Estimación

Diseño Estadístico y
Herramientas para
la Calidad
Estimación
Expositor:
Dr. Juan José Flores Romero
juanf@umich.mx
http://lsc.fie.umich.mx/~juan
M. en Calidad Total y Competitividad
Estimación
Estimación
Inferencia Estadística
z
z
Estimación
z
z
z
Puntual
Intervalos
Pruebas de Hipótesis
Inferencia Estadística es el procedimiento
para inferir propiedades de una población
basados en los resultados obtenidos de una
muestra de la misma.
Estimadores
z
z
z
Estimadores: puntuales e intervalos
Estimado vs. Estimador
Un estimador (fórmula) nos indica como
calcular un estimado de un parámetro.
Propiedades de los
Estimadores
z
No Sesgado. El valor medio del estadístico
para todas las posibles muestras aleatorias
de un tamaño dado es igual al parámetro que
estima.
E (θˆ) =θ
∑ (x − x)
2
⇒ E(s 2 ) ≠ σ 2
n
∑ ( xi − x ) 2 ⇒ E ( s 2 ) = σ 2
n −1
i
Propiedades de los
Estimadores
z
z
z
Consistente. Si el tamaño de la muestra
incrementa, el valor del estimado tiende al
valor del parámetro.
Eficiente. Un estimador es mas eficiente que
otro si la varianza del primero es menor que
la del segundo.
Suficiente. Usa toda la información de la
muestra. Si tenemos un estimador
suficiente, no necesitamos otra medida.
Estimadores de Intervalo
z
z
z
Un estimador de intervalo produce un
intervalo, del cual podemos decir, con cierto
nivel de convicción, que contiene al
parámetro estimado
Estamos 100% seguros que el intervalo
(-∞, +∞) contiene el parámetro de interés.
Estimadores de Intervalo = Intervalos de
Confianza (con límites de confianza)
Intervalo de Confianza para la
Media, dada la Varianza
z
z
z
z
z
Ej. x ± 2σ
Si la distribución es normal, dentro de 2
varianzas, cae el 95% de la población.
Coeficiente de confiabilidad = 2
Coeficiente de confianza = 95
Coeficiente de confianza = 1-α, donde α es el
área bajo la curva normal, fuera del intervalo
de confianza.
Intervalo de Confianza para la
Media
z
z
Intervalo de Confianza para la
Media
σ x = Error Estándar o Desviación Estándar
del Estimador x
Intervalo Estimado = (factor de confianza) x
(error estándar)
x ± z1−α / 2σ x
Interpretación del Intervalo de
Confianza para la Media
z
Interpretación Probabilística
z
z
En muestreos repetidos de una población
normalmente distribuida, 100(1-α)% de todos los
intervalos de la forma x ± z1−α / 2σ x que pueden
ser construidos de muestras aleatorias de tamaño
n, incluirán la media de la población μ.
Interpretación Práctica
z
Estamos 100(1-α)% seguros de que el intervalo
x ± z1−α / 2σ x calculado de muestras aleatorias de
tamaño n, contienen la media de la población μ.
Interpretación del Intervalo de
Confianza para la Media
Cálculo del Intervalo de
Confianza para la Media
z
z
z
z
Es trivial construir un intervalo de confianza
para la distribución normal estándar.
De las tablas, buscar la z que produzca el
coeficiente de confianza dado.
P(Z<=z)=1-α/2
El mapeo de x a z es conocido. La pregunta
es: Dada una media y varianza conocidas, a
que x corresponde z?
z=
Cálculo del Intervalo de
Confianza para la Media
x−μ
σ
⇒ x = z1−α / 2σ x + x
Ejemplo
z
El supervisor de control de calidad de una
fábrica de alambres selecciona periódicamente
una muestra de especímenes para probar su
resistencia a la ruptura. La experiencia le dice
resistencia está distribuida normalmente, con
una desviación estándar de 200 lb. Una
muestra aleatoria de 16 especímenes da una
media de 6200lb. Se desea obtener un intervalo
de confianza de 95% para la media de la
población.
Estimaciones en Poblaciones
no Normales
Ejemplo
z
z
z
z
z
El estimador puntual de μ es ⎯x = 6200 lb.
Para un coeficiente de confianza de 0.95,
z=1.96.
El error estándar es σ/√n = 200/√16 = 50
IC = 6200 ±1.96(50) = [6102, 6298]
z
Si no conocemos la varianza, no podemos
usar la distribución normal para determinar
un valor preciso de z.
Cuando usamos el estimador σ ≈ s la
x
x
variable resultante es
t=
z
De acuerdo al teorema del límite central,
podemos usar el mismo procedimiento para
determinar intervalos de confianza para
poblaciones con distribuciones no normales,
mientras que el tamaño de la muestra sea
grande (n>30).
El 95% de los intervalos de confianza que
sean construidos de esta manera,
contendrán a μ.
Intervalo de Confianza para la
Media, Varianza Desconocida
z
z
x − μx x − μx
=
sx
s/ n
A esta distribución se le conoce como
distribución “t de student”
Cálculo del Intervalo de
Confianza
z
El procedimiento es igual, substituyendo la
distribución normal por la t de student.
x ± t1−α / 2
s
n
Ejemplo
z
En un esfuerzo por establecer un tiempo
estándar para realizar cierta tarea, un
ingeniero de producción selecciona 16
empleados experimentados para realizarla.
La media es de 13 minutos, con una
desviación estándar de 3 minutos. El
ingeniero desea construir un intervalo de
confianza del 95% para el tiempo medio
necesario para realizar tal tarea
Uso de Tablas de la
Distribución t
Ejemplo
z
z
z
z
z
El estimador puntual de μ es ⎯x = 13 min.
El error estándar es s/√n = 3/ √ 16 = 0.75
Para un coeficiente de confianza de 0.95, (área
a la izquierda del límite derecho = 0.975) y
n-1=15 grados de libertad, tenemos
t0.975=2.1315
IC = 13 ±2.1315(0.75) = [11.4, 14.6]
El 95% de los intervalos de confianza que sean
construidos de esta manera, contendrán a μ.
Uso de Tablas de la
Distribución t
Parejas de Observaciones
z
Medir sujetos antes y después de
z
z
z
z
z
Ejemplo
z
Algún tratamiento
Mejora de condiciones de trabajo
Capacitación
La diferencia puede ser estimada mediante la
distribución t de student
Si aplica el teorema del límite central,
podemos usar la distribución normal
z
En una muestra aleatoria de 10 compañías
electrónicas se determinó cuanto gastan en
capacitación anualmente, en este año y hace
una década.
Firma
A B
C
D
E
F
G
H
I
J
Ahora
12
14
8
12
8
10
8
9
10
10
Hace 10 años
10
11
8
7
9
6
10
9
7
9
d
2
3
0
5
-1
4
-2
0
3
1
Construir un intervalo de confianza del 95%
para la media de la diferencia d.
Estudiar Estimaciones para
Ejemplo
z
z
z
z
z
⎯d = 1.5
sd = 2.3
s⎯d =2.3/√10 = 0.73
El intervalo de confianza del 95% para μd.
1.5 ± 2.2622(0.73) = [-0.2, 3.2]
z
z
z
z
z
z
Diferencia entre dos medias, varianzas
conocidas
Diferencia entre dos medias, varianzas
desconocidas
Proporciones
Diferencia entre dos proporciones
Varianza (distribución chi cuadrada)
Razón de Varianzas (distribución F)
Determinación del Tamaño de
la Muestra para Estimar μ
z
¿Qué tan grande debe ser la muestra?
Determinación del Tamaño de
la Muestra para Estimar μ
z
Puntos Clave:
z
z
z
z
Se desea estimar, con un intervalo de
confianza, la media de la población.
Grande → desperdicio de recursos
Chica → resultados sin valor estadístico
z
Precisión
Confianza necesaria en el intervalo
z
Mitad del intervalo (precisión)
z
Despejando n
n=
Determinación del Tamaño de
la Muestra para Estimar μ
z 2σ 2
d2
Intervalo estrecho → d pequeño
z depende del nivel de confianza
σ2 depende de la variabilidad de lo población
n=
z
z
z
σ
x±z
d=z
σ
n
n
z 2σ 2
d2
Ejemplo
z
Una firma publicitaria quiere estimar la cantidad
promedio de dinero que cierto tipo de comercio gastó en
publicidad durante el año pasado. La experiencia indica
que la varianza es aproximadamente de $1’800,000.
¿Qué tan grande debe ser la muestra tomada para que
estimar dentro de $500 de la verdadera media con un
intervalo de confianza de 95%?
n=
1.96 2 (1'800,000)
= 27.65 ≈ 28
500 2
Estudiar
z
Determinar el tamaño de la muestra para
estimar proporciones.