20/11/2012 OPTIMIZACION DE REDES Optimización de Redes Componentes Nodos Rutas Flujos Aeropuertos Líneas Aereas Aviones Bodegas Rutas Mercancias Puntos de comunicacion Canales ó cables Mensajes Estaciones de bombeo Tuberías Fluidos Centros de Trabajo Rutas de manejo de materiales Trabajos 1 20/11/2012 Ejemplo: Observe el sistema de caminos de Seervada Park, donde por facilidad se omiten las curvas. El punto O es la entrada al parque y T es un gran mirador destino de los visitantes. Las otras letras representan la localización de las casetas de los guardabosques y otras instalaciones. Los números son las distancias en millas de estos caminos sinuosos. Unos cuantos tranvías movilizan los visitantes desde la entrada hasta la estacion T y de regreso. 7 A 2 2 B 1 4 C D 4 5 O 1 3 4 7 E Problemas de Seervada Park 2 B 1 C 4 T 5 D 4 5 O 4 Problema 1: 7 A 2 El administrador del parque se enfrenta a tres problemas: T 5 3 1 7 E Ruta mas Corta Requiere determinar qué ruta, desde la entrada del parque hasta el mirador T, es la que tiene la distancia total mas corta para la operación de los tranvías Problema 2: Arbol de Expansión Mínima Deben instalarse líneas telefónicas subterráneas para establecer comunicación entre las estaciones, incluyendo la entrada. Como la instalación es cara y perturba la ecología, se instalarán líneas que sigan sólo los caminos necesarios para establecer comunicación entre cualquier par de estaciones. La pregunta es dónde deben tenderse las líneas para lograr esto con el mínimo numero total de millas de cable instalado. Problema 3: Redes con Flujo Máximo Para evitar congestiones se ha establecido un racionamiento estricto de viajes/dia que deben hacer los tranvías en cada camino. La pregunta es cómo planear las rutas para los distintos viajes, de manera que se maximice el numero total de viajes/dia, sin violar los limites impuestos sobre cada camino. 2 20/11/2012 Optimización de Redes Terminología Flujo AB Red con Arcos Dirigidos Flujo BA Flujo Real = Red con Arcos No Dirigidos Ruta ó Trayectoria ∆ de los Flujos Una Trayectoria entre dos nodos, es una sucesión de Arcos Dirigidos y/o No Dirigidos distintos que conectan dichos nodos. EJM: O-A-B-D-T de Seervada Park Optimización de Redes Terminología Trayectoria que comienza y finaliza en el mismo nodo Ciclo Trayectoria Dirigida A D Trayectoria NoDirigida Por ejemplo: BC – CE – ED Por ejemplo: AB – BC – CA – AD C Ciclo Dirigido B Por ejemplo: DE - ED E Ciclo No-Dirigido Por ejemplo: AB – BC – CA 3 20/11/2012 Optimización de Redes Terminología Arbol de Expansión Red de “n” nodos conectados que no admite ciclos, teniendo por tanto (n-1) arcos. A D A C B D C E B E Flujo Característico Tipos de NODOS Capacidad de los ARCOS Origen Saliente > Entrante Destino Entrante > Saliente Transbordo Saliente = Entrante Cap. Max. De Flujo que circula en un arco dirigido El Problema de la Ruta mas Corta Algoritmo de Disjkstra Permite determinar la ruta mas corta entre el nodo origen y cualquier otro nodo de la red. Permite determinar la ruta mas corta entre cualquier par de nodos de la red (mas general) Algoritmo de Floyd Algoritmo de Disjktra i dij j [dj, i] Nodo permanente previo Distancia mas corta “hasta j” desde el origen Nodos Temporales y Nodos Permanentes dj = di + dij 4 20/11/2012 El Problema de la Ruta mas Corta El Problema de la Ruta mas Corta 5 20/11/2012 El Problema de la Ruta mas Corta El Problema de la Ruta mas Corta 6 20/11/2012 El Problema de la Ruta mas Corta El Problema de la Ruta mas Corta 7 20/11/2012 8 20/11/2012 El Problema de la Ruta mas Corta A 2 7 2 5 O 4 B 1 4 T 5 D 1 3 C 7 E 4 Nodo Permanente Nodo Temporal a conectar Etiqueta Nodo Temporal Anterior Etiqueta Etiqueta Final Nuevo