Unidad PE.1: Medidas de tendencia central

Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
3 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
Resumen de la unidad
En esta unidad, los estudiantes calcularán e interpretarán medidas de tendencia central y de
variabilidad. Crearán, compararán y evaluarán diferentes representaciones gráficas de los
mismos datos.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su
conocimiento sobre las medidas de tendencia central y de variabilidad para crear
presentaciones gráficas para propósitos de análisis y comunicación.
Estándares de contenido y expectativas
Estadísticas
1.0 Recopila y representa los datos e interpreta las medidas de tendencia central y variabilidad.
•
Crea, compara y evalúa las diferentes representaciones gráficas de los mismos datos, usando
histogramas, polígonos de frecuencias, funciones de distribución de frecuencias acumulativa,
gráficas de pastel, diagramas de dispersión, diagramas de tallo y hojas y diagramas de caja.
 Calcula y usa la media, mediana, moda, media ponderada, media geométrica, media
armónica, extensión, cuartiles, variación y desviación estándar.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
 Las medidas de tendencia central y la
variabilidad son formas comunes de
comparar datos.
 Las representaciones gráficas comunican
los datos de formas distintas.
 Las medidas y representaciones de los
datos pueden alterar su significado.
 La información estadística nos ayuda a
 ¿Cómo se comparan datos?
 ¿Por qué se usan ciertas representaciones
gráficas para comunicar hallazgos?
 ¿Cómo las personas utilizan los datos para
influenciar a otros?
 ¿Cómo influyen las estadísticas en las
decisiones?
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tomar decisiones informadas.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
 Medidas de tendencia central
 Variabilidad de los datos
 Diferentes representaciones gráficas de
los mismos datos (p. ej., histogramas,
polígonos de frecuencia, distribuciones,
funciones de frecuencias cumulativas,
gráficas de pastel, diagramas de
dispersión, diagramas de tallos y hojas y
diagramas de caja)
 Recopilar y representar los datos e
interpretar las medidas de tendencia
central y variabilidad.
 Crear, comparar y evaluar diferentes
representaciones gráficas de los mismos
datos, usando histogramas, polígonos de
frecuencias, funciones de distribución de
frecuencias acumulativa, gráficas de
pastel, diagramas de dispersión,
diagramas de tallos y hojas y diagramas de
caja.
 Calcular y usar la media, mediana, moda,
media ponderada, media geométrica,
media armónica, extensión, cuartiles,
variación y desviación estándar.
Vocabulario de contenido
 Medidas de tendencia central y variación
(cuartiles, desviación estándar, extensión,
media, media armónica, media
geométrica, media ponderada, medidas
de tendencia central, mediana, moda,
variabilidad, varianza)
 Representaciones gráficas (diagrama de
caja, diagrama de dispersión, diagrama de
tallos y hojas, distribución, frecuencias
cumulativas, gráfica de pastel, polígono de
frecuencia)
Para más información referirse al glosario
matemático básico en las guías operacionales
del DEPR.
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Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Tareas de desempeño
Otra evidencia
Proyecto de comida rápida1
Los estudiantes demostrarán las medidas de
tendencia central y variabilidad al comparar el
tiempo de servicio de tres restaurantes. A
medida que avanzan en el estudio de los
conceptos de tendencia central, variación y
posición, los estudiantes recopilarán pruebas
que les permitan evaluar en cuál restaurante
de comida rápida deben pararse si andan con
prisa.
Ejemplos para preguntas de examen/quiz
1.
En un estudio de una clase de
álgebra avanzada en la Escuela Superior
de San Juan, la clase de 21 miembros
reportó el número de horas por semana
que trabajaron en empleos fuera de la
escuela. Las horas que reportaron son las
siguientes:
10 16 15 12 0 6 19 14 15 6
0 0 10 20 18 24 7 0 12 10 15
a.
Determina la media, la moda y la
mediana de los datos.
b.
En tu opinión, ¿cuál de las tres
medidas de tendencia central describe
mejor tus datos? Explica tu razonamiento.
c.
Ángela se transfirió a la clase
después de que se hiciera el estudio. Ella
trabajo 19 horas a la semana. ¿Cuánto
afecta su presencia a la media, la
mediana y la moda?
2.
A continuación se encuentra un
conjunto de puntuaciones de octanos de
gasolina de una muestra de 21
productores.
