Trazado de gráficas

A P É N D I C E
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Trazado de gráficas
Gráficas: una forma de expresar relaciones cuantitativas
Las gráficas, como las ecuaciones y las tablas, indican cómo se relacionan entre
sí dos o más cantidades. Como la investigación de las relaciones entre las cantidades constituye una parte importante del trabajo en la física, las ecuaciones, las
tablas y las gráficas son herramientas importantes en la física.
Las ecuaciones son la forma más concisa de describir las relaciones cuantitativas. Por ejemplo, tenemos la ecuación v ! v0 " gt. En forma compacta describe
cómo la velocidad de un objeto en caída libre depende de su velocidad inicial, de la
aceleración debida a la gravedad y del tiempo. Las ecuaciones son bellas expresiones taquigráficas de las relaciones entre las cantidades.
Las tablas muestran los valores de las variables en forma de lista. La dependencia de v respecto a t en v ! v0 " gt se puede mostrar con una tabla que tenga
una lista de diversos valores de v para los tiempos t correspondientes. La tabla
3.2 de la página 48 es un ejemplo. Las tablas son extremadamente útiles cuando
no se conoce la relación matemática entre las cantidades, o cuando se deben asignar valores numéricos con gran exactitud. Además, las tablas son útiles para anotar datos experimentales.
Las gráficas representan visualmente las relaciones entre las cantidades. Al
ver la forma de una gráfica puedes decir rápidamente mucho acerca de cómo se
relacionan las variables. Por esta razón, las gráficas pueden a ayudar a aclarar el
significado de una ecuación o de los números de una tabla. Y cuando no se conoce la ecuación, una gráfica ayuda a revelar la relación entre las variables. Por tal
razón, se suelen graficar los datos experimentales.
Las gráficas también son útiles por otra razón. Si una gráfica contiene los
suficientes puntos, se puede usar para estimar valores entre puntos (interpolación) o para continuar los puntos (extrapolación).
Gráficas cartesianas
La gráfica más común y útil en las ciencias es la gráfica cartesiana. En ella se
representan los valores posibles de una variable en el eje vertical (llamado eje y)
y los valores posibles de la otra variable se grafican en el eje horizontal (eje x).
La figura C.1 muestra una gráfica de dos variables, x y y, que son directamente proporcionales entre sí. Una proporcionalidad directa es una clase de relación lineal. Las relaciones lineales tienen gráficas rectilíneas: la clase de gráficas
más fácil de interpretar. En la gráfica de la figura C.1 la recta continua sube de
izquierda a derecha, e indica que conforme x aumenta, también se incrementa y.
En forma más específica, muestra que y aumenta con tasa constante respecto a x.
A medida que aumenta x, aumenta y. La gráfica de una proporcionalidad direc-
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Apéndice C Trazado de gráficas
FIGURA C.1
FIGURA C.2
ta pasa con frecuencia por el “origen”, que es el punto abajo a la izquierda donde
x ! 0 y y ! 0. Sin embargo, en la figura C.1 se ve que la gráfica comienza donde y
tiene un valor distinto de cero cuando x ! 0. El valor de y es un “valor inicial”.
La figura C.2 muestra una gráfica de la ecuación v ! v0 " gt. La rapidez v se
grafica a lo largo del eje y y el tiempo t a lo largo del eje x. Como puedes ver hay
una relación lineal entre v y t. Observa que la rapidez inicial es 10 m/s. Si la rapidez inicial fuera 0, como cuando se deja caer un objeto desde el reposo, la gráfica
interceptaría el origen, donde tanto v como t fueran 0. Observa que esta gráfica comienza en v ! 10 m/s cuando t ! 0, que es un “valor inicial” de 10 m/s.
Sin embargo, muchas relaciones físicas importantes son más complicadas que
las relaciones lineales. Si duplicas el tamaño de un recinto, el área del piso aumentará cuatro veces; si lo triplicas, el área del piso aumentará nueve veces; y así
sucesivamente. Es un ejemplo de una relación no lineal. La figura C.3 muestra
una gráfica de otra relación no lineal: la distancia en función del tiempo en la
ecuación de la caída libre a partir del reposo, d ! $12 gt2.
La figura C.4 muestra una curva de radiación.
La curva (o gráfica) muestra la muy complicada relación no lineal entre la intensidad I y la longitud de onda de la radiación λ para un objeto que brilla a 2,000 K.
La gráfica indica que la radiación es más intensa cuando λ es igual más o menos
a 1.4 #m. ¿Cuál es más brillante, la radiación a 0.5 #m o la radiación a 4.0 #m?
