Números de Stirling de primera clase y segunda

Números de Stirling de primera clase.
Dado el grupo de permutaciones Sn sobre un conjunto de n elementos, se podría
plantear la cuestión de cuántas permutaciones se pueden descomponer exactamente
en k ciclos. A este número S1(n,k) así definido lo llamaremos Número de Stirling de
primera clase.
Por ejemplo, el número S1(4,3) = 6 significa que hay seis permutaciones de 4
elementos (por ejemplo. en el conjunto 1234) que se pueden descomponer en 3 ciclos.
Serían estas: (1)(2)(34), (1)(3)(24), (1)(4)(23), (2)(3)(14), (2)(4)(13) y (3)(4)(12).
Se puede definir S1(n,0) con n>0 como 0, y aceptaremos que S1(0,0)=1 y que
S1(0,n)=0.
Es claro que se cumple que S1(n,n)=1 pues sólo obtendríamos la permutación
identidad, y es fácil demostrar que S1(n,1)=(n-1)!
Los primeros números de Stirling de primera clase son
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
1
0
1
2
0
1
1
3
0
2
3
1
4
0
6
11
6
1
5
0
24
50
35
10
1
6
0
120
274
225
85
15
1
7
0
720
1764
1624
735
175
21
1
8
0
5040
13068
13132
6769
1960
322
28
1
La propiedad fundamental de estos números, y que permite generarlos en una tabla,
es la siguiente:
S1(n,r) = (n-1)*S1(n-1,r)+S1(n-1,r-1)
Se puede comprobar en la tabla.
Números de Stirling de Segunda Clase
Es interesante preguntarse cuántas particiones distintas de k subconjuntos se pueden
definir en un conjunto de n elementos. El resultado se denomina como número de
Stirling de segunda clase y lo representaremos por S2(n,k). Así, el número S2(5,4)
representará el número de particiones distintas en cuatro subconjuntos disjuntos que
se pueden definir en un conjunto de 5 elementos. Por ejemplo, en el conjunto
{1,2,3,4,5} se pueden definir estas particiones de 4:
{1}{2}{3}{45}, {1}{2}{4}{35}, {1}{2}{5}{34}, {1}{3}{4}{25}, {1}{3}{5}{
24},
{1}{4}{5}{23},
{2}{3}{4}{15},
{2}{3}{5}{14},
{2}{4}{5}{13},
{3}{4}{5}{12}. En total 10, como se puede comprobar en la tabla de abajo.
Es claro que S2(n,0)=0 y que S2(n,1)=S2(n,n)=1 porque sólo hay una forma de partir
un conjunto de n elementos en conjuntos de n elementos (él mismo) y también una
sola forma de partirlo en n subconjuntos (los de un solo elemento).
La propiedad que permite generar estos números es:
S2(n,r) = r*S1(n-1,r)+S1(n-1,r-1
Puedes comprobar esta propiedad en la siguiente tabla de números de Stirling de
segunda clase:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
0
1
2
0
1
1
3
0
1
3
1
4
0
1
7
6
1
5
0
1
15
25
10
1
6
0
1
31
90
65
15
1
7
0
1
63
301
350
140
21
1
8
0
1
127
966
1701
1050
266
28
1
9
0
1
255
3025
7770
6951
2646
462
36
1
El número total de particiones que admite un conjunto, independientemente de su
estructura, se llama número de Bell del conjunto y se representa por B(n). Es
evidente que se pueden deducir de los anteriores sumando toda una fila. Los primeros
números de Bell son, por tanto:
0
1
1
1
2
2
3
5
4
15
5
52
6
203
7
877
8
4140
9
21147
10
115975
Definición
Los Números de Stirling de segunda especie S(n,k) se definen como la cantidad de
maneras que existen de hacer una partición de un conjunto de n elementos en k
subconjuntos. La suma
es el n-ésimo Número de Bell. Si tomamos la fórmula
(en particular, (x)0 = 1 porque se trata de un producto vacío), podemos
caracterizar los números de Stirling de segundo tipo mediante
Relación de recurrencia
Los Números de Stirling de segunda especie obedecen la siguiente relación de
recurrencia
con
Por ejemplo, el número 25 en la columna k=3 y la fila n=5 viene dado por
25=7+(3×6), donde 7 es el número de arriba a la izquierda del 25, 6 es el
número que hay encima del 25 y 3 es la columna conteniendo el 6.
Fórmula explícita
Los Números de Stirling de segunda especie vienen dados por la siguiente fórmula
explícita: