Modelos de Transporte: Problemas de asignación y de transbordo M. En C. Eduardo Bustos Farías Problemas de Asignación 2 Problemas de Asignación: Son problemas balanceados de transporte en los cuales todas las ofertas y todas las demandas son iguales a 1. Consiste en determinar la asignación óptima de agentes u objetos indivisibles a n tareas. Son indivisibles en el sentido de que ningún agente se puede dividir en varias tareas. La restricción importante, para cada agente, es que será designado a una y solo una tarea. 3 Uno de los problemas que utilizan el modelo de transporte, es el de asignación, el cual se refiere a la disposición de algunos recursos (equipos o personas) para la realización de ciertos productos o tareas a un costo diferenciado. El problema consiste en minimizar los costos por asignación de recursos para el desempeño de actividades. 4 Problemas de Asignación Definición del Problema * m trabajadores deben ser asignados a m trabajos. * Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j. * Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la óptima posible. EJEMPLO 1 Electrónica Ballston Problema de asignación 6 Electrónica Ballston Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción que necesitan ser inspeccionadas. El tiempo para realizar una buena inspección de un área de pende de la línea de producción y del área de inspección. La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspección a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mínimo. Datos * Tiempo de inspección en minutos para la línea de ensamble de cada área de inspección. Linea Ensamble 1 2 3 4 5 A 10 11 13 14 19 B 4 7 8 16 17 Area de Inspección C 6 7 12 13 11 D 10 9 14 17 20 E 12 14 15 17 19 RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA Línea de ensamble S1=1 1 Área de Inspección A D1=1 S2=1 2 B D2=1 S3=1 3 C D3=1 S4=1 4 D D4=1 S5=1 5 E D5=1 Supuestos restricciones * El número de trabajadores es igual al número de empleos. * Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador. * Para un problema desbalanceado se debe agregar un trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan más trabajadores que trabajos), quedando así el problema balanceado. Solución mediante el método Húngaro Problema: El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla: Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 96 99 105 108 María 116 109 107 96 Jackeline 120 102 113 111 Edith 114 105 118 115 Restricciones del Método * Solo problemas de minimización. * Número de personas a asignar m es igual al número de lugares m. * Todas las asignaciones son posibles * Una asignación por persona y una persona por asignación Matriz de Costos Secretaría Juana María Jackeline Edith Capítulos 13 14 96 99 116 109 120 102 114 105 15 16 105 108 107 96 113 111 118 115 Restar el Menor valor de cada fila Secretaría Juana María Jackeline Edith Capítulos 13 14 15 0 3 9 20 13 11 18 0 11 9 0 13 16 12 0 9 10 Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterior Secretaría Juana María Jackeline Edith Capítulos 13 14 15 0 3 0 20 13 2 18 0 2 9 0 4 16 12 0 9 10 Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior. Secretaría Juana María Jackeline Edith Capítulos 13 14 15 0 3 0 20 13 2 18 0 2 9 0 4 16 12 0 9 10 Si el número de líneas es igual al número de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demás números no rayados y sumarlo en las intersecciones. Pare este caso corresponde al valor 2 Secretaría Juana María Jackeline Edith Capítulos 13 14 15 0 5 0 18 13 0 16 0 0 7 0 2 16 14 0 9 10 Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0 Juana María Jackeline Edith Cap. 13 Cap. 16 Cap. 15 Cap. 14 *Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410 Casos especiales * Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en particular * Cuando un trabajador puede ser asignado a más de un trabajo. * Un problema de maximización. EJEMPLO 2 PROBLEMA DE ASIGNACIÓN 17 La gerencia general de una compañía, como parte de su auditoria anual, decidió que cada uno de los cuatro vicepresidentes visite e inspeccione una de las 4 plantas durante las 2 primeras semanas de octubre. 18 19 SOLUCIÓN 20 Solución Enumeración completa Usar el método húngaro a) Por enumeración completa, se hace una lista de las posibles soluciones, se calcula su costo asociado y se escoge la mejor. F = vicepresidente de finanzas M = vicepresidente de mercadotecnia O = vicepresidente de operaciones P = vicepresidente de personal 21 F puede asignarse a cualquiera de las 4 plantas M puede enviarse a cualquiera de las 3 plantas restantes O puede enviarse a cualquiera de las 2 planta restantes P se asigna a la única planta disponible 22 b) Método Húngaro 23 Pasos del método húngaro: 1. Reducción en renglones: Elabore una nueva matriz eligiendo el costo mínimo de cada renglón y restándolo de cada costo de ese renglón. 2. Reducción en columnas: Elija el elemento de costo mínimo en cada columna y réstelo a cada elemento de la columna. 