Respuesta temporal

Circuitos y Sistemas Dinámicos
Ejercicios del Tema 1:
Respuesta temporal
1.1 El interruptor del circuito de la figura lleva cerrado durante tiempo indefinido y se abre súbitamente.
Calcular:
a) Valor inicial de la intensidad i.
b) Energía almacenada inicialmente por la autoinducción.
c) Constante de tiempo después de la apertura del interruptor.
d) Expresión de i(t).
e) Expresión de la energía almacenada en la autoinducción en función del tiempo.
f) ¿Qué porcentaje de la energía se ha disipado en la resistencia de 4 Ω a los 5 ms de abrirse el
interruptor?
1Ω
100V
t=0
5Ω
+
-
10mH
20Ω
4Ω
i
1.2 Repetir el problema anterior suponiendo que el interruptor se cierra súbitamente para cada una de las
hipótesis siguientes:
a) El interruptor ha estado abierto por tiempo indefinido.
b) La autoinducción tiene una intensidad inicial de 2 A.
1.3 El interruptor del circuito de la figura ha estado
cerrado por tiempo indefinido y se abre de forma
súbita. Calcular:
a)
v(t)
b)
¿Cuánto tiempo tarda en disiparse
la mitad de la energía almacenada
+
en los condensadores en el 15V
instante de la conmutación?
-
5µF
15kΩ
t=0
20kΩ
40kΩ
v
1µF
1.4 Estando el condensador de la figura inicialmente descargado y el conmutador en la posición a, cambia
a la posición b en el instante t = 0. Al cabo de 15 ms cambia a la posición c, en la que permanece 5 ms.
Calcular:
a) Valor de v para t = 15 ms.
b) Valor de v para t = 20 ms.
c) Expresión de v(t) entre –1 y 20 ms. Representarla gráficamente.
d) Suponiendo que se produce un ciclo continuo de conmutación de forma que durante 15ms el
conmutador permanece en la posición b y durante 5 ms en la posición c de forma repetitiva,
calcular entre qué valores variará la tensión del condensador cuando el ciclo se estabilice.
100kΩ
400V +
-
b
a
c
50kΩ
0.1µF
v
1.5 Determinar la expresión de la tensión v en función del valor de los elementos del circuito a partir del
cierre del interruptor y en el momento inmediatamente anterior. Considerar que el condensador tiene una
tensión inicial Vc0.
R2
t=0
R1
Vs
C
+
+
V
1.6 Calcular la expresión instantánea de la tensión v del circuito RLC paralelo de la figura sabiendo que
C = 0.2 µF, L = 50 mH, V0 = 12 V, I0 = 30 mA. Considerar los siguientes casos:
a)
R = 200 Ω
b)
R = resistencia crítica
c)
R = 312.5 Ω
d)
R = 1000 Ω
Io C
L
v(t)
R
Vo
1.7 En el circuito del problema anterior y para cada uno de los casos planteados:
a)
Determinar la expresión instantánea de la intensidad en cada uno de los elementos del
circuito a partir de la tensión.
b)
Comprobar que la suma de todas las intensidades es cero en todo momento.
1.8 En el circuito RLC serie de la figura determinar la expresión de las tensiones e intensidades en cada
uno de los elementos. C = 0.1 µF, L = 100 mH, R = 560 Ω, V0 = 100 V, I0 = 0 mA.
Io
i(t)
L
C
Vo
R
1.9 En el circuito de la figura y para cada uno de los valores señalados en la tabla determinar:
L (H)
5
2
1
0.5
0.2
0.1
0.05
0.02
a)
b)
R (Ω)
2659
1043
505
251
96.8
31
17
6.4
C(nF)
1
2
5
10
20
50
100
100
Io=0
t=0
100V +
-
i(t)
L
C
Vo=0
R
La expresión de la intensidad a partir del cierre del interruptor suponiendo condiciones
iniciales nulas.
Representarla gráficamente.
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c)
d)
e)
El valor de la resistencia que habría que añadir en serie para obtener la crítica.
La expresión de la intensidad en esas circunstancias.
Representarla gráficamente.
1.10 Se dispone de un circuito RLC paralelo al que se le aplica un escalón de intensidad de 0 a 24 mA.
Suponiendo C = 25 nF, L = 25 mH y condiciones iniciales nulas, calcular iL(t) y vL(t) en las siguientes
circunstancias y representar gráficamente los resultados:
a)
R = 400 Ω
b)
R = 500 Ω
c)
R = 625 Ω
1.11 Determinar la expresión de la tensión v0 en función del valor de los elementos del circuito a partir
del cierre del interruptor y en el momento inmediatamente anterior. Considerar que los condensadores