nodo Permanente O [0; -] A B C [2; O] [5; O] [4; O] - [2; O] [5; O] [4; O] A [2; O] A [2; O] B D [4; A] [9; A] [5; O] - [4; A] [9; A] B [4; A] B [4; A] D E C [8; B] [7; B] [5; B] [9; A] [4; O] [8; B] [7; B] [4; O] E [7; B] D T [8; E] [14; E] [8; B] - [8; E] y [8; B] [14; E] T [13; D] [14; E] [13; D] E [7; B] D [8; E] y [8; B] D [8; E] y [8; B] T [13; D] 9 20/11/2012 Variantes del Problema de la Ruta mas Corta En general, el problema de la ruta mas corta busca encontrar la ruta entre dos nodos especificos que minimice los valores de los arcos sobre esta ruta. Los arcos pueden corresponder entonces a costos asociados a ciertas actividades, y podría resolverse el problema de determinar la secuencia de actividades que minimice el costo total. Así mismo, los arcos pueden representar tiempos de ejecucion de actividades, y se resolvería la secuencia de actividades que proporciona el minimo tiempo total de ejecución. El Problema del Arbol de Expansión Mínima Las aplicaciones del Arbol de Expansión Mínima están asociadas al Diseño de Redes, como por ejemplo: Diseño de Redes de Telecomunicaciones (fibra óptica, telefónicas) Diseño de Redes de transporte para minimizar costo total de suministro de material de construcción (vías ferroviarias, carreteras). Diseño de Redes de tuberías para conectar varias localidades. Diseño de Red de cables en sistemas de computación para minimizar la longitud total del cable. Diseño de Red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alta tensión. 10 20/11/2012 El Problema del Arbol de Expansión Mínima Algoritmo de Prim Se elige nodo inicial arbitrario Se elige el nodo no conectado más cercano a un nodo o conjunto de nodos ya conectados. Se conecta este nodo. Se repite hasta que todos los nodos están interconectados /en caso de empate se resuelve arbitrariamente). Se aplicará este algoritmo para resolver el Problema 2 de Seervada Park. A 2 7 2 5 O 4 B 1 3 1 4 T 5 D C 7 E 4 A 7 2 Nodo Inicial escogido O 2 5 O D 4 B 1 3 1 4 T 5 C 7 E 4 A 2 A 2 5 O 4 B O C A 2 2 O 5 2 7 2 D B A O B 4 C 11 20/11/2012 A 7 2 D 4 5 O B 1 3 1 4 T 5 2 C 7 E 4 7 A 2 2 O 2 O B 1 A 2 D 4 C C E 7 A 2 D 4 B 1 2 O 3 B 1 4 C A 2 2 O B 1 3 4 3 C E A 7 2 2 5 O T 5 D 4 B 1 3 1 4 E C 7 E 4 7 A 2 2 O D 4 B 1 3 T 1 7 A 2 C E D 2 O 1 B 3 C 5 A 2 D 2 O 1 C B 3 1 1 E T Solución óptima = 14 millas de cable instalado E 12 20/11/2012 El Problema del Flujo Máximo Las aplicaciones del Problema del Flujo Máximo son por ejemplo las siguientes : Maximizar el flujo de mercancías a través de una red de distribución de fábricas a clientes. Maximizar el flujo a través de una red de suministros de proveedores a fábricas. Maximizar el flujo de petróleo por un sistema de tuberías. Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte. Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de acueductos. El Problema del Flujo Máximo Problema de Flujo Máximo de Seervada Park Para evitar congestiones se ha establecido un racionamiento estricto de viajes/dia que deben hacer los tranvías en cada camino. La pregunta es cómo planear las rutas para los distintos viajes, de manera que se maximice el numero total de viajes/dia, sin violar los limites impuestos sobre cada camino. Para resolver este problema considere la siguiente RED RESIDUAL, donde los arcos (caminos) están etiquetados con una información inicial de flujos: La interpretación de [3;0] A [5;0] [1;0] O [7;0] [4;0] [4;0] B [5;0] [9;0] [1;0] E [4;0] Los números en los Corchetes es la siguiente D [2;0] C T [6;0] Capacidad de flujo Disponible o Residual Capacidad de flujo Utilizada [4;0] 13 20/11/2012 El Problema del Flujo Máximo Algoritmo de Flujo Máximo 1. Se identifica CUALQUIER trayectoria desde el Origen hasta el Destino en la Red Residual, de tal manera que exista posibilidad de flujo en esa trayectoria (capacidades residuales mayores que cero en todos los arcos ó CR>0) 2. Se identifica en esa trayectoria la menor CR de los arcos, y se envía esa cantidad de flujo desde el Origen al Destino. 