Capitulo IX

Capı́tulo IX
Subvariedades diferenciables
1.
Definición de subvariedad regular
Definición 1.1 Sea (X, OX ) un espacio anillado y sea Y un subespacio (no vacı́o) de X.
Dados un abierto V de Y y una función continua f ∈ C(V ), diremos que f coincide localmente
con funciones del haz OX , si para todo x ∈ V existen un entorno abierto U de x en X y una
función F ∈ OX (U ) tales que f = F sobre V ∩ U . El haz OX induce de modo natural un haz
de funciones sobre Y , que denotaremos OY , del siguiente modo: dado V abierto de Y ,
OY (V ) = {f ∈ C(V ) : f coincide localmente con funciones del haz OX } .
Es inmediato comprobar que efectivamente OY es un haz de funciones sobre Y , el cual se
denomina haz inducido en Y por el haz de X. Las funciones del haz OY son las que localmente
coinciden con funciones del haz OX .
Es claro que la inclusión i : Y ,→ X es un morfismo de espacios anillados (considerando
sobre Y el haz inducido por el de X). En efecto, basta tener en cuenta que “ componer con la
inclusión ” es igual a “ restringir ”: para cada abierto U de X es i−1 (U ) = Y ∩ U y tenemos
i∗
C(U ) −−→ C(Y ∩ U )
F 7−→ F ◦i = F|Y
de modo que si F ∈ OX (U ) entonces F|Y
∩U
∩U
,
∈ OY (Y ∩ U ).
Ejemplos 1.2 (a) Cuando Y es un abierto de un espacio anillado X, un subconjunto V de
Y es abierto de Y si y sólo si es abierto de X, en cuyo caso tenemos
OY (V ) = {f ∈ C(V ) : f coincide localmente con funciones del haz OX } = OX (V ) .
Este ejemplo lo habı́amos visto en VII.4.3 (d).
(b) Sean r, m enteros positivos y pongamos n = m + r. En X = Rn dotado de su haz de
funciones diferenciables, OX = C ∞
Rn , consideremos el subespacio Y definido como
Y = Rm = Rm × 0 ,→ Rm × Rr = Rn = X .
151
152
Capı́tulo IX. Subvariedades diferenciables
Veamos que en este caso el haz inducido en Y por el de X es justamente el haz de funciones
diferenciables de Y , OY = C ∞
Rm .
n
Por una parte, si F ∈ C ∞
Rn (U ) para algún abierto U de R , entonces la restricción de F
al abierto V = U ∩ Rm de Rm es diferenciable, F|V ∈ C ∞
Rm (V ), ya que es la composición
V ,→ U −−→ R. Esto prueba que para cada abierto V de Y se cumple OY (V ) ⊆ C ∞
Rm (V ).
Por otra parte, dado un abierto V de Rm veamos la inclusión C ∞
m (V ) ⊆ OY (V ). ConsiR
π
deremos el abierto U = V × Rr de Rm × Rr = Rn y la proyección natural U = V × Rr −→ V ,
F
f
r
→ V −→ R
que es una aplicación diferenciable. Dada f ∈ C ∞
Rm (V ), la composición U = V × R −
es una función diferenciable sobre U cuya restricción a V es f (nótese que U ∩ V = V ):
F = f ◦π ∈ C ∞
Rn (U ) y f = F|U ∩ V ; por lo tanto f ∈ OY (V ).
π
Ejercicio 1.3 Pruébense las siguientes propiedades (se obtienen de las definiciones):
(a) Si Y y Z son subespacios de un espacio anillado X de modo que Z ⊆ Y , entonces
restringir el haz de X a Y y después restringir el haz obtenido sobre Y a Z es equivalente a
restringir directamente el haz de X a Z.
(b) Dado un subespacio Y de un espacio anillado X, la inclusión natural Y ,→ X es un
morfismo de espacios anillados que tiene la siguiente propiedad universal: dados un espacio
anillado Z y una aplicación φ : Z → Y , φ es morfismo de espacios anillados si y sólo si la
φ
composición Z −−→ Y ,→ X es morfismo de espacios anillados. (El ejercicio VII.4.6 (c) es un
caso particular de éste.)
(c) Sea φ : X → X̄ un morfismo de espacios anillados. Si Y es un subespacio de X e Ȳ es
un subespacio de X̄ tales que φ(Y ) ⊆ Ȳ , entonces tenemos un morfismo de espacios anillados
φ : Y → Ȳ . En particular, si φ : X → X̄ es isomorfismo, entonces φ : Y → φ(Y ) es también
isomorfismo.
Definición 1.4 Sea Y un subespacio no vacı́o de una variedad diferenciable X. Se dice que
Y es una subvariedad diferenciable regular de X, si Y dotado del haz inducido por el de las
funciones diferenciables de X es una variedad diferenciable.
Cuando Y es una subvariedad diferenciable regular de X diremos abreviadamente que
“ Y es una subvariedad de X ”; es claro que en ese caso la inclusión Y ,→ X es una aplicación
diferenciable.
Ejemplos 1.5 (a) Ya sabemos que todo abierto no vacı́o de una variedad diferenciable X es
una subvariedad de X.
(b) Si 0 < m < n, entonces hemos visto en el ejemplo 1.2 (b) que Rm (= Rm × 0 ,→
m
R × Rn−m = Rn ) es una subvariedad de Rn .
Propiedades 1.6 Enunciemos los apartados del ejercicio 1.3 en el marco de las variedades
diferenciables.
(a) Sea Y una subvariedad de una variedad diferenciable X. Para cada subconjunto Z de
Y tenemos: Z es subvariedad de Y ⇔ Z es subvariedad de X.
(b) Dado una subvariedad Y de una variedad diferenciable X, la aplicación diferenciable
Y ,→ X tiene la siguiente propiedad universal: para toda variedad diferenciable Z y toda
aplicación φ : Z → Y se cumple
φ
Z −−→ Y es diferenciable
⇐⇒
φ
la composición Z −−→ Y ,→ X es diferenciable.
2. Ecuaciones locales de una subvariedad
153
(c) Sea φ : X → X̄ una aplicación diferenciable. Si Y es una subvariedad de X e Ȳ es
una subvariedad de X̄ tales que φ(Y ) ⊆ Ȳ , entonces la aplicación φ : Y → Ȳ es diferenciable.
En particular, si φ : X → X̄ es un difeomorfismo, entonces φ(Y ) es una subvariedad de X̄ y la
aplicación φ : Y → φ(Y ) es también difeomorfismo.
Teorema 1.7 Sea Y una subvariedad de una variedad diferenciable X y sea i : Y ,→ X la
inclusión. Para cada y ∈ Y , la aplicación lineal tangente i∗ : Ty Y → Ty X es inyectiva. Ası́, el
tangente a la subvariedad es de modo natural un subespacio vectorial del tangente a la variedad.
Demostración. Fijemos un punto y ∈ Y . Por definición, cada función diferenciable sobre un
entorno de y en Y coincide en algún entorno más pequeño de y con una función diferenciable en
un entorno de y en X; por lo tanto es claro que la aplicación i∗ : OX,y → OY,y entre los anillos
de gérmenes es epiyectiva (i∗ = “ restringir de X a Y ” porque i = “ inclusión de Y en X ”).
Como el cuadrado
i∗
OX,y −−−→ OY,y



d
dy y
y y
i∗
Ty∗ X −−−→ Ty∗ Y
es conmutativo y las diferenciales son epiyectivas, la mencionada epiyectividad de la i∗ de
arriba implica la epiyectividad de la i∗ de abajo. O lo que es equivalente, la aplicación lineal
i∗ : Ty Y → Ty X es inyectiva.
Corolario 1.8 Sea X una variedad diferenciable. Para toda subvariedad Y de X se cumple
dim Y ≤ dim X.
2.
Ecuaciones locales de una subvariedad
Teorema 2.1 Sean X una variedad diferenciable y f1 , . . . , fr ∈ C ∞ (X), y consideremos en X
el conjunto
Y = {x ∈ X : f1 (x) = · · · = fr (x) = 0} .
Si {dx f1 , . . . , dx fr } es una familia libre de 1-formas en todo punto x ∈ Y , entonces Y es
subvariedad de X y dim Y = dim X − r.
Demostración. Denotemos n = dim X (≥ r) y sea m = n − r. Fijemos un punto x ∈ Y . Como
{dx f1 , . . . , dx fr } es una familia libre en Tx∗ X puede ampliarse a una base, y como la diferencial
dx : Ox → Tx∗ X es una aplicación epiyectiva existen m funciones diferenciables fr+1 , . . . , fn
definidas en algún entorno de x tales que {dx f1 , . . . , dx fr , dx fr+1 , . . . , dx fn } es base de Tx∗ X.
Aplicando el teorema VIII.5.7 tenemos que f1 , . . . , fn son coordenadas locales en el punto x :
existe un entorno abierto U de x en X tal que (U ; f1 , . . . , fn ) es un abierto coordenado de la
variedad diferenciable X.
Si vemos que el entorno abierto Y ∩ U de x en Y , dotado del haz inducido por el de Y ,
es isomorfo como espacio anillado a un abierto de Rm con su haz de funciones diferenciables,
entonces quedará probado que Y es una subvariedad de X tal que dim Y = m.
154
Capı́tulo IX. Subvariedades diferenciables
Aplicando el ejercicio 1.3 (c) al difeomorfismo
φ=(f1 ,...,fn )
U −−−−−−−−−→ Ū
(Ū es un abierto de Rn ), obtenemos que la aplicación
{
}
puntos de U donde
φ
= U ∩ Y −−−→ φ(U ∩ Y ) = Ū ∩ {0 × Rm } (= abierto de Rm )
se anulan f1 , . . . , fr
es un isomorfismo de espacios anillados si se consideran U ∩ Y con el haz inducido por el de U ,
y φ(U ∩ Y ) con el haz inducido por el de Ū . Por una parte, según el ejercicio 1.3 (a) tenemos
que el haz inducido en U ∩ Y por U es el mismo que el inducido por Y . Por otra parte, como
φ(U ∩ Y ) es el abierto de Rm que se obtiene al cortar el abierto Ū de Rn con Rm , y además
sobre Ū se considera el haz de funciones diferenciables en el sentido usual, el ejemplo 1.2 nos
dice que el haz inducido en φ(U ∩ Y ) es justamente el de las funciones diferenciables en el
sentido usual. Esto termina la demostración.
Ejemplo 2.2 Consideremos f ∈ C ∞ (R3 ), f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1. El conjunto de los ceros
de f es la esfera S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}. Dado p = (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 tenemos
dp f =
∂f
∂f
∂f
(p) · dp x +
(p) · dp y +
(p) · dp z = 2x0 dp x + 2y0 dp y + 2z0 dp z ,
∂x
∂y
∂z
es decir, en coordenadas en la base {dp x, dp y, dp z} de 1-formas es dp f = (2x0 , 2y0 , 2z0 ). Entonces es claro que dp f ̸= 0 cuando p ∈ S2 , y aplicando el teorema 2.1 obtenemos que S2 es una
subvariedad diferenciable de R3 de dimensión 2.
¿Haz de funciones diferenciables sobre S2 ? Se toma la definición.
Ejemplo 2.3 La gráfica Y = {(x, y) ∈ R2 : y = f (x)} de una aplicación diferenciable
f : R → R es una subvariedad de R2 de dimensión 1. En efecto, Y es el conjunto de los ceros
de la función diferenciable F : R2 → R, F (x, y) = f (x) − y, con dp F ̸= 0 para todo p ∈ R2 .