están inicialmente descargados y que R1C1 ≠ R2C2.
R1
Ra
Vs
t=0
R2
C1
+
C2
Rb
+
+
Vo
Va
-
1.12 En el circuito de la figura, se supone que los condensadores están inicialmente descargados.
Suponiendo que el interruptor se cierra en el instante t = 0:
a)
Escribir la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la tensión U.
b)
Comprobar el tipo de respuesta a que corresponde.
c)
Resolver la ecuación para R1 = 20 kΩ, C1 = 0.1 µF, y R2 = 82 kΩ, C2 = 5.6 nF.
d)
Comprobar que la tensión U alcanza un máximo. Determinar en qué momento ocurre y
su valor.
e)
Representar gráficamente la evolución de las tensiones Ua y U.
t=0 C1
R2
1
1V +
Ua
-
R1
U
C2
1.13 El circuito RLC serie de la figura se alimenta con una fuente senoidal. Se supone que el interruptor
se cierra en el instante en que la tensión de la fuente pasa por 0 V con pendiente positiva.
a)
Escribir la ecuación diferencial que rige el comportamiento de i a partir del cierre del
interruptor.
b)
Calcular la expresión instantánea del régimen permanente de la intensidad i.
c)
Demostrar que si denominamos ip(t) al régimen permanente y denominamos iq(t) a una
función con la misma forma que el régimen natural del circuito (con las constantes sin
determinar), se cumple que ip(t)+iq(t) es una solución para la ecuación diferencial
escrita en (a).
d)
Determinar las constantes y obtener la expresión completa de i(t) suponiendo
condiciones iniciales nulas y L = 5 H, R = 3000 Ω y C = 5 nF.
t=0
+
100V
960Hz -
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i(t)
Io=0
L
C
Vo=0
R
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1.14 (Examen Febrero 99)
C
Ie
L
R
Io
t=0
R = 2083.33Ω
L = 50mH
C = 8nF
vs
Circuito 1
Un circuito RLC paralelo con los valores indicados en la figura (circuito 1) se somete a un escalón de
intensidad en el instante t = 0. Se pide:
a)
Suponiendo Ie = 8 mA , I0 = –2 mA y condiciones iniciales nulas en el condensador, obtener
la expresión de la tensión vs(t) y representarla de forma aproximada.
b) En las mismas condiciones que el apartado a), calcular el instante en que la intensidad por la
autoinducción alcanza su valor máximo.
c) Determinar cuánto vale la intensidad que atraviesa la autoinducción en dicho instante.
d) Determinar el nuevo valor que debería tomar la resistencia si se quisiese obtener un
coeficiente de amortiguamiento de 0,5 en la respuesta al escalón.
1.15 En este problema se analizará la analogía entre un circuito y un sistema mecánico, ambos de
segundo orden:
vL(t)
L
iL C
R
K
U
M
x
El circuito es un RCL paralelo en respuesta natural
en el que se utilizará como variable de estudio la El sistema mecánico consiste en una masa que se
puede desplazar horizontalmente, unida a un punto
intensidad en la autoinducción.
fijo mediante un resorte ideal K, que ejerce una
fuerza proporcional y de signo inverso al
desplazamiento x. Además existe un amortiguador
U que ejerce una fuerza proporcional y de signo
contrario a la velocidad.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Escribir la ecuación diferencial que rige el comportamiento de iL en el circuito.
Escribir la ecuación diferencial que rige el comportamiento de x en el sistema mecánico.
Comparar ambas ecuaciones e identificar el papel que juegan los distintos componentes.
Escribir la expresión de la energía instantánea en el circuito.
Escribir la expresión de la energía instantánea en el sistema mecánico.
Comparar las expresiones y comprobar que son coherentes con la analogía establecida en c).
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1.16 Se pretende estudiar la respuesta temporal del circuito, que en el instante t = 0 queda conectado
como se muestra en la figura.
IL0
R2
L
C
R1
E
I
UC0
Considerando R2 = 0, se pide:
a)
b)
c)
Obtener la ecuación diferencial completa de la tensión uC y la corriente iL.
Expresar la derivada de la tensión uC y la corriente iL en t = 0+ en función de las
condiciones iniciales (UC0 e IL0).
