Prueba Final Olimpiadas Matemáticas Bachillerato

Prueba Final Olimpiadas Matemáticas Bachillerato
Problema 1 día 2
Hallar el máximo número natural de 100 dígitos que al multiplicarlo por 7 se obtiene un
número de 100 dígitos.
Solución:
Notemos que 10100 + 3 es el primer múltiplo de 7 con 101 dígitos, entonces cualquier número
10100 +3
, al multiplicarse por 7 daría como resultado un número con más de
7
100
10 −4
tanto 7
es el máximo número natural que al multiplicarlo por 7 no tiene
mayor o igual a
100
dígitos, por
101
dígitos o más. Por otro lado analizaremos lo siguiente.
7 ∙ 10100 > 10100 − 4 > 7 ∙ 1099
Por tanto obviamente tiene 100 dígitos y es el número que buscábamos
Problema 2 día 2
Sea 𝑠(𝑛) la suma de los dígitos del número natural 𝑛. Determinar si la siguiente ecuación tiene
soluciones naturales.
𝑛 + 𝑠(𝑛) + 𝑠(𝑠(𝑛)) = 2014
Solución:
Se conoce que un número natural y la suma de sus dígitos dejan el mismo residuo en la
división para tres, por lo cual resulta obvio que 𝑛, 𝑠(𝑛), 𝑠(𝑠(𝑛)) dejen el mismo residuo en la
división para tres. Por lo cual su suma debe ser un múltiplo de tres, sin embargo 2014 no es
múltiplo de 3. Con lo cual se concluye que la ecuación mostrada no tiene soluciones naturales.
Problema 3 día 2
Las bases de un trapecio tienen longitud 𝑎, 𝑏 con 𝑏 > 𝑎. Encuentre la longitud del segmento
que une los puntos medios de las diagonales.
Solución:
Sea 𝐴𝐵𝐶𝐷 un trapecio con bases 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 con puntos medios de las diagonales 𝑀y N en 𝐵𝐷 y
𝐴𝐶, respectivamente, la figura del problema. Sea 𝑀´ el punto en el cual la paralela a 𝐴𝐷 y
𝐵𝐶que pasa por 𝑀 corta a 𝐴𝐵, análogamente se define 𝑁´, es obvio que 𝑀𝑀´ es la paralela
media del triángulo 𝐴𝐵𝐷.
Ahora 𝑀𝑀´ corta a 𝐴𝐶 en su punto medio, entonces 𝑀´, 𝑁´, 𝑀, 𝑁, entonces 𝑀𝑁||𝐴𝐷||𝐵𝐶.
Conocemos que 𝑀′𝑁′ es la recta media del trapecio 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝑀𝑀´ es paralela media de los
triángulos𝐴𝐵𝐷 y 𝐴𝐶𝐷, entonces
𝑀𝑀′ = 𝑁𝑁 ′ =
𝑎
𝑎+𝑏
𝑏−𝑎
; 𝑀𝑁 = 𝑀′ 𝑁 ′ − (𝑀𝑀′ − 𝑁𝑁 ′ ) =
−𝑎 =
2
2
2
Con lo cual se concluye el problema.
Problema 4 día 2
Hallar todos los números primos 𝑝, 𝑞, 𝑟 tales que 𝑝𝑞 + 𝑞 𝑝 = 𝑟.
Solución:
Evidentemente 𝑟 > 2, por lo cual necesariamente es impar. Entonces 𝑝, 𝑞 tienen distintas
paridades y ya que son primos, alguno de ellos debe ser dos.
Sin pérdida de generalidad, asumamos 𝑞 = 2.
→ 𝑝2 + 2𝑝 = 𝑟,como 𝑝 es impar podemos decir que si 𝑝 no es un múltiplo de 3, entonces
𝑝2 + 2𝑝 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 3), lo que implicaría que 𝑟 = 3, sin embargo esto da una ecuación sin
solución en primos. Por lo cual necesariamente 𝑃 = 3, obteniendo como única respuesta 𝑟 =
32 + 23 = 17. Por lo tanto las soluciones solicitadas son
𝑝 = 3, 𝑞 = 2, 𝑟 = 17 𝑦 𝑝 = 2, 𝑞 = 3, 𝑟 = 17
Problema 5 día 2
Dado un triángulo 𝐴𝐵𝐶, sean 𝑃 y 𝑄 puntos en los segmentos 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶, respectivamente, tal
que 𝐴𝑃 = 𝐴𝑄. Sean 𝑆 y 𝑅 puntos en el segmento 𝐵𝐶, tal que 𝑆 se encuentra entre 𝐵 y 𝑅,
∡𝐵𝑃𝑆 = ∡𝑃𝑅𝑆, ∡𝐶𝑄𝑅 = ∡𝑄𝑆𝑅. Pruebe que 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 son concíclicos.
Solución:
Por el teorema del ángulo seminscrito tenemos que 𝐵𝑃 es tangente a la circuncircunferencia
del triángulo 𝑃𝑆𝑅, análogamente 𝐶𝑄 es tangente a la circuncircunferencia del triángulo 𝑆𝑅𝑄.
Entonces la potencia del punto 𝐴 con respecto a las circunferencias de los triángulos 𝑃𝑆𝑅, 𝑄𝑆𝑅
son iguales a 𝐴𝑃2 .
Ahora supongamos que tienen diferentes circunferencias circunscritas, entonces 𝐴 pertenece
al eje radical de estas dos circunferencias, el cual sería 𝑆𝑅 y como 𝑆, 𝑅, 𝐴 no son colineales
resulta absurdo. Por tanto tienen la misma circunferencia circunscrita. Por tanto 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 son
concícilicos y se concluye el problema.
Problema 6 día 2
Sea 𝑛 un entero positivo. Resolver el sistema
𝑥1 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑛 = 𝑛
𝑥1 + 2𝑥2 + ⋯ + 𝑛𝑥𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
En el conjunto de los números reales no negativos.
Solución:
Por datos tenemos que
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 = ∑𝑛𝑖=1 1 𝑦 ∑𝑛𝑖=1 𝑖𝑥𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 , entonces
∑𝑛𝑖=1 (𝑥𝑖2 − 𝑖𝑥𝑖 + (𝑖 − 1)) = 0 (*)
Por otro lado consideremos la siguiente expresión
𝑥𝑛𝑛 − 𝑛𝑥𝑛 + (𝑛 − 1) = (𝑥𝑛 − 1)(𝑥𝑛𝑛−1 + 𝑥𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝑥𝑛 − (𝑛 + 1)) = (𝑥𝑛 − 1)2 (𝑥𝑛𝑛−2 +
2𝑥𝑛𝑛−3 + ⋯ + (𝑛 − 2)𝑥𝑛 + (𝑛 − 1))∀𝑛𝜖ℤ+ .
Entonces tomando en cuenta (*) tendremos que
𝑛
∑ [(𝑥𝑖 − 1)2 (𝑥𝑖𝑖−2 + 2𝑥𝑖𝑖−3 + ⋯ + (𝑛 − 1))] = 0
𝑖=1
Si consideramos 𝑛 = 1, la solución obviamente es 𝑥1 = 1, ahora consideremos 𝑛 > 1, como
por dato 𝑥𝑖 ≥ 0∀𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛, entonces
𝑥𝑖𝑖−2 + 2𝑥𝑖𝑖−3 + ⋯ + (𝑛 − 1) > 0 y como (𝑥𝑖 − 1)2 ≥ 0, la solución única será 𝑥𝑖 = 1∀𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