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GERMÁN BERNABEU SORIA
FRANCISCO FERNÁNDEZ-ARÉVALO SÁNCHEZ-ARÉVALO
LOS
PENTAMINOS
(El juego de los juegos)
Edita:
GENERALITAT VALENCIANA
Conselleria d’Educació
Avda. Campanar,32 – 46015 València
- 2009 -
ISBN: 978-84-482-4446-0
*****
Imprime:
GRAFIBEL 2010 S.L.
c/. Padre Mariana, 15 – bajos
Tel. 965 20 48 92. 03004 Alicante
Depósito legal:A-786-2009
*****
© De los autores sobre la parte literaria y la Generalitat Valenciana sobre la
presente edición
*****
Se puede acceder a la versión en PDF de este libro en la sección de publicaciones de
la Biblioteca Virtual del CEFIRE de Elda
http://www.lavirtu.com
Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
o.
En el recuerdo a Miguel de
Guzmán, por todo lo que él
nos ha enseñado y lo mucho
que hemos aprendido.
3
Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
INDICE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Prólogo ……………………………………………………...................
Agradecimientos ……………………………………………………….
Introducción ………………………………………………...................
Una breve historia ……………………………………………………..
Poliminos …………………………………………………....................
3.1. Los pentaminos ………………………………………………….
3.2. El material ……………………………………………………….
Posiciones de los pentaminos ………………………………………….
Copiado de figuras …………………………………………..………...
Construcciones bidimensionales ………………………………………
6.1. Rectángulos ……………………………………………………...
6.2. Romboides …………………………………………… …………
6.3. El tablero de 8 x 8 ……………………………………………….
6.4. La triplicación ………………………………………...................
6.5. Los números ……………………………………………………..
6.6. Las letras ……………………………………………...................
6.7. Pirámides ……………………………………………...................
6.8. Otras figuras ……………………………………………………..
Repartir las piezas en un número de figuras iguales ...……...…………
Construcciones tridimensionales ………………………………………
8.1. Cúbicas …………………………………………………………..
8.2. Pentaminos ………………………………………………………
8.3. Otras construcciones …………………………………………….
Codificación de las construcciones ……………………………………
Solucionario ………………………………………………...................
Bibliografía …………………………………………………………….
Página
7
9
11
15
19
23
25
29
35
41
41
46
49
77
89
99
102
106
133
155
155
157
163
165
171
191
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Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
Prólogo
La competencia matemática es una de las consideradas básicas y como tal se
incorpora a nuestro currículo educativo. Esto se explica por resultar imprescindible su
adquisición en la realización personal, social, laboral y ciudadana y en la posibilidad de
nuestro alumnado a la hora de generar un aprendizaje permanente a lo largo de su vida.
El compromiso del sistema educativo con las posibilidades de desarrollo de
nuestro alumnado, exige proporcionar a éste entornos que permitan su aplicación a una
amplia variedad de situaciones futuras diversas y, en cierto modo, impredecibles, y en
dotarle de herramientas para resolver problemas reales con los que inevitablemente se
habrá de enfrentar.
Dicho compromiso no es ajeno a este libro que ha elegido el juego como vehículo
de conocimiento y propiciador de razonamientos y estrategias de interpretación,
expresión y resolución de problemas. Desde esta aproximación lúdica a las matemáticas,
con indudables aplicaciones en torno a los principios de conservación de la cantidad y la
forma, sus autores, Germán Bernabeu Soria y Francisco Fernández Arévalo, responden al
reto clásico de enseñar deleitando que no pierde actualidad, si cabe, adquiere un mayor
protagonismo en este principio de siglo XXI.
Quiero expresar mi felicitación a esta iniciativa tan loable de conciliar
entretenimiento y conocimiento; fomento de destrezas para aplicar principios y
procedimientos y actitudes basadas en la investigación de las certezas a través del
razonamiento matemático.
Alejandro Font de Mora Turón
Conseller d’Educació
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Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
Agradecimientos
Queremos dejar constancia de nuestro agradecimiento a todas aquellas personas que
nos han apoyado para que este libro se pudiera realizar.
En primer lugar al director del CEFIRE Pedro Civera por su insistencia y
disposición para que lo sacara del cajón y de una vez se publicara, así como su
meticulosa supervisión de los originales aportando su experiencia y bien hacer, a
Jesús Mª. García y Agustín Caruana por sus revisiones y acertadas consideraciones,
a Jesús A. García por sus colaboraciones informáticas así como el hacer posible la
difusión del mismo a través de la página Web del CEFIRE, a Vladi Monzó por su
inestimable colabración y en definitiva, a todos aquellos que conociendo desde hace
algunos años el trabajo, nos han animado a que finalmente lo diéramos a conocer.
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Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
1. Introducción
Es para nosotros una satisfacción presentar este trabajo, con su correspondiente
material, a todo el profesorado y al de matemáticas en particular, así como a aquellos que
gustan de conocer nuevos retos e intentan descubrir los caminos que llevan a su
comprensión.
Somos profesores, como tantos otros, atraídos de todo lo que huele a matemáticas, de
sus enunciados y definiciones, de su teoría y demostraciones, de sus leyes y sus
postulados, de su historia y de sus leyendas y, en definitiva, de todo aquello que la
ciencia de los números y de las figuras1 nos aporta. Pero si existe un apartado dentro o
fuera de ella, desde donde cualquiera puede asomarse a esta disciplina de una manera
especial, es a través de los juegos.
Ya en la antigüedad Aristóteles consideró su importancia relacionándolos con la
felicidad y la virtud al entender que esta actividad se desarrollaba en un plano superior
del ser humano, libre del sometimiento de otros actos dictados por la necesidad. Desde
ese principio todo aquello que nos permite disfrutar de las matemáticas nos atrae, nos
gusta y nos motiva. Estamos convencidos de que los juegos son sin duda elementos
motivadores de primer orden, favorecedores de la adquisición de hábitos y actitudes.
El juego es una potencia capaz de desarrollar la libre creación y el sentido
de libertad de las personas frente a la rutina y el embrutecimiento del
trabajo monótono.
Roger Caillois.
Es claro que, especialmente en la tarea de iniciar a los más jóvenes en la
labor matemática, el sabor a juego puede impregnar de tal modo el trabajo,
que lo haga mucho más motivador, estimulante, incluso agradable y, para
algunos aún, apasionante. De hecho, han sido numerosos los intentos de
presentar los principios matemáticos que rigen muchos de los juegos de
todas las épocas, a fin de poner más en claro las conexiones entre juego y
matemáticas. Desgraciadamente para el desarrollo científico en nuestro
país, la aportación española en este campo ha sido casi nula. Nuestros
científicos y nuestros enseñantes, se han tomado demasiado en serio su
ciencia y su enseñanza, y han considerado ligero y casquivano cualquier
intento de mezclar placer con deber. Sería deseable que nuestros
profesores, con una visión más abierta y más responsable, aprendieran a
aprovechar los estímulos y motivaciones que este espíritu de juego puede
ser capaz de infundir en sus enseñantes.
Miguel de Guzmán.
1
Definición matemática utilizada como base de las dos disciplinas tradicionales.
11
Recursos para el aula
Los puzzles geométricos (tangrams, mosaicos, cubo Soma, etc.) han sido y son
algunos de los tipos de juegos que más nos han traído de cabeza y, al mismo tiempo, más
nos han “enganchado”. Desde el momento en que hemos tenido conocimiento de alguno
de ellos dedicamos horas a su estudio y disfrute. La posibilidad de descubrir algo nuevo
nos ha llenado de gozo, tanto mientras buscábamos afanosamente la solución como al
conseguirla.