Expresar ωn, z y las raíces del polinomio característico.
Considerando R2 ≠ 0, se pide:
d)
e)
f)
Repetir los apartados 1, 2 y 3.
Particularizar la tensión uC para:
R1 = 900 Ω, R2 = 100 Ω, L = 9 H, C = 10 µF, E = 10 V, I = 1 mA, UC0 = 1 V e IL0 = 1 mA
Obtener la tensión uC en el caso de que E sea un generador senoidal: E·sen(100πt).
1.17 (Examen Febrero 2000) Se pretende estudiar la respuesta temporal del circuito, que en t = 0 queda
conectado como se muestra en la figura .
E
R
U
C
UC0
IL0
L
Considerando U = 0, se pide:
a)
Obtener la ecuación diferencial completa de la tensión uC y la corriente iL.
b) Obtener la pulsación propia no amortiguada ωn y el amortiguamiento z.
c)
Determinar el tipo de respuesta para los siguientes valores:
R = 100 Ω, L = 1 H, C = 5 µF y E = 40 V.
d) Obtener la ecuación del transitorio de la tensión uC considerando: UC0 = –20 V e IL0 = 0.5 A.
e)
Repetir el apartado anterior en el caso de que U sea un generador senoidal: U = 50·sen(105 t).
1.18(Examen Septiembre 2000)
a)
En el circuito de la figura, establecer las condiciones
iniciales sobre iL y su derivada en función de las
condiciones iniciales en la bobina y el condensador.
b) Repetir lo anterior para uC en lugar de iL.
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IL0
E
L
UC0
R1
R2
I
C
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1.19 (Examen Febrero 2001) Se estudiará la respuesta temporal del circuito de la figura. El interruptor se
cierra en t = 0.
t=0
Rg
u
i
R
C
+
_
UC0
IL0
L
Se pide:
a)
Obtener la ecuación diferencial homogénea de la corriente i y de la tensión del condensador uC.
Considerando que la tensión del generador es u(t) = 220 2 sen(100πt) V y los valores de los elementos
del circuito son Rg = 10 Ω, R = 1 kΩ, L = 1 H y C = 0.91 µF, se pide:
b) ¿Qué tipo de respuesta temporal presenta el circuito?
c)
Expresión general (sin ajustar las condiciones iniciales) de la tensión en el condensador uC en
función del tiempo, especificando qué términos corresponden a la respuesta transitoria y cuáles al
régimen permanente.
Considerando que las condiciones iniciales son UC0 = –20 V e IL0 = 1 A, se pide:
d) Expresión de la tensión en el condensador uC en función del tiempo.
1.20 (Examen Febrero 2001) En el circuito de la figura, el interruptor lleva cerrado un tiempo largo y se
abre en el instante t = 0.
L2
.
.
L1
Vb
M
i1
R
ve
C
t=0
a)
Determinar el valor de la tensión en el condensador y de las intensidades en las autoinducciones
inmediatamente después de la apertura.
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b) Calcular i1(t) a partir de t = 0 particularizando para Vb = 12 V, R = 4 Ω, L 1 = 3mH, C = 0.4 µF,
M = 0.3 H, L 2 = 30 H.
c)
Calcular la tensión máxima en el condensador para los valores del apartado anterior.
1.21 (Examen Septiembre 2001) Las condiciones iniciales de las variables con los sentidos indicados en
la figura son iL(0) = 1 A y uC(0) = 0 V.
a
5Ω
b
0,5 F
iL
uC
2H
10 V
El conmutador va alternando entre las posiciones "a" y "b". La conmutación se realiza de forma
instantánea (pasa de una posición a la otra en un tiempo nulo).
a)
En el instante t = 0, el conmutador se conecta en la posición "a". Calcular la expresión de la
intensidad iL y su valor en t = 1s.
b) En el instante t = 1s, el conmutador pasa a la posición "b". Calcular la expresión de la intensidad iL y
de la tensión uC y sus valores en t = 2s.
c)
Si en t = 2s, el conmutador vuelve a "a" y en t = 3s vuelve a "b", determinar la expresión de la
intensidad iL y de la tensión uC en el intervalo 3s < t < 4s.
d) Si el proceso de conmutación prosigue indefinidamente al mismo ritmo, determinar el régimen
permanente de iL y de uC.
R
1.22 (Examen Febrero 2002) Considerando el circuito de la figura se pide:
a)
Obtener la ecuación diferencial de la corriente i(t).
i(t)
b) ¿Cuál es el orden del circuito?
Se sabe que la tensión del generador viene dada por la expresión
siguiente:
vo1(t)
+
−
L
M
L
vi(t)
R
vc(t)
5
t < 0

