Reflexiones sobre la docencia y la investigación en la Estadística

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Vol. 33, Núm. 128, 1991, págs. 401 a 419
Reflexiones sobre la docencia
y la investigación en la Estadística aplicada
a la Física y a la Biología
por
DARIO MARAVALL CASESNOVES
Académico de número de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
RESUMEN
En una primera parte se expone una filosofía sobre la docencia y
la investigación científica relacionadas con la Estadística, y se expresa una ley enunciada por el autor según la cual las necesidades
humanas crean la ciencia y la técnica, entendida la palabra necesidad en un sentido más arnplio que el ordinario. Se expresan también
los dos principios que el autor ha denominado de Atenea y de
Hefestos, que son los dos grandes motores de la investigación
científica, el primero se corresponde con la gratificación proporcionada a la mente humana por la satisfacción de sus inquietudes
intelectuales y de su ansia de saber, y el segundo responde al reto
que lanza al hombre su enfrentamiento con sus necesidades materiales.
En una segunda parte se exponen algunos ejemplos de aplicaciones de la Estadística a la Física y a la Biología extraidas de las
propias investigaciones del autor.
Palabras clave: Enseñanza de la estadística, Aplicaciones de la
estadística.
C/asificación AMS: 62-01, 62-03.
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Correspondiendo a la amable invitación de la Revista «Estadística Española» a colaborar en su número dedicado a!a Historia de la Estadística en España
y en Latinoarnérica, me ha parecido oportuno escribir estas notas sobre un
aspecto en el que he tenido una intervención directa, y por esta razón he
escogido como tema de las mismas el que las da título.
Para una lectura más fácil he dividido la exposición en dos partes, una
primera sin fórmulas matemáticas, destinada a un público universitario no necesariamente especialista, y una segunda parte, más breve, para lectores especialistas interesados de manera más concreta en las investigaciones sobre esta
materia.
Cuando empecé mis estudios universitarios, en los años cuarenta, la enseñanza de la Estadística en España era menos intensa y mucho más reducida.
En las secciones de Ciencias Exactas de las Facultades de Ciencias, que
solamente existían en tres ciudades (Madrid, Barcelona y Zaragoza), existía
como optativa una asignatura que se denominaba «Estadística Matemática y
Cálculo de Probabilidades», la otra opción era la «Física Matemática». Las
Facultades de Ciencias Económicas no exfstían; la primera se creó por aquellas
fechas, y en las Escuelas de Ingenieros, de las que había muy pocas, casi todas
concentradas en Madrid, la Estadística tenía muy poca ímportancia, en relación
con las demás disciplinas que componían los planes de estudios entonces
vigentes. Concretarnente en la Escuela de Ingenieros Agrónornos (carrera que
estudié) la Estadística era solamente un trimestre, y estaba integrada en la
cátedra de Derecho. Este panorama fue mejorando can el tiempo, la creación de
las Facultades de Ciencias Económicas amplió enormemente el número de
cátedras dedicadas a la Estadística y el númera de estudiantes de la misma. EI
mismo resultado fue también consecuencia del desdoblarniento de las Facultades de Ciencias y la consiguiente aparición de las Facultades de Ciencias
Matemáticas. Igualrnente ocurrió con la multiplicación de las Escuelas de Ingenieros y la mayor importancia que se dio a la Estadística, en especial en las
Escuelas de Ingenieros Agrónomos e Industriales. Hitos importantes en este
creciente interés par la Estadística fueron la creacíán del Instítuto de Estadística
dei Consejo Superior de Investigaciones Científicas y de la Escuela de Estadística, de la Universidad Complutense, más tarde Instituto Universitario. Independientemente del papel jugado por las anteriores Instituciones, hay que destacar
la labor fundamental desempeñada por el Instituto Nacional de Estadística.
De esta forma, a lo largo de los úitimos cincuenta años se ha Ilegado en
España a una situación francamente satisfactoria del estada de la enseñanza y
de la investigación en Estadística.
Personalmente mi labor dacente se ha desenvuelto como catedrático de
Mecánica y de Física en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Agrónomos
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de Madrid, durante más de treinta años, sin relación o con muy poca relación
con la Estadística, y como Profesor de la Escuela de Estadística de la Universidad Complutense primero y del Instituto Universitario, en que se transformó,
después, durante un período de tiernpo casi igual. Mis enseñanzas en este
último Centro versaban sobre «Estadística aplicada a la Física». En relación
con esta labor docente he venido ejerciendo una labor investigadora que además de referirse a otros campos científicos, en relación con el tema que nos
ocupa, se ha dirigido hacia la aplicación de la Estadística a la Física y a la
Biología.
Quiero, entonces, que estas páginas estén dictadas por rnis propias experiencias personales, porque así tendrán al menos el interés de ser algo vivido y
real, lo que me parece mejor que tratar de hacer una exposición más brillante y
erudita basándorne en otras fuentes, que aunque procedan de autoridades en la
materia, sería siempre un reflejo de una luz extraña, que aunque más intensa,
no dejaría de ser un reflejo en vez de una luz propia.
Siendo la Estadística de la que me he ocupado una parte de las Matemáticas, y las aplicaciones que he hecho destinadas preferentemente a la Física y a
la Biología, considero oportuno hacer unas breves indicaciones sobre la forrna
de la evolución del saber científico, en especial del maternático y del físico.