Una de estas propuestas consiste en la utilización de los poliminos2. Estos se pueden
definir como “un conjunto de figuras geométricas diferentes que se pueden obtener al
unir dos o más cuadrados contiguos de un tablero de ajedrez”.
Dependiendo del número de cuadrados que se unan tendremos los dominos, triminos,
tetraminos, pentaminos, hexaminos, heptaminos, octominos3, etc. pero los tres primeros
por resultar escasas las posibilidades de trabajar con ellos y los últimos por resultar
excesivo el número de piezas obtenidas y por tanto demasiado complejos, hemos
decidido plantear este trabajo con los pentaminos “conjunto de todas las figuras
geométricas que se pueden formar con cinco cuadrados contiguos de un tablero de
ajedrez”.
Queremos aclarar que si bien los pentaminos son figuras planas no tridimensionales,
con el fin de poder hacer uso de ellos con mayores posibilidades, el material que vamos
a utilizar (y que adjuntamos) van a ser pentacubos “figuras compuestas por la unión de
cinco cubos”. Ahora bien, debemos tener en cuenta que mientras el número máximo de
pentaminos que podemos obtener4 son 12, en el caso de los pentacubos podemos
encontrar 29 estructuras diferentes5, puesto que aparte de las composiciones planas se
pueden obtener otras que se elevan en el espacio, incrementando con ello el número de
propuestas y actividades. Sin embargo, dado que nuestro objetivo en este caso son los
pentaminos, sólo vamos a trabajar con ellos, o mejor dicho, con sus equivalentes cúbicos.
En nuestro peregrinaje por los fondos bibliográficos referentes al tema, si bien hemos
encontrado algunas referencias de libros, trabajos, revistas, programas informáticos, etc.,
prácticamente ninguno de ellos ha sido editado en español. Los trabajos encontrados en
nuestro país son escasos, por no decir prácticamente nulos, y quizás un poco más por esta
razón, y por la necesidad que sentimos de que sea conocido, hemos creído necesario la
elaboración de este sencillo manual acompañado de su correspondiente juego. Estamos
convencidos, que van a poder disfrutar con él, tanto como hemos disfrutado nosotros.
Al final del libro, en el apartado sobre bibliografía, relacionamos algunos trabajos de
los cuales tenemos referencia y que abordan con mayor o menor intensidad propuestas
sobre el tema, conscientes de que la mayoría de ellos son difíciles de conseguir.
Queremos insistir que si bien este trabajo va dirigido al alumnado a partir de
Secundaria sería impensable por nuestra parte no reconocer que el verdadero potencial de
2
Aunque hemos encontrado diferentes maneras de llamarlos –polyominos, poliminós, poliminoes, ...– el nombre que a
lo largo del trabajo vamos a utilizar va a ser el de poliminos, únicamente por considerarlo aceptable.
3
También en el nombre de los diferentes poliminos hemos adoptado aquellos que, a nuestro modesto entender, mejor
sonaba en la utilización de nuestro idioma, independientemente de cualquier otra circunstancia por considerar.
4
Figuras planas.
5
Los 12 equivalentes a los pentaminos y 17 pentacubos suplementarios.
12
LOS PENTAMINOS
este material está en el profesorado, en el uso que éste sea capaz de hacer, en cómo
recibirlo, abordarlo y trabajarlo, elaborando y presentando las diferentes propuestas de
trabajo para el aula (copiar, repetir, construir,…). Es ahí donde presenta todo su sentido
como herramienta y ayuda para el trabajo, especialmente indicado como un elemento
más en el despertar de los alumnos en los principios de la investigación, no excluyente,
al mismo tiempo, del disfrute y el placer que debe producir el desarrollo de cualquier
propuesta investigadora.
Finalmente, indicaremos que la mayoría de las propuestas planteadas en el texto no
excluyen en ningún caso otras nuevas o diferentes, a juicio del profesorado, o bien
variaciones sobre las mismas que enriquecería aún más el trabajo presentado. Queremos
destacar que el orden de las mismas es puramente orientativo.
Los autores
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Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
2. Una breve historia
Los pentaminos, como ya hemos indicado, son unas estructuras formadas por cinco
cuadrados adyacentes tomados en un tablero de ajedrez. Se dieron a conocer al mundo
matemático en 1953 por Solomon W. Golomb, profesor de Ingeniería y Matemáticas en
la Universidad del Sur de California, en una presentación realizada en el Harvard
Mathematics Club. Posteriormente en 1954 publicó un articulo titulado "Checker Boards
and Polyominoes" en la prestigiosa revista American Mathematical Monthly, donde se
utilizó por primera vez el término polyomino, al cual él mismo definió como "juego
simple de conectar cuadrados". Tres años después, en 1957, Scientific Americam les
dedicó su primer artículo. Desde entonces y hasta nuestro días se han convertido en un
pasatiempo enormemente popular en muchísimos países, aunque no en el nuestro, del
que se han publicado centenares de problemas y nuevas y curiosas configuraciones.
Aunque la popularidad más o menos reciente que han alcanzado los poliminos se debe
a Golomb, el primer problema sobre pentaminos conocido fue publicado en 1907 en un
precioso librito titulado Canterbury Puzzles escrito por Henry Ernest Dudeney.
Dudeney presentó el “acertijo” de encajar los 12 pentaminos y un tetramino (el de 2
por 2) en un tablero de 8 x 8. Este es el problema más antiguo que se conoce con
referencia a los pentaminos y viene acompañado por una vieja historia que, según
Dudeney, se registra con tanta frecuencia en las viejas crónicas que sin duda ha de ser
auténtica. La siguiente versión fue extraída por el propio Dudeney de "La vida de
Guillermo el Conquistador" de Hayward publicada en 1613.
Hacia fines de su reinado, designó a sus dos hijos, Roberto y Enrique,
Gobernadores de Normandía, con autoridad conjunta, de forma que uno
controlara la inocencia y veleidad del otro. Estos fueron juntos a visitar al
rey francés, que se encontraba en Constanza: allí ocupando el tiempo en
variedad de diversiones.
Enrique jugó al ajedrez con Luís, entonces Delfín de Francia y le ganó por
lejos. Ante esto Luís comenzó a descuidar su lengua, lo cual le hizo perder
el respeto de Enrique. La gran impaciencia de uno y la poca indulgencia del
otro, encendió el calor entre ellos al fin, que Luís arrojó las piezas a la cara
de Enrique.
A su turno Enrique golpeó a Luís con el tablero, con lo que le hizo salir
sangre, y lo hubiera matado allí mismo de no haber sido que su hermano
Roberto lo detuvo.
Ante esta situación, rápidamente montaron dos caballos, y consiguieron
llegar a Pontoise sin ser alcanzados por los furiosos franceses.
Ahora bien, la tradición –aquí no tan fiable– dice que, como consecuencia del golpe el
tablero se partió por las líneas de división de los cuadrados, al estar estas rebajadas, en 13
15
Recursos para el aula
trozos diferentes, doce de cinco cuadros y uno de cuatro –12 pentaminos y 1 tetramino–,
semejante a como tenemos en el dibujo.
Fig. 1
La propuesta dada por Dudeney consistía en conseguir mediante la unión de las trece
piezas diferentes obtenidas volver a formar el cuadrado de ocho por ocho.
A partir de los años veinte fueron apareciendo en diversas publicaciones muchas
soluciones al problema de Dudeney y, en diciembre de 1954, una prestigiosa publicación
británica The Fairy Chess Review reunió los resultados obtenidos más interesantes del
problema.
