Conjuntos

25
TEORÍA DE CONJUNTOS
CAPÍTULO II
TEORÍA DE CONJUNTOS
2.2 INTRODUCCIÓN
Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas y sus elementos con
letras minúsculas, si un elemento p pertenece a un conjunto A
escribiremos p A en caso de que el elemento no pertenezca al conjunto
se escribirá p A .
Un conjunto es finito si su número de elementos es finito e infinito si
tiene infinitos elementos.
Para especificar un conjunto dado se puede usar las siguientes notaciones:
A {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0, }
A {x : x es un digito}
Las dos notaciones representan el mismo conjunto, la primera se
denomina expresión por extensión de un conjunto, la segunda por
comprensión.
Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Si
A {2,3} y B {x / x 2 5 x 6 0} Entonces A = B ya que las raíces
de la ecuación del conjunto B son 2 y 3
Un conjunto B es subconjunto de A si todos los elementos del conjunto B
pertenecen al conjunto A, esto se escribe como B A
En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, todos los conjuntos que
se investigan son subconjuntos de un conjunto dado al que se denomina
conjunto universal y se representa por U. El conjunto que no tiene
elementos se denomina conjunto vacío y se representa por Ø.
26
ÁLGEBRA I
2.3 UNIÓN
La unión de conjuntos está definida como:
A  B {x : x
A o
x
A
B}
B
A B
2.4 INTERSECCIÓN
La intersección de conjuntos está dada por:
A B
{x : x
A
y
x
B}
A B
BB
A
A
A∩B
2.5 COMPLEMENTO RELATIVO O DIFERENCIA
El complemento relativo o diferencia de conjuntos está dado por:
A\ B
A B {x : x
A
y
x
B}
27
TEORÍA DE CONJUNTOS
A
B
A\ B
A B
2.6 DIFERENCIA SIMÉTRICA
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B viene dada por:
A
B
( A B)  ( B
A
A)
B
A
B
2.7 COMPLEMENTO ABSOLUTO
El complemento de un conjunto está dado por los elementos que se
encuentran fuera del conjunto, se define como:
AC
x:x
A
28
ÁLGEBRA I
AC
A
A
2.8 LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Los conjuntos satisfacen las siguientes leyes
2.8.1 LEYES DE IDEMPOTENCIA
A A
A ;
A A
A
2.8.2 LEYES ASOCIATIVAS
A  (B  C)
( A  B)  C ;
A  (B  C)
( A  B)  C
2.8.3 LEYES CONMUTATIVAS
A B
BA ;
A B
B A
2.8.4 LEYES DISTRIBUTIVAS
A  (B  C)
A  (B  C)
( A  B)  ( A  C )
( A  B)  ( A  C )
2.8.5 LEYES DE IDENTIDAD
A
A U
A ; A U
U ; A
A
2.8.6 LEYES DE COMPLEMENTO
A  AC
U
; A  AC
( AC ) C
A ; UC
;
C
U
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TEORÍA DE CONJUNTOS
2.8.7 LEYES DE MORGAN
( A  B)C
AC  B C
; ( A  B)C
AC  B C
2.9 DIAGRAMAS DE VENN
Es una representación gráfica en la cual se sombrean las áreas que
corresponden a las operaciones que se pueden realizar entre conjuntos
Ejemplo 1
En los siguientes diagramas de Venn sombrear el área que corresponde
a) AC  ( B  C C )
A
A
B
B
C
V
A
C
VC
A
B
C
V
(B  C C )
A
B
C
V
AC  ( B  C C )
30
ÁLGEBRA I
b) AC  ( B  C C )
A
B
C
A
B
C
B
C
AC
A
B
C
(B  C C )
A
AC  ( B  C C )
Ejemplo 2
Sombrear el área que corresponde a la siguiente operación
a)
A DC
BC C
A
B
A
B
C
D
C
D
A DC
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TEORÍA DE CONJUNTOS
A
B
A
B
C
D
C
D
A DC
BC C
b)
A DC
BC C
BC C
B
B
A
A
C
D
D
C
A DC
32
ÁLGEBRA I
B
B
A
A
D
C
D
C
A DC
BC C
BC C
2.10 CONJUNTOS PRODUCTO
2.10.1 PARES ORDENADOS (a,b)
Un par ordenado (a,b) consta de dos elementos denominados primer y
segundo elemento.
Dos pares ordenados (a,b) (c,d) son iguales si y sólo si
a=c y b=d.
Los puntos del plano cartesiano son pares ordenados de números reales.
