VOLUMEN

VOLUMEN
Prof. Evelyn Dávila
CALCULO I
Volumen es la cantidad que contiene un envase. Volumen implica trabajar en tres
dimensiones. Observa que a un plano se le puede calcular el área pero no el volumen
puesto que solo tiene dos dimensiones.
En esta sección trabajaras con sólidos de revolución, éstos se obtienen al girar una
región plana en torno a una recta. Al sólido resultante se la llama sólido de revolución
y a la recta que sirve de eje se le llama eje de revolución.
FÓRMULA DE VOLUMEN
volumen = alto x ancho x grosor
= área de la región plana x grosor
=
 r 2  grosordel disco
Método de los discos
Para hallar el volumen de un sólido de revolución dividimos el sólido en rectángulos
cuyo eje de revolución es el eje de x. La revolución de un rectángulo da lugar a un
disco, por lo tanto este método divide al sólido en discos de ancho x , el ancho de
cada rectángulo.
Calculamos el área de cada disco ( región plana circular) con la fórmula de área de un
círculo. Para calcular el volumen multiplicamos el área de la región circular por el
ancho del rectángulo ( x ) que lo forma.
volumen de
cada disco
Observa que si x  0 entonces la aproximación del volumen del
sólido de revolución tiende al volumen exacto.
Método de los discos
b
V    [ R( x)]2 dx
Eje de revolución horizontal:
a
d
V    [ R ( y )] 2 dy
Eje de revolución horizontal
c
EJEMPLOS
1.
Calcula el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región
acotada por la gráfica de f ( x)  x 2  6x  9 y x=0, en torno al eje de x.
2.
Calcula el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región
acotada por la gráfica de
f ( x)  sen x en el int ervalo 0,  y el eje de x
3. Calcula el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región
acotada por la gráfica de f ( x) 
4  x 2 en torno al eje de y.
y
5
4
3
2
1
x
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
4. Calcula el volumen del sólido
de revolución formado al hacer girar la
región acotada por la gráfica de
x2
f ( y) 
, y  2 y y  4 en
3
torno al eje de y.
y
4
2
x
-2
2
4
-2
-4
Método de las arandelas
Altura del rectángulo, radio de la región
circular del sólido de revolución
R-r
R es el radio de la región
circular cuyo centro se
encuentra en el eje de
revolución
r es el radio de la
región circular interior
Similar al procedimiento de hallar
el Area entre dos curvas
R(x)  r(x)
Observa que el método de las arandelas se utiliza cuando al girar el plano forma
un hueco con el eje.
Ejemplos
2
y
1. Calcula el volumen del sólido de
formado al hacer girar la región acotada
gráfica de
f ( x)  1  x 2 y g ( x)  x  1 en torno
al eje de x.
revolución
por la
a la recta
x
-2
-1
1
2
y
12
2. Halla el volumen del sólido de revolución
formado por la región acotada por las gráficas de las
g ( x)  5 al
siguientes funciones f ( x)  9  x 2 y
girar esta región plana en torno al eje de x.
10
8
6
4
2
x
-2
2
-2
-4
-6
-8
-10
4
3. Halla el volumen del sólido de
revolución formado por la
región acotada por las gráficas
f ( y)  y 2
g ( y)   y y
de
y
1
y
la línea x=6
, al girar esta región plana en
torno al eje de y
x
-1
1
2
-1
-2
5. Halla el volumen del sólido de revolución formado por la región acotada por las
gráficas de las siguientes funciones
f ( x)  x
A.
al girar esta región plana en torno al eje de x.
B.
al girar esta región en torno al eje de y.
y
g ( x)  x
: