¿Qué proporción del área terrestre de Puerto Rico está urbanizada?

¿Qué proporción
del área terrestre
de Puerto Rico está
urbanizada?
¿Qué proporción del área terrestre de Puerto Rico está urbanizada?
Análisis de Datos y Probabilidad
Grado 9-12
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Introducción
En planificación el área urbanizada corresponde a la superficie de un terreno
donde se han construido residencias familiares, carreteras, parques,
edificios industriales o cualquier otra obra hecha por el hombre. Para la
Junta de Planificación de Puerto Rico es importante conocer la proporción o
el porciento de área urbanizada en la isla para desarrollar los planes de uso
de terrenos. Además, el área urbanizada se debe controlar para no destruir
los recursos naturales de la isla. En este proyecto vamos a suponer que la
Junta de Planificación de Puerto Rico desea saber la proporción del área de
la superficie de la isla que está urbanizada. Para tal efecto, vamos a utilizar
la herramienta Google Maps, conceptos de probabilidad y simulación para
encontrar una solución a esta pregunta.
Materiales

Una computadora con acceso a
internet y con Excel.

Plantilla de la actividad.

Una calculadora (opcional).
Duración estimada

2 horas
Objetivos de Aprendizaje
Durante la actividad el estudiante:
 C-conducirá una simulación y resumirá los datos en gráficas
apropiadas.
 P-evaluará resultados de estudios reportados en medios
informativos.
 A-reconocerá que los resultados de una simulación difieren de una
simulación a otra y que convergen a medida que aumenta el número
de intentos.
Estándares y Expectativas (PR Common Core)
Estándar de Contenido: Análisis de Datos y Probabilidades
9.E.16.1 Describe una simulación al identificar los componentes y supuestos
en un problema; selecciona un instrumento para generar los resultados,
define intento y especifica el número de intentos; y conduce una simulación.
(+) 9.E.16.2 Resume datos de una simulación al usar los resúmenes
numéricos y las gráficas apropiadas; desarrolla un estimado para la
probabilidad de un evento asociado a una situación probabilística de la vida
diaria y discute el efecto de un número de intentos en la probabilidad
estimada de un evento.
(+) 9.E.16.2 Reconoce que los resultados de una simulación difieren de una
simulación a otra; observa que los resultados de una simulación tienden a
converger a medida que aumenta el número de intentos.
¿Qué proporción del área terrestre de Puerto Rico está urbanizada?
Repositorio Virtual para la
Enseñanza de Estadística y
Probabilidad en Escuela
Superior (RepASA)
Este material se distribuye gratuitamente
para uso en los salones de clase. Su venta
está prohibida. Su desarrollo fue posible
gracias al apoyo de la American Statistical
Association (ASA), Capítulo de Puerto Rico
de la ASA y el proyecto AFAMaCMatemáticas de la Universidad de Puerto
Rico – Mayagüez.
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ES.E.41.4 Evalúa posibles factores involucrados en un problema dado y qué
información ellos proveen relacionada con la pregunta de interés. Formula
preguntas específicas e identifica medidas cuantitativas que pueden ser
utilizadas para proveer respuestas a la pregunta de interés.
ES.E.41.7 Comunica, tanto oral como escrito, los propósitos, los métodos y
los resultados de un estudio estadístico al utilizar lenguaje no-técnico.
ES.E.41.8 Evalúa resultados de estudios reportados en medios informativos.
Disponible en la página web: http://pegasus.uprm.edu/~pedro.torres/RepASA
¿Qué proporción del área terrestre de Puerto Rico está urbanizada?
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Actividad
Vamos a hacer uso de la simulación para estimar el porciento de área
urbanizada en Puerto Rico. Simular consiste en imitar un proceso o sistema
de la vida real. En este caso vamos a asumir que un conjunto de puntos de
la isla han sido identificados como muestra y a determinar si estos puntos
pertenecen a un área urbanizada mediante Google Maps. Es decir, vamos a
simular el proceso de seleccionar y verificar si un punto o localización en la
isla está urbanizado. Usando esta información para varias repeticiones,
vamos a estimar el porciento de área urbanizada en Puerto Rico. Esta
actividad la puede trabajar en grupos de dos a tres estudiantes.
Discusión
1. Visite la página de Google Maps: https://www.google.com/maps/ .
Busque el mapa de Puerto Rico introduciendo “Puerto Rico” en la
ventana de búsqueda (en la mayoría de los casos el mapa sale
automáticamente ya que Google Maps reconoce la ubicación).
2. La latitud y longitud de un punto en Google Maps se pueden encontrar
haciendo clic derecho sobre el mapa y seleccionando la opción ¿Qué hay
aquí? (en inglés What’s here?). Google Maps mostrará la latitud y
longitud de dicho punto (en esta parte el maestro puede tomar tiempo
para explicar lo que es la latitud y longitud y cómo se representan en el
globo terrestre). En la Figura 1 se puede observar el punto (18.566225,
-67.272780). Usted puede ingresar las coordenadas separadas con coma
en la casilla de búsqueda de Google Maps, y este le indicará el punto en
el mapa.
Simular consiste en imitar un proceso o
sistema de la vida real usando
manipulativos (e.g., dados) o una
computadora.
Latitud y Longitud
Recuerde que en el globo terrestre la
latitud corresponde a la coordenada de los
paralelos con respecto a línea del Ecuador
(sur a norte). La longitud corresponde a la
coordenada de los meridianos tomando
como base el meridiano 0 (este a oeste),
tal como se muestra en la Figura 7. Por
ejemplo, el centro de Puerto Rico se
encuentra aproximadamente en el punto:
(latitud, longitud) = (18.237853, 66.506483).
A manera de ejercicio, ubique el punto (18.214457, -67.131759) en el
mapa y diga qué hay en esta localización.
Figura 7. Latitud y Longitud.
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Generación de un número aleatorio entre
ayb
Figura 1. Coordenadas de un punto en Google Maps.
Supongamos que el programa genera un
número aleatorio entre 0 y 1, pero usted
necesita un número aleatorio entre a y b.
Sea 𝑥 el número aleatorio entre 0 y 1 (se
asume que la distribución de los números
en ese intervalo es uniforme). Entonces si
calculamos 𝑦 = 𝑎 + 𝑥 ∙ (𝑏 − 𝑎) obtenemos
un número aleatorio entre a y b. Note que
si 𝑥 = 0 el número aleatorio obtenido es 𝑎,
pero si 𝑥 = 1 el número aleatorio obtenido
es 𝑏. Esta transformación nos permite
generar números aleatorios en cualquier
intervalo siempre y cuando podamos
generar un número aleatorio entre 0 y 1.
La idea básica para usar simulación en este problema es aprovechar la forma
de la isla (cercana a un rectángulo) para generar pares de números aleatorios
distribuidos uniformemente sobre un rectángulo. Primero, se identificaron
las coordenadas de los cuatro puntos de los vértices del rectángulo, tal como
se indica en la Figura 2. Después, se determinaron los límites inferiores y
superiores para la latitud y longitud, tal como se muestra en la Tabla 1. Es
decir, Puerto Rico se encuentra, aproximadamente, dentro de esas latitudes
y longitudes. Estos son los límites que usaremos para generar puntos
aleatorios en el rectángulo.
Longitud
Números
aleatorios
entre 0 y 1 generados
por la función RAND()
de Excel. Si usted
genera números aleatorios en Excel, estos
cambian cada vez que hace un cálculo en
cualquier celda de la hoja de cálculo.
Latitud
Figura 2. Cuasi-rectángulo para cubrir la isla.
Tabla 1. Límites para generar los números aleatorios de una
distribución uniforme para la latitud y longitud, respectivamente.
Latitud
Longitud
¿Qué proporción del área terrestre de Puerto Rico está urbanizada?
Intervalo
(17.931563, 18.531563)
(-67.270204, -65.638735)
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3. Use Excel para generar un punto aleatorio (latitud, longitud) de una
distribución uniforme sobre los intervalos de la Tabla 1. Por ejemplo,
para la latitud genere un número aleatorio del intervalo (17.931563,
18.531563) usando Excel. Ingrese el límite inferior y superior del
intervalo en las columnas B y C, como se muestra en la Figura 3. En la
columna D calcule la cantidad b-a. Ahora, en la celda B3 ingrese la
fórmula =$B$2+RAND()*$D$2 y oprima Enter. Esta fórmula le generará
un número aleatorio para la latitud en el intervalo deseado. La función
RAND() genera un número entre 0 y 1.
Figura 3. Fórmula para generar un número aleatorio
entre dos números a y b.
Copie la fórmula anterior hacia abajo tantas celdas como números
quiera generar. En la Figura 4 se muestran 10 números aleatorios para
la latitud.
Figura 4. Números aleatorios para la latitud.
Repita el mismo procedimiento para la longitud. Cambie los límites en
las celdas B2 y C2 para generar automáticamente los números
aleatorios para la longitud. Escriba la pareja de números que obtiene
(latitud, longitud) en la tabla proporcionada para esta actividad (ver
Tabla 4 en la última página). Estos dos números corresponden,
aproximadamente, a un punto seleccionado aleatoriamente sobre la
superficie de Puerto Rico.
La explicación de cómo generar números aleatorios para las latitudes y
longitudes usando una calculadora se presenta al final de documento.
¿Qué proporción del área terrestre de Puerto Rico está urbanizada?
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4. Ahora, vamos a ubicar los puntos generados aleatoriamente (latitud,
longitud) sobre el mapa de PR y vamos a determinar si el punto se
localiza en un área urbanizada.
Copie el par de números generados aleatoriamente a Google Maps, tal
como se muestra en la Figura 5. Para que el mapa de la isla muestre las
zonas verdes con relieve oprima el botón “Tierra” en la parte inferior
izquierda. Una vez el punto sea localizado en el mapa, vamos a
determinar si el punto cae o no en área urbanizada (use los controles de
la parte inferior derecha para acercar o alejar el mapa). Recuerde que
área urbanizada puede ser viviendas, carreteras, parques, entre otros.
Registre la información en la Tabla 4 de esta actividad. Si el punto
seleccionado es difícil de clasificar como urbanizado o no, genere otro
punto. Proceda de igual manera si el punto se localiza en el mar u otro
cuerpo de agua.
“Una respuesta aproximada a
un problema es más valiosa que
una respuesta exacta a un
problema aproximado”. (John
Tukey)
Figura 5. Ubicación de los puntos aleatorios en Google Maps.
5. Repita 30 veces los pasos 3 y 4 para generar 30 puntos sobre el mapa de
PR. Registre la información en la Tabla 4 de la actividad.
La Tabla 4 contiene las coordenadas de 30 puntos generados
aleatoriamente usando Excel. Estos puntos fueron generados usando el
procedimiento explicado en la parte 3. Para cada punto aleatorio se
determina si el punto cae o no en área urbanizada. Pregunte a sus
estudiantes por qué es necesario generar los puntos aleatorios en lugar
de escogerlos arbitrariamente. Es decir, ¿qué podría pasar si, en lugar
de generar los 30 puntos aleatoriamente, decidimos escoger los 30
puntos siguiendo otro criterio tal como cercanía al área metro?
6. Usando la información de los 30 puntos de la Tabla 4, estime el porciento
de la superficie que corresponde al área urbanizada.
Para estimar el porciento de la superficie que corresponde al área
urbanizada, la cantidad de puntos en área urbanizada se divide por el
total de puntos. Luego, esta proporción se multiplica por 100. En este
6
caso, este porciento es 30 × 100 = 20%. Es decir, se estima que el 20%
del área de PR está urbanizada.
¿Qué proporción del área terrestre de Puerto Rico está urbanizada?
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7. Finalmente, recopile la información de los 30 puntos de otros cuatro
grupos en el salón de clase. Escriba la información en la Tabla 3. ¿Cuál
es el porciento estimado de área urbanizada usando toda la información
de los cinco grupos en la tabla anterior?
La Tabla 2 contiene los resultados de cinco grupos, incluyendo mi grupo
de trabajo. En total hay 150 puntos generados aleatoriamente.
Tabla 2. Resultados de cinco grupos (incluyendo mi grupo).
Grupo
# de puntos
Mi grupo
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
Total
30
30
30
30
30
150
# de puntos en área
urbanizada
6
4
5
4
3
22
Para estimar el porciento de la superficie que corresponde al área
urbanizada usando toda la información de los cinco grupos, la cantidad
de puntos en área urbanizada se divide por el total de puntos. Luego,
esta proporción se multiplica por 100. En este caso, este porciento es
22
× 100 = 14.67% . Usando la información de cinco grupos,
150
estimamos que el 14.67% del área de PR está urbanizada.
8. Compare las estimaciones de la parte 6) y 7) con los datos que publicó
el periódico El Nuevo Día. El periódico El Nuevo Día publicó un mapa que
demuestra que el 16% del terreno en Puerto Rico está urbanizado.
Figura 6. Porciento del área urbanizada en PR según el periódico El Nuevo Día.
(Fuente: http://www.elnuevodia.com/ciencia/ciencia/fotogalerias/puertoricoenmapasgaleria-2000250/#3).