En general, si φ : Rm → Rr , φ = (h1 , . . . , hr ), es una aplicación diferenciable, entonces su
gráfica es una subvariedad diferenciable de dimensión m de Rm+r .
2.4 En el teorema 1.7 se ha probado que el espacio tangente a una subvariedad “ es ” un
subespacio vectorial del espacio tangente a la variedad. En el siguiente resultado veremos cómo
podemos describir dicho subespacio cuando se conocen “ ecuaciones ” de la subvariedad, esto
es, cuando los puntos de la subvariedad son los ceros de unas funciones diferenciables sobre
la variedad. En el teorema 2.9 probaremos que toda subvariedad puede darse localmente por
ecuaciones, por lo que la situación de la siguiente proposición será la general.
Proposición 2.5 Sea Y una subvariedad de una variedad diferenciable X de dimensión n.
Supongamos que existen f1 , . . . , fr ∈ C ∞ (X) tales que Y = {x ∈ X : f1 (x) = · · · = fr (x) = 0}
y {dy f1 , . . . , dy fr } es una familia libre en Ty∗ X para todo y ∈ Y .
Dado y ∈ Y , para la aplicación lineal i∗ : Ty Y → Ty X asociada a la inclusión i : Y → X se
cumple
⟨
⟩◦
i∗ (Ty Y ) = dy f1 , . . . , dy fr ,
(2.1)
⟨
⟩◦
⟨
⟩
donde dy f1 , . . . , dy fr ⊆ Ty X es el “ incidente ” del subespacio vectorial dy f1 , . . . , dy fr
del espacio cotangente Ty∗ X.
2. Ecuaciones locales de una subvariedad
155
Demostración. Según el teorema 1.7 se cumple dim i∗ (Ty Y ) = dim Ty Y , y aplicando el teorema
2.1 tenemos dim Y = n −⟨r. Además, de⟩ la fórmula para la ⟨dimensión del ⟩incidente de un
◦
subespacio obtenemos dim dy f1 , . . . , dy fr = dim Ty∗ X − dim dy f1 , . . . , dy fr = n − r. Por lo
⟨
⟩◦
tanto i∗ (Ty Y ) y dy f1 , . . . , dy fr son subespacios de Ty X que tienen la misma dimensión, de
modo que para probar que son iguales bastará ver que uno de ellos está contenido en el otro.
Dado D ∈ Ty Y , para todo j ∈ {1, . . . , r} tenemos
(
)
(
)
(dy fj )(i∗ D) = (i∗ D)fj = D i∗ fj = D fj |
= D(0) = 0 ;
⟨
⟩◦
Y
por lo tanto i∗ (Ty Y ) ⊆ dy f1 , . . . , dy fr .
Ejemplo 2.6 Continuando con el ejemplo 2.2, dado en la esfera S2 el punto p = (0, 0, 1),
⟩◦
i ⟨
calculemos el espacio tangente a S2 en p como subespacio de Tp R3 = R3 : Tp S2 =∗ dp f .
En la base {dp x, dp y, dp z} de 1-formas en el punto p tenemos
(
)
∂f
∂f
∂f
dp f =
(p),
(p),
(p) = (0, 0, 2) = 2dp z .
∂x
∂y
∂z
Ahora, dado un vector D ∈ Tp R3 = R3 , D = λ1 (∂x )p +λ2 (∂y )p +λ3 (∂z )p = (λ1 , λ2 , λ3 ), tenemos
(
)
dp f (D) = 2dp z λ1 (∂x )p + λ2 (∂y )p + λ3 (∂z )p = 2λ3
y por tanto
⟨
⟩◦
D ∈ T p S2 = d p f
⇐⇒
dp f (D) = 0
⟨
⟩
Ası́ concluimos que Tp S2 = (1, 0, 0), (0, 1, 0) ⊂ R3 .
⇐⇒
λ3 = 0 .
Ejemplo 2.7 Según el ejemplo 2.3, la gráfica de una función diferenciable f : R → R es la
subvariedad de R2 definida por los ceros de la función diferenciable F : R2 → R, F (x, y) =
f (x) − y. Sea p = (a, f (a)) ∈ Y y calculemos Tp Y . Como dp F = f ′ (a)dp x − dp y = (f ′ (a), −1),
dado D = λ1 (∂x )p + λ2 (∂y )p = (λ1 , λ2 ) tenemos
D ∈ T p S2
⇐⇒
⇐⇒
dp F (D) = 0
⇐⇒
λ1 f ′ (a) − λ2 = 0
λ1
⟨
⟩
1 ⇐⇒
(λ1 , λ2 ) ∈ (1, f ′ (a)) .
λ2 f ′ (a) = 0
los
⟨Es decir,
⟩ vectores tangentes a la gráfica de f en un punto (a, f (a)) son los del subespacio
′
(1, f (a)) , como cabı́a esperar.
Definición 2.8 Llamaremos codimensión de una subvariedad Y de una variedad diferenciable
X al entero no negativo dim X − dim Y .
Teorema 2.9 Sea Y una subvariedad de codimensión r de una variedad diferenciable X de
dimensión n. Para cada punto y ∈ Y existe un entorno coordenado (U ; u1 , . . . , un ) de y en X
tal que
Y ∩ U = {x ∈ U : u1 (x) = · · · = ur (x) = 0} .
Es decir, localmente toda subvariedad es de la forma X = Rr × Rm , Y = 0 × Rm .
156
Capı́tulo IX. Subvariedades diferenciables
Demostración. Por el carácter local del enunciado podemos suponer que X = Rn . Consideremos la inclusión i : Y ,→ Rn , fijemos un punto y ∈ Y , y sean (x1 , . . . , xn ) las coordenadas
cartesianas de Rn . Para cada j ∈ {1, . . . , n} denotemos x̄j := i∗ (xj ) = xj ◦i = xj | .
