NOTA : ESTE TALLER ES PARA ESTUDIO NO SE RECIBIRÁ a b 40º

TALLER DE
REFUERZO
HFFG DE
Grado Décimo
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
Trigonometría
NOMBRE___________________________________________________ junio 21 de 2013
Logro: Aplicar las razones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos.
CI identifica los datos para resolver de un triángulo rectángulo
CA Sustenta la solución de un problema con ángulos de elevación y depresión
CP Propone interpretaciones trigonométricas para resolver problemas
1. Calcula el valor de a en cada figura
y
76º
a
1u
30º
56º
10 3
a
1.6u
5. Halla el perímetro de un cuadrado
inscrito en una circunferencia de radio
12cm.
3.5u
11u
39º
32.5º
a
a
2. Resuelva los triángulos(determina todos
los lados que faltan y los ángulos)
x
4.5
40º
6. Desde la azotea de un edificio de 95 m.
de altura, se observa un automóvil con
un ángulo e depresión de 25º. ¿cuál es la
distancia del automóvil a la base del
edificio, medida horizontalmente?
65
x
36º
25º
28º
y
95m
y
X
6
x
2x
X
7. ¿Cuál es la longitud de la sombra que
proyecta un edificio de 120m de altura,
cuando el sol presenta un ángulo de
elevación de 35º desde la azotea de un
edificio?
y
3. Halla los valores de a y b.
20º
b
35º
a
40º
120m
100m
4. Halla el valor de y.
X sombra
8. Un avión vuela sobre un observador a
350km/h. Un minuto después para ver el
avión, debe mirar con un ángulo de
NOTA : ESTE TALLER ES PARA ESTUDIO NO SE RECIBIRÁ
elevación de 20º. ¿A qué altura viaja el
avión?
2,1
x
42º
9. Halla la altura de los árboles
30º
45º
1.4
1,1m
2,3m
3.2m
13. Un edificio está en la orilla de un lago. Un
observador está ubicado en dirección
opuesta en la otra orilla y los separa el
agua. Dispone de un utensilio para medir
ángulos y de escala para medir
pequeñas distancias. Sobre el piso plano
mide una distancia de 1m y los ángulos
que forman las visuales que van de los
extremos del segmento a la parte mas
ala del edificio son 45º y 40º
respectivamente. ¿Cuál es la altura del
edificio?
10. Busca la medida de los lados y los
ángulos que hacen falta.
θ
45º
w
x
1m
δ
z
y
β
ε
α
38º
10cm
11. ¿Cuál es el ángulo que debe formar un
techo, con la horizontal, si las vigas que
lo contienen tienen una longitud de 5m y
el pilote central de 0,6m y cuál l longitud
de la viga horizontal?
5m
α
40º
0,6m
12. Un muro de una casa tiene 2,1 m. Para
alcanzarlo es necesario una escalera que
forme 42º con la horizontal. ¿cuál es la
longitud de la escalera?
14. Los organizadores de una prueba
ciclística ordenan a un constructor una
rampa de 10m de largo y que se levante
del suelo una altura de 3m. ¿Cuál es el
ángulo de elevación de la rampa?
15. Un río tiene las dos orillas paralelas.
Desde los puntos
P y Q de una
orilla se observa
N
un punto N en la
orilla opuesta si
P Q
las visuales
forman con la orilla ángulos de 40º y 50º,
respectivamente y la distancia entre los
puntos P y Q es 30m.¿cuál es el ancho
del río?
16. Con los datos de
la figura
demuestro
h
β
l tan α
tan β − tan α
l tan α tan β
h=
tan β − tan α
x=
x
α
NOTA : ESTE TALLER ES PARA ESTUDIO NO SEl RECIBIRÁ
TALLER
Nº 2
REAL COLEGIO SANFRANCISCO DE ASIS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
Trigonometría
10º
NOMBRE_______________________________________________________________
Enero 21 de 2013
Logro: Establecer las distintas Razones entre los lados de un Triángulo Rectángulo.
CI Reconozco las razones Trigonométricas de un triángulo rectángulo
CA Sustenta la solución de triángulos rectángulos mediante la aplicación de razones
CP Soluciona problemas sobre triángulos rectángulos usando las razones Trigonométricas
1.
Halla los valores exactos para seno, coseno y tangente
del ángulo θ y β en cada triángulo.
6. Si senα =
3
, halla el valor de la expresión
4
sen α . sec α
2
β
2
1
1
β
θ
θ
θ
2y
β
x
β
y
θ
x
2. En cada uno de los triángulos rectángulos halla el
valor de cada una de las razones trigonométricas
para los ángulos α y β
a
β
10
α
6
b
α
β
a2 + b2
8
2 10
3
β
α
7
3. Traza un triángulo para la razón trigonométrica
dada y encuentra las otras cinco razones restantes.
2
1
a) cos α =
b) senβ = c) csc φ = 2
3
2
3
2
d) tan φ =
e) cot β =
f) sec α = 3
2
5
4. Escribe todas las razones trigonométricas para los
ángulos agudos de un triángulo, cuyos lados son
3cm, 4cm y 5cm.
5
, encuentre el valor de
2
tan θ . cot θ + cos θ . sec θ
3 2
8. Si csc α = 3 y sec β =
escribe los valores
4
7. Si tan θ =
de:
a) sen α
b) sec α
c) tan β
d) tan(90º − β ) e) sen(90º − β )
A
9. Con base
en el
c
triángulo
b
rectángulo
ACB,
C
B
a
resuelve:
a) Si a=44 y b=5 halla las razones trigonométricas de
los ángulos A y B
b) Si a=5 y c=16, halla las razones trigonométricas de
los ángulos A y B
c) Si b=6 y c=10, halla las razones trigonométricas de
los ángulos A y B
10. Relaciona las funciones trigonométricas
complementarias
Sen30º
cot20º
Tan20º
sen55º
Cos35º
cos60º
11. Uso la calculadora científica para comparar los
valores de las funciones trigonométricas (escribo >,
<, o, = )
a.
trigonométricas para el ángulo α
(
π
cos
c.
tan 30º
d.
tan 30º. sec 60º
f.
4
tan 60º.sen
csc 60º cot
(
)
cos
(
)
tan
π
4
π
3
sen
)
b.
e.
8
5. Si cos α =
, busca las demás razones
10
sen30º
(
(
( )
)
)
sen
cot 30º. cos
sen60º. tan
π
3
π
6
π
4
π
6
π
4
π
3
TALLER # 3
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS NEGATIVOS
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
NOMBRE_____________________________________________________ JUNIO 21 de 2013
Logro: Determinar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo negativo.
CI Identifico los signos que toma las funciones de un ángulo negativo
CA Explico las razones para identificar el signo que tomas las funciones trigonométricas
CP Utilizo las funciones trigonométricas del ángulo de referencia para calcular la función trigonométrica de un ángulo
negativo.
1. Halla los valores de las razones
trigonométricas.
3π
a) sen(-60º)
g) sen(− )
4
5π
b) csc(-250º)
h) cos(− )
3
11π
c) cos(-120º)
i) tan(−
)
2
5π
d) cot(-186º)
j) cot(− )
3
e) tan(-175º)
f) sec(-330º)
2. Determina el valor exacto de las
operaciones. Utiliza la tablas de las
razones de 30º, 45º y 60º
a) Sen(-60º)cos(-120º)+cos(-60º)sen(-120º)
b) Sen(-150º)cos(-30º)-cos(-150º)sen(-30º)
tan(−30º ) + tan(−60º )
c)
1 − tan(−30º ) tan(−60º )
d) Csc(-90º).cot(-60º)-3
e) tan2(-45º)sec2(-210º)
f) 2cos2(-60º)+2sen2(-60º)
3. ¿Es sen2(- α )=sen2 α
4. Si A =30º, B = 150º y C = 120º, halla sin
utilizar calculadora (utiliza la tabla de
valores de 30º, 45º y 60º)
a) sen(-A) cos B
b) cos(-C) sen(-B)-cos(-B) sen(-C)
c) Sen (A-B)
d) cos(A-B)
e) tan(C-B-A)
5. Completa el siguiente cuadro
π
F
120º
210º
-
3
-300º
1300º
sen
cos
tan
csc
sec
cot
6. Indico cuáles de las siguientes igualdades
son falsas y cuáles verdaderas. Justifico la
respuesta:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Sen(-87º) = sen87º
-cos(-312º)= -cos312º
Tan(-246º) = -tan246º
-sen(-123º) = sen123º
Cos(-235º)= -cos55º
–tan(-126º) = tan54º
7. Escribo las siguientes funciones
trigonométricas en función del ángulo de
referencia. Recuerde tener en cuenta los
signos.
a)
b)
c)
d)
e)
Sen(-87º)
tan(-235º)
cos(-2315º)
sen(-895º)
tan(-2856º)
f) cos(-124º)
g) Sen(-1004º)
h) Tan(-1256º)
i) cos(-827º)
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
TALLER
Nº 4
Trigonometría
Grado: Décimo
NOMBRE_____________________________________________________________ JUNIO 21 de 2013
Logro: Identificar las identidades Trigonométricas Fundamentales
CI Valido la igualdad de expresiones trigonométricas.
CA Argumento procesos de conversión y deducción de identidades a través de la factorización.
CP Propongo soluciones y condiciones para determinar igualdades trigonométricas.
4
3
1. Dado tan θ = , con 0 ≤ θ ≤
π
2
, aplico las
identididades fundamentales para
determinar:
a) sec θ
b) cos θ
2. Usando las identidades fundamentales, con
0 ≤θ ≤
π
2
, calculo las funciones
trigonométricas que faltan, si:
3
2
2 3
csc θ =
3
3
cot θ =
3
1
4
a) senθ =
d) cos θ =
b)
e) tan θ = 3
c)
f) cot4ψ+cot2ψ-3
6. La expresión
sec x + tan x
sec x − tan x
en (secx + tanx)2. Escribo un listado con las
identidades básicas que se emplearon en la
transformación
7. Relaciona cada expresión de la izquierda con
una sola expresión equivalente a la derecha.
a) Tanα cotα
cos2α
b) Cos2α-sen2α
1
c) (1 − senα )(1 + senα )
secα
d)
1
1
−
senα csc α
e) Cosα + senα.tanα
3. Escribo cada expresión en términos de la que
se indique:
a) tan α en términos de senα
b) senα en términos de sec 2 α
c) csc α en términos de cos 2 α
puede transformarse
1-2sen2α
cscα - senα
8. Encuentro el valor de k (simplificando) con el
cual se establece una identidad.
a) Senx.tanx = k + secx
sec 2 x
= sec x. csc x
k
1 cos 2 x
c)
=
+ senx
k
senx
k2
d)
= cos x + 1
csc x − 1
k −1
e)
=k
1 − cos x
1
f)
= csc x − senx
k sec x
b)
4. Simplifica cada expresión, utilizando las
identidades fundamentales.
a) Senx.cscx
f) cosxtan2xcsc2x
b) Cotx cscx secx (1-cos2x)
c) senx (cscx - senx)
d)
cos 2 y
seny − 1
e) tan x −
sec 2 x
tan x
g)
h)
1
1 + tan 2 x
1
1
+
1 + senx 1 − senx
5. En cada literal factoriza la expresión
trigonométrica.
a) sen2xcos2x-sen2x
b) 1- sen2 φ+sen4 φ
c) cot3φ-cot2φ-cotφ+1
d) cos4φ+3cos2φtan2φ+2tan4φ
e) tan3ψ-1
9. Verifico cada identidad
a) Secx - cosx = senx.tanx
b) Senx + cosx.cotx = cscx
c)
d)
1 + tan 2 α
sec2 x
=1
(1 + senx)
= 1 + csc x
senx
e) cot2x+2=csc2x+1
f) 4-csc2z= 3 – cot2z
g) Sec4x-tan4x = 2sec2x -1
h)
csc α
cot α
=
1 + sec α 1 + cos α
i) Tanx.cotx =1
j) Senα secα = tanα
k) Cosө (tanө + secө) = senө+1
senθ
= sec θ − cos θ
cot θ
sec x
m) tan x =
csc x
l)
n) (1-sen2ө)(1+tan2ө)=1
o)
senx cos x
+
=1
csc x sec x
senx
= cos 2 x
csc x
q) (1+tanx)(1-tanx)=2 - sec2x
r) (1+cosx)(1-cosx) = sen2x
s) Sec4x –sec2x= tan4x+tan2x
p) 1 −
senδ
1 + cos δ
+
1 + cos δ
snδ
u) cos x = senx. cot x
t) 2 csc δ =
v) ( senθ + cos θ ) 2 = 1 + 2senθ cosθ
w) csc 2 θ (1 − cos 2 θ ) = 1
x)
1 − senx
cos x
=
cos x
1 + senx
y) ( senθ + cos θ ) 2 + (senθ − cosθ ) 2 = 2
z) tan 2 x cos 2 x + cot 2 xsen 2 x = 1
aa) tan x +
cos x
= sec x
1 + senx
bb) sec 4 x − sec 2 x = tan 2 xec 2 x
cc) cos 2 x − sen 2 x = 2 cos 2 x − 1
dd)
ee)
ff)
tan x − cos x + 1 senx + 1
=
senx + cos x − 1
cos x
tan x − senx
senx 3 x
=
sec x
1 + cos x
tan 2 θ csc 2 θ cot 2 θsen 2θ = 1
gg) tan xsenx + cos x = sec x
hh)
sen 3 x + cos 3 x
= 1 − senx cos x
senx + cos x
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
DEL
TALLER
Nº 5
Trigonometría
Grado Décimo
NOMBRE_________________________________________________
NOMBRE_____________________________________________________________
JUNIO 21 de 2013
Logro: identificar las identidades Trigonométricas Fundamentales
CI identifico y resuelvo ecuaciones trigonométricas
CA Justifico algebraicamente la solución de ecuaciones trigonométricas.
CP utilizo análisis gráfico para solucionar ecuaciones trigonométricas.
Resuelvo las siguientes ecuaciones para valores del ángulo entre 0 2
1. cos x = −
2.
3.
4.
5.
3
2
senx = 1
cos 2 x − sen 2 x = 0
2 cosα = 0
2senφ = 0
6. sec x = 2
1
2
2
8. cot x − 4 = 0
7. cos 2 x = −
9.
3 tan x = 1
10. 3 sec x = −2
11. 4senω = −3
12. 2 cos x = 3
13. 4 tan α = 5
14. 3 csc x = 1
15. 2 cos x.senx = 1
1
16. cos 2 x = −
2
2
17. cot x − 4 = 0
18. 2 cos x = 3
19. 4 tan α = 5
20. 3 csc x = 1
21. csc 2 x = 1
1
22. sen 2 x =
2
α
23. tan = 1
4
α
24. cos = −1
3
25. sen 2α = senα
1
26. cos 2 ο = cos ο
2
27. senx. cos x = 0
sec α
28.
= −1
csxα
29. 3 tan 2 α = 1
30. sec 2 ε = 2
31. 4 senx. cos x = 1
1
32. sen 3α = senα
2
33. senx − cos x = 0
34. tan x = csc x
35. sen 6ϕ + sen ϕ = 0
39. 2 tan x = − 3
40. 3senx=-2
41. Cos2x+cosx=
Cos2x+cosx=-1
42. Sen4x-2sen2
2sen2x=0
43. sen(30º +x) − cos(60º + x) = −
44. Sen2x+5cos2x=3
45. Sen2x=1+senx
46. Cot2x-4=0
47. 2sen2t+3sent+1=0
48. 2cos2x+2senx
x+2senx-12=0
3
49. 2sen x+sen2x+senx
x+senx-1=0
2
2
50. Cos x-sen x=0
51. 2cotx.secx+2secx+cotx+1=0
52. tanx+cotx=secx.cscx
anx+cotx=secx.cscx
53. 2csc2x+cot2xx-3=0
54. Cos2x+cosx=
Cos2x+cosx=-1
55. 2 senσ = sen 2σ
56. Senx-2cscx=
2cscx=-1
36. 4 tan 2 x = 3 sec 2 x
37. 2 cos 2 x − 3 cos x = 1
38. sen 2 x = cos x
57. El voltaje de una señal electrónica oscilante, medido en milivoltios,
m
está
determinado por la expresión: V = 125 cos(wt − φ ) donde W = 120π el ángulo
fase φ =
π
y t es el tiempo en segundos. El mecanismo disparador de un
2
osciloscopio comienza a funcionar cuando v = 60. ¿Cuál es el menor valor positivo
de
e t necesario para que funcion el oscilador?
3
2
Trigonometría
Grado: Décimo
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
TRANSFORMACIONES
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
TALLER
Nº 6
NOMBRE__________________________________________________________JUNIO 21 de 2013
Logro: Analizar los cambios en una gráfica al modificar las variables
CI Identifico las gráficas de una función trigonométrica de acuerdo con las transformaciones aplicadas
CA Explico la transformación aplicada de acuerdo al parámetro grafico dado
CP Propongo transformaciones para obtener funciones dadas
a) ¿Como se relacionan los valores de y =
senx con los valores de las funciones f(x) y
g(x)?
b) ¿Cuál es el mayor valor que toman las
funciones f(x) y g(x)?
c) Traza las gráficas de y = senx, f(x) y g(x) en
un mismo sistema de referencia.
1. Hallo amplitud, periodo, desplazamientos
verticales y horizontales (si los hay),
dominio y rango de las siguientes
funciones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2 j) 3
k) 2
2
3
2
2cos 3
2
5 6
0
4
2
i 2
j os 2
2. Realizo una representación gráfica de las
funciones dadas en el punto anterior.
3. Completa la siguiente tabla.
3
g(x)= 3
4
2
4
√2
2
3√2
2
-1
0
0
4
2
3
4
√2
2
4. Completa la siguiente tabla.
2
1
2
1
1
1
0
-1
3
4
-1
1
5
4
3
2
7
4
√2
2
0
2
1 √2
3 2
a) ¿Cómo se relacionan los valores de de
, 2, cos ?
b) ¿Cuál es el mayor valor que toma la
función ?
c) ¿Cuál es el mayor valor que toman las
funciones 2, cos ?
d) Traza las gráficas de las tres funciones y
compáralas.
e) Traza la gráfica de 4
5. La corriente I ( en amperios) en un circuito de
corriente alterna en el instante t(segundos)
está dada por:
# 30
50$ %&
a) ¿Cuál es el valor mínimo de t para el cual I
es 15?
b) ¿qué interpretación tiene el valor de 30?
c) ¿cuál es el periodo de la función y cómo
se interpreta?
6. Escribo una ecuación para cada gráfica.
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
Grado 10º
LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS
Trigonometría
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
NOMBRE_________________________________________________
NOMBRE____________________________________________________________
JUNIO 211 de 2013
TALLER
Nº 7
Logro: Aplico la ley de los senos y los cosenos en la solución de problemas de triángulos
CI identifico los teoremas del seno y coseno
CA Aplico los teoremas del seno y coseno en la solución de problemas.
CP argumento la solución de problemas aplicando los teoremas del seno y coseno.
1. Encuentro el valor de x en cada figura dada.
60
30
3.5
5u
x
u
x
30
4u
4. Cálculo los ángulos del triangulo de la
figura.
x
x
90u
10u
120u
2. Con base en la figura y en los datos dados
en cada literal, calcula los demás
elementos del triángulo.
b
α
θ
α
10.2 cm
8.4cm
100
15
20
Sugerencia: mediante la ley del coseno calcula
algún ángulo y con éste, encuentra una de sus
alturas.
b.h
Finalmente A =
2
a
β
c
α = 40º β = 60º a = 10cm
θ = 80º , c = 12cm, b = 11cm
α = 40º , β = 60º , a = 10cm
α = 34.5º , c = 57.3cm, a = 43.6cm
α = 40º , β = 60º , a = 10cm
α = 50º , β = 70º , a = 23.5cm
β = 84.6º , b = 2.92cm, c = 1.36cm
α = 45º , b = 15cm, c = 20cm
θ = 60º , b = 10cm, a = 12cm
α = 55º , a = 2.11cm, b = 3cm
15.4cm
5. Dos ciclistas viajan por dos carreteras
recta que forman un ángulo de 75.4º y
que comienzan en una estación.
estació Si las
velocidades son 15km/h y 22km/h, ¿qué
distancia los separa media hora después si
partieron al mismo tiempo de la estación?
estación
6. Un barco navega 40km entre las ciudades
A y B, con rumbo 65º nor--occidente. Desde
la ciudad B se dirige a otra ciudad C con
rumbo 30º Noreste distante 250km,
a = 5cm, b = 7.5cm, c = 6cm
a = 10, b = 10cm, c = 7cm
3. Los lados de un triángulo miden 4 cm,
5cm y 7cm. ¿cuánto
cuánto mide el área
área?
como muestra la figura. Calcula la
distancia entre las ciudades A y C y el
rumbo que debe tomar el barco si el
es la altura del árbol y a qué distancia está
la cúspide de cada punto de observación?
regreso lo hace directo entre las ciudades.
7.
Una torre inclinada 10º de la vertical, está
sujeta por un cable desde un punto P a 15
metros de la base de la torre. Si el ángulo de
elevación del cable es de 25º. Calcula la
longitud del cable y la altura de la torre.
8. Una persona observa un avión y un barco
desde la
cúpula
de un
faro, tal
como lo
muestra
la figura.
¿Cuál es la distancia que hay del barco al
avión y del barco al observador?
9. Un hombre mide el ángulo de elevación
de una torre desde un punto situado a
100 m de ella. Si el ángulo medido es de
20° y la torre forma un ángulo de 68° con
el suelo, determina su altura AB.
10. Un árbol es observado por dos puntos
opuestos, separados 250 metros con
ángulos de elevación de 30º y 25º. ¿Cuál
11. Dos autos parten de una estación y siguen
por carreteras distintas que forman entre
si un ángulo de 80º. Si las velocidades
son de 60km/h y 100 km/h, ¿Qué
distancia los separa después de hora y
media de recorrido?
12. Las diagonales de un paralelogramo
miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que
forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
13. El radio de una circunferencia mide
25 m. Calcula el ángulo que formarán las
tangentes a dicha circunferencia, trazadas
por los extremos de una cuerda de
longitud 36 m.
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
LA PARÁBOLA
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
TALLER
Nº 8
Trigonometría
Grado Décimo
NOMBRE______________________________________________________________
NOMBRE____________________________________________________________
Logro: Construir la ecuación estándar de una parábola a partir de su definición como sección cónica
CI Analizo e interpreto información sobre parábolas en gráficos y ecuaciones.
ecuaciones
CA Argumento procedimientos y respuestas a problemas planteados.
planteados
CP Propongo mecanismos analíticos en la resolución de problemas.
