La persistencia de los deferentes y los epiciclos a lo largo de la

La persistencia de los deferentes y los epiciclos a
lo largo de la historia de la astronomía
José Antonio Peralta y Porfirio Reyes López
Departamento de Física, Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto
Politécnico Nacional, Miguel Othón de Mendizabal s/n, Edificio 9 U. P. Adolfo López
Mateos, Col. San Pedro Zacatenco, C.P. 07738 México D. F.
E-mail: peralta@esfm.ipn.mx
(Recibido el 25 de Marzo de 2014, aceptado el 28 de Agosto de 2014)
Resumen
Resumen: Se hace un breve repaso histórico de las diferentes formas como los astrónomos han intentado reproducir
el movimiento de los planetas comenzando con los antiguos griegos y terminando con la deducción científica de estas
trayectorias por Newton. Se muestra que el uso de los epiciclos y deferentes para describir el movimiento de los
planetas en función del tiempo, que se creía un recurso obsoleto luego del modelo tan simple de Kepler que asignaba
a los planetas trayectorias elípticas con el Sol en uno de sus focos, reaparece cuando a partir de las leyes de la
mecánica y la teoría de la gravitación de Newton se intenta describir la posición de los planetas en función del tiempo
y no en función del espacio como lo hizo Kepler. También se muestra que a partir de un modelo de computadora de la
superposición de deferentes y epiciclos este modelo es equivalente al uso de una serie de Fourier.
Palabras clave: Planetas, Tolomeo, serie de Fourier.
Abstract
A brief historical review of the different forms how the astronomers have tried to reproduce the movement of the
planets, starting with the ancient Greeks and ending with the Newton´s scientific deduction of these trajectories. It
shows the use of epicycles and deferents to describe the motion of the planets in terms of time, obsolete resource after
Kepler simple model, that relied the planets on an elliptical path with the Sun at one focus, reappeared since the
mechanic´s laws and the Newton´s gravitation theory, trying to describe the position of the planets in terms of time
and not on a space as Kepler did. It also shows that since a computer model of overlapping deferents and epicycles, is
equivalent to using a Fourier series.
Keywords: Planets, Ptolemy, Fourier series.
PACS: 01.65.+g, 01.70.+w, 01.75.+m
ISSN 1870-9095
cuales eran astros que no tenían una posición fija con
respecto al marco de las estrellas, sino que cada
determinado tiempo, luego de mantenerse moviendo hacia
el este, retrocedían para luego proseguir su camino
original; Mercurio lo hacía cada 116 días, Venus cada 584,
Marte cada 780, Júpiter cada 399 y Saturno cada 378 días.
Esta llamada “retrogradación” tenía las siguientes
características: 1) durante ella los planetas aumentaban de
brillo, 2) estos astros de comportamiento singular estaban
situados en una banda (la banda del Zodiaco) alrededor de
la Eclíptica que era la trayectoria que seguía el Sol a lo
largo de un año, y 3) su retrogradación podía ocurrir
cuando estaban en oposición con el Sol o cuando estaban
en conjunción [1].
I. INTRODUCCIÓN
Si hoy fuésemos capaces de pasarnos toda una noche
observando a las estrellas, veríamos que éstas se desplazan
lentamente al unísono girando en círculos concéntricos
alrededor de la Estrella Polar, pero que en noches sucesivas
su posición a la misma hora con respecto a un punto de
referencia fijo sobre la Tierra, va cambiando hasta que al
cabo de un año vuelven a su misma posición. Los antiguos
griegos - luego de superar la etapa de representación mítica
de los fenómenos naturales en la cual se hacían intervenir
seres sobrenaturales para explicarlos - propusieron en
principio un modelo muy simple del Universo en el cual la
Tierra estaba en el centro y en la parte más externa las
estrellas fijas sobre dos esferas, una esfera que gira con un
período de 24 horas alrededor de este centro, y otra que
gira una vez al año. Este modelo tan sencillo se vio
cuestionado por la consideración del movimiento del Sol y
de la Luna así como de los 5 planetas que se conocían
entonces (Marte, Mercurio, Júpiter, Venus y Saturno), los
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II. LA PREGUNTA DE PLATON
Tal como ocurre con toda anomalía, este raro
comportamiento rompió el paradigma tan sencillo que
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previamente se había elaborado sobre el modelo del
Universo, y entre los muchos aspectos trascendentes de la
obra de Platón, hay que adjudicarle que supo formular con
precisión una pregunta en cuya respuesta trabajaron
arduamente durante siglos y siglos algunas de las mentes
más brillantes dedicadas al estudio de los astros: ¿Cuáles
son los movimientos circulares uniformes cuya
superposición reproduce el movimiento observado de los
planetas? [1].