Y
La aplicación lineal i∗ : Ty Y → Ty Rn es inyectiva y por tanto i∗ : Ty∗ Rn → Ty∗ Y es epiyectiva; entonces {i∗ (dy xj )} es un sistema de generadores de Ty∗ Y porque {dy xj } es base de Ty∗ Rn ,
donde i∗ (dy xj ) = dy (i∗ xj ) = dy x̄j . Supongamos, por comodidad en la notación, que son las
m primeras diferenciales {dy x̄1 , . . . , dy x̄m } las que forman base de Ty∗ Y . Entonces existe un
entorno abierto V de y en Y tal que (V ; x̄1 , . . . , x̄m ) es abierto coordenado de Y . Sea U abierto
(x̄1 ,...,x̄m )
de Rn tal que Y ∩U = V , y sea V̄ el abierto de Rm tal que V −−−−−−−→ V̄ es un difeomorfismo.
Puede ocurrir que (x1 , . . . , xm )(U ) ̸= V̄ , y queremos que se dé la igualdad. Si sustituimos U
por U ∩ (V̄ × Rr ), entonces obtenemos un nuevo abierto, que seguimos denotando U , que se
proyecta por las m primeras coordenadas sobre V̄ y sigue cumpliendo U ∩ Y = V .
Ahora, las funciones x̄m+1 , . . . , x̄n sobre V son funciones diferenciables de las coordenadas
x̄1 , . . . , x̄m : existen f1 , . . . , fr ∈ C ∞ (V̄ ), fj = fj (x1 , . . . , xm ) con j = 1, . . . , r, tales que
x̄m+1 = f1 ◦(x̄1 , . . . , x̄m ) = f1 (x̄1 , . . . , x̄m ) ,
..
.
x̄m+r = fr ◦(x̄1 , . . . , x̄m ) = fr (x̄1 , . . . , x̄m ) .
Definimos las funciones u1 , . . . , un ∈ C ∞ (U ) como sigue:
u1 = x1 ,
... ,
um = xm ,
um+1 = xm+1 − f1 (x1 , . . . , xm ) ,
..
.
un = xn − fr (x1 , . . . , xm ) ;
por la elección del abierto U las funciones u1 , . . . , un están bien definidas sobre U . En el punto
y ∈ V ⊆ U fijado tenemos
dy u1 = dy x1 ,
... ,
dy um = dy xm ,
dy um+1 = dy xm+1 −
m
∑
∂f1
i=1
∂xi
(y)dy xi ,
..
.
dy un = dy xn −
m
∑
∂fr
i=1
∂xi
(y)dy xi ,
y es fácil deducir de estas igualdades que {dy u1 , . . . , dy un } es una base de Ty∗ X. Por lo tanto
u1 , . . . , un son coordenadas en un entorno de y en X dentro de U , que seguimos denotando U .
Calculemos U ∩ Y = V . Por una parte, si q ∈ V entonces para todo j ∈ {1, . . . , r} tenemos
(
)
(
)
um+j (q) = xm+j (q) − fj x1 (q), . . . , xm (q) = x̄m+j (q) − fj x̄1 (q), . . . , x̄m (q) = 0 ,
es decir, V ⊆ {q ∈ U : um+1 (q) = · · · = un (q) = 0}.
3. Inmersiones locales
157
Por otra parte, sea q ∈ U tal que um+1 , . . . , un se anulan en q. Mediante la composición
(x1 ,...,xm )
U −−−−−−−→ V̄ ≃ V , el punto q se transforma en un punto q0 ∈ V que tiene las m primeras
coordenadas cartesianas iguales a las de q,
x1 (q) = x1 (q0 ) ,
... ,
xm (q) = xm (q0 ) .
(
)
Dado j ∈ {1, . . . , r}, como 0 = um+j (q) = xm+j (q) − fj x1 (q), . . . , xm (q) , tenemos
(
)
(
)
xm+j (q) = fj x1 (q), . . . , xm (q) = fj x1 (q0 ), . . . , xm (q0 )
(
)
= fj x̄1 (q0 ), . . . , x̄m (q0 ) = x̄m+j (q0 ) = xm+j (q0 ) ;
entonces q y q0 tienen todas sus n coordenadas cartesianas iguales y por lo tanto q = q0 ∈ V .
Eso concluye la demostración.
Corolario 2.10 Sea X una variedad diferenciable de dimensión n. Si Y es una subvariedad
de X de dimensión n, entonces Y es un abierto de X. Es decir, las subvariedades de X de
codimensión cero son sus abiertos (no vacı́os).
Demostración. Dado un punto y ∈ Y , aplicando el teorema anterior con r = 0 obtenemos que
existe un entorno abierto coordenado (U ; u1 , . . . , un ) de y en X tal que Y ∩ U = {x ∈ U :
ninguna condición} = U ; por lo tanto U ⊆ Y .
Nota 2.11 El anterior corolario podemos probarlo sin hacer uso del teorema 2.9. En efecto, sea
Y una subvariedad de X tal que dim Y = dim X y consideremos la inclusión i : Y ,→ X. Fijado
y ∈ Y , como i∗ : Ty Y → Ty X es una aplicación lineal inyectiva entre espacios vectoriales de la
misma dimensión debe ser un isomorfismo, y por lo tanto la inclusión i es difeomorfismo local
en el punto y; pero eso para la inclusión significa que existe un entorno abierto de y en X que
está dentro de Y , esto es, que Y es entorno de y en X. Por lo tanto Y es abierto de X.
3.