2.10.2 CONJUNTOS PRODUCTO
El conjunto producto o producto cartesiano A × B consta de todos los
pares ordenados (a,b) donde a Є A y b Є B
A B {(a, b) : a
A, b
B}
Ejemplo 3
Sean A={ a,b,c } y B={ x,y } Entonces el conjunto producto será:
A B {(a, x), (a, y), (b, x),b, y), (c, x), (c, y)}
33
TEORÍA DE CONJUNTOS
2.10.3 CONJUNTOS PRODUCTO EN GENERAL
El producto de tres conjuntos A × B × C estará formado por triplas
ordenadas, definiéndose el triple producto de la siguiente manera:
A B C {(a, b, c) : a
A, b B, c C}
El producto cartesiano de n conjuntos estará formado por n-uplas
ordenadas de la forma:
A B C ..........N {(a, b, c........n) : a
A, b B, c C,.....n N}
Ejemplo 4
Sean los conjuntos
A = { 1,2,3 }; B = { a,b }; C={ x,y,z }
Hallar a) A x B x C
b) C x A x B
c) B x C x A
La solución en ambos casos estará formada por triplas ordenadas de la
forma.
a) A x B x C = {(1,a,x)(1,a,y)(1,a,z)(1,b,x)(1,b,y)(1,b,z)
(2,a,x)(2,a,y(2,a,z)(2,b,x)(2,b,y)(2,b,z)
(3,a,x)(3,a,y)(3,a,z)(3,b,x)(3,b,y)(3,bz)}
b) C x A x B ={(x,1,a)(x,1,b)(x,2,a)(x,2,b)(x,3,a)(x,3,b)
(y,1,a)(y,1,b)(y,2,a)(y,2,b)(y,3,a)(y,3,b)
(z,1,a)(z,1,b)(z,2,a)(z,2,b)(z,3,a)(z,3,b)}
Puede resultar conveniente construir un diagrama de árbol como el
siguiente para evitar cualquier confusión en la formación de las triplas
ordenadas
c) B x C x A
34
ÁLGEBRA I
Para hallar este conjunto producto, se pueden escribir en una primera
columna los elementos del conjunto B, a continuación de cada uno de
ellos los elementos del conjunto C y finalmente al lado de cada uno de
estos últimos, los elementos del conjunto A
a
1
b
a
2
b
a
3
b
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Las triplas ordenadas se pueden formar siguiendo cada una de las
direcciones de las líneas trazadas
B x C x A = {(1,a,x)(1,a,y)(1,a,z)(1,b,x)(1,b,y)(1,b,z)
(2,a,x)(2,a,y)(2,a,z)(2,b,x)(2,b.y)(2,b,z)
(3,a,x)(3,a,y)(3,a,z)(3,b,x)(3,b,y)(3,b,z)}
2.10.4 CONJUNTOS DE VERDAD DE PROPOSICIONES
El conjunto de verdad de una proposición P, denotado por τ(P) consta de
n-uplas ordenadas con los valores de verdad de cada uno de los
enunciados para los cuales la proposición P es verdadera.
35
TEORÍA DE CONJUNTOS
Ejemplo 5
Encuentre el conjunto de verdad de la siguiente proposición:
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
[( p
q)
~ q]
[(p
V
V
F
F
↔
V
F
V
V
q)
V
F
V
F
→
F
V
F
V
~q]
F
V
F
V
El conjunto de verdad estará formado por duplas ordenadas de la forma:
τ(P)={VF, FF}
Ejemplo 6
Encuentre el conjunto de verdad de la siguiente proposición:
[( p
q)
(~ r
s)] (~ q r )
La tabla de verdad es:
p
q
r
s
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
[(p
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
→
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
q)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
↔
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
(~r
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
^
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
s)]
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
(~q
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
r)
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
36
ÁLGEBRA I
El conjunto de verdad de esta proposición esta formado por 4-uplas
ordenadas para los cuales la proposición es verdadera
τ(P)={VVVV, VVVF, VVFV, VFFV, FVVV, FVVF, FVFV, FFVV, FFVF,
FFFF}
Las n-uplas se han escrito sin la separación de comas y sin los paréntesis
para simplificar su representación.
2.11 ÁLGEBRA DE BOOLE
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 al 8
de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla
como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX.
Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utilizar las
técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En
la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en
aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en
1938.
Un álgebra booliana es un conjunto B de elementos a,b,…. Dotado de dos
operaciones binarias llamadas suma y producto, que se denotan
respectivamente por + y * tal que:1
2.11.1 LEY DE CLAUSURA
Para cualesquiera a, b ε B, la suma a + b y el producto a * b existen y
son elementos únicos de B.
2.11.2 LEY CONMUTATIVA
a+b=b+a
;
a*b= b*a
2.11.3 LEYES ASOCIATIVAS
(a + b) + c = a + (b + c)
;
(a * b) * c = a * (b * c)
1 Seymour Lipschutz. TEORIA DE CONJUNTOS, Edit. Schaum 1969 Pag. 216
37
TEORÍA DE CONJUNTOS
2.11.4 LEYES DISTRIBUTIVAS
a * (b + c) = (a * b) + (a * c) ;
a + (b * c) = (a + b) * (a + c)
2.11.5 ELEMENTOS NEUTROS
Existen elementos, neutro aditivo 0 y neutro multiplicativo U tales que,
para todo a ε B
a+0=a ;
a*U=a
2.11.6 COMPLEMENTO
Para todo a ε B existe un a’ε B llamado complemento de a tal que:
a + a’ = U ;
a * a’ = 0
Como veremos las operaciones se realizarán mediante relaciones lógicas,
lo que en el álgebra convencional son las sumas y multiplicaciones. Las
variables con las que opera son las binarias 1 y 0 (verdadero o falso). Los
signos 1 y 0 no expresan cantidades, sino estados de las variables.
Podemos decir, que el sistema de numeración binario y el álgebra de
Boole constituyen la base matemática para el diseño y construcción de
sistemas digitales.
Ejemplo 7
Sean B = {1, 0} y sean las dos operaciones + y * definidas como
sigue:
+ 1 0
1 1 1
0 1 0
* 1 0
1 1 0
0 0 0
Entonces la terna ( B, +, * ) es un álgebra booliana.
Ejemplo 8
Sea A una familia de conjuntos cerrada respecto a las operaciones de
38
ÁLGEBRA I
unión, intersección y complemento, Entonces (A, ∩, U ) es un álgebra
booliana, el conjunto universal es el conjunto unidad e el conjunto vacío
es el elemento cero.
Ejemplo 9
Sea F el conjunto de las proposiciones generadas por las variables p, q, r,
…
Entonces ( F, V, Λ ) es un álgebra booliana.
2.12 DUALIDAD DE UN ÁLGEBRA BOOLIANA
El dual de un enunciado en un álgebra booliana ( B, +, * ) es el
anunciado que resulta intercambiando + y * y los elementos neutros U
y 0 en el anunciado original;
El dual de: ( U + a ) * ( b + 0 )= b
Es:
(0*a)+(b*U)=b
El dual de cada axioma de un álgebra booliana es también un axioma.
El dual de un teorema de un álgebra booliana es también un teorema.
2.13 LEYES FUNDAMENTALES
2.13.1 LEYES DE IDEMPOTENCIA
a+a=a
a+U=U
;
;
a*a=a
a*0=0
2.13.2 LEYES DE INVOLUCIÓN
(a’)’ = a
;
U’ = 0
;
0’=U
2.13. 3 LEYES DE DE MORGAN
( a + b )’ = a’ * b’
;
( a * b )’ = a’ + b’
2.14 ORDEN DE UN ÁLGEBRA BOOLIANA
TEOREMA
39
TEORÍA DE CONJUNTOS
Sea a, b ε B un álgebra booliana. Entonces las siguientes condiciones
son equivalentes:
a * b’ = 0
a’ + b = U
a+b=b
a*b=a
Demostración de
a * b’ = 0
implica
a+b=b
( a + b ) = ( a + b ) * U = ( a + b ) * ( b + b’ ) =
( b + a ) * ( b + b’ ) = ( b + b ) * ( a + b’ )=
b * ( a + b’ ) = ( b * a ) + ( b * b’ )= b + 0 = b
Demostración de
a + b = b implica
a’ + b = U
a’ + b = a’ + ( a + b )= ( a’ + a )+ b = U + b = U
Demostración de
a’ + b = U implica a * b’ = 0
a’ + b = U implica ( a’ + b )’ = U’
implica a’’ * b’ = U’ implica a * b’ = 0
Sea a, b ε B un álgebra booliana. Se dice que a es anterior a b
denotado por a ≤ b si es válida una de las propiedades del teorema
anterior.
Ejemplo 10
Considerando un álgebra booliana de conjuntos ( A, ∩, U ) , entonces A
es anterior a B significa que A B verificándose que:
A B'
A B B
; A' B U
; A B A
40
ÁLGEBRA I
A
B
El diagrama de Venn permite apreciar claramente las identidades
descritas.