vi (t ) = 
V
10 ⋅ cos(545 ⋅ t ) t ≥ 0 
C
C
Además, los valores de los componentes del circuito son: R = 100 Ω ; L = 1,5 H; C = 2 µF y M = 0,5 H.
Conocida toda esta información se pide lo siguiente:
c)
Calcular las condiciones iniciales de I0 y Vc0 así como el valor inicial de la derivada de la corriente.
El circuito llevaba largo tiempo conectado (siendo la tensión del generador 5 V) antes de t = 0.
d) ¿Es posible conocer la tensión inicial de los dos condensadores de forma individual?
e)
Obtener i(t) para t ≥ 0+. Dibujarla de forma somera (interesa sólo la forma).
f)
¿De qué tipo de respuesta se trata?
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vo2(t)
iL
1.23 (Examen Septiembre 2002)
A
250 Ω
Se considera el circuito que se
conecta en el instante t = 0 tal y como
aparece en la figura, con el
conmutador en su posición superior.
0,1 H
9V
t = t0
uC
uAB
10 µF
B
Las condiciones iniciales son uC(0) = –3 V e iL(0) = –15 mA (se recomienda mantener los sentidos
indicados en la figura). En el instante t = t0, el conmutador pasa a su posición inferior.
a)
Obtener las ecuaciones diferenciales de uC y de iL para t < t0. Determinar en qué se modifican para t > t0.
b) Obtener las expresiones de uC(t) y de iL(t) para t < t0. Comprobar que cumplen las condiciones iniciales.
c)
Obtener las expresiones de uAB(t) y de iC(t) para t < t0.
En el caso en que t0 = 20 ms:
d) Obtener las expresiones de uC(t), uAB(t), iC(t) y de iL(t) para t > t0.
e)
Realizar un boceto de uC(t) y uAB(t) en una gráfica, y de iC(t) e iL(t) en otra. Comprobar la coherencia
con los valores iniciales y los resultados obtenidos en apartados anteriores, de las relaciones entre las
distintas variables, etc...
En el caso en que t0 = 4 ms:
f)
Obtener las expresiones de uC(t), uAB(t), iC(t) y de iL(t) para t > t0.
g) Realizar un boceto de uC(t) y uAB(t) en una gráfica, y de iC(t) e iL(t) en otra. Comprobar la coherencia
con los valores iniciales y los resultados obtenidos en apartados anteriores, de las relaciones entre las
distintas variables, etc...
1.24 (Examen Febrero 2003) Considerando el circuito de la figura se pide:
400mA
L
R1
300mA
i(t)
200mA
P1
A
B
e(t)
+
-
C
u(t)
R2
P2
100mA
0A
-100mA
-200mA
0s
10ms
20ms
30ms
40ms
50ms
60ms
I(R1)
Time
a)
Completar la ecuación diferencial:
d 2i (t )
di (t )
1
1 de(t )
+ ""
+ "" i (t ) =
⋅e +
2
dt
dt
R2 LC
L dt
b) En la gráfica anterior se muestra la evolución temporal de la intensidad i cuando la fuente de
entrada es un escalón unitario de tensión situado en 10 ms. Se han marcado dos puntos cuyas
coordenadas son P1 = (14.496 ms, 142.332 mA) y P2 = (20.46347ms, 62.896 mA). Suponiendo que
a los 30 ms ya se puede considerar que ha finalizado el transitorio (5 τ ), estimar la pulsación propia
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iC
amortiguada ( ω d ), el parámetro
αy
la pulsación propia no amortiguada ( ω n ). [Ec caract.:
s + 2 ⋅α ⋅ s + ω = 0 ]
2
c)
2
n
Sabiendo que el régimen permanente de la intensidad es 39.84 mA, que R1 = 0.1 Ω
y que
L = 10 ⋅ C obtener los valores de todos los parámetros del circuito (R1, R2, L y C) indicando las
unidades.
C
1.25 (Examen Febrero 2003) Para el circuito de la
figura, establecer la condición inicial sobre la derivada
de uC(t) en función de las condiciones iniciales en la
bobina y en el condensador.
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iL
uC
R2
I
E
R1
L
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SOLUCIONES
1.1
a)
b)
c)
d)
–16 A
1,28 J
2,5 ms
i(t) = −16e −400t A
e) e(t) = 1, 28 e −800t J
f) 98,17 %
1.2
a) i(t) = −16 + 16 e −239,23t A
b) i(t) = −16 + 18 e −239,2t A
1.3
a) v(t) = 4e −10t + 8e−25t V
b) 22,4 ms
1.4
a) 310,75 V
b) 114,32 V
0
para −1 ≤ t ≤ 0 ms