EI saber matemático, como casi todos los saberes humanos, evoluciona con
el tiempo, de modo que esta evolución ofrece uno de los ejemplos más claros de
función monótona no decreciente, es decir, que la suma total de conocimientos
del hombre varía con el tiempo o creciendo o permaneciendo estacionaria, pero
nunca decreciendo, a pesar del efecto devastador que sobre la cultura han
ejercido las invasiones de los bárbaros, de cualquier clase que sean, o, lo que
es prácticamente muy parecido, el predominio temporal de algunas ideologías o
sistemas filosóficos inhibidores del desarrollo científico.
Las matemáticas pueden progresar de dos maneras diferentes, o mediante
una prolongación del saber matemático que consiste en el descubrimiento de
nuevos teoremas o de nuevas teorías, de modo que cada verdad matemática
que se adquiere, que era desconocida hasta ese momento, constituye un progreso. Esta es la manera más normal de hacer matemáticas, de aquí el papel
primordial que en la historia de las rnatemáticas tiene la prioridad en la demostración de un teorema cualquiera. Pero existe otra vía de progreso, también de
gran importancia, que consiste no ya en la demostración de nuevos teorernas,
sino en la mejora de los métodos de investigación y en la ampliación de los
campos de aplicación de las matemáticas. De modo que una nueva codificación
del saber matemático, es decir, una reexposición original de la matemática que
ya está hecha, aunque solamente sea de su didáctica, puede traer consigo un
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impulso extraordinario de la investigación, acelerar en forma inesperada la
matemática que se hace. Estas consecuencias se obtienen a veces por actos
intelectuales, tales corno el transporte de ideas y rnétodos de una parte de !as
matemáticas a otra, o por el mero hecho de aplicar !os métodos matemáticos a
un carnpo científico que hasta entonces había permanecido alejado de la esfera
de la influencia de la matemática. AI igual que hay en economía una ley que
dice que las prirneras aplicaciones del capital at trabajo son enormemente
productivas, se puede decir que existe en la epistemología o teoría del conocimiento una ley que dice que las primeras aplicaciones de las matemáticas a
otras ciencias son enormemente productivas.
La evolución de las matemáticas no es ni enterarnente ajena a la influencia
del hombre, ni totalmente dirigida por la acción de éste; la necesidad de encontrar solución práctica rápida a los problemas que preocupan al hombre, y que
son accesibles al método rnatemático, es indudable que marca directrices a la
evolución de las matemáticas, pero no la condiciona estrictamente; existen
interacciones entre las ideas matemáticas y las ideas políticas y sociales de la
colectividad humana, pero nada más que interacciones.
Así como en la biogenética existe una ley enunciada por Lamarck, según la
cual: «la función crea el órgano», me parece que en la genética de la ciencia se
puede enunciar una ley que diga: las necesidades humanas crean la ciencia y la
técnica. En la anterior ley hay que tomar la palabra necesidad en un sentido
muy amplio, que en su forma más primitiva es el de las necesidades asociadas
a la supervivencia del individuo y de la especie humana, y a la subsiguiente
modificación del medio arnbiente para hacerlo rnás habitable. En una segunda
fase se ampliaría el significado de la palabra necesidad, que pasaría a designar
lo que viene asociado a un mayor bienestar y felicidad del hombre, hasta Ilegar
a extenderse a ia satisfacción de las inquietudes culturales de los hombres y a
su ansia de saber por saber.
He Ilamado principios de Atenea y de Hefestos a los dos grandes motores de
la investigación científica. Con estos nombres he aludido a la Diosa de la
sabiduría y al Dios de los herreros, o sea de la incipiente industria de la antigua
Grecia, cuna del pensamiento científico. Me parece que así como todas las
actividades humanas freudianas están bajo la dualidad de Eros y Thanatos, las
actividades científicas estarían bajo la dualidad de Atenea y de Hefestos.
EI principio de Atenea se corresponde con el placer intelectual o gratificación proporcionada a!a mente humana por !a satisfacción de sus inquietudes
intelectuales y de su ansia de saber. EI principio de Hefestos se corresponde
con el reto que IanZa al hombre su enfrentamiento con sus necesidades materiales.
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En un trabajo de investigación matemática hay que distinguir entre el fondo
y la forma, lo primero se corresponde con lo novedoso de los resultados obtenidos, es más permanente, menos imperecedero, y lo segundo corresponde al
lenguaje utilizado que, como las modas, cambia con el tiempo.
Existe un saber objetivo, transmisible de unos hombres a otros, que sin duda
alguna es el único saber auténticamente científico. Pero es también cierto que
existe otro saber subjetivo, antes sentido que razonado, intransrnisible de unos
hombres a otros, al menos por los medios convencionales de comunicación
científica. Este saber subjetivo no constituye ciencia, pero no por eso está
desprovisto de valor, puede ser útil para el progreso, como conjunto de conocimientos precientíficos, algunos de los cuales quizá algún día se transformen en
conocimientos científicos. Creo que un reconocimiento de este saber subjetivo
lo encontramos en San Agustín cuando, preocupado por el problema del tiernpo,
decía: «^Qué es, pues, el tiempo? Si nadie me lo pregunta lo sé. iSi deseo
explicárselo a quien me lo pregunta, no lo sé!», y mostraba así su disconformidad
con este saber subjetivo cuando añadía: «mi alma arde por conocer este
intrincadísimo enigma», reconociendo así que el saber es sólo saber cuando es
objetivo y transmisible.
Me parece que tanto la Física como quizá alguna otra Ciencia evolucionan
en el tiempo de tres maneras distintas, que son:
1.°
2.°
3.°
Por evolución progresiva.