La gráfica te indica rápidamente que la radiación a 4.0 #m es bastante más intensa.
,
FIGURA C.3
FIGURA C.4
Apéndice C Trazado de gráficas
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Pendiente y área bajo la curva
De la pendiente y del área bajo la curva de una gráfica se puede obtener información cuantitativa. En la figura C.2, la pendiente de la gráfica representa la tasa
con la que aumenta v en relación con t. Se puede calcular dividiendo un segmento
∆v a lo largo del eje y entre un segmento correspondiente ∆t a lo largo del eje x.
Por ejemplo, al dividir ∆v de 30 m/s entre ∆t de 3 s se obtiene ∆v/∆t ! 10 m/s%s !
10 m/s2, la aceleración de la gravedad. En contraste, examina la gráfica de la figura
C.5, que es una recta horizontal. La pendiente es cero, que representa una aceleración cero, es decir, una rapidez constante. La gráfica muestra que la rapidez es
30 m/s, y que es válida para todo el intervalo de cinco segundos. La tasa de cambio, o pendiente, de la rapidez con respecto al tiempo es cero: no hay cambio
alguno de rapidez.
El área bajo la curva es una propiedad importante de una gráfica, ya que a
menudo tiene una interpretación física. Por ejemplo, veamos el área bajo la gráfica de v en función de t, de la figura C.6. La región sombreada es un rectángulo
cuyos lados son 30 m/s y 5 s. Su área es 30 m/s & 5 s ! 150 m. En este ejemplo,
el área es la distancia recorrida por un objeto que se mueva a una rapidez constante de 30 m/s durante 5 s (d ! vt).
El área no necesita ser rectangular. El área bajo cualquier curva de v en función de t representa la distancia recorrida en determinado intervalo de tiempo.
Asimismo, el área de la curva de aceleración en función del tiempo representa el
cambio de velocidad en el intervalo de tiempo. El área bajo una curva de fuerza
en función del tiempo representa el cambio de la cantidad de movimiento. (¿Qué
representa el área bajo una curva de fuerza en función de distancia?) El área no rectangular bajo diversas curvas, incluyendo las muy complicadas, se determina
aplicando una importante rama de las matemáticas: cálculo integral.
FIGURA C.5
FIGURA C.6
Trazado de gráficas con física conceptual
En el experimento de laboratorio tal vez hayas desarrollado tus habilidades para
graficar como parte de este curso. El experimento de laboratorio “Ciego como
un Murciélago” te presenta los conceptos para trazar gráficas. También te da la
oportunidad de trabajar con una computadora y un dispositivo de rango sónico.
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Apéndice C Trazado de gráficas
El laboratorio “Ensayo y Error” te mostrará la útil técnica de convertir una
gráfica no lineal en una lineal para descubrir una proporcionalidad directa. El
área bajo la curva es la base del experimento de laboratorio “Rapidez de
Impacto”. Quizá también aprenderás más acerca del trazado de gráficas en otros
laboratorios.
Como parte de tu curso de Física conceptual en el laboratorio aprenderás que
las computadoras pueden graficar datos por ti. No será por flojera cuando decidas trazar graficar tus datos usando algún programa de cómputo. En vez de
invertir tiempo y energía escalando los ejes y graficando los puntos, usarás tu
tiempo y energía investigando el significado de la gráfica, ¡a un nivel alto de pensamiento!
EXAMÍNATE
La figura C.7 es una representación gráfica de una pelota que se deja caer en el tiro de
una mina.
1. ¿Cuánto tardó la pelota en llegar al fondo?
2. ¿Cuál fue la rapidez de la pelota al llegar al fondo?
3. ¿Qué te dice la pendiente decreciente de la gráfica acerca de la aceleración de la
pelota al aumentar la rapidez?
4. ¿La pelota llegó a su rapidez terminal antes de llegar al fondo del tiro? En caso
afirmativo, ¿cuántos segundos, aproximadamente, tardó en llegar a su rapidez terminal?
5. ¿Cuál es la profundidad aproximada del tiro de esa mina?
FIGURA C.7
COMPRUEBA TUS RESPUES TAS
1. 9 s
2. 25 m/s
3. La aceleración disminuye a medida que la rapidez aumenta (debido a la resistencia
del aire).
4. Sí (ya que la pendiente tiende a cero), unos 7 s.
5. La profundidad aproximada es 170 m. (El área bajo la curva es más o menos igual
a la de 17 cuadros, y cada cuadro representa 10 m.)