En cierto modo que se recurriera a los movimientos
circulares para explicar los movimientos planetarios es
natural, dado el carácter divino que se le atribuía al círculo,
por otra parte, la pregunta en sí, en caso de que los
observadores de los cielos aceptaran responderla, restringía
el campo de las respuestas ya que había que lanzarse a la
búsqueda específica de las diferentes combinaciones de
movimientos circulares uniformes que reprodujeran el
movimiento de las estrellas y los planetas, y no divagar con
otro tipo de combinaciones. Tan precisa es la pregunta que
se ha dicho que tal pregunta conforma lo que hoy se
llamaría un auténtico programa de investigación [2]. La
pregunta y sus respuestas nos hace reflexionar una vez más
cuán importante papel juega en el desarrollo de la ciencia
“la pregunta”, en efecto, cualquier investigador sabe que el
papel de una investigación o de una serie de observaciones,
como es el caso analizado, no es solo descubrir nuevos
conocimientos, sino también generar nuevas preguntas, y
que mientras estas sean más precisas y densas en
significado más incitarán a futuras investigaciones. Es así
como se mantiene la dinámica del pensamiento, mediante
una interminable cadena de preguntas y respuestas, la
respuesta da por terminada una etapa, la pregunta nos lanza
hacia adelante.
trabajaron los más grandes astrónomos de la antigüedad,
tales como Aristarco, quien propuso al Sol como centro del
Universo, y a Hiparco quien elaboró un mapa del cielo en
donde estaban clasificadas más de 1000 estrellas, con su
posición angular y clasificadas de acuerdo a su brillo
aparente [4]. Fue en Alejandría en donde se dio la respuesta
más aceptada por la posteridad a la pregunta de Platón por
Tolomeo en su libro del Almagesto; esta propuesta
constaba básicamente de un círculo principal llamado
deferente y de un conjunto de círculos secundarios
llamados epiciclos: el primer epiciclo tenía un centro que
se movía sobre el perímetro del deferente, el segundo
epiciclo un centro que se movía sobre el primero, y así
sucesivamente, tal como se observa en la figura 1.
FIGURA 1. Superposición de un deferente y un epiciclo para
representar el movimiento de un planeta.
Debido a que su modelo inicial de movimientos circulares
no reproducía con suficiente exactitud la evolución
temporal de las posiciones de los planetas hubo que
introducir nuevos artificios, y el modelo final de Tolomeo
quedó conformado de la siguiente manera: el deferente era
un círculo pero su centro no coincidía con la Tierra sino
que rotaba sobre otro círculo cuyo centro estaba a cierta
distancia de la Tierra, por otra parte introdujo el ecuante,
un punto desde el cual el movimiento de los centros de los
epiciclos se movían con velocidad uniforme. Este
refinamiento en realidad era equivalente a agregar un
epiciclo más y a sumar un término constante, así, el modelo
finalmente se compuso con 84 círculos [1].
Los astrónomos árabes durante la Edad Media, como
por ejemplo Abu Abdullah Al-Battani, famosos astrónomo
y matemático quien nació en 858 d.C. [4], retomaron las
bases de este modelo, pero le hicieron algunas
modificaciones de detalle, con todo, el modelo tolemaico
fue el que fue aceptado en general hasta antes de la
aparición del nuevo modelo propuesto por Copérnico.
III. LAS RESPUESTAS
A. Eudoxo y Calipo
Eudoxo y Calipo [3] fueron los primeros astrónomos
griegos que para responder a la pregunta de Platón
propusieron un modelo matemático, este consistía en una
combinación de esferas concéntricas que rotaban a
diferentes velocidades angulares y con respecto a diferentes
ejes, de manera que cada eje pivoteara sobre la esfera
inmediatamente superior. Este modelo reproducía la
retrogradación de los planetas, pero tenía un defecto
esencial: al moverse los planetas sobre esferas concéntricas
con respecto a la Tierra no había forma de explicar sus
cambios de brillo ya que siempre, por definición, se
mantenían a la misma distancia de su centro. Pese a ello,
Aristóteles retomo este modelo, lo refinó y su modelo
estuvo compuesto por 56 esferas.