Inmersiones locales
Definición 3.1 Una aplicación diferenciable φ : Y → X se dice que es inmersión local en un
punto y ∈ Y si la aplicación lineal tangente φ∗ : Ty Y → Tφ(y) X es inyectiva.
Ejemplo 3.2 Si Y es una subvariedad de una variedad diferenciable X, entonces la inclusión
Y ,→ X es inmersión local en todo punto de Y .
Teorema 3.3 Sea φ : Y → X una aplicación diferenciable. Si φ es inmersión local en un punto
y0 ∈ Y , entonces existe un entorno abierto V de y0 en Y tal que φ(V ) es una subvariedad de
X y φ : V → φ(V ) es un difeomorfismo.
Es decir, localmente toda inmersión local es como en el ejemplo 3.2.
Demostración. Pongamos n = dim X, m = dim Y y r = n − m. Sea (U ; u1 , . . . , un ) un entorno
abierto coordenado de x0 = φ(y0 ) en X, y para cada j ∈ {1, . . . , n} sea vj := φ∗ (uj ) = uj ◦φ.
Como la aplicación lineal φ∗ : Tx∗0 X → Ty∗0 Y es epiyectiva y {dx0 uj } es base de Tx∗0 X, la
familia de 1-formas {φ∗ (dx0 uj ) = dy0 vj } es un sistema de generadores de Ty∗0 Y . Supongamos
158
Capı́tulo IX. Subvariedades diferenciables
por comodidad en la notación que {dy0 v1 , . . . , dy0 vm } es base de Ty∗0 Y . Entonces existe un
entorno abierto V de y0 en Y tal que (V ; v1 , . . . , vm ) es un abierto coordenado de Y . Sea V̄ el
(v1 ,...,vm )
abierto de Rm tal que V −−−−−−−→ V̄ es un difeomorfismo. Como el diagrama
φ
V −−→


(v1 ,...,vm )y
U

(u ,...,u )
m
y 1
V̄ ,→ Rm
es conmutativo, sustituyendo U por (u1 , . . . , um )−1 (V̄ ), que es una abierto de U que contiene
a φ(V ), tenemos el triángulo conmutativo
φ
V −−−−−→ U
(v1 , . . . , vm ) ↘
↙ (u1 , . . . , um )
V̄
(esto es, por las primeras m coordenadas (u1 , . . . , um ), el abierto U se proyecta sobre V̄ ).
Por otra parte, existen funciones f1 , . . . , fr ∈ C ∞ (V̄ ) tales que sobre V tenemos
vm+1 = f1 (v1 , . . . , vm ) ,
..
.
vm+r = fr (v1 , . . . , vm ) .
Para cada j ∈ {1, . . . , r} definimos la función
Fj = um+j − fj (u1 , . . . , um )
(Fj está bien definida por la elección del abierto U , que se proyecta sobre V̄ ). Para todo x ∈ U
tenemos
dx F1 = dx um+1 −
m
∑
∂f1
i=1
∂ui
(x)dx ui ,
..
.
dx Fr = dx um+r −
m
∑
∂fr
i=1
∂ui
(x)dx ui ,
y es fácil deducir de las anteriores igualdades que {dx F1 , . . . , dx Fr } es una familia libre de Tx∗ X.
Como consecuencia obtenemos que el conjunto
Z = {x ∈ U : F1 (x) = · · · = Fr (x) = 0}
es una subvariedad de U (y por tanto de X) de dimensión n − r = m. Además tenemos
φ(V ) ⊆ Z, ya que para todo y ∈ V y para todo j ∈ {1, . . . , r} se cumple
(
)
Fj (φ(y)) = um+j (φ(y)) − fj u1 (φ(y)), . . . , um (φ(y))
(
)
= vm+j (y) − fj v1 (y), . . . , vm (y) = 0 .
4. Proyecciones regulares
159
Entonces tenemos el triángulo conmutativo de aplicaciones diferenciables
φ
V −−−−−→ Z
φ↘
↙ inclusión
U
,
del que se obtiene el triángulo conmutativo de aplicaciones lineales
φ∗
Ty0 Y −−−−−→ Tx0 Z
φ∗ ↘
↙ inclusión
Tx0 X
.
Como φ∗ : Ty0 Y → Tx0 X es inyectiva, del último triángulo se sigue que φ∗ : Ty0 Y → Tx0 Z
también es inyectiva y por tanto isomorfismo (porque dim Ty0 Y = dim Tx0 Z = m). Entonces
φ : V → Z es difeomorfismo local en y0 , es decir, φ es un difeomorfismo entre un entorno de
y0 en Y y un entorno de x0 en Z, lo que termina la demostración.
Ejemplo 3.4 La condición de regularidad de las parametrizaciones de curvas y superficies
significa “ ser inmersión local en todo punto ”.
Definición 3.5 Una aplicación diferenciable φ : Y → X se dice que es una inmersión, si φ es
inyectiva y es inmersión local en todo punto y ∈ Y . (También se dice de una tal aplicación que
es una subvariedad inmersa.)
Ejemplo 3.6 La aplicación diferenciable σ : R → R2 , t 7→ (t2 − 1, t3 − t), es inmersión local
en todo punto pero no es inmersión (no es inyectiva porque σ(1) = σ(−1)).
La restricción de σ al intervalo abierto (−1, +∞) sı́ es inmersión, pero nótese que la imagen
de σ : (−1, +∞) → R2 no es subvariedad diferenciable de R2 (pues no es variedad topológica).
Más adelante, en el problema 5.9, se dará una condición de “ naturaleza topológica ” para que
la imagen de una inmersión φ : Y → X sea una subvariedad de X.
4.
Proyecciones regulares
Definición 4.1 Una aplicación diferenciable φ : X → Y se dice que es proyección regular en
un punto x ∈ X si la aplicación lineal tangente φ∗ : Tx X → Tφ(x) Y es epiyectiva.
Ejemplo 4.2 Sean X = Rn e Y = Rm con m ≤ n. La aplicación diferenciable φ : Rn → Rm ,
(x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , . . . , xm ), es proyección regular en todo punto de X porque es lineal y
epiyectiva (véase el problema VIII.6.10).
Teorema 4.3 Sea φ : X → Y una aplicación diferenciable que es proyección regular en un
punto x0 ∈ X, en cuyo caso n = dim X ≥ m = dim Y . Existen entornos abiertos coordenados
U de x0 y V de y0 = φ(x0 ), tales que φ(U ) ⊆ V y la aplicación φ : U → V se expresa en esas
coordenadas en la forma
φ(a1 , . . . , an ) = (a1 , . . . , am ) .
Es decir, eligiendo bien las coordenadas, toda proyección regular es localmente “ proyectar unas
cuantas coordenadas ”.
160
Capı́tulo IX. Subvariedades diferenciables
Demostración. Sea (V ; v1 . . . , vm ) un entorno abierto coordenado de y0 en Y . Sobre el entorno
abierto φ−1 (V ) de x0 tenemos las funciones ui := φ∗ (vi ), i = 1, . . . , m, y como {dy0 vi } es base de
Ty∗0 Y y la aplicación lineal φ∗ : Ty∗0 Y → Tx∗0 X es inyectiva, obtenemos que {φ∗ (dy0 vi ) = dx0 ui }
es una familia libre de Tx∗0 X.
Consideremos funciones diferenciables um+1 . . . , un definidas en un entorno de x0 tales que
{dx0 u1 , . . . , dx0 um , dx0 um+1 , . . . , dx0 un } es una base de Tx∗0 X. Entonces hay un entorno abierto
U de x0 dentro de φ−1 (V ) tal que (U ; u1 . . . , un ) es un abierto coordenado de X. Veamos cómo
es φ : U → V en coordenadas. Dado x ∈ U , sean (a1 , . . . , an ) las coordenadas de x respecto
de u1 , . . . , un , esto es, ai = ui (x) para i = 1, . . . , n. Si (b1 , . . . , bm ) son las coordenadas de φ(x)
respecto de v1 , . . . , vm , entonces para cada j = 1, . . . , m tenemos
bj = vj (φ(x)) = (vj ◦φ)(x) = uj (x) = aj .
Esto termina la demostración.
φ=(f1 ,...,fm )
Lema 4.4 Sea X −−−−−−−−−→ Rm una aplicación diferenciable. Dado un punto x ∈ X, φ es
proyección regular en x si y sólo si la familia {dx f1 , . . . , dx fm } es libre.
Como consecuencia, si φ : X → Y es una aplicación diferenciable que es proyección regular
en todo punto de X, entonces cada fibra (no vacı́a) de φ es una subvariedad de X. 1
Demostración.
Sean}x1 , . . . , xm las coordenadas cartesianas de Rm . Dado x ∈ X, como
{
m
∗ Rm , la aplicación φ∗ : T
∗
dφ(x) x1 , . . . , dφ(x) xm es base de Tφ(x)
φ(x) R → Tx X será inyectiva si
)}
)
(
{ ∗(
y sólo si φ dφ(x) x1 , . . . , φ∗ dφ(x) xm es una familia libre. Para terminar la demostración
de la primera parte del lema basta tener en cuenta que para cada i = 1, . . . , m es
)
(
φ∗ dφ(x) xi = dx φ∗ (xi ) = dx fi .
Veamos la consecuencia. Sea y0 un punto de Y tal que la fibra φ−1 (y0 ) es no vacı́a. Si V es
un abierto coordenado de Y en el que está y0 , entonces φ−1 (V ) es un abierto de X que contiene
la fibra de φ en y0 , luego podemos suponer que la situación es φ : X → Rm .
Sean entonces y0 = (α1 , . . . , αm ) ∈ Rm y φ = (f1 , . . . , fm ) : X → Rm , de modo que la fibra
de φ en y0 es el conjunto
Z = {x ∈ X : φ(x) = y0 } = {x ∈ X : f1 (x) = α1 , . . . , fm (x) = αm } .
Ahora, si para cada i ∈ {1, . . . , m} definimos la función hi ∈ C ∞ (X) como hi (x) = fi (x) − αi ,
entonces Z es el conjunto de los ceros de h1 , . . . , hm . Como φ es proyección regular en todo
punto de X, de la primera parte del lema obtenemos que {dx hi = dx (fi − αi ) = dx fi } es libre
para todo x ∈ Z. Por lo tanto Z es subvariedad de X (aplı́quese el teorema 2.1).
Ejemplo 4.5 Consideremos la aplicación diferenciable f : R2 → R, f (x, y) = xy. De la
primera parte del anterior lema se sigue fácilmente que f es proyección regular en todo punto
de R2 salvo el origen. Si nos quedamos en el abierto X = R2 − {(0, 0)}, entonces la aplicación
f : X → R es proyección regular en todo punto y por tanto sus fibras son subvariedades de X
(y también de R2 ). Dichas fibras son hipérbolas de R2 que tienen a los ejes cartesianos como
ası́ntotas (xy = α ∈ R, α ̸= 0), además de la subvariedad que obtenemos al quitar a los ejes el
origen (xy = 0).
1
La “ fibra de la aplicación φ en un punto y ∈ Y ” es el conjunto φ−1 (y) := {x ∈ X : φ(x) = y}, que es un
subconjunto de X.
5. Problemas
5.
161
Problemas
5.1 Sea Z un subconjunto de una variedad diferenciable X. Diremos que Z es “ localmente
subvariedad ” de X, si para todo z ∈ Z existe un entorno abierto U de z en X tal que Z ∩ U
es una subvariedad de U .
(a) Pruébese que Z es localmente subvariedad de X si y sólo si para todo z ∈ Z existe un
entorno abierto V de z en Z tal que V es una subvariedad de X.
(b) Dedúzcase de (a) la equivalencia: Z es subvariedad de X ⇔ Z es localmente subvariedad de X de dimensión constante.
5.2 Pruébese que las cónicas no singulares del plano proyectivo P2 son subvariedades diferenciables.
5.3 Pruébese que los ejes cartesianos del plano real no forman una subvariedad diferenciable
de R2 . Más aún, dicho subespacio topológico de R2 no admite ninguna estructura de variedad
diferenciable.
5.4
¿Es una subvariedad diferenciable de R2 la gráfica de la función R → R, x 7→ |x|?
5.5 Pruébese que X = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 − z 2 = 0 , z ≥ 0} no es una subvariedad
diferenciable de R3 .
5.6 Dada una aplicación diferenciable f : X → Y , pruébese que su gráfica es una subvariedad
de X × Y de dimensión dim X.
5.7 Sea f : X → Y una aplicación entre variedades diferenciables. Si la gráfica de f es una
subvariedad diferenciable de X × Y , ¿es f diferenciable?
5.8
Dadas funciones diferenciables f, g ∈ C ∞ (R2 ) y un punto p ∈ R2 , pruébese que si las
diferenciales de f y g en p coinciden, entonces el plano tangente a la gráfica de f en el punto
(p, f (p)) es paralelo al plano tangente a la gráfica de g en el punto (p, g(p)).
5.9 Sea f : Y → X una inmersión. Si f : Y → f (Y ) es un homeomorfismo, entonces f (Y ) es
una subvariedad de X y f : Y → f (Y ) es un difeomorfismo.
5.10 Sea f : Y → X una inmersión y sea g : Z → Y una aplicación definida sobre una
variedad diferenciable Z.
(a) Pruébese que si g es continua entonces se cumple la equivalencia:
g es diferenciable
⇐⇒
f ◦g es diferenciable .
(b) Póngase un ejemplo con el que se demuestre que la anterior equivalencia es falsa si g
no es continua.
162
Capı́tulo IX. Subvariedades diferenciables
Nota: Supóngase probado que una aplicación diferenciable φ : Y → X es inmersión, y que se
quiere probar que φ(Y ) es una subvariedad de X y que φ : Y → φ(Y ) es difeomorfismo.
Un modo de hacerlo: probar que φ : Y → φ(Y ) es homeomorfismo y aplicar el problema
5.9. Otra manera: probar que φ(Y ) es una subvariedad diferenciable de X tal que dim Y =
dim φ(Y ), ya que entonces del problema 5.10 se sigue que φ : Y → φ(Y ) es diferenciable
(porque es continua), y por tanto es biyectiva y difeomorfismo local en todo punto.
5.11 Sea X la hipersuperficie de Rn definida por la ecuación implı́cita F (x1 , . . . , xn ) = 0,
donde F ∈ C ∞ (Rn ) tal que dp F ̸= 0 para todo p ∈ X.
Denotemos por X1 la variedad topológica X dotada de la estructuta de variedad diferenciable que se obtiene del teorema de la función implı́cita (véase el problema VII.6.4), y denotemos
por X2 a X dotada de la estructura de variedad diferenciable con la que es subvariedad de Rn
en virtud del teorema 2.1.
Pruébese que ambas estructuras coinciden, esto es, que la aplicación identidad X1 → X2 es
un difeomorfismo.
5.12 Según el problema 5.11, sobre la esfera S2 hay dos estructuras de variedad diferenciable
que coinciden. Hay una tercera: la obtenida mediante el atlas descrito en el ejemplo I.2.5 (c).
Del siguiente problema se sigue que coincide con las otras dos:
Pruébese que la inclusión S2 ,→ R3 induce un difeomorfismo de S2 con la subvariedad de
3
R definida por los ceros de la función F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1.
5.13
Pruébese que la aplicación
φ : S1 × S1 −→ (R3
)
(u, v) 7−→ (2 + cos u) cos v, (2 + cos u) sen v, sen u
define un difeomorfismo del√
toro con la subvariedad de X = R3 − {eje z} definida por los ceros
)2
(
de la función F (x, y, z) =
x(2 + y 2 − 2 + z 2 − 1 (F ∈) C ∞ (X)). [Nota: Con (u, v) estamos
denotando realmente el punto (cos u, sen u), (cos v, sen v) del toro S1 × S1 ; véanse el problema
IV.5.3 y el ejemplo VII.2.5 (e).]
5.14 Sea φ : X → Y una aplicación diferenciable. Una sección local de φ es una aplicación
φ
σ
diferenciable σ : V → X definida en un abierto V de Y , tal que la composición V −→ X −−→ Y
es igual a la inclusión V ,→ Y .
Fijados puntos x ∈ X e y ∈ Y tales que x está en la fibra de y, una “ sección local de φ en
y que pasa por x ” es una sección local σ : V → X para la que y ∈ V y σ(y) = x.
Pruébese que son equivalentes:
(a) φ es proyección regular en x;
(b) existen secciones locales de φ en y que pasan por x.
5.15 Si φ : X → Y es una aplicación diferenciable que es proyección regular en todo punto,
entonces φ es una aplicación abierta.
5. Problemas
163
5.16 Diremos que una aplicación diferenciable es una “ proyección ” si es epiyectiva y es
proyección regular en todo punto.
Sea φ : X → Y una proyección. Dadas una variedad diferenciable Z y una aplicación
f : Y → Z, pruébese la equivalencia: f es diferenciable ⇔ f ◦φ es diferenciable.
5.17 ¿Es la recta proyectiva real P1 difeomorfa a alguna subvariedad diferenciable de la recta
proyectiva compleja P1 (C)?
