Métodos Numéricos I (3o¯ Curso) Centro Superior de Informática Curso 2002-03 Ejercicios. Hoja 3.1 CAPÍTULO III: Integración Numérica 1. Dada la tabla x f 1.0 0.010 1.1 0.252 1.2 0.586 1.3 1.024 1.4 1.578 En la que los valores fi están redondeados a 3 cifras decimales, estimar el valor de la integral Z 1.4 f (x)dx 1.0 mediante la aplicación de las reglas del trapecio y Simpson generalizadas. Una cota del error absoluto producido por redondeo es 0.5 · (b − a) · 10−n siendo a y b los lı́mites de integración y n el número de cifras decimales redondeadas de f en la tabla. ¿Cuál será la cota del error absoluto producido por redondeo en este ejercicio?. [Sol.: 0.266, 0.262. Error= 0.2 · 10−3 .] 2. Calcular el valor de la integral Z 1 0 x dx x+1 mediante las reglas del trapecio y Simpson con n = 10 (11 nodos). Comparar con el resultado teórico. (Redondear a 6 decimales). [Sol.: Trapecios: 0.306229; Simpson:0.306850; Error teórico: 0.306853] 3. Sabiendo que Z 1 0 dx π = 2 1+x 4 calcular un valor aproximado de π utilizando el método de los trapecios y Simpson (usar a) 11 nodos, b)5 nodos) [Sol.:Con 11 nodos.: Trapecios: π = 3.13992599; Simpson: π = 3.141592613 Con 5 nodos: Trapecios: π = 3.131176471; Simpson: π = 3.141568628] 4. Aplicar la regla del trapecio con cuatro intervalos para evaluar la integral Z 1 ex dx −1 utilizando cuatro cifras decimales redondeadas. Evaluar la cota del error absoluto cometido y el error por redondeo. [Sol.: 2.3992. Error abs.= 0.1133. Error red.= 0.1 · 10−2 ] 5. Hallar A0 , A1 , A2 para que la fórmula de cuadratura Z 1 1 1 f (x)dx = A0 f (−1) + A1 f (− ) + A2 f ( ) + R2 {f } 3 3 −1 tenga grado de precisión 2. ¿Cuál es su grado de precisión exactamente? [Sol.: A0 = 1/2, A1 = 0, A2 = 3/2. Grado prec.=2] Métodos Numéricos I (3o¯ Curso) Centro Superior de Informática Curso 2002-03 Ejercicios. Hoja 3.2 CAPÍTULO III: Integración Numérica 6. Hallar la fórmula de cuadratura de tipo cerrado de Newton-Cotes para 2 puntos. Hallar el error. ¿Cuál es el grado de precisión?. Rb [Sol.: a f (x)dx = b−a [f (a) 2 3 + f (b)]. R{f } = − (b−a) f 00 (ξ), ξ ∈ (a, b). Grado pr.=1] 12 7. Hallar las fórmulas de cuadratura de tipo cerrado de Newton-Cotes para 3 y para 4 puntos. [Sol.: Para 3 ptos.: Para 4 ptos.: Rb a f (x)dx = Rb f (x)dx = a 3 b−a [f (x0 ) 8 3 b−a [f (a) 6 + 4f ( a+b ) + f (b)] 2 + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )]] 8. Hallar las fórmulas de cuadratura de tipo abierto de Newton-Cotes para 2 y para 3 puntos. 9. Hallar la fórmula de cuadratura de Gauss-Legendre con 2 nodos. Hallar el resto. [Sol.: R1 f (t)dt = 1 · f ( −1 10. Calcular la integral 4 · puntos. R1 dx 0 1+x2 √ 3 ) 3 + 1 · f (− √ 3 ). 3 Error : R{f } = b−a 5 2 · 1 f iv) (ξ), 135 ξ ∈ (a, b)] utilizando la fórmula de cuadratura de Gauss-Legendre con 3 [Sol.: 3.141068] 11. Evaluar la integral I = R1√ 1 + 2xdx utilizando las fórmulas de cuadratura: 0 a) trapezoidal b) Simpson c) Gauss-Legendre con 3 nodos. Comparar con el resultado teórico. [Sol.: a) 1.3660254; b) 1.3981518; c) 1.3987315; terico: 1.398717474..] 12. La integral I = x2 √ e− 2 dx = 22π . a) Aproximar I por el método de Simpson, entre las abcisas 0 y 6, usando 6 intervalos. b) Idem por el método de los trapecios. c) Idem por el método de Gauss-Legendre con tres nodos. R∞ 0 13. Evaluar la integral I = R1 x cos x dx utilizando las fórmulas de cuadratura siguientes: 0 a) Trapecios y Simpson con 5 nodos. b) Gauss-Legendre con tres nodos. c) Calcular el valor teórico de la integral. ¿Cuál de los métodos anteriores ofrece mayor precisión?. R 14. Calcular la integral I = 0π cosxx−1 dx utilizando las fórmulas de los trapecios y Simpson con 2 3 y 5 nodos, y la de Gauss-Legendre con 2 nodos.