Congruencia de triángulos.

Congruencia de triángulos.
Definición:
Dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia entre sus ángulos y
entre sus lados, tal que cada par de ángulos y cada par de lados correspondientes
(homólogos) son congruentes.
Observemos el siguiente ejemplo:
Criterios de congruencia
Existen criterios de congruencia que nos permiten determinar en una
forma rápida si dos triángulos son congruentes o no.
Criterio de congruencia L-L-L (lado-lado-lado)
Dos triángulos son congruentes si la medida de
sus tres lados son congruentes.
Criterio de congruencia L-A-L (lado-ángulo-lado)
Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido
entre ellos son congruentes con dos lados de otro
triángulo y el ángulo comprendido entre ellos,
entonces los triángulos son congruentes.
lado-ángulo-lado.
Criterio de congruencia A-L-A (ángulo-lado-ángulo)
Si dos lados de un triángulo y el lado
comprendido entre ellos son congruentes con los
dos lados y un ángulo de otro triángulo, entonces
los triángulos son congruentes.
Figuras semejantes
Si dos o más figuras tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño, entonces
son semejantes.
Para que dos figura sean semejantes se debe cumplir que los lados homólogos
sean proporcionales y los ángulos
homólogos o correspondientes sean
congruentes.
Semejanza de triángulos
Criterio de semejanza A-A-A (ángulo-ángulo-ángulo)
Si los tres ángulos de un triángulo son
congruentes
con
los
tres
ángulos
correspondientes de otro triángulo, se dice que
estos dos triángulos son semejantes.
Criterio de semejanza L-L-L (lado-lado-lado)
Si los tres lados de un triángulo son
proporcionales a sus lados homólogos de
otro triángulo, entonces los dos
triángulos son semejantes.
Criterio de semejanza L-A-L (lado-ángulo-lado)
Si dos lados de un triángulo son
proporcionales
con
los
lados
correspondientes de otro triángulo
y si el ángulo comprendido entre
ellos es congruente, entonces los
triángulos son semejantes.
PRACTICA
1.
De acuerdo a la figura, .el criterio que garantiza que los triángulos sean
congruentes es :
a)
b)
c)
d)
ALA
LLL
ALL
LAL
2. De acuerdo a la figura, .el criterio que garantiza que los triángulos sean
congruentes es :
a)
b)
c)
d)
ALA
LLL
ALL
LAL
3.
a)
b)
c)
d)
De acuerdo a la figura, .el criterio que garantiza que los triángulos sean
congruentes es :
ALA
LLL
ALL
LAL
4. Si el ABC  DEF , se cumple con certeza que :
a)
b)
c)
d)
A  B
AB  EF
EFD  BCA
AC  DE
5. Si el ABC  DEC , el valor del ángulo ECD es igual a :
A
E
a) 47º
63
47
b) 110º
c) 70 º
C
d) 63 º
B
D
6. Si
 ABC ~  DEF, en la figura el valor de x
D
a)
b)
c)
d)
25
15
9
8
7.
B
12
E
15
30
20
F
x
C
A
De acuerdo la figuras podemos concluir que
a)
b)
c)
d)




a)
b)
c)
d)
71º
80º
29 º
180 º
ABC
ABC
ABC
ABC
~
~
~
~




DEF
FDE ,
DFE ,
EFD ,
A
F
B
D
C
E
8. De acuerdo a la figura  ABC ~  DEC , entonces la medida de  ABC
A
E
71
80
C
B
D


9. De acuerdo a la figura el
ABC ~ DEC , por el siguiente criterio
A
a) ALA
d) LAL
b) AAA
c) LLL
10
D
20
B
9
C
18
E
10. De acuerdo a la figura
 ABN ~  MNA , la medida de < BNA
B
a) 51º
b) 98º
c) 31º
d) 180º
A
B  98º
MAN  31º
N
M
11. De acuerdo a la figura  ABC ~  BCD , ¿ cuál es la medida de CD
a) 5
A
b) 10
B
C
5
c)
16
x
D
d)
15
4
12. Si  ABC ~  MNP , y < B = 81º y < C = 43º
es
, entonces la medida del <M
a) 124º
b) 56 º
c) 43º
d) 81º
13. Si el ABC  DEC , el valor del ángulo ECD es igual a :
A
E
a) 47º
63
47
b) 110º
c) 70 º
C
d) 63 º
B
D
14. Si
 ABC ~  DEF, en la figura el valor de x
D
a)
b)
c)
d)
25
15
9
8
12
E
B
15
30
20
F
x
C
A
15. De acuerdo la figuras podemos concluir que
a)
b)
c)
d)




ABC
ABC
ABC
ABC
~
~
~
~




DEF
FDE ,
DFE ,
EFD ,
A
F
B
D
C
E
Teorema de Thales
“Si tres o más rectas paralelas (
1
2
3
) son cortadas por dos rectas
secantes, los segmentos comprendidos entre las paralelas son
proporcionales”.
1
B
E
C
AB BC

DE EF

Ejemplos:
1
Calcule: x, y, z según sea el caso.
A)
2
AB DE AC


BC EF DF
AC DF

AB DE

F
1
De donde:
3

D
A
2
2
3
4


B)
x
4


3
6
9




8
y
10
x


10
15 

j k l


k
j
15
x
l
7
x


y
4


z
9

10
30


II Parte
a) En la siguiente figura el valor que le corresponde a “x” es
1
(
2
(
(
(
)
3
)
)
)
5,22
4
9,33
12,25
16.33
V
X
7
8
6
x
W
Y
b) Dada la siguiente figura se sabe que AG  8, GE  5, FE  3, AF  8,
entonces el valor de AB corresponde a
F
D
B
A
G
E
C
c) Según los datos de la figura que se presenta a continuación AB mide
( ) 3
( )
25
3
( ) 8
( ) 15
k
j
9
l
N
15
M
I
A
5
K
B
Teorema fundamental
de la proporcionalidad
(Segundo teorema de Thales)
“Si una recta es paralela a un lado de un triángulo interseca en
dos puntos a los lados del triángulo, entonces determina en ellos
segmentos que son proporcionales a dichos lados”
A
DE BC
D
Se cumple que:
AD DB AB


AE EC AC
E
B
C
Ejemplos:
Calcule el valor de “x”, para cada caso.
a)
b)
A
A
6
26
E
8
D
E
5
13
x
B
B
c)
5
F
C
C
x
d)
A
A
10
x
D
10
E
12
20
E
18
B
C
B
F
x
15
C
Teorema de la paralela
Media de un triángulo





Dibuje un triángulo, llámelo ABC.
Marque los puntos medios de los lados AB y AC y llámelos M y N.
Trace el segmento MN .
Mida el segmento MN y BC .
Escriba la conclusión.
“ El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es
paralelo al tercer lado y tiene por medida la mitad de las longitud de
ese tercer lado”.
Ejemplos:
a)
b)
A
A
4
12
D
E
12
4
x
B
B
x
E
8
C
F
30
15
C