Perspector

Ejercicio 144 Triángulos
Applet CabriJava
(2270-405)
Sea P un punto no situado en los lados del triángulo ABC. La cónica que pasa por los puntos medios
de los tres lados y por los puntos medios de AP , BP y CP , pasa por el ortocentro si P está en la cónica
circunscrita de perspector el punto X1249 de ETC.
SOLUCIÓN:
Si P (u : v : w), en coordenadas baricéntricas, la ecuación de la cónica que pasa por los puntos medios de los lados
(0 : 1 : 1), (1 : 0 : 1) y (1 : 1 : 0) y por los puntos medios de AP (2u + v + w : v : w) de BP (u : u + 2v + w : w) y de
CP (u : v : u + v + 2w), tiene por ecuación
(−vwx2 + u(v + w)yz) + (−wuy 2 + v(w + v)zx) + (−uvz 2 + w(u + v)xy = 0.
Si pasa por el ortocentro H(SB SC : SC SA : SA SB ) las coordenadas de P satisfacen a la ecuación
SB SC (S 2 − 2SB SC )yz + SC SA (S 2 − 2SC SA )zx + SA SB (S 2 − 2SA SB )xy = 0.
que es una cónica circunscrita y el triángulo formado por las tangentes a ella en los vértices es perspectivo con ABC,
con centro de perpectividad en el punto (X1249 de ETC):
´
¡ S 2 − 2SB SC S 2 − 2SC SA S 2 − 2SA SB ¢ ¡ SA SB − SB SC + SC SA
:
:
=
: ··· : ··· ,
SA
SB
SC
SA
o bien
µ
3a4 − 2a2 (b2 + c2 ) − (b2 − c2 )2 3b4 − 2b2 (c2 + a2 ) − (c2 − a2 )2 3c4 − 2c2 (a2 + b2 ) − (a2 − b2 )2
:
:
−a2 + b2 + c2
a2 − b2 + c2
a2 + b2 − c2
¶
.
Observaciones:
— Cortando la cónica, que pasa por los seis puntos del enunciado, por la recta del infinito x + y + z = 0 podemos
averiguar cuál es su género:
³
´
p
p
−uw ± −uvw(u + v + w) : −vw ∓ −uvw(u + v + w) : (u + v)w .
Si ∆ = −uvw(u + v + w), será género parábola si ∆ = 0; esto ocurre si el punto P (u : v : w) está sobre las rectas
que contiene los lados (parábolas degeneradas en un par de rectas paralelas: lados correspondientes del triángulo y su
triángulo medial) o si P está en la recta del infinito (parábola cuyo eje tiene la dirección determinada por P ).
Será género hipérbola si hay una coordenada de P negativa y género elipse en los otros casos.
Como el determinante de la matriz asociada a la cónica es proporcional a
uvuw(u + v)(v + w)(w + u),
la cónica es degenerada cuando P está en los lados o en las paralelas a ellos por los vértices. No hay elipses degeneradas
en el producto de rectas imaginarias conjugadas.
Si P está en la recta paralela a un lado por el vértice opuesto, las hipérbolas degeneran en el producto de dos
restas. Por ejemplo, si está en la paralela por A a BC, la cónica es el producto de la recta que pasa por los puntos
La Laguna, Lunes 27 de Julio del 2009
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Angel Montesdeoca
medios de AB y AC (contine a laos punto medios de P B y P C) y la recta que pasa por los otros dos puntos medios
que quedan (de BC y AP ).
— Para que la cónica que pasa por los seis puntos del enunciado sea una circunferencia, ha de ocurrir que los
coeficientes de x2 , y 2 , z 2 , yz, zx, xy sean proporcionales a los de la ecuación general de una circunferencia a2 yz + b2 zx +
c2 xy − (x + y + z)(px + qy + rz) = 0, es decir:
{−vw, −uw, −uv, u(v + w), v(u + w), (u + v)w} = λ{−p, −q, −r, a2 − q − r, b2 − p − r, c2 − p − q}.
Resolviendo este sistema, se obtiene:
1 2
1
1
−a + b2 + c2 ,
q = a2 − b2 + c2 ,
r = a2 + b2 − c2 .
4
4
4
¢
¡ 4
(u : v : w) = a − (b2 − c2 )2 : b4 − (c2 − a2 )2 : c4 − (a2 − b2 )2 .
p=
Con lo que se concluye que, cuando P es el ortocentro, la cónica es la circunferencia de los nueve puntos (o de
Euler).
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