−100t
)V
para 0 ≤ t ≤ 15 ms
c) v(t) =  400 (1 − e
310, 75 e −200(t − 0,015) V para 15 ≤ t ≤ 20 ms

d) 124,54 y 338,54 V
1.5
t
v(t) = −
R
 −
R2
Vs +  2 Vs + Vc0  e R 2 C
R1
 R1

1.6
a) v(t) = −14 e −5000t + 26 e −20000t V
4
4
b) v(t) = 12 e −1.10 t − 27.104 t e−1.10 t V
c) v(t) = 12 e −8000t cos(6000t) − 41 e −8000t sen(6000t) V
d) v(t) = 12 e −2500t cos(9682, 4584t) − 18,5903 e −2500t sen(9682, 4584t) V
1.7
a) i R (t) = −0, 07 e −5000t + 0,13 e−20000t A
i L (t) = 0, 056 e −5000t − 0, 026 e−20000t A
i C (t) = 0, 014 e −5000t − 0,104 e −20000t A
1.8
i(t) = −0,1042 e −2800t sen(9600t) A
u R (t) = −58,33 e−2800t sen(9600t) V
u L (t) = −100 e −2800t cos(9600t) + 29,1667 e −2800t sen(9600t) V
u C (t) = 100 e −2800t cos(9600t) + 29,1667 e−2800t sen(9600t) V
1.9 Son los cálculos previos de la Práctica 4. La solución, en el laboratorio.
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1.10
a) i L (t) = 24 − 32 e −20000t + 8 e −80000t mA
u L (t) = 16 e−20000t − 16 e−80000t V
b) i L (t) = 24 − 960000 t e−40000t − 24 e −40000t mA
u L (t) = 960 000 t e −40000t V
c) i L (t) = 24 − 24 e −32000t cos(24000t) − 32 e −32000t sen(24000t) mA
u L (t) = 40 e −32000t sen(24000t) V
1.11
v o (t) =
t
t
−
−


Vs R1R 2
Vs R1R 2
R .C
R .C
+
 R 2 C2 e 2 2 − R1C1e 1 1 
RaRb
R a R b (R1C1 − R 2 C2 ) 

1.12
a)
d2u  1
1
+
+
dt 2  R1C1 R 2 C2
 du
u
=0
 +
dt
R
C
1 1R 2 C2

b) Respuesta sobreamortiguada o críticamente amortiguada.
c) u(t) = 1, 298 e −500t − 1, 298 e −2177,7 t V
d) umax = u(0,877.10–3) = 0,645 V
a)
d 2 i R di
i
1 dvg
+
+
=
2
L dt LC L dt
dt
1.13
b) i(t) =

1 


 Lω − Cω  
sen  ωt − arctg 

2
R


 
1




R 2 +  Lω −




Cω 

2 Vg
d) i(t) = 33,34 sen(6031,9 t + 0, 7851) − 23,57 e−300t cos(6317 t) − 23, 64 e −300t s en(6317 t) mA
1.14
a) vs (t) = 31, 25 e−30000t sen 4.104 t V
b) 78,54 µs
c) 8,947mA
d) 2500 Ω
1.15
d 2i L
1 di L i L
+
+
=0
dt 2 RC dt LC
d 2 x U dx K
+
+ x=0
b)
dt 2 M dt M
c) C, R y L son análogos a M, 1/U y 1/K, respectivamente.
2
1
1  di (t) 
d) e(t) = L i 2L (t) + C  L L 
2
2 
dt 
a)
e) e(t) =
1
1  dx(t) 
K x 2 (t) + M 

2
2  dt 
2
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1.16
a) LC
LC
b)
d 2 u C L du C
+
+ uC = E
dt 2
R1 dt
d 2 i L L di L
E
+
+ iL =
−I
dt 2 R1 dt
R1
du C
dt
t =0
di L
dt
t = 0+
U C0 
1
 I + I L0 −

C
R1 
1
= ( E − U C0 )
L
=
+
1
c) ωn =
LC
; z=
1
2R1
L
C
2
s1,2 = −
 1 
1
1
± 
 −
2R1C
2R
C
LC
 1 
 R + R 2  d2uC  L
 du
d) LC  1
+
+ R 2C  C + uC = E + R 2I

2
R
dt
R
1


 1
 dt
 R + R 2  d 2i L  L
 di
E
LC  1
+ R 2 C  L + iL =
−I
 2 +
R1
 R1  dt
 R1
 dt
du C
dt
di L
dt
=
U C0 
R1
1
−
 I + I L0

C
R1 + R 2 R1 + R 2 
=
R1R 2
R1 
1
− U C0
 E − I L0

L
R1 + R 2
R1 + R 2 
t = 0+
t = 0+
ωn =
s1,2 = −
R1
R1 + R 2
1
LC
z=
L + R1R 2 C
±
2LC ( R1 + R 2 )
e) u C (t) = 10,1 − 9,1 e
−55t
L + R1R 2 C
2 R1LC ( R1 + R 2 )
( L + R1R 2 C )
2
− 4R1LC ( R1 + R 2 )
2LC ( R1 + R 2 )
cos(83,516 t) − 4,915 e −55t sen(83,516 t) V
f) u C (t) = 1, 0505 sen(100πt − 2, 77) + 0,1 + 5, 7482 e−55t cos(83'516 t − 1,346) V
1.17
a) LC
d 2 u C L du C
+
+ uC = E
R dt
dt 2
1 L
2R
C
LC
c) Respuesta sobreamortiguada.
d) u C (t) = 40 − 97,114 e−106t + 37,114 e−1894t V
b) ωn =
1
; z=
e) u C (t) = 40 − 97, 2 e −106t + 38, 2 e −1894t + sen(105 t − 1,55) V
1.18
a) i L (0) = I L0
b) u C (0) = U C0
E − R1I L0 − U C0
i L′ (0) =
L