C. El modelo de Copérnico
B. El modelo de Tolomeo
Como es sabido, el modelo de Copérnico sacó a la Tierra
del centro del sistema planetario y puso en su lugar al Sol,
este modelo explicaba cualitativamente el comportamiento
Fue posteriormente en Alejandría en donde se ensayaron
otro tipo de superposiciones, recordemos que en este lugar
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de los planetas ya que los hacía retrogradar, durante este
retroceso, dado que la distancia relativa entre la Tierra y los
demás planetas cambiaba a lo largo del tiempo, producía un
aumento del brillo cuando esta distancia era mínima, su
cercanía de la Eclíptica se explicaba porque todos los
planetas se movían aproximadamente en un mismo plano, y
la oposición o conjunción de las retrogradaciones se
explicaba porque unos planetas eran internos con respecto a
la órbita de la Tierra y otros externos. Esto en el plano
cualitativo, pero en el plano cuantitativo se presentaban
serias divergencias y esto empujó a Copérnico para lograr
un acuerdo entre su modelo y los datos empíricos a recurrir
una vez más al uso de los epiciclos para conformarse
finalmente con 36 círculos [1]; así pues el modelo de
Copérnico era en esencia semejante al de Tolomeo, excepto
que colocaba en su centro no a la Tierra sino al Sol.
Por de pronto partimos de una constatación: el
movimiento elíptico de los planetas representado sobre un
plano cartesiano es periódico con respecto a las
coordenadas X y Y, por tanto la función que describe este
comportamiento periódico puede ser desplegada en una
serie de Fourier,

X (t )  b0   Bn cos n0t ,
(1)
Y (t )  c0   Cn senn0t ,
(2)
n1

n1
esto considerando que las proyecciones sobre los ejes X y Y
solo incluyen en el primer caso a la función coseno, y en el
segundo a la función seno.
En esta serie la frecuencia angular ω0 es igual a 2π/Tp,
con Tp el tiempo correspondiente al año de cada planeta.
Cuando en un trabajo anterior [6] hemos desplegado los
valores de X(t) y de Y(t) con técnicas numéricas utilizando
el algoritmo de Verlet, aplicando luego un análisis de
Fourier sobre estas series de tiempo para obtener los
valores de los coeficientes Bn y Cn, hemos encontrado que
son aproximadamente iguales, y por tanto la serie
representa ¡una superposición de movimientos circulares
uniformes, es decir de deferentes y epiciclos! En efecto,
para la mayoría de planetas tal como se puede ver en la
tabla I, los valores coinciden al nivel de las centésimas, en
algunos hasta las milésimas, aunque Neptuno es la
excepción.
D. Kepler y Newton
Kepler, luego de un arduo trabajo de manipulaciones
numéricas con los datos legados por Tycho Brahe [5], vino
aparentemente a hacer a un lado toda la sofisticación de los
antiguos modelo al proponer sus 3 famosas leyes:
1. Todos los planetas se desplazan en órbitas
elípticas con el Sol en uno de sus focos.
2. El radio vector que une a cada planeta con el Sol
barre áreas iguales en tiempo iguales.
3. El cuadrado de su período orbital es proporcional
al cubo del semieje mayor de su órbita elíptica.
Es decir, una simple órbita elíptica sustituía el complicado
modelo de superposición de deferentes y epiciclos.
Posteriormente el trabajo de Newton, a partir de su
teoría de la gravitación universal y de sus leyes de la
mecánica, dio una explicación científica a este hecho, si
aceptamos, de acuerdo a Aristóteles, que una explicación
científica se alcanza cuando un hecho particular puede ser
deducido a partir de primeros principios. En efecto, que la
fuerza gravitatoria de atracción decayera según la inversa
de la distancia entra las masas, así como las leyes de la
mecánica permitieron a Newton deducir que las
trayectorias de los planetas deberían ser elípticas.
TABLA I. Amplitudes de las componentes armónicas de X(t) y
Y(t) en unidades astronómicas.
IV. REPRESENTACIÓN ESPACIAL Y REPRESENTACIÓN TEMPORAL… EL REGRESO DE
TOLOMEO
A partir de las propuestas de Kepler, el recurso a los
deferentes y a los epiciclos era pues un recurso obsoleto
que había quedado en el pasado, hay que apuntar, sin
embargo, que la representación de Kepler del movimiento
de los planetas era una representación espacial, mientras
que las representaciones tanto de Copérnico como de
Tolomeo describían la posición de los planetas en función
del tiempo. ¿Qué ocurre si a partir de las leyes de Newton y
su teoría de la gravitación universal intentamos reproducir
la posición de los planetas en función del tiempo?
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V. UN MODELO COMPUTARIZADO DEL
SISTEMA DE TOLOMEO
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angular del deferente, si esto no es así no se cumple esta
periodicidad.
