Colegio Antil Mawida Departamento de Matemática Profesora: Nathalie Sepúlveda Matemática DOCUMENTO N° 2 Guía de Cuarto año medio Refuerzo Contenido y Aprendizaje N° Fecha Tiempo 2 Horas Nombre: Unidad Nº Cero Núcleos temáticos de la Guía Objetivos de la Guía Raíces, ecuación de segundo grado. Conocer, comprender y aplicar conceptos relacionados a raíces cuadradas, cubicas y ecuaciones de segundo grado. Aprendizaje Esperado Conocen, comprenden y aplican conceptos relacionados raíces cuadradas, cubicas y ecuaciones de segundo grado. Instrucciones 1. Revisión de conceptos asociados a raíces cuadradas, cubicas y ecuación de segundo grado. 2. Desarrollo de ejemplos en forma individual. 3. Desarrollo individual de los ejercicios propuestos. 4. Tiempo 50 minutos para resolución. 5. Entrega de alternativas. 1 6. Revisión de dudas o ejercicios más complejos. RAÍCES Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único n real b, no negativo, tal que b = a n a b bn a, b 0 Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b, tal que bn =a n a b bn a, b R OBSERVACIONES 1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL n 2. La expresión ak , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario n k ak a n 3. a2 a , para todo número real PROPIEDADES Si n n a y b están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades: 1. MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE n a n b n ab 2. DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE n n a b n a , b b0 3. POTENCIA DE UNA RAÍZ n am a n m , a0 4. RAÍZ DE UNA RAÍZ nm a nm a 2 5. AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ n a mn am m Z , a R 6. PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE n a mb mn am bn , a, b R 7. FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL b n a n bn a, b R RACIONALIZACIÓN Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz Fracciones de la forma Fracciones de la forma a b c a p b q c ECUACIONES CUADRATICAS: ∗ Ecuación cuadrática: ∗ Fórmula cuadrática: ∗ Número de soluciones: ax2 + bx + c = 0 x b b2 4 a c 2a (∆: discriminante) (∆: b2 – 4ac) ∆>0 ===› 2 raíces reales y distintas ∆=0 ===› 2 raíces reales e iguales ∆<0 ===› No tiene raíces reales ∗ Cortes en el eje x: ∆ > 0 ===› 2 cortes en el eje x ∆ = 0 ===› 1 corte en el eje x ∆ < 0 ===› No corta el eje x 3 ∗ Propiedades de las raíces: Donde 𝑋1 x1 x2 b a x1 x2 c a y 𝑋2 son soluciones de ecuación de segundo grado. Ejemplos: 1) 5 12 2 27 A) 1 6 3 B) 4 3 C) 2 3 D) 3 3 E) N o s e puede det er min ar 2) 6 A) 61 20 1 1 4 5 8 4 16 25 7 6 2 2 4 5 151 C) 20 B) 7 20 E) N inguno de los valores anteriores D) 6 5 8 3)Según la ecuación y = x2 – 2x + a, es correcto afirmar que: I. II. III. Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X. Si a = 1, existe solo una intersección con el eje X. Si a < 1, no hay intersección con el eje X. A) Sólo I B) I y II C) II y III D) Sólo II E) Sólo I y III 4 4) Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2 metros más de frente que de fondo. Si x es la medida del fondo, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite calcular las dimensiones del patio? A) x(x + 2) – 24 = 0 B) x(x – 2) – 24 = 0 C) x(x – 2) + 24 = 0 D) x2 - 22 = 0 E) 4x - 20 = 0 5) Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x − 1) = 20 son A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5 D) 4 y − 5 E) −4 y 5 EJERCICIOS: 2 1) A) 3 4 B) 3 2 C) 6 3 2 = 8 D) 6 2 E) 1 2) Si 2 a, 3 b y es(son) equivalentes a 5 c entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes 60 I) 2bc II) III) 4 a4b2 c 2 a2bc A) Solo I 5 B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 3)Al simplificar la expresión 2 7 14 7 resulta A) 2 3 B) 2 1 4 C) 2 2 D) 2 7 2 E) 4 4) 12 2 8 3 A) 3 2 B) 15 C) 10 5 D) 20 5 E) Ninguno de los valores anteriores 5) ( 50 512 242) : 2 A) 1 0 B) 1 0 2 C) 8 5 D) 3 2 E) 4 0 6) 55 55 55 55 55 3 55 55 55 55 55 6 A) 5 B) 5 56 C) 1 2 D) 5 3 E) 3 2 5 7) Si 2 3 2 3 t , entonces el valor de t2 – 2 es: A) 2 3 2 B) 0 C) 2 3 D) 2 E) 2 8) (0,25)1 a 1 A) 2 1 B) 2 a 1a 1 C) 2 a 2 a 1 2 D) 2 1 E) 2 9) a ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de y x2 5 x2 I) (2,5) II) (2,-5) III) (2,-1) A) Solo I B) Solo II 7 C) Solo III D) I, II y III E) Ninguno de ellos 10) ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)? I) 2 8 I I) 3 3 3 I I I) 6 24 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III 11) 6 2 2 3 2 2 A) 0 B) 3 2 2 C) 6 9 2 D) 69 2 2 E) 63 2 2 12) Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera? A) x x 1 x x 1 C) x x D) x 1 B) E) x x 8 3 13) 2 7x 2 73 A) 2 7x 2 79 B) 33x 39 C) 3x 3 D) 9x 3 E) 3x 3 14) Dados los números reales 3 2 , 1 11 , 7 , 2 3 , 4 , al ordenarlos de 3 3 menor a mayor, el término que queda en el centro es: A) 2 3 B) 3 2 C) 7 11 D) 3 1 E) 4 3 15) (5 2 3)( 3 5 2) A) 2 5 5 B) 2 4 5 C) 7 D) 4 7 E) 0 16) El número 216 es igual a: A) 2 4 B) C) 32 2 4 D) 214 E) Ninguno de los números anteriores 5 17) Si y 3 2 3 ¿Cuál es el valor de 1 5y 1 ? 5 9 A) 65 B) 64 64 C) 15 34 D) 15 4 E) 15 18) Si p 3 5 2 y q 5 3 , entonces p q = A) 9 7 5 B) 8 5 1 C) 3 5 1 D) 7 5 9 E) Ningunade la s a nte rio re s 3 19) a 6 n 6 = A ) a 2 n 6 B) a 2 n 2 C) 1 2 n a 2 1 D ) a 2 n 6 E) a 6n 2 20) Para todo m > 0 la expresión 3 m 4 3 m 2 m es igual a A) m B) 8 m7 m5 C) D) 5 m7 E) 6 m7 21) Si p 0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? q I) p2 q 2 p q 10 II) III) p2 q 2 p q p2 q 2 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III 22) 3 a2x 2 3 ax 1 A) a3x 3 B) 6 a3x 3 C) a3x D) ax 3 E) ax 1 23) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, –1? I) x 2 x I I) x2 x I I I) x2 x A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas. 24) ( 2 2)3( 2 2)4 ( 2 2)4( 2 2)3 es un número: A) Racional positivo B) Racional negativo C) Irracional positivo 11 D) Irracional negativo E) No rea 25) Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c = 0, entonces ¿cuál es el valor de c? A) - 24 B) -8 C) -2 D) 2 5 E) 3 26) ¿Cuál es el menor valor para la expresión x 2 igualdad x 2 cuando x satisface la x 15 16 ? x A) 4 B) 3 C) 1 D) 0 E) -1 27) El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x2 + 1 = x + 1 es: A) {0} B) {1} C) {0,1} D) {0,-1} E) Ninguno de los conjuntos anteriores 12