3. Se actualiza la red residual, considerando el flujo previamente enviado. 4. Se repite del paso 1 al 3 hasta que no existan trayectorias con CR>0. [3;0] A [5;0] [1;0] Red Residual Inicial O [7;0] [4;0] Iteración 0 [4;0] B [9;0] T D [1;0] [5;0] [6;0] [2;0] C E [4;0] Se escoge la Trayectoria O – B – E – T, con CR = min {7, 5, 6} = 5 Iteración 1 5 [3;0] A [5;0] 5 [1;0] O [2;5] [4;0] [4;0] B [0;5] [9;0] T D [1;0] [1;5] [2;0] C E [4;0] 14 20/11/2012 5 [3;0] A [5;0] 5 [1;0] O [2;5] [4;0] D [4;0] B T [9;0] [1;0] [0;5] [1;5] [2;0] C E [4;0] Se escoge la Trayectoria O – A – D – T, con CR = min {5, 3, 9} = 3 Iteración 2 8 [0;3] A [2;3] 8 [1;0] O [2;5] [4;0] [4;0] B [6;3] T D [1;0] [0;5] [1;5] [2;0] C E [4;0] 8 [0;3] A [2;3] 8 [1;0] O [2;5] [4;0] [4;0] B [6;3] T D [1;0] [0;5] [1;5] [2;0] C E [4;0] Se escoge la Trayectoria O – A – B – D – T, con CR = min {2, 1, 4, 6} = 1 Iteración 3 9 [0;3] A [1;4] 9 [0;1] O [2;5] [4;0] [3;1] B [0;5] [5;4] T D [1;0] [1;5] [2;0] C E [4;0] 15 20/11/2012 9 [0;3] A [1;4] 9 [0;1] O [3;1] B [2;5] [4;0] T [5;4] D [0;5] [1;0] [1;5] [2;0] C E [4;0] Se escoge la Trayectoria O – B – D – T, con CR = min {2, 3, 5} = 2 Iteración 4 11 [0;3] A [1;4] 11 [0;1] O [1;3] B [0;7] [4;0] T [3;6] D [1;0] [0;5] [1;5] [2;0] C E [4;0] 11 [0;3] A [1;4] 11 [0;1] O [1;3] B [0;7] [4;0] T [3;6] [0;5] D [1;0] [1;5] [2;0] C E [4;0] Se escoge la Trayectoria O – C – E – D – T, con CR = min {4, 4, 1, 3} = 1 Iteración 5 12 [0;3] A [1;4] 12 [0;1] O [0;7] [3;1] [1;3] B [0;5] [2;7] T D [0;1] [1;5] [2;0] C E [3;1] 16 20/11/2012 12 [0;3] A [1;4] [0;1] 12 O [1;3] B [0;7] [3;1] T [2;7] D [0;1] [0;5] [1;5] [2;0] C E [3;1] Se escoge la Trayectoria O – C – E – T, con CR = min {3, 3, 1} = 1 Iteración 6 13 [0;3] A [1;4] 13 [0;1] O [1;3] B [0;7] [2;2] T [2;7] D [0;1] [0;5] [0;6] [2;0] C E [2;2] 13 [0;3] A [1;4] 13 [0;1] O [0;7] [2;2] D [1;3] B T [2;7] [0;1] [0;5] [0;6] [2;0] C E [2;2] Se escoge la Trayectoria O – C – B – D – T, con CR = min {2, 2, 1, 2} = 1 Iteración 7 14 [0;3] A [1;4] 14 [0;1] O [0;7] [1;3] [0;4] B [0;5] [1;8] D [0;1] [0;6] T Solución Optima = 14 viajes/día [1;1] C E [2;2] 17 20/11/2012 13 [0;3] A [1;4] 13 [0;1] O [1;3] B [0;7] [2;2] T [2;7] D [0;1] [0;5] [0;6] [2;0] C E [2;2] Se escoge la Trayectoria O – C – E – B – D – T, con CR = min {2, 2, [0, 1], 2} = 1 Iteración 7 14 [0;3] A [1;4] 14 [0;1] O [0;7] [1;3] [0;4] B [1;4] [1;8] D [0;1] [0;6] T Solución Optima = 14 viajes/día [2;0] C E [1;3] Problema del Flujo de Costo Mínimo 18 20/11/2012 Problema del Flujo de Costo Mínimo Formulación del Modelo Variables Xij Flujo desde el Nodo i al Nodo j Cij Costo de envío por unidad desde el Nodo i al Nodo j uij Capacidad de Flujo del arco ij bi Flujo Neto generado en el Nodo i Min Z = n n ∑ ∑ C ij X ij i =1 j =1 Sujeta a: n n ∑ X −∑ X ji 0 ≤ X ij ≤ uij ∀ arco ij j =1 ij j =1 = bi , ∀i Condicion necesaria para soluciones factibles: n ∑b i =1 i =0 A excepción de los arcos AB y CE, todos los arcos tienen capacidades que exceden el flujo total generado de 90 19 20/11/2012 Bibliografía 1. Vidal, Carlos Julio, Planeación, Optimización y Administración De Cadenas De Abastecimiento, Abastecimiento, 1ª Edición, Programa editorial Universidad del Valle, 2009.. 2009 2. Bravo, Juan José. José. Notas de Clase: Clase: Optimización de redes. redes. 3. Hillier Hillier,, Frederick S. y Gerald J. Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, Operaciones, 7ª Edición, McGraw--Hill, 2002. McGraw 2002. 20