Bastantes años después el problema volvió a interesar, tanto que en 1958, comienzo
de las computadoras, se programó una de ellas para generar las soluciones del cuadrado
de 8 x 8. Se encontraron 65 soluciones distintas sin contar con las adicionales obtenidas
por rotaciones y simetrías.
En 1965 Golomb publicó su famoso libro POLYOMINOES puzzles, patterns,
problems, and packings que se ha convertido en la referencia clásica de los poliminos. El
libro hace un análisis sobre los poliminos en general, aunque dedica una parte a los
pentaminos.
En él se plantean numerosos problemas (enigmas) a partir de la unión de las doce
piezas originarias –no utiliza el tetramino de dos por dos– tales como la construcción de
los rectángulos de 6 x 10, 5 x 12, 4 x 15 y 3 x 20, de algunos romboides y de otras
diferentes figuras, algunas de las cuales todavía sin solución.
16
LOS PENTAMINOS
Hoy sabemos que para el rectángulo de 6 x 10 existen 2339 soluciones diferentes, para
el de 5 x 12 existen 1010, para el de 4 x 15 hay 368 soluciones y para el de 3 x 20
únicamente se han encontrado 2 soluciones posibles, excluyendo las simetrías y giros.
El enorme potencial que presentaban los polyominoes, como Golomb los llamó, fue
tan importante que hasta Martín Gardner, considerado el gran talento matemático de la
Scientific Americam, le dedicó varios capítulos en sus libros titulados en español
Enigmas matemáticos y Diversiones matemáticas. El éxito fue tal que muchas personas
empezaron a recortar las ya famosas formas geométricas en papel o cartulina y a jugar
con ellas, pasando de ser un problema básicamente matemático a transformarse en un
juego popular.
En la actualidad no resulta complicado encontrarlo en cualquier juguetería, librería
especializada o grandes almacenes hecho en casi cualquier tipo de material y color y a
precios asequibles. También es posible construirlo a partir de la unión de pequeños cubos
pegados por sus caras y pintados del color que más guste. El material que nosotros
adjuntamos está realizado en un material ligero y agradable conocido como EVA que
permite fácilmente su uso y transporte.
De cualquier manera el objetivo final de nuestra propuesta es dar a conocer a quienes
no lo conocían el que para nosotros es el juego de los juegos6 y, en consecuencia, poder
contribuir de forma modesta a una mayor difusión del mismo.
6
Lo denominamos así como consecuencia de la enorme variedad de propuestas que se pueden plantear, considerando
que a cada una de ellas se le puede tratar como de un verdadero juego.
17
Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
3. Poliminos
Si unimos dos cuadrados, como en el ejemplo, la figura que obtenemos recibe el
nombre de dominó o domino. Si son tres los cuadrados que se unen forman lo que se
conoce como triminós o triminos. Si unimos cuatro formarán un tetramino, cinco
pentamino, seis hexamino, siete heptamino y así sucesivamente. Al conjunto de todos
ellos le llamamos poliminos.
Podemos definir por tanto a los poliminos como curiosas configuraciones geométricas
que recubren varios cuadros interconectados de un tablero de ajedrez. A partir de esta
premisa es posible confeccionar todo un conjunto de figuras según el número de
cuadrados empleados y sus diferentes disposiciones.
En el caso de los dominos sólo encontramos una figura, que puede presentarse tanto
en forma horizontal como en vertical aunque evidentemente se trata de la misma.
En el caso de los triminos encontramos dos figuras diferentes.
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Recursos para el aula
Cinco tetraminos diferentes podemos formar mediante la unión de cuatro cuadrados7.
A
B
C
D
E
Y con los pentaminos, ¿cuántos diferentes podemos encontrar?
Seguramente serán bastantes, pero vamos a intentar averiguarlo.
7
En estas piezas se basa el mundialmente conocido juego del "Tetris".
20
LOS PENTAMINOS
Para hacerlo más fácil: cogemos una hoja cuadriculada –puede ser la tabla que tienes a
continuación o en otra hoja aparte– y comenzamos a rellenar de forma organizada, con el
fin de encontrar todos los posibles.
Ojo, no vale repetir ni cambiar la posición. Si girando el papel o mirando en el espejo
obtenemos otra figura igual a la inicial es que está repetida. Una cosa son las figuras y
otra, sus diferentes posiciones.
Efectivamente, como habrás podido comprobar, solo hay en total 12 configuraciones
diferentes, ni una más ni una menos. Existen por tanto 12 pentaminos.
Si quieres continuar con la investigación podríamos intentar conseguir:
a) El número de hexaminos.
b) El de heptaminos
c) …
Seguro que vas disfrutar con ello.
De todas formas, si te lías o te resulta excesivamente complicado, puedes encontrar el
número de cada uno de ellos en el apartado del solucionario.
21
Recursos para el aula
No nos planteamos intentar averiguar manualmente y con su demostración gráfica el
número de posibilidades que podemos encontrar para un polimino de ocho, nueve, diez,
once,...n cuadrados. No obstante, si te gustan los retos y te consideras gran aficionado a
las matemáticas, quizás en algún momento seas capaz de conseguir una fórmula que te
permita saber exactamente el número de n–minos diferentes que existen.8
8
Desde que Dudeney presentó su famoso problema con los doce pentaminos y su posterior difusión, muchos han sido
los intentos de seguir clasificando los poliminos según su tamaño. En 1962 Lea los clasificó hasta el tamaño 9 pero
incorrectamente. Posteriormente en 1967 David A. Klarner clasificó hasta el tamaño 12. Tambien en ese año T. R.
Parkin y otros clasificaron hasta el tamaño 15. Más tarde, en 1971, Lunnon clasificó hasta el tamaño 18 con un
programa que tardó 175 horas en calcularlo. Y finalmente en 1981, D. H. Redelmeier consiguió clasificar hasta el
tamaño 24. Hoy, en la actualidad, existen programas informáticos que generan las figuras y calculan el número de n–
minos que pueden construirse. Pero sin duda lo más interesante, al menos para nosotros, es introducirse en ello y
disfrutar con la investigación.
22
LOS PENTAMINOS
3.1. Los Pentaminos
Si disponemos los doce pentaminos obtenidos de manera determinada podemos
apreciar que se asemejan a algunas letras del alfabeto, de manera que para su mejor
identificación vamos dar nombre a cada pieza según la letra a la que se asemeja.
Así tenemos,
U
T
V
Z
I
N
P
X
W
Y
F
L
Con el fin de retener en la memoria el nombre de las piezas podemos hacer uso de esta
sencilla regla mnemotécnica.
•
Las siete últimas letras del abecedario (TUVWXYZ)
23
Recursos para el aula
T
•
U
W
X
Y
Más las consonantes y una I de la palabra FILiPiNo.
F
24
V
I
L
P
N
Z
LOS PENTAMINOS
3.2. El material
Como ya hemos indicado anteriormente los pentaminos consisten en doce piezas
confeccionadas bidimensionalmente, es decir, dibujadas sobre un tablero cuadriculado y
posteriormente recortadas (cartulina, plástico,...). Con el fin de hacer más aceptable la
manipulación de las mismas y la propuesta en algunos casos de construcciones
tridimensionales, hemos optado por presentar las piezas con estructura cúbica de 1,5 cm.
de lado.
Estos son los doce pentaminos –pentacubos– que vamos a utilizar a lo largo de este
trabajo. Son estructuras formadas por cinco cubos unidos por sus caras en una superficie
plana.
25
Recursos para el aula
Todas las propuestas presentadas a lo largo del cuaderno se realizarán sobre las bases
cuadriculadas que se encuentran en cada una de las hojas (tableros), o sobre fotocopia de
las mismas. El uso en el aula, con fotocopias del tablero de cada actividad, servirá para
realizar el trabajo individual, el trabajo cooperativo o en algunos casos de competición,
siempre a juicio del profesor.
Cada actividad tendrá la duración que el profesor o profesora considere, en función de
las características del alumnado y de la dificultad que presente la propuesta.
También pensamos que el uso de un color determinado para cada una de ellas
facilitaría la utilización y posterior comprobación de los ejemplos propuestos. Nosotros
hemos decidido utilizar los siguientes para cada una de las piezas que se mantendrán a lo
largo de todo el cuaderno y especialmente en el apartado de tridimensionales, con el fin
de poder encontrar de manera más fácil la solución. El juego que se adjunta es
monocromo y sólo en el color no se ajusta a lo establecido en el cuaderno.
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LOS PENTAMINOS
Las piezas y su color
27
Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
4. Posiciones de los pentaminos en el plano
Podemos situar en el plano a cada uno de los pentaminos en diferentes posiciones.
Comenzamos con la figura que menos variaciones presenta, es la X. Podemos
comprobar que no presenta más que una posición, incluido sus giros o simetrías.
X
En segundo lugar tenemos el pentamino I. Únicamente presenta dos posiciones
diferentes a las cuales las vamos a diferenciar llamándoles posición I1 y posición I2.
I1
I2
Los siguientes pentaminos presentan cuatro posiciones diferentes en el plano a las
cuales nombraremos con la letra correspondiente y los subíndices 1, 2, 3 y 4.
Estas son:
29
Recursos para el aula
T.
T1
T2
T3
T4
U.
U1
U2
U3
U4
V.
V1
V2
V3
V4
W.
W1
W2
W3
W4
Z2
Z3
Z4
Z.
Z1
30
LOS PENTAMINOS
El resto de los pentaminos se presentan de ocho posiciones diferentes en el plano.
F.
F1
F2
F5
F3
F6
F4
F7
F8
P.
P1
P5
P2
P3
P6
P4
P7
P8
31
Recursos para el aula
L.
L1
L5
L2
L6
L3
L4
L7
L8
N.
N1
N2
N5
32
N6
N3
N7
N4
N8
LOS PENTAMINOS
Finalmente el Y.
Y1
Y5
Y2
Y6
Y3
Y7
Y4
Y8
Como podemos apreciar hemos obtenido 63 formas diferentes de presentar los 12
pentaminos en el plano.
Ocho posibilidades de rotación y reflexión para los pentaminos asimétricos F, L, N,
P, e Y.
Cuatro posibilidades de reflexión para los pentaminos simétricos T, U, V, W y Z.
Dos posibilidades para el pentamino I.
Y una tan sólo para el pentamino X por ser totalmente simétrico.
33
Recursos para el aula
34
LOS PENTAMINOS
5. Copiado de figuras
Construir figuras semejantes
Un primer grupo de actividades a realizar pueden ser mediante el copiado de figuras.
Básicamente consiste en construir con un número de piezas determinado (2, 3, 4,…
piezas) una figura modelo y con el resto de ellas construir otras semejantes al modelo
propuesto. La superficie utilizada en cada construcción, así como su forma, debe ser la
misma.
Empezamos con un sencillo modelo de dos piezas. Tomamos por ejemplo la F y la N,
con el resto de figuras debemos obtener la misma composición.
35
Recursos para el aula
Podemos plantear propuestas en la que el modelo utiliza tres piezas dispuestas de la
forma que más nos guste, ocupando consecuentemente una superficie de quince
cuadrados.
Como por ejemplo, el siguiente.
36
LOS PENTAMINOS
También podemos plantear construcciones donde se utilicen cuatro piezas.
Intenta realizar con el resto de las piezas, tres figuras como la propuesta.
37
Recursos para el aula
Otro modelo de cuatro piezas.
38
LOS PENTAMINOS
Se pueden plantear otros modelos con cinco, seis o más piezas, como este.
39
Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
6. Construcciones bidimensionales
6.1 Rectángulos
Si juntamos los 12 pentaminos sin dejar huecos entre ellos obtendremos un rectángulo
formado por 60 cuadrículas. Ahora bien, esta figura la podemos construir de diferentes
maneras, según el número de cuadrados que tenga cada lado. Son los rectángulos de 6 x
10, 5 x 12, 4 x 15 y 3 x 20.
Cada una de ellas se puede formar mediante la unión de los 12 pentaminos y si bien
resulta algo complicado conseguirlo, la propuesta se convierte en un reto muy
interesante.
41
Recursos para el aula
El rectángulo de 6 x 10.
Se trata del rectángulo con más posibilidades de realizar. Se conocen 2.339 formas
diferentes de construirlo. ¿De cuántas lo puedes hacer tú?
Aquí tienes el tablero base para intentarlo.
42
LOS PENTAMINOS
El rectángulo de 5 x 12.
Ocupa el segundo lugar de posibilidades para conseguirlo con 1.010 maneras
diferentes. Coloca las piezas sobre el tablero sin dejar huecos entre ellas. Seguro que lo
consigues.
43
Recursos para el aula
Este es el rectángulo de 4 x 15 con 368 maneras diferentes de realizarlo.
44
LOS PENTAMINOS
Y finalmente el rectángulo de 3 x 20 que tan sólo tiene 2 soluciones distintas.
Teniendo en cuenta que el tamaño real de la figura excede al de esta página la hemos
presentado en forma reducida. Deberás tener en cuenta que si la utilizas como tablero
base para la construcción las piezas sobresaldrán las piezas por lo que, si quieres usarla,
tendrás que ampliarla hasta conseguir cuadrículas de 1,5 cm. de lado.
45
Recursos para el aula
6.2. Romboides
También podemos construir romboides. Este es tablero de 6 x 10.
46
LOS PENTAMINOS
Tablero del romboide de 5 x 12.
47
Recursos para el aula
Como en el caso de los rectángulos las siguientes figuras plantean el problema de su
presentación a tamaño real. Por tanto los romboides de 6 x 10 y el de 5 x 12 están
considerados a tamaño de 1,5 cm. Mientras que los romboides de 4 x 15 y 3 x 20 de esta
página tienen un tamaño reducido.
48
LOS PENTAMINOS
6.3. El tablero de 8 x 8
- Con un tetramino.
Se trata de la primera estructura conocida. Es el problema presentado por Henry
Ernest Dudeney en 1907 en sus famosos Canterbury Puzzles, al que ya nos hemos
referido anteriormente.
Se construye la figura con los doce pentaminos más el tetramino de dos por dos,
situando éste último en cualquier lugar del tablero. Aquí te presentamos una de ellas,
donde el tetramino se encuentra en el centro de la figura, pero se pueden construir otras
diferentes según el lugar donde este sea colocado. De todas ellas se han encontrado más
de 16.000 soluciones.
Si intentamos clasificarlas según la posición del tetramino (resulta interesante) nos
encontramos con que el total de propuestas son únicamente de diez, descontando las
simetrías y los giros.
Posición 1. El tetramino centrado (65 soluciones).
49
Recursos para el aula
Posición 2. El tetramino está situado en una de las cuatro esquinas (5.027 soluciones).
Intenta obtener cualquiera de ellas.
50
LOS PENTAMINOS
Posición 3. El tetramino se encuentra en el lateral ocupando el 2º. y 3º cuadrado de la
primera y segunda líneas (3.207 soluciones). Recordad que al girar el cuadrado obtenemos
la misma figura aunque en cuatro posiciones diferentes.
51
Recursos para el aula
Posición 4. El tetramino lateral ocupa los cuadrados 3º y 4º de las dos primeras líneas
(1.839 soluciones).