87.6, 84.8, 84.9, 86.2, 88.6, 89.5, 84.6,
85.4, 84.8, 86.3, 87.6, 86.7, 85.2, 86.5,
Tarea: Se tomó una muestra de tiempo de
servicio (en segundos) de tres cadenas
grandes de restaurantes de comida rápida.
Los resultados se proveen a continuación
(todos los datos son ficticios).
Burger King
McDonald’s
Wendy’s
111
109
99
94
84
95
57
93
53
80
123
82
78
97
75
1 Fuente: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf
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109
56
110
92
79
90
34
110
33
67
32
65
122
68
100
95
45
94
46
99
41
1. Define la muestra aleatoria. A partir de
la definición de muestra, describe cómo
se obtuvieron las muestras aleatorias
anteriores de los tiempos de servicio.
2. Clasifica el tipo de datos de los
tiempos de servicio anteriores
(cualitativos o cuantitativos, discretos o
continuos), el nivel de medida asociado a
los datos (nominal, ordinal, de intervalo,
razón) y provee las definiciones de las
respuestas que elegiste.
3. Define los términos media, mediana y
moda. Calcula la media, mediana y moda
de los datos de Burger King y muestra tu
trabajo. A continuación, calcula la media,
mediana y moda de cada muestra con una
herramienta tecnológica.
4. Crea un diagrama de caja así como un
diagrama de tallos y hojas de los datos de
Burger King a mano y muestra tu trabajo. A
continuación, crea un diagrama de caja de
cada muestra en la misma cuadrícula y a su
lado un diagrama de tallos y hojas de cada
muestra.
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87.3, 88.8, 85.3, 86.2, 85.3, 87.3, 91.2
Haz un diagrama de tallos y hojas.
Calcula la media y construye un diagrama
de caja.
3.
La tabla muestra la frecuencia de
las puntuaciones de un quiz de 20 puntos.
La media del quiz es 18. Halla el valor de
k en la tabla. Halla la moda y la mediana
de todas las puntuaciones del quiz.3
Puntuación
Frecuencia
15
2
16
4
17
7
18
13
19
k
20
5
4.
A continuación se provee el
número de horas de televisión que ven
por día una muestra de catorce personas:
2 4 1 5 4.13 4 2.09 3 6.94 4 3
Halla el resumen de cinco números, el
recorrido intercuartil y los datos anómalos
(si hay alguno). A continuación, traza un
diagrama de caja para presentar tus
hallazgos de forma gráfica.4
Diario
1. Describe el proceso necesario para
calcular la desviación estándar.
2. Evalúa la frase: La varianza de un conjunto
de datos siempre será mayor que la
desviación estándar. ¿Es esto cierto o
falso? ¿Cómo lo sabes?
3. Describe cómo se calcula la media
geométrica.
Boleto de salida
1. ¿Cuál medida de tendencia central queda
más afectada por un dato anómalo?
Explica.
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5. Describe la forma de la distribución de
cada muestra, y determina la mejor medida
de tendencia central de cada muestra a partir
de las formas de distribución de tu muestra.
Explica tu razonamiento.
6. Define la desviación estándar. Calcula la
varianza y la desviación estándar de los datos
de Burger King y adjunta tu trabajo.
2. ¿Cuándo usarías un histograma? ¿Y una
gráfica de pastel? ¿Y el polígono de
frecuencia para representar tus datos?
3. Halla la media ponderada de los números
a continuación. El factor de peso de cada
número se indica en paréntesis junto al
número.
7(2), 12(3), 21(3), 13(4), 6(1)
7. Supón que te da hambre, no tienes
preferencia de comida y necesitas regresar a
casa urgentemente para estudiar para un
examen. ¿Cuál de las tres cadenas de comida
rápida escogerías para satisfacer tu apetito a
partir de un análisis estadístico? Explica tu
razonamiento.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la
rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador
- Rúbrica de tarea de desempeño).
Proyecto de estudio estadístico2
Los estudiantes demostrarán su comprensión
de la estadística descriptiva y la
representación gráfica de la estadística al
reportar sus propios datos de un estudio. Para
esta tarea, los estudiantes crearán e
implementarán un estudio. Una vez recopilen
los datos reportarán las estadísticas
2 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/muzzyschramm99/statssurveytask.pdf
3 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
4 Fuente: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf
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descriptivas y las representarán por medio de
diferentes gráficas.
Tarea:
Con un estudio usando (2) preguntas
aprobadas, haz una lista de datos de la
muestra. Obtén por lo menos 50 valores; en
comunidades pequeñas, obtén entre 25 a 50.
