Problemas de Astrofísica Estelar (Curso 2011-2012)

Problemas de Astrofísica Estelar (Curso 2011-2012)
1. Suponer un experimento en el cual se pueden medir paralajes de estrellas con un
error de 0,01 segundos de arco. Mediante este experimento, ¿es posible determinar
la distancia a una estrella situada a 1000 pc = 1 kpc?. Detallar la respuesta.
2. Medido desde la Tierra, el paralaje de una estrella es de 0,02”. Suponer que el
observador viaja en una nave espacial hasta alcanzar una nueva órbita en torno al
Sol. En la nueva órbita, la nave tarda 8 años en dar una vuelta completa alrededor
del Sol (sin ningún tipo de propulsión).
(a) ¿cuál es la distancia a la estrella?
(b) ¿cuál es el radio de la órbita de la nave?
(c) ¿qué paralaje medirá el observador para la estrella desde esa órbita?.
3. Probar que el índice de color de una estrella es independiente de su distancia a la
Tierra.
4. Nos pasan unos datos de una estrella con m = -26,78 y M = 4,79. ¿Qué estrella es?.
5. Cierta estrella tiene una magnitud absoluta de -5. Suponer que existe una galaxia
próxima a la Vía Láctea (nuestra galaxia), situada a 105 pc de nosotros y que puede
hospedar a dicha estrella. Si la estrella pertenece a la galaxia vecina, ¿cual sería su
magnitud aparente?. Calcular la razón entre la luminosidad absoluta de dicha estrella
y la luminosidad absoluta de una estrella con igual magnitud aparente pero situada a
1000 pc de nosotros, dentro de la Vía Láctea.
6. Mostrar que para una estrella que radia como un cuerpo negro, l(ν) =
(2πh/c2)(R2/r2){ν3/[exp(hν / kT) – 1]}, donde R es el radio estelar y r es su diatancia
a la Tierra. Suponiendo que λB = 4450 Å y λV = 5500 Å, estudia la evolución del
índice de color B – V con la temperatura (3000-20000 K). Calibrar la relación con
los valores solares: T = 5800 K y B – V = 0,65. Una vez calibrada la relación B – V
vs. T, compara los resultados que se obtienen para T = 28000, 9900 y 2800 K con
los presentados en clase, es decir, B – V = - 0,31, 0 y 1,63 mag, respectivamente.
7. Justificar la expresión del flujo de energia monocromático en presencia de polvo.
8. Suponiendo que el polvo se encuentra en el disco de la Vía Láctea (considerar una
lámina de altura 2h y extensión infinita) y que está distribuido homogeneamente,
estimar el enrojecimiento en la banda B, para un objeto extragaláctico distante
situado a una latitud b con relación al plano central de la Galaxia.
9. En la Vía Láctea se observa (promediando en diferentes direcciones) una razón entre
extinción total y extinción selectiva en la banda V, ∆V/∆(B-V) ≈ 3. Para explicar
este valor, ¿cómo debe variar el coeficiente de extinción con la longitud de onda λ?.
El resultado, ¿es consistente con la afirmación: “la cantidad de dispersión producida
por las partículas de polvo de cierto tamaño crece cuando decrece la longitud de
onda”?.
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10. Considerar una familia de estrellas que tienen un radio similar. ¿Qué relación
debemos encontrar entre el logaritmo de la luminosidad absoluta de las estrellas y el
logaritmo de la temperatura?.
11. Vega y Sirius A son estrellas blancas con radios de 4 R y 2 R , respectivamente,
mientras que la estrella de Barnard y Próxima Centauri son estrellas rojas con radios
de 0,07 R y 0,03 R, respectivamente. ¿Qué puedes decir sobre las luminosidades
absolutas de estas estrellas?.
12. El pico (máximo) del espectro de una estrella está situado a 0,29 µm. ¿Cuánto vale
la temperatura de la estrella?, ¿cuál es su tipo espectral?.
13. Comenta si son falsas o ciertas las siguientes afirmaciones para estrellas de la
secuencia principal (justifica las respuestas):
(a) Las estrellas K tienen una vida más larga que las estrellas M
(b) Las estrellas F son más grandes que las estrellas B
(c) Las estrellas A son más calientes que las estrellas G
(d) Las estrellas M son más masivas que las estrellas O
14. Un astrónomo está observando un cúmulo de estrellas. Encuentra que no hay
estrellas O y B, pero el resto de tipos espectrales si están presentes. ¿Qué
información le dará esta observación sobre la edad del cúmulo?.
15. Teniendo en cuenta el esquema adjunto sobre el sistema Alpha Centauri y el sistema
Solar, determinar a que longitudes de onda centrales se observarán las líneas α y β
de Balmer. Suponer que el campo gravitatorio no es importante.