1.
Encuentro las coordenadas del vértice, el foco y la
ecuación de a directriz de las siguientes parábolas.
Haz un gráfico de las mismas.
a.
y 2 = 16 x
e)3 y 2 = −9 x
b.
x 2 = 25 y
f )15 x 2 = −6 y
c.
x 2 = −12 y
g )9 x 2 = 36 y
d.
2.
y 2 = −3 x
h) y 2 = −16 x
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
3.
Encuentro, en cada ejercicio, la ecuación de la
parábola de acuerdo con la información dada.
Eje en “y” que contiene a (2,5)
Eje en “x” que contiene a (2,5)
Foco en (-2,0), vértice en (0,0)
Contiene a (2,3), (-2,3) y (0,0)
Contiene a (-3,5),(-3,-5) y (0,0)
Foco en (0,7) y vértice en (0,0)
Foco en (0,1/5) y vértice en (0,0)
Foco en (0,-2) y directriz y=-6
Realizo las gráfica de las siguientes parábolas.
Indico el vértice y el foco.
a.
y = x 2 + 3 e) x 2 + 2 x + y + 1 = 0
b.
y = x2 − 2 f ) y2 + 4 y − x + 4 − 1/ 2 = 0
c.
y = ( x − 3) 2
d.
4.
36( y + 3) 2 = 100 x
y = −x 2 − 5x + 2
b.
y = 10 − 7 x 2
c.
− 11x + 6 x 2 − 5 = y
d.
5.
− 3x + 2 + 5 x 2 − 5 = y
b.
6.
b
c
Analizo las ecuaciones y determino si se abre
hacia arriba o hacia abajo.
a.
a.
a
Analizo las ecuaciones y determino si se abre
hacia la izquierda o hacia la derecha.
2
2
( y − 1) = −4( x − 2) c ) y = −7 + x
2
2
( y + 5) = 12 + x
d) − 8 + x = y + 2
Apareo cada gráfico de la figura con su ecuación.
1) x 2 − 4 x − 5 y − 11 = 0
2) 2 x + y 2 = 0
3) x 2 + 10 x + 3 y + 13 = 0 4) y 2 − 2 x − 4 y + 6 = 0
d
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
LA CIRCUNFERENCIA Y SU ECUACIÓN
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
TALLER
Nº 9
Trigonometría
Grado Décimo
NOMBRE_________________________________________________
NOMBRE____________________________________________________________
Logro: hallar la ecuación de la recta. Establecer condiciones para caracterizar posiciones entre rectas
CI idéntico la ecuación de una circunferencia en sus diversas formas.
CA Justifico la solución de problemas relativo a circunferencias
circunferencias.
CP Propongo la manera de calcular los parámetros relacionados con la circunferencia.
1. Hallo la ecuación de cada una de las
circunferencias con centro en el origen y radio
indicado.
a. r=1
f. r = 4 3
b. r=2
g. r = 7
c. r=1/2
h. r =
d.
r= 2
e.
r =3 2
2 2
3
i. r = 3 5
2. Encuentro la ecuación de cada una de las
circunferencias que satisface las condiciones
dadas.
 3 −1
 r=7
4 2 
a. C (0,1) r=3
d. C  ,
b. C (-2,-3), r=5
e. C(2,3), r=5
c. C(-3,-4), r = 2
f . c(7,0), r = 4
3. Expreso las siguientes ecuaciones en forma
estándar y encuentro el centro y el radio.
Realizo el gráfico.
a. x2+y2=25
b. x2+y2-4x+6y=0
c. x2+y2-10x+2y+22=0
d. 36x2+36y2-48x-36y-25=0
e. 5x2+5y2-8x-4y-121=0
f. 36x2+36y2-36x+24y-23=0
g. 8x2+8y2+24x-4y-19=0
h. 36x2+36y2-48x-36y-25=0
4. Resuelvo los siguientes problemas:
a. Determino si el punto P(1,-2)
2) pertenece a la
circunferencia cuya ecuación es:
( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9
b. Hallo la ecuación de una circunferencia con
centro C (3,1)
3,1) que es tangente al eje x.
c. Encuentro la ecuación de la circunferencia con
centro en C(-1,2),
1,2), que es tangente al eje y.
d. Hallo la ecuación de la circunferencia que es
tangente a ambos ejes, cuyo ce
centro está en el
primer cuadrante y su radio es 2.
e. Encuentro la ecuación de la circunferencia
que tiene como puntos extremos de un
diámetro P(2,-2) y Q(2,2).
