Geometría en el espacio GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. 1. ESPACIOS VECTORIALES VECTOR FIJO Segmento orientado. Queda determinado por Origen A(a1, a2, a3); extremo B(b1, b2, b3) Módulo: Longitud del AB = (b1 − a1 ) 2 + (b2 − a2 ) 2 + (b3 − a3 ) 2 segmento AB Características: Dirección: Es la recta sobre la que está y todas las paralelas. Sentido: Forma de recorrer el segmento. Cada dirección tiene dos sentidos. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR Mediante coordenadas cartesianas: v = (v1 , v2 , v3 ) Coordenadas cartesianas A(a1 , a2 , a3 ) Mediante un origen A y → AB =( b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ) un extremo B B (b1 , b2 , b3 ) OPERACOINES CON VECTORES u + v = ( u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ) Suma u − v = ( u1 − v1 , u2 − v2 , u3 − v3 ) Resta k ⋅ v = k ⋅ (v1 , v2 , v3 ) = (kv1 , kv2 , kv3 ) Producto por un escalar Propiedades de las operaciones. Aplicaciones de los vectores: - Punto medio - Puntos alineados DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Varios vectores se llaman L.D. si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. Cuando no es así, se llaman L.I. v = λ1 ⋅ u1 + λ2 ⋅ u2 + ... + λn ⋅ un con λ1 , λ2 ,..., λn ∈ Combinación lineal Linealmente dependientes Linealmente dependiente u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 u1 v3 = 0 → L.D. v1 w3 w1 u2 v2 w2 u3 v3 ≠ 0 → L.I . w3 BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL En un E.V. un conjunto de vectores forman una base si: 1) Son linealmente independientes. 2) Cualquier vector del E.V. se puede expresar como C.L. de los vectores de la base. • Todas las bases tienen el mismo número de vectores. Ese número se llama dimensión del E.V. i (1, 0, 0) → i = 1 Tres vectores = B i, j , k j= (0,1, 0) → j 1 perpendiculares y Base canónica unitarios k (0, 0,1) → k = 1 { } 1 Geometría en el espacio 2. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. Se llama producto escalar de dos vectores u y v , y se escribe u ⋅ v , al número real que resulta al multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman. u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α v Interpretación Geométrica u ⋅v = u ⋅v = u ⋅ Proyu v v ⋅ Proyv u Proyección de v sobre u Proyección de u sobre v α u Proyu v Expresión analítica u ⋅ v = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 + u3 ⋅ v3 Propiedades del producto escalar Recuerda: 0º sin(α ) 0 cos(α ) 1 tan(α ) 0 30º 1 2 3 2 3 3 45º 60º 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 90º 1 0 ∞ ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES u ⋅v u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α → cos α = u⋅v cos α = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 + u3 ⋅ v3 u12 + u22 + u32 ⋅ v12 + v22 + v32 u 2 + u 2 + u 2 ⋅ v2 + v2 + v2 2 3 1 2 3 1 α = ar cos u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 + u3 ⋅ v3 3. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. El producto vectorial de dos vectores u y v es otro vector u × v . u × v = u ⋅ v ⋅ sin α Módulo: Elementos Dirección: Sentido: Perpendicular a los vectores u y v El del avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de u y v 2 Geometría en el espacio área del paralelogramo u×v = Interpretación geométrica B = i, j , k : base canónica = u (u1 , u2 , u3 ) → u1 ⋅ i + u2 ⋅ j + u3 ⋅ k = v (v1 , v2 , v3 ) → v1 ⋅ i + v2 ⋅ j + v3 ⋅ k { Expresión analítica i j u×v = u1 u2 v1 v2 } k u3 v3 Propiedades del producto vectorial APLICACIONES u×v Área triángulo A= 2 A= u × v Área paralelogramo 4. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES. El producto mixto de tres vectores u , v y w es un número real Interpretación geométrica Expresión analítica u , v, w = u ⋅ v × w ( ) u , v, w = volumen del paralelípedo B = i, j , k : base canónica = u (u1 , u2 , u3 ) → u1 ⋅ i + u2 ⋅ j + u3 ⋅ k = v (v1 , v2 , v3 ) → v1 ⋅ i + v2 ⋅ j + v3 ⋅ k = w ( w1 , w2 , w3 ) → w1 ⋅ i + w2 ⋅ j + w3 ⋅ k { } u1 u , v, w = v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 Propiedades del producto mixto APLICACIONES DEL PRODUCTO MIXTO Volumen del paralelepípedo Volumen= AB, AD, AE Volumen del tetraedro AB, AC , AD Volumen= 6 3 Geometría en el espacio 5. ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO. ECUACIONES DE LA RECTA • Un punto de la recta: P ( p1 , p2 , p3 ) Dados: • Vector director de la recta: v = (v1 , v2 , v3 ) ^ • Cualquier número real: λ ∈ = ( x, y, z ) ( p1 , p2 , p3 ) + t ⋅ (v1 , v2 , v3 ) Ecuación vectorial x p1 + λ v1 = r := y p2 + λ v2 z p3 + λ v3 = x − p1 y − p2 z − p3 = = v1 v2 v3 Ecuación paramétrica Ecuación continua Ecuación general, implícita o cartesiana Ax + By + Cz + D = 0 Intersección de dos planos A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 Pasar de ecuación general a paramétrica r: ECUACIONES DEL PLANO Dados: • Un punto del plano: P( p1 , p2 , p3 ) • Vectores directores del plano: u = ( u1 , u2 , u3 ) v = (v1 , v2 , v3 ) ^ • Ecuación vectorial Ecuación paramétrica Cualquier número real: λ , µ ∈ π := ( x, y, z ) ( p1 , p2 , p3 ) + λ ⋅ (u1 , u2 , u3 ) + µ ⋅ (v1 , v2 , v3 ) Ecuación general o implícita x = p1 + λ ⋅ u1 + µ ⋅ v1 π : y = p2 + λ ⋅ u2 + µ ⋅ v2 z = p + λ ⋅u + µ ⋅v 3 3 3 u1 v1 x − p1 Desarrollando u2 v2 y − p2 = 0 → Ax + By + Cz + D = 0 u3 v3 z − p3 n = ( A, B, C ) vector perpendicular (normal) al plano Pasar de ecuación general a paramétrica 4 Geometría en el espacio 6. POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS. POSICIONES DE DOS RECTAS Opción A B Rango M M* M M* COINCIDENTES 1 1 2 2 OPCIÓN A x= q1 + µ v1 x p1 + λu1 = y q2 + µ v2 r := y p2 + λu2 s : = = z q3 + µ v3 z p3 + λu3 = SCI u1 v1 q1 − p1 u1 v1 M = u2= v2 M * u2 v2 q2 − p2 u v q − p u v 3 3 3 3 3 3 *También ecuación vectorial o continua PARALELAS 1 2 2 SI OPCIÓN B SECANTES A1 B1 C1 0 A '1 B '1 C '1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = M= r: A2 B2 C2 0 A '1 x + B '1 y + C '1 z + D '1 = A2 B '2 C '2 A1 B1 C1 D1 0 A '1 B '1 C '1 D '1 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = M* = s: A2 B2 C2 D2 0 A '2 x + B '2 y + C '2 z + D '2 = A '2 B '2 C '2 D '2 (se cortan) 2 3 SI 2 SCD 3 3 SCD SE CRUZAN Otra forma de estudiar la posición de las rectas (Opción A) COINCIDENTES u1 u2 u3 Si: = = ⇒ u v PARALELAS v1 v2 v3 u1 u2 u3 Si no: = = ⇒ uv v1 v2 v3 SCI 2 3 3 SI SI P∈r → P∈s P∈r → P∉s SE CORTAN M* =0 SE CRUZAN M* ≠0 4 5 Geometría en el espacio POSICIONES DE RECTA Y PLANO u1 x p1 + λu1 = M * u2 r := y p2 + λu2 = u z p3 + λu3 = 3 x =q1 + µ v1 + α w1 π : y =q2 + µ v2 + α w2 z =q3 + µ v3 + α w3 v1 v2 v3 w1 q1 − p1 w2 q2 − p2 w3 q3 − p3 Rango RECTA CONTENIDA EN EL PLANO M M* 2 2 SCI RECTA Y PLANO PARALELOS 2 3 SI 0 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = r: 0 A '1 x + B '1 y + C '1 z + D '1 = 0 π : Ax + By + Cz + D = Otra forma: = x p1 + λu1 r := y p2 + λu2 = z p3 + λu3 A1 M * = A '1 A B1 C1 D1 B '1 C '1 D '1 B C D RECTA CORTA AL PLANO 3 3 SCD 0 π : Ax + By + Cz + D = Se sustituyen las coordenadas del punto genérico de la recta en la