3. Determine si la matriz es reducida: Encuentre el número mínimo de líneas rectas que se pueden trazar sobre los renglones y las columnas para cubrir todos los ceros. Si este número es igual al de los renglones (o columnas), se dice que la matriz es reducida. Continúe al paso 5. Si el número de rectas es 24 menor que el de renglones (o columnas) continúe con el paso 4. Pasos del método húngaro: 4. Reducciones posteriores: Encuentre la menor de las celdas no cubiertas (sin línea recta). Reste el valor de esta celda a todas las celdas no cubiertas. Agréguelo al valor de las celdas que se encuentran en las intersecciones de las restas dibujadas en el paso 3. 5. Localización de la solución óptima: Las celdas de costo cero se eligen, una por columna y renglón a fin de hallar una asignación óptima. Se suman los sotos originales de las celdas con asignación para saber el costo total. 25 26 27 28 Formulación matemática del modelo de Asignación 29 Existen n personas las cuales pueden desempeñar cualquier actividad de un conjunto de n actividades y conocemos el costo cij de asignación de la actividad i a la persona j. i = 1,…, m j = 1,…, n El problema es determinar de todas las asignaciones posibles las de costo total mínimo. 30 1. Variables de decisión: xij = 1, si la actividad i es asignada a la persona i 0, si i no es asignada a j 2. Función objetivo: m Mín n Z = ∑∑ Cij xij i =1 j =1 31 3. Restricciones: 32 EJERCICIO PARA RESOLVER 33 En una empresa se utilizan tres clasificaciones para trabajadores (W1, W2 y W3) de acuerdo a un convenio firmado con el sindicato. Cada trabajador tiene un costo diferente por cada trabajo, tal y como aparece en la tabla matriz siguiente: ¿Cuál es la mejor asignación de trabajadores a los diversos trabajos, a fin de reducir al mínimo los costos? 34 35 EJERCICIO PARA RESOLVER 36 Una empresa dedicada a la publicidad debe cubrir seis grandes pedidos de folletos impresos en una sola página. Las cantidades requeridas son las siguientes: 28000, 15000, 15000, 20000, 38000 y 44000, respectivamente. Los tres equipos disponibles pueden producir 50 000; 70 000 y 60 000 páginas diariamente. ¿Cuál es la mejor asignación de equipos a los diversos trabajos, a fin de reducir al mínimo los costos? 37 38 Problemas de Transbordo 39 Problemas de Transbordo Son problemas de transporte en los que se agregan puntos de transbordo. Los puntos de transbordo son puntos que pueden tanto recibir mercadería de otros puntos como enviar mercadería a otros puntos. 40 Es una extensión al problema de transporte en el cual se agregan nodos intermedios (nodos de transbordo), para tomar en consideración localizaciones como por ejemplo almacenes. En este tipo más general del problema de transporte de distribución, los embarques pueden ser efectuados entre cualquier par de tres tipos generales de nodos: de origen, de transbordo o de 41 destino. Características La oferta o suministro disponible en cada origen es limitada. En cada destino la demanda está definida o especificada. El objetivo en el problema de transbordo es de determinar cuantas unidades deberán embarcarse por cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandas-destino se satisfagan al costo de transporte mínimo posible. 42 Ejemplo 43 Encontrar la formulación de programación lineal para el problema de transbordo planteado en el modelo de redes, tal que minimice los costos de transporte. 44 SOLUCIÓN 45 1. Variables de decisión: xij = número de unidades embarcadas del origen i al destino j, pasando por los nodos de transbordo que se especifican. i = 1, 2, 3, 4 j = 3,.., 8 2. Función objetivo: Mín Z = 2 x + 3x + 3x + x + 2 x + 6 x 13 14 23 24 35 36 + 3x37 + 6 x38 + 4 x45 + 4 x46 + 6 x47 + 5 x48 46 3. Restricciones a) De los nodos origen: x13 + x14 ≤ 600 x23 + x24 ≤ 400 b) De los nodos de transbordo: − x13 − x23 + x35 + x36 + x37 + x38 = 0 − x14 − x24 + x45 + x46 + x47 + x48 = 0 47 c) De los nodos destino: x35 + x45 = 200 x36 + x46 = 150 x37 + x47 = 350 x38 + x48 = 300 xij ≥ 0 ∀ij 48 Variantes del problema de transbordo 49 Igual que en los problemas de transporte se pueden formular problemas de transbordo con varias variantes: Suministro total no igual a la demanda total Maximización de la función objetivo Rutas con capacidad limitada Rutas inaceptables 50 Las modificaciones a los modelos de programación lineal requeridas para aceptar estas variaciones son idénticas a las que se mencionaron para el problema de transporte. 51 Aplicación del problema de transporte a planeación de la producción 52 La empresa Miller Electronics Co. Fabrica videojuegos. No tiene inventario inicial en octubre y en diciembre no desea ningún inventario final. Pueden fabricarse los juegos en horas normales y en tiempo extra. La demanda aumenta en diciembre, no puede ser satisfecha con la sola producción de ese mes, por lo que deben utilizarse inventarios para transportar capacidad previa de producción hacia el futuro. 53 54 Solución 55 56