5. Hallo la ecuación de la circunferencia que
pasa por los puntos:
1)
a. A(5,-1), B(3,-3) y D (1,-1)
b. A(2,1), B(-2,5) y D (-6,1)
c. A(0,4), B(-5,8) y D (-3,2
d. A(-3,6), B(1,2) y D (1,-1)
e. A(1,1), B(7,7) y D (13,1)
f. A(-1,8), B(5,-2) y D (11,-8)
8)
6. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con
centro en el punto medio del segmento AB
(diámetro), si A(0,2) y B(0,8)
7. Determino la ecuación de la circunferencia en
el cuadro descrito en la figura.
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
TALLER
Nº 9
Trigonometría
Grado Décimo
NOMBRE____________________________________________________ Marzo 17 de 2012
Logro: Identificar las propiedades y características de las gráficas de las funciones
Trigonométricas
CI Identifico las características de las gráficas de las funciones Trigonométricas
CA Explico las propiedades de las funciones trigonométricas a partir de su gráfica
CP Utilizo los valores y propiedades de las funciones seno y coseno para establecer otros valores y propiedades.
1. Determino en cada grupo cuales ángulos tienen
el mismo lado terminal.
π 5π 7π
5π 3π 13π
a)
c)
,
,−
,
,−
4 4
4
4 4
4
7π 5π π
−3π −11π −π
b)
d)
,
,−
,
,
4 4
4
4
4
4
2. Establece en cada grupo cuáles ángulos
tienen el mismo lado terminal.
a) 25º,-335º,745º c) 15º,-345º,-15º
b) 275º,-90º,270º d) 100º35´,-79º25´,
259º25´
3. Hallo el valor de verdad de las afirmaciones
acerca de la función y = senө (justifica)
a) Es una función periódica de periodo π
b) Su rango es el conjunto de los números
reales
c) Es una función par
d) Crece cuando ө aumenta de
π
2
a) El intervalo en el cual ambas funciones son
crecientes.
b) El intervalo en el cual ambas funciones son
decrecientes.
c) Los valores de ө para los cuales senө =
cosө.
6. Analiza las gráficas y = senө y y = cosө,
y realiza un cuadro comparativo que
muestre semejanza y diferencia de las dos
funciones.
7. Seguido al val valor de la función aparece
el cuadrante de ө. Teniendo en cuenta esto
y con la ayuda de una calculadora, halla
cosө si senө se da y senө si se da cosө.
a) Cosө = 0.6, I d)senө = 0.8, II
b) Cosө = -0.75, III e) cosө = -0.75, II
c) Senө = -0.38.IV f) senө = 0.38,II
a π.
e) Su máximo valor es 1
f) Su dominio es el conjunto de todos los
números reales.
8. En cálculo se demuestra que si ө está
medido en radianes, entonces:
Cosө = 1 −
θ2
g) Su máximo valor lo toma cuando ө es un
número real de la forma (2n+1)
π
2
, con n
un número entero.
4. Hallo el valor de verdad de las afirmaciones
acerca de la función y = cosө (justifica)
a) Su dominio es el intervalo [-1,1]
b) Es una función par.
c) Es periódica de periodo principal 4π.
d) Crece cuando ө aumenta de 0 a
π
2
.
e) No está definida en ө entero. =(2n+1)
π
2
, con n un número
Su rango es el intervalo [-1,1]
π
g) Cosө = 0 cuando ө= (2n+1)
, con n
f)
2
un número entero.
5. En un mismo sistema de coordenadas, traza
con diferente color, las graficas
y = senө y
y = cosө para 0≤ө≤2π y define lo enunciado.
senө = θ −
+
2
θ3
6
θ4
+
24
+
θ5
120
θ6
720
+
y
θ7
5040
. Esta
aproximación se hace más exacta si los
valores de ө se escogen cerca de 0.
Utiliza estas fórmulas para aproximar
senө y cosө; luego, usa la calculadora
para evaluar cada aproximación con seis
cifras decimales y calcula el error en su
aproximación (es decir, la diferencia entre
el valor dado en la calculador y el hallado
en la fórmula). Nota si la medida de ө está
dada en grados, es necesario convertirla
primero a radianes.
a) Ө=0.7 c) ө=35º d) 0.017
b) Ө= 0.5º
9. Dada una función real f, diremos que es
una función periódica si existe número
real positivo r tal que para todo número
real x se cumple que f(x)=f(x+r). Al menor
número real P, de tales r positivos para
los que se cumple la propiedad señalada,
le llamaremos el periodo principal de la
función.
A partir de lo anterior da razones que
sustenten las afirmaciones siguientes.
a) La función f(x) = senx es una función
periódica, su periodo principal es 2π.
b) La función f(x) = cosx es una función
periódica, su periodo principal es 2π.