En razón de estos resultados podemos decir que si la
forma como Tolomeo logró reproducir el movimiento de
los planetas fue superponiendo movimientos circulares
uniformes, forma que traducida al lenguaje de las
matemáticas actuales es
Volvamos a analizar la antigua propuesta de Tolomeo en
una versión en la cual hemos excluido al ecuante para
devolver a los desplazamientos el carácter de movimiento
circular uniforme, pero hagámoslo con los recursos
actuales de la computación, para ello hemos diseñado un
programas que contiene un deferente y 2 epiciclos y cuyos
parámetros variables se muestran en la figura 2. En esta
figura los valores de X y de Y representan los radios del
deferente y de los 2 epiciclos, mientras que ω la frecuencia
angular del deferente y n y p los factores que multiplican a
esta frecuencia, y que pueden ser enteros o fraccionarios.
El programa nos permite observar las curvas resultantes de
esta composición conforme se van generando. Los
resultados muestran que hay toda una variedad de
comportamientos posibles y que no es sencillo reproducir
un comportamiento particular aún con el auxilio de una
computadora.
X(t) = X1 cos ωt + X2 cos nωt + X3 cos pωt,
(1)
Y(t) = Y1 sen ωt + Y2 sen nωt + Y3 sen pωt,
(2)
dado que para que el movimiento sea periódico en un ciclo
se requiere que n y p sean enteros, las ecuaciones 1 y 2
¡representan una serie de Fourier¡
VI. CONCLUSIONES
Este breve repaso histórico de las formas como lo
astrónomos han tratado de describir el comportamiento de
los planetas con respecto al tiempo o con respecto al
espacio, nos ha mostrado que hay una rara continuidad de
fondo en estas representaciones. En efecto, con las
trayectorias elípticas propuestas por Kepler se creyó que
los complicados modelos hechos a base de una gran
cantidad de movimientos circulares uniformes, propuestos
no solo por Tolomeo sino aún por el mismo Copérnico,
eran antiguallas, formas de representación obsoletas, sin
embargo no es así, y cuando los movimientos de los
planetas se hacen en función del tiempo inesperadamente
los deferentes y epiciclos tienden a reaparecer aún dentro
de la Física Clásica. Por otra parte adelantándose por
muchos siglos al descubrimiento de las herramientas
matemáticas de la época moderna, aunque sin su grado de
generalización, los antiguos griegos ya hicieron tal vez –
como lo sugiere nuestro modelo- uso de la serie de Fourier,
hecho que nos confirma una vez más en que con ellos nace
verdaderamente la ciencia moderna. En forma paradójica,
el posterior desarrollo histórico daría marcha atrás a estos
avances, y cuando el Imperio Romano comenzó su
declinación hasta desembocar en la Edad Media, el
fanatismo religioso reviviría los míticos modelos burdos
del pasado.
FIGURA 2. Parámetros variables en el programa para dar
diferentes valores a los radios de los deferentes y epiciclos así
como a sus frecuencias angulares.
Mostramos en la figura 3 algunos de los resultados
obtenidos,
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen a la COFAA el apoyo dado para la
realización de este trabajo.
FIGURA 3. Diferentes trayectorias variando los radios y las
frecuencias angulares del deferente y los epiciclos.
REFERENCIAS
Ahora bien, un resultado interesante es que para que las
trayectorias sean cerradas en un solo ciclo, es decir, para
que el movimiento sea periódico, las frecuencias angulares
de los epiciclos deben ser múltiplos de la frecuencia
[1] Kuhn, T. S., La Revolución Copernicana (Ed. PlanetaAgostini, No. 45, España, 1993).
[2] Taton, R., Historia general de las ciencias (Ediciones
Orbis, S.A., España, 1988).
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La persistencia de los deferentes y epiciclos a lo largo de la historia de la astronomía
[3] Crombie, A.C., Historia de la Ciencia: de San Agustín
a Galileo, (Alianza Editorial, 5ª Edición, España 1985).
[4] Abetti, G., Historia de la Astronomía (Breviarios del
Fondo de Cultura Económica, No. 18, México, 1966).
[5] Koestler, A., Kepler (SALVAT Editores, S.A.,
Barcelona, 1985).
Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 8, No. 3, Sept. 2014
[6] Peralta, J. A., Calles, A., Yépez, E., El análisis de
Fourier de la trayectorias planetarias y el modelo
copernicano del sistema solar, Revista Mexicana de Física
49, 283-289 (2003).
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