ecuación del plano: A ( p1 + λu1 ) + B ( p2 + λu2 ) + C ( p3 + λu3 ) + D =0 ⇒ aλ =b aλ= b → a ≠ 0 → SCD → Solución única = a 0, b ≠ 0 → SI → ∃ solución a= 0, b = 0 → SCI → Infinitas soluciones SE CORTAN PARALELAS CONTENIDA POSICIONES DE DOS PLANOS Rango M M* Otra forma 1 π : Ax + By + Cz + D = 0 PLANOS COINCIDENTES 1 A B Si = = SCI π ': A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 A' B ' 1 2 PLANOS PARALELOS A B Si = = SI A B C A' B ' M = 2 2 PLANOS SECANTES A ' B ' C ' A Si NO = A B C D SCD M* = A' A' B ' C ' D ' C = C' C ≠ C' D D' D D' B C = B' C' 6 Geometría en el espacio POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS Rango M M* 1 1 SCI 1 2 0 α : A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 β : A '' x + B '' y + C '' z + D '' = A B C D M * = A' B ' C ' D ' A '' B '' C '' D '' 2 2 SCI 2 3 TRES PLANOS SE CORTAN EN UNA RECTA DOS PLANOS COINDICENTES CORTAN A UN TERCERO TRES PLANOS SE CORTAN DOS A DOS DOS PLANOS PARALELOS CORTADOS POR UN TERCERO SI 3 TRES PLANOS PARALELOS DOS PLANOS COINCIDENTES Y PARALELOS A UN TERCERO SI π : Ax + By + Cz + D = 0 TRES PLANOS COINCIDENTES 3 SCD TRES PLANOS SE CORTAN EN UN PUNTO Cuando al estudiar los rangos nos encontramos con dos posibles posiciones de los planos, tenemos que estudiar las posiciones de los planos dos a dos para comprobar cuál de las dos opciones se está dando. 7 Geometría en el espacio 7. PROYECCIONES ORTOGONALES EN EL ESPACIO. PROYECCIÓN DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA Para obtener la proyección ortogonal de Q en la recta r. Q(q1 , q2 , q3 ) = x p1 + u1λ r := y p2 + u2 λ = z p3 + u3λ 1º Hallamos la ecuación del plano u= n= (u , u , u ) π : u x + u y + u z + D = 0 1 2 3 1 2 3 perpendicular a la recta r que pasa por el Para calcular D π : u1q1 + u2 q2 + u3 q3 + D = 0 punto (Q) que queremos proyectar. Tenemos, entonces π : Ax + By + Cz + D = 0 2º Calculamos el punto de corte de la π : A ( p1 + u1λ ) + B ( p2 + u2 λ ) + C ( p3 + u3λ ) + D = 0 recta con el plano que hemos hallado, y Calculamos λ y sustituimos en r para obtener el punto ese punto será la proyección ortogonal. de corte. PROYECCIÓN DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO Para obtener la proyección ortogonal de Q en el plano π Q(q1 , q2 , q3 ) 0 π : Ax + By + Cz + D = 1º Hallamos la ecuación de la recta Tenemos, π : Ax + By + Cz + D = 0 perpendicular al plano π que pasa por el x= q1 + Aλ punto (Q) que queremos proyectar. r:= y q2 + Bλ = z q3 + C λ 2º Calculamos el punto de corte del plano π : A ( q1 + Aλ ) + B ( q2 + Bλ ) + C ( q3 + C λ ) + D = 0 con la recta que hemos hallado, y ese punto Calculamos λ y sustituimos en r para obtener el será la proyección ortogonal. punto de corte. PROYECCIÓN DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO = x p1 + u1λ r := y p2 + u2 λ = z p3 + u3λ π : Ax + By + Cz + D = 0 1º Hallamos el vector director de la recta, el vector normal al n = ( A, B, C ) ; u = (u , u , u ) ; 1 2 3 plano y un punto de la recta. P( p1 , p2 , p3 ) 2º Calculamos el plano π ' que pasa por el punto P y tienen x − p1 y − p2 z − p3 como vectores directores el vector director de la recta y el u1 u2 u3 = 0 vector normal del plano π . p1 p2 p3 Obtenemos: π ': A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 3º Hallamos el corte de los dos planos, π y π ' , que es la recta s, proyección ortogonal de r sobre π Para obtener la proyección ortogonal de la recta r en el plano π También se pueden buscar dos punto de r; obtener su proyección en π y obtener la recta a partir de estos dos nuevos puntos. 