10. ¿Cuál es el periodo de las funciones
representadas en las gráficas dadas?
Cuando ө
aumenta
de
senө
π
Crece de 0 a 1
0a
2
π
2
π
cosө
a
π
a
3π
2
3π
a π
2
12. Determino el periodo de las seis funciones
trigonométricas.
11. Completo la tabla las siguientes las tablas
Cuando ө
aumenta
de
2
π
2
π
cotө
secө
cscө
Crece
de 0
a ∞
π
0a
tanө
a
π
a
3π
2
3π
a π
2
Crece
de 1 a
+∞
decrece
de -1 a
+ ∞
decrece
de 0 a +
∞
TALLER
Nº 1O
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
LA ELIPSE
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
Trigonometría
Grado Décimo
NOMBRE____________________________________________________________
Logro: Construir la ecuación estándar de una elipse a partir de su definición como sección cónica
CI Interpreto información geométrica y algebraica sobre elipse.
elipse
CA Justifico analíticamente procedimientos y respuestas.
CP utilizo la elipse en forma analítica y geométrica en la resolución de problemas.
problemas
1.
a.
b.
c.
Hallo la ecuación y dibujo la elipse con centro en
(0,0) de acuerdo con los datos:
Vértice en (0,12) y foco en (0,-4)
Vértice en (5,0) y foco en (-3,0)
Vértice en (0,5) que contiene a
b.
(2, 15 )
e=
4
5
d.
Focos en (8,0) y (-8,0) y
e.
3,0) y longitud del lado recto 3.
Focos en (3,0) y (-3,0)
f.
Focos en (4,0) y (-4,0) y pasa por
2.
Hallo las coordenadas del foco y de los vértices, las
longitudes de los ejes y la excentricidad de las
siguiente elipses. Realizo las gráficas.
d.
x2
y2
+
=1
25 169
x2 y2
+
=1
25 16
x2
y2
+
=1
49 144
x2 + 4 y2 = 4
e.
x 2 + 4 y 2 − 2 x + 16 y + 13 = 0
f.
9 x 2 + y 2 − 36 x − 4 y + 31 = 0
a.
b.
c.
(3,
12
)
5
2. 9(x-3)2+4(y-1)2=36
c.
g )25 x 2 + 4 y 2 = 100
h)9 x 2 + 16 y 2 = 144
x2
+ y2 =1
25
j )2 x 2 + y 2 + 2 y = 1
i)
La tierra se mueve en orbita elíptica alrededor del
sol, y este está en uno de los focos de la elipse. La
distancia mínima y máxima de la tierra al sol son
91, 446,000 millas y 94, 560,000 millas,
respectivamente. ¿cuál es la excentricidad de la
elipse? ¿Qué longitud el eje mayor y el eje menor?
4. Relaciono cada gráfico con su ecuación.
3. 4x2+25y2=100
d.
3.
4. 13x2+4y2=52
e.
5. 16(x+2)2+4(y+1)2=6
a.
1. (x-3)2+16(y-2)2=16
TALLER
Nº 11
REAL COLEGIO SAN FRANCISCO DE ASIS
HIPERBOLA
PROFESOR: ALEJANDRO DELGADO
Trigonometría
Grado Décimo
NOMBRE____________________________________________________________
Logro: Construir la ecuación estándar de una hipérbola a partir de su definición como sección cónica
CI Interpreto información geométrica y algebraica sobre hipérbola
CA Justifico analíticamente procedimientos y respuestas.
CP utilizo la hipérbola en forma analítica y geométrica en la resolución de problemas.
problemas
1.
a.
b.
c.
d.
Hallo la ecuación y dibujo la hipérbola con centro
en (0,0) de acuerdo con los datos:
Vértice en (0,12) y foco en (0,-4)
Vértice en (5,0) y foco en (-3,0)
6,0) , (6 , 0)
Focos en (8,0) y (-8,0) y vértices ( -6,0)
Focos en (3,0) y (-3,0)
3,0) y longitud del lado mayor 6.
6
e.
Focos en (4,0) y (-4,0) y pasa por
2.
Hallo las coordenadas del foco y de los vértices, las
longitudes de los ejes de las siguiente
iguiente hipérbola
Realizo las gráficas.
x2 y 2
−
=1
25 169
( x + 1) 2 ( y − 1) 2
−
=1
b.
25
16
x 2 − 4 y 2 − 2 x + 16 y + 13 = 0
9 x 2 − y 2 − 36 x − 4 y + 31 = 0
c.
a.
d. (x-3)2 - 16(y-2)2=16
e. 16(x+2)2- 4(y+1)2=6
f.
h)9 x 2 − 16 y 2 = 144
(3,
12
)
5