16. Sabiendo que el campo gravitatorio estelar provoca un desplazamiento al rojo: λ/λ0 1 = GM/Rc2, siendo M la masa de la estrella y R su radio, demostrar que el
desplazamiento gravitatorio puede expresarse como una velocidad radial efectiva v
= 0,6362 (M/M) (R/R)-1 km s-1. La estrella Sirius B tiene un radio de 0,0074 R y
una masa de 1,035 M, mientras que la estrella 40 Eri B tiene radio y masa de
0,0124 R y 0,466 M, respectivamente. ¿Será importante el desplazamiento
espectral gravitatorio en dichas estrellas?.
17. Una línea espectral en una estrella se observa a 480 nm. Se sabe que dicha línea se
observa a 500 nm en un laboratorio terrestre. La estrella, ¿se mueve hacía nosotros o
alejándose del Sol?, ¿cuánto vale su velocidad en km/s?.
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18. Considerar dos estrellas en un diagrama H-R del tipo logL frente a logT. Suponer
que ambas tienen la misma temperatura y que su logL difiere en 1,5 unidades. ¿Cúal
es la relación entre sus radios?.
19. En la fase “secuencia principal” (combustión de hidrógeno) las estrellas son esferas
con una densidad constante y universal, demostrar que la luminosidad puede
obtenerse en función de la masa y la temperatura. Si las estrellas más frías y débiles
(3000 K, 0,0001 L) tienen una masa de aproximadamente 0,1 M, estimar la masa
de las gigantes azules (20000 K, 10000 L). ¿Te parece sensato el resultado?.
Alternativamente, suponer que en la fase SP, la luminosidad aumenta como la cuarta
potencia de la masa ( L ∝ M4 ). Deducir la masa de las gigantes azules en función de
la masa aproximada de las enanas rojas.
20. Un sistema binario tiene un periodo orbital de 6 años. Si la separación entre las
estrellas es de 6 UA, ¿cuál es la masa total del sistema?.
21. Obtener la curva de brillo teórica [∆m = m – m(brillo máximo)] para un sistema
binario eclipsante constituido por dos estrellas de igual radio y luminosidades L1 y
L2 (L1 > L2). El sistema tiene periodo T y esta a una distancia r (r = rCM ≈ r1 ≈ r2).
22. Considerar dos masas puntuales (M1 y M2) en órbitas circulares (con radios a1 y a2)
alrededor de su centro de masas (CM). Sea i el ángulo de inclinación del plano
orbital con respecto a la línea que une al CM y al observador. El espectro de la
binaria irresoluble tendrá corrimientos periódicos de tipo Doppler, debidos a la
velocidad orbital del objeto 1. Obtener la amplitud de la variación Doppler v1 =
zmaxc, si el periodo orbital vale T. Usando la tercera ley de Kepler, demostrar que la
llamada “función de masa del objeto 1” vale f1 = (M2sen i)3/(M1+M2)2 = Tv13/(2πG).
23. Usar las diferencias en los periodos para comparar la densidad media en una estrella
cefeida normal y la densidad media de una estrella RR Lyrae.
24. Suponer que una estrella es un sistema aislado, y que evoluciona conservando el
momento angular y la masa. Sabiendo que la velocidad angular actual del Sol es de
Ω ≈ 3 10-6 s-1, ¿a qué velocidad girará si consigue alcanzar la etapa de “estrella de
neutrones” (R ≈ 10 km)?. Compara el resultado con los periodos medidos para radio
púlsares: 1 ms – varios segundos. Si en el colapso se conserva el flujo magnético,
¿cúanto valdrá la relación entre campos magnéticos B(EN)/B?.
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25. Una enana blanca (M = 1 M, R = 0,007 R) emite un chorro de radiación y gira
con periodo P. El “chorro” sale radialmente de un punto en el ecuador de la estrella.
Nosotros solo vemos la emisión, cuando este se alínea con la dirección estrellaTierra. En nuestra posición se observa una señal pulsada con periodo P. Obtener el
mínimo periodo para la señal.
26. Si el índice de la relación masa-luminosidad es α = 4, y si las estrellas tienen una
probabilidad uniforme de formarse en el rango de masas M1 ≤ M ≤ M2, ¿cúal es la
forma de la función de luminosidad inicial Ψ(L) entre las dos límites de masa?.
27. Un modelo sencillo para la función de “luminosidad” inicial es Ψ(MV) = 0,03 (M /
M) 1,35 (dlog10M / dMV), en unidades de estrellas / pc3. Suponiendo una relación
entre masa y magnitud visual absoluta MV = 4,17848 – 6,43282 log10(M / M),
¿cúanto vale la densidad de estrellas con magnitudes absolutas visuales en el rango
– 6 ≤ MV ≤ 4 ?.