Ley Débil de los Números Grandes:
Esta ley nos dice que la probabilidad
empírica o experimental de un evento
A se aproxima a la probabilidad teórica
del evento cuando el número de
repeticiones del experimento
incrementa considerablemente.
“Uso de terreno urbano y rural. El mapa demuestra que el 16% del terreno en Puerto Rico está
urbanizado…” (tomado textualmente de la página web de El Nuevo Día).
¿Qué proporción del área terrestre de Puerto Rico está urbanizada?
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La estimación de la parte 6) es igual a 20% y la estimación de la parte 7)
es igual a 14.67%, ambas cantidades no están muy lejanas del verdadero
valor 16% publicado por el periódico El Nuevo Día. Note que el resultado
con 150 puntos está más cercano al valor reportado por El Nuevo Día.
Esto no necesariamente tiene que suceder en la práctica, pero es lo que
se esperaría. La probabilidad de que la estimación con 150 puntos esté
más cerca al 16% es mayor que la de la estimación con 30 puntos. Este
resultado está relacionado con la Ley Débil de los Números Grandes.
9. ¿Qué conclusiones podemos sacar en términos del tamaño de muestra
y las estimaciones del porciento de área urbanizada?
A medida que el tamaño de muestra aumenta, las estimaciones sobre el
porciento de la superficie que corresponde al área urbanizada tienden
al verdadero porciento del área urbanizada, según el periódico El Nuevo
Día.
¿Qué proporción del área terrestre de Puerto Rico está urbanizada?
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Adaptaciones e Ideas Adicionales
Si los estudiantes se demoran mucho llenando la Tabla 4 puede decirles que
no anoten las latitudes y longitudes generadas aleatoriamente en la
columna de Coordenadas (Latitud, Longitud). Simplemente generen las
latitudes y longitudes aleatoriamente y verifiquen si está urbanizada o no,
sin registrar las coordenadas en la tabla.
Generación de números aleatorios en calculadora
Supongamos que queremos generar un número aleatorio para la latitud. Se
necesita una calculadora que genere números aleatorios entre 0 y 1. Por
ejemplo, usando una calculadora Casio fx-115 ES, eso se logra con las teclas
Shift+Rand#. Supongamos que el número generado fue 0.938 (note que
tiene tres cifras decimales). En este caso, podemos usar los límites de la
latitud redondeados a tres cifras decimales: (17.932, 18.532). Usando la
calculadora calculamos 17.932 + 𝟎. 𝟗𝟑𝟖 ∗ (18.532 − 17.932). El resultado
es 18.4948. Esta sería la latitud para el primer punto. Haga lo mismo para la
longitud pero con sus respectivos límites. Repita los mismos pasos para
generar las coordenadas de los demás puntos que desee. Note que este
procedimiento es el mismo que usamos en Excel.
Tabla 3. Coordenadas para generar los números
aleatorios de una distribución uniforme.
Latitud
Longitud
¿Qué proporción del área terrestre de Puerto Rico está urbanizada?
Intervalo
(17.931563, 18.531563)
(-67.270204, -65.638735)
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Tabla 4. Plantilla para escribir los números aleatorios para las coordenadas.
Punto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Coordenadas (Latitud, Longitud) ¿Urbanizada (Si/No)?
(18.02374, -67.04155)
No
(18.19880, -66.68294)
No
(18.14355, -66.95017)
No
(18.34617, -65.80396)
No
(18.44181, -66.52855)
No
(18.19189, -66.45238)
No
(18.04465, -66.31117)
No
(18.21949, -66.19430)
No
(18.01593, -66.29347)
Sí
(18.35665, -66.41942)
No
(18.33699, -66.14138)
No
(18.22491, -67.12166)
No
(18.26883, -66.06891)
No
(18.25068, -66.87758)
No
(18.01203, -66.22878)
Sí
(18.21551, -66.19079)
No
(18.00937, -66.27712)
No
(18.37471, -66.63408)
No
(18.04229, -66.88683)
Sí
(18.50900, -67.04686)
No
(18.47663, -66.52622)
No
(18.19350, -66.34514)
Sí
(18.42926, -66.08010)
No
(18.06097, -66.83993)
No
(18.26022, -66.22359)
No
(18.45383, -66.56830)
Sí
(18.23912, -66.40511)
No
(18.00467, -66.81776)
No
(18.22214, -66.83263)
No
(18.39922, -66.20322)
Sí
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