52
LOS PENTAMINOS
Posición 5. El tetramino lateral situado en los espacios 4º. y 5º. (se han encontrado
1.288 soluciones).
A partir de ésta cualquier propuesta presentada con el tetramino situado en un lateral
del cuadrado de 8 x 8 se tratará de una simetría o rotación de la presentada.
53
Recursos para el aula
Posición 6. El tetramino ocupa la 2ª y 3ª línea y en los cuadrados 2º y 3º (987
soluciones).
54
LOS PENTAMINOS
Posición 7. El tetramino ocupa los cuadros 3º y 4º de la segunda y tercera filas (1.662
soluciones).
55
Recursos para el aula
Posición 8. El tetramino ocupa los cuadrados 4º y 5º de la segunda y tercera filas
(721 soluciones).
Recordemos que todas las figuras que se puedan obtener mediante la colocación del
tetramino situado entre las filas segunda y tercera son simetrías o giros de las
presentadas.
56
LOS PENTAMINOS
Posición 9. El tetramino ocupa en este caso los cuadrados 3º y 4º de la tercera y cuarta
filas (582 soluciones).
57
Recursos para el aula
Posición 10. El tetramino ocupa los cuadrados 4º y 5º de la tercera y cuarta filas (768
soluciones).
58
LOS PENTAMINOS
El 8 x 8 con cuatro monominos.
Las siguientes propuestas son variaciones del "enigma" de Dudeney, en los que hemos
cambiado el tetramino de dos por dos por cuatro monominos –o cuadrados vacíos– que
pueden estar situados en diferentes lugares del tablero.
En este primer caso el tetramino se separa en monominos y éstos se desplazan en
diagonal un cuadrado hacia arriba y hacia abajo. La figura obtenida así es la siguiente,
presentando el conjunto una estructura simétrica.
59
Recursos para el aula
En esta variante los cuadrados elegidos se alejan un cuadro más del centro del tablero
quedando la figura totalmente simétrica.
60
LOS PENTAMINOS
Y finalmente, en este caso, los monominos se sitúan en las esquinas del tablero.
61
Recursos para el aula
Ahora vamos a realizar una serie donde los monominos se sitúan sobre una de las
diagonales del tablero.
Por ejemplo esta.
62
LOS PENTAMINOS
En esta versión, situada sobre la diagonal con los cuadrados elegidos contiguos, pero
trasladados en este caso hacia una de las esquinas del tablero.
63
Recursos para el aula
Una versión semejante a la anterior colocados también en la diagonal pero separando
los monominos por un cuadrado situado entre cada dos de ellos.
64
LOS PENTAMINOS
En esta otra variante también se encuentran situados en la diagonal en forma simétrica
respecto a la otra diagonal de manera que se encuentren dos contiguos (los centrales) y dos
alternos.
65
Recursos para el aula
En este modelo los cuadrados vacíos elegidos se han obtenido mediante
desplazamiento lateral por rotación, del tetramino central.
66
LOS PENTAMINOS
El mismo caso que el anterior pero mediante desplazamiento lateral de tres cuadrados,
quedando situados estos en la parte exterior de la figura.
67
Recursos para el aula
En esta variante los cuadrados elegidos se encuentran simétricos respecto al eje central
del tablero.
68
LOS PENTAMINOS
Aquí tenemos una versión donde los cuadrados vacíos están juntos y en el centro de
uno de los lados del cuadrado.
69
Recursos para el aula
En esta los espacios vacíos elegidos están situados en los lados opuestos y dos a dos.
70
LOS PENTAMINOS
Esta versión, parecida a la anterior los cuadrados vacíos se encuentran situados dos a
dos y a ambos lados del eje central de forma que se puede obtener uno de ellos mediante el
giro de 180 grados del otro.
71
Recursos para el aula
Uniendo los monominos y colocándolos adecuadamente podemos obtener algunas
figuras interesantes, como por ejemplo ésta con forma de cara.
72
LOS PENTAMINOS
Aquí tenemos otra también con forma de cara.
73
Recursos para el aula
Aquí vemos otra más.
74
LOS PENTAMINOS
Esta es otra variante posible, aunque en este caso resulte un poco extraña.
75
Recursos para el aula
Parecida a la anterior pero uniendo tres por un lado y uno por otro.
76
LOS PENTAMINOS
6.4. La triplicación
Las triplicación consisten en formar los doce nombres (letras) con que llamamos a los
pentaminos, pero usando nueve de ellos. El fin es obtener cada uno en un tamaño tres
veces superior (triple) y dado que este incremento se produce en las dos dimensiones –
largo y ancho– cada pieza inicialmente formada de 5 cuadrados se transformará en otra
de 45.
Empezamos por ejemplo con la triplicación de la U. Con nueve de las doce piezas
hemos de conseguir completar la figura de abajo.
Existen 48 posibilidades diferentes de conseguirlo.
77
Recursos para el aula
Aquí tenemos la P. Como en el caso anterior vamos a construirla con nueve de las
piezas. Elige las que más te gusten e inténtalo. Si te resulta difícil puedes probar con otras.
La P es la que más posibilidades diferentes tiene de conseguir la solución,
exactamente 497.
78
LOS PENTAMINOS
Vamos a intentarlo con la F.
La triplicación de esta letra permite encontrar hasta 125 soluciones diferentes.
79
Recursos para el aula
Y ahora con la Z.
Para su triplicación se han encontrado hasta 131 formas distintas de conseguirlo.
80
LOS PENTAMINOS
Y ahora la X.
De ésta solamente se han encontrado 15 soluciones diferentes.
81
Recursos para el aula
Ahora vamos con la V.
Hasta de 63 formas diferentes se pueden colocar las piezas para conseguir formar la
figura.
82
LOS PENTAMINOS
Con no demasiada imaginación percibimos que se trata de la T.
Se conocen hasta 106 maneras de construirla.
83
Recursos para el aula
La L.
Se han encontrado 113 maneras distintas de obtenerla.
84
LOS PENTAMINOS
Para formar la Y tenemos 86 formas distintas.
85
Recursos para el aula
Podemos triplicar la N de 68 maneras diferentes.
86
LOS PENTAMINOS
Para la I tan sólo se han encontrado 19.
87
Recursos para el aula
Y finalmente para la W se han encontrado 91 soluciones.
Recuerda que podemos obtener variantes donde intervenga el pentamino modelo (en
este caso W) y otras donde no.
88
LOS PENTAMINOS
6.5 Los números
También los números son susceptibles de construirse con los doce pentaminos.
Existen variantes que utilizan menor número de piezas pero nuestra propuesta inicial es
empleando todas.
Comenzamos con el 0.
89
Recursos para el aula
El 1.
90
LOS PENTAMINOS
Aquí tenemos el 2. Esta es una de las figuras para construirlo pero seguro que hay
otras.
91
Recursos para el aula
Y ahora el 3.
92
LOS PENTAMINOS
Aquí tenemos el 4. Como en los casos anteriores ésta es una manera de plantearlo
aunque hay otras.
93
Recursos para el aula
El 5, como puedes apreciar, se trata de un simétrico del 2.
94
LOS PENTAMINOS
Vamos con el 6.
95
Recursos para el aula
A continuación tenemos el 7.
96
LOS PENTAMINOS
Mira este 8. Quizás no resulta muy atractivo pero, si no te gusta, intenta modificarlo y
construirlo de otra manera.
97
Recursos para el aula
El 9. Como puedes observar se trata del 6 con un giro de 180º.
98
LOS PENTAMINOS
6.6. Las letras
Igual que los números también las letras se pueden obtener con la combinación de los
doce pentaminos. Vamos a plantear algunas de ellas y el intentar obtener el resto queda
a tu voluntad.