28. Considerar el movimiento de una nube de partículas autogravitante. Demostrar que
si el sistema está en estado estacionario, en el sentido de que el momento de inercia
es constante, se verifica el Teorema del Virial: 2U + Ω = 0.
29. Estimar la escala H de la atmósfera terrestre (T ~ 300 K) y de la atmósfera solar (T
~ 6000 K).
30. Para el modelo estelar lineal, representar graficamente la variación de la presión (P),
la temperatura (T) y la masa (m) desde r = 0 hasta r = R. Encontrar la energia de
enlace gravitatorio, en términos de G, M y R.
31. Comprobar que θ0 = 1 – ξ2 / 6, θ1 = sen ξ / ξ y θ5 = (1 + ξ2 / 3) – 1 / 2, para n = 0, 1 y
5, respectivemente, son soluciones de la ecuación de Lane-Emden verificando las
condiciones de contorno. Encontrar el radio de la estrella para n = 0 y n = 1. ¿Qué
ocurre para n = 5 (polítropo con γ = 6/5)?. Para los tres polítropos, encontrar la masa
de la estrella.
32. Considerar un modelo estelar cuadrático ρ = ρC (1 – r2/R2), donde ρC es la densidad
central y R es el radio de la estrella.
(a) Obtener la expresión para la masa encerrada en el radio r y para la densidad
central ρC, ambos en función de la masa total M y el radio R
(b) Deducir la presión en función del radio r, M y R
(c) Deducir la temperatura en función del radio r, M, R y la masa promedio µmH
(d) Comparar la evolución espacial de P y T para los modelos lineal y cuadrático
Nota: Puede ser útil trabajar con polinomios en x = r/R en lugar de polinomios en r.
Considerar la identidad: 2 – 5x2 + 4x4 – x6 = (2 – x2)(1 – x2)2.
33. Probar que la intensidad en un haz de radiación se conserva; es decir, no se atenúa
con la distancia (en ausencia de absorción).
34. Cuando un campo de radiación es anisótropo en θ, podemos expresarlo como una
combinación de términos multipolares: monopolo + dipolo + cuadrupolo + … Si
consideramos un campo anisótropo Iν(θ) = I0 + ID cosθ, deducir la intensidad
promedio (promedio en direcciones), la densidad de energia, la presión y el flujo en
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función de las amplitudes monopolar (I0) y dipolar (ID). Comenta la relación
presión-densidad de energia.
35. La colisión con electrones es la causa principal de opacidad en el corazón solar, con
una sección eficaz de interacción σν ~ 0,6 × 10-24 cm2. Suponer una densidad ρ =
100 gr/cm3 en el corazón solar, y estimar la distancia atravesada por un fotón entre
colisiones sucesivas.
36. Deducir la relación entre el flujo de radiación monocromática y la presión
monocromática: Fν = - c (dPν / dτν). En interiores estelares, es interesante trabajar
con el flujo total y la presión total de radiación (integrados sobre frecuencias).
Demostrar que definiendo una opacidad media a través de la relación (1/<k>) ∫[0,∞]
(dPν / dr) dν = ∫[0,∞] (1/kν) (dPν / dr) dν , se deduce la expresión para la ETR en
interiores estelares: F = - (c/<k>) (dPR/dr).
37. Mostrar que la ecuación F = - (4ac / 3<k>) T3 (dT / dr) es equivalente a la ecuación
para la conducción del calor F = - κc ∇T. Obtener el valor de la conductividad κc.
38. Si la energía típica de los fotones asociados a un cuerpo negro a la temperatura T es
kT, discutir si la opacidad media <k> está relacionada con fotones de baja energía,
energía típica o alta energía.
39. Suponiendo que la atmósfera solar está caracterizada por una temperatura efectiva
Tef = 6000 K, comparar la variación de T con τ, para una atmósfera standard y para
una gris.
40. Usando el modelo standard, tabular P, ρ y T en función de τ para la atmósfera solar.
Tomar <κ> = <k>/ρ = 1 cm2 gr-1.
41. Considerar la colisión de un fotón de frecuencia ν (longitud de onda λ) y un electrón
en reposo. Suponiendo que se conserva la energía y la cantidad de movimiento, se
deduce la relación Compton para el cambio en longitud de onda del fotón: ∆λ = λ* –
λ = (h / mec) (1 – cosθ) . Discute para que energias es razonable la aproximación de
la dispersión Thomson.
ν
θ
ν∗
42. Considerando que <gff> ≈ 1, comparar las opacidades específicas para la dispersión
electrónica (<κe>) y para las transiciones libre-libre (<κff>). Tomar una composición
química simple (X = 1, Y = Z = 0) y varios valores para la temperatura y la densidad
en el interior estelar.