U 
1
u C′ (0) =  I + I L0 − C0 
C
R2 
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Departamento de Electrotecnia y Sistemas
Circuitos y Sistemas Dinámicos
3º IIND
1.19
L
R
LC d u C
g du C
+
+ uC = 0
a)
R dt 2
R
dt
1+
1+
Rg
Rg
RC +
2
b) Respuesta sobreamortiguada.
c) u C (t) = A1 e −1010t + A 2 e −109880t + 2 218, 016 sen(100πt) V
Régimen Permanente
Re spuesta Transitoria
d) u C (t) = −10,98 e
−1010t
− 9, 018 e
−109880t
+ 2 218, 016 sen(100πt) V
1.20
Vb
; IL2 = 0 A;
R
b) i1 (t) = 3 e −666.67 t [ cos(28860t) + 0, 0231 sen(28860t)] A
a) vC = 0 V; IL1 =
c) v C (t * ) = 262, 43 V t * = 55, 22 µs
1.21
a) i L (t) = e−2,5t
i L (1) = 0, 082 A
b) i L (t) = 3,306 e −0,5(t −1) − 3, 224 e−2(t −1)
u C (t) = 10 − 13, 224 e
c) i L (t) = 2, 485 e
−0,5(t − 3)
u C (t) = 10 − 9,94 e
−0,5(t −1)
+ 3, 224 e
− 2,356 e
−0,5(t − 3)
−2(t − 3)
+ 2,356 e
i L (2) = 1,569 A
−2(t −1)
u C (2) = 2, 416 V
A
−2(t − 3)
V
d) i L∞ = 0 A u C∞ = 10 V
1.22
dv (t)
d2i
di 2
d 2i
di
1
+ 2R + i = i
i = −5450 ⋅ sen(545 ⋅ t)
-> 4 2 + 200 +
2
dt C
dt
dt 1 ⋅10−6
dt
dt
b) El orden del circuito es claramente 2.
c) I0 = 0 A
a) 2(L + M)
Vco = 5 V
di
5
A
= = 1, 25
dt t = 0 L
s
d) No, no es posible conocer la tensión inicial de los condensadores de forma individual.
e) i(t) = 0, 0251 ⋅ cos(545 ⋅ t − 59,91ρ) − 0, 0126 ⋅ e−25t cos(500t) − 0, 0218 ⋅ e−25t sen(500t) A ; t ≥ 0+
f) La respuesta es subamortiguada.
1.23
d2uC
du
d 2iL
di L
+
RC
+
i
=
0
y
LC
+ RC C + u C = 9 . Para t > t0, se cambia el "9" por "–9".
L
2
2
dt
dt
dt
dt
−500t
−2000t
b) u C (t) = 9 − 17 e
+5e
V ; i L (t) = 85 e −500t − 100 e −2000t mA para t < t 0
a) LC
c) u AB (t) = u C (t) ; i C (t) = i L (t) para t < t 0
d) u C (t) = −9 + 24 e10 − 500t − 6 e40 − 2000t V ; u AB (t) = − u C (t) para t > t 0 = 20 ms
e) i L (t) = 120 e10 −500t − 120 e 40 − 2000t mA ; i C (t) = −i L (t) para t > t 0 = 20 ms
f) u C (t) = −9 + 20,17 e 2 − 500t − 4, 47 e8− 2000t V ; u AB (t) = − u C (t) para t > t 0 = 4 ms
i L (t) = 100,8 e 2 − 500t − 89, 4 e8 − 2000t mA ; i C (t) = −i L (t) para t > t 0 = 4 ms
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1.24
2
a) d i (t ) +
dt 2
 R1 R2C + L  di (t )  R1 + R2 
1
1 de(t )
+
⋅e +


 i (t ) =
R
CL
dt
R
CL
R
LC
L
dt
2
2


 2

b) ωd = 3158,72 rad/s; α = 250 s-1; ωn = 3168,56 rad/s
c) R2 = 25 Ω ; C = 100 µF; L = 1 mH.
1.25
a) u ' (0) =
C
R1
( R1 + R 2 ) C
i L (0) −
1
( R1 + R 2 ) C
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u C (0) +
1
( R1 + R 2 ) C
E−
R1
( R1 + R 2 ) C
I
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