Intenta elegir preguntas que produzcan datos
de una población interesantes y reveladores.
1. Describe las preguntas de
investigación y la naturaleza de los datos.
¿Qué representan los valores?
2. Describe el método usado para
recopilar los datos.
3. Explica las razones posibles de por qué
los datos podrían ser representativos de
la población. ¿Cuáles son algunas fuentes
posibles de sesgo o error?
4. Haz los cálculos estadísticos
correspondientes a partir de lo siguiente:
tamaño de la muestra, mínimo, máximo,
media, mediana, moda, recorrido,
desviación estándar, varianza, cuartiles.
5. Discute su relación con los datos.
6. Construye una tabla de frecuencia, un
diagrama de tallos y hojas y un
histograma y explica qué te dice cada uno
de estos sobre tus datos.
7. Escribe, en forma de un párrafo,
cualquier conclusión o inferencia que
pueda hacerse a partir del análisis de tus
datos.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la
rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador
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- Rúbrica de tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Actividades de aprendizaje
 Cómo hacer histogramas en una calculadora5: En esta actividad, se introducirá a los
estudiantes a las gráficas de datos cuantitativos; estos crearán gráficas con la calculadora
gráfica. Primero, los estudiantes crearán un diagrama de tallos y hojas a partir de datos
dados y luego crearán un histograma a mano para presentar los mismos datos en un
formato distinto. A continuación, enséñales a los estudiantes cómo crear un histograma en
una calculadora gráfica TI-83 o TI-84. Finalmente, compararán ambos histogramas al
resumir información a partir de representaciones gráficas. Crea un escenario para los
datos. Por ejemplo, usa los datos de puntuaciones de examen de una clase de álgebra 1
(89, 95, 87, 76, 62, 79, 85, 84, 85, 88, 55, 94, 84, 97, 99, 78, 63, 81, 73, 81). A continuación
se proveen los pasos para crear un histograma en una TI-83/84:
o Introduce los datos anteriores al presionar STAT y luego EDIT, e introducir los datos
en L.
o Oprime 2nd STAT PLOT y activa (oprime "ON") el diagrama.
o Elige la imagen del histograma en TYPE.
o Oprime GRAPH, y el histograma debe aparecer. Si no, oprime ZOOM y luego
Statistics.
o Para asegurarte de que las gráficas de los estudiantes sean iguales pídeles que
ajusten su pantalla en WINDOW para usar el mismo Xmin, Xmax, Xscl.
 Cómo elegir la medida de tendencia central adecuada6: Esta actividad les ayudará a los
5 Fuente: Comprehensive Curriculum “Math Essentials” by the Louisiana Department of Education
6 Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22dependent%20and%20independent%20events%22%20probability
%20%22performance%20task%22&source=web&cd=20&ved=0CFEQFjAJOAo&url=http%3A%2F%2Fwww.sabine.k12.la.us%2FGLE
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estudiantes a desarrollar una mejor comprensión de cómo hallar la medida de tendencia
central que mejor se corresponda con un conjunto de datos dado. Provéeles a parejas de
estudiantes distintas características de un conjunto de datos y pídeles que desarrollen
conjuntos de datos que cumplan con los criterios (p. ej.: los datos tienen siete números, la
moda es 1, la mediana es 3 y la media es 9. O el conjunto de datos tiene 10 números, la
mediana es 6, la media es 8, todos los números en el conjunto de datos son modas, y el
número 6 no se encuentra en el conjunto de datos). Orienta a la clase durante una
discusión de sus estrategias de cómo desarrollar sus conjuntos de datos. Compara los
conjuntos y pídeles a los estudiantes que decidan cuál medida de tendencia central se
adecua mejor a cada conjunto. (Ten algunos ejemplos adicionales disponibles en que se
muestren casos en que cada medida sea más adecuada si los ejemplos de los estudiantes
no proveen oportunidades de comparación.) Provéeles características específicas de la
medida de tendencia central más adecuada desarrollando conjuntos de datos adicionales
(por ej.: El conjunto contiene cinco números y la media es la medida más adecuada de
tendencia central, el conjunto contiene 8 números y la mediana representa mejor los datos,
o el conjunto contiene 15 números y la moda es la medida de tendencia central que mejor
representa los datos). Discute con la clase sus respuestas y cómo desarrollaron los
conjuntos de datos.
 Comparación de gráficas: Preséntales un conjunto de datos a los estudiantes para que los
usen al comparar y evaluar diferentes representaciones gráficas. Se les asigna una
representación gráfica a grupos pequeños (histogramas, polígonos de frecuencia,
distribuciones, funciones de frecuencia cumulativa, gráficas de pastel, diagramas de
dispersión, diagramas de tallos y hojas y diagramas de caja) para presentársela a la clase.
Los estudiantes presentan lo que comunica su representación gráfica sobre los datos y si
piensan que es una buena representación. Dirige una discusión en clase en que se
comparen y evalúen los distintos tipos de representaciones gráficas, como por ejemplo, qué
comunica cada gráfica de los datos, cuál(es) gráfica(s) resulta(n) útil(es) y cuáles no resultan
útiles para entender el conjunto de datos, y cuál(es) gráfica(s) utilizarían los estudiantes
para comunicar el conjunto de datos. Cambia la representación gráfica que deberá
presentarle cada grupo a la clase y dales a los grupos otro conjunto de datos para comprar
las representaciones gráficas. Este nuevo conjunto de datos debe representarse mejor
usando gráficas distintas a las del conjunto de datos original. Tras una conversación en clase
%2FMATH%2FMATH%2520WORD%2520FILES
%2F11%2520MATH_ALGEBRA_I.doc&ei=gpbrTpi5E6evsQKGipHiCQ&usg=AFQjCNHNj0qY_ZDPROj7M6IGjo8pDwOs4A&cad=rja
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parecida a la anterior, pídeles que discutan cómo saber cuál tipo de representación gráfica
usar para diferentes conjuntos de datos.
Ejemplos para planes de la lección
 Para entender la varianza y la desviación estándar7: En esta lección los estudiantes
investigarán la desviación estándar y la varianza usando distintos métodos para acercarse a
la misma varianza. Se les guiará a los estudiantes paso a paso en una investigación de lo
que describe la desviación estándar de un conjunto de datos.
Instrucciones:
1. Crea un conjunto de seis puntos de datos de tal forma que la varianza y la desviación
estándar sean cero. Haz un diagrama de dispersión de la distribución.
2. Crea un conjunto de seis puntos de datos de tal forma que la varianza y la desviación
estándar sean cero. Haz una gráfica de puntos de la dispersión de la distribución.
¿Puede hacerse esto de más de una forma que no sea variar la media? Explica tu
razonamiento.
3. Crea una lista de por lo menos dos conjuntos distintos de seis puntos de datos, ambos
con la misma media, de tal forma que la varianza sea cuatro y la desviación estándar
sea dos. Haz una gráfica de puntos de la dispersión de la distribución.
4. Crea por lo menos dos conjuntos de seis puntos de datos, de tal forma que la varianza
sea cuatro, la desviación estándar sea dos y la media sea siete. Haz una gráfica de
puntos de la dispersión de la distribución.
5. Crea por lo menos dos conjuntos de seis puntos de datos, de tal forma que la varianza
sea dieciséis, la desviación estándar sea cuatro y la media sea diez. Haz una gráfica de
puntos de la dispersión de la distribución.
6. Describe el proceso que utilizaste para obtener tus respuestas.
7. ¿Cuál es la relación entre la desviación estándar y la varianza?
8. ¿Qué mide la desviación estándar?
9. Discute sus métodos para hallar más de un conjunto de datos que cumplan con las
condiciones requeridas. Los estudiantes deben entender que los conjuntos de datos
que no sean conjuntos simétricos pueden producir las varianzas y desviaciones
estándar requeridas.
 Cómo calcular distintas medias8: En esta lección los estudiantes expandirán su comprensión
7 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_4_TE_APS_Supplement.pdf
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de la media aritmética para calcular distintos tipos de media. Por medio de notas, ejemplos
guiados y práctica en pareja los estudiantes calcularán medias geométricas, medias
armónicas y medias aritméticas ponderadas (ver anejo: PE.1 Ejemplo para plan de lección Cómo calcular distintas medias).
Recursos adicionales




http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Math, Culture, and Popular Media: Activities to Engage Middle School Students Through
Film, Literature, and the Internet de Michaele F. Chappell and Denisse R. Thompson
 Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos
apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en
todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela
secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de
estudio.
 Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
 El matemático del rey de Juan Carlos Arce
 La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de
Marcus Du Sautoy
 Women and Numbers de Teri Perl
 Mathematics are People: Stories from the lives of Great Mathematicians de Luetta Teamer
and Wilber Reimer
8 Fuente: http://file.glpacademy.co.kr/eTAP/mathfiles/english/statistics/lesson3/lesson.html
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