Por evolución escalonada.
Por evolución en cortadura.
La evolución progresiva creo que es propia de todas las ciencias deductivas,
es la más natural; consiste en el desenvolvimiento lógico mediante cadenas de
razonamientos, que parten de unos principios admitidos, y manejando éstos
mediante el formalismo matemático expresamente construido para ello y por la
aportación de los innumerables científicos que en todo tiempo se han dedicado
a la investigación científica va engrosando el caudal del conocimiento humano.
La representación gráfica de este tipo de evolución es la que corresponde a la
figura 1; la pendiente de la curva puede ser rnás o menos acentuada, dependerá
de la magnitud y fecundidad de los esfuerzos de los científicos en el tiempo que
consideremos, pero esta pendiente, sean cuales fueren sus variaciones, no
modifica para nada el carácter de la evolución, la cual se caracteriza por la
persistencia inconmovible de los primeros principios de la Física y por la no
aparición de nuevos conceptos fundamentales.
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FIGURA 1
La evolución escalonada se caracteriza por un cambio brusco en la curva
representativa de la evolución (ver figura 2), es decir, los primeros principios de
ía Física permanecen inalterados; sin embargo, se introducen nuevas ideas, no
implícitas en los conocimientos anteriores, tal es el caso de la creación de una
nueva rama de la Física, por ejemplo: la creación de la mecánica estadística de
íVlaxwell-Boltzman, la teoría electromagnética de la lu^. de Maxwell.
FiGURa 2
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La evolución en cortadura es la que determina cambios más importantes en
la Física; la trascendencia de estos cambios es tal que se sale del ámbito de la
Física y alcanza a vastos sectores científicos que, en otras condiciones, quedan
al margen del progreso de la Física (ver figura 3). Mientras que la evolución
progresiva es de todos los tie^mpos, la evolución escalonada y la de cortadura
se manifiestan en determinados instantes cumbres de la historia de la ciencia,
por la acción genial de algún sabio extraordinario, capaz de salirse de la rutina
de la antigua ciencia; como es natural la evolución en cortadura es más rara que
la escalonada. Ejernplos de cortaduras son la Relatividad y la Mecánica
Ondulatoria, las cuales por caminos distintos rompen con los principios de la
Física Clásica y se elaboran nuevas ciencias a partir de primeros principios
distintos y nuevos. La curva representativa de la evolución científica rompe toda
continuidad, es como si naciese una nueva curva.
FIGURA 3
Si aplicásemos el materialismo dialéctico a la historia de la ciencia podríamos decir que en la evolución por cortadura (figura 3) se produce el cambio de
una transformación de la cantidad de conocimiento en una transformación en la
calidad del conocimiento.
Obsérvese que los dientes en sierra de la figura 3 son característicos de las
oscilaciones de relajación, podemos decir que en la historia de la ciencia
también pueden presentarse oscilaciones de relajación.
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t-^^r^^^ai^;^t^i^^A F^sr^ ^ nw^ ^ i :>
Tanto la evolución progresiva como la escalonada forman parte de la Física
Clásica, no hay en ninguna de ellas ruptura con los primeros principios, los
cuales se mantienen sin contradicción alguna. La diferencia entre una y otra
está en que en la evolución progresiva no hay introducción de nuevas ideas,
únicamente desenvolvirnienta de hechas que están en embrión en el conocimiento que ya se tenia antes de que se hubiera realizado la nueva investigación, es además continua en el tiempo, aunque como es natural la pendiente de
esta progresión varia de unas épocas a otras. En la evolución escalonada se
introducen nuevas ideas que no preexistían en las teorías anteriores, pero éstas
son siempre sin cantradicción con los primeros principios, que siguen tan
inalterados como antes. En la evolución por cortadura, la caracteristica es que
se rornpe con los antiguos moldes, se elabora como una nueva ciencia, con
aprovechamiento de los desechos de la anterior; además, es propio de todas
ellas que contengan como caso particular a las antiguas, es decir, que estas
últimas quedan como una primera aproxirnación. Surgen lo que pudiéramos
Ilamar prin ^ ipios de correspondencia en la ciencia, que en esencia consisten en
que la aplicación de la ciencia nueva a fenómenos ya conocidos, confirmados
por la experiencia y bien explicados por la antigua ciencia, sigan siendo explicados por la nueva ciencia.
Por analagía con la Biología, la evoiución progresiva consiste en el desarroIlo con la edad de un ser vivo; los nuevos estados vienen establecidos de
antemano en los antiguos, lo única que hace falta es tiempo para ir desarrollándose. La evolución escalonada viene representada por determinados cambios
en la edad que imprimen carácter al ser que los experimenta; tales son por
ejemplo el paso de la niñez a la adolescencia, de ésta a la edad viril, de ésta a
la vejez, etc. La evolución en cortadura equivaldría en la historia de las especies
a un cambio según ia teoría de la evoiución de Darwin.
