Soluciones

Seminario de problemas. Curso 2012-13. Hoja 1
1. ABCD es un cuadrado de lado 4 cm, AE = DE y el área del pentágono ABCDE es 22
cm2 . ¿Cuál es el área del triángulo ABE?
Solución. Como AE = DE, el punto E se encuentra en la mediatriz del segmento AD,
que es paralela al lado AB y a distancia 2 cm de ese lado. Por lo tanto el área del triángulo
ABE, tomando AB como base, es 4 × 2/2 = 4 cm2 .
√
2. Sean a, b, c y d números reales positivos tales que ab = c y cd = 5. ¿Cuál es el valor de
a6bd ?
Solución.
√
a6bd = (ab )6d = ( c)6d = c3d = (cd )3 = 53 = 125.
3. El ∆ABC, equilátero de lados enteros, contiene al ∆BXC, isósceles de lados BX =
CX = 4. ¿Cuántas posibilidades hay?
Solución. Si llamamos l al lado del triángulo ∆ABC y h a la distancia de X al lado BC,
se tiene que
42 = h2 + (l/2)2 ⇒ 64 = 4h2 + l2 ,
donde h es un número real estrictamente positivo (si no tenemos en cuenta triángulos
degenerados).
De este modo, las posibilidades para l son l ∈ {4, 5, 6, 7} (7 posibilidades).
4. Dado un triángulo cualquiera, demuestra que es posible recubrir el plano con infinitos
triángulos iguales al dado, de forma que estos triángulos no se solapen.
Solución. Notar que por un giro de 180◦ en torno al punto medio de uno de sus lados
(figura) se forma un paralelogramo, y cualquier paralelogramo tesela (recubre el plano sin
solapamientos) mediante las traslaciones mu + nv donde u y v son los vectores de los
lados del paralelogramo y m, n ∈ Z.
5. Sea M un punto cualquiera del lado BC del cuadrado ABCD. La bisectriz del ángulo
M AD corta al lado CD en el punto K. Demostrar que BM + DK = AM .
Solución. Demostración sin palabras.
6. Hallar el menor número de tres cifras cuyo resto al dividirlo por 2, 3 y 5 es 1.
Solución. Si al número buscado le restamos una unidad, el resultado es múltiplo de 2, 3
y 5. De este modo, mcm(2, 3, 5) = 30, y el primer múltiplo de 30 de 3 cifras es el número
120. Por tanto, el resultado es 121.
7. De entre los 1000 primeros números enteros positivos, ¿cuántos son múltiplos de 13?
¿Cuántos son primos con 13?
Solución. En primer lugar, 1000 = 13·76+12. Esto quiere decir que hay 76 múltiplos de 13
entre los 1000 primeros enteros positivos. Por otro lado, al ser 13 un número primo, será
primo con todos los números que no sean múltiplos suyos. Por tanto, hay 1000 − 76 = 924
números primos con 13 entre los 1000 primeros enteros positivos.
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8. Encontrar todos los números naturales de tres cifras con la suma de sus cifras igual a 5
en cada uno de los casos:
a) No contienen ningún 0.
b) Pueden contener algún 0.
En cada caso, encontrar el menor de dichos números.
Solución.
Apartado a). Los números pedidos han de contener las cifras 1, 1 y 3 o 2, 2 y 1. Dadas
tres cifras a, a y b no nulas, se pueden formar 3 números diferentes de tres cifras con ellas.
De este modo, hay 6 números naturales de tres cifras con la suma de sus cifras igual a 5
y ninguna de ellas es 0. El menor de dichos números es el 113.
Apartado b). Las posibilidades de formar tales números incluyen las del apartado a), y
los números que se pueden formar con las cifras 0, 1, 4 o 0, 2, 3 o 0, 0, 5. Con este último
caso solo se puede formar un número. Con tres cifras 0, a, b se pueden formar 4 números
de tres cifras. En total, hay 6 + 4 + 4 + 1 = 15 números naturales de tres cifras con la
suma de sus cifras igual a 5, pudiendo contener algún 0. El menor de dichos números es
el 104.
9. Encontrar el mayor número natural que no tiene dos cifras iguales y el producto de sus
cifras es igual a 72.
Solución. 72 = 1 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 1 · 2 · 4 · 9. Por tanto, se obtiene que el número es 9421.
10. Demostrar que la ecuación x3 + y 4 = 2012 no tiene soluciones naturales.
Solución. Por tanteo, cribando los pares (x, y) admisibles.
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