
en lugares relativamente aislados, el bajo costo de mantenimiento
es más importante que el rendimiento alto.
Seleccionar un ciclo realizando las suposiciones apropiadas para los
rendimientos de la turbina y el compresor y determinar la potencia
de salida de la turbina, la potencia de entrada al compresor y el
rendimiento del ciclo.
10.4 Considere un ciclo de turbina de gas con dos etapas de compresión.
La relación de presión en cada etapa del compresor es de 2. La temperatura de entrada a cada compresor es 15 °C y la temperatura de
entrada a la turbina es 900 °C. Un regenerador ideal se incorpora al
ciclo. Determinar el trabajo del compresor, el trabajo de la turbina y
la eficiencia térmica. La presión a la entrada del primer compresor
es P1 = 100 kPa.
10.5 Un ciclo de Diesel de aire estándar tiene una relación de compresión
de 17. La presión al comienzo de la carrera de compresión es 100 kPa y
la temperatura es 15 °C. La máxima temperatura alcanzada durante el
ciclo es de 2.500 K. Determinar la eficiencia térmica y la presión media
efectiva, que se define como la presión que si actuara sobre el émbolo
durante toda la carrera, proporcionaría un trabajo igual al ejecutado
sobre el émbolo real: wneto / volumen desplazado en el cilindro
10.6 Un ciclo de Otto de aire estándar opera con una razón de compresión
de 8. Al inicio de la compresión, el aire se encuentra a 14,7 psia y
80 °F. La presión se triplica durante el proceso de calentamiento.
Determinar:
a. La eficiencia térmica del ciclo.
b. La cantidad de calor agregado en Btu/lbm.
c. La presión media efectiva.
10.7 Trazar en un diagrama T-s un ciclo de aire estándar de Otto y un
ciclo de Diesel, con las mismas condiciones a la entrada, la misma
cantidad de calor agregada y la misma razón de compresión. Mostrar
mediante la comparación de áreas en dicho diagrama que el ciclo
de Otto posee una mayor eficiencia que el de Diesel.
10.8 Se desean diseñar dos ciclos Diesel (A y B) con la misma temperatura, la misma presión al inicio del proceso de compresión y la misma
247
Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería
razón de compresión. Sin embargo, el ciclo A debe tener una mayor
razón de fin de la inyección que el ciclo B:
a. ¿Cuál de los dos ciclos tendrá una mayor eficiencia?
b. ¿Cuál de los dos ciclos tendrá una mayor presión media efectiva?
Sustentar las condiciones con razonamientos lógicos. Utilizar los
diagramas T-s y P-v.
10.9 Determinar la eficiencia y la razón de trabajo consumido de un ciclo
Rankine que opera con condiciones de entrada a la turbina de 5,0
MPa y 400 °C y una presión del condensador de:
a. 100 kPa.
b. 50 kPa.
c. 10 kPa.
10.10 Para un ciclo Rankine con temperatura de entrada a la turbina
de 500 °C y una presión de escape de 5 kPa, graficar la eficiencia
térmica contra la presión de entrada en el intervalo de 100 kPa a
5,0 MPa. Indicar la parte de la curva que incluye al vapor de escape
sobrecalentado.
10.11 Comparar las eficiencias térmicas de dos plantas ideales de potencia
de vapor cada una operando con límites de presión de 400 psia y
1,5 pulgadas de mercurio, una en un ciclo de Carnot, la otra en un
ciclo de Rankine sin sobrecalentamiento. En cada caso el vapor al
final de la adición de calor está seco y saturado.
10.12 El vapor entra a una turbina a 1,5 MPa y 300 °C y sale a 100 kPa.
Suponer un flujo adiabático reversible. ¿A qué presión debe estrangularse el vapor entrante para reducir el trabajo por unidad de masa
a dos tercios del que se obtiene sin estrangulamiento? Suponer que
el flujo a través de la turbina permanece reversible y adiabático y
que la presión de escape no cambia
10.13 Un ciclo ideal de vapor regenerativo tiene condiciones de entrada
a la turbina de 3.000 kPa y 400 °C, un calentador de agua de alimentación abierto a 250 kPa y a una presión del condensador de
30 mm de mercurio absoluta. Comparar su eficiencia con la de un
ciclo Rankine simple que tenga las mismas condiciones de entrada
y la misma presión de escape.
10.14 Un ciclo ideal de recalentamiento sin regeneración tiene condiciones
de entrada de 14,0 MPa y 450 °C y se recalienta a 3,8 MPa a 480 °C.
La presión de salida es 5 kPa. Calcular la eficiencia térmica del ciclo.
¿Cuánta energía no disponible es liberada por kilogramo de vapor
de entrada si la temperatura del ambiente es de 25 °C?
10.15 Determina la eficiencia y la velocidad de flujo del generador de vapor
para un ciclo ideal regenerativo con recalentamiento que debe pro248
10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración
ducir 150.000 kW en el acoplamiento de la turbina si las condiciones
de entrada son 15,0 MPa y 600 °C; el recalentamiento es a 1,4 MPa
y 600 °C, hay un calentador de agua de alimentación abierto a 150
kPa y la presión del condensador es de 7 kPa.
10.16 En una planta de energía nuclear se transmite calor al sodio líquido
en el reactor; el sodio líquido se bombea a un intercambiador de
calor, donde se transmite el calor al agua; de este intercambiador el
agua sale como vapor saturado a 5 MPa y después se recalienta en un
sobrecalentador con hogar propio hasta 600 °C. Enseguida el vapor
entra a la turbina, la cual tiene una extracción a 0,4 MPa que fluye a
un calentador de agua de alimentación de contacto directo. La eficiencia de la turbina es del 75% y la presión del condensador de 7,5 kPa.
Determinar el calor transferido en el reactor y en el sobrecalentador
para producir una potencia en la turbina de 80.000 kW.
10.17 En un ciclo ideal de refrigeración la temperatura del condensador es
45 °C y la temperatura durante la evaporación es −15 °C. Determina
el coeficiente de operación de este ciclo si el refrigerante es freón134 o si es amoniaco.
10.18 Un ciclo de refrigeración real utiliza freón-12 como fluido de trabajo. El
refrigerante entra al compresor a 0,15 MPa, −10 °C y sale a 1,2 MPa,
75 °C. La potencia para accionar el compresor es 1,9 kW. A la entrada
de la válvula de expansión las condiciones son 1,15 MPa, 40 °C y a la
salida del evaporador las condiciones son 0,175 MPa, −15 °C. Si el flujo
másico es 0,04 kg/s, determinar:
a. La irreversibilidad durante el proceso de compresión.
b. La capacidad de refrigeración.
c. El coeficiente de operación para el ciclo.
10.19 Una pista de patinaje tiene un área de 550 m2. Tres centímetros
de agua se encuentran en una capa de hielo a 0 °C. Si el agua se
congelara toda en cuatro horas, determinar la mínima potencia de
entrada posible para la unidad refrigeradora.
10.20 Una máquina refrigeradora de aire denso elimina 2.000 kJ/min de
un cuarto frío de almacenamiento mientras opera entre presiones
de 350 kPa y 1.400 kPa. Las temperaturas del aire que entra al
compresor y a los cilindros de expansión son de 0 y 35 °C respectivamente. La expansión es reversible y adiabática, la compresión es
politrópica con n = 1,35. Determinar la potencia de entrada y el
coeficiente de operación.
249
Referencias bibliográficas
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