Por ejemplo la K.
99
Recursos para el aula
La Z. No se trata de la triplicación que hemos visto anteriormente ya que en este caso
utilizamos todas las piezas.
100
LOS PENTAMINOS
La H. También en este caso la figura no es especialmente atractiva pero con un poco
de imaginación la podemos considerar adecuada, ya que se trata de una figura de sesenta
cuadros y con forma determinada. Posiblemente, si buscas, encontrarás otras propuestas.
Tan sólo es cuestión de intentarlo.
101
Recursos para el aula
6.7. Pirámides
Unión de 64 casillas con 4 en blanco y en forma de pirámide. Vamos con la primera
de ellas con tetramino centrado en la base.
102
LOS PENTAMINOS
En esta pirámide los cuadrados libres son un monomino y un trimino.
103
Recursos para el aula
El tetramino vacío cambia de posición respecto a la primera.
104
LOS PENTAMINOS
Otra pirámide diferente. Esta dispone el tetramino en vertical.
105
Recursos para el aula
6.8. Otras figuras
Otras muchas figuras podemos construir con los doce pentaminos, por ejemplo
diferentes cruces.
Ésta es una de ellas.
106
LOS PENTAMINOS
Otra variedad de cruz.
107
Recursos para el aula
En éste caso, la figura de cruz deja de espacio vacío otra cruz en el interior (se trata de
la pieza X). Recuerda que se deben utilizar las doce piezas.
108
LOS PENTAMINOS
Y finalmente aquí vemos otro modelo de cruz con hueco vacío de un monomino justo
en el centro.
109
Recursos para el aula
Animales
También podemos formar diferentes animales. A continuación presentamos algunos
de ellos y dejamos a la libre voluntad de cada uno obtener otros.
Este es uno de ellos. Posemos asociarlo a la figura de un elefante.
110
LOS PENTAMINOS
A esta figura, con un poco de imaginación, podemos llamarla dromedario.
111
Recursos para el aula
En este caso se trata de un bonito cisne.
112
LOS PENTAMINOS
Esta figura puede representar un búho.
113
Recursos para el aula
Y esta una lechuza.
114
LOS PENTAMINOS
Construir las diferentes piezas del ajedrez es un reto interesante como por ejemplo, una
torre alta.
115
Recursos para el aula
También podemos hacer una torre baja. Aquí la tienes.
116
LOS PENTAMINOS
Un alfil.
117
Recursos para el aula
E incluso el rey o la reina. Cuidado, están dibujados a tamaño reducido.
118
LOS PENTAMINOS
Sin olvidarnos, por supuesto, del peón.
119
Recursos para el aula
Ventanas
Si agrupamos los huecos como en este caso obtenemos las ventanas.
En un tablero de 66 cuadrados se dejan los 6 cuadrados vacíos juntos y en el centro.
120
LOS PENTAMINOS
En esta otra hemos construido una figura de 80 cuadrados con 20 vacíos en el centro.
121
Recursos para el aula
Seguimos con la figura de 10 x 8, sólo que en esta ocasión hemos dejado el hueco en
la parte superior derecha de la figura.
122
LOS PENTAMINOS
Y en este caso en la parte superior izquierda.
123
Recursos para el aula
Enrejados
Se trata, como podemos apreciar en la figura, de rectángulos con gran cantidad de
cuadros vacíos repartidos en forma más o menos regular.
Este es uno de ellos.
124
LOS PENTAMINOS
Aquí tenemos otro distinto.
125
Recursos para el aula
Y, como podemos apreciar, un ejemplo algo diferente a los anteriores.
126
LOS PENTAMINOS
Más figuras
Se pueden construir otras muchas figuras de diferentes estilos. Sin intentar ser
demasiado exhaustivos presentamos algunas de ellas.
Una cara.
127
Recursos para el aula
Un puente.
128
LOS PENTAMINOS
Unas aspas, por la similitud que presentan con las de un molino.
129
Recursos para el aula
Un rectángulo con huecos centrales colocados simétricamente.
130
LOS PENTAMINOS
O que estos huecos tengan la forma de los diferentes pentaminos.
131
Recursos para el aula
132
LOS PENTAMINOS
7. Repartir las doce piezas en un número determinado de figuras
iguales
Por ejemplo en dos rectángulos de 6 x 5.
133
Recursos para el aula
En dos L.
134
LOS PENTAMINOS
En dos partes complementarias de un cuadrado sin esquinas.
135
Recursos para el aula
En dos figuras en forma de C.
136
LOS PENTAMINOS
En otras dos figuras como las que puedes observar.
137
Recursos para el aula
Las escaleras
Provienen de la división de los rectángulos en dos partes iguales y al mismo tiempo
complementarias.
En este caso se obtiene de dividir el rectángulo de 6 x 10.
138
LOS PENTAMINOS
En este modelo, si juntamos ambas mitades obtendremos el rectángulo de 5 x 12.
139
Recursos para el aula
Esta, como puedes apreciar es otra variante de la división del rectángulo de 5 x 12. Si
juntas ambas figuras lo obtendrás.
140
LOS PENTAMINOS
Hemos dividido en este caso el rectángulo de 4 x 15.
141
Recursos para el aula
Y finalmente el de 3 x 20, como se presenta a continuación.
142
LOS PENTAMINOS
Para terminar este apartado introducimos esta variante que resulta muy atractiva.
Consiste en el tablero de 8 x 8 pero a su vez repartidas las piezas en dos partes iguales
y complementarias, con los monominos situados en las esquinas del tablero.
El hecho de presentar así ambas mitades sólo persigue una mejor comprensión.
143
Recursos para el aula
También el reparto de las doce piezas se puede realizar formando tres figuras
iguales como en este ejemplo.
144
LOS PENTAMINOS
Aquí un modelo diferente al anterior.
145
Recursos para el aula
Otro modelo distinto pero igualmente válido.
146
LOS PENTAMINOS
Aquí puedes apreciar otro más.
147
Recursos para el aula
El cuadrado de la esquina inferior lo colocamos en la segunda fila.
148
LOS PENTAMINOS
O los dos cuadrados de la base los llevamos a un lateral.
149
Recursos para el aula
En éste el domino de la esquina lo repartimos en dos monominos.
150
LOS PENTAMINOS
Aún hay más alternativas. Aquí tienes otro diferente.
151
Recursos para el aula
Y otro más.
152
LOS PENTAMINOS
Una última variante.
153
Recursos para el aula
154
LOS PENTAMINOS
8. Construcciones tridimensionales
8.1. Cúbicas
Si entre las diferentes propuestas que nos presenta este juego tuviéramos que destacar
algunas, sin duda que esas serían las construcciones tridimensionales. Entendemos que
resultan algo más complicadas que las bidimensionales, pero por ese mismo principio, el
reto que supone abordar cada caso es una verdadera gozada.
Empezamos con las tres construcciones básicas. Consisten en los tres prismas cúbicos
de medidas 3 x 4 x 5, 2 x 5 x 6 y 2 x 3 x 10, siempre refiriéndonos al número de
cuadrados –en este caso cubos– que forman el lado.
El tridimensional de 3 x 4 x 59. De esta construcción se han encontrado 3.940
soluciones distintas.
9
Su disposición gráfica se presenta según la forma largo, ancho, alto (5 x 4 x 3).
155
Recursos para el aula
Tridimensional 2 x 5 x 6. Se pueden conseguir 264 soluciones.
Tridimensional 2 x 3 x 10. Tan solo hemos encontrado 12 soluciones.
156
LOS PENTAMINOS
8.2. Pentaminos
También los pentaminos se pueden construir de manera tridimensional. No debemos
confundir la triplicación bidimensional de los mismos, en las cuales se utilizaban nueve
piezas, con su construcción tridimensional, para las que forzosamente han de utilizase
las doce.
Solamente se han conseguido construir diez de las doce figuras, ya que tanto de la X
como de la W, hasta el momento no se han encontrado ninguna solución.
En primer lugar tenemos la T. De ella se pueden conseguir 3 soluciones diferentes.
157
Recursos para el aula
La U. Hasta 10 soluciones diferentes podemos encontrar.
La V. Podemos obtenerla de 21 maneras distintas.
158
LOS PENTAMINOS
La Y, con tan solo 7 soluciones.
La Z. De ésta letra se pueden conseguir de 24 formas distintas.
159
Recursos para el aula
La F. De ésta solo podemos decir que hasta este momento tan sólo se ha encontrado
una solución.
De la I, se pueden obtener 12 soluciones. Fíjate que en realidad, se trata de la figura
cúbica de 2 x 3 x 10.
160
LOS PENTAMINOS
La L. Se trata de una figura con bastantes soluciones. Se le conocen 99 diferentes.
La P. De la siguiente figura obtener una solución es algo más fácil ya que es de la que
más posibilidades se han encontrado. Existen 1082 diferentes.
161
Recursos para el aula
Y finalmente la N. Tercera en número de soluciones con 51 diferentes.
162
LOS PENTAMINOS
8.3. Otras construcciones
Por ejemplo, la pirámide de 55 cubos. Utilizaremos once de las doce piezas.
163
Recursos para el aula
Una escalera. Para construirla se necesitan las doce piezas.
164
LOS PENTAMINOS
9. Diferentes maneras de codificar las construcciones
9.1. Por su representación gráfica
La forma más sencilla de retener una construcción realizada es mediante su dibujo con
las piezas marcadas o coloreadas como hemos realizado a lo largo de todo el cuaderno y
en la siguiente construcción.
Pero no por ello es la única. Existen otras formas, a veces algo más complejas, pero
muy interesantes.
9.2. Números y letras
Si consideramos cada una de las casillas del tablero representadas por el par de
elementos formado por los puntos de los ejes a los que pertenece podemos indicar cada
uno de los pentaminos donde se encuentra situado. Veamos un ejemplo.
Tomemos un tablero de 4 x 15 en el a las casillas partiendo de arriba hacia abajo y
de izquierda a la derecha recibirán un nombre. Si consideramos las 60 casillas de que
consta el rectángulo, y tomando el nombre de los ejes como un par de elementos formado
por los números y letras, llamaríamos a la primera casilla 1a, 1b a la segunda, 1c a la
tercera,..., 2a, 2b..., 3a,... y así sucesivamente hasta completar la figura.
1 2 3 4
a 1a 2a 3a 4a
b a1b 2b 3b 4b
c 1c 2c 3c
d 1d
165
Recursos para el aula
Por lo tanto, y tomando el modelo representado en la figura de la página anterior la
situación de cada uno de los pentaminos es la siguiente:
I : 1a,2a,3a,4a,5a L : 7c,7d,8d,9d,10d
T : 13a,14a,15a,14b,14c
De esta manera, a partir de sus coordenadas, representaríamos todas las piezas
situadas en un determinado tablero10.
9.3. Figuras y su posición
Tomando como base lo tratado en el punto 4 de este trabajo hemos desarrollado las
diferentes maneras de orientar en el espacio cada uno de los pentaminos. A partir de cada
una de ellos, y en consecuencia, mediante el nombre asignado (la figura y su posición),
podemos codificar las distintas construcciones que vamos obteniendo de una manera
relativamente sencilla. Únicamente hemos de establecer las normas de lectura (de arriba
hacia abajo y de izquierda a derecha) en el orden que se han establecido las coordenadas,
que en este caso no se indicará por casillas sino por piezas.
De nuevo tomamos como modelo el representado en la figura la codificación
mediante este sistema vendrá determinada por el orden en que aparecen los diferentes
pentaminos –en primer lugar la I, después la U, a continuación la Y, le sigue la W,... y
sus posiciones en el plano son, la I presenta la posición 2, la U se encuentra situada en su
posición 4, la Y se encuentra en su posición 8, la W está en su posición 1,...
Así la codificación completa de la anterior construcción será:
I2 U4 Y8 W1 X Z1 L5 F5 N2 P6 T1 V1
De forma que cada pentamino viene representado por su nombre y un número en
subíndice. También se puede representar mediante la letra –el nombre y el número
escrito de manera natural11.
En las propuestas de actividades para el aula, podemos plantear dos tipos de ellas:
10
También se puede representar mediante pares de números: 11, 12, 13 siempre el primer número corresponde al eje
horizontal y el segundo al vertical.
11
I2, U4, Y8, W1 ...
166
LOS PENTAMINOS
a. Mediante la codificación de una figura
b. Su descodificación
Como por ejemplo.
a. Dada la siguiente construcción,
Realizar su codificación.
b. A partir de la siguiente codificación.
Código:
F1 L6 I1 P3 N7 W3 Y1 T4 Z2 X V3 U4
Construir la figura.
9.4. Letras y posición
Otra manera, más sencilla que la anterior, podría ser mediante la repetición de las
letras de su nombre y su posición en el plano colocadas en las casillas que ocupa la
figura.
Estas son las representaciones de los 12 pentaminos.
F F
F F
F
V
V
V V V
I
I
I
I
I
L
L
L
L L
X
X X X
X
P P
P P
P
W
W W
W W
N
N N
N
N
T T T
T
T
U
U
U U U
Y
Y Y
Y
Y
Z Z
Z
Z Z
167
Recursos para el aula
Este sistema es semejante al de las representaciones mediante los dibujos de las
construcciones sólo que estos son sustituidos por sus nombres. Esta forma tiene como
inconveniente una visualización inicial de mayor complejidad que si los nombres fueran
sustituidos por simples colores.
Tomemos de nuevo como ejemplo el siguiente.
La representación mediante este sistema de codificación gráfica será la que vemos a
continuación:
I
P
P
P
I
P
P
T
I
T
T
T
I
W
W
T
I
N
W
W
N
N
X
W
N
X
X
X
N
F
X
Y
F
F
Y
Y
Z
F
F
Y
Z
Z
Z
Y
V
U
Z
U
V
U
U
U
V
V
V
L
L
L
L
L
Como podemos apreciar simplemente hemos sustituido las piezas por sus nombres.
Podemos apreciarlo en estos otros ejemplos, como a triplicación de la F y la T
T
T
T
U U X N
U X X X
U U X Z
V
V
V
I
T
N
N
Y
Z
Z
Z
V
O de diferentes cruces.
168
I I I I
T P P P
N N P P
Y
Y
Y
Y
Z
V
U U X L
U X X X
U U X W
I
I
I
I
I
V
L
N
W
W
Y
Y
Y
Y
V
L L P P
N L P P
N N N P
W
W
Y
V
V
V
LOS PENTAMINOS
X
N
N
W
U U W W
U W W F
U U F F
F
Y
P
P
P
T
X
X
X
N
N
N
F
Y
Y
Y
Y
P
P
T
T
T
V
V
V
U U X F
U X X X
U U X T
T
T
W
W
L
L
L
L
X
L
L
L
L L Z V
Z Z Z V
Z V V V
I
I
I
I
I
T
V
Z
F
F
F
I
T
W
W
N
N
N
Y
L
V
Z
Z
Z Z P P
F P P P
I I I I
T
W
N
N
Y
Y
Y
Y
8.5. Letras y posición tridimensional
Las codificaciones presentadas en último lugar son especialmente atractivas para la
trascripción de construcciones tridimensionales, dada la complejidad de su
representación gráfica mediante dibujo, ya que ésta presenta bastantes dificultades para
una adecuada observación.
