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Final de Métodos Numéricos 22/12/2014
TEMA 1
Marque en cada caso la única respuesta correcta.
Para aprobar hace falta tener por lo menos 5 respuestas correctas y debe haber una cantidad de respuestas correctas
estrictamente mayor que la de respuestas incorrectas (no se consideran incorrectas las preguntas no respondidas).
1) Usando un paso del método de la secante de ciertos puntos: x0 (a averiguar) y x1 = 0 para la
ecuación 2 xe
x3 − x
= 1 + x se obtiene la solución x2 = 1 . El punto de partida x0 es:
x0 =0.5
x0 = 0
x0 = -1
x0 = -0.5
2) Si A es una matriz cuadrada e inversible con ||A||=20 y cond(A)=180 que tiene descomposición SVD, con
matrices U, S y V, de modo que A = USV t entonces:
cond ( S ) = 20
U
y cond(U) = cond(V) = 3
S = 20 y A −1 = 9
= V = 1 y cond ( S ) = 20
S = 180 y cond (U ) = cond (V ) = 1
 x' (t ) = 2t − x
3) Para el problema de valor inicial: 
, el valor estimado de x(1.0) haciendo dos pasos con ∆t = 0.5
 x ( 0) = 2
con un algoritmo de Runge-Kutta de orden 2 es:
x(1.0) =1.5
x(1.0) =1
x(1.0) =11.6875
x(1.0) =1.5625
− x + y + z = 6
4) La solución de mínima norma del sistema 
es:
y
−
z
=
8

x=0; y=7; z= -1
x= -2; y=6; z= -2
x=2; y=8; z=0
Ninguna de los anteriores
5) Para una aritmética de punto flotante con base 2, mantisa de 8 dígitos y exponente entre -10 y 11, si llamamos
“min” y “max” respectivamente al menor y mayor número positivo representable, y “eps” al épsilon de máquina:
min = 2 −11
y eps = 2 −8
max ≈ 210
y eps = 2 −8
min = 2 −18
y eps = 2 −8
6) El ajuste de cuadrados mínimos para un modelo y = a ⋅ x1 / 3 dada la tabla
y = −5 ⋅ x1 / 3 +2
y = −5 ⋅ x 1 / 3
y = (−5.1) ⋅ x1 / 3
Ninguno de los anteriores
x
-64
-8
8
64
max ≈ 211 y min = 2 −10
y
22
12
-10
-18
resulta:
7) Si PA=LU es la factorización lu de cierta matriz inversible A.
|det(A)|=det(L)*det(U) y cond(P)=1
cond(A)=cond(L) y cond(P)=cond(U)=1
cond(A)=cond(L)*cond(U) y ||P||=||A||
P y U son ortogonales y L es triangular inferior
x
 0 .5 
8) La solución aproximada P2 =   a partir de P1 =   usando 1 iteración de Newton-Raphson multivariado
 y
−1 
2
 x   1 .5 
 x   2x − y x 
 es:
para la ecuación vectorial H ( ) =   donde la función H viene dada por H ( ) = 
2

 y  1 
 y   2 xy + 2 x 
P2 = 
0 

 0 .5 
P2 = 


 − 2 .5 
P2 = 
3 

 0 .5 
1
P2 = 
− 1 .5 

0 
9) Si A es una matriz inversible de 2x2 con ||A|| = 80 y || A −1 ||=4 entonces:
∃X con ||X||=1 tal que ||AX|| = 80, y cond(A)=20
∃X con ||X||=0.1 tal que ||AX|| = 8, y cond(A)=320
Los valores singulares de A son 80 y 4.
Ninguna de las anteriores respuestas es cierta.
10) Planteando una ecuación asociada de 1º orden adecuada, a partir de t0 = 0 al efectuar 1 paso del método RK4
 x' ' = x + x'−t

para estimar x(1.0) siendo x(t ) : [0,+∞) → IR solución del problema de valor inicial:  x(0) = −1
resulta:
 x' (0) = 1

x(1.0) = 0
x(1.0) = −0.3333
x(1.0) = 
0

1 
Ninguna de los anteriores
11) Haciendo un cambio de variable adecuado y ajustando por cuadrados mínimos
1
un modelo y =
para la tabla de valores siguiente obtenemos:
ax + b
x
-3
1
2
a=1, b=2
a=0.5, b=1
a=0.1875, b=0.3194
y
1
−
6
1
8
1
a=2, b=1

 x 2 (t )


 X ′(t ) = 
 x1 (t ) 

 x1 (t ) − 2t 
2
 : IR → IR solución del problema de valor inicial: 
12) Sea X (t ) = 
, el valor estimado
 x 2 (t ) 
 X (1.0) =  2 
0

 

de X(2.0) usando dos pasos del algoritmo de Euler para ∆t = 0.5 es:
X (2.0) = 
2

0
X (2.0) = 


 − 1.03125 
1.75
X (2.0) = 
2 

 0 .5 
Ninguna de los anteriores