5.18 Considérense S2 ≡ x2 + y 2 + z 2 = 1 y R2 ≡ z = 0 dentro de R3 , y sea p = (0, 0, 2) un
punto de R3 . Estúdiese dónde es inmersión local la aplicación diferenciable
S2 −→ R2
q 7−→ {recta que pasa por p y q} ∩ {z = 0} .
5.19 Pruébese que Y = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 − z 2 = 0 , z > 0} es una subvariedad
diferenciable de R3 , y calcúlese el plano tangente a Y en el punto (0,1,1). (Compárese con el
problema 5.5.)
5.20 Dada una aplicación T : Rn → Rm que es lineal (y por tanto diferenciable), pruébense:
(a) si T es inmersión local en un punto de Rn , entonces T es una inmersión;
(b) si T es proyección regular en un punto de Rn , entonces T es una proyección.
5.21 Sea F : X → Y una aplicación diferenciable. El “ rango ” de F en un punto x ∈ X es el
rango de la aplicación lineal tangente F∗ : Tx X → TF (x) Y .
Si el rango de F en un punto x ∈ X es igual a r, pruébese que entonces en un entorno de
x el rango de F es ≥ r.
5.22 Considérese en R3 el subconjunto C donde se anulan las funciones f (x, y, z) = x2 + y 2 +
z 2 − 1 y g(x, y, z) = x2 + y − z 2 − 1. Pruébese que C no es subvariedad diferenciable de R3 ,
pero que Y = C − {(0, 1, 0)} sı́ lo es. Calcúlese la recta tangente a Y en el punto (1, 0, 0).
5.23 Considérese en R3 el subconjunto C dado por las ecuaciones x = y 2 +z 2 , x2 −y 2 +y = 0.
Pruébese que C es subvariedad diferenciable de R3 , y hállese un entorno abierto coordenado
del punto (0, 0, 0) en C.
5.24 Calcúlese la recta tangente en el punto (1, 0, 0) a la curva R → R3 , t 7→ (cos t, sen t, t).
(Se trata de una hélice parametrizada.)
5.25 Dos subvariedades Y y Z de una variedad diferenciable X se dice que “ son tangentes ”
en un punto x ∈ Y ∩ Z, si son incidentes los subespacios vectoriales Tx Y y Tx Z de Tx X.
En R2 , hállese la ecuación de la parábola y = x2 + ax + b que es tangente a la circunferencia
x2 + y 2 = 2 en el punto (1, 1).
5.26 Determı́nense los valores de a ∈ R para los que el conjunto C = {(x, y, z) ∈ R3 :
x2 − y 2 = z 2 , z = a} es una subvariedad diferenciable de R3 .
Supongamos fijado a ∈ R de modo que C es subvariedad y sea p = (a, 0, a) ∈ C.
(a) Calcúlese el espacio tangente a C en p.
164
Capı́tulo IX. Subvariedades diferenciables
(b) Hállese un entorno abierto coordenado de p en C.
(c) Explı́quese por qué no son difeomorfismo local en p las aplicaciones
f : C −→ R2
(x, y, z) 7−→ (x, y) ,
g : C −→ R
(x, y, z) 7−→ z .
¿Qué puede decirse de la aplicación h : C → R, (x, y, z) 7→ x?
5.27
Considérese la aplicación diferenciable
f : (−1, 1) × (−2π, 2π) −→ R3
(t, α) 7−→ (t cos α, t sen α, α) ,
y denotemos U = (−1, 1) × (−2π, 2π), H = f (U ).
(a) Pruébese que H es una subvariedad de R3 y que f : U → H es un difeomorfismo. Como
consecuencia, la aplicación inversa f −1 : H → U , (x, y, z) 7→ (t, α), define coordenas globales
sobre H.
(b) Calcúlese el plano tangente a H en el punto p = (0, 0, 0).
(c) ¿En cuáles puntos de H las funciones y, z son coordenadas locales?
5.28 Máximos y mı́nimos relativos: Sea X una subvariedad diferenciable y consideremos
f ∈ C ∞ (X). Dado un punto p ∈ X tenemos:
(i) Una condición necesaria para que f tenga un extremo relativo en p es que dp f = 0.
En efecto, como es una cuestión local, pasando a una abierto coordenado podemos suponer que
X = Rn , en cuyo caso es sabido del Análisis Matemático.
Recordemos que para f ∈ C ∞ (Rn ) (estamos en un abierto coordenado) se define la matriz
Hessiana de f en p como la matriz cuadrada
)
( 2
∂ f
(p) ,
∂xi ∂xj
que es simétrica. Recordemos también que una matriz simétrica con coeficientes reales se dice
que es definida positiva cuando sus menores principales son todos positivos, y se dice que es
definida negativa si su opuesta es definida positiva.
Suponemos conocidas del Análisis Matemático las siguientes afirmaciones:
(ii) Si dp f = 0, una condición suficiente para que f tenga un máximo relativo en p es que
la matriz Hessiana de f en p sea definida negativa.
(iii) Si dp f = 0, una condición suficiente para que f tenga un mı́nimo relativo en p es que
la matriz Hessiana de f en p sea definida positiva.
(iv) Si dp f = 0 y la matriz Hassiana de f en p no es definida positiva, ni definida negativa,
ni la matriz nula, entonces f no tiene en p extremos relativos.
(v) Si dp f = 0 y la matriz Hassiana de f en p es nula, entonces no sabemos nada.
Como aplicación de lo anterior, estúdiense los extremos relativos de la función f (x, y, z) =
x + y + z definida sobre . . .
(a) . . . la esfera S2 ≡ x2 + y 2 + z 2 = 1.
(√
)2
(b) . . . el toro X ≡
x2 + y 2 − 2 + z 2 = 1 (véase el problema 5.13).
(c) . . . la parábola Y ≡ x = 0, z = y 2 .