43. Verificar que una opacidad monocromática κ(ν) ∝ ρ ν-3 T-1/2 conduce a una
opacidad promedio <κ> = κ0 ρ T-3,5.
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44. Comparar las contribuciones de las transiciones ligado-libre y libre-libre a la
opacidad, para estrellas de población I y de población II (X = 0,9, Y = 0,099, Z =
0,001), usando <gbf> ≈ <gff> ≈ 1y t ≈ 10.
45. En la estimación de 1/ µ = 2X + 3Y / 4 + Z / 2 en la ecuación de estado del gas de
partículas, ¿se hace alguna aproximación?.
46. Dada una reacción de fusión X + Y entre dos núcleos, la temperatura necesaria para
que tenga lugar el proceso viene groseramente dada por T ≈ C Z12Z22 µ (K), donde
C es una constante, Z1 y Z2 son las cargas de los núcleos X e Y, respectivamente, y
µ es la masa reducida del par (X,Y). Si la reacción H + H se produce a una
temperatura de 106 K, obtener la temperatura a la cual se producen los siguientes
procesos: D + H, He3 + He3, He3 + He4, Li7 + H y Be7 + H.
47. Teniendo en cuenta que la sección eficaz de interacción de un neutrino con un
nucleón es de σ ≈ 10-44 cm2, ¿cúal es la probabilidad de que un neutrino escape del
corazón solar?.
48. (TRABAJO B2) Ejecutar el programa ZAMS para una composición química X =
0,70, Y = 0,29 y Z = 0,01, una masa total igual a tres masas solares, y las
condiciones (Pc,Tc,R,LR) usadas en la segunda fila de la tabla de modelos (S17).
Comprobar que se verifican las ecuaciones de equilibrio hidrostático y de
producción de energía en las diferentes capas de la estrella. Dada la capa i-ésima, se
puede construir el gradiente de una cantidad cualquiera F, como (dF/dr)i = (1/2)(Fi –
Fi-1)/(ri – ri-1) + (1/2)(Fi+1 – Fi)/(ri+1 – ri).
49. (TRABAJO B2) Compara la solución para P(r) obtenida en la cuestión anterior, con
el comportamiento de (ρ/µmH) kT + (1/3) aT4 (presión de un gas ideal de H, He,
metales y electrones + presión de la radiación).
50. (TRABAJO B2) Comparar la solución para la opacidad vs. r obtenida en la cuestión
48, con el comportamiento 0,2(1 + X) + [3,68 × 1022 (1 + X) (1 – Z) + 4,34 × 1024
Z (1 + X)] ρ T-3,5 (opacidad global <κe> + <κff> + <κbf> discutida en la S15, con
<gbf> ≈ <gff> ≈ 1y t ≈ 10).
51. (TRABAJO B2) Con los resultados T(r) de la cuestión 48, construir la evolución
espacial del gradiente dT/dr. Comparar la ley deducida con la expresión - 3<κ>
ρ T-3 Lr / 16πacr2 (transporte radiativo). ¿Encuentras alguna región en la cual el
gradiente de temperatura no se pueda aproximar por la expresión correspondiente a
transporte radiativo (evidencia de transporte convectivo)?. En caso afirmativo, ¿está
en el corazón estelar o en la periferia?.
52. Discutir el motivo por el cual el espectro continuo no es exactamente Planckiano,
sino un espectro cuasi-Planckiano que está “endurecido” o “calentado”.
53. Imaginar que la línea Hα en el espectro solar, está ensanchada únicamente como
consecuencia del efecto Doppler térmico. ¿Cuánto vale la sección eficaz en el centro
de la línea?.
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54. En la figura adjunta, aparece un espectro estelar completo y la línea de absorción Hα
detallada (λ = 6563 Å).
(a) Trazar el continuo de tipo cuerpo negro sobre el espectro completo y determinar
λmax, es decir, la longitud de onda a la cual se alcanza el máximo. Estimar la
temperatura superficial de la estrella
(b) De forma grosera (pero justificada), estimar la FWHM en Å de la línea Hα.
Despreciando los ensanchamientos “no naturales”, determinar la temperatura del
gas. Nota: FWHM = 2(2 ln2)1/2 σ
(c) Si la temperatura del gas no coincide con la temperatura superficial obtenida en
(a), discute la máxima velocidad asociada a turbulencias, la máxima velocidad
de rotación y el máximo campo magnético consistentes con la observación
55. Considerar las densidades típicas en la atmósfera solar, y suponer que σdc es del
orden de las dimensiones atómicas (es decir, 10-16 cm2). Entonces, para una
transición en la región visible del espectro, mostrar que Γ es mucho menor que ∆νD.