Son muchas y muy variadas las nuevas ideas que a partir de las Matemáticas y de la Física se introducen en las restantes ciencias, por ejemplo, una de
ellas es la de histéresis, mediante la cual adquieren un cierto carácter de
irreversibilidad fenómenos aparentemente reversibles. Me parece que los efectos de histéresis son trasladables a los hechos históricos. En esa constante
histórica que cíclicamente se repite en la transición: antiguo régimen-revolución-restauración, no hay reversibilidad absoluta, debido a un efecto de histéresis
en virtud del cual los sucesivos estados por los que va pasando la sociedad
humana dejan una huella indeleble, imborrable, como consecuencia de la cual
el pasado no vuelve enteramente. Asi, por ejemplo, aunque Carlos X era más
reaccionaria que sus hermanos, la Francia de Carlos X estaba más a la izquierda que la de Luis XVI; aunque 1793 y 1848 fueron en Francia dos años
revolucionarios, la Montaña y el jacobinismo no fueron lo mismo uno y otro año;
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aunque el 18 de brumario y el 2 de diciembre de 1851 fueron dos fechas
reaccionarias, las ideas napoleónicas ya no significaban lo mismo.
Si como físico tengo una cierta concepción ideológica de la Estadística,
como ingeniero agrónomo tengo otra muy distinta. La Biología es un pilar básico
de las Ciencias Agrarias y de la Ingeniería Agronómica que, aunque no son la
misma cosa, tienen bastante parecido, y uno de los hechos más característicos
de nuestro tiempo es la invasión matemática de la Ciencia, y como caso particular resalta la penetracián de las Matemáticas en el carnpo de la Biología. Ahora
que está de moda la revisión de los planes de estudio y el despliegue de un gran
abanico de opciones a los jóvenes universitarios, me parece oportuno bosquejar
un proyecto docente para la formación matemática de los futuros Ingenieros
Agrobiólogos (Ingenieros Agrónomos y de Montes) en donde tiene un impartante papel la Estadística. Como la Biología tiene unas características muy especiales, que la separan profundamente de las restantes Ciencias a las que se
aplican las Matemáticas, me parece que la enseñanza de la Estadística a partir
de la primera etapa básica común con los restantes ingenieros ha de comprender una segunda etapa específica de los Ingenieros Agrobiólogos.
Hemos de distinguir en este gran grupo de Ingenieros dos clases, según que
su campo de actividad profesional sea:
a}
b}
La Experimentación Agraria.
La Biofísica y la Biología Matemática.
Los primeros tienen ya una larga tradición, y es un hecho de sobra conocido
las importantes contribuciones al progreso de la Estadística realizadas como
consecuencia de la resolución de los problemas prácticos de la Experimentación Agrícola. Pero hoy día hasta tal punto ha Ilegado a ser imprescindible el
método estadístico en la planificación e interpretación de las experiencias agrícolas que éste no solamente se requiere en las pruebas decisorias de la
veracidad o verosimilitud de una teoría biológica, sino que también para que los
resultados de una experiencia determinada alcancen la categoría de ser discutidos es preciso que estén realizados sobre una base estadística. Creo que la
adición de variables aleatorias en número aleatorio, al que nos referimos más
adelante, tiene mucho que decir en la estadística de las muestras de tarnaño
aleatorio.
Creemos, pues, que los Ingenieros del grupo a} deben de completar su
formación estadística con enseñanza específicas sobre las siguientes materias:
Diseño de Experimentos, Teoría de la Decisión, Análisis Secuencial y Análisis
Multivariante. De las cuatro es el Diseño de Experimentos el más fundamental
para ellos.
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La Genética de Poblaciones, la Biocinética (considerada también una parte
de la Ecología) y la Epidemiología están tan matematizadas como pueda estarlo
cualquier parte de la Física, por lo que los Ingenieros Agrabiólogos del grupo b)
deben de realizar estudios bastante profundos sobre las siguientes materias:
Procesos Estocásticos, Movimiento Browniano, Geometría Integral y Teoría de
la Información.
Así como el Diseño de Experimentos es la base de los Ingenieros Agrobiólogos
del grupo a), son los Procesos Estocásticos la base de los del grupo bj.
Los Procesos Estocásticos son de innegable aplicación a la Física, pero en
Biologia tienen tanta o rnás aplicación, mucha de su terminología está impregnada del vocabulario biológico, así los procesos estocásticos de natalidad,
mortalidad, migración, contagio, etc. Se puede definir el proceso estocástico,
para hacer la definicián más intuitiva, como la variación en el tiempo de una ley
de prababilidad, siendo la regulación de esta variación el propio proceso
estocástico. Es hacer alga así como un análisis microscópico de las probabilidades. Se puede decir que la neoescolástica se ha apuntado un tanto, porque
precisamente cuando la Física estaba tratando de no hacer análisis microscópico, sino solamente de hacer análisis macroscópico, es decir, de observar el
comportamiento de los fenómenos y no analizar la naturaleza íntima de los
mismos, por suponer que eso no es observable, que no tiene una realidad
trascendente, el desarrollo de los Procesos Estocásticos es en cierto modo un
retorno a las ideas de Aristóteles y de Santo Tomás, porque esta teoria apunta
la existencia de una realidad trascendente, que es el soporte de la fenomenologia
dei mundo observado, es un retorno a la creencia de que las cosas existen
fundamentaliter in re, formaliter in mente.
Antes he hablado de las materias que para su preparación estadística debieran de estudiar !os Ingenieros Agrobiólogos, conviene ahora dar unas normas
de córno debe de enfocarse esta enseñanza: hemos de resaltar que se debe de
evitar una excesiva abstracción (cuyo peligra es una pérdida de tiempo en
sutilezas inoperantes para el Ingeniero) y sin perder el rigor maternático (para
evitar los peligros opuestos de rutina y de paralización del progreso de la
investigación cientifica) hay que insistir en el carácter eminentemente práctico y
de aplicación propio de la Ingenieria, procurando estudiar con todo detalle y
detenimiento ejernplos y problemas extraídos del campo de la naturaleza y de la
agrobiologia. Por otra parte, ello no supone una dedicación a lo accesorio en
detrimento de lo fundamental, porque por su novedad y originalidad, así como
por su compiejidad, la resolución de problemas particulares de estas materias
con frecuencia equivale a auténticas investigaciones y contribuye notablemente
al progreso de la ciencia.
