Diapositiva 1 - Universidad de Granada

VI.
Turbulent Kinetic Energy
Andrew S. Kowalski
Profesor Contratado Doctor
Departamento de Física Aplicada
Universidad de Granada
andyk@ugr.es
Bibliografía micrometeorológica
• Stull; Capítulo 5. (TKE)
LA ENERGÍA CINÉTICA
TURBULENTA (TKE)
• La ecuación pronóstica de TKE
• Los términos dominantes de
ecuación
• Conceptos de estabilidad
– El número de Richardson
• Otros conceptos no-dimensionales
– Mohnin y Obukhov
la
LA ENERGÍA CINÉTICA
TURBULENTA (TKE)
• La ecuación pronóstica de TKE
• Los términos dominantes de
ecuación
• Conceptos de estabilidad
– El número de Richardson
• Otros conceptos no-dimensionales
– Mohnin y Obukhov
la
Ecuaciones para las estadísticas
• Igual como para los promedios, podemos
derivar ecuaciones para varianzas y
covarianzas (flujos)
• Aquí, nos interesa la conservación de los
varianzas de velocidad (TKE)
– Empezamos con la ecuación de perturbaciones de
momento (ráfagas)
– Lo multiplicamos por 0.5ui’
– Promediar y aplicar las leyes de Reynolds
– “Continuity” y “Flux form”
1 2
– e = ui ' (TKE/m, TKE específico)
2
Conservación de TKE
( )
(
V
VI
)
∂ui ∂ u ' j e ⎛ 1 ⎞ ∂ u 'i p'
∂e
∂e
g
+uj
= δ i 3 u 'i θ v ' − u 'i u ' j
−
− ⎜⎜ ⎟⎟
−ε
∂t
∂x j
∂x j
∂x j
θv
⎝ ρ ⎠ ∂xi
I
II
III
–
–
–
–
–
–
–
IV
I cambio local (storage)
II advección
III buoyancy (empuje – gravedad)
IV (generación por) cizalla
V transporte turbulento
VI correlación con presión
VII Disipación viscosa
VII
Conservación de TKE
• Unos trucos para simplificar
• Elegimos una orientación (v = w = 0)
• Suponemos homogeneidad horizontal
∂ζ ∂ζ
=
=0
∂x ∂y
∂e
∂e g
∂u ∂ (w' e ) ⎛ 1 ⎞ ∂ (w' p ')
−ε
+u
= w'θ v ' − w' u ' −
− ⎜⎜ ⎟⎟
∂t
∂x θ v
∂z
∂z
⎝ ρ ⎠ ∂z
Conservación de TKE
∂e
∂e g
∂u ∂ (w' e ) ⎛ 1 ⎞ ∂ (w' p ')
+u
= w'θ v ' − w' u ' −
− ⎜⎜ ⎟⎟
−ε
∂t
∂x θ v
∂z
∂z
⎝ ρ ⎠ ∂z
I
II
III
–
–
–
–
–
–
–
IV
V
I cambio local (storage)
II advección
III buoyancy (empuje – gravedad)
IV (generación por) cizalla
V transporte turbulento
VI correlación con presión
VII Disipación viscosa
VI
VII
LA ENERGÍA CINÉTICA
TURBULENTA (TKE)
• La ecuación pronóstica de TKE
• Los términos dominantes de
ecuación
• Conceptos de estabilidad
– El número de Richardson
• Otros conceptos no-dimensionales
– Mohnin y Obukhov
la
Los términos dominantes
Storage
∂e
∂t
Storage
∂e
∂t
• TKE cambia mucho al largo del día
Advección
∂e
u
∂x
• Importante cerca de algún cambio importante
de las propiedades de la superficie.
• Despreciado con frecuencia
Buoyancy
g
θv
w'θ v '
• Cerca de la superficie
– Producción de TKE durante el día
– Destrucción de TKE por la noche
• En la parte superior de la capa limite
– (cerca de la inversión)
– Destrucción de TKE
Shear (cizalla)
∂u
− w' u '
∂z
• Como los dos términos suelen tener
signos opuestos, este término casi
siempre contribuye a la generación de la
turbulencia
Transporte turbulento
• Redistribución de TKE
BL
SL
Correlación con presión
• Difícil a medir
• Se calcula aparte de los otros términos
⎛ 1 ⎞ ∂ (w' p ')
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ρ ⎠ ∂z
Disipación
• La destrucción de turbulencia por
procesos viscosos
• Máximo por el día
LA ENERGÍA CINÉTICA
TURBULENTA (TKE)
• La ecuación pronóstica de TKE
• Los términos dominantes de
ecuación
• Conceptos de estabilidad
– El número de Richardson
• Otros conceptos no-dimensionales
– Mohnin y Obukhov
la
Parametros de estabilidad
( )
(
)
∂ui ∂ u ' j e ⎛ 1 ⎞ ∂ u 'i p'
g
∂e
∂e
−ε
+uj
= δ i 3 u 'i θ v ' − u 'i u ' j
−
− ⎜⎜ ⎟⎟
∂t
∂x j
∂x j
∂x j
θv
⎝ ρ ⎠ ∂xi
I
II
III
IV
V
VI
VII
• El TKE depende mucho de los terminos III y
IV
• La razón (III/IV) se llama el “flux
Richardson number” Rf
δ i3
g
g
u 'i θ v '
θv
III
=
Rf =
IV ⎛
⎜ u 'i u ' j ∂ui
⎜
∂x j
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠ j =3
θv
=
u ' w'
w'θ v '
∂u
∂v
+ v' w'
∂z
∂z
Estabilidad estática
• Depende del flujo de calor
g
Rf =
θv
w'θ v '
∂u
∂v
u ' w' + v' w'
∂z