56. Usualmente se define la anchura equivalente en unidades de longitud de onda (miliangströms), W(λ0) = ∫[0,∞] [1 - r(λ)]dλ. ¿Cuál es la relación entre W(ν0) y W(λ0)?.
57. (a) Considerar una línea que se produce desde el nivel fundamental de un átomo
(energía E1), y otra que se produce desde el primer nivel excitado (energía E2). La
razón entre el número de átomos en el nivel 1 y el número de átomos en el nivel 2,
viene dada por n1 / n2 = [g1 exp(- E1/kT)] / [g2 exp(- E2/kT)], donde g1 y g2 son los
pesos estadísticos de ambos niveles de energía (g es el número de estados cuánticos
distintos que corresponden a un nivel de energía). Si se trata de líneas débiles,
mostrar que la medida de las anchuras equivalentes, junto a la identificación de las
líneas (g, E, f, ν), conduce a la estimación de la temperatura de la RFL.(b) Si se
tratase de líneas débiles para dos especies diferentes X e Y, mostrar que la medida
de las anchuras equivalentes, la estimación de la temperatura y la identificación de
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líneas (f, ν), conduce a la determinación de la abundancia relativa de ambas
especies.
58. En una estrella como Sirius, las temperaturas atmosféricas son de aproximadamente
10000 K y la presión electrónica es de aproximadamente 630 dinas cm-2. ¿Cuál es la
intensidad de campo standard?. Para comparar con valores en otros escenarios, da el
valor de E0 en el CGS y en voltios cm-1. Dibuja la sección eficaz Stark (alas) para
las líneas Hα, Hβ, Hγ y Hδ.
59. Sabiendo que el tiempo durante el cual una estrella permanece en la SP (tSP)
depende de la fracción de masa que puede convertirse en energía (a través del
proceso H + H) y compensar L, deducir la relación tSP (años) ≈ 1010 (M/ M) -2,3.
Suponer que L ∝ M3,3.
60. Si no hay presión en una estrella y la masa colapsa en caida libre (sin oposición),
obtener el tiempo de caida libre (tCL) para una masa M y radio R. Dar el tiempo en
segundos, expresando la masa en masas solares y el radio en radios solares.
61. Sabiendo que para una estrella en una fase de combustión termonuclear la materia
no está degenerada, es decir, la energía térmica de un electrón debe ser mayor que
su energía de Fermi (sistema caliente y no ultra-denso), deducir la masa mínima
para poder lograr la ignición de una especie nuclear a la temperatura T. Aplicar la
ecuación para la fusión de hidrógeno (µ = 1/2, T = 107 K) y de oxígeno (µ = 2, T = 2
× 109 K).
62. Estimar la densidad promedio de una protoestrella en la época de ionización global,
suponiendo que tiene una masa solar, X = 0,7 e Y = 0,3.
63. Considerar una protoestrella con 1 M, que tiene L ≈ 103 L y un radio de unos 102
R. El objeto colapsa cuasiestaticamente hasta un radio de unos 10 R, adquiriendo
una luminosidad de aproximadamente 10 L. Tras el primer colapso, el objeto
continua su contracción cuasiestatica hasta un radio de ≈ 1 R, adquiriendo una
luminosidad final de aproximadamente 1 L. ¿Cúanto durará la primera
contracción?, ¿y el segundo colapso?. Discute si en la estimación de tiempos de
evolución, es mas apropiado introducir como luminosidad efectiva la inicial o la
final.
64. Usar la ec. EQH dP/dτ = gρ/<k> y la opacidad específica <κ> = κ0 Pa Tb, para
demostrar que la presión en la fotosfera efectiva de una atmósfera standard (situada
a una profundidad óptica τ = 2/3) vale Pef = (2/3) (a + 1) (g/<κef>). Considerar una
atmósfera isoterma (T = Tef) entre τ = 2/3 y τ = 0 (P0 = 0).
65. Deducir la constante de proporcionalidad (K) en la expresión Tef = K (M/R2) {1 / [b +
3,5 (1 + a)]}
. Mostrar que tomando R en radios solares y M en masas solares, K toma
valores entre 6 × 103 y 8 × 103 K, dependiendo de la composición química
(población I o población II). Usar γ = 5/3.
66. Considerar una protoestrella de 2 masas solares y población II. El objeto pasa por
tres etapas diferentes con luminosidades (a) L ≈ 103 L, (b) L ≈ 102 L y (c) L ≈ 10
L. Mediante la trayectoria de Hayashi, obtener la temperatura efectiva y el radio en
cada una de las tres etapas protoestelares.