Respecto al equilibrio entre las clases teóricas y prácticas impartidas a los
alumnas, hay una tendencia muy extendida a enfrentar teoría y práctica, a
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41 I
ctasificar a los hombres en teóricos y prácticos, corno si la teoría y la práctica
estuvieran reñidas en dura competencia. Para ser práctico hay que ser primero
teórico, porque la práctica es la aplicación de una teoría y para aplicar algo, lo
que sea, previamente hay que conocer ese algo. No hay práctica sin teoría, a lo
sumo habrá rutina e ignorancia disfrazada de presunción científica. Por el
contrario, sí puede haber teoría sin práctica, pero entances la teoría queda coja,
es imperfecta y limitada, para que el conocimiento sea conocimiento
auténticamente científico es preciso que sea teórico y práctico a la vez. Por esta
razón creo que es esencial en la enseñanza Ilevar a los alurnnos al convencimiento de que primero es forzoso aprender bien la teoría y de que una vez
aprendida é sta no ha concluido el aprendizaje, entonces viene la segunda
etapa, que es Ilegar a saber aplicar lo que ya saben, ésa es la práctica. Me
parece, pues, que en la combinación de estos dos saberes, saber una cosa y
saber aplicar ese saber, reside el saber científico. A obtener este resultado
deben ir dirigidos en acción conjugada la labor del profesor y de los alumnos.
Es cuestión de debate entre los pedagogos si conviene más la especialización o el enciclopedismo; las posiciones extrernas a uno y otro lado se prestan a
la sátira fácil y por razón de esta misma facilidad son frecuente objeto de chiste.
Especialización y enciclopedismo nacen del ansia de saber, ese casi instinto
primario e irresistible que se rnanifiesta en el hombre, o al menos en algunos
hombres, que le arrastra por una parte a aurnentar sus conocimientos en intensidad (especialización) y por otra a aumentarlos en extensión (enciclopedisrno).
Si admitimos que el saber sí ocupa lugar, es claro que la intensidad y extensión
en los conocimientos de un mismo hombre son conceptos complementarios en
el sentido de Bohr (escuela de Copenhague de la Mecánica Cuántica), aun
cuando la desconacida relación de incertidumbre (at estilo de las de Heisenberg)
que los gobierne varía de unos hombres a otros. Me parece que la buena
pedagogía consiste en conjugai^los de la manera más eficaz, eficacia que estará
sujeta a medidas variables, según se trate de formar investigadores, profesionales, etc. No hay que olvidar que la Universidad debe de ser, al mismo tiernpa, un
buen laboratorio de investigación, o fábrica de ideas donde se hace la ciencia, y
también un gran centro de formación profesional, el más superior del país,
donde se forman los profesionales que utilizando la ciencia y la técnica han de
ayudar a resolver no solamente los grandes problemas del país, sino también
los más pequeños que afectan a la vida cotidiana de sus conciudadanos.
A propósita de especialización y enciclopedismo, decía Bernard Shaw que
el especialista es una persona que «sabe cada vez más sobre cada vez menos,
hasta Ilegar a saber todo de nada»; decía yo que, parafraseando a Bernard
Shaw, se puede decir que un enciclopedista es una persona que sabe cada vez
menos sobre cada vez más, hasta llegar a saber nada de todo. Decía que
k^^.S^l ^it)Iti"f IC ^A E^^^+PAÑ(^}L;^
ambas frases eran ejemplos muy claros en el lenguaje de dos objetos matemáticos muy importantes del Cálculo de Probabilidades, al primera (la de Bernard
Shaw) de la distribución delta de Dirac, y la segunda frase de la que he
denominado distribución sigma. Definídas de una manera gráfica, la deita de
Dirac es una función que vale cero en todos los puntos de una recta salvo en
uno en que vale infinito, y cuya integral extendida a toda la recta vale la unidad;
la distribución sigma es una función que vale cero en todos los puntos de una
recta y que, sin ernbargo, su integral extendida a toda la recta vale también la
unidad. La sigma es más paradójica que la delta, parece Ilevar encerrada una
contradiccián, porque siendo igual a cero en todas partes no es cero, sino que
es otra cosa, es el objeto matemático que más se parece a cero. A las dos
expresiones anteriores se les puede dar otro giro que sería: «saber todo de
nada» y c<saber nada de todo», pero también hay otras dos expresiones del
lenguaje ordinario que al igual que las dos anteriores tienen su símil matemático
que serian: «saber nada de nada» y«saber todo de todo», la primera es la
imagen del surno ignorante y la segunda la imagen del ser omnisciente, sus
homólogos matemáticos hay que buscarlos en e1 álgebra de Booie (instrumen#o
de ia lógica maternática) y son el can junto vacío para la primera expresión y el
universo para la segunda. Dentro de estas cuatro expresiones anteriores tan
extremas, podríarnos decir que el ideal de un profesor debe de ser que los
alumnos Ileguen a«saber algo de algo», tendiendo a que este algo Ilegue a ser
«bastante sobre bastante».