∂z
• Inestable, Rf < 0
• Neutral, Rf = 0 (ningún flujo de calor)
• Estable, Rf > 0
Estabilidad estática
Estabilidad estática
Estabilidad dinámica
g
Rf =
θv
w'θ v '
∂u
∂v
u ' w' + v' w'
∂z
∂z
• Richardson proponía un valor critico Rf=+1
– Producción mecánica = destrucción “buoyancy”
– 0 < Rf <1, estabilidad estática demaciado debil para
inhibir producción mecánica de turbulencia
• Rf < 0, el numerador contribuye a la generación
de TKE
• Rf <+1: el movimiento es turbulente
• Rf >+1: el movimiento tiende a ser laminar
Gradient Richardson number
• Si no hay turbulencia ( w'θ = w' u ' = w' v' = 0), no se puede
definir Rf para saber si el movimiento se pondrá
turbulento
• Entonces, utilizamos la analogía molecular (Ley de
Fick), o “K-theory”:
∂ξ
Fξ = − K ξ
∂z
• Kx es la difusividad turbulenta (“eddy diffusivity”)
– Depende en el flujo y no en el fluido
– También puede depender de la variable x
Gradient Richardson Number, Ri
Ri =
g ∂θ v
θ v ∂z
2
⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂ v ⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎜ ∂z ⎟ ⎜ ∂z ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
Rf =
KH
Ri
KM
• Investigaciones teoréticas y empíricas sugieren que
– Un movimiento laminar se pone inestable (forma la turbulencia)
cuando Ri<Rc (critical Richardson number; Rc = 0.21 – 0.25)
– Un movimiento turbulento se pone laminar cuando Ri>RT (RT =
1.0).
Kelvin-Helmholtz waves
Nubes Kelvin-Helmholtz
Bulk Richardson number
• Se aproximan los gradients reales (∂U/∂z, ∂V/∂z, ∂θv/∂z) con
diferencies que se miden (DU/Dz, DV/Dz, Dθv/Dz)
• Así definimos el bulk Richardson number:
RB =
[(
g∆θ v ∆z
) ( )]
2
θ v ∆U + ∆V
2
• Desgraciadamente, el valor critico Rc se aplica a los gradientes
locales, y no a las diferencias finitas entre capas espesas. Cuando
más espesa la capa, más probable es tener pequeñas capas con
gradientes más grandes
• Resulta que hay más incertidumbre en la predicción de la
turbulencia, y se usa Rc > 0.25 en práctica
Variaciones nocturnas de Ri
LA ENERGÍA CINÉTICA
TURBULENTA (TKE)
• La ecuación pronóstica de TKE
• Los términos dominantes de
ecuación
• Conceptos de estabilidad
– El número de Richardson
• Otros conceptos no-dimensionales
– Mohnin y Obukhov
la
La ecuación no dimensional de
TKE
(
)
(
)
∂ u i ∂ u ' j e ⎛ 1 ⎞ ∂ u 'i p '
g
∂e
∂e
u 'i θ v ' − u 'i u ' j
−ε
+uj
= δ i3
−
− ⎜⎜ ⎟⎟
∂t
∂x j
∂x j
∂x j
θv
⎝ ρ ⎠ ∂xi
• Multiplicar por -kz/u*3 (para quitar las dimensiones) y
examinar los términos III, IV and VII:
... = −
(
)
kzg w'θ v ' s
θ v u*3
III
(
)
kz ui ' u j ' s ∂U i
kz (ε )s
+
+ ... −
3
∂x j
u*
u*3
IV
VII
• La k es una constante tradicional: la constante de von
Karman (k= 0.35-0.42)
The Obukhov length
• El término III (no dimensional) es:
(
)
kzg w'θ v ' s
z
ζ = =−
L
θ v u*30
u*3θ v
u*2θ v
=−
L=−
kgθ v*
kg w'θ v ' s
y L se llama “the Obukhov length”:
– L < 0; inestable
– L > 0; estable
(
)
Escala de
temperatura
• En el cambio con altura de la ecuación de TKE, el
“shear” se atenua mas que el “buoyancy”
• Una interpretación física de L es: la altura donde
empieza el “buoyancy” a ser más importante que el
“shear”
• z - parámetro útil en la capa superficial (SL)
¿Estimación aproximada de L?
Variaciones Diurnas de L
Ri y L
Monin-Obukhov similarity
theory
• La hipótesis de Monin y Obukhov (1954): cualquier
aspecto (no dimensional) de la turbulencia depende
unicamente en z=z/L:
– u*0
– z, g/θv
– w'θ v '
(
)s
(
)
kzg w'θ v ' s
z
ζ = =−
L
θ v u*30
• Así, definimos gradientes no dimensionales
kz ∂u
= Φ M (ζ )
u*0 ∂z
kz ∂θ v
= Φ H (ζ )
θ v*0 ∂z
kz ∂ q
= ΦW (ζ )
q*0 ∂z
Non-neutral SL “Similarity”
Dimensionless Gradients
Desdecimiento (?)
• Es muy útil, y hay mucha investigación
sobre teoría de “similarity”
• Hay muchas situaciones donde no se
puede aplicar
• La Tierra es mas complicada que la
teoría
– No hay homogeneidad horizontal
– Ni “stationarity” de la atmósfera