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67. Dibujar la relación periodo-densidad para una densidad promedio entre 10-8 gr cm-3
(supergigante) y 1015 gr cm-3 (estrella de neutrones). Ubicar las regiones de
supergigante, cefeida típica, RRLyrae, tipo solar, enana blanca y estrella de
neutrones. Usar la aproximación [π/(γ – 4/3)]1/2 ≈ 1.
68. La masa y el radio medio de una cefeida típica son log (M/ M) = 0,8 y log (R/ R)
= 1,4. Encontrar el periodo y la velocidad superficial de la estrella. Suponer que el
radio tiene una variación máxima de un 7% con relación al radio medio.
69. La razón de máximo a mínimo radio es de k = 1,14 para δ Cephei, y la amplitud de
la velocidad de pulsación radial es 19 km s-1. Suponer que v(t) = v0sen (2π t/P) y
encontrar el radio promedio de la estrella. Sugerir un camino para medir k.
70. Suponer que el gas de electrones presente en una estrella sigue una estadística de
Maxwell-Boltzmann. Usando la diferencia de momentos típica (∆k ≈ ∆krms) y la
separación típica entre electrones (∆q), obtener el volumen fásico (∆k ∆q)3 ocupado
por un electrón. Para M = 1 M◎ y R = 3 × 10-2 R◎, comparar (∆k ∆q)3 con h3.
¿Cúal es la conclusión?. Usar el teorema del Virial con |Ω| ≈ GM2/R.
71. Considerar que la energía térmica acumulada en una enana blanca es del orden de la
energía gravitatoria: |Ω| ≈ GM2/R. Si dicha energia se radiase con una luminosidad
de 10-1 L, estimar el tiempo típico de apagado para una enana blanca de 1 M y 104
km.
72. En la figura se puede observar la curva de luz de una supernova de tipo II (un tanto
peculiar con respecto a la curva genérica): corresponde a SN 1987A. La detonación
fue registrada en Febrero (1987), y el máximo de luminosidad se produjo en Mayo,
unos 90 dias después. Tras la explosión, el remanente se expandió y se enfrió
rapidamente (~ 1 semana), hasta alcanzar una temperatura superficial de 5000 K.
Después se produjo un aumento de luminosidad, y tras el pico de brillo, una caida
continua de la potencia emitida. Explica el origen del aumento en luminosidad y la
caida posterior.
73. Suponer que <ne> ≈ 0,03 cm-3 para el medio interestelar, y que se conocen las
distancias a los pulsares PSR 0950+08 (≈ 100 pc) y PSR 1648-42 (≈ 18 kpc).
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Haciendo medidas a 500 MHz y a 400 MHz, calcular el retardo entre las señales a
ambas frecuencias. ¿Para qué radiopulsar será más importante?.
74. Un parámetro observable es el llamado índice de frenado n. Se define como n =
ω(d2ω/dt2) / (dω/dt)2. Para el pulsar en la nebulosa del Cangrejo, n = 2,515 ± 0,005.
¿Puedes explicar el resultado mediante el modelo del dipolo magnético?. Si se
superpone una pérdida adicional de energia (no asociada al momento dipolar
variable), ¿se arregla o se empeora la situación?.
75. Si la luminosidad en rayos X del pulsar Cangrejo vale LX ≈ 1035 erg s-1, determinar
la temperatura superficial asociada, suponiendo radiación de tipo cuerpo negro. La
radiación X, ¿tendrá un origen térmico?.
76. Considerando que la luminosidad total de un disco de acrección en torno a un AN
vale L ≈ 0,1 (dM/dt) c2, estimar la luminosidad de un disco que captura 10 -9 M /
año. ¿Será tan brillante como el Sol?.
77. La transición entre las regiones externas (relativamente frias y emitiendo radiación
con un espectro de Planck) y las no externas (relativamente calientes y emitiendo
con un espectro de Planck modificado) ocurre cuando κes ~ <κff(ν)>. El
correspondiente radio de transición verifica rtran ≤ 103 [(dM/dt) / 10 -9 M año-1]2/3
(M / M)2/3 rin, siendo rin el radio interno del disco. Discute si es posible la
existencia de discos de acrección emitiendo unicamente radiación de cuerpo negro.
78. Cuando se hacen dominantes las colisiones fotón-electron (frente a las absorciones
libre-libre), discute si el espectro se “ablanda”, o por el contrario se “endurece”, con
respecto al espectro Planckiano a la misma temperatura.
79. Si en un sistema binario no hay pérdida de masa y se conserva el momento angular,
estudiar la evolución de la separación a con la masa de la estrella primaria
(inicialmente) M1. Suponer que inicialmente M1 > M2, y que se produce
transferencia de masa, llegándose primero a una configuración M1 = M2, y más
tarde, a configuraciones con M1 < M2.