En todas las épocas se han producido acontecimientos que les han dado
carácter, que han rnodificado profundamente la manera de ser, de vivir y de
pensar del hombre, unas veces han sido acontecirnientos políticos y sociales,
otras científicos y técnicos, otras religiosos o artisticos; e incluso muchas veces
el hombre contemporáneo de los mismos no ha tenido la suficiente perspicacia
para darse cuenta de su trascendencia, los ha ignorado hasta encontrarse
metido hasta el cuello en las consecuencias de los mismos, mientras que otros
supervalorados en el mornento en que se producen, pasan por la historia sin
dejar apenas huella, sin cambiar la estructura del mundo en que se produjeron.
En nuestros días la aparición de las grandes calculadoras electrónicas, que ha
muitiplicado de una manera íncreible la capacídad de cálculo, ha hecho viables
muchos proyectos que de otra forma hubieran permanecido quiméricos, les ha
permitido descender del mundo de la fantasía a! de la realidad, al igual que ha
hecho la Física moderna con ias concepciones atomísticas de Demócrito y
Leucipo.
En la actividad de la mente, el cálculo desempeña un papel parecido al de la
energía en la actividad de la materia, al igual que el hombre necesita disponer,
cada vez en mayor escala, de nuevos manantiales de energía para que tenga
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ai?
sentido el proseguir el desarrollo y perfeccionamiento de nuevos inventos,
asimismo necesita cada vez con mayor intensidad instrurnentos más potentes y
rápidos de cálculo para dar aplicabilidad a las nuevas técnicas matemáticas.
La aparición de los ordenadores ofrece uno de los ejemplos más claros de
repercusiones de los avances de la Técnica sobre la Ciencia, de cómo los
cambios tecnológicos pueden influir cambiando las ideas científicas y la mentalidad de los investigadores; que existe una correlación entre Ciencia y Técnica
es una creencia muy generalizada, en la que prácticamente todos o casi todos
están de acuerdo, aun cuando existan discrepancias sobre la importancia o
fuerza de esta correlación, cuya intensidad, aunque es difícil de medir
cuantitativamente, sí es relativamente fácil de apreciar cualitativamente.
Que los avances de la Técnica repercuten sobre el progreso de la Ciencia y
que el progreso de ésta trae a su vez nuevos avances de la Técnica es un hecho
también admitido, pero puede haber desacuerdo sobre quién debe rnás a quién,
si la Ciencia a la Técnica o al revés. EI avance de la Técnica repercute siempre
sobre la Ciencia experimental, porque el científico experimental utiliza para sus
experiencias tecnologías diversas; ejemplos hay muchos: el progreso y perfeccionamiento de la microscopía óptica y electrónica ha repercutido sobre la
Medicina y la Biología, cuanto mayores y mejores sean los telescopios, mayores podrán ser los conocimientos de la Astronomía y de la Astrofísica.
Otras veces el progreso de la Técnica repercute sobre la Ciencia porque
permite comprobar la veracidad de las nuevas teorías científicas, la veracidad
de una teoría física se comprueba o demuestra por la exactitud de los resultados experimentales que predice y así, por ejemplo, la mejora de la espectroscopía
técnica ha permitido comprobar la veracidad de la mecánica cuántica; en esta
comprobación ha sido decisivo el aumento del poder separador que ha desdoblado líneas espectrales simples (singuletes) en múltiples (dobletes, tripletes,
multipletes). EI que la técnica alcanzase un estado de desarrollo que permitiera
realizar el experimento Michelson fue decisivo para que los teóricos (Einstein)
pudieran desarrollar la teoría de la Relatividad o, al menos, para que los científicos de su época la tomaran en consideración y la admitieran.
Pero la aparición de los primeros ordenadores y su constante perfeccionamiento ha sido seguramente de todas las innovaciones tecnológicas la que
mayor repercusión ha tenido; son muy pocas, por no decir ninguna, las actividades humanas que no han sido revolucionadas por el ordenador. Pertenezco a
esa generación que en su época de estudiante no existían los ordenadores, que
los vio nacer con asombro y ha ido viendo con el transcurso de los años córno lo
han ido invadiendo todo, cómo se han ido haciendo indispensables en la vida
cotidiana, en el funcionamienta de las empresas, en la docencia, en la investi-
t^^;^T^AUItiT[(^^^ t:^l'A^ll ^ l.A
gación, etc. Sin entrar a discutir cuál es el mornento más apropíado para
introducir el ordenador en las auias, es evidente que e! estudiante de Estadística tiene que manejarlo, pero con cuidado para evitar el peligro de que en vez de
dominar !a persona al ordenador, domine el ordenador a la persona, de que no
se convierta en un juego, en una forma de hacer ciencia recreativa, el pensamiento debe ir siempre por delante y no olvidar que aún permanecen amplias
áreas del conocimiento científico inaccesibles al ordenador, que si bien el
hombre no puede resolver muchos prablemas sin echar mano del ordenador,
aún quedan muchos problemas que el hombre puede resolver y el ordenadar
no. En resumen, que el cerebro humano sigue estando por encima del cerebro
electrónico y que la inteligencia natural ha producido la inteligencia artificial.