Tomemos por ejemplo la construcción de 3 x 4 x 5. Teniendo en cuenta que posee tres
niveles –de abajo hacia arriba–, la distribución de las piezas puede ser la siguiente:
Niveles
P
P
T
T
T
1º.
I W
I Z
I Z
I F
I F
L
L
L
L
V
P
P
Y
T
U
2º.
W W
Y Z
Y F
Y F
Y U
L
N
N
N
V
W
P
X
T
U
3º.
W Z
X Z
X X
X F
U U
N
N
V
V
V
169
Recursos para el aula
Presentamos a continuación una de las torres escalonadas12 con sus cinco niveles.
Niveles
I
L
L
W
W
12
N
N
V
V
V
1º
X
F
Z
Z
V
F
F
F
Y
V
F
Y
Y
Y
Y
I
L
W
W
2º
X X
N U
N Z
N U
X
U
U
U
3º
I P X
L P Z
W P Z
Como habrás podido comprobar esta torre utiliza solamente 11 piezas.
170
4º
I P
L P
5º
I
LOS PENTAMINOS
9. SOLUCIONARIO
Clasificación de D.H. Redelmeier del número de poliminos que pueden obtenerse en
función del número de monominos que lo integren.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
p(n)13
1
1
2
5
12
35
108
369
1285
4655
17073
63600
238591
901971
3426576
13079255
50107909
192622052
742624232
2870671915
11123060678
43191857688
168047007728
654999700403
n = número de monominos que forman la figura
p(n) = número de poliminos diferentes que se pueden obtener
13
Sólo se contabilizan los poliminos bidimensionales, excluyéndose las opciones tridimensionales.
171
Recursos para el aula
Rectángulos
6 x 10
5 x 12
4 x 15
3 x 20
172
LOS PENTAMINOS
Romboides
6 x 10
5 x 12
4 x 15
3 x 20
173
Recursos para el aula
Tablero de 8 x 8
Con un tetramino
174
LOS PENTAMINOS
Con cuatro monominos
175
Recursos para el aula
Figuras triplicadas
176
LOS PENTAMINOS
Algunos números y letras
177
Recursos para el aula
Pirámides
178
LOS PENTAMINOS
Cruces
179
Recursos para el aula
Animales
Elefante
Dromedario
Cisne
Buho
Lechuza
180
LOS PENTAMINOS
Piezas de ajedrez
Torre alta
Torre baja
Alfil
Peón
Rey
Reina
181
Recursos para el aula
Ventanas
Enrejados
182
LOS PENTAMINOS
Otras figuras
Cara
Puente
Aspas
183
Recursos para el aula
Distribución de todas las piezas en dos figuras iguales
184
LOS PENTAMINOS
En tres figuras iguales
185
Recursos para el aula
Tridimensionales cúbicas
3x4x5
2x5x6
2 x 3 x 10
186
LOS PENTAMINOS
Pentaminos tridimensionales.
187
Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
Otras construcciones.
Pirámide
Escalera
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Recursos para el aula
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LOS PENTAMINOS
10. BIBLIOGRAFÍA
•
Dedicada principalmente al tema de los poliminos.
DUDENEY, H. E. 1988. Los acertijos de Canterbury y otros problemas curiosos.
Ediciones Granica – Argentina.
GOLOMB, SOLOMON W. 1965. Poliminoes.Puzzles, Patterns, Problems, and
Packinngs. Edición en inglés. ( No tenemos referencia de que haya sido editado en
España).
GOLOMB, SOLOMON W. 1994. Pentaminoes. La Prensa Universitaria de
Princetown, New Jersey, nº. 148, páginas 6–10.
MARTÍN GARDNER, 1958 y 1988. Hexaflexagons y Otras diversiones matemáticas.
Libro Científico Americano de Juegos y Enigmas matemáticos.
MARTIN, George E. 1991. Poliminoes: Una guía a los enigmas y problemas de
azulejado. Asociación Matemática de América. Serie Espectro.
ONSLOW, B. 1990. Pentaminoes Revisited. El Maestro americano nº 9, páginas 5–
10.
•
Clásica sobre juegos y recreaciones matemáticas donde el tema de los poliminos
suele aparecer entre otras diversas cuestiones. Debido a la gran cantidad de autores
y títulos que actualmente abordan estos temas, únicamente vamos a relacionar
aquellos que para nosotros, en lo personal, ha constituido una obra de especial
significación.
ALEM, J.P. 1984. Juegos de ingenio y entretenimiento matemático. 2 vols. Gedisa
Barcelona.
BOLT, B. 1989. Actividades matemáticas. Labor - Barcelona.
BOLT, B. 1991. 101 proyectos matemáticos. Labor – Barcelona.
CORBALÁN, F. y GAIRIN, J. M. 1988. Problemas a mí. Juegos matemáticos.
Edinumen – Madrid.
DIENES, Z.P. 1980. Lógica y juegos lógicos. Teide – Madrid.
FABRETTI, C. 1982. Problemas de ingenio. Bruguera – Barcelona.
GUIK, E. Y. 1989. Juegos matemáticos recreativos.Mir – Moscú.
GUZMAN, M. de, 1977. Mirar y ver. Alhambra – Madrid.
GUZMAN, M. de, 1984. Cuentos con cuentas. Labor – Barcelona.
GUZMAN, M. de, 1988. Aventuras matemáticas. Labor – Barcelona.
HOLT, M. 1988. Matemáticas recreativas 2. Martínez Roca – Barcelona.
HOLT, M. 1988. Matemáticas recreativas 3. Martínez Roca – Barcelona.
KRAITCHIK, M. 1953. Mathematical Recreations, Dover – Nueva York.
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Recursos para el aula
LUCAS, E. 1960, 1982. Récreations mathématiques, 4 vols. Gauthiers-Villars –
Paris.
MATAIX, M. 1979. Divertimentos lógicos y matemáticos. Marcombo –
Barcelona.
MATAIX, M. 1979. El discreto encanto de las matemáticas. Marcombo –
Barcelona.
MATAIX, M. 1981. Cajón de sastre matemático. Marcombo – Barcelona.
MATAIX, M. 1981. Fácil, menos fácil y difícil. Marcombo – Barcelona.
O’BEIRNE, T.H. 1965. Puzzles and Paradoxes, Oxford Universisty Press –
Londres.
PERELMAN, Y. 1968. Matemáticas recreativas. Martínez Roca – Barcelona.
PERELMAN, Y. 1970. El divertido juego de las matemáticas. Círculo de
Lectores.
PERELMAN, Y. 1975. Problemas y experimentos recreativos. Mir – Moscú.
SMULLYAN, R. 1981. ¿Cómo se llama este libro?. El enigma de Drácula y
otros pasamientos lógicos. Cátedra – Madrid.
SMULLYAN, R. 1983. ¿La dama o el tigre? y otros pasamientos lógicos.
Cátedra – Madrid.
•
Un apartado especial merece Martin Gardner, al que nos hemos referido en el
trabajo, y que desde los años cincuenta ha escrito las columnas de Scientific
American (editado en España con el título de Investigación y Ciencia):
Circo matemático, 1983. Alianza Editorial – Madrid.
Carnaval matemático, 1983. Alianza Editorial – Madrid.
Festival mágico-matemático, 1984. Alianza Editorial – Madrid.
Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas, 1985. Labor – Barcelona.
¡ Ajá ¡, 1985. Labor – Barcelona.
Paradojas ¡ Ajá ¡, 1986. Labor – Barcelona.
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