80. Un sistema binario consiste en dos estrellas de masas M1 = 5 M y M2 = 2,5 M.
Las órbitas son circulares y el periodo vale 146 días. Ambas estrellas están
inicialmente en la SP. ¿Durante qué fases de la evolución de la estrella 1 puede
producirse transferencia de masa?.
81. Deducir las expresiones para el nuevo radio orbital y el nuevo periodo orbital (b y
Pb), cuando la capa expulsada en una explosión de SN atraviesa la órbita de la
estrella compañera y se produce una nueva configuración de equilibrio. Suponer que
las órbitas son circulares y que la energía del sistema se conserva durante la
“reorganización” orbital.
82. Repetir el formalismo del modelo standard (acrección esférica de gas hacia la
superficie de una estrella de neutrones) para acrección esférica hacia la superficie de
una enana blanca. Comenta las diferencias.
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83. Considerar la acreción esférica de gas hacía la superficie de una enana blanca típica.
Suponer que la estrella emite rayos X blandos de origen térmico.
(a) Calcular la eficiencia (potencia emitida/energía de masa en reposo que se deposita
por unidad de tiempo)
(b) Estimar la luminosidad total de la estrella
(c) Deducir el ritmo de acreción
(d) Estimar el tiempo de vida del sistema, es decir, la escala temporal en la cual la enana
blanca puede ingerir masa sin sufrir transformaciones estructurales
84. Para cierta binaria de rayos X se ha medido un diámetro angular de la radioemisión
θ ~ 1 mas. Si la radiofuente está situada a una distancia de ~ 10 kpc, ¿cúal es su
tamaño físico (en cm)?. Suponiendo que observaciones a ~ 1 GHz conducen a un
flujo de ~ 1 Jy, y un escenario con autoabsorción sincrotrón, ¿cuanto vale el campo
magnético?. Determinar la temperatura de brillo Tb, la energía de los electrones y el
factor de Lorentz (relatividad especial). ¿Los electrones son relativistas (γ >> 1) o
clásicos (γ ~ 1)?.
85. En la figura se puede ver la curva de luz de una SN de tipo I, con un claro declive a
partir del pico de luz. Si la caida de la luminosidad es debida a la desintegración del
Ni56 producido en la detonación: Ni56 → Co56 → Fe56(estable), teniendo en
cuenta la masa inicial de Ni56 (M0), las energias emitidas (radiación gamma) en la
desintegración de un Ni56 [ε(Ni56)] y un Co56 [ε(Co56)] , y las vidas medias
τ(Ni56) y τ(Co56), construye la curva teórica L = L(t) suponiendo una eficiencia del
100% en el reprocesado de radiación gamma a radiación óptica (luminosidad). Con
datos de tablas y M0 = 0,6 M◎, dibuja L(t).
86. Se mide la luz de una estrella en la banda V, determinando que su ángulo de paralaje
vale 0,04”. Suponemos que la estrella es muy brillante (mV pequeña).
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(a) Estimar la distancia a la estrella en metros
(b) Dejando a un lado la distorsión de imagen causada por turbulencias en la
atmósfera (ensanchamiento del perfil de brillo 2D), la resolución angular de un
telescopio óptico está determinada por la dimensión del espejo primario. Dicha
resolución (límite de difracción) viene dada por la expresión ∆θ = 1,22 (λ/D), donde
λ es la longitud de onda de la radiación incidente y D es el diámetro de la lente
(espejo primario). Para poder medir el paralaje de la estrella en la banda V, ¿cuál es
el mínimo diámetro (en metros) del telescopio óptico?
87. Una estrella tiene temperatura T = 8000 K y radio R = 0,5 R◎.
(a) ¿Cuál es la longitud de onda a la que aparece el pico de emisión estelar?,¿será
luz roja o azul?
(b) Calcular la magnitud absoluta (bolométrica) de la estrella
88. Una estrella presenta la línea Lyα a λLyα = 207,34 nm. Teniendo en cuenta que
dicha línea se observa a λLyα = 121,567 nm en un laboratorio terrestre,
(a) calcular el desplazamiento al rojo de la estrella,
(b) calcular la velocidad radial de la estrella, indicando si se mueve hacia la Tierra o
alejándose de esta. ¿Te parece que se trata de una estrella en la Vía Láctea?
89. Las estrellas no solo contienen hidrógeno H (Z = 1, A = 1), ya que también
contienen el isótopo deuterio D (Z = 1, A = 2). El deuterio es similar al hidrógeno en
casi todo, salvo que tiene un neutrón en el núcleo (además del protón). Este neutrón
extra modificará ligeramente el espectro de energía.
(a) Calcular la masa reducida del átomo de deuterio (D)
(b) Usando el modelo de Bohr, calcular la longitud de onda de la línea Balmer Dα
(transición de n = 3 a n = 2). Calcular la diferencia en longitudes de onda ∆λ =
λHα – λDα. ¿Son fácilmente separables las líneas Hα y Dα?