Pueden verse estas ideas, u otras parecidas, más extensamente en mis
libros: «Filosofía de las Matemáticas», «Teoría de la Investigación Matemática», «Didáctica y Dialéctica de las Matemáticas», editados por possat; «Grandes Problemas de !a Filosofía Científica», editado por la Editora lVacional, e
«Introduccián a la Investigación en Física y Matemáticas», edítado por Ernpeño 14
Para lectores más especializados, doy a continuación unos ejemplos de
aplicaciones de la Estadística a la Física y a la Biología extraídos de mis
publicaciones científicas y de mis propias investigaciones.
EJEMPLOS DE APLICACIONES DE LA ESTADISTICA A LA FISICA
Y A LA BIOLOGIA
Los ejemplos que vamos a exponer son tres:
a)
Adición de variables aleatorias en número aleatorio.
b)
Probabilidad^s en cadena en los espacios euclídeos y de Hilbert.
c) Paralelisrno entre los sistemas lineales de ecuaciones en diferencias
finitas de primer orden cuando !os valores iniciales son aleatorios y las cadenas
de Markov en poblaciones de #amaño aleatorio.
Si ^,, ^2, ... , ^n... son variables aleatorias ( v.a.) independientes de la misma
distríbución de probabilidad de función característica (f.c.} cp ( t}, ^^ la suma de n
de dichas v.a. siendo n un número aleatorio entero no negativo de f.c. y^ (t}, la
f.c. de la distribución conjunta de ^^ y n, si hacemos el convenio de que la suma
es cero si el número de sumandos es cero, viene dada por la fórmula:
ftf•FI.f^:XlONf•ti tiO^iftf^ l.A UO(^f•N( IA ti" LA IN^'htiTl(;Al lON f^ti I A F^TA[^ItiT!( A
w /S log cp ( t) \
1 +
^
^
41 ^
(1)
donde s corresponde a n y t a^,,. La f.c. de la distribución marginal de ^n se
obtiene haciendo s igual a cero en (1). A este algoritmo le he denominado
adición de v.a. en número aleatorio.
He encontrado a este algoritmo varias aplicaciones en Física y Biología,
concretamente en la teoria cinética de la materia, y en Dinámica de Poblaciones. Son procesas estocásticos que se rigen por la (1), los dos siguientes, que
tienen un cierto parecido:
t _
W^()
^„_,
l09 ^P ( t)
i
.
!
' ^^
^
io9 wn-, (t)
i
(2)
y que se distinguen en la permutación de cp y yr. Ambas procesos estocásticos
están unívocamente determinados si se da el valor inicial yro (t). Si en la primera
(2) se hace yro (t) igual a exp. (it), f.c. que corresponde al número cierto 1, se
obtiene el proceso estocástico de la descendencia de un mismo progenitor,
supuesta que la descendencia aieatoria de cada individuo sean v.a. independientes de la misma distribución de probabilidad de f.c. cp (t).
La segunda (2) caracteriza los procesos estocásticos que he denominado de
fusión o de concentración. Si en la segunda (2) hacemos y^o (t) igual a exp. {it)
se obtiene el proceso estocástico de la formación de colonias, de modo que en
el instante enésimo las colonias formadas lo sean por la reunión aleatoria, de
f. c. cp (t), de las que existían en el instante anterior, y estando en el instante
inicial formadas por un solo individuo.
Las fórmulas anteriores son extensibles a varias variables, es decir, a distribuciones de probabilidad multivariantes.
La (1) es también válida si la y^ (t) en vez de ser la f.c. de un núrnero entero
no negativo aleatorio, lo es de un número real no negativo aleatorio, pero
entonces no admíte una interpretación inmediata como en el caso anterior.
A este nuevo algoritmo lo he denominado integración de una v.a. en un intervalo
aleatorio. Ejemplos son los siguientes: si yr (t) es la f.c. de la distribución
exponencial que es:
1
1--it/^,
{3)
y cp (t) es exp: (-62 t2/2) que es la f.c. de la ley normal (distribución de Gauss),
entonces:
f^^iA[)Itiil( .^f tif'Ati( ^ I A
-^llf^
^
log c^ (t)
1
i
1+ a 2t 2/2^.
(4}
que es la f.c. de la Ilamada primera ley de los errores de Laplace.
Si cp (t) es la misrna que en el caso anterior, y yr (f) es la f.c. de la distribución
de Levy exp. (-- ^^]2it ^), entonces la primera (4) es igual a:
exp. (- ^ c^ t ^)
(5)
que es la f.c. de la distribución de Cauchy.
Los cuadrados de ias coordenadas de un punto que se mueve sobre una
circunferencia (o una esfera) de centro en el origen y radio la unidad definen
una distribución de probabilidad binomial (o trinomial). Si el punto se mueve con
movimiento cierto sobre la circunferencia (o la esfera), la anterior distribución de
probabilidad varía con el tiempo. Un fenórneno de este tipo lo he Ilamado
indeterminismo de primera especie, porque al existir una ley de probabilidad el
fenómeno es indeterminado, pero al variar con el tiernpo !a ley de probabilidad
de manera cierta, el fenómeno es menos indeterminado que si la ley de probabilidad variase de modo aleatorio. Cuando la ley de probabilidad varía en el
#iempo de modo aleatorio, entonces digo que existe indeterminismo de segunda
especie, en el ejemplo anterior se daría cuando el punto se moviese sobre la
circunferencia (o la esfera) con un movimiento aleatorio, el movimiento browniano
por ejemplo.