8 Geometría en el espacio 8. DISTANCIAS EN EL ESPACIO. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS P( p1 , p2 , p3 ) Q(q1 , q2 , q3 ) d ( P, Q ) = ( q1 − p1 ) + ( q2 − p2 ) + ( q3 − p3 ) 2 2 2 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 1º Buscamos la proyección ortogonal (P’) de P en r. I 2º d ( P, r ) = d ( P, P ') x= q1 + u1λ r:= y q2 + u2 λ QP × u d ( P, r ) = II z q3 + u3λ = u DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO P( p1 , p2 , p3 ) Ap1 + Bp2 + Cp3 + D d ( P, π ) = π : Ax + By + Cz + D = 0 A2 + B 2 + C 2 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS I II 0 π : Ax + By + Cz + D = Si se cortan: d (π , π ') = 0 Si se coinciden: d (π , π ') = 0 π ': A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 III Si son paralelos: d (π , π ') = D − D' A2 + B 2 + C 2 DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO Si la recta y el plano se cortan: d (r , π ) = 0 I x= q1 + u1λ r:= y q2 + u2 λ Si la recta está en el plano: d (r , π ) = 0 II z q3 + u3λ = Si la recta y el plano son paralelos: π : Ax + By + Cz + D = 0 III d (r , π ) = d (Q, π ) con Q ∈ r 9 Geometría en el espacio DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS d (r , s) = 0 I Si se cortan d ( r , s ) d ( P, s ) / P ∈ r II Si son paralelas= III Si se cruzan OPCIÓN A u , v, PQ d (r , s) = u×v OPCIÓN B OPCIÓN C OPCIÓN D Hallamos el plano π que contiene a r y es paralelo a s. d (r , s ) = d (Q, π ) d (r , s ) = RS ; donde: = x p1 + u1λ r := y p2 + u2 λ = z p3 + u3λ x= q1 + v1µ s:= y q2 + v2 µ z q3 + v3 µ = π : ( x, y, z ) =P + λ u + µ v R ∈ r → ( p1 + u1λ , p2 + u2 λ , p3 + u3λ ) S ∈ s → (q1 + v1µ , q2 + v2 µ , q3 + v3 µ ) Resolvemos el sistema RS ⊥ r ⇒ RS ⋅ u = 0 RS ⊥ s ⇒ RS ⋅ v = 0 d (r , s ) = RS ; donde: Hallo w / w= u × v Hallo el plano α determinado por u , w, P Hallo el plano β determinado por v, w, Q Hallo la recta t, intersección de α y β R punto de intersección entre α y t S punto de intersección entre β y t 9. ÁNGULOS. ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS Ángulo Perpendicularidad Paralelos rs⇒uv r ⊥ s ⇒ u ⋅v = 0 u ⋅v cos α = u1 ⋅ v1 + u2 ⋅ v2 + u3 ⋅ v3 = 0 u1 u2 u3 u⋅v = = v v2 v3 1 u ⋅v α = ar cos u⋅v = x p1 + u1λ r := y p2 + u2 λ z p3 + u3λ = x= q1 + v1µ s:= y q2 + v2 µ z q3 + v3 µ = ÁNGULOS QUE FORMAN UNA RECTA Y UN PLANO Ángulo Perpendicularidad Paralelos x p1 + u1λ = r ⊥π ⇒un r π ⇒ u ⋅v = 0 u⋅n cos α = u1 u2 u3 u1 ⋅ A + u2 ⋅ B + u3 ⋅ C = 0 r := y p2 + u2 λ u⋅n = = A B C z p3 + u3λ = u⋅n π : Ax + By + Cz + D = 0 = α 90º −ar cos u⋅n n = ( A, B, C ) 10 Geometría en el espacio ÁNGULO QUE FORMAN DOS PLANOS Ángulo Perpendicularidad Paralelismo π ⊥ π ' ⇒ n⋅n' = 0 π π ' ⇒ n n' n1 ⋅ n2 cos α = A ⋅ A '+ B ⋅ B '+ C ⋅ C ' = 0 A B C n1 ⋅ n2 = = A ' B' C' n1 ⋅ n2 α = ar cos n1 ⋅ n2 π : Ax + By + Cz + D = 0 n = ( A, B, C ) π ': A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 n ' = ( A ', B ', C ') 10. OTROS CONCEPTOS IMPORTANTES Punto medio Dados dos puntos: P( p1 , p2 , p3 ) y Q(q1 , q2 , q3 ) p1 + q1 p2 + q2 p3 + q3 , , 2 2 2 Punto simétrico El simétrico de P( p1 , p2 , p3 ) respecto de Q(q1 , q2 , q3 ) ( 2q1 − p1 , 2q2 − p2 , 2q3 − p3 ) Obtención de un vector perpendicular … …a uno dado u = ( u1 , u2 , u3 ) Obtenemos …a otros dos Dados u y v Obtenemos w/u ⊥ w→ = w ( −u2 , u1 , 0 ) w / w= u × v Obtener vector director de una recta en forma implícita Ax + By + Cz + D = 0 = u ( A, B, C ) × ( A ', B ', C ') r: A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 11