90. Considerar un planeta orbitando la estrella del problema 87. El semieje mayor de la
órbita vale a = 4,5 UA, y la excentricidad es cero. El planeta tiene un radio RP = 2,3
RJ, donde RJ es el radio de Júpiter.
(a) Estimar la temperatura del planeta TP. Para estimar la temperatura, considerar
que solo recibe luz estelar su disco iluminado πRP2 (si el planeta gira sobre si
mismo, el disco iluminado estará asociado a diferentes hemisferios en diferentes
épocas), que dicha radiación calienta globalmente al planeta y que finalmente este
emite como un cuerpo negro a la temperatura TP
(b) ¿Cuál es la longitud de onda a la que aparece el pico de emisión del
planeta?,¿será luz roja o azul?. Compárala con la que se obtuvo para la estrella
(c) Calcular la magnitud absoluta (bolométrica) del planeta. Compárala con la de la
estrella compañera (ver solución del problema 87)
91. En lugar de una única línea, en cierta estrella se observan tres líneas Lya. Las
longitudes de onda asociadas a las tres líneas son λLyα+ = 307,3533 nm, λLyα0 =
307,3568 nm y λLyα− = 307,3603 nm. Teniendo en cuenta que dicha línea se observa
a λLyα = 121,567 nm en un laboratorio terrestre, interpretar el triplete observado
como una combinación de efecto Zeeman y movimiento radial de la estrella.
Entonces,
(a) Calcular el desplazamiento al rojo de la estrella, así como su velocidad radial.
¿Se aleja o se acerca a la Tierra?, ¿será una estrella de la Vía Láctea?
(b) Estimar la intensidad del campo magnético en la estrella
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92. Al observar las líneas espectrales de una enana blanca típica (Sirius B):
(a) se encuentra una línea a λ = 402,56 nm. Estimar la anchura de dicha línea debida
a ensanchamiento Doppler natural (agitación térmica), y también la debida a
ensanchamiento natural básico (principio de incertidumbre). Para el ensanchamiento
natural básico, usar ∆t ≈ 10-8 seg. Suponer que el átomo emitiendo tiene una masa
atómica igual a 4
(b) dado el ensanchamiento natural total calculado en el apartado anterior, si
quisiéramos medir el campo magnético de la estrella mediante el desdoblamiento
Zeeman, ¿cuál seria el mínimo campo magnético detectable?. Comparar el umbral
de detección con el campo magnético típico de una enana blanca como Sirius B.
¿Podemos intentar medir el campo magnético de Sirius B mediante el
ensanchamiento de la línea espectral?
93. Una estrella que inicialmente es enana blanca acaba superando el limite de
Chandrasekhar (cuando sus propiedades físicas alcanzan valores R = 0,0073 R◎ y
M = 1,4 M◎) y colapsa a una estrella de neutrones. En este estadio final se detiene
el colapso.
(a) Calcular el tiempo de colapso. ¿Será un proceso relativamente lento o muy
violento?
(b) Calcular la cantidad total de energía (en Julios) liberada en el colapso
(c) Estimar la luminosidad (= energía liberada/tiempo de colapso) en Watios y en
luminosidades solares, así como la magnitud bolométrica. ¿Se hace brillante?
(d) La evolución que se ha planteado en el problema corresponde a una supernova
de tipo Ia. Estas supernovas Ia tienen <MV> ~ <MB> = -19,3. Explicar la razón por
la cual la magnitud bolométrica que hemos calculado previamente es tan diferente
de las magnitudes visual-azul observadas
94. En el centro de una galaxia hay un agujero negro supermasivo con M = 108 M◎. El
material de su entorno es capturado con un ritmo de acreción dM/dt ≈ 1 M◎/año,
formándose un disco de gas caliente alrededor del agujero negro central. También se
encuentra que la radiación de alta energía emitida por el disco es variable, con
cambios en la luminosidad sobre una escala temporal de ≈ 1 hora.
(a) Calcular el radio de Schwartzschild (RSchw = 2GM/c2) del agujero negro, así
como el radio interno del disco Rint = 3 RSchw
(b) Suponiendo que la escala de tiempo de la variación en luminosidad está
relacionada con el tiempo que tardan los fotones en cruzar el disco (desde un cierto
radio externo r = Rext hasta r = Rint), estimar el radio externo del disco en pc
(c) Calcular la luminosidad del disco de acreción en luminosidades solares, así como
la temperatura en las capas internas del disco (r ≈ 10 RSchw), suponiendo que emite
como un cuerpo negro
(d) Discutir el tipo de radiación electromagnética que se emite desde las capas
internas del disco
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