EI caso anterior es el ejemplo más sencillo de las que he Ilamado probabilídades en cadena en los espacios euclídeos o de Hilbert, tanto reales como
compfejos, probabilidades en cadena que me han sido sugeridas por !as estructu^-as matemáticas de la Mecánica Cuántica. En el caso más general del espacio
de Hilbert clásico complejo, es decir, del espacio límite del espacio euclídeo
complejo de n dimensiones, cuando ene tiende a infinito, siendo convergente la
serie de los cuadrados de los módulos de las coordenadas de cualquier punto;
defino las probabilidades en cadena mediante la ecuación:
^ ^
^n - u^-, A
(6)
en la que ú es un vector unitario y A una matriz unitaria. Los cuadrados de los
módulos de las componentes del vector ú definen una distribución de probabilidad discreta que varía en el tiempo. Existen profundas diferencias entre las
cadenas de Markov y estas nuevas probabilidades en cadena, para estas últirnas existen fenórnenos de interferencias de probabilidad, análogas a las
interferencias luminosas, y no se cumple el teorema ergódico.
kf^Fl_f•:!^111Nf^ti til)t3RE^ 1.,^1 [^(1('h:N('IA ti" L^ IN^'f^^ti^1I<;Al^l(1^J f^ti l ^A f^ti^^AOIti"f1t^1
^^^
De forma parecida a la (6) se pueden definir probabilidades en cadena en el
espacio de Hilbert de las funciones de cuadrado surnable, siendo entonces las
distribuciones de probabilidad continuas en vez de discretas.
Voy a resaltar por último el parecido entre dos procesos estocásticos muy
alejados entre sí en su materialización. Uno de ellos es el de la resolución de
sistemas lineales de ecuaciones en diferencias finitas de primer orden de coeficientes constantes, cuando los valores iniciales son aleatorios en vez de ciertos, lo que puede tener mucha aplicación en Econornetría y en Biometría. Si en
notación vectorial el sistema se escribe:
(7)
Xn = A X
n-1
donde A es una matriz cualquiera no degenerada (es decir, de determinante no
nulo), la f.c. de la solución es:
^n (z1 - ^n-, (z A) = cpo (z An)
(8)
siendo cpo (z^ la f.c. de los valores iniciales aleatorios.
En el caso de las cadenas de Markov si g(^ es la función generatriz ( f.g.) de
la población aleatoria y A la matriz estocástica de las probabilidades de transición, la f.g. al cabo de n transiciones es:
^
^
^
gn (z) ` 9'n-, (A z) = go (An z)
(9 )
siendo go la f.g. antes de comenzar la cadena de Markov.
La (8) es extensible a ecuaciones diferenciales, y la (9) a cadenas de
Markov en las que el tiempo es una variable continua en vez de discreta.
Existen parecidos entre la (8) y la (9), pero también profundas diferencias;
en la primera intervienen f.c. y en la segunda f.g., en la primera la matriz es
cualquiera con tal de no ser degenerada y multiplica al vector a la derecha,
mientras que en la segunda la matriz es estocástica y multiplica al vector a la
izquierda. Los comportamientos asintóticos son también muy diferentes, la primera me ha Ilevado a unos nuevos objetivos matemáticos que he Ilamado
funciones diagonales, y la segunda a una modificación del teorema ergódico, y
así si A es una matriz biestocástica, cuando n tiende e infinito, la f.g. tiende en
el límite a una función de la forma:
-^
9'^x, (z) = h
Z^+... +Zm
m
(^ p)
-l I X
1^.ti1 AUI^TI<^.A t^^.4f'^^^Ilt.^1
si m es el número de estados de la cadena de Markov. Este resultado es en el
que se transforma el teorema ergódico para las cadenas de Markov en poblaciones de tamaño aleatorio.
En el caso m^s sencillo, una función diagonal de dos variables es una
función definida por:
G (x, y} = F [min (x,Y)]
(11)
donde G(x, y) es la funcián de distribución {f.d. ) de dos v.a. casi ciertamente
iguales, cuya f.c. es la cp (t + z), siendo cp {t) la f.c. de la f.d. F{x). Por min
denotamos el valor rnínimo.
A medida que aumenta el número de variables va aumentando la complejidad de las funciones diagonales.
Estos ejemplos deben de aclararnos la profunda simbiosis que existe entre
Ciencia pura y Ciencia aplicada. Los resultados de la primera se aplican a la
resolucián de los problemas de la segunda, pero con relativa frecuencia la
resolución de las problemas de la segunda trae consigo la adquísición de
nuevas verdades o conocimientos que caen de Ileno dentro del ámbito de la
primera.
CONSIDERATIONS ON THE TEACHING AND RESEARCH OF
STATISTICS AS APPLIED TO PHYSICS AND BIOLOGY
SUMMARY
In the first section, a study is made of the teaching and scientific
research in Statistics and a!aw is enunciated by the author according
to which human needs create science and technique, the word «needs»
being understood in a broader meaning than is usual. Two principies
are stated likewise, which the author calls those of Athenea and
Hephestos and which are the two great spríngs of scientific research;
the first is reiated to the pleasure felt by the hurnan mind when its
intellectual search and its craving for knowledge is complied with;
the second is connected with the challenge inherent in the struggle
for the satisfaction of inen's material needs.
Rf^FI,h.YIONf^ti til^FiRf^ LA O( ^('f•N( I^> 1 l:^ iN^'F^:til^(^.^('Ic^N f ti l A f ^TA[)I^+fll A
In the second section, some examples are given of applications
of statistics to physics and biology, taken from the author's own
research.
Keywords: Teaching of statistics, statistical applications.
AMS classification: 62-01, 62-03.
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