SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRÁTICA 5 Comprobemos que las raíces de la ecuación 2x2+3x-20=0 son: x1 = 2 y x2 = - 4. ¿Cuáles son los valores de a y b en esta ecuación? Hallemos la suma de las raíces: x1+x2 y el 𝑏 𝒃 valor de − 𝑎. Ahora comparemos los resultados de x1+x2 con el resultado de − 𝒂. ¿Qué podemos concluir?. Nos ha permitido comprobar que la suma de las raíces de una ecuación 𝑏 cuadrática es igual a − 𝑎. Ahora vamos a demostrar que este resultado se cumple en toda ecuación cuadrática. 𝑥1 = Las raíces de una ecuación cuadrática son: Sumamos miembro a miembro (1) y (2) 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏+√𝑏2 −4𝑎𝑐−b−√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥1 + 𝑥2 = −2𝑏 2𝑎 −𝑏+√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 (1) 𝑥2 = ¿Por qué? 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 −𝑏 𝑎 (2) ¿Por qué? Tomemos de nuevo las raíces de la ecuación 2x2+3x-20=0 y multipliquémoslas. ¿Qué 𝑐 𝑐 obtenemos?. Ahora hallemos el cociente 𝑎. Finalmente, comparemos los resultados de x1∙x2 y 𝑎. 𝑐 ¿Qué podemos concluir?. Comprobamos que 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑎 . Demostremos que este resultado se cumple en toda ecuación de segundo grado. En efecto: 𝒙𝟏 = Multipliquemos miembro a miembro las igualdades (1) y (2): 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −𝒃+√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 −𝒃−√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 ∙ b2-b2+4ac 𝟐𝒂 𝟐𝒂 ¿Por qué?𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝒃𝟐 −(𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄) 𝒃𝟐 −𝒃𝟐 +𝟒𝒂𝒄 𝟒𝒂𝟐 𝟒𝒂𝟐 ¿Por qué? 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −𝒃+√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 (−𝒃)𝟐 −(√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄) 𝟒𝒂𝟐 (𝟏) 𝒙𝟐 = −𝒃−√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 (𝟐) 𝟐𝒂 𝟐 ¿Por qué? 𝟒𝒂𝒄 𝒄 ¿Por qué? 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝟒𝒂𝟐 ¿Por qué? 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝒂 SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAICES DE ax2+bx+c=0 La SUMA de las raíces de la ecuación ax2+bx+c=0 es igual al cociente del coeficiente de x con el −𝒃 signo contrario, dividido por el coeficiente de x2; es decir𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝒂 El PRODUCTO de las raíces de la ecuación ax2+bx+c=0 es igual al cociente del término 𝒄 independiente dividido por el coeficiente de x2; es decir: 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 = 𝒂 𝑏 𝑐 Como toda ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 puede escribirse en la forma 𝑥 2 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 = 0 y −𝒃 𝒄 sabemos que: 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝒂 y 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 = 𝒂 , entonces podemos afirmar que toda ecuación cuadrática también puede escribirse así: x2-(suma de las raíces)x+(producto de las raíces)=0 EJERCICIO 1 −4 𝟓 Escribamos la ecuación de segundo grado cuyas raíces son 5 y 𝟒 −4 5 9 −4 5 La suma de las raíces es: 5 + 4 = 20 .El producto de las raíces es: 5 ∙ 4 = −1 Y como la ecuación es: x2-(suma de las raíces)x+(producto de las raíces)=0, entonces queda: 9 𝑥 2 − 20 𝑥 − 1 = 0 ó 20x2-9x-20=0 EJERCICIO 2 Hallemos el valor de p de modo que la suma de las raíces sea igual al producto de las mismas en la ecuación 3x2+(p+2)x+2p+1=0; luego, 3x2+(p+2)x+(2p+1)=0. Por lo tanto: a = 3 , b = p + 2 y c = 2 p + 1 . De acuerdo con estos valores: −𝑏 𝑝+2 la suma de las raíces es =− 𝑎 𝑐 3 2𝑝+1 el producto de las raíces es 𝑎 = 3 Como queremos que la suma de las raíces sea igual al producto de las mismas, entonces: 𝑝+2 2𝑝+1 − 3 = 3 −(𝑝 + 2) = 2𝑝 + 1-p-2=2p+13p=-3p=-1 EJERCICIO 3 Hallemos el conjunto solución de la ecuación: (2k-3)x2-(4k+1)x+(5k+8)=0 de tal manera que el producto de las raíces sea igual al doble de la suma de las mismas. Si x1 y x2 son las raíces de −𝒃 𝟒𝒌+𝟏 𝒄 𝟓𝒌+𝟖 la ecuación, entonces: 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝒂 = 𝟐𝒌−𝟑 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 = 𝒂 = 𝟐𝒌−𝟑 De acuerdo con el 𝟓𝒌+𝟖 𝟒𝒌+𝟏 3 enunciado del problema: x1•x2 = 2(x1+x2) 𝟐𝒌−𝟑 = 𝟐 (𝟐𝒌−𝟑)5k+8=2(4k+1),con 2k-3≠0, 𝑘 ≠ 2 5k+8=8k+2k=2.Por lo tanto, la ecuación queda:x2-9x+18=0 y su conjunto solución es S={3, 6}